TMB 001-004 Titel 2014_TMB 2011 24.06.14 08:19 Seite 1 E U R O PA - F A C H B U C H R E I H E für Metallberufe Tabellenbuch für Metallbautechnik Herausgegeben von Armin Steinmüller Autoren: M. Fehrmann Dr. E. Ignatowitz D. Köhler F. Köhler G. Lämmlin H.-J. Pahl A. Steinmüller A. Weingartner 8. verbesserte Auflage Europa-Nr.: 16011 VERLAG EUROPA-LEHRMITTEL · Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG Düsselberger Straße 23 · 42781 Haan-Gruiten TMB 001-004 Titel 2014_TMB 2011 24.06.14 08:19 Seite 2 Autoren Fehrmann, Michael Ignatowitz, Eckhard Köhler, Dagmar Köhler, Frank Lämmlin, Gerhard Pahl, Hans-Joachim Steinmüller, Armin Weingartner, Alfred Dipl.-Ing. (FH), Studienrat Dr.-Ing., Studienrat Dipl.-Ing.-Päd. Dipl.-Ing.-Päd. Dipl.-Ing.; Studiendirektor Oberstudienrat Dipl.-Ing. Studiendirektor i. R. Waiblingen Waldbronn Dresden Dresden Neustadt/Weinstraße Hamburg Hamburg München Für die Mitarbeit an der 1. bis 5. Auflage dieses Buches dankt der Arbeitskreis Herrn Jürgen Hohenstein und Herrn Werner Röhrer; für die Mitarbeit an der 1. bis 6. Auflage Herrn Gunter Mahr. Lektorat und Leitung des Arbeitskreises: Steinmüller, Armin; Dipl.-Ing., Verlagslektor, Hamburg Bildbearbeitung: Zeichenbüro des Verlages Europa-Lehrmittel, Ostfildern Die Angaben in diesem Tabellenbuch beziehen sich auf die neuesten Ausgaben der Normblätter und sonstiger amtlicher Regelwerke. Es sind jedoch nur auf das Wesentliche beschränkte ausgewählte Teile der Originale. Verbindlich für die Anwendung sind nur die Original-Normblätter mit dem neuesten Ausgabedatum des DIN (Deutsches Institut für Normung e.V.) selbst. Sie können durch die Beuth Verlag GmbH, Burggrafenstr. 6, 10787 Berlin, bezogen werden. Auch andere Inhalte, die auf Verordnungen, Regelwerken oder Herstellervorgaben unterschiedlicher Herkunft basieren, dürfen nur an Hand der jeweils neuesten Ausgabe der Originalfassung angewendet werden. In diesem Nachschlagewerk stehen in der Regel nur Auszüge aus den oft umfangreichen Unterlagen. Das vorliegende Werk wurde mit aller gebotenen Sorgfalt erarbeitet. Dennoch übernehmen Autoren, Herausgeber und Verlag für die Richtigkeit von Fakten, Hinweisen und Vorschlägen sowie für eventuelle Satz- und Druckfehler keine Haftung. In diesem Buch wiedergegebene Namen und Bezeichnungen dürfen nicht als frei zur allgemeinen Benutzung im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung betrachtet werden. Bei der Entstehung dieses Buches wurde auf eventuelle Urheberrechte Dritter Rücksicht genommen. Sollten Rechteinhaber ihre Rechte verletzt sehen, bitten wir um Benachrichtigung. 8. Auflage 2014 Druck 5 4 3 2 1 Alle Drucke dieser Auflage sind im Unterricht nebeneinander einsetzbar, da sie bis auf die korrigierten Druckfehler und kleine Normänderungen unverändert sind. ISBN 978-3-8085-1609-6 Alle Rechte vorbehalten. Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der gesetzlich geregelten Fälle muss vom Verlag schriftlich genehmigt werden. © 2014 by Verlag Europa-Lehrmittel, Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG, 42781 Haan-Gruiten http://www.europa-lehrmittel.de Satz: rkt, 42799 Leichlingen, www.rktypo.com Druck: B.O.S.S Druck und Medien GmbH, 47574 Goch TMB 001-004 Titel 2014_TMB 2011 24.06.14 08:19 Seite 3 Vorwort Während der letzten Jahrzehnte hat sich die Berufsgruppe der Metallbauer und Konstruktionsmechaniker zusammen mit den Stahl- und Metallbauunternehmen stark entwickelt – sowohl auf Grund neuer Tendenzen in der Architektur als auch wegen erhöhter Anforderungen beim Wärmeschutz von Gebäuden als Beitrag zum Klimaschutz. Die für diese Berufe herausgegebene Fachbuchreihe des Verlages EUROPALEHRMITTEL besitzt mit diesem Tabellenbuch eine für Unterricht und Praxis notwendige aktuelle Basis an Daten und Fakten. Es ist aber auch unabhängig vom Schulunterricht als Nachschlagewerk geeignet. In erster Linie ist diese Tabellen- und Formelsammlung für die Berufsausbildung der Metallbauer und Konstruktionsmechaniker bestimmt. Um den vielfältigen Anforderungen der beruflichen Weiterbildung Rechnung zu tragen, wurden darüber hinaus Informationen aufgenommen, die für den Unterricht in Meisterschulen und Fachschulen Bedeutung haben. Außerdem enthält dieses Nachschlagewerk für Studierende der Architektur und des Bauwesens viele wichtige Angaben und kann ein hilfreicher Wegweiser zu anderen Quellen mit weitergehenden Detailinformationen sein. Der Inhalt des Buches gliedert sich in die nebenstehend aufgeführten acht Themenbereiche. Die Vielfalt der in diesem Buch dargebotenen Informationen bedingt, dass hin und wieder Inhalte einer Überschrift zugeordnet werden, die möglicherweise auch an anderer Stelle stehen könnten. 3 Mathematische Grundlagen M Naturwissenschaftlichtechnische Grundlagen N Arbeitsplanung Technische Kommunikation Arbeitssicherheit Umweltschutz A W Jeder der 8 Hauptteile enthält Formeln, Tabellen, Definitionen und in manchen Fällen auch knappe Erläuterungen. In den Tabellen sind wesentliche Inhalte von DIN-Normen, Regeln der Behörden und Berufsgenossenschaften, Stoffwerte und Firmenangaben zu speziellen Verfahren und Konstruktionslösungen zu finden. Werkstoffe Zum schnellen Aufsuchen bestimmter Sachverhalte dienen die umfangreichen Teil-Inhaltsverzeichnisse sowie ein Sachwortverzeichnis mit englischer Übersetzung. Inhaltlich ähnliche Seiten wurden nach denselben grafischen Prinzipien benutzerfreundlich gestaltet. Bei Normteilen, Werkstoffen, vielen Bauteilen sowie bei Kurzangaben in Zeichnungen wird jeweils ein Bezeichnungsbeispiel aufgeführt. Zu Beginn eines entsprechenden Sachteils findet sich außerdem häufig eine Erläuterung zum Aufbau der Bezeichnungsbeispiele. Bauteile Befestigungsmittel Verbindungsmittel B Die jetzt vorliegende 8. Auflage entspricht in der Abfolge von Seiten und Themen der vorherigen. Alle Normangaben wurden überprüft und, falls notwendig, aktualisiert. Fertigungstechnik F Konstruktionselemente und Bauteile K Steuerungs- und Regelungstechnik, NC-Technik S Der Umfang des gesamten Fachgebietes und die Vielfalt der Informationen aus den in permanenter Weiterentwicklung befindlichen einzelnen Sachgebieten des Metall- und Stahlbaus zwang uns im Interesse einer überschaubaren Seitenzahl dazu, manche von einzelnen Lesern gewünschte Sachverhalte nicht zu berücksichtigen. Wir danken unseren Lesern für ihre Zuschriften und hoffen auch weiterhin auf ihre Meinungsäußerungen. Ebenso sind wir stets dankbar für Fehlerhinweise, Anregungen und Verbesserungsvorschläge, die wir Sie bitten, an [email protected] zu schicken. Sommer 2014 Autoren und Verlag TMB 001-004 Titel 2014_TMB 2011 24.06.14 08:19 Seite 4 4 Inhaltsübersicht M Technische Mathematik M N A N B F Naturwissenschaftlichtechnische Grundlagen S 30 34 36 37 51 59 61 76 B 79 Grundlagen der Technischen Kommunikation . . . 80 Grundlagen des Technischen Zeichnens . . . . . . . . 81 Geometrische Grundkonstruktionen . . . . . . . . . . . 96 Maßeintragung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Grenzmaße und Passungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Oberflächenbeschaffenheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Wärmebehandlungsangaben . . . . . . . . . . . . . . . . 126 Schweißzeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 Metall- und Stahlbauzeichnungen . . . . . . . . . . . . 132 Rohrleitungsdarstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 Bauzeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Gestaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 Gesundheit und Sicherheit am Arbeitsplatz . . . . 150 Gefahrstoffe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 159 Stoffwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Werkstoffnummern. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bezeichnungssystem für Stähle . . . . . . . . . . . . . . Stahlsorten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Harte Schneidstoffe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stahlbleche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Warmgewalzte Stahlprofile . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rohre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bauteile und Erzeugnisse aus Stahl . . . . . . . . . . . Flächen- und längenbezogene Massen . . . . . . . . Nichteisenmetalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kunststoffe und Kunststofferzeugnisse . . . . . . . . Schmierstoffe und Hydrauliköle . . . . . . . . . . . . . . Korrosionsschutz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wärmebehandlung der Stähle . . . . . . . . . . . . . . . Werkstoffprüfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . RAL-Farbregister . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 162 164 169 173 174 177 188 194 196 198 204 207 209 220 223 227 Bauteile, Befestigungsmittel, Verbindungsmittel 229 Gewinde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 Schrauben, Eigenschaften und Belastungen . . . . 235 Schraubenarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 Muttern und Scheiben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 Bolzen, Splinte, Kerbstifte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 Niete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 Befestigungselemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 Montagetechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 Anschlagmittel, Handzeichen. . . . . . . . . . . . . . . . . 284 F Fertigungstechnik 291 Biegetechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schmieden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mechanisches und thermisches Trennen . . . . . . . Antriebstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spanende Fertigungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . Schweißen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Löten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kleben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kalkulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K Arbeitsplanung –Technische Kommunikation – Arbeitssicherheit – Umweltschutz W Werkstoffe K 29 Kräfte und Bewegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Arbeit, Leistung, Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Druck. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Statik, Festigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einwirkungen auf Tragwerke. . . . . . . . . . . . . . . . . . Elektrotechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bauphysik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chemie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A W 5 Formelzeichen, mathematische Zeichen . . . . . . . . . 6 Einheiten, Umwandlungstabellen. . . . . . . . . . . . . . . 7 Mathematische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Winkel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Längen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Volumen, Oberflächen, Masse. . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Längenbezogene und flächenbezogene Masse. . . 27 Schwerpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Konstruktionselemente und Bauteile 347 Schlösser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Türöffneranlage, Schließanlagen . . . . . . . . . . . . . Türen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bänder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tore. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Treppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Geländer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fenster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Verglasungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fugendichtstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sonnenschutzeinrichtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . Stahlbau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Metallbauelemente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rohrrahmenprofile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Instandhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S Steuerungs- und Regelungstechnik, CNC-Technik 348 354 357 366 368 377 387 397 402 419 421 423 442 444 452 453 Grundbegriffe der Steuerungs- und Regelungstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schaltalgebra und elektrotechnische Schaltzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schutzmaßnahmen gegen gefährliche Körperströme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Logische Verknüpfungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . GRAFCET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funktionsdiagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pneumatik und Hydraulik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Steuerung von Werkzeugmaschinen. . . . . . . . . . . Datenverarbeitung und Internet . . . . . . . . . . . . . . Normen und Regeln 292 302 303 306 311 318 338 340 341 454 455 459 460 464 466 467 476 485 487 Sachwortverzeichnis 490 Quellenverzeichnis 500 TMB 005-028 M 2014_TMB 2011 24.06.14 08:21 Seite 5 M Technische Mathematik Allgemeine Grundlagen 6 Formelzeichen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mathematische Zeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einheiten im Messwesen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Umrechnung von Maßeinheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6 7 9 Mathematische Grundlagen 10 Bruchrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vorzeichenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Klammerrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Potenzieren – Radizieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Umformen von Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Umstellen von Formeln. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prozentrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schlussrechnung – Dreisatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mischungsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 10 10 11 12 13 13 14 14 Winkel 15 Winkelarten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Strahlensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zehnerpotenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Winkelsumme im Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Winkelfunktionen in rechtwinkligen Dreieck. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Winkelfunktionen im schiefwinkligen Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anwendungen des Sinus- und Kosinussatzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 15 15 15 16 16 16 Längen 17 Gestreckte Längen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Rohlängen von Schmiede- und Presstücken. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Teilung von Längen, Randabstände. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Flächen 18 Gradlinig begrenzte einfache Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lehrsatz des Pythagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lehrsatz des Euklid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Höhensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gleichseitiges Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regelmäßiges und unregelmäßiges Vieleck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kreis – Kreisring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kreisringausschnitt – Kreisausschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kreisabschnitt – Ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zusammengesetzte Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Verschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 19 19 19 19 20 20 21 21 22 22 Volumen – Oberflächen 23 Würfel – Vierkantprisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zylinder – Hohlzylinder –Torus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pyramide – Pyramidenstumpf – Kegel – Kegelstumpf. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kugel – Kugelabschnitt – Kugelausschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Flächen und Volumen nach der Guldin’schen Regel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 23 24 25 25 Volumen – Masse 26 Volumen von Werkstücken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Masse von Werkstücken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Längenbezogene und flächenbezogene Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Schwerpunkte 5 M N A W B F K 28 Linienschwerpunkte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Flächenschwerpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Erläuterungen zu den folgenden 7 Teilinhaltsverzeichnissen: Um eine optimale Übersichtlichkeit und schnelles Auffinden zu erreichen, wurden manchmal Überschriften verkürzt, zusammengefasst oder auch anders formuliert als auf den jeweiligen Seiten. Dabei bleiben die inhaltlichen Aussagen aber stets gewahrt. S TMB 005-028 M 2014_TMB 2011 24.06.14 08:21 Seite 6 6 Allgemeine Grundlagen Formelzeichen M N Formelzeichen Bedeutung Länge, Fläche, Volumen, Winkel § Länge b Breite h Höhe, Tiefe r, R Radius, Halbmesser d, D Durchmesser s Weglänge, Kurvenlänge ¬ Wellenlänge A, S Fläche, Querschnittsfläche V Volumen å, ∫, © ebener Winkel „ Raumwinkel t T f, ~ n ∑ v, u a g å qv, V p dB(A) c Lp LN Û N 1) Zeit, Dauer Periodendauer Frequenz Drehzahl, Umdrehungsfrequenz Winkelgeschwindigkeit Geschwindigkeit Beschleunigung örtliche Fallbeschleunigung Winkelbeschleunigung Volumenstrom F S 2) nicht in DIN 1304; siehe Seite 169 ff. 3) Bedeutung Wärme thermodynamische Temperatur3) Temperaturdifferenz3) Celsius-Temperatur3) Längenausdehnungskoeffizient Volumenausdehnungskoeffizient Wärme, Wärmemenge Wärmeleitfähigkeit Wärmeübergangskoeffizient3) Wärmedurchgangskoeffizient3) Wärmestrom3) Temperaturleitfähigkeit Wärmekapazität spez. Wärmekapazität spezifischer Heizwert Elektrizität Ladung, Elektrizitätsmenge Spannung Kapazität Permittivität Stromstärke Induktivität Permeabilität Widerstand spezifischer Widerstand elektrische Leitfähigkeit Blindwiderstand Scheinwiderstand Phasenverschiebungswinkel Windungszahl Abweichungen von DIN 1304 s.S. 61 bis 71 Mathematische Zeichen Math. Zeichen K Schalldruck Schallpegel1) Schallgeschwindigkeit Schalldruckpegel Lautstärkepegel Schallintensität Lautheit nicht in DIN 1304; siehe Seite 72 Bedeutung Mechanik Masse T, ı längenbezogene Masse flächenbezogene Masse ¤T, ¤t, ¤« Dichte Trägheitsmoment, t, « åî, å Massenmoment 2. Grades F Kraft åV, © FG, G Gewichtskraft M Drehmoment Q T Torsionsmoment ¬ Mb Biegemoment å p Druck pabs absoluter Druck k pamb Atmosphärendruck pe Überdruck Ï, Q a ‚ Normalspannung C † Schubspannung A Bruchdehnung2) c ™ Dehnung, rel. Längenänd. Hu E Elastizitätsmodul G Schubmodul Reibungszahl μ, f Q W Widerstandsmoment Û Flächenmoment U 2. Grades C W, E Arbeit, Energie ™ Wp, Ep potenzielle Energie Û Wk, Ek kinetische Energie L P Leistung μ ª Wirkungsgrad R ® Licht, elektromagnet. Strahlung ©, Δ Ev Beleuchtungsstärke X f Brennweite Z n Brechzahl ƒ Ûe Strahlstärke Qe, W Strahlungsenergie N Akustik B Formelzeichen m m’ m” ® J Zeit A W vgl. DIN 1304-1 (1994-03) Formelzeichen $ ≠ ... = = def < à > á + – · –, /, : Í ~ Sprechweise ungefähr gleich entspricht und so weiter bis gleich ungleich ist definitionsgemäß gleich kleiner kleiner gleich größer größer gleich plus minus mal, multipliziert mit durch, geteilt durch, zu Summe proportional Math. Zeichen π ax y y n |x| ∞ k || DD Dd S 䉭 ¯ ¤x Sprechweise Math. Zeichen pi (Kreiszahl = 3,14159...) ln log a hoch x, x-te Potenz von a lg Quadratwurzel aus sin n-te Wurzel aus cos Betrag von x tan unendlich cot senkrecht auf arcsin ist parallel zu % gleichsinnig parallel ‰ gegensinnig parallel (), [ ], { } Winkel Dreieck AB kongruent zu AB a’, a” Delta x (Differenz zweier Werte) a1, a2 ៣ Sprechweise natürlicher Logarithmus Logarithmus (allgemein) dekadischer Logarithmus Sinus Kosinus Tangens Kotangens Arcussinus Prozent, vom Hundert Promille, vom Tausend runde, eckige, geschweifte Klammer auf und zu Strecke AB Bogen AB a Strich, a zwei Strich a eins, a zwei TMB 005-028 M 2014_TMB 2011 24.06.14 08:21 Seite 7 Allgemeine Grundlagen 7 Einheiten im Messwesen Die Einheiten im Messwesen sind im Internationalen Einheitensystem (SI = Systeme International) festgelegt. Es baut auf den sieben Basiseinheiten (Grundeinheiten) auf, von denen weitere Einheiten abgeleitet werden. ➞ vgl. DIN 1301-1 (2002-10), -2 (1978-02), -3 (1979-10) Basisgrößen und Basiseinheiten Basiseinheit Länge Meter Einheitenzeichen m Masse Kilogramm kg s kg Basisgröße M A K mo l m cd Zeit Sekunde s elektrische Stromstärke Ampere A Temperatur Kelvin K Stoffmenge Mol mol Lichtstärke Candela cd N Größen und Einheiten Größe Formelzeichen Einheit Name Zeichen Beziehung Bemerkung A Länge, Fläche, Volumen, Winkel Länge Fläche Volumen ebener Winkel (Winkel) § A, S V Meter m Quadratmeter m2 Ar Hektar a ha Kubikmeter m3 Liter î, L å, ∫, ©... Radiant rad 1m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm 1 mm = 1000 µm 1 km = 1000 m 1 inch = 1 Zoll = 25,4 mm 1 m2 = 10 000 cm2 = 1 000 000 mm2 1a = 100 m2 1 ha = 100 a = 10 000 m2 100 ha= 1 km2 Zeichen S nur für Querschnittsflächen 1 m3 = 1000 dm3 = 1 000 000 cm3 1î = 1L = 1 dm3 = = 10 dî = 0,001 m3 1 mî = 1 cm3 1 rad = 1 m/m = 57,2957...° = 180°/π π 1° = rad = 60’ 180 Grad ° Minute ’ 1’ = 1°/60 = 60’’ Sekunde ’’ 1’’ = 1’/60 = 1°/3600 Sekunde Minute Stunde Tag Jahr s min h d a 1 min = 60 s 1h = 60 min = 3600 s 1d = 24 h 1 durch Sekunde 1 durch Minute 1/s 1/s = 60/min = 60 min–1 In der Luft- und Seefahrt gilt: 1 internationale Seemeile = 1852 m Ar und Hektar nur für Flächen von Grundstücken Meist für Flüssigkeiten und Gase 1 rad ist der Winkel, der aus einem um den Scheitelpunkt geschlagenen Kreis mit 1 m Radius einen Bogen von 1 m Länge schneidet. Bei techn. Berechnungen z.B. nicht å = 33° 17’ 27,6’’, sondern besser å = 33,291° verwenden. Zeit Zeit, Zeitspanne, Dauer t Drehzahl, Umdrehungsfrequenz n Geschwindigkeit v Beschleunigung a, g 3 h bedeutet eine Zeitspanne (3 Std.) 3h bedeutet einen Zeitpunkt (3 Uhr). Werden Zeitpunkte in gemischter Form, z.B. 3h24m10s geschrieben, so kann das Zeichen min auf m verkürzt werden. Meter durch 1 m/s = 60 m/min Sekunde m/s = 3,6 km/h Meter durch 1m m/min 1 m/min = Minute 60 s Kilometer 1m 100 0 m d. Stunde km/h 1 km/h = = 3,6 s 3 60 0 s Geschwindigkeit bei der Seefahrt in Knoten (kn). 1 kn = 1,852 km/h Meter durch Sekunde m/s2 hoch zwei Formelzeichen g nur für Fallbeschleunigung. g = 9,81 m/s2 1 m/s 1 m/s = 1s B F K 1 1/min 1/min = 1 min–1 = 60 s 2 W Mile per hour = 1 mile/h = 1 mph 1 mph = 1,60934 km/h S TMB 005-028 M 2014_TMB 2011 24.06.14 08:21 Seite 8 8 Allgemeine Grundlagen ➔ vgl. DIN 1301-1 (2002-10), -2 (1978-02), -3 (1979-10) Einheiten im Messwesen Größen und Einheiten (Fortsetzung) M Größe Einheit Formelzeichen Name Beziehung Zeichen Bemerkung Mechanik Masse N A W kg g Mg t 1 kg = 1000 g 1 g = 1000 mg 1t = 1000 kg = 1 Mg 0,2 g = 1 Kt Gewicht im Sinne eines Wägeergebnisses oder eines Wägestückes ist eine Größe von der Art der Masse (Einheit kg). Masse für Edelsteine in Karat (Kt). m’ Kilogramm durch Meter kg/m 1 kg/m = 1 g/mm Die längenbezogene Masse wird z.B. zur Berechnung der Masse (Gewicht) von Stabwerkstoffen, Profilen und Rohren verwendet. flächenbezogene Masse m’’ Kilogramm durch Meter hoch zwei kg/m2 1 kg/m2 = 0,1 g/cm2 Die flächenbezogene Masse wird z.B. zur Berechnung der Masse von Blechen verwendet. Dichte ® Kilogramm durch Meter hoch drei kg/m3 1000 kg/m3 = = = = = Die Dichte ist eine vom Ort unabhängige Größe. Trägheitsmoment, Massenmoment 2. Grades J Kilogramm mal Meter hoch zwei kg · m2 Kraft F Drehmoment Biegemoment Torsionsmoment Druck mechanische Spannung Flächenmoment 2. Grades F Kilogramm Gramm Megagramm Tonne längenbezogene Masse Gewichtskraft B m Newton N FG, G M Mb T p ‚, † Û Newton mal Meter Pascal 1 t/m3 1 kg/dm3 1 g/cm3 1 g/mî 1 mg/mm3 früher: Massenträgheitsmoment 1N kg · m J = 1 = 1 s2 m 3 1 MN = 10 kN = 1 000 000 N Die Kraft 1 N bewirkt bei der Masse 1 kg in 1 s eine Geschwindigkeitsänderung von 1 m/s. 1 Pa = 1 N/m2 = 0,01 mbar 1 bar = 100 000 N/m2 = 10 N/cm2 = 105 Pa 1 mbar = 1 hPa 1 N/mm2 = 10 bar = 1 MN/m2 = 1 MPa 1 bar = 0,1 N/mm2 Unter Druck versteht man die Kraft je Flächeneinheit. pe – Überdruck pabs – absoluter Druck patm – atmosphärischer Druck 1 m4 = 100 000 000 cm4 früher: Flächenträgheitsmoment Joule für jede Energieart, kW · h bevorzugt für elektrische Energie N·m Pa 2 Newton durch Meter hoch zwei N/m Meter hoch vier Zentimeter hoch vier m4 cm4 Energie, Arbeit Wärmemenge E, W Joule J 1 J = 1 N · m = 1W · s = 1 kg · m2/s2 Leistung Wärmestrom P, Ï Watt W 1 W = 1 J/s = 1 N · m/s = 1 V · A = 1 m2 · kg/s3 Elektrizität und Magnetismus K Elektrische Stromstärke Elektr. Spannung Elektr. Widerstand Û U R Ampere Volt Ohm spez. Widerstand ® Ohm mal Meter „·m ©, Δ Siemens durch Meter S/m Leitfähigkeit S A V „ Frequenz f Hertz Hz Elektr. Arbeit W Joule J 1 V = 1 W/1 A = 1 J/C 1 „ = 1 V/1 A 10–6 „ · m = 1 „ · mm2/m 1 „ · mm2 ® = in Δ m m 1 Δ = in ® „ · mm2 1 1 Hz = ; 1000 Hz = 1 kHz s 1 J = 1W · s = 1 N · m 1 kW · h = 3,6 MJ 1 W · h = 3,6 kJ TMB 005-028 M 2014_TMB 2011 24.06.14 08:21 Seite 9 Allgemeine Grundlagen 9 Umrechnung von Maßeinheiten Längeneinheiten 1 µm Umrechnungszahl 10 · 1000 ⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑ䊳 䊴ⴑ ⴑⴑⴑⴑⴑⴑ : 1000 1 mm · 10 ⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑ䊳 䊴ⴑ ⴑⴑⴑⴑⴑⴑ : 10 1 cm · 10 ⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑ䊳 䊴ⴑ ⴑⴑⴑⴑⴑⴑ : 10 · 10 ⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑ䊳 䊴ⴑ ⴑⴑⴑⴑⴑⴑ : 10 1 dm · 1000 · 100 1 cm2 : 100 ⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑ䊳 䊴ⴑ ⴑⴑⴑⴑⴑⴑ · 100 1 dm2 : 100 ⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑ䊳 䊴ⴑ ⴑⴑⴑⴑⴑⴑ 1 m2 : 100 : 10 000 ⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑ䊳 䊴ⴑ ⴑⴑⴑⴑⴑⴑ 1 km2 : 100 N Umrechnungszahl 1000 1 cm3 · 1000 1 µî ⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑ䊳 䊴ⴑ ⴑⴑⴑⴑⴑⴑ 1 ha · 1000 ⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑ䊳 䊴ⴑ ⴑⴑⴑⴑⴑⴑ : 1000 1 dm3 · 100 · 1000 1 mî : 1000 · 1000 ⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑ䊳 䊴ⴑ ⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑ : 1000 ⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑ䊳 䊴ⴑ ⴑⴑⴑⴑⴑⴑ 1î : 1000 ⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑ䊳 䊴ⴑ ⴑⴑⴑⴑⴑⴑ · 109 ⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑ䊳 䊴ⴑ ⴑⴑⴑⴑⴑⴑ 1 m3 1 km3 : 109 ⴑⴑⴑ䊳 ⴑⴑⴑⴑⴑ 1 mm3 · 100 · 10 000 ⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑ䊳 䊴ⴑ ⴑⴑⴑⴑⴑⴑ Volumeneinheiten · 1000 ⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑ䊳 䊴ⴑ ⴑⴑⴑⴑⴑⴑ : 1000 M Umrechnungszahl 100 · 100 ⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑ䊳 䊴ⴑ ⴑⴑⴑⴑⴑⴑ 1 km : 1000 Flächeneinheiten 1 mm2 ⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑ䊳 䊴ⴑ ⴑⴑⴑⴑⴑⴑ 1m · 10 ⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑ ⴑ 1 hî A 䊴ⴑ ⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑ ⴑ ⴑⴑ : 100 : 10 Masseeinheiten · 106 1 µg ⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑ䊳 䊴ⴑ ⴑⴑⴑⴑⴑⴑ · 1000 1g : 106 · 100 ⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑ䊳 䊴ⴑ ⴑⴑⴑⴑⴑⴑ 1 kg : 1000 · 106 · 10 ⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑ䊳 䊴ⴑ ⴑⴑⴑⴑⴑⴑ ⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑ䊳 䊴ⴑ ⴑⴑⴑⴑⴑⴑ 1 dt : 100 ⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑ䊳 䊴ⴑ ⴑⴑⴑⴑⴑⴑ 1t 1 Mt : 106 : 10 W Krafteinheiten · 1000 · 1000 1 µN ⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑ䊳 䊴ⴑ ⴑⴑⴑⴑⴑⴑ 1 mN : 1000 ⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑ䊳 䊴ⴑ ⴑⴑⴑⴑⴑⴑ · 1000 1N : 1000 ⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑ䊳 䊴ⴑ ⴑⴑⴑⴑⴑⴑ · 1000 1 kN : 1000 ⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑ䊳 䊴ⴑ ⴑⴑⴑⴑⴑⴑ 1 MN = N 1 2 mm : 1000 Druckeinheiten N 1 2 m · 1000 = 1 Pa ⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑ䊳 䊴ⴑ ⴑⴑⴑⴑⴑⴑ · 1000 1 kPa : 1000 1. Beispiel: 4 m2 = ? cm2 1 1 1 m2 · · = 1 cm2 100 100 ⴑⴑⴑⴑⴑⴑⴑ䊳 䊴ⴑ ⴑⴑⴑⴑⴑⴑ 1 MPa : 1000 B 2. Beispiel: 3400 mm3 = ? dm3 1 dm3 1 mm3 · 1000 · 1000 = 1 dm3 ⇒ 1 mm3 = 1000 · 1000 34 00 · 1 dm3 ⇒ 3400 mm2 = = 3400 · 10–6 dm3 10 00 · 1000 = 0,0034 dm3 ⇒ 1 m2 = 100 · 100 cm2 ⇒ 4 m2 = 4 · 100 · 100 cm2 = 4 · 104 cm2 F Vorsätze zur Bezeichnung von dezimalen Teilen und Vielfachen der Einheiten Vorsatz Milli Zenti Dezi Kilo Mega Giga Vorsatzzeichen Piko P Nano Mikro N µ m c d Deka Hekto da h k M G T Zehnerpotenz 10–12 10–9 10–6 10–3 10–2 10–1 101 102 103 106 109 1012 Teile (z.B. 1 µm = 10–6 m = 0,000 001 m) Tera Vielfache (z.B. 1 kN = 103 N = 1000 N) Besondere Längeneinheiten Besondere Flächeneinheiten Besondere Volumeneinheiten 1 Zoll (”) 1 cm 1 inch 1 USmile 1 km 2 1 ha 1a 1 Morgen 1 hî 1 barrel 1 gallone 1î = 2,54 cm = 0,394 Zoll (”) = 1 Zoll = 1609 m = 100 ha = 100 a = 100 m2 = 25 a K = 100 î = 1,59 hî = 4,55 î = 1 dm3 S TMB 005-028 M 2014_TMB 2011 24.06.14 08:21 Seite 10 10 Mathematische Grundlagen Bruchrechnung M N A W Regel Gleichnamige Brüche werden addiert oder subtrahiert, indem man die Zähler addiert oder subtrahiert und die Nenner unverändert lässt. Zahlenbeispiel Algebraisches Beispiel 5+2–1 = 5 + 2 – 1 = 8 8 8 8 6 3 = = 8 4 5–3+7 = 5 – 3 + 7 = a a a a 9 = a 1 2 3 + – = 2 3 4 Hauptnenner = 12 a c + = b d 1·6 2·4 3·3 = + – 2·6 3·4 4·3 = 6 + 8 – 9 12 12 12 6+8–9= 5 = 12 12 ·d c·b =a + b·d b·d a·d+c·b = b·d Ein Bruch wird mit einem anderen multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert. 3 2 3·2 6 · = = 5 7 5 · 7 35 a c a·c · = b d b·d Ein Bruch wird durch einen anderen Bruch dividiert, indem man den Dividenden (Bruch im Zähler) mit dem Kehrwert des Divisors (Bruch im Nenner) multipliziert. 3 4 =3·5 = 3 : 3 = 4 5 3 4·3 5 = 5 = 1 1 4 4 a b a·d = a : c = = b d c b·c d Haben zwei Faktoren gleiche Vorzeichen, so wird das Produkt positiv. 2 · 5 = 10 (– 2) · (– 5) = 10 a · x = ax (– a) · (– x) = ax Haben zwei Faktoren unterschiedliche Vorzeichen, so wird das Produkt negativ. 3 · (– 8) = – 24 (– 3) · 8 = – 24 a · (– x) = – ax (– a) · x = – ax Haben Zähler und Nenner bzw. Dividend und Divisor gleiche Vorzeichen, so ist der Bruch bzw. der Quotient positiv. 15 = 15 : 3 = 5 – 3 – 15 = (– 15) : (– 3) = 5 –3 – a = a b b –a=a –b b Haben Zähler und Nenner bzw. Dividend und Divisor unterschiedliche Vorzeichen, so ist der Bruch bzw. der Quotient negativ. 15 = 15 : (– 3) = – 5 –3 – 15 = (– 15) : 3 = – 5 3 a a = – –b b –a a = – b b Punktrechnungen (· und :) müssen vor Strichrechnungen (+ und –) ausgeführt werden. 8 · 4 – 18 · 3 = 32 – 54 = – 22 16 + 20 – 18 = 4 + 4 – 6 4 5 3 =2 = 8a · b – c · 3d = 4 ab – 3 cd = 16 + (9 – 5) = a + (b – c) = 16 + 9 – 5 =a+b–c Bei ungleichnamigen Brüchen muss zuerst der Hauptnenner gebildet werden, um sie addieren bzw. subtrahieren zu können. Der Hauptnenner ist der kleinste gemeinsame Nenner, in dem die Nenner aller Brüche ganzzahlig enthalten sind. Die Brüche werden durch Erweitern auf den Hauptnenner gebracht. Hauptnenner = b · d Vorzeichenregeln B F K Klammerrechnung Klammern, vor denen ein Pluszeichen steht, können weggelassen werden. Die Vorzeichen der Glieder bleiben dann unverändert. S Klammern, vor denen ein Minuszeichen steht, können nur aufgelöst (weggelassen) werden, wenn alle Summanden (Glieder in der Klammer) entgegengesetzte Vorzeichen erhalten. = 20 = 16 – (9 – 5) = a – (b – c) = 16 – 9 + 5 =a–b+c = 12 Fortsetzung auf Seite 11 TMB 005-028 M 2014_TMB 2011 24.06.14 08:21 Seite 11 Mathematische Grundlagen 11 Klammerrechnung (Fortsetzung) Regel Ein Klammerausdruck wird mit einem Faktor multipliziert, indem man jedes Glied der Klammer mit dem Faktor multipliziert. Ein Klammerausdruck wird mit einem Klammerausdruck multipliziert, indem man jedes Glied der einen Klammer mit jedem Glied der anderen Klammer multipliziert. Ein Klammerausdruck wird durch einen Wert (Zahl, Buchstabe, Klammerausdruck) dividiert, indem man jedes Glied in der Klammer durch diesen Wert dividiert. Ein Bruchstrich fasst Ausdrücke in gleicher Weise zusammen wie eine Klammer. Bei gemischten Punkt- und Strichrechnungen mit Klammerausdrücken müssen zuerst die Klammern aufgelöst und danach die Punkt- und dann die Strichrechnung ausgeführt werden. Zahlenbeispiel Algebraisches Beispiel = 7 · (4 + 5) =a · (b + c) = 7 · 4 + 7 · 5 = 63 = ab + ac = (3 + 5) · (10 – 7) M = (a + b) · (c – d) = 3 · 10 + 3 · (–7) + 5 · 10 + 5 · (–7) = ac – ad + bc – bd = 30 – 21 + 50 – 35 = 24 = (16 – 4) : 4 N = (a + b) : c = a : c + b : c = 16 : 4 – 4 : 4 =4–1=3 a–b=a –1 = b b 3+4 = (3 + 4) : 2 2 a+b h · h = (a + b) · 2 2 = 8 · (3 – 2) + 4 · (16 · 5) = a · (3 x – 5 x) – b · (12 y – 2 y) = 8 · 1 + 4 · 11 = a · (– 2 x) – b · 10 y = 8 + 44 = 52 = – 2 ax – 10 by 32 · 33 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 35 oder x4 · x2 = x · x · x · x · x · x = x6 oder 32 · 33 = 3(2+3) = 35 x4 · x2 = x(4 + 2) = x6 43 4 · 4 · 4 2 = = 4 4 4·4 oder 43 : 42 = 4(3 – 2) = 41 = 4 m2 1 m·m 3 = = = m–1 m m·m·m m A W Potenzieren Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert und die Basis beibehält. Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man ihre Exponenten subtrahiert und die Basis beibehält. oder m2 : m3 = m(2 – 3) = m–1 = 1 m Werden Potenzen mit einem Faktor multipliziert, so muss zuerst die Potenz berechnet werden. Potenzrechnung geht vor Punktrechnung. 6 · 103 = 6 · 1000 = 6000 a · 102 = a · 100 = 100 a 7 · 10–2 = 7 · 1 = 0,07 100 b · 10–1 = b · 1 = 0,1 b 10 Jede Potenz mit dem Exponenten Null hat den Wert 1. 1 04 4 = 10(4 – 4) = 100 = 1 10 (m + n)0 = 1 Radizieren Ist der Radikand ein Produkt, so kann die Wurzel entweder aus dem Produkt oder aus jedem einzelnen Faktor gezogen werden. y 9 · 16 = y 144 = 12 oder Ist der Radikand eine Summe oder eine Differenz, so kann nur aus dem Ergebnis die Wurzel gezogen werden. y 9 + 16 = y 25 = 5 Eine Wurzel kann als Potenz geschrieben werden. 3 B F K 3 3 3 3 3 ya · y · b = ya b y 9 · 16 = y 9 · y 16 = 3 · 4 = 12 y 52 – 42 = y 25 – 1 6 = y 9=3 y 27 = 1 27 3 1 3 3 · =3 = 3 33 = 31 = 3 ya – b = y( a – b) ya = 1 a2 S TMB 005-028 M 2014_TMB 2011 24.06.14 08:21 Seite 12 12 Mathematische Grundlagen Umformen von Gleichungen M Gleichheitsgrundsatz Beide Seiten einer Gleichung können vertauscht werden. Die beiden Seiten einer Gleichung sind mit dem Gleichgewicht einer Waage vergleichbar. = N 17 + x = 11 + x 11 + x = 17 11 + x 17 48 · y = 6 · y 6 · y = 48 Anwendung des Kommutativgesetztes Veränderungsoperationen Die Veränderungen müssen so erfolgen, dass das Gleichgewicht erhalten bleibt. Auf beiden Seiten der Gleichung müssen die gleichen Rechenoperationen ausgeführt werden. Auf beiden Seiten das Gleiche addieren oder subtrahieren. A 6 x –11 = –11 Auf beiden Seiten mit dem Gleichen multiplizieren oder durch das Gleiche dividieren. Grundregel Beim Seitentausch einer Größe ändert sich das Operationszeichen. 11 W x y 17 Die gesuchte Größe soll auf der linken Seite der Gleichung isoliert werden. Nach der Seitenwechselregel folgt: aus + wird – aus – wird + aus · wird : aus : wird · 48 Regel B F K Zahlenbeispiel 6 · y = 48 48 6·y ==8 6 Algebraisches Beispiel Durch Addition der gleichen Zahl oder Größe auf beiden Seiten steht die gesuchte Größe allein auf der linken Seite. y–5 =9 y – 5 + 5= 9 + 5 y = 14 y–c =d y – c + c= d + c y =d+c Durch Subtraktion der gleichen Zahl oder Größe auf beiden Seiten steht die gesuchte Größe allein auf der linken Seite. x+7 = 18 x + 7 – 7= 18 – 7 x = 11 x+a =b x+a–a=b–a x =b–a Durch Division durch die gleiche Zahl oder Größe auf beiden Seiten steht die gesuchte Größe allein auf der linken Seite. 6 · x = 23 6 · x 23 = 6 6 23 = 3 5 x = 6 6 a·x =b a·x b = a a x = b a Durch Multiplikation mit der gleichen Zahl oder Größe auf beiden Seiten steht die gesuchte Größe allein auf der linken Seite. y = 7 3 y·3 = 7 · 3 3 y = 21 y = d c y·c =d·c c y =d·c Durch Potenzieren auf beiden Seiten steht die gesuchte Größe allein auf der linken Seite. S 11 + x = 17 – 11 11 + x = 17 – 11 11 + x = 6 – 11 Durch Radizieren auf beiden Seiten steht die gesuchte Größe allein auf der linken Seite. yx = 4 @yx # 2 = 42 x = 16 x2 = 36 yx 2 = y 36 x =±6 yx = a + b @yx # 2 = (a + b)2 x = a2 + 2 ab + b2 x2 = a + b yx 2 = ya +b x = ± ya +b TMB 005-028 M 2014_TMB 2011 24.06.14 08:21 Seite 13 Mathematische Grundlagen 13 Umstellen von Formeln Wenn die zu ermittelnde Größe in einer Formel nicht allein auf einer Seite steht, dann ist es erforderlich die Formel umzustellen. Hier kommen die gleichen Regeln zur Anwendung wie beim Umformen von Gleichungen. Demnach gilt für alle Schritte der Umstellung: m · v2 Wk = 2 Linke Formelseite Veränderung auf der linken Formelseite Rechte Formelseite M Veränderung auf der rechten Formelseite = N Beispiel: Formel umstellen nach v Handlungsschritte Lösungsschritte 1 Multiplikation mit 2 auf beiden Seiten 2 Kürzen von 2 auf der rechten Formelseite 3 Beide Seiten durch m dividieren 4 Kürzen von m auf der rechten Formelseite 5 Formelseiten vertauschen 6 Beide Formelseiten radizieren m · v2 Wk = 2 �2 · m · v 2 2 · Wk = �2 2 · Wk m · v 2 = m m 2 · Wk m · v2 � = m m � 2·W v 2 = k m 2·W y v 2 = ak m ⎥ ·2 ⎥ :m A ⎥ y 2·W ⇒ v = ak m W Prozentrechnung Gw · Ps Pw = 100 % Ps Prozentsatz, Prozent Pw Prozentwert Gw Grundwert Bei der Prozentrechnung werden anteilige Größen vom Ganzen berechnet. B Prozentsatz Der Prozentsatz gibt den Teil des Grundwertes in Hunderstel an. x% z. B. 75 vom Ganzen v 75 % 100 ⎥ 1 vom Ganzen v 1 % 100 Grundwert Der Grundwert ist der Wert einer Größe, von dem die Prozente zu berechnen sind. 10 0 % Der Grundwert ist immer eine Größe. (Größe = Zahlenwert · Einheit ), z. B. 500 cm2 reiner Grundwert = 100 % vermehrter Grundwert = 100 % + Prozentsatz verminderter Grundert = 100 % – Prozentsatz Prozentwert Der Prozentwert ist der Betrag der Größe des Grundwertes, den die Prozente des Grundwertes ergeben. Prozentsatz Grundwert Prozentwert z. B. von v 75 % 500 cm2 375 cm2 Teil Beispiel: Werkstückrohling 250 kg (Grundwert); Abbrand 2 % (Prozentsatz); Abbrand in kg = ? (Prozentwert) Gw · Ps 250 kg · 2 % Pw = = = 5 kg 100 % 100 % F K S TMB 005-028 M 2014_TMB 2011 24.06.14 08:21 Seite 14 14 Mathematische Grundlagen Schlussrechnung, Mischungsrechnung Dreisatz für direkt proportionale Verhältnisse M Stück Beispiel: 80 ... 1 Satz: Vorgabe 40 2. Satz: Berechnung der Einheit: Durch Dividieren 60 Rohrkrümmer wiegen 330 kg 330 kg 1 Rohrkrümmer wiegt 60 20 0 N 60 Rohrkrümmer wiegen 330 kg. Wie groß ist die Masse von 35 Rohrkrümmern? 0 100 200 300 kg Gewicht Berechnung der Mehrheit: Durch Multiplizieren 3. Satz: 330 kg · 35 35 Rohrkrümmer wiegen = 192,5 kg 60 Dreisatz für indirekt proportionale Verhältnisse Beispiel: A Stunden 200 h 150 100 3 Arbeiter erledigen einen Auftrag in 170 Stunden. Wie viele Stunden benötigen 12 Arbeiter für den gleichen Auftrag? 1 Satz: Vorgabe 2. Satz: Berechnung der Einheit: Durch Dividieren 50 3 Arbeiter benötigen 170 Stunden 1 Arbeiter benötigt 3 · 170 h 0 0 W 2 4 6 8 10 ... 14 Arbeiter Berechnung der Mehrheit: Durch Multiplizieren 3. Satz: 3 · 170 h 12 Arbeiter benötigen = 42,5 h 12 Dreisatz mit mehrgliedrigen Verhältnissen 1. Dreisatz: 5 Maschinen fertigen 660 Werkstücke in 24 Tagen 1 Maschine fertigt 660 Werkstücke in 24 · 5 Tagen Beispiel: B 660 Werkstücke werden durch 5 Maschinen in 24 Tagen hergestellt. In welcher Zeit können 312 Werkstücke gleicher Art von 9 Maschinen angefertigt werden? F 24 · 5 9 Maschinen fertigen 660 Werkstücke in Tagen 9 24 · 5 2. Dreisatz: 9 Maschinen fertigen 660 Werkstücke in Tagen 9 24 · 5 9 Maschinen fertigen 1 Werkstück in Tagen 9 · 6 60 24 · 5 · 312 9 Maschinen fertigen 312 Werkstücke in 9 · 660 = 6,3 Tagen Mischungsrechnung m1, m2 T1, T2 c1, c2 m1; T1; c1 m2;T2; c2 K S TM Teilmassen Temperatur der Mischung Temperaturen der c 1 · m 1 · T 1 + c 2 · m 2 · T2 Teilmassen in K TM = c1 · m 1 + c 2 · m 2 spez. Wärmekapazitäten1) der Teilmassen Temperatur der Mischung Beispiel: Ein Stahlbehälter mit m1 = 6 kg und T1 = 293 K wird mit m2 = 24 î Wasser von T2 = 318 K vollständig gefüllt. Welche Temperatur TM stellt sich ein? c 1 · m 1 · T 1 + c 2 · m 2 · T2 TM = = c1 · m 1 + c 2 · m 2 m1 + m2 TM kJ kJ 0,49 · 6 kg · 293 K + 4,18 · 24 kg · 318 K kg · K kg · K = = 317,29 K kJ kJ ≠ 44,29 °C 0,49 · 6 kg + 4,18 · 24 kg kg · K kg · K 1) Spezifische Wärmekapazität Seite 160 und Seite 161 TMB 005-028 M 2014_TMB 2011 24.06.14 08:21 Seite 15 Winkel, Strahlensatz 15 Winkelarten Nebenwinkel Stufenwinkel Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°. 180° Stufenwinkel sind gleich groß. b b a a å + ∫ = 180° M å=∫ N Scheitelwinkel Wechselwinkel Scheitelwinkel sind gleich groß. b Wechselwinkel sind gleich groß. a d d ∫=∂ å=∂ A Winkelsumme im Dreieck g a a d b In jedem Dreieck ist die Summe der Innenwinkel gleich 180°. å + ∫ + © = 180° Im rechtwinkligen Dreieck ist © = 90°, die Winkel å und ∫ ergänzen sich zu 90°. å + ∫ + ∂ = 180° B Strahlensatz c1 C1 C a a1 c A B b B1 Werden zwei von einem Punkt ausgehende Strahlen von zwei Parallelen geschnitten, bilden die Abschnitte der Parallelen und die zugehörigen Strahlenabschnitte gleiche Verhältnisse. W a b c = = a1 b1 c1 a a1 = b b1 b b1 = c c1 F b1 Zehnerpotenzen Schreibweise als Schreibweise als Zehnerpotenz EinheitenVorsatz 1 000 000 106 Mega (M) 100 000 105 – 10 000 104 0,01 10–2 Centi (c) 1 000 103 Kilo (k) 0,001 10–3 Milli (c) 100 102 Hekto (h) 0,000 1 10–4 – 10 1 10 Deka (da) 0,000 01 10–5 – 1 100 – 0,000 001 10–6 Mikro (µ) Ziffer – Ziffer Zehnerpotenz EinheitenVorsatz 1 100 – 0,1 10–1 Deci (d) K S TMB 005-028 M 2014_TMB 2011 24.06.14 08:21 Seite 16 16 Winkel Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck Bezeichnungen im rechtwinkligen Dreieck M Sinus Gegenkathete = Hypotenuse a sin å = c b sin ∫ = c Kosinus Ankathete = Hypotenuse b cos å = c a cos ∫ = c Tangens Gegenkathete = Ankathete a tan å = b b tan ∫ = a Ankathete Kotangens = Gegenkathete b cot å = a a cot ∫ = b c Hypotenuse N c Hypotenuse A a Gegenkathete von a a b Ankathete von a b Anwendung für å ∫ Bezeichnungen der Seitenverhältnisse a Ankathete von b b Gegenkathete von b Funktionswerte für ausgewählte Winkel 0° W B 30 ° 45 ° 1 /2 · ;2 = 0,7071 /2 = 0,5000 1 /2 · ;3 = 0,8660 1 sin 0 cos 1 1 tan 0 1 cot ∞ 60 ° 90 ° /2 · ;3 = 0,8660 1 1 ;3 = 1,7321 1 270 ° 360 ° 1 0 –1 0 1 /2 = 0,5000 0 –1 0 1 ;3 = 1,7321 ∞ 0 ∞ 0 /3 · ;3 = 0,5774 0 ∞ 0 ∞ /2 · ;2 = 0,7071 /3 · ;3 = 0,5774 180 ° 1 Winkelfunktionen im schiefwinkligen Dreieck Sinussatz C a : b : c = sin å : sin ∫ : sin © c a b = = sin © sin å sin ∫ g a b F Kosinussatz a A b 2 a = b + c 2 – 2 b · c · cos å B c 2 b 2 = c 2 + a 2 – 2 c · a · cos ∫ c 2 = a 2 + b 2 – 2 a · b · cos © K S Anwendungen des Sinus- und Kosinussatzes Seitenberechnung Winkelberechnung Flächenberechnung c · sin å b · sin å a= = sin ∫ sin © a · sin © a · sin ∫ sin å = = b c b +c –a cos å = 2·b·c a · b · sin © A= 2 c · sin ∫ a · sin ∫ b= = sin å sin © b · sin © b · sin å sin ∫ = = a c a2 + c2 – b2 cos ∫ = 2·a·c b · c · sin å A= 2 b · sin © a · sin © c= = sin å sin ∫ a · sin ∫ c · sin å sin © = = a b a2 + b2 – c2 cos © = 2·a·b a · c · sin ∫ A= 2 2 2 2 TMB 005-028 M 2014_TMB 2011 24.06.14 08:21 Seite 17 Längen 17 Gestreckte Längen D Außendurchmesser d Innendurchmesser dm mittlerer Durchmesser s Dicke § gestreckte Länge §1, §2 Teillänge L zusammengesetzte Länge Siehe auch Seite 293 ff. Kreisringausschnitt s ö a d dm D Beispiel: Zusammengesetzte Länge s D dm d ö2 Zusammengesetzte Länge (Bild links) D = 360 mm; s = 5 mm; å = 270°; §2 = 70 mm; dm = ?; L = ? dm = D – s = 360 mm – 5 mm = 355 mm π · dm · å L = §1 + §2 = + §2 360° a π · 355 mm · 270° = + 70 mm = 906,45 mm 360° ö1 Gestreckte Länge beim Kreisring § = π · dm M Gestreckte Länge beim Kreisringausschnitt π · dm · å § = 360° Mittlerer Durchmesser N dm = D – s dm = d + s Zusammengesetzte Längen L = §1 + §2 + … A Rohlängen von Schmiede- und Pressstücken Beim Umformen ohne Abbrand ist das Volumen des Rohteiles gleich dem Volumen des Fertigteiles. Tritt Abbrand oder eine Gratbildung auf, so wird dies durch einen Zuschlag zum Volumen des Fertigteiles berücksichtigt. Volumen ohne Abbrand V1 A1 V1 Volumen des Rohteiles V2 Volumen des Fertigteiles q Zuschlagsfaktor für Abbrand oder Gratverluste A1 Querschnittsfläche des Rohteiles A2 Querschnittsfläche des Fertigteiles §1 Ausgangslänge der Zugabe §2 Länge des angeschmiedeten Teiles Siehe auch Seite 302. A2 V2 Abbrand Beispiel: V1 = V2 Volumen mit Abbrand V1 = V2 + q · V2 V1 = V2 · (1 + q) A1 · §1 = A2 · §2 · (1 + q) Wie groß muss die Ausgangslänge §1 der Schmiedezugabe sein, wenn an einem Flachstahl 50 mm x 30 mm ein zylindrischer Zapfen mit d = 24 mm und §2 = 60 mm abgesetzt werden soll? Der Verlust durch Abbrand beträgt 10%. V1 = V2 · (1 + q) A1 · §1 = A2 · §2 · (1 + q) Randabstand = Teilung p a p p b ö Randabstand = Teilung p p p F p § n p a, b Gesamtlänge Anzahl der Bohrungen, Sägeschnitte Teilung Randabstand Teilung § – (a + b) p = n–1 Beispiel: § = 1950 mm; a = 100 mm; b = 50 mm; n = 25 Bohrungen; § = p (n – 1) + (a + b) p = ? § – (a + b) 1950 mm – 150 mm = 75 mm p = = n–1 25 – 1 § n p z Gesamtlänge Anzahl der Bohrungen, Sägeschnitte, … Teilung Anzahl der Teile Beispiel: § = 2 m; n = 24 Bohrungen; p = ? ö B π · (24 mm)2 · 60 mm · (1 + 0,1) A2 · §2 · (1 + q) §1 = = = 20 mm 4 · 50 mm · 30 mm A1 Teilung von Längen, Randabstände p W § n+1 200 cm 24 + 1 p = = = 80 mm K Teilung § p = n+1 Anzahl der Teile z=n+1 S TMB 005-028 M 2014_TMB 2011 24.06.14 08:21 Seite 18 18 Flächen Geradlinig begrenzte einfache Flächen Quadrat A Fläche § Seitenlänge e M ö Fläche A = §2 Eckenmaß e = y 2·§ Raute (Rhombus) A Fläche § Seitenlänge b ö A Eckenmaß Beispiel: § = 14 mm; A = ?; e = ? A = §2 = (14 mm)2 = 196 mm2 e = y2 · § = y2 · 14 mm = 19,8 mm ö N e ö b Breite Fläche A=§·b Beispiel: § = 9 mm; b = 8,5 mm; A = ? A = § · b = 9 mm · 8,5 mm = 76,5 mm2 Rechteck A Fläche § Länge b e W b Breite e Eckenmaß Beispiel: § = 12 mm; b = 11 mm; A = ?; e = ? A = § · b = 12 mm · 11 mm = 132 mm2 2 m) e = y §2 + b2 = ym) (12 m + (11 m2 ö Fläche A=§·b Eckenmaß e = y §2 + b2 = ym 265 m2 = 16,28 mm Parallelogramm (Rhomboid) A Fläche § b B ö b Breite Fläche Länge A=§·b Beispiel: § = 36 mm; b = 15 mm; A = ? A = § · b = 36 mm · 15 mm = 540 mm2 Trapez F A Fläche §1 große Länge §2 kleine Länge b ö2 öm K §m mittlere Länge b Breite Beispiel: §1 = 23 mm; §2 = 20 mm; A = ? b = 17 mm; §1 + §2 23 mm + 20 mm A = · b = · 17 mm 2 2 = 365,5 mm2 ö1 Fläche §1 + §2 A= ·b 2 Mittlere Länge §1 + §2 §m = 2 Dreieck b A Fläche § Seitenlänge S ö b Breite Beispiel: §1 = 62 mm; b = 29 mm; Fläche § · b A= 2 A = ? §·b 62 mm · 29 mm A = = = 899 mm2 2 2 TMB 005-028 M 2014_TMB 2011 24.06.14 08:21 Seite 19 Flächen 19 Lehrsatz des Pythagoras Im rechtwinkligen Dreieck ist das Hypotenusenquadrat flächengleich der Summe der beiden Kathetenquadrate. C a2 b2 b a Kathete b Kathete c a A Hypothenusenquadrat c2 = a2 + b2 c Hypotenuse Hypothenuse 1. Beispiel: c = 35 mm; a = 21 mm; b = ? B c = y a 2 + b 2 b = y c2 – a2 = y (35 m m)2 – (21 m m)2 = 28 mm c2 M 2. Beispiel: a = 9 mm; b = 12 mm; Katheten a = y c 2 – b2 c=? N b = y c 2 – a2 c = y a2 + b2 = y (9 mm )2 + (1 2 mm )2 = 15 mm Lehrsatz des Euklid (Kathetensatz) Das Quadrat über einer Kathete ist flächengleich einem Rechteck aus der Hypotenuse und dem anliegenden Hypotenusenabschnitt. a2 b2 q p Beispiel: Ein Rechteck mit c = 6 cm und p = 3 cm soll in ein flächengleiches Quadrat verwandelt werden. Wie groß ist die Quadratseite a ? c c ·p c ·q Kathetenquadrat b2 = c · q a, b Kathete p, q Hypotenusenabschnitt c Hypotenuse a b A Kathetenquadrat a2 = c · p W a2 = c · p a = yc · p = y 6 cm · 3 cm = 4,24 cm Höhensatz h2 h h Höhe q p, q Hypotenusenabschnitt Beispiel: Rechtwinkliges Dreieck p = 6 cm; q = 2 cm; h = ? p p ·q B Das Quadrat über der Höhe h ist flächengleich dem Rechteck aus den Hypotenusenabschnitten p und q. p Höhenquadrat h2 = p · q F h2 = p · q h = yp · q = y 6 cm · 2 cm = y 12 cm2 = 3,46 cm Gleichseitiges Dreieck d h 60° ö 2 ö D A h d D § Fläche Höhe Inkreisdurchmesser Umkreisdurchmesser Seitenlänge Beispiel: § = 42 cm; A = ?; h = ? Umkreisdurchmesser D = 2 · y 3·§=2·d 3 Fläche A = 1 · y 3 · §2 4 Inkreisdurchmesser Dreieckshöhe d = 1 · y 3 · § = D 3 2 h = 1 · y 3·§ 2 A = 1 · y 3 · §2 4 = 1 · y 3 · (42 mm)2 = 763,9 mm2 4 K S TMB 005-028 M 2014_TMB 2011 24.06.14 08:21 Seite 20 20 Flächen Regelmäßiges Vieleck A § D d n å ∫ M ö Inkreisdurchmesser d = y D2 – §2 Umkreisdurchmesser D = y d2 + §2 Beispiel: Sechseck mit D = 80 mm § = ?; d = ?; A = ? 180° = 80 mm · sin 180° § = D · sin d n dn n 6 = 40 mm a N Fläche Seitenlänge Umkreisdurchmesser Inkreisdurchmesser Eckenzahl Mittelpunktswinkel Eckenwinkel D d b d = y D 2 – §2 = y 6 400 mm2 – 1 600 mm2 Vielecksfläche n·§·d A = 4 Seitenlänge 180° § = D · sin n Mittelpunktswinkel 360° å= n Eckenwinkel = 69,282 mm A n · § · d = 6 · 40 mm · 69,282 mm A = 4 4 = 4 156,92 mm2 ∫ = 180° – å Unregelmäßiges Vieleck A Gesamtfläche A1, A2 Teilfläche W b2 ö2 A2 B b1 A1 ö1 §1, §2 Länge b1, b2 Breite Beispiel: §1 = 80 mm; §2 = 80 mm; b2 = 30 mm A1 = ?; A2 = ?; A = ? Gesamtfläche A = A1 + A2 + … b1 = 40 mm; §1 · b1 80 mm · 40 mm A1 = = = 1 600 mm2 2 2 §2 · b2 80 mm · 30 mm A2 = = = 1 200 mm2 2 2 A = A1 + A2 = 1600 mm2 + 1200 mm2 = 2800 mm2 Kreis A U d F Beispiel: d = 60 mm; d Fläche Fläche Umfang Durchmesser π·d A= 2 4 A = ?; U = ? Umfang π · d2 = π · (60 mm)2 = 2 827 mm2 A = 4 4 U=π·d U = π · d = π · 60 mm = 188,5 mm K Kreisring b D d A dm D d Fläche b mittlerer Durchmesser Außendurchmesser Innendurchmesser Breite Beispiel: D = 160 mm; d = 125 mm; A = ? S dm A = π · (D2 – d2) 4 = π · (1602 mm2 – 1252 mm2) = 7 834 mm2 4 Fläche A = π · dm · b A = π · (D2 – d2) 4