Figur - Mathbuch

6
Figur – Muster – Term
D206-01
Lösungen
1
A
Figur 4
Figur 5
Figur
Anzahl Häuschen
1
8
2
12
3
16
4
20
5
24
6
28
Je nachdem wie gezählt wird, entstehen unterschiedliche Summanden:
Beispiele:
Figur 1
2 ∙ 3 + 2 ∙ 1 oder 4 ∙ 2
Figur 2
2 ∙ 4 + 2 ∙ 2 oder 4 ∙ 3
Figur 3
2 ∙ 5 + 2 ∙ 3 oder 4 ∙ 4
B, C
Mögliche Lösungen:
Annika Grosses Quadrat minus kleines inneres Quadrat
(n + 2)2 – n2 = n2 + 4n + 4 – n2 = 4n + 4 = 4(n + 1)
Boris
Die Häuschen in den Waagrechten 2(n + 2) plus die Häuschen
in den Senkrechten 2n
2(n + 2) + 2n = 2n + 4 + 2n = 4n + 4 = 4(n + 1)
2
A
Figur
Anzahl Häuschen
B
Mögliche Lösung: ( n + 2 ) 2 – 1
1
8
2
15
3
24
4
35
5
48
6
63
3
A
Skizze 1zu Term 4
zwei kleine Häuschen 2 · n 2 plus ein grosses Quadrat (n + 1) 2
Skizze 2 zu Term 1
(3n + 1) ( 2n + 1) beschreibt das gesamte Rechteck.
Davon werden 3-mal n ( n + 1) subtrahiert.
Es werden drei Quadrate 3n 2 berechnet plus die beiden
­ leinen Rechtecke 1 ( n + 1) und 1 · n.
k
Skizze 3 zu Term 3
Skizze 4 zu Term 2
Die beiden Quadrate werden hinuntergeschoben.
Es entsteht ein Rechteck mit (3n + 1) ( n + 1), anschliessend werden
die beiden kleinen Rechtecke 2n · 1 subtrahiert.
B
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Term 1(3n + 1)(2n + 1) – 3n(n + 1) = 6 n2 + 5n + 1 – 3n2 – 3n = 3n2 + 2n + 1
Term 2
(3n + 1)(n + 1) – 2n = 3n2 + 4n + 1 – 2n = 3n2 + 2n + 1
Term 3
3n2 + n + 1 + n = 3n2 + 2n + 1
Term 4
2n2 + (n + 1) 2 = 2n2 + n2 + 2n + 1 = 3n2 + 2n + 1
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6
Figur – Muster – Term
D206-01
Lösungen
3
C
Mögliche Lösung:
Figur 2
Figur 3
Gesamtes Rechteck ohne schraffierte Fläche: (2n + 1)(n + 1)
Schraffierte Fläche: n(n – 1)
Term: (2n + 1 )(n + 1) + n(n – 1) = 3n2 + 2n + 1
4
A
Mögliche Beschreibungen von Gesetzmässigkeiten:
Rot markiert sind immer die Plättchen, die von einer Zahl zur nächsten dazukommen.
In Anordnung 1 sind die Plättchen gemäss ihrem Namen als Dreieck, Quadrat und
Fünfeck angeordnet, in Anordnung 2 als «Treppe».
In Anordnung 2 sieht man, dass die Höhenzunahme bei jeder Säule gleich ist:
Bei den natürlichen Zahlen nimmt die Höhe der «Treppe» nicht zu. Bei den Dreieckszahlen kommt jedes Mal noch ein Plättchen mehr dazu. Bei den Quadratzahlen
sind es zwei, bei den Fünfeckszahlen drei zusätzliche Plättchen.
Die Höhenzunahme ist um zwei kleiner als die Eckenzahl bei der Zahlfigur:
Dreieck
Höhenzunahme 1
Viereck (Quadrat)
Höhenzunahme 2
Fünfeck
Höhenzunahme 3
5
A
Dreieckszahl
Figur
Anzahl Plättchen
B
3
6
4
10
5
15
6
21
1
1
2
4
3
9
4
16
5
25
6
36
1
1
2
5
3
12
4
22
5
35
6
51
Fünfeckszahl
Figur
Anzahl Plättchen
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2
3
Quadratzahl
Figur
Anzahl Plättchen
C
1
1
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Figur – Muster – Term
D206-01
Lösungen
6
A
Hundertste Quadratzahl: 100 · 100 = 10 000
B
n-te Quadratzahl:
C
Zwanzigste Dreieckszahl:​ __21 ​  ( 20 · 21) = 210
D
n-te Dreieckszahl:​ __21 ​  n · (n + 1)
n · n = n2
E
1. Figur
(schwarz)
2. Figur
(schwarz + blau)
3. Figur
(schwarz + blau + rot)
4. Figur
5. Figur
(schwarz + blau + rot + grün)
n-te Figur
0 + 1
1 + 4 = 5
3 + 9 = 12
6 + 16 = 22
__
​  12 ​  ( n – 1) · n + n2
10 + 25 = 35
7
Geometrischer Beweis
Fügt man zwei gleiche Figuren einer Folge von Dreieckszahlen so übereinander,
dass sie sich in einer Reihe überschneiden, dann entsteht ein Quadrat
(eine Figur aus der Quadratzahlfolge).
Algebraischer Beweis
2 · __
​ 12  ​ n · (n + 1) – n = n2 + n – n = n2
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