Skript zur Vorlesung Nanoelektronik Modul 13470

Skript zur Vorlesung
Nanoelektronik
Modul 13470
U. Wulf
Brandenburgische Technische Universität Cottbus-Senftenberg
17. Juli 2017
Inhaltsverzeichnis
2
3
4
Nanotransistoren in höchstintegrierten Schaltungen: SOI FET und FinFET
2.1 Nanominiaturisierung von Transistoren . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Kurzkanaleffekte und Variabilitäten in nano-FETs . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Kurzkanaleffekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Variabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 High-k-Dielektrika, High-k+Metal-Gate-Technik . . . . . . . . . . . . .
2.4 Source/Drain- Engineering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Channel-Engineering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Strain Engineering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 SOI-Transistoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1 SOI-Wafer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.2 FD ETSOI-FETs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.3 Ultradünne BOX und Rückkontakt: Multiple VT ETSOI FET . . .
2.7 Nichtplanare Multigatetransistoren (Fin FETs) . . . . . . . . . . . . . . .
2.8 Neue Materialien und molekulare Leitungskanäle . . . . . . . . . . . . .
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Quantentransport Landauer-Büttiker Formalismus und Nanotransistoren
3.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Generisches Transistormodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Die Wellenfunktionen in den asymptotischen Bereichen . . . . . . . . . .
3.4 Streuzustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Drainstrombeitrag eines Streuzustandes und Kontinuumsnormierung . . .
3.6 Landauer-Büttiker Formel für den gesamten Drainstrom . . . . . . . . . .
3.7 Bandenergie und elektrostatisches Potenzial . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.1 Hartreenäherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.2 Semianalytisches Potenzialmodell . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.3 Semiempirisches Potenzialmodell: Abrupt Transistion Näherung .
3.8 Chemisches Potenzial im Sourcekontakt . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8.1 Breite Kontakte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8.2 Breite und tiefe Kontakte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9 Zustandszählung bei Invarianz in Transversalrichtungen . . . . . . . . . .
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Die Resonanztunneldiode
4.1 Aufbau der Resonanztunneldiode . . . .
4.2 Die Supplyfunktion bei T = 0 . . . . .
4.3 Lorentzkurve für die Stromtransmission
4.4 Gesamtstrom . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Ergebnisse von Bowen et al. . . . . . .
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Berechnung der Stromtransmission nach Kapur/Peierls, Wigner/Eisenbud und Lent/Kirkner,
Anwendung auf planare NanoFETs
5.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Die S-Matrix und Stromtransmission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Darstellung der S-Matrix durch die R-Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Die R-Matrix in schwacher Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Die R-Matrix Eigenfunktionsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6 Anwendung der R-Matrix Eigenfunktionsmethode auf planare nanoFETs . . . . . . . . .
5.6.1 Transistormodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.2 Konstruktion der Wigner-Eisenbudfunktionen und -energien . . . . . . . . . . . .
5.6.3 Berechnung der R-Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.4 Stromtransmission und Drainstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7 Die Quantum Transmitting Boundary Method (QTB Methode) . . . . . . . . . . . . . . .
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Quantitatives semiempirisches Transistormodell mit Anwendung planarer Transistor
6.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Strom-S-Matrix eines planaren nanoFETs in effektiver Einniveaunäherung . . . . . . . . .
6.3 Berechnung der effektiven Strom-Transmission durch ein eindimensionales effektives Streuproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Anpassung der Einniveaunäherung an das Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.1 Skalierung der Grundgleichungen und dimensionslose Transistorparameter . . . .
6.4.2 Minimierung der Standardabweichung und Kalibrierungsfunktionen . . . . . . . .
6.5 Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6 Discussion and conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Übungen zu ’3. Quantentransport im Landauer-Büttikerformalismus’
7.1 Strombeitrag eines Streuzustandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Chemisches Potenzial in den Kontakten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1 In beiden lateralen Richtungen endliche Kontakte . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.2 Nur in Tiefenrichtung begrenzte Kontakte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.3 In beiden lateralen Richtungen unbegrenzte Kontakte . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Supplyfunktionen: Gleiche Transversalmoden in Kontakten und Leitungskanal, durchgängiges separables Potenzial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Fermienergie und Temperturparamter in hochdotierten Si-Kontakten . . . . . . . . . . . .
7.5 Zustandsdichte eines freien Fermigases in n Dimensionen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6 Zustandsdichte in einem hochdotierten Halbleiter-Kontakt . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.7 Teilchenzahl -und Dichte freies Elektronengas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.8 Verlauf der Fermi-Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.9 Chemisches Potenzial des freien Elektronengases (Program chem) . . . . . . . . . . . . .
7.10 Versorgungsfunktion im quasi-eindimensionalen System (Programm sup) . . . . . . . . .
7.11 Endliche Kontakte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.12 Chemisches Potenzial mit Sommerfeldentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.13 Herleitung Sommerfeld-Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Übungen zu ’4. Die Resonanzdiode’
8.1 Abschätzung typischen Größen in der Struktur von Bowen et al.
8.1.1 Barrierenhöhe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.2 Fermienergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.3 Energie 0 des quasigebundenen Zustands . . . . . . . .
8.1.4 Maximaler Strom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Übungen zu ’5. Berechnung der Stromtransission mit Anwendung auf planare NanoFETs’
9.1 Darstellung der zweidimensionalen Stromtransmission durch eine Spur . . . . . . . . . .
9.2 Anwendung der RME Methode auf bulk Trigate-Transistoren . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3 Stromtransmissionsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4 Variationsansatz zur Berechnung der Subbandfunktionen und -energien im Kanal . . . . .
9.5 Schwache Formulierung in einer Dimension, Kontinuumslösungen . . . . . . . . . . . . .
9.6 Schwache Formulierung in einer Dimension, gebundene Zustände . . . . . . . . . . . . .
9.7 Berechnung der Greensfunktion in schwacher Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.8 Variationsformulierung im gesamten Bereich der rellen Zahlen: Finite Elemente und finite
Differenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.8.1 Beschränkte Basisfunktionen: Die Hütchenfunktionenbasis . . . . . . . . . . . . .
9.8.2 Unendliches homogenes lineares Gleichungssystem: Finite Elemente und finite Differenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.9 Rekursive Berechnung der Stromtransmission als Anfangswertproblem . . . . . . . . . .
9.9.1 Diskretisierung der Schrödingergleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.9.2 Rekursive Streuwellenkonstruktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.9.3 Anwendung: Doppelbarrierensystem mit Tsu-Esaki Formel . . . . . . . . . . . .
9.10 R-matrix in Einniveaunäherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.11 R-Matrix bei Homogenität in Breitenrichtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10 Übungen zu ’6. Ein Quantitatives semiempirisches Transistormodell’
10.1 Überlappfunktionen in Multilevelnäherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 Semiempirisches Transistormodell in einem allgemeinen separablen Potenzial . . .
10.2.1 Strom-S-Matrix und Stromtransmission . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.2 Strom-S-Matrix und effektive Transmission in effektiver Einniveauäherung
10.2.3 Berechnung der effektiven Transmission im effektiven 1d-Streuproblem . .
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Kapitel 2
Nanotransistoren in höchstintegrierten
Schaltungen: SOI FET und FinFET
2.1
Nanominiaturisierung von Transistoren
Integrierte Schaltkreise (ICs) bestehen im Kern aus einem Halbleitersubstratplättchen, auf das durch lithographische Methoden die Komponenten einer elektronischen Schaltung in ihrer Gesamtheit aufgebracht
werden. In einem Chip wird das so strukturierte Halbleitersubstratplättchen mitsamt der nach außen führenden Zuleitungen in einem typischerweise schwarzen Kunststoff eingeschweißt. Integrierte Schaltkreise haben in den sechziger/siebziger Jahren des vorigen Jahrhunderts die zuvor vorherrschende diskrete Elektronik esetzt, in der die Bauelemente einzeln auf eine Platine aufgebracht wurden. Zur Realisierung digitaler
integrierter Schaltkreise (Prozessoren, Arbeitsspeicher etc.) wird heutzutage in der Regel die CMOS (complementary metal-oxide-semiconductor) Technologie eingesetzt. Hier werden logische Funktionen durch
geeignete antagonistisch arbeitende Kombinationen von n- und p-Kanal Feldeffekttransistoren (FETs) realisiert. Die CMOS-Prozesse können auch für analoge Schaltkreise verwendet werden. In den siebziger
Jahren waren large scale integrated cricuits (LSIs) Standard mit planaren MOSFETs (MOS=metal-oxidesemiconductor), die eine Kanallänge von ∼ 10µm Standard aufwiesen (s. Abb. 2.1). Heute sind very large
scale integrated cricuits (VLSIs) mit nicht-planaren FinFETs mit einer Kanallänge von 14nm Standard[1]
(s. Abb. 2.7 (b)) . Diese Entwicklung bezeichnet den Übergang von der Mikroelektronik zur Nanoelektronik.
Der zeitliche Ablauf des Übergangs von der Mikroelektronik zur Nanoelektronik wird durch das Mooresche Gesetz beschrieben. Dieses lautet nach Wikipedia: ’Das Mooresche Gesetz (englisch Moores law)
besagt, dass sich die Komplexität integrierter Schaltkreise mit minimalen Komponentenkosten regelmäßig
verdoppelt; Je nach Quelle werden 12 bis 24 Monate als Zeitraum genannt. Unter Komplexität verstand
Gordon Moore (Mitbegründer von INTEL), der das Gesetz 1965 formulierte, die Anzahl der Schaltkreiskomponenten auf einem integrierten Schaltkreis. Gelegentlich ist auch von einer Verdoppelung der Integrationsdichte die Rede, also der Anzahl an Transistoren pro Flächeneinheit. Diese technische Entwicklung bildet eine wesentliche Grundlage der digitalen Revolution. Das Mooresche Gesetz ist in Abb. 2.2 an
Hand der historischen Entwicklung der Strukturgrößen der INTEL-Prozessoren dargesellt. Die Strukturgröße ist die kleinste in einem Technologieknoten erzielbare Struktur, bei der es sich typischerweise um
die Gatelänge der eingesetzten Feldeffekttransistoren handelt. Bis zum 32nm Technologieknoten mit einer
Gatelänge von etwa 20nm konnte die Verkleinerung der Bauelemente durch eine Skalierung von planaren
MISFETs (’MIS’=metal-insulator-semiconductor) erzielt werden. Hier wurde eine Reihe technologischre
Neuerungen eingeführt. Die wichtigsten Beispiele sind
1
2KAPITEL 2. NANOTRANSISTOREN IN HÖCHSTINTEGRIERTEN SCHALTUNGEN: SOI FET UND FINFET
Abbildung 2.1: Schematischer Aufbau eines planaren n-Kanal MOS-Feldeffekttransistors.
Abbildung 2.2: Strukturgrösßen der Mikropozessoren von INTEL ( Quelle: Wikipedia (deutsch)). In Braun
das Moresche Gesetz.
2.1. NANOMINIATURISIERUNG VON TRANSISTOREN
3
• Verwendung von speziellen Source/Drain Technologien umd den Übergang zwischen den Source/DrainKontakten und dem Kanal zu optimieren (s. [2])
• Verwendung eines High-k-Dielektrikums als Isolator und einer daran angepassten Metall-Gateelektrode
[3, 4, 5] (HKMG (high k-metal-gate)-Technik, s. Absch. 2.3)
• Einsatz von z. B. SSi3 N4 und SiGe zur Verspannung des Si-Substrats mit der dadurch verbundenen
Steigerung der Ladungsträgerbeweglichkeit [6, 7] (s. Absch.strainen
Ab dem 32nm Technologieknoten ging INTEL zu nichtplanaren Transistoren, den FinFETs, über. Die FinFETs gehören zur Familie der nichtplanaren Thin Film Multigate-Transistoren (s. Abschnitte 2.4 und 2.5).
In Thin-Film-Transistoren ist der Leitungskanal auf einen dünnen, undotierten Siliziumfilm beschränkt,
der zwischen zwei isolierenden Isolatorschichtem liegt. Eine Alternative zum FinFET aus der Familie der
Thin-Film-Multigatetransistoren ist der SOIFET (Doublgete FETs), der in Abschnitt 2.6 behandelt wird.
Neben der Kostenesparnis erbringt die Miniaturisierung der Schaltkreiskomponenten die folgenden Vorteile
(s. Wikipaedia)
+ Betriebsspannung und Kapazitäten fallen ⇒ Reduktion der Verlustleistung pro Gatter und Schaltvorgang ⇒ weniger Erhitzung ⇒ die Packungsdichte der Bauelemente kann weiter erhöht werden.
+ Maximale Schaltfrequenz steigt ⇒ schnelle Elektronik
Es entstehen jedoch die folgenden Probleme:
- Geringere Robustheit gegen ionisierende Strahlung
- Geringere Robustheit gegen Elektromigration
4KAPITEL 2. NANOTRANSISTOREN IN HÖCHSTINTEGRIERTEN SCHALTUNGEN: SOI FET UND FINFET
Abbildung 2.3: (a) TEM-Bild eines Nanotransistors von INTEL mit der Kanallänge 10nm (nach Abb. 2
von Ref. [15] aus dem Jahr 2002/2003). (b) Ausgangskennlinie (output characteristic) des Transistors in
der Form Drainstrom pro Breite J vs. Drainspannung U D bei verschiedenen Gatespannungen UG , schematisch nach Ref. [11]. (c) Schematische Ausgangskennlinie des Transistors 2N7000 von Fairchild mit einer
Kanallänge oberhalb 100nm (http://www.physics.csbsju.edu/trace/nMOSFET.CC.html).
2.2
Kurzkanaleffekte und Variabilitäten in nano-FETs
Ausgeprägte Kurzkanaleffekte in bulk nano-MOSFETs [8, 9, 10, 11, 12, 13, 2, 6, 14, 4, 5] und Variabilitäten
führten zur geschilderten Hinwendung zu Thin-Film-Transistoren wie FinFETs.
2.2.1
Kurzkanaleffekte
Eine typische Kennlinie eines Kurzkanaltransistors wird in Abb. 2.3 mit der Kennlinie eines Langkanaltransistors mit einer Kanallänge oberhalb ∼ 100nm verglichen.
Beim Langkanaltransistor tritt eine ideale Sättigung auf, d. h. die Steigung der Kennlinien verschwindet
für große Drainspannungen. Weiterhin läss t sich der Langkanaltransistor unterhalb einer Schwellspannung
ideal sperren, der Drainstrom verschwindet auf der gewählten linearen Drainstromskala. Beim Kurzkanaltransistor liegt für alle Gatespannungen eine positive Steigung der Ausgangskennlinien bei ausreichend
großen Drainspannungen vor (’Schlupf der Ausgangskennlinien’). Dies bedeutet, dass der Transistor sich
nicht sich nicht gut sperren lässt. Dies führt in der Steuerkennlinie (transfer characteristic, logarithmische
Auftragung ID vs. UG ) zur Verminderung der Steigung im Sperrbereich (subthreshold slope (SS), Ref. [16],
s. Abb. 2.4). Ein großer Wert für SS bedeutet eine gute Steuerbarkeit des Drainstroms.
Erklärungsansätze für die Degradierung der Gatesteuerung von Herunterskalierten nano-Fets:
2.2. KURZKANALEFFEKTE UND VARIABILITÄTEN IN NANO-FETS
5
Abbildung 2.4: (a)Steuerkennlinie (transfer characteristic) des in Abb. 2.14 dargestellten ETSOI FETs mit
L = 25nm als Beispiel für einen Thin-Film Transistor, schematisch, nach Fig. 13 in Ref. [17]. Definition
von Io f f = J(U D = U DD , UG = 0) und Ion = J(U D = U DD , UG = U DD ). Auftragung von Io f f vs. Ion für
U D = 0.9V = U DD , U DD ist Betriebsspannung, für viele Transistoren mit nominell gleichen Parametern
schematisch, nach Fig. 10 in Ref. [17].
6KAPITEL 2. NANOTRANSISTOREN IN HÖCHSTINTEGRIERTEN SCHALTUNGEN: SOI FET UND FINFET
Abbildung 2.5: (a) Punch through effect im konventionellen planaren MOSFET: Bildung eines parasitärer
Leitungskanals (grün) zwischen der Verarmungszone des Drainkontaktes and der Source in das Halbleitersubstrat hinein bei Anlegen einer Sperrspannung am Gate. Der Transistor kann nicht gesperrt werden.
(b) Unterdrückung des Punch through effects im SOIFET: Durch Beschränkung des Leitungskanals auf die
dünne Si-Schicht eines SOI-wavers wird die Entartung der Verarmungszone des Drainkontaktes und damit
der punch through effect verhindert.
Substratverlagerung der Leitungskanals
Bei Sperrspannung verlagert sich der Leitungskanal in das Si-Substrat hinein anstatt zu verschwinden. Der
Leitungskanal entzieht sich so der Gatekontrolle. Dieses kann anschaulich durch den Punch through effect
erklärt werden (s. Abb. ?? (a)): Bei Anlegen einer Drainspannung vergrößert sich die Verarmungszone
des Drainkontaktes in Richtung des Sourcekontaktes. Ein Leitungselektron das von der Source aus diese
Verarmungszone erreicht, wird direkt in die Drain beschleunigt. Punch through bedeutet, dass sich ein
solcher parasitärer Leitungskanal beim größten Annährungspunkt der Verarmungszone der Drain and die
Source in das Halbleitersubstrat hinein bildet. In Abb. ?? (b)) ist ein Thin-Film Transistor dargestellt, bei
dem der Leitungskanal auf eine dünne S-Schicht beschränkt ist. Der Leitungskanal kann daher nicht in das
Substrat hinein ausweichen.
⇒ Channel engineering (s. Absch. ??): Halo doping, retrograde well in Planartechnologie
⇒ Übergang zu SOI-FETs (s. Abb. ?? (b)) und Absch. 2.6)
⇒ Unerwünschte Erniedrigung der Schwellspannung (’VT roll-off’, s. Abb. 2.6).
Drain induced barrier lowering
Durch mangelhafte Auslegung des Transistors führen elektrostatische Effekte dazu, dass die Höhe der
Source-Drainbarriere durch die Drainspannung um einen Wert ∆V erniedrigt wird (drain induced barrier lowering).
low
In der Praxis wird gesetzt ∆U = UthDD − Uth
ist UthDD die Threshold-Gatespannung bei U D = U DD , wobei
low
U DD die Versorgungsspannung des Transistors und Uth
die Threshold-Gatespannung bei einer kleinen
low
Drainspannung U D = U D im linearen bereich der Ausgangscharakteristik. Dann wird die als Kenngröße
DIBL =
low
UthDD − Uth
U DD − U Dlow
(2.1)
2.2. KURZKANALEFFEKTE UND VARIABILITÄTEN IN NANO-FETS
7
Abbildung 2.6: (VT roll-off des ETSOI-FETs in Abb. 2.14 schematisch, nach Fig. 17 in Ref. [17].
Abbildung 2.7: (a) ’Ideale Barriere’ im n-anal FET, keine DIBL. Die Höhe der Barriere ist durch das builtin-Potenzial zwischen den n++ -Kontakten und dem p-Substrat sowie durch die Gatespannung festgelegt abe
nicht durch die Drainspannung die gleichmäßig im Kanal abfällt. (b) ’Reale barriere’ mit Drain Induced
Barrier Lowering umd den Wert ∆V s. auch [18]
8KAPITEL 2. NANOTRANSISTOREN IN HÖCHSTINTEGRIERTEN SCHALTUNGEN: SOI FET UND FINFET
Abbildung 2.8: In farbigen Linien die Ausgangskennlinien von drei vergleichbaren Transistoren der Firma
Globalfoundries mit Kanallängen von (a) L = 22nm, (b) L = 26nm und (c) L = 30nm. In schwarzen Kreisen
die Ergebnisse des quantenmechanischen semiempirischen Modells in Ref. [19] mit Source-Drain Tunneln.
definiert. Wie in (2.4) sind die Steuerkennlinien im Sperrbereich in guter Näherung parallel. Man kann daher
low
in (2.1) die unbekannten Werte UthDD und Uth
ersetzen, indem man sich zunächest einen kleinen Strom im
Sperrbereich vorgibt. Dann nimmt man an Stelle von UthDD die Schnittpunktspannung der Steuerkennlinie
low
mit ID und bei U D D und an Stelle von Uth
die Schnittpunktspannung mit der Steuerkennlinie bei U Dlow (s.
rote Linien in Abb. 2.4).
Quantenmechanisches Source-Drain Tunneln
In Ref. [19] (s. Kapitel 6 der Vorlesung) wird in einem semiempirischen Transistormodell gezeigt, dass
die Steigung der Ausgangskennlinien einer Reihe von experimentellen Transistoren sich quantitativ durch
Source-Drain Tunneln erklären lassen (s. Abb. 2.8). In diesem Modell werden Rückverlagerung des Leitungskanals und Drain Induced Barrier Lowering vernachlässigt (Verwendung der idaealen Barriere in Abb.
2.7 (a)). Die Ausgangskennlinien der Transistoren zeigen sehr schön den genannten Schlupf der Ausgangskennlinien, d. h. die positive Steigung. Der Schlupf der Ausgangskennlinien wächst im Thresholdbereich
deutlich mit Verkleinerung der Transistorgatelänge.
2.2.2
Variabilität
Die Transistorvariabilität entsteht durch random dopant fluctuations (RDF) im kleinen Leitungskanal und
durch line edge roughness (LER) durch Prozessbegrenzungen in der Lithographie. Hierdurch entstehen sehr
schädliche Fluktuationen in der Thresholdspannung von Transistor zu Transistor (s. Abb. 2.4 (b)).
2.3. HIGH-K-DIELEKTRIKA, HIGH-K+METAL-GATE-TECHNIK
9
Abbildung 2.9: Schematisch: Transistorgateaufbau mit dem high-k-Dielektrikum HfO2 mit r = 25. Die em
interfacial layer erzeugt einen gitterverzerrungsfreien Übergang zwischen Leitungskanal und Gateisolatorstack.
2.3
High-k-Dielektrika, High-k+Metal-Gate-Technik
Transistoren mit einen high k-Dielektrikum wurden ab dem 45nm-Knoten eingesetzt, um die Gateleckströme
zu reduzieren (s. Abb. 2.9).
Zur Erhöhung der Leitfähigkeit des verkleinerten Gatekontakt wurde ein metallisches Gate (Al und später
Cu) verwendet an Stelle von Poly-Silizium[20].
• Die Kapazität eines Plattenkondensators ist gegeben durch
C = 0 r
A Q
=
d
U
(2.2)
Bei gleichen Ladungs- und Spannungsverhältnissen kann bei Erhöhung der Dielektrizitätskonstanten
die Oxyddicke d vergröss ert werden, sodass Tunnelströme abnehmen.
• High-k+Metal-Gate(HKMG)-Technik: Verwendung des High-k-Dielektrikum mit einem Polysiliziumgate führt auf die Erhöhung der Schwellspannung ⇒ Erhöhung der Versorgungsspannung ⇒ höhere Verlustleistung. Es musste daher das Polysiliziumgate durch ein an den Gatestack angepasstes ein
Matallgate ersetzt werden.
• Als High-k-Dielektrikum wird in der Regel HfO2 eingesetzt.
• Im Gegensatz dazu werden Low-k-Dielektrika als Isolator zwischen den Leitbahnen eingesetzt, um
durch eine niedrige Dielektrizitätskonstante die entstehenden parasitären Kapazitäten verringern
10KAPITEL 2. NANOTRANSISTOREN IN HÖCHSTINTEGRIERTEN SCHALTUNGEN: SOI FET UND FINFET
Abbildung 2.10: Struktur der Kontakte: Source/Drain engineering. Die source/drain extension (SDE) sowie der source/drain-gate Überlapp werden eingerichtet um die Transistorkennlinien zu optimieren. Eine
möglichst flache SDE bewirkt, dass die Ladungsdichte im Elektronenkanal nur schwach von der Drainspannung abhängt (nach Ref. [8]).
2.4
Source/Drain- Engineering
Um kleine und daher anfällige Elektronenkanäle zerstörungsfrei und glatt zu kontaktieren ist ein aufwendiges ’Source/Drain engineering’ nötig. Die Kontaktwannen werden durch einen fingerartigen flachen
Ausläufer der n++ -Dotierung (’shallow source/drain extension’ (SDE)) an den Kanal herangeführt. Dieser
’Finger’ besteht aus einem ultraflachen und ultrahochdotierten pn-Übergang mit einer ’Fingerspitze’ die
unter das Gate ragt und in Abb. 2.10 ’Overlap’ genannt wird. Durch die flache SDE werden zudem Streufelder in das Substrat vermindert, d. h. Gatekontrolle des Elektronenkanals verbessert. Damit der Finger
trotz seines kleinen Querschnitts noch leitend bleibt, ist eine sehr starke Dotierung nötig, die z. B. durch ein
’flash annealing’ mit Laserblitzen ermöglicht wird.
2.5
Channel-Engineering
Um Kurzkanaleffekte wie das wandern des Leitungskanals in das Substrats beis Sperrspannung zu vermindern und die Kennlinien allgemein zu verbessern, kann im im Rahmen des sogenannten channel engineering
das Substratdotierungsprofil gesteuert werden[8]. In einem super steep retrograde well (SSRW) wird die
Substratdotierung von einem kleinem Wert an der Grenzfläche zum Isolator zu einem sehr hohen Wert auf
der Substratseite des Kanals hochgefahren (retrogrades Dotierungsprofil, s. Abb. 2.11). Dadurch verstärkt
sich das Kanaleinschlusspotenzial. Das retrograde Dotierungsprofil wie auch die Halo-Dotierungen aber
zu hohen unerwünschten Dotierungsfluktuationen die die Transistorvariabilität erhöhen. Außerdem föhren
sie zu höheren Source-Drain Leckströmen außerhalb des Leitungskanals. Daher konnten diese Techniken
jenseits des 28nm -Knotens nicht mehr angewendet werden, um Kurzkanaleffekte zu kontrollieren[21]
2.5.1
Strain Engineering
Durch Verspannung kann die Beweglichkeit der Ladungsträger verbessert werden. Im n-Leitungskanal
benötigt man hierzu Zugspannung (’tensile stress’, s. linke Seite von Abb. 2.12) und im p-Kanal Kompressionsspannung (’compressive stress’, s. rechte Seite von Abb. 2.12)
2.5. CHANNEL-ENGINEERING
11
Abbildung 2.11: Schematische Darstellung des retrograden Dotierungsprofils im Kanalbereich und der
Halo-Dotierung um die source/drain Extension herum (nach Ref. [8])
.
Abbildung 2.12: (a) n-Kanal mit einer Zugspannung, die durch eine Schicht von relaxiertem S i xGe1−x mit
einer größeren Gitterkonstante als S i hervorgerufen wird (aus Ref. [22]) (b) p-Kanal mit einer uniaxialen
kompressiven Spannung, die durch Implantation von Germanium in die Source/Drain Extension SDE erzielt
wurde[23].
12KAPITEL 2. NANOTRANSISTOREN IN HÖCHSTINTEGRIERTEN SCHALTUNGEN: SOI FET UND FINFET
Abbildung 2.13: Die Smartcut-technologie der Firma SOITEC zur Herstellung eines SOI-Wafers: (a) Durch
das thermische Oxid (Box) hindurch wird mit einer Dosis von 1 − 5 × 1016 cm−2 eine dünne Schicht Wasserstoff implantiert. (b) Der handle waver B wird angebracht. (c) Bei 400 − 600oC trennt sich A von B entlang
des H2 -peaks. Nach dieser Temperaturspaltung wird Waver B, der SOI-Waver, bei ∼ 1100oC annealed.
Waver A wird wiederverwendet.
2.6
2.6.1
SOI-Transistoren
SOI-Wafer
Thin-body SOI-Transistoren sind eine Klasse neuartiger Transistoren, die in den aktuellen Technologieknoten eingesetzt werden. Sie werden auf einem SOI-Wafer gewachsen. Wie in Abb. 2.14 dargestellt, besteht
ein SOI-Wafer aus einer oberen und einer unteren Silziumschicht, zwischen denen eine isolierende Siliziumoxydschicht (box) liegt. Uns interessieren Thin Film SOI Wafer deren die Dicke der oberen aktiven
Si-Schicht im Bereich voneinigen 10 Nanometern und darunter liegt. Die untere Siliziumschicht hat die
Funktion eines Substrats.
Anfangs wurde die Oxydschicht durch durch Implantation von Sauerstoff hergestellt (SIMOX-Technologie,
separation by implanted oxygen). Die Sauerstoffimplantation ist jedoch teuer und führt zu NadellochDefekten im Silizium, denn die Sauerstoffimplantation verläuft durch die dünne aktive Schicht. Daher wird
gegenwärtig die in Abb. 2.13 gezeigte SmartCut-Technologie verwendet.
2.6.2
FD ETSOI-FETs
Thin-film und Extremely Thin SOI (ETSOI)-Transistoren sind eine Klasse neuartiger Transistoren [24, 25,
26, 27, 28, 17, 29, 30, 31, 32, 33, 34]. Wie im nächsten Abschnitt dargestellt, ist der planare Leitungskanal des Transistors auf einen dünnen undotierten Siliziumfilm beschränkt, der auf einer Oxydschicht
(box, buried oxide) aufgebracht ist. Wegen der fehlenden Dotierung des Si-Films (auch keine Halo- und
retrograde Dotierung) werden die Transistor-Variabilitäten reduziert[17] Da der Leitungskanal bei Sperrspannung nicht in das Substrat ausweichen kann und auch das drain induced barrier lowering vermindert
ist [17], werden ebenfalls die Kurzkanaleffekte verringert. Weiterhin kann der Herstellungsprozess von
ETSOI-Transistoren in den Standard CMOS-prozess integriert werden[17].
In Abb. 2.14 (b) ist schematisch ein auf einem SOI-Wafer hergestellter ETSOI-Feldeffekttransistor (ETSOIFET) dargestellt wie er in Refs. [17, 30, 31] untersucht wurde: In der schwach dotierten aktiven Siliziumschicht (body) befinden sich zusätzliche hochdotierte Source/Drainkontakte und darüber liegt ein Gateoxyd
mit anschließendem Gatekontakt. Im ETSOIFET sind sämtliche vohandene Verunreinigungen ionisiert,
es entsteht ein fully depleted SOI-FET, in dem keine Hytereseeffekte auftreten (floating body-Effekt). Die
2.6. SOI-TRANSISTOREN
13
Abbildung 2.14: (a) Aufbau eines SOI-Wafers mit einer dünnen Si-Schicht mit einer weniger als einen
Mikrometer dicken aktiven Si-Schicht (b) Aufbau eines planaren ETSOI-FETs, schematisch nach Fig. 2
von Ref. [17].
Abbildung 2.15: Durch unterschiedliche Gatestacks soll die Steuerkurve angepasst werden.
14KAPITEL 2. NANOTRANSISTOREN IN HÖCHSTINTEGRIERTEN SCHALTUNGEN: SOI FET UND FINFET
unter dem Si-Film legende Oxydschicht des SOI-Wafers wird ’box’ genannt. Der Si-Film hat wegen seiner Dünnheit einen hohen Schichtwiderstand. Zur Vermeidung dieses Effektes werden die Source- und
Drainkontakte nach oben herausgeführt (raised source/drain RSD). Hierdurch entstehen parasitäre Kapazitäten zwischen Source/Drain und Gate, die durch ein facettiertes RSD-Profil vermindert werden können.
In der n(p)-Kanal RSD wird Si:N (Si:Ge) als Stressor eingesetzt (Zugspannung, Kompressionsspannung)
zur Erhöhung der Ladungsträgerbeweglichkeit. Das facettiertes RSD-Profil verbessert die Spannungsübertragung in den Kanal. Der HKMG-Gatestack ist variabel, um unterschiedliche VT für unterschiedliche Anwendungen zu erzielen (multi VT ETSOI, s. Abb. 2.15): Eine interfacial layer geringer Breite T Inv ist für
logische Bauelemente (thin oxide stack) geeignet eine dicke interfacial layer für Leistungstransistoren (thick
oxide stack)
2.6. SOI-TRANSISTOREN
15
Abbildung 2.16: Aufbau eines n-Kanal multiple VT ETSOI FETs (s. ??). Unter dem n-kanal befindet sich
eine ultradünne BOX (UTBOX) mit einer Dicke von ∼ 10nm. Darunter liegt die ground plate (GP) die
aus einer dünnen p- oder n-dotierten Schicht besteht. Die GP ist durch eine p-dotierte Wanne mit dem
Rückkontakt verbunden an dem die Spanung Ubg liegt. Die GP fungiert daher als Rückkontakt back gate.
Es liegt also mit Top Gate und Rückkontakt ein dual gate-Transistor vor. Die p-dotierte Wanne liegt in
einem undotierten Substrat, dass auf der Rückseite entweder geerdet ist oder auf Betriebsspannung
2.6.3
Ultradünne BOX und Rückkontakt: Multiple VT ETSOI FET
In den ETSOI-FETs von [17, 30, 31] wurden unterschiedliche Gate Stacks für Logikanwendungen und für
analoge Leistungsanwendungen benötigt. Dieses ist erforderlich, um die unterschiedlichen nötigen Schwellspannungen VT zu erzielen. Zur Lösung dieses Problems wurde in den Arbeiten [35], eine ultra dünne
BOX (UTBOX) mit einer ground plate (GP) als Rückkontakt (back gate) verwendet. Durch die angelegte
Spannung Ub am Rückkontakt kann die Schwellspannung für verschiedene Anwendungen justiert werden
(multiple VT ). Die Verwendung einer UTBOX verbessert zudem die elektrostatische Kontrolle über den
Leitungskanal.
Eine mit einer Rückspannung Ubg belegte GP wurde bereits in Refs. [36] und [37] betrachtet. Wichtig ist
der body effect factor
∆UT γ=
(2.3)
∆Ubg In Abb. 2.18 ist da Verhalten einer Steuerkennlinie in Abhängigkeit von γ und Ubg dargestellt: Bei Ubg = 0
sinkt der Drainstrom mit wachsendem γ. Dieser Effekt verstärkt sich für hohe Gatespannungen. Das Anlegen einer moderaten negativen Rückspannung führt zu einem weiteren Absinken des Drainstromes, welches definitionsgemäß bei großem body effect fatcor besonders ausgeprägt ist. Diese Sachverhalte werden
in Abb. 2.19 erklärt.
Durch die besondere Struktur des Rückkontakts in Abb. 2.16 wird der body effect factor variabel, was die
Steuerkennlinie des Transistors verbessert: Für den betrachteten n-Kanaltransistor ist γ im ON-state klein
wegen der Ausbildung der über den Isolator hinausgehenden Verarmungszone unterhalb der GP. Wegen
16KAPITEL 2. NANOTRANSISTOREN IN HÖCHSTINTEGRIERTEN SCHALTUNGEN: SOI FET UND FINFET
Abbildung 2.17: Beeinflussung der Steuerkennlinie eines n-Kanal multiple VT ETSOI FETs mit der back
gate Spannung Ubg (schematisch nach Fig. 5 von ??).
Abbildung 2.18: Steuerkennlinien in Abhängigkeit von γ und Ubg : Ubg = 0 (durchgezogen) und bei Vorliegen einer negativen Rückspannung Ubg (gestrichelt); kleines γ (blau) und großes γ (magenta). Erklärungen
für (a), (b) und (c) in Abb. 2.18.
2.6. SOI-TRANSISTOREN
17
Abbildung 2.19: Verlauf der elektrostatischen Energie in Tiefenrichtung (grün) und Potenzialbarriere im
Leitungskanal (magenta). (a) OFF-state (UG klein) mit geerdeter GP (Ubg = 0): Die elektrostatische Energie ist klein, die Source-Drainbarrierenhöhe ist nahe dem built-in-Potenzial eV̄bi zwischen p-Wanne und undotiertem Si-Film. Der Unterschied zwischen großem und kleinem γ ist vernachlässigbar. (b) ON-state (UG
ist groß) mit U BG =0: Durchgezogene Linien γ klein , gestrichelte Linien γ groß. Die S /D-Barreiernhöhe
ist wegen der negativen elektrostatischen Energie erniedrigt. Für starke Kopplung der GP and die Rückelektrode (große γ) wird das Potenzial im Bereich der GP viel stärker auf Null gezwungen. Das führt dazu, dass
die Erniedrigung des elektrostatischen Potenzials im Kanal auch kleiner ausfällt und S /D-Barreiernhöhe
somit ḧoher ist als bei kleinem γ. Deshalb ist der Drainstrom bei großem γ kleiner als bei kleinem γ. Wegen
des Durchgriffs des Potenzials bildet sich im ON-state eine Verarmunszone aus, die bis über den Isolator
herausragt. (c) Ein positives back-gate Potenzial führt zu einer Erniedrigung der elektrostatischen Energie
im Kanal (rosa gestrichelte Linie) und damit zu eier Erniedriegung der S/D-Barrier mit einem Anwachsen
des Stroms.
18KAPITEL 2. NANOTRANSISTOREN IN HÖCHSTINTEGRIERTEN SCHALTUNGEN: SOI FET UND FINFET
Abb. 2.19 (b) ist dann der Strom groß. Eine zusätzlich angelegte positive Spannung U BG am Rückkontakt führt zu einer weiteren Erhöhung des Drainstroms (s. Abb. 2.19 (c)). Im OFF-State verschwindet die
Verarmungszone und γ wird groß(s. Abb. 2.19 (a)), der Drainstrom somit klein. Durch eine zusätzlich am
Rückkontakt angelegte negative Spannung U BG kann der Sperrstrom Io f f zusätzlich wesentlich erniedrigt
werden.
2.7. NICHTPLANARE MULTIGATETRANSISTOREN (FIN FETS)
19
Abbildung 2.20: Verschiedene Formen, die Gateelektrode um den Leitungskanal zu wickeln: (a) Silicon-oninulator (SOI) fin field effect transistor (FinFET). Dieser Transistor wird als Dualgatetransistor angesehen,
weil die Gatekontrolle nur von den beiden vertikalen Gateseiten ausgeübt wird, die obere horizontale Gateseite ist schmal und durch ein dickeres Oxyd abgetrennt. (b) SOI triple gate (oder tri-gate) bulk FinTet
FET: Die Gatekontrolle wird von drei Seiten ausgeübt, der Fin zieht sich nach unten bis in das Si-Substrat
hinein. (c) Gate-all-around Nanowiretransistor.
2.7
Nichtplanare Multigatetransistoren (Fin FETs)
Der SOIFET ist als Dualgatetransistor ein planarer Multigatetransistor. Um eine verbesserte Wirkung der
Gateelektrode zu erzielen, wurden in den vergangenen Jahren nichtplanare Multigateransistoren entwickelt,
in denen der Leitungskanal in Form einer Finne (’FinFET’) oder eines zylindrischen nanodrahtes von mehreren Seiten her von der Gateelektrode umgeben ist[38, 39, 40, 41] Ein Übersichtsartikel befindet sich in
[42]. Es gibt Dualgate- Tri-gate oder Gate-all-around Transistoren (s. Abb. 2.7). Diese können entweder auf
einer S iO2 -box (’buried oxide’) aufgebracht werden oder bei bulk Transitoren kann sich der Si-Träger des
Leitungskanals bis in das Si-Substrat hinein erstrecken.
20KAPITEL 2. NANOTRANSISTOREN IN HÖCHSTINTEGRIERTEN SCHALTUNGEN: SOI FET UND FINFET
Abbildung 2.21: (a) Aufbau einer FinFETs, (b) Steuerkennlinie. Schematisch nach M. Bohr und K. Mistry:
’Intels Revolutionary 22 nm Transistor Technology’, 2011 Drei parallel geschaltete bulk Tri-gate Transistoren.
2.8. NEUE MATERIALIEN UND MOLEKULARE LEITUNGSKANÄLE
21
Abbildung 2.22: (a) Graphenstreifentransistor nach Ref. [44]. (d) Einheitszelle des zigzag-Ribbons (s. Abb.
~ m eines B-Atoms mit n = 1, 2, 3.
??), die nächste-Nachbar Hüpfvektoren ∆
B
2.8
Neue Materialien und molekulare Leitungskanäle
In der Forschung werden neue Halbleitermaterialien wie Si/Ge bei auch alternative Geometrien und Materialien eingesetzt werden[43], wie bei Carbon Nanotube FETs (CNFET), Doppelgate FETs (DGFET) ,
Silicon-on-Insulator MOSFETs (SOI MOSFET), Silizium-Nanowiretransistoren (SNWT) strained channel
FETs oder Transistoren in hybrid-orientation Technologie (HOT) für den Kanal erforscht. Es werden auch
molekolare Leitungskanäle untersucht, wobei hier Nanotubes und Graphenstreifen besonders vielversprechend sind.
Kapitel 3
Quantentransport Landauer-Büttiker
Formalismus und Nanotransistoren
3.1
Einleitung
In den letzten Dekaden wurde der Transport in einer Vielzahl von mesoskopischen Halbleiterstrukturen untersucht [45, 46, 47]. Ein mesoskopisches System ist auf der einen Seite groß auf dem atomaren Maßstab
und auf der anderen Seite klein genug, dass die Wellenfunktionen im Bereich des Systems kohärent sind.
Typischerweise wird in mesoskopischen Systemen nicht die Wellenfunktion direkt berechnet sondern eine
Enveloppenfunktion für die Wellenfunktion. Wie in der Vorlesung ’Halbleiterphysik’ dargestellt, wird die
Enveloppenfunktion mit einer effektiven Schrödingergleichung bestimmt, in der die atomare Struktur durch
die Verwendung einer effektiven Masse berücksichtigt wird (s. Gl. (3.4)). Beispiele für Transportphänomene
in mesoskopischen Systemen sind interferometrische Effekte in einfachen Aharonov-Bohm-Ringen [48, 49]
oder komplexeren Geometrien mit einem zusätzlichen Quantenpunkt[50] oder in einem Mach-Zehnder
Aufbau[51], die Unterdrückung des Quantenhalleffekts in kleinen Kontakten [52, 53], der quantisierte Leitwert in ballistischen Punktkontakten [54, 55], der resonante Transport in Dopperlbarrierestrukturen [56],
Coulombblockadeoszillationen[57, 58], chaotische Dynamik in Quantenpunkten [59, 60, 61], Kondoresonanzen in Quanteninseln [62, 63, 64, 65], spintronische Effekte[66, 67, 68], sowie Hanbury, Brown und
Twiss Experimente mit Stromfluktuationen[69, 70, 71, 72]. Zu dem häufig in der mesoskopischen Physik
eingesetzten GaAs/AlGaAs-Materialsystem gibt es auch Si-basierte Alternativen wie katalytisch gewachsene Nanodrähte im Si/SiGe-System [73, 74, 75]. In einer Vielzahl solcher und ähnlicher Systemen wurde
der Landauer-Büttiker Formalismus erfolgreich zur Berechnung der Transportprozesse herangezogen. Dieser streutheoretische Zugang wurde maßgeblich in Arbeiten von Frenkel[76], Tsu and Esaki [77] sowie
Landauer and Büttiker [78, 79, 80, 81, 82, 83] entwickelt.
Durch die beständige Herunterskalierung der Leitungskanäle in industriellen Transistoren bis in den Bereich von wenigen zehn Nanometern werden Transistoren zu mesoskopischen Bauelementen, auf die der
Landauer-Büttiker Formalismus anwendbar ist. Es wird weiterhin angenommen, dass wegen der kleinen
Bauelementabmessungen die Streuung durch wenige Verunreinigungen und Irregularitäten vernachlässigbar ist, d. h. wir setzen den ballistischen Grenzfall voraus (s. Abb. 3.1). Aufgrund der vielen positiven
Erfahrungen und der größtmöglichen Einfachheit werden wir uns in dieser Vorlesung auf den LandauerBüttiker Formalismus konzentrieren.
22
3.1. EINLEITUNG
23
Abbildung 3.1: (a) Diffusiver Transport durch einen leitenden Kanal zwischen zwei metallischen Kontakten, Source und Drain. Auf Grund der vielen Streuer (Kreise mit Kreuzen) bewegt sich der Ladungsträger
(durchgezogene Linie mit Richtungspfeil) wie ein durch das elektrische Feld getriebener Zufallsgeher auf
seinem Weg von Source nach Drain. (b) Einteilung des Gesamtsystems in Zellen bei ~rn . In jeder Zelle ist
die Lage des Leitungsbandes LB durch das lokale Potenzial definiert, sowie eine lokale Verteilungsfunktion
der Ladungsträger im Impulsraum. Auf Grund der vielen Streuprozesse ist diese lokale Verteilungsfunktion
nahe an einer Fermifunktion mit einem lokalen elektrochemischen Potenzial. (c) Ballistischer Quantentransport: Die Ladungsträger werden durch im Kanal kohärente Streuzustände beschrieben. Diese können
sich ausbilden, weil im Gegensatz zum diffusiven Limit in Abb. 1 im ballistischen Fall keine Streuung
im Kanal stattfindet. In den gestrichelte Übergangsbereiche ΩS und ΩD . werden im Teilchenaustausch mit
den Kontaktreservoirs Streuzustände gebildet (ein) oder auch reflektierte (ref) und transmittierte (trans)
Komponenten der Streuzustände (reflektionslos) absorbiert. Schematisch mit gestrichpunkteter Linie gezeigt: Bildung eines Streuzustandes mit einer einlaufenden Transversalmode i = 0 und Absorption einer
transmittierten Komponente mit einer Transversalmode i = 1 im Drainkontakt. Durch die transmittierte
Komponente des Streuzustandes entsteht der quantenmechanische Strom.
24
KAPITEL 3. LANDAUER-BÜTTIKERFORMALISMUS UND NANOTRANSISTOREN
Abbildung 3.2: (a) Schematischer Aufbau eines planaren SOI-FETs mit der Filmdicke D. Für x ≤ x1 wird
der Einfluss des Leitungskanals und der Dotierungsveränderung abgeschirmt, sodass das Potenzial von x
unabhängig wird. STI=shallow trench insulation: Isolierung der Transistoren gegeneinander. (b) Generisches Modell für die Streuwellenfunktionen.
3.2
Generisches Transistormodell
In Abbildung 3.2 (a) ist der komplexe Aufbau eines konventionellen planaren nano-Feldeffekttransistors
(NanoFETs) schematisch dargestellt. Zur Untersuchung der grundlegenden Eigenschaften eines NanoFETs
ist es zunächst ausreichend, von dem in Teilbild (b) gezeigten, generischen Modell auszugehen, welches
auf MOSFETs, planare SOIFETs, FinFET-Transistoren sowie viele andere mesoskopische Systeme (resononante Tunneldiode, Punktkontakte, Quantenpunkte, Quantendrähte etc.) anwendbar ist. Im generischen Transistormodell wird der Transistor unter Fortlassung des Gatekontakts als Zweipol mit Sourceund Drainanschluss aufgefasst. Die Wellenfunktionen (eigentlich die Enveloppenfunktionen) werden in yRichtung (Tiefenrichtung) bei y ≤ 0 und y ≥ D abgeschnitten, sodass
ψ(x, y = 0, z) = ψ(x, y = D, z) = 0.
(3.1)
Hierbei ist, wie in Abb. 3.2 gezeigt, bei einem SOIFET die Tiefe D mit der Si-Filmdicke zu identifizieren,
und bei einem SOIFET mit der Tiefe der Source/Drain-extension [84]. In z-Richtung (Breitenrichtung) wird
für z ≤ 0 und für z ≥ W abgeschnitten, sodass
ψ(x, y, z = 0) = ψ(x, y, z = W) = 0,
(3.2)
wobei W die Breite des Transistors ist. Die Wellenfunktionen sind also auf einen Definitionsbereich
Ω = {~r|x ∈ R, 0 ≤ y ≤ D, 0 ≤ z ≤ W}
(3.3)
3.3. DIE WELLENFUNKTIONEN IN DEN ASYMPTOTISCHEN BEREICHEN
25
beschränkt, der die Form eines unendlich langen Stabes mit rechteckigem Querschnitt hat. Die Wellenfunktionen der Energie E folgen der zeitunabhängigen Einteilchenschrödingergleichung
(
−
)
~2
∆
+
V(~
r
)
−
E
ψ(~r) = 0
2m∗
(3.4)
mit den Randbedingungen (3.1) und (3.2) in y- und z-Richtung. In der unendlich ausgedehnten x-Richtung
werden sogenannte Streurandbedingungen gefordert, die in den folgenden Kapiteln beschrieben werden (s.
Gln (3.26) und (3.27)). Im Inneren der Kontakte ist wegen der hohen Dotierung die Ladungsdichte groß
und damit die Abschirmung ideal. Es folgt in der geerdeten Sourc ein konstantes Potenzial,
V(~r ∈ Ω1 ) = V1 ≡ 0
(3.5)
V(~r ∈ Ω2 ) = V2 = −eU.
(3.6)
und in der Drain gilt
Hier ist Ω1 das Innere des Sourcekontaktes,
Ω1 = {~r|x ≤ x1 , 0 ≤ y ≤ D, 0 ≤ z ≤ W}
(3.7)
und Ω2 das Innere des Drainkontaktes,
Ω2 = {~r|x ≥ x2 , 0 ≤ y ≤ D, 0 ≤ z ≤ W}.
(3.8)
Es wird der Kontaktindex s = 1, 2 eingeführt, s = 1 für die Source und s = 2 für die Drain. Die Gleichungen
(3.5) und (3.6) lassen sich dann mit
V(~r ∈ Ω s ) = V s
(3.9)
V1 = 0 und V2 = −eU zusammenfassen. Im zwischen Ω1 und Ω2 liegenden Streuvolumen
Ω0 = {~r|x1 ≤ x ≤ x2 , 0 ≤ y ≤ D, 0 ≤ z ≤ W}
(3.10)
kann das Potenzial frei gewählt werden. Im Allgemeinen ergibt es sich als Lösung der Poissongleichung
∆V(~r) =
4πe
ρ(~r)
0 (3.11)
mit der Ladungsdichte ρ(~r) in Ω0 und geeigneten Randbedingungen. An dieser Stelle kann der Einfluss der
Gatespannung berücksichtigt werden.
3.3
Die Wellenfunktionen in den asymptotischen Bereichen
Die inneren Bereiche Ω s von Source- und Drainkontakt werden im Rahmen einer Streutheorie auch asymptotische Bereiche genannt. Aufgrund des einfachen Potenzials (3.9), lassen sich die Wellenfunktionen im
Kontakt s als Überlagerung von Elementarlösungen der Form
φ skn = e±iksn x Φ sn (y, z)
(3.12)
mit k = k sn (E) angeben. Hier ist der Faktor exp (ik sn x) bei reeller Wellenzahl k sn > 0 eine ebene Welle und
der Faktor Φ sn (y, z) bezeichnet eine Transversalmode. Zur Bestimmung von Wellenzahl und Transversalm-
26
KAPITEL 3. LANDAUER-BÜTTIKERFORMALISMUS UND NANOTRANSISTOREN
ode setzen wir die Elementarlösung (3.12) in die Schrödingergleichung ein,









2
2 

 ~2  ∂2
∂
∂

−

 + V s − E  e±iksn x Φ sn (y, z) = 0
+
+
 2m∗ |{z}

∂x2 ∂y2 ∂z2 




−k2sn
⇔
⇔
"
!
#
~2 ∂2
∂2
~2 2
+
+
− ∗
k
+
V
−
E
Φ sn (y, z) = 0
s
2m ∂y2 ∂z2
2m∗ sn
"
!
#
~2 ∂2
∂2
sn
− ∗
+
− E⊥ Φ sn (y, z) = 0,
2m ∂y2 ∂z2
(3.13)
mit der erhaltenen Energie der Bewegung in y − z-Richtung
~2 2
k − V s = E − .
2m∗ sn
E⊥sn = E −
(3.14)
Hier ist die Energie der Bewegung in x-Richtung gegeben durch
=
~2 2
k + Vs .
2m∗ sn
(3.15)
Der erste Summand von ist die kinetische Energie der Bewegung in Kontakt s und der zweite Summand
die elektrostatische Energie. Es folgt aus (3.15)
r
r
∗
∗
+ 2m
+ 2m
( − V s ) =
(E − E⊥sn − V s ).
(3.16)
k sn =
2
2
~
~
Die Gleichung (3.13) dient der Bestimmung der Transversalmoden. Wir machen hier den von s unabhängigen Produktansatz
π π 2
Φ sn (y, z) = Φn (y, z) = √
sin ny y sin nz z ,
(3.17)
D
W
WD
mit n = (ny , nz ) und ny , nz ∈ N. Dieser Ansatz erfüllt die Randbedingungen (3.1) und (3.2). Weiterhin
können die Transversalmoden als gebundene Lösungen reell gewählt werden und auf eins normiert,
Z D Z W
dy
dzΦ2n (y, z) = 1.
(3.18)
0
0
Es ist mit Gl. (3.13)
!
#
"
π π ~2 ∂2
∂2
sn
+
−
E
sin
n
y
sin
nz z = 0
− ∗
y
⊥
2m ∂y2 ∂z2
D
W
⇒
E⊥sn
≡
E⊥n
!
2
2
~2
2 π
2 π
=
n
+ nz 2 . (3.19)
2m∗ y D2
W
Für die propagierenden Moden gilt
− V s > 0,
(3.20)
d. h. nach (3.13) ist k sn > 0 reell. Die Elementarlösung (3.12) ist dann tatsächlich eine propagierende ebene
Welle,
ei(±ksn x−ωt) Φ sn (y, z).
(3.21)
Im letzteren Ausdruck haben wir zusätzlich den zeitabhängigen Faktor exp (−iEt/~) mit ω = E/~ aufgenommen, der in der zeitabhängigen Schrödingergleichung auftritt. Aus (3.21) geht hervor, dass für das
Phasenargument +k sn x − ωt eine nach rechts propagierende ebene Welle resultiert und für das Phasenargument −k sn x − ωt eine nach links propagierende ebene Welle. Dies wir deutlich, wenn man die Phase im
3.4. STREUZUSTÄNDE
27
Argument der Exponentialfunktion z. B. gleich Null setzt, +k sn x − ωt = 0 ⇒ x = ωt/k sn d. h. der Ort dieser
Phase bewegt sich mit der Geschwindigkeit ω/k sn nach rechts. Für die evaneszenten Moden gilt
− V s < 0,
(3.22)
d. h. k sn = i|k sn | ist nach (3.13) rein komplex. Die Elementarlösung (3.12) lässt sich dann schreiben als
e∓|ksn |x Φ sn (y, z).
(3.23)
Die evaneszenten Elementarlösungen klingen also exponentiell im Kontakt ab oder wachsen exponentiell
an.
3.4
Streuzustände
Die allgemeine Lösung im Sourcekontakt ist die Überlagerung der Elementarlösungen (3.12). Diese schreiben wir in der Form
X
X
ψ(x ≤ x1 , y, z) =
a1n0 eik1n0 x Φn0 (y, z) +
b1n0 e−ik1n0 x Φn0 (y, z)
(3.24)
|n
0
{z
einlaufend
} |n
0
{z
auslaufend
}
Im Drainkontakt lautet die allgemeine Lösung
X
X
ψ(x ≤ x1 , y, z) =
a2n0 eik2n0 x Φn0 (y, z) +
b2n0 e−ik2n0 x Φn0 (y, z) .
n0
|
(3.25)
n0
{z
auslaufend
} |
{z
einlaufend
}
Da ψ(~r) im gesamten Definitionsgebiet Ω kohärent ist und der Schrödingergleichung (3.4) genügt, ist nur
die Hälfte der Entwicklungskoeffizienten ans 0 und bns 0 frei wählbar. Dies folgt aus der im nächsten Kapitel
dargelegten S-Matrixtheorie. Die Streuzustände entstehen durch eine spezielle Festlegung der wählbaren
Entwicklungskoeffizienten. Für den in der propagierenden Mode n source(s = 1)-einlaufenden Streuzustand
ψ1nk wählen wir a1n0 = δnn0 und b2n0 = 0 und erhalten
X 0
 ik1n x

r1,n n e−ik1n0 x Φn0 (y, z), x ≤ x1
e
Φn (y, z) +



|
{z
}


n0


einlaufende Welle |
{z
}




reflektierte Welle



(3.26)
ψ1nk (~r) = 

X 0



1,n n ik2n0 x

0

t
e
Φ
(y,
z)
,
x
≥
x
.
n
2




n0



|
{z
}

transmittierte Welle
Hier ist die Wellenzahl der einlaufenden Komponente k = k1n (E). Die festgelegten auslaufenden Kompo0
0
nenten des Streuzustandes sind b1n0 ≡ r1,n n und 2n0 ≡ t1,n n . Es gilt für den in der propagierenden Mode n
drain(s = 2)-einlaufenden Streuzustand ψ2nk
X 0
 −ik2n x

e
Φn (y, z) +
r2,n n e−ik2n0 x Φn0 (y, z), x ≥ x2



|
{z
}

0

n


einlaufende Welle |
{z
}




reflektierte Welle



ψ2nk (~r) = 
(3.27)

X 0



2,n n ik1n0 x


t
e
Φn0 (y, z),
x ≤ x1 ,




n0



{z
}
|
transmittierte Welle
28
KAPITEL 3. LANDAUER-BÜTTIKERFORMALISMUS UND NANOTRANSISTOREN
mit der einlaufenden Wellenzahl k = k2n (E).
Die Streuzustände sind Kontinuumslösungen mit positiver Energie
~2 2
k + V s > 0.
2m∗
Als solche haben sie folgende, den Umgang mit ihnen erschwerende Eigenschaften:
E = E sn (k) = E⊥sn +
(3.28)
1. Die einlaufende Wellenzahl k ist kontinuierlich, d. h. die Streuzustände sind nicht abzählbar.
2. Die Streuzustände sind nicht auf eins normierbar, denn das Normierungsintegral divergiert,
Z
d3 r|ψ snk (~r)|2 = ∞.
Ω
(3.29)
Dieses Problem lässt sich beheben durch die in den folgenden beiden Abschnitten behandelte Berechnung
des Drainstroms mit periodischen Randbedingungen für die einlaufende Welle im Ausgangskontakt.
3.5
Drainstrombeitrag eines Streuzustandes und Kontinuumsnormierung
Der Drainstrombeitrag eines durch das Tripel snk charakterisierten Streuzustands ψ snk berechnet sich aus
Z
Z D Z W
I sn (k) =
d f~~j =
dy
dz j x (x, y, z),
(3.30)
S
0
0
wobei ~j die Wahrscheinlichkeitsstromdichte im Streuzustand ist. Wie in Abb. 3.3 gezeigt, betrachten wir den
Teilchenstrom durch ein Rechteck S , welches in der y − z-Ebene liegt, sodass der Flächennormalenvektor
f~ = ~e x ausschließlich in die x-Richtung weist und d f~ = dydz~e x . Wegen der Erhaltung des Stroms ist die xKoordinate dieses Rechtecks frei wählbar. Der quantenmechanische Standardausdruck für die Stromdichte
"
#
∂
e~
∗ ∂
∗
Ψ(~r)
Ψ(~r) − Ψ(~r) Ψ(~r)
(3.31)
j x (~r) =
2m∗ i
∂x
∂x
bezieht sich auf normierte Einteilchenzustände Ψ. Für die nicht normierten Kontinuums-Streuzustände ψ snk
in (3.26) und (3.27) machen wir daher einen Ansatz
#
"
#
"
∂ snk
e~
e~
2
snk
∗ ∂ snk
snk
2
snk
∗ ∂ snk
|N(k)|
ψ
(~
r
)
−
ψ
(~
r
)
ψ
(~
r
)
=
|N(k)|
=
ψ
(~
r
)
ψ
(~
r
)
. (3.32)
j x (~r) =
ψ
(~
r
)
2m∗ i
∂x
∂x
m∗
∂x
Hier führen wir mittels des noch unbekannten Normierungsfaktors N(k) die ’kontinuumsnormierten Streuzustände’
Ψ(~r) = ψ̃ snk (~r) = N(k)ψ snk
(3.33)
ein. Wähle für einen sourceeinlaufenden Zustand ψ1nk eine Integrationsfläche S im Drainkontakt mit x > x2 ,
wie in Abb. 3.3 (a) dargestellt. Dann gilt nach (3.26)
X 0
X
∂ sn
0
ψ snk (x > x2 , y, z) =
t1,n n (k) eik2n0 x Φn0 (y, z) und
ψ (x > x2 , y, z) = i
k2n0 t1,n n (k) eik2n0 x Φn0 (y, z).
∂x
n0
n0
(3.34)
Es folgt nach Flächenintegration
prop
I sn (k) =
X
e~
0
|N(k)|2
k2n0 |t1,n n |2 ,
∗
m
n0
wobei sich die Summation nur auf propagierende Elementarlösungen beschränkt (s. Übungen).
(3.35)
3.6. LANDAUER-BÜTTIKER FORMEL FÜR DEN GESAMTEN DRAINSTROM
29
Abbildung 3.3: (a) Integrationsflächen S zur Bestimmung des Drainstrombeitrags eines Streuzustands. (b)
Isolierter Sourcekontakt der Breite L. Zur Normierung und Abzählung der Elementarlösungen (3.40) werden im Intervall [0, L] (periodische Randbedingungen gefordert. (c) In schwarz eine willkürliche äquidistante Diskretisierung von k mit der Intervallbreite ∆k und in rot die aus den periodischen Randbedingungen
im Sourcekontakt resultierende Diskretisierung mit der Intervallbreite 2π/L. In einem Intervall der Breite
∆k liegen ∆k × L/(2π) mit den periodischen Randbedingungen verträgliche Zustände.
3.6
Landauer-Büttiker Formel für den gesamten Drainstrom
Der Drainstrom ID ergibt sich als Summe des Teilstroms I1 der sourceeinlaufenden Streuzustände und des
Teilstroms I2 der draineinlaufenden Zustände, ID = I1 + I2 . Der Teilstrom I1 berechnet sich aus der Summe
der Strombeiträge (3.35) aller sourceeinlaufender Streuzustände multipliziert mit ihrer Besetzung,
XX
I1 =
∆N(k j ) f [E1n (k j ) − µ1 ]I 1n (k j ),
(3.36)
n
j
Hier wurde willkürlich eine äquidistante Diskretisierung
k1n = k → k j = j∆k > 0
und
j ∈ N0
(3.37)
(s. Abb. 3.3 (c) ) vorgenommen. Es ist ist ∆N(k j ) die momentan unbekannte Anzahl der Streuzustände
im Intervall [k j , k j+1 ]. Die Intervallbreite ∆k sei so klein, dass innerhalb eines bei k j liegenden Intervalls
I 1n (k) = I 1n (k j ) undfür die Streuzustandsenergie (3.28) E1n (k) = E1n (k j ) gesetzt werden kann. Weiterhin ist
f (x) =
1
exp
x
kT
+1
.
(3.38)
die Fermiverteilung. Für den Sourcekontakt gilt V1 = 0 und das chemische Potenzial in der Source µ1 kann
gleich dem chemischen Potenzial µ des isolierten Sourcekontakts gesetzt werden. Das chemische Potenzial
30
KAPITEL 3. LANDAUER-BÜTTIKERFORMALISMUS UND NANOTRANSISTOREN
in der Drain µ2 ist um eU D erniedrigt, sodass
µs = µ + Vs .
(3.39)
Die Bestimmung von ∆N(k) und N(k) erfolgt dadurch, dass jeder mit N(k) kontinuumsnormierten einlaufenden propagierenden Elementarlösungen (3.12) im Sourcekontakt
φ̃1kn = N(k1n )eik1n x Φ sn (y, z) = N(k)eikx Φn (y, z)
(3.40)
derjenige kontinuumsnormierte Streuzustand
ψ̃1nk
X 0
 ik1n x

e
Φ
(y,
z)
+
r1,n n e−ik1n0 x Φn0 (y, z),

n


| {z }

0

n


einlaufende Welle |
{z
}




reflektierte Welle



= N(k) 

X 0





t1,n n eik2n0 x Φn0 (y, z),



0

n



{z
}
|
x ≤ x1
(3.41)
x ≥ x2
transmittierte Welle
zugeordnet wird, der dieselbe sourceeinlaufende Komponente aufweist. Diese in der Streutheorie übliche
Setzung entspricht der Anschauung, dass in der Quantenmechanik ein einlaufendes lokalisiertes Teilchen
positiver Energie durch ein Wellenpaket dargestellt wird. Ein sourceeinlaufendes Wellenpaket ’sieht’ im Inneren des Sourcekontaktes zunächst das Streugebiet nicht und kann demnach gleichwertig aus einer Überlagerung von ebenen Wellen der Form (3.40) oder aus den einlaufenden Komponenten der Streuzustände
(3.41) (positives k) zusammengesetzt werden werden. Erst wenn das Wellenpaket bei weiterer Annäherung
das Streugebiet spürt, entstehen reflektierte Wellen im Sourcekontakt, die einen Unterschied zwischen den
beiden erwähnten Überlagerungen ergeben. Dann sind allein die Streuzustände (3.41) korrekt.
Die Kontinuumsnormierung und damit verbunden die Abzählung der propagierenden Elementarlösungen
in (3.40) erfolgt durch periodische Randbedingungen, wie in Abb. 3.3 (b) dargestellt: Es wird zunächst
angenommen, das Innere des Sourcekontaktes habe die Länge L. Der Einfachheit halber wird gesetzt, dass
dieser endliche Innenbereich zwischen 0 und x1 = L liegt. Es wird anschließend lim L → 0 betrachtet.
Einsetzen von x = 0 und x = L in (3.40) führt bei den periodischen Randbedingungen φ̃1kn (−L, y, z) =
φ̃1kn (0, y, z) auf
N(k)Φn (y, z) = N(k)e−ikL Φn (y, z),
sodass
k → km =
2π
m,
L
m = 0, ±1, ±2 . . . , (3.42)
wobei im letzten Schritt die erlaubten Wellenzahlen durch den Index m abgezählt werden. Es ist daher
∆N(k j ) = 2 ×
1
L
∆k = ∆k = Dk ∆k,
2π/L
π
(3.43)
wobei wir zusätzlich eine zweifache Spinentartung berücksichtigt haben und die Zustansdsdichte im eindimensionalen k-Raum mit Dk = L/π bezeichnet haben. In Gl. (3.36) entsteht nach Einsetzen von ∆N(k j )
eine Riemennsumme, die für L → ∞ in ein Integral übergeht,
Z
LX ∞
L XX
∆k f [E1n (k j ) − µ1 ]I 1n (k j ) →
dk f [E1n (k) − µ1 ]I 1n (k).
(3.44)
I1 =
π n j
π n 0
Mit periodischen Randbedingungen ergibt sich die übliche Normierung der Elementarlösungen (3.40)
Z L Z D Z W 2
1
1=
dx
dy
dz N(k)eikx Φn (y, z) = L|N(k)|2 → N(k) = √ .
(3.45)
L
0
0
0
3.6. LANDAUER-BÜTTIKER FORMEL FÜR DEN GESAMTEN DRAINSTROM
31
Es folgt aus (3.35)
prop
I sn (k) =
e~ 1 X
0
k2n0 |t1,n n |2
∗
m L n0
(3.46)
und dann mit (3.44) unabhängig von L
Z
prop
X
1 e~ X ∞
0
dk f [E1n (k) − µ1 ]
I1 =
k2n0 |t1,n n |2 .
π m∗ n 0
n0
(3.47)
Für s = 1 und festes n substituieren wir im auftretenden Integral die Variable k durch die Variable E mit
E = E1n (k) =
~2 2
k + E⊥n .
2m∗
(3.48)
Es folgt
r
r
2m∗
dk
m∗
m∗
n 1/2
n −1/2
k=
(E
(k)
−
E
)
⇒
=
(E
(k)
−
E
)
=
k(E)−1 .
1n
1n
⊥
⊥
dE
~2
2~2
~2
Nach Integralsubstitution dk → (dk/dE)dE wird somit aus (3.47)
I1
=
=
=
=
Z
prop
X
1 e~ m∗ X ∞
0
−1
f (E − µ1 )k2n0 |t1,n n |2 k1n
dE
π m∗ ~2 n E⊥n
0
n
Z
X
2e X ∞
0
0
−1
f (E − µ1 )k2n0 |t1,n n |2 k1n
dEΘ(E − E⊥n )
Θ(E − E⊥n − V2 )
h n 0
n0
Z ∞
X
2e
0
0
−1
Θ(E − E⊥n )Θ(E − E⊥n − V2 )k2n0 |t1,n n |2 k1n
dE f (E − µ1 )
h 0
nn0
Z
2e ∞
dE f [E − µ1 ]T 1
h 0
mit der Stromtransmission der sourceeinlaufenden Streuzustände
X
0
0
−1
Θ(E − E⊥n − V2 )Θ(E − E⊥n )k2n0 |t1,n n |2 k1n
T1 =
.
(3.49)
(3.50)
(3.51)
nn0
Für den gegenläufigen Strom der dreineinlaufenden Streuzustände findet man analog
Z
2e ∞
I2 = −
dE f [E(k) − µ2 ]T 2 ,
h 0
mit
T2 =
X
0
0
−1
Θ(E − E⊥n )Θ(E − E⊥n − V2 )k1n0 |t2,n n |2 k2n
≡T
(3.52)
(3.53)
nn0
Wie wir in Kap. 5.5 zeigen werden, gilt für die Stromtransmissionen die fundamentale Beziehung T 1 =
T 2 = T . Dann finden wir mit ID = I 1 + I 2 die Landauer-Büttiker Formel
ID =
2e
h
Z
∞
dE f (E − µ1 ) − f (E − µ2 ) T (E).
(3.54)
0
Die Landauer-Büttiker Formel beschreibt allgemein Quantentranport in mesoskopischen Systemen. Sie
wurde seit den siebziger Jahren des zwanzigsten Jahrhundert erfolgreich auf eine Vielzahl von Sytemen
angewendet wie resonante Tunneldioden, Punktkontakte, Qunatendots, Quantendrähte etc.. und entwickelte sich deswegen zur Standardmethode.
32
KAPITEL 3. LANDAUER-BÜTTIKERFORMALISMUS UND NANOTRANSISTOREN
Es werden in der Vorlesung identische Fermigase in Source- und Drainkontakt angenommen. Im Drainkontakt ist aber wegen (3.6) das chemische Potenzial um −eU D energetisch abgesenk, sodass µ2 = µ − eU D
wobei µ ≡ µ1 . Dann geht (3.54) über in
Z
2e ∞
ID =
dE f (E − µ) − f (E − µ + eU D ) T (E).
(3.55)
h 0
3.7. BANDENERGIE UND ELEKTROSTATISCHES POTENZIAL
3.7
3.7.1
33
Bandenergie und elektrostatisches Potenzial
Hartreenäherung
In Gleichung (3.4) ist
V(~r) = φ(~r) + E L (~r).
(3.56)
die ortsabhängige potenzielle Einteilchenenergie der freien Ladungsträger. Hier ist φ(~r) das effektive Einteilchenpotenzial der Coulombwechselwirkung und E L (~r) die Bandenergie. Die Einteilchen-Gesamtenergie
wird in einem geeignet gewählten Deviceinnenraum bestimmt. Der Einfachheit halber wählen wir hier einen
würfelförmigen Deviceinnenraum
ΩD = {(x, y, z)|0 ≤ x ≤ L ∧ −DG ≤ y ≤ DBG , ∧0 ≤ z ≤ W},
der in Abb. 3.4 (b) dargestellt ist. In einem n-Kanal Transistor gilt
( Si
E L ≡ 0 im Si-Film 0 ≤ y ≤ D
E L (~r) =
E LS iO2
im SiO2 , −DG ≤ y ≤ 0 und D ≤ y ≤ DBG ,
(3.57)
mit der Leitungsbandenergie E LS i ≡ 0 im Si-Film und E LS iO2 im SiO2 (s. Abb. 3.5).
Unter Vernachlässigung von Vielteilcheneffekten wurde die Coulombwechselwirkung bisher bestenfalls in
Hartreenäherung behandelt [85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95] . Hier wird die im Deviceinnenraum
ΩD Poissongleichung (3.11) mit ρ = −e[n(~r) + N(~r)] aufgestellt,
∆φ(~r) = −
e2
[n(~r) + N(~r)],
κ0 κ(~r)
(3.58)
und mit angemessenen Randbedingungen auf der Oberfläche ∂ΩD gelöst. Der Einfachheit halber wählen
wir hier
ΩD = {(x, y, z)|0 ≤ x ≤ L ∧ −DG ≤ y ≤ DBG , ∧0 ≤ z ≤ W},
(s. Abb. 3.4 (b)). Außerhalb des Deviceinnenraumes können wir für den geerdeten Sourckontakt z. B. setzen
(
0 für 0 ≤ y ≤ D
φ(x ≤ 0, y) = φS (y) =
(3.59)
∞ sonst,
was einem idealen Metall mit einer unendlichen Leitfähigkeit und einer unendlichen Austrittsarbeit entspricht. Für die identisch gewähle Drain gelte
(
−eU D für 0 ≤ y ≤ D
φ(x ≥ L, y) = φD (y) =
(3.60)
∞
sonst.
Im n-Kanal FET sind die Ladungen im Deviceinnenraum die ionisierten Akzeptoren mit der Dichte N und
Leitungselektronen der Dichte
Z
Z
Nv X ∞
Nv X ∞
n(x, y, z) =
dk f [E1n (k) − µ1 ]|ψ1nk |2 +
dk f [E2n (k) − µ1 ]|ψ2nk |2 ,
(3.61)
π n 0
π n 0
mit der Valleyentartung Nv . Da die Streuzustände durch die Schrödingergleichung bestimmt sind, entsteht
das bekannte Hartree-Selbstkonsistenzproblem. Häufig können die Dotierungen als vollständig ionisiert
angenommen werden. Dies ist die full depletion(FD)-Näherung
N(~r) = NA Θ(y)Θ(D − y) = N(y)
(3.62)
34
KAPITEL 3. LANDAUER-BÜTTIKERFORMALISMUS UND NANOTRANSISTOREN
Abbildung 3.4: (a) FDSOI-Transistor (Fully Depleted Silicon on Insulator) aus einer Broschüre ’The
22FDXT M Platform’ (22nm Kanallänge) von GLOBALFOUNDRIES. Typische Werte sind DG = 2nm,
D = 7 − 8nm und DBG − D = 20nm. (b) Idealisiertes System: Die Poissongleichung (3.58) wird in dem
gestrichelt gezeichnetem würfelförmigen Deviceinnenraum ΩD gelöst. (c) Es wird Translationsinvarianz in
z-Richtung angenommen. Die daraus folgende zweidimensionale Poissongleichung (3.63) wird im gezeichneten Rechteck mit den Dirichlet-Randbedingungen (3.66) und den v. Neumann Randbedingungen (3.70)
gelöst (v.N.R.B., blaue Linien).
3.7. BANDENERGIE UND ELEKTROSTATISCHES POTENZIAL
35
mit der Akzeptordichte NA . Es wird in der Literatur weitesgehend die Isotropie des Systems in z-Richtung
angenommen,φ = φ(x, y). Dann schreiben wir
!
∂2
∂2
e2
+
φ(x,
y)
=
−
[n(x, y) + N(y)],
(3.63)
κ0 κ
∂x2 ∂y2
mit der Teilchendichte
n(x, y) =
1
W
Z
W
(3.64)
dzn(x, y, z),
0
wobei wir die Ortsabhängigkeit der dielektrischen Funktion nicht mitschreiben. Wie in Abb. 3.4 (c) dargestellt, ist die zweidimensionale Poissongleichung auf einem Rechteck
Ω0D = {(x, y)|0 ≤ x ≤ L ∧ −DG ≤ y ≤ DBG }
(3.65)
zu lösen. Entlang der Top- und Bottom Gatekontakte können zunächst Dirichlet-Randbedingungen aufgestellt werden, z. B. in der Form[?]
φ(x, −DG ) = −eUG0 ,
0
φ(x, DBG ) = −eU BG
,
(3.66)
Hier gilt
G
UG0 = UG − U FB
und
0
BG
U BG
= U BG − U FB
,
(3.67)
mit den am Top- und am Backgate angelegten Spannungen UG/BG . Desweiteren sind
= VbiG/BG =
µS iO2 − µG/BG die dazugehörigen Flat-Bandspannungen, welche durch die built-in-Potenziale VbiG/BG bestimmt sind. Bei Kontakt zwischen SiO2 und G/BG werden die chemischen Potenziale der beiden Stoffe
G/BG
eU FB
durch Bildung einer Verarmungsschicht ausgeglichen und es bildet sich ein Potenzialsprung, der der Differenz µS iO2 −µG/BG der chemischen Potenziale in den isolierten Substanzen entspricht. Die Randbedingungen
0
φ(x, −DG ) = −eUG0 und φ(x, DBG ) = −eU BG
bedeuten die Annahme von δ-Verarmungsschichten.
Wählt man den Innenraum wie in (3.65) ist Verarmungsschicht zwischen den n++ -dotierten S/D-Kontakten
und dem Si-Film ebenfalls eine δ-Schicht mit
φ(0 ≤ x ≤ D, 0+ ) − φ(0 ≤ x ≤ D, 0− ) = µS i − µS in++ = eVbi = φ(0 ≤ x ≤ D, L− ) − φ(0 ≤ x ≤ D, L+ ). (3.68)
Aufgrund (3.59) und (3.60) werden φ(0 ≤ x ≤ D, 0− ) = 0 und φ(0 ≤ x ≤ D, L+ = −eU D . es folgt
φ(0 ≤ x ≤ D, 0) = φ(0 ≤ x ≤ D, 0+ ) = eVbi
und
φ(0 ≤ x ≤ D, L) = eVbi − eU D .
(3.69)
Für den Rest der Berandung von Ω0D sind v. Neumann Randbedingungen für die partiellen Ableitungen
nach x geeignet, denn Sie reflektieren die Ladungsneutralität des Rechtecks[93],
V x (−DG ≤ x ≤ 0, 0) = V x (−DG ≤ x ≤ 0, L) = V x (D ≤ x ≤ DBG , 0) = V x (D ≤ x ≤ DBG , L) = 0.
(3.70)
36
KAPITEL 3. LANDAUER-BÜTTIKERFORMALISMUS UND NANOTRANSISTOREN
Abbildung 3.5: (a) Symmetrischer FD-SOIFET (3.72) mit symmetrischer Bespannung von Top- und Bottom
gate (3.73). (b) Schematisch die Gesamtenergie V(x1 , y) entlang der Linie x = x1 (grün, durchgezogen).
Wegen der Setzung E LS i = 0 in (3.57) ist die Coulombenergie φ(x1 , y) (grün, gestrichelt) im Si-Film 0 ≤ y ≤
D identisch mit der Gesamtenergie. Im Flachband Fall gilt VG0 = 0 = V s (0).
3.7.2
Semianalytisches Potenzialmodell
Vereinfachte analytische- und semianalytische Modelle [96, 97, 98, 99, 100, 101] ermöglichen eine Diskussion der Probleme, die sich bei der Berechnung des elektrostatischen Potenzials in Nanotransistoren ergeben. Für technische Anwendungen entscheidend ist der Subthresholdbereich, in dem n(x, y) ∼ 0 genähert
weden kann. In FD-Näherung (3.62) gilt dann
!
∂2
e2
∂2
+
φ(x,
y)
=
−
NA
(3.71)
κ0 κ(y)
∂x2 ∂y2
mit κ(0 ≤ y ≤ D) = κS i ∼ 12 und κ(−DG ≤ y ≤ 0) = κ(D ≤ y ≤ DBG ) = κS iO2 ∼ 3.9. In den Arbeiten
[96, 97, 98, 99, 100, 101] werden symmetrische Verhältnisse angenommen,
φ(x, 0) = φ(x, D) ≡ V s (x)
(3.72)
DG = DBG − D = DO .
(3.73)
und beiden Dielektrika gilt
Es werden vertikale konstante elektrische Felder in y-Richtung in den Isolatoren angenommen, die sich im
oberen Oxid berechnen lassen gemäß
~ = V s (x) − VG ~ey
E(x)
(3.74)
DO
(s. Abb. 3.5 (b)). Beim Übergang in den Halbleiter verkleinert sich das elektrische Feld um den Faktor
κOx /κS i , sodass
∂φ(x, y) κ V (x) − VG
y=0+ ≡ Vy (x, 0) = Ox s
.
(3.75)
∂y
κS i
DO
Weiterhin gilt
Vy (x, D− ) ≡ Vy (x, D) = −Vy (x, 0) =
κOx VG − V s (x)
.
κS i
DO
(3.76)
Der Ansatz vertikaler elektrische Felder in den Isolatoren (3.75) und (3.76) erfüllt die v. Neumann Randbedingungen (3.70), aber nicht die Maxwellgleichung ∇E~ = 0 im Oxid. Das elektrische Feld hat im Oxyd
3.7. BANDENERGIE UND ELEKTROSTATISCHES POTENZIAL
37
eine y-Komponente die zu einer parasitären Kapazität zwischen Gate- und S/D-Kontakt führt. Es wird nun
die zweidimensionale Poissongleichung (3.71) auf dem Rechteck des Si-Films
{(x, y)|0 ≤ x ≤ L ∧ 0 ≤ y ≤ D}
(3.77)
gelöst. Dirichlet-Randbedingungen nach (3.66) sind zunächst
φ(0 ≤ x ≤ D, 0− ) = 0
und
φ(0 ≤ x ≤ D, L+ ) = −eU D ≡ Vd .
(3.78)
Es existiert zwischen den n++ S/D-Kontakten und dem undotierten Si-Film eine Verarmungszone mit einem
Potenzialsprung Vbi , der der Differenz der chemischen Potenziale in den isolierten Stoffen entspricht. Diese
Verarmungszone ist ausgedehnt und hat eine innere Potenzialstruktur in die Source/Drain hinein, die durch
die Beschränkung auf das Definitionsgebiet (3.77) nicht aufgelöst werden kann. Auch in den Si-Film hinein
geht die Verarmungszone, was unserem x-unabhängigen Ansatz für die Ladungsdichte −eN(y) widerspricht.
Im Endeffekt betrachten wir daher Verarmungszonen in Form δ-Schichten bei x = 0 und x = L. In [101]
wird daher gesetzt
φ(0 ≤ x ≤ D, 0) = φ(0 ≤ x ≤ D, 0+ ) = Vbi
φ(0 ≤ x ≤ D, L) = φ(0 ≤ x ≤ D, L− ) = Vbi + Vd .
(3.79)
Weiterhin existieren die gemischten Randbedingungen (3.75) und (3.76). Für das Potenzial ist ein parabolischer Ansatz
φ(x, y) = c0 (x) + c1 (x)y + c2 (x)y2
(3.80)
und
möglich. Es gilt
φ(x, 0) = V s (x) = c0 (x).
(3.81)
Vy (x, y) = c1 (x) + 2c2 (x)y
(3.82)
Weiterhin
und somit
κOx V s (x) − VG
= c1 (x).
κS i
DO
(3.83)
κOx VG − V s (x)
κOx V s (x) − VG
= c1 (x) + 2c2 (x)D =
+ 2c2 (x)D
κS i
DO
κS i
DO
(3.84)
Vy (x, 0) =
Schließlich
Vy (x, D) =
Es folgt
c2 (x) =
κOx VG − V s (x)
.
κS i
DDO
(3.85)
Eine Differenzialgleichung zur Bestimmung der unbekannten Funktion V s (x) = c0 (x) lässt sich herleiten,
indem man den Lösungsansatz (3.80) in (3.71) einsetzt und dann y = 0 einsetzt: Es ist zunächst
!
i
i
∂2
∂2 h
∂2 h
e2
2
2
+
c
(x)
+
c
(x)y
+
c
(x)y
=
c
(x)
+
c
(x)y
+
c
(x)y
+
2c
(x)
=
−
NA (3.86)
0
1
2
0
1
2
2
κ0 κS i
∂x2 ∂y2
∂x2
An der Stelle y = 0
⇔
d2 c0 (x)
e2
d2 V s (x)
κOx VG − V s (x)
e2
+
2c
(x)
=
−
N
⇔
+
2
−
NA
A
2
κ0 κS i
κS i
DDO
κ0 κ(y)
dx2
∂x2
d2 V s (x)
− αV s (x) = β
dx2
(3.87)
38
KAPITEL 3. LANDAUER-BÜTTIKERFORMALISMUS UND NANOTRANSISTOREN
mit
α=2
κOx
κS i DDO
undhspace0.5cmβ = −2
κOx
e2
VG −
NA .
κS i
κ0 κ(y)
(3.88)
Gl. (3.87) entspricht einer inhomogenen Differenzialgleichung zweiter Ordnung. Die Partikuläre Lösung
±λx
autet V(x)
führt auf
√ = −β/α. Der exponentielle Ansatz für die Lösung der homogenen Gleichung e
λ = ± α, sodass
√
√
β
V s (x) = Ae αx + Be− αx −
(3.89)
α
Für x = 0
β
A + B − = Vbi
(3.90)
α
für x = L
√
√
β
Ae αL + Be− αL − = Vbi + Vd
(3.91)
α
d. h. zwei inhomogene lineare Gleichungen mit zwei unbekannten. Nach [101] lautet die Lösung
L−x
L+x
2L
L−x
x
1 (3.92)
φ(x, y) = −e 2L
(Ubi + Ud − A1 ) e λ1 − e λ1 + (Vbi − A1 ) e λ1 − e λ1 + A1 e λ1 − 1 ,
e λ3 − 1
mit
A1 = Ug0 −
eNA tS i tox
,
2ox
die auch ’natürliche Kanallänge’ genannten Konstante
r
κS i tS i tOx
λ1 =
.
2κOx
(3.93)
(3.94)
und dem built-in potential Ubi zwischen der Hintegrunddotierung im Leitungskanal und den identischen
Kontaktdotierungen.
Ein Beispiel für die Potenzialverteilung in einem DG MOSFET mit der Si-Filmbreite von D = 5nm is die
in Abb. 3.6 dargestellte Source-Drainbarriere. Die Source-Drainbarriere entsteht im Wesentlichen aus dem
built-in-Potenzial Vbi , welches duech die am Gate angelegte Spannung modifiziert wird. Es ist ersichtlich,
dass die Potenzialverteilung nur wenig von y abhängt. Die Randbedingungen (3.79) führen zu unphysikalischen Spitzen bei x = 0 und x = L.
3.7. BANDENERGIE UND ELEKTROSTATISCHES POTENZIAL
39
Abbildung 3.6: Potenzial für einen DG MOSFET mit Vd = 0, DO = 1nm, D = 5nm, L = 25nm, DG =
0.5V − 0.2V = 0.3V, NA = 1015 cm−3 und Vbi =∼ 0.9V.
3.7.3
Semiempirisches Potenzialmodell: Abrupt Transistion Näherung
Die Lösung (3.92) der Poissongleichung (3.71) ist von einer Vielzahl von Systemparametern Vbi , L, NA ,
VFB , κS i , κOx , tOx tS i in komplexer Weise abhängig, obwohl sie nur für den sehr eingeschränkten symmetrischen Fall (3.72)-(3.73) eines DGFETs gilt. Sie ist zudem von der Näherung des vertikalen eklektrischen
Feldes (3.75) und (3.76) abhängig. Das Ergebnis ist eine komplizierte Funktion φ(x, y) von x und y. Um eine
kompakte Theorie zu erhalten, die mit weniger Systemparametern auskommt, auf asymmetrische Systeme
anwendbar ist und das zweidimensionale Problem auf ein effektives eindimensionales Problem reduziert,
wurde in Refs. [84, 102, 103, 104] ein semiempirisches Modell Theorie entwickelt. Ausgangspunkt ist der
semiempirische Potenzialansatz, d. h. ein stückweise separables Potenzial der Form


φS (y)



φ(x, y) = 
φc (y) − VLD x


 φ (y) − eU
S
D
für x ≤ 0
für 0 ≤ x ≤ L
für x ≥ L.
(3.95)
mit
e
d2
φc (y) = −
NA Θ(y)Θ(D − y)
2
κ0 κ
dy
für
− DG ≤ y ≤ DBG
(3.96)
und den Randbedingungen
φc (−DG ) = −eUG
und
φc (DBG ) = −eU BG .
(3.97)
Im Außenraum ist dieser Ansatz mit Gln (3.59) und (3.60) identisch. Im Innenraum Ω0D von (3.65) wird
die zweidimensionale Poissongleichung (3.63) gelöst. Der Summand −VD x/L im semiempirischen Potenzialansatz entspricht einem durch die Drainspannung U D konstanten elektrischen Feld in x-Richtung im
Leitungskanal. Der erste Summand φc (y) das transversale Einschlusspotenzial im Leitungskanal, welches
als von der Drainspannung unabhängig angenommen wird, es kann daher bei U D = 0 ermittelt werden. Das
transversale Einschlusspotenzial bei U D = 0 kann im Inneren des Leitungskanals wiederum gut genḧert
werden durch das transversale Einschlusspotenzial in einem in x-Richtung unendlich homogen ausgedehnten Transistor, ohne Source- und Drainkontakt. Die an den in x-Richtung unendlich ausgedehnt gedachten
Gate-Elektroden angelegten Spannungen gehen hier durch die Randbedingungen (??) ein. Der Potenzialansatz (3.95) wird abrupt transition Näherung genannt, weil das Einschlusspotenzial φc des mit U D = 0
40
KAPITEL 3. LANDAUER-BÜTTIKERFORMALISMUS UND NANOTRANSISTOREN
unendlich ausgedehnt gedachten Quantensystems bei x = 0 und x = L abrupt auf das Einschlusspotenzial φS in den Kontakten stößt. In Wircklichkeit ist der Übergang natürlich ausgeschmiert. Die stückweise
separable Form in (3.95) führt auf durchgängige Transversalmoden im Leitungskanal von denen in single
level approximation nur die unterste Transversalmode berücksichtigt wird. Der Übergang zwischen den
Transversalmoden in den Kontakten und kann durch die Überlappmatrix (6.12) abgschätzt werden. Das semiempirische Potenzial erfüllt nicht die Ranbedingungen (3.66) and den Gateelekktroden. Im Bereich des
Halbeleiterfilms (3.77) der für die Ladungsträgerwellenfunktionen entscheidend ist, erfüllt der Potenzialansatz jedoch die wichtige Identität
φ(0− , 0 ≤ y ≤ D) − φ(L+ , 0 ≤ y0 ≤ D) = −eU D .
(3.98)
Dieses zeigt, dass die Abweichungen des sempirischen Potenzialansatzes im Wesentlichen auf das Gebiet
der Isolatoren beschränkt sind, in welchem die Wellenfunktionen der Ladungsträger klein sind.
Gleichung (3.95) mit den Randbedingungen (3.97) kann gelöst werden durch den Ansatz
φc (y < 0) = c1 (y + DG ) − eUG
φc (0 < y < D) = −
mit C = e2 NA /(κ0 κS i ) und
C
e2 N A 2
y + αy + β ≡ − y2 + αy + β
κ0 κS i 2
2
(3.99)
(3.100)
φc (y > D) = c3 (y − DBG ) − eU BG .
(3.101)
φ0c (y < 0) = c1 ,
(3.102)
< y < D) = −Cy + α
(3.103)
φ0c (y > D) = c3 .
(3.104)
Für des elektrische Feld ergibt sich
φ0c (0
und
Die Übergangsbedingungen bei y = 0 führen für das Potenzial auf
c1 DG − eUG = β
(3.105)
κS i
α ≡ κα,
κOx
(3.106)
und für das Feld
c1 =
mit κ = κS i /κOx . Die Übergangsbedingungen bei y = D führen für das Potenzial auf
−
C 2
D + αD + β = c3 (D − DBG ) − eU BG = −c3 d − eU BG
2
(3.107)
mit d = DBG − D und für das Feld
c3 =
κS i
(−CD + α) = −κCD + κα.
κOx
(3.108)
Dies sind vier inhomogene lineare Gleichungen für vier Unbekannte. Die Gln (3.105) und (3.106) erlauben
die Eliminierung von c1
καDG − eUG = β.
(3.109)
Die Gln (3.107) und (3.108) ermöglichen die Eliminierung von c3
⇔
C
− D2 + αD + β = − (−κCD + κα) d − eU BG = κCDd − κdα − eU BG
2
C
(D + κd)α + β = D2 + κCDd − eU BG .
2
(3.110)
3.7. BANDENERGIE UND ELEKTROSTATISCHES POTENZIAL
41
Elimination von β in (3.109) und (3.110) führt auf
(D + κd)α + κDG α − eUG =
⇔ [D + κ(d + DG )]α =
C 2
D + κCDd − eU BG
2
C 2
D + κCDd + e(UG − U BG ).
2
(3.111)
Es folgen
α=
D
1
CD
+ κd + e(UG − U BG ) .
D + κ(d + DG )
2
(3.112)
und
β = καDG − eUG
(3.113)
Wir untersuchen den Potenzialkrümmungsterm Cy2 /2 in einem SOIFET, indem wir y = 1nm und schwache
Dotierung NA = 1021 m−3 = 1015 cm−3 = 10−6 nm−3 ansetzen. Dann folgt
=
=
1 4πNA e2 y2
Jm 12.566 × 1021 m−3 (1.6 × 10−19C)2 × 10−18 m2
C z
y =
= 9 × 109 2
2
4πκ0
κS i
12.4
C
9 × 12.566 × 1.62 9+21−38−18 Jm −1 2
m C = 23.3510−26 J = 2.335 × 10−25 J
10
12.4
C2
1.46 × 10−6 eV.
(3.114)
In einem einem Thin Body (D ≤ 10nm) FD SOI-FET mit schwacher Dotierung kann der Krümmungsterm
vernachlässigt werden. Es gilt dann
e(UG − U BG )
α∼
(3.115)
D + κ(d + DG )
42
3.8
KAPITEL 3. LANDAUER-BÜTTIKERFORMALISMUS UND NANOTRANSISTOREN
Chemisches Potenzial im Sourcekontakt
In der Formel (3.55) für den Strom geht das chemische Potenzial µ im Sourcekontakt ein. Zur Berechnung
von µ gehen wir davon aus, dass die Kontakte der Länge, Breite und Tiefe L, W und D homogen mit der
Dichte
N
(3.116)
n0 =
LWD
dotiert seien. Üblicherweise liegt eine sehr hohe Dotierungskonzentration vor, sodass ein Matall/Isolatorübergang stattfindet und vollständige Ionisierung angenommen werden kann. Die Anzahl der Dotierungsatome
N ist dann identisch mit der Anzahl der freien Ladungsträger in den Streuzuständen, sodass
XZ ∞
n0 LWD = N = Nv
dkDk f [En (k) − µ],
(3.117)
n
−∞
mit der Valleyentartung Nv und der Zustandsdichte im eindimensionalen k-Raum Dk = L/π. Im Folgenden
betrachten wir ein ideales dreidimensionales Kontaktelektronengas, sodass
!
2
2
~2 2
~2
ny nz
n
n
2 π
2 π
En (k) =
k + E⊥ mit E⊥ = E⊥ =
n
+ nz 2 .
(3.118)
2m∗
2m∗ y D2
W
Dann
(
)−1
∞ Z ∞
~2
1
2
2 π2
2 π2
Nv X
k B T 2m∗ k +ny D2 +nz W 2 −µ
n0 WD =
.
dk e
+1
π n n =1 −∞
(3.119)
y z
Dies ist die allgemeine Bestimmungsgleichung des chemischen Potenzials. Für T → 0 und µ → E F findet
man
(
"
)−1
!#
2
2
1
~2
2
2 π2
2 π2
~2
2 π
2
2 π
k B T 2m∗ k +ny D2 +nz W 2 −µ
e
→ Θ EF −
+1
(3.120)
k + ny 2 + nz 2
2m∗
D
W
und
Z
∞
(
)−1
~2
1
2
2 π2
2 π2
∗ k +ny 2 +nz 2 −µ
D
W
dk e kB T 2m
+1
Z
→
2
−∞
0
r
=
2
∞
!#
"
2
2
~2
2
2 π
2 π
k
+
n
+
n
dkΘ E F −
y 2
z
2m∗
D
W2
π2
π2
2m∗ E F
2
2
−
n
+
n
.
y
z
~2
D2
W2
Es folgt aus (3.119) die Bedingung zur Berechnung der Fermienergie in allgemeinen Kontakten
r
∞
π2
π2
Nv X
2m∗ E F
n0 WD = 2
− n2y 2 + n2z 2 .
2
π n n =1
~
D
W
(3.121)
(3.122)
y z
3.8.1
Breite Kontakte
In vielen Baulementen wie planaren Bulk-Nanotransistoren, SOI-FETs und FinFETs wird gewöhnlich der
Limes W → ∞ angenommen. Zusätzlich wird Homogenität in Breitenrichtung angesetzt und der Drainstrom pro Breite W angegeben. Wir schreiben dann
)−1
Z ∞ ( 1 ~2 2 2 π 2 2 π 2 ∞ ∞
Nv X X π
∗ k +ny 2 +nz 2 −µ
D
W
n0 D = 2
dk e kB T 2m
+1
π n =1 n =1 W −∞
y
z
)−1
(
)−1
Z ∞ ( 1 ~2 2 2 2 π2 ∞ Z ∞
∞ Z
X
1
~2
2
2 π2
Nv
Nv X
2
k B T 2m∗ q1 +q2 +ny D2 −µ
k B T 2m∗ q +ny D2 −µ
→
dq2
dq e
+1
= 2
d q e
+(3.123)
1
.
π2 n =1 0
2π n =1
−∞
y
y
3.8. CHEMISCHES POTENZIAL IM SOURCEKONTAKT
43
Hier setzen wir
π
k, nz
→ ~q = (q1 , q2 )
W
mit q2 = q21 + q22 . Wegen der Zylindersymmetrie d2 q = 2πqdq = πdq2 folgt
)−1
(
Z
Nv X ∞ 2 kB1T 2m~2∗ q2 +n2y Dπ22 −µ
+1
dq e
n0 D =
2π n 0
y
Z
1
Nv 2m∗ kB T X ∞
dv v+a
=
,
2
2π ~
e n +1
0
n
(3.124)
(3.125)
mit
~2
~2
π2
µ
2
2
q
und
a
=
n
−
.
n
2m∗ kB T
2m∗ kB T D2 kB T
Hiervon ist die Stammfunktion bekannt
∞ Nv m∗ kB T X
Nv m∗ kB T X −v−an
−
ln
e
+
1
ln e−an + 1
n0 D =
0 =
2
π~2
π~
n
n
NV m∗ kB T X −n2 2m∗~2k T π22 + k µT
B
B D
=
+1
ln e
π~2
n
v=
Es gälte für festes T
n2
~2 π2
<µ
2m∗ D2
für
n ≤ nmax .
(3.126)
(3.127)
(3.128)
Für T → 0 gilt mit µ → E F
n0 D
=
∼
=
nmax 2
2
E
NV m∗ kB T X
−n2 2m∗~k T π 2 + k FT
B
B D
ln
e
+
1
π~2
n
!
nmax nmax
N m∗ k T X
∗
X
2
2
E
NV m kB T
~2
π2
EF
V
B
−n2 2m∗~k T π 2 + k FT
2
B
B D
ln
e
=
−n
+
2m∗ kB T D2 kB T
π~2
π~2
n
n=1
nmax
nmax
nmax
NV m∗ E F X
NV π X
NV m∗ E F
NV π X
2
2
n +
=
−
n
+
nmax
− 2
2D n=1
π~2 n=1
2D2 n=1
π~2
(3.129)
Es gilt 1K ≡ 8.6 × 10−5 eV und bei Zimmertemperatur 298K ≡ 2560 × 10−5 eV = 0.026eV.
3.8.2
Breite und tiefe Kontakte
Eine andere Klasse von Bauelementen sind transversale Schichtsysteme, die in beiden lateralen Richtungen
homogen und ausgedehnt seien. Es wird der Strom pro Fläche A = WD angegeben. Zu den transversalen
Schichtsystemen gehört die im nächsten Kapitel behandelte Resonanztunneldiode. Wir schreiben dann im
Grenzwert W, D → ∞
)−1
Z ∞ ( 1 ~2 2 2 π2 2 π2 ∞
∞
Nv X π X π
∗ k +ny 2 +nz 2 −µ
D
W
n0 = 3
dk e kB T 2m
+1
(3.130)
π n =1 D n =1 W −∞
y
z
)−1
(
(
)−1
Z
Z ∞
Z ∞
Z
1
~2
1
~2 2
2
2
2
Nv
Nv ∞
3
k B T 2m∗ (q1 +q2 +q3 )−µ
k B T 2m∗ q −µ
+
1
=
→
dq
dq
dq
e
d
q
e
+
1
.
2
3
1
π3 0
4π3
0
−∞
Hier setzen wir
k, ny
π
π
, nz
→ ~q = (q1 , q2 , q3 )
D W
(3.131)
44
KAPITEL 3. LANDAUER-BÜTTIKERFORMALISMUS UND NANOTRANSISTOREN
mit q2 = q21 + q22 q23 . Wegen der Kugelsymmetrie (s. Gl. (3.126))
2m∗ kB T
d q = 4πq dq = 2πqdq = 2π
~2
3
2
!3/2
2
√
vdv
(3.132)
folgt
n0
=
=
Nv
4π
4π3
Z
∞
(
dqq
0
Nv 2m∗ kB T
2π2
~2
2
e
1
kB T
~2
2m∗
!3/2 Z ∞
)−1
2m∗ kB T
v1/2
Nv
dv
+1
= 3 2π
4π
~2
ev−µ/(kB T ) + 1
0
!
µ
,
(3.133)
kB T
q2 −µ
!3/2 √
π
F1/2
2
mit dem Fermi-Dirac Integral
Z ∞
vj
1
dv v−u
,
(3.134)
F j (u) =
Γ( j + 1) 0
e +1
√
u = µ/kB T und Γ(3/2) = 1/2Γ(1/2) = π/2. Im Grenzwert verschwindender Temperatur erhält man aus
(3.133)
n0 =
Nv
π2
Z
kF
dqq2 =
0
Nv 1 3
Nv 2m∗ E F
kF = 2
2
π 3
3π
~2
mit
r
kF =
2m∗ E F
.
~2
!3/2
(3.135)
(3.136)
Gleichsetzen von (3.133) und (3.135) führt auf
⇔
!3/2 √
!3/2
!
!
!3/2
Nv 2m∗ kB T
π
µ
EF
µ
Nv 2m∗ E F
4
⇔
F
F
=
=
√
1/2
1/2
2
kB
kB T
2π2
~2
3π2
~2
3 π kB T

!3/2 

EF
µ
 4
 ,
= X1/2  √
(3.137)
kB T
3 π kB T
wobei X j die Umkehrfunktion zu F j ist.
3.9. ZUSTANDSZÄHLUNG BEI INVARIANZ IN TRANSVERSALRICHTUNGEN
45
Abbildung 3.7: Fermi-Integral F1/2 (x) mit Sommerfeld-Entwicklung für große positive x und BoltzmannEntwicklung für grøße negative Argumente.
3.9
Zustandszählung bei Invarianz in Transversalrichtungen
In den transversale Schichtsysteme in Absch. 3.9 gilt wegen der transversalen Homogenität im gesamten
Bauelement V(~r) = V(x), wobei wir weiterhin voraussetzen V(x ≤ x1 ) = 0 und V(x ≥ x2 ) = −eU D (s. Abb.
4.1). Für V(~r) = V(x) im gesamten Bauelement wird (3.4) zu
(
)
~2
− ∗ ∆ + V(x) − E ψ(~r) = 0,
(3.138)
2m
mit den Randbedingungen ψ(x, 0, z) = ψ(x, D, z) = ψ(x, y, 0) = ψ(x, y, W) = 0. Eine solche Situation entsteht im semiempirisches Potenzialmodell 3.7.3 für einen SOI FET, wen im Annsatz (3.100) die Krümmung
vernachlässigt werden kann und α klein ist. Der Unabhängigkeit des Potenzials von den Transversalkoordinaten entspricht der Produktansatz
ψ(~r) = ψe f (x)Φn (y, z),
(3.139)
mit den in (3.17) definierten Transversalmoden Φn . Es erfolgt hier erneut die Aufspaltung (3.15) der Gesamtenergie E in eine Transversalenergie der Bewegung in y − z-Richtung E⊥n und eine Longitudinalenergie
= E − E⊥n
(3.140)
der Bewegung in x-Richtung. Einsetzen von (3.139) in (3.138) führt auf ein eindimensionales Streuproblem
"
#
~2 d2
− ∗ 2 + V(x) − ψe f (x) = 0.
(3.141)
2m dx
Im vorliegenden Fall ist die Energie der Bewegung in x-Richtung nicht nur innerhalb eines Kontaktes,
sondern im gesamten Bauelement erhalten. Für die sourceeinlaufenden Streulösungen gilt ψe f (x) = ψ1k (x)
mit der Asymptotik
ψ1k (x ≤ x1 , ) = eik1n x + r1 ()e−ik1n x
(3.142)
und
ψ1k (x ≥ x2 , ) = t2 ()eik2n x ,
(3.143)
46
KAPITEL 3. LANDAUER-BÜTTIKERFORMALISMUS UND NANOTRANSISTOREN
mit den bereits in (3.16) definierten Wellenzahlen
r
∗
+ 2m
k sn =
(E − E⊥sn − V s ) ≡ k s ().
2
~
(3.144)
Die einlaufende Wellenzahl ist k = k1n = k1 (). In den asymptotischen Bereichen gilt dann für die gesamte
Streuwellenfunktion ψ snk (~r) in (3.139)
 ik x


e 1n Φ (y, z) + r1 () e−ik1n x Φn (y, z), x ≤ x1


| {zn } |
{z
}




einlaufende Welle
reflektierte Welle



(3.145)
ψ1nk (~r) = 




1
ik2n x

t
()
e
Φ
(y,
z)
,
x
≥
x
.

2


{z n }

|
transmittierte Welle
Ein Vergleich mit der allgemeinen Streufunktion (3.26)
X 0
 ik1n x

e
Φ
(y,
z)
+
r1,n n e−ik1n0 x Φn0 (y, z),

n


| {z }

0

n


einlaufende Welle |
{z
}




reflektierte Welle



ψ1nk = 

X 0





t1,n n eik2n0 x Φn0 (y, z),



0

n



{z
}
|
x ≤ x1
(3.146)
x ≥ x2
transmittierte Welle
liefert
0
r1,n n = r1 ()δnn0
sowie
0
t1,n n = t1 ()δnn0 .
(3.147)
Die Stromtransmission ist dann nach (3.51) gegeben durch
X
X
0
0
−1
−1
Θ(E−E⊥n −V2 )Θ(E−E⊥n )k2n0 |t1,n n |2 k1n
T=
=
Θ(E−E⊥n +eU D )Θ(E−E⊥n )k2n |t1 (E−E⊥n )|2 k1n
. (3.148)
nn0
n
Der Strom berechnet sich nach (3.54)
Z
2e ∞
dE f (E − µ1 ) − f (E − µ2 ) T (E)
ID =
h 0
Z
X
2e ∞
−1
dE f (E − µ1 ) − f (E − µ2 )
Θ(E − E⊥n − V2 )Θ(E − E⊥n )k2n0 |t1 (E − E⊥n )|2 k1n
=
h 0
n
Z
2e X ∞
−1
=
dE f (E − µ1 ) − f (E − µ2 ) Θ(E − E⊥n − V2 )Θ(E − E⊥n )k2n |t1 (E − E⊥n )|2 k1n
h n 0
Z
2e X ∞ d f ( + E⊥n − µ) − f ( + E⊥n − µ + eU D ) Θ( + eU D )Θ()k2 ()|t1 ()|2 k1 ()−1
=
|
{z
}
h n 0
T 1d ()
=
2e
h
Z
∞
d S ( − µ) − S ( − µ + eU D ) T 1d (),
(3.149)
0
mit µ1 = µ und µ2 = µ − eU D , wobei U D > 0. Hier definieren wir für > 0 die eindimensionale Stromtransmission
T 1d () = k2 ()|t1 ()|2 k1 ()−1
(3.150)
und die Supplyfunktion
S (x) =
X
n
f (x + E⊥n ).
(3.151)
3.9. ZUSTANDSZÄHLUNG BEI INVARIANZ IN TRANSVERSALRICHTUNGEN
Wir werten diese Gleichung aus mit den bekannten Transversalenergien (3.19)
!
2
2
~2
~2 2
n=(n ,n )
2 π
2 π
E⊥ y z =
n
k
+
n
=
z
2m∗ y D2
2m∗ n
W2
und dem zweidimensionalen Vektor
~kn = (ny π , nz π ).
D W
47
(3.152)
(3.153)
Wir schreiben mit v = ~2 k2 /(2m∗ kB T ) und y = −x/kB T im Limes D → ∞ und W → ∞
S (x) =
=
 ~2 2

−1
−1
Z
Z
X  2m~2∗ kn2 +x
 2m∗ k +x

A 2m∗ kB T ∞
1
e kB T + 1 = A
2
kB T


e
dk
+
1
=
dv v−y




2
2
2
e
+1
4π
4π
~
0
n
∗
∗
∗
∞
A 2m kB T
Am kB T A 2m kB T − x
− ln 1 + ey−v 0 =
ln (1 + ey ) =
ln 1 + e kB T .(3.154)
2
2
2
4π ~
4π ~
2π~
Kapitel 4
Die Resonanztunneldiode
4.1
Aufbau der Resonanztunneldiode
Die Resonanztunneldiode wird im Detail in Ref. [56] beschrieben. Wie in Abb. 4.1 gezeigt, besteht die
Resonanztunneldiode aus einer Abfolge von planaren Halbleiterschichten mit unterschiedlichen Leitungsbandkanten, hier GaAs (niedriger wert) und Al xGa1−x As (hoher Wert). Nach oben und unten wird das
Schichtsystem durch Source- und Drainkontakt abgeschlossen, wobei es sich hier um hoch-n++ -dotierte
GaAs Schichten handelt. Die aktive Doppelbarrierenstruktur besteht aus zwei Al xGa1−x As Tunnelbarrieren,
die zwischen sich einen GaAs Quantentopf bilden. Die Al xGa1−x As Tunnelbarrieren entstehen auf Grund
der im Vergleich zu GaAs höheren Lage des Leitungsbandkante. Dieser Sprung in der Leitungsbandkante
wirkt wie ein Potenzialsprung.
Im hypothetischen isolierten GaAs Quantentopf (s. Abb. 4.1 (a)) bildet sich bei der Energie 0 ein gebundener Zustand. Es wird angenommen, dass 0 oberhalb des chemischen Potentials in der unbelasteten
Resonanztunneldiode liegt (U = 0, siehe Abb. 4.1 (a)). In der Tunneldiode kann der gebundene Zustand
jedoch sowohl in den Source- als auch in den Drainkontakt hinein zerfallen, sodass sich im Endeffekt ein
quasigebundener Zustand mit einer bestimmten Lebensdauer ergibt. Wie in Abb. 4.1 (b)) gezeigt, ist die
Wellenfunktion des quasigebundenen Zustandes im Wesentlichen im Quantentrog lokalisiert. Die endliche
Lebensdauer resultiert aus einem kleinen Überlapp der Wellenfunktion mit dem Source- und dem Drainkontakt. Wegen dieses Überlapps kann der quasigebundene Zustand den Strom gut transportieren.
Wir betrachten die in Abb. 4.1 (d) dargestellte typische Kennlinie einer Resonanztunneldiode: Bei kleinen
Spannungen wächst der Strom mit steigender Spannung. Dieser Anstieg wird steiler, wenn der quasigebundene Zustand energetisch unterhalb des chemischen Potentials im Sourcekontakt gerät. Der Strom nimmt
ein Maximum an, wenn die Energie des quasigebundene Zustands knapp oberrhalb der Kante besetzten
Leitungsbandes im Sourcekontakt liegt. (Abb. 4.1 (b)). Bei einer weiteren Erhöhung der Spannung fällt
der Strom. Er erreicht ein Minimum, wenn 0 unter die Leitungsbandkante im Sourcekontakt fällt. (Abb.
4.1 (c)). Schließlich wächst der Strom wieder in der Folge, weil die effektive Höhe der Doppelbarriere immer weiter abnimmt. Der negative differentielle Widerstand zwischen den Punkten Ub und Uc in Abb. 4.1
(d) ermöglicht eine Vielzahl technischer Anwendungen. Beispiele sind Hochfrequenzgeneratoren, Hochgeschwindigkeitsschalter und vielwertige Logiken.
48
4.1. AUFBAU DER RESONANZTUNNELDIODE
49
Abbildung 4.1: (a) Banddiagramm einer unbelasteten Resonanztunneldiode, die Variation des Potentials
(blau) resultiert aus einem Sprung im Boden des Leitungsbandes von GaAs nach Al xGa1−x As. Der im Text
erwähnte hypothetische isolierte Quantentopf und die Wellenfunktion des entsprechenden gebundenen Zustandes sind violett gestrichelt dargestellt. (b) Spannung mit maximalem Strom. Quasigebundener Zustand
blau dargestellt mit oszillierendem Überlapp in die Kontakte. (c) Minimaler Strom. (d) Die resultierende
I-U Kennlinie mit einem negative differentiellen Widerstand zwischen Ub und Uc .
50
4.2
KAPITEL 4. DIE RESONANZTUNNELDIODE
Die Supplyfunktion bei T = 0
Im letzten Kapitel haben wir für Systeme mit Translationsinvarianz in Transversalrichtung die LandauerBüttiker Formel
Z
2e ∞
dT () S ( − µ) − S ( + eU − µ)
(4.1)
I=
h 0
hergeleitet. Hier ist
X
S (x) =
f (x + E⊥n )
(4.2)
n
und
1
f (x) =
(4.3)
e +1
die Fermiverteilung. Um eine einfache erste Anschauung der Supplyfunktion zu gewinnen, berechnen wir
hier S (x) am Temperaturnullpunkt. Es gilt dann per Definition µ = E F . Im ersten Summanden in der eckigen
Klammer in (4.1) ist x = − E F und mit E = + E⊥n folgt
x
kB T
E − E F = x + E⊥n .
(4.4)
f (E − E F ) = Θ(E F − E) = 1 − Θ(E − E F ) ⇔ f (x + E⊥n ) = 1 − Θ(x + E⊥n ).
| {z }
(4.5)
Für T → folgt
x+E⊥n
Gemäß (4.2) ist dann
"
!#
Z
X
Xh
i
~2 2
A
ny ,nz
2
n
d k 1−Θ x+
k .
S (x) =
f (x + E⊥ ) =
1 − Θ(x + E⊥ ) → 2
2m
4π
n
n ,n
y
(4.6)
z
Mit dky dkz = 2πkdk = πdk2 folgt
A
S (x) =
4π
∞
Z
!#
"
~2 2
k .
dk 1 − Θ x +
2m
2
0
(4.7)
Substitution u = ~2 k2 /2m führt auf
A 2m
S (x) =
Θ(−x)
4π ~2
Z
0
|x|
du =
Am∗
|x|Θ(−x).
2π~2
(4.8)
Es gilt also
(
Am
0
für ≥ E F
S ( − E F ) =
(4.9)
2π~2 E F − für ≤ E F .
(s. Abb. 4.2 (a)). Je tiefer die Longitudinalenergie unterhalb der Fermienergie liegt, desto mehr sourceeinlaufende Streuzustände liegen pro Energieintervall vor. Das Resultat (4.9) entspricht dem vorher gefundenen
Ergebnis für endliche Temperaturen
Am∗ kB T − x
ln 1 + e kB T ,
(4.10)
S (x) =
2
2π~
denn
( 0
für x > 0
− k xT
B
lim ln 1 + e
=
(4.11)
|x|
für
x < 0.
T →0
kB T
Es folgt dann wie in Abb. 4.2 (c) dargestellt
Am
S ( − E F ) − S ( + eU − E F ) =
2π~2


0



EF − 


 eU
für ≥ E F
für E F − eU ≤ ≤ E F
für ≤ E F − eU.
(4.12)
4.3. LORENTZKURVE FÜR DIE STROMTRANSMISSION
51
Abbildung 4.2: Im Limes T → 0: a) Supplyfunktion S ( − E F ) b) Supplyfunktion S ( + eU − E F ) c.)
S ( − E F ) − S ( + eU − E F ).
4.3
Lorentzkurve für die Stromtransmission
Der quasigebundene Zustand führt zu einer scharfen Spitze in der Transmissionswahrscheinlichkeit bei 0 ,
die den gesamten Strom dominiert (s. Abb. 4.3). Diese Spitze wird häufig mit einer Lorentzkurve genähert,
T () = T res
Γ2 /4
Γ2 /4
,
+ ( − 0 )2
(4.13)
wobei Γ die Resonanzbreite ist, welche sich reziprok zur Lebensdauer verhält. Die Lorentzkurve kann
weiterhin als Deltafunktion
1
Γ/2
δ( − 0 ) = lim 2
,
(4.14)
Γ→0
π
Γ /4 + ( − 0 )2
approximiert werden, sodass
4.4
Γ
T () → π T res δ( − 0 )
2
(4.15)
Gesamtstrom
Dann kann folgt aus Gl. (4.1)
I
=
=
Z
2e ∞
dT () [S ( − E F ) − S ( + eU − E F )]
h 0
2e Γ
π T res Θ(0 ) [S (0 − E F ) − S (0 + eU − E F )] .
h 2
(4.16)
Der Faktor Θ(0 ) tritt wegen der unteren Integrationsgrenze von 0 in der Tsu-Esaki-Formel auf. Es ergeben
sich somit die drei in Abb. 4.3 dargestellten Regime:
1. U < U1 : Es gilt 0 > E F > 0.
Dann ist S (0 − E F ) = S (0 + eU − E F ) = 0 und I = 0.
52
KAPITEL 4. DIE RESONANZTUNNELDIODE
Abbildung 4.3: Ein sehr vereinfachtes Modell der I-V Kennlinie einer RTD bei niedrigen Temperaturen: a)
Banddiagramm bei U = 0, b) Banddiagramm im stromführenden Bereich und c) resultierende I-U Kennlinie.
2. U1 < U < U2 : Es gilt E F > 0 > E F − eU.
Dann ist
S (0 − E F ) =
A 2m
(E F − 0 )
4π ~2
(4.17)
und S (0 + eU − E F ) = 0. Es folgt
I=
!
2e Γ
0
A 2m
π T res
(E
−
)
=
I
1
−
,
F
0
max
h 2
4π ~2
EF
mit
Imax = A
eΓmT res
EF
4π~3
(4.18)
(4.19)
3. U2 < U: Es gilt 0 ≤ 0 (s. Uc in Abb. 4.1)
Dann ist auf Grund des Theta-Funktionsfaktors in Gl. (4.16) der Strom gleich null.
Wie in Abb. 4.3 dargestellt, nehmen wir nun eine symmetrische Doppelbarriere an, wobei der lineare Spannungsabfall auf beiden Seiten des Quantentopfes gleich verteilt wird. Es resultiert, dass der Quantentopf
um den Betrag ∆ = −eU/2 in Bezug auf das Sourcepotential erniedrigt wird. Deswegen gelte
0 = 00 − eU/2,
(4.20)
wobei 00 die Energie des quasigebundenen Zustands bei U = 0 ist. Es wird zusätzlich angenommen, dass
T res und Γ unabhängig von U sind. Dann erhält man die obengenannten drei Regime für die folgenden
Drainspannungen (s. Abb. 4.3):
1. 0 > E F mit
I=0
mit
0 = E F = 00 −
für
0 ≤ U ≤ U1
eU1
⇒ eU1 = 2(00 − E F )
2
(4.21)
(4.22)
4.4. GESAMTSTROM
53
2. E F > 0 > E F − eU, > 0 für U1 ≤ U ≤ U2 mit
0 = 0 = 00 −
eU2
⇒ eU2 = 200 .
2
(4.23)
Wir erhalten aus Gl. (4.18)
⇔
3. 0 ≤ 0 mit


!
!
200 − eU 

0
eU1 + 2E F − eU
 = Imax 1 −
I = Imax 1 −
= Imax 1 −
EF
2E F
2E F
e(U − U1 )
I = Imax
.
2E F
I=0
für
U ≥ U2 .
(4.24)
(4.25)
Die Beziehungen Gl. (4.21), (4.24) und (4.25) führen zu der in Abb. 4.3 dargestellten, stark idealisierten
Kennlinie.
54
4.5
KAPITEL 4. DIE RESONANZTUNNELDIODE
Ergebnisse von Bowen et al.
Wir vergleichen unsere einfache Theorie mit Experimenten und einer komplexeren aber vergleichbaren
Theorie von Bowen et al. in [105]. Hier handelt es sich um ein gitterangepasstes InGaAs-InAlAs Heterostruktursystem, welches in Abb. (4.4) dargestellt ist. Aufgrund der dortigen größeren Bandlücke wirken
die dünnen InAlAs-Schichten 4.) und 6.) als Doppelbarriere. In der dazwischenliegenden InGaAs-Schicht
5.) bildet sich bei der Energie 0 ein quasi-gebundener Zustand. Das in Abb. 4.4 b) erkennbare Absinken
der Leitungsbandkanten beim Übergang von Region 2.) nach Region 1.) bzw. von 8.) nach 9.) wird durch
die drastische Erhöhung der n-Dotierungsdichte und damit der positiven Hintergrundladung bewirkt. Bei
U = 0 lesen wir ab:
E F ∼ 0.25eV,
0 = 00 ∼ 0.3eV − 1.5eV = 1.5eV
und
V0 = 0.5eV,
(4.26)
wobei 00 die Höhe des resonanten Niveaus über dem Topfboden ist.
Bei einer Spannung von U = 0.3V wird das in Abb. 4.5 gezeigte Energieschema berechnet. Es handelt sich
in etwa um die Abrissspannung U2 . Aus Gl. (4.23) ergibt sich in Übereinstimmung der Wert U2 ∼ 200 =
3eV.
4.5. ERGEBNISSE VON BOWEN ET AL.
55
Abbildung 4.4: a) InGaAs-InAlAs Heterostrukturschichtsystem zur Realisierung einer Resonanztunneldiode. b.) Berechnete Leitungsbandkante der InGaAs − InAlAs RTD ohne Spannung. Nach [105].
56
KAPITEL 4. DIE RESONANZTUNNELDIODE
Abbildung 4.5: a) Berechnete Leitungsbandkante der InGaAs−InAlAs RTD bei U = 0.3V. Der quasigebundene Zustand gerät unterhalb die Leitungsbandkante im Sourcekontakt. b) In der I − U Kennlinie fällt der
Strom bei U = 0.3V deutlich ab. Schwarz durchgezogen das Experiment, grün gestrichelt Einbandnäherung
und blau gestrichelt Zehnbandnäherung. Nach [105].
Kapitel 5
Berechnung der Stromtransmission
nach Kapur/Peierls, Wigner/Eisenbud
und Lent/Kirkner, Anwendung auf
planare NanoFETs
5.1
Einleitung
0
Die Bestimmung der Transmissionskoeffizienten t2,n n in der Stromtransmission
X
0
0
−1
T=
Θ(E − E⊥n )Θ(E − E⊥n − V2 )k1n0 |t2,n n |2 k2n
(5.1)
nn0
ist die zentrale Aufgabe bei der Anwendung der Landauer-Büttiker Formel
Z
2e ∞
dE f (E − µ1 ) − f (E − µ2 ) T (E).
I=
h 0
(5.2)
zur Berechnung von Ladungstransport in mesoskopischen Systemen. Hier gibt es eine Reihe von Zugängen
wie den Nichtgleichgewichtsgreensfunktionsformalismus (NEGF Formalismus)[106, 107], die Quantum
Transmitting Boundary Method (QTB Methode) von Lent und Kirkner [108, 109] und den R-Matrixformalismus (RMF) von Kapur und Peierls[110] bzw. Wigner und Eisenbud[111].
Der NEGF Formalismus wird in einer Reihe von numerischen Methoden zur Berechnung von Quantentransport in Nanotransistoren herangezogen[93]. Hierunter fallen der recursive Green’s function (RGF)
Algorithmus[85], die mode space (MS)-Näherung[86, 92, 94], der coupled mode (CM)-Zugang[112, 87, 88,
91], und die contact block reduction (CBR) Methode [113, 89, 90, 95]. Der NEGF Formalismus erfordert
jedoch Elemente der höheren Quantenmechanik wie Nichtgleichgewichtgreenfunktionen und Selbstenergien, die wir im Rahmen dieser Vorlesung vermeiden wollen. Wir wollen uns hingegen in einer verallgemeinerten Darstellung auf den wellenfunktionsbasierten RMF konzentrieren. Diese Darstellung ermöglicht in
einer schwachen Formulierung die Anwendung von finite-Elemente- und rekursiven Methoden zur numerischen Auswertung. In diesem Zugang ist es zudem möglich, die in der Literatur verbreitete QTB Methode
als Spezialfall des RMF abzuleiten.
Der RMF findet breite Verwendung in Kern- und Atomphysik[114, 115, 116]. Unlängst wurde er auch
zur Ermittelung der Transporteigenschaften in einer Vielzahl mesoskopischer Halbleitersysteme eingesetzt
57
58
KAPITEL 5. BERECHNUNG DER STROMTRANSMISSION - PLANARE NANOFETS
[117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130]. In einer Reihe von Veröffentlichungen [84, 102, 103, 131, 104, 132, 133, 134] wurde der RMF auf nanoskalige Feldeffekttransistoren (nanoFETs) angewendet. Hier wurde die R-Matrix in eine Basis von Eigenfunktionen des Hamiltonoperators mit
speziellen Randbedingungen auf dem Rand des Streugebiets entwickelt (RME = R-Matrix Eigenfunktionsmethode).
5.2
Die S-Matrix und Stromtransmission
Wir betrachten das in Abb. 5.1 dargestellte vereinfachte Modell eines mesoskopischen Zweipols aus dem
letzten Abschnitt (s. Abb. 5.1 ). Die allgemeine Lösung der zeitunabhängigen Schrödingergleichung im
Sourcekontakt
Ω1 = {~r|x ≤ x1 , 0 ≤ y ≤ D, 0 ≤ z ≤ W}
(5.3)
wurde in Gl. (3.24) in die Form
ψ(x ≤ x1 , y, z) =
X
a1n eik1n x Φn (y, z) +
X
n
b1n e−ik1n x Φn (y, z)
(5.4)
n
gebracht. Im Drainkontakt
Ω2 = {~r|x ≥ x2 , 0 ≤ y ≤ D, 0 ≤ z ≤ W}.
(5.5)
lautet die allgemeine Lösung gemäß Gl. (3.25)
X
X
ψ(x ≥ x2 , y, z) =
a2n eik2n x Φn (y, z) +
b2n e−ik2n x Φn (y, z).
n
(5.6)
n
Abbildung 5.1: Vereinfachtes Modell eines mesoskopischen Zweipols aus dem letzten Abschnitt mit dem
Kontaktindex s = 1, 2 dem Sourcegebiet Ω1 , dem Draingebiet Ω2 . Die Streukoordinaten ζ s im Kontakt s
weisen vom Streugebiet Ω0 nach außen.
Zur Einführung der S-Matrix werden die Grenzflächen ∂Ω s , s = 1, 2 zwischen dem Streugebiet Ω0 und
den Kontakten Ω s bei x = x s definiert (s. Abb. 5.1). Wir führen auf ∂Ω s , s = 1, 2, Streukoordinaten ζ s ein,
die vom Streugebiet Ω0 nach außen weisen und auf ∂Ω s den Wert Null haben: Für die Source mit s = 1 gilt
ζ1 = −(x − x1 ) und für die Drain ζ2 = (x − x2 ). Dann lassen sich Gln. (5.4) und (5.6) in eine Zerlegung der
Wellenfunktionen in einlaufende- und auslaufende Komponenten (’Einauszerlegung’) umschreiben,
X
X
ψ(~r ∈ Ω s ) =
ψ−sn e−iksn ζs Φn (y, z) +
ψ+sn eiksn ζs Φn (y, z) .
(5.7)
|n
{z
einlau f end
} |n
{z
auslau f end
}
5.2. DIE S-MATRIX UND STROMTRANSMISSION
59
Für alle propagierenden Moden mit reellem k sn > 0 sind die Komponenten mit ψ−sn einlaufend und die Komponenten mit ψ+sn auslaufend. Dieses wird klar, wenn wir für die Komponenten mit ψ+sn den zeitabhängigen
Faktor exp (−iωt) mit ω = E/~ mitschreiben,
ψ+sn eiksn ζs −iωt .
(5.8)
Hier bewegt sich mit fortschreitender Zeit die Streukoordinate ζ s mit einer festen Phase α = k sn ζ s − ωt hin
zu größeren Werten, d. h. sie entfernt sich vom Streuvolumen Ω0 und ist daher auslaufend. Ein Vergleich
von Gln. (5.4) und (5.6) mit (5.7) führt auf
ψ−1n = a1n exp (ik1n x1 ), ψ+1n = b1n exp (−ik1n x1 ), ψ+2n = a2n exp (ik2n x2 ),
und ψ−2n = exp (−ik2n x2 )b2n .
(5.9)
Beweis: Für s = 1 ist ζ s = ζ1 = −(x − x1 ). Die Gleichheit der Komponenten ∝ eik1n x Φn (y, z) in (5.4) und
(5.7) bedingt
a1n eik1n x = ψ−1n e−ik1n ζ1 = ψ−1n eik1n (x−x1 ) ⇒ a1n = e−ik1n x1 ψ−1n
(5.10)
und die Gleichheit der Komponenten ∝ e−ik1n x Φn (y, z)
b1n e−ik1n x = ψ+1n eik1n ζ1 = ψ+1n e−ik1n (x−x1 ) ⇒ b1n = eik1n x1 ψ+1n .
(5.11)
Für s = 2 führt ein Vergleich von (5.6) und (5.7) auf
a2n eik2n x = ψ+2n eik2n ζ2 = ψ+2n eik2n (x−x2 ) ⇒ a2n = e−ik2n x2 ψ+2n
(5.12)
b2n e−ik2n x = ψ−2n e−ik2n (x−x2 ) ⇒ b2n = eik2n x2 ψ−2n .
(5.13)
sowie
Weil die Wellenfunktionen auch Lösung der Schrödingergleichung im Streugebiet sind, ist nur die Hälfte
der Komponenten ψ−sn und ψ+sn frei wählbar. Zur Definition der S-Matrix wählen wir die einlaufenden Komponenten ψ−sn als unabhängige und die auslaufenden Komponenten ψ+sn als abhängige Variablen. Durch die
Schrödingergleichung lässt sich eine lineare Abbildung von den ψ−sn auf die ψ+sn konstruieren, die wir in der
Gestalt
X
ψ+s0 n0 =
S s0 n0 ,s00 n00 ψ−s00 n00 ,
(5.14)
s00 n00
schreiben oder in Matrixschreibweise
~+ = S ψ
~ −.
ψ
(5.15)
~+
Hier ist der Vektor der einlaufenden Komponenten festgelegt durch (ψ ) sn = ψ+sn , der Vektor
~ − ) sn = ψ−sn und die S-Matrix durch (S ) s0 n0 ,sn = δψ+s0 n0 /δψ−sn .
den Komponenten durch (ψ
der auslaufen-
Zur Konstruktion der Beziehung zwischen der S-Matrix und den Transmissionskoeffizienten in der Landauer Büttiker Formel betrachten wir den im vorherigen Kapitel definierten, in der propagierenden Mode n
source(s = 1)-einlaufenden Streuzustand ψ1nk (3.26)
X 0
 ik x
1n


e
Φ
(y,
z)
+
r1,n n e−ik1n0 x Φn0 (y, z), x ≤ x1
n


|
{z
}



n0

einlaufende Welle |

{z
}




reflektierte Welle (auslaufend)



ψ1nk (~r) = 
(5.16)

X 0



1,n n ik2n0 x

0

t
e
Φn (y, z)
x ≥ x2 ,




n0



{z
}

|
transmittierte Welle (auslaufend)
mit der einzigen einlaufenden Komponente mit der Wellenzahl k = k1n (E). Der Vergleich von (5.16) mit
(5.4) in der Form
X
X
ψ(x ≤ x1 , y, z) =
a1n0 eik1n0 x Φn0 (y, z) +
b1n0 e−ik1n0 x Φn0 (y, z)
(5.17)
n0
n0
60
KAPITEL 5. BERECHNUNG DER STROMTRANSMISSION - PLANARE NANOFETS
zeigt
a1n0 = δnn0
und
0
b1n0 = r1,n n .
(5.18)
Der Vergleich von (5.16) mit (5.6) zeigt
0
a2n0 = t1,n n und b2n0 = 0.
(5.19)
Mit (5.9) folgt
ψ−1n0 = δnn0 exp (ik1n0 x1 ), ψ+1n0 = r1,n n exp (−ik1n0 x1 ), ψ+2n0 = t1,n n exp (ik2n0 x2 ),
0
0
und ψ−2n0 = 0. (5.20)
Die einlaufenden Komponenten in Gl. (5.14) lassen sich somit zusammenfassen,
ψ−s00 n00 = δ s00 ,1 δnn00 exp (ik1n00 x1 ).
(5.21)
Setzt man weiterhin s0 = 2 in (5.14) ergibt sich
X
0
0
eik2n0 x2 t1,n n =
S 2n0 ,s00 n00 δ s00 1 δnn00 eik1n00 x1 = S 2n0 ,1n eik1n x1 ⇒ t1,n n = e−ik2n0 x2 S 2n0 ,1n eik1n x1 ,
(5.22)
s00 n00
d. h. aus der S-Matrix lassen sich unmittelbar die Transmissionskoeffizienten konstruieren. Somit folgt in
(5.1)
X
X
0
0
0
−1
−1
T=
Θ(E − E⊥n − V2 )Θ(E − E⊥n )k2n0 |t1,n n |2 k1n
=
Θ(E − E⊥n − V2 )Θ(E − E⊥n )k2n0 |S 2n0 ,1n |2 k1n
. (5.23)
nn0
nn0
Die beiden Θ-Funktionen sorgen nämlich dafür, dass nur reelle Wellenzahlen k sn zur Stromtransmission
beitragen, für die | exp [ik sn (x − x s )]| = 1.
5.3
Darstellung der S-Matrix durch die R-Matrix
Aus Gl. (5.7) resultiert für die Grenzflächen ∂Ω s
X
X
ψ(x s , y, z) =
ψ+sn + ψ−sn Φn (y, z) =
ψ sn Φn (y, z)
n
mit den Vektoren
(5.24)
n
~ ) sn = ψ sn = ψ+sn + ψ−sn = (ψ
~ + ) sn + (ψ
~ − ) sn
(ψ
(5.25)
Weil die Transversalmoden Φn ein vollständiges Orthonormalsystem bilden, kann man ψ sn als Entwicklungskoeffizient der Zerlegung der Wellenfunktion in die Transversalmoden bei x = x s auffassen,
ψ sn =
D
Z
Z
dy
0
W
dzΦn (y, z)ψ(x s , y, z).
(5.26)
0
Auf ∂Ω s definiert man die nach außen gerichtete Oberflächenableitung
X
X
ψSs (y, z) = (−1) s ∂ x ψ(x s , y, z) =
ik sn ψ+sn − ψ−sn Φn (y, z) ≡
ψSsn Φn (y, z),
n
(5.27)
n
mit der partiellen Ableitung ∂ x ψ = ∂ψ/∂x und
ψSsn = ik sn ψ+sn − ψ−sn .
(5.28)
5.4. DIE R-MATRIX IN SCHWACHER FORMULIERUNG
61
Schließlich werden die neuen Variablen
W sn = b sn ψ sn + ψSsn = b sn (ψ+sn + ψ−sn ) + ik sn (ψ+sn − ψ−sn ) = (b sn + ik sn )ψ+sn + (b sn − ik sn )ψ−sn
eingeführt mit zunächst frei wählbaren komplexen Koeffizienten b sn . Die lineare Abbildung
X
~
~ = RW
ψ sn =
R sn,s0 n0 W s0 n0
oder ψ
(5.29)
(5.30)
s 0 n0
definiert die Elemente (R) sn,s0 n0 = R sn,s0 n0 der R-Matrix. Wie im folgenden Kapitel gezeigt, kann die RMatrix mittels partieller Integration (Greensche Identität für eine allgemeine Systemgeometrie) aus der
Schrödingergleichung konstruiert werden (nicht die S-Matrix). Sobald die R-Matrix bekannt ist, folgt sofort
die S-Matrix durch Einsetzen von ψ sn = ψ−sn + ψ+sn auf der linken Seite von (5.30) und von W sn = (b sn +
ik sn )ψ+sn + (b sn − ik sn )ψ−sn auf der rechten Seite, sodass
X
(ψ+sn + ψ−sn ) =
R sn,s0 n0 (b s0 n0 + ik s0 n0 )ψ+s0 n0 + (b s0 n0 − ik s0 n0 )ψ−s0 n0
s 0 n0
⇔
X
X
δ sn,s0 n0 − R sn,s0 n0 (b s0 n0 + ik s0 n0 ) ψ+s0 n0 = −
δ sn,s0 n0 + R sn,s0 n0 (ik s0 n0 − b s0 n0 ) ψ−s0 n0 . (5.31)
s 0 n0
s 0 n0
Dies lässt sich in Matrixnotation schreiben
~ + = 1 + R(ik − b)]ψ
~ −,
[1 − R(ik + b)]ψ
(5.32)
wobei wir die Matrizen (k) sn,s0 n0 = k sn,s0 n0 = δ sn,s0 n0 k sn und (b) sn,s0 n0 = b sn,s0 n0 = δ sn,s0 n0 b sn einführen. Bringen
wir die Definition der S-Matrix (5.14) ebenfalls auf Matrixform,
~+ = S ψ
~ −,
ψ
(5.33)
folgt aus dem Vergleich der beiden letzeren Identitäten
S = −[1 − R(ik + b)]−1 [1 + R(ik − b)]
(5.34)
Die Wahl unterschiedlicher Matrizen b in Gl. (9.30) führt auf unterschiedliche Zugänge zur Streutheorie: Im
Kapur-Peierls Zugang setzt man b sn = ik sn mit den unabhängigen Variablen W sn = 2ik sn ψ+sn entsprechend
einem Zustand ohne einlaufende Komponenten (s. Gl. (8) aus Ref. [110]). In der QTB Methode hingegen
b sn = −ik sn , sodass W sn = −2ik sn ψ−sn , d. h. die einlaufenden Koeffizienten werden als unabhängige Variablen
angenommen. In RME wird b sn = 0 gesetzt, sodass W sn = ψSsn .
5.4
Die R-Matrix in schwacher Formulierung
In der schwachen Formulierung des Schrödinger-Eigenwertproblems (H − E)ψ = 0 entwickelt man die gesuchte Eigenfunktion im Streugebiet in ein System von N physikalisch sinnvoll gewählten Basisfunktionen
χl (x, y, z), l = 1 . . . N (Testfunktionen),
X
ψ(~r ∈ Ω0 ) =
al χl (~r).
(5.35)
l
Multiplikation der Schrödingergleichung mit χl und Integration über Ω0 bringt
!
Z
~2
d3 rχl − ∆ + V − E ψ = 0.
2m
Ω0
(5.36)
62
KAPITEL 5. BERECHNUNG DER STROMTRANSMISSION - PLANARE NANOFETS
Anstatt die Schrödingergleichung zu lösen, stellt man die schwächere Forderung der Gültigkeit dieser Relation für alle l auf. Wie wir sehen werden, führt dies auf ein lineares Gleichungssystem für die al , welches
aufgrund der Streurandbedingungen inhomogen ist. Die Verwendung von Hütchenfunktionen als Basisfunktionen führt auf die finite-Elemente Methode, die Verwendung von atomaren Orbitalen auf die Tight
Binding- oder LCAO-Näherung und die Verwendung von Wigner-Eisenbudfunktionen auf die RME, die in
[84, 102] auf das Transistorproblem angewendet wurde.
Aus der Entwicklung der Wellenfunktion im Streugebiet in Basisfunktionen (5.35) ergibt sich für die Oberflächenzerlegung in (5.24)
X
ψ(~r ∈ ∂Ω s ) = ψ(x s , y, z) =
ψ sn Φn (y, z),
(5.37)
n
wobei mit (5.26)
Z D Z
ψ sn =
dy
0
W
dzΦn (y, z)ψ(x s , y, z) =
0
X
χl,sn =
Z
D
0
Z
dy
0
W
Z
dy
l
mit
D
Z
al
W
dzΦn (y, z)χl (x s , y, z) =
0
X
al χl,sn ,
(5.38)
l
dzΦn (y, z)χl (x s , y, z).
(5.39)
0
Die auf Ω0 definierten Basisfunktionen erfüllen die Randbedingungen
χl (x, 0, z) = χl (x, D, z) = χl (x, y, 0) = χl (x, y, W) = 0.
(5.40)
Zur Vereinfachung der Schreibweise ignorieren wir von nun an die z-Richtung, die später völlig äquivalent
zur y-Richtung behandelt werden kann. Es ergibt sich aus (7.77) dann
!
Z D Z x2
Z D Z x2
∂2
∂2
~2
dy
dxχl
+
ψ+
dy
dxχl (V − E)ψ = 0.
(5.41)
−
2m 0
∂x2 ∂y2
x1
0
x1
Im ersten Summanden des ersten Doppelintegrals führen wir eine partielle Integration über x bei konstantem
y durch,
Z D Z x2
Z D
Z D Z x2
∂2
dy
dxχl (x, y) 2 ψ(x, y) =
dy χl (x2 , y)∂ x ψ(x2 , y) − χl (x1 , y)∂ x ψ(x1 , y) −
dy
dx∂ x χl ∂ x ψ
∂x
0
x1
0
0
x1
Z D X
Z D Z x2
Z D Z x2
X
S
S
=
dy
χl (x s , y) ψ s (y) −
dy
dx∂ x χl ∂ x ψ =
χl,sn ψ sn −
dy
dx∂ x χl ∂ x ψ.
(5.42)
| {z }
0
0
x1
0
x1
P
s
n
χl,sn Φn (y)
sn
Im zweiten Summanden des ersten Integrals in (5.41) entfällt bei der partiellen Integration über y der Oberflächenterm wegen der Randbedingungen (5.40),
Z D
Z D
∂2
dy∂y χl ∂y ψ.
(5.43)
dyχl (x, y) 2 ψ(x, y) = −
∂y
0
0
Einsetzen von (5.42) und (5.43) in (7.77) führt auf
Z D Z x2 Z D Z x2
~2 X
~2
dy
dx ∂ x χl ∂ x ψ + ∂y χl ∂y ψ +
dy
dx(V − E)χl ψ =
χl,sn ψSsn .
2m 0
2m sn
x1
0
x1
Mit (9.30) resultiert
Z
Z
~2
~2 X
~2 X
2
d r∇χl ∇ψ +
d2 r(V − E)χl ψ +
b sn χl,sn ψ sn =
χl,sn W sn .
2m Ω0
2m sn
2m sn
Ω0
(5.44)
(5.45)
5.4. DIE R-MATRIX IN SCHWACHER FORMULIERUNG
63
Man schreibt dann für die Oberflächenableitung auf der rechten Seite von (5.45)
~2 X
χl,sn W sn ≡ Pl = (P)l ,
2m sn
(5.46)
wobei Pl die Inhomogenität des entstehenden linearen Gleichungssystems ist. Auf der linken Seite von
(5.45) führt man die Entwicklung der Wellenfunktionen (5.38) in die Testfunktionsbasis ein mit dem Ergebnis
X
X
~2 X
b sn χl,sn ψ sn =
b sn χl,sn al0 χl0 ,sn =
Cll0 al0
(5.47)
2m sn
snl0
l0
wobei
(Ĉ)ll0 = Cll0 =
~2 X
b sn χl,sn χl0 ,sn .
2m sn
(5.48)
Weiterhin folgt aus der Zerlegung der Wellenfunktionen in Basisfunktionen (5.35)
Z
Z
X
~2
3
d r∇χl ∇ψ +
d3 rχl (V − E)ψ =
(T ll0 + Vll0 − EMll0 )al0
2m Ω0
Ω0
l0
(5.49)
mit den symmetrischen Matrizen
~2
2m
(T )ll0 = T ll0 =
Z
(V)ll0 = Vll0 =
Ω0
dv∇χl ∇χl0 = T l0 l ,
Z
Ω0
(5.50)
dvχl0 Vχl ,
(5.51)
dvχl0 χl .
(5.52)
und der Überlappmatrix
(M) = M =
ll0
ll0
Z
Ω0
Die Gleichung (5.45) wandelt sich somit in ein inhomogenes System linearer Gleichungen
[H − EM + C] a = P
(5.53)
mit dem Koeffizientenvektor (a)l = al und der reellen symmetrischen Matrix
H = T + V.
(5.54)
Eine eindeutige Lösung existiert, wenn det [H0 − EM + C] , 0 und wir finden
X
a = GP mit G = [H − EM + C]−1
⇒
al =
Gll0 Pl0 .
(5.55)
l0
Aus Gln. (5.35), (5.55), und (9.32) ergibt sich dann
ψ sn =
X
al χl,sn =
l
X
χl,snGll0 Pl0 =
ll0
X
~2 X
χl,sn χl0 ,s0 n0 Gll0 W s0 n0 ≡
R sn,s0 n0 W s0 n0
2m s0 n0 ll0
s 0 n0
(5.56)
mit der gesuchten R-Matrix
R sn,s0 n0 =
~2 X
χl,sn χl0 ,s0 n0 Gll0 .
2m ll0
(5.57)
64
5.5
KAPITEL 5. BERECHNUNG DER STROMTRANSMISSION - PLANARE NANOFETS
Die R-Matrix Eigenfunktionsmethode
In der R-Matrix Eigenfunktionsmethode (RME) wird zum in Gl. (9.30) b sn = 0 gesetzt. Weiterhin seien die
Basisfunktionen χl Lösungen des Eigenwertproblems
" 2
!
#
~
∂2
∂2
−
+
+ V(~r) − El χl (x, y) = 0,
(5.58)
2m ∂x2 ∂y2
mit den hermiteschen Randbedingungen χl (x, 0) = χl (x, D) = 0 und
χSl (x s , y) = 0.
(5.59)
Da die χl ein vollständiges Orthogonalsystem bilden, ist die RME exakt. Sie wurde in [84] und [102] zur
Berechnung der Kennlinien eines Nanotransiostors verwendet. Wir nennen die Basisfunktionen χl in der
RME Methode Wigner-Eisenbudfunktionen und die Eigenenergien El Wigner-Eisenbudenergien.
Wegen der hermiteschen Randbedingungen (5.59) können die χl als vollständiges orthonormales Funktionensystem gewählt werden, sodass nach (9.38) Mll0 = δll0 . Weiterhin ist bei b = 0 nach (9.34) C = 0 und
nach (9.32) gilt
~2 X
χl,sn ψSsn .
(5.60)
Pl =
2m sn
Wir multiplizieren (5.58) mit χl0 (x, y) und integrieren über Ω0 . Es folgt mit (9.37)
Z
Z
Z
~2
~2
d2 rχl0 ∆χl +
d2 rχl0 ∆χl
El δll0 = −
d2 rχl0 Vχl = Vl0 l −
2m Ω0
2m Ω0
Ω0
(5.61)
Wegen der Randbedingungen (5.59) für die χl auf dem gesamten Rand des Streugebiets verschwinden die
Oberflächenterme bei den partiellen Integrationen in x- und y-Richtung, sodass
!
Z
Z
~2
∂2
~2
∂2
−
+
χ
=
dxdyχl0
dxdy ∂ x χl0 ∂ x χl + ∂y χl0 ∂y χl = T ll0 ,
(5.62)
l
2
2
2m Ω0
2m Ω0
∂x
∂y
wobei im letzten Schritt (9.36) verwendet wurde. Diese Identität in (5.61) eingesetzt führt auf
El δll0 = T ll0 + Vll0 = Hll0 .
(5.63)
Gll0 = [H − EM + C]−1
ll0 = [H − E1]ll0 = (E l − E)δll0 .
(5.64)
Es resultiert in Gl. (5.55)
Aus (9.43) folgt dann der Ausdruck für die R-Matrix
R s0 n0 ,sn = −
~2 X χl,s0 n0 χl,sn
.
2m l E − El
Diese ist nach Gl. (5.30) definiert durch die Abbildung
X
ψ sn =
R sn,s0 n0 ψSs0 n0 .
(5.65)
(5.66)
s 0 n0
Wegen b = 0 folgt aus (5.34)
S =−
1 + iRk
.
1 − iRk
(5.67)
5.6. ANWENDUNG DER R-MATRIX EIGENFUNKTIONSMETHODE AUF PLANARE NANOFETS65
Da in Gl. (5.67) nur die kommutierenden Matrizen 1 und Rk vorkommen, kann ein einfacher Bruchstrich
für das Inverse von 1 − iRk verwendet werden. Die Matrix 1 − iRk in (5.67) ist im Allgemeinfall asymmetrisch und ihre Inversion daher schwierig. Zur Umformulierung von (5.67) mittels symmetrischer Matrizen
definieren die Strom-S-Matrix
S̃ = k1/2 S k−1/2
mit
−1/2
S̃ sn,s0 n0 = k1/2
sn S sn,s0 n0 k s0 n0 .
(5.68)
und die per Konstruktion symmetrische Omega-Matrix
Ω = k1/2 Rk1/2
mit
1/2
Ω sns0 n0 = k1/2
sn R sns0 n0 k s0 n0 .
(5.69)
Es folgt
S̃
=
−k1/2 (1 + iRk)k−1/2 k1/2 (1 − iRk)−1 k−1/2 = −(1 + iΩ)(k−1/2 )−1 (1 − iRk)−1 (k1/2 )−1
=
−(1 + iΩ)[k1/2 (1 − iRk)k−1/2 ]−1 = (−1 − iΩ)(1 − iΩ)−1
2
.
[−2 + (1 − iΩ)](1 − iΩ)−1 = 1 −
1 − iΩ
=
(5.70)
Hier haben wir angewendet, dass für drei quadratische Matrizen gilt (ABC)−1 = C −1 B−1 A−1 . Die Strom-SMatrix ist also symmetrisch und lässt sich im Wesentlichen durch Inversion von 1 − iΩ gewinnen.
In Kap. 3.6 wurde die Stromtransmission der sourceeinlaufenden Streuzustände
X
X
0
0
0
−1
Θ(E − E⊥n − V2 )Θ(E − E⊥n )|S̃ 2n,1n0 |2
Θ(E − E⊥n − V2 )Θ(E − E⊥n )k2n0 |t1,n n |2 k1n
=
(5.71)
T1 =
nn0
nn0
und die Stromtransmission der draineinlaufenden Streuzustände
X
X
0
0
0
−1
Θ(E − E⊥n )Θ(E − E⊥n − V2 )|S̃ 1n0 ,2n |2
Θ(E − E⊥n )Θ(E − E⊥n − V2 )k1n0 |t2,n n |2 k2n
=
T2 =
(5.72)
nn0
nn0
definiert. Zur Herleitung der Landauer-Büttikerformel wurde vorausgesetzt T 1 = T 2 = T . Diese Identität
ergibt sich aus der Symmetrie S̃ 2n,1n0 = S̃ 1n0 ,2n welche sich nach Gl. (5.70) aus der Symmetrie Ω2n,1n0 =
Ω1n0 ,2n ergibt, die aus (5.69) folgt.
5.6
5.6.1
Anwendung der R-Matrix Eigenfunktionsmethode auf planare
nanoFETs
Transistormodell
Das im folgenden diskutiere Transistormodell wurde in den Arbeiten [84] und ?? vorgestellt. Es wird das
in Abb. 5.2 (b) gezeigte, stückweise lineare Potenzial für die Ladungsträger in einem planaren nanoFET
verwendet.
Zunächst ist das Potenzial unabhängig von der Breitenrichtung z. Die endliche Breite des Transistors wird
allein durch die Randbedingungen
ψ(x, y, 0) = ψ(x, y, W) = 0
(5.73)
für die Wellenfunktionen repräsentiert. In der Source/Drain ist das Potenzial gegeben durch den in Abb. 5.3
(a) dargestellten Ansatz
V(~r ∈ Ω1 ) = V(x < x1 , y) = Vc (y)
und
V(~r ∈ Ω2 ) = V(x > x1 , y) = Vc (y) − qU D ,
(5.74)
mit der angelegte Drainspannung U D und
(
Vc (y) =
qUbi Θ(y − D) für y > 0
∞
für y < 0
(5.75)
66
KAPITEL 5. BERECHNUNG DER STROMTRANSMISSION - PLANARE NANOFETS
Abbildung 5.2: (a) Struktureinheiten eines planaren nanoFETs mit einem abrupten Übergang zwischen den
Kontakten und dem Leitungskanal. Rot gestrichelt: Schnitt durch die Source. blau gestrichelt: Schnitt durch
den Leitungskanal an dessen Anfang, i. e. bei x = x1 . (b) Einfaches, stückweise lineares Modellpotenzial.
Das Potenzial entlang des Schnittes durch die Source, Vc (y), ist in Gln. (5.74) und (5.75) angegeben und in
Abb. 5.3 (a) dargestellt. Das Potenzial entlang des Schnittes durch den Leitungskanal bei x = x1 , V2D (y), ist
in Gln. (5.79) angegeben und in Abb. 5.3 (b) dargestellt.
Dieses ist ein Potenzialtopf in y-Richtung der Breite D, die durch die Dotierungstiefe gegeben ist. Die Höhe
des Potenzialtopfes für y ≥ D entspricht dem built-in Potenzial qUbi zwischen dem n-Halbleiter in der n++ Source und dem p-Substrat. Wie beim pn-Übergang ist das built-in-Potenzial die Differenz der chemischen
Potenziale in der isolierten, hochgradig n-dotierten Source und im isolierten, schwach p-dotierten Substrat.
Das Potenzial im Inneren des geerdeten Sourcekontakts wird gleich Null gesetzt. Zur Gewinnung der Fermienergie und des chemischen Potenzials in der Source wird der Fall D → ∞ genommen, sodass wir vom
letzten Kapitel die Ausdrücke für das homogene dreidimensionale Fermigas
EF =
~2 2
~2 3π2 n0
kF =
∗
2m
2m∗ Nv
!2/3
.
(5.76)
5.6. R-MATRIX EIGENFUNKTIONSMETHODE UND NANOFETS
67
Abbildung 5.3: (a) In Rot: Das Einschlusspotenzial Vc aus Gln. (5.74) und (5.75) in der Source. Durch
die Breite des Potenzialtopfes D und die Dotierungsdichte wird das chemische Potenzial µ festgelegt. (b)
In Blau: Das stückweise lineare Einschlusspotenzial V2D im Leitungskanal (durchgezogen). In Gl. (5.79)
wird gemäß der gestrichelten Linie die Dreiecksnäherung auch im Bereich yW ≤ y ≤ D weitergeführt. In
Grün: Das unterste Niveau 0 der Quantisierung in V2D mit der Eigenfunktion ζ0 (y) (s. Gl. (5.91)). Schwarz
schraffiert: Abschnitt der Wellenfunktionen bei a = D zur Anwendung des vereinfachten Modells in Abb.
5.1.
und


!
 4 kB T −3/2 
 ,
µ = kB T X 12  √
3 π EF
(5.77)
übernehmen können. Das Potenzial im Streugebiet Ω0 lautet
V(~r ∈ Ω0 ) = V(x1 ≤ x ≤ x2 , y) = V2D (y) − qU D
x − x1
.
L
(5.78)
In diesem Ansatz wird angenommen, dass die angelegte Drainspannung U D zu einem im gesamten Leitungskanal der Länge L konstanten elektrischen Feld E x = U D /L führt. Weiterhin wird ein abrupter Übergang zwischen den Source/Drainkontakten und dem Leitungskanal angesetzt, sodass das Einschlusspotenzial V2D (y) unabhängig von x ist. Für das Einschlusspotenzial können wir z.B. eine Dreiecksnäherung
annehmen,
V2D (y > 0) = −Ey × (yW − y)Θ(yW − y) + Ubi
(5.79)
Im letzten Schritt haben wir das elektrische Feld Ey in y-Richtung im gesamten Bereich der Wellenfunktionen konstant angesetzt. Der Wert von Ey und die Kanalbreite yW hängen ab von der Gatespannung, der
Struktur des Gateisolators und von den Abschirmungsverhältnissen im Leitungskanal. Wir betrachten hier
die Potenzialbarriere zum Isolator als unendlich hoch, V2D (y ≤ 0) = ∞. Dieses entspricht einem Abschnitt
der Wellenfunktionen für y ≤ 0, was zu den Randbedingungen
ψ(x, 0, z) = ψ(x, D, z) = 0
führt, die dem vereinfachten Modell für ein mesoskopisches System in Abb. 5.1 entsprechen.
(5.80)
68
5.6.2
KAPITEL 5. BERECHNUNG DER STROMTRANSMISSION - PLANARE NANOFETS
Konstruktion der Wigner-Eisenbudfunktionen und -energien
Nach Gln. (5.58) und (5.59) sind die Wigner-Eisenbudfunktionen und -energien Lösung der Schrödingergleichung
"
!
#
~2 ∂2
∂2
∂2
− ∗
+
+
+
V(~
r
)
−
E
(5.81)
l χl (x, y, z) = 0,
2m ∂x2 ∂y2 ∂z2
mit ~r ∈ Ω0 . Zusätzlich existieren hermitesche Randbedingungen auf ∂Ω0
χl (x, 0, z) = χl (x, D, z) = χl (x, y, 0) = χl (x, y, W) = 0
(5.82)
χSl (x1 , y, z) = χSl (x2 , y, z) = 0.
(5.83)
sowie
Das Potenzial (5.78) im Streugebiet ein Potenzial ist separabel, denn es kann in die Form
V(~r) = VT (y, z) + VL (x)
(5.84)
gebracht werden. Ein Vergleich von Gl. (5.84) mit Gl. (5.78) führt auf
x − x1
.
(5.85)
L
Für ein seperables Potenzial der Form (5.84) ist der Produktansatz für die Wigner-Eisenbudfunktionen
VT (y, z) = V2D (y)
und
VL (x) = −qU D
χl (~r) = χλ (x)φk (y, z)
(5.86)
mit den in Gl. (5.58) definierten Wigner-Eisenbudenergien
El = EλL + EkT
(5.87)
geeignet. Hier sind die Transversalmoden φk (y, z) im Leitungskanal mit den Energien EkT die Lösungen der
Schrödingergleichung im Kanaleinschlusspotenzial VT (y, z),
"
!
#
d2
~2 d2
T
+
+ VT (y, z) − Ek φk (y, z) = 0.
(5.88)
− ∗
2m dy2 dz2
Hier gelten die Randbedingungen φk (0, z) = φk (D, z) = φk (y, 0) = φk (y, W) = 0. Weiterhin sind die χλ (x)
und EλL die Lösungen des Eigenwertproblems
"
#
~2 d2
L
− ∗ 2 + VL (x) − Eλ χλ (x) = 0,
(5.89)
2m dx
mit den Wigner-Eisenbud Randbedingungen χ0λ (x1 ) = χ0λ (x2 ) = 0. Der Wigner-Eisenbudindex l ist somit
gegeben durch l = (λ, k). Für das stückweise lineare Potenzial (5.78) erhalten wir mit VT (y, z) = V2D (y) aus
Gl. (5.88) die Transversalmoden im Kanal
r
!
!2
2
k2 π
~2 k2 π
k
φk (y, z) = ζk1 (y)
sin
z
und ET = k1 +
,
(5.90)
W
W
2m∗ W
wobei k → (k1 , k2 ). Hier sind die ζk und k die bekannten Subbandfunktionen und Subbandenergien im
MIS -Einschlusspotenzial V2D . Sie sind die Lösungen des Eigenwertproblems
"
#
~2 d2
− ∗ 2 + V2D (y) − k ζk (y) = 0
(5.91)
2m dy
mit den Randbedingungen ζk (0) = ζ(D) = 0. In Abb. 5.4 wird neben den beiden niedrigsten Subbandenergien 0 und 1 auch die Energie in y-Richtung E0 der untersten Transversalmode im Kontakt gezeigt,
~2 2 π 2
~2 nz π 2
n =1,n =1
E 0 = E⊥y z − n2z ∗
=
n
(5.92)
2m W
2m∗ y D
(s. Gl. (3.19), die erhaltene Energie in z-Richtung geht in die Auftragung nicht ein).
5.6. R-MATRIX EIGENFUNKTIONSMETHODE UND NANOFETS
69
Abbildung 5.4: (a) In Blau das Kanaleinschlusspotenzial V2D und in Rot das Einschlusspotenzial Vc der
Transversalmoden in der Source. In Grün die beiden untersten Subbandenergien 0 und 1 mit den dazugehörigen Subbandfunktionen ζ0 und ζ1 (s. Gl. (5.91). (b) Die Stromtransmission T 0 in Gl. (5.106) in Form
einer Stufenfunktion mit Stufenenergie k und Stufenhöhe eins. Rote Pfeile: Fabry-Perot Oszillationen.
70
KAPITEL 5. BERECHNUNG DER STROMTRANSMISSION - PLANARE NANOFETS
5.6.3
Berechnung der R-Matrix
Es gilt in Gl. (5.39) mit (5.86) und (5.90)
χl,sn
=
D
Z
Z
W
dzΦn (y, z)χl (x s , y, z)
!
Z D Z W
n π n π 2
k2 π
y
z
λ
= χ (x s ) √
dy
dz sin
y sin
z ζk1 (y) sin
z
D
W
W
0
DW 0
r Z
n π D
2
y
λ
dy sin
y ζk1 (y) ≡ χλ (x s )δk2 ,nz ζk1 ,ny .
= χ (x s )δk2 ,nz
D 0
D
dy
0
0
3/2
(5.93)
Dann folgt
R sn,s0 n0 = R s0 n0y n0z ,sny nz = −
~2 X χλ (x s )ζk1 ,ny δnz ,k2 χλ (x s0 )ζk1 ,n0y δn0z ,k2
xy
= δn0z ,nz R2d
k π 2
s0 n0y ,sny (E ).
xy
2m λ,k ,k
~2
L
2
E − Eλ − Ek1 − 2m∗ W
1 2
Hier ist
xy
R2d
s0 n0y ,sny (E ) = −
~2 X χλ (x s )ζk1 ,ny χλ (x s0 )ζk1 ,n0y
2m∗ λk
E xy − E Lλ − k1
(5.94)
(5.95)
1
mit der erhaltenen Energie der Bewegung in der x − y-Ebene
E xy = E −
~2 2 π 2
n
.
2m∗ z W
(5.96)
Es ergibt sich mit (5.69)
1/2
2d
xy
Ω sny ,nz s0 n0y nz (E) = k1/2
sny ,nz (E)R sn,s0 n0 (E)k s0 ny ,nz (E) = δn0z ,nz Ω s0 n0y ,sny (E ),
(5.97)
mit der zweidimensionalen Omegamatrix
xy
xy 1/2 2d
0 0
Ω2d
R s0 n0y ,sny (E xy )k sny (E xy )1/2
s0 n0y ,sny (E ) = k s ny (E )
(5.98)
und nach Gl. (3.16)
s
k sny ,nz =
"
!
# s ∗"
#
2
2
2m∗
~2
π
π
2m
~2 ny π 2
2
2
xy
E−
n
+ nz 2 − V s ) =
E −
− V s ≡ k sny (E xy ) (5.99)
2m∗ y D2
2m∗ D
~2
W
~2
Die Gleichung (5.70)
S̃ = 1 −
2
1 − iΩ
(5.100)
lässt sich mit dem Ansatz
xy
S̃ s0 n0z n0y ,snz ny (E) = δn0z ,nz S̃ 2d
s0 n0y ,sny (E )
(5.101)
lösen, mit der zweidimensionalen Transmissionsfunktion
S̃ 2d = 1 −
2
.
1 − iΩ2d
(5.102)
5.6. R-MATRIX EIGENFUNKTIONSMETHODE UND NANOFETS
5.6.4
71
Stromtransmission und Drainstrom
Aus (5.71) ergibt sich
X
T (E) =
n0 n0
nn
Θ(E − E⊥y z − V2 )Θ(E − E⊥y z )|S̃ 2n0y ,n0z ,1ny ,nz (E)|2
n0y n0z ny nz
=
XX
nz ny n0y

# 
0 !2
 2d
~2 ny π
~2 ny π 2  xy
xy 2
Θ E −
+ eU D  |S̃ 2n
)|
Θ E −
0 ,1n (E
y
y
2m∗ D
2m∗ D
"
xy
(5.103)
mit V2 = −eU D und
E−
nn
E⊥y z
"
#
~2 ny π 2
~2 ny π 2 nz π 2
xy
+
=
E
(n
)
−
.
=E−
z
2m∗
D
W
2m∗ D
(5.104)
Es lässt sich zudem (5.103) auf die Form
T=
X
T 0 [E xy (nz )]
(5.105)

# 
"
0 !2

~2 ny π
~2 ny π 2  xy
+
eU
Θ
E
−
Θ E xy −
 |S̃ 2n0y ,n0z ,1ny ,nz |2 .

D
∗
∗
2m D
2m
D
(5.106)
nz
bringen mit
T 0 (E xy ) =
X
ny n0y
Ein aus Ref. [84] entnommenes Ergebnis für die Stromtransmission ist in Abb. 5.4 dargestellt: Die Stromtransmission T 0 nimmt als Funktion von E xy die Form einer Abfolge von Stufen der Höhe eins an. Der
Übergang zwischen Stufe k und Stufe k + 1 erfolgt, wenn E xy mit der Energie k des k-ten Subbandbodens übereinstimmt. Dieses entspricht der Stromtransmission in einem Punktkontakt zwischen zwei halbunendlichen zweidimensionalen Elektronengasen (s. Abb. 5.5). Jeder Transmissionsstufe überlagert sind
Fabry-Perot Oszillationen. Sie entstehen durch wiederholte Hin- und Rückreflektionen. Die Ahängigkeit
der Stromtranmsmission von der Drainspannung ist in Abb. 5.6 gezeigt: Mit zunehmender Drainspannung,
verbreitert sich der Übergangsbereich zwischen den Stufen, d. h. die Stufen werden ausgewaschen.
72
KAPITEL 5. BERECHNUNG DER STROMTRANSMISSION - PLANARE NANOFETS
Abbildung 5.5: Transmissionsstufen in der Leitfähigkeit = Stromtransmission bei kleinen Drainspannungen
in einem Punktkontakt zwischen zwei halbunendlichen zweidimensionalen Elektronengasen (2DEG), nach
[135].
5.6. R-MATRIX EIGENFUNKTIONSMETHODE UND NANOFETS
73
Abbildung 5.6: Stromtransmission vs. Gesamtenergie für verschiedene Drainspannungen U D bei W = 10nm
und L = 50nm und T = 0K, volles 3D-Modell (durchgezogen) und SMAT (gestrichelt). Schattiert der für
den Transport bei T = 0 relevante Energiebereich zwischen µD = µ − qU D und µ. Der Pfeil markiert
die Schwellenergie E0T in Gl. (??). Die weiteren Parameter in dieser und Abb. 5.7 befinden sich in der
Beschreibung von Abb. 3 in [102].
Abschließend wird der Drainstrom mit der Landauer-Büttiker Formel ermittelt (s. auch [103])
ID
=
=
=
=
=
Z
2e ∞
dE f (E − µ) − f (E − µ + eU D ) T (E)
h 0
Z ∞
2
2e X
n0 n0
nn dE f (E − µ) − f (E − µ + eU D ) Θ(E − E⊥y z + eU D )Θ(E − E⊥y z ) S̃ 2n0y ,n0z ,1ny ,nz (E)
h n0 n0 n n 0
y z y z
"
!
!#
X
XZ ∞
~2 nz π 2
~2 nz π 2
2e
xy
xy
xy
dE f E +
−µ − f E +
− µ + eU D
h n n n0 0
2m∗ W
2m∗ W
z
y y

# 
"
0 !2
2
 2d
~2 ny π
~2 ny π 2  xy
xy
 S̃ 0 (E xy )
Θ
E
−
+
eU
×Θ E −

D

2ny ,1ny
2m∗ D
2m∗ D
Z
2e X ∞ xy dE S (E xy − µ) − S (E xy − µ + eU D )
h n n0 0
y y

# 
"
0 !2
2
 2d
~2 ny π 2  xy
~2 ny π
xy
S̃ 0 (E xy )

×Θ E −
Θ
E
−
+
eU


D

 2ny ,1ny
2m∗ D
2m∗ D
Z ∞
2e
dE xy S (E xy − µ) − S (E xy − µ + eU D ) Tr(σσ† ),
(5.107)
h 0
74
KAPITEL 5. BERECHNUNG DER STROMTRANSMISSION - PLANARE NANOFETS
mit der Supplyfunktion
S () =
X
nz
!
~2 nz π 2
f +
.
2m∗ W
(5.108)
und der Matrix

# 
"
0 !2
 2d
~2 ny π
~2 ny π 2  xy
Θ
E
−
+
eU
σn0y ny = Θ E xy −

 S̃ 2n0y ,1ny (E xy )
D
∗
∗
2m D
2m
D
(5.109)
(s. Übung (9.1). Die mit (5.107) berechneten Drainströme führen auf die im oberen Teil von Abb. 5.7 dargestellten Ausgangskennlinien eines Nanotransistors. Sie zeigen ein ähnliches Verhalten wie die im unteren
Teil der Abbildung gezeigten experimentellen Kennlinien.
5.7
Die Quantum Transmitting Boundary Method (QTB Methode)
In Gl. (9.30) setzen wir b sn = −ik sn , sodass W sn = −ik sn ψ−sn Es folgt aus (9.32)
Pl = −
~2 X
ik sn χl,sn ψin
sn
m sn
(5.110)
in Übereinstimmung mit Gl. (44) in Ref. [108]. Aus Gl. (9.34) ergibt sich
Cll0 = −
~2 X
ik sn χl,sn χl0 ,sn .
2m sn
(5.111)
in Übereinstimmung mit Gl. (45) in Ref. [108]. Die Matrizen H, T und V sind von b sn und äquivalent zu
denen in Ref. [108]. Das Endresultat Gl. (51) in Ref. [108] ist daher äquivalent zu Gl. (5.55). Aus (9.43)
gewinnen wir R und (5.34) führt auf
S = −(1 + 2Rik),
(5.112)
d. h. es ist hier keine Inversion nötig. In Ref. [108] werden für die Basisfunktionen χl Hütchenfunktionen
verwendet, wodurch eine Finite-Elemente Anwendung entsteht.
5.7. DIE QUANTUM TRANSMITTING BOUNDARY METHOD (QTB METHODE)
75
Abbildung 5.7: Oben Ausgangskennlinien eines Transistors mit W = 10nm und L = 10nm und T = 0K.
Ausgangskennlinien eines breiten Transistors von INTEL mit L = 10nm nach [15].
Kapitel 6
Quantitatives semiempirisches
Transistormodell mit Anwendung
planarer Transistor
6.1
Einleitung
Im vorherigen Kapitel haben wir ein dreidimensionales Transistormodell entwickelt, in welches die wesentlichen Aspekte eines Transistors in relativ einfacher Form eingehen. Die Transporteigenschaften eines
solchen prototypischen Transistors wurden mittels R-Matrix-Eigenfunktionsentwicklung berechnet. Das
Resultat war eine qualitative Übereinstimmung mit gemessenen Kennlinien.
Für die Weiterentwicklung der Theorie stellt sich natürlich die Frage nach einer quantitativen Überprüfung.
Hierfür wäre eine komplette Transistortheorie mit selbstkonsistenter Berechnung des Potenzials unter erheblichem Aufwand möglich. In dieser Vorlesung wird jedoch ein anderer Weg eingeschlagen. Unsere
Theorie wird weiter vereinfacht, sodass ein semiempirisches Transistormodell entsteht wenigen dimensionslosen Transistorparametern, die physikalisch interpretierbar sind. Es stellt sich heraus, dass die Kennlinien von sechs experimentellen Transistoren im semiempirischen Transistormodell sehr gut angepasst werden
können. Hierbei bewegen sich die Transistorparameter - normierte Temperatur, Source-Drainbarrierenhöhe
und Wellenfunktionsüberlapp - quantitativ im richtigen Rahmen und ergeben ein interessantes Bild über die
Vorgänge im Transistor[132].
Kernpunkt der Herleitung des semiempirischen Transistormodells ist die analytische Inversion der Matrix
1 − iRk, die in Abschnitt (10.2.1) behandelt wird. Diese Inversion ermöglicht die systematische Einführung
einer Einniveaunäherung, in der nur das unterste elektrische Subband im Leitungskanal berücksichtigt wird
(s. Abschnitt 6.2). Die Anpassung der Einniveaunäherung an das Experiment wird in Abschnitt 6.4 dargestellt.
76
6.2. STROM-S-MATRIX EINES PLANAREN NANOFETS IN EFFEKTIVER EINNIVEAUNÄHERUNG77
6.2
Strom-S-Matrix eines planaren nanoFETs in effektiver Einniveaunäherung
In Kapitel (5.6) wurde für den Drainstrom eines planaren Nanotransistors die Formel (5.107)
ID
=
∞
Z
2e X
h n n0
dE xy S (E xy − µ) − S (E xy − µ + eU D )
0
y y

# 
0 !2
2
 2d
~2 ny π 2  xy
~2 ny π
xy 
×Θ E −
S̃
(E
)
Θ
E
−
+
eU


0
D  2ny ,1ny

2m∗ D
2m∗ D
Z
2e X ∞ xy dE S (E xy − µ) − S (E xy − µ + eU D )
h n n0 0
y y
2
 "
!
# 
0 !2
 2
~2 ny π 2  xy
~2 ny π
xy

×Θ E −
+ eU D  Θ E −
∗
∗
2d
2m D
2m
D
1 − iΩ 2n0y ,1ny "
xy
=
(6.1)
hergeleitet, mit der zweidimensionalen Omegamatrix (5.98)
xy
xy 1/2 2d
0 0
Ω2d
R s0 n0y ,sny (E xy )k sny (E xy )1/2 ,
s0 n0y ,sny (E ) = k s ny (E )
(6.2)
und
xy
R2d
s0 n0y ,sny (E ) = −
~2 X χλ (x s )ζk1 ,ny χλ (x s0 )ζk1 ,n0y
2m∗ λk
E xy − E Lλ − k1
(6.3)
1
(s. Gln (5.101) und (5.102)). In effektiver Näherung wird angesetzt
s
k sny (E xy ) =
"
# s ∗"
#
2m∗ xy
~2 ny π 2
2m
~2 π 2
xy
E −
E −
− Vs ∼
+ V s = kes f (E xy ). (6.4)
2m∗ D
2m∗ D
~2
~2
Es lässt sich dann darstellen
Ω2d
s0 n0y ,sny =
X
ζk1 ,ny ζk1 ,n0y Ω̂ks01s
(6.5)
k1
mit
Ω̂ks01s = −
~2 e f f 1/2 e f f 1/2 X χλ (x s )χλ (x s0 )
(k 0 ) (k s )
.
2m∗ s
E xy − E Lλ − k1
λ
(6.6)
Die Inversion von 1 − iΩ2d in Gl. (6.12) kann nun analytisch ausgeführt werden mit dem Ergebnis
1
1 − iΩ2d
!
=
sny s0 n0y
X
k1
ζk1 ,ny ζk1 ,n0y
1
1 − iΩ̂k1
!
,
ss0
(6.7)
78
KAPITEL 6. QUANTITATIVES SEMIEMPIRISCHES TRANSISTORMODELL
Dies kann explizit verifiziert werden
"
!#
!
X
1
1
2d
00
00
(1 − iΩ2d )
=
(1
−
iΩ
)
sy n,s ny
1 − iΩ2d sny s0 n0y s00 n00
1 − iΩ2d s00 n00y ,s0 n0y
y
!
X
1
=
δ sny ,s00 n00y − iΩ2d
sny ,s00 n00y
1 − iΩ2d s00 n00y ,s0 n0y
s00 n00y
!
X h
i
1
k1
=
ζk1 ,ny ζk1 ,n00y δ s,s00 − iζk1 ,ny ζk1 ,n00y Ω̂ ss00 ζk0 ,n00y ζk0 ,n0y
0
1 − iΩ̂k1 s00 s0
s00 n00y k1 k10
!
X
h
i
1
=
ζk1 ,y n ζk1 ,n00y ζk10 ,n00y ζk10 ,y n0 δ s,s00 − iΩ̂kss1 00
0
| {z }
1 − iΩ̂k1 s00 s0
s00 n00y k1 k0
δk 1 k 0
1
1
X
=
h
i
ζk,n δk1 ,k10 ζk10 ,n0y 1 − iΩ̂k1
s00 k1 k10
X
=
h
i
ζk1 ,ny ζk1 ,n0y 1 − iΩ̂k1
s00 k1
"
ss00
!
1
1 − iΩ̂k1
#
0
ss00
1
1 − iΩ̂k1
s00 s0
= δ ss0
s00 s0
X
ζk1 n ζk1 n0y = δ ss0 δny n0y .
Hier haben wir die Orthonormalitäts- und die Vollständigkeitsrelation
X
X
ζk,n ζk0 ,n = δkk0
und
ζk,n ζk,n0 = δnn0
n
(6.8)
k1
(6.9)
k
verwendet. Wir finden somit
=
=
2 !
! 2
X
1
2
= ζk1 ,ny ζk1 ,n0y
2d
k1
1 − iΩ 2n0y ,1ny 1 − iΩ̂k1 21 !
!∗
X
X
1
1
0
0
0
0
×
ζk ,ny ζk1 ,ny
ζk1 ,ny ζk1 ,ny
0
1 − iΩ̂k1 21 k0 1
1 − iΩ̂k1 21
k1
1
!
!∗
X
1
1
ζk1 ,ny ζk1 ,n0y ζk10 ,ny ζk10 ,n0y
.
0
1 − iΩ̂k1 21 1 − iΩ̂k1 21
k1 k 0
(6.10)
1
Mit dieser Beziehung wird (6.12) zu
Z ∞
2e X
ID =
dE xy S (E xy − µ) − S (E xy − µ + eU D )
h n n0 k k 0 0
y y 1 1

"
# 
0 !2

~2 ny π 2  xy
~2 ny π
× Θ E xy −
Θ
E
−
+
eU


D
∗
∗
2m D
2m
D
!
!∗
1
1
× ζk1 ,ny ζk1 ,n0y ζk10 ,ny ζk10 ,n0y
(6.11)
0
1 − iΩ̂k1 21 1 − iΩ̂k1 21
!
!∗
Z
2e X ∞ xy
1
1
=
dE Ck1 k10 (E xy ) S (E xy − µ) − S (E xy − µ + eU D )
0
h k k0 0
1 − iΩ̂k1 21 1 − iΩ̂k1 21
1
1
mit der Überlappmatrix
Ck1 k10 (E ) =
xy
X
ny ,n0y
"
ζk1 ,ny ζk1 ,n0y ζk10 ,ny ζk20 ,n0y Θ
1

# 
0 !2

~2 ny π 2  xy
~2 ny π
Θ E −
E −
+ eU D  .
∗
∗
2m D
2m
D
xy
(6.12)
6.3. BERECHNUNG DER EFFEKTIVEN STROM-TRANSMISSION DURCH EIN EINDIMENSIONALES EFFEKTIVES S
In effektiver Einniveaunäherung wird nur der Term k1 = k10 = 1 berücksichtigt,
Z
2e ∞ xy
dE C11 (E xy ) S (E xy − µ) − S (E xy − µ + eU D ) T e f
ID =
h 0
Z ∞
2e
∼
C
dE xy S (E xy − µ) − S (E xy − µ + eU D ) T e f ,
h
0
(6.13)
mit dem energieunabhängig genäherten Überlappfaktor C ∼ C11 (E xy ) und der effektiven Strom-Transmission
! 2
2
ef
.
(6.14)
T =
1 − iΩ̂1 21 6.3
Berechnung der effektiven Strom-Transmission durch ein eindimensionales effektives Streuproblem
Für praktische Berechnungen ist folgender Sachverhalt nützlich: Die effektive Stromtransmission T e f in
(6.14) ist identisch mit der Stromtransmission T 1d in einem eindimensionalen effektiven Streuproblem,
welches definiert ist durch die Schrödingergleichung
"
#
~2 d2
ef
− ∗ 2 + V (x) − E ψe f (x) = 0
(6.15)
2m dx
mit dem Streupotenzial
 11

E


 ⊥1
+ VL (x) = ET1 − eU D Lx
E
V (x) = 


 ET11 − eU
D
⊥
ef
für x < 0
für 0 ≤ x ≤ L
für x ≥ L
(6.16)
(x1 = 0, x2 = L, s. Abb. 10.1). Hier ist nach (5.90)
ET1 = 1 +
~2 π 2
2m∗ W
(6.17)
mit der niedrigsten Subbandenergie 1 und nach (3.19)
E⊥n
=E
ny nz
~2
=
2m∗
 2 2

 ny π
n2z π2 
 .
 2 +
D
W2 
(6.18)
Die Asymptotik der sourceeinlaufenden Streuzustände des zu (10.23) gehörigen Streuproblems lautet für
den Sourcekontakt
ef
ef
ef
1d −ik1e f x
ψe f (x < 0) = eik1 x + r1d e−ik1 x = eik1 x + S 11
e
,
(6.19)
und für die Drain
ef
ψe f (x ≥ L) = t1d eik2
(x−L)
ef
1d ik2
= S 12
e
(x−L)
.
Hier ist S 1d die 2 × 2 S-Matrix des eindimensionalen Streuproblems und wie in Gl. (6.4)
r
∗
+ 2m
ef
ks =
(E − E⊥11 − V s ).
2
~
Die Stromtransmission T 1d des eindimensionalen Streuproblems ist daher gegeben durch
1d 2 e f −1
(k1 ) .
T 1d = k2e f S 12
(6.20)
(6.21)
(6.22)
80
KAPITEL 6. QUANTITATIVES SEMIEMPIRISCHES TRANSISTORMODELL
Wir zeigen im Folgenden: Es gilt
T
wobei nach (6.6)
Ω̂1s0 s = −
1d
=T
ef
! 2
2
=
,
1 − iΩ̂1 21 (6.23)
~2 e f f 1/2 e f f 1/2 X χλ (x s )χλ (x s0 )
(k 0 ) (k s )
.
2m∗ s
E xy − E Lλ − 1
λ
(6.24)
Abbildung 6.1: Das effektive Potenzal v( x̂) = V(x)/E F in Gln. (10.24) und (6.55) mit E⊥11 = 0 und v0 =
ET1 /E F .
Beweis: Die Wigner-Eisenbudfunktionen sind Lösungen des hermiteschen Eigenwertproblems
"
#
~2 d2
x
− ∗ 2 − eU D − E Lλ χλ (x) = 0
2m dx
L
(6.25)
mit den von-Neumann-Randbedingungen
χ0λ (0) = χ0λ (L) = 0.
(6.26)
Sie bilden daher ein vollständiges normiertes Orthonormalsystem, in das wir die ψe f entwickeln können.
Für x ∈ [0, L] schreiben wir unter Vereinfachung der Schreibweise
ψe f (x) ≡ ψ(x) =
∞
X
aλ (E)χλ (x),
(6.27)
λ=1
wobei
aλ (E) =
Z
L
ψ(x)χλ (x)dx.
(6.28)
0
Linksseitige Multiplikation von Gl. (10.23) mit χλ (x) und linksseitige Multiplikation von Gl. (6.25) mit
ψ(x) führt nach Integration auf
"
# Z L
Z L
d2
d2
~2
dx χλ (x) 2 ψ(x) − ψ(x) 2 χλ (x) = E − ET1 − E Lλ
dx ψ(x)χl (x) .
−
2m 0
dx
dx
|0
{z
}
aλ (E)
Die linke Seite kann partiell integriert werden und unter Verwendung der von-Neumann-Randbedingungen
(6.26 folgt, dass
"
# ~2
dψ
dψ
(6.29)
χλ (0) (0) − χλ (L) (L) = E − ET1 − E Lλ aλ (E)
2m
dx
dx
6.3. EINDIMENSIONALES EFFEKTIVES STREUPROBLEM
81
Wir führen die nach außen gerichtete Normalableitungen
ψS (0) = −
ein und erhalten
−
dψ
|0
dx
ψS (L) =
sowie
dψ
|L
dx
~2 χλ (0)ψS (0) + χλ (L)ψS (L)
= aλ .
2m
E − ET1 − E Lλ
(6.30)
(6.31)
Wir multiplizieren nun mit χλ (x) und summieren über λ. Unter Verwendung von (6.27) findet man
ψ(x) =
∞
X
aλ (E)χλ (x) = R1d (x, 0)ψS (0) + R1d (x, L)ψS (L),
(6.32)
λ=1
mit
R1d (x, x0 ) = −
∞
~2 X χλ (x)χλ (x0 )
.
2m∗ λ=1 E − ET1 − E Lλ
Die Auswertung der letzteren Gleichungen für die x s erbringt
X
ψ(x s ) =
R1d
oder
ss0 ψS (x s0 )
~ = R1d ψ
~S .
ψ
(6.33)
(6.34)
s0
Auf der rechten Seite werden die 2 × 2-Matrix
(R1d ) ss0 = R1d
ss0 =
∞
~2 X χλ (x s )χλ (x s0 )
2m∗ λ=1 E − ET1 − Eλ
(6.35)
~ S ) s = ψS (x s )
(ψ
(6.36)
und die zweikomponentigen Vektoren
~ ) s = ψ(x s )
(ψ
und
eingeführt. Wir konstruieren nun die Beziehung zwischen der Matrix R1d und der S-Matrix S 1d . Zur Definition von S 1d zerlegen wir die allgemeine Wellenfunktion in den Kontakten in einen einlaufenden und einen
auslaufenden Teil, ψ(x) = ψein (x) + ψaus (x), mit

ef


für x < 0
ψein
eik1 x

1


(6.37)
ψein (x) = 



 ψein e−ik2e f (x−L) für x > L
2
und

ef
−ik1 x


ψaus

1 e


ψaus (x) = 



 ψaus eik2e f (x−L)
2
Es gelte nun die lineare Abbildung
für x < 0
(6.38)
für x > L.
~ aus = S 1d ψ
~ ein
ψ
(6.39)
zwischen den zweikomponentigen Vektoren
~ ein ) s = ψein
(ψ
s
und
~ aus ) s = ψaus
(ψ
s .
(6.40)
Unter Verwendung der Beziehungen (6.37) und (6.38) ergibt sich für x ≤ 0
dψein
= ik1e f ψein
dx
und
dψaus
= −ik1 ψaus ,
dx
(6.41)
82
KAPITEL 6. QUANTITATIVES SEMIEMPIRISCHES TRANSISTORMODELL
und für x ≥ L
dψein
= −ik2e f ψein
dx
Es folgt
dψaus
= ik2 ψaus .
dx
und
(6.42)
~ ein ,
~ aus − ik1d ψ
~ S = ik1d ψ
ψ
(6.43)
δ ss0 kes f .
mit der diagonalen Wellenzahlmatrix (k ) ss0 =
Mit (6.34) und (6.43) ergibt sich
~ aus = iR1d k1d + 1 ψ
~ ein ,
iR1d k1d − 1 ψ
1d
(6.44)
und mit (6.39)
1 + iR1d k1d
.
1 − iR1d k1d
Für die Stromtransmissionsmatrix erhalten wir gemäß
S 1d = −
S̃ 1d = (k1d )1/2 S 1d (k1d )−1/2 = −
und
(6.45)
1 + iΩ1d
2
=1−
1d
1 − iΩ
1 − iΩ1d
2
1d 2 2
.
= T 1d = S̃ 21
1 − iΩ1d (6.46)
(6.47)
Hier ist
(Ω1d ) ss0
=
i
h
(k1d )1/2 R1d (k1d )1/2
=
(kes f )1/2 (kes0f )1 /2
ss0
ef 1
e f 1/2 e f 1
= (kes f )1/2 R1d
(k s0 ) /2
ss0 (k s0 ) /2 = (k s )
∞
~2 X
χλ (x s )χλ (x s0 )
2m∗ λ=1 E − − ~2 π 2 − E λ
1
L
2m∗ W
∞
~2 X χλ (x s )χλ (x s0 )
,
2m∗ λ=1 E xy − 1 − E Lλ
(6.48)
wobei Gln. (6.17) und (verwendet wurden. Ein Vergleich mit (6.24) zeigt unmittelbar
Ω̂1 = Ω1d
6.4
6.4.1
⇒
T e f = T 1d .
(6.49)
Anpassung der Einniveaunäherung an das Experiment
Skalierung der Grundgleichungen und dimensionslose Transistorparameter
Wir schreiben Gl. (10.28) in der Form
Z ∞ h
i
I
i=
=C
d fˆ( − m) − fˆ( − m + vD ) T̂ () = i(v0 , u, C, vD , l).
I0
0
(6.50)
Hier wurden energetische Größen auf die Fermienergie im Sourcekontakt normiert, sodass = E/E F und
vD = eU D /E F . In die entstehende Stromnormierung
q
I0 = Nvch E F
h
(6.51)
wurde zusätzlich die Valley-Entartung im Leitungskanal Nvch aufgenommen. Für das chemische Potenzial
in der Source nehmen wir den bereits hergeleiteten Ausdruck für das dreidimensionalen Fermigas
!
µ
4
m=
= uX 12
(6.52)
√ u−3/2 ,
EF
3 π
6.4. ANPASSUNG DER EINNIVEAUNÄHERUNG AN DAS EXPERIMENT
83
wobei X1/2 die Umkehrfunktion zu F1/2 ist und u = kB T/E F die normierte Bauelementtemperatur. Es gilt
−m
−1
fˆ( − m) = e u + 1 = f (E − µ)
(6.53)
und analog T̂ () = T e f (E). In Gl. (6.61) zeigen wir: Die normierte Stromtransmission T̂ () kann aus den
Streulösungen der skalierten effektiven Schrödingergleichung (10.23)
#
"
1 d2
(6.54)
− 2 2 + v( x̂) − ψ̂( x̂) = 0
l d x̂
√
berechnet werden. In (6.54) ist l = L/λ die charakteristische Länge des Leitungskanals mit λ = ~/ 2mE F .
Weiterhin ist x̂ = x/L und ψ̂( x̂) = ψe f (x). Das skalierte effektive Potenzial v( x̂) = V(x)/E F ist


0
für x < 0



v
−
v
x̂
für 0 ≤ x̂ ≤ 1
v( x̂) = 
(6.55)
0
D


 −v
für x̂ ≥ 1
D
(s. Abb. 10.1). Hier haben wir unter der Annahme breiter und tiefer Kontakte E⊥11 = 0 in (10.24) gesetzt
und definiert v0 = ET1 /E F sowie vD = eU D /E F . Es werden dann (numerisch) die sourceeinlaufenden
Streuzustände der skalierten effektiven Schrödingergleichung bestimmt. Sie weisen die Asymptotiken
√
(6.56)
ψ̂( x̂ < 0) = eik̂1 x̂ + r̂()e−ik̂1 x̂ mit k̂1 = l und
ψ̂( x̂ > 1) = tˆ()eik̂2 ( x̂−1)
mit
√
k̂2 = l + vD
(6.57)
auf. Gleichung (6.56) führt auf
r
√
L 2mE F
E
k̂1 = l =
= Lkes f .
~
EF
√
(6.58)
Analog gilt k̂2 = Lk2e f . Mit Gln. (10.26) und (6.57) folgt
ψ̂( x̂ > 1, ) = ψe f (x > L, E)
⇒
tˆ()eik̂2 ( x̂−1) = te f (E)eik2 (x−L) .
(6.59)
Mit k̂2 ( x̂ − 1) = k2 (x − L) erhalten wir aus diesem Vergleich
tˆ() = te f (E).
(6.60)
Es resultiert unter Verwendung von (6.58) und (6.60) somit
T e f () = k2e f (E)|te f (E)|2 k1e f (E)−1 = [Lk̂2 ()]|tˆ()|2 [Lk̂1 ()]−1 = k̂2 ()|tˆ()|2 k̂1 (ˆ )−1 = T̂ ().
(6.61)
Es ist ersichtlich, dass in die Berechnung von i nach den skalierten Grundgleichungen (6.50) - (6.55) lediglich fünf dimensionslose Transistorparameter v0 , u, C, vD , l eingehen. Da die Fermienergie E F des freien
Elektronengases im Sourcekontakt aus der dortigen Dotierungsdichte berechenbar ist, kann aus (6.51) die
Größe I0 berechnet werden. Weiterhin folgen mit E F aus der Drainspannung U D der Parameter vD und aus
der Kanallänge L die charakteristische Länge l = L/λ. Wir können daher bei gegebener experimenteller
Drainspannung die theoretische Stromstärke I th als Funktion der unbekannten Parameter v0 , u, C mit (6.50)
in der Form
!
qU D
th
, l = L/λ
(6.62)
I (U D , v0 , u, C) = I0 i v0 , u, C, vD =
EF
angeben. Im Folgenden wird gezeigt, wie die unbekannten Parameter v0 , u, C durch Anpassung an experimentelle Ausgangskennlinien eines Transistors gewonnen werden können.
84
6.4.2
KAPITEL 6. QUANTITATIVES SEMIEMPIRISCHES TRANSISTORMODELL
Minimierung der Standardabweichung und Kalibrierungsfunktionen
In (6.50) gibt es keine explizite Abhängigkeit des Drainstroms von der Gatespannung. Für die drei unbekannten Transistorparameter v0 , u und C führen wir drei Kalibrierungsfunktionen v0 (UG ), u(UG ), und
C(UG ) ein, die eine Gatespannungsabhängigkeit erzeugen. Die eventuelle Drainspannungsabhängigkeit von
v0 , u und C wird also vernachlässigt. Im Falle der Barrierenhöhe v0 wird angenommen, dass nahezu die
gesamte Drainspannung im Kanal abfällt und nur zu einer vernachlässigbaren Erniedrigung der SourceDrainbarrierenhöhe v0 führt (Drain Induced Barrier Lowering, DIBL). Weiterhin wird angenommen, dass
die transversale Form des Kanals und somit der Überlappparameter C drainspannungsunabhängig ist. Die
Drainspannungsabhängigkeit des Transistortemperaturparameters ist gerechtfertigt für den gesperrten Transistor und im Schaltbereich zum geöffneten Transistor. In diesen Bereichen ist die Ohmsche Erwärmung des
Bauelements vernachlässigbar.
Die Kalibrierungsfunktionen werden bestimmt durch die Minimierung der Standardabweichung
v
u
t
#2
N "
1 X I exp (U Di , UG ) − I th (U Di , v0 , u, C)
(6.63)
∆Irms (UG ) =
N i
I exp (U Di , UG )
bei gegebenen UG . Hier ist I exp (U Di , UG ) der an N äquidistanten Drainspannungen U Di gemessene experimentelle Drainstrom. Der theoretische Strom I th ist durch Gl. (6.62) festgelegt. Die Werte von (v0 , u, C),
welche zum Minimum von ∆Irms (UG ) führen ergeben die Kalibrierungsfunktionen v0 (UG ), u(UG ), und
C(UG ). Man erhält schließlich den kalibrierten theoretischen Strom als
I cal (U D , UG ) = I th [v0 (UG ), u(UG ), C(UG ), qU D /E F , L/λ].
(6.64)
6.5. ERGEBNISSE
85
Abbildung 6.2: Experimental output characteristics J exp (magenta squares) and calibrated current J cal (black
lines) at room temperature.
6.5
Ergebnisse
We include in Fig. 6.2 the experimental- and theoretical output characteristics of four nanoFETs fabricated
by GLOBALFOUNDRIES[?] which we denote with B1-B4. A remarkable quantitative agreement is found.
Furthermore, Fig. 6.3 contains the transfer characteristics of B1-B4 as well as the transfer characteristics
of three further transistors A1-A3 by GLOBALFOUNDRIES. The latter three transistors were subject of
a previous study[132] where quantitative agreement between experiment and theory has been found for
A1-A3 as for B1-B4.
For all seven transistors three characteristic gate voltage regimes can be distinguished: The OFF-state regime for gate voltages UG . 0.45V, the threshold regime for 0.45V . UG . 0.8V, and the ON-state regime
for UG & 0.8V. In the OFF-state the drain current increases close to exponentially with the gate voltage
corresponding to a sub-threshold swing of S ∼ 100mV/dec. In the ON-state there is a quasi-saturation of
the drain current. Owing to the size of the ON-state saturation current one can distinguish three groups,
namely group 1 (G1) consisting of B3 and B4 showing a high saturation current, group 2 (G2) consisting of
B1 and B2 with an intermediate saturation current, and group three (G3) consisting of A1 − A3 with a small
saturation current.
The calibration functions arising from the minimization of ∆Jrms in Eq. (6.63) are shown in Figs. 6.4 and
6.5: In the OFF-state the height of source-drain barrier of all devices exceeds the chemical potential by
much more than the thermal energy u. This means that only exponentially small tunneling currents occur.
Because of the resulting small drain current Joule heating is negligible and the transistor temperature stays
86
KAPITEL 6. QUANTITATIVES SEMIEMPIRISCHES TRANSISTORMODELL
Abbildung 6.3: Experimental transfer characteristics at U D = 0.1V and at room temperature. Solid lines for
G1 with good channel coupling (B3 and B4), dash-dotted lines for G2 with intermediate channel coupling
(B1 and B2), and dashed lines for G3 with poor channel coupling (A1-A3, taken from Ref. [104]); blue
L = 30nm, red L = 26, and green L = 22nm.
Abbildung 6.4: Barrier height calibration function (solid lines), chemical potential (dashed), and temperature calibration function (dash-dotted) for G1 (left), G2 (middle), and G3 (right).
6.5. ERGEBNISSE
87
Abbildung 6.5: Overlap parameter (above) and gate capacitance (below) for G1 in (a) and (d), for G2 in (b)
and (e), and for G3 in (c) and (f).
close to the room temperature value of u ∼ 0.1. With increasing gate voltage the barrier height decreases
linearly, v0 ∼ 2 − 2UG [V], where UG [V] is the gate voltage in volts. In the threshold regime the barrier
height is lowered enough so that it becomes comparable to the chemical potential within the thermal energy. Then thermally activated classically allowed transport sets in leading to an increased drain current. In
consequence, heating of the transistor starts and the chemical potential decreases. In the center of the threshold regime the barrier height of all nanoFETs crosses the chemical potential. At further increased gate
voltages, in the ON-state, the three groups of nanoFETs exhibit qualitative differences: For G1 the chemical
potential is located well above the barrier allowing for classically allowed transport even without thermal
activation. For G2 the chemical potential and the barrier height stay close to each other so that classically
allowed transport essentially can occur only with thermal activation. In agreement, the temperature of the
G2-transistors is higher than that of the G1-transistors even though in G2 the drain current is smaller than in
G1. This finding can be explained by a smaller thermal conductance in G2. In G3 the barrier height is larger
than the chemical potential in the source by a margin comparable to the thermal energy. This indicates that
apart from thermally activated classically allowed transport tunneling plays an important role. It is seen
that heating in G3 is even stronger than in G2 at significantly smaller drain currents. It follows that heat
conduction as well as saturation current decrease in the sequence G1, G2 and G3.
The overlap parameter of the devices is shown in Fig. 6.5. Generally, it is an increasing function of the gate
voltage which is largest for G1, intermediate for G2, and smallest for G3. In the center of the threshold
regime, when the barrier height crosses the chemical potential, one finds a jump in the overlap parameter in
G1 which is weaker in G2 and absent in G3. This jump signals a sudden improvement of the conditions for
the electron waves to pass from the contacts into the conduction channel. Figure 6.5 furthermore contains
the gate capacitance of the nanoFETs according to Eq. (??). It is found that the jump in the overlap parameter is associated by a peak in the gate capacitance. The capacitance peak indicates a marked shift of charges
around threshold voltage accompanied with screening processes. The associated jump in the overlap parameter suggests that these screening processes occur at the interfaces between the source/drain contacts
and the conduction channel. The causal connection between the jump in the overlap factor, the peak in the
gate capacitance, and a large drain saturation current is underpinned by the following consideration: Within
88
KAPITEL 6. QUANTITATIVES SEMIEMPIRISCHES TRANSISTORMODELL
the B-transistors, the jump in the overlap parameter and the peak in the gate capacitance are largest for B3
which has the highest drain saturation current and smallest for B2 with the lowest drain saturation current.
The A-transistors with a markedly smaller drain current than the B-transistors show no jump in the overlap
parameter and no associated peak in the capacitance.
6.6
Discussion and conclusions
With the aid of the semiempirical model it is possible to characterize a given experimental transistor as a
member of one of three groups, G1-G3, with qualitatively different transport properties. Our results indicate
that good thermal conduction plays a role for a given transistor to fall into group one with most favorable
transport properties. However, we here point out that in the ON-state our semiempirical model should be
applied with caution and that further research is necessary. This becomes evident in the ON-state of the
G3-transistors where one finds in the right part of Fig. 6.4 that v0 is an increasing function of UG . This
conflicts with the interpretation of v0 as a simple potential maximum since one would expect the effective
potential to decrease with increasing positive gate voltages. Generally, a number of the assumptions made
in the semiempirical model become questionable in the ON-state: First, higher transverse modes in the
conduction channel which are neglected in the semiempirical model are expected to contribute significantly
to the ON-state current. Second, in the ON-state the released Ohmic heat which is drain voltage-dependent
becomes important and one expects the device temperature to depend on the drain voltage as well so that
u = u(UG , U D ) instead of u = u(UG ). Third, in the ON-state screening in the electron channel becomes
important and the simple trapezoidal potential (??) should be at least modified. An improved semiempirical
model might also provide a reassessment of the extremely high ON-state temperatures found in Fig. 6.4
which can be higher than four times the room temperature, i. e. more than thousand degrees Celsius.
Kapitel 7
Übungen zu ’3. Quantentransport im
Landauer-Büttikerformalismus’
7.1
Strombeitrag eines Streuzustandes
In der Vorlesung wurde (3.34) gezeigt
ψ snk (x > x2 , y, z) =
X
0
t1,n n (k) eik2n0 x Φn0 (y, z) und
n0
X
∂ sn
0
ψ (x > x2 , y, z) = i
k2n0 t1,n n (k) eik2n0 x Φn0 (y, z).
∂x
n0
(7.1)
Zeigen Sie, dass
"Z
=
S
d f ψ snk (~r)∗
# X
prop
∂ snk
0
k2n0 |t1,n n |2 ,
ψ (~r) =
∂x
n0
(7.2)
wobei sich die Summation nur auf propagierende Elementarlösungen beschränkt.
Lösung: Es ist
ψ snk (~r)∗
X
∂ snk
00
0
ψ (~r) = i
k2n0 (t1,n n )∗ t1,n n ei(k2n0 −k2n00 )x Φn0 (y, z)Φn00 (y, z)
∂x
n00 n0
Flächenintegration über S führt wegen der Orthonormalität der Φn auf
"
#
Z
X
X
0
00
0
snk
∗ ∂ snk
k2n0 |t1,n n |2
d f ψ (~r)
ψ (~r) = i
k2n0 (t1,n n )∗ t1,n n ei(k2n0 −k2n00 )x δn00 ,n0 = i
∂x
S
n00 n0
n0
(7.3)
(7.4)
Dann ergibt sich
"Z
=
S
d f ψ snk (~r)∗
# ( P
1,n0 n 2
∂ snk
|
n0 k2n0 |t
ψ (~r) =
0
∂x
89
für k2n0 reell
für k2n0 imaginär
(7.5)
90KAPITEL 7. ÜBUNGEN ZU ’3. QUANTENTRANSPORT IM LANDAUER-BÜTTIKERFORMALISMUS’
7.2
Chemisches Potenzial in den Kontakten
7.2.1
In beiden lateralen Richtungen endliche Kontakte
Wir betrachten Kontakte mit einer Länge Lc . In den lateralen Richtungen liege die Breite W und die Tiefe
D vor. Die Dotierung sei homogen mit der Dichte
Z DZ W
N
1
n0 =
≡
nk und der Belegung nk =
dydzn0 = n0 WD.
(7.6)
Lc WD WD
0
0
Bei gegebener Temperatur und gegebenem chemischen Potenzial berechnet sich mit festen Randbedingungen die Teilchenzahl N gemäß
∞
X
N(µ, T ) = 2Nv
n x ,ny ,nz =0
1
e
ny ,nz
E(n x )+E⊥
−µ
kT
n0 = ρ =
sodass
+1
N
2Nv X
=
Lc DW
Lc DW n ,n ,n
x
y
1
z
e
ny ,nz
E(n x )+E⊥
−µ
kT
+1
(7.7)
mit der Spinentartung 2 und der Valleyentartung Nv . Weiterhin ist
E(n x ) =
~2 2 π2
n
2m∗ x Lc2
und
n ,nz
E⊥y
=
!
2
2
~2
2 π
2 π
n
+
n
,
z
2m∗ y D2
W2
(7.8)
mit der hier zunächst als isotrop angenommenen effektiven Masse. Wir schreiben im Limes Lc → ∞
Z
2Nv X 1 X
1
2Nv X 1 ∞
1
ρ=
=
.
(7.9)
dk
n ,n
ny ,nz
E(k)+E⊥
−µ
DW n ,n Lc n E(k)+E⊥y z −µ
DW n ,n π 0
kT
kT
y z
x e
y
z
+1
e
+1
Die Substitution
~2 k 2
E=
⇒k=
2m
r
2m 1/2
dk
E ⇒
=
dE
~2
r
m −1/2
E
2~2
(7.10)
führt auf
r
Z
2Nv X 1 ∞
m −1/2
E
ρ=
dE
DW n ,n π 0
2~2
y
z
1
e
ny ,nz
E+E⊥
−µ
kT
2Nv 1
=
DW π
+1
r
m
2~2
Z
∞
E −1/2
dE
0
e
ny ,nz
E+E⊥
−µ
kT
.
(7.11)
+1
Es folgt
ρ
=
=
√
√
Z
1
1
XZ ∞
1
Nv 2m X ∞
E− 2
Nv 2m
v− 2
2
=
dE
(kT
)
dv
ny ,nz
n ,n
E+E⊥
−µ
DW π~ n ,n 0
DW π~
ev−x y z + 1
ny ,nz 0
y z
e kT
+1
r
X
1
Nv
2m 1
(kT ) 2
F− 12 (xny ,nz )
DW
π ~
n ,n
y
mit
E
und
kT
Die allgemeine Definition des Fermi-Integrals
v=
n ,n
xny ,nz =
1
F j (x) =
Γ( j + 1)
Γ(y + 1) = yΓ(y),
(7.12)
z
Z
Γ(1) = 1,
∞
dv
0
µ − E⊥y z
.
kT
(7.13)
vj
ev−x + 1
(7.14)
und
Γ
!
√
1
= π
2
(7.15)
7.2. CHEMISCHES POTENZIAL IN DEN KONTAKTEN
91
erbringt
∞
Z
1
F−1/2 (x) = √
π
dv
0
v−1/2
.
ev−x + 1
(7.16)
Wir normieren mit der Kanallänge L
r
Nv
Lnk = 1/2
π
⇔
n̄k = Lnk =
2mE F L2 kT
EF
~2
!1/2 X
ny ,nz
n ,nz
F− 21
m − e⊥y
u
!
.
n ,n !
m − e⊥y z
Nv 1/2 X
1
lu
F
.
−2
u
π1/2
n ,n
y
(7.17)
z
Mit den weiteren Normierungen vom semiklassischen Modell
2mE F L2
l =
,
~2
2
µ
m=
,
EF
kT
u=
,
EF
und
n ,n
e⊥y z
n ,n
Ey z
= ⊥ .
EF
(7.18)
Die Fermienergie folgt ausgehend von Gl. (7.12) als Lösung der Gleichung
n0
=
=
ny ,nz
√
Z
Z E F −E⊥
Nv 2m X ∞
ny ,nz
ny ,nz
−1/2
ρ=
dEE
Θ(E F − E − E⊥ ) = Θ E F − E⊥
dEE −1/2
DW π~ n ,n 0
0
y z
√
X
Nv 8m
n ,n
n ,n 1/2
Θ E F − E⊥y z E F − E⊥y z
.
(7.19)
DW π~ n ,n
y
7.2.2
z
Nur in Tiefenrichtung begrenzte Kontakte
Im Grenzwert W → ∞ bringen wir (7.9) in die Form
ρ
=
=
=
∞
∞
X
2Nv X 1 X
1
1
2Nv X 1
=
ny
n
D n WLc n ,n =0 E(nx ,nz )+E⊥ −µ
D n 4WLc n ,n =−∞ E(nx ,nz )+E⊥y −µ
kT
kT
y
y
x z
x z
e
e
+1
+1
Z
X 1 Z ∞
1
1
2Nv X 1
2N
v
d 2 k ~ ny
dk2πk ~ ny
=
E(k)+E⊥ −µ
E(k)+E⊥ −µ
D n (2π)2
D n (2π)2 0
y
y
+1
+1
e kT
e kT
Z
Z
∞
∞
∗ X
2Nv X 1
1
1
2m
2N
1
v
dk2 ~ ny
=
dE
ny
E(k)+E⊥ −µ
E+E⊥ −µ
D n 4π 0
D 4π ~2 n 0
y
y
e kT
+1
e kT + 1
mit
E(n x , nz ) =
~2
2m∗
!
~k = n x π , nz π ,
Lc
W
!
π2
π2
~2 2
n2x 2 + n2z 2 =
k = E(k)
2m∗
Lc
W
Mit
v=
resultiert
ρ=
y
(7.21)
und
n
E⊥y =
~2 2 π2
n
.
2m∗ y D2
(7.22)
n
E
kT
2Nv 1 2m∗ X
kT
D 4π ~2
n
(7.20)
und
Z
∞
dv
0
x ny =
1
ev−x + 1
ny
µ − E⊥y
.
kT
=
(7.23)
Nv m∗ kT X
F0 (xny ).
D π~2 n
y
(7.24)
92KAPITEL 7. ÜBUNGEN ZU ’3. QUANTENTRANSPORT IM LANDAUER-BÜTTIKERFORMALISMUS’
Wir normieren analog zu (7.17) mit w = W/L
!
m∗ kT X
eny
Nv w m∗ E F L2 kT X
ny
Lnk = Nv WL
F0
F0 (x ) =
π
EF n
u
π~2 n
~2
y
y
!
Nv w 2 X
e ny
⇔ n̄k =
l u
F0
π
u
n
(7.25)
y
Die Fermienergie berchnet sich hier nach (7.20) zu
ny
Z E F −E⊥
2Nv 1 2m∗ X 2Nv 1 2m∗ X ny
ny
ny
n0 = ρ =
Θ
E
−
E
Θ
E
−
E
dE
=
E
−
E
F
F
F
⊥
⊥
⊥
D 4π ~2 n
D 4π ~2 n
0
y
7.2.3
(7.26)
y
In beiden lateralen Richtungen unbegrenzte Kontakte
Im Grenzwert D, W → ∞ bringen wir (7.9) in die Form
ρ
=
=
=
∞
∞
X
X
1
1
1
1
=
2N
v
E(n x ,ny ,nz )−µ
E(n x ,ny ,nz )−µ
WDLc n ,n ,n =0 e kT
8WLc n ,n ,n =−∞ e kT
+1
+1
x y z
x y z
Z
Z ∞
1
2Nv
2Nv
1
d3 k E(~k)−µ
dk4πk2 E(~k)−µ
=
3
3
(2π)
e kT + 1 (2π) 0
e kT + 1
!
Z ∞
∗ 3/2 Z ∞
1
2N
2m
2Nv
E 1/2
v
2
dk
k
=
dE
,
E−µ
2
E(~k)−µ
(2π)2 0
~2
0
e kT + 1
e kT + 1 (2π)
2Nv
mit
!
~k = n x π , ny π , nz π ,
Lc
D W
und
E(n x , ny , nz ) =
Die weitere Substitution
v=
(7.28)
~2
π2
π2
π2
n2x 2 + n2y 2 + n2z 2
∗
2m
Lc
D
W
E
kT
und
x=
(7.27)
!
(7.29)
µ
.
kT
(7.30)
resultiert in
ρ=
2Nv 2m∗
(2π)2 ~2
!3/2
∞
Z
(kT )3/2
dv
0
v1/2
2Nv 2m∗
=
v−x
e + 1 (2π)2 ~2
√
!3/2
(kT )3/2
π
F1/2 (x)
2
(7.31)
mit
Z ∞
1
v1/2
F1/2 (x) =
dv v−x
Γ(3/2) 0
e +1
√
und Γ(1.5) = Γ(0.5 + 1) = 0.5Γ(0.5) = π/2. Multiplikation mit LWD erbringt
!3/2
√
m
m
πNv 2m∗ E F
NV
3
n̄k = Lnk = L wd
uF
=
wd
F
1/2
1/2
u
u
(2π)2
~2
8π3/2
(7.32)
(7.33)
Hier lässt sich Gl. (7.27) entnehmen
n0 = ρ =
2Nv 2m∗
(2π)2 ~2
!3/2 Z
0
EF
dEE 1/2 =
2Nv 2m∗
(2π)2 ~2
!3/2
2 3/2
E
3 F
(7.34)
7.2. CHEMISCHES POTENZIAL IN DEN KONTAKTEN
93
Gleichsetzen mit (7.31) führt auf
⇔
⇔
√
2 3/2
3/2 π
E = (kT )
F1/2 (x)
3 F
2
!
4
µ
m
4
F1/2 (x) = √ u−3/2 x =
=
= X1/2 √ u−3/2
kT
u
3 π
3 π
!
4
m = uX1/2 √ u−3/2 .
3 π
(7.35)
94KAPITEL 7. ÜBUNGEN ZU ’3. QUANTENTRANSPORT IM LANDAUER-BÜTTIKERFORMALISMUS’
7.3
Supplyfunktionen: Gleiche Transversalmoden in Kontakten und
Leitungskanal, durchgängiges separables Potenzial
Die Supplyfunktion berechnet sich zu
S (Ez − µ) = 2Nv
∞
X
ny ,nz =0
1
e
ny ,nz
Ez +E⊥
−µ
kT
Wir definieren
s(ez − m) = S [(ez − m)E F ] = 2Nv
n ,nz
e⊥y
=
+1
∞
X
ny ,nz =0
wobei
(7.36)
1
e
ny ,nz
ez +e⊥
−m
u
(7.37)
+1
!
!
n ,n
2
2
2
E⊥y z
1 2 π2
~2
2 π
2π
2 π
+
n
=
n
+
n
=
n
z
z 2 .
EF
2m∗ E F y D2
W2
l2 y d 2
w
(7.38)
Wir betrachtenden Limes w → ∞
s(α) =
2Nv
∞
X
=
Wir setzen
Es ist dann
= 2Nv
∞ ∞
w XX π
π n =1 n =1 w
z
y
e
+1
∞
∞
w X X π
1
!
2Nv
2 2 π2
π
1
2
2π n =1 n =−∞ w α+ l2 ny d2 +nz w2
z
y
u
e
+1
∞ Z
X
1
w
!
dkz
2Nv
π2 2
α+ 12 n2
2π n =1
y d2 +kz
l
y
u
e
+1
ny ,nz =0
=
1
ny ,nz
α+e⊥
u
kz2
=v
l2 u
und
− x(ny ) = α + n2y
1
e
π2 2 π2
α+ 12 n2
y d2 +nz w2
l
u
!
+1
(7.39)
π2
.
l2 d 2 u
√
√
l u −1/2
kz = l uv ⇒ dkz =
v
dv
2
(7.40)
(7.41)
und somit
√ Z
√ ∞
∞
1
w Xl u
w l uX
−1/2
dvv
F−1/2 (x(ny ))
s(α) = 2Nv
= 2Nv √
2π n =1 2
ev−x(ny + 1
2 π 2 ny =1
y
!
√ ∞
2
wl u X
2 π
2Nv √
F−1/2 −α − ny 2 2 .
l d u
4 π ny =1
(7.42)
7.4. FERMIENERGIE UND TEMPERTURPARAMTER IN HOCHDOTIERTEN SI-KONTAKTEN
7.4
95
Fermienergie und Temperturparamter in hochdotierten Si-Kontakten
In extrem hoch n-dotierten Silziumkontakten kann die Donatorenkonzentration bis zu ND = 1021 cm−3
betragen. Wir nehmen vollständige Ionisation der Donatoren an. Berechnen Sie die Fermienergie und den
Temperturparamter u = kT/E F bei Zimmertemperatur (298K) im Limes D, W → ∞. Wie ist der Wert des
chemische Potenzials?
Lösung: In der Vorlesung wurde gezeigt
EF =
~2 3π2 n
2md Nv
2/3
,
(7.43)
mit der valley-Entartung der Nv = 6 konstantenergieellipsoide und der effektiven Zustandsdichtenmasse
md = (m21 m2 )1/3 = 0.32m0 . Hier sind m1 = 0.19m0 and m2 = 0.916m0 die effektiven Massen bezüglich der
Prinzipalachsen der Konstantenergieellipsoide. Es ist dann
EF
=
=
!2/3 2/3
3π2
(1.05 × 10−34 Js)2
1027 m3
−31
2 × 0.32 × 9.1 × 10 kg 6
J 2 s2 m2
1.052 × π4/3
× 10−68+31+18
= 0.54 × 10−19 J = 0.34eV = 340meV, (7.44)
2/3
kg
2 × 9.1 × 0.32 × 2
mit
1eV = 1.6 × 10−19 J
(7.45)
k = 8.6 × 10−5 eV/K → k × 398K = 3422 × 10−5 eV = 3.410−2 eV
(7.46)
Mit
folgt u = kT/E F ∼ 0.1. Es ist dann
m=
µ
π2
= 1 − u2 − 0.822u2 ∼ 0.99.
EF
12
(7.47)
Für eine niedrigere Dotierung von ND = 1021 cm−3 ergibt sich
EF =
1021 cm−3
1021 cm−3
!2/3
2/3
× 0.34eV = 10−1
= 7.3 × 10−2 eV,
u = 3.4/7.3 = 0.47 und m = 1 − 0.822 × 0.22 = 0.818.
(7.48)
96KAPITEL 7. ÜBUNGEN ZU ’3. QUANTENTRANSPORT IM LANDAUER-BÜTTIKERFORMALISMUS’
7.5
Zustandsdichte eines freien Fermigases in n Dimensionen
Gegeben sei ein freies n-dimensionales Fermigas mit periodischen Randbedingungen nach L (s. Abb. 7.1).
Das Periodizitätsvolumen sei V = Ln .
Abbildung 7.1: Periodische Randbedingungen (s. Gl. (7.51)) in zwei Dimensionen, n = 2, mit ~r = (x, y) und
~k = 2π (m, n), wobei m, n ∈ Z. b) Nach Gl. (7.50) führen die periodischen Randbedingung im Ortsraum auf
L
~k im k-Raum. Der k-Raum wird in eine Folge von Kreisringen (s. rosa
ein Gitter erlaubter Wellenvektoren
√
~
Fläche) mit Radius |k| = k = 2mE/~ und der kleinen Breite dk aufgeteilt. In jedem dieser Kreisringe ist
die Funktion F(k) in führender Ordnung konstant. Die Fläche eines solchen Kreisrings ist 2πkdk ≡ a2 kdk.
Die zun bestimmende Größe D2 (E)dE gibt für große L die Anzahl der erlaubten ~k (Gitterpunkte) in einem
gegeben Kreisring an.
ie Eigenzustände der zeitunabhängigen Schrödingergleichung sind gegeben durch ebene Wellen
ψ(~r) =
1 i~k~r
e .
V
(7.49)
In drei Dimensionen, n = 3, ist ~r = (x, y, z) und
~k = 2π (m, n, o)
L
m, n, o ∈ Z.
(7.50)
ψ(~r + L~e x ) = ψ(~r + L~ey ) = ψ(~r + L~ez ) = ψ(~r).
(7.51)
mit
Die periodischen Randbedingungen sind erfüllt, denn
Die Eigenenergien der ebenen Wellen sind
E(k) =
~2 k2
,
2m
mit
k = |~k|.
(7.52)
• Vorgelegt sei eine betragsabhängige Funktion F(k). Zeigen Sie, dass Sie für L → ∞ schreiben können
Z ∞
2X
F(k) =
dEDn (E)F(E),
(7.53)
V
0
~k
7.6. ZUSTANDSDICHTE IN EINEM HOCHDOTIERTEN HALBLEITER-KONTAKT
97
mit F(E) = F(k(E)). Die Summe auf der linken Seite dieser Gleichung läuft über die mit periodischen
Randbedingungen verträglichen ~k-Werte in Gl. (7.50). Der Faktor 2 auf der linken Seite berücksichtigt
die Spinentartung von Elektronen und der Faktor 1/V ist eine Normierung. Die energieabhängige
Zustandsdichte in n Dimensionen ist Dn (E). Interpretieren Sie diese Größen. Zeigen Sie, dass
n
Dn (E) = dn E 2 −1 .
(7.54)
Lösung: Mit ∆k = 2π/L → 0 finden wir
Z
2 X n
V
2
F(k) =
∆k F(k) → 2
dn kF(k)
∆kn
(2π)n
~k
~k
Z ∞
Z ∞
V
V
dk
n−1
2
an
dkk F(k) = 2
a
dE k(E)n−1 F(E)
n n
(2π)n
(2π)
dE
0
0
Z
n−2 Z ∞
n−2
m ∞
m (2m) 2
V
V
n−2
a
a
2
dEk(E)
F(E)
=
2
dEE 2 F(E)
n
n
n
n
2
2
n−2
(2π)
(2π)
~ 0
~ ~
0
Z ∞
V
dEDn (E)F(E).
X
=
=
=
(7.55)
0
Hier sind a1 = 2, a2 = 2π und a3 = 4π und nach Gl. (7.52)
dE ~2
= k
dk
m
Mit Dn (E) = dn E
n−2
2
k(E) =
sowie
(2mE)1/2
.
~
folgt
n−2
n−2
n
n−2
2 m (2m) 2
22 2 1 1
1
dn = an
an n n 2 n−2 m1+ 2 = an n n m 2 ~n
2
(2π)n ~2 ~n−2
2 π ~ ~
2 π
Wir finden
und
√
1
1 m2
2m
=
d1 = 2 √
~
π~
2π
1 m
1m
d2 = 2π 2 2 =
π ~2
2π ~
√
3
3
1 m2
2 m2
d3 = 4π 3
= 2 3
π ~
2 2 π3 ~3
7.6
(7.56)
(7.57)
√
sodass
sodass
2m 1
√ ,
π~
E
1m
D2 (E) =
π ~2
D1 (E) =
(7.58)
(7.59)
√
sodass
3
2 m2 √
D3 (E) = 2 3 E.
π ~
(7.60)
Zustandsdichte in einem hochdotierten Halbleiter-Kontakt
• Zeigen Sie, dass in einem Halbleiter mit der isotropen Bandmasse m wie GaAs und der Valleyentartung Nv die Zustandsdichte in einem gegebenen Band ebenfalls durch Gl. (7.54) beschrieben ist,
wobei dn mit der Valleyentartung zu multiplizieren ist, dn → Nv Dn . Was passiert bei einem anisotropen Effektivmassentensor wie bei S i.
98KAPITEL 7. ÜBUNGEN ZU ’3. QUANTENTRANSPORT IM LANDAUER-BÜTTIKERFORMALISMUS’
7.7
Teilchenzahl -und Dichte freies Elektronengas
Bei gegebener Temperatur und gegebenem chemischen Potenzial berechnet sich die Teilchenzahl N gemäß
N(µ, T ) = 2
1
X
~k
e
E(k)−µ
kT
+1
=2
X
f (E(k) − µ),
ρ=
sodass
~k
2X
1
N
=
E(k)−µ
V
V
kT
+1
~k e
(7.61)
Der Ausdruck für die Dichte ρ hat also die Form wie die linke Seite von Gl. (7.53), wobei
F(k) =
1
e
E(k)−µ
kT
+1
.
(7.62)
• Zeigen Sie, dass die Teilchendichte in einem gegebenen Band in Effektivmassennäherung berechnet
weden kann durch
n
n
ρ = dn (kT ) 2 Γ
F n −1 (x).
(7.63)
2 2
Hier sind x = µ/kT , und das vollständige Fermi-Integral ist gegeben durch
Z ∞
1
vj
F j (x) =
dv v−x
(7.64)
Γ( j + 1) 0
e +1
Wie bekannt, gilt für die Γ-Funktion
Γ(y + 1) = yΓ(y),
sodass Γ(3/2) =
Γ(1) = 1,
!
√
1
Γ
= π,
2
und
(7.65)
√
π/2.
Lösung: Es ist
ρ(µ, T ) =
=
=
Z ∞
1
N 2gV X
f (E(k) − µ) =
=
dEDn (E) E−µ
V
V
0
e kT + 1
~k
Z ∞
Z ∞
n
n
n
−1
−1
n
n
v2
E2
= dn (kT ) 2 Γ
F n −1 (x)
dn
= dn (kT ) 2
dv v−x
dE E−µ
e +1
2 2
0
0
e kT + 1
αn F n2 −1 (x).
Hier ist v = E/kT und x = µ/kT . Wir finden daher für n = 1
r √
! √
√
1
2m √ √
2 mkT
α1 = d1 kT Γ
=
kT π =
sodass
2
π~
π ~
für n = 2
α2 = d2 kT Γ(1) =
1m
kT
π ~2
sodass
r
ρ(µ, T ) =
ρ=
2
π
(7.66)
√
µ mkT
F− 12
. (7.67)
~
kT
1 mkT µ F0
π ~2
kT
(7.68)
und für n = 3
! √
√
3
3
3
2 m2
π
2
= 2 3 (kT )
α3 = d3 (kT ) Γ
2
2
π ~
3
2
sodass
3
µ (mkT ) 2
1
F
ρ= √ 3
.
2
kT
2π 2 ~3
1
(7.69)
7.8. VERLAUF DER FERMI-INTEGRALE
7.8
99
Verlauf der Fermi-Integrale
Die Abbildung 7.2 zeigt F1/2 (x) und F−1/2 (x). Für große positive x gilt die Sommerfeld-Entwicklung des
Fermi-Integrals
4
π3/2 −1/2
x
(7.70)
F1/2 (x → ∞) = √ x3/2 +
6
3 π
2
π3/2 −3/2
F−1/2 (x → ∞) = √ x1/2 −
x
.
12
π
(7.71)
Diese Entwicklung ist anwendbar für Elektronengase oder Lochgase in den hochdotierten Kontakten. Für
grøße negative Argumente gilt die Boltzmannentwicklung
F1/2 (−x → ∞) = F−1/2 (−x → ∞) = e x .
(7.72)
Diese Näherung ist korrekt in reinen Halbleitern oder bei niedriger Dotierung.
Abbildung 7.2: Fermi-Integral linke Seite F1/2 (x), rechte Seite F−1/2 (x), mit Sommerfeld-Entwicklung für
große positive x und Boltzmann-Entwicklung für grøße negative Argumente.
• Betrachten Sie nun die Fermifunktion F0 (x) und verifizieren Sie
Z
h
i∞
1
F0 (x) =
dv
= − ln 1 + e−(v−x) = ln 1 + e x .
v−x
0
1+e
(7.73)
Vergleichen Sie das qualitative Verhalten von F0 (x) mit demjenigen von F−1/2 (x) und F−1/2 (x). Welches asymptotische verhalten ergibt sich? Bilden Sie die Umkehrfunktion X0 .
Lösung: Es gilt
−
i
d h
−e−(v−x)
1
ln 1 + e−(v−x) = −
=
.
−(v−x)
dv
1+e
1 + e(v−x)
(7.74)
100KAPITEL 7. ÜBUNGEN ZU ’3. QUANTENTRANSPORT IM LANDAUER-BÜTTIKERFORMALISMUS’
7.9
Chemisches Potenzial des freien Elektronengases (Program chem)
• Leiten Sie aus Gl. (7.63)
n
ρ = dn (kT ) 2 Γ
n
2
F n2 −1 (x)
(7.75)
einen Ausdruck für dass chemische Potenzial eines n-dimensionalen Elektronengases bei gegebener
Dichte ρ = ND und Temperatur T her. Hier ist ND die Dotierungsdichte im Kontakt, wobei volstänige
Ionisierung vorausgesetzt wird. Benutzen Sie die Umkehrfunktion X j (x) von F j (x), die definiert ist
durch
X j (F j (x)) = x.
(7.76)
Abbildung 7.3: Fermi-Integral F1/2 (x) und inverse Funktion X1/2 (F).
Lösung: Es ist




µ
ρ
⇒x=

F 2n −1 (x) =
= X n2 −1 
n
n
kT
dn (kT ) 2 Γ n2
dn (kT ) 2 Γ n2
ρ
(7.77)
und daher


µ = kT X 2n −1 
ρ
n
dn (kT ) 2 Γ


 .
n
2
(7.78)
7.10. VERSORGUNGSFUNKTION IM QUASI-EINDIMENSIONALEN SYSTEM (PROGRAMM S UP)101
7.10
Versorgungsfunktion im quasi-eindimensionalen System (Programm sup)
• Verwenden Sie Gl. (7.73),
F0 (x) =
Z
dv
h
i
1
−(v−x) ∞
=
−
ln
1
+
e
= ln 1 + e x ,
0
1 + ev−x
(7.79)
µ − AmkT ln
1
+
exp
,
kT
2π~2
(7.80)
um zu zeigen dass
S( − µ) =
1
X
k x ,ky
e
~2 2
2m k⊥ +−µ
kT
=
+1
mit k⊥ = (k x , ky ).
Abbildung 7.4: Normierte Versorgungsfunktion ∫ = S/(w x wy ) in einem quasi-eindimensionalen System
nach Gl. (7.90) berechnet mit dem Programm sup2d (blau). Entwicklung große x nach Gl. (7.92) mit roter
und Entwicklung (7.91) mit grüner Linie.
Lösung: Wir schreiben mit v = ~2 k⊥2 /(2m∗ kT ) und y = −x/kT
S(x) =
X
k x ,ky
=
=
1
~2 k2 +x
2m∗ ⊥
kT
=
A
π
4π2
Z
dk⊥2
1
~2 k2 +x
2m∗ ⊥
kT
e
+Z1
e
+1
A 2m∗ kT ∞
A 2m∗ kT 1
π
dv v−y
=
ln 1 + ey
e + 1 4π ~2
4π2
~2
0
i
Am∗ kT h
− kTx
ln
1
+
e
2π~2
(7.81)
102KAPITEL 7. ÜBUNGEN ZU ’3. QUANTENTRANSPORT IM LANDAUER-BÜTTIKERFORMALISMUS’
• Vergleichen Sie Gl. (7.81) mit den vorher hereleiteten Ausdrücken (7.61) und (7.68) für die Teilchenzahl in einem zweidimensionalen freien Elektronengas
X
X
1
N(µ, T ) = 2
=2
f (E(k) − µ),
(7.82)
E(k)−µ
k x ,ky e kT + 1
~k
sodass
ρ=
1
N
2X
1 m∗ kT µ =
=
F0
E(k)−µ
2
A
A
kT
e kT + 1 π ~
(7.83)
~k
Lösung:
Ein Vergleich zwischen Gl. (7.81) und (7.82) zeigt, dass bis auf den Spinfaktor 2 die definition Funktionen
N(µ, T ) und S(x) übereinstimmen mit den Setzungen
x=−µ
und
(im Sourcekontakt)
↔ −µ
~2 2
k ↔ E(k)
2m∗ ⊥
(7.84)
(7.85)
Weiterhin gilt nach Gl. (7.73)
Z
h
i
1
−(v−x) ∞
=
−
ln
1
+
e
= ln 1 + e x .
(7.86)
0
1 + ev−x
Die Versorgungsfunktion der sourceemittierten Streuzustände im dreidimensionalen Sourcekontakt lässt
sich also als die Teilchenzahl in einem zweidimensionalen freien Elektronengas mit einem um reduzierten
chemischen Potenzial interpretieren.
F0 (x) =
dv
• Leiten Sie den in der Vorlesung vorgestellten Ausdruck für T = 0 aus (7.81) her.
Für T = 0 gilt für x > 0
h
x i
ln 1 + e− kT → ln(1) = 0
und somit
S(x > 0) → 0
(7.87)
Für x < 0
h
x
x i
Am∗
x
und somit
S(x < 0) = −
x.
(7.88)
ln 1 + e− kT → ln e− kT = −
kT
2π~2
• Normieren Sie den Ausdruck in Gl. (7.4) mit
√ m = µ/E F , u = kT/E F , ˆ = /E F , w x = L x /λ, wy = Ly /λ
und der charakteristischen Länge λ = ~/ 2mE F
Lösung: Es ist
und mit x̂ = x/E F definieren wir
L x Ly mkT
~2 mkT
u
=
w
w
= w x wy ,
x
y
2mE F 2π~2
4π
2π~2
∫ ( x̂) =
"
!#
S(x)
u
x̂
=
ln 1 + exp − .
w x wy 4π
u
(7.89)
(7.90)
Gl. (7.88) führt auf
m∗
~2
1
x = − x̂
(7.91)
∗
2m E F 2π~2
4π
• Hochenergieausläufer der Versorgungfunktion: Entwickeln Sie die Versorgungsfunktion (7.90) für
hohe Energien.
∫ ( x̂ < 0) = −
Lösung: Wir entwickeln ln 1 + α ∼ α für kleine α und erhalten
!
u
x̂
∫ =
exp − .
4π
u
(7.92)
7.11. ENDLICHE KONTAKTE
7.11
103
Endliche Kontakte
Wir betrachten Kontakte mit endlicher Breite W und Tiefe D und der homogenen Dotierung (7.93)
n0 =
N
1
≡
nk
LWD WD
nk =
mit der bekannten Belegung
Z
D
0
W
Z
dydzn0 = n0 WD.
(7.93)
0
Nach (7.94) und (3.19) ist
nk
=
=
Z
Nv X ∞
dk f [E1n (k) − µ]
π n 0
−1

 ~2 2

2
2
Z



 2m∗ k + n2y Dπ 2 + n2z Wπ 2 − µ 


Nv X ∞ 


 + 1
dk 
exp







π nn 0
kT


(7.94)
y z
Wir multiplizieren mit der Kanallänge L und führen die normierten Größen des semiempirischen Modells
ein,
2m∗ L2 E F
d = D/L,
w = W/L u = kT/E F ,
m = µ/E F ,
und l2 =
.
(7.95)
~2
Dann

−1
 2

2
2
Z




 κ + n2y dπ2 + n2z wπ 2 − m 

Nv X ∞ 






n̄k ≡ nk L =
dκ 
exp
+
1







2


π nn 0
l u


(7.96)
y z
7.12
Chemisches Potenzial mit Sommerfeldentwicklung
Für Integrale der Form
Z∞
H(E) f (E)dE
(7.97)
−∞
mit einer beliebigen Funktion H(E) und der Fermifunktion f (E) = fFD (E − µ) gilt bei tiefen Temperaturen
die Sommerfeld-Entwicklung (s. Abschnitt 7.13)
Z∞
H(E) f (E)dE
Zµ
=
dE H(E) +
π2
(kT )2 H 0 (µ).
6
(7.98)
vj
+1
(7.99)
−∞
−∞
Wir betrachten das Fermi-Dirac-Integral zur Ordnung j
1
F j (x) =
Γ( j + 1)
Z
∞
dv
0
ev−x
Zeigen Sie wie in der Vorlesung angegeben
F1/2 (x → ∞) =
Wie lautet das Ergebnis für allgemeine j.
4
π3/2 −1/2
x
.
√ x3/2 +
6
3 π
(7.100)
104KAPITEL 7. ÜBUNGEN ZU ’3. QUANTENTRANSPORT IM LANDAUER-BÜTTIKERFORMALISMUS’
7.13
Herleitung Sommerfeld-Entwicklung
I=
Z∞
d H() f () =
−∞
Z∞
d K() −
!
df
.
d
(7.101)
−∞
H: mehrfach stetig differenzierbare, vorgegebene Funktion, verschwindet fr → −∞
H() =
dK
d
K() =
⇒
Z
H( 0 ) d
−∞
(7.102)
−
df
1
1
=
β(−µ)
d
KT (exp
+1)(exp−β(−µ) +1)
(7.103)
eine um = µ beschränkte Funktion von (s. Abbildung (7.5)) ⇒
K(E) = K(µ) + (E − µ) K 0 (µ) +
1
. . . (E − µ)2 K 00 (µ)
2
(7.104)
d f /d gerade Funktion von E − µ ⇒ nur gerade Terme in der Entwicklung von K(E) spielen eine Rolle.
I = I0 + I2
O-te Ordnung
I = K(µ) =
Zµ
H( 0 ) d 0
0
(7.105)
−∞
2-te Ordnung
I2
=
1 00
K (µ)
2
df
π2
dE (E − µ)2 (− ) = (k j BT )2 H 0 (µ)
dE
6
|−∞
{z
}
Z
∞
π2
3
⇒I
=
Zµ
−∞
H( 0 ) d 0 +
(KBT )2
π2
(kT )2 H 0 (µ)
6
(7.106)
7.13. HERLEITUNG SOMMERFELD-ENTWICKLUNG
Abbildung 7.5: Die Fermifunktion und ihre Ableitung bei niedrigen effektiven Temperaturen.
105
Kapitel 8
Übungen zu ’4. Die Resonanzdiode’
8.1
Abschätzung typischen Größen in der Struktur von Bowen et al.
Der Arbeit von Bowen et al. [105] entnehmen wir die resultate in Abbn 8.1 und 8.2
8.1.1
Barrierenhöhe
Wie in Abb. (8.3 dargestellt, sind In xGa1−x As und In x Al1−x As ternäre Mischkristalle, in denen sich ausgehend vom InAs das dreiwertige In entweder durch das dreiwertige Ga oder durch das dreiwertige Al
kontinuierlich ersetzen läss t. Die Beimischung x kann unabhängig voneinander in beiden Komponenten
so gewählt werden, dass das Gitter übereinstimmt. Wie in Abb. (8.3 gezeigt, ergibt sich bei einer gemeinsamen Gitterkonstante von etwa 5.8nm ein Unterschied in der Bandlücke von ∆EG ∼ .8eV. Wenn man
adhoc davon ausgeht, dass etwa sechzig Prozent des Bandlückensprungs im Leitungsband auftreten, ergibt
dieses eine Leitungsbandbarriere von V0 = 0.5eV. Sowohl im InGaAs als auch im InAlAs ist das Leitungsband einfach entartet. Gestützt auf die Berechnungen Bowen et al. läss t sich die effektive Masse in beiden
Komponenten auf etwa m∗ ∼ 0.05m0 abschätzen.
8.1.2
Fermienergie
√
Bei T = 0 ist im k-Raum eine Kugel mit dem Radius kF = 2mE F /~ besetzt. Das Volumen dieser Kugel
ist
!3/2
4π 3 4π 2mE F
kF =
(8.1)
VkF =
3
3
~2
Die Anzahl der Zustände in diesem Volumen ist
V 4π 2mE F
N=2
(2π)3 3
~2
!3/2
(8.2)
Im Sourcekontakt sind sämtliche Donatoren der Dichte nD ionisiert
!3/2
!3/2
1 2mE F
2mE F
2mE F
2
⇔
3π
n
=
⇔ (3π2 nD )2/3 =
D
3π2
~2
~2
~2
~2
EF =
(3π2 nD )2/3
2m
nD =
⇔
106
(8.3)
8.1. ABSCHÄTZUNG TYPISCHEN GRÖSSEN IN DER STRUKTUR VON BOWEN ET AL.
107
Abbildung 8.1: a) InGaAs-InAlAs Heterostrukturschichtsystem zur Realisierung einer Resonanztunneldiode. b.) Berechnete Leitungsbandkante der InGaAs − InAlAs RTD ohne Spannung.
108
KAPITEL 8. ÜBUNGEN ZU ’4. DIE RESONANZDIODE’
Abbildung 8.2: a) a.) Berechnete Leitungsbandkante der InGaAs − InAlAs RTD bei U = 0.3V. der quasigebundene Zustand gert unterhalb die Leitungsbandkante im Sourcekontakt. b) In der I − U Kennlinie fällt
der Strom bei U = 0.3V deutlich ab.
8.1. ABSCHÄTZUNG TYPISCHEN GRÖSSEN IN DER STRUKTUR VON BOWEN ET AL.
109
Abbildung 8.3: Materialkonstanten von ternären Halbleitermischkristallen.
Wir setzen m = 0.05m0 und in den Kontaktgebieten 1.) und 9.) ist nD = 5 × 1018 cm−3 . In Übereinstimmung
mit Bowen et al. folgt E F = 0.25eV. In den Zwischengebieten 2.) und 8.) ist nD = 1018 cm−3 , sodass
Ē F =
1
E F = 0.25eV/2.92 ∼ 0.08eV
52/3
(8.4)
Der Potenzialsprung zwischen 1.) und 2.) entspricht der Differenz dieser Fermienergien
∆V = E F − Ē F = 0.17eV,
(8.5)
wie es auch in den Rechnungen von Bowen et al. gefunden wird.
8.1.3
Energie 0 des quasigebundenen Zustands
Die Energie des quasigebunden Zustands über dem Boden des Potentialtopfes der Breite w = 4.8nm ist
∆0 =
~2 π 2
2m w
(8.6)
Wir berechnen mit m = 0.05m0 und w = 4.8nm
∆0
=
=
=
!2
(1.05 × 10−34 Js)2
3.141
2 × 0.05 × 9.1 × 10−31 kg 4.8 × 10−9 m
2 2
3.1412
1
−68+31+18 J s
10
=
× 10−19 J
2
2
2 × 0.05 × 9.1 × 4.8
kgm
0.1 × 4.82
0.4 × 10−19 J = 0.4 × 6.2 × 1018 10−19 eV = 0.25eV
(8.7)
110
KAPITEL 8. ÜBUNGEN ZU ’4. DIE RESONANZDIODE’
wobei 1J = 6.2×1018 eV. Den Berechnungen in Abb. 8.2 entnehmen wir einen kleineren Wert ∆0 = 0.12eV.
Das kann an der größeren effektive Masse in InAlAs (s. Tabelle 1 in Bowen et al.) oder an einer Absenkung
der Resonanzenergie durch Ankopplung an die Kontakte (s. numerische Rechnungen im folgenden Kapitel)
liegen.
8.1.4
Maximaler Strom
Nach Gleichung (8.8) beträgt mit µ ∼ E F die maximale Stromdichte
jmax =
eΓmE F T res
4π~3
(8.8)
Wir schätzen ab mit T res = 0.1 bei U = U2 , Γ = 1meV = 1.6×10−22 J und E F = 0.25eV = 0.25×1.6×10−19 J
(numerische Rechnungen später) sowie m = 0.05m0 Dann
jmax
=
1.6 × 10−19C × 1.6 × 10−22 J × 0.05 × 9.1 × 10−31 kg × 0.25 × 1.6 × 10−19 J × 0.1
4 × 3.1415 × (1.05 × 10−34 Js)3
3
1.6 × 0.05 × 9.1 × 0.25
AsJ 2 kg
× 10−19−22−31−19−1+102 × 3 3
4 × 3.1415
J s
5. × 10−2 × 10−19−22−31−19−1+102 Am−2 = 5.108 Am−2
=
5. × 104 Acm−2 = 5. × 104 Acm−2
=
=
(8.9)
Aus der Arbeit von Bowen et al. (s. Abb. 8.2) entnehmen wir
⇒
Imax ∼ 1mA,
und
A = 12.2(µm)2
−4
Imax
10
A
A
jmax =
∼
∼ 10−4 1012 10−4 2 = 104 × Acm−2 .
−12
2
A
12.2 × 10 m
cm
(8.10)
Die nach Gl. (8.9) berechnete Maximalstromdichte ist also etwas größer als die gemessene. Das kann durch
z. B. durch eine eine kleinere Maximaltransmission T res bei U = U2 oder eine kleinere Resonanzbreite Γ
erklärt werden. Wir werden auf diese Frage im Rahmen der numerischen Rechnungen des nächsten Kapitels
zurückkommen.
Kapitel 9
Übungen zu ’5. Berechnung der
Stromtransission mit Anwendung auf
planare NanoFETs’
9.1
Darstellung der zweidimensionalen Stromtransmission durch eine Spur
In Gleichung 5.107 wurde gesetzt
Z
2e X ∞ xy dE S (E xy − µ) − S (E xy − µ + eU D )
ID =
h n n0 0
y y

"
# 
0 !2
 2d
~2 ny π 2  xy
~2 ny π
xy
xy 2
+ eU D  |S̃ 2n
×Θ E −
Θ E −
)|
0 ,1n (E
∗
∗
y
y
2m D
2m
D
Z
2e X ∞ xy dE S (E xy − µ) − S (E xy − µ + eU D ) Tr(σσ† )
=
h n n0 0
(9.1)
y y
mit

# 
0 !2
 2d
~2 ny π
~2 ny π 2  xy
xy
Θ E −
+ eU D  S̃ 2n
).
=Θ E −
0 ,1n (E
∗
∗
y
y
2m D
2m
D
"
σn0y ny
xy
(9.2)
Zeigen Sie diesen Schritt.
Es gilt in Braket-Notation
Tr(σσ† ) =
X
X
hny |σσ† |ny i =
hny |σ|n0y ihn0y |σ† |ny i
ny
=
X
hny |σ|n0y i = hny |σ† |n0y i∗
ny n0y
=
X
ny n0y
ny n0y
X
|hny |σ|n0y i|2 =
ny n0y
X
|σny n0y |2
ny n0y

# 
0 !2
 2d
~2 ny π 2  xy
~2 ny π
xy 2
Θ E −
Θ E −
+ eU D  |S̃ 2n
)| .
0 ,1n (E
∗
∗
y
y
2m D
2m
D
"
xy
111
(9.3)
112
KAPITEL 9. ÜBUNGEN ZU ’5. BERECHNUNG DER STROMTRANSISSION
Abbildung 9.1: Stuktur eines FinFets.
9.2
Anwendung der RME Methode auf bulk Trigate-Transistoren
Der Aufbau eines FinFETs sind in Abb. 9.1 (a) dargestellt. In Teil (b) befindet sich die Zuordnung zu
den Strukturblöcken des vereinfachten Transistormodells in Abb. 5.1. Im Streugebiet Ω0 führen wir die
AT-Potenzial in
9.3
Stromtransmissionsmatrix
Wir definieren die Stromtransmissionsmatrix
−1/2
S̃ sn,s0 n0 = k1/2
sn S sn,s0 n0 k s0 n0 .
1. Zeigen Sie, dass die Stromtransmission gegeben ist durch
X
0
T=
Θ(E − E⊥n − V2 )Θ(E − E⊥n )|S̃ 2n0 ,1n |2 .
(9.4)
(9.5)
nn0
2. Wir definieren die Matrizen k1/2 und k−1/2 durch
p
+
(k1/2 ) sn,s0 n0 = δ sn,s0 n0 k sn
und
1
(k−1/2 ) sn,s0 n0 = δ sn,s0 n0 √
+
k sn
(9.6)
9.4. VARIATIONSANSATZ ZUR BERECHNUNG DER SUBBANDFUNKTIONEN UND -ENERGIEN IM KANAL113
9.4
Variationsansatz zur Berechnung der Subbandfunktionen und energien im Kanal
Wir betrachten die Schrödingergleichung
"
#
~2 d 2
− ∗ 2 + V2D (y) − k ζk (y) = 0
2m dy
(9.7)
mit dem in Abb. 9.2 dargestellten Potenzial
V2D (y) = V2D (y; V1 , V2 , Λ) = V1 − V2 e−Λy
(9.8)
mit der Einschlusstiefe Λ sowie
V1 = eUbi
und
V2 = eUbi − Ψ s .
(9.9)
Abbildung 9.2: In Rot die schematische Darstellung des Ansatzes für das Kanaleinschlusspotenzial in einem
planaren FET nach Gl. (9.8) und in Blau die niedrigste Subbandenergie 0 sowie Subbandfunktion ζ0 nach
Gl. (9.7).
Wir wollen bei festen Parametern (V1 , V2 , Λ) den niedrigsten Subbandzustand ζ0 (y) mit der Energie 0 mit
einem Variationsansatz
r
b3 −by/2
ζ0 (y) =
ye
≡ ζ b (y)
(9.10)
2
berechnen. Der frei wählbare Parameter b und die Eigenenergie 0 resultieren beim Minimum des Energieerwartungswertes
#
"
Z ∞
~2 d2
b
b
0 = Minb ¯ = Minb
(9.11)
dyζ (y) − ∗ 2 + V2D (y) ζ b (y).
2m dy
0
Vorgegeben seien die Integrale
Z ∞
i∞ 1
1h
I0 (b) =
dye−by = − e−by =
(9.12)
0
b
b
0
Z ∞
d
1
I1 (b) =
dyye−by = − I0 (b) = 2
(9.13)
db
b
0
Z ∞
d
2
I2 (b) =
dyy2 e−by = − I1 (b) = 3 .
(9.14)
db
b
0
114
KAPITEL 9. ÜBUNGEN ZU ’5. BERECHNUNG DER STROMTRANSISSION
1. Zeigen Sie: Die Ansatzfunktionen ζ b (y) sind normiert.
Z
b3 ∞
b3 2
= 1.
dyy2 e−by =
2 0
2 b3
2. Berechnen Sie die kinetische Energie der Ansatzfunktionen
r
!2
Z ∞r 3
Z ∞
d −by/2
~2
b −by/2 d2
b3 −by/2 b3 ~2
ye
ye
=
ye
Ekin = − ∗
2m 0
2
2
2 2m∗ 0 dy
dy2
(9.15)
(9.16)
Es gilt
!
!2
!
d −by/2
yb −by/2
d −by/2
b2
ye
= 1−
e
⇒
ye
= 1 − by + y2 e−by .
dy
2
dy
4
(9.17)
Sodann
!
!
b3 ~2
b2
b2 2
~2 b3 1
1
I0 − bI1 + I2 =
−b 2 +
2 2m∗
4
2m∗ 2 b
4 b3
b
!
2
2
2
2
~ b
1
~ b
1−1+
=
∗
2m 2
2
2m∗ 4
=
Ekin
=
3. Berechnen Sie die potentielle Energie der Ansatzfunktionen
Z
b3
b3 ∞ 2 −b [V1 I2 (b) − V2 I2 (b + Λ)]
E pot =
y e V1 − V2 e−Λy =
2 0
2
"
#
V1
V2
b3
= b3 3 −
=
V
−
V
1
2
b
(b + Λ)3
(b + Λ)3
(9.18)
(9.19)
4. Berechnen Sie das Minimum der Gesamtenergie
ir erhalten die Gesamtenergie
¯
=
⇔ ¯
=
V2 β3
V2
b3
~2 b2
2
+
V
−
V
=
αβ
+
V
−
= αβ2 + V1 − V2 +
Ekin + E pot =
1
2
1
∗
3
3
2m 4
(b + Λ)
(1 + β)
(1 + β)3
"
#
γ
α β2 +
+ V1 − V2
(9.20)
(1 + β)3
mit α = ~2 Λ2 /(8m∗ ) und
γ=
V2 8V2 m∗
= 2 2
α
~Λ
(9.21)
Das Minimum liegt bei
0
=
"
#
d
3γ
d 2
γ
¯ ⇔ 0 =
β +
= 2β −
dβ
dβ
(1 + β)3
(1 + β)4
(9.22)
Wir setzen u = β + 1, sodass
5. Wir setzen V2 = eUbi − Ψ s , Λ, sowie m∗ als bekannt voraus und damit
γ(Ψ s , Λ) =
8V2 m∗
eUbi − Ψ s
= 8m∗
.
2
2
~Λ
~2 Λ2
(9.23)
9.5. SCHWACHE FORMULIERUNG IN EINER DIMENSION, KONTINUUMSLÖSUNGEN
115
Durch Minimierung erhalten wir βmin (γ) = βmin (Ψ s , Λ). Dann ist
V0 = E0 (βmin ) = Min(¯ ) = αβ2min + V1 − V2 +
Die Wellenfunktion ist dann nach (9.10)
s
b30 −b0 y/2
ζ0 (y) =
ye
)
2
mit
V2
= V0 (Ψ s , Λ).
(1 + βmin )3
b0 = Λβmin (Ψ s , Λ)
(9.24)
(9.25)
Es folgt der Überlappfaktor
C = C(b0 ) = C(Ψ s , Λ)
(9.26)
Mit Gl. (9.24) und (9.26) kann die Stromdichte mit der SMAT ausgewertet werden als Funktion von
V0 = E0 und C. Es werden zur Feststellung der Kalibrierungsfunktionen Ψ s (UG ) und Λ(UG ) bei
festem UG dasjenige Ψ s - und Λ-Paar gesucht, welches die rms-Funktion minimiert.
9.5
Schwache Formulierung in einer Dimension, Kontinuumslösungen
Wir betrachten die eindimenisonale Schrödingergleichung
#
" 2 2
~ d
+ V(x) − E ψ(x) = 0.
−
2m dx2
In schwacher Formulierung wird die Wellenfunktion in ein Basissystem von Testfunktionen
X
ψ(x ∈ Ω0 ) =
al χl (x)
(9.27)
(9.28)
l
entwickelt. Hier ist das Streugebiet gegeben durch das Intervall Ω0 = [x1 , x2 ].
1. Leiten Sie analog zur Vorlesung her, dass in schwacher Formulierung gelten muss
Z x2
Z x2
~2
~2 X
dx∂ x χl (x)∂ x ψ(x) +
dx(V − E)χl ψ =
χl,s ψSs ,
2m x1
2m s
x1
(9.29)
mit χl,s = χl (x s ). Wie definiert man im eindimensionalen Fall die Oberflächenableitung ψS
2. Wie lautet dass eindimensionale Analogon zur Definitionsgleichung
W sn = b sn ψ sn + ψSsn = b sn (ψ+sn + ψ−sn ) + ik sn (ψ+sn − ψ−sn ) = (b sn + ik sn )ψ+sn + (b sn − ik sn )ψ−sn
der unabhängigen Variablen W sn . Welche Beziehung ergibt sich nach Einführung von W sn .
Z x2
Z x2
~2
~2 X
~2 X
dx∂ x χl (x)∂ x ψ(x) +
dx(V − E)χl ψ +
b s χl,s ψ s =
χl,s W s .
2m x1
2m s
2m s
x1
(9.30)
(9.31)
Welches inhomogene Gleichungssystem erhält man nach Einsetzen von (??) Man schreibt dann für
die Oberflächenableitung auf der rechten Seite von (5.45)
~2 X
~ l,
χl,s W s ≡ Pl = (P)
2m s
(9.32)
116
KAPITEL 9. ÜBUNGEN ZU ’5. BERECHNUNG DER STROMTRANSISSION
wobei Pl die Inhomogenität des entstehenden linearen Gleichungssystems ist. Auf der linken Seite
von (5.45) führt man die Entwicklung der Wellenfunktionen (5.38) in die Testfunktionsbasis ein mit
dem Ergebnis
X
X
~2 X
b s χl,s ψ s =
b s χl,sn al0 χl0 ,s =
Cll0 al0
(9.33)
2m s
sl0
l0
wobei
(Ĉ)ll0 = Cll0 =
~2 X
b s χl,s χl0 ,s .
2m sn
(9.34)
Weiterhin folgt aus der Zerlegung der Wellenfunktionen in Basisfunktionen (5.35)
Z x2
Z x2
X
~2
dx∂ x χl ∂ x ψ +
dxχl (V − E)ψ =
(T ll0 + Vll0 − EMll0 )al0
2m x1
x1
l0
(9.35)
mit den symmetrischen Matrizen
(T )ll0 = T ll0 =
~2
2m
x2
Z
(V) = V =
ll0
dx∂ x χl ∂ x χl0 = T l0 l ,
(9.36)
x1
x2
Z
ll0
dvχl0 Vχl ,
(9.37)
dxχl0 (x)χl (x).
(9.38)
x1
und der Überlappmatrix
(M)ll0 = Mll0 =
Z
x2
x1
Die Gleichung (5.45) wandelt sich somit in ein inhomogenes System linearer Gleichungen
~
[H − EM + C] ~a = P
(9.39)
mit dem Koeffizientenvektor (~a)l = al und der reellen symmetrischen Matrix
H = T + V.
(9.40)
Eine eindeutige Lösung existiert, wenn det [H0 − EM + C] , 0 und wir finden
X
~ mit G = [H − EM + C]−1
~a = G P
⇒
al =
Gll0 Pl0 .
(9.41)
l0
Aus Gln. (5.35), (9.41), und (9.32) ergibt sich dann
X
X
X
~2 X
χl,sn χl0 ,s0 n0 Gll0 W s0 n0 ≡
R sn,s0 n0 W s0 n0
ψ sn =
al χl,sn =
χl,snGll0 Pl0 =
2m s0 n0 ll0
s0 n0
l
ll0
(9.42)
mit der gesuchten R-Matrix
R sn,s0 n0 =
9.6
~2 X
χl,sn χl0 ,s0 n0 Gll0 .
2m ll0
(9.43)
Schwache Formulierung in einer Dimension, gebundene Zustände
Für gebundene Zustände gilt ψ(|x| → ∞) = ∂ x ψ(|x| → ∞) = 0. Wir betrachten (9.31) im Limes x1 → −∞
und x1 → −∞. Dann folgt ψ s = ψSs = W s = 0 in Gl. (9.31) und somit wird (9.39) zu
[H − EM] ~a = 0.
(9.44)
Dieses ist ein homogenes Glechungssystem, welches nur lösbar ist, wenn
det(H − EM) = 0
⇒
E = En ,
wobei die Nullstellen En die Energien der gebundenen Zustände sind.
(9.45)
9.7. BERECHNUNG DER GREENSFUNKTION IN SCHWACHER DARSTELLUNG
9.7
117
Berechnung der Greensfunktion in schwacher Darstellung
Wir untersuchen die Bestimmungsgleichung für die eindimensionale Greensfunktion
" 2 2
#
~ d
−
+ V(x) − E G(x ∈ Ω0 , x0 ) = δ(x − x0 ),
2m dx2
(9.46)
wobei x0 ∈ Ω0 = [x1 , x2 ] ein fester Parameter ist. In schwacher Formulierung wird die Greensfunktion in
ein Basissystem von Testfunktionen entwickelt,
X
X
G(x ∈ Ω0 , x0 ) =
al (x0 )χl (x) ≡
al χl (x).
(9.47)
l
l
Wir multiplizieren (10.23) mit χl (x) und integrieren
" 2 2
#
Z x2
Z x2
~ d
0
dxχl (x) −
+ V(x) − E G(x, x ) =
dxχl (x)δ(x − x0 ) = χl (x0 ).
2m dx2
x1
x1
Hier bringt eine partielle Integration
Z x2
x2 Z
dxχl (x)∂2xG(x, x0 ) = χl (x)∂ xG(x, x0 ) x −
1
x1
x2
dx∂ x χl (x)∂ xG(x, x0 ).
(9.48)
(9.49)
x1
Es ergibt sich somit aus (9.48) analog zu (9.29)
~2
2m
x2
x2
~2 X
(−1) s χl (x s )∂ xG(x s , x0 )
2m s
x1
x1
Z x2
Z x2
~2
~2 X
⇔
χl (x s )ik sG(x s , x0 )
dx∂ x χl (x)∂ xG(x, x0 ) +
dxχl (V − E)G(x, x0 ) −
2m x1
2m
x1
s
Z
dx∂ x χl (x)∂ xG(x, x ) +
Z
0
dxχl (V − E)G(x, x0 ) −
= χl (x0 )
= χl (x0 ).
(9.50)
Im letzten Schritt wurde ausgenutzt, dass die retardierte Greensfunktion in den Kontakten auslaufenden
Randbedingungen in x genügt,
G(x ∈ Ω s , x0 ∈ Ω0 ) = A(x0 )eiks ζs ⇒ (−1) s ∂ xG(x s , x0 ) = ik sG(x s , x0 ).
(9.51)
Einsetzen von (9.47) in (9.50) führt auf



 Z x


Z x2
2
X
X


X
 ~2 X
~2
χl (x s )ik s  al0 χl0 (x s ) = χl (x0 )
dx∂ x χl (x)  al0 ∂ x χl0 (x) +
dxχl (V − E)  al0 χl0 (x) −
2m x1
2m s
x1
l0
l0
l0


Z
Z
x2
X x2
X ~2 X
X ~2



0
0
0
0
0
dx∂ x χl (x)∂ x χl (x)al +
dxχl (V − E)χl (x)al −
i
⇔
 k s χl (x s )χl (x s ) al0 = χl (x0 )
2m x1
2m s
x1
l0
l0
l0
.
Dieses schreiben wir in Matrixform
[T + V − EM + C] ~a = ~χ,
(9.53)
mit den Vektoren
(~χ)l = χl (x0 )
und
(~a)l = al .
(9.54)
(9.52)
118
KAPITEL 9. ÜBUNGEN ZU ’5. BERECHNUNG DER STROMTRANSISSION
Weiterhin liegen die Matrizen
T ll0 =
~2
2m
x2
Z
x1
Vll0 =
dx∂ x χ0l (x)∂ x χl0 (x),
(9.55)
x2
Z
dxχl Vχl0 (x),
(9.56)
x1
Mll0 =
x2
Z
dxχl χl0 (x),
(9.57)
x1
und
Cll0 = −i
~2 X
k s χl (x s )χl0 (x s )
2m s
(9.58)
vor. Es wird nun (9.53) inveriert,
al (x) =
X
Gll0 χl0 (x0 ),
G = [T + V − EM + C]−1 .
mit
(9.59)
l0
Damit lässt disch die Greenfunktion konstruieren,
X
G(x, x0 ) =
χl (x)Gll0 χl0 (x0 )].
(9.60)
ll0
Nach Fisher-Lee sind für den Transport wichtig
G(x1 , x1 ), G(x1 , x2 ), G(x2 , x1 ), und G(x2 , x2 ).
9.8
9.8.1
(9.61)
Variationsformulierung im gesamten Bereich der rellen Zahlen:
Finite Elemente und finite Differenzen
Beschränkte Basisfunktionen: Die Hütchenfunktionenbasis
Für die Variationsformulierung im gesamten Bereich der rellen Zahlen verwenden wir eine beschränkte
Basis, d. h. für jede Basisfunktion χl (x) gibt es ein endliches Intervall Il außerhalb dessen sie verschwindet,
χl (x < Il ) = 0.
(9.62)
Wir wählen als Beispiel die in Abb. 9.3 dargestellten verschobenen Hütchenfunktion.
(
χl (x) = Φ(x − xl ) =
1−
|x−xl |
∆
0
für |x − xl | ≤ ∆
sonst,
(9.63)
mit xl = l∆ wobei l ∈ Z. Hier bestimmt ∆ die Verschiebung und die Breite der Basisfunktionen, wobei Il =
[xl −∆, xl +∆. Wie in Abb. 9.4 illustriert, entsteht eine stückweise lineare Approximation der Wellenfunktion,
die an den Stützstellen exakt ist.
Wie in Abb. 9.4 illustriert, entsteht eine stückweise lineare Approximation der Wellenfunktion, die an den
Stützstellen exakt ist.
9.8. FINITE DIFFERENZENMETHODE
119
Abbildung 9.3: (a) Hütchenfunktionen der (N+1)-elementigen Finite-Elemente Basis χl (x) = Φl (x − xl ),
l = 0 . . . N, mit xl = l∆ und ∆ = 1/N, c) Im Zentrum unstetige Ableitung der Hütchenfunktionen.
9.8.2
Unendliches homogenes lineares Gleichungssystem: Finite Elemente und finite Differenzen
Wir schreiben in schwacher Formulierung
#
" 2 2
Z ∞
~ d
dxχl (x) −
+ V(x) − E ψ(x) = 0.
2m dx2
−∞
(9.64)
Hier bringt die partielle Integration aufgrund des Verschwindens der Testfunktionen im Unendlichen
Z
Z
2
dxχl (x)∂ x ψ(x) =
dx∂ x χl (x)∂ x ψ(x).
(9.65)
Einsetzen der Entwicklung
ψ(x) =
X
ψl χl (x)
(9.66)
l
führt auf einen Ausdruck wie (9.39) nur mit Es entsteht analog unendliches homogenes Gleichungssystem
[T + V − EM+] ψ = 0.
(9.67)
mit (ψ)l = ψl und der Überlappmatrix
Mll0 =
Z
dxχl (x)χl0 (x) = δ j, j0
∆
2∆
+ δ| j− j0 |,1 ,
3
6
(9.68)
120
KAPITEL 9. ÜBUNGEN ZU ’5. BERECHNUNG DER STROMTRANSISSION
Abbildung 9.4: Entwicklung einer Funktion f (x) (rot) in eine Finite-Elemente-Basis mit N = 8 Elementen
(grün). Es entsteht eine stückweise lineare Approximation der Funktion, die an den Stützstellen exakt ist.
und der kinetischen Energiematrix
~2
T ll0 =
2m
Z
dxχ0l (x)χ0l0 (x)
"
#
~2
2
1
=
δ j, j0 − δ| j− j0 |,1 .
2m
∆
∆
(9.69)
Für die potenzielle Energiematrix nähern wir für ausreichend kleine ∆ im Bereich der Hütchenfunktionen
Z
Z
Vl + Vl0
V(xl ) + V(xl0 )
dxχl (x)χl0 (x) =
Mll0 ∼ Vl Mll0 .
Vll0 =
dxχl (x)V(x)χl0 (x) =
(9.70)
2
2
Weiterhin
X
(Vll0 − EMll0 )ψl0 = (Vll−1 − EMll−1 ) ψl−1 + (Vll − EMll ) ψl + (Vll+1 − EMll+1 ) ψl+1
l0
=
(Vl − E)
2∆
∆
(ψl−1 + ψl+1 ) +(Vl − E) ψl = ∆(Vl − E)ψl .
6 | {z }
3
(9.71)
∼2ψl
Insgesamt
"
#
X
2
1
~2
− ψl + (ψl+1 + ψl−1 ) + ∆(Vl − E)ψl = 0.
(T ll0 + Vll0 − EMll0 )ψl0 = −
2m ∆
∆
l0
(9.72)
Nach Division mit ∆ erhält man die bekannte finite-Differezengleichung
−
~2 1 ψl+1 + ψl−1 − 2ψl + (Vl − E)ψl = 0.
2m ∆2
(9.73)
Das unendlich dimensionale homogene Gleichungssystem (9.67) ist nur eindutig lösbar entweder mit geeigneten Randbedingungen oder mit geeigneten Anfangswerten. Im Folgende
9.9. REKURSIVE BERECHNUNG DER STROMTRANSMISSION ALS ANFANGSWERTPROBLEM121
9.9
9.9.1
Rekursive Berechnung der Stromtransmission als Anfangswertproblem
Diskretisierung der Schrödingergleichung
Bei der Berechnung des Bauelementestroms nach Gl. (??) ist die Ermittelung der Stromtransmission in Gl.
(6.61) der wichtigste Schritt. Diese kann im Allgemeinen nur numerisch erfolgen, wobei hier das einfachste
Verfahren, das finite Differenzenverfahren, beschrieben werden soll: Zunächst schreiben wir Gl. (6.54) in
der Form
"
#
" 2
#
1 d2
d
− 2 2 + v(ẑ) − ˆ ψ̂(ẑ, ˆ ) = 0 ⇔
+
w(z)
ψ(z) = 0,
(9.74)
l dẑ
dz2
mit
w(z) = l2 [ − v(ẑ)] .
(9.75)
Zur Vereinfachung der Schreibweise wird in diesem Kapitel grundsätzlich von normierten Größen ausgegangen, ẑ → z, ψ̂(ẑ, ˆ ) → ψ(z) und ˆ → . Es gilt mit k̂1 → k1
w(z < 0) = l2 = k12
w(z > 0) = l2 [ − vD ] = k22 .
(9.76)
Als konkretes Beispiel diehne das idealiserte Doppelbarrierenpotenzial
v(z < 0) = 0
und
v(z > 1) = −VD
(9.77)
in den Kontakten und
v(0 ≤ z ≤ 1) = v0 [Θ(l1 − z) + Θ(z − l2 )]
(9.78)
im Streugebiet. Wir diskretisieren Gl. (6.54) mit den Setzungen
Abbildung 9.5: Normiertes Doppelbarrierenpotenzial v(z) mit den Teilungsverhältnissen l1 und l2 .
z → zn = n∆
mit
∆→0
und
− NS ≤ n ≤ N + ND .
(9.79)
122
KAPITEL 9. ÜBUNGEN ZU ’5. BERECHNUNG DER STROMTRANSISSION
Mit ∆ = 1/N wird durch die Bedingung 0 ≤ n ≤ N das Streuintervall 0 ≤ z ≤ 1 parametrisiert, welches in
N Stützstellen aufgeteilt wird. Die Werte −NS ≤ n < 0 bedeuten den Sourcebereich des Grundgebietes mit
−zS ≤ z ≤ 0. Die Werte N + 1 ≤ n ≤ N + ND bedeuten den Drainbereich. Wir definieren
ψ(z) → ψ(zn ) = ψn
w(z) → w(zn ) = wn .
und
(9.80)
Es ist ∆ so zu wählen, dass sowohl ψn als auch wn schwach veränderliche Funktionen von n sind. Dann ist
d
ψn − ψn−1
ψ(z) →
dz
∆
(9.81)
d2
1 ψn+1 − ψn ψn − ψn−1 1
ψ(z)
⇒
−
= 2 [ψn+1 + ψn−1 − 2ψn ].
2
∆
∆
∆
dz
∆
(9.82)
und wir schreiben für die zweite Ableitung
Aus (9.74) ergibt sich
1
(ψn+1 + ψn−1 − 2ψn ) + wn ψn = 0.
(9.83)
∆2
Mit tˆ1 (ˆ ) → t und r̂1 (ˆ ) → r liefert Gl. (6.56) für den sourceeinlaufenden Streuzustand die Asymptotik


r exp (−ik1 n∆) + exp (ik1 n∆) für n ≤ 0

1 

ψn = √ 
(9.84)

 t exp (ik n∆)
2π 
für n ≥ N.
2
Hieraus folgt
√
n
n
2π
1
r
ψn≤0 ≡ φn≤0 = eik1 N + e−ik1 N
t
t
t
und
√
n
2π
ψn≥N ≡ φn≥N = eik2 N .
t
9.9.2
(9.85)
(9.86)
Rekursive Streuwellenkonstruktion
Wir schreiben nun Gl. (9.83) in der Form
φn−1 = −φn+1 + 2 − ∆2 wn φn .
(9.87)
Aus Gl. (9.85) lassen sich mit n = N + 1 und n = N + 2 die Anfangswerte
φN+1 = eik2 (N+a)
φN+2 = eik2 (N+2)
und
(9.88)
entnehmen. Die rekursive Anwendung von (9.87) ergibt φn im gesamten Gebiet, insbesondere
φ−1 =
1 −ik1 r ik1
+ e
e
t
t
(9.89)
und
1 −ik1 2 r ik1 2
e
+ e .
(9.90)
t
t
Die Gleichungen (9.89) and (9.90) stellen zwei lineare Gleichungen zur Bestimmung der beiden Variablen
φ−2 =
t=
1 1 − e−2ik1
φ−1 eik1 − φ−2
φ−1
(9.91)
9.10. R-MATRIX IN EINNIVEAUNÄHERUNG
123
und r dar. Es folgt die Stromtransmission T = k1−1 |t|2 k2 . Über die Bestimmung von t hinaus findet man die
Streufunktion im gesamten Ortsbereich nach
t
ψn = √ φn .
2π
(9.92)
Die Berechnung der draineinfallenden Streuzustände wird in den Übungen durchgeführt.
9.9.3
Anwendung: Doppelbarrierensystem mit Tsu-Esaki Formel
Mit dem Programm DOU BLE berechnen wir die Kennlinie einer Doppelbarrierenstruktur mit einem Streupotenzial wie in Gln. (9.77) und (9.78)
v(z < 0) = 0
und
v(z > 1) = −VD
(9.93)
in den Kontakten und
v(0 ≤ z ≤ 1) = v0 [Θ(l1 − z) + Θ(z − l2 )]
(9.94)
mit dem Parameter l1 = 0.25 und l2 = 0.75 und v0 = 2.0. Die charakteristische Länge sei l = 5 und die
Temperatur u = kB T/F = 0.1. Zunächst wird das Barrierenpotenzial und die Stromtransmission bei den
Werten vD = 0., 0.6, 1.2, 1.8, 2.4 und 3.0 berechnet
9.10
R-matrix in Einniveaunäherung
n Einniveaunäherung wird angenommen, dass der Leitungskanal in y- und z-Richtung sehr eng ist. Dann
lassen sich im OFF-state und im Thresholdbereich die höheren Transversallevel ETk vernachlässigen. Diese
haben aufgrund des Energienenners in (??) einen vernachlässigbaren Einfluss. Bei ausschließlicher Berücksichtigung der untersten Transversalmode im Kanal (s. 5.90)
r
π 2
~2 π 2
sin
z
mit der Energie ET0 = 0 +
(9.95)
φ0 (y, z) = ζ0 (y)
W
W
2m∗ W
findet man in der Einniveaunäherung
R s0 n0 ,sn = −
X χλ (x s0 )χλ (x s )
~2
φ0,n0 φ0,n
= φ0,n0 φ0,n Res0fsf = δnz ,0 δn0z ,0 ζ0,ny ζ0,n0y
0
λ
2m
E − ET − E L
λ
(9.96)
~ )n = φ0,n mit dem dyadischen Produkt mit sich selbst (φ
~ ⊗φ
~ )n0 n = φ0,n0 φ0,n .
Hier definieren wir den Vektor (φ
ef f
und führen die effektive 2 × 2 R-Matrix R ein mit
Ressf0f = −
~2 χλ (x s0 )χλ (x s )
.
2m E − ET0 − E Lλ
(9.97)
In Einniveaunäherung ist die R-Matrix (9.96) also das Matrixprodukt einer effektiven 2 × 2-Matrix Re f f
im s-Index mit einem dyadischen Produkt im m-Index. Wie wir sehen werden, kann die zu einer solchen
R-Matrix nach Gl. (5.67) gehörige S-Matrix in guter Näherung analytisch behandelt werden. Es l ässt sich
dann die semiempirische Transistortheorie entwickeln, die wir im nächsten Kapitel behandeln.
124
9.11
KAPITEL 9. ÜBUNGEN ZU ’5. BERECHNUNG DER STROMTRANSISSION
R-Matrix bei Homogenität in Breitenrichtung
Die Einniveaunäherung (9.96) kann bei einem allgemeinen separablen Potenzial (5.84) angewendet werden.
Das stückweise stetige Potenzial (5.78) ist zusẗzlich homogen in z-Richtung, was im allgemeinen separablen
Potenzial nicht der Fall ist. Bei Homogenität in z-Richtung kann unabhängig von der Einniveaunäherung
die R-Matrix in folgender Weise vereinfacht werden: Es gilt in Gl. (10.10) mit (5.90) und (??)
χl,sn
= χl,sny nz =
Z
D
Z
W
dy
dzΦn (y, z)χl (x s , y, z)
0
0
!
Z
Z
n π n π D
W
k2 π
23/2
y
z
λ
dy
dz sin
y sin
z ζk1 (y) sin
z
= χ (x s ) √
D
W
W
0
DW 0
r Z
n π D
2
y
dy sin
= χλ (x s )δk2 ,nz
y ζk1 (y) ≡ χλ (x s )δk2 ,nz ζk1 ,ny .
D 0
D
(9.98)
Es folgt mit (??) und (5.90)
~2 X χλ (x s0 )δk2 ,n0z ζk1 ,ny0 χλ (x s )δk2 ,nz ζk1 ,ny
~2 X χl,s0 n0 χl0 ,sn
= δnz ,n0z R s0 n0y ,sny (E xy )
=−
k π 2
2m l
E − El
2m λ,k ,k
~2
λ
2
−
−
E
−
E
1 2
k1
L
2m∗ W
(9.99)
mit der dimensionsreduzierten R-Matrix
R s0 n0y n0z ,sny nz = −
R s0 n0y ,sny (E xy ) = −
~2 X χλ (x s0 )ζk,ny0 χλ (x s )ζk,ny
2m λ,k
E xy − E Lλ − k
(9.100)
und der erhaltenen Energie der Bewegung in der x − y-Ebene
E xy = E −
~2 nz π 2
= E xy (nz )
2m∗ W
(9.101)
9.11. R-MATRIX BEI HOMOGENITÄT IN BREITENRICHTUNG
125
Abbildung 9.6: Oben Doppelbarrierenpotenzial unten Stromtransmission mit vD = 0., 0.6, 1.2, 1.8, 2.4 und
3.0.
Kapitel 10
Übungen zu ’6. Ein Quantitatives
semiempirisches Transistormodell’
10.1 Überlappfunktionen in Multilevelnäherung
Wir erhalten mit Gln. (??) und (??)
X
0
T =
Θ(E − E⊥n )Θ(E − E⊥n + VD )φkn φkn0 φk0 n φk0 n0 t˜ke0f f,1 (t˜ke f f,1 )∗
nn0 kk0
=
X
0
0
ckk (E)ckk (E + VD )t˜ke0f f,1 (t˜ke f f,1 )∗ =
kk0
X
0
C kk t˜ke0f f,1 (t˜ke f f,1 )∗
(10.1)
kk0
Hier beschreiben die symmetrischen, reellen Überlappfaktoren
X
0
0
0
0
ckk (E) =
Θ(E − E⊥n )φk,n φk0 n und C kk = ckk (E)ckk (E + VD )
(10.2)
n
den Überlapp zwischen den Transversalmoden in den Kontakten und den Transversalmoden im Leitungskanal. Ohne die Terminierung Θ(E − E⊥n + V s ) gilt, dass
X
0
c̄kk =
φk,n φk0 n = δkk0 ⇒ ckk < c̄kk = 1,
(10.3)
n
sodass auch
0 < C kk ≤ 1.
(10.4)
10.2
Semiempirisches Transistormodell in einem allgemeinen separablen Potenzial
10.2.1
Strom-S-Matrix und Stromtransmission
Im Rahmen der R-Matrix-Eigenfunktionsmethode weisen die in (5.58) allgemein definierten Wigner-Eisenbud
Funktionen im separablen Potenzial V(~r) = VL (x) + VT (y, z) (5.84) die Produktform
χl (~r) = χλ (x)φk (y, z)
l = (λ, k)
126
(10.5)
10.2. EINNIVEAUNÄHERUNG IM QUANTENDRAHTTRANSISTOR
127
(s. Gl. (??) auf. Die Wigner-Eisenbud Energien sind gegeben durch
El = E Lλ + ETk
(10.6)
(s. Gl. (5.87)). Hier sind die E Lλ und die χλ definiert durch das eindimensionale longitudinale WignerEisenbudproblem (5.89)





 ~2 d2
x
 χ (x) = 0
−
λ
(10.7)
−E
−eU
D
 λ
 2m∗ dx2
L
L


| {z }
VL (x)
mit den von Neumann-Randbedingungen
χ0λ (0) = χ0λ (L) = 0.
(10.8)
Die Wigner-Eisenbud Transversalmoden φk und -Transversalenergien ETk im Kanal sind Lösungen von
(5.88)
"
!
#
~2 d 2
d2
k
− ∗
+
+
V
(y,
z)
−
E
(10.9)
T
T φk (y, z) = 0.
2m dy2 dz2
Weiterhin gilt für die Oberflächenprojektion (5.93) der Wigner-Eisenbud Transversalmoden auf die Transversalmoden Φn im Kontakt
Z D Z W
Z D Z W
χλ,sn =
dy
dzΦn (y, z)χl (x s , y, z) = χλ (x s )
dy
dzΦn (y, z)φk (y, z) = χλ (x s )φk,n . (10.10)
0
0
0
|0
{z
}
φk,n
Im separablen Potenzial könen wir also schreiben
R sn,s0 n0 = −
~2 X χλ (x s )φk,n χλ (x s0 )φk,n0 X
~2 X χl,sn χl,s0 n0
=−
=
φk,n φk,n0 Rkss0 ,
2m l E − El
2m λ,k
E − E Lλ − ETk
k
(10.11)
mit der eindimensionalen R-Matrix
Rkss0 = −
~2 X χλ (x s )χλ (x s0 )
.
2m λ E − ETk − E Lλ
(10.12)
Für die Omega-Matrix ergibt sich
1/2
Ω sns0 n0 = k1/2
sn R sns0 n0 k s0 n0 =
X
1/2
k
k1/2
sn k s0 n0 φk,n0 φk,n R ss0 .
(10.13)
k
10.2.2
Strom-S-Matrix und effektive Transmission in effektiver Einniveauäherung
Um eine analytische Inversion von 1 − iΩ in (5.70) zu ermöglichen, nutzen wir die schwache Energieabhängigkeit der k1/2
sn aus und setzen
r
r
∗
2m∗
+ 2m
n
(E − E⊥ − V s ) ∼
(E − E⊥11 + V s ) = kes f ,
(10.14)
k sn =
2
~
~2
mit V1 = 0 undV2 = eU D . Dies bedeutet, die Wellenzahl der einlaufenden Moden k sn wird mit ihrem Maximalwert kes f approximiert. Dieser Maximalwert entspricht der Wellenzahl eines eindimensionalen Teilchens,
welches sich mit der Energie E in einem Potenzial V s − E⊥11 bewegt. Einsetzen dieses Ausdrucks in (5.69)
X
X
Ω sns0 n0 ∼
(kes f )1/2 (kes0f )1/2 φk,n0 φk,n Rkss0 =
φk,n0 φk,n Ωkss0
(10.15)
k
k
128KAPITEL 10. ÜBUNGEN ZU ’6. EIN QUANTITATIVES SEMIEMPIRISCHES TRANSISTORMODELL’
mit den eindimensionalen Ω-Matrizen
Ωkss0 = (kes f )1/2 (kes0f )1/2 Rkss0 .
(10.16)
Nach Gl. (5.70) erfordert die Konstruktion der S -Matrix die Inversion von 1 − iΩ. In der Näherung (10.14)
kann diese Inversion analytisch ausgeführt werden mit dem Ergebnis
!
!
X
1
1
.
(10.17)
=
φk,n φk,n0
1 − iΩ sns0 n0
1 − iΩk ss0
k
Dieses kann explizit verifiziert werden,
"
!#
!
X
1
1
(1 − iΩ)
=
(1 − iΩ) sn,s00 n00
1 − iΩ sns0 n0 s00 n00
1 − iΩ s00 n00 ,s0 n0
!
X
1
=
δ sn,s00 n00 − iΩ sn,s00 n00
1 − iΩ s00 n00 ,s0 n0
s00 n00
!
X h
i
1
k
=
φk,n φk,n00 δ s,s00 − iφk,n φk,n00 Ω ss00 φk0 ,n00 φk0 ,n0
1 − iΩk0 s00 s0
s00 n00 kk0
!
X
h
i
1
k
=
φk,n φk,n00 φk0 ,n00 φk0 ,n0 δ s,s00 − iΩ ss00
| {z }
1 − iΩk0 s00 s0
s00 n00 kk0
δkk0
=
=
!
1
ss00 1 − iΩk0 00 0
s s
s00 kk0
X
X
i " 1 #
h
0
φk,n φk,n0 1 − iΩk 00
=
δ
φkn φkn0 = δ ss0 δnn0 .
ss
ss
1 − iΩk s00 s0
s00 k
k
X
i
h
φk,n δk,k0 φk0 ,n0 1 − iΩk
Hier haben wir die Orthonormalitäts- und die Vollständigkeitsrelation
X
X
φk,n φk0 ,n = δkk0
und
φk,n φk,n0 = δnn0
n
(10.18)
(10.19)
k
verwendet.
Aus (10.17) ergibt sich nun die Stromtransmission
X
X
0
0
0
−1
T =
Θ(E − E⊥n )Θ(E − E⊥n − V2 )k2n0 | |{z}
t1,n n |2 k1n
=
Θ(E − E⊥n )Θ(E − E⊥n + eU D )|S̃ 2n0 ,1n |2
nn0
=
=
=
nn0
S 2n0 ,1n
2
!
2
0
Θ(E − E⊥n )Θ(E − E⊥n + eU D ) 1
−
iΩ
0
2n 1n
nn0
! 2
X
X
2
n
n0
Θ(E − E⊥ )Θ(E − E⊥ + eU D ) φk,n0 φk,n
k
1 − iΩ 21 k
nn0
!
!∗
X
2
2
0
Θ(E − E⊥n )Θ(E − E⊥n + eU D )φk,n φk0 ,n φk,n0 φk0 ,n0
1 − iΩk 21 1 − iΩk0 21
kk0 nn0
X
= C(E)T e f ,
(10.20)
mit der Überlappfunktion
C(E) =
X
nn0
Θ(E −
E⊥n )Θ(E
−
0
E⊥n
+
eU D )φ21,n φ21,n0


X 2 2

≤  φ1,n  = 1
n
(10.21)
10.2. EINNIVEAUNÄHERUNG IM QUANTENDRAHTTRANSISTOR
129
und der effektiven Strom-Transmission
T
ef
! 2
2
.
=
1 − iΩ1 21 (10.22)
Im letzten Schritt wurde die Einniveaunäherung eingeführt, d. h. nur der k = k0 = 1-Term mit der Transversalenergie ET1 (s. Gln. (10.9) und (10.24)) wurde berücksichtigt.
10.2.3
Berechnung der effektiven Transmission im effektiven 1d-Streuproblem
ie Überlappfunktion C(E) in (10.20) beschreibt den Wellenfunktionsüberlapp der aktiven Transversalmoden in den Kontakten mit der niedrigsten Transversalmode im Leitungskanal. Im Anhang A in Abschnitt
?? zeigen wir: Die effektive Stromtransmission T e f ist identisch mit der Stromtransmission in einem eindimensionalen effektiven Streuproblem definiert durch die Schrödingergleichung
"
#
~2 d2
ef
− ∗ 2 + V (x) − E ψe f (x) = 0
(10.23)
2m dx
mit dem Streupotenzial
 11

E


 ⊥1
+ VL (x) = ET1 − eU D Lx
E
V e f (x) = 


 ET11 − eU
D
⊥
für x < 0
für 0 ≤ x ≤ L
für x ≥ L
(10.24)
(x1 = 0, x2 = L, s. Abb. 10.1). Hier stammt VL (x) = −eU D x/L von unserem separablen Potenzialansatz
V(~r) = VT (y, z) + VL (x). Die Asymptotik der sourceemittierten Streuzustände lautet
ef
ef
ψe f (x < 0) = eik1 x + re f e−ik1 x ,
und in der Drain durch
ef
ψe f (x ≥ L) = te f eik2
(10.25)
(x−L)
In den Übungen wird gezeigt, dass die effektive Strom-Transmission T
sionskoeffizienten te f in (10.26) gegeben ist vermittels
(10.26)
ef
in Gl. (10.22) durch die Transmi-
T e f = k2e f |te f |2 (k1e f )−1 .
(10.27)
Durch diesen Zusammenhang wird T e f intuitiv interpretierbar.
Die Einniveaunäherung überführt die Landauer-Büttiker Formel in
Z
Z
q ∞
q ∞
I =
dE f (E − µ) − f (E − µ + eU D ) T (E) =
dE f (E − µ) − f (E − µ + eU D ) C(E)T e f (E)
h 0
h 0
Z
ef
q ∞
dE f (E − µ) − f (E − µ + eU D ) T (E),
(10.28)
∼ C
h 0
wobei im letzten Schritt die Überlappfunktion als konstant angenommen wurde, C(E) = C.
130KAPITEL 10. ÜBUNGEN ZU ’6. EIN QUANTITATIVES SEMIEMPIRISCHES TRANSISTORMODELL’
Abbildung 10.1: Das effektive Potenzal v( x̂) = V(x)/E F in Gln. (10.24) und (6.55) mit E⊥11 = 0 und
v0 = ET1 /E F .
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