Institut für Geometrie und Topologie

Institut für Geometrie und Topologie
Prof. Uwe Semmelmann
Dr. Tillmann Jentsch
Übungsblatt 5: Konvexe Kurven
Für die Gruppenübungen am 22.5.2012
Aufgabe 1. (a) Sei c : R → R2 eine ebene reguläre Kurve mit κc (t) 6= 0 für alle t und Z die Evolute,
also die Kurve der Krümmungskreismittelpunkte. Zeigen Sie: Die Kurve Z ist regulär in t genau dann,
wenn κ̇c (t) 6= 0.
(b) Wieviele singuläre Punkte hat die Evolute einer nach Bogenlänge parametrisierten, geschlossenen,
konvexen Kurve mindestens auf dem Intervall [0, L[, wobei L die Periode von c bezeichnet? Wieviele
sind es bei einer Ellipse?
Aufgabe 2. Der Legende nach wurde Karthago von der phönizischen Prinzessin Dido gegründet. Der
örtliche Herrscher gab ihr hierzu so viel Land, wie sie mit einer Kuhhaut umspannen könne. Dido schnitt
daraufhin die Kuhhaut in dünne Streifen und maß damit die Grenze des zukünftigen Karthago ab, das auf
der einen Seite durch die (geradlinige) Mittelmeerküste begrenzt wird.
(a) Welche Kurve sollte Dido wählen, um die Fläche zu maximieren?
(b) Und wenn zwei Küstenpunkte der Stadtgrenze fest vorgegeben sind?
Hinweis: Verwenden Sie, dass die isoperimetrische Ungleichung auch für kompakte Mengen gilt, die von
einer einfach geschlossenen, stetigen und stückweise differenzierbaren Kurve berandet werden.
Aufgabe 3. Sei f : I → R eine differenzierbare Funktion. Zeigen Sie: Die Kurve c(t) := (t, f (t)) ist konvex
mit κc ≥ 0 genau dann, wenn f konvex ist. Dabei heißt f bekanntlich konvex, wenn f (tx + (1 − t)y) ≤
tf (x) + (1 − t)f (y) für alle 0 ≤ t ≤ 1 und x, y ∈ I. Hinweis: Benutzen Sie die Tatsache, dass die Funktion
f genau dann konvex ist, wenn f 00 ≥ 0.
Aufgabe 4. Beweisen Sie folgende Verallgemeinerung des Vierscheitelsatzes:
Sei c : R → R2 eine reguläre, geschlossene, nach Bogenlänge parametrisierte konvexe Kurve mit Periode L.
Dann existieren Parameter t1 < t2 < t3 < t4 < t1 + L so, dass κc in t1 und t3 ein lokales Maximum und in
t2 und t4 ein lokales Minimum besitzt.
Hinweis: Modifizieren Sie den Beweis aus der Vorlesung.
Aufgabe 5. (a) Seien c1 : [a, b] → R2 und c2 : [A, B] → R2 ebene, injektiv parametrisierte reguläre
Kurven. Zeigen Sie: Falls Spur(c1 ) = Spur(c2 ), so existiert eine Umparametrisierung ϕ : [a, b] → [A, B]
so, dass c1 = c2 ◦ ϕ.
(b) Sei c : R → R2 eine geschlossene, nach Bogenlänge parametrisierte ebene Kurve mit κc (t) ≥ 0 für
alle t. Nach Bemerkung 6.2 ist c genau dann konvex, wenn c eine beschränkte konvexe Menge des R2
berandet. Zeigen sie noch einmal explizit (ohne Bemerkung 6.2 zu benutzen): Ist c konvex, so ist c
einfach geschlossen.
Hinweis: Zu (a): Überlegen Sie sich zunächst: Da [a, b] und [A, B] kompakt sind, ist ci ein
Homöomorphismus aufs Bild für i = 1, 2. Zu(b): Zeigen Sie zunächst: falls c(t1 ) = c(t2 ), dann
n(t1 ) = n(t2 ). Dabei bezeichne n(t) wie üblich das Normalenvektorfeld. Verwenden sie dann Aufgabe
3) und schließlich Teil a).
Schriftliche Aufgabe.
Zur Abgabe am 22.5. in Ihrer Übungsgruppe
Aufgabe 6. Sei c : R → R2 eine nach der Bogenlänge parametrisierte, geschlossene und konvexe Kurve mit
Krümmung κc (t) ≥ 0 für alle t . Die Parallelkurve zu c im Abstand s ≥ 0 ist die Kurve cs (t) := c(t) − s n(t),
wobei n(t) den Normalenvektor von c zum Parameterwert t bezeichne.
(a) Wir wissen, dass c sogar einfach geschlossen ist, vgl Aufgabe 5). Sei L die Periode von c (also c(t) =
c(t + L) und c|(t,L+t) ist injektiv für jedes t ). Zeigen Sie: Die Kurve cs ist regulär. Sie erfüllt ebenfalls
cs (t + L) = cs (t) und cs |(t,t+L) ist injektiv für alle t. Insbesondere ist auch cs einfach geschlossen.
(b) Zeigen Sie: die Krümmung von cs ist
κcs (t) =
κc (t)
.
1 + sκc (t)
Insbesondere ist cs wieder konvex.
RL
(c) Wir setzen Ls := 0 kċs (t)kdt. Also L0 = L und es ist Ls der Umfang des – nach dem Jordanschen
Kurvensatz – von cs berandeten beschränkten Gebietes Gs . Zeigen Sie: es gilt Ls = L + 2π s .
(d) Die Flächeninhalte der beschränkten Gebiete G und Gs , welche von c und cs eingeschlossen werden,
erfüllen A[Gs ] = A[G] + s L + πs2 .