QM1 Skript Stefan

46
zeigen wir, daß dies jeweils maximal
Systeme sind.
Eine Funktion F : S d−1 −→ C
flächenfunktion vom Grad k ∈ N,
genes harmonisches Polynom P vom
linear unabhängige
heißt eine Kugelwenn es ein homoGrad k gibt mit
F (ω) = P(ω) = P(rω)/rk ∀ω ∈ S d−1 .
(140)
Es ist faszinierend, daß diese spärlichen Informationen
bereits ausreichen um zu zeigen, daß die Kugelflächenfunktionen in L2 (S d−1 ) total sind:
Satz VIII.1 (Approximationssatz) Zu jeder stetigen
Funktion f : S d−1 −→ C und zu jedem ε > 0 existiert eine (endliche) Summe F von Kugelflächenfunktionen mit
|f (ω) − F (ω)| < ε ∀ω ∈ S d−1 .
Insbesondere ist die Menge der Kugelflächenfunktionen
total in L2 (S d−1 ).
Beweis VIII.2 Der Beweis ist eher technisch und wenig
instruktiv für den weiteren Aufbau der Theorie, weshalb
wir ihn der Mathematik überlassen. Sie können ihn in
jedem guten Werk zur Theorie der Linearen Operatoren
in Hilbert–Räumen finden.
Grob ist die Idee folgende: Sie überzeigen sich zunächst
von der Aussage, daß für jedes homogene (aber nicht notwendig harmonische) Polynom Q vom Grad l ∈ N gilt,
�
2k
Q(x) =
|x| Hl−2k ,
Da φ ein harmonisches Polynom vom Grad l ist, gilt für
alle ω ∈ S d−1 :
�
�
0 = ∆φ(x) |x=ω = ∆ |x|l Φ(x/|x|) |x=ω
�
��
�
= ∆r + ∆Ω /r2 |x|l Φ(x/|x|) |x=ω
= [l(l − 1) + (d − 1)l] |x|l−2 Φ(x/|x|) |x=ω
+|x|l−2 ∆Ω Φ(x/|x|) |x=ω
= l(l + d − 2)Φ(ω) + (BΦ) (ω) ,
also gilt BΦ = −l(l + d − 2)Φ. ∗–< [{; 0)
Wir wollen uns nun einen Überblick über die Gesamtheit der Kugelflächenfunktionen verschaffen, d.h. insbesondere, daß wir die Anzahl N (l, d) der linear unabhängigen Kugelflächenfunktionen vom Grad l ∈ N in d ∈ N
Variablen auf S d−1 bestimmen. Wir wissen bereits, daß
N (0, d) = 1, N (1, d) = d ∀d, und N (l, 1) = 0 ∀l ≥ 2.
Sei zunächst A(l, d) die Anzahl linear unabhängiger homogener (nicht notwendig harmonischer) Polynome vom
Grad l ∈ N in d ∈ N Variablen. Da jedes homogene Polynom f vom Grad l > 1 ind d > 1 Variablen in der
Form
f (x1 , . . . , xd ) =
Die zentrale Bedeutung der Kugelflächenfunktionen für
die analytische Theorie des Bahndrehimpulses liegt in
folgendem
Satz VIII.2 Sei
B
der
Laplace–Beltrami–
Differentialausdruck auf S d−1 . Dann gilt
(a): B ist auf C ∞ (S d−1 ) wesentlich selbstadjungiert. Die
selbstadjungierte Vervollständigung nennen wir den
Laplace–Beltrami–Operator in L2 (S d−1 ).
(b): Jede Kugelfunktion F vom Grad l ist Eigenfunktion
von B zum Eigenwert −l(l + d − 2). Insbesondere
bilden Kugelfunktionen eine vONB.
Beweis VIII.3 Wir zeigen hier nur (b). Ist Φ eine Kugelflächenfunktion vom Grad 0, so ist Φ konstant, also
Eigenfunktion von B zum Eigenwert 0 = 0(0 + d − 2).
Sei Φ eine Kugelflächenfunktion vom Grad l ≥ 1,
�
|x|l Φ(x/|x|) für x ∈ Rd − {0} ,
df
φ(x) =
0
für x = 0 .
l
�
gl−k (x1 , . . . , xd−1 ) (xd )k ,
k=0
mit homogenen Polynomen gp vom Grad p ∈ N in (d − 1)
Variablen geschrieben werden kann, gilt
A(l, d) =
0≤k≤l/2
mit homogenen harmonischen Polynomen Hp vom Grad
p ∈ N.
Im Beweis dieser Aussage steckt die Hauptarbeit. Dann
nutzen Sie einen anderen berühmten Approximationssatz
— den von Weierstraß — und sind am Ziel. ∗–< [{; 0)
(141)
l
�
k=0
A(k, d − 1) .
(142)
Mit Hilfe von A(l, 1) = 1 ∀l ≥ 0 und
�
�
p � �
�
k
p+1
=
für p ≥ n ,
n
n+1
(143)
k=n
erhalten wir durch vollständige Induktion
�
�
l+d−1
A(l, d) =
für d ≥ 1 , l ≥ 0 .
d−1
(144)
Um damit N (l, d) zu bestimmen, wollen wir zuerst die
allgemeine Form eines homogenen harmonischen Polynoms u von Grad l ∈ N in d ∈ N Variablen ermitteln.
Zunächst gilt wieder
u(x1 , . . . , xd ) =
l
�
k
al−k (x1 , . . . , xd−1 ) (xd ) ,(145)
k=0
mit homogenen Polynomen ap vom Grad p ∈ N. Damit ist u genau dann harmonisch, wenn mit ∆� :=
∆ − (∂/∂xd )2 folgendes gilt:
0 = ∆u(x) =
l−2
�
∆� al−k (x1 , . . . , xd−1 ) (xd )
k
k=0
+
l
�
k=2
k(k − 1)al−k (x1 , . . . , xd−1 ) (xd )
k−2
,
47
also (k + 2)(k + 1)al−2−k = −∆� al−k für k ∈ {0, . . . , l −
2}. Folglich können al und al−1 beliebig (aber homogen)
gewählt werden, und dann daraus der Reihe nach
al−2−k = −
1
∆� al−k , k ∈ {0, . . . , l − 2}
(k + 2)(k + 1)
berechnen. Mit den so sukzessive bestimmten ap erhalten wir schließlich alle homogenen harmonischen Polynome vom Grad l ∈ N in x1 , . . . , xd und damit alle Kugelflächenfunktionen vom Grad l auf der Einheitskugel
S d−1 .
Die eben konstruierten homogenen harmonischen Polynome u1 , . . . , un , n ∈ N sind offenbar genau dann linear unabhängig, wenn die entsprechenden Anfangsterme {ak,l (x1 , . . . , xd−1 ) + ak,l−1 (x1 , . . . , xd−1 )xd : k ∈
{1, . . . , n}} linear unabhängig sind. Die Bezeichnungen
sind hoffentlich klar. Folglich gilt
mit der Eigenschaft
(146)
Wir fassen zusammen:
Satz VIII.3 Für die Anzahl N (l, d) von linear unabhängigen Kugelflächenfunktionen vom Grad l auf S d−1
gilt für l ≥ 0 , d ≥ 2
N (l, d) =
(2l + d − 2)(l + d − 3)!
.
l!(d − 2)!
in
L2 ((0, π)).
Dies
ist
ein
Sturm–Liouville–
Differentialausdruck. Wir bezeichnen die selbstadjungierte Realisierung ebenfalls mit τk . Aus der Theorie
des Eigenwertproblemes von Sturm–Liouville folgt dann,
daß τk nur einfache Eigenwerte besitzt.
Wie schaut nun der N (l, 3) = (2l + 1)–dimensionale
Teilraum von L2 (S 2 ) der Kugelflächenfunktionen vom
Grad l aus? Das ist ja der Eigenraum von B zum Eigenwert −l(l + 1). Da die Teilräume Tk den Operator B
reduzieren, besitzt dieser Eigenraum eine Basis der Form
Y�la (ϕ, θ) = exp (ika ϕ)�
pla (θ) , für a ∈ {1, . . . , 2l + 1} ,
N (l, d) = A(l, d − 1) + A(l − 1, d − 1)
�
� �
�
l+d−3
(144) l + d − 2
=
+
d−2
d−2
(2l + d − 2)(l + d − 3)!
=
.
l!(d − 2)!
die den Hilbert–Raum L2 (S 2 ) ∼
= L2 ((0, 2π) × (0, π)) aufspannen. Die Einschränkung von B auf Tk (k ∈ Z) ist
äquivalent zu einer selbstadjungierten Realisierung von
� �
�
�
1
∂
∂
k2
τk f (θ) =
s(θ) f (θ) −
f (θ)
s(θ) ∂θ
∂θ
s(θ)
(147)
τka p�la (θ) = −l(l + 1)�
pla (θ) , für a ∈ {1, . . . , 2l + 1} .
Da die τk nur einfache Eigenwerte haben, müssen die ka
paarweise verschieden sein. Für ka kommen lediglich die
(2l + 1) Werte ka ∈ {−l, −l + 1, . . . , l − 1, l} in Frage,
da andernfalls das entsprechende homogene harmonische
Polynom yla (x, y, z), dessen Einschränkung auf S 2 gleich
Yla ist, als Funktion der ersten beiden Koordinaten (x, y)
bereits ein Polynom der Ordnung > l wäre. Also lassen
sich die Kugelflächenfunktionen in der folgenden Form
darstellen: Für m ∈ {−l, −l + 1, . . . , l − 1, l} ⊂ Z ist
Ylm (ϕ, θ) = exp (imϕ)plm (θ) , ,
τm plm (θ) = −l(l + 1)plm (θ) .
Speziell gilt (siehe auch Satz VI.7)
N (l, 3) = 2l + 1 .
(148)
Wir wissen bereits, daß kinematische Aspekte des
Bahndrehimpulses rein algebraisch behandelt werden
können und insbesondere die explizite Form der Kugelflächenfunktionen hierfür nicht benötigt werden. Allerdings verlangen Fragestellungen, die mit der Dynamik
eines quantenmechnischen Systems verknüpft sind, nach
einer analytischen Behandlung. Deshalb und weil wir
im nächsten Abschnitt das Wasserstoff–Atom diskutieren wollen, beschaffen wir uns noch rasch für den Fall
d = 3 die Kugelflächenfunktionen ganz explizit.
Für d = 3 hat B in Kugelkoordinaten S 2 � (x, y, z) =
(sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ) mit den üblichen Definitionsbereichen die Form
�
�
1 ∂2
1 ∂
∂
Bf (ϕ, θ) = 2
f
(ϕ,
θ)
+
s(θ)
f
(ϕ,
θ)
,
s (θ) ∂ϕ2
s(θ) ∂θ
∂θ
wobei s(θ) := sin θ Es bietet sich offenbar ein Separationsansatz in der Gleichung Bf = −l(l + 1)f an. Etwas
vornehmer heißt dies, daß B von den folgenden Teilräumen reduziert wird:
�
df �
Tk = exp (ikϕ)f (θ) : f ∈ L2 ((0, π)) , k ∈ Z ,
Die Funktionen plm (θ) sind die sogenannten assoziierten Legendre–Polynome,
�
�l+m
�
�m/2 1
d
l
2
plm (θ) = 1 − cos θ
(cos θ − 1) .
2l l! d cos θ
C.
Zentralpotential & Das Wasserstoff–Atom
In diesem Abschnitt behandeln wir die Quantenmechanik eines Teilchens im Zentralpotential V (r) , r ∈
R+ . Die Resultate aus dem vorherigen Abschnitt VIII B
über die analytische Theorie des Bahndrehimpulses sind
hierfür essentiell.
Die Tatsache, daß V (r) invariant unter beliebigen Drehungen um den Ursprung ist, impliziert die Verträglichkeit des Hamilton–Operators
�
H = − 2µ
(∆r + ∆Ω ) + V (r)
2
=−
�2
2µ
�
∂2
2 ∂
+
∂r2
r ∂r
�
+
1 ab
δ La Lb + V (r)
2µr2
48
mit allen drei Komponenten des Bahndrehimpuls–
Operators. Da die Bahndrehimpulskomponenten nicht
untereinander verträglich sind, kann der quantenmechanische Zustand eines Teilchens im Zentralpotential durch
die simultane Angabe der möglichen Eigenwerte von
{H, La , L2 ≡ δ ab La Lb } , a ∈ {1, 2, 3} charakterisiert werden, wobei wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit
L3 auszeichnen. Als Zustandsbezeichner wählen wir also E ∈ M(H) , m : m� ∈ M(L3 ) , l : l(l + 1)�2 ∈ M(L2 ).
Offenbar ist zumindestens E = f (l).
Den stationären Energie–Eigenzustand geben wir also
folgendermaßen an: |E, m, l� wobei die Bezeichner mit
den Spektren wie oben angegeben zusammenhängen, und
�
�
�
�
H, L3 , L2 |E, m, l� = E, m�, l(l + 1)�2 |E, m, l� .
Wir haben bereits im letzten Abschnitt den zu {L2 , L3 }
Satz von simultanen Eigenfunktionen ausgearbeitet. Die
Logik der Separationstheorie gebietet daher folgenden
Ansatz:
Φ(r, θ, φ) ≡ �(r, θ, φ)|E, m, l�
= R(r) Ylm (θ, φ) ,
(149)
wobei der radiale Anteil R(r) der Wellenfunktion
Φ(r, θ, φ) die folgende Eigenwertgleichung erfüllt:
� 2
�
�
l(l + 1)�2
− ∆r +
+
V
(r)
R(r) = ER(r) .
2µ
2µr2
(150)
Dies ist äquivalent zu folgender Aufgabenstellung: Gegeben sei ein Teilchen, welches sich in einer räumlichen
Dimension im effektiven Potential
Veff (r) = V (r) +
l(l + 1)�2
2µr2
(151)
befindet. Eine qualitative Diskussion dieser Aufgabe kennen wir bereits aus der klassischen Mechanik für V (r) ∝
1/r, die sich dort beim reduzierten 2–Körper–Problem
stellte (µ war dort die reduzierte Masse der Relativbewegung um den Massenschwerpunkt). Für das Wasserstoff–
Atom ist V (r) = −e2 /r, wobei QP = +e die Ladung
des Protons und QE = −e die Ladung des Elektrons in
Vielfachen der Elementarladung e ist.
Da das effektive Potential Veff von der azimuthalen
Quantenzahl l : l(l + 1)�2 ∈ M(L2 ) abhängt, wird auch
der Energie–Eigenwert E ∈ M(H) hiervon abhängen.
Nun wird dieser sicherlich auch von dem Anteil der kinetischen Energie abhängen, der in die Radialbewegung
investiert wird. Das Teilchen kann im Zentralpotential
bei festgehaltener Energie, die in die Drehbewegung investiert wird, sicherlich unterschiedliche Mengen an kinetischer Energie in die Radialbewegung investieren. Daher braucht es noch eine weitere Quantenzahl, die radiale Quantenzahl k, welche bei festgehaltenem l den
radialen Bewegungszustand charakterisiert. Hierbei liegt
k ∈ I ⊂ R, wobei I a priori unbekannt ist. Wir haben
also folgende Situation:
Eigenwert Quantenzahl
Ekl
l(l + 1)�2
m�
k
l
m
Bezeichnung
radiale Quantenzahl
azimuthale Quantenzahl
magnetische Quantenzahl
Da der Hamilton–Operator von L3 ausschließlich über L2
abhängt, ist der Energie–Eigenwert mindestens (2l + 1)–
fach entartet, was gerade der Anzahl von möglichen magnetischen Quantenzahlen bei fester azimuthaler Quantenzahl l entspricht. Diese Entartung heißt essentielle
Entartung und wird von der zufälligen Entartung
unterschieden, die durch Ek� l� = Ekl charakterisiert ist,
und keinen fundamentalen Ursprung hat.
Zur Vereinfachung des Differentialoperators in (150)
redefinieren wir Rkl (r) =: Ukl (r)/r und finden als radiale
Zustandsgleichung:
� 2 2
�
� d
−
+
V
(l,
r)
Ukl (r) = Ekl Ukl (r) . (152)
eff
2µ dr2
Offenbar ist es wichtig, daß wir uns Gedanken über das
Verhalten von Rkl (r) am Ursprung machen, der die Lage
einer Quelle ist, die als Ursache für das Zentralpotential
fungiert und den Ursprung übrigens überhaupt erst als
solchen auszeichnet. Wir suchen Lösungen von (152), die
am Ursprung hinreichend gutartig sind, und wagen den
Ansatz (Ckl ∈ C , k ∈ I, l : l(l + 1)�2 ∈ M(l))
lim Ukl (r) ∼ Ckl rs+1 .
r→0
(153)
Einsetzen in (152) liefert für r −→ 0 die Bedingung s(s +
1) − l(l + 1) = 0, woraus s ∈ {l, −(l + 1)} folgt, also
�
rl+1 , wenn s = l
lim Ukl (r) ∼ Ckl
r→0
r−l , wenn s = −(l + 1) .
Um den am Ursprung divergenten Lösungsast auszuschließen, setzen wir eine entsprechende Randwertbedingung, die die physikalische Lösung in Abhängigkeit von
der radialen und azimuthalen Quantenzahl eindeutig als
Funktion vom Abstand zum Ursprung bestimmt:
� 2 2
�
� d
−
+
V
(l,
r)
Ukl (r) = Ekl Ukl (r) ,
eff
2µ dr2
Ukl (0) = 0 .
(154)
Wir gehen zu dimensionslosen Variablen über. Dazu
definieren wir in historischer Anlehnung folgende Größen:
�2
(Bohr’scher Atomradius) ,
µe2
4
df µe
EI = 2 (Bohr’sche Ionisierungsenergie) . (155)
2�
Die dimensionsbehafteten Größen drücken wir als Vielfache des Atomradius und der Ionisierungsenergie im
Bohr’schen Atommodell aus:
df
a0 =
df
ρ = r/a0 ,
df �
λkl = −Ekl /EI .
(156)
49
Bemerken Sie, daß das Minuszeichen unter der Wurzel in
(156) der Tatsache Rechnung trägt, daß wir uns für Bindungszustände interessieren, und diese wegen der Form
von Veff allesamt durch negative Energie gekennzeichnet
sind.
Mit diesen Skalierungen kann die radiale Wellengleichung folgendermaßen umgeschrieben werden:
� 2
�
d
l(l + 1) 2
2
−
+ − λkl Ukl (ρ) = 0 ,
dρ2
ρ2
ρ
Ukl (0) = 0 . (157)
Wir bestimmen zunächst das asymptotische Verhalten
(ρ � 1) von (157). Offenbar gilt asymptotisch
Ukl (ρ)a= exp (±ρλkl ) .
(158)
Aus Konsistenzgründen (Normierbarkeit) sind wir gezwungen, die exponentiell wachsende Asymptotik als
unphysikalisch zu verwerfen. Die physikalisch sinnvolle
Asymptotik ist also
Ukl (ρ)a= exp (−ρλkl ) .
(159)
Eine schöne Eigenschaft dieser Asymptotik ist, daß sie
das Verhalten der radialen Wellenfunktion im Intervall
ρ ∈ [0, 1) nur wenig beeinflußt. Insbesondere wird das
Exponential im Limes ρ −→ 0 gerade Eins und respektiert damit auch die Randbedingung Ukl (0) = 0. Dies
motiviert folgenden Ansatz:
Ukl (ρ) = exp (−ρλkl ) · Vkl (ρ) , ρ ∈ [0, ∞) . (160)
Unsere neue Aufgabe lautet damit:
� 2
�
��
d
2 l(l + 1)
d
−
2λ
+
−
Vkl (ρ) = 0 ,
kl
dρ2
dρ
ρ
ρ2
Vkl (0) = 0 .
(161)
Die Randbedingung Vkl (0) = 0 und die Form der Differentialgleichung (161) motiviert einen Ansatz der Form
Vkl (ρ) ∝ ρs Pkl (ρ) , R � s > 0, wobei Pkl (ρ) eine Potenzreihe in ρ ist (mit Koeffizienten R � Cq , q ∈ N).
Einsetzen in (161) ergibt nach Ordnen nach Potenzen in
ρ:
0=
∞
�
q=0
+
∞
�
q=0
Cq [(q + s)(q + s − 1) − l(l + 1)] ρq+s−2 +
Cq 2 [1 − (q + s)λkl ] ρq+s−1 .
(162)
Nehmen wir an, daß C0 �= 0, so ist die niedrigste Potenz
in ρ offenbar durch den Summanden mit q = 0 gegeben.
Die Bedingung, daß dieser verschwindet ist
s(s − 1) = l(l + 1) ,
(163)
wobei s = l + 1 die einzige konsistente Lösung darstellt,
die die Randbedingung Vkl (0) = 0 respektiert. Für ein
gegebenes N � q �= 0 ist die niedrigste Potenz von ρ
nun q + s − 2 = q + l − 1. Für die Koeffizienten erhalten
wir damit folgende Rekursionsbeziehung (nach geeigneter
Indexverschiebung):
q(q + 2l + 1)Cq = 2 [(q + l)λkl − 1] Cq−1 ,
N � q �= 0 .
(164)
Nach Bestimmung von C0 (Normierung) folgen hieraus
rekursiv alle Koeffizienten von Pkl (ρ). Weiterhin gilt, daß
Cq /Cq−1 −→ 0 für q −→ ∞. Die Reihe konvergiert also.
Aber Vorsicht, genauer haben wir ja für diesen Grenzfall
Cq /Cq−1 −→ 2λkl /q.
Sie können sich selbst davon überzeugen, daß Cq −→
(2λkl )q /q! für q −→ ∞ gilt. Für jedes l ∈ N/2 (hier
eigentlich l ∈ N) und für jedes k ∈ I gibt es ein Q ∈ N
mit CQ = (2λkl )Q /Q!+O(ε). Damit kann die Potenzreihe
Pkl (ρ) folgendermaßen aufgespalten werden:
Pkl (ρ) = Rkl (ρ) +
∞
q
�
(2λkl ) q
ρ .
q!
(165)
q=Q
Im Grenzfall ρ −→ ∞ finden wir daher
�
�
ρ→∞
Vkl (ρ) −→ lim ρl+1 R̃kl (ρ) + exp (2λkl ρ) ,(166)
ρ→∞
�Q−1
wobei R̃kl (ρ) = Rkl (ρ) + q=0 (2λkl ρ)q /q!. Dies impliziert aber, daß Vkl (ρ) und sogar Ukl (ρ) nicht normierbar sind, da sie im Grenzfall ρ −→ ∞ divergieren, was
natürlich keinen Sinn macht. Folglich muß die Rekursion
(164) abbrechen, so daß Pkl (ρ) nur ein Polynom in ρ ist.
Bricht die Rekusion ab, gibt es keine Normierungsprobleme, da das Dämpfungsexponential in Ukl (ρ) für eine
physikalisch vernünfitge Asymptotik sorgt.
Nehmen wir an, daß die Rekursion für q = q∗ abbricht.
Dann gilt [(q∗ + l)λkl − 1]Cq∗ −1 = 0. Da C0 �= 0 ist auch
Cq∗ −1 �= 0 und wir finden: λkl = 1/(q∗ + l). Mit anderen
Worten, k = q∗ und die Rekursion bricht gerade für q = k
ab. Dies schränkt I ⊂ R auf I = N/{0} ein. Der Energie–
Eigenwert in Abhängigkeit von der azimuthalen und der
radialen Quantenzahl ist somit
Ekl =
−EI
, l ∈ N , k ∈ N/{0} .
(k + l)2
(167)
Die Funktion Vkl (ρ) ist daher ein Polynom in ρ von
Ordnung l + k, wobei die niedrigste Potenz gerade l + 1
ist. Die Rekursionsbeziehung (164) wird
Cq = −
2(k − q)
Cq−1 ,
q(q + 2l + 1)(k + l)
(168)
wobei der Rekursionsabbruch offenbar implementiert ist.
Es lohnt sich in einer ruhigen Minute Cq = f (C0 ) explizit
herzuleiten.
Bsp. VIII.1 Der radiale Anteil Rk,l (r) der stationären
Wellenfunktion eines nichtrelativistischen Elektrons im
klassischen Zentralpotential eines Protons (sogenanntes Wasserstoff–Problem) ist für einige radiale und
50
azimuthale Quantenzahlen explizit durch folgende Ausdrücke gegeben:
R1,0 (r) = 2(a0 )−3/2 exp (−r/a0 ) ,
R2,0 (r) = 2(2a0 )−3/2 (1 − r/2a0 ) exp (−r/2a0 ) ,
R1,1 (r) = (2a0 )−3/2 3−1/2 (r/a0 ) exp (−r/2a0 ) . (169)
Für festgelegtes l ∈ N gibt es unendlich viele Energiewerte Ekl ∝ −1/(k + l)2 , da k ∈ N/{0}. Jeder dieser
Energiewerte ist wenigstens (2l + 1)–fach entartet: Diese
essentielle Entartung hat ihren Ursprung in der Tatsache, daß die Gleichung für den radialen Anteil der Wellenfunktion lediglich von l aber nicht von m abhängt.
Zusätzlich gibt es zufällige Entartung: Für Pärchen
(k1 , l1 ) , (k2 , l2 ) mit k1 +l1 = k2 +l2 gilt ja Ek1 ,l1 = Ek2 ,l2 .
Die zugehörigen Zustände sind also energetisch nicht zu
unterscheiden.
Speziell für das H–Problem ist es zweckmäßig, die sogenannte Hauptquantenzahl n := k + l einzuführen,
da Ekl nur von dieser Kombination abhängt. Also, En ≡
Ek+l := Ekl = −EI /n2 . Prinzipiell haben wir die Wahl,
entweder (k, l) oder (n, l) zu spezifizieren, um die Eigenzustände zu bestimmen. Wir folgen der üblichen Konvention und benutzen (n, l) als Quantenzahlen. Die Hauptquantenzahl n charakterisiert die sogenannte Elektronenschale.
Da k ∈ N/{0} ist, gibt es für fixiertes n nur eine endliche Anzahl von l–Werten, nämlich l ∈ {0, 1, . . . , n − 1}.
Also kann l bei fixiertem n gerade n unterschiedliche
Werte annehmen. Daher hat sich folgende Sprechweise
eingebürgert: Die mit der Hauptquantenzahl n bezeichnete Elektronenschale hat n Unterschalen, die eben
durch l ∈ {0, 1, . . . , n−1} charakterisiert sind. Schließlich
kann jeder dieser Unterschalen (2l + 1) unterschiedliche
Zustände unterbringen, die durch die (2l + 1) möglichen
Werte von m ∈ {−l, . . . , l} ⊂ Z gegeben sind bei festem
l. Die totale Entartung ν(n) einer Elektronenschale n
(Energie En ) ist somit
ν(n) =
n−1
�
für die Hauptquantenzahl N � n ≥ 1 gilt. Folglich muß
die radiale Quantenzahl k = 1 sein und für die azimuthale Quantenzahl l = 0 ↔ s gelten. Der 1s–Zustand weist
hinsichtlich der magnetischen Quantenzahl keine Entartung auf und es ist m = 0.
Der energetisch nächst tiefliegende Zustand hat n = 2.
Dies ergibt für die azimuthale Quantenzahl folgende Wertemöglichkeiten: l ∈ {0, 1} ↔ {s, p}. Die möglichen
Zustände zu n = 2 korrespondieren somit zu den Unterschalen 2s und 2p. Der 2s–Zustand weist hinsichtlich der
magnetischen Quantenzahl keine Entartung auf, der 2p–
Zustand dagegen ist hinsichtlich der magnetischen Quantenzahl dreifach entartet: m ∈ {−1, 0, 1}. Die totale Entartung ist somit ν(2) = 4, was der Anzahl der möglichen
unterscheidbaren Zustände zu n = 2 entspricht.
Für n = 3 ist l ∈ {s, p, d}, die möglichen Unterschalen sind also mit 3s, 3p und 3d bezeichnet. Neu
ist die azimuthale Quantenzahl l = 2 ↔ d, für die
m ∈ {−2, −1, 0, 1, 2} ist. Zu n = 3 gibt es 1+3+5 = 9 unterscheidbare Zustände, die alle auf dem gleichen Energieniveau liegen.
Beachten Sie, daß E1 /E2 = 4 , E1 /E3 = 9 und
E2 /E3 = 9/4 ist.
Bsp. VIII.3 (Einige Wellenfunktionen) Die 1s–
Unterschale wird von einem Zustand mit folgender Wellenfunktion Φn,l,m im Ortsraum populiert:
Φ1,0,0 = √ 1
πa03
0
Die 2p–Unterschale ist hinsichtlich der magnetischen
Quantenzahl dreifach entartet. Die zugehörigen Wellenfunktionen sind (s(θ) := sin θ , c(θ) := cos θ):
r −r/2a0
e
πao3 a0
Φ2,1,−1 = √1
4
l=0
Bsp. VIII.2 (Einige Energiestufen des H–Atoms)
Der energetisch tiefliegendste Zustand eines Elektrons im
Coulomb–Potential des Protons ist der 1s–Zustand, da
8
c(θ) ,
r −r/2a0
e
πao3 a0
Φ2,1,1 = − √1
IX.
s(θ)e−iϕ ,
r −r/2a0
e
2πao3 a0
Φ2,1,0 = √ 1
(170)
Aus historischen Gründen, die vor der Entwicklung der
Quantenmechanik ihren Ursprung haben, hat sich folgende spektroskopische Bezeichnung eingebürgert, die
auch heute noch im Gebrauch ist und ein quasi botanisches Erbe darstellt: l = 0 ↔ s , l = 1 ↔ p , l =
2 ↔ d , l = 3 ↔ f , · · · . Für N � l > 3 werden die
l–Quantenzahlen mit den Buchstaben nach f in der korrekten alphabetischen Reihenfolge bezeichnet. Wie oben
dargelegt werden Unterschalen durch Wertepaare (n, l)
charakterisiert, wobei in der spektroskopischen Schreibweise nl benutzt wird und l durch den entsprechenden
Buchstaben ersetzt wird.
(171)
Die Wellenfunktion im Ortsraum zum 2s–Zustand ist:
�
�
1
Φ2,0,0 = 8πa
1 − 2ar 0 e−r/2a0 .
(172)
3
8
(2l + 1) = n2 .
e−r/a0 .
(173)
s(θ)e+iϕ .
ELEMENTARE STREUTHEORIE
Streuungen sind die elementaren Bausteine vieler physikalischer Prozesse, die wir in der Natur beobachten, und
stehen zudem in direktem Zusammenhang mit den fundamentalen Wechselwirkungen, die in den Quantentheorien
der Felder formuliert und studiert werden. Aber bereits in
der Quantentheorie eines Massepunktes kann der formale Rahmen hierfür entwickelt und studiert werden, auch
wenn die Streuung dann nur an einem externen Potential stattfindet, welches bezüglich seiner quantenmechanischer Freiheitsgrade nicht aufgelöst wird und daher als
klassisch angenommen wird.