Mathematik 2 - für Wirtschaftsinformatik

Mathematik 2
für Wirtschaftsinformatik
Sommersemester 2012
Stefan Etschberger
Hochschule Augsburg
Vorlesungsbegleitende Unterlagen
Arbeitsmaterial:
Foliensatz
Aufgabenskript
Mitschrift auf Wunsch
Bücher:
Luderer, B. (2003): Einstieg in die Wirtschaftsmathematik, Teubner, Stuttgart,
Leipzig, Wiesbaden, 5. Auflage.
Opitz, O. (2004): Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, Oldenbourg,
München, 9. Auflage.
Schäfer, W.; Georgi, K.; Trippler, G.; Otto, C. (2009): Mathematik-Vorkurs:
Übungs- und Arbeitsbuch für Studienanfänger, Studium, Teubner, Wiesbaden,
6. Auflage.
Sydsaeter, K.; Hammond, P. (2008): Essential Mathematics for Economic
Analysis, Prentice Hall, 3. Auflage.
Teschl, G.; Teschl, S. (2007a): Mathematik für Informatiker, Band 1, Springer,
Berlin, Heidelberg.
Teschl, G.; Teschl, S. (2007b): Mathematik für Informatiker, Band 2, Springer,
Berlin, Heidelberg.
Prüfung
Klausur:
Klausur am Ende des Semesters
Bearbeitungszeit: 60 Minuten
Erreichbare Punktzahl: 50
Hilfsmittel:
Schreibzeug,
Taschenrechner, der nicht 70! berechnen kann,
ein Blatt (DIN-A4, vorne und hinten beschrieben) mit
handgeschriebenen Notizen (keine Kopien oder Ausdrucke),
Veranstaltungskonzept
Mitschrift!
Folien sind nur
ergänzendes
Material zur
Mitschrift
Aufteilung
in Vorlesung
und Rechnen von
Beispielen und
Übungsaufgaben
Viele Aufgaben als Hausaufgabe, Besprechung in
Übungsgruppen (Frau Dr. Zerbe)
Ohne (selbständiges) Rechnen aller (!) Übungsaufgaben ist
Nutzen der Veranstaltung sehr gering
Fragenstellen ist jederzeit erwünscht
Bei Fragen oder Problemen: E-Mail
Informations-Backbone für Unterlagen und mehr: Homepage
Zitate
Es gibt Dinge, die den
meisten Menschen
unglaublich
erscheinen, die nicht
Mathematik studiert
haben.
– Archimedes
Die Mathematik muss man schon deswegen studieren, weil sie die
Gedanken ordnet.
- M. W. Lomonossow
Physics is the study of the world, while mathematics is the study of all
possible worlds.
– Clifford Taubes
In mathematics you don’t understand things. You just get used to them.
– John von Neumann,
Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott geschaffen, alles andere ist
Menschenwerk.
– Leopold Kronecker
Du wolltest doch Algebra, da hast du den Salat.
– Jules Verne
Es ist schon alles gesagt worden, aber noch nicht von allen.
– Karl Valentin
Probleme, ...
...die Sie nach dem Kurs lösen können:
Sich widersprechende Politiker entlarven,
Bedarf an Einzelteilen in Produktionsprozessen bestimmen,
die Käuferfluktuation zwischen verschiedenen Produkten im
Zeitablauf analysieren,
die Nachfragereaktion von Kaffee auf Preisänderungen
bestimmen
Ihre Rente ausrechnen
Große Kisten in kleine Ecken quetschen
Möglichst viel Gewinn bei möglichst wenig
Ressourcenverbrauch machen
Schon bekannt?
Begriff
Nenner
Reelle Zahlen
Assoziativgesetz
Logarithmus
Diskriminante
Fundamentalsatz der Algebra
Konjunktion
Kartesisches Produkt
Geometrische Reihe
Regel von Cramer
Simplex
Nie gehört
Gehört
Kann ich erklären
Mathematik 2: Gliederung
1
Folgen und Reihen
2
Komplexe Zahlen
3
Reelle Funktionen
4
Differenzieren 1
5
Differenzieren 2
6
Integration
7
Zinsen
8
Renten und Tilgung
9
Kursrechnung
10
Lineare Algebra
11
Lineare Programme
1
Folgen und Reihen
Eigenschaften und Beispiele
Konvergenz und Grenzwert
Reihen
Folgen und Reihen
Mathematik 2
Stefan Etschberger
Warum beschäftigen wir uns mit Folgen und Reihen?
Analyse von Datensequenzen, insbesondere Modellierung
diskreter, zeitlicher Entwicklungen (z.B. von Aktienkursen,
Absatzmengen)
Grundlage der Finanzmathematik (z.B. Zinseszinsrechnung,
Tilgungsrechnung)
wesentlich zum Verständnis der Konzepte der Stetigkeit und
Differenzierbarkeit
1. Folgen und Reihen
1.1. Eigenschaften und
Beispiele
1.2. Konvergenz und
Grenzwert
1.3. Reihen
2. Komplexe Zahlen
3. Reelle Funktionen
4. Differenzieren 1
5. Differenzieren 2
Wesentliche Lernziele:
Verständnis der Begriffe Folgen und Reihen
Fähigkeit Folgen und Reihen nach ihrer Art zu klassifizieren
Kennenlernen typischer, insbesondere der
Grenzwerteigenschaften von Folgen und Reihen
6. Integration
7. Zinsen
8. Renten und Tilgung
9. Kursrechnung
10. Lineare Algebra
11. Lineare
Programme
Fähigkeit, diese Eigenschaften zu erkennen und
nachzuweisen
9
Mathematik 2
Stefan Etschberger
Definition und Eigenschaften
Definition
Eine Folge ist eine Abbildung a : N0 → R
Schreibweise für Folgenglieder: a(0), a(1), . . . oder
a0 , a 1 , . . .
Schreibweise für Folge: (an )n∈N0
oder
(an )
1. Folgen und Reihen
Leonardo von Pisa
(ca. 1180 - 1250)
Eigenschaften von Folgen: Eine Folge heißt
1.1. Eigenschaften und
Beispiele
1.2. Konvergenz und
Grenzwert
1.3. Reihen
endlich (unendlich), falls Anzahl der Folgenglieder
endlich (unendlich) ist
2. Komplexe Zahlen
gesetzmäßig gebildet, falls Folgenglieder einem
1
Bildungsgesetz folgen, zum Beispiel: an = n+1
4. Differenzieren 1
3. Reelle Funktionen
5. Differenzieren 2
rekursiv definiert, falls zur Berechnung eines Folgengliedes frühere Werte
nötig sind
Beispiel: a0 = 0; a1 = 1 und an = an−1 + an−2 für n > 1
(Fibonacci-Folge)
7. Zinsen
8. Renten und Tilgung
9. Kursrechnung
10. Lineare Algebra
Spezielle Folgen
Arithmetische Folge: (an ) : an+1 − an = d
Geometrische Folge: (an ) :
6. Integration
an+1
an
=q
∀n ∈ N0 mit d ∈ R
11. Lineare
Programme
∀n ∈ N0 mit q ∈ R
10
Mathematik 2
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Geometrische Folge: Beispiel Schachspiel
Sissa ibn Dahir, der Erfinder
des Schachspieles, darf sich
vom indischen König
Shihram eine Belohnung
wünschen.
1. Folgen und Reihen
1.1. Eigenschaften und
Beispiele
1.2. Konvergenz und
Grenzwert
Sein Wunsch: So viele
Weizenkörner, wie man auf
ein Schachbrett legen kann,
wenn
1.3. Reihen
2. Komplexe Zahlen
3. Reelle Funktionen
4. Differenzieren 1
5. Differenzieren 2
1 . Feld :
2 . Feld :
3 . Feld :
4 . Feld :
n. Feld
:
a0
a1
a2
a3
=1
=2
=4
=8
..
.
an−1 = 2 · an−2
Korn
Körner
Körner
Körner
6. Integration
7. Zinsen
8. Renten und Tilgung
9. Kursrechnung
10. Lineare Algebra
11. Lineare
Programme
Körner
11
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Stefan Etschberger
Konvergenz und Grenzwert
Fragen: Bleiben Folgenglieder ab einem gewissen n in einen
kleinen Bereich um einen festen Wert?
1.2. Konvergenz und
Grenzwert
Definition:
1.3. Reihen
a ∈ R heißt Grenzwert oder Limes von (an )
∀ > 0 ∃ n() mit
1. Folgen und Reihen
1.1. Eigenschaften und
Beispiele
Und: Kann man diesen Bereich beliebig verkleinern?
⇔
|an − a| < ∀ n > n()
2. Komplexe Zahlen
3. Reelle Funktionen
4. Differenzieren 1
5. Differenzieren 2
6. Integration
Schreibweise für Grenzwert: lim an = a
n→∞
Existiert dieser Grenzwert, heißt die Folge konvergent
7. Zinsen
8. Renten und Tilgung
9. Kursrechnung
Ist der Grenzwert a = 0, heißt die Folge Nullfolge
10. Lineare Algebra
Existiert kein Grenzwert, heißt die Folge divergent
11. Lineare
Programme
12
Mathematik 2
Stefan Etschberger
Beispiel zur Definition des Grenzwerts
Gegeben: an =
n
n+1
Vermutung: lim an = a = 1
n→∞
1. Folgen und Reihen
Beweis: Wenn a = 1, dann folgt
⇔
⇔
⇔
1.1. Eigenschaften und
Beispiele
n
|an − a| = n+1
− 1 < n−n−1 = 1 <
n+1
n+1
1
<n+1
1
−1<n
1
−1=
1.3. Reihen
2. Komplexe Zahlen
3. Reelle Funktionen
4. Differenzieren 1
5. Differenzieren 2
6. Integration
7. Zinsen
Also: Für jedes findet man ein n(), so dass die
Grenzwertbedingung stimmt
Zum Beispiel: Wähle
= 0,01 ⇒ n >
1.2. Konvergenz und
Grenzwert
1
0,01
8. Renten und Tilgung
9. Kursrechnung
10. Lineare Algebra
11. Lineare
Programme
− 1 = 100 − 1 = 99
13
Mathematik 2
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Rechenregeln für Grenzwerte
Gegeben:
1. Folgen und Reihen
lim (an ) = a
n→∞
kurz: (an ) → a
und lim (bn ) = b
1.1. Eigenschaften und
Beispiele
n→∞
und
1.2. Konvergenz und
Grenzwert
(bn ) → b
1.3. Reihen
2. Komplexe Zahlen
3. Reelle Funktionen
Dann gilt:
4. Differenzieren 1
5. Differenzieren 2
(an + bn ) → a + b
(an − bn ) → a − b
(an · bn ) → a · b
an
bn
6. Integration
→
a
b
(b 6= 0)
(acn ) → ac
(an > 0, a > 0, c ∈ R)
(can ) → ca (c > 0)
7. Zinsen
8. Renten und Tilgung
9. Kursrechnung
10. Lineare Algebra
11. Lineare
Programme
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Mathematik 2
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Definition der Reihe
Gegeben: (an ) unendliche Folge in R
Dann heißt (sn ) mit
sn = a0 + a1 + . . . + an =
n
X
ai
n ∈ N0
1. Folgen und Reihen
1.1. Eigenschaften und
Beispiele
i=0
1.2. Konvergenz und
Grenzwert
eine unendliche Reihe.
1.3. Reihen
2. Komplexe Zahlen
sn heißt n-te Partialsumme
3. Reelle Funktionen
Klar ist: Reihen sind spezielle Folgen
4. Differenzieren 1
5. Differenzieren 2
Beispiel:
6. Integration
(an ) geometrische Folge → (sn ) geometrische Reihe
sn =
n
X
ai ;
mit
i=0
7. Zinsen
an+1
=q
an
8. Renten und Tilgung
9. Kursrechnung
10. Lineare Algebra
Offensichtlich gilt: an = an−1 q = an−2 q2 = . . . = a0 qn
⇒ sn =
n
X
i=0
a0 qi = a0 (1 + q + q2 + . . . + qn ) = a0
11. Lineare
Programme
1 − qn+1
1−q
15
Geometrische Reihe: Beispiel Schachspiel
Mathematik 2
Stefan Etschberger
Summe aller Körner auf Schachbrett:
sn =
63
X
i=0
1. Folgen und Reihen
1 − q64
1 − 264
ai = a0
=1·
≈ 1,84467 · 1019
1−q
1−2
1.1. Eigenschaften und
Beispiele
1.2. Konvergenz und
Grenzwert
1.3. Reihen
2. Komplexe Zahlen
3. Reelle Funktionen
4. Differenzieren 1
5. Differenzieren 2
6. Integration
7. Zinsen
8. Renten und Tilgung
9. Kursrechnung
10. Lineare Algebra
11. Lineare
Programme
16
Mathematik 2
Stefan Etschberger
Geometrische Reihe: Beispiel Schachspiel
Summe aller Körner auf Schachbrett:
sn =
63
X
i=0
1. Folgen und Reihen
1 − q64
1 − 264
ai = a0
=1·
≈ 1,84467 · 1019
1−q
1−2
1.1. Eigenschaften und
Beispiele
1.2. Konvergenz und
Grenzwert
1.3. Reihen
2. Komplexe Zahlen
Das bedeutet:
3. Reelle Funktionen
4. Differenzieren 1
∧
100 Körner = 1 g Weizen
∧
17
−→ 1,8 · 10 g
−→ 1,8 · 1014 kg
−→ 1,8 · 1011 t = 180 Mrd. t
5. Differenzieren 2
6. Integration
7. Zinsen
8. Renten und Tilgung
9. Kursrechnung
1 Güterwagon = 50 t Weizen −→ 3,6 Mrd. Güterwagons
−→ 36 Mrd. m langer Eisenbahnzug 10. Lineare Algebra
11. Lineare
−→ 36 Mill. km
Programme
−→
100-fache Entfernung zwischen Erde und Mond
16
Mathematik 2
Stefan Etschberger
Konvergenzkriterien für Reihen
Gegeben: ai Folge,
sn =
n
X
ai
i=1
Divergenzkriterium
Ist sn konvergent
⇒
ai ist Nullfolge
1. Folgen und Reihen
Also äquivalent dazu:
1.1. Eigenschaften und
Beispiele
⇒
ai ist keine Nullfolge
1.2. Konvergenz und
Grenzwert
sn divergent
1.3. Reihen
Quotientenkriterium
2. Komplexe Zahlen
3. Reelle Funktionen
ak+1 <1
lim k→∞
ak ak+1 >1
lim k→∞
ak ⇒
4. Differenzieren 1
sn konvergent
5. Differenzieren 2
⇒
6. Integration
sn divergent
7. Zinsen
8. Renten und Tilgung
a
Bemerkung: Für lim k+1
= 1 ist im Allgemeinen keine Aussage möglich
a
9. Kursrechnung
Spezialfall geometrische Reihe:
11. Lineare
Programme
k→∞
⇒
ak+1
=q
ak
⇒
k
ak+1 =q
lim k→∞
a
k
⇒
q<1
q≥1
⇒
⇒
10. Lineare Algebra
sn konvergent
sn divergent
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