einführung in die höhere mathematik

EINFÜHRUNG
IN DIE HÖHERE MATHEMATIK
MIT B E S O N D E R E R
BERÜCKSICHTIGUNG
I H R E R ANWENDUNGEN AUF GEOMETRIE, P H Y S I K ,
NATURWISSENSCHAFTEN UND T E C H N I K
VON
...D-R.PHIL.KARL S T R U B E C K E R
OBD. PROFESSOR AN DER TECHNISCHEN HOCHSCHULE
s
. KARLSRUHE
BANDI: GRUNDLAGEN
M I T 338 A B B I L D U N G E N
R. O L D E N B O U R G V E R L A G
MÜNCHEN
i
INHALTSVERZEICHNIS
Vorwort
*
.
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•
-
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•
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•
•
•
•
•
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.
•
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'
XI
.
ERSTER ABSCHNITT: GRUNDLAGEN
I. Zahlen und Zahlenrechnen
A. Beeile Zahlen, ungenaue Zahlen
1. Reelle Zahlen, Zahlgerade
2. Dekadisches Positionssystem. Dezimalbrüche
3. Dyadisches Zahlensystem
4. Intervallschachtelung. Stetigkeit der Zahlgeraden
5. Die Grundgesetze der Arithmetik
6. Absolute Beträge. Ungleichungen
3
5
8
11
13
20
t
B. Das Rechnen mit ungenauen Zahlen
7. Ungenaue Zahlen
/
8. Summe und Differenz ungenauer Zahlen
9. Produkt zweier ungenauer Zahlen . . . . . . . . ; . .
10. Quotient zweier ungenauer Zahlen
11. Abgekürzte Multiplikation . . . . .
12. Abgekürzte Division
13. Quadratwurzel aus einer ungenauen Zahl
14. Iterationsverfahren zur Berechnung der Quadratwurzel
15. Das Verfahren der Wurzelziehung von L. CÖLLATZ
16. Das Rechnen mit sehr kleinen Größen
17. Einige Beispiele zum Rechnen mit sehr kleinen Größen
18. Rechenmaschinen
'.
24
28
29
30
32
34
36
37
39
41
44
46
C. Elementare Fehlerrechnung
19. Mittlerer Fehler der Messungen einer Meßreihe.-.
20. Ausgleichung einer Meßreihe nach GAtrssens Methode der kleinen Quadrate .
21. Bestimmung des mittleren Fehlers m der Einzelmessungen einer Meßreihe . .
22. Das Additionstheorem der Mittelwerte und der mittleren Fehler. GAirsssches
Fehlerfortpflanzungsgesetz
23. Mittlerer Fehler des Bestwertes einer Meßreihe
24. Ausgleichung von Messungen ungleicher Genauigkeit
,,',,.
53
55
57
60
64
65
VI
Inhaltsverzeichnis
1). Elementare Zahlentheorie
25. Teilbarkeit von ganzen Zahlen. EtrKLinscher Algorithmus (Kettendivision) . .
26. DiOPHAUTische Gleichungen 1. Ordnung
27. Kettenbrüche
28. Anwendungen (Zeitrechnung, Saroszyklus, BALMEBsche Serienformel)
29. Unendliche Kettenbrüche irrationaler Zahlen
30. Periodische Kettenbrüche . . . . ' . . . , . .
31. Zahlenkongruenzen
'.
.
32. Anwendung auf Teilbarkeitsregeln und Bechenproben
33. Bestklassen nach einem Primzahlmodul p
34. Die multiplikative Gruppe der Restklassen nach einem Primzahlmodul.
Gruppeneigenschaften
100
35. Der Satz von FEEMAT . .
36. Der Satz von WILSON
107
110
37.
38.
39.
40.
41.
,
,
Darstellung einer Primzahl der Form p = 4» + 1 als Summe zweier Quadrate
Zerspaltung großer Zahlen m = 4» + 1 in Primfaktoren
Elemente der Kombinatorik. Der binomisohe Satz
Permutationsgruppen
Decktransformationen der regulären (PtATONischen) Körper. Raumgruppen .
71
73
77
81
85
88
92
95
99
113
118
120
127
131
II. Elementare algebraische Funktionen
E. Lineare und quadratische Funktion. Komplexe Zahlen
42. Funktionsbegriff. Schaubild einer Funktion
43. Die lineare Funktion y = ax + b. Analytische Geometrie der geraden Linie .
44. Die quadratische Funktion. Wertevorrat, Nullstellen, Zerspaltung in Linearfaktoren
45. Einführung der komplexen Zahlen
46. Quadratische Gleichungen. Fundamentalsatz der Algebra. Zerlegung reeller
Polynome in lineare und quadratische Faktoren
47. Bogenmaß eines Winkels
48. GAUSSsche Darstellung der komplexen Zahlen durch die Punkte einer Ebene
49. Konstruktion von Summe, Differenz, Produkt und Quotient zweier komplexer
Zahlen in der GAUSSschen Zahlenebene. MorvEüsche Formeln
135
142
147
150
155
162
164
166
F. Geometrische Anwendungen
50. Die Darstellung der Ähnlichkeiten und Bewegungen der Ebene durch komplexe
lineare Transformationen
51. Transformationsgruppen
52. Die Gruppe der GALiLEischen Transformationen
53. Bemerkung über die axiomatischen Begründungen der Geometrie. EuKLlDische
Geometrie und Nicht-EuKLiDische Geometrien
54. FELIX KLEINS gruppentheoretische Auffassung der Geometrie
55. Ein Beispiel einer Geometrie im KLErsrschen Sinne. Geometrie der isotropen
Ebene
:
56. Parabelkonstruktionen..;.....
„
179
183
184
185
187
189
194
6. Ebene Vektorrechnung
57. Vektoren
58. Innenprodukt und Außenprodukt zweier Vektoren der Ebene
198
203
Inhaltsverzeichnis
59. Anwendung auf die ebene .Statik
........
60. Anwendungen der Vektorrechnung auf die ebene analytische Geometrie
61. Determinanten 2. Ordnung. CRAMEBsche Regel
VII
208
211
219
H. Polynome und algebraische Gleichungen
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
71.
72.
73.
74.
75.
Die ganzen Funktionen (Polynome) n-tef Ordnung
222
Das HoKNEHsche Verfahren und seine Anwendungen
225
Die zeichnerische Durchführung des HoBNERschen Verfahrens
232
Die LiLLsche Darstellung von Polynomen und ihrer Division. Die LiLLsche
Bestimmung der Wurzeln algebraischer Gleichungen.
233
Die Bestimmung rationaler Nullstellen einer ganzzahligen algebraischen Gleichung
237
Die kubische Gleichung der Winkeldrittelung ,'.'
238
Lösung der allgemeinen kubischen Gleichung durch Winkeldrittelung. CABDANOsche Formel
242
Die trigonometrische Lösung von kubischen Gleichungen
248
Lösung der biquadratischen Gleichung durch eine kubische Resolvente . . . . . 250
Bemerkung zur allgemeinen Lösung der algebraischen Gleichungen 2., 3. und
4. Ordnung durch Wurzelausdrücke
:
256
Das GBAEFFEsche Verfahren der quadrierten Wurzeln
262
Das GRAEBTEsche Verfahren bei komplexen Wurzeln und bei Wurzeln mit gleichen absoluten Beträgen
268
Ausbau des GRAEBTEsohen Verfahrens nach BRODETZKY und SMEAL . . . . . . . . 2 7 6
Satz von SCHUB über die HtrBwrrzschen Gleichungen mit negativem Eealteil
der Wurzeln
280
I. Interpolation
76. Die Interpolationsformel von LAGRANGE
290
77.
78.
79.
80.
81.
291
298
301
304
307
Die NEWTONsche Interpolationsformel. Steigungen
Die zeichnerische Durchführung der Interpolation »-ter Ordnung
Interpolation bei äquidistanten Argumenten
Prüfung und Berichtigung einer Funktionstafel mittels des Differenzenspiegels
Einige Anwendungen der NEWTCWschen Interpolationsformel . . . . " . . . . .
82. Die Interpolationsformeln von GAUSS und S U R U N G
83. Die BESSELsche Interpolationsformel
312
318
J. Bationale und algebraische Funktionen
84.
85.
86.
87.
88.
89.
Allgemeines über rationale Funktionen
321
Teilbruchzerlegung rationaler Funktionen
327
Allgemeines über algebraische Funktionen. Algebraische Kurven . . . . . . . . . . . 333
Parameterdarstellung einer Funktion oder Kurve
340
Kegelschnitte. Elementare Definitionen und Eigenschaften
344
Die Kurven 2. Ordnung, ihre metrische Klassifikation und Hauptachsentransformation
,
358
90. Beispiele algebraischer Kurven 3. und 4. Ordnung
370
91. Schleifkurbelgetriebe
,.
.\
378
92. Kurbelgetriebe. WATTsche Kurven
'.,....
380
- E. Alline und projektive Geometrie der Ebene
93. Metrische Eigenschaften ebener Kurven
94. Parallel- und Zentralprojektion als geometrische Verwandtschaften
387
388
Inhaltsverzeichnis
vm
95.
96.
97.
98.
99.
Parallelprojektion und Perspektive Affinität
—
Allgemeine ebene Affinitäten
Die affine Gruppe der Ebene
Besondere Affinitäten .„ . . .
•.
Affine Geometrie der Ebene. Affine Einteilung der Kegelschnitte nach
LAGRANGB
100.
101.
102.
103.
104.
105.
106.
107.
108.
390
394
398
399
402
Affine Eigenschaften der Ellipse, Hyperbel und Parabel
Zentralprojektion. Perspektive KolÜneation
Projektive Transformationen (Kollineationen) der Ebene
Ebene projektive Geometrie ' . . . . . . . . . .
Projektive Invarianten. Poppelverhältnis. Fundamentalsatz der projektiven
Geometrie
'.
Charakteristisches Doppelverhältnis einer Projektivität der Geraden.
Involutorische Projektivitäten (Involutionen)
Vollständiges Viereck und Vierseit
;
Dualitätsprinzip
Projektive Erzeugung der Kegelschnitte nach JACOB STEIKER. Die Sätze von
PASOAL und BRIANCHON
407
416
424
427
430
436
440
441
445
109. Das Polarsystem der Kurven 2. Ordnung
451
III. Grenzwerte. Unendliche Reihen v
L. Grenzwerte
*
110.
111.
112.
113.
114.
115.
116.
117.
118.
119.
120.
121.
122.
123.
Grenzwertbegriff und höhere Mathematik
Unendliche Zahlenfolgen
Häufungswerte
.
.
Untere und obere Grenze
Zahlenmengen
Punktmengen
>,........
Konvergente Zahlenfolgen. Grenzwert einer konvergenten Zahlenfolge
Konvergenz und Summenformel der unendlichen geometrischen Beihe
Das Bechnen mit Grenzwerten
Konvergenz beschränkter monotoner Folgen (Monotoniesatz)
Die Zahl e
Eine weitere Definition der Zahl e
,
Drittes Konvergenzkriterium (Satz,von der Intervallschachtelung)
Das allgemeine CAUCHYSche Konvergenzkriterium
124.
125.
126.
127.
128.
129.
130.
131.
132.
133.
134.
Konvergente unendliche Beißen
Summenproblem. Beihenrest
Summe und Differenz zweier konvergenter unendlicher Beihen
Konvergenzkriterien für unendliche Beihen
Alternierende Beihen
:
,
Beihen mit positiven Gliedern
ABELsche Summierung. Konvergenzsätze von ABEL und DIRIOHLHT
Absolute, unbedingte und bedingte Konvergenz von unendlichen Beihen . . .
Multiplikation von absolut konvergenten Beihen
Großer Umordnungssatz (CAUOHYscher Doppelreihensatz)
Hinreichende Kriterien für absolute Konvergenz von Beihen
462
464
467
470
473
475
479
485
489
490
491
494
495
503
M. Unendliche Beihe n
135. Die Kriterien von KUMMER und DINI, von EAABE und GAUSS
505
508
511
513
516
518
521
528
531
535
539
546
'
Inhaltsverzeichnis
.
136.
137.
138.
139.
Potenzreihen
Das Rechnen mit Potenzreihen
Dreiecksungleichung. Folgen komplexer Zahlen
Häufungspunkte und Grenzwerte beschränkter Folgen komplexer Zahlen.
v
Konvergenzkriterien
140. Unendliche Reihen mit komplexen Gliedern. Komplexe Potenzreihen
IX
549
553
558
561
569
IV. Elementare transzendente Funktionen.
Stetige Funktionen. Umkehrfunktionen
N. Exponentialfunktion, KrelsfMiktionen und Hyperbelfunktionen
141.
142.
143.
144.
145.
146.
147.
148.
149.
150.
151.
152.
153.
154.
155.
166.
Definition der Exponentialfunktion für irrationale Exponenten '
574
Zeichnerische Darstellung der Exponentialfunktion y = ax ...
576
Trigonometrische Funktionen oder Kreisfunktionen
579
Hyperbelfunktionen oder hyperbolische Funktionen
587
Anwendungen der Kreisfunktionen auf ebene Trigonometrie
592
Harmonische Sinusschwingungen
602
Überlagerung harmonischer Schwingungen verschiedener Frequenzen
. 606
Elliptische Schwingungen, LissAjorssche Kurven
612
Radlinien auf gerader Bahn. Zykloiden
615
Radlinien auf kreisförmiger Bahn. Epizykloiden und Hypozykloiden
619
Kegelschnitte in Polarkoordinaten
627
Die Gruppe der LoBENTZ-Transformationen. Das relativistische Additionsgesetz der Geschwindigkeiten
631
Die Relativität der Raum- und Zeitmessung
636
Potenzreihenentwicklung der natürlichen Exponentialfunktion
638
Exponentialfunktion für komplexe Argumente. Pot'enzreihen von cos97 und
siny. EuLBEsche Formel. MorvBEsche Formel
642
Potenzreihe für @ßf 2 und ©in 2. Zusammenhang der Kreis- und Hyperbelfunktionen i . . ;
.'.»
,:.., 648
0. Stetige Funktionen
157. Grenzwert einer Funktion y = / ( # ) an der Stelle x0. Konvergenzkriterien . . 651
158. Die Grenzwertformel lim
= 1
658
x
#-*0
159. Das Rechnen mit Grenzwerten von Funktionen
661
160. Links- und rechtsseitiger Grenzwert. Uneigentliche Grenzwerte einer Funktion
......
665
161. Grenzwert der Funktion y =f(x) für unbeschränkt wachsendes oder abnehmendes x
672
162. Stetigkeit und Unstetigkeit einer Funktion y=f{x)
679
163. BoLZANOsches Stetigkeitskriterium. Eigenschaften und Beispiele stetiger
Funktionen . . . . . .
'.'.
684
164. Sätze über stetige Funktionen. Zusammengesetzte Funktionen
692
165. Weitere Eigenschaften stetiger Funktionen
696
166. Anwendungen auf Gleichungen
701
167. Näherungsweise Lösung von Gleichungen. Regula falsi
704
168. Gleichmäßige Stetigkeit einer stetigen Funktion
707
169. Gleichmäßige Konvergenz einer unendlichen Reihe mit veränderlichen
Gliedern
710
170. Kriterien vpn WEIÜESTBASS, ABEL und DIEIOHLET für gleichmäßige Konver-
genz von Reihen
717
X
V*'
Inhaltsverzeichnis
171. Eigenschaften gleichmäßig konvergenter Reihen E »» {x), deren Glieder un (x)
stetige Funktionen sind. Gleichmäßig konvergente Funktionenfolgen
720
.'"».'....'
..-,
P. Umkehrfunktionen
172. Allgemeines
173. Die Kreisbogen- und Arcüsfunktionen (zyklometrischeir Funktionen)
174. Logarithmen
175. Natürlicher Logarithmus (Logarithmus naturalis). Additions- und Subtraktionslogarithmen
;
T.
176. Die Areafunktionen
177. Die Logarithmen negativer und komplexer Zahlen
178. Zusammenhang der Arcüsfunktionen mit dem Logarithmus
179. Die allgemeine Potenz «c = {x + iy) S+in ••
725
729
737
744
749
755
758
759
Q. Der logarithmische Rechenstab. Logarithmische Fnnktionspapiere
180. Funktionsleitern. Quadratische und projektive Leiter. Volumenskalibrierung
(Faßmessung mit der Rute)
181. Lineare Interpolation in Funktionsleitern
.
182. Die logarithmische Leiter. Logarithmischer Rechenstab
'
183. Die quadratische und kubische Leiter des logarithmischen Rechenstabs . . . .
184. Lineare Interpolation und Ablesegenauigkeit . . . .
185. Multiplikation und Division, Sondermarken
186. Proportionen. Regeldetri
187. Die gegenläufige oder reziproke Leiter R
188. Die logarithmische Sinusleiter
189. Die pythagoreische oder log cos-Leiter
190. Die logarithmische Tangensleiter
191. Die gleichförmige Leiter
.J. . .
192. Die log log-Leiter oder Exponentialleiter
,
193. Verschiedene weitere Anwendungen des logarithmischen Recheostabes
194. Anwendungen des Rechenschiebers auf verschiedene Probleme, insbesondere
auf die Lösung quadratischer und kubischer Gleichungen
195. Funktionspapiere
,.
196. Doppeltlogarithmisches Papier (Potenzpapier) . . . . . . f.'.Y.
197. Einfachlogarithmisches oder Exponentialpapier
.^.. r."..
Namen- und Sachverzeichnis
763
768
770
771
773
775
778
780
783
785
787
788
788
791
794
797
798
804
;. 812
V e r w e i s e : 24. verweist auf die Nummer 24 und (24.12) bedeutet Formel 12 in
Nummer 24 des Buches. (73. Beispiel 2) verweist auf Beispiel 2 in Nummer 73. Ebenso bezeichnet (11. Bemerkung 3) die Bemerkung 3 in Nummer 11, ähnlich (31. Regel C)
die Regel C in Nummer 31. Schließlich weist (Tafel 196.2) auf die Zahlentafel 2- in
Nummer 196 hin.
Die Nummern und ihre Überschriften findet man am Kopf der ungeraden Seiten
wiederholt.
Die wichtigsten Stichwörter und alle genannten Namen (mit Seitenzahlen) enthält
der Namen- und Sachweiser auf Seite 812fi.
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