Inhalte der Vorlesung “Daten und Zufall”

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Universität Bielefeld
Martin Venker
Wintersemester 2015/16
Inhalte der Vorlesung “Daten und Zufall”
Wichtige Begriffe
• Untersuchungseinheiten, Grundgesamtheit, Stichprobe, Urliste, Merkmal (qualitativ nominal und
ordinal, quantitativ stetig und diskret)
• Empirische Häufigkeitsverteilung, absolute und relative Häufigkeit
• Stabdiagramm, Kreisdiagramm, Histogramm, Stamm-Blatt-Diagramm
• Lagemaße: arithmetisches Mittel, Modalwert, Median, Quartile, Quantile
• Streumaße: Spannweite, Quartilsabstand, Varianz, Standardabweichung, mittlere absolute Abweichung vom Median
• Boxplots
• Regressionsgeraden, empirische Kovarianz, Korrelationskoeffizient
• Frequentistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff, empirisches Gesetz der großen Zahlen (informelle
Version), Laplace-Erklärungsversuch von Wahrscheinlichkeiten
• (diskreter) Wahrscheinlichkeitsraum, Grundraum, Ergebnisse, Wahrscheinlichkeitsfunktion, Ereignis, Elementarereignis, Potenzmenge, mengentheoretische Operationen (Schnitt, Vereinigung,
Komplement, (paarweise) disjunkt)
• Laplace-Versuche
• Kombinatorik: Permutationen, k-Kombinationen
• Bedingte Wahrscheinlichkeiten, Partition
• Unabhängigkeit
• Zufallsvariablen, Verteilung, Bernoulli-Verteilung, Binomial-Verteilung, Poisson-Verteilung
• Unabhängige Zufallsvariablen, gemeinsame Verteilung
• Erwartungswert, Varianz, Kovarianz, Unkorreliertheit
• Schätzer, naiver Schätzer (nur zweite Klausur)
• Nullhypothese, Gegenhypothese, Entscheidungsregel, Ablehnungsbereich (nur zweite Klausur)
Wichtige Sätze
• Minimumseigenschaft des arithmetischen Mittels und des Medians
• Satz 1.13 (Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten)
• Kombinatorik: Grundlegendes Zählprinzip, Satz 2.8 (Binomischer Lehrsatz) und Folgerungen,
Satz 2.10 (Kombinatorische Formeln)
• Lemma 3.4 (Multiplikationsregel)
• Satz 3.6 (Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit)
• Satz 3.7 (Satz von Bayes)
• Satz 4.14 und Satz 4.15 (Rechenregeln für Erwartungswerte)
• Satz 4.18 (Steiner’sche Formel)
• Satz 4.20 (Rechenregeln für Varianzen)
• Satz 5.1 (Chebyshev-Ungleichung)
• Satz 5.2 (Schwaches Gesetz der großen Zahlen)
• Satz 5.6 (Poisson’scher Grenzwertsatz)
• Satz 5.8 (Zentraler Grenzwertsatz)
Beweise
• Minimumseigenschaft des arithmetischen Mittels
• Satz 2.8 (Binomischer Lehrsatz) und Folgerungen
• Satz 3.6 (Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit)
• Satz 3.7 (Satz von Bayes)
• Satz 4.14 (1) (Linearität von Erwartungswerten)
• Satz 4.18 (Steiner’sche Formel)
• Satz 4.20 (1) (Rechenregeln für Varianzen)
• Satz 5.1 (Chebyshev-Ungleichung)
• Satz 5.2 (Schwaches Gesetz der großen Zahlen)
• Erwartungswert und Varianz der Binomial-Verteilung herleiten
Weitere Kompetenzen
• Sinnvolle grafische Darstellung von Daten.
• Bestimmung von Lage- und Streumaßen aus (den Daten oder) der empirischen Häufigkeitsverteilung (Blatt 3, Aufgabe 3).
• Aussagen über die Güte eines linearen Modells für den Zusammenhang zweier Merkmale X und
Y treffen (Blatt 4, Aufgabe 4).
• Zufallsexperimente formal modellieren (Blatt 4, Aufgabe 2 a)).
• Mengentheoretische Aussagen durch vollständige Fallunterscheidung beweisen (Blatt 5, Aufgabe
1).
• Mächtigkeit von Mengen bestimmen (Kombinatorik).
• Stufen in Baumdiagrammen vertauschen (Blatt 7, Aufgabe 1 b)).
• Von der gemeinsamen Verteilung auf (Un)Abhängigkeit schließen (Blatt 8, Aufgabe 1).
• Mit Hilfe der Chebyshev-Ungleichung Schranken für die Abweichung vom Erwartungswert angeben (Blatt 9, Aufgabe 3).
• Wahrscheinlichkeiten im Münzwurf-Modell approximativ (PGWS oder ZGWS) bestimmen, Faustregeln nachprüfen können.
• Optimale Stichprobengrößen approximativ bestimmen (Bsp. 5.11, nur zweite Klausur).
• Testen von Hypothesen im Münzwurf-Modell (nur zweite Klausur).
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