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Springer-Lehrbuch
Prof. Dr.-Ing. Dietmar Gross
studierte Angewandte Mechanik und promovierte an
der Universität Rostock. Er habilitierte an der Universität Stuttgart und ist seit 1976 Professor für Mechanik an der TU Darmstadt. Seine Arbeitsgebiete
sind unter anderen die Festkörper- und Strukturmechanik sowie die Bruchmechanik. Hierbei ist er auch
mit der Modellierung mikromechanischer Prozesse
befasst. Er ist Mitherausgeber mehrerer internationaler Fachzeitschriften sowie Autor zahlreicher Lehrund Fachbücher.
Prof. Dr.-Ing.Wolfgang Ehlers
studierte Bauingenieurwesen an der Universität
Hannover, promovierte und habilitierte an der Universität Essen und war 1991 bis 1995 Professor für
Mechanik an der TU Darmstadt. Seit 1995 ist er Professor für Technische Mechanik an der Universität
Stuttgart. Seine Arbeitsgebiete umfassen die Kontinuumsmechanik, die Materialtheorie, die Experimentelle und die Numerische Mechanik. Dabei ist
er insbesondere an der Modellierung mehrphasiger
Materialen bei Anwendungen im Bereich der Geomechanik und der Biomechanik interessiert.
Prof. Dr.-Ing. PeterWriggers
studierte Bauingenieur- und Vermessungswesen,
promovierte 1980 an der Universität Hannover und
habilitierte 1986 im Fach Mechanik. Er war Gastprofessor an der UC Berkeley, USA und Professor
für Mechanik an der TH Darmstadt. Ab 1998 war er
Professor für Baumechanik und Numerische Mechanik an der Universität Hannover, und er ist seit 2008
Professor für Kontinuumsmechanik in der dortigen
Fakultät für Maschinenbau. Seit 2008 steht er der
Gesellschaft für Angewandte Mathematik und Mechanik sowie der German Association for Computational Mechanics als Präsident vor.
Dietmar Gross · Wolfgang Ehlers
Peter Wriggers
Formeln und Aufgaben
zur Technischen
Mechanik 3
Kinetik, Hydrodynamik
9., bearbeitete und ergänzte Auflage
13
Prof. Dr.-Ing Dietmar Gross
Festkörpermechanik
Technische Universität Darmstadt
Hochschulstraße 1
64289 Darmstadt
Prof. Dr.-Ing. Peter Wriggers
Institut für Kontinuumsmechanik
Universität Hannover
Appelstraße 9a
30167 Hannover
Prof. Dr.-Ing. Wolfgang Ehlers
Institut für Mechanik
(Bauwesen)
Universität Stuttgart
Pfaffenwaldring 7
70569 Stuttgart
ISSN 0937-7433
ISBN 978-3-540-89098-0
e-ISBN 978-3-540-89099-7
DOI 10.1007/978-3-540-89099-7
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Vorwort
Dieser dritte Band schließt die Reihe der Aufgaben zum Grundkurs in
Technischer Mechanik ab.
Erfahrungsgemäß bereitet die Kinetik den Studenten besondere
Schwierigkeiten, da neben den Kraftbegriff nun zusätzliche kinematische Größen treten, die untereinander und mit den Kraftgrößen richtig
verknüpft werden müssen. Wir haben uns daher bemüht, durch zahlreiche rein kinematische Aufgaben Verständnis für die bei einer Bewegung
maßgebenden geometrischen Größen und ihre Beschreibung in verschiedenen Koordinatensystemen zu wecken. Ebenso kann man nur durch
Übung, d.h. durch selbständiges Bearbeiten von Aufgaben, Erfahrungen darüber sammeln, welche der kinetischen Grundgleichungen bei
welcher Aufgabe am einfachsten zum Ziel führt. Häufig gibt es mehrere
Lösungswege, und wir haben diese auch oft nebeneinandergestellt, damit der Leser selbst Vor- und Nachteile erkennen kann. Bewusst haben
wir auf eine frühe Verwendung von Scheinkräften“ verzichtet, da un”
zureichende Kenntnisse der Studierenden über Trägheitskräfte“ meist
”
mehr zur Verwirrung als zum Verständnis beitragen.
Die Aufgaben werden - wie auch schon im ersten und zweiten Band weitgehend formelmäßig gelöst, da das Aufstellen der Grundgleichungen
und deren allgemeine Lösung zunächst wichtiger als reine Zahlenrechnungen sind.
Für das Studium aller drei Bände möchten wir die Studierenden
nochmals ermuntern, sich an den Aufgaben zunächst selbst zu versuchen und dabei unter Umständen auch andere Lösungswege einzuschlagen. Eine Aufgabensammlung ist nur ein Hilfsmittel beim Studium der
Mechanik. Um zu einem tieferen Verständnis, insbesondere über die
Herkunft und Anwendung der verschiedenen Sätze und Formeln zu gelangen, muss der Studierende auch Lehrbücher zur Hand nehmen. Unser
Literaturverzeichnis nennt einige Titel.
Die Aufgabensammlung geht zu einem guten Anteil auf unseren verstorbenen Kollegen Prof. Dr. Dr. h.c. Walter Schnell zurück, der auch
bis zur 5. Auflage Mitautor war. Seine Handschrift ist an der vorliegenden 9. Auflage, welche wiederum verbessert und um weitere Aufgaben
ergänzt wurde, immer noch zu erkennen.
Dem Springer-Verlag danken wir für die gute Zusammenarbeit und
die ansprechende Ausstattung des Buches. Wir wünschen ihm weiterhin eine freundliche Aufnahme bei der Leserschaft und sind für kritische
Anmerkungen und Anregungen dankbar.
Darmstadt, Stuttgart und Hannover, im Januar 2010
D. Gross
W. Ehlers
P. Wriggers
Inhaltsverzeichnis
Literaturhinweise, Bezeichnungen .............................
IX
1
Kinematik des Punktes ...........................................
1
2
Kinetik des Massenpunktes ......................................
27
3
Bewegung des Massenpunktsystems ..........................
55
4
Kinematik des starren Körpers ..................................
67
5
Kinetik des starren Körpers ......................................
85
6
Stoßvorgänge .......................................................
131
7
Schwingungen.......................................................
151
8
Relativbewegung ...................................................
173
9
Prinzipien der Mechanik ..........................................
187
10
Hydrodynamik.......................................................
201
IX
Literaturhinweise
Lehrbücher
Gross, D., Hauger, W., Schröder, J., Wall, W., Technische Mechanik,
Band 3: Kinetik, 10. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2008
Gross, D., Hauger, W., Wriggers, P., Technische Mechanik, Band 4:
Hydromechanik, 7. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2009
Hagedorn, P., Technische Mechanik, Band 3: Dynamik, 3. Auflage. Harri Deutsch, Frankfurt 2006
Bruhns, O. T., Elemente der Mechanik III: Kinetik, Shaker Verlag,
Aachen 2004
Brommund, E., Sachs, G., Sachau, D., Technische Mechanik, 4. Auflage. Oldenbourg, München 2006
Hibbeler, R.C., Technische Mechanik 3: Dynamik, 10. Auflage.
Pearson-Studium 2006
Magnus, K., Müller, H. H., Grundlagen der Technischen Mechanik,
7. Auflage. Teubner, Stuttgart 2005
Wriggers, P., Nackenhorst, U. u.a., Technische Mechanik kompakt,
2. Auflage. Teubner, Stuttgart 2006
Aufgabensammlungen
Bruhns, O. T., Aufgabensammlung Technische Mechanik 3, Vieweg,
Braunschweig 1999
Dankert, H, Dankert, J., Technische Mechanik, 4. Auflage. Teubner,
Stuttgart 2006
Hauger, W., Lippmann, H., Mannl, V., Aufgaben zu Technische Mechanik 1-3. Springer-Verlag, Berlin 2008
Hagedorn, P., Aufgabensammlung Technische Mechanik, 2. Auflage.
Teubner, Stuttgart 1992
Zimmermann, K., Technische Mechanik - multimedial, 2. Auflage. Fachbuch Verlag, Leipzig 2003
Bezeichnungen
Bei den Lösungen der Aufgaben wurden folgende Symbole verwendet:
↑:
A:
;
Abkürzung für Bewegungsgesetz (Kräftesatz, Impulssatz) in
Pfeilrichtung.
Abkürzung für Momentensatz (Drallsatz) bezüglich des Punktes A mit vorgegebener Drehrichtung.
Abkürzung für hieraus folgt.
Kapitel 1
Kinematik des Punktes
1
2
Kinematik
Die Lage eines Punkte P im Raum wird
durch den Ortsvektor
ds
dr
r(t)
P
beschrieben.
Aus der Verschiebung dr des Punktes
P in eine Nachbarlage während der Zeit dt
folgt seine Geschwindigkeit
dr
v=
= ṙ .
dt
r
z
y
x
s
Bahn
Die Geschwindigkeit ist stets tangential zur Bahn gerichtet. Mit der
Bogenlänge s und |dr| = ds gilt für den Betrag der Geschwindigkeit
v=
ds
= ṡ .
dt
Die zeitliche Änderung des Geschwindigkeitsvektors v(t) heißt Beschleunigung
a=
dv
= v̇ = r̈ .
dt
Die Beschleunigung ist im allgemeinen nicht tangential zur Bahn gerichtet!
Die Vektoren r, v und a lassen sich in speziellen Koordinatensystemen
wie folgt darstellen:
a) Kartesische Koordinaten mit den Einheitsvektoren ex , ey , ez :
Bahn
r = x ex + y ey + z ez ,
z
v = ẋ ex + ẏ ey + ż ez ,
ez
r
P
z
exey
a = ẍ ex + ÿ ey + z̈ ez .
y
x
y
x
b) Zylinderkoordinaten mit den Einheitsvektoren er , eϕ , ez :
P
r = r er + z ez ,
z
r
z
v = ṙ er + rϕ̇ eϕ + ż ez ,
ez
ϕ
a = (r̈ − rϕ̇2 ) er + (rϕ̈ + 2ṙϕ̇) eϕ + z̈ ez .
x
y
eϕ
er
r
Bahn
y
x
3
des Punktes
c) Natürliche Koordinaten mit den Einheitsvektoren et und en in
Richtung der Tangente bzw. der Hauptnormalen.
M
v = v et ,
a = v̇ et +
ρ
ρ
2
v
en .
ρ
s
Dabei sind:
ρ
ds
dt
dv
at = v̇ =
dt
v2
an =
ρ
v = ṡ =
Bahn
en
P
et
=
Krümmungsradius (Abstand zwischen P und
Krümmungsmittelpunkt M ),
=
Bahngeschwindigkeit,
=
Bahnbeschleunigung,
=
Normal- oder Zentripetalbeschleunigung.
Anmerkung: Die beiden Komponenten der Beschleunigung liegen in
der sogenannten Schmiegungsebene. Der Beschleunigungsvektor zeigt
stets ins Innere“ der Bahn.
”
Geradlinige Bewegung
Weg
Geschwindigkeit
Beschleunigung
x(t) ,
P
0
dx
= ẋ ,
dt
dv
= v̇ = ẍ .
a=
dt
v=
x
x(t)
Kreisbewegung
Für ρ = r = const und s = rϕ(t) erhält man in natürlichen Koordinaten
Geschwindigkeit
Bahnbeschleunigung
v = rϕ̇ = rω ,
at = rϕ̈ = rω̇ ,
2
Zentripetalbeschleunigung
an =
mit ω = ϕ̇ = Winkelgeschwindigkeit.
v
= rω 2
r
P
r
ϕ(t)
s(t)
4
Kinematische Grundaufgaben
Ebene Bewegung in Polarkoordinaten
Aus den Beziehungen für Zylinderkoordinaten folgen für z = 0, ϕ̇ = ω
v = vr er + vϕ eϕ ,
a = ar er + aϕ eϕ
mit
Bahn
vr = ṙ ,
Radialgeschwindigkeit
Zirkulargeschwindigkeit
vϕ = rω ,
Radialbeschleunigung
ar = r̈ − rω 2 ,
Zirkularbeschleunigung
aϕ = rω̇ + 2ṙω .
y
eϕ
P
r
er
ϕ
x
Anmerkung: Bei einer Zentralbewegung verschwindet die Zirkularbeschleunigung. Aus aϕ = rω̇ + 2ṙω = (r2 ω)· /r = 0 ergibt sich dann der
Flächensatz“ (2. Keplersches Gesetz) r2 ω = const .
”
Kinematische Grundaufgaben für geradlinige Bewegung
Der Bewegungsanfang zur Zeit t0 sei durch den Anfangsweg x0 und die
Anfangsgeschwindigkeit v0 gegeben.
Gegeben
Gesuchte Größen
a=0
v = v0 = const ,
x = x0 + v0 t
gleichförmige Bewegung
a = a0 = const
a = a(t)
v = v0 + a0 t ,
x = x0 + v0 t + 12 a0 t2
gleichmäßig beschleunigte Bewegung
t
t
v = v0 + a(t̄)dt̄ , x = x0 + v(t̄)dt̄
t0
a = a(v)
a = a(x)
v dv̄
t = t0 +
= f (v) ,
a(v̄)
v0
t0
x = x0 +
t
F (t̄)dt̄
t0
mit der Umkehrfunktion v = F (t)
x
x dx̄
v 2 = v02 + 2 a(x̄)dx̄ , t = t0 +
= g(x)
v(x̄)
x0
x0
Die Umkehrfunktion liefert x = G(t)
Anmerkungen:
• Die Formeln lassen sich auch bei einer allgemeinen Bewegung anwenden, wenn man x durch s und a durch die Bahnbeschleunigung
at ersetzt. Die Normalbeschleunigung folgt dann aus an = v 2 /ρ.
• Falls die Geschwindigkeit als Funktion des Weges gegeben ist, folgt
die Beschleunigung aus
dv
d v2
a=v
=
( ) .
dx
dx 2
Geradlinige Bewegung
5
Aufgabe 1.1 Der Mindestabstand b zwischen zwei Kraftfahrzeugen soll
so groß sein wie die Strecke, die das nachfolgende Fahrzeug innerhalb
von ts = 2 s bei seiner jeweiligen Geschwindigkeit zurücklegt.
a) Wie groß ist die Überholstrecke x1 ?
b) Für welche Zeit tü befindet sich ein PKW (Länge l1 = 5 m, konstante Geschwindigkeit v1 = 120 km/h) mindestens auf der Überholspur,
wenn er einen LKW (Länge l2 = 15 m, Geschwindigkeit v2 = 80 km/h)
korrekt überholt? (Die Zeiten für das Wechseln der Spur sollen unberücksichtigt bleiben.)
Lösung
l1
b1
l2
x2
b2
l1
x1
zu a) Bei gleichförmiger Bewegung folgen die Mindestabstände mit
1 km/h = 1000 m/3600 s zu
b1 = v1 ts =
120
200
·2=
m,
3, 6
3
b2 = v2 ts =
80
400
·2=
m.
3, 6
9
Die Überholstrecke beträgt daher
x1 = b1 + l2 + x2 + b2 + l1 .
Außerdem gilt
x2 = v2 tü ,
x1 = v1 tü .
Elimination von tü liefert
x1 =
zu b)
tü =
b1 + b2 + l1 + l2
=
1 − vv21
200 + 400 + 5 + 15
1180
3
9
=
= 393, 33 m .
80
3
1 − 120
Für die Überholzeit ergibt sich damit
x1
1180 · 3, 6
=
= 11, 8 s .
v1
3 · 120
A1.1
6
A1.2
Geradlinige
Aufgabe 1.2 Zur Simulation schwereloser Zustände werden VakuumFallschacht-Anlagen benutzt. Ein solcher Schacht habe eine Tiefe von
l = 200 m.
Welche maximale Versuchszeit t1 und welche Versuchsstrecke x1 im
freien Fall stehen zur Verfügung, wenn der Versuchskörper nach Durchfallen der Meßstrecke mit aII = −50 g auf v = 0 abgebremst wird?
Lösung Da der Körper aus der
Ruhelage losgelassen wird (x0 =
v0 = 0), gilt mit aI = const = g
für den freien Fall
vI = gt ,
xI =
g 2
t .
2
Beim Abbremsen folgen mit
aII = −50 g für Geschwindigkeit
und Weg
vII = vII0 − 50 gt ,
xII = xII0 + vII0 t − 50 gt2 /2 .
Versuchskörper
x
11111
00000
00000
11111
00000
11111
00000
11111
00000 l
11111
00000
11111
00000
11111
00000
11111
00000
11111
00000
11111
00000
11111
t=0
(aI = g)
x1
t = t1
(aII = −50 g)
t = t2
Man beachte, dass die Integrationskonstanten xII0 und vII0 hier keine
direkte physikalische Bedeutung haben.
Für t = t2 muss gelten:
vII (t2 ) = 0
;
vII0 = 50 gt2 ,
xII (t2 ) = l
;
xII0 = l − vII0 t2 +
50 2
gt2 = l − 25 gt22 .
2
Aus den Übergangsbedingungen
vI (t1 ) = vII (t1 )
;
gt1 = 50 g(t2 − t1 ) ,
xI (t1 ) = xII (t1 )
;
g 2
50 2
50 2
t1 = l −
gt2 + 50 gt1 t2 −
gt1
2
2
2
folgen durch Auflösen
100 l
100 · 200
t1 =
=
= 6, 32 s ,
51 g
51 · 9, 81
x1 = xI (t1 ) =
g 2
g 100 l
50
t1 =
=
l = 196 m .
2
2 51 g
51
Bewegung
7
Aufgabe 1.3 Eine U-Bahn legt zwischen 2 Stationen einen Weg von
3 km zurück. Aus der Anfahrbeschleunigung aA = 0, 2 m/s2 , der Bremsverzögerung aB = −0, 6 m/s2 und der Höchstgeschwindigkeit v ∗ =
90 km/h sollen der Anfahrweg, der Bremsweg, die Wegstrecke der gleichförmigen Bewegung und die Fahrzeit ermittelt werden.
Lösung Aus der konstanten Beschleunigung aA folgt beim Anfahren
ein Geschwindigkeitsverlauf
vA = aA t .
Mit der vorgegebenen Höchstgeschwindigkeit findet man die Anfahrtzeit
v∗
90 · 1000
=
tA =
= 125 s
aA
3600 · 0, 2
und den Anfahrweg
sA =
1
1
aA t2A = · 0, 2 · 1252 = 1563 m .
2
2
Beim Bremsen mit konstanter Verzögerung aB gilt für die Geschwindigkeit
vB = v ∗ + aB t .
Die Zeit tB bis zum Anhalten (vB = 0) wird daher
tB = −
v∗
90 · 1000
=−
= 41, 67 s ,
aB
3600 · (−0, 6)
und der zughörige Bremsweg ergibt sich zu
1
90 · 1000
1
aB t2B =
· 41, 67 − · 0, 6 · 41, 672
2
3600
2
= 1041, 75 − 520, 92 = 521 m .
sB = v ∗ tB +
Für die Fahrt mit konstanter Geschwindigkeit v ∗ bleibt dann ein Weg
von
s∗ = 3000 − sA − sB = 916 m .
Hierzu gehört eine Zeit
t∗ =
s∗
916 · 3600
=
= 36, 64 s .
v∗
90 · 1000
Die Gesamtfahrzeit wird damit
T = tA + t∗ + tB = 203, 31 s = 3, 39 min .
A1.3
8
A1.4
Geradlinige
Aufgabe 1.4 Ein PKW-Fahrer nähert sich mit einer Geschwindigkeit
von v0 = 50 km/h einer Ampel. Sie springt auf “Rot“, wenn er noch
l = 100 m entfernt ist. Die Rot- und Gelbphase dauert t∗ = 10 s. Der
Fahrer möchte die Ampel gerade dann passieren, wenn sie wieder auf
Grün wechselt.
”
”
a) Mit welcher konstanten Beschleunigung a0 muss der Fahrer bremsen?
b) Welche Geschwindigkeit v1 hat er auf Höhe der Ampel?
c) Man zeichne die Diagramme a(t), v(t) und x(t).
Lösung Bei konstanter Beschleunigung a0 gilt mit x(t = 0) = 0
v0
v = v0 + a0 t ,
x = v0 t + a0
t2
.
2
l
x
a) Aus der Bedingung x(t∗ ) = l folgt aus der 2. Gleichung
50 · 1000
2
2
m
a0 = ∗2 (l − v0 t∗ ) = 2 100 −
· 10 = −0, 78 2 .
t
10
3600
s
Das negative Vorzeichen zeigt an, dass der PKW verzögert wird!
b) Mit der nun bekannten Bremsverzögerung ergibt sich aus der ersten
Gleichung
v1 = v(t∗ ) = 50 ·
= 6, 09
1000
− 0, 78 · 10
3600
a [m/s2 ]
km
m
.
= 21, 9
s
h
10
t [s]
-0,78
c) Integration der konstanten
Beschleunigung liefert einen
linearen Geschwindigkeitsverlauf, nochmalige Integration
ein parabolisches Weg-ZeitDiagramm.
50
v [km/h]
21,9
x [m]
10
t [s]
100
10
t [s]
Bewegung
Aufgabe 1.5
Ein Fahrzeug bewegt sich gemäß dem dargestellten
Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm.
9
A1.5
v [m/s]
20
Man berechne die auftretenden
Beschleunigungen, den zurückgelegten Weg und zeichne die Diagramme x(t), a(t), v(x) und a(x).
300 360
100
t [s]
Lösung Zweckmäßig teilt man den Bewegungsablauf in 3 Zeitbereiche:
t1
t2
0
t3
300
100
1. Bereich, 0 ≤ t1
a1 ): Aus v1 = a1 t1
v (100)
a1 = 1100 =
s1 = x1 (100) =
360
t [s]
≤ 100 s (Anfahren mit konstanter Beschleunigung
folgen
20
100 =
1
2
1
5
m/s2 ,
a1 t21 ,
√
v1 (x1 ) = 2a1 x1 .
x1 =
· 15 (100)2 = 1000 m ,
1
2
2. Bereich, 0 ≤ t2 ≤ 200 s (gleichförmige Bewegung): Aus v2 = 20 m/s
= const findet man
a2 = 0 ,
x2 = v2 t2 ,
s2 = x2 (200) = 20 · 200 = 4000 m .
3. Bereich 0 ≤ t3 ≤ 60 s (Bremsen mit konstanter Verzögerung a3 ): Aus
v3 = 20 m/s + a3 t3 berechnen sich
20 = − 1 m/s2 ,
x3 = 20 t3 + 12 a3 t23 ,
a3 = − 60
3
√
s3 = x3 (60) = 20 · 60 − 12 · 13 (60)2 = 600 m , v3 = 400 + 2a3 x3 .
Das Fahrzeug durchfährt insgesamt die Strecke
s = s1 + s2 + s3 = 1000 + 4000 + 600 = 5600 m .
a [m/s2 ]
a1
300 360
100
5600
5000
a [m/s2 ]
a3
5000 5600
a1
1000
t [s]
x [m]
a3
x [m]
v [m/s]
20
1000
x [m]
100
300 360
t [s]
1000
5000 5600
10
A1.6
Geradlinige
Aufgabe 1.6 Die Beschleunigung eines frei fallenden Körpers unter
Berücksichtigung des Luftwiderstandes lässt sich näherungsweise durch
a(v) = g − αv 2 beschreiben. Dabei sind g die Erdbeschleunigung und
α eine Konstante.
Gesucht ist die Fallgeschwindigkeit v(t) eines Körpers, der ohne Anfangsgeschwindigkeit losgelassen wird.
Lösung Nach der Tabelle auf Seite 4 gilt für gegebenes a(v)
v
dv̄
t = t0 +
.
2
v0 g − αv̄
Wenn wir die Zeitzählung mit t0 = 0 beginnen, so ergibt sich mit
v(t0 ) = v0 = 0
v
dv̄
dv̄
1 v
t=
=
2
g
−
αv̄
α
g
g
0
0 (
α − v̄)( α + v̄)
und nach Partialbruchzerlegung
v
1
1
1
1
dv̄
t=
+
α
g
g
g
2 α 0
α − v̄
α + v̄
g
v
g
g
1
1
α +v
− ln(
= √
− v̄) + ln(
+ v̄) = √ ln .
2 gα
α
α
2 gα
g
0
−
v
α
Auflösen nach v liefert
g
√
α +v
e2 gα t = g
α −v
;
v=
√
g e2 gα t − 1
√
.
α e2 gα t + 1
e2ϕ − 1
eϕ − e−ϕ
= 2ϕ
Mit der Hyperbelfunktion tanh ϕ = ϕ
lässt sich
−ϕ
e +e
e +1
das Ergebnis auch schreiben als
v
√
g
tanh gα t .
v=
g
α
α
Aus der letzten Darstellung erkennt
man den Grenzwert
lim v(t) = g/α ,
t
t→∞
d.h. für große Zeiten fällt der
Körper praktisch mit konstanter Geschwindigkeit (a = 0 ; v = g/α).
Bewegung
11
Aufgabe 1.7 In einem Zylinder (Durchmesser d) bewegt sich ein Kolben infolge
V0
d
der Expansion der Gasfüllung. Die Bep0
schleunigung a des Kolbens ist dabei proportional dem jeweiligen Gasdruck p, d.h.
a = c0 p, wobei für den Gasdruck das Gasl0
gesetz pV = const gelte. Der Ausgangszustand sei durch den Druck p0 , die Kolbenstellung l0 und die Anfangsgeschwindigkeit v0 = 0 vorgegeben.
Wie groß ist die Kolbengeschwindigkeit v?
Lösung Bei einer Kolbenauslenkung x herrscht nach dem Gasgesetz
p0 V0 = pV bzw.
p0
πd2
πd2
l0 = p
(l0 + x)
4
4
V
der Druck
p
l0
.
l0 + x
p = p0
x
l0
Daraus folgt die Beschleunigung
a(x) = c0 p = c0 p0
1
1
= a0
.
1 + x/l0
1 + x/l0
Dabei ist a0 = c0 p0 die Anfangsbeschleunigung bei x = 0. Nach der
Tabelle auf Seite 4 berechnet sich bei gegebenem a(x)
x
v 2 = v02 + 2
x0
;
x
a(x̄)dx̄ = 2
v=
0
a0
x
dx̄ = 2l0 a0 ln 1 +
1 + x̄/l0
l0
2 l0 a0 ln 1 +
x
l0
a
.
v
a0
2
4
6
8
x/l0
2
4
6
8
x/l0
Anmerkung: Da die Beschleunigung mit wachsendem x abnimmt, steigt
die Geschwindigkeit immer langsamer an.
A1.7
12
A1.8
Geradlinige Bewegung
Aufgabe 1.8 Die Beschleunigung eines
P
Z
Punktes P , der sich längs einer Geraden
bewegt, sei zum Punkt Z gerichtet und
x
umgekehrt proportional zum Abstand x.
Für t = 0 hat P den Abstand x0 = 2 m, die Geschwindigkeit v0 = 4 m/s
und eine Beschleunigung a0 = −3 m/s2 .
a) Man bestimme die Geschwindigkeit v1 im Abstand x1 = 3 m.
b) In welchem Abstand x2 ist die Geschwindigkeit Null?
Lösung Entsprechend der Aufgabenstellung ist a = −c/x, wobei sich
die Konstante c aus den gegebenen Anfangswerten errechnet:
c = −a0 x0 = −(−3) · 2 = 6 (m/s)2 .
Mit dem nun bekannten a(x) ergibt sich für die Geschwindigkeit (vgl.
Tabelle S. 4)
x
2
v =
v02
+2
a(x̄)dx̄ =
v02
x +2
x0
;
x0
c x
− dx̄ = v02 − 2c ln
x̄
x0
v(x) = ± v02 − 2c ln x/x0 .
zu a) Die Geschwindigkeit für x1 = 3 m folgt daraus zu
3
m
+
.
v1 = (−) 16 − 12 ln = 3, 34
2
s
zu b) Die Geschwindigkeit wird Null für
v = 0 ; v02 −2c ln
2
x
= 0 ; x2 = x0 ev0 /2c = 2 e4/3 = 7, 59 m .
x0
Anmerkungen:
• Das Geschwindigkeits-WegDiagramm ist symmetrisch
zur x-Achse.
• Die Bewegung kann auch im
Bereich negativer x erfolgen.
Wegen der Unstetigkeit bei
x = 0 müssen dann neue Gleichungen unter Berücksichtigung der Richtungsänderung
von a aufgestellt werden.
v
v0
1
x
x0
1
2
ev0 /2c