Aufgabe 1A

Niedersachsen | Abitur (erhöhtes Anforderungsniveau GTR)
D e i n Le r nve r z e i c h n i s
Prüfungswissen | Original-Prüfungen
◮ Abitur 2010 | GESAMTE PRÜFUNG
Lösungsblatt (ausführlich)
Aufgabe 1A
a) ◮ Graphen von f0,2 skizzieren
(17P)
Um den Graphen zu skizzieren, benötigst du einige Wertepaare. Diese Wertepaare erhältst du
durch einige Stellen und deren zugehörigen Funktionswert. Bestimme außerdem die Nullstellen und Extremstellen der Funktion f 0,2 im Intervall [-1,17]. Das Intervall leitet sich aus dem
vorgegebenen Koordinatensystem ab, das sich von x = −1 bis x = 17 erstreckt.
Trage zunächst den Funktionsterm der gegebenen Funktion in den Funktionen-Editor ein und lasse dir den Graphen zeichnen. Beachte, dass es sich um die Funktion f 0,2
handelt und somit gilt k = 0, 2. Stelle außerdem noch den
dargestellten Bereich des Schaubildes richtig ein. Öffne dazu WINDOW und trage die Daten so ein, wie sie vom gegebenen Koordinatensystem vorgegeben werden.
Um nun einige Wertepaare zu erhalten, öffne die Wertetabelle, die dir der GTR vorgibt über
2nd→GRAPH (TABLE) . Dieser kannst du nun einige Wertepaare entnehmen, anhand derer du
den Graphen skizzieren kannst. Du kannst außerdem erkennen, dass sich in dem gegebenen
Intervall ein Maximum und eine Nullstelle von f 0,2 befindet.
Bestimme über
2nd→TRACE (CALC)→4:maximum
das
Maximum und über 2nd→TRACE (CALC)→2:zero die
gesuchte Nullstelle. Der Hochpunkt hat die Koordinaten
H (5 | 3, 8) und die Nullstelle befindet sich bei x = 0.
Skizziere anhand der gegebenen Daten dann den Graphen
von f 0,2 im gegebenen Koordinatensystem.
Es ergibt sich das folgende Schaubild.
y
7
6
5
H
4
b
3
2
1
b
N
1
c Karlsruhe 2013 | SchulLV | Jens Fischer
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Seite 1/38
Vervielfältigung nur innerhalb einer Lehrer-/Klassen- oder Schullizenz und mit Hinweis auf MatheLV erlaubt.
14
15
16
x
www.MatheLV.net
Niedersachsen | Abitur (erhöhtes Anforderungsniveau GTR)
Prüfungswissen | Original-Prüfungen
◮ Abitur 2010 | GESAMTE PRÜFUNG
D e i n Le r nve r z e i c h n i s
Lösungsblatt (ausführlich)
◮ Maximale Höhe des Deiches bestimmen
Die maximale Höhe wird durch die y-Koordinate des höchsten Punktes beschrieben. Der
höchste Punkt wird auch Hochpunkt genannt.
Beim Skizzieren des Graphen von f 0,2 , hast du genau diesen Punkt H bestimmt. Er hat die Koordinaten H (5 | 3, 8). Da die y-Koordinate 3, 8 beträgt und die Koordinaten in Metern angegeben
werden, ergibt sich, dass der Deich an der höchsten Stelle 3, 8 m hoch ist.
◮ Steigung der Geraden an der Anschlussstelle bestimmen
Die Aufgabe gibt dir vor, dass sich an der Stelle x = 13 der betonierte Absatz an den Erddeich anschließen soll. Diese Information erhältst du aus dem Aufgabentext sowie der gegebenen Skizze.
An dieser Stelle soll sich die Gerade so an den Graphen von f 0,2 anschließen, dass diese die
′
gleiche Steigung haben. Die Steigung des Graphen von f 0,2 wird durch die erste Ableitung f 0,2
von f 0,2 beschrieben.
′ an der Stelle x = 13. Dies ist dann die gesuchte Steigung.
Bestimme also f 0,2
′ bestimmen
1. Schritt: f0,2
Bei f 0,2 handelt es sich um eine verkettete Funktion der Terme 0, 5 · x3 und e−0,6· x+0,2 . Somit
benötigst du die Kettenregel sowie die Produktregel, um die Funktion korrekt abzuleiten.
f 0,2 ( x ) = 0, 5 · x3 · e−0,6· x+0,2
′ ( x ) = 0, 5 · 3 · x2 · e−0,6· x +0,2 + 0, 5 · x3 · (−0, 6) · e−0,6· x +0,2
f 0,2
= 1, 5 · x2 · e−0,6· x+0,2 + (−0, 3) · x3 · e−0,6· x+0,2
Somit hast du die Ableitung bestimmt.
′ (13) berechnen
2. Schritt: f0,2
Berechne nun den Funktionswert der Ableitung an der Stelle x = 13, indem du für x den Wert
13 einsetzt. Daraus ergibt sich folgender Term, den du unter Zuhilfenahme deines Rechners
berechnen kannst.
′ (13) = 1, 5 · 132 · e−0,6·13+0,2 + (−0, 3) · 133 · e−0,6·13+0,2 ≈ −0, 2
f 0,2
Somit hat also die Funktion f 0,2 an der Stelle x = 13 eine Steigung von ca. −0, 2, was nach der
Vorgabe der Aufgabe auch der Steigung der Geraden an dieser Stelle entspricht.
◮ Bestimmen, wie hoch das Wasser am linken und rechten Rand steht
Um zu bestimmen, wie hoch das Wasser über dem linken und rechten Rand steht, benötigst du
Punkte, die diese Ränder beschreiben. Die Differenz des Wasserpegels mit den y-Koordinaten
liefert dir dann den gesucht Unterschied, also wie tief die Oberkante an den beiden Punkten
unter Wasser liegt.
Den linken Randpunkt L erhältst du aus der Tatsache, dass es sich dabei um den
Übergangspunkt vom Erddeich zum betonierten Absatz handelt. Folglich kannst du L über f 0,2
bestimmen, da er die Koordinaten L(13 | f 0,2 (13)) hat.
Den zweiten Randpunkt R erhältst du dann über den Funktionswert der Geraden g an der Stelle
x = 15 mit R(15 | g(15)). Folglich benötigst du noch die Geradengleichung von g.
c Karlsruhe 2013 | SchulLV | Jens Fischer
Seite 2/38
Vervielfältigung nur innerhalb einer Lehrer-/Klassen- oder Schullizenz und mit Hinweis auf MatheLV erlaubt.
www.MatheLV.net
Niedersachsen | Abitur (erhöhtes Anforderungsniveau GTR)
Prüfungswissen | Original-Prüfungen
◮ Abitur 2010 | GESAMTE PRÜFUNG
D e i n Le r nve r z e i c h n i s
Lösungsblatt (ausführlich)
Für g hast du bereits die Steigung m bestimmt mit m ≈ −0, 2. Da sich aber eine Geradengleichung allgemein aufbaut mit
g( x ) = m · x + c
musst du noch den Summand c bestimmen, der den y-Achsenabschnitt der Geraden beschreibt.
Dies kannst du mit Punktprobe bewerkstelligen. Dazu benötigst du einen Punkt, der auf g liegen
soll. Da dies genau für L gilt, kannst du mittels L den Summand c bestimmen. Gehe also wie
folgt vor.
1. Bestimme die Koordinaten von L
2. Stelle die Geradengleichung von g unter Verwendung von L auf
3. Berechne den zweiten gesuchten Punkt R
4. Bestimme den Abstand von L und R von der Wasseroberfläche
1. Schritt: Koordinaten von L bestimmen
Die Koordinaten von L kannst du nach oben stehender Vorgabe bestimmen mit L(13 | f 0,2 (13)).
Berechne also mit deinem Rechner den Wert f 0,2 (13), indem du im Graph-Menü den Befehl
2nd→TRACE (CALC)→1:value aufrufst und den Funktionswert an der Stelle x = 13 be-
stimmst. Es ergibt sich der folgende Wert.
f 0,2 (13) ≈ 0, 55
Es ergibt sich also der Punkt L mit L(13 | 0, 55).
2. Schritt: Geradengleichung von g bestimmen
Die allgemeine Geradengleichung wurde bereits zuvor aufgeführt mit
g( x ) = m · x + c
wobei m die Steigung und c der y-Achsenabschnitt ist. m hast du bereits zuvor berechnet mit
′ (13) ≈ −0, 2. Es ergibt sich also für g ( x )
m = f 0,2
g( x ) = −0, 2 · x + c
Berechne nun c über den Punkt L, der auch auf g liegt, da es sich um den Übergangspunkt von
Deich zu Absatz handelt. Es soll also gelten g(13) = 0, 55 = −0, 2 · 13 + c. Löse diese Gleichung
nach c auf.
g(13) = 0, 55
−0, 2 · 13 + c = 0, 55
−2, 6 + c = 0, 55
| +2, 6
c = 3, 15
Somit ergibt sich also die vollständige Geradengleichung mit
g( x ) = −0, 2 · x + 3, 15.
3. Schritt: Koordinaten von R berechnen
Für die Koordinaten von R haben wir die Aussage getroffen, dass R die Koordinaten
R(15 | g(15)) hat.
c Karlsruhe 2013 | SchulLV | Jens Fischer
Seite 3/38
Vervielfältigung nur innerhalb einer Lehrer-/Klassen- oder Schullizenz und mit Hinweis auf MatheLV erlaubt.
www.MatheLV.net
Niedersachsen | Abitur (erhöhtes Anforderungsniveau GTR)
D e i n Le r nve r z e i c h n i s
Prüfungswissen | Original-Prüfungen
◮ Abitur 2010 | GESAMTE PRÜFUNG
Lösungsblatt (ausführlich)
Berechne also g(15) mit der eben aufgestellten Geradengleichung.
g(15) = −0, 2 · 15 + 3, 15
= −3 + 3, 15
= 0, 15
Somit ergibt sich also der Punkt R mit R(15 | 0, 15).
4. Schritt: Abstand von L und R von der Wasseroberfläche bestimmen
Den Abstand erhältst du über die Differenz von der Höhe des Wasserstandes und der
y-Koordinate der Punkte. Dies ist darin begründet, dass die y-Koordinate eines jeden Punktes
den Abstand zur x-Achse beschreibt und somit die Höhe des Punktes darstellt.
Berechne also die gesuchten Differenzen:
d1 = 1 − y L = 1 − 0, 55 = 0, 45
d2 = 1 − y R = 1 − 0, 15 = 0, 85
Somit liegt der linke Randpunkt 0, 45 m =
b 45 cm und der rechte Randpunkt 0, 85 m =
b 85 cm
unterhalb der Wasseroberfläche
b) ◮ Ableitung zeigen
(17P)
Die Ableitung kannst du nachweisen, indem du die allgemeine Funktion f k ableitest. Dabei
musst du lediglich beachten, dass k einer Konstanten entspricht.
Es ergibt sich folgende Gleichung für f k′ ( x )
f k ( x ) = 0, 5 · x3 · e−0,6· x+k
f k′ ( x ) = 0, 5 · 3 · x2 · e−0,6· x+k + 0, 5 · x3 · (−0, 6) · e−0,6· x+k
= 1, 5 · x2 · e−0,6· x+k − 0, 3 · x3 · e−0,6· x+k
= 1, 5 · x2 − 0, 3 · x3 · e−0,6· x+k
= −0, 3 · x3 + 1, 5 · x2 · e−0,6· x+k
ausklammern e−0,6· x+k
Dies ist genau die Gleichung der Ableitung, sodass du die gegebene Gleichung nachgewiesen
hast.
◮ Einfluss von k auf die Lage des Hochpunktes
Für Hochpunkte gilt die notwendige Bedingung f ′ ( x ) = 0 und die hinreichende Bedingung
f ′′ ( x ) < 0. Über diese Bedingungen kann man eine Aussage treffen, an welcher Stelle x H sich
ein Hochpunkt befindet. Über f ( x H ) kann man die y-Koordinate bestimmen.
Aus der notwendigen Bedingung ergibt sich die Gleichung
f k′ ( x ) = 0 ⇔ −0, 3 · x3 + 1, 5 · x2 · e−0,6· x+k = 0
Nach den Satz vom Nullprodukt wird ein Produkt genau dann Null, wenn einer der Faktoren
Null wird. Du kannst also die Terme −0, 3 · x3 + 1, 5 · x2 und e−0,6· x+k getrennt gleich Null
setzen. Da aber der e-Term nie Null wird, ist die x-Koordinate des Hochpunktes nur vom Term
−0, 3 · x3 + 1, 5 · x2 abhängig.
Dieser Term beinhaltet aber den Koeffizienten k garnicht, sodass die x-Koordinate unabhängig
von k ist. Folglich hat der Graph von f k unabhängig von k einen Hochpunkt an der selben Stelle.
c Karlsruhe 2013 | SchulLV | Jens Fischer
Seite 4/38
Vervielfältigung nur innerhalb einer Lehrer-/Klassen- oder Schullizenz und mit Hinweis auf MatheLV erlaubt.
www.MatheLV.net
Niedersachsen | Abitur (erhöhtes Anforderungsniveau GTR)
Prüfungswissen | Original-Prüfungen
◮ Abitur 2010 | GESAMTE PRÜFUNG
D e i n Le r nve r z e i c h n i s
Lösungsblatt (ausführlich)
Da du den Hochpunkt des Graphen von f 0,2 bestimmt hast mit H (5 | f 0,2 (5)) und alle Hochpunkte der Graphen der Scharfunktion an der selben Stelle liegen, ergibt sich dass alle Hochpunkte an der Stelle x H = 5 zu finden sind.
Nun musst du noch die y-Koordinate betrachten, da sonst die Betrachtung der Lage des Hochpunktes nicht vollständig ist. Die y-Koordinate wird beschrieben durch f k ( x H ) oder eingesetzt
f k (5).
Es ergibt sich der folgende Term für f k (5).
f k (5) = 0, 5 · 53 · e(−0,6)·5+k
= 0, 5 · 53 · e(−0,6)·5 · ek
≈ 3, 11 · ek
Folglich ist die y-Koordinate des Hochpunkts von k abhängig, sodass diese mit wachsenden k
größere Werte annimmt. Der Hochpunkt hat dann allgemein die Koordinaten (5, | 3, 11 · ek ).
◮ k bestimmen, für das yH = 5, 7
Nun soll die y-Koordinate des Hochpunktes 5, 7 betragen. Folglich gilt f k (5) = 5, 7 = 3, 11 · ek .
Löse diese Gleichung nach k auf, um das gesuchte k zu erhalten.
5, 7 = 3, 11 · ek
ek ≈ 1, 83
ln(ek )
| : 3, 11
| ln
= ln(1, 83)
k ≈ 0, 604
Es ergibt sich also der gesuchte Wert für k mit k ≈ 0, 604.
c) ◮ Untersuchen, für welche k die Bedingungen erfüllt sind
(12P)
Die Aufgabe gibt dir vor, dass der Deich die Steigung −0, 76 nicht unterschreiten darf. Somit
soll die maximal negative Steigung auf der Wasserseite −0, 76 betragen. Die Wasserseite beginnt
rechts des Hochpunktes. Somit musst du den Bereich x > 5 untersuchen.
Extremale Steigungen verweisen dich immer auf Wendepunkte. Somit musst du untersuchen
für welche k die Steigung in einem Wendepunkt, der im Bereich x > 5 liegt, größer oder gleich
−0, 76 ist.
Für Wendepunkte gilt die notwendige Bedingung f k′′ ( x ) = 0 und die hinreichende Bedingung
f k′′′ ( x ) 6= 0.
Die Aufgabe gibt dir die 2. Ableitung von f k sowie die Aussage, dass es genau 3 Wendestellen
gibt, vor. Löst du also die Gleichung f k′′ ( x ) = 0 und erhältst genau drei Lösungen, so handelt es
sich um die gesuchten Wendestellen.
Prüfe dann, welche Steigung der Graph von f k in dem Wendepunkt hat, der im Bereich x > 5
liegt. Gehe also wie folgt vor:
1. Wendestellen bestimmen
2. Steigung in der Wendestelle xW für x > 0 bestimmen
3. k berechnen für das gilt f k′ ( xW ) ≥ −0, 76
c Karlsruhe 2013 | SchulLV | Jens Fischer
Seite 5/38
Vervielfältigung nur innerhalb einer Lehrer-/Klassen- oder Schullizenz und mit Hinweis auf MatheLV erlaubt.
www.MatheLV.net
Niedersachsen | Abitur (erhöhtes Anforderungsniveau GTR)
D e i n Le r nve r z e i c h n i s
Prüfungswissen | Original-Prüfungen
◮ Abitur 2010 | GESAMTE PRÜFUNG
Lösungsblatt (ausführlich)
1. Schritt: Wendestellen bestimmen
Oben haben wir die notwendige Bedingung für Wendepunkte mit f k′′ ( x ) = 0 aufgestellt. Prüfe
also diese Bedingung, indem du die resultierende Gleichung nach x auflöst. Erhältst du genau
drei Stellen, so sind dies nach der zweiten gegebenen Aussage die gesuchten Wendepunkte.
f k′′ ( x ) = 0
(0, 18 · x3 − 1, 8 · x2 + 3 · x ) · e−0,6· x+k = 0
Hier kannst du den Satz vom Nullprodukt anwenden, der aussagt, dass eine Produkt genau
dann gleich Null wird, wenn einer der Faktoren gleich Null ist.
Folglich kannst du die Terme (0, 18 · x3 − 1, 8 · x2 + 3 · x ) und e−0,6· x+k getrennt gleich Null
setzen.
Da der e-Term niemals Null wird, musst du die Gleichung 0, 18 · x3 − 1, 8 · x2 + 3 · x = 0 lösen.
0, 18 · x3 − 1, 8 · x2 + 3 · x = 0
x ausklammern
x · (0, 18 · x2 − 1, 8 · x + 3) = 0
0, 18 ·
x2
⇒ xW1 = 0
− 1, 8 · x + 3 = 0
Um die verbleibende Gleichung zu lösen, benötigst du die abc- bzw. pq-Formel.
◮◮ Lösungsweg A: pq-Formel
Die pq-Formel kannst du immer dann anwenden, wenn du eine Gleichung in der Form
x2 + p · x + q = 0 vorliegen hast. Wichtig ist dabei, dass sich vor dem x2 kein Koeffizient mehr
befindet.
Die zu lösende Gleichung hat die Form 0, 18 · x2 − 1, 8 · x + 3 = 0. Forme also die Gleichung wie
folgt um.
0, 18 · x2 − 1, 8 · x + 3 = 0
| : 0, 18
x2 − 10 · x + 16, 67 = 0
Nun kannst du die Werte für p und q der Gleichung entnehmen und in die pq-Formel eintragen.
q p
p 2
−q
x1,2 = − ±
2
2
Es ergeben sich die Werte für p und q mit p = −10 und q = 16, 67.
q p
p 2
xW2 ,W3 = − ±
−q
2
2
r
2
−10
−10
− 16, 67
±
=−
2
2
√
= 5 ± 25 − 16, 67
= 5±
√
8, 33
≈ 5 ± 2, 89
xW2 = 7, 89
xW3 = 2, 11
Es ergeben sich also die Lösungen xW2 = 7, 89 und xW3 = 2, 11.
c Karlsruhe 2013 | SchulLV | Jens Fischer
Seite 6/38
Vervielfältigung nur innerhalb einer Lehrer-/Klassen- oder Schullizenz und mit Hinweis auf MatheLV erlaubt.
www.MatheLV.net
Niedersachsen | Abitur (erhöhtes Anforderungsniveau GTR)
Prüfungswissen | Original-Prüfungen
◮ Abitur 2010 | GESAMTE PRÜFUNG
D e i n Le r nve r z e i c h n i s
Lösungsblatt (ausführlich)
◮◮ Lösungsweg B: abc-Formel
Die abc-Formel kannst du immer dann anwenden, wenn du eine Gleichung der Form
a · x2 + b · x + c = 0 vorliegen. Deine Gleichung hat die Form 0, 18 · x2 − 1, 8 · x + 3 = 0. Also
kannst du die Koeffizienten direkt entnehmen, die sich dann wie folgt ergeben.
a = 0, 18, b = −1, 8 und c = 3
Setze diese Werte nun in die abc-Formel ein, sodass sich diese wie folgt ergibt.
√
−b ± b2 − 4ac
xW2 ,W3 =
2a
p
−(−1, 8) ± (−1, 8)2 − 4 · 0, 18 · 3
=
2 · 0, 18
√
1, 8 ± 3, 24 − 2, 16
=
0, 36
√
1, 8 ± 1, 08
=
0, 36
1, 8 ± 1, 04
≈
0, 36
2, 84
xW2 =
0, 36
≈ 7, 89
xW3 =
0, 76
0, 36
≈ 2, 11
Es ergeben sich also die Lösungen xW2 = 7, 89 und xW3 = 2, 11.
Insgesamt ergeben sich also genau drei Stellen, an denen die Gleichung erfüllt ist. Somit handelt
es sich bei xW1 , xW2 und xW3 um Wendestellen.
2. Schritt: Steigung im Wendepunkt im Bereich x > 5 bestimmen
Die Wendestellen befinden sich an den Stellen xW1 = 0, xW2 = 7, 89 und xW3 = 2, 11. Somit
erfüllt nur eine dieser Stelle die Bedingung x > 5 und zwar die Wendestelle xW2 mit 7, 89 > 5.
Setze also diesen Wert für x in die erste Ableitung ein und bestimme die Steigung der Kurve an
dieser Stelle in Abhängigkeit von k.
f k′ ( xW2 ) = −0, 3 · (7, 89)3 + 1, 5 · (7, 89)2 · e−0,6·7,89+k
≈ (−53, 97) · e−4,73+k
= (−53, 97) · e−4,73 · ek
Somit hast du die Steigung an der Stelle xW2 = 7, 89 in Abhängigkeit von k bestimmt.
c Karlsruhe 2013 | SchulLV | Jens Fischer
Seite 7/38
Vervielfältigung nur innerhalb einer Lehrer-/Klassen- oder Schullizenz und mit Hinweis auf MatheLV erlaubt.
www.MatheLV.net
Niedersachsen | Abitur (erhöhtes Anforderungsniveau GTR)
D e i n Le r nve r z e i c h n i s
Prüfungswissen | Original-Prüfungen
◮ Abitur 2010 | GESAMTE PRÜFUNG
Lösungsblatt (ausführlich)
3. Schritt: k berechnen
Nun sollst du noch bestimmen, für welche k diese Steigung größer oder gleich −0, 76 ist. Löse
also die Gleichung f k′ ( xW2 ) ≥ −0, 76.
f k′ ( xW2 ) ≥ −0, 76
(−53, 97) · e−4,73 · ek ≥ −0, 76
e−4,73 · ek ≤ 0, 014
ek ≤ 1, 59
| : (−53, 97)
| : e−4,73
| ln
k ≤ 0, 46
Also erfüllt der beschriebene Deichquerschnitt für 0 < k ≤ 0, 46 die gegebene Bedingung.
d) ◮ Breite des Weges bestimmen
(14P)
Die Aufgabe gibt dir vor, dass das Erdreich in einer Höhe von 3,60 m abgetragen werden soll.
Folglich wird das Erdreich entfernt, dass sich oberhalb dieser Grenze befindet.
Diese Grenze kannst du dir von deiner Rechner zeichnen lassen, indem du eine Gerade y = 3, 6
zeichnen lässt. Diese verläuft immer auf der Höhe y = 3, 6 und ist somit parallel zur x-Achse
Die Schnittpunkte dieser Geraden mit dem Graphen von f 0,2 sind dann die Punkte, die im
Querschnitt den Weg begrenzen. Ihr Abstand entspricht dann der Wegbreite. Da die Gerade
y = 3, 6 parallel zur x-Achse verläuft, entspricht der Abstand der beiden Punkte der Differenz
ihrer x-Koordinaten.
Bestimme also zunächst die Schnittpunkte der Geraden mit den Graphen von f 0,2 und berechne
dann die Differenz ihrer x-Koordinaten. Den Befehl zum Bestimmen der Schnittpunkte findest
du unter 2nd→TRACE (CALC)→5:intersect
Es ergeben sich also die Schnittpunkte mit S1 (4, 11 | 3, 6) und S2 (6, 01 | 3, 6). Berechne also die
Differenz d der x-Koordinaten wie folgt.
d = 6, 01 − 4, 11 = 1, 9
Somit beträgt die Differenz, die gleichbedeutend mit dem Abstand ist, ca. 1,9 LE. Also ist der
Weg ca. 1,9 m breit.
◮ Lösungsweg beschreiben
Nun soll der Weg eine Breite von 3 m haben. Weiterhin soll er waagerecht verlaufen, also parallel zur x-Achse. Somit besitzen die beiden Randpunkte die selbe y-Koordinate, die durch den
Funktionswert an der jeweiligen Stelle beschrieben wird.
c Karlsruhe 2013 | SchulLV | Jens Fischer
Seite 8/38
Vervielfältigung nur innerhalb einer Lehrer-/Klassen- oder Schullizenz und mit Hinweis auf MatheLV erlaubt.
www.MatheLV.net
Niedersachsen | Abitur (erhöhtes Anforderungsniveau GTR)
D e i n Le r nve r z e i c h n i s
Prüfungswissen | Original-Prüfungen
◮ Abitur 2010 | GESAMTE PRÜFUNG
Lösungsblatt (ausführlich)
Da der Weg eine Breite von 3 m haben soll, gilt, dass die Differenz der x-Koordinaten der
beiden Randpunkte genau 3 betragen soll. Die beiden Randpunkte haben die Koordinaten
R1 ( x1 | f ( x1 )) und R2 ( x2 | f ( x2 )), wobei nach oben getroffener Aussage gilt f ( x1 ) = f ( x2 ).
Außerdem gilt x2 − x1 = 3, da die Differenz genau 3 betragen soll, und folglich x2 = x1 + 3.
Somit ergibt sich für die Koordinaten der Punkte R1 ( x1 | f ( x1 )) und R2 ( x1 + 3 | f ( x1 + 3)).
Über f ( x1 ) = f ( x2 ) ⇐⇒ f ( x1 ) = f ( x1 + 3) kannst du dann die Stelle x1 bestimmen, an der
diese Situation eintritt und über f ( x1 ) erhältst du abschließend die Höhe.
◮ Höhe berechnen
Verfahre, wie in obiger Beschreibung dargestellt und löse die Gleichung f ( x1 ) = f ( x1 + 3) nach
x1 auf. Achte beim Teilen durch x darauf, ob x Null werden kann. Allerdings kannst du an der
Skizze erkennen, dass es keinen Abstand bei x = 0 zu x = 3 gibt, der 3 groß ist.
f ( x1 ) = f ( x1 + 3)
0, 5 · x1 3 · e−0,6· x1 +0,2 = 0, 5 · ( x1 + 3)3 · e−0,6·( x1 +3)+0,2
x1 3 · e−0,6· x1 +0,2 = ( x1 + 3)3 · e−0,6·( x1 +3)+0,2
1=
1=
| : 0, 5
| : (( x1 )3 · e−0,6·x1 +0,2 )
( x1 + 3)3 · e−0,6·( x1 +3)+0,2
x1 3 · e−0,6· x1 +0,2
( x1 + 3)3 · e−0,6·3 · e−0,6· x1 +0,2
x1 3 · e−0,6· x1 +0,2
1=
( x1 + 3)3 · e−0,6·3
x1 3
0=
( x1 + 3)3 · e−0,6·3
−1
x1 3
| −1
Diese Gleichung kannst du in deinen Rechner als Funktion eingeben und diese dann auf Nullstellen untersuchen. Die Nullstellen sind dann die Lösungen für x1 . Den Befehl zum bestimmen
von Nullstellen findest du unter 2nd→TRACE (CALC)→2:zero
Somit ergibt sich die Nullstelle bei x1 ≈ 3, 65. Bestimme also noch den Funktionswert von
x1 ≈ 3, 65, um die gesuchte Höhe zu erhalten. Den Funktionswert kannst du über den Befehl
value bestimmen, den du unter 2nd→TRACE (CALC)→1:value findest. Achte darauf, dass du
nicht den Funktionswert der eben untersuchten Funktion bestimmst, sondern den Funktionswert von f 0,2 (3, 65).
Dieser ergibt sich dann mit f 0,2 (3, 65) ≈ 3, 32. Somit müsste der Deich auf 3,32 m Höhe abge-
flacht werden, um einen Weg mit der Breite 3 m zu erhalten.
c Karlsruhe 2013 | SchulLV | Jens Fischer
Seite 9/38
Vervielfältigung nur innerhalb einer Lehrer-/Klassen- oder Schullizenz und mit Hinweis auf MatheLV erlaubt.
www.MatheLV.net
Niedersachsen | Abitur (erhöhtes Anforderungsniveau GTR)
D e i n Le r nve r z e i c h n i s
Prüfungswissen | Original-Prüfungen
◮ Abitur 2010 | GESAMTE PRÜFUNG
Lösungsblatt (ausführlich)
Aufgabe 1B
a) ◮ Schnittpunkte mit der x-Achse bestimmen
(16P)
Schnittpunkte mit der x-Achse werden auch Nullstellen genannt. Für sie gilt f ( x ) = 0. Löse also
diese Gleichung nach x auf.
Beachte, dass es sich bei der gegebenen Funktion um eine gebrochenrationale Funktion handelt.
Für einen Bruch gilt, dass er genau dann Null wird, wenn der Zähler gleich Null ist, während
der Nenner aber ungleich Null sein muss.
Setze also zunächst den Zähler gleich Null und prüfe dann, ob der Nenner für die bestimmten
Nullstellen ungleich Null ist.
1. Schritt: Zähler gleich Null setzen
Löse die Gleichung x2 − 5 = 0 also nach x auf.
x2 − 5 = 0
x2
=5
√
x1 = 5
√
x2 = − 5
| +5
|
√
Somit ergeben sich die Lösungen der Gleichung mit x1 =
√
Nenner an diesen Stellen ungleich Null ist.
√
5 und x2 = − 5. Prüfe nun, ob der
2. Schritt: Prüfen, ob Nenner ungleich Null
Setze nacheinander die eben bestimmten Nullstellen in den Nenner des Bruchs ein. Es ergeben
sich die folgenden Werte:
√
x1 + 3 = 5 + 3 ≈ 7, 24
√
x2 + 3 = − 5 + 3 ≈ 0, 76
Somit ist der Nenner für beide Werte x1 und x2 ungleich Null. Es ergeben sich also die Nullstel√
√
len von f mit x1 = 5 und x2 = − 5.
alternativ
Du kannst die Aufgabe auch mit deinem Rechner lösen.
Öffne dazu zunächst den Funktionen-Editor und trage
den Funktionsterm von f ein. Lasse ihn dir anschließend
im Graph-Menü zeichnen.
Über Zoom→0:ZoomFit kannst du dann dein Fenster
so anpassen, dass du einen guten Überblick über den
Sachverhalt hast. Bestimme nun die Nullstellen über
2nd→TRACE (CALC)→2:zero .
√
√
Die beiden Nullstellen ergeben sich also mit x1 ≈ −2, 24 =
b − 5 und x2 ≈ 2, 24 =
b 5.
◮ Hochpunkt von f finden
Für Hochpunkte gelten im Allgemeinen zwei Bedingungen. Zum einen die notwendige Bedingung mit f ′ ( x ) = 0 und die hinreichende Bedingung mit f ′′ ( x ) < 0.
Löse die Aufgabe mit deinem Rechner, der dir dafür einen speziellen Befehl vorgibt.
c Karlsruhe 2013 | SchulLV | Jens Fischer
Seite 10/38
Vervielfältigung nur innerhalb einer Lehrer-/Klassen- oder Schullizenz und mit Hinweis auf MatheLV erlaubt.
www.MatheLV.net
Niedersachsen | Abitur (erhöhtes Anforderungsniveau GTR)
Prüfungswissen | Original-Prüfungen
◮ Abitur 2010 | GESAMTE PRÜFUNG
D e i n Le r nve r z e i c h n i s
Lösungsblatt (ausführlich)
Wie du im oben stehenden Bild allerdings erkennen kannst, befindet sich in dem Bereich, den
du durch den ZoomFit erhalten hast kein Hochpunkt, sondern lediglich ein Tiefpunkt.
Du musst also zunächst dein Fenster anpassen, um den Hochpunkt zu finden. Eine gute Idee ist
es den Bereich −10 ≤ x ≤ 10 und −10 ≤ y ≤ 10 zu betrachten. Befindet sich in diesem Bereich
kein Hochpunkt, so erweiterst du das Fenster auf −20 ≤ x ≤ 20 und −20 ≤ y ≤ 20 usw. bis du
einen Hochpunkt entdeckst.
In diesem Fall findest du einen Hochpunkt, wenn du das Fenster auf −20 ≤ x ≤ 20 und
−20 ≤ y ≤ 20 einstellst. Du kannst dann über den Befehl 2nd→TRACE (CALC)→4:maximum
den Hochpunkt des Graphen von f bestimmen.
Es ergibt sich also der Hochpunkt des Graphen von f mit H (−5 | −10).
◮ Schiefe Asymptote beweisen
Eine schiefe Asymptote tritt dann auf, wenn der Zählergrad einer gebrochenrationalen Funktion
um eins höher ist als der Grad des Nenners. Außerdem muss die Funktion gegen ∞ oder −∞
streben für x → ∞ bzw. x → −∞.
Da der Zählergrad der gegebenen Funktion um eins größer ist als der Nennergrad, ist die erste
Bedingung schonmal erfüllt. Den Grad eines Polynoms erhältst du aus dem größten Exponenten.
Es bleibt also noch zu prüfen, ob die Funktion gegen ∞ oder −∞ strebt für x → ∞ bzw. x → −∞.
Da aber die Existenz der Asymptote vorrausgesetzt wird, musst du nur noch die gegebene Gleichung beweisen.
Die schiefe Asymptote hat die Gleichung y = x − 3. Diese ergibt sich aus dem Verlauf der Kurve
für große x-Werte. Also brauchen wir die Gleichung der Funktion in einer Form, sodass wir
x − 3 isolieren können.
Betrachtest du den Funktionsterm, so kannst du erkennen, dass man den Zähler wie folgt zu der
dritten binomischen Formel x2 − 9 = ( x + 3) · ( x − 3) erweitern kann. Verwende dafür, dass du
zu jeder Gleichung Nullen addieren darfst, da diese keine Auswirkung auf die Gesamtheit der
Gleichung haben:
x2 − 5 = x2 − 5 + 0 = x2 − 5 + 4 − 4 = x2 − 5
| {z }
=0
c Karlsruhe 2013 | SchulLV | Jens Fischer
Seite 11/38
Vervielfältigung nur innerhalb einer Lehrer-/Klassen- oder Schullizenz und mit Hinweis auf MatheLV erlaubt.
www.MatheLV.net
Niedersachsen | Abitur (erhöhtes Anforderungsniveau GTR)
Prüfungswissen | Original-Prüfungen
◮ Abitur 2010 | GESAMTE PRÜFUNG
D e i n Le r nve r z e i c h n i s
Lösungsblatt (ausführlich)
Es ergibt sich also:
f (x) =
=
x2 − 5
x+3
x2 − 5 + 0
x+3
=0
f (x) =
f (x) =
x2
z }| {
−5+4−4
x+3
x2 − 9 + 4
x+3
4
x2 − 9
+
x+3
x+3
4
( x + 3) · ( x − 3)
+
f (x) =
x+3
x+3
4
f (x) = x − 3 +
x+3
f (x) =
Für große x wird der Term
den Nenner vergrößert.
4
gleich Null, da ein Bruch immer gegen Null strebt, wenn man
x+3
Die Funktion lässt sich also für große x durch eine Gerade der Form
y = x−3+0 = x−3
asymptotisch annähern. Somit handelt es sich bei y = x − 3 um die schiefe Asymptote. Folglich
ist die gegebene Asymptote bewiesen.
◮ Bereiche begründen
Zunächst solltest du begründen, dass der Graph überhaupt immer oberhalb bzw. unterhalb der
Asymptote verläuft. Dies ist gleichbedeutend damit, dass der Graph von f und die Asymptote
keinen Schnittpunt haben.
Du kannst dann aufgrund der Definitionslücke bei x = −3 begründen, dass für x < −3 die
Kurve immer unterhalb der Asymptote und für x > −3 immer oberhalb der Asymptote verläuft.
1. Schritt: Schnittpunkt prüfen
Für einen Schnittstelle gilt, dass für eine bliebige Stelle x erfüllt sein muss f ( x ) = a( x ). Prüfe
diese Gleichung.
x−3=
x2 − 5
x+3
| ·( x + 3)
( x − 3) · ( x + 3) = x 2 − 5
x2 − 9 = x2 − 5
| − x2
−9 = −5
Dies ist eine unwahre Aussage. Folglich gibt es keinen Schnittpunkt des Graphen von a mit dem
Graphen von f .
2. Schritt: Bereiche begründen
Der Graph von f verläuft nun für x < −3 unterhalb der Asmyptote und für x > −3 oberhalb
der Asymptote. Das der Graph für x > −3 oberhalb der Asymptote verläuft, kannst du der
Skizze entnehmen.
c Karlsruhe 2013 | SchulLV | Jens Fischer
Seite 12/38
Vervielfältigung nur innerhalb einer Lehrer-/Klassen- oder Schullizenz und mit Hinweis auf MatheLV erlaubt.
www.MatheLV.net
Niedersachsen | Abitur (erhöhtes Anforderungsniveau GTR)
Prüfungswissen | Original-Prüfungen
◮ Abitur 2010 | GESAMTE PRÜFUNG
D e i n Le r nve r z e i c h n i s
Lösungsblatt (ausführlich)
Da es keinen Schnittpunkt gibt, verläuft der Graph für alle x, für die gilt x > −3, oberhalb der
Asymptote.
An der Definitionslücke findet sich ein Sprung der Funktion von −∞ nach ∞. Somit verläuft
der Graph von f im Bereich x < −3 zwischen der Asymptote und −∞. Da es keinen Schnittpuntkt gibt bleibt der Graph in diesem Bereich also unterhalb der Asymptote, sodass die Bereiche vollständig begründet sind.
b) ◮ Inhalt des Flächenstücks bestimmen
(17P)
Du kannst anhand der Skizze erkennen, dass die zu bestimmende Fläche von der Asymptote, dem Graphen von f , einer zur y-Achse parallelen und einer zu x-Achse parallelen Gerade
eingeschlossen wird.
Geraden, die zur y-Achse parallel verlaufen, geben dir immer eine Grenze deines Integrals an.
Achte darauf, dass das Integral über eine Funktion, das auch als Flächeninhalt unter der Kurve
interpretiert werden kann, immer zwischen der Kurve und der x-Achse berechnet wird. Da aber
die gesuchte Fläche nicht von der x-Achse sondern von einer zur x-Achse parallelen Gerade
eingeschlossen wird, musst du deine Funktionen zunächst noch abwandeln, um den IntegralBefehl deines Rechners verwenden zu können.
Abschließend brauchst du noch die Grenzen der Integrale, um die gesuchte Fläche zu bestimmen.
1. Funktionen abwandeln
2. Grenzen bestimmen
3. Einzelne Flächen bestimmen
4. Graue Fläche berechnen
1. Schritt: Funktionen abwandeln
Bei der zur x-Ache parallelen Gerade handelt es sich um die Gerade y = −1. Verschiebst du
diese um 1 LE in positiver y-Richtung, so erhältst du die Geradengleichung y = 0, die gerade
die x-Achse darstellt.
Verschiebe also den Graphen von f genauso, ebenso wie die schiefe Asymptote. Diese kannst
du dann durch folgende Funktionen beschreiben:
f neu ( x ) =
x2 − 5
+1
x+3
aneu ( x ) = x − 3 + 1 = x − 2
2. Schritt: Grenzen bestimmen
Du kannst erkennen, dass die graue Fläche einem Dreieck ähnelt, aus dem ein Stück herausgeschnitten wurde. Dieses fehlende Stück entspricht dem Integral von f neu in den Grenzen der
Nullstellen von f neu . Somit sind diese Nullstellen die ersten Grenzen, die du benötigst um das
fehlende Stück zu bestimmen.
Weitere Grenzen zur Berechnung des gesamten Dreiecks erhältst du zum Einen aus der Gerade
x = −3, die parallel zur y-Achse verläuft und in der Regel eine Grenze beschreibt. Die zweite
Grenze erhältst du aus der Nullstelle der neuen Asymptote aneu .
c Karlsruhe 2013 | SchulLV | Jens Fischer
Seite 13/38
Vervielfältigung nur innerhalb einer Lehrer-/Klassen- oder Schullizenz und mit Hinweis auf MatheLV erlaubt.
www.MatheLV.net
Niedersachsen | Abitur (erhöhtes Anforderungsniveau GTR)
D e i n Le r nve r z e i c h n i s
Prüfungswissen | Original-Prüfungen
◮ Abitur 2010 | GESAMTE PRÜFUNG
Lösungsblatt (ausführlich)
Gib also zunächst die beiden neuen Funktionen in deinen Rechner ein und untersuche sie dann auf Nullstellen. Den Befehl für Nullstellen findest du unter
2nd→TRACE (CALC)→2: zero . Für die Funktion f neu ergeben sich die Nullstellen mit xn1 = 1 und xn2 = −2.
Die Nullstelle von aneu hat den Wert x a1 = 2
Somit hast du alle Grenzen mit x = −3, xn2 = −2, xn1 = 1 und x a1 = 2 bestimmt.
3. Schritt: Flächeninhalt der einzelnen Flächen bestimmen
Die Flächeninhalte der einzelnen Flächen kannst du nun über den Integral-Befehl deines Rechners in ihren Grenzen bestimmen.
Z 1
A1 = f neu ( x )dx −2
Z 2
A2 = aneu ( x )dx −3
Den
Integral-Befehl
2nd→TRACE (CALC)→7:
Z
findest
du
unter
f(x) dx .
Gib die Grenzen, die du eben bestimmt hast ein und lasse
dir die Integrale berechnen, die dir dann die gesuchten
Flächeninhalte ausgeben. Verwende den Betrag der Integrale, da du die Werte als Flächeninhalte interpretieren
willst und es keine negativen Werte gibt.
Es ergeben sich die folgenden Werte:
Z 1
A1 = f neu ( x )dx ≈ 1, 95
−2
Z 2
aneu ( x )dx ≈ 12, 5
A2 = −3
4. Schritt: Graue Fläche berechnen
Du kannst anhand der Skizze erkennen, dass sich die graue Fläche über die Differenz von A1
und A2 bestimmen lässt.
Dies ist darin begründet, dass die Fläche ein Dreieck ist, aus dem ein Stück, das der Fläche mit
dem Flächeninhalt A2 entspricht, herausgeschnitten wurde. Berechne also den Flächeninhalt der
grauen Fläche A g wie folgt.
A g = A1 − A2 = 12, 5 − 1, 95 = 10, 55
Somit hat die graue Fläche einen Flächeninhalt von ca. 10, 55 FE.
◮ Aussage begründen
Dir ist die Aussage gegeben, dass wenn F eine Stammfunktion von f ist, so hat der Graph von
F genau einen Hoch- und einen Tiefpunkt.
c Karlsruhe 2013 | SchulLV | Jens Fischer
Seite 14/38
Vervielfältigung nur innerhalb einer Lehrer-/Klassen- oder Schullizenz und mit Hinweis auf MatheLV erlaubt.
www.MatheLV.net
Niedersachsen | Abitur (erhöhtes Anforderungsniveau GTR)
Prüfungswissen | Original-Prüfungen
◮ Abitur 2010 | GESAMTE PRÜFUNG
D e i n Le r nve r z e i c h n i s
Lösungsblatt (ausführlich)
Für Hoch- und Tiefpunkte gilt die notwendige Bedingung F ′ ( x ) = 0. An der Stelle des Hochpunktes wechselt das Vorzeichen der Steigung von positiv nach negativ.
Für den Tiefpunkt gilt hingegen, dass an seiner Stelle das Vorzeichen der Steigung von negativ
zu positiv wechselt.
Wenn F eine Stammfunktion von f ist, so entspricht f der ersten Ableitung von F mit F ′ ( x ) =
f ( x ). Nach dem notwendigen Kriterium für Hoch- und Tiefpunkte des Graphen von F gilt demnach F ′ ( x ) = f ( x ) = 0.
Dies ist gerade das Kriterium für Nullstellen der Funktion f .
√
√
Du hast die Nullstellen bereits in a) bestimmt mit x1 = 5 und x2 = − 5.
Es gibt also genau zwei Nullstellen von f , die beide in der Skizze erkennbar sind. In beiden
√
liegt ein Vorzeichenwechsel vor. Einmal von positiv nach negativ bei x2 = − 5 und einmal von
√
negativ nach positiv bei x1 = 5.
√
Also liegt nach den obigen Bedingungen ein Tiefpunkt des Graphen von F bei x1 = 5 und ein
√
Hochpunkt des Graphen von F bei x2 = − 5 vor.
Somit ist die Aussage begründet, dass der Graph von F genau einen Hoch- und einen Tiefpunkt
besitzt.
c) ◮ Nachweise, dass sich alle Tangenten in einem Punkt schneiden
(15P)
Eine Tangente, die an einer bestimmten Stelle an den Graphen der Funktion angelegt werden
soll, kannst du über folgende Gleichung bestimmen.
t ( x ) = f ′ ( x0 ) · ( x − x0 ) + f ( x0 )
Für deine Stelle x0 gilt nach der Aufgabenstellung x0 = 0. Folglich kannst du damit die Tangentengleichung aufstellen.
Im Anschluss kannst du den Schnittpunkt aller Tangenten bestimmen, indem du zwei allgemeine Parameter wählst und dann in die Funktionsterme der Geraden gleichsetzt.
1. Schritt: Tangentengleichung bestimmen
Setze also die gegebene Stelle x0 in die Tangentengleichung ein, um diese zu bestimmen. Diese
ergibt sich wie folgt.
t ( x ) = f ′ ( x0 ) · ( x − x0 ) + f ( x0 )
= f ′ (0) · ( x − 0) + f (0)
=
02 + 6 · 0 + 9 − k
02 + k − 9
·
x
+
0+3
(0 + 3)2
=
k−9
9−k
·x+
9
3
Somit hast du die Tangentengleichung von t in Abhängigkeit von k bestimmt, sodass du nun
den Schnittpunkt berechnen kannst.
2. Schritt: Schnittpunkt aller Tangenten bestimmen
Um den Schnittpunkt aller Tangenten zu bestimmen, benötigst du zwei allgemeine Parameter, für die du dann die Gleichung tk ( x ) = tl ( x ) löst. Du kannst diese Parameter auch in
Abhängigkeit von einander wählen. Wähle bspw. l = k + 1. Dies erleichtert dir das Umformen, denn die Parameter sind für alle k verschieden und du erhältst eine Lösung, die maximal
von einem Parameter abhängig ist.
c Karlsruhe 2013 | SchulLV | Jens Fischer
Seite 15/38
Vervielfältigung nur innerhalb einer Lehrer-/Klassen- oder Schullizenz und mit Hinweis auf MatheLV erlaubt.
www.MatheLV.net
Niedersachsen | Abitur (erhöhtes Anforderungsniveau GTR)
D e i n Le r nve r z e i c h n i s
Prüfungswissen | Original-Prüfungen
◮ Abitur 2010 | GESAMTE PRÜFUNG
Lösungsblatt (ausführlich)
Löse also die Gleichung tk ( x ) = tk+1 ( x ).
t k ( x ) = t k +1 ( x )
k − 9 9 − ( k + 1)
( k + 1) − 9
9−k
·x+
=
·x+
9
3
9
3
9 − ( k + 1)
( k + 1) − 9 k − 9
9−k
·x=
·x+
−
9
9
3
3
9 − ( k + 1)
1
9−k
·x=
·x+
9
9
3
9 − ( k + 1)
1 9−k
0=
·x+ −
·x
9
3
9
1
9 − ( k + 1) 9 − k
·x+
0=
−
9
9
3
1
1
0=− ·x+
9
3
1
1
− =− ·x
3
9
| −
|−
k−9
3
9−k
·x
9
| −
1
3
| ·9
3=x
Setze also diesen Wert für x in eine der beiden Tangentengleichungen ein, um den zugehörigen
y-Wert zu erhalten. Ist auch dieser Wert von k unabhängig, so haben alle Schnittpunkte der
Tangenten die selben Koordinaten, die sich aus den berechneten Werten zusammensetzen.
9−k
k−9
·3+
9
3
27 − 3k k − 9
+
=
9
3
27 − 3k 3k − 27
=
+
9
9
f k (3) =
=0
Somit ergibt sich der Schnittpunkt für alle k mit S(3 | 0). Du hast somit nachgewiesen nachgewiesen, dass sich alle Tangenten im selben Punkt schneiden.
◮ k so bestimmen, dass sich hebbare Lücke ergibt
Eine hebbare Lücke ergibt sich dann, wenn sowohl der Zähler als auch der Nenner für einen
bestimmten x-Wert gleich Null werden. Setze zunächst den Nenner gleich Null und löse nach
x auf, da der Nenner unabhängig von k ist. Du erhältst somit eine eindeutige Lösung für x, die
nicht von k abhängt und die du dann in den Zähler einsetzen kannst
Setze diesen Wert für x dann in den Zähler ein, setze diese neue Gleichung ebenfalls gleich Null
und prüfe, für welche k die Gleichung eine Lösung hat.
Setze zunächst den Nenner gleich Null.
x+3=0
| −3
x = −3
c Karlsruhe 2013 | SchulLV | Jens Fischer
Seite 16/38
Vervielfältigung nur innerhalb einer Lehrer-/Klassen- oder Schullizenz und mit Hinweis auf MatheLV erlaubt.
www.MatheLV.net
Niedersachsen | Abitur (erhöhtes Anforderungsniveau GTR)
Prüfungswissen | Original-Prüfungen
◮ Abitur 2010 | GESAMTE PRÜFUNG
D e i n Le r nve r z e i c h n i s
Lösungsblatt (ausführlich)
Somit wird der Nenner für x = −3 gleich Null. Setze nun diesen Wert in den Zähler ein und
löse die oben genannte Gleichung.
(−3)2 + k − 9 = 0
9+k−9=0
k=0
Somit ergibt sich für k = 0 eine hebbare Definitionslücke von f k .
d) ◮ Wert der Ableitung in der Nullstelle zeigen
(12P)
Um eine Aussage über den Wert der Ableitung treffen zu können, benötigst du zunächst einmal
die Ableitung. Leite also die Funktion g nach der Quotienten- bzw. Kettenregel ab, da es sich
beim Funktionsterm von g um eine Bruch handelt.
g( x ) =
x2 − 4
= ( x 2 − 4 ) · ( 2 · x ) −1
2x
g ′ ( x ) = − 2 · ( x 2 − 4 ) · ( 2 · x ) −2 + 2 · x · ( 2 · x ) −1
= −2 ·
( x 2 − 4) 2 · x
+
2·x
(2 · x )2
alternativ
Verwende die Quotientenregel wie folgt
x2 − 4
2x
(2x )2 − 2 · ( x2 − 4)
( x 2 − 4) 2 · x
g′ ( x ) =
=
−
2
·
+
2·x
(2x )2
(2 · x )2
g( x ) =
Setze nun in den Funktionsterm von g′ den Wert mit x = 2 ein, um den Wert für g′ (2) zu
erhalten.
g ′ (2) = −2 ·
(22 − 4) 2 · 2
+
2·2
(2 · 2)2
(4 − 4) 4
+
4
(4)2
0
= −2 ·
+1
16
= −2 ·
= −0 + 1 = 1
Du hast also gezeigt, dass g′ (2) = 1 gilt.
◮ Behauptung für die Funktion d prüfen
Die Ausgangslage ist die gleiche wie bereits zuvor. Die Nennerfunktion ist die Ableitung der
u( x )
.
Zählerfunktion mit d( x ) = ′
u (x)
Nun soll an der Nullstelle a geprüft werden, ob wieder gilt d′ ( a) = 1. Leite also allgemein die
Funktion d ab.
d( x ) =
u( x )
= u( x ) · (u′ ( x ))−1
u′ ( x )
c Karlsruhe 2013 | SchulLV | Jens Fischer
Seite 17/38
Vervielfältigung nur innerhalb einer Lehrer-/Klassen- oder Schullizenz und mit Hinweis auf MatheLV erlaubt.
www.MatheLV.net
Niedersachsen | Abitur (erhöhtes Anforderungsniveau GTR)
Prüfungswissen | Original-Prüfungen
◮ Abitur 2010 | GESAMTE PRÜFUNG
D e i n Le r nve r z e i c h n i s
Lösungsblatt (ausführlich)
d′ ( x ) = −u′′ ( x ) · u( x ) · (u′ ( x ))−2 + u′ ( x ) · (u′ ( x ))−1
=
−u′′ ( x ) · u( x ) u′ ( x )
+ ′
u (x)
(u′ ( x ))2
alternativ
Verwende die Quotientenregel.
d( x ) =
u( x )
u′ ( x )
d′ ( x ) =
−u′′ ( x ) · u( x ) u′ ( x )
u′′ ( x ) · u( x ) − (u′ ( x ))2
=
+ ′
′
2
u (x)
(u ( x ))
(u′ ( x ))2
Es ergibt sich dann für die Nullstelle x = a folgende Form:
d′ ( a) =
−u′′ ( a) · u( a) u′ ( a)
+ ′
u ( a)
(u′ ( a))2
−u′′ ( a) · 0
+1
(u′ ( a))2
0
= ′
+1
(u ( a))2
=
=0+1 = 1
Somit gilt also die Aussage auch für eine allgemeine Funktion, deren Nennerfunktion die Ableitung der Zählerfunktion ist und außerdem gilt u′ ( a) 6= 0. Diese Einschränkung u′ ( a) 6= 0 ist
enorm wichtig, da es ansonsten vorkommen könnte, dass du durch Null teilst.
c Karlsruhe 2013 | SchulLV | Jens Fischer
Seite 18/38
Vervielfältigung nur innerhalb einer Lehrer-/Klassen- oder Schullizenz und mit Hinweis auf MatheLV erlaubt.
www.MatheLV.net
Niedersachsen | Abitur (erhöhtes Anforderungsniveau GTR)
D e i n Le r nve r z e i c h n i s
Prüfungswissen | Original-Prüfungen
◮ Abitur 2010 | GESAMTE PRÜFUNG
Lösungsblatt (ausführlich)
Block 2A - Aufgabe 1
a) ◮ Einhaltung der Verordnung nachweisen
(14P)
Die Zufallsgröße X beschreibt die Abfüllmenge der Olivenölflaschen. Sie kann laut Aufgabenstellung als normalverteilt angenommen werden mit µ = 502, 4 ml und σ = 5, 2 ml. Zu zeigen
ist nun: Der Anteil der Flaschen, deren Füllmenge kleiner als 490 ml ist, ist höchstens 2 %. Da
die Füllmenge gerade durch X beschrieben wird, kannst du diesen Anteil über die Normalverteilung, besser gesagt mit Hilfe der Φ-Funktion berechnen:
P( X < 490) = P( X ≤ 490)
Du kannst ihn entweder über eine Tabelle zur Standardnormalverteilung (Lösungsweg A) oder
mit deinem GTR (Lösungsweg B) berechnen.
◮◮ Lösungsweg A: Lösung über die Tabelle
Da X eine normalverteilte Zufallsgröße ist, gilt:
P( X < 490) = P( X ≤ 490)
Diesen Ausdruck kannst du nun umformen:
k−µ
P( X ≤ 490) = Φ
σ
490 − 502, 4
= Φ
5, 2
−12, 4
= Φ
= Φ (−2, 38)
5, 2
= 1 − Φ (2, 38)
In einer Tabelle zur Standardnormalverteilung findest du den Wert Φ(2, 38) = 0, 99134.
Es folgt:
Φ( X < 490) = 1 − 0, 99134 ≈ 0, 00866
Der Anteil der Flaschen, deren Füllmenge geringer als 490 ml ist, liegt bei etwa 0,86 %. Dies ist
weniger als 2 %. Also wird die Verordnung eingehalten.
◮◮ Lösungsweg B: Lösung mit dem GTR
Gesucht
ist
die
Wahrscheinlichkeit
P( X < 490) = P( X ≤ 490). Den Befehl für Ku”
mulierte Normalverteilung“ findest du in deinem
GTR unter 2nd → VARS (DISTR) → normalcdf.
Achte auf die Reihenfolge:
normalcdf(untere Grenze, obere Grenze, µ, σ.)
Die obere Grenze ist 490, die untere Grenze ist −∞. Im GTR kannst du sie als -1E99 eingeben.
Der Anteil der Flaschen, deren Füllmenge geringer als 490 ml ist, liegt bei etwa 0,85 %. Dies ist
weniger als 2 %. Also wird die Verordnung eingehalten.
◮ Mindestfüllmenge der fünften Flasche berechnen
Betrachtet wird eine Stichprobe vom Umfang n = 5. Das arithmetische Mittel der Stichprobe
kannst du berechnen, indem du die fünf Messwerte addierst und ihre Summe durch 5 teilst.
c Karlsruhe 2013 | SchulLV | Jens Fischer
Seite 19/38
Vervielfältigung nur innerhalb einer Lehrer-/Klassen- oder Schullizenz und mit Hinweis auf MatheLV erlaubt.
www.MatheLV.net
Niedersachsen | Abitur (erhöhtes Anforderungsniveau GTR)
D e i n Le r nve r z e i c h n i s
Prüfungswissen | Original-Prüfungen
◮ Abitur 2010 | GESAMTE PRÜFUNG
Lösungsblatt (ausführlich)
Vier der Messwerte sind bekannt, den fünften wollen wir x5 nennen. Insgesamt soll das arithmetische Mittel mindestens so groß sein wie der angegebene Nennwert. Dies ist der Wert, der
auf dem Flaschenetikett zu finden ist: 500 ml.
Es soll also gelten: x ≥ 500.
497, 2 + 501, 6 + 503, 8 + 495, 1 + x5
≥ 500
5
1997, 7 + x5
≥ 500
5
1997, 7 + x5 ≥ 2.500
| ·5
| −1997, 7
x5 ≥ 502, 3
Die fünfte Flasche muss mindestens 502,3 ml enthalten, damit die zweite Verordnung eingehalten wird.
◮ Erwartete Anzahl überlaufender Flaschen ermitteln
Diese Aufgabe lässt sich in zwei Schritten lösen. Zum einen benötigst du den Anteil der
Flaschen, die überlaufen. Du weißt, dass dies all die Flaschen sind, deren Füllmenge 515 ml
übersteigt. Berechne diesen Anteil p also mit Hilfe der Zufallsvariable X.
Betrachte sodann die 1.300 abzufüllenden Flaschen. Die Anzahl der Flaschen, die überlaufen,
kann durch eine binomialverteilte Zufallsvariable X beschrieben werden, wobei n = 1.300
und p der soeben berechnete Wert ist. Gesucht ist der Erwartungswert von X. Für diesen gilt
E( X ) = n · p.
1. Schritt: Anteil p berechnen
Berechne den Anteil p der Flaschen, deren Füllmenge größer als 515 ml ist. Du erhältst ihn über
P( X > 515). Wie oben kannst du ihn entweder über die Tabelle zur Standardnormalverteilung
(Lösungsweg A) ober mit dem GTR (Lösungsweg B) berechnen.
◮◮ Lösungsweg A: Lösung über die Tabelle
Da X eine normalverteilte Zufallsgröße ist, gilt:
P( X > 515) = 1 − P( X ≤ 515)
Diesen Ausdruck kannst du nun umformen:
k−µ
P( X > 515) = 1 − P( X ≤ 515) = 1 − Φ
σ
515 − 502, 4
= 1−Φ
5, 2
12, 6
= 1 − Φ (2, 42)
= 1−Φ
5, 2
In einer Tabelle zur Standardnormalverteilung findest du den Wert Φ(2, 42) = 0, 99224.
Es folgt:
Φ( X > 515) = 1 − 0, 99224 ≈ 0, 00776
Der Anteil der Flaschen, deren Füllmenge größer als 515 ml ist, liegt bei etwa 0,78 %. Dies ist
auch die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Flasche überläuft.
c Karlsruhe 2013 | SchulLV | Jens Fischer
Seite 20/38
Vervielfältigung nur innerhalb einer Lehrer-/Klassen- oder Schullizenz und mit Hinweis auf MatheLV erlaubt.
www.MatheLV.net
Niedersachsen | Abitur (erhöhtes Anforderungsniveau GTR)
D e i n Le r nve r z e i c h n i s
Prüfungswissen | Original-Prüfungen
◮ Abitur 2010 | GESAMTE PRÜFUNG
Lösungsblatt (ausführlich)
◮◮ Lösungsweg B: Lösung mit dem GTR
Gesucht
ist
die
Wahrscheinlichkeit
P( X > 515) = P( X ≥ 515). Den Befehl für Ku”
mulierte Normalverteilung“ findest du in deinem
GTR unter 2nd → VARS (DISTR) → normalcdf .
Achte auf die Reihenfolge:
normalcdf(untere Grenze, obere Grenze, µ, σ.)
Die untere Grenze ist 515, die obere Grenze ist ∞. Im GTR kannst du sie als 1E99 eingeben.
Der Anteil der Flaschen, deren Füllmenge größer als 515 ml ist, liegt bei etwa 0,77 %. Dies ist
auch die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Flasche überläuft.
2. Schritt: Erwartete Anzahl überlaufender Flaschen berechnen
Wir verwenden den Wert p = 0, 0077. Für die Zufallsgröße Y, welche die Anzahl überlaufender
Flaschen beschreibt, kann somit als binomialverteilt angenommen werden mit n = 1.300 und
p = 0, 0077. Als Erwartungswert ergibt sich so:
E( X ) = n · p = 1.300 · 0, 0077 = 10, 01 ≈ 10
Von 1.300 abgefüllten Flaschen werden erwartungsgemäß 10 Flaschen überlaufen.
b) ◮ Obere Grenze des Intervalls berechnen
(13P)
Gesucht ist ein Intervall, in dem 75 % aller Füllmengen liegen. Dabei ist die untere Grenze des
Intervalls mit 497 ml bereits bekannt. Es hat also die Form [497 ; k ]. Zu bestimmen bleibt die
obere Grenze k.
Da insgesamt 75 % aller Füllmengen in diesem Intervall liegen sollen, muss gelten:
P( X ∈ [497 ; k ]) = 0, 75. Umgeformt ergibt sich:
P( X ∈ [497 ; k ]) = 0, 75
P(497 ≤ X ≤ k ) = 0, 75
P( X ≤ k ) − P( X ≤ 497) = 0, 75
Gesucht
ist
die
Wahrscheinlichkeit
Den
Befehl
für
teilung“ findest du
Kumulierte
”
in deinem
P( X ≤ 497).
NormalverGTR unter
2nd → VARS (DISTR) → normalcdf .
Achte auf die Reihenfolge:
normalcdf(untere Grenze, obere Grenze, µ, σ.)
Die obere Grenze ist 497, die untere Grenze ist −∞. Im GTR kannst du sie als -1E99 eingeben.
Es folgt P( X ≤ 497) ≈ 0, 1495.
Mit Hilfe der Φ-Funktion und einer Tabelle zur Standardnormalverteilung kannst du diese Gleichung nach k auflösen.
k−µ
− 0, 1495 = 0, 75
| +0, 1495
Φ
σ
k − 502, 4
Φ
= 0, 8995
5, 2
c Karlsruhe 2013 | SchulLV | Jens Fischer
Seite 21/38
Vervielfältigung nur innerhalb einer Lehrer-/Klassen- oder Schullizenz und mit Hinweis auf MatheLV erlaubt.
www.MatheLV.net
Niedersachsen | Abitur (erhöhtes Anforderungsniveau GTR)
Prüfungswissen | Original-Prüfungen
◮ Abitur 2010 | GESAMTE PRÜFUNG
D e i n Le r nve r z e i c h n i s
Lösungsblatt (ausführlich)
Betrachte nun eine Tabelle zur Standardnormalverteilung und suche dem Eintrag, für
den die Φ-Funktion einen Wert möglichst nahe an 0,8995 annimmt. Du findest den Wert
Φ(1, 28) = 0, 89973 ≈ 0, 8995.
Alternativ kannst du den Wert Φ−1 (0, 8995) auch mit
dem GTR berechnen. Benutze dazu die Funktion
2nd → VARS (DISTR) → invNorm .
Achte auf die Reihenfolge: invNorm(Wert,0,1).
Der GTR liefert Φ−1 (0, 8995) ≈ 1, 2787
Damit folgt weiter:
k − 502, 4
= 1, 2787
5, 2
k − 502, 4 = 6, 64924
| ·5, 2
| +502, 4
k = 509, 049
Die obere Grenze des Intervalls ist damit etwa k = 509, 05. Das Intervall ist I = [497 ; 509, 05].
◮ Größtmögliche Standardabweichung ermitteln
Sei X weiterhin die Zufallsvariable, die die Füllmenge der Flaschen beschreibt. X ist normalverteilt mit µ = 502, 4 ml und σ unbekannt.
Die Aufgabenstellung gibt vor, dass der Anteil der Flaschen, deren Füllmenge größer als 506 ml
ist, höchstens 5 % betragen soll. Es soll also gelten:
P( X > 506) ≤ 0, 05.
Forme diese Bedingung mit Hilfe der Φ-Funktion um und löse nach σ auf.
P( X > 506) ≤ 0, 05
1 − P( X ≤ 506)
506 − µ
1−Φ
σ
506 − 502, 4
−Φ
σ
3, 6
Φ
σ
Den
GTR
≤ 0, 05
≤ 0, 05
| +1
≤ −0, 95
| ·(−1)
≥ 0, 95
Wert Φ−1 (0, 95) kannst du mit dem
berechnen. Benutze dazu die Funktion
2nd → VARS (DISTR) → invNorm .
Achte auf die Reihenfolge: invNorm(Wert,0,1).
Der GTR liefert Φ−1 (0, 95) ≈ 1, 6449
Damit folgt weiter:
3, 6
≥ 1, 6449
σ
| ·σ
3, 6 ≥ 1, 6449 · σ
| : 1, 6449
2, 1886 ≥ σ
σ ≤ 2, 1886
Die Standardabweichung darf höchstens den Wert σ = 2, 188 ml annehmen.
c Karlsruhe 2013 | SchulLV | Jens Fischer
Seite 22/38
Vervielfältigung nur innerhalb einer Lehrer-/Klassen- oder Schullizenz und mit Hinweis auf MatheLV erlaubt.
www.MatheLV.net
Niedersachsen | Abitur (erhöhtes Anforderungsniveau GTR)
D e i n Le r nve r z e i c h n i s
Prüfungswissen | Original-Prüfungen
◮ Abitur 2010 | GESAMTE PRÜFUNG
Lösungsblatt (ausführlich)
c) ◮ Wahrscheinlichkeit für mindestens 30 Flaschen berechnen
(13P)
Die Zufallsvariable Y beschreibt die Anzahl der Flaschen in der Stichprobe, deren Füllmenge
höchstens 500 ml Inhalt aufweist. Laut Aufgabenstellung kann Y als binomialverteilt angenommen werden. Dabei ist der Parameter n = 100 bereits bekannt. Es fehlt noch der Parameter
p, also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Flasche höchstens 500 ml
Inhalt aufweist.
Diesen Anteil p kannst du über die Zufallsvariable X aus den ersten beiden Aufgabenteilen
berechnen. Beachte, dass für die Zufallsvariable X immer noch die ursprünglichen Parameter
µ = 502, 4 ml und σ = 5, 2 ml verwendet werden. Der gesuchte Anteil ist p = P( X ≤ 500). Damit
erhältst du den fehlenden Parameter der binomialverteilten Zufallsgröße Y. Berechne so zuletzt
die gesuchte Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 30 der 100 Flaschen eine Füllmenge von
höchstens 500 ml enthalten, d.h. P(Y ≥ 30).
1. Schritt: Wahrscheinlichkeit p berechnen
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit p = P( X ≤ 500).
Den
Befehl
für
teilung“ findest du
Kumulierte
”
in deinem
NormalverGTR unter
2nd → VARS (DISTR) → normalcdf . Achte auf
die Reihenfolge:
normalcdf(untere Grenze, obere Grenze, µ, σ.)
Die obere Grenze ist 500, die untere Grenze ist −∞. Im GTR kannst du sie als -1E99 eingeben.
Der GTR liefert den Wert P( X ≤ 500) = p = 0, 3222.
2. Schritt: Wahrscheinlichkeit für mindestens 30 Flaschen berechnen
Die Zufallsvariable Y gibt die Anzahl der Flaschen in der Stichprobe an, welche höchstens 500 ml
enthalten. Y ist binomialverteilt mit n = 100 und p = 0, 3222.
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 30 dieser Flaschen in der Stichprobe enthalten sind, also P(Y ≥ 30).
P(Y ≥ 30) = 1 − P(Y ≤ 29).
Den
Befehl
für
Kumulierte
”
teilung“ findest du in deinem
BinomialverGTR unter
2nd → VARS (DISTR) → binomcdf .
Achte auf die Reihenfolge:
binomcdf(n, p, k.)
Dabei ist n = 100, p = 0, 3222 und k = 29.
Der GTR liefert P(Y ≤ 29) = 0, 2832.
Damit folgt P( X ≥ 30) = 1 − 0, 2832 = 0, 7168.
Mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 71,68 % enthalten mindestens 30 der 100 Flaschen eine
Füllmenge von höchstens 500 ml.
◮ Gesamtzahl der Flaschen im Karton ermitteln
Die unbekannte Anzahl der Flaschen im Karton soll zunächst mit n bezeichnet werden. Bekannt
ist, dass sich unter diesen n Flaschen genau 4 Flaschen mit mehr als 500 ml Inhalt befinden.
c Karlsruhe 2013 | SchulLV | Jens Fischer
Seite 23/38
Vervielfältigung nur innerhalb einer Lehrer-/Klassen- oder Schullizenz und mit Hinweis auf MatheLV erlaubt.
www.MatheLV.net
Niedersachsen | Abitur (erhöhtes Anforderungsniveau GTR)
D e i n Le r nve r z e i c h n i s
Prüfungswissen | Original-Prüfungen
◮ Abitur 2010 | GESAMTE PRÜFUNG
Lösungsblatt (ausführlich)
Es werden nun Flaschen aus dem Karton entnommen. Da nichts von Zurücklegen gesagt wird,
muss davon ausgegangen werden, dass die Flaschen ohne Zurücklegen entnommen werden.
Es ist bekannt, dass beide Flaschen mehr als 500 ml Inhalt besitzen.
Beim ersten Ziehen haben also 4 von n Flaschen mehr als 500 ml Inhalt; im zweiten Schritt sind
es 3 von n − 1 Flaschen. Nach der Pfadregel ergibt sich so die zugehörige Wahrscheinlichkeit:
P(beide Flaschen mehr als 500 ml) =
4
3
·
n n−1
Laut Aufgabenstellung beträgt diese Wahrscheinlichkeit 2 %. Aus dieser Bedingung erhältst du
eine Gleichung, die du zuletzt mit der p-q-Formel lösen kannst.
3
4
·
= 0, 02
n n−1
| · n · ( n − 1)
3 · 4 = 0, 02 · n · (n − 1)
600 =
n2
n2
− n − 600 = 0
−n
| : 0, 02
| −600
Diese quadratische Gleichung kannst du mit der P-Q-Formel oder mit der Mitternachtsformel
lösen:
s
−1
1 2
+ 600
n1,2 = −
±
−
2
2
r
1
1
= ±
+ 600
2
4
r
1 2.400
1
= ±
+
2
4
4
r
2.401
1
= ±
2
4
n1,2 =
−(−1) ±
1±
√
p
2401
2
1 ± 49
=
2
=
(−1)2 − 4 · 1 · (−600)
2·1
n1 = 25
n2 = −24
= 0, 5 ± 24, 5
n1 = 25
n2 = −24
Als Anzahl der Flaschen kommt nur eine positive Zahl in Frage, d.h. n1 = 25.
Zu Beginn sind insgesamt 25 Flaschen im Karton.
c Karlsruhe 2013 | SchulLV | Jens Fischer
Seite 24/38
Vervielfältigung nur innerhalb einer Lehrer-/Klassen- oder Schullizenz und mit Hinweis auf MatheLV erlaubt.
www.MatheLV.net
Niedersachsen | Abitur (erhöhtes Anforderungsniveau GTR)
D e i n Le r nve r z e i c h n i s
Prüfungswissen | Original-Prüfungen
◮ Abitur 2010 | GESAMTE PRÜFUNG
Lösungsblatt (ausführlich)
Block 2A - Aufgabe 2
a) ◮ Umsätze nach einem Jahr
(7P)
Der Umsatz verändert sich entsprechend der Übergangsmatrix, die dir von der Aufgabe vorgegeben wird. Den Umsatz nach einem Jahr kannst du durch das Matrix-Vektor-Produkt berechnen mit:
−
→
→
a1 = N · −
a0
Das Matrix-Vektor-Produkt berechnest du, indem du die Zeilen-Elemente der Matrix mit den
Spalten-Elementen des Vektors multiplizierst. Der Umsatz nach einem Jahr ergibt sich dann mit:
−
→
→
a1 = N · −
a0

  
0, 9
0
0
8

  



=  0 0, 95 0 · 2

0, 1 0, 05 1
5

  
7, 2
8 · 0, 9 + 2 · 0 + 5 · 0

  



=  8 · 0 + 2 · 0, 95 + 5 · 0  = 1, 9

5, 9
8 · 0, 1 + 2 · 0, 05 + 5 · 1

7, 2

 

Somit ergibt sich nach einem Jahr die Verteilung des Umsatzes mit 
1, 9
5, 9
Interpretiert man dies, so stellt sich heraus, dass S nur noch 7,2 Millionen e, K nur noch
1,9 Millionen e und D jetzt 5,9 Millionen e Gewinn machen.
◮ Umsätze nach zwei Jahren
Um den Umsatz nach zwei Jahren zu bestimmen, musst du lediglich die Matrix N auf den
Vektor, der den Umsatz nach einem Jahr beschreibt, anwenden.
Es ergibt sich wieder ein Matrix-Vektor-Produkt in der Form:
−
→
→
a2 = N · −
a1
Berechne den gesuchten Vektor, wie bereits zuvor.
−
→
→
a1 = N · −
a0
  

7, 2
0, 9
0
0
  

  
=
 0 0, 95 0 · 1, 9
5, 9
0, 1 0, 05 1

 

6, 48
7, 2 · 0, 9 + 1, 9 · 0 + 5, 9 · 0

 


 
=
 7, 2 · 0 + 1, 9 · 0, 95 + 5, 9 · 0  = 1, 805
6, 715
7, 2 · 0, 1 + 1, 9 · 0, 05 + 5, 9 · 1
Die Interpretation erfolgt wie oben. Interpretierst du dieses Ergebnis, so stellt sich heraus, dass S
nur noch 6,48 Millionen e, K nur noch 1,805 Millionen e und D jetzt 6,715 Millionen e Gewinn
machen.
c Karlsruhe 2013 | SchulLV | Jens Fischer
Seite 25/38
Vervielfältigung nur innerhalb einer Lehrer-/Klassen- oder Schullizenz und mit Hinweis auf MatheLV erlaubt.
www.MatheLV.net
Niedersachsen | Abitur (erhöhtes Anforderungsniveau GTR)
D e i n Le r nve r z e i c h n i s
Prüfungswissen | Original-Prüfungen
◮ Abitur 2010 | GESAMTE PRÜFUNG
Lösungsblatt (ausführlich)
◮ Erste Spalte der Matrix erläutern
Bei der gegebenen Matrix handelt es sich um eine Übergangsmatrix. Diese stellt im allgemeinen
dar, wie sich ein Bestand entwickelt, wenn er sich nach der Darstellung der Matrix ändert.
Jede Spalte beschreibt, wie sich die einzelnen Kategorien verhalten. Betrachte nun die erste Spalte. Diese kannst du dir auch als Vektor aufschreiben, um nicht die gesamte Matrix übertragen
zu müssen.
Von:
S
Nach:

S
0, 9

 

K M= 
 0 
0, 1
D
Es gehen also ein Anteil von 0, 9 =
b 90 % von S nach S, ein Anteil von 0 =
b 0 % von S nach K und
ein Anteil von 0, 1 =
b 10 % von S nach D.
Im Sachzusammenhang bedeutet dies, dass 90 % der Kunden von S auch im nächsten Jahr bei S
einkaufen werden, keiner zu K gehen wird aber 10 % zu D wechseln werden.
◮ Dritte Spalte erläutern
Du kannst diese Spalte genauso interpretieren, wie du es bereits für die erste Spalte getan hast.
Schreibe dir die dritte Spalte zunächst separat heraus, um einen besseren Überblick über diese
zu bekommen. Es ergibt sich folgendes Bild:
D
 
0
S
 

Nach: K M = 0

1
D
Von:
Es gehen also ein Anteil von 0 =
b 0 % von D nach S, ein Anteil von 0 =
b 0 % von D nach K und
ein Anteil von 1 =
b 100 % von D nach D.
Im Sachzusammenhang bedeutet dies, dass keiner der Kunden von D nach S oder K wechseln
wird, sondern alle Kunden von D auch bei D bleiben.
b) ◮ Beurteilung, ob sich die Aufnahme rentiert
(13P)
Im Aufgabenteil a) hast du festgestellt, dass sich der Anteil der Kunden, die bei S und K einkaufen verringert. Folglich lohnt sich die Aufnahme, sobald der Verlust kleiner wird oder S und K
sogar ein Wachstum erfahren.
→
Berechne dazu über −
a den jährlichen Umsatz nach einem bzw. zwei Jahren. Verwende dazu
0
das Matrix-Vektor-Produkt wie bereits in a). Nun ist allerdings M die Übergangsmatrix.
Es ergeben sich die folgenden Werte:

   
  
0, 9 0, 2 0, 1
8
8 · 0, 9 + 2 · 0, 2 + 5 · 0, 1
8, 1

   
  
−
→
−
→







a1 = M · a0 = 0, 05 0, 9 0, 1 · 2 = 8 · 0, 05 + 2 · 0, 9 + 5 · 0, 1 = 2, 7

0, 05 0, 1 0, 8
5
8 · 0, 05 + 2 · 0, 1 + 5 · 0, 8
4, 6


   
8, 1 · 0, 9 + 2, 7 · 0, 2 + 4, 6 · 0, 1
8, 1
0, 9 0, 2 0, 1


   
−
→
→

   
a2 = M · −
a1 = 
0, 05 0, 9 0, 1 · 2, 7 = 8, 1 · 0, 05 + 2, 7 · 0, 9 + 4, 6 · 0, 1 =
8, 1 · 0, 05 + 2, 7 · 0, 1 + 4, 6 · 0, 8
4, 6
0, 05 0, 1 0, 8
c Karlsruhe 2013 | SchulLV | Jens Fischer
Seite 26/38
Vervielfältigung nur innerhalb einer Lehrer-/Klassen- oder Schullizenz und mit Hinweis auf MatheLV erlaubt.

8, 29



3, 295


4, 355
www.MatheLV.net
Niedersachsen | Abitur (erhöhtes Anforderungsniveau GTR)
Prüfungswissen | Original-Prüfungen
◮ Abitur 2010 | GESAMTE PRÜFUNG
D e i n Le r nve r z e i c h n i s
Lösungsblatt (ausführlich)
Vergleichst du diese Daten mit den in a) berechneten Werten, so kannst du erkennen, dass der
Umsatz von S und K größer ist, wenn die neue Umsatzentwicklung angenommen wird.
Die Aufnahme der K-Filialen in die S-Märkte lohnt sich also für die beiden Partner.
◮ Aussage über den Gesamtumsatz zeigen.
Die Aufgabe gibt dir vor, dass der Gesamtumsatz im nächsten Jahr durch s + 1, 2 · k + d beschrie-
ben werden kann, wenn die Matrix M verwendet wird.
→
Der Vektor −
a stellt dabei den Umsatz im laufenden Jahr dar, aufgeteilt auf die einzelnen Unternehmen. Den gesamten Umsatz aller Unternehmen erhältst du aus der Summe der Komponenten des Vektors mit:
G = s+k+d
Um also den Umsatz im nächsten Jahr zu bestimmen, wende die Matrix auf den allgemeinen
→
→
Vektor −
a an und berechne dann die Summe der Komponenten von −
a ′ mit
−
→
→
a ′ = M·−
a
Berechne also dieses Matrix-Vektor-Produkt und berechne dann die Summe der Komponenten.

   

s · 0, 9 + k · 0, 2 + d · 0, 1
s
0, 9 0, 2 0, 1

   

−
→
→

   
a ′ = M·−
a =
0, 05 0, 9 0, 1 ·  k  = s · 0, 05 + k · 0, 9 + d · 0, 1
s · 0, 05 + k · 0, 1 + d · 0, 8
d
0, 05 0, 1 0, 8
Summiere nun die einzelnen Komponenten auf, um den Gesamtumsatz im Folgejahr G ′ zu bestimmen.
G ′ = s · 0, 9 + k · 0, 2 + d · 0, 1 + s · 0, 05 + k · 0, 9 + d · 0, 1 + s · 0, 05 + k · 0, 1 + d · 0, 8
= s · 0, 9 + s · 0, 05 + s · 0, 05 + k · 0, 2 + k · 0, 9 + k · 0, 1 + d · 0, 1 + d · 0, 1 + d · 0, 8
= s + 1, 2 · k + d
Somit ergibt sich der Gesamtumsatz im Folgejahr mit s + 1, 2 · k + d. Folglich ist die gegebene
Aussage bewiesen.
◮ Untersuchen, durch welche Eigenschaft von M die Steigerung zu Stande kommt
Eine Matrix, deren Spaltensummen immer genau 1 ergeben, lässt sich als Umsortierungsmatrix
bezeichnen. Sie verteilt die Werte eines Vektors immer neu, aber in der Summe werden sie immer
gleich bleiben.
Eine Matrix, die eine oder mehrere Spalten aufweist, deren Spaltensummen ungleich 1 ist, bewirkt eine Veränderung der Komponentensumme.
Betrachtest du die gegebene Matrix unter diesem Gesichtspunkt, so kannst du erkennen, dass
die Spaltensumme der 2. Spalte 1,2 beträgt und somit größer als 1 ist.
Dies ist genau der Faktor, um den sich der Umsatz von K vergrößert. Dieser größere Wert kann
bspw. als Neukunden interpretiert werden, die vorher nicht Kunden von S, K und D waren.
c Karlsruhe 2013 | SchulLV | Jens Fischer
Seite 27/38
Vervielfältigung nur innerhalb einer Lehrer-/Klassen- oder Schullizenz und mit Hinweis auf MatheLV erlaubt.
www.MatheLV.net
Niedersachsen | Abitur (erhöhtes Anforderungsniveau GTR)
Prüfungswissen | Original-Prüfungen
◮ Abitur 2010 | GESAMTE PRÜFUNG
D e i n Le r nve r z e i c h n i s
Lösungsblatt (ausführlich)
Block 2B - Aufgabe 1
a) ◮ Spaltensummen erklären
(16P)
Die Aufgabe gibt vor, dass die Matrix die Entwicklung der Anteile der Beschäftigten, die in den
einzelnen Sektoren arbeiten, beschreibt.
Da es in jedem Land eine maximale Anzahl an Beschäftigten gibt, die sich nicht vergrößern oder
verringern kann, beschreibt die Matrix lediglich eine Umverteilung der Anteile.
Eine Matrix, die lediglich dazu führt, dass die Anteile neu verteilt werden, nennt sich
Umverteilungs-Matrix. Sie hat als Anzeichen, dass die Spaltensumme jeder Spalte genau 1 ist.
Also bleiben alle Beschäftigten aus dem Sektor I, alle Beschäftigten aus dem Sektor II und alle Beschäftigten aus dem Sektor III erhalten und werden nur neu auf die einzelnen Sektoren
verteilt.
Wäre die Spaltensumme kleiner eins, so würde sich die Anzahl der Beschäftigten verringern.
Eine Spaltensumme größer eins würde bedeuten, dass sich die Anzahl der Beschäftigten vergrößert.
◮ Verteilung der Erwerbstätigen im Jahr 2000
Die Matrizen bilden ab, wie sich die Verteilung der Beschäftigten auf die einzelnen Sektoren
innerhalb von 10 Jahren verändert.
Um also die Verteilung nach 10 Jahren zu bestimmen, wendest du die Matrix auf die Verteilung
von 1980 an und erhältst so also die Verteilung von 1990.
Folglich musst du die Matrix zweimal auf die Verteilung von 1980 anwenden. Die Verteilung
von 1980 erhältst du aus der gegebenen Tabelle und kannst sie wie folgt als Vektor darstellen:


0, 04


−
→

v =
0, 30
0, 66
Die neue Verteilung kannst du dann bestimmen, indem du das Matrix-Vektor-Produkt von A
→
→
und −
v berechnest. Beachte, dass du die Matrix zweimal auf den Vektor −
v anwenden musst,
um die gesuchte Verteilung zu erhalten.
1. Schritt: Verteilung im Jahr 2000 nach Modell A
Stelle zunächst das Modell A in einer Matrix dar. Diese hat die Form
Von:
I
Nach:
II
III

I
0, 75

A= 
0, 10
0, 15
II
III
0, 00
0, 00
0, 90
0, 10


0, 00

1, 00
Berechne nun das Matrix-Vektor-Produkt mit
−
→
→
v1 = A2 · −
v
Achte dabei auf die Reihenfolge der Faktoren. Zuerst kommt die Matrix, dann der Vektor. Diese
dürfen nicht vertauscht werden, da das Matrix-Vektor-Produkt nicht kommutativ ist.
c Karlsruhe 2013 | SchulLV | Jens Fischer
Seite 28/38
Vervielfältigung nur innerhalb einer Lehrer-/Klassen- oder Schullizenz und mit Hinweis auf MatheLV erlaubt.
www.MatheLV.net
Niedersachsen | Abitur (erhöhtes Anforderungsniveau GTR)
Prüfungswissen | Original-Prüfungen
◮ Abitur 2010 | GESAMTE PRÜFUNG
D e i n Le r nve r z e i c h n i s
Lösungsblatt (ausführlich)
Das Produkt kannst du mit deinem Rechner bestimmen.
Rufe dazu über 2nd→Matrix → EDIT eine Matrix auf.
Lege deren Größe auf 3 × 3 fest und trage die Werte von
A ein. Rufe noch einmal eine weitere Matrix auf die nun
→
die Größe 3 × 1 hat und trage die Werte des Vektors −
v
−
→
2
ein. Du kannst nun den Term A · v berechnen, indem du
nacheinander die Matrizen über 2nd→Matrix → Names
aufrufst und das Produkt berechnest.
Es ergibt sich also die Umverteilung nach zwanzig Jahren nach dem Modell A mit


0, 0225



v2000 = 
0, 2496
0, 7279
2. Schritt: Verteilung im Jahr 2000 nach Modell B
Das Modell B gibt dir jetzt eine andere Matrix vor, nach der sich die Verteilung nach 10 Jahren
ergibt.
Von:
I
Nach:
II
III

I
0, 50

B= 
0, 20
0, 30
II
III
0, 01
0, 01
0, 60
0, 39


0, 12

0, 87
→
Berechne wie bereits zuvor die Verteilung, die sich dann 2000 ergibt. Der Ausgangsvektor −
v
bleibt gleich.
Somit ergibt sich also die neue Verteilung:


0, 024504

−−
→ 
′

v2000
=
0, 250624
0, 724872
◮ Modelle anhand der gegebenen Werte vergleichen
Die gegebenen Werte im Jahr 2000, die du auch als Vektor darstellen kannst, sind:


0, 02



vreal = 
0, 24
0, 74
c Karlsruhe 2013 | SchulLV | Jens Fischer
Seite 29/38
Vervielfältigung nur innerhalb einer Lehrer-/Klassen- oder Schullizenz und mit Hinweis auf MatheLV erlaubt.
www.MatheLV.net
Niedersachsen | Abitur (erhöhtes Anforderungsniveau GTR)
D e i n Le r nve r z e i c h n i s
Prüfungswissen | Original-Prüfungen
◮ Abitur 2010 | GESAMTE PRÜFUNG
Lösungsblatt (ausführlich)
Die beiden berechneten Vektoren haben die Form:

0, 0225




v2000 = 
0, 2496
0, 7279

0, 024504

−−
→ 

′

v2000
=
0, 250624
0, 724872
Vergleichst du die einzelnen Komponenten der Vektoren mit einander, so kannst du eine Aus′
sage über die Qualität der Modelle treffen. v2000 wurde mit Modell A und v2000
mit Modell B
berechnet.
Du kannst erkennen, dass die Werte der 1. und 2. Komponente für beide Modelle größer sind
als die eigentlichen Werte.
Die 3. Komponente hingegen liegt unter dem realen Wert. Allerdings zeigen sich die Unterschiede erst in der 2. bzw. 3. Nachkommastelle, sodass die Modelle als Näherung durchaus
verwendet werden können. Ein korrektes Ergebnis erhält man aber mit keinem der Modelle.
◮ Zeigen, dass Modell A die Entwicklung nicht sinnvoll beschreibt.
Du sollst nun zeigen, dass die Entwicklung, die Modell A darstellt, auf lange Sicht nicht sinnvoll
ist. Dies kannst du zeigen, indem du große Zeiträume betrachtest. Berechne dazu die Verteilung
nach 100 Jahren oder 200 Jahren. Dies kannst du mit folgendem Term erreichen:
−
→
→
t −
v−
lang = A · v
Dabei wird t in zehn Jahren angegeben. Mit dem GTR ergibt sich nach obigem Schema berechnet
die Verteilung nach 100 Jahren mit


0, 00225


−→

v100 = 
0, 11240
0, 88535
Und für 200 Jahre dann mit


0, 00013


−→

v200 = 
0, 03963
0, 96024
Du kannst erkennen, dass sich die ersten beiden Einträge des jeweils resultierenden Vektors
gegen Null streben, also irgendwann alle Beschäftigten nur noch im 3. Sektor arbeiten werden.
Das kannst du auch daran erkennen, dass sich die 3. Spalte der Matrix A aufbaut mit
 
0
 
−
−−−
→

v3.Spalte = 0

1
Also bleiben immer alle, die schon im Sektor III gearbeitet haben, auch dort. Da aber von
den beiden anderen Sektoren immer Beschäftigte abwandern, werden dort irgendwann keine
Beschäftigten mehr arbeiten. Dies entspricht nicht einer realistischen Darstellung, sodass sich
das Modell A auf lange Frist nicht eignet.
c Karlsruhe 2013 | SchulLV | Jens Fischer
Seite 30/38
Vervielfältigung nur innerhalb einer Lehrer-/Klassen- oder Schullizenz und mit Hinweis auf MatheLV erlaubt.
www.MatheLV.net
Niedersachsen | Abitur (erhöhtes Anforderungsniveau GTR)
D e i n Le r nve r z e i c h n i s
Prüfungswissen | Original-Prüfungen
◮ Abitur 2010 | GESAMTE PRÜFUNG
Lösungsblatt (ausführlich)
b) ◮ Matrix C bestimmen
(14P)
Die Aufgabe gibt dir zunächst vor, wie die Verteilung 1990 nach dem neuen Modell vorliegen
soll. Der Anteil der Beschäftigten im Sektor I soll von 4 % =
b 0, 04 im Jahr 1980 auf 2 % =
b 0, 02 im
Jahr 1990 fallen. Somit ergibt sich der Vektor, der die Verteilung im Jahr 1990 beschreibt mit:


0, 02

−
−→ = 
 k 
v1990
 2 
k3
Die restlichen zwei Einträge k2 und k3 sind unbestimmt.
Da die Matrix C genau diesen Übergang beschreiben soll, muss sie also die folgende Gleichung
erfüllen, die die Veränderung der Verteilung von 1980 bis 1990 beschreibt.
−−→
−
−→ = C · 1980
v1990
Über die Matrix C kannst du der Aufgabenstellung entnehmen, dass sie auf der Matrix A basiert.
Allerdings soll sich der Übergang von I nach II erhöhen und der Verbleib in I dementsprechend
verringern.
Da es sich um eine Übergangsmatrix handelt, musst du also genau den Term t, um den du den
Übergang von I nach II erhöhst, wieder von I abziehen. Es ergibt sich das folgende Bild der
Matrix, da alle anderen Komponenten von A übernommen werden sollen.
Von:
I
Nach:
II
III

I
0, 75 − t

C= 
0, 10 + t
0, 15
II
III
0, 00
0, 00
0, 90
0, 10


0, 00

1, 00
Löse unter diesen Vorraussetzungen die Gleichung
−
−→ = C · −
−→
v1990
v1980
Multipliziere dazu zunächst das Matrix-Vektor-Produkt aus, sodass sich ergibt:

 
 

(0, 75 − t) · 0, 04 + 0, 30 · 0, 00 + 0, 66 · 0, 00
0, 04
0, 75 − t 0, 00 0, 00

 
 
−
−→ = 
0, 10 + t 0, 90 0, 00 · 0, 30 = (0, 10 + t) · 0, 04 + 0, 30 · 0, 90 + 0, 66 · 0, 00
v1990

 
 

0, 04 · 0, 15 + 0, 30 · 0, 10 + 0, 66 · 1, 00
0, 66
0, 15
0, 10 1, 00
Es resultiert also das folgende Gleichungssystem, dass du dann nach t auflösen kannst.
0, 02
k2
k3
= (0, 75 − t) · 0, 04 + 0, 30 · 0, 00 + 0, 66 · 0, 00
= (0, 10 + t) · 0, 04 + 0, 30 · 0, 90 + 0, 66 · 0, 00
=
0, 04 · 0, 15
c Karlsruhe 2013 | SchulLV | Jens Fischer
+ 0, 30 · 0, 10 + 0, 66 · 1, 00
Seite 31/38
Vervielfältigung nur innerhalb einer Lehrer-/Klassen- oder Schullizenz und mit Hinweis auf MatheLV erlaubt.
www.MatheLV.net
Niedersachsen | Abitur (erhöhtes Anforderungsniveau GTR)
D e i n Le r nve r z e i c h n i s
Prüfungswissen | Original-Prüfungen
◮ Abitur 2010 | GESAMTE PRÜFUNG
Lösungsblatt (ausführlich)
Du kannst erkennen, dass in der ersten Zeile nur die Variable t als unbestimmter Term vorhanden ist. Folglich kannst du diese nach t auflösen.
0, 02 = (0, 75 − t) · 0, 04 + 0, 30 · 0, 00 + 0, 66 · 0, 00
0, 02 = (0, 75 − t) · 0, 04
| : 0, 04
1
= 0, 75 − t
2
| −0, 75
1
− 0, 75 = −t
2
3 1
− =t
4 2
3 2
− =t
4 4
1
=t
4
| ·(−1)
0, 25 = t
Somit ergibt sich der Wert für t mit t = 0, 25. Die gesuchte Matrix C sieht also so aus:
Von:
I
Nach:
II
III

I
II
III
0, 75 − 0, 25
0, 00
0, 00

C= 
0, 10 + 0, 25
0, 15
0, 90
0, 10


I
II
III
0, 5
0, 00
0, 00
 

0, 00
 = 0, 35
0, 15
1, 00
0, 90
0, 10


0, 00

1, 00
Somit hast du die Übergangsmatrix C vollständig bestimmt.
◮ Produkt aus B−1 und der Verteilung von 1980 berechnen
−→ berechnen sollst.
Die Aufgabe gibt dir vor, dass du das Matrix-Vektor-Produkt von B−1 und −
v1980
−→ kannst du wieder der Tabelle entnehmen mit
Die Verteilung −
v1980


0, 04

−
−→ = 
0, 30
v1980


0, 66
Folglich brauchst du noch das Inverse von B, um das gesuchte Matrix-Vektor-Produkt berechnen zu können. Trage B dazu in deinen GTR ein, indem du das Matrix-Menü über
2nd→MATRIX →EDIT öffnest.
Dann musst du nur noch den Vektor −
v−→ als Matrix unter
1980
2nd→MATRIX →EDIT eintragen. Nun kannst du das ge-
suchte Matrix-Vektor-Produkt berechnen.
−→ darstellen,
Rufe dazu die beiden Matrizen, die B und −
v1980
auf und berechne das Matrix-Vektor-Produkt von B−1 und
−
v−→. B−1 erhältst du, indem du direkt nach dem Aufruf
1980
von B auf die Taste x −1 drückst. Rufe also die Matrizen
über 2nd→MATRIX →NAMES auf und berechne das Produkt wie nebenstehend dargestellt.
c Karlsruhe 2013 | SchulLV | Jens Fischer
Seite 32/38
Vervielfältigung nur innerhalb einer Lehrer-/Klassen- oder Schullizenz und mit Hinweis auf MatheLV erlaubt.
www.MatheLV.net
Niedersachsen | Abitur (erhöhtes Anforderungsniveau GTR)
D e i n Le r nve r z e i c h n i s
Prüfungswissen | Original-Prüfungen
◮ Abitur 2010 | GESAMTE PRÜFUNG
Lösungsblatt (ausführlich)
Du erhältst als Ergebnis de Matrix-Vektor-Produkts:


0, 6

−→ ≈ 
0, 36
B −1 · −
v1980


0, 57
Dies ist ungefähr die Verteilung im Jahr 1970, sodass die Multiplikation mit B−1 bewirkt, dass
man die vorangegangene Verteilung erhält.
c) ◮ Aussage beweisen
(10P)
Die Aufgabe gibt dir zwei allgemeine Matrizen vor, die gewisse Eigenschaften aufweisen. Die
Matrix D hat nur identische Spalten und die Spaltensummen von M sind immer gleich eins.
Stelle dir zunächst die Matrix M wie folgt vor:


m1 m4 m7



M=
m
m
m
2
5
8


m3 m6 m9
Da die Spaltensummen alle gleich eins sein sollen, gilt
1. m1 + m2 + m3 = 1
2. m4 + m5 + m6 = 1
3. m7 + m8 + m9 = 1
Bilde nun zunächst das Matrix-Produkt von D und M und wende dann die gegebenen Eigenschaften der Matrizen an, um die Aussage zu beweisen.
Das Matrix-Vektor-Produkt erhältst du wie folgt:

 

d1 d1 d1
m1 m4 m7

 

 

D·M=
 d2 d2 d2  ·  m2 m5 m8 
d3 d3 d3
m3 m6 m9


m1 · d1 + m2 · d1 + m3 · d1 m4 · d1 + m5 · d1 + m6 · d1 m7 · d1 + m8 · d1 + m9 · d1



=
 m1 · d2 + m2 · d2 + m3 · d2 m4 · d2 + m5 · d2 + m6 · d2 m7 · d2 + m8 · d2 + m9 · d2 
m1 · d3 + m2 · d3 + m3 · d3 m4 · d3 + m5 · d3 + m6 · d3 m7 · d3 + m8 · d3 + m9 · d3


d1 · ( m1 + m2 + m3 ) d1 · ( m4 + m5 + m6 ) d1 · ( m7 + m8 + m9 )



=
d
·
(
m
+
m
+
m
)
d
·
(
m
+
m
+
m
)
d
·
(
m
+
m
+
m
)
2
2
3
2
5
6
2
7
8
9
1
4


d3 · ( m1 + m2 + m3 ) d3 · ( m4 + m5 + m6 ) d3 · ( m7 + m8 + m9 )
Hier kannst du nun die Bedingungen
m1 + m2 + m3 = 1
m4 + m5 + m6 = 1
m7 + m8 + m9 = 1
anwenden. Somit kannst du die Matrix vereinfachen, indem du diese Terme zusammenfasst.
c Karlsruhe 2013 | SchulLV | Jens Fischer
Seite 33/38
Vervielfältigung nur innerhalb einer Lehrer-/Klassen- oder Schullizenz und mit Hinweis auf MatheLV erlaubt.
www.MatheLV.net
Niedersachsen | Abitur (erhöhtes Anforderungsniveau GTR)
D e i n Le r nve r z e i c h n i s
Prüfungswissen | Original-Prüfungen
◮ Abitur 2010 | GESAMTE PRÜFUNG
Lösungsblatt (ausführlich)
Es ergibt sich die folgende Matrix.

d1 · ( m1 + m2 + m3 ) d1 · ( m4 + m5 + m6 )

d · (m + m + m ) d · (m + m + m )
2
3
2
5
6
1
4
 2
d3 · ( m1 + m2 + m3 ) d3 · ( m4 + m5 + m6 )
d1 · ( m7 + m8 + m9 )


d1 · 1
 

d2 · ( m7 + m8 + m9 ) 
 =  d2 · 1
d3 · ( m7 + m8 + m9 )

d3 · 1
d1


=  d2
d3
d1 · 1
d2 · 1
d1 · 1


d2 · 1

d3 · 1 d3 · 1

d1 d1

d2 d2 

d3 d3
Bei dieser Matrix handelt es sich gerade wieder um die Matrix D, sodass die Behauptung
D · M = D gezeigt ist.
c Karlsruhe 2013 | SchulLV | Jens Fischer
Seite 34/38
Vervielfältigung nur innerhalb einer Lehrer-/Klassen- oder Schullizenz und mit Hinweis auf MatheLV erlaubt.
www.MatheLV.net
Niedersachsen | Abitur (erhöhtes Anforderungsniveau GTR)
D e i n Le r nve r z e i c h n i s
Prüfungswissen | Original-Prüfungen
◮ Abitur 2010 | GESAMTE PRÜFUNG
Lösungsblatt (ausführlich)
Block 2B - Aufgabe 2
a) ◮ Vertrauensintervall bestimmen
(6P)
Sei X zunächst die Anzahl der defekten Schrauben in der Stichprobe. X kann näherungsweise
als binomialverteilte Zufallsgröße angenommen werden mit n = 450 und p unbekannt. Einen
ersten Schätzwert für p kannst du über die Angabe ermitteln, dass 32 von 450 Schrauben defekt
sind:
16
32
=
.
450
225
Gesucht ist nun ein Intervall, in dem der tatsächliche Anteil p der defekten Schrauben mit einer
Wahrscheinlichkeit von 90 % liegt. Einen Ansatz für dieses Problem bieten die σ-Regeln. Diese
dürfen angewandt werden, wenn das Laplace-Kriterium σ > 3 erfüllt ist. Tatsächlich ergibt sich
16
für p die Standardabweichung
z.B. mit dem Schätzwert 225
q
16 209
σ = 450 · 225
· 225 ≈ 5, 45 > 3.
Selbstverständlich kann dies nur als Näherung gesehen werden. Tendenziell kann aber davon
ausgegangen werden, dass die Bedingung σ > 3 erfüllt ist.
Du kannst also so vorgehen:
• Wähle die σ-Regel, welche eine Aussage über ein 90 %-Konfidenzintervall um den Erwartungswert µ macht.
• Bedenke: µ = n · p. Forme den Ausdruck in der σ-Regel also so um,
! dass er eine Aussage
r
X
p
·
(
1
−
p
)
über p macht. Hieraus ergibt sich: P − p ≤ 1, 64
≤ 0, 90.
n
n
• Löse die Ungleichung nach p auf und berechne so die Grenzen des Intervalls.
1. Schritt: σ-Regel auswählen
Du findest die Regel
P(µ − 1, 64σ ≤ X ≤ µ + 1, 64σ ) ≈ 0, 90
2. Schritt: Ausdruck umformen
Betrachte nur den Ausdruck in Klammern und forme ihn so um, dass er eine Aussage über p
macht. Du kennst bereits:
• n = 450
p
• σ = n · p · (1 − p )
• die relative Häufigkeit
X
=
n
16
225
µ − 1, 64σ ≤
n · p − 1, 64 ·
p
X ≤ µ + 1, 64σ
n · p − 1, 64σ ≤
n · p · (1 − p )
r
p · (1 − p )
p − 1, 64 ·
n
r
p · (1 − p )
−1, 64 ·
n
X
− p
n
c Karlsruhe 2013 | SchulLV | Jens Fischer
≤
≤
≤
≤ 1, 64
r
X ≤n · p + 1, 64σ
p
X ≤n · p + 1, 64 n · p · (1 − p)
r
p · (1 − p )
X
≤ p + 1, 64
n
n
r
X
p · (1 − p )
− p ≤1, 64
n
n
p · (1 − p )
n
Seite 35/38
Vervielfältigung nur innerhalb einer Lehrer-/Klassen- oder Schullizenz und mit Hinweis auf MatheLV erlaubt.
| µ = n·p
p
| σ = n · p · (1 − p )
|:n
| −p
|
X
=
n
16
225 ;
n = 450
www.MatheLV.net
Niedersachsen | Abitur (erhöhtes Anforderungsniveau GTR)
Prüfungswissen | Original-Prüfungen
◮ Abitur 2010 | GESAMTE PRÜFUNG
D e i n Le r nve r z e i c h n i s
Lösungsblatt (ausführlich)
r
p · (1 − p )
16
225 − p ≤ 1, 64
450
3. Schritt: Ungleichung lösen
Du kannst auf beiden Seiten quadrieren und die Ungleichung nach nach p auflösen.
r
16
p · (1 − p )
| ( )2
225 − p ≤ 1, 64
450
2
p · (1 − p )
16
− p ≤ (1, 64)2 ·
225
450
2
16
16
2, 6896
−2·
· p + p2 ≤
· p · (1 − p )
225
225
450
16
2, 6896
2, 6896 2
16 2
2, 6896
2, 6896 2
−2·
· p + p2 ≤
p−
p
| −
p+
p
450
450
225
225
450
450
16
2, 6896
16 2
2, 6896 2
2
≤0
p −2·
·p−
p+
p +
450
225
450
225
Fasse den Ausdruck links vom Gleichheitszeichen als Funktionsterm f ( p) einer Funktion f auf.
Der Graph von f ist eine nach oben geöffnete Parabel.
Gesucht ist der Bereich, in welchem f negative Funktionswerte annimmt, d.h. der Bereich, in
dem die Parabel unterhalb der x-Achse verläuft. Du kannst diese Ungleichung grafisch lösen:
Zeichne den Graphen von f und berechne mit
2nd → TRACE (CALC) → Zero die Nullstellen
von f . Sie sind die Grenzen deines Intervalls.
Der GTR liefert die Werte p1 = 0, 0537 und
p2 = 0, 0936.
Damit folgt: der tatsächliche Anteil p der defekten Schrauben liegt mit einer Wahrscheinlichkeit
von 90 % im Intervall [0, 0537 ; 0, 0936].
◮ Aussage des Herstellers bewerten
Der Hersteller gibt an, dass nur 4 % aller ausgelieferten Schrauben defekt sind. Tatsächlich liegt
der tatsächliche Anteil defekter Schrauben aber zwischen 5,37 % und 9,36 %. Die Aussage des
Herstellers ist auf dieser Grundlage nicht tragbar.
b) ◮ Änderung des Anteils defekter unter den ausgelieferten Schrauben untersuchen
(14P)
Betrachte den Einleitungstext der Aufgabe. Von den defekten Schrauben sortiert Maschine B
98 % aus. Zugleich sortiert sie 1 % aller einwandfreien Schrauben aus.
Insgesamt produziert Maschine A noch 30 % defekte Schrauben, d.h. 70 % der produzierten
Schrauben sind einwandfrei. Du kannst die Situation z.B. in einem Baumdiagramm darstellen.
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Schraube defekt ist, unter der Bedingung,
dass sie ausgeliefert wurde. Dies ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit.
P( A ∩ B)
Du kannst sie nach der Formel P( B | A) =
berechnen.
P( A)
1. Schritt: Baumdiagramm zeichnen
Es sei zunächst D das Ereignis Eine Schraube ist defekt“ und A das Ereignis Eine Schraube
”
”
wird aussortiert“.
c Karlsruhe 2013 | SchulLV | Jens Fischer
Seite 36/38
Vervielfältigung nur innerhalb einer Lehrer-/Klassen- oder Schullizenz und mit Hinweis auf MatheLV erlaubt.
www.MatheLV.net
Niedersachsen | Abitur (erhöhtes Anforderungsniveau GTR)
Prüfungswissen | Original-Prüfungen
◮ Abitur 2010 | GESAMTE PRÜFUNG
D e i n Le r nve r z e i c h n i s
Lösungsblatt (ausführlich)
A
0,98
D
0,3
0,02
A
A
0,01
0,7
D
0,99
A
2. Schritt: Bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Schraube defekt ist, unter der Bedingung,
dass sie ausgeliefert wurde. Als ausgeliefert gelten alle Schrauben, die nicht aussortiert werden.
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit
P( D | A) =
P( D ∩ A)
P( A ∩ D )
=
P( A)
P( A)
Betrachte das Baumdiagramm und berechne die benötigten Wahrscheinlichkeiten mit
der Pfadregel:
P( D ∩ A) = 0, 3 · 0, 02 = 0, 006
P( A) = P( D ∩ A) + P( D ∩ A)
= 0, 006 + 0, 7 · 0, 99
= 0, 006 + 0, 693 = 0, 699
Damit ergibt sich die Wahrscheinlichkeit
0, 006
P( D | A) =
≈ 0, 00858
0, 699
Mit der verbesserten Maschine beträgt der Anteil defekter unter den ausgelieferten Schrauben noch etwa 0,86 %. Verglichen mit dem Vertrauensintervall aus Aufgabenteil a) stellt dies
eine deutlich geringere Wahrscheinlichkeit dar. Der Anteil wird durch die verbesserte Maschine
deutlich gesenkt.
◮ a, b und x im Sachzusammenhang interpretieren
Wie gerade eben wird auch hier der Anteil der defekten unter den ausgelieferten Schrauben
über die Formel zur bedingten Wahrscheinlichkeit berechnet:
P( D | A) =
P( D ∩ A)
a·x
=
a · x + b · (1 − x )
P( D ∩ A) + P( D ∩ A)
Ein Vergleich zeigt:
a · x = P( D ∩ A)
b · (1 − x ) = P ( D ∩ A )
c Karlsruhe 2013 | SchulLV | Jens Fischer
Seite 37/38
Vervielfältigung nur innerhalb einer Lehrer-/Klassen- oder Schullizenz und mit Hinweis auf MatheLV erlaubt.
www.MatheLV.net
Niedersachsen | Abitur (erhöhtes Anforderungsniveau GTR)
Prüfungswissen | Original-Prüfungen
◮ Abitur 2010 | GESAMTE PRÜFUNG
D e i n Le r nve r z e i c h n i s
Lösungsblatt (ausführlich)
Hier kannst du folgende Zusammenhänge erkennen:
• x erscheint gemeinsam mit Ereignis D, während (1 − x ) gemeinsam mit Ereignis
D erscheint.
• a erscheint gemeinsam mit den nicht aussortierten defekten Schrauben
• b erscheint gemeinsam mit den nicht aussortierten einwandfreien Schrauben.
Daraus kannst du nun schließen:
• x gibt den Anteil defekt produzierter Schrauben an.
• a gibt den Anteil der defekten Schrauben an, die nicht aussortiert werden. Also ist (1 − a)
der Anteil aller defekten Schrauben, die aussortiert werden.
• a gibt zuletzt den Anteil der einwandfreien Schrauben an, die nicht aussortiert werden.
Also ist (1 − b) der Anteil aller einwandfreien Schrauben, die aussortiert werden.
c Karlsruhe 2013 | SchulLV | Jens Fischer
Seite 38/38
Vervielfältigung nur innerhalb einer Lehrer-/Klassen- oder Schullizenz und mit Hinweis auf MatheLV erlaubt.
www.MatheLV.net

Aufgabe 1A

Produkte

Unterstützung

Aufgabe 1A

Dieses Dokument Sammlung (en)

Dieses Dokument gespeichert

Schlagen Sie uns vor, wie wir StudyLib verbessern können