Mechanische Schwingungen I

Profilfach Physik
Übungen zu mechanischen Schwingungen.
Ks 2011
Aufgabe 1
Welche Eigenschaften muss ein mechanisches System besitzen, damit es periodische Schwingungen
ausführen kann?
Aufgabe 2
Ein Federpendel wurde um die Strecke s = 15 cm aus der Ruhelage ausgelenkt und dann losgelassen.
Nun schwingt es harmonisch und ungedämpft mit einer Periodendauer von 2,0 s. Zur Zeit t0 = 0 s
passiert es die Gleichgewichtslage mit negativer Geschwindigkeit.
a) Wie groß ist seine Auslenkung zum Zeitpunkt t1 = 1,2 s?
b) In welchen Zeitpunkten ist v maximal bzw. minimal?
c) Berechne sowohl die Geschwindigkeit, als auch die Beschleunigung im Zeitpunkt t1.
d) Zu welchen Zeitpunkten ist s = + 10 cm?
Aufgabe 3)
Bei drei verschiedenen schwingungsfähigen Systemen wird die Kraft gemessen, die für eine
bestimmte Auslenkung der Masse erforderlich ist.
Auslenkung
in mm
20
50
60
80
System 1
Kraft
9
22,5
27
36
System 2
in
7,5
15
22,5
30
13
13
13
13
System 3
N
a) Welches System wird harmonische Schwingungen ausführen, welches nicht? Bitte genau
begründen.
b) Der Pendelkörper des harmonisch schwingenden Systems besitzt die Masse m = 1,80 kg.
Wie lange dauern 20 volle Schwingungen dieses Systems?
c) Welche Masse müsste der Pendelkörper besitzen, damit das System mit einer Periodendauer von
1,0 s schwingt?
Aufgabe 4)
lvor
Eine Feder (D = 80 N/m) besitzt im ungespannten Zustand die Länge lvor = 15 cm.
a) Welche Länge lo besitzt sie, wenn man m = 500 g anhängt und wartet, bis sie in der
lo
Gleichgewichtslage s = 0,0 m ist. Welche Kräfte wirken dann auf die Masse?
b) Nun wird m um 20 mm angehoben (s = + 20 mm). Welche Kräfte wirken im
Augenblick des Loslassens auf die Masse ein (Bitte einzeichnen) und wie groß ist die
resultierende Gesamtkraft?
m
c) Wie groß ist die Gesamtkraft wenn man die Masse zum Ort s = -40 mm bringt?
d) Mit welcher Frequenz schwingt das System nach dem Loslassen?
Aufgabe 5) Ein vertikales Federpendel wie in Afg. 4) bestehe aus zwei parallel eingehängten Federn
mit den Federkonstanten D1 = 60 N/m und D2 = 40 N/m an denen die Masse m = 500 g hängt.
a) Mit welcher Frequenz schwingt dieses System?
b) Welche Schwingungsfrequenz erhält das System, wenn man die Federn nicht parallel
nebeneinander, sondern in Reihe untereinander befestigt?
Aufgabe 6) Ein horizontales Federpendel besteht aus einem Wagen mit m = 500 g und zwei Federn
D1 = 60 N/m und D2 = 40 N/m. Zum Zeitpunkt to = 0 s ist es um s0 = 25 cm ausgelenkt und wird
dann losgelassen. Wie groß sind die Auslenkung und die auf m wirkende Kraft zu den Zeiten
t1 = 100 ms und t2 = 800 ms?
s
0
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Lösungen zum Aufgabenblatt
Aufgabe 2
Ein Federpendel wurde um die Strecke s = 15 cm von der Ruhelage ausgelenkt und dann losgelassen. Nun schwingt es harmonisch und ungedämpft mit einer Periodendauer von 2,0 s.
Zur Zeit t0 = 0 s passiert es die Gleichgewichtslage mit negativer Geschwindigkeit.
a) Wie groß ist seine Auslenkung zum Zeitpunkt t1 = 1,2 s?
Geg.: sm = 0,15 m, T = 2,0 s
Ges.: s(t1)
Lsg.:
s(t1) = - sm · sin(ωt)
s(t1) = 8,8 cm
mit ω = 2·π·/T = 3,14 1/s
b) In welchen Zeitpunkten ist v maximal bzw. minimal?
v ist maximal
zu den Zeiten 1/2 T = 1 s, 3/2 T = 3 s . . . .
v ist minimal (negativ) zu den Zeiten
0 s, T = 2 s, 2·T = 4 s . . .
s
v
c) Berechnen Sie sowohl die Geschwindigkeit, als auch die Beschleunigung im
Zeitpunkt t1.
v(t1) = s·(t1) = - sm · ω · cos(ω·t1)
v(t1) = 0,38 m/s
a(t1) = v·(t1) = sm · ω2 · sin(ωt1)
a(t1) = - 0,87 m/s2
d) Zu welchen Zeipunkten ist s = + 10 cm?
Gesucht: Zeiten, zu denen s(t) = 0,10 m
s(t) = - sm · sin(ωt)
s
s(t)/sm = - sin(ωt) = 10 cm / 15 cm = 2/3
=> ω·t = -0,73
=> t
= - 0,23 s
Weitere Zeiten:
t2 = T – 0,23 s = 1,77 s
Allgemein: t n = n — T – 0,23 s ( n = 1,2,3..)
t'2 = T/2 + 0,23 s = 1,23 s
Allgemein: t’n = n —T + T/2 + 0,23 s
( n = 0,1,2..)
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Übungen zu mechanische Schwingungen 2004
Aufgabe 3)
Bei drei verschiedenen schwingungsfähigen Systemen wird die Kraft gemessen, die für eine
bestimmte Auslenkung der Masse erforderlich ist.
Auslenkung
in mm
20
50
60
80
System 1
Kraft
9
22,5
27
36
System 2
in
7,5
15
22,5
30
13
13
13
13
System 3
N
a) Welches System wird harmonische Schwingungen ausführen, welches nicht? Bitte genau
begründen.
a) Die Schwingung ist harmonisch, falls
ein lineares Kraftgesetz vorliegt, d.h.
falls F ~ s zunimmt.
40
F in N
35
30
25
20
Test z. B. mit Excel ergibt:
=> System 1 schwingt harmonisch.
Die Systeme 2 und 3 schwingen
nicht harmonisch, da kein lineares
Kraftgesetz vorliegt.
15
10
5
s in mm
0
0
20
40
60
80
b) Der Pendelkörper des harmonisch schwingenden Systems besitzt die Masse m = 1,80 kg.
Wie lange dauern 20 volle Schwingungen dieses Systems?
Es gilt: ω = 2π/T =
=>
D/m
T = 2π · m/D
Wobei D = F/s = 36 N / 0,08 m = 450 N/m
=>
T = 0,397.. s
20 · T = 7,9 s
c) Welche Masse müsste der Pendelkörper besitzen, damit das System mit einer Periodendauer von
1,0 s schwingt?
Gesucht: Masse für T = 1,0 s
2π/T =
=>
D/m
m = D · T2 / (4π2)
m = 11 kg
100
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Aufgabe 4)
Eine Feder (D = 80 N/m) besitzt im ungespannten Zustand die Länge lvor = 15 cm.
a) Welche Länge lo besitzt sie, wenn man m = 500 g anhängt und wartet, bis sie in der
Gleichgewichtslage s = 0,0 m ist. Welche Kräfte wirken dann auf die Masse?
b) Nun wird m um 20 mm angehoben (s = + 20 mm). Welche Kräfte wirken im
Augenblick des Loslassens auf die Masse ein (Bitte einzeichnen) und wie groß ist die
resultierende Gesamtkraft?
c) Wie groß ist die Gesamtkraft wenn man die Masse zum Ort s = -40 mm bringt?
d) Mit welcher Frequenz schwingt das System nach dem Loslassen?
a) Gegeben: lvor = 0,15 m D = 80 N/m;
Gesucht: Gleichgewichtslänge l0
F = D · ∆l
lvor
lo
0
m
m = 0,500 kg
=> ∆l = F / D = m·g / D = 0,061.. m
l0 = lvor + ∆l = 0,21 m
Kräfte:
Es wirken die Gewichtskraft und die Federkraft.
Im Gleichgewicht sind beide gleich groß und entgegengesetzt. F = 4,9 1
b) Es wirkt die Geweichtskraft FG = - 4,9 N nach unten und die
Federkraft FF = D · ∆l = D · 0,041.. m = 3,3… N nach oben.
lo
=> Resultierende Kraft F = -1,6 1 nach unten.
FF
m
FG
c) Am Ort s = - 40 mm ist F = + 3,2 1.
d) Gesucht: f
ω = 2·π · f = D/m
=>
f = D/m / 2π = 2,0 Hz
s
s
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Aufgabe 5) Ein vertikales Federpendel wie in Afg. 4) bestehe aus zwei parallel eingehängten Federn
mit den Federkonstanten D1 = 60 N/m und D2 = 40 N/m an denen die Masse m = 500 g hängt.
a) Mit welcher Frequenz schwingt dieses System?
b) Welche Schwingungsfrequenz erhält das System, wenn man die Federn nicht parallel
nebeneinander, sondern in Reihe untereinander befestigt?
a) Bei parallelen Federn addieren sich die Kräfte:
F = F1 + F2 = D1 · s + D2 · s = (D1 + D2) · s
F = D ·s
mit D = D1 + D2 = 100 N/m
D1
D2
m
ω = 2·π · f = D/m
=>
f = D/m / 2π = 2,3 Hz
b) Bei zwei in reihe hängenden Federn sind die Kräfte gleich, die Auslenkungen
addieren sich aber.
s = s1 + s2
D1
mit F = D · s folgt: s = F / D
=> s = F/D = F1 / D1 + F2 / D2
D2
Da F = F1 = F2 folgt:
1/D = 1/D1 + 1/D2
=>
1/D = 1/(60 N/m) + 1/(40 N/m)
D = 24 N/m
=>
f = D/m / 2π = 1,1 Hz
m
= 0,0412 m/N
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Aufgabe 6) Ein horizontales Federpendel besteht aus einem Wagen mit m = 500 g und zwei Federn
D1 = 60 N/m und D2 = 40 N/m. Zum Zeitpunkt to = 0 s ist es um s0 = 25 cm ausgelenkt und wird
dann losgelassen. Wie groß sind die Auslenkung und die auf m wirkende Kraft zu den Zeiten
t1 = 100 ms und t2 = 800 ms?
Gegeben: D1 = 60 N/cm; D2 = 40 N/m; m = 0,5 kg; sm = s(t0) = 0,25 m
Gesucht: s(t1) und s(t2)
Für Horizontales Federpendel gilt: D = D1 + D2 = 100 N/m
=>
ω = D/m
14,1… 1/s
s(t) = sm · cos(ωt)
da am Anfang Maximalauslenkung.
s(t1) = 3,9 cm, s(t2) = 7,8 cm
F=m·a=m·s
oder F = - D · s
F1 = -3,9 1; F2 = - 7,81