Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen Wintersemester

Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen
Wintersemester 2014/15
Kapitel 0
Jun.-Prof. Dr. Thorsten Raasch
Johannes Gutenberg-Universität Mainz
Institut für Mathematik
29. Oktober 2015
Jun.-Prof. Dr. Thorsten Raasch (JGU Mainz)
Numerik gewöhnlicher Dgln.
Numerik – was ist das?
Was ist Numerische Mathematik?
Numerische Mathematik bedeutet
Konstruktion und
mathematische Analyse
von Algorithmen, d.h. auf Computern realisierbaren
Rechenmethoden zur konkreten, meist approximativen Lösung
mathematischer Probleme.
Numerische Algorithmen sind erforderlich zur stabilen Lösung
von Problemen ohne expliziter oder mit ungeeigneter
Lösungsdarstellung.
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Numerik – Ziele?
Numerische Mathematik: Übergreifende Ziele
Beurteilung von Algorithmen hinsichtlich
Stabilität
(Entstehung/Fortpflanzung von Rundungsfehlern)
Konvergenz
(Abschätzung von Diskretisierungs-/Abbruchfehlern)
Komplexität
(Abschätzung von Speicherbedarf und Rechenzeit)
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Numerik – Einordnung?
Analysis
Algebra
Stochastik
Numerik
Wissenschaftliches Rechnen
Math. Modellierung
Informatik
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Num. Simulation
Anwendung
Numerik gewöhnlicher Dgln.
···
Numerik in Mainz – Vorlesungszyklus
Grundlagen der Numerik (SS 2014)
Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen
(WS 2014/15)
Numerik partieller Differentialgleichungen
(jährlich im WS, z.B. 2015/16)
Modellierungspraktikum (jährlich im SS, z.B. 2016)
Hauptseminare
Spezialvorlesungen
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Gewöhnliche Differentialgleichungen
Normalform einer gewöhnlichen Differentialgleichung:
y0 (t) = f t, y(t) , für alle t ∈ (a, b) ⊆ Rn .
Dabei ist die rechte Seite f : R × Rn → Rn gegeben, und die
gesuchte Lösung y : (a, b) → Rn ist eine Kurve.
Herkunft gewöhnlicher Differentialgleichungen:
Modellierung zeitabhängiger Probleme mit
endlich-dimensionalem Zustandsraum, z.B.
Wirtschaftswissenschaften (Märkte)
Biologie (Populationsmodelle)
Chemie (Reaktionskinetik)
Physik (Himmelsmechanik)
Technik (elektrische Schaltkreise)
Teilproblem in analytischen oder numerischen
Lösungsverfahren für partielle Differentialgleichungen
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Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen – Inhalte?
Anfangswertprobleme gewöhnl. Differentialgleichungen
(
y0 (t) = f t, y(t) , t ∈ [t0 , T ]
(AWP)
y(t0 ) = y0
Randwertprobleme gewöhnlicher Differentialgleichungen
(
y0 (t) = f t, y(t) , t ∈ [a, b]
(RWP)
r y(a), y(b) = 0
Lösungstheorie für (AWP) und (RWP)
Numerische Standardverfahren für (AWP) und (RWP)
Numerische Verfahren für Spezialprobleme
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Literatur
Deuflhard/Bornemann:
Numerische Mathematik II,
3. Aufl., de Gruyter, 2008
Hanke-Bourgeois:
Grundlagen der Numerischen Mathematik
und des Wissenschaftlichen Rechnens,
3. Aufl., Vieweg+Teubner, 2009
Hairer/(Nørsett/)Wanner:
Solving Ordinary Differential Equations I/II,
3. Aufl., Springer, 2009/2004
Skript
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Kriterien für die Kreditpunkte
9 Kreditpunkte für diese Veranstaltung erhält man so:
Erfolgreiche Teilnahme an den Übungen
Anwesenheit in den Übungen
Vorrechnen der theoretischen Aufgaben
Präsentation der Programmieraufgaben
50% der Punkte der Programmieraufgaben
50% der Punkte aus 14tägigen Tests
Bestehen der Klausur (Termin: 2.3.-13.3.2015)
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Übungsbetrieb
Übungen (Leitung: Georgij Bispen):
2 Gruppen (provisorische Termine: Mo 12-14, Di 16-18)
1 Übungsblatt pro Woche
Bearbeitung der Übungsaufgaben zu zweit
Anmeldung über ilias.uni-mainz.de,
siehe Link auf Vorlesungs-Homepage
Die Übungen finden wöchentlich statt und beginnen in der
zweiten Vorlesungswoche (≥ 3. November 2014) jeweils mit
der Besprechung von Übungsblatt 0 (bitte vorbereiten!)
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