Zeitschrift für Naturforschung / A / 12 (1957) - ZfN - Max

Ein verallgemeinertes Variationsverfahren zur Behandlung
der Transportvorgänge in Metallen u n d Halbleitern
V o n DIETER DORN
Aus dem Institut für Theoretische Physik der Technischen Hochschule Braunschweig
(Z. Naturforschg. 12 a, 739—749 [1957] ; eingegangen am 26. Juni 1957)
Ausgehend von den BoLTZMANN-Gleichungen für das Elektronen- und Phononengas wird gezeigt,
daß die Entropievermehrung je sec und cm3 durch Wechselwirkungsprozesse bei den Transportvorgängen unter gewissen Nebenbedingungen extremal wird. Dieses Prinzip der extremalen Entropievermehrung kann dazu benutzt werden, um Näherungswerte für die elektrischen und thermischen
Transportgrößen zu beredinen. Außerdem ergeben sich ganz allgemein die KELvix-Beziehungen der
Thermoelektrizität. Die Gleichungen werden auf den Fall des isotropen Halbleitermodells mit Einbandleitung spezialisiert. Hierbei zeigt sich bei der Ermittlung der Wechselwirkungsintegrale unter
Berücksichtigung des Energie- und Impulssatzes, daß die DEBYEsche Temperatur bei allen Transportgrößen des Elektronengases nur noch eine untergeordnete Rolle spielt. Die elektrische und thermische
Leitfähigkeit sowie die Thermokraft werden in einem vereinfachten Beispiel in den beiden ersten
Näherungen nach dem Variationsverfahren berechnet.
D i e B e s t i m m u n g der elektrischen u n d thermischen
Transportgrößen
ist eines der H a u p t p r o b l e m e
der
sich, d a ß aufeinanderfolgende N ä h e r u n g e n stets i m
selben S i n n e gegen einen Grenzwert streben, der die
Metall- u n d Halbleitertheorie. F ü r die Verteilungs-
exakte L ö s u n g
funktionen
Je nach W a h l
der Elektronen
und
Phononen
können
der BoLTZMANN-Gleichung
der N e b e n b e d i n g u n g e n
darstellt.
kann
dieser
zwei m i t e i n a n d e r gekoppelte BoLTZMANN-Gleichungen
Grenzwert ein Maximal- oder M i n i m a l w e r t für die
aufgestellt werden, deren L ö s u n g bisher n u r in den
gesuchte F u n k t i o n sein. Der Ü b e r g a n g zu
einfachsten Grenzfällen möglich war. Versuche die-
N ä h e r u n g e n bringt keinerlei mathematische Schwie-
ser A r t f ü r Halbleiter, die u. a. von TER HAAR u n d
NEAVES
1
u n t e r n o m m e n w u r d e n , mußten aus mathe-
rigkeiten
mit
sich,
sondern
erhöht
höheren
lediglich
den
algebraischen A u f w a n d .
matischen G r ü n d e n a u f N ä h e r u n g e n beschränkt blei-
Es liegt n u n der W u n s c h nach einem allgemeine-
ben, deren Gültigkeitsgrenzen teilweise n u r schwer
ren V a r i a t i o n s p r i n z i p n a h e , das in analoger Weise
festzulegen sind. D i e benutzten Vereinfachungen be-
wie oben eine B e s t i m m u n g der Transportgrößen bei
r u h e n i m wesentlichen a u f der A n n a h m e , daß die
gleichzeitiger
A b w e i d l u n g e n , der Gitterwellen u n d Elektronen vom
der
thermischen Gleichgewicht voneinander
Gleichgewicht ermöglicht. I n der Tat erlauben
unabhängig
sind. A u f diese W e i s e werden natürlich
Uberlage-
Berücksichtigung
Elektronen
und
Symmetrieeigenschaften
rungseffekte von Elektronen- u n d Phononentransport
SONDHEIMER3)
nicht erfaßt, was in der A d d i t i v i t ä t der Elektronen-
Extremalfunktion
u n d Gitterwärmeleitfähigkeit z u m Ausdruck k o m m t .
zur
Z u r L ö s u n g der BoLTZMANN-Gleichung für die Ver-
der
Phononen
der
Entropievermehrung
thermischen
Stoßoperatoren
die A n g a b e einer
(§1),
Abweichungen
vom
die
(vgl.
verallgemeinerten
die ebenfalls p r o p o r t i o n a l
durch
Stöße
ist
(s. auch
ZIMAN 4 ) .
teilungsfunktion der Elektronen wurde von KOHLER 2
D i e N e b e n b e d i n g u n g e n ergeben sich zwangsläufig
unter der A n n a h m e , d a ß sich die P h o n o n e n i m ther-
wie i m einfacheren Fall, wenn sich die Gitterwellen
mischen Gleichgewicht befinden, ein
i m thermischen Gleichgewicht befinden. Sie werden
Variationsver-
fahren entwickelt, das eine Berechnung der Trans-
in der nachstehenden R e c h n u n g so gewählt, d a ß sich
portgrößen in einfacher W e i s e gestattet. D i e zu vari-
ein M a x i m a l p r i n z i p ergibt entsprechend dem ENSKOG-
ierende F u n k t i o n ist hierbei bis a u f einen positiven
schen M a x i m a l p r i n z i p (s. KOHLER 2 ) . D i e Aufstellung
F a k t o r gleich der E n t r o p i e v e r m e h r u n g durch Stöße
des E x t r e m a l p r i n z i p s
pro sec u n d c m 3 . D a s V a r i a t i o n s p r i n z i p
ist durch
k u n g hinsichtlich der A r t der Streumechanismen, wo-
einige N e b e n b e d i n g u n g e n
läßt
durch eine spätere Berechnung der Transportgrößen
festgelegt u n d
sich
nach dem RiTZschen V e r f a h r e n behandeln. Es zeigt
1
2
D. T E R H A A R U. A. N E A V E S , Adv. Phys. 5 , 241 [1956].
M. K O H L E R , Z. Phys. 1 2 4 , 772 [1948]; 1 2 5 , 679 [1949].
erfordert keinerlei
Beschrän-
wesentlich vereinfacht w i r d .
3
4
E.H.SONDHEIMER, Proc. Roy. Soc., Lond. A 234.391 [1956].
J. M. Z I M A N , Canad. J. Phys. 34, 1256 [1956].
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Die
der
Extremal-
ein Problem der gewöhnlichen Differentialrechnung.
f u n k t i o n als eine G r ö ß e p r o p o r t i o n a l zur Entropie-
D i e Art des Extremalwertes w i r d wieder durch die
vermehrung
Nebenbedingungen
physikalische
durch
Interpretation
Stöße
(s. A n h a n g )
erlaubt
die
festgelegt.
D i e abschließenden R e c h n u n g e n sollen die prak-
Zerlegung derselben in eine S u m m e v o n P r o d u k t e n
konjugierter S t r ö m e u n d K r ä f t e ( § 3, s. a. DE GROOT,
tische
Durchführung
DOMENICALI 5 ) . W ä h l e n wir als k o n j u g i e r t e
Ströme
einem
einfachen Beispiel
der
des
Variationsverfahrens
illustrieren.
Daher
an
wird
die Teilchen- u n d die W ä r m e s t r o m d i c h t e , so erge-
außer
ben sich a u f G r u n d der ONSAGERschen Beziehungen
n u r noch diejenige zwischen den P h o n o n e n berück-
zwangsläufig die KELVIN-Beziehungen der Thermo-
sichtigt, die zur Herstellung eines
(SONDHEIMER 3 ).
elektrizität
Die
S t r ö m e als lineare F u n k t i o n e n
jugierten
facher
Kräfte
Weise
liefert
mit
den
Gleichgewichtes
der
der P h o n o n e n notwendig ist. Nach A r t des Varia-
kon-
tionsverfahrens ist die Berücksichtigung zusätzlicher
ein-
Streumechanismen leicht d u r c h z u f ü h r e n , da die Ein-
Transportgrößen
flüsse additiv gehen. Es werden die elektrische u n d
Darstellung
der zu ihnen
Koeffizienten,
gesuchten
Elektronen — Phononen-Wechselwirkung
die i n
z u s a m m e n h ä n g e n (s. KOHLER 2 ) .
die thermische Leitfähigkeit sowie die T h e r m o k r a f t
W ä h r e n d das E x t r e m a l p r i n z i p i n seiner allgemei-
i n erster u n d zweiter N ä h e r u n g
berechnet,
wobei
nen Fassung in gleicher W e i s e f ü r Metalle u n d Halb-
sich zeigt, d a ß die simultane B e h a n d l u n g der Ab-
leiter gilt, w i r d
weichungen der Elektronen u n d P h o n o n e n v o m ther-
die praktische
Durchführung
des
Verfahrens a m Beispiel nichtpolarer Halbleiter m i t
mischen Gleichgewicht keine zusätzlichen
Elektronen als L a d u n g s t r ä g e r n gezeigt. W i r beschrän-
tischen Schwierigkeiten m i t sich b r i n g t .
mathema-
ken uns hierbei a u f den klassischen Teil der FERMIStatistik, cl. h. a u f nichtentartete Halbleiter.
D i e Wechselwirkungen zwischen Elektronen
1. F o r m u l i e r u n g des
und
P h o n o n e n werden nach der BLOCHschen Theorie (s.
SOMMERFELD u n d BETHE c ) u n t e r B e n u t z u n g der üb-
lichen
vereinfachenden
Annahmen
erfaßt.
Hierbei
verallgemeinerten
Variationsprinzips
D i e Aufstellung des verallgemeinerten Variationsprinzips geschieht a m einfachsten i m A n s c h l u ß
an
m u ß i m Gegensatz zur Metalltheorie den Energie-
die von SONDHEIMER 3 z u m Beweis der KELViN-Bezie-
ä n d e r u n g e n der Elektronen b e i m Stoß R e c h n u n g ge-
hungen gewählte Darstellung.
tragen werden, was u. a. einen E i n f l u ß a u f die Grenzen der Wechselwirkungsintegrale
hat.
Gleichzeitig
Der Zustand der Elektronen v o m Wellenvektor f
sei durch eine Verteilungsfunktion f(t)
charakteri-
sieht m a n , d a ß i n der Halbleitertheorie die DEBYE-
siert, derart, daß
sche Temperatur bei allen Transportgrößen des Elek-
Elektronen i m Intervall f bis f + d f ist. I m thermi-
tronengases
schen Gleichgewicht geht / ( f ) i n die FERMi-Funktion
spielt.
nur
Dadurch
noch
eine
entfällt
die
untergeordnete
bei
Metallen
Rolle
übliche
( 1 / 8 n 3 ) / ( f ) d ! die A n z a h l
über. A n a l o g ist die V e r t e i l u n g s f u n k t i o n A ( c j )
von
der
E i n t e i l u n g der Temperaturskala relativ zur DEBYE-
P h o n o n e n v o m Wellenvektor C} definiert, die i m ther-
schen Temperatur.
mischen Gleichgewicht der PLANCK-Funktion
Z u r Vereinfachung
des F o r m a l i s m u s
werde
ein
gehor-
chen.
elektrisches Feld u n d ein T e m p e r a t u r g r a d i e n t i n xx -
Beide Verteilungsfunktionen / ( f ) u n d A ( p )
kön-
R i c h t u n g a n g e n o m m e n . D i e beiden BoLTZMANN-Glei-
nen aus zwei BoLTZMANN-Gleichungen bestimmt wer-
chungen k ö n n e n d a n n in zwei s i m u l t a n e
den, wobei wir der Einfachheit
Integral-
halber
annehmen
gleichungspaare aufgespalten werden ( § 4 ) , f ü r die
wollen, d a ß lediglich ein elektrisches Feld F u n d ein
sich das Variationsverfahren g e m e i n s a m formulieren
Temperaturgradient dT/dxt
läßt.
den sei. D a n n ist
Die
Auswertung
des
Variationsprinzips
erfolgt
nach dem RiTzschen V e r f a h r e n , wozu die
Störung
der Verteilungsfunktionen
Potenz-
durch geeignete
h¥?.{eF
3E
reihen ersetzt w i r d . D i e B e s t i m m u n g der Koeffizien-
u
ten dieser Potenzreihen aus der E x t r e m a l f o r d e r u n g
f ü r die E n t r o p i e v e r m e h r u n g durch Stöße wird d a m i t
5
S . R. DE G R O O T . Thermodynamics of Irreversible Processes.
North-Holland Publ. Co., Amsterdam 1952. - C. A. DOM E N I C A L I , Rev. Mod. Phys., 26. 237 [1954],
3
+T
+TE
3 T\
3 xj
0
3T_
3 A
dT
dx.
dt
3A
1
:
3 xt T
i n ^ - R i c h t u n g vorhan-
[3/
31. Stöße
Stöße
(1)
(2)
mit — e als L a d u n g eines Elektrons.
6
A.
SOMMERFELD
u. H.
BETHE.
Handbuch der Physik
U. SCHEEL), Bd. 24/11. Berlin 1933.
(GEIGER
Für
die Verteilungsfunktionen
/(f)
und
(8)
P1(^)+L2(!P)^P( f),
iV(q)
machen wir die Ansätze
L3(<£)+L4(!P)=<?(q).
i m - I M -
(3)
(9)
Ersetzen wir nun in Gl. (7) die Funktion
C
I>X durch
P — (PX und !P 1 durch W — XI\, so ergibt sich unter
Beachtung von (8) und (9)
(
/V(q
(4)
Mit den Abkürzungen s = E/kT
{<?,'P}^-^,^},
und x = h vjk T .
Die Abweichungen der Gitterwellen vom thermischen Gleichgewicht betrachten wir als so klein, daß
wir uns auf lineare Glieder i n 0 und ¥ beschränken können. Die zeitlichen Änderungen der Verteilungsfunktionen / und N durch Stöße lassen sich
dann in die Summe von je zwei linearen Operatoren
zerlegen, die dann nur von 0 bzw. W abhängen:
3/1
de
= -Lx {4>)-L,{V),
(5)
= -L3 (0)-L,(W).
(6)
dt
Stöße
I m Hinblick auf den späteren spezialisierten Ansatz wollen wir ?P(q) als eine ungerade Funktion
annehmen. Damit läßt sich zeigen, daß folgender
Ausdruck symmetrisch ist hinsichtlich einer Vertauschung der Indizes 1 und 2 der Vergleichsfunktionen <Pt ,
, XP1 und ?P2 :
{P1(^2)+P2('P2)}df
+
Setzen wir hierin
sich, ohne daß
f^L3(<£2)+L4(!P2)}dq.
=
und
und
X
X
F1 = !P 2 , so ergibt
F1 Lösungen der BOLTZMANN-
Gleichungen (1) und (2) zu sein brauchen, folgen-
=
/^(!)P(f)df,
8
y ^ i ( M ^ I ) + l .
8 / ^ 3 ( ^ 1 )
2
( W
X
) } ^
+£4(^1)}
(7)
dq^O.
W i r wollen n u n die linken Seiten der beiden BOLTZMANN-Gleichungen
(1)
und
/ ! P 1 ( q ) { F 3 ( 2 > 1 ) + F 4 ( , P 4 ) } d q = / l i / 1 ( q ) < ? ( q ) dq
(12)
unterliegen. D a n n sind von allen Vergleichsfunktionen
und XF1 , die diesen Nebenbedingungen gehorchen, 0 und XF diejenigen, die die Funktion
1, I P i ) zum M a x i m u m machen.
Unabhängig von der eingangs gemachten Annahme kann das Variationsprinzip auch für beliebige Richtungen des elektrischen Feldes und des
Temperaturgradienten definiert werden.
2. D i e elektrischen u n d t h e r m i s c h e n Transportg r ö ß e n u n d die Onsagerschen
(2)
mit
— @(q) abkürzen. Diese lauten dann
— P(f)
und
Beziehungen
Zur Vereinfachung der Darstellung des Variationsverfahrens wollen wir auch weiterhin nur ein elektrisches Feld und einen Temperaturgradienten in
Xj-Richtung annehmen. Die Abweichungen der Verteilungsfunktionen vom thermischen Gleichgewicht
können dann in üblicher Weise angesetzt werden:
<Z>(f) =klC (s)
und
*P(q) =qx b{x)
.
(13)
Für die Stoßoperatoren schreiben wir dann
3/1
dt. Stöße
3N
dt
der positiv-definite Ausdruck
+
fcpi (t){L1 (cP1 )+L2 ( xF1 )}dt
(11)
SONDHEIMER konnte unter Beschränkung auf die
Wechselwirkungen zwischen Elektronen und Phononen eine Reihe von Symmetriebeziehungen beweisen,
mit deren Hilfe die Aufstellung einer allgemeineren
Extremalfunktion ermöglicht wird [s. SONDHEIMER 3 ,
Gin. (21) bis ( 2 3 ) ] . Berücksichtigen wir außerdem
noch Wechselwirkungsmechanismen, die auf Elektronen oder Phononen allein wirken, so werden hierdurch lediglich die Operatoren L1 und Li um positive Zusatzterme vermehrt, durch welche die erwähnten Symmetriebeziehungen ungeändert bleiben.
1
wobei also <Z> und F Lösungen der BoLTZMANN-Gleichungen (8) und (9) sind. D a m i t läßt sich folgendes Verallgemeinertes Variationsprinzip formulieren :
und XF seien Lösungen der beiden simultanen
Integralgleichungen (8) u n d ( 9 ) . ( I ) 1 u n d XF1 beliebige Funktionen, die den Nebenbedingungen
Stöße
dN
/0
(io)
X
= ~K se\(c)
= - < 7 ^ 3 (c)
Stöße
(14)
Ab)
•
(15)
Die Operatoren £? x bis
sind analog zu den Operatoren Lt bis Li definiert. I n allen wird die Wechselwirkung zwischen Elektronen und Phononen berücksichtigt, während
und -Sf4 zusätzlich diejenigen Stoßprozesse erfassen, die auf Elektronen bzw.
Phononen allein wirken.
D i e F o r m der BoLTZMANN-Gleichung legt folgende Zerlegung der F u n k t i o n e n c ( e ) u n d b{x)
+
+
nahe:
T~
A ) ccC')
W ( (e)
"h 1; dJ cC')
^ ( t(e)
) ,,
f i ) +
+
oxj T)
m T 3*!
c {e)
= -[eF
m \
b(x )
= — (e F + T ~
m \
oxt T)
(x) +
(16)
h
1
% T feW(x) .
m T aa^
(i7:
D a m i t erhalten w i r zwei simultane Integralgleiehungs-
D a s Verschwinden der F u n k t i o n QW (x) f ü r n = 3 / 2
paare, f ü r die wir a b k ü r z e n d schreiben k ö n n e n
bringt z u m Ausdruck, daß der elektrische S t r o m ausschließlich von den Elektronen bzw. den Ladungs-
^ ( c W )
JSfsCcW)
+J2? 2 (6(»)) = P ( » ) ( e ) ,
(18)
+
(19)
=QW{x)
trägern getragen w i r d , w ä h r e n d die P h o n o n e n lediglich als Stoßpartner der Elektronen den elektrischen
Strom beeinflussen.
W i r wollen n u n die Teilchenstromdichte Je
m i t den A b k ü r z u n g e n
und
die W ä r m e s t r o m d i c h t e / q betrachten. Unter Berück-
P C / . ) ( C ) = 3J»,
<?<•'•> ( z ) = 0 ,
(20)
5
( /*) ^
QK
°(z)
(21)
(22)
_= "o2 m
ä r
dx
7(1
=
s b /
v
sichtigung des Spins ist
i
E
f ®
und
d f
+
8
(23)
•
M i t A n n a h m e einer isotropen Schallgeschwindigkeit u0 setzen wir u1 = u0 qjq
u n d hvq
= hu0 q.
F ü r die
Verteilungsfunktionen / ( f ) u n d A(C|) benutzen wir die üblichen Ansätze u n d f ü h r e n gleichzeitig die Zerlegungen ( 1 6 ) u n d ( 1 7 ) durch. W i r erhalten d a n n
3T
T 3 A?!
(24)
1 dT
3
+ T 3®! T) - S «2» 3 T 3X
T
(25)
3
T)
h=
-SideF
— OF,
1
1
D i e Integrale S ,w> n lassen sich g e m e i n s a m definieren durch
W i e SONDHEIMER
konnte, ist Sm>
n
3
fh
1
'm, n
Jk- * cW (e) P « (e) df +
8 n 3 \m
i n allgemeinerem R a h m e n zeigen
= Sn>
, was sich sogleich als Spezial-
m
8~3
Q)
¥}
mit 0
L ö s u n g e n der Integragleichungen
gleich
der
mit
der
(8)
T
Temperatur
und ¥
und
multiplizierten
D e r sehr einfache Beweis w i r d i m A n h a n g
geführt. W i r k ö n n e n
diesen Ausdruck
durch-
daher
nach
der T h e r m o d y n a m i k der irreversiblen Prozesse zerlegen i n eine S u m m e v o n P r o d u k t e n
Ströme
und
Kräfte.
Wählen
wir
konjugierter
als S t r ö m e
den
Teilchenstrom Je u n d den W ä r m e s t r o m / q , so erhalten w i r durch Zerlegung der F u n k t i o n
{0, ¥}
als
dazu k o n j u g i e r t e K r ä f t e
Xe =
-
eF + T
3 £
3®! T
Je
=
A
q
= -
V lT.
T dx,
(27)
Y
der
(28)
»
w o m i t wir durch Vergleich m i t den analogen
(24) und
Gin.
(25)
^ee —
^qe —
^eq —
1 »
:
(29)
t.»»
erhalten. H i e r b e i ist nach den ONSAGERSchen Beziehungen L e q = £qe o d e r S,,h
n
= Sn>
m
in Ü b e r e i n s t i m -
m u n g mit SONDHEIMER.
D i e Gin. ( 2 4 )
und
Xe + Le q Aq ,
•f q — Lqe Xe + 'qq
L0
ist
E n t r o p i e v e r m e h r u n g durch Stöße p r o sec u n d cm 3 .
(26)
(x) dq .
K r ä f t e schreiben:
als
(9)
/ q * 6(«) (x) QU
D i e Ströme lassen sich als lineare F u n k t i o n e n
fall der ONSAGERSchen Beziehungen ergeben w i r d .
D i e E x t r e m a l f u n k t i o n {0,
2
und
(25)
k ö n n e n nach der elek-
trischen Feldstärke F u n d der W ä r m e s t r o m d i c h t e / q
aufgelöst w e r d e n :
F=
Bei der Ü b e r t r a g u n g der BLOCHschen Theorie auf
l 3C
e 3xx '
+el Taxl
Qj
oxi
Halbleiter sind eine R e i h e von Ä n d e r u n g e n
(30)
erfor-
derlich, deren wesentlichste w o h l der Ü b e r g a n g zur
e
klassischen BOLTZMANN-Verteilung ist. H i e r d u r c h bedingt, spielt die DEBYEsche Temperatur
H i e r i n ist 7 = — e Je die elektrische Stromdichte u n d
bei
allen
die elektrische Leitfähigkeit. Außer-
Transportgrößen, die durch das Verhalten der Elek-
d e m ist unter Beachtung der ÜNSAGERschen Bezie-
tronen beeinflußt werden, praktisch keine R o l l e m e h r .
hungen
D i e Grenzen f ü r eine I n t e g r a t i o n über den Cf-Raum
a = o
_1
= S|,s
T E=
n
T y-Qi
c
e
werden n u n m e h r aus dem Energiesatz bestimmt, wo-
_
e
(31)
j '
beim Stoß m i t den P h o n o n e n berücksichtigen.
( Sl
5 -
bei wir auch die E n e r g i e ä n d e r u n g e n der Elektronen
übrigen
(32)
übernehmen
wir
die
in
Im
BLOCHschen
der
Theorie üblichen V e r e i n f a c h u n g e n 8 , die hier nicht
wo £ die absolute T h e r m o k r a f t ,
Koeffizient,
die
C die FERMische Grenzenergie ist. Gl. ( 3 1 )
gleichzeitig
die
KELVIN-Beziehung,
die
wie auch
die
Gin. (30)
Spezialfälle von allgemeineren
die sich bei Anwesenheit
und
und
D i e zeitlichen Ä n d e r u n g e n der Verteilungsfunktion
enthält
sich
als Folge der ONSAGERschen Beziehungen
Diese
noch e i n m a l gesondert a u f g e f ü h r t werden sollen.
77 der PELTIER-
Gesamtwärmeleitfähigkeit
der Elektronen
somit
den P h o n o n e n
ergibt.
(32)
Phononen
ihrer Wechselwirkung
für
den F a l l , d a ß sich
thermischen
Gleichgewicht
bereits in einer früheren A r b e i t 9
sind
Tensorbeziehungen,
eines Magnetfeldes
im
infolge
waren
mit
die
befinden,
(fortan m i t I zi-
tiert) angegeben worden.
und
Bei Berücksichtigung der Abweichungen der Pho-
beliebiger R i c h t u n g des elektrischen Feldes u n d des
nonen v o m thermischen Gleichgewicht erscheinen in
Temperaturgradienten aufstellen lassen (s. KOHLER ' ) .
den eckigen K l a m m e r n der Gl. ( I , 2 )
folgende Zu-
satzterme
h un g s
b
2 K- ^ 2 XK-
3. D i e S t o ß o p e r a t o r e n n a c h d e r B l o c h s c h e n
Theorie
unter Berücksichtigung
des
wobei natürlich die Integrationsgrenzen
x = hu0
I m folgenden soll die D u r c h f ü h r u n g des Variationsverfahrens a m Beispiel eines nichtpolaren Halbleiters m i t E i n b a n d l e i t u n g besprochen werden. D i e
dabei die A b k ü r z u n g e n
der Elektronen m i t den thermi-
BLOCHschen Theorie, wobei w i r uns der von SOMund
BETHE 6
gegebenen
Darstellung
an-
schließen.
q/k T
als neuen Integrationsvariablen über u n d benutzen
d2
schen Gitterschwingungen beschreiben w i r nach der
MERFELD
ungeändert
bleiben. Anschließend gehen wir wieder zu
Energiesatzes
Wechselwirkungen
(:r),
=
,
un 2 m
2 kT
0
D i e Bezugstemperatur & ist bei den meisten Halbleitern von der G r ö ß e n o r d n u n g 1 ° K , so d a ß außer
für extrem tiefe Temperaturen stets d
Lassen wir auch negative x-Werte
(33)
zu, so ergibt die Zerlegung
1 ist.
( 1 4 ) folgende Operatoren
^max
&Ac)
1V
;
=
^
TT 6^[
256 d*(kTyi* e3/> J
Jc
2
2
2
f [(x -4Ö x-8D e)
| e-r —1 |
C(E + X) + 8 C S 2 £ C ( £V) ]/ J ,
' V
'
(V3 4 );
^min
J ? 22( b ) =
7
8
'
256ö {kT) 5l'
i
Ann. Phys., Lpz.
Siehe Anm. 6, S. 518.
M . KOHLER,
(5)
^max
f
eVt J
^rnin
40,
601
|e*-l|
[1941],
6(1*1) (4<3 2 -:r)
9
D . DORN,
Z. Naturforsdig. 12 a, 18 [1957].
(35)
mit den Abkürzungen
d = 8n{kT)s/s/3
7ih a
und
a = 3 M h u 0 2 /2 n ü0 C 2 .
n ist die Dichte der Elektronen im Leitfähigkeitsband. Die Integrationsgrenzen sind wieder
•Tmax = 4 d Ve (1 + Ö/Vs )
und
z m i n = - 4 <51/e (1 -d/Ve)
(37)
.
Genau genommen darf in den obigen Ausdrücken für die Stoßoperatoren die Energie nur so groß werden,
daß nach dem DEBYESchen Modell xmSiX « 4 d ]/e
O^/T bleibt. Durch Auflösen nach e sieht m a n jedoch,
daß diese Grenze erst für sehr große £-Werte überschritten wird, was wiederum wegen des exponentiellen
Abfalls der BoLTZMANN-Verteilung keine Rolle spielt. W i r lassen also in üblicher Weise e von 0 bis oo laufen.
Für die zeitliche Änderung der Verteilungsfunktion der Phononen infolge ihrer unelastischen Wechselwirkungen mit den Elektronen liefert die BLOCHsche Theorie (s. A n m . 6 , § 42)
3N
St
I KT
eWT
j
A2 u0 eX -1
J
Ü„ C2 ch
18
Elektron
TI M
de
Die Integrationsgrenzen werden wieder aus dem
Energiesatz bestimmt. W i r müssen über
dasselbe
u(
h
l c(s + x)+
( l -
c(e)-b(x)
Zur Herstellung einer stationären Verteilung der
Phononen werden wir fortan neben der Elektronen-
Grundgebiet der „x, e-Ebene" wie beim 1. Integral
Phononen-Wechselwirkung
der Gl. (I, 2) integrieren und erhalten demzufolge
Phononen
und
emin=(x-
4 ö*)2/16d*.
(39)
(38)
/ <7
untereinander
auch die Streuung von
berücksichtigen.
W i r be-
schreiben sie summarisch durch Angabe einer mittleren freien Weglänge Zp der Phononen und setzen
Nach der ÜEBYEschen Theorie darf x nur wieder von
0 bis OD/T anwachsen. Diese Einschränkung können
wir jedoch fallen lassen und über x von 0 bis oo
üblicherweise
3N
dt
[A(q)-A0(q)]
Phonon
integrieren, sofern wie in Gl. (38) die BOLTZMANN-
=
b (x)
Funktion auftritt, also Elektronen als Stoßpartner
3 An
q\
kT 'dz
(40)
beteiligt sind. I n diesem Fall erscheint £]Uin im Ex-
Eine Erweiterung der Rechnung auf andere Wech-
ponenten der e-Funktion, wodurch für einen beson-
selwirkungsmechanismen, die auf die Phononen al-
ders schnellen Abfall des Integranden bei wachsen-
lein wirken, ist im Rahmen des Variationsverfahrens
dem x gesorgt wird, da außerdem bei nicht zu tiefen
mit geringem Aufwand möglich, da bei der W a h l
Temperaturen d
der Entropievermehrung durch Stöße als Extremal-
1 ist. W i r sehen also auch hier
wieder die nur untergeordnete Bedeutung der DEBYE-
funktion derartige Einflüsse additiv gehen. W i r wol-
schen Temperatur 0 p bei der Berechnung der Trans-
len jedoch die Darstellung des Variationsverfahrens
portgrößen von Halbleitern, sofern sie nicht wie die
nicht unnötig beschweren und daher hiervon absehen.
reine Gitterwärmeleitfähigkeit vom Leitungstyp des
Kristalls in 1. Näherung unabhängig sind.
Führen wir nun die Zerlegung (15) durch, so erhalten wir für die beiden anderen Stoßoperatoren
oo
&Ac)
---TT
=
-1
8(k T)1/* x(e-r-l)
^ L e x p
4 (k T) 5/= ex— 1
[
J
(-
(41)
e - £ d s [ ( x + 4 ( 3 2 ) C(E + X) + ( x - 4 ( 5 2 ) c ( e ) ] ,
'
L
(x-4^ 2 ) 2 ] _
a0
16 b 2 j
IpkT
J
b(x)
(42)
(e x — \) (1 — e - *)
4. L ö s u n g des V a r i a t i o n s p r o b l e m s d u r c h A n w e n d u n g des Ritzsehen V e r f a h r e n s
Zur Lösung des Variationsproblems muß die Extremalfunktion
umgeformt
werden.
Im
Hinblick
auf
die obigen
Überlegungen
{0,
XF}
über
in
die
Integrale
über
£ und
Integrationsgrenzen
x
lassen
wir x zunächst nur von 0 bis OD/T laufen und entscheiden erst von Fall zu Fall über eine Erweiterung
des Wertebereichs bis oo .
F ü r die folgende R e c h n u n g zweckmäßiger ist die
(c, c )
analog zur F u n k t i o n
der WiLSONschen
der bisherigen E x t r e m a l f u n k t i o n
!P}
nur
Definition einer neuen E x t r e m a l f u n k t i o n
D a r Stellung 1 0
gebildet
(e) u n d b^
(x)
Sie
(c, 6 } ,
unterscheidet
sich
die
von
u m einen konstanten Faktor. W i r zerlegen sie gleichzeitig
nach G i n . ( 1 6 ) u n d ( 1 7 ) u n d erhalten d a m i t als Verallgemeinertes
D i e L ö s u n g e n c^
wird.
Variationsprinzip
der beiden s i m u l t a n e n Integralgleichungen
(18)
folgende Aussage:
und
(19)
sind so be-
schaffen, daß sie die F u n k t i o n
oo
{ c « , 6 « } = (kT)
i,!
e ,hcV)(e){&1 {cW)+&i (bM)}&e
f
(43)
o
©D/r
z u m M a x i m u m machen unter den
Nebenbedingungen
oo
oo
l' £>'> C W {sex (c<">) +
£'•• C™ P( n) d£ ,
} d£ = j
0
0
eD /r
©D IT
I
x4
+JSf4(6W)}da:= J
wobei die Integraloperatoren
<?(w) da;,
bis =Sf4 durch die Gin. ( 3 4 ) , ( 3 5 ) , ( 4 1 ) u n d ( 4 2 ) gegeben sind.
M i t Hilfe des RiTZschen Verfahrens läßt sich das Variationsproblem in eine gewöhnliche E x t r e m a l a u f g a b e
der Differentialrechnung verwandeln. H i e r z u entwickeln wir die S t ö r f u n k t i o n e n c^
( e ) u n d b^
(x)
nach
steigenden Potenzen ihrer A r g u m e n t e :
C
W(£)=
oo
V C
r
^ £ r,
&W(x)=
oo
V 4 r w x r.
r=0
(45)
F ü r die E x t r e m a l f u n k t i o n ergibt sich d a m i t
oo
{cM,
=
y
(d„ c r W c s W + 2 grs c / n )
r,S = 0
+ hrs 6 r w &,(«>)
(46)
mit den Koeffizienten
00
dn =(kTy h
J
o
£ r+'''JfAe 3)
de,
(47)
©d / r
s
grs =(kT) <'
J
=
j
^ ^ . ( O d i ,
(48)
o
eD/r
o
f
(49)
Es läßt sich leicht beweisen, d a ß die M a t r i z e n (c/;.s.) u n d (A, s ) symmetrisch sind. E i n e analoge U m f o r m u n g
der N e b e n b e d i n g u n g e n ergibt
2
r, s=0
c2 = 2
10
A. H.
WILSON.
c ; .W c,(») + g „ c , <»> fe,<">) -
+
}
r, 6=0 University Press, Cambridge 1953.
The Theory of Metals,
y a/'O c r W = 0 ,
r=0
- 2
r=0
6 (n)
'
=0 •
determinanten hinweisen, wobei eine Berücksichti-
mit den neueingeführten Koeffizienten
00
ar W={kT) sh
[ e r+' ltPW
gung der Abweichungen der Gitterwellen vom ther-
(e)de,
(51)
mischen Gleichgewicht nur eine Korrektur darstellt.
Als /-te Näherung schreiben wir
o
eD/r
ß r » - * ? ?
o(0
* r + 4 <? ( K ) 0*0 d x .
/
o
=
«J m, n
(52)
wo
1/s
A
m,n
_ 16 .t(2 3m)
3/i
Ai I)
(55)
(l)
Sm,„.
Smt n = lim
Die zu variierende Funktion ist also
Für 1 = 2 ergibt sich aus Al2) durch Ränderung die
5-reihige Determinante
+ K c1+;.2c2
mit Ä1 und / 2 als LAGRANGEschen Multiplikatoren.
Diese können nach der Variation mit Hilfe der Nebenbedingungen eliminiert werden, wodurch wir folgendes unendliches Gleichungssystem für die Unbekannten cs und
bj"-' erhalten:
oo
y (rf„c,W+g„6,«)-arW = 0,
m, n
s=0
2
1(2)
=
a
aAm)
0
^00
Soo
d
§01
ahn)
Po
#00
h
Sio
h
«<">
d
Sio
d
ll
Sil
8 Ol
h
Sil
hn
ß(m)
(53)
(g,rC,«+Ä„6,(«))-/?rW=0
0
o
01
ßf
01
oo
10
.
10
(56)
Die Auflösung dieser Determinanten geschieht un-
s=0
abhängig von der W a h l der Indizes m und n am
mit r = 0, 1, 2 , . . . , oo .
besten durch Entwicklung nach den Elementen der
Der Zusammenhang mit den thermoelektrischen
Transportgrößen ergibt sich am einfachsten durch
ersten Zeile und Spalte. Unter Berücksichtigung der
hierbei auftretenden Vorzeichen sind die entstehen-
, die durch Gl. (26)
den Determinanten die Elemente der zur Koeffizien-
definiert sind. Nach dem Übergang zu £ und x als
tenmatrix 21 ^ adjungierten Matrix 21ad ? deren Ele-
Betrachten der Koeffizienten Sm
n
neuen Integrationsvariablen führen wir die Entwick-
mente wir mit den entsprechenden großen Buchsta-
lung
ben bezeichnen. So ist z. B. D (ps das algebraische
(45) durch und benutzen zur Auflösung des
unendlichen Gleichungssystems
(53)
den LAPLACE-
also § / ( / + 1 )
1
Q n -— 16 n{2 m) '2 V (ar W
•^m,
s
3h
r=0
16
c/
71 ( 2
3
Hierin ist
m
) + ßr ( n>
m) 1 /»
Am,n
ft3
i
)
verschiedene Elemente. Fassen wir
A^n
(54)
zu
Spaltenvektoren
Q^
und
ü^f
in
die
ai(«),
aus
A
durch
/Vm)...
und
einem
(2 / + l)-dimensionalen Hilfsraum zusammen, so erhalten wir folgendes Matrixprodukt
die Determinante der Koeffizienten-
Determinante,
ß ^
Wegen der Symmetrie der Ko-
nun die Elemente der ersten Zeile und Spalte von
matrix 21 des Gleichungssystems (53) und A m ^ n eine
a 0 W , /V»>,
Komplement zu drs .
effizientenmatrix 21a) ist auch 21 ad symmetrisch, hat
schen Entwicklungssatz:
Ränderung
mit
a 0 («),
— Si m,n — um -^ad un
(57)
mit Um als der transponierten, einzeiligen Matrix
zu Cl'w . Die Determinanten A ® können durch Ent-
. . . entsteht, wenn man zuvor die Koeffizienten
nach steigenden Indizes r und 5 ordnet.
wicklung nach einer Zeile oder Spalte ebenfalls durch
Elemente der adjungierten Matrix dargestellt werden.
Eine Auswertung dieser unendlichen Determinanten ist nicht möglich, so daß wir zu Näherungen mit
Determinanten
beschränkter
müssen. Die Konvergenz
Zeilenzahl
dieser
übergehen
Näherungen
steigender Zeilenzahl läßt sich allerdings nur
mit
5. Beispiele f ü r die A n w e n d u n g
des V a r i a t i o n s v e r f a h r e n s
im
Falle der elektrischen Leitfähigkeit allgemein bewei-
Als konkrete Beispiele für die Anwendung des
sen. Hierbei können wir auf die von KOHLER 2 in
Variationsverfahrens auf die Verhältnisse bei nicht-
der Metalltheorie gemachte Entwicklung nach Unter-
polaren Halbleitern wollen wir die elektrische Leit-
fähigkeit, die W ä r m e l e i t f ä h i g k e i t u n d die Thermo-
denen
kraft in den beiden ersten N ä h e r u n g e n
berechnen.
.T-Funktionen, die wegen ( 5 8 ) entwickelt, d. h. durch
Wir
diskutierte
gewöhnliche / -Funktionen ersetzt werden
wählen wieder das bereits in
§ 3
Modell.
vom
Typ
(59)
führen
auf
unvollständige
können.
F ü r die Berechnung der beiden ersten N ä h e r u n g e n
D i e Wechselwirkungen zwischen Elektronen
und
ergeben sich d a m i t folgende Koeffizienten:
P h o n o n e n erfassen wir nach der BLOCHschen Theorie,
wobei die Energieänderungen der Elektronen
beim
d00 =
d( 1
doi —
5
Stoß mit den P h o n o n e n berücksichtigt werden. Demgegenüber
wird
die P h o n o n — Phonon-Wechselwir-
d10 = 3 d ( l - ^ ö
2
25
} ,
k u n g durch E i n f ü h r u n g einer freien W e g l ä n g e der
P h o n o n e n beschrieben. D i e Stoßoperatoren
m e n wir den Gin. ( 3 4 ) , ( 3 5 ) , ( 4 1 ) u n d
entneh-
Z u r Vereinfachung der R e c h n u n g beschränken wir
uns fortan auf hohe Temperaturen
§00 —
—
-Sy^idd,
§oi =
^00 >
(42).
relativ zu
§10 =
—
21
^10 5
§n =
(60)
- y F ^ ö r f ,
der
bereits definierten Bezugstemperatur & , so d a ß wir
§00+
a *d,
§01+
a5d,
l
'01
10
5
die Größe
Ö
= ye/f
als Entwicklungsparameter
(58)
< i
benutzen k ö n n e n .
Hier-
bei werden wieder (vgl. A n m . 9 ) alle Glieder weg-
H i e r i n ist die Größe d durch Gl. ( 3 6 ) gegeben. Fer-
a = 64^4/p
le
sind.
Bei der Berechnung der Koeffizienten drs u n d grs
durch A n w e n d u n g der BERNOULLi-Entwicklung
11
auf
was jedoch wegen des exponentiellen
Abfalls
der
BoLTZMANN-Funktion keine R o l l e spielt.
-
2
\2
h- VI-7t m k T ,
(60 a)
3 ah»
TT m 2 k T
L =
16
D i e geforderte K o n v e r g e n z b e d i n g u n g | x | < 2 n w i r d E i n e
TI 2/4 <52) verletzt,
n
u n d /e die freie W e g l ä n g e der Elektronen
elementare Integrale zurückgeführt werden k ö n n e n .
n u r bei sehr hohen Energien (E ^
d.
ner ist
gelassen, die von höherer als 2. Potenz in Ö klein
treten Integrale über die PLANCK-Funktion a u f , die
hn
numerische
daß a
(60 b )
Absdiätzung
der
a
Größe
1 ist, außer für extrem hohe
zeigt,
Elektronen-
dichten n , auf die die klassische BOLTZMANN-Verteil u n g o h n e h i n nicht mehr a n w e n d b a r ist. W i r berück-
A u f die Integrationsgrenzen der Wechselwirkungs-
sichtigen daher in der weiteren R e c h n u n g n u r Glie-
integrale wurde bereits hingewiesen: I n allen Aus-
der bis zur ersten O r d n u n g in a oder zweiten Ord-
drücken, in denen die BoLTZMANN-Funktion
nung
ten ist, können wir x von 0 bis
enthal-
oc laufen lassen.
der die P h o n o n — Phonon-Wechsel-
w i r k u n g erfaßt, nach der DEBYEschen Theorie x n u r
3
^
von 0 bis @v/T anwachsen. H i e r b e i treten d a n n die
a
DEBYEschen Integrale v o m T y p
X
0
x» dx
Ya-
rn
i
auf, die tabelliert
etwas
12
vernachlässigen
alle dazu
F ü r die Koeffizienten ar (- n) u n d ßr (n)
Lediglich bei den Koeffizienten hrs darf i m 2. Term
[s. Gl. ( 4 2 ) ] ,
in Ö u n d
n2 n h3
(2 m)'/s '
('/,)= _ 1 5 7 r 2 n h * k T
2(2m)'/!
5
-
ergibt sich
TI2
n h3
4(2 m)°l'-
1 0 5 TI2
1
_ _ (k ryi* 1
5
ß ( /ä ) _ _
(61)
k
1
(• T)' * I
vorliegen. D i e Einzelheiten der
umfangreichen
Rechnung
sollen
hier
In
über-
1. N ä h e r u n g werden die Determinanten
und A ^
rigkeiten
elektrische Leitfähigkeit ergibt sich d a n n
enthalten.
Siehe z. B . J A H N K E
Leipzig 1948.
n h3
2(2 m) 3'* '
A(Vi)=0,
ß0 (3,2) = 0,
( .,f)
_ A 1
04 W =
sprungen werden, da sie keine prinzipiellen Schwie-
11
kleinen
Glieder.
U.
Die
EMDE,
meisten
Integrale
außer
Tafeln höherer Funktionen,
12
n
a m besten direkt ausgerechnet. F ü r
A^
die
fürre= 5 , 7 , 9 , . . . siehe E. H. S O N D H E I M E R , Proc. Roy. Soc.,
Lond. A 2 0 3 , 7 5 [ 1 9 5 0 ] oder A . H. W I L S O N , The Theory of
Metals, S. 3 3 7 ; für n = 2 , 3 , 4 , 6 siehe D . K . C . M A C D O N A L D
u. L. T . T O W L E , Canad. J . Phys. 3 4 , 4 1 8 [ 1 9 5 6 ] .
16.t(2 m)'/«es Ä 0 0 (a„^)) 2
3 A3
</00 hoo~Soo 2
Nach
u n d nach Einsetzen der Koeffizienten
2
oW=
A
V/.h
2 m \2jimkT)
|
32
7.©
3 T
• |
\
( 6 3 )
D a s entsprechende Ergebnis der bisherigen Theoelastischer Stöße zwischen Elektronen u n d P h o n o n e n
A2
a n e- (
\3/s
(64)
2 in \ 2 TI m k T
Z u r Berechnung der W ä r m e l e i t f ä h i g k e i t in 1. Nä2
aus den Gin. (32)
und
(55)
durch
A n w e n d u n g des SYLVESTERschen Satzes über Superdeterminanten
/5
e \2
des
- \ _ 3 2 "o
kT)
9TI T
h
Variationsverfahrens
unterscheiden
und
noch u m ca. 1 2 % von denen der bisherigen
Theorie.
Zur
Berechnung
der 2. N ä h e r u n g
benutzen
wil-
den weiter oben hergeleiteten Entwicklungssatz ( 5 7 ) ,
wozu wir zunächst die zur Koeffizientenmatrix 2ll2^
adjungierte
Matrix
aufstellen
müssen.
Diese
rein algebraische R e c h n u n g ist sehr einfach u n d soll
h e r u n g gehen wir von einer Formel aus, die m a n
n a c h KOHLER
Art
_
sich die Zahlenfaktoren in den Ausdrücken für o 1
rie ohne Variationsverfahren lautet unter A n n a h m e
,(0)
f(l) =
(62)
daher hier übergangen werden. Als elektrische Leitfähigkeit in 2. N ä h e r u n g erhalten wir
ö (2) =
39^
J
o(0)
1
128
329 B
, 12
T
13
117
/
4
/ „ - / ,
2
a\ . ( 6 9 )
erhält
H i e r i n weisen die Zahlenfaktoren n u r noch eine Un(65)
T
3 /I3
sicherheit v o n ca. 4 % auf, die i n 3. N ä h e r u n g
weniger, ca. 2%,
Die Determinante
As . I. i. I
entsteht a n a l o g A ^ :i
aus A durch zweimalige R ä n d e r u n g . Wegen ß,.(' /sl = 0
genz des Variationsverfahrens zeigt.
für beliebige r liefert sie in 1. N ä h e r u n g den ein-
unter Vernachlässigung der
(57)
berechnet.
W i r erhalten d a m i t in 1. N ä h e r u n g
, ( 1 ) = 16 TI (2 M) 1!*
3 A3 T
=
3u
2
3
4
h T
26
d. i. lediglich der Gitteranteil der
(66)
Wärmeleitfähig-
D e n rein elektronischen A n t e i l x e e sowie den reinen
Gitteranteil
Wert
für
die
Gitter-
wärmeleitfähigkeit — bis auf das Korrekturglied —
nach
der
wie
gewöhnlichen
Theorie
(71)
X = *ee + *ep + *pp •
Verfahren,
auch
(70)
T [IZ
oben.
herung
man
TI
m i t derselben Unsicherheit der Zahlenfaktoren
keit, w ä h r e n d der elektronische Anteil erst i n 2. Nä-
erhält
128 u0 lp
39
kennzeichnen w o l l e n :
_
l T '
erscheint. Denselben
kT J
Anteilen z u s a m m e n , die wir durch je zwei Indizes
h00
/0 \ f
Korrekturglieder
£ \
D i e W ä r m e l e i t f ä h i g k e i t setzt sich additiv aus drei
(ß0 (^)) 2
4 TI (k 7 y / p
k f 55
?(2) —
gen w i r d ihre A u f l ö s u n g jedoch sehr unübersichtlich,
so d a ß m a n besser die Größen S W ; „ getrennt unter
auf
F ü r die T h e r m o k r a f t ergibt sich in 2. N ä h e r u n g
fachen W e r t (a0(J/-'))2 ( ß 0 ^ ) 2 . I n höheren Näherun-
B e n u t z u n g des Entwicklungssatzes
13
absinkt, was die schnelle Konver-
erhält m a n auch mit den bisherigen
von
den Korrekturgliedern
abgesehen,
w ä h r e n d der gemischte Anteil x c p erst durch die sim u l t a n e B e h a n d l u n g beider BoLTZMANN-Gleichungen
ohne Variationsverfahren, was verständlich ist, da
im
die P h o n o n — Phonon-Wechselwirkung nach Einfüh-
tritt natürlich auch in der Metalltheorie auf. Durch
Variationsverfahren
erscheint.
Dasselbe
Glied
r u n g einer mittleren freien W e g l ä n g e lediglich durch
eine numerische Abschätzung sieht m a n , daß x c p i m
einen m u l t i p l i k a t i v wirkenden linearen Operator be-
allgemeinen klein gegenüber x p p ist. Es ergibt sich
schrieben w i r d .
in 2. N ä h e r u n g unter Vernachlässigung der Korrek-
F ü r die Thermokraft erhalten wir nach Gl. ( 3 1 )
unter B e n u t z u n g von
(54)
,(2) _ 225 TI L k
1
eT
wobei
wir
her mitgeführten
zur
besseren
Übersicht
Korrekturglieder
die
bis-
weglassen.
Mit
4p =
(0) T
(72)
?
c2)
"PI»
=
13
(73)
\l^nklp ,
4 i(/c T)Up
3 ii 2 A3 T
« e = o ' ° ) / n e k ö n n e n w i r die Thermokraft i n folgender F o r m schreiben
r
416
(67)
D i e 1. N ä h e r u n g läßt sich wieder sofort hinschreiben,
turglieder
Siehe Anm. 9.
0D
T
1 -
12 a
13 / 4
(74)
Eine
nähere
Diskussion
dieser
Ausdrücke
soll
nicht erfolgen, da bei einem realen Halbleiter detaillierte Überlegungen über die zusätzlich in Frage
kommenden
Streumechanismen
und
wir als Entropiesätze für das Elektronen- bzw. Phononengas:
3f
e
+divt5e
über die P h o n o n — Phonon-Wechselwirkung
k
voran-
gestellt werden m ü ß t e n . Es sollte an dieser
Stelle
lediglich die praktische D u r c h f ü h r u n g des Variations-
, f [ l o g / - l o g ( l - / ) ] [f>]
8 71 J
C ' J Stöße
k
k
H i n z u n a h m e zusätzlicher Streumechanismen, die auf
oder
mathematischen
Phononen
allein
Schwierigkeiten
wirken,
mit
sich,
artige Einflüsse a d d i t i v gehen. Daher
keine
da
erlaubt
derdas
5e =
Substitutionsmethoden die simultane E r f a s s u n g mehrerer Streumechanismen
ohne einschränkende
An-
n a h m e n über den relativen E i n f l u ß derselben.
Herrn Prof. Dr. M . K O H L E R danke ich herzlichst für
die Anregung zu dieser Arbeit sowie für zahlreiche kritische Diskussionen.
6. A n h a n g
Bei der Aufstellung des Extremalprinzips für den
Fall, daß sich die Gitterwellen im thermischen Gleichgewicht befinden, konnte K O H L E R die dortige Extremalfunktion bis auf den Faktor l/T mit der Entropievermehrung durch Stöße pro sec und cm 3 identifizieren.
Wir führen nun den entsprechenden Beweis für die
verallgemeinerte Extremalfunktion {!P,
nach Gl.
(7) durch. Hierzu können wir die beiden BOLTZMANNGleichungen (1) und (2) für die Verteilungsfunktionen
/ ( f ) und A ( q ) allgemeiner schreiben:
I
(<S, gradt /) + (ü, gradt /) +
=
[ / l o g / + ( 1 - / ) l o g ( l - / ) ] Üdf
71 3
und analog
35 p
(78)
divr 5p
3t
k
Variationsverfahren i m Gegensatz zu den bisherigen
-
[ / l o g / + ( 1 - / ) l o g ( l —/)] df ,
71»
spiel erläutert werden.
W i e schon weiter oben betont wurde, b r i n g t die
dt,
WO
verfahrens an einem konkreten, vereinfachten Bei-
Elektronen
(77)
insbesondere
[log A — log ( A + 1 ) ]
oA'
31
Stöße
dq,
mit
Sn =
-
j
[N log N — (N+l)
l o g ( A + 1 ) ] dq ,
[N log A — (A + 1 ) l o g ( A - f l ) ] u d q .
Hierin sind 5 e und 5 P die Entropiedichten und 5 e und
S p die Entropiestromdichten des Elektronen- bzw. Phononengases 14.
Zur Umformung der Integrale auf der rechten Seite
der beiden Entropiesätze benutzen wir die Ansätze (3)
und (4) für die Verteilungsfunktionen und (5) und (6)
für die Stoßoperatoren, die auch für allgemeinere Wechselwirkungsmechanismen gelten. Wie dort beschränken
wir uns auf lineare Glieder in 0 ( f ) und ! P ( q ) . Damit
lassen sich mit S = S e + S p und S = Se + Sp beide Entropiesätze zusammenfassen zu
35
-gj + divt 5
f 3/
3*
+ gj,
Stöße
T
f
[ W (q) - A v , ] [La (<Z>) + P 4 ( V) ] dq .
(75)
J
AT\
(U, gradr N) +
dt
=
3N
dt
(76)
Stöße
Wir multiplizieren nun die erste dieser beiden Gleichungen mit log / und die zweite mit log N und führen
einige einfache Umformungen durch. Hinzu addieren
wir die analogen Ausdrücke, die man durch Substitution von / durch ( 1 — / ) und N durch (A + l ) erhält.
Nach Integration über den
bzw. q-Raum erhalten
D a während der Stöße zwischen Elektronen und
Phononen die Gesamtenergie konstant bleibt, fallen die
zu Et — £ und h v q proportionalen Glieder weg. Die restlichen Glieder auf der rechten Seite der obigen Gleichung ergeben nun die Entropieerzeugung durch Stöße
pro sec und cm 3 , womit die physikalische Bedeutung
der Extremalfunktion {<&, !P} gezeigt wurde.
14
Siehe z. B. J. E . MAYER U. M . GOEPPERT-MAYER, Statistical
Mechanics, John Wiley & Sons, New York 1950, S. 112.