Loesung Fragment Bewegte Ladung Fra BewLad 03 Loe.tex 1

Loesung Fragment Bewegte Ladung Fra BewLad 03 Loe.tex
1. Zyklotron
Bild zeigt das Prinzip eines Zyklotrons ...
(a) ErklÄ
are die Arbeitsweise des Zyklotrons, insb. die Funktion des elektrischen und des magnetischen
Feldes, sowie die genaue Form der Bahn (Skizze).
Skizze, Bahn im Duanten (halb)kreisfÄ
ormig unter dem Ein°u¼ der Lorenzkraft, keine Energie aus
dem B-Feld, sondern nur aus dem E-Feld im Spalt, Duanten E-Feld frei (Faradayscher KÄ
a¯g), Bahn
keine echte Spirale, sondern immer grÄ
o¼er werdende, verbundene KreisbÄ
ogen.
b = 80 kV. Zeige,
(b) Es sei B = 1; 5 T und der Spitzenwert der "Spalt-/Beschleunigungsspannung" U
dass fÄur den ersten Radius ¡gilt:
¢
2
gilt
Nach dem i-ten Durchlauf Einschu¼energie 12 mD vL
1
1
i ¢ q ¢ U + mD v2L = mD vi2:
2
2
Mit dem bekannten Ansatz FZ =qFL also mD vn2 = B ¢ v n ¢ q folgt die gesuchte Formel fÄ
ur r i u
Äber die
2
2iqU+mD vL
mD v
Umformung ri = Bq und vi =
die gesuchte Formel
mD
ri =
s
2)
mD (2iqU + mD vL
:
2
2
B q
FÄ
ur den Teilcheneintritt mit vL ¼ 0 ergibt sich dann sofort
s
p 2U mD
ri = i
:
B 2q
(c) ErklÄare anhand eines Terms fÄur die Umlaufzeit der Teilchen T , ..., berechne diese fÄ
ur Deuteronen.
Durch Umformen des Ansatzes
mD r!2 = B ¢ vn ¢ q
folgt die Umlaufzeit
T =
2¼mD
:
B¢q
Diese ist unabhÄangig vom Radius und daher konstant. Mit den vorgegebenen Werten ergibt sich
mit f = T1
f
=
T
=
B ¢q
: : : = 11; 43 MHz.
2¼mD
1
1
= ¢¢ ¢ =
= 8: 748 9 £ 10¡8 s
f
11:43 MHz
(d) Berechne den Energiezugewinn nach einem Durchlauf des Spalts in Joule und in Elektronenvolt.
¢E
= i ¢ U ¢ q = 1 ¢ 80 kV ¢ e = 1 ¢ 80 kV ¢ q = 1: 281 6 £ 10¡14 ( kg)
¢E
= i ¢ U ¢ q = 1 ¢ 80 kV ¢ e = 80 ¢ 103 eV
m2
C = 1:281 6 £ 10¡14 J
( A) s 3
Wieviele DurchlÄaufe wÄaren nÄotig, um den Deuteronen eine Austrittsenergie von 3; 5 ¢ 10¡11 J zu
verleihen, und wie gro¼ mÄ
u¼ten dazu die Duanten sein?
Anzahl der DurchlÄaufe berechnet sich aus dem geforderten Energiezuwachs nach
¢E = i ¢ U ¢ q
zu
i=
Anzahl der UmlÄaufe also
¢E
:
U ¢q
i
¢E
=n=
:
2
2¢U ¢q
FÄ
ur die vorgegebene Spannung und geforderte Energie wÄ
aren also
i"durchlÄaufe"
=
n"umlÄaufe"
=
3:5 ¢ 10¡11 J
= 2731
80 ¢ 103 V ¢ 1:602 ¢ 10¡19 C
2731
= 1365:5
2
UmlÄaufe nÄotig. FÄur den maximalen Radius ergibt sich dann
ri max = : : : = 2; 02 m
(e) Mit welcher Geschwindigkeit treten die Deuteronen aus dem Zyklotron heraus?
Die Energie wird nur wÄahrend der SpaltdurchlÄ
aufe erhÄ
oht, daher kann die bereits hergeleitete Formel
umgeformt werden
1
Ekin = 220 MeV = n ¢ q ¢ U^ = mD v22750;
2
dann treten die Deuteronen (da 2750 mal beschleunigt!) mit
r
2 ¢ Ekin
m
v2750 =
= : : : = 145; 11 ¢ 106
mD
s
aus.
(f) Der Geschwindigkeitszuwachs mu¼ als Di®erenz ¢v = v1 ¡ vi¡1 berechnet werden.
¢v = v2750 ¡ v2749 = 2; 639 ¢ 104
m
s
(d.h. 0; 018%)
Die Gesamtenergie eines "relativistischen" Teilchens ist mit mc2 = Ekin + m0c2 gegeben. Betrachtet man (nur)den letzten Spaltdurchgang relativistisch, lÄ
a¼t sich aus der vorgegebenen (kinetischen!) Endenergie von 220 MeV und der Energie "ein Spalt davor" von 220 MeV¡80 keV der
Geschwindigkeitszuwachs ¢v = v2 ¡ v1 berechnen. Mit
m0
m= q
1¡
v2
c2
lÄ
a¼t sich aus der obigen Gleichung nach einigen Umformungen fÄ
ur die Geschwindigkeit
v
u
1
v = c¢ u
´2
t1 ¡ ³
Ekin
+
1
2
m0 c
gewinnen. Nach Einsetzen von den vorgegebenen Werten (siehe oben) ergibt sich
v (220 MeV) = 1; 3366 ¢ 108
und damit (exakt)
m
s
¡
¢
m
v 220 MeV ¡ 80 ¢ 103 eV = 1; 3364 ¢ 108
s
m
:
s
Der Zuwachs ist deutlich kleiner als unter (2d); gro¼er Teil der Beschleunigungsarbeit wird in den
Massezuwachs gesteckt.
¢v = 2; 085 ¢ 104
(g) Mit steigender Energie steigt auch die (dynamische) Masse der Teilchen und damit (s. 2b) auch die
Umlaufdauer. Nach mehreren DurchlÄ
aufen wÄ
are dann keine Synchronisation mehr vorhanden, die
Energieaufnahme im Spalt nimmt ab, ein Grenzwert der erreichbaren Energie stellt sich ein.
Der Ansatz
Ekin = mc2 ¡ m0c2
liefert
Ekin + m0 c2
= : : : = 3; 739 ¢ 10¡27 kg.
c2
m
Der Vergleich mit d er Ruhemasse ergibt dann m
= 1; 117; d.h. etwa 12% Massezuwachs. Da0
raus kann geschlossen werden, ob z.B. allein die letzten fÄ
unf DurchlÄ
aufe unter diesen Bedingungen
1
u
Äberhaupt mÄoglich sind. Sie sind es nicht, da z.B. wÄ
ahrend der letzten 5 DurchlÄ
aufe um 5 ¢ 10
T
zurÄ
uck, d.h. Gegenphase!
m=
i. m % d.h. T % kann mit f = f (t) und f (t) & der lÄ
angere Umlauf kompensiert werden.
b
b
b
ii. m % d.h. T % kann mit U = U (t) und U (t) % kompensiert werden, da mehr Energie zugefÄ
uhrt
wird und somit T & :
iii. m % d.h. T % kann mit zum Rand hin inhomogenen Feld B = B (r) wobei B % mit r %
kompensiert werden, also T & :
iv. funktioniert wie iii. wobei B = f (t) ; B (t) %
(h) Bewegte Ladung bzw. schwingende Ladung ist ein Hertzscher Dipol, Grundfrequenz wÄ
are gleich der
Umlau®requenz:
2¼r
1
mit T =
f=
T
c
ist
1c
f=
= 0; 955 MHz.
2¼r
i. Auswertung der Tabelle liefert konstante Quotienten
N_ (di )
;
_
N (di¡1)
der Mittelwert betrÄagt 0,493, d.h. eine Exponentialfunktion. Ansatz
N_ = N_ 0 ¢ e¡®d
liefert den Absorbtionskoe±zienten ® :
N_ (di )
N_ 0 ¢ e¡®di
=
:
N_ (di¡1 )
N_ 0 ¢ e¡®di¡1
Durch Umformungen und Einsetzen folgt
e¡®¢d = 0; 493
® = 1; 415 mm¡1 :
ii. Ansatz I (d) = I0 ¢ e¡®d mit I (d) = 0; 1 ¢ I0 wird die gesuchte Dicke zu
d=¡
ln 0; 1
= : : : = 1; 628 mm.
®