Ausgewählte Lösungen zu den Übungsblätter 7-8

Fakultät für Luft- und Raumfahrttechnik
Institut für Mathematik und Rechneranwendung
Vorlesung: Lineare Algebra (ME), Prof. Dr. J. Gwinner
Dezember 2012
Ausgewählte Lösungen zu den Übungsblätter 7-8
Übungsblatt 7, Aufgabe 2, Orthonormalbasis im Polynomraum
Gegeben sei der Vektorraum P 3 der Polynome vom Grad höchstens 2.
X2
P 2 = f : [−1, 1] → R , f (x) =
ai xi , ai ∈ R
i=0
(a)
{f1 , f2 , f3 } mit f1 (x) = 1, f2 (x) = x, f3 (x) = x2 , f3 (x) = x3 ist eine Basis von P 2 . Orthonormieren sie diese Basis mit Hilfe des Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahrens bezüglich des
Skalarproduktes
Z 1
f (x) g(x) dx .
h f , g i :=
−1
(b)
Bestimmen sie die Koordinaten von f (x) = x2 − x bezüglich der orthonormierten Basis.
Lösung (a)
Zunächst bestimmen wir durch
g1 := f1 ,
gi = fi − PSpan{g1 ,...,gi−1 } (fi ) ,
i = 2, 3
das orthogonale System {g1 , g2 , g3 }. Dabei ist
PSpan{g1 ,...,gi−1 } (fi ) =
hgi−1 , fi i
hg1 , fi i
g1 + . . . +
gi−1
hg1 , g1 i
hgi−1 , gi−1 i
die orthogonale Projektion von fi auf den von {g1 , . .p
. , gi−1 } aufgespannten Unterraum. Im zweiten
Schritt wird dieses System mit qi := kggii k , kgk = hg, gi normiert. Die Anwendung der obigen
Schritte liefert uns das Orthonormalsystem {q1 , q2 , q3 } mit
r
r
√
2
3
3 1
q1 (x) =
, q2 (x) =
x, q3 (x) =
(3 x2 − 1).
2
2
2 2
(b)
Da {q1 , q2 , q3 } eine Basis ist, besitzt f (x) = x2 − x die eindeutige Darstellung
f (x) =
3
X
λi qi (x) , ∀ x ∈ R
(1)
i=1
mit den Koordinaten λ1 , λ2 , λ3 definiert durch λi := hf, qi i. Für λ1 , λ2 , λ3 erhalten wir
r
r
√
2
2
2 2
λ1 =
, λ2 = −
, λ3 =
.
3
3
3 3
Übungsblatt 8, Aufgabe 4, Koeffizientendeterminante
Zu Bestimmung des Interpolationspolynoms n−ten Grades fn (x) = an xn +an−1 xn−1 +. . .+a1 x+a0
für n + 1 Stützstellen (xi , yi ), i = 0, 1, 2, . . . , n mit paarweise verschiedenen xi bekommt man das
folgende Gleichungssystem:
a0 + a1 x0 + a2 x20 + . . . + an xn0 = y0
a0 + a1 x1 + a2 x21 + . . . + an xn1 = y1
.....................................................
a0 + an xn + a2 x2n + . . . + an xnn = yn .
1
Die Lösung dieses linearen Gleichungssystems lässt sich nach der Cramerschen Regel darstellen als:
a0 =
D1
Dn
D0
, a1 =
, . . . , an =
D
D
D
mit der (n + 1)−reihigen Koeffizientendeterminante
1 x0 x20 . . . xn0
1 x1 x21 . . . xn1
D = . . . . . . . . . .2. . . . . . . . .n.
1 xn xn . . . x n
und den Zählerdeterminanten Di , i = 0, . . . , n, die aus der Determinante D entstehen, indem man
die i−te Spalte durch die rechte Seite des Gleichungssystems ersetzt. Bestimmen Sie die Determinante D.
Lösung Durch Subtraktion der mit x0 multiplizierten i−ten Spalte der Determinante D von
der (i + 1)−ten, i = 1, . . . , n erhält man
1
x0
0
...
0
1 x1 − x0 x2 − x1 x0 . . . xn − xn−1 x0 1
1
1
D = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. . . . . . . . . . . . . . . . .n. . . . . n−1
1 xn − x0 x − xn x0 . . . x − x
x0 n
n
n
Dann folgt durch Entwickeln nach der ersten Zeile und Vorziehen der gemeinsamen Faktoren der
übrigen Zeilen
1 x1 x21 . . . xn−1 1
1 x2 x2 . . . xn−1 2
2
.
D = (x1 − x0 )(x2 − x0 ) . . . (xn − x0 ) ...................... 1 xn x2 . . . xn−1 n
n
Für die verbleibende n − 1 reihige Determinante wiederholen wir den Vorgang; wir multiplizieren
die erste Spalte mit x1 und subtrahieren von der zweite Spalte usw. :
1 x2 x22 . . . xn−2 2
D = (x1 − x0 ) (x2 − x0 ) . . . (xn − x0 ) 1 x3 x23 . . . xn−2
3
(x2 − x1 ) . . . (xn − x1 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 xn x2 . . . xn−2 n
n
Schließlich erhält man den Ausdruck
D=
(x1 − x0 )
(x2 − x0 ) (x3 − x0 ) . . .
(x2 − x1 ) (x3 − x1 ) . . .
(x3 − x2 ) . . .
(xn − x0 )
(xn − x1 )
(xn − x2 )
...
(xn − xn−1 )
oder kurz
D=
Y
(xi − xk ).
i>k
Die Determinante ist ungleich null, da die (n + 1) Stützstellen xi voneinander verschieden sind.
2