Inhalte der Vorlesung “Daten und Zufall”
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Universität Bielefeld Martin Venker Wintersemester 2015/16 Inhalte der Vorlesung “Daten und Zufall” Wichtige Begriffe • Untersuchungseinheiten, Grundgesamtheit, Stichprobe, Urliste, Merkmal (qualitativ nominal und ordinal, quantitativ stetig und diskret) • Empirische Häufigkeitsverteilung, absolute und relative Häufigkeit • Stabdiagramm, Kreisdiagramm, Histogramm, Stamm-Blatt-Diagramm • Lagemaße: arithmetisches Mittel, Modalwert, Median, Quartile, Quantile • Streumaße: Spannweite, Quartilsabstand, Varianz, Standardabweichung, mittlere absolute Abweichung vom Median • Boxplots • Regressionsgeraden, empirische Kovarianz, Korrelationskoeffizient • Frequentistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff, empirisches Gesetz der großen Zahlen (informelle Version), Laplace-Erklärungsversuch von Wahrscheinlichkeiten • (diskreter) Wahrscheinlichkeitsraum, Grundraum, Ergebnisse, Wahrscheinlichkeitsfunktion, Ereignis, Elementarereignis, Potenzmenge, mengentheoretische Operationen (Schnitt, Vereinigung, Komplement, (paarweise) disjunkt) • Laplace-Versuche • Kombinatorik: Permutationen, k-Kombinationen • Bedingte Wahrscheinlichkeiten, Partition • Unabhängigkeit • Zufallsvariablen, Verteilung, Bernoulli-Verteilung, Binomial-Verteilung, Poisson-Verteilung • Unabhängige Zufallsvariablen, gemeinsame Verteilung • Erwartungswert, Varianz, Kovarianz, Unkorreliertheit • Schätzer, naiver Schätzer (nur zweite Klausur) • Nullhypothese, Gegenhypothese, Entscheidungsregel, Ablehnungsbereich (nur zweite Klausur) Wichtige Sätze • Minimumseigenschaft des arithmetischen Mittels und des Medians • Satz 1.13 (Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten) • Kombinatorik: Grundlegendes Zählprinzip, Satz 2.8 (Binomischer Lehrsatz) und Folgerungen, Satz 2.10 (Kombinatorische Formeln) • Lemma 3.4 (Multiplikationsregel) • Satz 3.6 (Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit) • Satz 3.7 (Satz von Bayes) • Satz 4.14 und Satz 4.15 (Rechenregeln für Erwartungswerte) • Satz 4.18 (Steiner’sche Formel) • Satz 4.20 (Rechenregeln für Varianzen) • Satz 5.1 (Chebyshev-Ungleichung) • Satz 5.2 (Schwaches Gesetz der großen Zahlen) • Satz 5.6 (Poisson’scher Grenzwertsatz) • Satz 5.8 (Zentraler Grenzwertsatz) Beweise • Minimumseigenschaft des arithmetischen Mittels • Satz 2.8 (Binomischer Lehrsatz) und Folgerungen • Satz 3.6 (Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit) • Satz 3.7 (Satz von Bayes) • Satz 4.14 (1) (Linearität von Erwartungswerten) • Satz 4.18 (Steiner’sche Formel) • Satz 4.20 (1) (Rechenregeln für Varianzen) • Satz 5.1 (Chebyshev-Ungleichung) • Satz 5.2 (Schwaches Gesetz der großen Zahlen) • Erwartungswert und Varianz der Binomial-Verteilung herleiten Weitere Kompetenzen • Sinnvolle grafische Darstellung von Daten. • Bestimmung von Lage- und Streumaßen aus (den Daten oder) der empirischen Häufigkeitsverteilung (Blatt 3, Aufgabe 3). • Aussagen über die Güte eines linearen Modells für den Zusammenhang zweier Merkmale X und Y treffen (Blatt 4, Aufgabe 4). • Zufallsexperimente formal modellieren (Blatt 4, Aufgabe 2 a)). • Mengentheoretische Aussagen durch vollständige Fallunterscheidung beweisen (Blatt 5, Aufgabe 1). • Mächtigkeit von Mengen bestimmen (Kombinatorik). • Stufen in Baumdiagrammen vertauschen (Blatt 7, Aufgabe 1 b)). • Von der gemeinsamen Verteilung auf (Un)Abhängigkeit schließen (Blatt 8, Aufgabe 1). • Mit Hilfe der Chebyshev-Ungleichung Schranken für die Abweichung vom Erwartungswert angeben (Blatt 9, Aufgabe 3). • Wahrscheinlichkeiten im Münzwurf-Modell approximativ (PGWS oder ZGWS) bestimmen, Faustregeln nachprüfen können. • Optimale Stichprobengrößen approximativ bestimmen (Bsp. 5.11, nur zweite Klausur). • Testen von Hypothesen im Münzwurf-Modell (nur zweite Klausur).
