Mathematik für Bauingenieure II SS 15 Wiederholung 29.06.2015

Hochschule für angewandte Wissenschaften Augsburg
Fakultät Allgemeinwissenschaften
Mathematik für Bauingenieure II
SS 15
Wiederholung
29.06.2015
Prof. Dr. Holger Schmidt
Dr. Christine Zerbe
Relevante Themen für die Klausur:
Grenzwerte von Folgen, Defintions- und Wertemenge von Funktionen, Umkehrfunktion, gebrochen rationale Funktionen, trigonometrische Funktionen, Additionstheoreme, Exponentialfunktion, Taylorreihen, Differentation, lokale Extremstellen von Funktionen, bestimmte/ unbestimmte Integrale, Produktintegration und Integration durch Substitution
Vektoren, lineare Unabhängigkeit, Basis und Orthonormalbasis, Beschreibung von Ebenen,
Gleichungssysteme
Matrizen, Matrixoperationen, inverse Matrizen
Komplexe Zahlen
Funktionen mehrerer Veränderlicher, Gradient, Hessematrix, lokale Extrema
Vektorfelder, Wege, Wegintegrale, Potentialfelder, Mehrdimensionale Integration (Polar-,
Kugel und Zylinderkoordinaten)
Fourierreihen
Differentialgleichungen: Trennung der Variablen, lineare DGLn erster Ordnung (intergrierender Faktor, Variation der Konstanten), lineare DGLn n-ter Ordnung mit konstanten
Koeffizienten, Anfangswertprobleme
1. Grenzwerte
Bestimmen Sie folgende Grenzwerte
n2 + 2n
(a) lim
n→∞ n + 2n2
1
en
(b) lim
n→∞ n
2. Defintions- und Wertemenge von Funktionen, Umkehrfunktion
Betrachten Sie die Funktion
1
f : [0, 2] → R, f (x) = x2
4
Geben Sie die Definitionsmenge Df , die Wertemenge Wf , sowie die Umkehrfunktion
f −1 (x) an.
3. Gebrochen rationale Funktionen
Zerlegen Sie folfende gebrochen rationale Funktionen in eine ganzrationale Funktion
und echt gebrochen rationalen Anteil:
(a) f (x) =
x
(x − 1)(x + 1)
(b) f (x) =
x2
(x − 1)(x + 1)
(c) f (x) =
x3
(x − 1)(x + 1)
4. Taylorreihe
Entwickeln Sie folgende Funktion bis zur ersten nichtverschwindenden Ordnung in eine
Taylorreihe:
f (x) = cos(x2 )
5. Integration
Bestimmen Sie die Integrale
∫
(a)
x cos(x2 )dx,
∫
(b)
∫
2
x tan(x )dx,
(c)
x cos(x)dx
6. Lineare Unabhängigkeit, Basis und Orthonormalbasis
Sind die folgenden Vektoren linear unabhängig, orthogonal, orthonormal?
( )
( )
1
−1
(a) ⃗a =
, ⃗b =
−1
1
( )
( )
1
1
, ⃗b =
(b) ⃗a =
1
0
(1)
( √ )
√
√2
3
(c) ⃗a = √32 , ⃗b =
√
√1
−
3
3
 
 
 
1
0
1
⃗





(d) ⃗a = 0 , b = 1 , ⃗c = 1
1
0
1
7. Beschreibung von Ebenen
Eine Ebene gehe durch den Punkt m
⃗ = (1, 1, 1)T senkrecht zum Normalenvektor ⃗n =
T
(1, 1, 0) . Geben Sie die Koordinatenform und die Parameterform der Ebene an.
8. Gleichungssysteme, Matrizen, inverse Matrizen
Betrachten Sie das LGS
x + 2y = 3
2y − x = 1
Wieviele Lösungen kann ein derartiges LGS im allgemeinen haben? Lösen Sie das LGS
direkt. Schreiben Sie in die Form A⃗x = ⃗b und bestimmen Sie dann die Lösung mittels
der Inversen A−1 .
9. Komplexe Zahlen
Schreiben Sie die komplexen Zahlen jeweils in Form z = reiϕ bzw. z = x + iy
(a) z = (1 + i)2
(b)z =
2
1−i
10. Trigonometrische Funktionen, Additionstheoreme
Beweisen Sie Formel von Moivre: Für x ∈ R und n ∈ N gilt:
(cos x + i sin x)n = cos(nx) + i sin(nx)
Zeigen Sie damit, dass gilt
cos2 x − sin2 x = cos(2x)
11. Funktionen mehrerer Veränderlicher, Gradient, Hessematrix, lokale Extrema
Bestimmen Sie Gradient, Hessematrix und lokale Extrema von
f (x, y) = x2 + xy
12. Vektorfelder, Wege, Wegintegrale, Potentialfelder
Bestimmen Sie Potentialfeld und Wegintegral für das Vektorfeld
( 2)
3x
⃗
f (x, y) =
2y
und einen Weg, der geradlinig von (0, 1)T nach (1, 1)T verlaufen soll.
13. Mehrdimensionale Integration (Polar-, Kugel und Zylinderkoordinaten)
Bestimmen Sie das Volumen und das Trägheitsmoment des Kreiskegels (Radius R, Höhe
h, Mass m) gemäß der Formel (Drehung um die z-Achse):
∫ ∫ ∫
Θ=ρ
(x2 + y 2 )dV
ρ=
m
V
bezeichnet die kosntante Dichte des Kreiskegels.
14. Fourierreihen
Was versteht man unter einer Fourierreihe, dem Spektrum einer Funktion f (x)? Geben
Sie Ausdrücke die Fourierreihe und die Berechung der Fourierkoeffizienten an und bn
an.
15. Differentialgleichungen: Trennung der Variablen
Was versteht man im allgemeinen unter einer Differentialgleichung? Bestimmen Sie die
allgemeine Lösung der DGL
y ′ (x) =
xy 2 (x) + x
y(x)
16. Differentialgleichungen: Lineare DGLn erster Ordnung
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL
1
y ′ (x) + y(x) = 3x
x
17. Differentialgleichungen: Lineare DGLn n-ter Ordnung
Lösen Sie das AWP
y ′′ (x) − 2y ′ (x) + y(x) = 0,
y(0) = 1, y ′ (0) = 0