Lineare Algebra I/II Akademisches Jahr 2010/11 D-MAVT - D-MATH

Repetition
Beispiel
Lineare Algebra


4 2 2
Die Matrix A = 2 4 2 hat die EW λ1 = 2 und λ2 = 8.
2 2 4
Wir hatten gesehen:
   
 
−1
−1
1
E2 = span{ 0  ,  1 },
E8 = span{1}
1
0
1
Eigenwertproblem
Anwendungen
Potenzen
Exponentialfunktion
Matrixnorm
Quadratische Formen
Repetition
Beispiel
Lineare Algebra


4 2 2
Die Matrix A = 2 4 2 hat die EW λ1 = 2 und λ2 = 8.
2 2 4
Wir hatten gesehen:
   
 
−1
−1
1
E2 = span{ 0  ,  1 },
E8 = span{1}
1
0
1
Orthonormalisiert man die Vektoren in den zwei
Eigenräumen, so erhält man die orthonormale Eigenbasis:
√   √ 
√  

−1/√ 6
1/√3
−1/ 2
 0  ,  2/ 6  , 1/ 3
√
√
√
1/ 2
−1/ 6
1/ 3
Eigenwertproblem
Anwendungen
Potenzen
Exponentialfunktion
Matrixnorm
Quadratische Formen
Repetition
Anwendungen
Lineare Algebra
Potenzen von Matrizen
Eigenwertproblem
Cn×n
Sei A ∈
diagonalisierbar. Dann existiert eine reguläre
Matrix T in deren Spalten die EV von A stehen, so dass
T −1 AT = diag(λ1 , . . . , λn ), wobei λ1 , . . . , λn die
entsprechenden EW von A sind. Dann gilt
Ak = T diag(λk1 , . . . , λkn )T −1
(∗)
Anwendungen
Potenzen
Exponentialfunktion
Matrixnorm
Quadratische Formen
Repetition
Anwendungen
Lineare Algebra
Potenzen von Matrizen
Eigenwertproblem
Cn×n
Sei A ∈
diagonalisierbar. Dann existiert eine reguläre
Matrix T in deren Spalten die EV von A stehen, so dass
T −1 AT = diag(λ1 , . . . , λn ), wobei λ1 , . . . , λn die
entsprechenden EW von A sind. Dann gilt
Ak = T diag(λk1 , . . . , λkn )T −1
(∗)
−1
Um Ak x = T diag(λk1 , . . . , λkn ) T
| {z x} zu berechnen geht man
so vor:
=:z
I
Löse Tz = x mit Gauss nach z auf.
I
Ak x = T diag(λk1 , . . . , λkn )z
Anwendungen
Potenzen
Exponentialfunktion
Matrixnorm
Quadratische Formen
Repetition
Anwendungen
Lineare Algebra
Potenzen von Matrizen
Eigenwertproblem
Cn×n
Sei A ∈
diagonalisierbar. Dann existiert eine reguläre
Matrix T in deren Spalten die EV von A stehen, so dass
T −1 AT = diag(λ1 , . . . , λn ), wobei λ1 , . . . , λn die
entsprechenden EW von A sind. Dann gilt
Ak = T diag(λk1 , . . . , λkn )T −1
(∗)
−1
Um Ak x = T diag(λk1 , . . . , λkn ) T
| {z x} zu berechnen geht man
=:z
so vor:
I
Löse Tz = x mit Gauss nach z auf.
I
Ak x = T diag(λk1 , . . . , λkn )z
Bemerkung: Für Polynome p folgt aus (∗) sofort
p(A) = T diag(p(λ1 ), . . . , p(λn ))T −1
Anwendungen
Potenzen
Exponentialfunktion
Matrixnorm
Quadratische Formen
Repetition
Exponentialfunktion einer Matrix
Lineare Algebra
Seien A, T und λi wie oben. Dann gilt
Eigenwertproblem
A
e :=
∞
X
Ak
k=0
k!
Anwendungen
λ1
λn
= T diag(e , . . . , e )T
−1
Potenzen
Exponentialfunktion
Matrixnorm
Quadratische Formen
Repetition
Exponentialfunktion einer Matrix
Lineare Algebra
Seien A, T und λi wie oben. Dann gilt
Eigenwertproblem
A
e :=
∞
X
Ak
k=0
k!
Anwendungen
λ1
λn
= T diag(e , . . . , e )T
Achtung: e A e B = e A+B ⇐⇒ AB = BA
−1
Potenzen
Exponentialfunktion
Matrixnorm
Quadratische Formen
Berechnung der Matrixoperatornorm
Sei A ∈ Rm×n . Die Operatornorm der Matrix ist gegeben
durch
kAk = max kAxk2
kxk2 =1
Repetition
Lineare Algebra
Eigenwertproblem
Anwendungen
Potenzen
Exponentialfunktion
Matrixnorm
Quadratische Formen
Berechnung der Matrixoperatornorm
Sei A ∈ Rm×n . Die Operatornorm der Matrix ist gegeben
durch
kAk = max kAxk2
kxk2 =1
Für A ∈ Rm×n gilt kAk =
Lineare Algebra
Eigenwertproblem
Anwendungen
Potenzen
Exponentialfunktion
Matrixnorm
Quadratische Formen
Satz
I
Repetition
q
max {µi }. Dabei sind µi
1≤i≤n
die EW der symmetrischen Matrix A> A ∈ Rn×n .
Berechnung der Matrixoperatornorm
Sei A ∈ Rm×n . Die Operatornorm der Matrix ist gegeben
durch
kAk = max kAxk2
kxk2 =1
Für A ∈ Rm×n gilt kAk =
q
max {µi }. Dabei sind µi
1≤i≤n
die EW der symmetrischen Matrix A> A ∈ Rn×n .
I
Lineare Algebra
Eigenwertproblem
Anwendungen
Potenzen
Exponentialfunktion
Matrixnorm
Quadratische Formen
Satz
I
Repetition
Ist A ∈ Rn×n symmetrisch, so gilt kAk = max {|λi |}
1≤i≤n
wobei die λi die EW von A sind.
Berechnung der Matrixoperatornorm
Sei A ∈ Rm×n . Die Operatornorm der Matrix ist gegeben
durch
kAk = max kAxk2
kxk2 =1
Für A ∈ Rm×n gilt kAk =
q
max {µi }. Dabei sind µi
1≤i≤n
die EW der symmetrischen Matrix A> A ∈ Rn×n .
I
Lineare Algebra
Eigenwertproblem
Anwendungen
Potenzen
Exponentialfunktion
Matrixnorm
Quadratische Formen
Satz
I
Repetition
Ist A ∈ Rn×n symmetrisch, so gilt kAk = max {|λi |}
1≤i≤n
wobei die λi die EW von A sind.
Satz
Sei Q ∈ Rn×n orthogonal. Dann gilt:
I
Für alle EW λ von Q gilt |λ| = 1.
I
EV zu verschiedenen EW von Q sind orthogonal.
I
kQk = 1
Die Orthogonalität der EV von Q sieht man so:
Repetition
Lineare Algebra
e iφ
Seien
6=
Dann gilt
e iψ
zwei EW mit zugehörigen EV x und y .
iψ −iφ
e e
Eigenwertproblem
Anwendungen
hx, y i =
Potenzen
Exponentialfunktion
Matrixnorm
Quadratische Formen
Die Orthogonalität der EV von Q sieht man so:
Repetition
Lineare Algebra
e iφ
Seien
6=
Dann gilt
e iψ
zwei EW mit zugehörigen EV x und y .
iψ −iφ
e e
Eigenwertproblem
Anwendungen
iφ
iψ
hx, y i = he x, e y i
Potenzen
Exponentialfunktion
Matrixnorm
Quadratische Formen
Die Orthogonalität der EV von Q sieht man so:
Repetition
Lineare Algebra
e iφ
Seien
6=
Dann gilt
e iψ
zwei EW mit zugehörigen EV x und y .
iψ −iφ
e e
Eigenwertproblem
Anwendungen
iφ
Potenzen
Exponentialfunktion
Matrixnorm
Quadratische Formen
iψ
hx, y i = he x, e y i
= hQx, Qy i = hx, Q > Q y i
| {z }
=I
Die Orthogonalität der EV von Q sieht man so:
Repetition
Lineare Algebra
e iφ
Seien
6=
Dann gilt
e iψ
zwei EW mit zugehörigen EV x und y .
iψ −iφ
e e
Eigenwertproblem
Anwendungen
iφ
Potenzen
Exponentialfunktion
Matrixnorm
Quadratische Formen
iψ
hx, y i = he x, e y i
= hQx, Qy i = hx, Q > Q y i
| {z }
=I
= hx, y i
Die Orthogonalität der EV von Q sieht man so:
Repetition
Lineare Algebra
e iφ
Seien
6=
Dann gilt
e iψ
zwei EW mit zugehörigen EV x und y .
iψ −iφ
e e
Anwendungen
iφ
Potenzen
Exponentialfunktion
Matrixnorm
Quadratische Formen
iψ
hx, y i = he x, e y i
= hQx, Qy i = hx, Q > Q y i
| {z }
=I
= hx, y i
Also (1 − e iψ e −iφ )hx, y i = 0.
|
{z
}
6=0
Eigenwertproblem
Repetition
Quadratische Formen
Lineare Algebra
Definition
Eigenwertproblem
Sei A ∈ Rn×n symmetrisch. Dann heisst
Anwendungen
n
qA : R → R,
>
x 7→ hx, Axi = x Ax =
n
X
i,j=1
quadratische Form von A.
Potenzen
Exponentialfunktion
Matrixnorm
Quadratische Formen
aij xi xj
Repetition
Quadratische Formen
Lineare Algebra
Definition
Eigenwertproblem
Sei A ∈ Rn×n symmetrisch. Dann heisst
Anwendungen
n
qA : R → R,
>
x 7→ hx, Axi = x Ax =
n
X
Potenzen
Exponentialfunktion
Matrixnorm
Quadratische Formen
aij xi xj
i,j=1
quadratische Form von A.
Besipiel
1/9 0
x2
x2
Für A =
ist qA (x) = 91 + 42 . Da keine
0 1/4
Mischterme auftreten heisst diese Form rein quadratisch.
Repetition
Beispiel: Rotationsenergie
Sei K ein starrer Körper mit körperfestem Koordinatensystem
(eine ONB B) mit Ursprung im Schwerpunkt S. K rotiere mit der
(momentanen) Winkelgeschwindigkeit ω ∈ R3 . Der resultierende
Drehimpuls von K ist dann L = Θω, wobei Θ = Θ> ∈ R3×3 der
Trägheitstensor von K (bezüglich B) ist, und ω und L als
Koordinatenvektoren bezüglich B einzusetzen sind. Die
Rotationsenergie von K ist dann gegeben durch die quadratische
Form
1
Ekin = ω > Θω.
2
Beim kräftefreien Kreisel sind L und Ekin Erhaltungsgrössen. Da Θ
symmetrisch ist, existiert eine ONB B 0 in der Θ diagonal ist
(Hauptachensystem von K ).
Lineare Algebra
Eigenwertproblem
Anwendungen
Potenzen
Exponentialfunktion
Matrixnorm
Quadratische Formen
Beachte: {ω ∈ R3 : 12 ω > Θω = const} ist ein Ellipsoid E . Der
Gradient der Funktion ω 7→ 12 ω > Θω ist grad( 12 ω > Θω) = Θω = L
und steht senkrecht auf der Tangentialebene Σ in ω an die
Niveaufläche E . Da Σ wegen 21 ω > Θω = 12 hω, Li = const fixen
Abstand von S hat, ist Σ raumfest. K kann sich also im Raum nur
so bewegen, dass E bei festem S auf Σ abrollt
(Poinsot-Darstellung des freien Kreisels). Insbesondere sind die
kürzeste und die längste Achse von E stabile Achsen. Die mittlere
Achse jedoch nicht.
L
Y
t
S
E
Repetition
Lineare Algebra
Eigenwertproblem
Anwendungen
Potenzen
Exponentialfunktion
Matrixnorm
Quadratische Formen
Repetition
Lineare Algebra
Eigenwertproblem
Anwendungen
Potenzen
Exponentialfunktion
Matrixnorm
Quadratische Formen
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Repetition
Beispiel: Lineare Elastizität
Der Spannungstensor ist die Matrix


σx τxy τxz
S = τyx σy τyz  = S >
τzx τzy σz
und beschreibt die Situation in einem Punkt P eines unter
Krafteinfluss deformierten elastischen Körpers. In P denkt man
sich eine Fläche mit Einheitsnormale n. Der weggeschnittene Teil
übte auf die verbleibende Materie die Spannung Sn aus. Diese
zerlegt man in Normalspannung σ(n)n, d.h. die Komponente von
Sn parallel zu n, und die Schubspannung τ (n)⊥n:
Sn = σ(n)n + τ (n)
Also ist die Normalspannung durch eine quadratische Form
gegeben:
σ(n) = n> Sn, τ (n) = Sn − σ(n)n
Lineare Algebra
Eigenwertproblem
Anwendungen
Potenzen
Exponentialfunktion
Matrixnorm
Quadratische Formen