4.2 Zweistufige Methode der Kleinsten Quadrate
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4.18 4.2 Zweistufige Methode der Kleinsten Quadrate Wdh.: Problem: Störvariable sind mit erklärenden Variablen der Strukturform, genauer: mit gemeinsam abhängigen Variablen, korreliert. Weiterer möglicher Ausweg: 2SLS Universität Potsdam -Wirtschafts - und Sozialwissenschaftliche Fakultät - Lehrstuhl für Statistik und Ökonometrie - Prof. H.-G. Strohe 4.19 Grundprinzip: 1. Schätzen der Koeffizienten der reduzierten Form mit OLS 2. Schätzen der linken Seiten (gemeinsam abhängige Variable) mit der reduzierten Form 3. Schätzen der Koeffizienten der Strukturform mit OLS nach Ersetzen der Werte der gemeinsam abhängigen Variablen durch die geschätzten. Universität Potsdam -Wirtschafts - und Sozialwissenschaftliche Fakultät - Lehrstuhl für Statistik und Ökonometrie - Prof. H.-G. Strohe 4.20 Ganz einfaches Beispiel: (Übungsaufgabe) Strukturform 1. Ct = 0 + 1 Y t + u t 2. Yt = Ct + Xt Reduzierte Form: Ct = 1/ (1-1) [(0+1Xt) + ut ] Yt = 1/ (1-1) [(0+Xt) + ut ] Universität Potsdam -Wirtschafts - und Sozialwissenschaftliche Fakultät - Lehrstuhl für Statistik und Ökonometrie - Prof. H.-G. Strohe 4.21 1. OLS: ˆ 21 , ˆ 22 ˆ = ˆ + ˆ X Y t 21 22 2. t ˆ t = Yt − Yˆt 3. Yˆ in erste Strukturgleichung einsetzen: t Ct = mit Mit OLS: o + ˆ +v Y 1 t t vt = u t + 0, 1; ˆ 1 t , da Yt = Yˆt + ˆt Es läßt sich zeigen, daß diese Schätzung konsistent ist. Universität Potsdam -Wirtschafts - und Sozialwissenschaftliche Fakultät - Lehrstuhl für Statistik und Ökonometrie - Prof. H.-G. Strohe 4.22 Schätzen der Reduzierten Form **************************************************** Ordinary Least Squares Estimation ********************************************************* Dependent variable is Y 140 observations from 1960Q1 to 1994Q4 ********************************************************* Regressor Coefficient Standard Error T-Ratio[Prob] CONST 30616.9 2600.7 11.7725[.000] X 5.6112 .36827 15.2367[.000] ********************************************************* R-Squared .62719 R-Bar-Squared .62448 S.E. of Regression 10714.1 F-stat. F( 1, 138) 232.1575[.000] Mean of Dependent Variable 67763.6 S.D. of Dependent Variable 17484.0 .25154 Residual Sum of Squares 1.58E+10 DW-statistic ******************************************************* Berechnen der Schätzwerte Y_Dach Universität Potsdam -Wirtschafts - und Sozialwissenschaftliche Fakultät - Lehrstuhl für Statistik und Ökonometrie - Prof. H.-G. Strohe 4.23 Schätzen der ersten Gleichung der Strukturform ****************************************************** Ordinary Least Squares Estimation ************************************************************ Dependent variable is C 140 observations from 1960Q1 to 1994Q4 ************************************************************ Regressor Coefficient Standard Error T-Ratio[Prob] CONST 5456.4 4538.6 1.2022[.231] Y_DACH .82178 .065631 12.5213[.000] ************************************************************ R-Squared .53186 R-Bar-Squared .52847 S.E. of Regression 10714.1 F-stat. F( 1, 138) 156.7826[.000] Mean of Dependent Variable 61143.5 S.D. of Dep. Variable 15602.7 .25154 Residual Sum of Squares 1.58E+10 DW-statistic ************************************************************ Universität Potsdam -Wirtschafts - und Sozialwissenschaftliche Fakultät - Lehrstuhl für Statistik und Ökonometrie - Prof. H.-G. Strohe 4.24 2SLS allgemein und in vollständiger Matrixschreibweise: 0. i.te Strukturgleichung: = yi iY(i) + i Z(i) + ui oder ⎡Y(i) ⎤ yi = ( i , i ) ⎢ ⎥ + ui ⎢⎣Z(i) ⎥⎦ Zeilen-Datenvektor! Y(i) - Teil-Datenmatrix der in i-ter Strukturgleichung rechts auftretenden gemeinsam abh. Variablen Z(i) - analog Universität Potsdam -Wirtschafts - und Sozialwissenschaftliche Fakultät - Lehrstuhl für Statistik und Ökonometrie - Prof. H.-G. Strohe 4.25 1. OLS: Reduzierte Form: Y(i) = $i Z + Ji (zu i-ter Gleichung) $i - Teilmatrix der Koeffizientenmatrix $, in der N-Ni Zeilen gestrichen sind, entsprechend den y, die in der i-ten Gleichung rechts nicht vorkommen. (OLS für im Eingleichungsmodell früher: b=(X´X)-1(X´y) Daten jeder Variablen bildeten Spaltenvektoren) Jetzt: OLS-Schätzer Pi für $i analog aber vertauscht: Pi = Y(i) Z ´ (ZZ´)-1 Universität Potsdam -Wirtschafts - und Sozialwissenschaftliche Fakultät - Lehrstuhl für Statistik und Ökonometrie - Prof. H.-G. Strohe 4.26 ˆ = P Z Schätzung der gemeinsam abhängigen 2. Y (i ) i Variablenwerte aus der reduzierten Form ˆ ˆ i = Y( i ) − Y (i ) ˆ +ˆ Y( i ) = Y (i ) i 3. Neue Form der i-ten Strukturgleichung: ⎡ Yˆ ( i ) ⎤ yi = ( i ; i) ⎢ ⎥ + [u i + i ˆ i ] ⎢⎣ Z ( i ) ⎦⎥ Gemeinsam abhängige Variable nur noch links. OLS-Schätzer dieser Gleichung ist 2SLS-Schätzer der Ausgangsgleichung, konsistent: −1 ˆ ⎤ ⎡⎡Y ⎤ i ( ) ˆ ′ Z′ ⎢⎢ ⎥ Y ˆ ′ Z′ ⎥ ( ˆ i , ˆ i ) = yi Y (i ) (i) (i ) (i) ⎥⎦ ⎣⎢⎢⎣Z(i) ⎥⎦ [ ] [ ] Universität Potsdam -Wirtschafts - und Sozialwissenschaftliche Fakultät - Lehrstuhl für Statistik und Ökonometrie - Prof. H.-G. Strohe 4.27 4.3 Instrumentenvariable Beispiel: Eingleichungsmodell Aus Ökonometrie I y = X + u OLS-Schätzer von : b = ((X´X)-1 X´)y b = + (X´X)-1 X´u Für Konsistenz war gefordert: ( X ′X ) / T ⎯ T⎯ ⎯→ Q →∞ nichtsingulär, endlich, Universität Potsdam -Wirtschafts - und Sozialwissenschaftliche Fakultät - Lehrstuhl für Statistik und Ökonometrie - Prof. H.-G. Strohe 4.28 oder plim T → ∞ ⎛ X ′X ⎞ ⎟ ⎜ ⎝ T ⎠ ⎛ X ′X P ⎜ − Q T ⎝ = Q ⎞ > ε ⎟ ⎠ = 0 und Nicht-Korreliertheit der Residuen mit erklärenden Variablen. Wenn X nichtstochastisch, dann klar: E(X´u)= 0 Wenn X Zufallsvariable, z.B. verzögerte y, enthält, nicht selbstverständlich. Universität Potsdam -Wirtschafts - und Sozialwissenschaftliche Fakultät - Lehrstuhl für Statistik und Ökonometrie - Prof. H.-G. Strohe 4.29 Geforderte Nichtkorreliertheit für große T kann jetzt auch so geschrieben werden: ⎛ X ′u ⎞ plim ⎜ ⎟ =0 T →∞ ⎝ T ⎠ Aber hier möglicherweise korreliert, d. h.: ⎛1 ′ ⎞ plim ⎜ Xu⎟ ≠ 0 T→∞ ⎝T ⎠ Folgt für OLS-Schätzer: Universität Potsdam -Wirtschafts - und Sozialwissenschaftliche Fakultät - Lehrstuhl für Statistik und Ökonometrie - Prof. H.-G. Strohe 4.30 plim T →∞ b = plim T →∞ + ⎡ ⎛ X ′X ⎞ − 1 ⎟ ⎢⎜ ⎢⎣ ⎝ T ⎠ (Satz von plim T →∞ −1 = + = + ⎛ X ′u ⎞ ⎤ ⎜ ⎟⎥ ⎝ T ⎠ ⎥⎦ Slutzky) ⎛ X ′X ⎞ ⎛ X ′u ⎞ plim ⎜ plim ⎜ ⎟ ⎟ T →∞ ⎝ T T →∞ ⎝ T ⎠ ⎠ ⎛ X ′u ⎞ −1 Q plim ⎜ ⎟ ≠ T →∞ ⎝ T ⎠ Nicht konsistent. Universität Potsdam -Wirtschafts - und Sozialwissenschaftliche Fakultät - Lehrstuhl für Statistik und Ökonometrie - Prof. H.-G. Strohe 4.31 Lösung: Instrumentvariablenansatz Als „Ersatz“ für X „irgendeine“ (T×K)-Datenmatrix W gesucht, die mit u nicht korreliert, aber mit X (möglichst hoch) korreliert ist: W’u ⎞ ⎛ plim⎜ ⎟=0 T →∞ ⎝ T ⎠ W’X ⎞ ⎛ plim ⎜ ⎟= T →∞ ⎝ T ⎠ und WX ≠0 nichtsingulär Universität Potsdam -Wirtschafts - und Sozialwissenschaftliche Fakultät - Lehrstuhl für Statistik und Ökonometrie - Prof. H.-G. Strohe 4.32 Ausgangsmodell y = X + u von links mit W´ multiplizieren. Neues Modell: W´y = W´X + W´u. Dafür formal OLS-Schätzer: E IV = (W´X)-1 W´y Instrumentvariablenschätzer Universität Potsdam -Wirtschafts - und Sozialwissenschaftliche Fakultät - Lehrstuhl für Statistik und Ökonometrie - Prof. H.-G. Strohe 4.33 Beweis der Konsistenz plim ˆ IV = plim (( W’ X) = plim (( W’ X) = plim ( T→∞ = = = −1 W’ y ) −1 W’ (X T→∞ T→∞ T→∞ + (W’ X) W’ X ⎞ ⎛ + plim ⎜ ⎟ T→∞ ⎝ T ⎠ 1 + −WX ⋅0 −1 −1 + u )) W’ u ) W’ u ⎞ ⎛ plim ⎜ ⎟ T→∞ ⎝ T ⎠ q.e.d. Universität Potsdam -Wirtschafts - und Sozialwissenschaftliche Fakultät - Lehrstuhl für Statistik und Ökonometrie - Prof. H.-G. Strohe −1 4.34 Beispiel: Konsumfunktion Ct = Y + 1 t 0 + 1Ct −1 + ut ut autokorreliert und daher mit Ct-1 korreliert, aber nicht mit Yt-1. Yt-1. mit Ct-1 korreliert. Nehmen Yt-1 als IV. Universität Potsdam -Wirtschafts - und Sozialwissenschaftliche Fakultät - Lehrstuhl für Statistik und Ökonometrie - Prof. H.-G. Strohe 4.35 Ordinary Least Squares Estimation ******************************************************* Dependent variable is C 159 observations used for estimation from 1955Q2 to 1994Q4 ******************************************************* Regressor Coefficient INPT 221.388 C(-1) .917 Y .076 Standard Error 209.096 .039552 .034578 T_Ratio[Prob] 1.0588[.291] 23.1936[.000] 2.2120[.028] ******************************************************* R_Squared .99828 Akaike_Cr. 1269.4 DW_stat. 1.8602 R_Bar_Squared .99825 Schwarz-Bayes._Cr. 1274.1 Durbin’s h_stat. 1.0170[.309] Universität Potsdam -Wirtschafts - und Sozialwissenschaftliche Fakultät - Lehrstuhl für Statistik und Ökonometrie - Prof. H.-G. Strohe 4.36 Instrumental Variable Estimation ******************************************************* Dependent variable is C List of instruments: INPT Y(-1) Y 159 observations used for estimation from 1955Q2 to 1994Q4 ******************************************************* Regressor INPT C(-1) Y Coefficient Standard Error 1281.7 565.3293 .34992 .25713 .57079 .22404 T_Ratio[Prob] 2.2672[.025] 1.3608[.176] 2.5477[.012] ******************************************************* GR_Squared .99237 GR_Bar_Squared .99228 Res.S.of Squ. 1.79E+08 Value of IV Minimand .0000 Universität Potsdam -Wirtschafts - und Sozialwissenschaftliche Fakultät - Lehrstuhl für Statistik und Ökonometrie - Prof. H.-G. Strohe 4.37 Im Mehrgleichungsmodell: Für zu ersetzende Variable (geschätzten Regresswert aus einer multiplen Regression in Abhängigkeit von) allen ( K) prädeterminierten Variablen als IV einsetzen. i-te Strukturgleichung: yi = iY(i) + i Z(i) + ui oder ⎡ Y( i ) ⎤ yi = ( i , i ) ⎢ ⎥ + ui ⎢⎣ Z ( i ) ⎥⎦ Universität Potsdam -Wirtschafts - und Sozialwissenschaftliche Fakultät - Lehrstuhl für Statistik und Ökonometrie - Prof. H.-G. Strohe 4.38 Mögliche Instrumente W für Y(i): Alle Variablen, die in der Gleichung für yi in der reduzierten Form auf der rechten Seite stehen, d.h. praktisch alle prädeterminierten Variablen in Z. In Mfit Auswahl möglich. Beispiel (mit ukcon.fit): Ct = 0 + 1 Y t + u t Yt = Ct + Xt ⎡1 ⎤ W= ⎢ ⎥ ⎣X⎦ Universität Potsdam -Wirtschafts - und Sozialwissenschaftliche Fakultät - Lehrstuhl für Statistik und Ökonometrie - Prof. H.-G. Strohe Instrumental Variable Estimation 4.39 ************************************************************** Dependent variable is C, List of instruments: INPT X 140 observations used for estimation from 1960Q1 to 1994Q4 ************************************************************** Regressor INPT Y Coefficient 5456.4 .82178 Standard Error 808.8587 .011696 T_Ratio[Prob] 6.7458[.000] 70.2590[.000] ************************************************************** R_Squared .98513 R_Bar_Squared .98502 GR_Squared .53186 GR_Bar_Squared .52847 S.E. of Regression 1909.4 F_stat. F( 1, 138) 9143.3[.000] Mean of Dep. Variable 61143.5 S.D. of Dep. Variable 15602.7 Residual Sum of Squ. 5.03E+08 Value of IV Minimand .0000 DW_statistic .25154 ************************************************************** Vergleich mit 2SLS! Universität Potsdam -Wirtschafts - und Sozialwissenschaftliche Fakultät - Lehrstuhl für Statistik und Ökonometrie - Prof. H.-G. Strohe