Aufgabenblatt 10/11

Physik 1 Hydrologen/VNT, WS 2014/15
— Lösungen —
Aufgabenblatt 10/11
Aufgabenblatt 10/11
Aufgabe 1
(M 5.10 Rakete 1“)
”
Eine Rakete hat die Startmasse m0 und hebt mit der Anfangsbeschleunigung a0
senkrecht vom Boden ab. Die Ausströmgeschwindigkeit der Gase ist u. Der Massenausstoß je Sekunde ist zeitlich konstant. Die Leermasse der Rakete hat den Wert ml .
(a) Berechnen Sie die Brenndauer tB des Triebwerkes!
(b) Stellen Sie die Beschleunigungs-Zeit-Funktion,
(c) die Geschwindigkeits-Zeit-Funktion für diese Rakete auf, wobei nur der Zeitbereich 0 ≤ t ≤ tB in Betracht kommen soll!
m0 = 2.2 × 105 kg, ml = 3.0 × 104 kg, a0 = 6.0 m s−2 , u = 2500 m s−1
Aufgabe 2
(M 8.8 Zwei Zylinder“)
”
Ein dünnwandiger Hohlzylinder und ein Vollzylinder aus verschiedenem Material
und von verschiedenen Abmessungen rollen mit der Geschwindigkeit v0 auf einer
horizontalen Ebene. Anschließend rollen sie einen Hang hinauf. In welchen Höhen
h1 und h2 kommen sie zur Ruhe?
v0 = 2.0 m s−1
Aufgabe 3
(M 8.4 Schwungrad“)
”
Bei einem Schwungrad (Radius r, Drehfrequenz f0 , Masse m) befindet sich die Masse
im Wesentlichen auf dem Radkranz.
(a) Welches konstante Bremsmoment MA muss aufgebracht werden, um das Schwungrad
bis zur Zeit t1 zum Stillstand zu bringen?
(b) Berechnen Sie die Anzahl N der Umdrehungen, die das Rad während des Bremsvorgangs macht!
r = 1.0 m, f0 = 60 min−1 , t1 = 60 s, m = 1.0 t
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Aufgabe 4
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r2
(M 8.14 Bauaufzug“)
”
Der beladene Förderkorb eines Bauaufzugs hat die Masse m,
die am Korb befestigte Rolle hat die Masse m1 , das Trägheitsmoment JS1 und den Radius r1 . Die Seiltrommel hat das
Trägheitsmoment JS2 und den Radius r2 . Der Antriebsmotor
überträgt auf die Trommel das Drehmoment MA . Berechnen
Sie die Beschleunigung a, mit der der Korb aufwärts bewegt
wird!
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JS2
r1
m1
JS1
m
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Lösung zu Aufgabe 1
(a) Auf die Rakete wirken die Schubkraft F~S (t) und die Gravitationskraft F~g (t).
Die Schubkraft berechnet sich aus der pro Zeitintervall ausgestoßenen Treibstoffmasse q(t) = ṁ(t) und der Geschwindigkeit ~u(t) der ausgestoßenen Treibstoffgase
(gemessen im Bezugssystem der Rakete):
F~S (t) = −q(t)~u(t) = −q0~u0 = q0 u0 ~ez ,
(1.1)
wobei q und ~u als zeitlich konstant angenommen werden. Die Gewichtskraft ist wegen
der abnehmenden Raketenmasse zeitabhängig und lautet
F~g (t) = m(t)~g = −m(t)g ~ez .
Laut Zweitem Newtonschen Gesetz gilt dann für die Beschleunigung ~a(t) der Rakete
m(t)~a(t) = F~S (t) + F~g (t) = [q0 u0 − m(t)g] ~ez
q0 u 0
− g ~ez .
⇐⇒ ~a(t) =
m(t)
(1.2)
Die Gesamtmasse m(t) der Rakete ergibt sich aus der Anfangsmasse m0 und der bis
zum Zeitpunkt t ausgestoßenen Masse des Treibstoffs zu
m(t)
Zt
Z
Zt
dm(τ )
= m0 − dτ q(τ )
m(t) = m0 − dm = m0 − dτ
dτ
m0
0
0
Zt
= m0 − dτ q0 = m0 − q0 t ,
(1.3)
0
was wir in Gleichung (1.2) einsetzen:
q0 u 0
(1.2) ∧ (1.3) =⇒ ~a(t) =
− g ~ez
m0 − q0 t
q0 u 0
⇐⇒ ax (t) ~ex + ay (t) ~ey + az (t) ~ez =
− g ~ez
m0 − q0 t
q0 u0
⇐⇒ ax (t) = ay (t) = 0 ∧ az (t) =
−g
m0 − q0 t
(1.4)
Die Anfangsbeschleunigung soll ~a0 = ~a(0) = a0 ~ez betragen, somit folgt
q0 u 0
−g
m0
m0 (a0 + g)
q0 =
u0
a0 = az (0) =
⇐⇒
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(1.5)
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Aus den Gleichungen (1.3) und (1.5) lässt sich sich nun unter Verwendung der
0
Abkürzung tm = a0u+g
die zeitabhängige Masse der Rakete berechnen:
m0 (a0 + g)
t
m(t) = m0 −
u0
a0 + g
= m0 1 −
t
u0
t
.
= m0 1 −
tm
(1.6)
Wenn nach der Brenndauer tE der Treibstoff aufgebraucht ist, hat die Rakete die
Leermasse ml :
tE
(1.6)
ml = m(tE ) = m0 1 −
tm
ml
=⇒ tE = 1 −
tm
(1.7)
m0
3.0 × 104 kg
2500 m s−1
= 1−
2.2 × 105 kg 6.0 m s−2 + 9.81 m s−2
= 136.6 s .
(b) Die Beschleunigungs-Zeit-Funktion erhält man durch Einsetzen von (1.5) in
(1.4):
(1.4) ∧ (1.5) =⇒
az (t) =
q0 u0
−g =
m0 − q0 t
u0
u0
−g =
−g .
−t
tm − t
u0
a0 +g
(1.8)
(c) Die Geschwindigkeits-Zeit-Funktion berechnet man durch Integration von a(t)
über die Zeit:
vZz (t)
vz (t) = v0z +
|{z}
=0
v0z
Zt
Zt
Zt vz (τ )
u0
(1.8)
dv = dτ
= dτ az (τ ) = dτ
−g
dτ
tm − τ
0
0
0
gτ ]t0
= [−u0 log |tm − τ | −
= −u0 {log |tm − t| − log |tm |} − gt
0≤t≤tm
= −u0 {log (tm − t) − log tm } − gt
t
− gt .
= −u0 log 1 −
tm
Lösung zu Aufgabe 2
Man kann die Bewegung eines auf einer Unterlage rollenden Zylinders als eine Überlagerung zweier Bewegungen zusammengesetzt denken, einer linearen Bewegung des
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Schwerpunktes parallel zur Unterlage mit der Geschwindigkeit v0 und einer Rotation
des Zylinders um eine Achse, die parallel zur Unterlage und durch den Schwerpunkt
hindurch verläuft mit der Winkelgeschwindigkeit ω (siehe Abbilgung). Wenn vorausgesetzt wird, dass der Zylinder nicht rutscht, so sind die beiden Größen v0 und
ω0 nicht unabhängig voneinander, sondern durch die sogenannte Rollbedingung miteinander verknüpft:
v0 = ω0 r .
(2.1)
Das sieht man sofort ein, wenn man bedenkt, dass der Schwerpunkt während der
Zeit T0 einer vollständigen Umdrehung diejenige Strecke zurückgelegt haben muss,
= ω0 r.
die dem Umfang des Zylinders entspricht, also v0 T0 = 2πr und somit v0 = 2πr
T0
r
~v0
!0
Wenn die beiden Zylinder die schräge Ebene hinaufrollen, so wird mit zunehmender
Höhe kinetische Energie in potentielle Energie umgewandelt, und zwar so lange, bis
die komplette kinetische Energie aufgebraucht ist. Die kinetische Energie hat zwei
Beiträge, einen Rotationsbeitrag Erot durch die Rotation des Zylinders um seine
Schwerpunktachse mit der Winkelgeschwindigkeit ω0 und einen Translationsbeitrag
Etrans durch die Translationsbewegung des Schwerpunktes mit der Geschwindigkeit
v0 . Der Energieerhaltungssatz lautet also
Epot = Erot + Etrans
=⇒ mgh = 21 Jω02 + 21 mv02
J 2 v02 (2.1) J v02 v02
=
⇐⇒ h =
ω +
+
2mg 0 2g
2mg r2 2g
2
J
v0
=
+1
2
mr
2g
(2.2)
Die Trägheitsmomente JV und JH des Voll- und des Hohlzylinders bezüglich ihrer
Symmetrieachse lauten (siehe Formelsammlung)
2
JV = 12 mV rV
,
2
JH = mH rH ,
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so dass für die erreichten Höhen
2
1
2
m r2
v0
v0
3 v02
JV
2 V V
+
1
=
+
1
=
= 31 cm ,
hV =
2
2
mV rV
2g
mV rV
2g
4 g
2
2
2
v0
mH rH
v0
v02
JH
+
1
=
+
1
=
= 41 cm
hH =
2
2
mH rH
2g
mH rH
2g
g
gilt.
Lösung zu Aufgabe 3
(a) Das Schwungrad hat die Massenverteilung eines dünnwandigen Hohlzylinders
bzw. eines Zylindermantels, dessen Massenträgheitsmoment laut Formelsammlung
zu
J = mr2
gegeben ist. Das konstante Drehmoment MA führt zu einer konstanten Winkelbeschleunigung
α(t) = α0 = −
MA
J
und somit zu einer Winkelgeschwindigkeit-Zeit-Funktion von
Z t
ω(t) = ω0 + dτ α(τ ) = ω0 + α0 t .
0
Am Ende des Bremsvorganges soll das Schwungrad ruhen, somit folgt für die Winkelbeschleunigung
=⇒
0 = ω(t1 ) = ω0 + α0 t1
ω0
f0
α0 = − = −2π ,
t1
t1
woraus sich das notwendige Drehmoment
MA = Jα0 = −2πmr2
f0
1 s−1
= −2π · 1 × 103 kg · (1 m)2
= −105 kg m2 s−2 = −105 N m
t1
60 s
ergibt.
(b) Die Anzahl an Umdrehungen ergibt sich aus dem Winkel, den das Schwungrad
während der Zeit t1 zurücklegt, indem man diesen durch den Winkel einer vollen
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Umdrehung, also durch 2π, dividiert:
1
N = 2π
[ϕ(t1 ) − ϕ(t0 )]
1 ϕ0 + ω0 t1 − 12 α0 t21 − ϕ0 + ω0 t0 − 21 α0 t20
= 2π
1 ω0 (t1 − t0 ) − 12 α0 t21 − t20
= 2π
1 = 2π
ω0 t1 − 12 α0 t21
j h
ik
1
= 2π
2πf0 t1 − 21 2π ft10 t21
= 21 f0 t1
= 21 · 60 min−1 · 1 min = 30 .
Lösung zu Aufgabe 4
Es soll die Beschleunigung ~a berechnet werden, mit der die Rolle mit dem an ihr
befestigten Förderkorb nach oben bewegt wird. Dazu ermitteln wir die von außen
auf die Rolle einwirkende Gesamtkraft F~ges und setzen diese in die Gleichung des
Zweiten Newtonschen Gesetzes F~ges = mges~a ein,
ZNG
F~ges = Fges ~ez = mges a ~ez = mges ~az
=⇒
Fges = (m + m1 )a ,
(4.1)
wobei die zu beschleunigende Gesamtmasse durch mges = m + m1 gegeben ist.
r2
~ez
~r2
~ey
~ex
JS2
F~S2b =
F2 ~ez
F~S2a = +F2 ~ez
F~S1 = F1 ~ez
r1
m1
JS1
m
~r1 ~r1
F~g =
(m + m1 )g ~ez
Die Gesamtkraft setzt sich aus drei Kräften zusammen, und zwar aus der Kraft F~S1 ,
welche das linke Seil auf die Rolle ausübt, aus der Kraft F~S2a , die das rechte Seil
bewirkt und der Schwerkraft F~g , mit welcher Förderkorb und Rolle von der Erde
angezogen werden (siehe Zeichnung):
F~ges = F~S1 + F~S2a + F~g = F1 e~z + F2 e~z − (m + m1 )g e~z = [F1 + F2 − (m + m1 )g] ~ez
=⇒ Fges = F1 + F2 − (m + m1 )g
(4.1)
=⇒
(m + m1 )a = F1 + F2 − (m + m1 )g
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(4.2)
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Wir müssen nun die beiden unbekannten Kraftkomponenten F1 und F2 der Kräfte
F~S1 und F~S2a ermitteln. Beide Kräfte greifen außerhalb des Schwerpunktes der Rolle
~ 1,
an und bewirken daher ein Drehmoment M
~ 1 = (−~r1 ) × F~S1 + ~r1 × F~S2a = (−r1 ~ex ) × (F1 ~ez ) + (r1 ~ex ) × (F2 ~ez )
M
= r1 F1 ~ey − r1 F2 ~ey = r1 (F1 − F2 ) ~ey ,
(4.3)
welches eine Winkelbeschleunigung α
~ 1 der Rolle um die Rotationsachse bewirkt:
(4.3)
~ 1 = JS1 α
M
~ 1 = r1 (F1 − F2 ) ~ey
=⇒
=⇒
JS1 α1 = r1 (F1 − F2 )
JS1 α1
.
F1 = F2 +
r1
(4.4)
Falls F1 > F2 , so ist die Winkelbeschleunigung in positver y-Achse orientiert und
die Winkelbeschleunigung erfolgt gegen den Uhrzeigersinn (Einheitsvektoren ~ex , ~ey ,
~ez bilden rechthändiges Dreibein, so dass ~ey in die Zeichenebene hineinzeigt). Wenn
F1 < F2 , dann erfolgt die Winkelbeschleunigung im Uhrzeigersinn und im Falle
F1 = F2 bleibt die Rotation der Rolle unbeschleunigt.
Wenn das rechte Seil eine Kraft F~S2a auf die Rolle ausübt, so muss nach dem Prinzip
Actio et Reactio“ auch die Rolle eine Kraft F~S2b auf das rechte Seil ausüben, und
”
zwar so, dass beide Kräfte gleichen Betrag haben aber entgegengesetzte Orientierung:
F~S2b = −F~S1a = −F2 ~ez .
Diese Kraft F~S2b bewirkt ein Drehmoment auf die Seiltrommel, so dass dieses Dreh~ A ein Gesamtdrehmoment
moment zusammen mit dem Antriebsdrehmoment M
~ 2 = ~r2 × F~S2b + M
~ A = (−r2 ~ex ) × (−F2 ~ez ) + MA ~ey
M
= −r2 F2 ~ey + MA ~ey = (MA − r2 F2 ) ~ey
(4.5)
verursacht. Dieses Gesamtdrehmoment bewirkt eine Winkelbeschleunigung der Seiltrommel:
(4.5)
~ 2 = JS2 α
M
~ 2 = (MA − r2 F2 ) ~ey
=⇒
=⇒
JS2 α2 = MA − r2 F2
MA − JS2 α2
.
F2 =
r2
(4.6)
Nun setzen wir (4.4) und (4.6) in Gleichung (4.2) ein:
(4.2)
⇐⇒
(4.4)
=⇒
(4.6)
=⇒
(m + m1 )a = F1 + F2 − (m + m1 )g
JS1 α1
(m + m1 )a = 2F2 +
− (m + m1 )g
r1
MA
JS2 α2 JS1 α1
(m + m1 )a = 2
−2
+
− (m + m1 )g .
r2
r2
r1
(4.7)
Die Rolle und die Seiltrommel rotieren nicht unabhängig voneinander, denn sie sind
über das Seil miteinander verknüpft, von dem wir annehmen, dass es sich nicht dehnt
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und dass es an der Rolle nicht durchrutscht. Dann gilt für die Rolle die Rollbedingung v = −ω1 r1 (negatives Vorzeichen, da y-Komponente der Winkelgeschwindigkeit negativ ist, wenn z-Komponente der Geschwindigkeit postiv ist; Rolle bewegt
sich nach oben, wenn sie gegen Uhrzeigersinn rotiert). Weil die Beschleunigung die
Zeitableitung der Geschwindigkeits-Zeit-Funktion und die Winkelbeschleunigung die
Zeitableitung der Winkelgeschwindigkeits-Zeit-Funktion ist, gilt für Beschleunigung
und Winkelbeschleunigung der Gleichung
α1 = −
a
.
r1
(4.8)
Jetzt überlegen wir uns noch einen Zusammenhang zwischen den beiden Winkelbeschleunigungen α1 und α2 . Angenommen, die Rolle habe sich um den Winkel ϕ1
gegen den Uhrzeigersinn gedreht. Dann hat sie die Seillänge s1 = ϕ1 r1 abgerollt.
Da das linke Seilende an der Hallendecke fixiert ist und die Rolle entlang des Seiles
frei beweglich ist, bewegt sich derweil die Rolle um die Strecke h = s1 nach oben.
Auf der linken Seite der Rolle wird also Seil der Länge l2 = s1 + h = 2s1 dazugegeben, welches die Seiltrommel aufwickeln muss. Folglich muss die Seiltrommel um
1
den Winkel ϕ2 = sr22 = 2s
= 2 rr12 ϕ1 im Uhrzeigersinn rotieren, wenn sich die Rolle
r2
um den Winkel ϕ1 gegen den Uhrzeigersinn gedreht hat. Da die Winkelbeschleunigung die zweifache Zeitableitung der Winkel-Zeit-Funktion ist, gilt somit für die
Winkelbeschleunigungen der Zusammenhang
α2 = −2
r1 (4.8) a
α1 = 2 ,
r2
r2
(4.9)
wobei das Minuszeichen dem entgegengesetzten Drehsinn von Rolle und Seiltrommel
geschuldet ist.
Wir setzen jetzt (4.8) und (4.9) in Gleichung (4.7) ein und lösen nach a auf,
MA
JS2 α2 JS1 α1
−2
+
− (m + m1 )g
r2
r2
r1
MA
JS2 a JS1 a
(4.8)
=⇒ (m + m1 )a = 2
− 4 2 − 2 − (m + m1 )g
r2
r2
r1
JS2 JS1
MA
(m + m1 ) + 4 2 + 2 a = 2
− (m + m1 )g
r2
r1
r2
2 MA − (m + m1 )g
⇐⇒ a = JS2 r2 JS1
,
4 r2 + r2 + (m + m1 )
(4.7)
⇐⇒
⇐⇒
(m + m1 )a = 2
2
1
was auf die gesuchte Beschleunigung
~a =
2 Mr2A − (m + m1 )g
4 JrS22 +
2
JS1
r12
+ (m + m1 )
~ez
führt.
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Quellen
Die Aufgaben sind entnommen aus: Peter Müller, Hilmar Heinemann, Heinz Krämer,
Hellmut Zimmer, Übungsbuch Physik, Hanser Fachbuch, ISBN: 978-3-446-41785-4
http://www.hanser-fachbuch.de/buch/Uebungsbuch+Physik/9783446417854
Die Übungsblätter gibt es unter
http://newton.phy.tu-dresden.de/~patommel/Physik
Die Homepage zur Vorlesung findet sich unter
https://iktp.tu-dresden.de/index.php?id=1113
Jens Patommel <[email protected]>
10