Übung aet 2-1
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aet/nik Übung aet 2-1 1 Übung aet 2-1 1. Zwei Widerstände R1 und R2 ergeben in Serie geschaltet Rs, parallel geschaltet Rp. Berechnen Sie R1 und R2 allgemein und numerisch für Rs = 300 Ω und Rp = 72 Ω. ________________________________________________________________________________ 2. Ein temperaturabhängiger Widerstand R1⋅(1+α1⋅∆T) soll mit einem zweiten, in Serie geschalteten Widerstand R2⋅(1+α2⋅∆T) so kompensiert werden, dass der Gesamtwiderstand temperaturunabhängig wird. - Berechnen Sie α2 allgemein - Berechnen Sie α2 numerisch für R1 = 10 kΩ, α1 = 4⋅10-3 K-1, R2 = 39 kΩ. ________________________________________________________________________________ 3. Folgendes 3-Leitersystem wird so belastet, dass die Ströme I1 = 100 A und I2 = 10 A fliessen. Die Quellenspannungen betragen: U01 = U02 = 120 V 0.03 Ω U01 I1 U1 0.06 Ω - Berechnen Sie die Spannungen U1 und U2. Last U02 U2 0.03 Ω - Wie gross ist die „verbrauchte Leistung“ in der Last? I2 ________________________________________________________________________________ 4. Drei Punkte im Raum mit den folgenden Potentialen sind gegeben: A V(A) = 0 V V(B) = 120 V V(C) = 80 V B q q = 15 pC C Eine Ladung q wird von A über B nach C transportiert. - Welche Energie W wird dafür benötigt? - Welche Leistung wird umgesetzt, wenn der Vorgang ∆t = 10 ns dauert? ________________________________________________________________________________ 5. B 3R Uq Uq Uq A 2R 6R Jede Quellenspannung beträgt Uq R Uq - Wie gross ist die Spannung UAB zwischen den Punkten A und B? aet/nik 6. Übung aet 2-1 2 Durch einen Widerstand R fliesst in der Zeit t = 15 min die Ladung Q = 135 As. Dabei wird die Energie W = 2450 Ws in Wärme umgesetzt. - Welchen Widerstandswert (in Ohm) weist dieser Widerstand auf? ________________________________________________________________________________ 7. In der skizzierten Schaltung sind die Quellenspannungen und die Widerstandswerte gegeben. 180 Ω a b c 360 Ω d 10 V I1 18 V 320 Ω 240 Ω f I2 e - Gesucht sind die Ströme I1 und I2 sowie die Potentiale der eingezeichneten Knoten a bis f. ________________________________________________________________________________ 8. Gegeben sind die Ströme IA, IB und die Widerstände: IC I1 R3 R1 I3 R2 IA I2 IB - Berechnen Sie die Ströme I1, I2, I3 und IC. IA = 10 A, IB = 4 A R1 = 10 Ω, R2 = 15 Ω R3 = 20 Ω aet/nik Übung aet 2-2 1 Übung aet 2-2 1. Für die skizzierten Schaltungen sind die Ersatzquellen nach Thevenin und Norton zu bestimmen (Uqe, Iqe und Rqe). (Alle Widerstandswerte in Ω) 2 1 1 6 50 V 12 A 5A 3 24 V 8 70 17 1' 1' 1 -11 A 5 1 5 8 20 V 104 V 13 A 3 12 V 2 8 37.5 V 5 1' 1' ________________________________________________________________________________ 2. Gesucht ist die einfachste Ersatzschaltung bezüglich der Klemmen A-B: A U1 R1 I1 U1 R1 U1 R2 R1 I2 R2 I2 U1 R1 R1 U1 I2 I2 B ________________________________________________________________________________ 3. Gegeben: IA = 10 A, IB = 2 A, R3 IB I1 I2 R1 = 3 Ω, R2 = 6 Ω, R3 = 5 Ω, U1 = 6 V, U2 = 4 V, U3 = 2 V, U1 U2 IA R1 U3 R2 Gesucht: IC I1, I2, I3 und IC I3 ________________________________________________________________________________ 4. Bestimmen Sie die Ersatzwerte Uqe und Rqe bezüglich der Klemmen 1-1´. 10 Ω 30 Ω 40 Ω 1 I1 20 Ω 50 Ω U1 = 20 V I1 = 11 A U1 60 Ω 1' aet/nik Übung aet 2-3 1 Übung aet 2-3 1. Eine lineare Quelle wurde in zwei Punkten gemessen: Ia1 = 22.4A, U a1 = 33.66V I a2 = 58.2A U a2 = 10.75V - Für diese Quelle bestimme man die Ersatzschaltung nach Thevenin. - Man zeichne die Quellenkennlinie und trage die Arbeitspunkte für RL = 0.96 Ω und RL = 2.36 Ω ein. - Geben Sie die verfügbare Quellenleistung PAV der Quelle an. ________________________________________________________________________________ 2. In der skizzierten Schaltung speisen zwei Gleichspannungsquellen einen Verbraucher. Der Lastwiderstand RL sei variabel. R1 = 2 Ω I1 R2 = 1 Ω I2 IL Uq1 = 24 V RL UL Uq2 = 21 V - Wie gross sind I1 und I2 für IL = 0, 0.6, 1.2, 2.4, 3.0, 6.0, 9.0, 12.0 A ? - Berechnen Sie für obige Fälle auch UL und PL. ________________________________________________________________________________ 3. Zwei Norton-Quellen werden in Serie und parallel geschaltet (siehe Figur). Geben Sie von beiden Anordnungen jeweils die Thevenin- und Norton-Ersatzschaltung an. I1 R1 I1 R1 I2 R2 I2 R2 ________________________________________________________________________________ 4. Eine Quelle mit Rq = 600 Ω hat eine verfügbare Leistung von PAV = 1 W. Ein angeschlossener Lastwiderstand RL nimmt PL = 0.1 W auf. - Berechnen Sie den Lastwiderstand (Resultat allgemein und numerisch). ________________________________________________________________________________ 5. Durch eine Quelle fliesst bei der Klemmenspannung 16.5 V ein Strom von 2.5 A. Bei Kurzschluss fliessen 25 A. Wie gross sind Quellenspannung und innerer Widerstand? aet/nik Übung aet 2-4 1 Übung aet 2-4 1. Welchen Wert muss der Widerstand R haben, damit die Ausgangsspannung U2 ein Fünftel der Eingangsspannung U1 beträgt? 3Ω 4Ω 6Ω U1 R U2 ________________________________________________________________________________ 2. Jeder Widerstand beträgt R = 2 Ω. RAB = ? C RAC = ? B A ________________________________________________________________________________ 3. Eine Quelle mit Innenwiderstand Ri = 2 Ω soll mit einem Widerstand RB belastet werden. Wie gross muss RB mindestens sein, damit sich die Klemmenspannung beim Anschliessen von RB höchstens um 0.1% ändert? ________________________________________________________________________________ 4. Ein Element E (2-Pol) hat die skizzierte U/I-Kennlinie. i [mA] - Man bestimme den Gleichstromwiderstand RDC und den Kleinsignalwiderstand r im Punkt P - Schalten Sie einen Widerstand von 1 kΩ in Serie zu E und konstruieren Sie die resultierende Kennlinie. 3 P 2 1 -3 -2 -1 0 0 1 u [V] 2 - Schalten Sie einen Widerstand von 1 kΩ parallel zu E und konstruieren Sie die resultierende Kennlinie. ________________________________________________________________________________ 5. I R2 Die Quellen und Widerstände sind gegeben. - Berechnen Sie I1 und I2 I2 I1 U1 R1 U2 get/nik Übung aet 2-4 2 6. A Die Schaltung besteht aus ∞-vielen Einzelquellen. R - Geben Sie das Ersatznetzwerk bezüglich der Klemmen A-B an. 2R U 4R U 8R U U B ________________________________________________________________________________ 7. Die Quellen und Widerstände sind gegeben. I3 R1 - Berechnen Sie den Strom I allgemein (Quellenumwandlung oder Superposition) R2 R3 U1 U2 I ________________________________________________________________________________ 8. Bestimmen Sie für das skizzierte Netzwerk das Thevenin-Ersatzschaltbild bezüglich der Klemmen 1-1´. Widerstände in Spannungen in Ströme in 20 10 1' 40 5 Ω V A 30 1 10 5 20 1 10 ________________________________________________________________________________ 9. Bestimmen Sie für das skizzierte Netzwerk das Thevenin-Ersatzschaltbild bezüglich der Klemmen 1-1´. Widerstände in Spannungen in Ströme in Ω V A 10 2 20 1 −2 40 10 20 10 50 1' aet/nik Übung aet 2-5 1 Übung aet 2-5 1. Berechnen Sie im skizzierten Netzwerk die Maschenströme und auch die Spannung U5. 2. Berechnen Sie im skizzierten Netzwerk die Maschenströme. Lösen Sie die Aufgabe zusätzlich mit dem Knotenpotentialverfahren. b 50 V 10 alle Widerstände in Ohm 100 a 10 V 200 150 200 50 c 200 U5 200 400 500 d 50 alle Widerstände in Ohm 4.8 V ________________________________________________________________________________ 3. Berechnen Sie den Strom I6 sowohl mit dem Maschenstromverfahren als auch mit dem Knotenpotentialverfahren. 4. Im folgenden Netzwerk sind die Ströme I1 bis I4 numerisch zu berechnen. 5 2A 2A 10 V 1 10 A 2Ω 3 6 I6 1Ω 20 V 2Ω I1 5Ω 5A 2 10 Ω 5 Ω 4 I2 I3 2Ω I4 alle Widerstände in Ohm ________________________________________________________________________________ 5. Im folgenden Netzwerk sind die Ströme I1 bis I5 numerisch zu berechnen. 15 V 10 Ω I1 15 V 30 Ω 20 Ω 20 Ω 25 Ω I5 I3 I2 10 V 30 Ω 3A 5Ω 15 Ω I4 aet/nik Übung aet 3-1 1 Übung aet 3-1 1. Die skizzierte Spannung liegt an der Parallelschaltung von Kondensator und Widerstand. i(t) u(t) 20 V 100 Ω u(t) 0 10 100 nF t [µ s] 20 - Skizzieren Sie den Strom i(t). (Tragen Sie markante Punkte in die Skizzen ein) - Skizzieren Sie die Leistung p(t) = u(t)⋅i(t). ________________________________________________________________________________ 2. Der skizzierte Strom fliesst durch die Serieschaltung von Kondensator und Widerstand. i(t) 0.1 A R=500Ω C=10µ F 20 40 t [ms] i(t) u(t) − 0.1 A - Skizzieren Sie die Spannung u(t). (Tragen Sie markante Punkte in die Skizzen ein) - Skizzieren Sie die Leistung p(t) = u(t)⋅i(t). ________________________________________________________________________________ 3. Berechnen Sie von folgender Spannung den linearen Mittelwert, den Betragsmittelwert und den Effektivwert. u(t) U1 − U1 T/2 T 4. Berechnen Sie vom skizzierten Strom den Effektivwert. (Resultat auch allgemein) i(t) I0 = 5 A t Ipp = 2 A t ________________________________________________________________________________ 5. Folgender Strom fliesst durch die Serieschaltung von Spule und Widerstand (L = 16 mH, R = 2.5 Ω): i(t)=A+B⋅cos(ωt), A = 5 A, B = 10A, ω = 2π⋅50 s–1 - Berechnen Sie die mittlere Leistung P, die vom Netzwerk aufgenommen wird. - Berechnen Sie numerisch den Maximalwert der Spannung über dem Netzwerk. aet/nik Übung aet 3-2 1 Übung aet 3-2 1. Ein rechteckförmiger Spannungsimpuls wird an ein RC-Glied angelegt: C uq(t) uq(t) R C = 10 nF R = 1 kΩ uR(t) Û = 10 V 0 t 20 µ s - Berechnen Sie die Spannung uR(t) für die beiden Zeitabschnitte 0...20µs und 20µs...∞ - Skizzieren Sie den Verlauf von uR(t) und tragen Sie markante Punkte numerisch ein ________________________________________________________________________________ 2. Bei folgendem Netzwerk wird der Schalter S zum Zeitpunkt t = 0 geöffnet: iL(t) I1 = − 4 A S R R = 100 Ω L = 50 mH L Anfangsbedingung: iL(t≤ ≤ 0) = I0 = 2A t=0 - Berechnen Sie den Strom iL(t) und skizzieren Sie den zeitlichen Verlauf - Zu welchem Zeitpunkt t = tx wird der Strom iL(tx) = 0 ? ________________________________________________________________________________ 3. Der Strom iq(t) wird zum Zeitpunkt t = 0 eingeschaltet: iq(t) iq(t) Î=2A 0 10 ms R1 L iR1(t) t R2 R1 = 100 Ω R2 = 33 Ω L = 100 mH - Bestimmen Sie den Strom iR1(t) für die beiden Zeitabschnitte 0...10ms und 10ms...∞ - Skizzieren Sie den Verlauf von iR1(t) und tragen Sie markante Punkte ein ________________________________________________________________________________ 4. Der Schalter wird zum Zeitpunkt t = 0 geschlossen. Der Kondensator trägt eine Anfangsladung von Q0. U1 R C − + U1 = 50 V R = 1000 Ω C = 20 µ F q(0) = Q0 = 500 µ C - Berechnen Sie die Kondensatorladung q(t) (Skizze) - Wie sieht q(t) aus, wenn bei Q0 das Vorzeichen ändert? aet/nik 5. Übung aet 3-2 2 Der Strom iq(t) wird zum Zeitpunkt t = 0 eingeschaltet: iq(t) L = 100 mH 1A 0 iq(t) 50 100 R=5Ω t [ms] iL(t) − 1A - Berechnen Sie den Strom iL(t) im Bereich 0...200 ms - Skizzieren Sie den Verlauf und tragen Sie markante Punkte numerisch ein ________________________________________________________________________________ 6. Der Schalter S wird zum Zeitpunkt t = 0 in Stellung „1“ gebracht. Der Kondensator ist zu dieser Zeit nicht geladen. Nach 250 µs wird der Schalter auf Stellung „2“ umgelegt und dort belassen. R= 500Ω 1 2 i(t) R= 500Ω 20 V C = 0.5 µ F 50 V - Skizzieren Sie den Strom i(t) und tragen Sie markante Punkte numerisch ein aet/nik Übung aet 3-3 1 Übung aet 3-3 1. Die Quellenspannung uQ(t) ist gegeben (siehe Graphik): uQ(t) i(t) 4V 3V uQ(t) C R 0 60 100 t [µ s] 170 C = 2 µF R = 10 Ω - Berechnen Sie den Strom i(t) und machen Sie eine Skizze - Skizzieren Sie ebenfalls die von der Quelle abgegebene Leistung p(t) (Tragen Sie markante Punkte in beide Figuren ein) ________________________________________________________________________________ 2. Eine trapezförmige (periodische) Spannung ist mit folgender Skizze gegeben: u(t) 300 V T/6 T/6 T/6 t [ms] 0 20 ms − 300 V - Berechnen Sie den Effektivwert der Spannung u(t) - Die Spannung wird an einen Widerstand mit R = 66 Ω angeschlossen. Berechnen und skizzieren Sie die Verläufe von i(t) und p(t). Wie gross ist die mittlere Leistung P = p( t ) ? - Die Spannung u(t) wird nun an einen Kondensator mit C = 48.2 µF angeschlossen. Berechnen und skizzieren Sie die Verläufe von i(t) und p(t). Wie gross ist jetzt die mittlere Leistung P = p( t ) ? Berechnen Sie auch den Effektivwert des Stromes. ________________________________________________________________________________ 3. Ein Strom i(t) ist mit der (unendlichen) Reihe gegeben: i (t ) = 4 I ∞ sin(nω 0 t ) ⋅ å n π n=1,3,5 = 4 I é sin(ω 0 t ) sin( 3ω 0 t ) sin(5ω 0 t ) sin(7ω 0 t ) ù ⋅ê + + + + ....ú 3 5 7 π ë 1 û - Berechnen Sie den Effektivwert des Stromes aet/nik Übung aet 4-1: Zeitfunktion und Zeiger 1 Übung aet 4-1: Zeitfunktion und Zeiger 1. Man bestimme für folgende Zeitfunktionen den entsprechenden Zeiger, man gebe jeweils die Rechteckform und die Polarform an. 1.1 i = 35 ⋅ cos(ω t ) A 1.4 u = A ⋅ cos(ω t ) + B ⋅ sin(ω t ) 1.2 u = 25 ⋅ sin(ω t + π 6) V 1.5 i = I ⋅ 2 ⋅ cos(ω t + ϕ ) 1.3 i = 15 ⋅ cos(ω t ) + 15 ⋅ sin(ω t ) A 1.6 i = 15 ⋅ cos(ω t + 1) + 28 ⋅ sin(ω t + π 6) + 15 2 ⋅ cos(ω t − 1.7 φ = 18 ⋅ cos(ω t ) + 18 ⋅ sin(ω t + 17°⋅ 1.8 u = 311⋅ cos(ω t ) + 311⋅ sin(ω t ) + 100 ⋅ sin(ω t ) V 1.9 u1 = 5 ⋅ cos(ω t ) V, 2π ) A 3 π ) + 18 ⋅ sin(ω t ) Vs 180° u2 = 10 ⋅ sin(ω t ) V, u3 = u1 + u2 ________________________________________________________________________________ 2. Man bestimme für folgende Zeiger die entsprechende Zeitfunktion, die Kreisfrequenz sei ω. 2.1 I = 20 A / 17° 2.6 U = U ⋅ exp( jϕ ) 2.2 U = 5 V ⋅ e j1 2.7 U = U 1 + jU 2 2.3 φ = 178 + j 218 Vs 2.8 I = 111 + 117 j + 100 / −45° 2.4 U = 18 + j17 + 1 V 2.9 S = e j ( A+ B ) 2.5 U = 5V ⋅ e jϕ 2.10 E = 128 ⋅ exp( j − 5π j ) 2.11 I 1 = 28 A / 45°, π I 2 = 15 A ⋅ exp( j ), 4 I3 = I1 + I2 aet/nik Übung aet 4-1: Zeitfunktion und Zeiger 2 Lösungen zur Übung get 4-1: 1.1 I = 24.75 A = 24.75 A / 0 1.2 U = (8.84 − 15.31 j ) V = 17.68 V / − π 3 1.3 I = (10.61 − 10.61 j ) A = 15 A / − π 4 1 1 ⋅ A 2 + B 2 ⋅ ( cos(ϕ ) + j sin(ϕ )) = ⋅ A2 + B 2 / ϕ 2 2 ϕ = arctan( − B / A), A > 0 ϕ = arctan( − B / A) − π , A < 0 U= 1.4 1.5 I = I ⋅ ( cos(ϕ ) + j sin(ϕ )) = I / ϕ 1.6 I = (813 . − 2121 . j ) A = 22.72 A / −120 . 1.7 φ = (16.45 − 24.90 j ) Vs = 29.84 Vs / −0.99 1.8 U = ( 219.91 − 290.62 j ) V = 364.45 V / −0.92 1.9 U 3 = ( 354 . − 7.07 j ) V = 7.91 V / −111 . ________________________________________________________________________________ 17 ⋅π ) A 180 2.1 i = 20 2 ⋅ cos(ω t + 2.2 u = 5 2 ⋅ cos(ω t + 1) V 2.3 φ = 398 ⋅ cos(ω t + 0.886) Vs 2.4 u = 36.06 ⋅ cos(ω t + 0.730) V 2.5 u = 5 2 ⋅ cos(ω t + ϕ ) V 2.6 u = U 2 ⋅ cos(ω t + ϕ ) V 2.7 u = 2 ⋅ U 12 + U 2 2 ⋅ cos(ω t + ϕ ), ϕ = arctan(U 2 / U 1 ), U1 > 0 ϕ = arctan(U 2 / U 1 ) + π , U 1 < 0 2.8 i = 26519 . ⋅ cos(ω t + 0.249) A 2.9 s = 2 ⋅ cos(ω t + A + B) 2.10 e = 128 2 ⋅ cos(ω t + 1 − π ) 2.11 i3 = 60.811⋅ cos(ω t + π 4) A aet/nik Übung aet 4-2: Impedanz- und Admittanz-Funktionen 1 Übung aet 4-2: Impedanz- und Admittanz-Funktionen 1.1 Bestimmen Sie von folgenden einfachen Netzwerken die Impedanz Z(ω ) und die Admittanz Y(ω ) . R L C R L R L L C R L C C C R 1.2 L C R Geben Sie auch die Funktionen Z(s) und Y(s) an, indem Sie s = jω setzen. ________________________________________________________________________________ 2.1 Bestimmen Sie von den folgenden Netzwerken die Impedanz Z(ω ) und Admittanz Y(ω ) . a + jb Bringen Sie die Resultate auf die Form Z , Y = c + jd L R1 R2 2.2 R1 C R2 Geben Sie für beide Netzwerke auch die Funktionen Z(s) und Y(s) an (rational gebrochene Funktionen). aet/nik Übung aet 4-3 1 Übung aet 4-3 1. An einer unbekannten Impedanz werden bei zwei verschiedenen Frequenzen folgende Werte gemessen: f1 = 2 KHz: I = 3mA, U = 7.95 V f2 = 4.267 KHz: I = 3mA, U = 15 V a) Handelt es sich um einen ohm’sch-kapazitiven Verbraucher? b) Können Sie feststellen, ob es sich um eine Serie- oder Parallelschaltung handelt? c) mit welcher weiterer Messung könnte Frage b) geklärt werden? d) Treffen Sie eine Annahme über die Netzwerkstruktur und bestimmen Sie die Elemente ________________________________________________________________________________ 2. In der skizzierten Schaltung sind alle Netzwerkelemente zu bestimmen. Dazu stehen folgende Messungen zur Verfügung: I U a) Bei Gleichspannung U = 24 V fliesst I = 9.6 A Rp Rs b) Bei Wechselspannung U = 220 V und f = 60 Hz werden I = 22.36 A, P = 3864 W und U2 = 125 V angezeigt U2 Lp Ls ________________________________________________________________________________ 3. Eine Spannung setzt sich aus folgenden vier Summanden zusammen: u(t ) = 25 + 15 ⋅ cos(ω 1 t + 1) + 10 ⋅ cos(ω 2 t + 2) + 12 ⋅ cos(ω 2 t + 3), ω 1 ≠ ω 2 - Berechnen Sie den Effektivwert dieser Spannung ________________________________________________________________________________ 4. R1 = 1 kΩ - Berechnen Sie allgemein U2/U1 R2 = 1 kΩ U1 L = 100 mH U2 - Skizzieren Sie den Amplituden- und Phasengang (asymptotisches Verhalten, extreme Werte) ________________________________________________________________________________ 5. In der skizzierten Schaltung variieren die drei Lastimpedanzen unabhängig voneinander: U 12 = U 23 = U 31 = 500 V 1 PWI 2 3 PWII Z1 Z2 Z3 Z 1 = 100 Ω ± 20% Z 2 = (100 Ω ± 20%) + j ⋅ (80 Ω ± 30%) Z 3 = (20 Ω ± 20%) + j ⋅ (150 Ω ± 30%) - Mit welcher maximalen Wirkleistung (total) ist in der Last zu rechnen? - Was würden in diesem Fall die beiden Wattmeter PWI und PWII anzeigen? aet/nik Übung aet 4-4 1 Übung aet 4-4 Ein Ingenieur misst mit einem Impedanzmeter (Netzwerkanalysator) die Ortskurve einer unbekannten Impedanz (siehe Seite 2). In der Umgebung jeder Resonanzfrequenz ( Im(Z) = 0 ) tabelliert er die gemessenen Werte mit kleinem Frequenzschritt (siehe untenstehende Tabelle). f [MHz] Z [ Ω] ϕ Z [° ] 0.15500 0.15600 0.15700 0.15800 0.15900 0.16000 0.16100 0.16200 0.16300 0.16400 0.16500 . . 0.22000 0.22100 0.22200 0.22300 0.22400 0.22500 0.22600 0.22700 0.22800 0.22900 0.23000 . . 0.31500 0.31600 0.31700 0.31800 0.31900 0.32000 0.32100 0.32200 0.32300 0.32400 0.32500 1828 2293 3011 4082 4986 4390 3227 2399 1869 1516 1268 . . 23.935 20.901 18.216 16.029 14.543 13.963 14.382 15.710 17.737 20.252 23.096 . . 1821 1903 1964 1998 2000 1972 1918 1845 1761 1671 1580 69.941 64.135 54.439 36.795 6.321 -27.115 -48.235 -59.707 -66.384 -70.635 -73.543 . . -56.187 -50.068 -42.053 -31.625 -18.583 -3.639 11.406 24.682 35.361 43.585 49.861 . . 20.710 14.284 7.430 0.317 -6.845 -13.833 -20.458 -26.585 -32.145 -37.122 -41.539 Bestimmen Sie die unbekannte Impedanz (Netzwerkstruktur und num. Werte der Elemente) aet/nik Übung aet 5-1: Entwicklung einer Funktion mit einer orthonormierten Basis (Legendre-Polynome) 1 Übung aet 5-1: Entwicklung einer Funktion mit einer orthonormierten Basis (Legendre-Polynome) Dem Ingenieur, Physiker oder Mathematiker stehen viele verschiedene orthogonale Funktionensysteme zur Verfügung, die als Basisfunktionen („Basisvektoren“) zur Darstellung in einem „anderen Koordinatensystem“ dienen (wo dann die Behandlung einfacher ist). In dieser Übung soll im Intervall [-1..1] eine Kosinusfunktion mit Legendre-Polynomen als Basisfunktionen dargestellt werden. Da orthogonale Funktionen „senkrecht“ aufeinander stehen, wird die Berechnung der Koeffizienten einfach, man „projiziert“ die Funktion auf die Basisfunktionen (Skalarprodukt) und bestimmt so für jede „Koordinatenrichtung“ die zugehörige „Komponente“. 1. FG π ⋅ xIJ − 1 H2 K Die Funktion f 1 ( x ) = 2 ⋅ cos ist im Intervall −1 ≤ x ≤ 1 gegeben. Skizzieren Sie die Funktion 2. Die Funktion f1(x) soll mit Hilfe der Legendre-Polynome Pi(x) wie folgt dargestellt werden: f 1 ( x ) = a0 ⋅ P0 ( x ) + a1 ⋅ P1 ( x ) + a2 ⋅ P2 ( x ) + a3 ⋅ P3 ( x ) + .... mit Pi(x): Legendre-Polynome ai: zu bestimmende Koeffizienten 3. Skizzieren Sie die ersten fünf Legendre-Polynome im Intervall −1 ≤ x ≤ 1 4. Bestimmen Sie (durch numerische Integration) die ersten vier Koeffizienten a0 ... a4 5. Zeigen Sie (mit Matlab-Plots), wie die Approximation mit zunehmender Ordnung besser wird. Skizzieren Sie auch die Differenz (Fehler) zwischen f1 und der Approximation. aet/nik Übung aet 5-2: Zeigerrechnung für mehrwellige Zeitfunktionen 1 Übung aet 5-2: Zeigerrechnung für mehrwellige Zeitfunktionen Eine periodische Rechteckspannung wird an ein (Doppel-) RC-Glied als Tiefpassfilter (Glättung) angelegt. Mit Hilfe der Fourierreihe und der Zeigerrechnung soll die Ausgangsspannung (im Zeitbereich) bestimmt werden. Die Filterwirkung des RC-Gliedes (Restwelligkeit der Ausgangsspannung) ist in Abhängigkeit der Zeitkonstanten zu untersuchen. Die Eingangsspannung u1(t) ist gegeben: u1(t) Û 0 T/2 T t Û = 10 V T = 10 µ s Diese Spannung wird mit einem RC-Glied gefiltert (geglättet): R u1(t) C R C u2(t) τ = RC 1. Machen Sie (Matlab-) Plots für die beiden Fälle: τ1 = 0.5 µs und τ2 = 1.6 µs 2. Geben Sie für beide Fälle die Restwelligkeit Fu I GH u JK 2 pp 2 3. an. dB Machen Sie eine Graphik, die diese Restwelligkeit im Bereich 0 ≤ τ ≤ 1 ms darstellt.
