Versicherungsmathematik

Finanz- und Versicherungsmathematik 2:
Versicherungsmathematik
I) Lebensversicherung
II) Schadensversicherung
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I. Lebensversicherungsmathematik
Rechnungsgrundlagen:
Zinsrechnung, Wahrscheinlichkeitsrechnung, (Kosten)
2
1. Zinsrechnung, Renten
Notation:
i...jährliche effektive Zinsrate,
1
v = 1+i
...Diskontierungsfaktor
Ewige Renten:
a) Barwert (BW) einer vorschüssigen Rente:
ä∞| = 1 + v + v 2 + · · · =
1
1−v
b) BW einer nachschüssigen Rente:
a∞| = v + v 2 + v 3 · · · =
1
v
=
1−v
i
(unterjährig vorschüssig, nachschüssig...)
3
Zeitrenten: Dauer n Jahre
a) BW einer vorschüssigen n–jährigen Rente:
än|
1 − vn
1 − vn
=
=
1−v
d
b) BW einer nachschüssigen n–jährigen Rente:
an|
1 − vn
= v + v + v ··· + v =
i
2
3
n
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2. Wahrscheinlichkeit:
Lebensdauer, Überlebens- und
Sterbewahrscheinlichkeit
Die zukünftige Lebensdauer einer Person des Alters x
ist T = T (x).
T ist eine Zufallsvariable mit der Verteilungsfunktion
G(t) = P (T ≤ t), t ≥ 0
Annahme: G stetige Verteilung mit Dichte g(t) = G0 (t).
t–jährige Sterbewahrscheinlichkeit einer x–jährigen
Person (d.h. Ws., daß (x) innerhalb von t Jahren stirbt):
t qx
= G(t)
t–jährige Überlebenswahrscheinlichkeit einer x–jährigen
Person (d.h. Ws., daß (x) mindestens t Jahre überlebt):
t px
= 1 − G(t)
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Wahrscheinlichkeit, daß x–jährige Person die nächsten s
Jahre überleben und dann innerhalb von t Jahren sterben
wird:
s|t qx
= P (s < T < s + t) = G(s + t) − G(s) =
s+t qx
− s qx
Bedingte Ws., dass x-j. Person nach Erreichen des Alters x + s weitere t Jahre leben wird:
t px+s
= P (T > s + t|T > s) =
1 − G(s + t)
1 − G(s)
t–jährige Sterbewahrscheinlichkeit gegeben, daß Alter
x + s erreicht wurde:
t qx+s = P (T ≤ s + t|T > s) =
G(s + t) − G(s)
1 − G(s)
Es gilt:
s+t px
=
s|t qx =
s px t px+s
s px t qx+s
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Lebenserwartung einer x-j. Person:
◦
E[T ] wird mit ex bezeichnet:
◦
ex =
=
Z
∞
Z0∞
0
tg(t)dt
[1 − G(t)]dt =
Z
∞
t px dt
0
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Sterblichkeitsintensität:
Sterblichkeitsintensität der x-j. Person im Alter x + t:
µx+t =
g(t)
d
= − ln[1 − G(t)]
1 − G(t)
dt
Die Ws., daß x-j. Person zwischen den Zeitpunkten t
und t + dt sterben wird, ist:
g(t)dt = P (t < T < t + dt) =
t px µx+t dt
Und es gilt:
◦
ex =
Z
∞
t tpx µx+tdt
0
d
Und weil µx+t = − dt
ln tpx , gilt:
Rt
−
µx+s ds
0
t px = e
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Analytische Verteilungen von T
De Moivre (1724): oberstes Alter ω für das menschliche Leben, T gleichverteilt zwischen 0 und ω − x.
1
D.h. g(t) = ω−x
für 0 < t < ω − x.
µx+t =
1
, 0 < t < ω − x.
ω−x−t
Gompertz (1824): Parameter B > 0, c > 1
µx+t = Bcx+t, t > 0
Makeham (1860): Parameter A > 0, B > 0, c > 1
µx+t = A + Bcx+t, t > 0
Weibull (1939): Parameter k > 0, n > 0
µx+t = k(x + t)n
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Gestutzte Lebensdauer einer x-j. Person
K = bT c... ganzzahlig gestutzte zukünftige Lebensdauer (nur ganze Jahre werden gezählt).
Verteilung von K:
P (K = k) = P (k < T < k + 1) =
k px qx+k ,
für k = 0, 1, 2, . . .
E[K] heißt gestutzte Lebenserwartung einer x–jährigen
Person und wird mit ex bezeichnet.
ex =
=
∞
X
k=1
∞
X
kP (K = k) =
P (K ≥ k) =
k=1
∞
X
k k px qx+k
k=1
∞
X
k px .
k=1
T = K + S. Zufallsvariable S hat stetige Verteilung,
die zwischen 0 und 1 konzentriert ist, E[S] kann mit 12
approximiert werden. Also
◦
ex ≈ ex +
1
2
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3. Kapitalversicherungen
Äquivalenzprinzip
BW der rechnungsmäßigen Leistungen
=
BW der rechnungsmäßigen Gegenleistungen
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Ablebensversicherung (Life Insurance):
a) Lebenslänglich (whole life):
Ein Kapital von 1 zahlbar am Ende des Jahres, indem der
Tod eingetreten ist, d.h. Auszahlungszeitpunkt K + 1
ist zufällig. Barwert der Leistung ist Z = v K+1 .
Nettoeinmalprämie (NEP) nach dem Äquivalenzprinzip:
Ax = E[Z]
∞
∞
X
X
k+1
v
P (K = k) =
v k+1 k px qx+k
=
k=0
k=0
b) Temporär (term insurance):
Dauer n. Das Kapital 1 wird nur ausbezahlt, falls der
Tod in den ersten n Jahren eintritt, d.h.
Z=v
K+1
1I{K≤n−1} =
v K+1
0
für K = 0, 1, . . . , n − 1
für K = n, n + 1, . . .
NEP A1x:n| :
A1x:n|
=
n−1
X
v k+1 k px qx+k
k=0
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c) um m Jahre aufgeschoben und unbegrenzte Dauer:
Z = v K+1 1I{K>m−1}
NEP
0
v K+1
für K = 0, 1, . . . , m − 1
für K = m, m + 1, . . .
m| Ax :
m| Ax
=
m px v
m
Ax+m = Ax − A1x:m|
d) um m Jahre aufgeschoben, Dauer n:
Z = v K+1 1I{m−1<K≤n−1}
NEP
m|n Ax :
m|n Ax
= Ax − A1x:m| −
m+n| Ax
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