Physik im Querschnitt – Theoretische Physik (vertieft)

Physik im Querschnitt – Theoretische Physik (vertieft)
Übungsblatt 2
SS 2017
Yakovlev / Nubbemeyer
3.5.2017
Aufgabe 5: Reflexion eines rauen Balles an einer rauen Wand
Der Schwerpunkt des Balles (Masse M, Radius R,
Trägheitsmoment Θ = γMR2) bewege sich mit der konstanten
Geschwindigkeit 𝑣⃗ wie skizziert in der (x,y)-Ebene; der Ball
rotiere mit der Winkelgeschwindigkeit 𝜔
⃗⃗ = 𝜔𝑒⃗𝑧 (die z-Achse
zeige aus der Zeichenebene heraus).
Der Ball werde an einer rauen, starren Wand parallel zur (x,z)Ebene reflektiert. Im Moment der Berührung des Balles mit der
Wand kommt die
x-Komponente der Geschwindigkeit des
Berührungspunktes A zur Ruhe (das ist das Raue an dem Stoß),
und
die
y-Komponente
wechselt
ihr
Vorzeichen.
Gravitationskrafte werden vernachlässigt.
Es seien vx und vy die Komponenten des Vektors der Schwerpunktsgeschwindigkeit (parallel bzw.
senkrecht zur Wand) vor dem Auftreffen auf die Wand; nach dem Auftreffen auf die Wand seien
die Größen mit 𝜔′ , 𝑣𝑥 ′ und 𝑣𝑦′ bezeichnet.
a) Drücken Sie Geschwindigkeit des Berührungspunktes A (siehe Skizze) vor und nach dem
Stoß durch vx und ω bzw. durch 𝑣𝑥 ′ und 𝜔′ aus.
(3 Punkte)
b) Zeigen Sie, dass die Größen vor und nach dem Stoß die Gleichung
.
(1)
erfüllen.
Hinweis: Verwenden Sie die Tatsache, dass die Horizontalkomponente der Kraft (der Wand auf
den Ball) sowohl zur Änderung des Drehimpulses als auch zur Änderung der horizontalen
Impulskomponente des Balles führt.
(10 Punkte)
c) Unter welcher Bedingung an die Größen ω, vx und vy springt der Ball nach dem Stoß in yRichtung (also senkrecht zur Wand)?
(3 Punkte)
d) Zeigen Sie, dass das Trägheitsmoment des Balles, wenn man ihn als Hohlkugel idealisiert, durch
2
Θ = 3 𝑀 𝑅 2 gegeben ist.
(6 Punkte)
e) Der Ball (als Hohlkugel) treffe mit ω = 0 unter dem Winkel von 45° auf die Ebene. Bestimmen
Sie den Winkel θ, unter dem der Ball (als Hohlkugel) reflektiert wird.
(3 Punkte)
Aufgabe 6: Bestimmung des Potentials aus Erhaltungsgrößen
Ein nichtrelativistisches Teilchen der Masse m bewegt sich in einem konservativen Kraftfeld mit
dem Potential 𝑉(𝑟⃗).
a) Es sei bekannt, dass Lx, die x-Komponente des Bahndrehimpulses, erhalten ist. Welche Form
muss 𝑉(𝑟⃗) dann haben?
(4 Punkte)
b) Zusätzlich zu Lx sei auch Ly erhalten. Begründen Sie, warum hieraus auch die Erhaltung von Lz
folgt, und geben Sie wiederum die Form des Potentials an.
(4 Punkte)
c) Für den Spezialfall eines Zentralpotentials V(r) werde eine vektorielle Erhaltungsgröße der
Form
𝑟⃗
𝐴⃗ = 𝑝
⃗⃗ × 𝐿⃗⃗ + 𝐶 𝑟
(1)
⃗⃗, Ortsvektor 𝑟⃗, Konstante C). Leiten Sie aus
beobachtet (mit Impuls 𝑝⃗, Bahndrehimpuls 𝐿
die Differentialgleichung
𝑑𝑉
𝑚𝑟 2 𝑑𝑟 + 𝐶 = 0
her. Bestimmen Sie schließlich das Potential V (r) so weit wie möglich.
Hinweis: 𝑎⃗ × (𝑏⃗⃗ × 𝑐⃗) = 𝑏⃗⃗ (𝑎⃗ ⋅ 𝑐⃗) − 𝑐⃗ (𝑎⃗ ⋅ 𝑏⃗⃗)
𝑟̇ =
⃗⃗
𝑟⃗⋅𝑣
𝑟
𝑑𝐴⃗
𝑑𝑡
=0
(2)
(10 Punkte)
(3)
(4)
d) Wie viele unabhängige Erhaltungsgrößen kann es für ein Teilchen in einem Potential 𝑉(𝑟⃗)
maximal geben? Leiten Sie Beziehungen zwischen den Erhaltungsgrößen E (Energie), L und A aus
⃗⃗ und 𝐴⃗ bilden.
Teilaufgabe c) her, indem Sie Skalarprodukte aus den beiden Vektoren 𝐿
(7 Punkte)
Aufgabe 7: Durchhängendes Seil mit schwacher Krümmung
Ein undehnbares, biegsames Seil der Länge L hängt statisch im homogenen Schwerefeld der Erde
zwischen zwei Pfosten der Höhe H im Abstand l. Die Anordnung befinde sich in der (x,y)-Ebene,
symmetrisch zum Koordinatenursprung. Ferner sei (𝐿 − 𝑙) ≪ 𝑙, sodass die Krümmung schwach
ist. Die Kettenlinie, die das Seil im Gleichgewicht beschreibt, kann dann durch eine Parabel
𝑦(𝑥) = 𝑎 + 𝑏𝑥 2
(1)
angenähert werden. Die Tatsache, dass das Seil schwach gekrümmt ist, impliziert
(2)
𝑏𝑙≪1
a) Bestimmen Sie die Parameter a und b aus den bekannten Größen L, l und H. Setzen Sie dabei
𝐿 = 𝑙(1 + 𝜖) (mit 𝜖 ≪ 1) und rechnen Sie nur in führender Ordnung1 in ε, unter Ausnutzung von
Ungleichung (2). Geben Sie auch H − a an, d.h. die Strecke, um die das Seil durchhängt.
Hinweis: Die Länge eines infinitesimalen Seilelementes ist gegeben durch
𝑑𝑠 = √𝑑𝑥 2 + 𝑑𝑦 2 = 𝑑𝑥 √1 + (𝑦 ′ )2 .
Ergebnis zur Kontrolle: 𝐻 − 𝑎 = 𝑙 √6𝜖/4
(3)
(9 Punkte)
b) Bestimmen Sie die potentielle Energie des Seils als Funktion von L, l und H, wiederum in
führender Ordnung in ε. Verwenden Sie hierzu die entlang des Seils konstante lineare
𝑑𝑚
Massendichte 𝜇 = 𝑑𝑠 . Wo befindet sich der Schwerpunkt des Seils?
(9 Punkte)
c) Das eine Ende des Seils gleite nun reibungsfrei über den Pfosten. Welche Arbeit ist nötig, um
das durchhängende Seil durch horizontales Ziehen um ein kleines δL zu verkürzen? Wie groß ist
demnach die horizontale Komponente der Kraft, die das Seil auf einen Pfosten ausübt, an dem es
befestigt ist?
(7 Punkte)
1
): d.h. bis zum ersten nicht-verschwindenden Term (außer 0. Ordnung) in einer Taylorentwicklung