Risikomanagement I

Risikomanagement I
- Vorlesung im WS 2007/2008 -
Prof. Dr. Rainer Elschen
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Inhaltsübersicht
h l
b
h
1. Überblick Finanzierungsforschung
2. Risikobegriffe
3. Wertpapierbewertung
3.1
3
1
3.2
3.3
3
3.4
3.5
3.6
3.7
Portfoliotheorie
CAPM
Empirische Tests
CAPM-Erweiterungen
C
Faktorenmodell von Fama/French
Modigliani-Miller - Arbitragegedanken und Unternehmenswert
APT von Ross
4. Management von Wertpapierportfolios
4.1
4
1 Performancemessung auf Basis des CAPM
4.2 Varianz-Dekomposition und Index Tracking
4.3 Wertpapiermanagement und Shortfall-Risiko
Prof. Dr. Rainer Elschen
-2-
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Inhaltsübersicht
h l
b
h
5. Derivatetheorie
5.1
Fundamentale Bewertungsansätze
5.2
Forwards und Futures
53
5.3
Bewertung unbedingter Terminkontrakte
5.4
Allgemeine Fair Value Bewertung Futures
5.5
Basisrisiko und Basishedging
5.6
Hedging mit Indexfutures
5.7
Optionen
5.8
p
g
Optionsstategien
5.9
Optionsbewertung
5.10 Delta- und Gammahedging
5 11 Impliziter Informationsgehalt aus Optionen
5.11
5.12 Stochastische Volatilität und Mean Reversion
Prof. Dr. Rainer Elschen
-3-
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Literaturübersicht
b
h (vorläufige
(
l f
Auswahl)
hl)
•
Black,
Bl
k Fischer:
Fi h
Capital
C it l M
Market
k tE
Equilibrium
ilib i
with
ith R
Restricted
t i t dB
Borrowing
i
JJournall off B
Business,
i
1972 , 45 , 444-455.
•
Black, Fischer and Scholes, Myron: The Pricing of Options and Corporate Liabilities Journal of
Political Economy, 1973, 81 , 637-654.
•
Breeden, Douglas T.: An Intertemporal Asset Pricing Model with Stochastic Consumption and
investment opportunities, Journal of financial economics, 1979, 7, s. 265-296.
•
Breeden, Douglas T. and Litzenberger, Robert H.: Prices of State-contingent Claims Implicit
in Option Prices Journal of Business,
Business 1978 , 51 , 621-651.
621 651
•
Breuer, Wolfgang/ Gürtler, Marc/ Schumacher, Frank: Portfoliomanagement, 1999.
•
Breuer, Wolfgang: Investition II: Entscheidungen bei Unsicherheit, 2. Aufl.,2002.
•
Cox, JJohn
C
h C.and
C
dR
Ross, St
Stephen
h
A
A. and
d Rubinstein:
R bi t i Mark
M k Option
O ti
Pricing:
P i i
A Simplified
Si
lifi d
Approach Journal of Financial Economics, 1979 , 7 , 229-263.
•
Fama, Eugene F. Efficient Capital Markets: II The Journal of Finance, 1991 , 46 , 1575-1617.
•
Haugen Robert: Modern Investment Theory
Haugen,
Theory, 5.
5 Aufl.
Aufl 2001.
2001
•
Haugen, Robert: The New Finance – The Case Against Efficient Markets, 2. Aufl., 1999.
•
Hull, John: Options, Futures and other Derivatives, 4. Aufl., 2000.
•
Hull John: Options
Hull,
Options, Futures and other Derivatives
Derivatives, 5
5. Aufl
Aufl., 2003.
2003
Prof. Dr. Rainer Elschen
-4-
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Literaturübersicht
b
h (vorläufige
(
l f
Auswahl)
hl)
•
Jensen, Michael C.: Risk, the Pricing of Capital Assets, and the Evaluation of Investment
Portfolios, Journal of Business, 42. Jg., 1969, S. 167
167-185.
185.
•
Jensen, Michael C.: The Performance of Mutual Funds in the Period 1945-1964, Journal of
Finance, 23. Jg., 1968, S. 389-416.
•
Kataoka, Shinji: A Stochastic Programming Model, Econometrica, 31 Jg., 1963, S. 181-196.
•
Kahneman, Daniel and Tverski, Amos Prospect Theory: An Analysis of Decisions under Risk
Econometrica, 1979 , 47 , 263-292.
•
Lintner, John: The Valuation of Risk Assets and the Selection of Risky Investments in Stock
Portfolios and Capital Budgets,
Budgets Review of Economics and Statistics 47
47. Jg.
Jg 1965 S.
S 13-37.
13 37
•
Loistl, Otto: Kapitalmarkttheorie, 3.Aufl., 1994.
•
Lucas, Robert E. Jr. Asset Prices in an Exchange Economy Econometrica, 1978 , 46 , 14291446.
•
Markowitz, Harry M.: Portfolio Selection, Journal of Finance, 1952, S. 77-91.
•
Mehra, R. and Prescott, E. C.: The Equity Premium - A Puzzle Journal of Monetary
Economics, 1985 , 15 , 145-161.
•
Merton, Robert C.: An Intertemporal Asset Pricing Model, Econometrica, 41. Jg., 1973, S.
867-887.
•
Modigliani, Franco/ Modigliani, Leah: Risk-Adjusted Performance, Journal of PorfolioManagement o.
Management,
o Jg.,
Jg 1997,
1997 S.
S 45-54.
45 54
Prof. Dr. Rainer Elschen
-5-
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Literaturübersicht
b
h (vorläufige
(
l f
Auswahl)
hl)
•
Mossin, Jan:Mossin, Jan: Equilibrium in a Capital Asset Market; Econometrica, 34. Jg., 1966,
S 768-783.
S.
768-783
•
Perridon, Louis/ Steiner, Manfred: Finanzwirtschaft der Unternehmung, 11.- Aufl., 2002.
•
Roll, Richard R.: A Critique of the Asset Pricing Theory´s Tests: Part I: On Past and Potential
Testability of the Theory
Theory, Journal of Financial Economics,
Economics 4.
4 Jg.,
Jg 1977,
1977 S.
S 129-176.
129-176
•
Roll, Richard W.: A possible Explanation of the small firm effect, Journal of Finance, 1981,
S. 879-888.
•
Ross, Stephen A.:
Ross
A : The Arbitrage Theory of Capital Asset Pricing
Pricing, Journal of Economic Theory
Theory,
1976, S. 341-360.
•
Roy, Andrew D.: Safety First and the Holding of Assets, Econometrica, 1952, S. 431-439.
•
Rubinstein Mark: Implied Binomial Trees Journal of Finance JOF
Rubinstein,
JOF, 1994 , 49 , 771-818.
771-818
•
Sharpe, William F.: Capital Asset Prices : A Theory of Market Equilibrium under Conditions of
Risk, Journal of Finance, 19. Jg., 1964, S. 425-442.
•
Sharpe William F
Sharpe,
F.:: Mutual Fund Performance; Journal of Business
Business, 39.
39 Jg.,
Jg 1966,
1966 S.119
S 119-138
138.
•
Steiner, Manfred/ Bruns, Christoph: Wertpapiermanagement, 7. Aufl. 2000.
•
Treynor, Jack L.: How to Rate Management of Investment Fonds; Harvard Business Review,
43 Jg.,
43.
Jg 1965
1965, S.
S 63
63-75
75.
Prof. Dr. Rainer Elschen
-6-
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Risikomanagement I
- Vorlesung 1 -
Prof. Dr. Rainer Elschen
Prof. Dr. Rainer Elschen
-7-
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
1 Überblick Finanzierungsforschung
1.
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-8-
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Finanzwirtschaftliche
h f l h Forschungsfelder
h
f ld
•
Klassische Finanzierungslehre
•
Formenlehre
•
Projektorientierter Ansatz
•
Fi
Finanzplanung
l
•
Finanzanalyse
•
g
Neoklassische Finanzierungslehre
•
Kapitaltheorie
•
Finanzchemie
•
Einwertige Ansätze unter Sicherheit
•
Neoinstitutionalismus
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-9-
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
G
Gegenstand
dd
der Finanzierungsforschung
f
h
(B)
Kapitalgeber
(A)
Kapitalnehmer
(A)
Steuern
Informationskosten
Transaktionskosten (Bank-,
Börsen-, Kontraktgebühren)
Börsen
(C)
Marktzusammenhang
Opportunitätskosten (durch weniger
zukünftige Handlungsmöglichkeiten)
Literaturhinweis: Perridon/Steiner, S. 16ff.
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- 10 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Neoklassik
kl
k als
l Ausgangspunkt
k d
der Kapitalmarkttheorie
l
k h
Annahme eines vollständigen und vollkommenen Kapitalmarktes
•
Löst das Problem präferenzabhängiger Bewertung
•
Ermöglicht getrennte Betrachtung von Investitions- und
g
g
Finanzierungsentscheidungen
¾ („FISHER - SEPARATION“ )
Entwickelte Theorien:
(1) Irrelevanzthesen von MODIGLIANI / MILLER
(2) Portfoliotheorie von MARKOWITZ
(3) CAPM von SHARPE / LINTNER / MOSSIN
(4) APT von ROSS
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- 11 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Untersuchungszielsetzungen
h
l
d
der Kapitalmarkttheorie
l
k h
Kapitalmarkttheorie
erklärende
Gleichgewichtstheorie
gestaltende
Kapitalkostentheorie
Interpretation als
Sekundärmarkt- oder
Tauschmodell
Interpretation als
Primärmarkt- oder
Finanzierungsmodell
Ableitung von
Gleichgewichtskursen und
Gleichgewichtsrenditen
bei Unsicherheit
Ableitung von
Kapitalkostensätzen und
Kalkulationszinsfüßen bei
Unsicherheit
Quelle: Perridon/Steiner, S. 257
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- 12 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Neoinstitutionalistische
l
h Finanzierungstheorie
h
Ausgangsfrage:
Warum Institutionen (z.B. Banken) trotz der entstehenden Kosten?
U sachen
Ursachen:
Marktunvollkommenheit, vor allem Informationsasymmetrie
Folgen:
•
Moral Hazard – Probleme
•
Gefahr der Adverse Selection
•
Bildung von Institutionen zur Verringerung der
y
Informationsasymmetrie
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- 13 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
2 Risikobegriffe
2.
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 14 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
G
Grundlagen
dl
d
des Risikomanagements
k
Risiko i.w.Sinn
Risiko i.e.Sinn
Ungewissheit
Mischformen
Risikobewertung
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- 15 -
Risiko
oidentifikation
Risik
kosteuerrung
& Kontrollle
Risikopolitik
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Entscheidung
h d
unter Risiko
k
Entscheidungsprinzip
(Regelung, welche Parameter in die Entscheidung einfließen)
Bayes - Prinzip
Bernoulli - Prinzip
• Ausschließliche
Orientierung
am
erwarteten
Ertrag
einer
Handlungsalternative
• Entscheidungsregel:
Wahl der Alternative mit dem
höchsten erwarteten Ertrag
• Einbezug von erwartetem Ertrag
und damit verbundenem Risiko
• Entscheidungsregel:
Wahl der Alternative, die den
höchsten
erwarteten
Nutzen
[Erwartungsnutzen] stiftet
⇒ Minimalanforderung: subjektive Zustandswahrscheinlichkeiten für zukünftige,
unsichere
h
Umweltlagen
ll
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- 16 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Bernoulli
ll - Prinzip
Für jeden Entscheidungsträger existiert eine Nutzenfunktion, durch die alle
möglichen Aktionen,
Aktionen die durch erwarteten Ertrag und Risiko charakterisiert
werden, in eine eindeutige Rangfolge gebracht werden können
ª Steigendes Vermögen geht mit höherem Nutzen einher (Streng monoton
wachsende Nutzenfunktion bzw. Nichtsättigungspostulat)
ª Alle zukünftig möglichen Vermögensbeträge [W] sind in Nutzen-funktionen
abbildbar (Stetigkeitsprinzip)
ª Die Risikoeinstellung bestimmt, welcher Nutzenzuwachs mit zusätzlichen
Ertragschancen empfunden wird.
wird Demnach haben
ª Risikoaverse Entscheider
U ′′(W)
eine konkave Nutzenfunktion
r Ŵ = −
> 0 U(W)
( )
U ′(W)
ª Risikofreudige Entscheider
eine konvexe Nutzenfunktion
U ′′(W)
r Ŵ = −
< 0 U(W)
U ′(W)
ª Risikoneutrale Entscheider
eine lineare Nutzenfunktion
U ′′(W)
r Ŵ = −
=0
U(W)
′
U (W)
( )
W
( )
W
W
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- 17 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Risikoaversion
k
im Bernoulli
ll - Prinzip
Nutze
en
Nutzenfunktion U(W)
[ ( )]
~
E[U(W )]
~
E U WA
B
SÄ: A
SÄ B
SÄ:
W1B
W1A
identischer Erwartungswert
bei A und B
~
E[W]
W2A
W2B
Ertrag W
Grundmodell eines „rationalen“
Investors
rel. risikoarme Handlung:A
rel. risikoreiche Handlung: B
Prof. Dr. Rainer Elschen
• Der
Erwartungsnutzen
der
risikoarmen Alternative A stiftet
einen größeren Erwartungsnutzen
als die risikoreiche Alternative B
• Entsprechend
ist
die
sichere
Zahlung, die der risikobehafteten
Alternative als gleichwertig eingestuft
t ft wird
i d [Sicherheitsäquivalent
[Si h h it ä i l t
SÄ], bei B geringer als bei A
• Somit
ist
die
geforderte
Risikoprämie (E[W]
(E[W]- SÄ) bei
risikoreicheren Handlungen größer
- 18 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
identischer
Erwartungswert
bei A und B
N
Nutzenfun
nktion U(W
W)
Nutze
en
Risikopräferenz
k
f
im Bernoulli
ll - Prinzip
SÄ: B
SÄ: A
[ ( )]
[ ( )]
~
E U WB
~
E U WA
Ertrag W
W1B
W1A
~
E[W]
W2A W2B
rel. risikoarme Handlung:A
Grundmodell eines spekulativen
Investors
rel. risikoreiche Handlung: B
Prof. Dr. Rainer Elschen
• Der Erwartungsnutzen der
risikoarmen Alternative A stiftet
einen geringeren Erwartungsnutzen
als die risikoreiche Alternative B
• Entsprechend ist die sichere
Zahlung, die der risikobehafteten
Alternative als gleichwertig eingestuft
t ft wird
i d [Si
[Sicherheitsäquivalent
h h it ä i l t
SÄ], bei B höher als bei A
• Somit ist die geforderte
Risikoprämie (E[W]
(E[W]- SÄ) negativ,
negativ
der Betrag wächst mit steigendem
Risiko
- 19 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Nutze
en
Risikoneutralität
k
l
im Bernoulli
ll - Prinzip
[ ( )] [ ( )]
~
~
E U W A = E U WB
identischer
Erwartungswert
bei A und B
SÄ
• Die Erwartungsnutzen der
Alternativen A und B werden
gleich hoch empfunden
• Entsprechend gleicht das
Sicherheitsäquivalent [SÄ] dem
Erwartungswert zukünftiger
Erträge
• Die Risikoprämie beträgt = 0
• Lediglich Berücksichtigung des
Erwartungswertes
Ertrag W
W1B
W1A
~
E[W]
W2A W2B
rel. risikoarme Handlung:A
Übereinstimmung mit
BAYES - Prinzip
rel. risikoreiche Handlung: B
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 20 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Risikopräferenzfunktionen
k
f
f k
⇒ Die Risikopräferenzfunktion transferiert den Risikonutzen in Abhängigkeit von
erwartetem
t t
E t
Ertrag
μ und
d erwartetem
t t
Ri ik σ
Risiko
⇒ Die Menge aller μ/σ-Kombinationen, die den gleichen Nutzen stiften, lassen sich
in Isonutzenfunktionen zusammenfassen
μ
μ
μ
Steigender
Nutzenindex
Steigender
Nutzenindex
Risikoaversion
Prof. Dr. Rainer Elschen
Steigender
Nutzenindex
Steigender
Nutzenindex
σ
Risikoneutralität
- 21 -
σ
Risikopräferenz
σ
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Risikobegriffe – symmetrische Risikobegriffe
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 22 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Markowitz
k
(1952,
( 9 2 1957):
9 ) Renditestreuung
d
•
Standardabweichung als Risikomaß
(
(mathematisch-technische
th
ti h t h i h D
Definition)
fi iti )
•
Kritisch:
Sowohl Abweichungen vom Erwartungswert nach oben als auch Abweichungen
n h unten
nach
nten gehen in das
d Risikomaß
Ri ikom ß ein
(symmetrische Definition)
•
Risikodefinition durch „Schwankungsempfinden“:
Die Nutzen einbußen bei negativen Abweichungen dominieren die Nutzenvorteile
durch positive Abweichungen
•
Saldo: Nutzennachteile durch Schwankung
•
Bei symmetrischen Verteilungen ist Semivarianz proportional zu Varianz und
Standardabweichung
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 23 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Markowitz
k
(1952,
( 9 2 1957):
9 ) Renditestreuung
d
•
Symmetrische Verteilungen werden vollständig durch zwei Parameter
(E
(Erwartungswert;
t
t Standardabweichung)
St d d b i h
)b
beschrieben
h i b
μ=
n
∑ ri ⋅ wi
WSK-Diichte
i=1
2
σ =
∑ (ri − μ)2 ⋅ wi
i=1
σ
μ- σ
Prof. Dr. Rainer Elschen
n
σ
⇒ σ = σ2
μ μ+σ
- 24 -
Renditeausprägungen
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Risikobegriffe – asymmetrische Risikobegriffe
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 25 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Ausfallrisiko
f ll k im Portfoliomanagement
f l
Roy (1952):
•
Risiko als Wahrscheinlichkeit von Verlusten (bei gebundenem Vermögen)
•
Verfehlung einer Zielrendite/Zielvorgabe: SHORT-FALL (Desaster)
Vorgabe
g
((Mindest-/Zielrendite)
/
) ist die Rendite,, die ein Investor lediglich
g
mit
marginaler Wahrscheinlichkeit α hinzunehmen bereit ist
(NICHT: geringst mögliche Portfoliorendite!)
•
g einer „„Safety-First“
y
Strategie:
g
Ableitung
Zu gegebener Mindestrendite wird das Portfolio gewählt, das die geringste
Verlustwahrscheinlichkeit aufweist
Alternative Formulierung durch Kataoka (1963):
•
Nach Spezifikation einer Verlustwahrscheinlichkeit ist das Portfolio zu wählen,
das die maximale Mindestrendite aufweist
aufweist, das nur bei gegebener
Wahrscheinlichkeit unterschritten wird
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 26 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Ausfallrisiko:
f ll k Implikationen
lk
d
des Value
l
at Risk
k ((VAR))
• X sei eine normalverteilte Zufallsvariable der Renditeausprägung eines Portfolios
b
bzw.
eines
i
W
Wertpapiers
t
i
mit
it x : → N(μ = 10,2
10 2 % ; σ = 20,6
20 6 %)
⇒ z =
x -μ
x − 0,102
=
σ
0,206
0
206
Standardnormalverteilt mit z : → N(0;1)
Wahrscheinlichkeit, dass eine Zielrendite von 0%
unterschritten wird ist g
gegeben
g
durch:
⎛ 0 − 0 ,102 ⎞
⇒ P(x ≤ 0) = N⎜
⎟ = N ( − 0 , 495 )
⎠
⎝ 0 ,206
WSK-Dichte
= 1 − N ( 0 , 495 ) = 1 − 0 ,689 = 0 ,311
Mindestrendite, die mit
Wahrscheinlichkeit α
nicht unterschritten wird
( Wahrscheinlichkeit für eine negative
Rendite beträgt α = 31,1% )
1- α
x
Prof. Dr. Rainer Elschen
μX
Renditeausprägungen
- 27 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Risikomanagement I
- Vorlesung 2 -
Prof. Dr. Rainer Elschen
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 28 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
3 Wertpapierbewertung
3.
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 29 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
3 1 Portfolio Theorie
3.1
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 30 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Portfolio
f l – Selection-Theory
S l
h
•
Von Harry M. Markowitz [1952, 1957] entwickeltes Modell zur Erklärung und
Gestaltung der Portefeuillebildung auf der Grundlage der Wertpapiermischung.
•
Explizite Abbildung der Substitutionsbeziehung von Risiko und Rendite einer
Kapitalanlage
•
Grundlage sind durch Rationalität gekennzeichnete Investoren [charakterisiert
durch Risikoaversion: Bernoulli-Prinzip der Erwartungsnutzenmaximierung]
•
Wenn sich der Erwartungsnutzen vollständig durch Erwartungswert und Streuung
beschreiben läßt, präferieren Investoren Vermögensverteilungen mit höherem
erwarteten Endvermögen und geringerer Streuung:
risiko-/renditeeffiziente Portefeuilles
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 31 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Risiko-Ertrags-Kombinationen
k
b
b
bei Wertpapiermischung
h
•
erwartete Rendite des Wertpapiers A:
μA =
•
∑ ri ⋅ wi
i=1
Risiko des Wertpapiers A
(Varianz der Renditeerwartung bzw. deren Standardabweichung):
σ 2A
•
n
=
n
∑ (ri − μ A )
i=1
2
⋅ wi
⇒ σ A = σ2A
Erwartete Rendite aus dem Portfolio zweier Wertpapiere:
μP = x A ⋅ μ A + xB ⋅ μB
allgemein:
Prof. Dr. Rainer Elschen
μP =
n
∑ xi ⋅ μi
i=1
mit
n
∑ xi
i=1
- 32 -
=1
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Portfoliorisiko
f l
k (Varianz
(
der
d Renditeerwartung)
d
)
σP2 = x2A ⋅ σ2A + xB2 ⋅ σB2 + 2 ⋅ x A ⋅ xB ⋅ cov AB
= x2A ⋅ σ2A + xB2 ⋅ σB2 + 2 ⋅ x A ⋅ xB ⋅ σ A ⋅ σB ⋅ K AB
allgemein:
σP2
=
n
n
∑ ∑ xi ⋅ x j ⋅ covij
i=1 j=1
E k s:
Exkurs
•
ri
Kovarianz der Wertpapiere A und B:
cov AB =
•
n
∑ (rAi
i=1
wi
− μ A ) ⋅ (rBi − μB ) ⋅ wi
K
covAB
Korrelationskoeffizient bezüglich der
Wertpapiere A und B:
K AB
xA/B
cov AB
=
σ A ⋅ σB
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- 33 -
= Rendite des Wertpapiers bei
Eintritt des Umweltzustandes i
= Eintrittswahrscheinlichkeit des
Umweltzustandes i
= Korrelationskoeffizient
= Kovarianz der erwarteten
Renditen der Wertpapiere
p p
A und B
= Anteil des Wertpapiers A bzw. B
am Gesamtportefeuille
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Wahrscheinlichkeitsverteilung
h h
l hk
l
ffür zwei Wertpapiere
μ
σ
30
10
20
35
15
20
Ui
U1
U2
U3
U4
wi
0,3
0,3
0,3
0,3
rAi
-10
-10
30
rBi
-5
-5
35
Ui
= Umweltzustand i
wi
= Eintrittswahrscheinlichkeit des Umweltzustandes i
rAi/rBi = Rendite des Wertpapiers A/B bei Eintritt des Umweltzustandes i
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- 34 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Dominierende
d Portfolios
f l
in der
d Portfolio
f l Selektion
S l k
μ
Maximierung der erwarteten Rendite
bei gegebenem Risiko
μi
Minimierung des Risikos bei gegebenem Erwartungswert
σi
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- 35 -
σ
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Ertrags-Risikokombinationen bei Mischung der Wertpapiere A und B
xA
xB
0
1
0,1
µP
σP
σ 2P
15
20
400
0,9
14,5
19
364
02
0,2
08
0,8
14
18 3
18,3
336
0,3
0,7
13,5
17,8
316
0,4
0,6
13
17,4
304
0,5
0,5
12,5
17,3
300
0,6
0,4
12
17,4
304
07
0,7
03
0,3
11 5
11,5
17 8
17,8
316
0,8
0,2
11
18,3
336
0,9
0,1
10,5
19
364
1
0
10
20
400
µ
15
14
13
12
11
10
17
Annahme: K=
K 0,5
05
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 36 -
18
19
20
σ
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
G
Grundtypen
d
von Portefeuillelinien
f
ll l
μ
B
K = -1
K=0
K=1
A
σ
0
•
Punkt A bzw. Punkt B:
ausschließliche Anlage in Wertpapier A bzw. B
•
Abhängigkeit des Verlaufs der Portefeuillelinien (Rendite-Risiko-Kombinationen)
von der Korrelation zwischen den betrachteten Wertpapieren
– bei vollständig positiv korrelierten Wertpapieren (K=1) ist kein Diversifikationseffekt zu
erzielen
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 37 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Portefeuillelinien
f
ll l
ffür mehrere
h
Wertpapiere ((1))
Beispiel:
•
Durch Kombination von mehreren Wertpapieren lässt sich der effiziente Bereich
der Wertpapiere ausweiten
•
Wertpapier
p p
A: Erwartungswert:
g
12 %;; Varianz: 20 %
•
Wertpapier B: Erwartungswert: 13 %; Varianz: 40 %
•
Wertpapier C: Erwartungswert: 15% ; Varianz: 30%
•
Als Korrelation zwischen den Wertpapieren sei einheitlich
der Wert 0,5 angenommen
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 38 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Portefeuillelinien
f
ll l
ffür mehrere
h
Wertpapiere (2)
0,155
Wertpapier C
0,15
Erwartete
e Rendite
0,145
0,14
0,135
Wertpapier B
0,13
0,125
Wertpapier A
0,12
0,115
0,3
0,35
0,4
0,45
0,5
0,55
0,6
Standardabweichung
Zwei Wertpapiere
Prof. Dr. Rainer Elschen
Drei Wertpapiere
Papier A
- 39 -
Papier B
Papier C
AB
BC
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Portefeuillelinien
f
ll l
ffür mehrere
h
Wertpapiere (3)
Ergebnis:
•
Die Hinzunahme von Wertpapieren, die isoliert betrachtet deutlich dominiert
werden, trägt dazu bei, den effizienten Bereich der Wertpapiere auszuweiten
•
Durch Wertpapiermischung
p p
g lässt sich das effektive Portfoliorisiko erheblich
gegenüber dem durchschnittlichen Risiko mindern
•
Der effiziente Bereich von Wertpapieranlagen beginnt vom Portfolio mit der
minimalen Varianz und erstreckt sich bis zum Portfolio mit der maximalen
Varianz
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 40 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
O
Optimales
l Aktienportefeuille
k
f
ll
μ
Optimale Portfolioallokation:
I3
I2
I1
C
Bei der Portfolio Selection ist die
optimale Wahl des Investitionsportfolios
Q gekennzeichnet durch:
(1) Tangente der Isonutzenkurve mit
höchstem noch erlangbarem
Nutzenindex ((Risikoaversion)) an
effizientem Bereich der
Wertpapiermischung
Q
(2) Identität der relativen
Risikoaverionsparameter mit der
Steigung der Effizienzlinie in Q
E
σ
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 41 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
3 2 Capital Asset Pricing Model (CAPM)
3.2
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 42 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
G
Grundgedanken
d d k
und
d Annahmen
h
d
des C
Capitall Asset Pricing Model
d l
→ Sharpe (1964)/ Lintner (1965)/ Mossin (1966): CAPM
Erweiterung der Portefeuilletheorie durch Einbeziehung des Kapitalmarkts
•
Einführung einer risikolosen Kapitalmarktanlagemöglichkeit
•
Annahme homogener Erwartungen bzgl. der Wertpapierrenditen
•
Annahme eines vollkommenen Kapitalmarktes
– Fisher Separation
(Trennbarkeit von Investitions- und Finanzierungsentscheidungen)
– Tobin Separation
(Trennbarkeit von Risikoneigung des Anlegers und Portefeuillestruktur)
•
Im Kapitalmarktgleichgewicht hält jeder Anleger ein in der Struktur gleiches
Portefeuille
•
Vollständige Informationseffizienz
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 43 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Annahmen
h
des
d CAPM
C
im Einzelnen
l
•
Normalverteilung der Wertpapierrenditen
•
risikoscheue Marktteilnehmer
•
homogene Erwartungen der Marktteilnehmer bzgl. der Wertpapierrenditen
•
risikolose
i ikolo e und
nd uneingeschränkte
neinge h änkte K
Kapitalanlagepit l nl ge und
nd K
Kapitalaufnahmemöglichkeit
pit l fn hmemögli hkeit
•
fixe Menge an umlaufenden risikobehafteten Wertpapieren
•
beliebige
g Teilbarkeit der Wertpapiere
p p
•
keine Transaktionskosten und keine Beeinträchtigung des Wertpapierhandels
durch sonstige Marktunvollkommenheiten
•
strenge Informationseffizienz
•
Planungshorizont von einer Periode
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 44 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Informationseffizienz am Kapitalmarkt
Originäre Formulierung der Informationseffizienz:
•
schwache Informationseffizienz
Sämtliche Informationen über vergangene Kursentwicklungen sind im aktuellen
Marktpreis berücksichtigt. Durch Einsatz der technischen Wertpapieranalyse sind
keine Überrenditen
Übe enditen erzielbar.
e ielb
•
halb-strenge Informationseffizienz
Sämtliche öffentlich verfügbaren Informationen sind im aktuellen Marktpreis
berücksichtigt; dies schließt Informationen über die vergangene Kursentwicklung
und somit die Anforderungen der schwachen Informationseffizienz mit ein. Durch
den Einsatz der fundamentalen Wertpapieranalyse sind keine Überrenditen
erzielbar.
•
strenge Informationseffizienz
Alle, also auch nicht öffentlich zugängliche Informationen (Insiderinformationen)
sind im aktuellen Marktpreis
p
berücksichtigt.
g
Literaturhinweis: Perridon/Steiner
Perridon/Steiner, S
S. 258 ff.
ff
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 45 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Kapitalmarktlinie
l
kl
b
bei G
Gültigkeit
l k
d
der Prämissen
μ
Kapitalmarktlinie (Effizienzgerade)
μm
μm-if
if
Effizienzkurve riskanter Portefeuilles
Für die Kapitalmarktlinie gilt:
σm
σ
σm
μ = if +
⇒ Die Renditen-Austauschrate für eine Risikoeinheit beträgt somit
μ
μm
if
σ
σm
=
=
=
=
=
μm - if
⋅σ
σm
μm − if
σm
Erwartungswert der Portefeuillerendite
Erwartungswert der Rendite des Marktportefeuilles
Risikoloser Marktzinsfuß
Standardabweichung der erwarteten Portefeuillerendite
Standardabweichung der erwarteten Rendite des Marktportefeuilles
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 46 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Die Wertpapierlinie
l
Isolierung des anteiligen Renditeerwartungswertes μi und des Risikoanteils
Wertpapiers i aus dem Gesamtportefeuille.
Für den Renditeerwartungswert des Portefeuilles gilt
μ = a ⋅ μi + (1 − a) ⋅ μm
⇒
∂μ
= μi − μm
∂a
Im Kapitalmarktgleichgewicht gilt a = 0
⇒
∂μ
∂a
a= 0
= μi − μ m
a = Anteil des Wertpapiers i am Portefeuille
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 47 -
des
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Die Wertpapierlinie
l
Für das Risiko des Portefeuilles gilt:
σ = (a2 σi2 + (1-a)2 σm2 + 2a(1-a) covim)1/2
[
∂σ 1 2 2
2
= a ⋅ σi + (1 − a) ⋅ σ2m + 2a(1 − a) covim
∂a 2
[
]
−
1
2
⋅ 2aσi2 − 2σ2m + 2aσ2m + 2 covim − 4a ⋅ covim
]
Da im Kapitalmarktgleichgewicht a = 0 gilt, folgt:
∂σ
∂a
1 2
)
= (σ m
2
a=0
Prof. Dr. Rainer Elschen
1
2
(
2
cov im σ m
2σ + 2 cov im ) =
σm
2
m
- 48 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Die Wertpapierlinie
l
Hieraus ergibt sich das marginale Rendite-Risiko-Austauschverhältnis:
∂μ
μi − μm
∂a
=
∂σ
((covim − σ 2m )
∂a a=0
σm
Im Gleichgewicht stimmt das Rendite
Rendite-Risiko-Austauschverhältnis
Risiko Austauschverhältnis für alle
gehandelten Wertpapiere mit der Steigung der Kapitalmarktlinie überein, es gilt
dann:
μm − if
μi − μm
=
σm
(covim − σ 2m )
σm
=>
Prof. Dr. Rainer Elschen
μi = if + [μm − if ] ⋅
covim
σ 2m
- 49 -
Wertpapierlinie
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Die Wertpapierlinie
l
Wertpapierlinie
= Security Market Line
μm
if
ßi
ßm=1
Für die relativierte Risikohöhe des Wertpapiers i (ßi)
gilt:
covim
σi
^
βi =
=
K
⋅
= relativierte Risikohöhe des Wertpapiers i
im
2
σm
=>
σm
μi = if + [μm − if ] ⋅ βi
^ Wertpapierlinie
=
Literaturhinweis: Perridon / Steiner, S. 263ff.
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 50 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Bedeutung
d
d
des systematischen
h
Risikos
k (1)
( )
•
Die Risikoprämie wird nur für das marktbezogene Risiko (systematisches Risiko)
gezahlt:
hlt
– Verhalten der Tarifpartner
– steuerpolitische Maßnahmen
– Konjunkturentwicklung
k
kl
– Wechselkursentwicklung
– u. a. m.
•
Das unsystematische Risiko (unternehmensspezifisches Risiko) läßt sich mit
zunehmender Anzahl von Wertpapieren (nahezu) eliminieren
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 51 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Bedeutung
d
d
des systematischen
h
Risikos
k (2)
σ
unsystematisches
y
Risiko
Gesamtrisiko
systematisches
Risiko
Anzahl Wertpapiere
•
Beispiele für unsystematische Risiken:
– Bonitätsrisiken der Schuldner des Unternehmens
– neue Produkte von Konkurrenten
– Ableben der Vorstandsvorsitzenden
– Risiko der Nichtvermietbarkeit (bei Immobiliengesellschaften)
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 52 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Modell-Kritik
d ll
k
•
PRO: große theoretische Bedeutung als in sich geschlossenes
Gl i h
Gleichgewichtsmodell
i ht
d ll
•
CONTRA: Problem der Datenbeschaffung, jedoch Schätzung der relevanten
Kennzahlen (σ, K, cov, ß) aus Vergangenheitswerten
( iehe Marktmodell)
(siehe
M ktmodell) oder
ode durch
d
h Fundamentalanalyse
F nd ment l n l e
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 53 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Problematische
bl
h Prämissen
•
kein vollkommener Kapitalmarkt (mangelnde Informationseffizienz,
T
Transaktionskosten)
kti
k t )
•
keine homogenen Erwartungen (unterschiedliche Erwartungen führen zu
unterschiedlichen Portefeuillestrukturen)
•
kein Handel im Gleichgewicht bei homogenen Erwartungen
•
einperiodische Betrachtung unterstellt konstante Einflussgrößen
((z.B. ß-Faktor in Realität nicht konstant))
•
Normalverteilung der Renditen in der Realität fraglich
•
empirische Tests können Ergebnisse des CAPM nicht eindeutig bestätigen
(z B Problem der Bestimmung des Marktportefeuilles,
(z.B.
Marktportefeuilles
Ersatz: Marktindizes, aber unvollständig)
•
lediglich eindimensionale Risikomessung (ß-Faktoren)
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 54 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Durchschnittsrenditen
h h
d
(USA)
( S ) 1926-94
926 9
Portfolio
Average
annuall
nominal
return
Average
annuall
real
return
Average
A
risk
premium
Std.
d
dev.
nominal
returns
Small-firm stocks
17 4%
17.4%
13 9%
13.9%
13 7%
13.7%
34 3%
34.3%
Common stocks
(S&P 500)
12.4
9.0
8.6
20.2
Corporate bonds
5.7
2.7
2.0
8.3
Long-term govt
bonds
5.2
2.1
1.4
8.7
Treasury bills
3.7
0.6
0
3.3
Quelle: Brealey/Myers, chapter 7, Foliensammlung
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 55 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
G
Gesamtrisiko
k (S
(Standardabweichung)
d d b
h
) von US-Aktien,
S k
1989
989 - 1994
99
Stock
Standard
deviation
Stock
Standard
deviation
AT&T
21.4%
Exxon
12.1%
Biogen
51.5
Ford Motor
28.0
Bristol-Myers Squibb
18.6
General Electric
19.6
Coca Cola
21.6
McDonald’s
21.7
Compaq
43.5
Microsoft
53.6
Quelle: Brealey/Myers, chapter 7, Foliensammlung
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 56 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Marktrisiko
k
k (Beta)
(
) von US-Aktien
S k
1989
989 - 1994
99
Stock
Beta
Stock
Beta
AT&T
Biogen
Bristol Myers Squibb
Coca Cola
Compaq
.92
2.20
.97
97
1.12
1.18
Exxon
Ford Motor Co.
General Electric
McDonald’s
Microsoft
.51
1.12
1 22
1.22
1.07
1.23
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 57 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
3 3 Empirische Tests des CAPM
3.3
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 58 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Black/Jensen/Scholes
l k/
/S h l ((1972)
9 2) Test
•
Vergleich der hypothetischen CAPM Wertpapierlinie mit der empirischen
W t
Wertpapierlinie
i li i
•
Portfolios mit einem Beta < 1 wiesen vergleichsweise zu große Renditen aus
•
Portfolios mit einem Beta > 1 wiesen vergleichsweise
g
zu geringe
g
g Renditen aus
•
Empirische Kapitalmarktlinie fällt im Vergleich wesentlich flacher aus
•
Grundlage zum ZERO-BETA-CAPM
rf
M
βP < 1
βP > 1
βP = 1
Prof. Dr. Rainer Elschen
βP
- 59 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Fama/McBeth
/
h (1973)
( 9 3) Test auff Gültigkeit
G l k
d
des C
CAPM ((1))
•
Hypothese der Markteffizienz kann nicht unmittelbar getestet werden
•
Umweg über CAPM
•
Für das nicht beobachtbare Marktportfolio wird oft ein Index als Proxy benutzt
•
Z ei t fige Vo
Zweistufiges
Vorgehen:
gehen
1. Stufe: Betawerte schätzen mittels linearer Regression
2. Stufe: Portfoliorenditen gegen Betawerte als exogene Variablen regressieren
(daneben ist die Aufnahme weiterer Variablen Vk möglich)
rP,t = γ0 + γ1 ⋅ βP,t +
•
K
∑ γk ⋅ Vk,t + uP,t
k =2
Bei Gültigkeit des CAPM gilt:
γ0 ≅ risikolosen Verzinsung
γk ≈ 0;k ∈ {2;....;K}
E(uP,
P t) = 0
Prof. Dr. Rainer Elschen
γ1 ≅ durchschnittliche Marktrisikoprämie
andere Faktoren haben keinen systematischen Einfluss
Portfolioresiduen sind durchschnittlich gleich Null
- 60 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Fama/McBeth
/
h (1973)
( 9 3) Test auff Gültigkeit
G l k
des
d CAPM
C
(2)
•
Empirische Faktoren die der Gültigkeit des CAPM entgegensprechen:
– KGV: Basu 1977
– Größeneffekt: Banz (1981)
– Dividendenrendite (Fama/French)
– Day-of-the-Week Effekt/ Saisonalitäten
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 61 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Empirische
h Relevanz
l
d
des C
CAPM
•
Diese „Bewertungsanomalien“ haben sich in empirischen Tests als systematische
(d h nicht
(d.h.
i ht nur zufällige)
fälli ) Abweichungen
Ab i h
der
d tatsächlichen
t t ä hli h
Renditen
R dit
von den
d
CAPM
Renditeerwartungen erwiesen. Neben dem Betafaktor wurden noch weitere
Einflussfaktoren ausgemacht:
– Size Effekt:
Kleinkapitalisierte Firmen (small caps) weisen positive Renditen gegenüber
hochkapitalisierten Unternehmen auf. Damit wird durch die Marktkapitalisierung
[Market Equity = Aktienkurs · Anzahl der Aktien] der Unternehmensgröße Rechnung
getragen (Banz 1981)
– Value Effekt:
Firmen mit kleinen Kurs-Gewinn-Verhältnissen (Price Earning Ratios) haben höhere
Renditen (Basu 1977)
– Buchwert-Marktwert-Verhältnis (Book-to-Market-Equity):
Als Indikator für das Konkursrisiko werden mit höheren Book-to-Market Verhältnissen
höhere Renditen als Risikoprämie gezahlt (Fama/French 1992)
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 62 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Risikomanagement I
- Vorlesung 3 -
Prof. Dr. Rainer Elschen
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 63 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
3 4 Erweiterungen des CAPM
3.4
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 64 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Black
l k ((1972):
9 2) Zero-Beta-CAPM
C
•
Ermittlung der Marktportfolios ohne risikolose Verzinsung
(j d Investor
(jeder
I
t wählt
ählt unabhängig
bhä i ein
i effizientes
ffi i t Portfolio
P tf li als
l Referenzportfolio)
R f
tf li )
•
Summe aller individuellen Portfolios ergibt wiederum ein effizientes Portfolio M
•
Tangente
g
an M wird als Kapitalmarktlinie
p
interpretiert
p
•
Für ein verschwindendes Risiko wird eine Renditeerwartung
•
Ist dieses Portfolio mit M unkorreliert, gilt βZ =0
μp
μp
M
M
P
P
μZ
μZ
σZ ≈ 0
Z postuliert
σM
Prof. Dr. Rainer Elschen
βZ ≈ 0
βP
- 65 -
βM = 1
βP
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Definition
f
Zero-Beta-Portfolio
f l Z
•
Portfolio mit der geringsten Renditestreuung, das mit dem Marktportfolio
unkorreliert
k
li t iistt
•
Black-Version des CAPM kann auch für den empirisch relevanten Fall verwendet
werden, wenn Soll/Haben-Zinsdifferenzen oder Kapitalanlage-/Verschuldungsrestriktionen
e t iktionen existieren
e i tie en
μi = μZ + (μM − μZ ) ⋅ βi
μZ : Renditeerwartung des Zero-Beta Portfolios (βZ=0)
μM : Renditeerwartung des Marktportfolios
βi :
Prof. Dr. Rainer Elschen
Spezifischer Betafaktor
- 66 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
S
Single-Index-Modell
l
d
d ll (Sh
(Sharpe)) ((1))
Unterstellung:
•
Wertpapiere/Portfolios haben genau einen Faktor gemeinsam;
z.B. Benchmark (Index), keine Relevanz weiterer Faktoren
•
Als Folge
g sind die Residuen untereinander unkorreliert (unabhängig)
(
g g)
ri,t = ai + FIndex,t ⋅ bi + εi,t
mit:
Korr(εi,t ; ε j,t ) = 0 ; i ≠ j ; t ∈ T
Die Bestimmung der Korrelation zweier Einzelanlagen ergibt sich dann aus:
COV(ri,t ;rj,t ) = Cov(ai + FIndex,t ⋅ bi + εi,t ; aj + FIndex,t ⋅ b j + ε j,t )
= bi ⋅ b j ⋅ Var(FIndex,t )
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 67 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
S
Single-Index-Modell
l
d
d ll (Sh
(Sharpe)) (2)
•
Faktorsensitivitäten „erzeugen“ die Korrelationsstruktur
•
Erleichterte Schätzung der Korrelation von n Einzelanlagen
•
Bei Portfolio-Selection und CAPM wären 0,5·n·(n-1) Kovarianzen zu schätzen
•
Beim Single-Index-Modell
Single Inde Modell erzeugen
e e gen n Faktorsensitivitäten
F kto en iti itäten alle
lle relevanten
ele nten
Korrelationsbeziehungen
•
Nicht lediglich Schätzvereinfachung, sondern auch Erhöhung der
Schätzgenauigkeit
2
⎡
σ r1
Cov(r2;r1 ) Cov(r3;r1 ) Cov(r4;r1 )⎤
⎢
⎥
2
Cov(r
;r
)
σ
Cov(r
;r
)
Cov(r
;r
)
2 1
r2
3 2
4 2 ⎥
Var/Kovar - Matrix = ⎢
2
⎢Cov(r3;r1 ) Cov(r3;r2 )
σ r3
Cov(r4;r3 )⎥
⎢
⎥
2
Cov(r
;r
)
Cov(r
;r
)
Cov(r
;r
)
σ
⎢⎣
⎥⎦
4 1
4 2
4 3
r4
n ⋅ (n - 1)
Kovarianze
o a a en
2
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 68 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Das Multi-Beta-CAPM
l
C
((1))
•
Grundgedanke des Multi-Beta-CAPM:
Z hl i h Ei
Zahlreiche
Einflussfaktoren
fl
f kt
erfordern
f d
eine
i
diff
differenziertere
i t
Risikobetrachtung
Ri ik b t
ht
als
l
es die eindimensionale Risikobetrachtung des traditionellen CAPM zuläßt.
– empirischer Nachweis zahlreicher Einflussfaktoren
– Aufspaltung des Beta-Faktors
Beta Faktors ßi (Sensitivität des Wertpapiers i gegenüber dem
Marktportefeuille) in eine beliebige Anzahl von Risikomaßen ßip , die die relativierte
Risikohöhe (Sensitivität) des Wertpapiers i gegenüber dem Teilportefeuille p angeben
– Interpretation der Teilportefeuilles als Einflussfaktoren und somit Interpretation des
Multi-Beta-CAPM als Mehrfaktorenmodell
– Anmerkung: Die Interpretation als Mehrfaktorenmodell ist für die Ableitung des MultiBeta-CAPM nicht zwingend notwendig
•
Annahmen und Implikationen:
– perfekte Korrelation der einzelnen Teilportefeuilles mit dem jeweils zu simulierenden
Einflussfaktor (bei Interpretation des Multi-Beta-CAPM als Mehrfaktorenmodell)
– Die ein
einzelnen
elnen Fakto
Faktoren
en weisen
eisen untereinander
nte einande eine Korrelation
Ko elation von
on N
Null
ll auf
a f
– vollständige Diversifikation des Marktportefeuilles
– jedes Wertpapier kann in beliebig vielen Teilportefeuilles enthalten sein
– D
Das Marktportefeuille
M kt
t f ill wird
i d aus d
den Teilportefeuilles
T il
t f ill gebildet
bild t b
bzw. setzt
t t sich
i h aus diesen
di
zusammen
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 69 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Das Multi-Beta-CAPM
l
C
(2)
1. Formale Ableitung:
Aufspaltung der Rendite des Marktportefeuilles:
Rm =
P
∑ wp ⋅ Rp
p =1
mit:
Rm : Rendite des Marktportefeuilles
Rp : Rendite des Teilportefeuilles p
wpm : Anteil des Portefeuilles p am Gesamtwert des Marktportefeuilles
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 70 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Das Multi-Beta-CAPM
l
C
(3)
Aufspaltung der Sensitivität des Wertpapiers i gegenüber dem Marktportefeuille m:
βim
P
⎛
⎞
⎜
cov R i; ∑ wpm ⋅ R p ⎟
⎜
⎟
p =1
⎝
⎠ =
=
var(R m )
P
∑ wpm ⋅ cov(Ri;Rp )
p =1
var(R m )
P
∑ wpm ⋅ cov(Ri;Rp )
=
Prof. Dr. Rainer Elschen
p =1
var(R m )
⋅
var(Rp )
var(Rp )
=
- 71 -
P
∑
var(Rp )
p =1 var(R m )
⋅ wpm ⋅
cov(R i;R p )
var(Rp )
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Das Multi-Beta-CAPM
l
C
((4))
somit gilt:
βim =
⎛ var(Rp )
m⎞
⎜
⋅
w
∑ ⎜ var(R ) p ⎟⎟ ⋅ βip
m
⎠
p =1 ⎝
mit:
P
βip =
cov(R i;R p )
var(Rp )
Für die CAPM Bewertungsgleichung
g g
g folgt
g daraus:
⎞
⎛ var(Rp )
E(Ri ) = R f + [E(R m ) − R f ] ⋅ ∑ ⎜⎜
⋅ wpm ⎟⎟ ⋅ βip
⎠
p =1 ⎝ var(R m )
P
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 72 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Das Multi-Beta-CAPM
l
C
((5))
2. Ableitung des Mehrfaktorenmodells (ökonomische Interpretation):
Rendite des Wertpapiers i:
R i = E(Ri ) +
K
∑ bik ⋅ fk + εi
k =1
Rendite des Marktportefeuilles
p
m:
R m = E(R m ) +
mit:
bik
bmk
xim
fk
εi
Prof. Dr. Rainer Elschen
K
N
k =1
i =1
∑ bmk ⋅ fk + ∑ xim ⋅ εi
: Sensitivität der Wertpapierrendite gegenüber Faktor k
: Sensitivität der Marktrendite gegenüber Faktor k
bzw. durchschnittliche Sensitivität der einzelnen Wertpapiere
: Anteil des Wertpapiers i am Gesamtwert des Marktportefeuille
: Faktor k
: stochastische Komponente, E(εi) = 0
- 73 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Das Multi-Beta-CAPM
l
C
(6)
•
Die Rendite des Wertpapiers i setzt sich aus der erwarteten Rendite und einer
unerwarteten
t t
R
Renditekomponente
dit k
t zusammen.
Diese unerwartete Renditekomponente ergibt sich aus der Summe der
Risikoprämien, die aus den verschiedenen Einflussfaktoren und der Sensitivität
p p
ig
gegenüber
g
diesen Faktoren resultieren.
des Wertpapiers
•
Sensitivität des Wertpapiers i gegenüber dem aggregierten Einflussfaktor
(repräsentiert durch das Marktportefeuille) :
βim
Prof. Dr. Rainer Elschen
K
K
N
⎛
⎞
cov⎜⎜ E(R i ) + ∑ bik ⋅ fk + εi ; E(R m ) + ∑ bmk ⋅ fk + ∑ xim ⋅ εi ⎟⎟
k =1
k =1
i =1
⎝
⎠
=
var(R
( m)
- 74 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Das Multi-Beta-CAPM
l
C
((7))
Daraus folgt:
βim =
mit:
K
⎞
⎛ var(fk )
⎜
b
⋅
∑ ⎜ var(R ) mk ⎟⎟ ⋅ bik
⎠
m
k =1 ⎝
βik =
bmk
cov(R i; fk )
var(fk )
cov(R m; fk )
=
=
var(fk )
N
∑ xim ⋅ bik
i =1
Es gilt somit:
βim
mit:
Prof. Dr. Rainer Elschen
K
⎛ var(fk )
⎞
= ∑ ⎜⎜
⋅ bmk ⎟⎟ ⋅ bik =
⎠
k =1 ⎝ var(R m )
p=k ; P=K
- 75 -
a ( p)
⎛ var(R
m⎞
⎜
⋅
w
∑ ⎜ var(R ) p ⎟⎟ ⋅ βip
m
⎠
p =1 ⎝
P
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Das Multi-Beta-CAPM
l
C
(8)
•
Die Renditeerwartung des Teilportefeuilles E(Rp) ist somit durch den
Einflussfaktor fk (z.B.
(z B Zinsniveau ) determiniert.
determiniert
•
Der Anteil wpm des Teilportefeuilles am Marktportefeuille m entspricht der
Sensitivität der Marktrendite Rm gegenüber dem durch das Teilportefeuille
p
Einflussfaktor k.
repräsentierten
•
Für die Bewertungsgleichung im Multi-Beta-CAPM folgt dann:
E(Ri ) = R f +
mit:
Prof. Dr. Rainer Elschen
K
∑ [E(Rm ) − R f ] ⋅ βf
k
k =1
β fk =
cov(fk ;R m )
var(R m )
- 76 -
⋅ bik
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Das Multi-Beta-CAPM
l
C
(9)
•
Es ergibt sich eine weitere Darstellungsvariante für das Multi-Beta-CAPM, in der
d CAPM B
das
Beta
t als
l F
Funktion
kti
seiner
i
Sensitivität
S
iti ität gegenüber
üb den
d
K Faktoren
F kt
beschrieben wird:
E(R
( i ) = R f + [E(R
( m ) − R f ] ⋅ βim
mit:
Prof. Dr. Rainer Elschen
βim =
K
∑ βf
k =1
k
- 77 -
⋅ bik
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Das Multi-Beta-CAPM
l
C
((10)
0)
•
Legende der verwendeten Symbole:
bik
bmk
βfk
xim
fk
εi
Rm
Rp
Rf
w pm
p
k
i
: Sensitivität der Wertpapierrendite gegenüber Faktor k
: Sensitivität der Marktrendite gegenüber Faktor k
bzw. durchschnittliche Sensitivität der einzelnen Wertpapiere
: Beta
B t des
d Faktors
F kt
k auff das
d Marktportefeuille
M kt
t f ill
: Anteil des Wertpapiers i am Gesamtwert des Marktportefeuille
: Faktor k
: stochastische Komponente,
p
, E(ε
( i) = 0
: Rendite des Marktportefeuilles
: Rendite des Teilportefeuilles p
: Risikoloser Zins
: Anteil des Portefeuilles p am Gesamtwert des Marktportefeuilles
: Laufindex für Teilportefeuilles p = 1....P
: Laufindex für Einflussfaktoren k = 1....K
p p
i = 1....N
: Laufindex für Wertpapiere
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 78 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Intertemporall C
CAPM von Merton ((1973)
9 3) und
d Breeden
d
((1979)
9 9) ((1))
•
Erweiterung des CAPM auf mehrperiodige Anwendung
•
Bei mehrperiodiger Betrachtung müssen Investoren nicht nur
Investitionsentscheidungen treffen, sondern auch Konsumentscheidungen
•
Beim ICAPM hängen
g
die zukünftigen
g
Preise von Gütern,, Wertpapieren,
p p
,
Dividenden, zukünftigen Arbeitseinkommen etc. von unsicheren
Zustandsvariablen ab
•
Diese Variablen repräsentieren
p
Risiken,, denen die Anleger
g bei mehrperiodigen
p
g
Entscheidungssituationen gegenüberstehen
•
Absicherung des Risikos erfolgt durch das Halten von sog. Hedging-Portfolios
•
Das Gesamtportfolio setzt sich aus einer risikolosen Komponente,
Komponente dem
Marktportfolio und K Hedgingportfolios zusammen
•
Daher werden neben dem Marktportfolio auch K Risiken gegenüber den
Zustandsvariablen bewertet
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 79 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Intertemporall C
CAPM von Merton ((1973)
9 3) und
d Breeden
d
((1979)
9 9) (2)
• Die erwartete Aktienrendite folgt aus:
μi = rf + (μM − rf ) ⋅ βi.M +
K
∑ (μk − rf ) ⋅ βi.k
k =1
• Neben dem bekannten Betafaktor werden die Sensitivitäten gegenüber den
Renditen der K Hedging-Portfolios bewertet
• Empirisch stimmt das ICAPM mit dem Multi-Beta-CAPM überein
• Breeden (1979) fasst das ICAPM wie folgt zusammen:
μi − rf = (μC − rf ) ⋅ βi.C
• μC gibt die erwartete Rendite eines Portfolios wieder, das eine perfekte
K
Korrelation
l ti
mit
it der
d W
Wachstumsrate
h t
t C des
d realen
l
aggregierten
i t
Konsums
K
aufweist
f i t
• βi,C ist entsprechend die Renditesensitivität mit der Risikoprämie
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 80 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
3 5 Faktorenmodell von Fama/French
3.5
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 81 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Fama und
d French‘s
h‘ 3-Faktorenmodell
3
k
d ll ((1))
•
empirisch führt das traditionelle CAPM zu unbefriedigenden Ergebnissen
•
Wertpapierrenditen hängen nicht nur vom Marktportefeuille (bzw. stellvertretend
von Marktindizes), sondern von weiteren Faktoren ab
– bestimmte Einflussfaktoren sind im Betafaktor nicht bzw. unzureichend enthalten
– Einbeziehung weiterer Risikomaße in die Bewertung
ri
A: Ungleichgewicht im CAPM /
Gleichgewicht im 3-Faktorenmodell
•A
•B
B: Gleichgewicht im CAPM
ßi
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 82 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Fama und
d French‘s
h‘ 3-Faktorenmodell
3
k
d ll (2)
•
Diese „Bewertungsanomalien“ haben sich in empirischen Tests als systematische
(d h nicht
(d.h.
i ht nur zufällige)
fälli ) Abweichungen
Ab i h
der
d tatsächlichen
t t ä hli h
Renditen
R dit
von den
d
CAPM
Renditeerwartungen erwiesen. Neben dem Betafaktor wurden noch weitere
Einflussfaktoren ausgemacht:
– Size Effekt
– Value Effekt
– Buchwert-Marktwert-Verhältnis (Book-to-Market-Equity)
⇒ K
Konzentration
t ti
auff die
di Einflussfaktoren
Ei fl
f kt
Buchwert-Marktwert-Verhältnis
B h
t M kt
t V hält i und
d Size
Si
Effekt.
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 83 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Fama und
d French‘s
h‘ 3-Faktorenmodell
3
k
d ll (3)
•
Einfluss von Kapitalisierung und Book-to-Market auf Durchschnittsrenditen
Book-to-Market
(Konkursrisiko)
Börsenkapitalisierung
tief
hoch
hoch
21,2%
16,0%
durchschnittlich
18,3%
11,8%
tief
14,1%
11,2%
Markt
12 0%
12,0%
US Aktien 1963-1990
•
Rendite des Wertpapiers i im 3-Faktorenmodell:
ri = rf + ((rm - rf ) . ßi + SMB . si + HML . hi + εi
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 84 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Fama und
d French‘s
h‘ 3-Faktorenmodell
3
k
d ll ((4))
=> ri = rf + (rm - rf) . ßi + (rS - rB) . si + (rH - rL) . hi + εi
SMB
„Small Minus Big“; Unternehmensgröße als Einflussfaktor
Differenz der Renditen kleiner Unternehmen (rS) und großer
Unternehmen (rB)
HML
„High Minus Low“; Buchwert-Marktwert-Verhältnis als
Einflussgröße: Differenz der Rendite von Unternehmen mit
hohem BE/ME (rH) und Unternehmen mit niedrigem BE/ME (rL)
rf
risikoloser Zinssatz
rm
Rendite des Marktportefeuilles
εi
Störgröße, es gilt E(εi) = 0
si
Sensitivität des Wertpapiers i bzgl. des Faktors Unternehmensgröße
hi
Sensitivität
S
iti ität des
d W
Wertpapiers
t
i
i bzgl.
b l des
d Faktors
F kt
Buchwert-Marktwert-Verhältnis
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 85 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Risikomanagement I
- Vorlesung 4 -
Prof. Dr. Rainer Elschen
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 86 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
3.6 Modigliani Miller – Arbitragegedanken und Unternehmenswert
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 87 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Modigliani-Miller-Theoreme
d l
ll
h
•
Auf einem vollständigen Markt ist die Verschuldungspolitik irrelevant
•
MM I:
Marktwert einer Unternehmung ist von seiner Kapitalstruktur
unabhänigig
•
MM II:
Gewogener Kapitalkostensatz (WACC) ist von der
Kapitalstruktur unabhängig
•
W = EK + FK = WU
EK
FK
+ rFK ⋅
WACC = rEK ⋅
= rAsset
EK + FK
EK + FK
Keine Steuern, Transaktionskosten, Informationsasymmetrien
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 88 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
MM - Kapitalkosten
K it lk t
• Gültigkeit des CAPM (Marktvollständigkeit)
– Risikolose Verzinsung:
5%
– Risikoprämie:
6%
• Ausschließlich EK- finanzierte Unternehmung
– Marktwert
W = 100
– Beta
– Kapitalkosten
ß =1
WACC = rEK = 5% +6% · 1 = 11%
• Unternehmenspolitik:
U t
h
litik
– Fremdfinanzierter Aktienrückkauf von 20
– Ersatz von (teurem) EK durch (billiges) FK
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 89 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
MM - Kapitalkosten
K it lk t
(2)
VOR Transaktion
NACH Transaktion
(nur EK–Finanzierung)
(Mischfinanzierung)
Bruttogewinn (CAPM)
Bruttogewinn (unverändert!)
100 · 11% = 11
100 ·11% = 11
FK = 5% · 20 =1
1
rEK =
11
Bruttogewi nn
=
= 11 %
100
EK
rEK =
WACC = rEK = 11%
WACC =
11 − 1
= 12 , 5 %
80
80
20
⋅ 12 , 5 % +
⋅ 5 % = 11 %
100
100
Kapitalkostensatz bleibt unberührt
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 90 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
MM – Kapitalkosten
K it lk t
und
dM
Marktwerte
kt
t
•
Für eine verschuldete Unternehmung gilt:
Bruttogewinn = Zinsen + Dividenden
•
Marktwert EK: Barwert der Dividenden,
mit EK-Rendite diskontiert:
•
Marktwert FK: Barwert der Zinsen,
Zinsen
mit FK-Zins diskontiert:
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 91 -
D
EK =
rEK
Z
FK =
rFK
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
MM – Kapitalkosten
K it lk t
und
dM
Marktwerte
kt
t
EK
FK
WACC = rEK ⋅
+ rFK ⋅
EK + FK
EK + FK
( EK =
D
)
rEK
Z
( FK =
)
rFK
=> WACC⋅ ( EK + FK) = D + Z
Bruttogewi
g
nn
=>
>W =
WACC
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 92 -
Marktwert einer
verschuldeten Unternehmung
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
MM - Kapitalkosten
K it lk t
•
Bruttorendite entspricht dem WAC
rEK = rASSET + (r
( ASSET – rFK) · FK/EK
r
rEK
WACC
rFK
V =
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 93 -
FK
EK
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
MM - Kapitalkosten
K it lk t
•
Leverage erhöht das EK-Risiko
•
Wenn EK durch FK ersetzt wird
ª Spart dies zunächst Kosten,
Kosten denn FK ist billiger als (altes) EK
ª Umgehend wird das verbleibende EK teurer
ª Direkte Kompensation auf vollst. Märkten
•
Unternehmen ist Portfolio aus EK und FK!
β PF = β EK ⋅ xEK + β FK ⋅ xFK
β PF = β ASSET
=> β ASSET = β ⋅
Prof. Dr. Rainer Elschen
EK
FK
+ β FK ⋅
EK + FK
EK + FK
- 94 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
MM - Kapitalkosten
K it lk t
=>
FK
EK
+ ßFK ⋅
ßASSET = ßEK ⋅
EK + FK
EK + FK
FK
ßEK = ßASSET + ( ßASSET − ßFK ) ⋅
EK
=> falls FK risikolos ist (ßFK= 0)
=>
ßEK = ßASSET (1 +
Im Beispiel:
Prof. Dr. Rainer Elschen
FK
V
) = ßASSET ⋅
EK
EK
Asset BETA
=1
EK BETA
= 1·(1+20/80) = 1,25
WACC
= 5% +6% · 1,25
,
=12,5%
,
- 95 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
MM - Arbitragebeweis
A bit
b
i
•
Zweii U
Z
Unternehmen
t
h
U und
d L sollen
ll
indentische
i d ti h operative
ti
Gewinne
G i
X bei
b i demselben
d
lb
Marktrisiko erwirtschaften.
WU = EKU;
WL = EKL + FKL
heute
a·EKU = a·WU
•
Kauf a% Anteile U
•
Kauf a% Anteile L
•
Kauf a% FK-Teile (Bonds) a·FKL
•
Summe
a·EKL
zukünfiger Zahlungsstrom
a·x
a·r·FKL
a·(x-rFK·FKL)
a·EKL+a·FKL=a·WL
a·x
Bei identischem Marktrisiko und Bruttogewinnen müssen beide Unternehmen wertgleich sein,
ansonsten bestehen Arbitragemöglichkeiten!
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 96 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
3 7 Arbitrage Pricing Theory (APT) von Ross
3.7
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 97 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
G
Grundgedanke
d d k d
der APT
•
Die erwartete Rendite eines Wertpapiers setzt sich zusammen aus verschiedenen
mikroik
oder
d makroökonomischen
k ök
i h
Risikofaktoren
Ri ik f kt
d
den S
Sensitivitäten
iti ität
des
d
Wertpapiers gegenüber dessen Faktoren und einem risikolosen Zinssatz
zusammen (mehrdimensionale Risikobetrachtung).
•
B i i l fü
Beispiele
für Ri
Risikofaktoren
ik f kt
( gemessen wird
i d jeweils
j
il die
di Veränderungsrate)
V ä d
t )
– reales Bruttosozialprodukt
– Wechselkurs
– Inflation
I fl i
– Zinssätze
– u.a.m
•
Der Marktzusammenhang folgt durch die Annahme der Arbitragefreiheit:
Durch Wertpapiertransaktionen, die per Saldo keinen Kapitaleinsatz erfordern
und bei denen weder ein systematisches noch ein unsystematisches Risiko
besteht sind keine Gewinne („free
besteht,
( free lunch
lunch“)) zu erzielen.
erzielen
⇒ Verschiedene Wertpapiereportefeuilles, die dasselbe Risikoniveau aufweisen, müssen
dieselbe Rendite erwarten lassen.
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 98 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Annahmen
h
der
d APT
•
Vollkommener Kapitalmarkt
•
homogene Erwartungen der Marktteilnehmer bezüglich der Wertpapierrenditen
•
Existenz einer risikolosen Kapitalanlage- und -aufnahmemöglichkeit
•
A bit
Arbitragefreiheit
f ih it im
i K
Kapitalmarktgleichgewicht
it l
kt l i h
i ht
•
Risikoscheu der Marktteilnehmer
•
Abhängigkeit
gg
der Wertpapierrenditen
p p
von mehreren mikro- und
makroökonomischen Risikofaktoren
⇒ Linearkombination verschiedener Einflussfaktoren
⇒ APT als lineares Mehrfaktorenmodell
•
Anmerkung:
Eine Annahme über eine Verteilungshypothese der Wertpapierrenditen ist in der
APT irrelevant.
irrelevant
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 99 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Formale
l Darstellung
ll
d
der APT ((1))
•
Als Grundgedanke der APT hängen die Wertpapierrenditen von mehreren
Ri ik f kt
Risikofaktoren
ab.
b Fü
Für das
d einzelne
i
l
Wertpapier
W t
i folgt:
f l t
R i = α + βi1 ⋅ F1 + βi2 ⋅ F2 + K + βik ⋅ Fk
•
Diese Einzelbetrachtung von Wertpapierrenditen ist nunmehr in die
Gesamtbetrachtung (Marktzusammenhang) zu überführen, wodurch ein
Kapitalmarktgleichgewicht erst möglich wird.
•
Durch Bildung eines Arbitrageportefeuilles wird der Zustand der Arbitragefreiheit
erreicht.
•
Ein Arbitrageportefeuille
g p
ist ein risikoloses Portefeuille aus g
gekauften und
leerverkauften Wertpapieren, deren Wert stets null ist.
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 100 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Formale
l Darstellung
ll
d
der APT (2)
•
Es muss dann gelten:
n
(1) ∑ x i = 0
i =1
•
mit
n
∑ xi = 1
i =1
Die Anteile der Wertpapiere am Gesamtvolumen müssen in der Summe null
ergeben.
n
(2) ∑ x i ⋅ β ik = 0
i =1
•
Damit das Portefeuille risikolos ist,, müssen sich die Sensitivitäten in der Summe
aufheben (Neutralisierung des systematischen Risikos).
n
(3) ∑ x i ⋅ ε i = 0
i=1
•
Es wird von einem gut diversifizierten Portefeuille ausgegangen.
Das unsystematische Risiko wird als eliminiert angenommen.
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 101 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Formale
l Darstellung
ll
d
der APT (3)
•
Exkurs:
Mit steigender
t i
d Anzahl
A
hl an Wertpapieren
W t
i
sinkt
i kt das
d unsystematische
t
ti h Risiko:
Ri ik
∧
1
var(∑ x i ⋅ εi ) ≈ var( ∑ εi ) = durchschnittliche Varianz
n
1
var(∑ εi )
var(∑ εi )
= 2 var(∑ εi ) =
⇒
lim
=0
2
2
n →∞
n
n
n
•
Als Grundgleichung der APT ergibt sich:
(4)
bzw.
E(Ri)=if+[E(RF1)-if ]·ßi1+[E(RF2)-if ]·ßi2+ ...+[E(RFK)-if ]· ßiK
K
E(R i ) = i f + ∑ [E(R Fk ) − i f ] ⋅ βik
k =1
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 102 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Formale
l Darstellung
ll
d
der APT ((4))
•
Die Grundgleichung folgt aus der ökonomischen Interpretation der APTB
Bewertungsgleichung
t
l i h
:
(5)
•
E(Ri)= λ0 +λ1·ßi1+ λ2·ßi2+...+ λK· ßiK
allgem. Bewertungsgleichung
λk bzw.
b
[E(RFk)-i
) if ] stellen
t ll
dabei
d b i die
di Risikoprämie
Ri ik
ä i fü
für di
die Übernahme
Üb
h
des
d
Risikos aus Faktor k dar.
Ri
λ0
Fk
ßik
E(Ri)
E(RFk)
N
εi
xi
λk
Prof. Dr. Rainer Elschen
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
Rendite des Wertpapiers i
risikoloser Renditebestandteil
Ausprägung des Faktors k
B t F kt d
Beta-Faktor
des Wertpapiers
W t
i
i bzgl.
b l des
d Einflußfaktors
Ei fl ßf kt
k
erwartete Rendite des Wertpapiers i
erwartete Rendite bzgl. des Faktors k
Anzahl an Wertpapieren
unsystematisches Risiko des Wertpapiers i
Anteil des Wertpapiers i am Gesamtvolumen des Portefeuilles
Risikoprämie bzgl. des Faktors k
- 103 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
APT-Hyperplane
l
mit 2 Risikofaktoren
k f k
E(Ri)
A: überbewertetes WP
βi2
•B
B: unterbewertetes WP
Wertpapierlinie
if
•A
βi1
•
Im traditionellen CAPM wird implizit für alle Wertpapiere dasselbe Verhältnis der
Sensitivitäten zueinander unterstellt (lediglich ein Risikofaktor).
Das CAPM stellt somit einen „Spezialfall“ der APT dar.
•
In der APT lassen sich - im Rahmen der Modellannahmen - Renditeerwartungen auf
einzelne Einflussfaktoren zurückführen.
•
Wertpapiere, deren erwartete Renditen oberhalb der Hyperplane liegen sind unterbewertet;
die darunter liegenden überbewertet.
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 104 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Zentrale
l Unterschiede
h d d
der APT zum C
CAPM
•
Trotz einer engen Verwandtschaft zwischen APT und CAPM besteht eine Reihe
zentraler
t l U
Unterschiede:
t
hi d
– Mehrdimensionale Risikobetrachtung
(Mehrfaktorenmodell)
– Einflussfaktoren als Ausgangspunkt der Bewertung
– verteilungshypothesenfreie Bewertung
– Kenntnis des Marktportefeuilles irrelevant
– keine inhaltliche Definition der Einflussfaktoren
– möglicherweise einfachere empirische Testbarkeit
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 105 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Modell-Kritik
d ll
k APT
•
Vorteile:
– Differenzierte Risikobetrachtung (k-dimensionale Risikomessung)
– weniger rigide Annahmen
(z. B. keine Verteilungshypothese)
– Problem
P bl
d
der E
Ermittlung
ittl
d
des M
Marktportefeuilles
kt
t f ill entfällt
tfällt
•
Nachteile:
– Prämissen bezüglich
▪ strenge Informationseffizienz
▪ vollkommener Kapitalmarkt u.a.m.
– Identifikation und Bestimmung der Anzahl der Einflussfaktoren schwierig
▪ für
fü di
die ökonomische
ök
i h Interpretation
I
i
von entscheidender
h id d Bedeutung
B d
▪ hilfsweise Lösung: empirische Ermittlung
– Sensitivitäten und Einflussfaktoren zeitlich nicht konstant
– Lineare
Li
Abhä
Abhängigkeiten
i k it
der
d Faktoren
F kt
ungeklärt
klä t
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 106 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Beispiell zur APT - Ausgangsdaten
d
Es gibt drei gut diversifizierte Portefeuilles A, B und C, deren erwartete
R dit E(Ri) sowie
Rendite
i Sensitivität
S
iti ität (βi) gegenüber
üb
d
den
Ei fl ßf kt
Einflußfaktoren
Wechselkurs (F1) und reales Bruttosozialprodukt (F2) bekannt sind.
Portfeuille
A
B
C
E(Ri)
15%
13%
14%
β1
1,4
0,9
11
1,1
β2
0,8
0,4
09
0,9
Nun ist - im Rahmen der Modellannahmen - zu überprüfen, ob bei den
Portefeuilles D,
D E und F eine ÜberÜber oder Unterbewertung vorliegt oder ob
die Portefeuilles arbitragefrei bewertet sind.
Portfeuille E(Ri)
D
16,37%
E
12,56%
F
12 58%
12,58%
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 107 -
β1
1,3
0,8
07
0,7
β2
0,4
1,1
09
0,9
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Beispiell zur APT – Vorgehensweise
h
(1)
( )
•
Ermittlung der Risikoprämien für die Übernahme des Risikos aus den
Ei fl
Einflussfaktoren
f kt
F1 und
d F2 und
d des
d risikolosen
i ik l
Renditeanteils.
R dit
t il
•
Bestimmung der Bewertungsgleichung durch Aufstellen eines linearen
Gleichungssystems.
•
Ermittlung der arbitragefreien Renditeerwartung der Portfeuilles D, E und F durch
Einsetzen der Sensitivitäten in die Bewertungsgleichung und Vergleich mit der
bisherigen Renditeerwartung.
•
Die allgemeine Bewertungsgleichung lautet:
E(R i ) = λ 0 + β i1 ⋅ λ1 + β i 2 ⋅ λ 2
•
Für das lineare Gleichungssystem gilt nun:
15 = λ0 + 1,4 ⋅ λ1 + 0,8 ⋅ λ2
13 = λ0 + 0,9 ⋅ λ1 + 0,4 ⋅ λ2
14 = λ0 + 1,1 ⋅ λ1 + 0,9 ⋅ λ2
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 108 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Beispiell zur APT – Vorgehensweise
h
(2)
•
Als Lösung ergibt sich:
λ0
λ1
λ2
•
=
=
=
9,588
3,529
0 588
0,588
Die Bewertungsgleichung lautet nun:
E( R i ) = 9,588 + 3,529 ⋅ β1 + 0,588 ⋅ β 2
•
Für die richtige
g Bewertung
g der Portfeuilles D,E
, und F folgt:
g
E(RD) =
E(R
( E) =
E(RF) =
Prof. Dr. Rainer Elschen
9,588
9,588
9,588
+
+
+
3,529
3,529
3,529
· 1,3
· 0,8
· 0,7
- 109 -
+
+
+
0,588
0,588
0,588
· 0,4 = 14,41
· 1,1 = 13,06
· 0,9 = 12,58
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Beispiell zur APT – Ergebnis
b
und
d Handlungsempfehlung
dl
f hl
•
Ergebnis:
– D ist unterbewertet
– E ist überbewertet
– F ist arbitragefrei bewertet
•
Handlungsempfehlung:
– Kauf von D
– Verkauf von E
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 110 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Risikomanagement I
- Vorlesung 5 -
Prof. Dr. Rainer Elschen
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 111 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
4 Management von Wertpapierportfolios
4.
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 112 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
4 1 Performancemessung auf Basis des CAPM
4.1
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 113 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Sh
Sharpe-Ratio
(S P):
(SR
) Reward
d to Variability
bl
Ratio
rP − i rf
SR P =
σP
rp
M
P
irf
σM
Prof. Dr. Rainer Elschen
σP
- 114 -
•
Überrendite im Verhältnis zur
Standardabweichung eines
Portfolios
•
Risiko = Gesamtrisiko
•
SR entspricht der individuellen
Kapitalmarktlinie
p
des Portfolios
•
Performancegüte steigt mit SR
•
SR ist lediglich zur Beurteilung
von ganzen Portfolios sinnvoll
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Treynor-Ratio (TR
( P):
) Reward
d to Volatility
l l
Ratio
TR P =
rP − i rf
rp
M
P
irf
βM = 1
Prof. Dr. Rainer Elschen
βP
- 115 -
βP
•
Überrendite im Verhältnis zum
systematischen Risiko eines
Portfolios
•
Risiko = systematisches Risiko
(Marktrisiko)
•
SR entspricht der Steigung der
individuellen Wertpapierlinie des
Portfolios
•
Performancegüte steigt mit TR
•
TR ist nicht benchmarkfrei
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Jensen´s
´ Alpha
l h ((JAP)
rP = α P + i rff + [rM - i rff ] ⋅ β P + ε P
⇒ JA P = E(α P ) = rP − i rf − [rM - i rf ] ⋅ β P
rp
P
αP
•
JA folgt unmittelbar aus der ex-post
CAPM-Gleichung
•
Differenz d
Diff
der P
Portfoliorendite
tf li
dit zur
rechnerisch ermittelbaren Rendite
•
Wenn das Alpha signifikant positiv
ausfällt,
fällt h
hatt das
d P
Portfoliotf li
management Selektionsfähigkeiten,
d.h. unterbewertete Wertpapiere
zu identifizieren
•
Performancegüte steigt mit JA
•
Gefahr der Vermengung mit
unsystematischen
t
ti h
Ri
Risiken
ik
M
irf
βM = 1
Prof. Dr. Rainer Elschen
βP
- 116 -
E(ε P ) = 0
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Jensen´s
´ Alpha
l h versus Treynor Ratio
CAPM-Gleichung
CAPM
Gleichung (incl. Jensen
Jensen´s
s Alpha)
rP = α P + i rf + [rM - i rf ] ⋅ β P
⇔ rP − i rf = α P + [rM - i rf ] ⋅ β P
Division durch BETA-Faktor
rP − i rf α P
⇔
=
+ [[rM - i rf ]
βP
βP
⇔ Treynor − Ratio P =
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 117 -
αP
+ Treynor − Ratio M
βP
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Treynor-Black
l k Ratio: Appraisall Ratio ((ARP) ((1))
Jensen s Alpha
Jensen´s
αP
AR P =
=
Streuung der Residuen σ ε
rp
αA
μP
rA
rB
45°
αB
Erwartete Portfoliorendite gemäß CAPM
AR(A) > AR(B)
Prof. Dr. Rainer Elschen
σε
- 118 -
•
Jensens Alpha wird um
unsystematische Risiken
bereinigt
•
Performancegüte steigt mit AR
•
Bei großer AR musste zur
E i l
Erzielung
d
der signifikanten
i ifik t
Überrendite nur geringes
unsystematisches Risiko in Kauf
genommen werden
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Treynor-Black
l k Ratio: Appraisall Ratio ((ARP) (2)
Streuung der Residuen wird mittels Determinationskoeffizienten R2 aus der
li
linearen
R
Regression
i
geschätzt
hät t
•
R2 gibt den Anteil der durch die Regression erklärten Streuung an der
Gesamtstreuung an
M
Monatsüber
rrenditen Portfolio
•
σ P2 − σ ε2
2
2
2
R =
⇒
σ
=
(
1
−
R
)
⋅
σ
ε
P
σ P2
σ ε2 = (1 − 0,5911) ⋅ σ P2
2
y = rP
if
x = rM − i f
Monatsüberrenditen der
Benchmark
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 119 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Modigliani-Modigliani
d l
d l
Ratio: Risk-Adjusted-Performance
k d
d
f
(RAP)
(
) (1)
( )
•
Erweiterung der Rankingmöglichkeiten der Sharpe-Ratio um die Angabe der
Diff
Differenzrendite
dit [i
[in R
Renditeprozentpunkten]
dit
t
kt ]
•
Transformation der Sharpe Ratio in eine Renditegröße
•
Gedankliche Normierung
g des Portfoliorisikos auf das Marktrisiko
(Risikokalibrierung)
•
Konstruktion:
• Wenn:
σP > σM
⇒ Fiktiver Verkauf Anteil di (di < 0) am Portfolio, Kapitalanlage zu rf („unlevering“)
• Wenn:
σP < σM
⇒ Fiktive Kreditaufnahme di (di > 0) zu rf Anlage in Portfolio („levering“)
σP
Kalibriert
Prof. Dr. Rainer Elschen
= (1 + d i ) ⋅σ P = σ M
- 120 -
σM
⇒ di =
-1
σP
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Modigliani-Modigliani
d l
d l
Ratio: Risk-Adjusted-Performance
k d
d
f
(RAP)
(
) (2)
•
Durchschnittliche Portfoliorendite:
RAP = (1 + d i ) ⋅ μ P − d i ⋅ rf
⎡ σM ⎤
σM
⇒ RAP =
⋅μP − ⎢
− 1⎥ ⋅ rf
σi
⎣ σi
⎦
σM
⇒ RAP = (μ P − rf )
+ rf = Sharpe − Ratio ⋅ σ M + rf
σi
⇒ RAP identifiziert das Portfolio, das in Kombination mit rf für jedes
vorgegebene Risiko die höchste risikonormierte Rendite erzielt
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 121 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Modigliani-Modigliani Ratio: Market-Risk-Adjusted-Performance (MRAP) (1)
•
Erweiterung der Rankingmöglichkeiten der RAP durch explizite Berücksichtigung
d systematischen
des
t
ti h
Risikos
Ri ik (Ri
(Risikokalibrierung)
ik k lib i
)
•
Konstruktion:
βP > 1
• Wenn:
⇒ Fiktiver Verkauf Anteil di (di < 0) am Portfolio, Kapitalanlage zu rf („unlevering“)
βP < 1
• Wenn:
⇒ Fiktive Kreditaufnahme di (di > 0) zu rf Anlage in Portfolio („levering“)
βP
Kalibriert
⇒ di =
= (1 + d i ) ⋅β P = 1
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 122 -
1
βP
-1
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Modigliani-Modigliani Ratio: Market-Risk-Adjusted-Performance (MRAP) (2)
•
Durchschnittliche Portfoliorendite:
⎡
⎤
MRAP = (1 + d i ) ⋅ μ P − d i ⋅ rf ⇒ MRAP = 1 ⋅ μ P − ⎢ 1 − 1⎥ ⋅ rf
βP
⎣ βP ⎦
⇒ MRAP =
1
βP
(μ P − rf ) + rf = Treynor
y
− Ratio + rf
⇒ MRAP identifiziert die Überschussrendite des risikonormierten
Vergleichsportfolios in Renditeprozentpunkten
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 123 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Zusammenhang
h
MRAP, TR und
d JA
MRAPP = Treynor − RatioP + rf
JA P
⇒ Treynor − RatioP =
+ Treynor − RatioM
βP
JA
MRAPP = P + Treynor - RatioM + rf
βP
JAP
MRAPP =
+ μM
βP
Einsetzen:
⇒ Mit der MRAP können Differenzen der Performance unterschiedlicher
Portfolios unmittelbar verglichen werden
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 124 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
4 2 Varianz-Dekomposition und Index Tracking
4.2
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 125 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Varianzdekomposition
d k
•
Annahme:
•
Die Renditen eines Wertpapiers (oder eines Portfolios) folgen einem Ein-FaktorModell, z.B. dem Single-Index Modell von Sharpe
•
Die Residuen und der Faktor seien unkorreliert
μi = rf + (μM − rf ) ⋅ bi + E(εi )
•
Die Wertpapier(Portfolio)-Varianz
Wertpapier(Portfolio) Varianz lässt sich demzufolge zerlegen:
Var(ri ) = bi2 ⋅ Var(F)i + Var(εi )
Gesamtrenditestreuung Erklärte Variation
Unspezifisches Risiko
(unerklärte Variation)
⇒ Fundamentalgleichung der Regressionsanalyse
⇒ Grundlage
g zur Erklärung
g des Tracking
g Errors
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 126 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Tracking
k
Error
•
Index-Tracking: Nachbildung eines vorgegebene Benchmarkportfolios (Index)
•
Der Tracking Error ergibt sich aus dem ex-post Vergleich des gemanagten
Portfolios mit der Benchmark
•
Die auf Jahresbasis hochgerechnete
g
Streuung
g der Residualgröße
g
wird als
Tracking Error bezeichnet (Jahresstreuung des unspezifischen Risikos)
rPF,t, = aPF + rPF,t, ⋅ bPF + εPF,t,
•
aPF
⇒ entspricht Jensen´s Alpha [a > 0 :unabhängiger Erfolg Management]
•
bPF
⇒ mittleres Renditeverhältnis ggü.
ggü der Benchmark [typischerweise > 0]
•
εP,t
⇒ Maß für das in Kauf genommene unspezifische Risiko
(kann auch als Soll-Größe formuliert sein)
Tracking Error = Var(εPF,t )
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 127 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
G
Gründe
d ffür das
d Verfehlen
f hl
der
d Benchmark
h
k
•
Perfekte Replikation der Benchmark unmöglich
•
Kapitalanlagebeschränkung durch Gesetz
•
Kapitalanlagebeschränkung durch Fondspolitik
•
Erweiterte
E
it t A
Anlagemöglichkeiten
l
ö li hk it
d
durch
hF
Fondspolitik
d
litik
(internationale Anlagemöglichkeiten)
•
Erweiterte Selektionsmöglichkeiten
•
Erweiterte Timingaktivitäten
•
Ex-Post Formulierung der Benchmark
•
Bewusste Inkaufnahme unspezifischer Risiken
•
...
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 128 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Praktische
k
h Anwendung
d
des
d CAPM
C
((1))
•
Bestimmung der Über- und Unterbewertung von Aktien
Erwartete
Aktien- 15
rendite
Schering
VW
BASF
Henkel
Viag
10
BMW
Dt Bank
Dt.
RWE
5
0,5
1
1,5
ß-Faktor
Quelle: Steiner/Bruns, S. 258
•
Handlungsempfehlung:
– Kauf von oberhalb der Wertpapierlinie liegenden Aktien (z.B. BASF)
– Verkauf von unterhalb der Wertpapierlinie liegenden Aktien (z. B. Dt. Bank)
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 129 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Praktische
k
h Anwendung
d
des
d CAPM
C
(2)
Rendite
Aktienrendite
ß = 1,2
Siemens-Aktie;
ß = 1,2
1,2
1
DAX
Indexrendite (DAX)
Zeit
Quelle: Perridon/Steiner, S. 282
•
Interpretation:
Bei Anstieg des DAX um 1% steigt die Rendite der Siemens
Siemens-Aktie
Aktie um 1,2%
•
Handlungsempfehlung :
– Bei erwarteter Hausse-Phase Kauf von Aktien mit einem ß-Faktor > 1
Baisse-Phase
Phase Kauf von Aktien mit möglichst niedrigen,
niedrigen
– Bei erwarteter Baisse
am besten negativen Beta-Werten
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 130 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Praktische
k
h Anwendung
d
des
d CAPM
C
(3)
•
Bestimmung des „richtigen“ Kalkulationszinsfußes
μ
Wertpapierlinie
X4
X1
if
X3
Kapitalkosten nach MM
X2
ß-Faktor
Quelle: Schmidt/Terberger, S. 357ff.
•
Handlungsempfehlung:
H
dl
f hl
Durchführung derjenigen Projekte, die oberhalb der Wertpapierlinie liegen
•
Das nach MM unvorteilhafte Investitionsprojekt 1 wird im CAPM als vorteilhaft
be e tet
bewertet
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 131 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
4 3 Wertpapiermanagement und SHORTFALL-Risiko
4.3
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 132 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
S O
SHORTFALL-Risiko
k und
d Portfolio-Management
f l
Roy (1952); Telser (1955); Kataoka (1963); Leibowitz (1989):
•
Vorgabe einer Zielrendite, die nicht unterschritten werden soll
(z.B.: reale Kapitalerhaltung durch Ausgleich der Inflation [ca. 3%] oder
nominelle Kapitalerhaltung [ 0 %] )
•
Wahl der Ausfallwahrscheinlichkeit, die durchschnittlich gerade noch akzeptiert
wird, z.B. 1% < α < 10%
•
g und Marktportfolio
p
Investitionsalternativen: risikolose Verzinsung
•
Optimierungsaufgabe:
– Maximierung der Renditeerwartung
– Restriktion: Wahrscheinlichkeit eines Ausfalls bzgl
bzgl. der Mindestrendite überschreitet
nicht α
– Es werden nur Aktienquoten x betrachtet, bei denen die Ausfallwahrscheinlichkeit α für
die Portfoliorendite nicht überschritten wird
(Normalverteilung der Renditen unterstellt)
P(rPF (x) ≤ X ) ≤ α
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 133 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
S O
SHORTFALL-Gerade
G
d
•
Alle Portfolios, die bzgl. der Mindestrendite dieselbe Ausfallwahrscheinlichkeit
haben liegen im μ/σ-Raum
haben,
Ra m a
auff eine
einer Geraden
Ge aden
•
Als Ansatzpunkt dient die Mindest-Zielrendite
•
Die Steigung
g g k bildet die Höhe der Ausfallwahrscheinlichkeit ab,,
je steiler die Gerade, desto geringer die Ausfallwahrscheinlichkeit
k mit α = 1 - N(k) ⇒ k = N-1(1 - α)
•
Unter allen Portfolios mit gleicher Ausfallwahrscheinlichkeit wird das Portfolio
gewählt, das die höchste Renditeerwartung aufweist
•
In Rendite/Risiko Dimensionen sind diese durch die Kapitalmarktgerade
bezeichnet
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 134 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
S O
SHORTFALL-Gerade
G
d und
d Kapitalmarktgerade
l
k
d
μi
SHORTFALL-Gerade
SHORTFALL
Gerade
μX X
Steigung k =
σX
μM
rf
Marktportfolio M
Optimaler Investitionspunkt X
bei gegebener Ausfall
Ausfall-WSK
WSK
σX
μX − X
X
Mindestrendite
σM
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 135 -
σi
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Ermittlung
l
d
des optimalen
l
Aktienanteils
k
l
Aus der Steigung der SHORTFALL-Geraden
folgt:
⇒X ≡μ-k σ
Für das
Fü
d optimale
ti
l Portfolio
P tf li als
l Kombination
K
bi ti
aus risikoloser
i ik l
A
Anlage
l
und
d
(unvollständiger) Investition in das Marktportfolio gilt:
μ PF (x)
( ) = rf + x ⋅ (μ
( M − rf )
Einsetzen:
σ PF (x)
( ) = x ⋅ σM
X ≡ μ - k⋅σ
⇒ X = [ rf + x ⋅ (μ M - rf )] - k ⋅ [ x ⋅ σ M ]
rf − X
⇔x=
k ⋅ σ M − (μ M − rf )
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 136 -
Optimaler Anteil, der in
das Marktportfolio
investiert werden sollte
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Risikomanagement I
- Vorlesung 6 -
Prof. Dr. Rainer Elschen
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 137 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
5 Derivatetheorie
5.
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 138 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
5 1 Fundamentale Bewertungsansätze
5.1
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 139 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
G
Grundlagen
dl
•
Bei Termingeschäften fallen Vertragsabschluß und Erfüllung mehr als zwei Tage
auseinander
i
d
•
Unbedingte Termingeschäfte (Forwards, Futures) verpflichten Käufer und
Verkäufer zur Erfüllung des Vertrages (in Bezug auf Lieferort, -zeit, -menge und
P i d
Preis
des V
Vertragsgegenstands
t
t d [„Underlying“]),
[ U d l i “]) insofern
i
f
besteht
b t ht kein
k i Wahlrecht,
W hl
ht
sondern eine Verpflichtung der Erfüllung bzw. auf Erfüllung des Vertrages
•
Bedingte Termingeschäfte (Optionen) verpflichten nur den Verkäufer des
Kontraktes zur Erfüllung,
Erfüllung wenn der Käufer des Kontraktes auf die Ausübung
besteht;
der Käufer hat die Flexibilität, unter bestimmten Bedingungen die Lieferung des
y g zu einem vorher spezifizierten
p
Kurs zu beziehen
Underlyings
•
Motive für den Abschluss von Termingeschäften:
– Hedging
– Spekulation
– Arbitrage
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 140 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
G
Gründe
d ffür Existenz und
d Einsatz von Derivaten
•
Hedging:
– Risikotransfer durch Abwälzung von marktfähigen Risiken (Finanzderivate) und von
nicht marktfähigen Produktionsrisiken (Commodity Derivatives, Wetterderivate,
Katastrophenderivate etc.)
– Nichtnotierte Unternehmen können via Derivate den Markt an Risiken des
Unternehmens teilhaben lassen
•
Spekulation:
– Über subjektive Einschätzungen bzgl
bzgl. zukünftiger Umweltlagen der Spekulanten können
in Derivaten Informationen gehandelt werden
•
Arbitrage:
– Marktprozesse sorgen über den Kauf und gleichzeitigen Verkauf von Risikopositionen
für eine ausreichende Allokation von Preisen
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 141 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
5 2 Forwards und Futures
5.2
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 142 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
G
Grundlagen
dl
•
Standardisierte unbedingte Termingeschäfte werden Futures genannt und sind
bö
börsengehandelt.
h d lt
•
Individuelle unbedingte Termingeschäfte werden Forwards genannt.
•
Financial Futures sind unbedingte
g Termingeschäfte,
g
, deren Underlying
y g Devisen,,
Zinsen oder Indizes sind.
•
Warentermingeschäfte (Commodity Futures) haben Waren (Getreide, Rohöl,
Metalle,, Elektrizität,, Katastrophen
p
u.a.m.)) als Underlying.
y g
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 143 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Finanzmärkte
k
Finanzmärkte
Kassamärkte
Terminmärkte
Bedingte
Termingeschäfte
Standardisierte
Optionen
Unbedingte
Termingeschäfte
„Individuelle“
Optionen
Standardisierte
Forwards
Financial Futures
Devisen-Futures
Devisen
Futures
Prof. Dr. Rainer Elschen
Warentermingeschäfte
Zins-Futures
Zins
Futures
- 144 -
Forwards
Index-Futures
Index
Futures
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Financial-Futures-Börsen
l
•
Eurex
– Indizes (Dax-, SMI-, FOX-, Dow Jones EURO STOXX 50-, Dow Jones STOXX 50, Dow
Jones Nordic STOXX 30 -Futures)
– Zinsen (Euro-Schatz-, Euro BOBL-, Euro Bund- Future;
Geldmarkt: Ein
Ein-, Drei
Drei-Monats
Monats EURIBOR - Future)
•
Weitere internationale Financial-Future-Börsen
– CBOT (Chicago Board of Trade )
– CME (Chicago
(Chi
Mercantile
M
til Exchange)
E h
)
– LIFFE (London international Financial Futures Exchange)
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 145 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Warenterminbörsen
b
((1))
•
CBOT
– Korn, Hafer, Reis, Katastrophen, Elektrizität
•
CME (Chicago Mercantile Exchange)
– Vieh, Schweine
•
COMEX (Commodity Exchange Division of NYMEX)
– Kupfer, Gold, Silber
•
CSCE (Coffee,
(C ff
S
Sugar, and
d Cocoa
C
Exchange,
E h
N.Y.)
NY)
– Kakao, Kaffee, Zucker
•
CTN (N.Y. Cotton Exchange)
– Orangensaft, Baumwolle
•
IPE (International Petroleum Exchange of London)
– Rohöl, Gas
•
LIFFE (London International Financial Futures and Options Exchange)
– Korn, Hafer, Reis, Katastrophen, Elektrizität
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 146 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Warenterminbörsen
b
(2)
•
LME (London Metal Exchange)
– Aluminium, Kupfer, Blei, Nickel
•
NYMEX (New York Mercantile Exchange)
– Heizöl, Gas, Bleifreies Benzin, Rohöl, Strom
•
WTB (Warenterminbörse, Hannover)
– Kartoffeln, Schlachtschweine, Weizen, Altpapier
•
EEX (European
(E
Energy
E
Exchange,
E h
F
Frankfurt)
kf t)
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 147 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Kontraktspezifikationen
k
fk
für
f Financial-Futures
l
an der
d EUREX ((1))
•
Indizes (hier: DAX)
– Kontraktwert:
K t kt
t EURO 25 pro IIndexpunkt
d
kt d
des Dax
D
– Erfüllung: Durch Barausgleich basierend auf dem Schlußabrechnungspreis, fällig am
ersten Börsentag nach dem letzten Handelstag.
g In Punkten;; auf eine Dezimalstelle.
– Preisermittlung:
– Minimale Preisveränderung: 0,5 Punkte; dies entspricht einem Wert von EURO 12,50.
– Verfallmonate: Die jeweils nächsten drei Quartalsmonate des Zyklus März, Juni,
September und Dezember.
– L
Letzter Handelstag:
H d l
D
Der dritte
d i
Freitag
F i
des
d Verfallmonats,
V f ll
sofern
f
dies
di ein
i Börsentag
Bö
ist,
i
andernfalls der davor liegende Börsentag. Handelsschluß ist der Beginn der Aufrufphase, der von der Geschäftsführung bestimmten untertägigen Auktion im elektronischen Handelssystem der Frankfurter Wertpapierbörse (Xetra) um 13:00 Uhr MEZ.
– Tä
Täglicher
li h Ab
Abrechnungspreis:
h
i V
Volumengewichteter
l
i ht t D
Durchschnitt
h h itt d
der P
Preise
i aller
ll
Geschäfte in der Minute vor 17.30 Uhr MEZ, sofern in diesem Zeitraum mehr als fünf
Geschäfte abgeschlossen wurden. Ist eine derartige Preisermittlung nicht möglich, wird
der tägliche Abrechnungspreis entsprechend der mittleren Geld-/Briefspanne des
Kombinationsauftragsbuchs festgelegt.
– Schlußabrechnungspreis: Wert des DAX; ermittelt auf der Grundlage der am letzten
Handelstag in der untertägigen Auktion im elektronischen Handelssystem an der
Frankfurter Wertpapierbörse (Xetra) zustande gekommenen Preise für die im DAX
enthaltenen Werte.
– Handelszeit: 07:50 bis 22.00 Uhr MEZ
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 148 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Kontraktspezifikationen
k
fk
für
f Financial-Futures
l
an der
d EUREX (2)
•
Geldmarkt (hier: Dreimonats-EURIBOR-Future (FEU3))
– Basiswert: European Interbank Offered Rate (EURIBOR) für Dreimonats-Termingelder
in Euro.
– Kontraktwert: EUR 1.000.000
– Erfüllung:
E füll
D
Durch
hB
Barausgleich,
l i h fälli
fällig am ersten
t
Bö
Börsentag
t
nach
h dem
d
letzten
l t t
Handelstag.
H d l t
– Preisermittlung: In Prozent auf drei Dezimalstellen auf der Basis 100 abzüglich
gehandeltem Zinssatz.
– Minimale Preisveränderung: 0
0,005
005 Prozent; dies entspricht einem Wert von EUR 12,50.
12 50
– Verfallmonate: Die nächsten zwölf aufeinanderfolgenden Quartalsmonate aus dem
Zyklus März, Juni, September, Dezember.
Die längste Laufzeit beträgt somit 36 Monate.
– Letzter Handelstag - Schlussabrechnungstag: Zwei Börsentage vor dem dritten
Mittwoch des jeweiligen Erfüllungsmonats, soweit von der EURIBOR FBE/ACI an diesem
Tag der für Einmonats-Euro-Termingelder maßgebliche Referenz-Zinssatz EURIBOR
festgestellt wird, ansonsten der davor liegende Börsentag. Handelsschluss für den
fälligen Kontraktmonat ist 11.00 Uhr MEZ.
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 149 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Kontraktspezifikationen
k
fk
für
f Financial-Futures
l
an der
d EUREX (3)
•
Geldmarkt (hier: Dreimonats-EURIBOR-Future (FEU3), Fortsetzung)
– Täglicher Abrechnungspreis: Volumengewichteter Durchschnitt der Preise aller während
der letzten Handelsminute ( vor 17.15 Uhr MEZ) zustande gekommenen Geschäfte,
sofern in diesem Zeitraum mehr als fünf Geschäfte zustande gekommen sind. Ist eine
derartige Preisermittlung nicht möglich, wird der tägliche Abrechnungspreis
entsprechend der mittleren Geld-/Briefspanne des Kombinationsauftragsbuchs
festgelegt.
– Schlussabrechnungspreis: Der Schlussabrechnungspreis wird von der Eurex auf
Grundlage des von der FBE/ACI ermittelten Referenz
Referenz-Zinssatzes
Zinssatzes (EURIBOR) für
Dreimonats-Termingelder in Euro um 11.00 Uhr MEZ am letzten Handelstag festgelegt.
Bei der Festlegung des Schlussabrechnungspreises wird der EURIBOR-Satz auf das
nächstmögliche Preisintervall (0,005; 0,01 oder ein Vielfaches) gerundet und
anschließend von 100 subtrahiert.
– Handelszeit: 8.00 bis 19.00 Uhr MEZ
– Zustandekommen von Geschäften (Pro-Rata-Matching): Die Zusammenführung von
Aufträgen und Quotes, die sich auf den Dreimonats-Euribor-Future beziehen, erfolgt
nach dem Pro-Rata-Matching-Prinzip*.
* Der ausschließlich auf Preispriorität basierende Pro Rata-Algorithmus hat mit Wirkung
zum 14.09.1999 das bis dahin für Geldmarkt-Futures übliche Matching Prinzip nach
Preis Zeit Priorität ersetzt.
Preis-Zeit-Priorität
ersetzt
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 150 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Kontraktspezifikationen
k
fk
für
f Financial-Futures
l
an der
d EUREX ((4))
•
Kapitalmarkt (hier: Euro-BUND-Future)
– Basiswert: Fiktive langfristige Schuldverschreibung der Bundesrepublik Deutschland mit
8½ bis 10½jähriger Laufzeit und einem Kupon von 6 Prozent.
– Kontraktwert: EUR 100.000
– E
Erfüllung:
füll
Ei
Eine Lieferverpflichtung
Li f
fli ht
aus einer
i
Short-Position
Sh t P iti
iin einem
i
E
Euro-BUND-FutureBUND F t
Kontrakt kann nur durch bestimmte Schuldverschreibungen - nämlich Anleihen der
Bundesrepublik Deutschland - mit einer Restlaufzeit von 8½ bis 10½ Jahren erfüllt
werden. Die Schuldverschreibungen müssen ein Mindestemissionsvolumen von 5 Mrd.
Euro aufweisen.
aufweisen
– Preisermittlung: In Prozent vom Nominalwert; auf zwei Dezimalstellen.
– Minimale Preisveränderung: 0,01 Prozent; dies entspricht einem Wert von EURO 10.
– Li
Liefertag:
f t
Der
D Liefertag
Li f t
ist
i t der
d zehnte
h t Kalendertag
K l d t
des
d jeweiligen
j
ili
Quartalsmonats,
Q
t l
t
sofern dieser Tag ein Börsentag ist, andernfalls der darauffolgende Börsentag.
– Liefermonate: Bis zu neun Monate; die jeweils nächsten drei Quartalsmonate des
Zyklus März, Juni, September und Dezember.
– Letzter Handelstag: Zwei Börsentage vor dem Liefertag des jeweiligen Liefermonats.
Handelsschluss für die fälligen Futures ist 12.30 Uhr MEZ.
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 151 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Kontraktspezifikationen
k
fk
für
f Financial-Futures
l
an der
d EUREX ((5))
•
Kapitalmarkt (hier: Euro-BUND-Future, Fortsetzung)
– Täglicher Abrechnungspreis: Volumengewichteter Durchschnitt der Preise aller während
der letzten Handelsminute ( vor 17.15 Uhr MEZ) zustande gekommenen Geschäfte,
sofern in diesem Zeitraum mehr als fünf Geschäfte zustande gekommen sind. Ist eine
derartige Preisermittlung nicht möglich, wird der tägliche Abrechnungspreis
entsprechend der mittleren Geld-/Briefspanne des Kombinationsauftragsbuchs
festgelegt.
– Schlussabrechnungspreis: Volumengewichteter Durchschnitt der Preise der letzten zehn
zustande gekommenen Geschäfte, sofern sie nicht älter als 30 Minuten sind, oder der
volumengewichtete Durchschnitt der Preise aller während der letzten Handelsminute
abgeschlossenen Geschäfte, sofern in diesem Zeitraum mehr als zehn Geschäfte
zusammengeführt wurden. Der Zeitpunkt der Festlegung des
Schlussabrechnungspreises ist 12.30 Uhr MEZ des letzten Handelstages.
Ist beides nicht möglich, oder entspricht der so ermittelte Preis nicht den
tatsächlichen Marktverhältnissen, legt die EUREX den Abrechnungspreis fest.
– Handelszeit: 8.00 bis 22.00 Uhr MEZ
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 152 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
S h h
Sicherheitsleistungen
l
(Margin)
(
)
•
Initial Margin
D Betrag,
Der
B t
den
d
ein
i Käufer
Kä f oder
d Verkäufer
V kä f
beim
b i Eingehen
Ei
h
einer
i
offenen
ff
FutureF t
Position als Ersteinschuss erbringen muss.
•
Variation Margin
Di täglichen
Die
tä li h
V
Veränderungen
ä d
d
der b
bestehenden
t h d
P
Positionen
iti
werden
d
dem
d
Margin
M
i
Account gutgeschrieben bzw. belasten das Konto.
Zur Vereinfachung wird eine Bandbreite festgelegt; innerhalb dieser Grenzen ist
ein „„Nachschießen“ nicht erforderlich.
•
Maintenance Margin (Mindesteinschuss)
Stellt einen bestimmten Kontostand (Untergrenze der Bandbreite) des Margin
p
bis zum Erreichen
Account dar,, bei dessen Unterschreiten eine Nachschusspflicht
der Initial Margin notwendig ist. Andernfalls erfolgt durch die Clearing-Stelle eine
Zwangsliquidation der offenen Positionen.
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 153 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
G
Gewinne
und
d Verluste
l
b
beim Long und
d Sh
Short Future
Long Future
Short Future
G
G
F
V
Prof. Dr. Rainer Elschen
K
F
V
mit:
G: Gewinne
V: Verluste
F: Future Preis
K: Kassakurs
- 154 -
K
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
5.3 Bewertung unbedingter Terminkontrakte
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 155 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Z hl
Zahlungsprofil
fil unbedingter
b di t Termingeschäfte
T
i
häft
St
Preis des Underlyings in t
Ft
Preis in t (t < T) für die Lieferung in T
Cash Flows
Vertragsschluss
Erfüllung (Maturität)
L
Long
0
ST –
Ft
Short
0
Ft
ST
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 156 -
–
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
El
Eleminierung
i i
d
der U
Unsicherheit
i h h it
Durch Aufbau gegenläufiger Positionen mit unbedingten Termingeschäften lässt sich die Unsicherheit vollständig eliminieren.
Z it
Zeitpunkt
kt t1 < T:
T
A fb
Aufbau
einer
i
LongL
P iti
Position
zu Li
Lieferpreis
f
i F1
Zeitpunkt t2 < T:
Aufbau einer Short- Position zu Lieferpreis F2
=> Gewinn/Verlust bei Maturität:
(ST – F1) + (F2 – ST) = F2 – F1
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 157 -
(Sicher!)
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
A bit
Arbitragefreie
f i ffaire
i Bewertung
B
t
(1)
•
Underlying ohne Dividendenzahlung und ohne Lagerkosten
•
Gegenwärtiger Kassakurs des Underlyings: 150,- €
•
Zins: 5%
•
Laufzeit bis Maturität T: 1 Jahr
•
Fairer Preis F0 ?
t0
T=t1=1
0
ST – F0
+ ST
Strategie
g 1:
Long
g Future
Strategie 2:
Long Spot
- 150
Kredit
+150
- 150 · (1,05) = 157,50
∑0
Prof. Dr. Rainer Elschen
ST – 157,5
- 158 -
!
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
A bit
Arbitragefreie
f i ffaire
i Bewertung
B
t
(2)
• Fairer Preis: F0 = S0 · e
r·T
• Der Faire Preis ist der Lieferpreis, der den Wert des Kontraktes +
Underlyings gleich 0 setzt!
=> Wert eines unbedingten Kontraktes mit Lieferpreis K:
f = S0 – K · e
-r·T
f = 0 für K = F0
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 159 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
A bit
Arbitrage
• Wenn F0 ≠ S0 · e
r·T
: Arbitragemöglichkeiten
• Cash and Carry- Arbitrage:
– F0 > S0 · e
r·T
– fremdfinanzierter Kauf des Underlyings, Short Future
• Reverse Cash and Carry- Arbitrage:
– F0 < S0 · e
rr·T
T
– Leerverkauf des Underlyings, Anlage zu r, Long Future
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 160 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
A bit
Arbitrage:
B
Beispiel
i i l
•
U d l i
Underlying:
S0 = 150,150 €
•
Zins: 5%
•
T=1
S0 · e
r·T
= 157,69 €
=> Wenn: Future Preis = 160,- €
▪
Future überbewertet Æ verkaufen!
▪
Long Spot
- 150
+ S1
▪
Kredit
+ 150
- 157,69
▪
Short Future
0
160,00 – S1
▪
Summe
0
+2,31
(Sicher!)
=> Wenn: Future Preis = 140,- €
▪
Future unterbewertet Æ kaufen!
▪
Short Spot
+ 150
- S1
▪
Anlage
- 150
+ 157,69
▪
Short Future
0
S1 – 140,00
▪
Summe
0
+17 69
+17,69
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 161 -
(Sicher!)
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
5.4 Allgemeine Fair Value Bewertung Futures
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 162 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Fair Value
l
und
dd
der C
Cost-off Carry-Ansatz
C
( )
(1)
•
Legende der verwendeten Symbole:
– T
Laufzeit des Kontraktes (in Jahren)
– t
gegenwärtiger Zeitpunkt (in Jahren)
– S
Preis des zugrundeliegenden Basiswertes zum Zeitpunkt t
(K
(Kassakurs
k
in
i t)
– ST
Preis des zugrundeliegenden Basiswertes am Ende der Laufzeit
(Kassakurs in T)
– F
Future Preis im Zeitpunkt t
– r
risikoloser inländischer Zinssatz
– rf
risikoloser Auslandszinssatz
– q
Dividende (in Prozent)
– u
Lagerhaltungskosten
(in Prozent des Kassakurses)
– y
„convenience y
yield“ (Vorteilszins)
(
)
– c
„cost of carry“
– k
Diskontierungsfaktor (CAPM)
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 163 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Fair Value
l
und
dd
der C
Cost-off Carry-Ansatz
C
(2)
•
Für „no-income securities“ (z. B. ohne Dividendenzahlung) gilt folgender
Zusammenhang:
h
F = Se r(T− t)
•
Unter Einbeziehung von Dividendenzahlungen folgt:
F = Se (r −q)(T − t)
•
Für Währungskontrakte ergibt sich:
F = Se
S (r −rf )(T− t)
•
Futures auf Waren:
F = Se (r + u − y)(T− t)
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 164 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Fair Value
l
und
dd
der C
Cost-off Carry-Ansatz
C
(3)
•
Mit dem Begriff „cost of carry“ werden die verschiedenen Kostenbestand- teile
des Termingeschäfts erfaßt (Lagerhaltungskosten,
(Lagerhaltungskosten Finanzierungskosten etc.).
etc )
F = Se(c − y)(T− t)
•
Zusammenhang zwischen F und dem bei Fälligkeit in T erwarteten Kassakurs S
F = E(ST )e (r −k)(T − t)
Literaturhinweis: Hull, S.55-84
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 165 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
5.5 Basisrisiko und Basishedging
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 166 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Konvergenz von Future- und
d Kassa-Kurs
F
Future - Preis
BASIS
K
Kassa - Kurs
Z it
Zeit
Verfallzeitpunkt
mit:
F:
Future-Preis
K: Kassakurs
F-K:
F
K: Basis
Prof. Dr. Rainer Elschen
Es gilt:
F > K : Contango
F < K : Backwardation
- 167 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Basisrisiko
•
Basisrisiko
Ri ik des
Risiko
d Ab
Abweichens
i h
d
des Future-Preises
F t
P i
von seinem
i
Fair
F i Value
V l
während
äh
d der
d
Laufzeit. Beim Hedging beispielsweise eines Aktienportefeuilles mit DAX-Futures
entstehen hierdurch Gewinn- bzw. Verlustmöglichkeiten, falls die PortefeuilleHaltedauer von der Future-Laufzeit abweicht
Dax, F
FV
F
7200
RisikoKomponente
BASIS
FV
7000
t0
Prof. Dr. Rainer Elschen
Zeit
- 168 -
mit:
F: Preis des
DAX Futures
FV: Fair Value des
DAX Futures
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
B i Risiko
BasisRi ik (2)
Basis = Kassakurs des Underlyings – Future-Preis
t1
t2
<T
Spot
S1
S2
Future
F1
F2
Basis
b1 = S1 - F2
b2 = S2 – F2
CF in t2
- Longhedge:
– S2 + (F2 – F1) =
– F1
–b2
- Shorthedge:
Sh th d
+ S2 + (F1 – F2) =
+ F1
+b
b2
in t1 bekannt
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 169 -
in t1 nicht bekannt
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Mi i
Minimum
Varianz
V i
Hedge
H d
des
d Basisrisikos
B i i ik
Asset Long, Future Short
Δv = ΔS − h ⋅ ΔF
Varianz:
var(v) = σ s + h 2σ F − 2hρ S ; F σ Sσ F
BEO:
∂ var(v)
2
= 2hσ F − 2 ρ S ; F σ Sσ F =! 0
∂h
=>
2
2
σS
h = ρS ; F ⋅
σF
Prof. Dr. Rainer Elschen
opt
- 170 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
O
Optimale
l Hedgeratio
d
d
des Basisrisikos
k
•
Erfassung des Basisrisikos:
h
opt
=
ρ F,S ⋅ σS
σF
=
cov F,S
σ F2
= βS,F
mit:
ρF,S
F S : Korrelation Future- und Kassakurs
σS : Standardabweichung Kassakurs
σF : Sandardabweichung Futurekurs
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 171 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
5 6 Hedging mit Indexfutures
5.6
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 172 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Beteiligungsmanagement
l
mit DAX-Futures (1)
( )
Aktie
Menge
Daimler-Chrysler
Veba
Dresdner Bank
Siemens
2000
3000
5000
1000
Kassakurs
59,00
55,40
45,20
166 70
166,70
05.06.2000
Beta
05.06.2000
EURO/Aktie
EURO/Aktie
EURO/Aktie
EURO/Aktie
Schlusskurs DAX am 06.06.2000:
7.408,02 Punkte
DAX-Futures Sept.00 am 06.06.2000:
7.425,00 Punkte
Szenario:
Am 3. Freitag im September ist DAX auf 6.500 Punkte gefallen !
Gesucht:
a) Gesamtportpolio-Volumen
0,5264
0,2986
0,8574
1 3819
1,3819
b) Beta
ad a) Kapitalisierung: Daimler-Chrysler:
118.000 ,-
Veba:
166.200 ,-
D
Dresdner
d
Bank
B k
226 000 ,226.000
Siemens
Gesamtportfolio-Volumen
166.700 ,676.900 ,-
ad b) Portfolio-Beta: ßp = xDCX . ßDCX + xV . ßV + xDRB . ßDRB + xSIE . ßSIE = 0,7917
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 173 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Beteiligungsmanagement
l
mit DAX-Futures (2)
•
Die Wertänderung des Portfeuilles bis September ergibt sich durch Multiplikation
d relativen
der
l ti
Veränderung
V ä d
d
des DAX mit
it dem
d
Portfolio-Beta:
P tf li B t
⇒ [(6.500 - 7.408,02)/7.408,02] . 0,7917 = - 0,1226 . 0,7917 = - 9,7036%
⇒ Daraus folgt ein Verlust in der Kassaposition i.H.v. -65.683,90 EURO.
•
DAX-Futures-Position:
– Hedge-Ratio:
mit
(
Portfolio - Volumen
) ⋅ ßP ⋅ h opt
Futures - Preis ⋅ Index - Multiplika
p tor
–
Portfolio-Volumen:
676.900,- EURO
–
DAX-Futures-Preis :
7425 Punkte
–
Index-Multiplikator : 25 EURO pro Indexpunkt
–
Beta-Faktor :
–
0,7917
ρ DAX,DAX− Futures ⋅ σ DAX
h =
σ DAX− Futures
opt
= 0,9597
0 9597
676.900,⎛
⎞
HR = ⎜
⎟ ⋅ 0,7917 ⋅ 0,9597 = 2,7705
⎝ 7.425,00 ⋅ 25 EURO/Pkt ⎠
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 174 -
d h 3 DAX
d.h.
DAX-Futures
Futures short
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Beteiligungsmanagement
l
mit DAX-Futures (3)
•
DAX-Futures-Position im September:
(7.425 Punkte – 6.500 Punkte) · 25 EURO/Punkt · 3
= + 69.375,00 EURO
•
Damit ergibt
g
sich als Netto-Position:
69.375,00 - 65.683,90 = 3.691,10 EURO
•
Hinweis: Die Ermittlung der Hedge-Ratio mittels hopt ergibt lediglich eine
ä e u gs ösu g !
Näherungslösung
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 175 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Risikomanagement I
- Vorlesung 7 -
Prof. Dr. Rainer Elschen
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 176 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
5 7 Optionen
5.7
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 177 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
G
Grundlagen
dl
•
Eine Option ist ein handelbares und übertragbares Instrument. Die mit einer
O ti
Option
verbundenen
b d
R
Rechte
ht und
dV
Verpflichtungen
fli ht
sind
i d entweder
t d durch
d
h offizielle
ffi i ll
Richtlinien und Regelungen oder durch freie Vereinbarungen zwischen Käufer und
Verkäufer festgelegt.
•
Eine O
Ei
Option
ti
verkörpert
kö
td
das R
Recht,
ht nicht
i ht aber
b di
die Verpflichtung,
V
fli ht
einen
i
Basiswert
B i
t
zu einem vereinbarten Kurs innerhalb eines festgelegten Zeitraumes oder zu
einem vereinbarten Fälligkeitstermin zu kaufen oder zu verkaufen. Für dieses
p
dem Verkäufer die Optionsprämie.
p
p
Recht zahlt der Käufer der Option
•
Eine Call (Kauf) Option gibt dem Käufer (Halter) das Recht, einen bestimmten
Basiswert zu einem vereinbarten Kurs innerhalb eines festgelegten Zeitraumes
g
zu kaufen.
oder zum Fälligkeitstermin
•
Eine Put (Verkauf) Option gibt dem Käufer (Halter) das Recht, einen bestimmten
Basiswert zu einem vereinbarten Kurs innerhalb eines festgelegten Zeitraumes
g
zu verkaufen.
oder zum Fälligkeitstermin
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 178 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
O
Options-Begriffe
ff (1)
( )
•
Der Käufer einer Option erwirbt eine Call oder Put Option und zahlt dem
V kä f die
Verkäufer
di Optionsprämie.
O ti
ä i
Der Käufer hat eine Long Position in der Option.
•
Der Verkäufer (Schreiber oder Stillhalter) einer Call oder Put Option erhält die
O ti
Optionsprämie
ä i von d
dem Kä
Käufer.
f
D
Der V
Verkäufer
kä f gewährt
äh t dem
d
Käufer
Kä f die
di mit
it der
d
Option verbundenen Rechte. Aufgrund dieser potentiellen Verbindlichkeit ist der
Verkäufer von Optionen verpflichtet, Margins mit der Clearing Stelle zu halten.
p
Der Verkäufer hat eine Short Position in der Option.
•
Der Basiswert einer Option ist das der Option zugrundeliegende Instrument.
Dieses Instrument wird bei der Ausübung des Optionsrechtes geliefert.
•
Bei der Option zugrundeliegenden Instrument kann es sich um ein Instrument
des Kassamarktes oder des Futures Marktes handeln.
•
Der Basispreis ist der Preis, zu dem der Käufer der Call (Put) Option den der
Option zugrundeliegenden Basiswert bei der Ausübung des Optionsrechtes
erwerben (verkaufen) kann. Der Basispreis wird auch Exercise (X) oder Strike
Price genannt.
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 179 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
O
Options-Begriffe
ff (2)
•
Basispreise werden in Intervallen von E 5 (X<99), E 10 (100<X<199), E 20
(200<X<499) E 50 (500<X<999) und E 100(X>1000) festgelegt.
(200<X<499),
festgelegt
•
Der Verfallstermin von Optionen ist der letzte Tag, an dem das Optionsrecht
ausgeübt werden kann. Dieser Verfallstag ist der erste Börsentag nach dem
dritten Freitag
g des Verfallmonats. Nach dem Verfallstermin sind alle Optionen
p
wertlos. Der letzte Handelstag einer Optionsserie ist der dritte Freitag des
Verfallmonats.
•
Die Verfallsmonate der an Börsen gehandelten Optionen folgen einem
f t l t
festgelegten
Z
Zyklus.
kl
Der
D für
fü die
di an der
d Eurex
E
gehandelten
h d lt
Aktienoptionen
Akti
ti
gültige
ülti
Zyklus der Verfallstermine basiert auf Laufzeiten der Kontrakte von 1,2 und 3
Monaten. Ein weiterer Kontrakt wird auf den März-Zyklus basierenden nächsten
Monat gehandelt.
•
Die Optionsprämie ist der zwischen Käufer und Verkäufer der Option
ausgemachte Tauschpreis. Die Prämie wird vom Käufer der Option an den
Verkäufer gezahlt.
•
Prämien werden allgemein als Preis pro Einheit des Basiswertes quotiert. Der
Preis einer Option wird mit Preisabstufungen von E 0,01 ermittelt, soweit nicht
von den Geschäftsführungen der Eurex-Börsen etwas anderes bestimmt wird.
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 180 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
O
Options-Begriffe
ff (3)
•
Eine amerikanische Option kann vom Käufer zu jedem Zeitpunkt während der
L f it ausgeübt
Laufzeit
übt werden.
d
•
Eine europäische Option kann dagegen vom Käufer nicht während der Lauf- zeit
sondern nur am Verfallstermin ausgeübt werden.
•
Von wenigen Ausnahmen abgesehen, handelt es sich bei an Börsen gehandelten
Optionen um amerikanische Optionen.
•
Ein Eröffnungskauf
g
((-verkauf)) ist eine Transaktion,, bei der der Investor eine long
g
(short) Optionsposition einnimmt.
•
Ein Glattstellungskauf (-verkauf) ist eine Transaktion, bei der der Investor eine
Option,
p
, die die gleichen
g
Konditionen wie die vorher verkaufte (gekaufte)
(g
) Option
p
aufweist, nun (zurück-) kauft (verkauft). Mit dieser Transaktion hat der Investor
effektiv alle vorherigen Rechte und Verpflichtungen eliminiert, und damit seine
ursprüngliche Position glattgestellt.
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 181 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
O
Options-Begriffe
ff (4)
( )
•
Das offene Interesse ist die zu einem Zeitpunkt existierende Anzahl aller
O ti
Optionskontrakte.
k t kt
•
Wenn sowohl Käufer als auch Verkäufer in eine neue Optionsposition eintreten,
so erhöht sich das offenen Interesse.
•
Wenn sowohl Käufer als auch Verkäufer durch eine Transaktion eine vorher
eingenommene Position glattstellen, so verringert sich das offene Interesse.
•
Bei allen anderen Transaktionen bleibt das offene Interesse konstant.
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 182 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Börsen und
d Underlyings
d l
•
Wichtige Optionsbörsen
– Eurex
– CBOE
– AMEX
•
Underlyings von Financial Options
– Aktien
– Währungen
g
– Indizes
– Futures
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 183 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Teilnehmer
l h
am O
Optionsmarkt
k
•
Börsenteilnehmer
– Market Marker
– Einfacher Teilnehmer
▪ Kundengeschäft (Broker)
▪ Eigenhandel
h d l ((Prinzipial)
l)
•
Kundengeschäft (Broker)
– Auftragsausführung
– Provisionseinnahmen
– Clearing / Nonclearing
– Führung der Margin Konten
– Marktanalyse
– Beratung
– Ausbildung
•
Publikum
– Institutionen / Privatanleger
– National / International
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 184 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Komponenten des
d O
Optionsauftrags
f
•
Kauf / Verkauf
•
Eröffnung / Glattstellung
•
Festlegung des Basiswertes
•
A
Anzahl
hl der
d Kontrakte
K t kt
•
Festlegung der Laufzeit
•
Festlegung
g g des Basispreises
p
•
Laufzeit des Auftrages
– Tagesauftrag
– Fixiertes Datum
– Widerruf
•
Festlegung der Optionsprämie
– Marktpreis
– Limitierter Preis
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 185 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Exotische
h Optionen
O
•
Was unterscheidet exotische Optionen von klassischen Optionen?
– Variation der Laufzeit und der Ausübungsmodalitäten
– Variation der Anzahl und der Art der Basisinstrumente
– Variation des Basispreises
– Variation der Auszahlungsfunktion
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 186 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Variation Laufzeit
f
und
d Ausübungsmodus
b
d
•
Bermuda-Optionen
– Die Ausübung ist nur zu festgelegten Terminen innerhalb der Laufzeit möglich. Einzelne
Tage oder eine Reihe von Terminen können als
Ausübungszeitpunkte festgelegt werden.
– Anwendung: Hedging von Anleihen mit Kündigungsrechten (Callable bzw
bzw. Puttable
Bonds), oder auch zur Absicherung von Optionen auf Swaps (Swaptions) mit
Ausübungsmöglichkeiten an den Kündigungsterminen der Anleihe
•
Forward Start Option/ Delayed Option
– Die Optionsprämie wird bei Geschäftsabschluss fällig, jedoch beginnt die Laufzeit der
Option ab einem zukünftigen Zeitpunkt. Der Bezugspreis wird i.d.R. bei Abschluß des
Geschäftes als Prozentsatz des bei Laufzeitbeginn aktuellen Marktpreises festgelegt.
Der Bezugspreis wird bei Laufzeitbeginn gefixt (Strike Fixing).
Fixing)
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 187 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Variation Basisinstrument
•
Basket-Optionen
– Das Underlying besteht aus einem Korb (Basket) mehrerer gleichartiger Instrumente.
Das Basket kann aus Aktien bestimmter Branchen
(z.B. Automobil, Banken, Chemie...) oder Währungen bestimmter Regionen (z.B.Asien,
Lateinamerika, Osteuropa) zusammengesetzt sein.
– Der Preis des Baskets ist die gewichtete Summe der Einzelinstrumente, wobei bei
Vertragsabschluß die Gewichtungsfaktoren und die Bestandteile zu fixieren sind.
– Der Ausübungspreis wird zu 1 +/- X% des Basketwertes beim Fixing festgelegt.
– Absicherung bzw. Spekulation bei Sonderbewegungen bestimmter
Wirtschaftsregionen
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 188 -
Branchen oder
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Variation Basisinstrument (2)
•
Rainbow Option
– Multifaktor-Option, die sich durch Bezug auf mehrere Underlyings auszeichnet.
– Spread Optionen:
▪ Bezugnahme auf die Differenzen von Preisen oder Renditen zweier
Basisinstrumente (z.B.
(z B Renditespread von Staatsanleihe und Aktienindex)
– Exchange Option
▪ Tausch eines Basisinstrumentes gegen ein anderes (Kauf von Pfund gegen EURO)
•
Q
Quanto-Optionen
t O ti
– Optionen, deren Auszahlung in einer anderen Währung als die des Basisinstrumentes
vereinbart wird („Quantity Adjusting Option“).
– Der Wechselkurs wird vorab festgelegt.
festgelegt Diese Option wird häufig auch mit anderen
exotischen Optionstypen gemischt. (z. B. Quanto auf Forward Start Options)
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 189 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Variation Basisinstrument (3)
•
Compound Option
– Optionen, deren Basisinstrument selbst wieder Optionen auf andere Basisinstrumente
darstellen. Dabei können die Ausübungspreise von Mutter- und Tochteroption
divergieren.
▪ Spekulation auf implizite Volatilitäten
▪ Potentiell Optionskäufer können den Kauf (Verkauf) in hoch (gering) volatilen
Märkten auf zukünftige Zeitpunkte verschieben.
•
Wetteroption
p
– Optionen, deren Underlying die klimatische Entwicklungen einer vorab definierten
Messstation (z.B. Station Flughafen Frankfurt) darstellt.
– Besonders klimaempfindliche Branchen (Energieversorger, Wintersport-Touristik,
Landwirtschaft) können sich damit gegen Umsatzeinbrüche absichern.
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 190 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Variation Basispreis
•
Barrier Option
– Optionen, die erst bei Über-oder Unterschreiten einer Wertschwelle (Barrier) des
Basisinstruments ihre ursprüngliche Form annehmen (Knock-In-Option), oder wertlos
verfallen (Knock-Out-Option).
– Damit sind die Kombinationen Down
Down-In
In, Down
Down-Out
Out, Up
Up-In
In, Up
Up-Out
Out möglich.
möglich Bei einem
Down-In Call/Down-Out Call ist die Barriere meist unter dem Ausübungspreis, bei
einem Down-In Put/Down-Out Put darüber. Die Barrier Optionen haben damit eine
größeren Hebel, jedoch besteht das Risiko, dass die Option vorzeitig wertlos wird.
•
Korridor Option
– Der Inhaber der Korridor Option erhält für jeden Tag der Laufzeit, der sich das
Basisinstrument in einer bestimmten Wertgrenze befindet, einen vorab festgelegten
Wertzuwachs der bei Fälligkeit zur Auszahlung kommt.
Wertzuwachs,
kommt
– Einsatz nach sehr volatilen Marktphasen, wenn mit einer längeren Seitwärtsbewegung
gerechnet wird. (z.B. DAX zwischen 5000 und 5500 Pkt.)
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 191 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Variation Basispreis (2)
•
Asiatische Optionen
– Optionen, deren Wert von der Entwicklung des Basisinstruments während der Laufzeit
abhängt.
– Average Price Option:
▪ Der beobachtete Durchschnittspreis des Underlyings wird als Spotpreis bei
Fälligkeit gewertet. Die Auszahlung ergibt sich aus der Differenz des
Durchschnittspreises zum Basispreis.
– Average Strike Option
▪ Der Durchschnittspreis des Underlyings dient als Bezugspreis. Die Auszahlung bei
Fälligkeit ergibt sich aus dem Spotpreis und dem Durchschnittspreis.
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 192 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Variation Auszahlungsfunktion
hl
f k
•
Binär Option (Digital Option)
– All-or-Nothing Option:
▪ Am Ende der Laufzeit wird eine fest vereinbarte Summe ausgezahlt, wenn die
Option im Geld ist. Andernfalls verfällt sie wertlos.
– Asset-or-Nothing
Asset or Nothing Option
▪ Bei dieser Option wird entsprechend der Wert des Basisinstruments gezahlt oder
verfällt wertlos.
•
Power Option
– Power Optionen weisen nichtlineare Auszahlungsfunktionen auf, da die Differenz von
Spotpreis und Strike mit einem Faktor (Multiple) versehen wird.
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 193 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Long und
d Sh
Short Aktien
k
Positionen
Short
Ge
ewinn
Ge
ewinn
Gewinn und Verlust am Verfalltag
Prof. Dr. Rainer Elschen
Kurs
Verlust
Verlust
Kurs
Long
- 194 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Long und
d Sh
Short Options-Positionen
O
Prof. Dr. Rainer Elschen
Call
Gewinn
Short
Put
Strike
- 195 -
Long
Strike
Ve
erlust
Strike
Gewinn
Short
Verlust
Verrlust
Gewinn
Verrlust
Gewinn
Gewinn und Verlust am Verfalltag
Long
Strike
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
5 8 Optionsstrategien
5.8
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 196 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
S
Synthetische
h
h Long und
d Short
Sh
Future Positionen
Long Future
Gew
winn
Gew
winn
Gewinn und Verlust am Verfalltag
Short Future
Short Call
Short Put
Long Put
Long Call
Ve
erlust
Strike
Ve
erlust
Strike
Strategie: geringerer Kapitalbedarf gegenüber direktem Aktienkauf
Prof. Dr. Rainer Elschen
Strategie: Leerverkauf von Aktien
- 197 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
S l S
Split
Strike
k Future Position
Long Split
Strike Future
Gew
winn
Gew
winn
Gewinn und Verlust am Verfalltag
Short Split
Strike Future
A
B
Nettoposition
Ve
erlust
Ve
erlust
A
Strategie: - Erwartung steigender Kurse, Absicherung für leicht fallende Kurse
- geringerer Kapitaleinsatz gegenüber
direktem Aktienkauf
Prof. Dr. Rainer Elschen
B
- 198 -
Nettoposition
Strategie: - Erwartung fallender Kurse,
- Absicherung für leicht fallende
Kurse
- Leerverkauf
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Bull-Price-Spread
p
Bear-Price-Spread
p
Gewin
nn
Gewin
nn
Price-Spread
S
d Position
B
A
A
Verlu
ust
Verlu
ust
B
Nettoposition
St t i
Strategie:
- E
Erwartung
t
lleicht
i ht steigender
t i
d K
Kurse
- Begrenzung maximaler Gewinn-/
Verlustmöglichkeiten
- insensitiv gegenüber Volatilitätsveränderungen
ä d
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 199 -
Nettoposition
St t i
Strategie:
- E
Erwartung
t
lleicht
i ht ffallender
ll d K
Kurse
- Begrenzung maximaler Gewinn-/
Verlustmöglichkeiten
- insensitiv gegenüber Volatilitätsveränderungen
ä d
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Butterfly
fl Position
Short Butterfly
Gewinn
Gewinn
Long Butterfly
A
C
B
A
Verlus
st
Strategie:- Erwartung eines wenig
Strategie:
veränderten Kurses
- Begrenzung maximaler Verlustmöglichkeiten
- Kompensation von
Volatilitätseffekten
Prof. Dr. Rainer Elschen
C
Verlus
st
B
Strategie:- Erwartung eines stark veränderten Kurses
Strategie:
- Erwartung steigender Volatilität
- Begrenzung maximaler Verlustmöglichkeiten
- Kompensation von Volatilitätseffekten
- 200 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
C d Position
Condor
Short Condor
Gewinn
Gewinn
n
Long Condor
D
A
Strategie: - Erwartung sinkender Volatilität
- Begrenzung maximaler Verlustmöglichkeiten
- Bildung einer Spanne maximaler
Gewinne
Prof. Dr. Rainer Elschen
A
C
D
Verlus
st
C
Verlus
st
B
B
Strategie: - Erwartung einer stark steigenden
Kursvolatilität
- Begrenzung maximaler Verlustmöglichkeiten auf Spanne zwischen
den beiden mittleren Basispreisen
- 201 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
S ddl Position
Straddle
Short Straddle
Gewinn
Gewinn
Long Straddle
A
Strategie: - Erwartung stark steigender
Volatilität, die zu großen
Kursveränderungen führt
g
Gewinnpotential
p
- unbegrenztes
Prof. Dr. Rainer Elschen
Verrlust
Verlus
st
A
Strategie: - Erwartung einer sinkenden Volatilität
- Maximaler Gewinn bei kaum
veränderten Kursen
- hohes Risiko,, da unbegrenzte
g
Verlustpotentiale
- 202 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
S
Strangle
l Position
Short Strangle
Gewinn
Gewinn
Long Strangle
A
B
Strategie: - Erwartung extrem steigender
Volatilität
- Begrenzung maximaler Verlustmöglichkeiten
Prof. Dr. Rainer Elschen
B
Verllust
Verllust
A
Strategie: - Erwartung einer sinkenden Volatilität
- Maximaler Gewinn bei kaum
veränderten Kursen
- Gewinnspanne zwischen den
beiden Basispreisen
- hohes Risiko,
Risiko da unbegrenzte Verlust
Verlustpotentiale
- 203 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Risikomanagement I
-
Vorlesung 8 -
Prof. Dr. Rainer Elschen
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 204 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
5.9 Optionsbewertung
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 205 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Das Binomialmodell
l
d ll ((1))
Cox, Ross, Rubinstein (1976): Binomiale Optionsbepreisung
•
Grundlegende Annahme des Binomialmodells ist das Vorliegen der Bedingungen
eines vollkommenen Kapitalmarktes.
•
Ferner sollen folgende
g
Eigenschaften
g
besonders hervorgehoben
g
werden:
– freier Marktzugang
– keine Friktionen, gesetzliche Restriktionen, Transaktions- oder Informationskosten
– Leerverkäufe jederzeit gestattet, keine Margin
Margin-Leistungen,
Leistungen, fällige Verpflichtungen
werden sofort erfüllt
– Möglichkeit der jederzeitigen risikofreien Geldanlage sowie -aufnahme zu einem
positiven, konstanten Zinssatz
– Aktienkurse folgen einem Binomialpfad über diskrete, äquidistante Zeitpunkte
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 206 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Das Binomialmodell
l
d ll (2)
•
Optionspreise können ohne Rückgriff auf Risikopräferenzen abgeleitet werden
•
Zugrunde liegende Prinzipien sind
– „pricing by duplication“
– „law of one price“
•
Grundidee:
•
Gelingt es, die zustandsabhängigen Rückflüsse einer Option mit einem
Portefeuille aus anderen Finanztiteln mit bekannten Marktpreisen zu duplizieren,
so lässt sich daraus der Preis für die Option ableiten (sog. äquivalentes
Portefeuille).
Prof. Dr. Rainer Elschen
Zwei Finanztitel, die in jedem Umweltzustand identische
Rückflüsse versprechen, müssen denselben Preis haben, da
ansonsten Arbitragegewinne erzielbar wären.
- 207 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Wertverlauf
l f eines Call
C ll b
bei einperiodischer
d h Binomialmodellierung
l
d ll
Kontraktabschluß
Maturität
up - Fall
A+= uA=120
C+ = max(0; uA-X) = uA-X
C+ = 120 - 100 = 20
u
Aktie = 100
Option = ?
down - Fall
A-= dA = 85
C- = max (0; dA-X) = 0
C- = max (0;85
(0 85 - 100) = 0
d
u = A+/A => u = 1,2
12
d = A-/A => d = 0,85
i = 0,1 =10%
Wertfindung für den Call anhand Duplizierung
der Option durch ein synthetisches Portefeuille
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 208 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Wann sind die Werte des Call und des Synthetischen Portefeuilles gleich?
Äquivalenz
Wert des Call:
?
X
A
C ≥ max[0; A − Xe −it ]
mit: A = Kassakurs
X = Ausübungspreis
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 209 -
synthetisches Portefeuille:
Portefeuil le = a ⋅ A + M
mit: a = Anzahl Aktien
M= Kreditaufnahme/Geldanlage zum Zins i
(M<0 bei Kreditaufnahme)
(M>0 bei Geldanlage)
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Portefeuillewert:
Wert der Call - Option im
Zeitpunkt T:
⇒ bei gestiegenen Kursen:
Portefeuil lewert =
⇒ bei gestiegenen Kursen:
a ⋅ (1 + r + ) ⋅ A + (1 + i) ⋅ M
+
C = A T − X da
d
AT > X
mit:
⇒ bei gefallenen Kursen:
C − = 0 da A T < X
A + − A 0 uA − A 0
r =
=
A0
A0
+
⇒ bei gefallenen Kursen:
P t f il lewert
Portefeuil
l
t =
a ⋅ (1 + r − ) ⋅ A + (1 + i) ⋅ M
mit:
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 210 -
A − − A 0 dA − A 0
r =
=
A0
A0
−
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Zusammenführung:
f h
Die Rückflüsse des Synthetischen Portefeuilles müssen in beiden Zuständen denen
d Call
des
C ll ( C+
C+; C
C- ) entsprechen
t
h
!
C + = a ⋅ (1 + r + ) ⋅ A + (1 + i ) ⋅ M
C − = a ⋅ (1 + r − ) ⋅ A + (1 + i ) ⋅ M
⇒ Matrixschreibweise:
⎡(1 + r + ) ⋅ A (1 + i)⎤ ⎡ a ⎤ ⎡C + ⎤
⋅
=
⎥
⎢ −⎥
⎢
⎢
⎥
−
⎢⎣(1 + r ) ⋅ A (1 + i)⎥⎦ ⎣M ⎦ ⎢⎣C ⎥⎦
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 211 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Lösung des
d Gl
Gleichungssystems:
h
a=
C+ − C−
+
−
(r − r ) ⋅ A
M=
=
C+ − C−
+
A −A
−
⇒ sogenanntes Optionsdelta
((Spanne
p
möglicher
g
Optionspreise
p
p
bezogen auf die Spanne
möglicher Aktienkursentwicklungen)
(1 + r + ) ⋅ C − − (1 + r − ) ⋅ C +
(r + − r − ) ⋅ (1 + i)
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 212 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Einsetzen in die
d G
Grundgleichung
d l h
d
des äquivalenten
l
Portefeuilles:
f
ll
C = a ⋅A + M
⇔ Callpreis = Optionsdelta * Aktienkurs + Kreditaufnahme/Geldanlage
es ergibt sich:
mit
mit:
p ⋅ C + + (1 − p) ⋅ C −
C=
1+ i
p≡
i − r−
+
r −r
(1 − p) ≡
−
r+ − i
r+ − r−
Da p und (1-p) nicht von der Eintrittswahrscheinlichkeit für Steigen oder Fallen des
Underlyingkurses abhängen, sondern nur von der Spanne möglicher
Kursentwicklungen werden sie auch als „Pseudo-Wahrscheinlichkeiten“
Kursentwicklungen,
Pseudo Wahrscheinlichkeiten“ bezeichnet.
bezeichnet
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 213 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Preisbestimmung
b
einer Put-Option
O
⇒ Für die Preisbestimmung eines Puts (P) ergibt sich eine analoge Berechnung (die
G öß
Größen
C
C, C+, C- sind
i d entsprechend
t
h d durch
d
h P,
P P+, P- zu ersetzen).
t
)
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 214 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Zahlenbeispiel
hl b
l zum äquivalenten
l
Portefeuille:
f
ll
Aktie = 100
Option = ?
u
up - Fall:
A+= uA=120
C+ = 120 - 100 = 20
d
down - Fall:
A-= dA = 85
C- = max (0;85 - 100) = 0
t0
up-Fall
Verkauf eines C all
+ 12,99 Ausübung:
Kauf von a Aktien
+ 100
- 57,14 Eindecken (1-a):
Kreditaufnahme
down-Fall
+ 44,16 Tilgung:
- 51,43 Verkauf
+48,75
- 48,57 Tilgung:
- 48,75
0
•
0
Schwankungsbreite
– für die Option:
– für
fü die
di Aktie:
Ak i
Prof. Dr. Rainer Elschen
20 - 0
= 20
120 - 85
= 35
→ somit :
- 215 -
a=
20
= 0,571428
35
0
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Erweiterung des
d Binomialmodells
l
d ll ffür d
den Zweiperiodenfall
d f ll
Kontraktabschluss t0:
t1:
A+
Aktie = 100
Call = ?
u
d
= 120
C+ = ?
C- = ?
Maturität t2:
u
d
u
A++ = 144
C++ = 144 - 100 = 44
A+ -= A- + = 102
C+ - = C- += 102 - 100 = 2
A- = 85
d
•
C- - = max(0; 72,25-100) = 0
A- - = 72,25
Der Wert des Call in t0 kann rekursiv ausgehend von t2 über t1 errechnet werden:
– in t2: up - up
Fall: C++ = A+ + - X = 144 - 100 = 44
– in t2: up - down
Fall: C+ - = C-+ = A+ - - X = 102 - 100 = 2
– in
i t2
t2: down
d
- down
d
F ll C - = max (0;
Fall:
(0 A
A--X)
X) = max (0
(0; 72
72,25
25 - 100) = 0
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 216 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Erweiterung des
d Binomialmodells
l
d ll ffür d
den Zweiperiodenfall
d f ll (2)
•
Nach Berechnung des Optionspreises für t = 2 durch Subtraktion des
B i
Basispreises
i
vom Akti
Aktienkurs
k
k
kann der
d Wert
W t der
d O
Option
ti
C+ und
d CC durch
d
h
Einsetzen in die Bewertungsgleichung ermittelt werden:
⇒ für t=1 :
++
−+
p
C
(
1
p
)
C
0,71429 ⋅ 44 + (1 − 0,71429 ) ⋅ 2
⋅
+
−
⋅
C+ =
=
= 29,09091
1+ i
1 + 0,1
−+
−−
p
C
(
1
p
)
C
0,71429 ⋅ 2 + (1 − 0,71429 ) ⋅ 0
⋅
+
−
⋅
C− =
= 1,29870
=
1+ i
1 + 0,1
⇒ Rekursiv kann also auch der Wert der Option für t = 0 ermittelt werden :
p ⋅ C + + (1 − p) ⋅ C − 0,71429 ⋅ 29,09091 + (1 − 0,71429 ) ⋅1,2987
C=
=
1+ i
1 + 0,1
= 19,2275257 ≈ 19,23
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 217 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Abschließende
b hl ß d Hinweise zum Binomialmodell:
l
d ll
•
Durch die Verlängerung der Laufzeit im Beispiel um eine Periode ist der
O ti
Optionspreis
i von 12
12,99
99 auff 19
19,23
23 gestiegen.
ti
•
C+- und C-+ müssen identisch sein !
•
Handelt es sich nicht um g
ganzjährige
j
g Perioden,, sondern um Subperioden,
p
, dann
ist die unterjährige Verzinsung zu beachten.
z.B.:
i Bin = (1 + i)
(
t
)
m
−1
mit m = Anzahl der Subperioden pro Jahr
•
Die Eintrittswahrscheinlichkeiten für die Kursentwicklung spielen für die
g der Optionspreise
p
p
keine Rolle.
Ermittlung
Literaturhinweis: Steiner/Bruns, S.274-297; Franke/Hax, S. S.366-369
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 218 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Risikomanagement I
- Vorlesung 9 -
Prof. Dr. Rainer Elschen
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 219 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
5.9 Optionsbewertung (Fortsetzung)
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 220 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Das Black
l k & Scholes-Modell
S h l
d ll ((1))
•
Black, Fisher/ Scholes, Myron (1972): Stetige Optionsbepreisung
Lässt man die Anzahl der Perioden im Binomialmodell wachsen und verkleinert
man den Abstand der Intervalle, nähert sich die diskrete Binomialverteilung der
stetigen logarithmischen Normalverteilung an. (De Moivre-Laplace
G
Grenzwertsatz)
t t )
•
Black & Scholes unterstellen weiter:
– Normalverteilung der Aktienrendite
– europäische Optionen
– das Fehlen von Dividenden und Bezugsrechten
– kontinuierlichen Wertpapierhandel
– einen kontinuierlichen, stochastischen Aktienkursverlauf (Random Walk)
– vollkommener Kapitalmarkt (u.a. bekannter, einheitlicher Zins i,
zu dem restriktionslos Geld aufgenommen/angelegt werden kann)
– beliebige Teilbarkeit der Wertpapiere und Leerverkäufe
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 221 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Das Black
l k & Scholes-Modell
S h l
d ll (2)
•
Der Optionspreis kann im Folgenden als Funktion der Variablen aufgefasst
werden:
d
A = Aktienkurs
X = Basispreis
i
= risikoloser
k l
Zins
t
= Restlaufzeit der Option in Jahren
σ = Aktienkursvolatilität
•
Der Black&Scholes Ansatz unterstellt folgenden stochastischen Prozess für die
Aktienkurse:
dA = μAdt + σAdz
mit:
dz
μ : momentan erwartete Aktienrendite
: Wiener Prozess
Literaturhinweis zum Wiener Prozess: Hull, S.218-236
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 222 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Black
l k & Scholes
S h l Bewertungsfunktion
f k
für
f Calls
C ll
C = A ⋅ NV(d1 ) − X ⋅ e −i⋅t ⋅ NV(d2 )
C
Untergrenze:
C = max[ 0 ; A - Xe-it]
Obergrenze:
C=A
Zeitwert
innerer Wert
X ⋅ e −i⋅t
Out of the Money
y
Prof. Dr. Rainer Elschen
At the Money
y
- 223 -
A
X
In the Money
y
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Black
l k & Scholes
S h l Optionsbewertungsformel
O
b
f
l (Call)
(C ll)
C
mit:
B/S
= A ⋅ NV (d1 ) − X ⋅ e
−i⋅t
⋅ NV (d 2 )
⎛A⎞
ln⎜ ⎟ + (i + 0,5 ⋅ σ 2 ) ⋅ t
X
d1 = ⎝ ⎠
σ⋅ t
⎛A⎞
ln⎜ ⎟ + (i − 0,5 ⋅ σ 2 ) ⋅ t
X⎠
⎝
d2 =
= d1 − σ ⋅ t
σ⋅ t
NV = Flächeninhalt unter der Standardnormalverteilung
von -∞
∞ bis di
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 224 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Beispiell zum Black
l k&S
Scholes-Modell
h l
d ll ((1))
•
Der Kurs einer Aktie ist heute A = 111. Es gibt eine Kaufoption, die es dem
O ti
Optionsinhaber
i h b erlaubt,
l bt di
die Aktie
Akti nach
h einem
i
Jahr
J h zum Basispreis
B i
i von X = 100
zu erwerben. Die Volatilität der Aktie wird mit 0,4 beziffert. Welchen Wert hat der
Call heute, wenn man für die gesamte Restlaufzeit einen risikolosen Zins in
Höhe von i = 10 % unterstellen kann?
•
Zunächst gilt es, die Argumente d1 und d2 zu bestimmen:
⎛A⎞
⎛ 111 ⎞
⎟ + (0,1 + 0,5 ⋅ 0,4 2 ) ⋅1
l ⎜ ⎟ + (i + 0,5 ⋅ σ 2 ) ⋅ t
ln
l ⎜
ln
⎝X⎠
⎝ 100 ⎠
=
=>
= 0,7109
d1
σ⋅ t
0,4 ⋅ 1
d = d − σ ⋅ t => 0,7109 − 0,4 ⋅ 1 = 0,3109
2
•
1
Die zugehörigen Werte der Standardnormalverteilung lauten:
NV (d1 ) ≈ 0,7611
Prof. Dr. Rainer Elschen
sowie
- 225 -
NV (d 2 ) ≈ 0,6217
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Beispiell zum Black
l k&S
Scholes-Modell
h l
d ll ((1))
•
Anschließend können die Werte in die Bewertungsformel eingesetzt und der
O ti
Optionspreis
i b
bestimmt
ti
t werden:
d
C B / S = A ⋅ NV (d1 ) − X ⋅ e −i⋅t ⋅ NV(d 2 )
= 111 ⋅ 0,7611 − 100 ⋅ e −0,1⋅1 ⋅ 0,6217
≈ 28,2284
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 226 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Die Put-Call-Parität
C ll
Portefeuille I:
Portefeuille II:
Ein Call und eine laufzeitkongruente Anlage in Höhe des
abgezinsten Ausübungspreises
bei Maturitä
ät:
PortefeuillePo
tefe ille
wert heute:
Szenario I:
A>X
Szenario II:
A<X
ein Put und eine Aktie, die der
Option als Underlying dient
C + X ⋅ e −i⋅t
P+A
A−X+X = A
0+A = A
0+X = X
X−A+A = X
Da beide Portefeuilles in allen möglichen Umweltzuständen die gleichen Rückflüsse
versprechen, müssen sie auch gegenwärtig den gleichen Wert haben:
E muß
Es
ß gelten:
lt
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C + X ⋅e
− i⋅t
- 227 -
!
=P+A
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Put-Optionspreise
O
Die Bewertungsformel für Puts läßt sich über die Put-Call Parität ableiten:
In die Put-Call Parität
C + X ⋅ e −i⋅t = P + A
wird die Black/Scholes Bewertungs
Bewertungsgleichung für Calls
C = A ⋅ NV (d1 ) − X ⋅ e −i⋅t ⋅ NV (d 2 )
eingesetzt:
A ⋅ NV (d1 ) − X ⋅ e −i⋅t ⋅ NV (d 2 ) + X ⋅ e −i⋅t = P + A
⇔ P = − A ⋅ [1 − NV(d1 )] + X ⋅ e −i⋅t ⋅ [1 − NV(d 2 )]
=> P = − A ⋅ NV( −d1 ) + X ⋅ e −i⋅t ⋅ NV( −d 2 )
mit:
⎛A⎞
ln⎜ ⎟ + (i + 0,5 ⋅ σ 2 ) ⋅ t
X
d1 = ⎝ ⎠
σ⋅ t
Prof. Dr. Rainer Elschen
und
⎛A⎞
ln⎜ ⎟ + (i − 0,5 ⋅ σ 2 ) ⋅ t
X
d2 = ⎝ ⎠
= d1 − σ ⋅ t
σ⋅ t
- 228 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Black
l k & Scholes
S h l Bewertungsfunktion
f k
für
f Puts
P
X⋅e
−i⋅t
P = − A ⋅ NV(−d1 ) + X ⋅ e −i⋅t ⋅ NV(−d2 )
Untergrenze:
P = max[ 0 ; Xe-it -A]
X ⋅ e −i⋅t
In the Money
Prof. Dr. Rainer Elschen
At the Money
- 229 -
A
Out of the Money
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Einflussfaktoren
fl
f k
auff Optionspreise
O
Einfluss
uss auf:
au
Sensitivität der Optionspreise
Kurs Basiswert steigt
Delta
Ausübungspreis
Wachsende Restlaufzeit
Theta
Volatilität
Vega
Zins
Rho
Dividende
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 230 -
Call
Put
⇑
⇓
⇓
⇑
⇑
⇑
⇑
⇑
⇑
⇓
⇑
⇓
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
G
Griechische
h h Variablen
bl
Die Reaktion des Optionspreises auf eine marginale Änderung (ceteris paribus) einer
d genannten
der
t
F kt
Faktoren
läßt sich
i h durch
d
h Sensitivitätskennzahlen
S
iti ität k
hl
ausdrücken,
d ü k
fü die
für
di
sich die Verwendung griechischer Variablen etabliert hat.
p
Das Optionsdelta
p
mißt die Sensitivität des Optionspreises
p
p
bezüglich
g
Optionsdelta:
einer marginalen Änderung des Aktienkurses, d.h. es gibt näherungsweise an, wie
sich der Preis der Option ändert, wenn sich der Kurs des Underlying um eine Einheit
ändert.
Delta Call = Δ Call =
Es gilt:
∂C
= NV (d1 )
∂A
Delta Put = Δ Put =
Δ Call − Δ Put = 1
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 231 -
∂P
= NV (d1 ) − 1
∂A
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
C ll - Preise
Call
60
50
40
30 Call - Preise
20
10
Prof. Dr. Rainer Elschen
Aktie nkurs
- 232 -
150
146
138
134
130
126
122
118
114
110
106
102
98
94
90
86
78
74
70
66
6
62
6
58
5
0,1
54
4
0,21
50
lat
ilit
ät
82
0,32
Vo
142
0
0,43
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
G
Gamma
und
dO
Omega
Optionsgamma: Das Optionsgamma gibt die Sensitivität des Optionsdeltas bezüglich
einer
i
marginalen
i l
Ä d
Änderung
d Aktienkurses
des
Akti k
an.
GammaCall = GammaPut = ΓCall = ΓPut =
∂Δ Call ∂ΔPut
NV′(d1 )
=
=
∂A
∂A
A⋅σ⋅ t
NV´(d1) stellt dabei den Funktionswert und nicht den Flächeninhalt der Standardnormalverteilungsdiche an der Stelle d1 dar.
Optionsomega: Das Optionsomega bemißt die Elastizität des Optionspreises in bezug
g
Veränderung
g des Aktienkurses. Mitunter wird das Omega
g auch
auf eine marginale
als Leverage Faktor bzw. als Hebel bezeichnet.
OmegaCall = Ω Call =
Prof. Dr. Rainer Elschen
∂C / C
A
= NV (d1 ) ⋅
∂A / A
C
g Put = ΩPut =
Omega
- 233 -
∂P / P
A
= [NV(d1 ) − 1] ⋅
∂A / A
P
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Delta
l - Call
C ll
1
0,9
0,8
0,7
0,6
Call - Delta 0,5
0,4
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 234 -
92
86
80
74
68
2
62
56
0,1
50
0,16
0,22
2
0,,28
0,34
0,46
Volatilität
0,4
128
122
1
110
104
0
98
0,1
116
0,2
Aktienkurs
134
140
146
0,3
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Optionsgamma
0,05
0,045
0,04
0,035
0 03
0,03
0,025 Gamma
0,02
0,015
0,01
0,1
0,17
0,005
0,24
Volatilität0,31
0
Prof. Dr. Rainer Elschen
Aktienkurs
- 235 -
50
54
58
62
66
70
74
78
82
86
90
94
102
1
106
110
14
11
11
18
12
22
126
0
130
134
4
138
8
142
2
146
150
0,45
98
0,38
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
O
Omega
- Call
C ll
100
90
80
70
60
50
40
30
20
0,1
10
0,21
Volatilität0,32
- 236 -
50
54
58
62
70
74
78
7
82
8
86
8
90
9
94
9
98
9
10
02
106
110
0
114
4
118
8
122
2
126
6
130
0
134
138
142
146
150
Prof. Dr. Rainer Elschen
Aktienkurs
66
0
0,43
Call - Omega
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Rho
h und
d Theta
h
Optionsrho: Das Options - Rho drückt die Sensitivität des Optionspreises in bezug
auff Veränderungen
V ä d
des
d risikolosen
i ik l
Zinssatzes
Zi
t
aus. Die
Di Bedeutung
B d t
des
d Zinssatzes
Zi
t
nimmt mit abnehmender Restlaufzeit immer mehr ab. Bei steigenden Aktienkursen
hingegen nimmt die Bedeutung zu, da höhere Aktienkurse höhere
pp
bedeuten.
Opportunitätskosten
RhoCall =
∂C
= t ⋅ X ⋅ e −i⋅t ⋅ NV(d2 )
∂i
RhoPut =
∂P
= −t ⋅ X ⋅ e −i⋅t ⋅ NV(−d2 )
∂i
Optionstheta: Das Optionstheta bemisst die Sensitivität des Optionspreises in bezug
auf die Veränderung der Restlaufzeit. Folglich kann es als Maß für den
Zeitwertverfall interpretiert werden.
ThetaCall = ΘCall = −
ThetaPut = ΘPut = −
Prof. Dr. Rainer Elschen
∂C − A ⋅ NV′(d1 ) ⋅ σ
=
− X ⋅ i ⋅ e −i⋅t ⋅ NV(d2 )
∂t
2⋅ t
∂P A ⋅ NV′(d1 ) ⋅ σ
=
− X ⋅ i ⋅ e −i⋅t ⋅ NV(−d2 )
∂t
2⋅ t
- 237 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Rho
h - Call
C ll
80
70
60
50
Call - Rho 40
30
20
0,73
0,61
,
10
0,49
0
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 238 -
150
0 01
0,01
145
140
135
130
0
125
5
12
20
0,13
11
15
110
1
105
Aktienkurs
100
95
90
85
0,25
80
75
70
65
60
50
55
0,37
Restlaufzeit in Jahren
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Theta
h
- Call
C ll
0
-20
-40
Call - Theta
-60
-80
-100
0,73
0,61
0,49
-120
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 239 -
150
0 01
0,01
145
140
135
5
130
12
25
120
0,13
115
1
110
105
Aktienkurs
100
95
90
85
80
75
70
65
55
60
50
0,37
0,25
Restlaufzeit
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Options-Vega
•
Options-Vega: Das Options - Vega misst den Einfluss infinitesimal kleiner
Ä d
Änderungen
der
d Volatilität
V l tilität auff die
di Optionspreise.
O ti
i
Diese
Di
wirkt
i kt sich
i h gleichermaßen
l i h
ß
auf Call- und Put - Preise aus.
υCall = υPut =
∂C ∂P
=
= VegaCall = VegaPut = A ⋅ t ⋅ NV′(d1 )
∂σ ∂σ
⇒ Mit abnehmender Restlaufzeit sinkt der Einfluß veränderter Volatilität auf die
Optionspreise. Insofern steht dieser Effekt in diametralem Gegensatz zu dem Einfluss
des Options - Thetas,
Thetas das mit abnehmender
abnehmende Restlaufzeit
Restla f eit an Bede
Bedeutung
t ng gewinnt.
ge innt
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 240 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Options - Vega
35
30
25
20
Optionsvega
15
10
5
0,73
0,61
0
61
0,49
0
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 241 -
150
0,01
145
140
135
130
125
120
0
0,13
115
5
11
10
105
Aktienkurs
100
1
95
90
85
0,25
80
75
70
65
60
55
50
0,37
Restlaufzeit in Jahren
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
5 10 Delta- und Gammahedging
5.10
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 242 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Deltal
und
dG
Gammahedging
h d
((1))
•
Sensitivität eines Portfolios gegenüber eines Risikofaktors ist gleich der Summe
d Sensitivitäten
der
S
iti ität
der
d Bestandteile
B t dt il gegenüber
üb dem
d
Risikofaktor
Ri ik f kt
•
Zur Immunisierung des Risikos gilt:
Δ[n ⋅ A + m ⋅ B] = n ⋅ ΔA + m ⋅ ΔB = 0
ΔA
⇒ m = -n
ΔB
•
Sensitivität eines Portfolios gegenüber eines Risikofaktors ist gleich der Summe
der Sensitivitäten der Bestandteile gegenüber dem Risikofaktor
•
Zur
u Immunisierung
u s e u g des Risikos
s os gilt:
g t
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 243 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Deltal
und
dG
Gammahedging
h d
(2)
•
Das Portfolio kann ebenso gegen andere Risikofaktoren immunisiert werden
( B das
(z.B.
d Gamma):
G
)
– Es sind so viele Hedging-Instrumente notwendig, wie Risiken zu neutralisieren sind
– Das Gamma erfasst die Veränderungsrate des Optionsdeltas
– Gamma-Neutralität
G
l
impliziert
l
S
Schutz
h
vor größeren
ß
Wertschwankungen
h
k
d
des Underlyings
d l
•
Konstruktion Gamma-Neutralität:
Portfoliobildung aus einer Aktie (S0 = 110) mit einer Standardabweichung von
20% zweii O
20%,
Optionen
ti
C1(X
C1(X=100)=14,08,
100) 14 08 C2(X
C2(X=105)=10,53;
105) 10 53 risikolose
i ik l
Verzinsung 5%, Zeithorizont 6 Monate
•
Nach Black/Scholes sind die Delta- bzw. Gammawerte der beiden Optionen
gegeben
b
d
durch:
h
Prof. Dr. Rainer Elschen
ΔC1(X = 100) = 0,8216
ΓC1(X = 100) = 0,0167
ΔC2 (X = 105) = 0,7178
0 7178
ΓC2 (X = 105) = 0,0217
0 0217
- 244 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Deltal
und
dG
Gammahedging
h d
(3)
•
Die Immunisierung des Portfolios gegen Delta- und Gammaveränderungen
erfolgt
f l td
durch:
h
x1 ⋅ 110 + x2 ⋅ 14,08 + x3 ⋅ 10,53 = 1
x1 ⋅ 1 + x2 ⋅ 0,8216 + x3 ⋅ 0,7178 = 0
x1 ⋅ 0 + x2 ⋅ 0,0167 + x3 ⋅ 0,0217 = 0
•
Die Verhältnisse der drei Kontrakte sind gegeben durch:
x1 = 0,0114
x2 = −0,0426
x3 = 0,0329
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 245 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Risikomanagement I
- Vorlesung 10 -
Prof. Dr. Rainer Elschen
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 246 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
5.11 Impliziter Informationsgehalt aus Optionen
(Momente impliziter Verteilungsfunktionen)
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 247 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
1. Moment: Erwartungswert
f(A)
A
E (A)
• Möglichkeit der Ermittlung aus aktuellen Kursen
⇒ Future - Kurs als „bester“ Zukunftsschätzer
⇒ Informationsgehalt: Höhe der erwarteten Renditen
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 248 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
2. Moment: Varianz
f(A)
A
•
Möglichkeit der Ermittlung aus aktuellen Kursen
⇒ implizite Volatilität aus empirischen Optionspreisen
ermittelbar
⇒ Informationsgehalt: Markteinschätzung über die
Höhe des Risikos und somit über die Risikoprämie
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 249 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
3 Moment: Schiefe
3.
S h f (Rechtsschiefe/Linksschiefe)
(
h
h f / k
h f ) „Skewness“
Sk
“ (1)
( )
f(A)
A
•
Möglichkeit der Ermittlung aus aktuellen Kursen auf einem unvollkommenen
Kapitalmarkt (mangelnde Arbitragemöglichkeiten!)
⇒
Abweichungen der Put - Call - Parität während der Laufzeit
⇒
Informationsgehalt: Markteinschätzungen zu steigenden oder eher
fallenden Kursen
Prof. Dr. Rainer Elschen
- 250 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
3 Moment: Schiefe
3.
S h f (Rechtsschiefe/Linksschiefe)
(
h
h f / k
h f ) „Skewness“
Sk
“ (2)
• C + Xe-it > P + A
⇒ Markt rechnet mit eher steigenden Kursen
⇒ rechtsschiefe Verteilung
• C + Xe-it < P + A
⇒ Markt rechnet mit eher fallenden Kursen
⇒ linksschiefe Verteilung
Merke:
M
k bei
b i vollkommenem
llk
Kapitalmarkt
K it l
kt gilt
ilt die
di P
Put-Call-Parität
t C ll P ität
Unabhängig von der Wahrscheinlichkeitsverteilung
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- 251 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
4. Moment: Enden
d
der
d Verteilung
l
„Kurtosis/Leptokurtosis“
/
k
“
f(A)
E (A)
A
•
Möglichkeiten der Ermittlung aus aktuellen Kursen:
⇒
Vergleich der impliziten Volatilitäten aus at
at-the-money
the money
und out-of-the-money Optionen.
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- 252 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Gew
winn
Beispiell S
Strangle
l
• A: Strike Price Long Put
• B: Strike Price Long Call
B
⇒
Kurs
p
,
unterschiedliche Basispreise,
gleiche Maturität
Verlust
A
•
falls:
σimplizit
Delta − Strangle
out − of − the − money
> σimplizit
Delta − Strangle
at − the − money
dann: „Markt
Markt“ unterstellt dickere Enden als bei Normalverteilung
⇒ Informationsgehalt: Markteinschätzung über die Höhe der
erwarteten Kursschwankungen
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Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Informationsgehalt
f
h l von Volatilitätskurven
l l
k
((1))
Beispiel Volatility-Smile:
• Empirische Beobachtung eines Volatility-Smiles läßt auf kurtosische
Verteilungsfunktionen schließen.
implizite
Volatilität
at-the-money
Ausübungspreis
Kassakurs
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- 254 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Informationsgehalt
f
h l von Volatilitätskurven
l l
k
(2)
f(A)
( )
implizite Verteilung
log-normal Verteilung
B1
B2
Bi: Basispreise
⇒ Beim
B i deep-out-of-the-money
d
t f th
Call
C ll ist
i t die
di Wahrscheinlichkeit,
W h h i li hk it B2 zu
erreichen, größer als bei log-normal Verteilung.
⇒ Das höhere Risiko schlägt sich in höheren impliziten Volatilitäten
nieder.
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- 255 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
S
Stochastische
h
h Volatilität
l l
- das
d Hull&White
ll& h
Modell
d ll ((1))
•
Aufhebung der Annahme einer konstanten Volatilität
•
Einführung der Annahme eines stochastischen Prozesses für die Veränderung der
Volatilität im Zeitverlauf (stochastische Volatilität)
•
für die Veränderung
g der Volatilität folgt
g bei Annahme eines Wiener Prozesses:
dV = a(b − V )dt + ξV α dz V
mit:
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V
a, b, ξ, α
dzV
: Varianz
: Konstanten
: Wiener Prozess
- 256 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
S
Stochastische
h
h Volatilität
l l
- das
d Hull&White
ll& h
Modell
d ll (2)
•
Unter Berücksichtigung der stochastischen Volatilität ergibt sich ein veränderter
stochastischer
t h ti h P
Prozess d
des U
Underlying,
d l i
d
der zur Preisbildung
P i bild
unterstellt
t
t llt werden
d
kann:
dA
= rdt + VdzS
A
•
Unter Berücksichtigung der stochastischen Volatilität ergibt sich ein veränderter
stochastischer Prozess des Underlying, der zur Preisbildung unterstellt werden
kann:
∞
CH& W =
∫
CB& S
( V ) g ( V ) dV
0
mit:
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V : durchschnittliche Volatilität
- 257 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
5.12 Stochastische Volatilität, Mean Reversion
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- 258 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
S
Stochastische
h
h Volatilität
l l
- das
d Hull&White
ll& h
Modell
d ll (2)
•
Ergebnisse bei Black&Scholes gegenüber Hull&White:
•
Überpreisung von at-the-money Optionen
•
Unterpreisung von deep-in-the-money oder deep-out-of-the-money Optionen
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- 259 -
Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Mean Reversion (1)
( )
•
Empirische Beobachtungen der Tendenz von Marktvariablen (z.B. Strompreise)
zu einem
i
langfristigen
l
f i ti
Mitt
Mittelwert
l
t ((„mean reversion“)
i “) füh
führen zu unbefriedigenden
b f i di
d
Ergebnissen von Black&Scholes.
•
Für mean-reverting-Variablen gelte:
dA t = α(L t − A t )dt + A t σdz t
mit:
Lt
t
α
σ
dzt
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At = Kassakurs
= langfristiger Gleichgewichtspreis
= Beobachtungshorizont
= mean
mean-reverting
reverting Koeffizient
= Volatilität
= Wiener Prozeß
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Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08
Mean Reversion (2)
Ergebnisse:
•
Optionspreise nach Black&Scholes sind zu hoch, da das Risiko
(Abweichung vom langfristigen Gleichgewichtskurs) bei mean
reversion geringer ist.
•
Da im mean reversion Prozess mit zunehmender Abweichung des Kassakurses
vom Gleichgewichtskurs die Wahrscheinlichkeit für ein
zurückfallen des Kassakurses in Richtung des Gleichgewichtskurses
ansteigt führt dies dazu,
ansteigt,
dazu daß die für die Restlaufzeit zu unterstellende
Volatilität geringer ist, als bei der „ursprünglichen“ geometrischen
brownschen Bewegung (bzw. des Wiener Prozesses).
•
Modifikation der Black&Scholes Preise mittels Berücksichtigung einer
variablen Volatilität.
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