¨Ubungen zur Vorlesung Lineare Algebra Kapitel 1. Vektorräume

Übungen zur Vorlesung Lineare Algebra
Institut für Reine Mathematik
WS 2009/10 & SS 2010
Kapitel 1. Vektorräume
• Was ist ein Vektorraum?
• Sei X ̸= ∅ und K ein Körper. Wie macht man Abb (X, K) zu einem K -Vektorraum?
• Was ist ⟨S⟩ für eine Teilmenge S ⊂ V eines Vektorraums V ?
• Wann heißt ein System von Vektoren linear unabhängig?
• Was ist ein Erzeugendensystem eines Vektorraums?
• Was ist eine Basis?
• Was ist ein minimales Erzeugendensystem eines Vektorraums?
• Wann ist ein System eine maximal linear unabhängige Teilmenge in einem Vektorraum?
• Was besagt der Basisaustauschsatz?
• Was besagt der Basisergänzungssatz?
• Was besagt der Basisauswahlsatz?
• Was ist die Dimension eines Vektorraums? Warum ist sie wohldefiniert?
• Was besagt die Dimensionsformel für die Summe von Unterräumen?
• Was ist die direkte Summe von Unterräumen?
• Welche Dimension hat der Vektorraum der Polynome vom Grad ≤ n ?
Kapitel 2. Lineare Abbildungen
• Was ist eine lineare Abbildung?
• Was ist Ker(φ) und Bi (φ) ?
Wie kennzeichnet man damit Injektivität bzw. Surjektivität von φ ?
• Wie lautet die Rangformel für lineare Abbildungen?
• Begründen Sie: Ein Endomorphismus eines endlich dimensionalen Vektorraums ist genau dann injektiv, wenn er surjektiv ist.
• Es sei dim V = n und dim W = m . Erklären Sie die Beziehung zwischen linearen
Abbildungen von V nach W und (m × n) -Matrizen.
• Wie stellt man die darstellende Matrix einer linearen Abbildung auf ?
• Wie lautet die Transformationsformel für darstellende Matrizen?
Kapitel 3. Matrizen
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• Wie ist das Matrizenprodukt definiert?
• Welche Beziehung besteht zwischen dem Matrizenprodukt und der Komposition linearer Abbildungen?
• Was ist der Rang einer Matrix?
• Welche Beziehung besteht zwischen dem Zeilen- und Spaltenrang?
• Wie kann man Zeilenumformungen als Matrizenmultiplikation beschreiben?
• Wie kann man Spaltenumformungen als Matrizenmultiplikation beschreiben?
• Wann ist eine Matrix invertierbar?
• Wie invertiert man eine Matrix?
• Wie berechnet man den Rang einer Matrix?
Kapitel 4. Lineare Gleichungssysteme
• Was ist ein homogenes bzw. inhomogenes lineares Gleichungssystem?
• Was wissen Sie über den Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems?
• Wie lautet das Kriterium für die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems?
• Wann ist ein lineares Gleichungssystem eindeutig bzw. universell lösbar?
• Wie sieht das Rechenverfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen aus?
Kapitel 5. Determinanten
• Was ist eine Determinante?
• Formulieren Sie den Existenz- und Eindeutigkeitssatz für Determinanten.
• Wie verändern sich Determinanten unter Zeilen- bzw. Spaltenumformungen?
• Kennzeichnen Sie invertierbare Matrizen durch Determinanten.
• Was sagt die Determinante über die Lösbarkeit eines Gleichungssystems aus?
• Was besagt die Cramersche Regel?
• Determinante durch Entwicklung nach der j -ten Spalte bzw. i -ten Zeile.
• Was ist die Permutationsgruppe zu n Elementen? Wie viele Elemente hat sie?
• Was ist das Signum einer Permutation?
• Wie lautet die Determinantenformel nach Leibniz mittels Permutationen?
• Wie lautet der Determinantenmultiplikationssatz?
• Wie berechnet man die Determinante einer Blockmatrix?
• Wie lautet die Determinante der transponierten Matrix?
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• Wie definiert man die Determinante eines Endomorphismus?
• Was ist die komplementäre Matrix?
Kapitel 6. Diagonalisierbarkeit
• Definieren Sie Eigenwert bzw. Eigenvektor eines Endomorphismus.
• Was ist ein charakteristisches Polynom?
• Wie berechnet man Eigenwerte?
• Was ist die geometrische Vielfachheit eines Eigenwertes?
Was ist die algebraische Vielfachheit eines Eigenwertes?
• Welche Beziehung besteht zwischen beiden?
• Formulieren Sie das Diagonalisierbarkeitskriterium.
• Wie diagonalisiert man eine Matrix?
• Was besagt der Satz von Cayley-Hamilton?
• Was ist das Minimalpolynom?
• Wie wird Diagonalisierbarkeit über das Minimalpolynom charakterisiert?
• Welche Teilbarkeitsbeziehungen bestehen zwischen dem Minimalpolynom und dem
charakteristischen Polynom?
• Wie bestimmt man das Format der Jordanschen Normalform zu einem Endomorphismus?
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Kapitel 7. Euklidische Vektorräume
• Was ist ein Skalarprodukt auf einem reellen Vektorraum?
• Was ist ein Skalarprodukt auf einem komplexen Vektorraum?
• Was besagt die Ungleichung von Cauchy-Schwarz?
• Wie kann man bei Vorgabe einer Basis eine Bilinearform durch eine Matrix darstellen?
• Beschreiben Sie die Abhängigkeit der Matrixdarstellung von der Auswahl der Basis.
• Was ist eine Orthonormalbasis eines euklidischen bzw. unitären Vektorraums?
• Wie konstruiert man eine Orthonormalbasis?
• Was ist das orthogonale Komplement zu einem Untervektorraum und wie konstruiert
man es?
• Wie kann man anhand der Matrixdarstellung einer symmetrischen Bilinearform auf
einem reellen Vektorraum testen, dass sie positiv definit ist?
• Was ist eine orthogonale Abbildung?
• Was wissen Sie über Normalformen orthogonaler Abbildungen?
• Was ist ein selbstadjungierter Endomorphismus eines euklidischen bzw. unitären Vektorraums?
• Was besagt der Spektralsatz?
• Was ist ein normaler bzw. positiver Endomorphismus?
• Was besagt der Diagonalisierungssatz für normale bzw. positive Endomorphismen?
• Was ist die Polarzerlegung eines Endomorphismus - Satz 7.8.3 ?
• Was besagt der Satz über die Hauptachsentransformation?
• Was besagt der Trägheitssatz von Sylvester?
• Was ist eine Singulärwertzerlegung und wie sind die Singulärwerte definiert?
• Was ist eine Moore-Penrose-Inverse und wie findet man diese?
• Was ist eine Norm auf einem Vektorraum?
• Welche Beziehung gibt es zwischen den Normen auf dem Rn ?
• Geben Sie Beispiele für Matrixnormen?
• Was ist eine induzierte Matrixnorm? Nennen Sie Eigenschaften!
• Wie ist exp(A) für eine quadratische Matrix A ∈ M (n, C) definiert?
• Nennen Sie für eine quadratische Matrix A ∈ M (n, C) ein hinreichendes und notwendiges Kriterium dafür, dass die Folge (An ) für n ∈ N eine Nullfolge ist.
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Kapitel 8. Duale Vektorräume
• Wie ist der duale Vektorraum definiert und was ist die kanonische duale Paarung?
• Was ist die duale Basis zu einer gegebenen Basis?
• Was ist die duale Abbildung zu einer linearen Abbildung und wie kann man die Matrixdarstellung der dualen Abbildung berechnen?
• Wie läuft die kanonische Abbildung V → V ∗∗ ?
• In welcher Beziehung stehen Bi(φ) , Bi(φ∗ ) , Ker(φ) und Ker(φ∗ ) zueinander?
• In welcher Beziehung stehen rg(φ) und rg(φ∗ ) ?
Kapitel 9. Lineare Ungleichungen
• Was ist ein affiner Unterraum und was ist eine affine Abbildung?
• Wie ist die affine Hülle einer Menge definiert?
• Wie ist der Begriff Konvexität einer Menge definiert?
• Was ist die konvexe Hülle einer Menge und wir kann man sie darstellen?
• Wie sind Ecken einer konvexen Mengen definiert? Wie kann man sie charakterisieren?
• Was besagt der Trennungssatz?
• Was besagt der Satz von Minkowski?
• Was sind Polyeder bzw. Polytope?
• Welche Beziehung besteht zwischen diesen Begriffen?
• Was besagt der Satz von Carathéodory?
• Was ist ein konvexer Kegel? Wie ist die Dualitätsbeziehung?
• Was ist ein konvexer Kegel und was bedeutet endlich erzeugt?
• Was besagt der Darstellungssatz für Polyeder?
• Beschreiben Sie die Seitenflächen eines Polyeders!
• Was ist eine Kante eines Polyeders und wie kann man diese charakterisieren?
• Beschreiben Sie den theoretischen Ablauf des Simplexverfahrens?
• Beschreiben Sie den Simplexalgorithmus!
• Beschreiben Sie das lineare Optimierungsproblem und deren Lösung mit dem Simplexalgorithmus!
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