AR(p), MA(q) und ARMA(p,q)

Anhang zu Kapitel 6.1: AR(p), MA(q) und ARMA(p,q)
AR(p)-Modell: Autoregressives Modell pter Ordnung
Yt = ρ1 Yt−1 + ρ2 Yt−2 + ... + ρp Yt−p + ut
p Lags
ut ist White Noise.
Partielle Autokorrelation πτ = 0 für τ > p
→ d.h. keine partielle Autokorrelation über p Lags hinaus.
MA(q)-Modell: Moving Average qter Ordnung (Gleitender Durchschnitt)
Yt = ut + β1 ut−1 + ... + βq ut−q
q Lags
ut ist White Noise.
Autokorrelation: ρτ = 0 für τ > q
→ d.h. keine Autokorrelation über q Lags hinaus.
ARMA(p,q)-Prozess:
Yt = ρ1 Yt−1 + ... + ρp Yt−p + ut + β1 ut−1 + ... + βq ut−q
Mischung von AR(p) und MA(q)
1
AR(1)-Modell mit und ohne Absolutglied und |ρ| < 1 (stationärer Prozess)
Ohne Absolutglied:
Yt = ρYt−1 + ut
mit ut White Noise, Eut = 0, Var(ut ) = σ 2
Dann gilt:
EYt = ρEYt−1 + Eut
= ρEYt
da EYt = EYt−1
und Eut = 0
→ EYt = 0
Das Modell ohne Absolutglied kann auch als Modell in Abweichungen vom Mittelwert
interpretiert werden (Frisch-Waugh-Theorem). Dies wird durch folgende Ableitung
deutlich:
Yt = µ + ρYt−1 + ut
EYt = µ + ρEYt−1
µ
→ EYt =
1−ρ
Seien Yet = Yt −
dann: Yt −
µ
1−ρ
und Yet−1 = Yt−1 −
µ
1−ρ
µ
µ
µ
µ
= Yet = µ −
+ρ
+ρ (Yt−1 −
) +ut
1−ρ
1−ρ
1−ρ
1−ρ
|
{z
}
|
{z
}
=0
e
Yt−1
was AR(1)-Modell in Yet ergibt:
Yet = ρYet−1 + ut
2