Implementierbare Geometrie am Ellipsoid

Implementierbare Geometrie am Ellipsoid
Thomas Fuhrmann
[email protected]
September 9, 2012
Inhalt
I
Einführung & grundlegende Bemerkungen
I
rationale Parametrisierung von Kegelschnitten
I
Großellipsen & geodätische Kurven
I
rationale Parametrisierung von Geraden
I
Schnitt von zwei Geraden
I
abschließende Bemerkungen & Ausblick
Einführung
Sphärische Geometrie gehört, aufgrund ihrer zahlreichen
Anwendungen in Astronomie und Navigation, zu den ältesten
Zweigen der Mathematik.
Über lange Zeit galt die Sphäre als beste Näherung für die
Erdgestalt, anstelle der Sphäre wird heute oftmals ein Ellipsoid
verwendet.
Aber wie löst man geometrische Probleme auf dem Ellipsoid?
Gibt es einen praktikablen Zugang?
Grundlegende Bemerkungen
I
keine Verwendung von Axiomen
I
keine unendlichen Mengen
I
keine reellen Zahlen/transzendentale Funktionen
I
keine Grenzwerte
I
konsistente Theorie
I
klare & präzise Definitionen
I
implementierbare Formeln
I
rationale Zahlen als Modell für das Kontinuum
[Wildberger, http://www.youtube.com/course?list=
EC5A714C94D40392AB&feature=plcp]
Rationale Parametrisierung des Kreises
e(t)
t
O
Figure: Stereographische Projektion vom Punkt O
1 − t2
2t
e(t) ≡
,
2
1 + t 1 + t2
,t ist eine rationale Zahl
Rationale Parametrisierung der Ellipse
Die Idee der rationalen Parametrisierung ist auch für Ellipsen
anwendbar:
"
#
a b2 − t 2
2b 2 t
e(t) ≡
,
b2 + t 2 b2 + t 2
Das Problem, dass das Projektionszentrum O durch diese
Parametrisierung nicht erfasst wird, kann durch eine projektive
rationale Parametrisierung umgangen werden:
e(t : u) ≡ u 2 − t 2 : 2tu : u 2 + t 2
t : u = x : 1 =⇒ e(x : 1) = [1 − x 2 : 2x : 1 + x 2 ]
t : u = 1 : 0 =⇒ e(1 : 0) = [−1 : 0 : 1]
Rationale Parametrisierung des Ellipsoids
In Analogie zum Kreis wird das Ellipsoid durch stereografische
Projektion rational parametrisiert:
"
#
b a2 − t 2 − u 2
2a2 t
2a2 u
e(t, u) ≡ 2
,
,
a + t 2 + u 2 a2 + t 2 + u 2
a2 + t 2 + u 2
Auch hier kann man wieder durch Übergang auf projektive
Koordinaten das Problem mit dem Projektionszentrum lösen.
Sphärische / Elliptische Geometrie
A
B
O
C
Figure: Sphärisches Dreieck {A,B,C}
Großellipsen und geodätische Kurven
Ein analoges Konzept zur euklidischen Gerade für gekrümmte
Flächen ist die Geodäte. Die maximale Differenz zwischen der
geodätischen Distanz s und der Distanz entlang einer Großellipse
D ist (Bowring, 1972):
D −s <
e 4s 5
96R 4
Großellipsen & Geraden
Eine Ebene π im euklidischen Raum durch das Zentrum
O ≡ [0, 0, 0] ist durch eine Proportion von drei rationalen Zahlen
bestimmt:
π ≡ hd : e : f i
Der Schnitt dieser Ebene mit dem Ellipsoid ist eine Großellipse.
Diese Großellipsen werden als die Geraden auf dem Ellipsoid
definiert. Daraus folgt die Inzidenzbedingung:
der Punkt P ≡ [x, y , z] = e(t, u) ist inzident mit der Geraden
l ≡ AB durch die Punkte A ≡ [x1 , y1 , z1 ] und B ≡ [x2 , y2 , z2 ]
genau dann wenn:
(y1 z2 − y2 z1 )x + (x2 z1 − x1 z2 )y + (x1 y2 − x2 y1 )z = 0
Rationale Parametrisierung von Geraden
Der Schnitt einer Ebene durch das Zentrum O mit dem Ellipsoid
beschreibt eine Ellipse. Aufgrund dieser Beobachtung und der
rationalen Parametrisierung von Ellipsen ergibt sich die
Parametrisierung von Geraden.
X = (1 − h)A + hB
B
P
A
O
A
Rationale Parametrisierung von Geraden
Gegeben sind zwei nicht zueinander konjugierte Punkte A ≡ e(r , s)
und B ≡ e(t, u), die Parametrisierung der Geraden l ≡ AB ergibt
sich aus:
X = (1 − h)A + hB
−→
P = A + λAX = (λ(2 − h) − 1) A + λhB
und der Bedingung, dass P inzident mit dem Ellipsoid sein soll:
0 = cλ2 + dλ
c ≡ a4 + a2 (1 − h)2 (r 2 + s 2 + t 2 + u 2 ) + 2a2 (2 − h)h(rt + su)
+ (r 2 + s 2 )(t 2 + u 2 )
d ≡ −(a4 + a2 (1 − h)(r 2 + s 2 + t 2 + u 2 ) + 2a2 h(rt + su)
+ (r 2 + s 2 )(t 2 + u 2 )).
Rationale Parametrisierung von Geraden
Die quadratische Gleichung in λ hat zwei Lösungen, λ = 0 und
λ=
−d
.
c
Die Lösung λ = 0 entspricht dem Punkt A = −A, dieser Punkt ist
also nicht durch die Parametrisierung erfasst. Wieder kann auf
projektive Koordinaten übergegangen werden, um das
Projektionszentrum mitzuerfassen.
Rationale Parametrisierung von Geraden
Die Gerade l ≡ hd : e : f i wird parametrisiert durch zwei Punkte
auf der Geraden
d 6= 0 :
e 6= 0 :
f 6= 0 :
A = λ[f , 0, −d]
A = λ[0, f , −e]
A = λ[f , 0, −d]
B = µ[e, −d, 0]
1
λ= q
2
f2
+ db2
a2
B = µ[e, −d, 0]
1
λ= q
2
f2
+ be 2
a2
B = µ[0, f , −e]
1
λ= q
2
f2
+ db2
a2
µ= √
e2
a
+ d2
µ= √
e2
a
+ d2
µ= q
1
f2
a2
+
e2
b2
Schnitt von zwei Geraden
Der Schnitt {P, P} zweier verschiedener Geraden durch die Punkte
A und B, bzw. C und D ist
{P, P} = {±λ[x, y , z]}
(x, y , z) = (A × B) × (C × D)
1
.
λ= q
2
y2
x
z2
+ a2 + b 2
a2
Abschließende Bemerkungen & zukünftige Arbeiten
Algebraische Methoden haben viele Vorteile gegenüber
differentialgeometrischen Ansätzen
I
konistente und genaue Berechnungen
I
einfach zu implementierende Formeln
I
Großellipsen weichen nur geringfügig von Geodäten ab
Alternative Möglichkeiten einer metrischen Struktur auf dem
Ellipsoid müssen untersucht werden. Der bekannte Ansatz zur
Berechnung elliptischer Bogenlängen ist eine Möglichkeit, wenn
auch rechnerisch eher aufwendig und nur approximativ lösbar.
Aufgrund der nicht konstanten Krümmung der Ellipsen scheint
derzeit keine einfachere Lösung in Sicht.