F = - (yex + xey + zez) FR =

Prof. Dr. K. Kassner
Uni Magdeburg
WS 2016/17
Klassische Mechanik
Klausur
1. Wissensfragen
20 Pkt.
(a) Erläutern Sie die Frage der Unabhängigkeit der ersten beiden newtonschen Axiome.
(2 Pkt.)
(b) Geben Sie eine typische Form für rheonome anholonome zweiseitige Zwangsbedin- (2 Pkt.)
gungen an.
(c) Ist das dreidimensionale Kraftfeld
~F = − y~ex + x~ey + z~ez
konservativ? Begründen Sie Ihre Antwort!
(2 Pkt.)
(d) Skizzieren Sie qualitativ das effektive Potential Veff (r ) für das Keplerproblem als Funk- (4 Pkt.)
tion von r (Drehimpuls ungleich Null). Gibt es gebundene Zustände für beliebig große
Drehimpulse? Kann man eine allgemeine Aussage zur Stabilität von Kreisbahnen machen und wenn ja, welche?
(e) Geben Sie die lagrangeschen Bewegungsgleichungen (zweiter Art) für ein System von (2 Pkt.)
Massenpunkten an, das nur holonomen Zwangsbedingungen unterworfen ist.
(f) Nennen und erläutern Sie das hamiltonsche Prinzip (Formel und Erklärung).
(3 Pkt.)
(g) Formulieren Sie mithilfe der Poisson-Klammer eine Gleichung für die totale Zeitablei- (1 Pkt.)
tung einer beliebigen Phasenraumfunktion f ({q}, { p}, t) in der hamiltonschen Mechanik.
(h) Was ist eine Punkttransformation?
(1 Pkt.)
(i) Geben Sie die Definition des Trägheitstensors an. Wie lässt sich die kinetische Energie (3 Pkt.)
eines Systems von Massenpunkten mithilfe des Trägheitstensors beschreiben?
2. Fall ins Wasser
Ein kugelförmiger Stein der Masse m mit dem Radius r fällt aus der
Höhe h0 , wo er anfänglich festgehalten wurde, in einen sehr tiefen See.
Auf den Stein wirke die als konstant angenommene Gravitationskraft
der Erde. Die Dichte des Steins sei sehr groß gegenüber der des Wasser, so dass die Auftriebskraft vernachlässigt werden kann, weiterhin
sei die Luftreibung vernachlässigbar. Im Wasser kann die Reibung mit
dem Gesetz von Stokes beschrieben werden:
7 Pkt.
m
mg
h0
~FR = −6πrη~v.
FR
~
Hierbei ist Fr die Reibungskraft, r der Radius des Steins, η die dynamische Viskosität des Wassers und ~v die momentane Geschwindigkeit
mg
des Steins. Der Stein soll nicht rotieren, betrachten Sie nur die Translationsbewegung des Schwerpunkts!
(a) Mit welcher Geschwindigkeit (als Funktion von h0 ) trifft der Stein auf die Wasser- (1 Pkt.)
oberfläche?
(b) Stellen Sie die Bewegungsgleichung des Steins für die Bewegung im Wasser auf.
(2 Pkt.)
(c) Wie groß ist die stationäre Geschwindigkeit, die der Stein nach unendlich langer Zeit (1 Pkt.)
erreicht?
(d) Geben Sie die Geschwindigkeit nach dem Aufschlag im Wasser als Funktion der Zeit (3 Pkt.)
an. Nehmen Sie dazu an, dass der Stein zur Zeit t = 0 auf die Wasseroberfläche trifft
und sich zu dieser Zeit mit der in Teil (a) bestimmten Geschwindigkeit bewegt.
Hinweis: Es ist günstig, die Bewegungsgleichung auf eine Differentialgleichung für
die Geschwindigkeit umzuschreiben.
30.03.17
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Klassische Mechanik
WS 2016/17
3. Gekoppeltes Pendel
Zwei ideale, ebene, mathematische Pendel mit der Pendellänge
l und der Pendelmasse m sind im Abstand l0 voneinander im
Schwerefeld der Erde aufgehängt und durch eine harmonische
Feder der Ruhelänge l0 und der Federkonstanten k miteinander
verbunden (siehe Skizze).
7 Pkt.
(a) Zeigen Sie, dass die potentielle Energie V ( ϕ1 , ϕ2 ) des Systems für kleine Auslenkun- (2 Pkt.)
gen ϕ1 , ϕ2 durch
V ( ϕ1 , ϕ2 ) = V0 + mgl
ϕ21
ϕ2
+ 2
2
2
k
+ l 2 ( ϕ1 − ϕ2 )2
2
gegeben ist. Dabei ist V0 eine Konstante.
(b) Stellen Sie die Lagrangefunktion des Systems und die Bewegungsgleichungen für (3 Pkt.)
kleine Auslenkungen auf!
(c) Geben Sie die allgemeine Lösung der Bewegungsgleichungen für kleine Auslenkun- (2 Pkt.)
gen an. Welche Eigenfrequenzen treten auf?
4. Hamilton- und Lagrange-Formalismus
9 Pkt.
Ein Massenpunkt der Masse m bewegt sich in einem Kraftfeld, welches zu dem Potential
V (r, ϕ, ϑ ) gehört, wobei r, ϕ, ϑ die üblichen Kugelkkordinaten sind.
(a) Bestimmen Sie die Lagrange-Funktion des Systems!
(3 Pkt.)
(b) Bestimmen Sie die kanonisch-konjugierten Impulse zu den Koordinaten r, ϕ und ϑ.
(1 Pkt.)
(c) Wie lautet die Hamilton-Funktion in sphärischen Koordinaten?
(1 Pkt.)
(d) Geben Sie die kanonischen Gleichungen in expliziter Form an.
(2 Pkt.)
(e) Begründen Sie damit, warum die Bewegung beim Keplerproblem (wo V (r, ϕ, ϑ ) = (2 Pkt.)
V (r ) gilt) als zweidimensional betrachtet werden kann. Zeigen Sie außerdem, dass
der Drehimpuls in diesem Fall eine Erhaltungsgröße ist. (Tipp: Setzen Sie ϑ = π/2.)
5. Rotierender Quader
7 Pkt.
Ein Quader homogener Masseverteilung mit quadratischer Grundfläche der Kantenlänge
~ um eine seiner
a und der Höhe b (wobei b > a) rotiere mit fester Winkelgeschwindigkeit ω
Raumdiagonalen.
(a) Geben Sie die Hauptträgheitsmomente des Quaders an.
(3 Pkt.)
(b) Berechnen Sie mithilfe der Eulergleichungen das notwendige Drehmoment, damit die (4 Pkt.)
Achse raumfest ist. Warum ist überhaupt ein Drehmoment notwendig?
In der Klausur sind insgesamt 50 Punkte zu erreichen.
30.03.17
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