Skript-FrankReinhold - Physik

Universität Regensburg
Fakultät Physik
Experimentalphysik 3
Wellen und Quanten
PD Dr. Ulrich T. Schwarz
Wintersemester 2008/2009
LATEX: Frank Reinhold
Inhaltsverzeichnis
1 Licht als elektromagnetische Welle
1.1 Ebene Welle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . .
a)
Astronomische Methode von Ole Römer (1644-1710)
b)
Zahnradmethode von Fizeau (1819-1896) . . . . . .
1.3 Phasengeschwindigkeit von Licht im Medium . . . . . . . .
1.4 E-Feld und B-Feld einer ebenen Welle . . . . . . . . . . . .
~ . . . . . . . . . . .
1.5 Energietransport und Poynting-Vektor S
1.6 Strahlungsdruck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Dispersion von Licht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Phasen- und Gruppengeschwindigkeit . . . . . . . . . . . .
1.9 Transmission und Reflexion an Grenzflächen . . . . . . . . .
a)
Spezialfall: senkrechter Einfall . . . . . . . . . . . . .
b)
Beliebiger Einfallswinkel . . . . . . . . . . . . . . . .
c)
Spezialfälle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d)
Fresnel-Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e)
Evaneszente Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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19
2 Geometrische Optik
2.1 Fermatsches Prinzip . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Abbildung durch brechende Kugelfläche . . . .
2.3 Dünne Linse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Geometrische Konstruktion des Bildes . . . . .
2.5 Optische Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . .
a)
Teleskop . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b)
Lupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c)
Lupe (Gegenstand in den Brennpunkt) .
d)
Mikroskop . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Blenden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Dicke Linsen und Linsensysteme . . . . . . . .
2.8 ABCD-Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a)
Brechung an Kugelfläche mit Radius r .
b)
Translation um Strecke d12 . . . . . . .
c)
Ausbreitung durch ein System . . . . .
2.9 Abbildungsfehler . . . . . . . . . . . . . . . . .
a)
Chromatische Aberration . . . . . . . .
b)
Monochromatische Aberration . . . . .
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3 Wellenoptik
3.1 Huygensches Prinzip . . . . . . . . . .
3.2 Beugung am Spalt . . . . . . . . . . .
a)
”zu Fuß” für z0 → ∞ . . . . .
b)
Fresnel-Beugung am Spalt . . .
3.3 Fresnel-Kirchhoffsche Beugungstheorie
3.4 Fresnelsche Zonenplatte . . . . . . . .
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3
Inhaltsverzeichnis
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
3.12
3.13
3.14
Fraunhofer-Beugung . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fraunhofer-Beugung am Einfachspalt . . . . . . . .
Beugung am Doppelspalt . . . . . . . . . . . . . .
a)
limb→0 : Interferenz zweier Elementarwellen
b)
Endliche Spaltenbreite . . . . . . . . . . . .
Beugung am Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Allgemeine Betrachtung zur Beugung . . . . . . . .
Räumliches Auflösungsvermögen . . . . . . . . . .
Abbe’sche Theorie der Bildentstehung . . . . . . .
Zweistrahl-Interferenz . . . . . . . . . . . . . . . .
a)
Michelson-Interferometer . . . . . . . . . .
b)
Sagnac-Interferometer . . . . . . . . . . . .
c)
Mach-Zehnder-Interferometer . . . . . . . .
d)
Interferenz an dünnen Schichten . . . . . .
e)
Interferenz gleicher Neigung . . . . . . . . .
f)
Interferenz gleicher Dicke . . . . . . . . . .
Vielfachinterferenz . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kohärenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a)
Räumliche Kohärenz . . . . . . . . . . . . .
b)
Zeitliche Kohärenz . . . . . . . . . . . . . .
4 Polaristionsoptik und Nichtlineare Optik
4.1 Polarisation elektro-magnetischer Wellen .
4.2 Polarisationsoptiken . . . . . . . . . . . .
a)
Polarisatoren . . . . . . . . . . . .
λ
b)
2 -Plättchen . . . . . . . . . . . . .
λ
c)
4 -Plättchen . . . . . . . . . . . . .
4.3 Formale Beschreibung . . . . . . . . . . .
a)
Jones Vektoren . . . . . . . . . . .
b)
Stokes Parameter . . . . . . . . . .
4.4 Doppelbrechung . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Die Optische Aktivität . . . . . . . . . . .
4.6 Induzierte Doppelbrechung . . . . . . . .
a)
Spannungsdoppelbrechung . . . . .
b)
Kerr-Effekt . . . . . . . . . . . . .
c)
Pockels-Effekt . . . . . . . . . . . .
4.7 Nichtlineare Optik . . . . . . . . . . . . .
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67
68
68
68
69
69
73
74
74
74
75
76
5 Welle-Teilchen-Dualismus
79
5.1 Photoeffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
a)
1. Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
b)
2. Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6 Anhang: Fourier-Transformation
83
Abbildungsverzeichnis
89
Literaturverzeichnis
93
4
1 Licht als elektromagnetische Welle
Maxwell-Gleichungen
~
~ ×E
~ = − ∂B
∇
∂t
~
∂
D
~ ×H
~ =
∇
+ ~
∂t
~ · ~0 = %
∇
~ ·B
~ =0
∇
~ : elektrische Feldstärke
E
Faradaysches Induktionsgesetz
(1.1)
Ampersches Gesetz, Verschiebungsterm
(1.2)
Ladung: Quellen des E-Feldes
(1.3)
keine magnetischen Monopole
(1.4)
V
~ : magnetische Feldstärke
H
m
A
m
~ : dielektrische Verschiebung
D
~ : magnetische Induktion
B
~ : Stromdichte mA2
As
m2
Vs
m2
Felder werden über Lorentzkraft gemessen
~ + ~v × B)
~
F~ = q(E
(1.5)
Materialgleichungen
~ = ε0 E
~ + P~ (E)
~
D
ε0 = 8, 854 · 10−12
~ = µ0 H
~ +M
~ (H)
~
B
µ0 = 4π · 10−7
P~ : elektrische Polarisation
As
Vm
Vs
Am
Dielektrizitätskonstante
(1.6)
Permeabilitätskonstante
(1.7)
As
~ : magnetische Polarisation
M
m2
Vs
m2
Lineare Medien
~
P~ = ε0 χe E
~ = µ0 χm H
~
M
bzw.
bzw.
~ = ε0 εE
~
D
~ = µ0 µH
~
B
mit ε = 1 + χe
(1.8)
mit µ = 1 + χm
(1.9)
χe : elektrische Suszeptibilität [ ]
χm : magnetische Suszeptibilität [ ]
χe , χm , ε, µ können von der Wellenlänge abhängen (Dispersion).
χe , χm , ε, µ können Tensoren sein (Doppelbrechung).
χe , χm , ε, µ können vom Feld abhängen (nichtlineare Optik).
5
1 Licht als elektromagnetische Welle
Nichtmagnetischer Isolator (z.B. Glas)
~ ×D
~ =%=0
∇
keine freien Ladungen
(1.10)
keine Ströme, µ = 1
(1.11)
2~
∂ ~
~ = −µ0 ∂ D
(∇ × B)
∂t
∂t2
(1.12)
~ = 0
Ableitung der Wellengleichung
~ × (∇
~ × E)
~ =∇
~ ×
∇
~
∂B
−
∂t
!
=
~ × (∇
~ × E)
~ = ∇(
~ ∇
~ · E)
~ − (∇
~ · ∇)
~ E
~ = −∆E
~
∇
2~
~ − ε0 εµ0 ∂ E = 0
⇒ ∆E
∂t2
(1.13)
(1.14)
analog:
~ − ε0 εµ0
∆B
~
∂2B
=0
∂t2
(1.15)
Analog zur Wellengleichung in der Mechanik
∂ 2 y(x, t)
1 ∂ 2 y(x, t)
−
=0
2 ·
∂x2
vPh
∂t2
Amplitude y(x, t)
(1.16)
1.1 Ebene Welle
~ r, t) = E
~ 0 cos(ωt − ~k~r + ϕ)
E(~
(1.17)
~k 2 = k 2 + k 2 + k 2 = ε0 εµ0 ω 2
x
y
z
ε 2
2
k = 2ω
c
(1.18)
ist Lösung der Wellengleichung mit
(1.19)
mit Vakuum-Lichtgeschwindigkeit
1
ε0 µ0
(1.20)
1
2π
=
ν
ω
(1.21)
c= √
Bemerkung:
(1.17) = F (x − ct) für c =
ω
k
mit ε = 1 (Vakuum).
Periode τ , Frequenz ν, Kreisfrequenz ω
τ=
Wellenlänge λ, Wellenzahl k
2π
λ
k = ~k k=
6
(1.22)
mit Wellenvektor ~k
(1.23)
1.2 Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit
1.2 Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit
Galileo Galilei (1564-1642): c >
3000 m
0,2 s .
a) Astronomische Methode von Ole Römer (1644-1710)
Abbildung 1.1: Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit: Astronomische Methode
Mondverfinsterung ist Opposition r2 um ≈ 24 min gegenüber Konjugation r1 verzögert.
c≈
2Æ
m
= 2, 1 · 108
24 · 60 s
s
(1.24)
b) Zahnradmethode von Fizeau (1819-1896)
Erste terrestrische Messung
Abbildung 1.2: Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit: Zahnradmethode
Dunkel, wenn nach Lichtumlauf gerade Zahn auf Lücke trifft
1
2n · UD
2d
km
c=
= 4dnUD = 313290
t0
s
t0 =
UD = 12, 6
1
s
(1.25)
(1.26)
Perrotin (1901) mit d = 46 km
c = (299776 ± 80)
km
s
(1.27)
7
1 Licht als elektromagnetische Welle
Bestimmung aus Frequenz und Wellenlänge
c=
ω
λ
= 2πν
= νλ
k
2π
(1.28)
Burger, Hall (1972, Boulder, NIST):
HeNe-Laser auf Absorptionslinie von Methan stabilisiert.
λ = 3, 39 . . . µ m
ν = 88, . . . · 10
12
(1.29)
Hz
(1.30)
m
c = (29979245, 8 ± 1, 2)
s
(1.31)
Problem:
”1 m” ist nicht genau genug!
Lösung:
!
Vakuumlichtgeschwindigkeit c = 299792458 ms exakt.
⇒ Definition des Meters via Sekunde (Hyperfeinstruktur von
133
Cs, relative Unsicherheit < 10−14 ).
1
Vs
, µ0 = 4π · 10−7
exakt
ε0 µ0
Am
1
As
= 8, 854 . . . · 10−12
exakt
⇒ ε0 =
µ0 c2
Vm
c= √
(1.32)
(1.33)
Die Lichtgeschwindigkeit ist unabhängig vom Bezugssystem.
⇒ spezielle Relativitätstheorie
1.3 Phasengeschwindigkeit von Licht im Medium
cM = √
mit Brechungsindex n =
√
1
c
c
=√ =
ε0 εµ0
n
ε
(1.34)
ε.
Abbildung 1.3: Phasengeschwindigkeit
εLuft < εGlas
1 ≈ nLuft < nGlas ≈ 1, 5
(1.35)
(1.36)
λLuft > λGlas
(1.37)
kLuft < kGlas
(1.38)
Immer (auch im Medium) gilt:
k=
8
2π
2πn
=
λM
λ0
(1.39)
1.4 E-Feld und B-Feld einer ebenen Welle
mit Vakuumwellenlänge λ0 .
Phasengeschwindigkeit im Medium
ω
c
= = νPh
k
n
(1.40)
1.4 E-Feld und B-Feld einer ebenen Welle
~ =E
~ 0 · ei(ωt−~k~r)
E
(1.41)
~ =< E
~ 0 ei(ωt−~k~r) =
E
1 ~ i(ωt−~k~r)
E0 e
+ c.c.
=
2
(1.42)
reelles physikalisches Feld
(1.43)
Abbildung 1.4: E-Feld einer ebenen Welle


Ex
~0 =  0 
E
0
(1.44)
Bei Quellenfreiheit (% = 0) und ε = const. (n = const.) gilt
~ = ε0 εdivE
~ =0
divD
(1.45)
i~
k~
r
~ = −i~k Ee
~
divE
=0
~
~
⇒ kE = 0
(1.46)
~
oder ~k⊥E
⇒ ebene Welle ist transversal
(1.47)
(1.48)
Faradaysches Induktionsgesetz
∂   

0
Ex
∂x
~
∂B
~ ×E
~ = −  ∂  ×  0  =  ∂Ex 
= −∇
∂y
∂z
∂t
∂
0
0
∂z
∂By
= ikEx ei(ωt−kz)
∂t
(1.49)
(1.50)
9
1 Licht als elektromagnetische Welle
Integration
k
1
Ex ei(ωt−kz) = Ex ei(ωt−kz)
ω 
c

0
~ = By 
B
0
~
~
⇒ B(t)
und E(t)
sind in Phase
By =
(1.51)
~ E⊥
~ ~k⊥B
~
B⊥
(1.52)
(1.53)
~
1.5 Energietransport und Poynting-Vektor S
Energiedichte des elektro-magnetischen Feldes
Wem
1
= ε0 (E 2 + c2 B 2 ) = ε0 E 2
2
J
m3
Wel = Wmag
(1.54)
(1.55)
Intensität = Energie pro Zeit und Fläche
I = cε0 E 2
J m
W
= 2
3
m s
m
(1.56)
Zeitliche Mittelung
E = E0 cos(ωt − ~k~r)
I(t) = I0 cos2 (ωt − ~k~r)
Zeitlicher Mittelwert hcos2 (ωt)i =
(1.57)
I0 =
cε0 E02
(1.58)
1
2
hI(t)i =
1
cε0 E02
2
(1.59)
~
Poynting-Vektor S
~ := E
~ ×H
~
S
(1.60)
~
Abbildung 1.5: Poynting-Vektor S
Im Vakuum
~ = µ0 H
~ = 1 H
~
B
ε0 c2
~
S = S
= ε0 c2 EB = ε0 cE 2
10
(1.61)
(1.62)
1.6 Strahlungsdruck
Zeitliche Mittelung über schnelle Oszillation
1
hE 2 i = E02 hcos(ωt + ~k~r)i = E02
2
1
2
hSi = ε0 cE0 = hIi
2
(1.63)
(1.64)
~ ~k in homogenen Medien.
Sk
1.6 Strahlungsdruck
Impuls eines Photons ~~k
Richtungsänderung ⇒ Impulsänderung ⇒ Kraft F~ =
d~
p
dt .
Ein geladenes Teilchen im kombinierten E- und B-Feld wird über Coulomb- und Lorentz-Kraft in ~kRichtung beschleunigt.
Abbildung 1.6: Strahlungsdruck
Vereinfachte Herleitung:
momentan konstante Felder
Beschleunigung im E-Feld
E
t
m
2 2
1q E 2
=
t
2 m
vx = q
Ekin
(1.65)
(1.66)
Lorentz-Kraft
~ = q qE tB ẑ
F~ = q(~v × B)
m
(1.67)
Impulsübertrag
Z
Pz =
1 q 2 EB 2
1 1 q2 E 2 2
Ekin
F~ dt =
t =
t =
2 m
c2 m
c
(1.68)
11
1 Licht als elektromagnetische Welle
Vollständige Absorption
Ps =
I
c
(1.69)
I
c
(1.70)
Vollständige Reflexion
Ps = 2
Strahlungsdruck der Sonne in 1Æ Enfernung
Is = (1367 ± 7)
Ps =
W
m2
(1.71)
Is
N
= 4, 6 · 10−6 2 = 4, 6 · 10−6 Pa
c
m
(1.72)
Kurzpulslaser τR < 10−12 s
I = 3 · 1022
W
m2
Ps = 1014 Pa ≈
(1.73)
1
des Drucks im Zentrum von Sternen
1000
(1.74)
⇒ Laserfusion.
1.7 Dispersion von Licht
Dispersionsrelation
c
ω
=
k
n
(1.75)
Brechungsindex
n=
√
ε
(1.76)
n(ω) ⇒ Lichtgeschwindigkeit im Medium
⇒ Ablenkung, Licht-Brechung
⇒ Reflexion
⇒ Auseinanderfließen von Lichtimpulsen
Beispiel: Wasser (H2 O, permanentes Dipol)
statische Dielektrizitätskonstante
p
ε(ω = 0) = 8, 96
(1.77)
Brechungsindex
n(λ = 589 nm) = 1, 333
(1.78)
Modell für Polarisation: Elektronen durch harmonische Kräfte an Kern gebunden
me = 9, 11 · 10−31 kg
−19
q = −1, 60 · 10
12
As
(1.79)
(1.80)
1.7 Dispersion von Licht
Lichtfeld als treibende Kraft
F (t) = q · E(t) = qE0 eiωt
(1.81)
gedämpfter, getriebener, harmonischer Oszillator
ẍ + γ ẋ + ω02 x =
1
qE0 iωt
F (t) =
e
m
m
(1.82)
x: Auslenkung der Elektronenwolke aus Ruhelage
⇒ Dipol q · x
Ansatz: x(t) = x0 eiωt
x(t) =
q
1
E(t)
m ω02 − ω 2 + iγω
(1.83)
Polarisation P (t) bei Teilchendichte N
P (t) = q · x(t) · N =
q2 N
1
E(t)
m ω02 − ω 2 + iγω
P (t) = ε0 χel E(t) = (ε(ω) − 1)ε0 E(t)
(1.84)
(1.85)
2
⇒ ε(ω) = 1 +
1
e N
ε0 m ω02 − ω 2 + iγω
(1.86)
Brechungsindex, Näherung für
∆ε 1 (z.B. Gase)
ε(ω) = 1 + ∆ε
2
ε − 1 = n − 1 = (n + 1)(n − 1) ≈ 2(n − 1)
2
ω02
(1.88)
2
−ω
q N
·
2ε0 m (ω02 − ω 2 )2 + γ 2 ω 2
q2 N
−γω
n= ≈
·
2ε0 m (ω02 − ω 2 )2 + γ 2 ω 2
⇒ n< ≈ 1 +
(1.87)
(1.89)
(1.90)
mit komplexem Brechungsindex n = n< + in= .
13
1 Licht als elektromagnetische Welle
Abbildung 1.7: Brechungsindex
Imaginärteil n= ↔ Absorption
E(z, t) = E0 ei(ωt−kz)
n
n<
n=
k= ω=
ω+i ω
c
c
c
n
n=
ωz ) i(ωt− c< ωz )
(
c
e
E(z, t) = E e
ω reell, k komplex
(1.91)
(1.92)
n= > 0
0
(1.93)
Für Intensität
I(z) = I0 e
mit Extinktionskoeffizient α
2ωn=
c
z
= I(0)e−αz
(1.94)
cm−1 .
1.8 Phasen- und Gruppengeschwindigkeit
In linearen Medien kann das Feld als Überlagerung monochromatischer Wellen dargestellt werden (=
Fouriersynthese).
1
Ex (z, t) = √ ·
2π
Z
∞
Ex (ω)ei(ωt−k(ω)z) dω
(1.95)
−∞
Die Amplitude der Frequenzkomponenten erhält man über das Fourierintegral (= Fourieranalyse).
1
Ex (ω) = √ ·
2π
Z
∞
Ex (z, t)eiωt dt
(1.96)
−∞
In (1.95) ist der Zusammenhang zwischen ω und k(ω) durch die Dispersionsrelation gegeben
ω
c
=
k
n(ω)
Phasengeschwindigkeit vPh : Ausbreitung eines Wellenberges
Gruppengeschwindigkeit vGr : Ausbreitung eines Wellenpakets
Abbildung 1.8: Phasen- und Gruppengeschwindigkeit
Im Vakuum gilt: vGr = vPh = v = c
Im Medium gilt allgemein: vGr 6= vPh .
14
(1.97)
1.8 Phasen- und Gruppengeschwindigkeit
Abbildung 1.9: ω-k-Diagramm
Entwickle k(ω0 ) um ω0 :
k(ω) = k(ω0 ) + Ω
∂k
∂ω
ω0
1
+ Ω2
2
∂2k
∂ω 2
+ ... =
1
= k0 + Ωk 0 (ω0 ) + Ω2 k 00 (ω0 ) + . . .
2
Z ∞
1
Ex (z, t) = √ ·
Ex (ω)ei(ωt+kz) dω =
2π −∞
Z ∞
00
0
1
1
= √ ei(ω0 t−k0 z) ·
Ex (ω0 + Ω)eiΩ[t−(k (ω0 )+ 2 Ωk (ω0 )+...)·z] dΩ
2π
−∞
1
i(ω0 t−k0 z)
= √ · e| {z } · A(z, t)
| {z }
2π
oszilliert
schnell
(1.98)
ω0
ω = ω0 + Ω
(1.99)
(1.100)
(1.101)
(1.102)
einhüllende
Amplitudenfkt.
Beispiel: sehr kurzer Laserpuls
tp = 100 fs = 10−13 s
−15
τ750 = 2, 5 · 10
s
tp
= 40 Oszillationen
τ750
(1.103)
(1.104)
(1.105)
Ort (z(t)) konstanter Phase φ0 (z.B. Wellenberg) der schnellen Oszillation.
φ(z, t) = ω0 t − k0 z(t) = φ0
ω0
φ0
z(t) =
t−
k0
k0
(1.106)
(1.107)
⇒ Phasengeschwindigkeit
dz(t)
ω0
=
dt
k0
c
=
n(ω0 )
vPh =
(1.108)
vPh
(1.109)
Vernachlässige 2. und höhere Ableitung
A(z, t) = A(t − zk 0 (ω0 ))
(1.110)
15
1 Licht als elektromagnetische Welle
Bewegung eines festen Punktes z(t) (z.B. Maximum der Einhüllenden)
!
t − z(t)k 0 (ω0 ) = ξ0 = const..
t
ξ0
z(t) = 0
−
k (ω0 ) k 0 (ω0 )
(1.111)
(1.112)
⇒ Gruppengeschwindigkeit
vGr
vGr
1
dz(t)
=
= 0
=
dt
k (ω0 )
dω
=
dk
dω
dk
(1.113)
ω0
(1.114)
mit (1.97) folgt
vGr
λ dn
= vPh · 1 −
n dλ
−1
(1.115)
1.9 Transmission und Reflexion an Grenzflächen
a) Spezialfall: senkrechter Einfall
Abbildung 1.10: Transmission und Reflexion (senkrechter Einfall)
~ und H:
~
Stetigkeit der Tangentialkomponenten von E
~i + E
~r = E
~t
E
~i + H
~r = H
~t
H
x=0
(1.116)
(1.117)
Für ebene Wellen im Medium gilt (µ = 1)
1
1 n
B=
E
µ0 µ
µ0 c
⇒ ni Ei − ni Er = nt Et
H=
⇒ ni (Ei − Er ) = nt (Ei + Er )
(1.118)
(1.119)
(1.120)
⇒ Refelxionskoeffizient r
r=
16
Er
ni − nt
=
Ei
ni + nt
(1.121)
1.9 Transmission und Reflexion an Grenzflächen
Reflexionsgrad R der Intensität
Ir
= r2 =
R=
Ii
ni − nt
ni + nt
2
(1.122)
Beispiel: Grenzschicht Luft-Gas
nLuft = 1
(1.123)
nGas = 1, 5
2
−0, 5
⇒ R=
= 4%
2, 5
(1.124)
(1.125)
Der Reflexionsgrad ist in beide Richtungen gleich groß.
Transmissionskoeffizient t
t=
2ni
Et
=
Ei
nt + ni
(1.126)
Für Intensität I = 12 cnε0 E02 folgt Transmissionsgrad
T =
nt
4nt ni
It
= t2 =
Ii
ni
(nt + ni )2
(1.127)
Grenzfläche Luft-Gas:
T = 96%
(1.128)
T +R=I
(1.129)
Energieerhaltung
b) Beliebiger Einfallswinkel
~ und von
Grenzbedingungen: Die Tangentialkompoenten von E
~
~ = 1 B
H
µ0 µ
(1.130)
~ = ε0 εE
~
D
(1.131)
sind stetig. Die Normalkomponenten von
~ sind stetig.
und von B
17
1 Licht als elektromagnetische Welle
Abbildung 1.11: Transmission und Reflexion (beliebiger Einfallswinkel)
TE-Polarisation: transversal elektrisch
E-Feld steht senkrecht auf die durch einfallenden, reflektierten und transmittierten Strahl gebildete Ebene.
(1.130) muss für beliebige Zeiten gelten
ωi = ωr = ωt
(1.132)
Zerlegung
~k = k⊥ êy + kk êx =
(1.133)
= ±k0 n · cos(θ)êy + k0 n · sin(θ)êx
(1.134)
transversale Elektrische Feld
~ i = êz Ei exp (−ik0 ni y cos(θi ) + ik0 ni x sin(θi ))
E
~ r = êz Er exp (+ik0 ni y cos(θr ) + ik0 ni x sin(θr ))
E
~ t = êz Et exp (−ik0 nt y cos(θt ) + ik0 nt x sin(θt ))
E
~i + E
~r = E
~t
(1.130) ⇒ E
(1.135)
(1.136)
(1.137)
an Grenzflächen (y = 0)
(1.138)
⇒ Ei exp (ik0 ni x sin(θi )) + Er exp (ik0 ni x sin(θr )) = Et exp (ik0 nt x sin(θt ))
∀x
(1.139)
⇒ Ei + Er = Et
(1.140)
⇒ k0 ni sin(θi ) = k0 ni sin(θr ) = k0 nt sin(θt )
(1.141)
⇒ kik = krk = ktk
(1.142)
Reflexionsgesetz: Ausfallswinkel = Einfallswinkel
θr = θi
(1.143)
ni sin(θi ) = nt sin(θt )
(1.144)
Snelliussches Brechungsgesetz
c) Spezialfälle
Grenzwinkel θG der Totalreflexion
θG = arcsin
nt
ni
R⊥ = Rk = 1
(1.145)
θi ≥ θG
(1.146)
Brewster-Winkel:
Rk = 0, keine Reflexion für TM-Polarisation.
Ursache: Dipol-Abstrahlcharakteristik
θB + θt = 90◦
sin θB
nt
=
= tan θB
ni
sin θt
nt
θB = arctan
ni
18
(1.147)
(1.148)
(1.149)
1.9 Transmission und Reflexion an Grenzflächen
d) Fresnel-Formeln
Stetigkeit des transversalen H-Feldes
(1.131) ⇒ Hi cos(θi ) − Hr cos(θr ) = Ht cos(θt )
mit B = µ0 µH =
n
cE
(1.150)
und µ = 1 folgt
ni Ei cos(θi ) − ni Er cos(θr ) = nt Et cos(θt )
(1.151)
mit Ei + Er = Et und θi = θr folgt
ni (Ei − Er ) cos(θi ) = nt (Ei + Er ) cos(θt )
ni cos θi − nt cos θt
· Ei
Er =
ni cos θi + nt cos θt
mit cos(θt ) =
q
1−
n2i
n2t
(1.152)
(1.153)
sin2 θi aus (1.144).
Reflexionskoeffizient
Er⊥
Ei⊥
(1.154)
Ir⊥
= |r⊥ |2
Ii⊥
(1.155)
r⊥ =
Relfexionsgrad
R⊥ =
Fresnel-Formeln
sin(θi − θt )
sin(θi + θt )
tan(θi − θt )
rk =
tan(θi + θt )
r⊥ = −
2 sin θt cos θi
sin(θi + θt )
2 sin θt cos θi
t⊥ =
sin(θi + θt ) cos(θi − θt )
t⊥ =
(1.156)
(1.157)
e) Evaneszente Wellen
Stetigkeit an Grenzflächen
k0 sin θi ni = k0 nt sin θt
(1.158)
k0 nt < k0 ni sin θi
(1.159)
Für θi > θG (Totalreflexion) ist
⇒ keine Lösung für θt .
Rechnung formal durchziehen:
q
ωnt
2 + k2
kt =
= ktk
t⊥
c
ωn 2
ωn 2 ωn 2
t
t
i
2
2
⇒ kt⊥
=
− ktk
=
−
sin2 θi
c s
c
c
n2i
sin2 θi − 1 = ±iβ
kt⊥ = ±ikt ·
n2t
(1.160)
(1.161)
rein imaginär
(1.162)
19
1 Licht als elektromagnetische Welle
⇒ evaneszente Welle
Et = E0 e−βy e−i(ωt−kik x)
(1.163)
fällt im Medium exponentiell ab.
Frustrierte Totalreflexion:
Tunneln einer evaneszenten Welle durch dünnen (≈ λ) verbotenen Bereich.
Beispiel: Glasfaserkabel als Lichtwellenleiter
Totalreflexion an Grenzflächen Kern-Mantel
Abbildung 1.12: Glasfaserkabel
Akzeptanzwinkel:
Totalreflexion
nM
nK
r
nM
= cos θG = 1 −
nK
θKM > θG = arcsin
sin θt,max
(1.164)
(1.165)
Snellius
ni sin θi,max = nk sin θk,max
(1.166)
⇒ ”Numerische Aperatur” NA
NA = ni sin θi,max =
q
n2K − n2M
typische Werte: NA = 0, 12, θi,max = 7◦ , ∆n = nK − nM = 0, 05, nK = 1, 5
20
(1.167)
2 Geometrische Optik
Grenzfall kleiner Wellenlängen λ → 0
Gültigkeitsbereich: Lichtbündelquerschnitt λ
Beugungserscheinungen vernachlässigbar
2.1 Fermatsches Prinzip
Extremalprinzip für Lichtausbreitung in inhomogenen Medien. Die Lichtausbreitung erfolgt derart, dass
der optische Weg (Produkt aus Brechungsindex und Strecke) auf dem tatsächlichen Pfad So gegenüber
benachbarten Pfaden Si einen Extremwert besitzt.
Optischer Weg
Z
W (S) =
n(~r) dS
(2.1)
S
Extremalprinzip
∂W (S)
∂S
=0
(2.2)
Si
Abbildung 2.1: Extremalprinzip
Beispiel: Fata Morgana
21
2 Geometrische Optik
Abbildung 2.2: Fata Morgana
Fermatsches Prinzip → Snellius
Abbildung 2.3: Fermatsches Prinzip
Optischer Weg
ni ·
q
h2q + x2 + nt ·
q
h2p + (A − x)2 = W
A−x
dW !
x
= ni q
− nt q
= ni sin θi − nt sin θt
dx
h2 + x2
h2 + (A − x)2
q
(2.3)
(2.4)
p
Fermatsches Prinzip ⇒ Strahlengang ist umkehrbar (Ausnahme: optische Aktivität).
Fermatsches Prinzip ⇒ geradlinige Ausbreitung im homogenen Medium.
Ableitung F.P. aus Maxwell-Gleichungen:
R
Lichtwellen können auf vielen Pfaden Si zum Beobachter P gelangen. Feld bei P durch über alle möglichen Pfade. Im Allgemeinen schnelle Änderung der Phase mit Si ⇒ Destruktive Interferenz. Wesentliche
Beiträge nur bei stationärer Phase, d.h. Maximum oder Minimum von
Z
ϕ=
S
22
~k(~r) dS
~
(2.5)
2.2 Abbildung durch brechende Kugelfläche
2.2 Abbildung durch brechende Kugelfläche
Abbildung 2.4: Abbildung durch brechende Kugelfläche
G: Gegenstand
B: Bild
g : Gegenstandsweite
b : Bildweite
g tan γ = b tan β = h
(2.6)
ni sin θi = nt sin θt
(2.7)
θi = γ + α
(2.8)
θt = α − β
(2.9)
⇒ b kann berechnet werden, hängt aber von h ab.
Paraxiale Näherung
• achsennahe Strahlen
• kleine Winkel:
tan γ ≈ γ
(2.10)
ni θi = nt θt
(2.11)
• kleine Winkeländerungen: Snellius
(2.10), (2.6) ⇒
(2.8), (2.9) ⇒
(2.11) ⇒
h
g
h
β ≈ tan β =
b
h
α ≈ sin α =
r
h h
θi = γ + α ≈ +
g
r
h h
θt = α − β ≈ −
r
b
n1
n2
n2 − n1
+
=
g
b
r
γ ≈ tan γ =
(2.12)
(2.13)
(2.14)
(2.15)
(2.16)
(2.17)
23
2 Geometrische Optik
Abbildungsgleichung für brechende Kugelfläche, unabhängig von h. Alle von G ausgehenden Strahlen
treffen sich in paraxialer Näherung im Punkt B.
Paralleles Strahlenbündel von links (g = −∞)
⇒ bildseitige Brennweite fB
f B = b
=
n2 r
n2 − n1
(2.18)
=
n1 r
n2 − n1
(2.19)
g→−∞
Paralleles Strahlenbündel von rechts (b = +∞)
fG = g b→+∞
Abbildung 2.5: Parallele Strahlenbündel
Abbildung am Kugelspiegel:
1 1
2
1
+ = =
g
b
r
f
2.3 Dünne Linse
Abbildung 2.6: Dünne Linse
d : vernachlässigbar klein
G: Gegenstandspunkt
24
(2.20)
2.4 Geometrische Konstruktion des Bildes
Abbildung 2.7: Brechung erster Oberfläche
Brechung erster Oberfläche:
n2
n2 − n1
n1
+
=
g
b1
r1
(2.21)
Abbildung 2.8: Brechung zweiter Oberfläche
Brechung zweiter Oberfläche:
n3
n3 − n2
n2
+
=
g
b
r2
g2 = −b1
(2.22)
b1 eliminieren:
n3
n2 − n1
n1
n3 − n2
+
=
+
g
b
r1
r2
Dünne Linse in Luft: n1 = n3 = 1, n2 = n, (”Linsenschleiferformel”)
1 1
1
1
1
+ = (n − 1)
−
=
g
b
r1
r2
f
(2.23)
(2.24)
2.4 Geometrische Konstruktion des Bildes
1. Wo liegt das Bild?
2. Wie groß ist das Bild?
3. Reelles oder virtuelles Bild?
Ausgezeichnete Strahlen:
25
2 Geometrische Optik
Strahl I : fällt parallel zur optischen Achse ein
geht durch bildseitigen Brennpunkt FB
Strahl II : durch Linsenmitte
wird nicht abgelenkt
Strahl III: Strahl durch gegenseitigen Brennpunkt FG
verlässt Linse achsenparallel
Sammellinse
Abbildung 2.9: Reelles Bild einer Sammellinse
Zerstreuungslinse
Abbildung 2.10: viruelles Bild einer Zerstreuungslinse
Reelles Bild
: Strahlen laufen zusammen
direkt auf Schirm sichtbar
Virtuelles Bild: Strahlen scheinen von einem Punkt zu kommen
nicht sichtbar auf Schirm
kann mit Linse abgebildet werden
Vorzeichenkonvention:
g
fG
b
fB
r
26
+
G links von Linse
FG links von Linse
B rechts von Linse
FB rechts von Linse
M rechts von Linse
G rechts von Linse
FG rechts von Linse
B links von Linse
FB links von Linse
M links von Linse
2.5 Optische Systeme
Transversale Vergrößerung
VT =
B̄
b
=−
g
Ḡ
(2.25)
B̄: Bildgröße
Ḡ: Gegenstandsgröße
Abbildung 2.11: Vergrößerung
Mit (2.24) z.B. g eliminieren
VT = −
b−f
f
(2.26)
VT = −
f
g−f
(2.27)
oder b eliminieren
Longitudinale Vergrößerung
VL =
db
f2
=−
= −VT2
dg
(g − f )2
(2.28)
2.5 Optische Systeme
a) Teleskop
Astronomisches Fernrohr (Kepler):
1
1
=
b
f
(2.29)
27
2 Geometrische Optik
Abbildung 2.12: Astronomisches Fernrohr
Brennpunkte fallen zusammen
paralleles Licht wird in Brennebene fokussiert
Vergrößerung:
Sehwinkel mit Instrument
Sehwinkel ohne Instrument
εI
V =
εO
V =
(2.30)
(2.31)
kleine Winkel:
V =
z
f1
z
f2
=
f2
f1
Bild ist invertiert
Umdrehen durch Prismen
Terrestrisches Fernrohr (Galilei):
Abbildung 2.13: Terrestrisches Fernrohr
Astronomie:
Spiegelteleskope nach Newton, Cassegrain, Schmidt
b) Lupe
Abbildung 2.14: Lupe
s0 : deutliche Sehweite = 25 cm
28
(2.32)
2.5 Optische Systeme
B : virtuelles Bild
−b − f −b
s0 − l
s0
=
=
|VT | = −
1
+1≈
+1
f
f
f
f
l s0
(2.33)
Beispiel: f = 5 cm, s0 = 25 cm, |VT | ≈ 6
c) Lupe (Gegenstand in den Brennpunkt)
Man betrachtet dann mit entspanntem Auge
Abbildung 2.15: Lupe (Gegenstand in den Brennpunkt)
für kleine Winkel: εI =
G
f
G
f
G
εO =
s0
εI =
VT =
εI
=
εO
(2.34)
(2.35)
G
f
G
s0
=
s0
f
(2.36)
Beispiel: f = 5 cm, s0 = 25 cm, |VT | = 5
d) Mikroskop
Abbildung 2.16: Mikroskop
29
2 Geometrische Optik
Vergrößerung Objektiv:
|Vobj | =
b − f1
t
=
f1
f1
(2.37)
s0
f2
(2.38)
Vergrößerung Okular:
|Voku | =
Vergrößerung Mikroskop:
VM = |Vobj | · |Voku | =
s0 t
f1 f2
2.6 Blenden
Aperturblenden
• regeln Helligkeit
• begrenzen Winkel der von Objekt ausgehenden Strahlen
Feldblenden
• begrenzt das Gesichtsfeld
• beschneidet das Bild
Abbildung 2.17: Aperturblende
Eintritts- und Austrittspupille
30
(2.39)
2.7 Dicke Linsen und Linsensysteme
Abbildung 2.18: Eintritts- und Austrittspupille
Beispiel: Mikroskop
Austrittspupille = Eintrittspupille
2.7 Dicke Linsen und Linsensysteme
• eine Folge von sphärischen Flächen
• gemeinsame Symmetrieachse
• paraxiale Näherung
Man führt zwei Hauptebenen ein
Abbildung 2.19: Hauptebenen
• Abbildung wie bei dünner Linse, wenn man sich den Bereich zwischen den Hauptebenen ”herausgeschnitten” denkt.
• H1 und H2 werden 1 : 1 aufeinander abgebildet
Brennweite:
1
1
1
n−1
= (n − 1)
−
+d
f
r1
r2
nr1 r2
(2.40)
Lage der Hauptebenen:
f (n − 1)
nr2
f (n − 1)
h2 = −d
nr1
h1 = −d
(2.41)
(2.42)
31
2 Geometrische Optik
2.8 ABCD-Matrix
Elegantes Verfahren für komplexe optische Systeme in paraxialer Näherung.
Abbildung 2.20: ABCD-Matrix
Strahl charakterisiert durch Abstand x zur optischen Achse und Winkel α.
Abbildung 2.21: Strahl als Vektor
Schreibe Stahl als Vektor:
~=
S
nα
x
(2.43)
a) Brechung an Kugelfläche mit Radius r
Abbildung 2.22: Brechung an Kugelfläche
Snellius:
n1 θi = n2 θt
(2.44)
n1 (α1 + β) = n2 (β + α2 )
n2 α2 = n1 α1 −
x2 = x1
32
n2 − n1
x1
r
x
β=
r
(2.45)
(2.46)
(2.47)
2.8 ABCD-Matrix
= lineare Transformation
~2 = B12 S
~1
S
1
1 − n1 −n
r
B12 =
0
1
(2.48)
(2.49)
Test:
1
0
1
− n2 −n
r
1
1
α1 n1
α2 n2
α1 n1 − n2 −n
x1
r
=
=
x1
x2
x1
(2.50)
b) Translation um Strecke d12
Abbildung 2.23: Translation um Strecke d12
Winkel bleibt konstant:
α2 = α1
(2.51)
x2 = x1 + α1 d12
~2 = T12 S
~1
S
1 0
T12 = d12
1
n1
(2.52)
Abstand zur optischen Achse ändert sich:
(2.53)
(2.54)
Test:
1
d12
n1
0
α1 n1
α1 n1
α2 n2
=
=
1
x1
d12 α1 + x1
x2
(2.55)
c) Ausbreitung durch ein System
Abbildung 2.24: Ausbreitung durch ein Linsensystem
33
2 Geometrische Optik
= Matrizenmultiplikation
~e = M S
~0
S
(2.56)
M = Te · . . . · T4 B43 T3 B32 T2 B21 T1 =
A
C
B
D
ABCD-Matrix
(2.57)
dünne Linse:
Mdünne Linse =
1
0
− f1
1
(2.58)
Abbildung xe in Bildebene unabhängig com Winkel α0 in der Gegenstandsebene.
⇒ C = 0 für M des Systems.
Transversale Vergrößerung:
VT =
xe
=D
x0
(2.59)
2.9 Abbildungsfehler
a) Chromatische Aberration
Brechungsindex n(λ) (Dispersion) und Brennweite f (λ) hängen von λ ab.
Dünne Linse:
1
= (n(λ) − 1)
f (λ
1
1
−
r1
r2
Abbildung 2.25: n-λ-Diagramm
normale Dispersion
dn
dλ
<0
Abbildung 2.26: Normale Dispersion
34
(2.60)
2.9 Abbildungsfehler
Achromat:
Kombination zweier Linsen unterschiedlicher Dispersion
⇒ gleiche Brennweite bei zwei Wellenlängen
Fraunhofer-Linien:
λc = 656 nm
rot
(2.61)
λd = 587 nm
gelb
(2.62)
λF = 486 nm
blau
(2.63)
Brennweitenvariation einer Linse:
∆
1
nF − nc 1
1
=
·
=
f
nd − 1 fd
u d fd
(2.64)
mit Abbé-Zahl:
ud =
nd − 1
nF − nc
(2.65)
Brennweite zweier Linsen, die nahe beieinander liegen:
1
1
1
=
+
f
f1
f2
Kompensation der chromatischen Aberration:
1
1
1
1
!
∆
+∆
=
+
=0
f1
f2
ud1 f1
ud2 f2
ud1 f1 + ud2 f2 = 0
(2.66)
(2.67)
(2.68)
Normale Dispersion: ud1 , ud2 > 0:
⇒ f1 · f2 < 0 Kombination von pos. und neg. Linse
Abbildung 2.27: Normale Dispersion
b) Monochromatische Aberration
Reihenentwicklung für kleine Winkel
sin ϕ =
ϕ
|{z}
paraxiale
Näherung
ϕ5
ϕ7
ϕ3
+
−
+ ...
−
5!
7!
| {z3!}
(2.69)
Abb.fehler
3. Ordnung
Seidelsche Aberrationen (3. Ordnung):
35
2 Geometrische Optik
• sphärische Aberration
• Koma
• Astigmatismus
• Bildfeldwölbung
• kissenförmige und tonnenförmige Verzeichnung
Sphärische Aberration
Abbildung 2.28: Sphärische Aberration
Paraxiale Gleichung für brechende Kugeloberfläche 3. Ordnung
" 2
2 #
n1
n2
n2 − n1
1 1
n2 1 1
2 n1
+
=
+h
+
+
−
g
b
r
2g g
r
2b r
b
(2.70)
⇒ Schnittpunkt eines Strahls mit optischer Achse hängt von h ab. Mehr brechende Flächen verringern im Allgemeinen die sphärische Aberration. Ausblenden der Randstrahlen verringert die sphärische
Aberration. Asphärische Linsen ebenfalls.
36
3 Wellenoptik
Weglängendifferenz von wenigen λ
⇒ Wellencharakter von Licht sichtbar
• kleine Öffnungen
• große Wellenlängen
• große Weglänge
Beugung:
Ursache: Laplace-Operator in Wellengleichung
~ − ε0 εµ0
∆E
~
∂2E
=0
2
∂t
(3.1)
Interferenz:
Superpositionsprinzip
3.1 Huygensches Prinzip
Jeder Punkt einer primären Wellenfront ist Ausgangspunkt kugelförmiger sekundärer Elementarwellen.
Die Wellenfront zu einem späteren Zeitpunkt ist die Einhüllende dieser Elementarwellen.
Elementare Kugelwelle
Ek ∝
eikr
r
(3.2)
⇒ Ausbreitung im homogenen Medium
⇒ Snellius
Aber: keine Interferent, rücklaufende Welle
Fresnel-Huygensches Prinzip:
Führt Interferenz und Richtungsfaktor ein
Rechenvorschrift:
Das Licht in einem Punkt P wird gebildet durch Summation nach Amplitude und Phase aller von Elementarwellen stammenden Beiträge.
37
3 Wellenoptik
3.2 Beugung am Spalt
a) ”zu Fuß” für z0 → ∞
Abbildung 3.1: Beugung am Spalt
N Elementarwellen werden gleichmäßig auf Spalt der Breite b verteilt. Feld im Punkt P aus Superposition:
EP =
N
X
Ej = E0 ·
j=1
N
X
j=1
ei(ϕ(j)) = E0 ·
N
X
eij∆ϕ
(3.3)
j=1
mit ∆ϕ Phasenverzögerung zwischen benachbarten Elementarwellen.
Verzögerung der Randstrahlen:
N · ∆ϕ =
2π
2π
· ∆s =
· b sin θ
λ
λ
Zeigerdiagramm:
• Zentrales Maximum: θ = 0 ⇒ ∆ϕ = 0, alle Komponenten sind in Phase.
Abbildung 3.2: Zeigerdiagramm: Zentrales Maximum
• N · ∆ϕ = π
Abbildung 3.3: Zeigerdiagramm: N · ∆ϕ = π
• 1. Minimum: N · ∆ϕ = 2π
38
(3.4)
3.2 Beugung am Spalt
Abbildung 3.4: Zeigerdiagramm: 1. Minimum
⇒ Minima:
N · ∆ϕ = 2π · n
nλ
⇒ sin θ =
b
n = 1, 2, 3, . . .
(3.5)
(3.6)
Maxima:
N · ∆ϕ = (2π + 1) · n
λ
⇒ sin θ = (2n + 1)
2b
n = 1, 2, 3, . . .
(3.7)
(3.8)
Ebene Referenzfläche für z0 → ∞
Spährische Referenzfläche für sonst
Abbildung 3.5: Ebene und Sphärische Referenzfläche
b) Fresnel-Beugung am Spalt
Abbildung 3.6: Fresnel-Beugung am Spalt
39
3 Wellenoptik
Phase = Weglänge · 2π
λ :
φ(h) =
i π h2
2π hp 2
s + h2 − s ≈
·
λ
λ s
Taylor 2. Ordnung
(3.9)
Abbildung 3.7: h-φ-Diagramm
dx + idy = dh · exp(iφ(h))
(3.10)
2
πh
λs
πh2
dy = dh · sin
λs
dx = dh · cos
(3.11)
(3.12)
Feld im Punkt P als Superposition aller Elementarwellen im Spalt:
Z
h2 +x
E = E0 ·
Z
h2 +x
exp(iφ(h)) dh = E0 ·
h1 +x
h1 +x
πh2
πh2
+ i sin
dh
cos
λs
λs
(3.13)
Fresnel-Integral:
r
ν
πν 02
x=
cos
dν 0
2
0
Z ν
πν 02
y=
sin
dν 0
2
0
Z
ν =h·
2
λs
(3.14)
(3.15)
⇒ Cornu-Spirale
Beispiel: Beugung an Halbebene:
Z
E∝
ν
∞
πν 02
πν 02
cos
+ i sin
2
2
dν 0
3.3 Fresnel-Kirchhoffsche Beugungstheorie
Abgeleitet von Maxwell-Gleichungen
40
(3.16)
3.3 Fresnel-Kirchhoffsche Beugungstheorie
Abbildung 3.8: Fresnel-Kirchhoffsche Beugungstheorie
~0
Q : Quelle bei R
~
P : Beobachtungspunkt bei R
B : Blende mit Öffnung Ω
η, ξ: Koordinaten in Blende
x, y: Koordinaten in Beobachtungsebene
~n : Flächennormale
~ bei vorgegebener Feldverteilung E0 (ξ, η) in Blendenöffnung:
Feldstärke EP (R)
ZZ
exp(ikr)
~ =− i ·
EP (R)
E0 (ξ, η) ·
· (cos χ − cos χ0 ) dξdη =
{z
}
2λ
r } |
Ω
| {z
Kugelwelle
=−
iE0
·
2λ
ZZ
Ω
(3.17)
Richtungsfaktor
exp(ik(r + r0 ))
· (cos χ − cos χ0 ) dξdη
r · r0
(3.18)
Näherungen:
• Abstand zu Blende: r0 , r λ
• r, r0 ändert sich viel langsamer als exp(ik(r + r0 ))
• kleine Winkel cos χ − cos χ0 ≈ 2
~ ≈ − i E0 ·
EP (R)
λ RR0
ZZ
exp(ik(r + r0 )) dξdη
Für bekannte Feldverteilung E0 (ξ, η) in Blendenebene:
ZZ
i 1
~
EP (R) ≈ −
·
E0 (ξ, η)eikr dξdη
λR
Ω
Gesucht: Feldverteilung im Abstand r0 λ:
 
x
~ = y
R
z0
q
r = z02 + (x − ξ)2 + (y − η)2
(3.19)
Ω
   
x
ξ
~r =  y  − η 
z0
0
(3.20)
(3.21)
(3.22)
41
3 Wellenoptik
Taylorentwicklung:
(x − ξ)2
(y − η)2
r ≈ z0 · 1 +
+
2z02
2z02
(3.23)
(3.20)→(3.23): Fresnel-Näherung (mit R ≈ z0 ):
ikz0
~ =−i e
ßcdot
EP (R)
λ z0
ZZ
ik
(x − ξ)2 + (y − η)2
E0 (ξ, η) · exp
z
0
Ω
dξdη
(3.24)
(3.23) umschreiben:
xξ
yη x2 + y 2 ξ 2 + η 2 r ≈ z0 1 − 2 − 2 +
+
z0
z0
2z 2
2z 2
| {z 0 } | {z 0 }
unabhängig
von ξ,η
Für große z0 wird
ξ 2 +η 2
z02
(3.25)
wird kleiner
für große z0
λ und als Phasenfaktor vernachlässigbar.
(3.24)→(3.20): Fraunhofer (Fernfeld-) Näherung:
~ ≈−
EP (R)
i eikz0 ik x22z+y2
0
·
e
λ z0
ZZ
ik
E0 (ξ, η) · exp − · (xξ + yη) dξdη
z0
Ω
(3.26)
Fresnel-Zahl
F =
%2
λz0
mit % (maximaler) Radius der Blende oder eines Strahls und z0 der Ausbreitungsdistanz.
F 1: Fernfeld, Fraunhofer-Beugung
F ≈ 1 : Übergangszone, Fresnel-Beugung
F 1: geometrische Optik
3.4 Fresnelsche Zonenplatte
Abbildung 3.9: Fresnelsche Zonenplatte
42
(3.27)
3.5 Fraunhofer-Beugung
optischer Weg:
r=
q
z02 + ξ 2
(3.28)
Phase:
eikr
k=
2π
λ
(3.29)
konstruktive Interferenz für z0 < r < r0 + λ2
destruktive Interferenz für z0 + λ2 < r < r0 + λ, usw.
⇒ Fresnelsche Zonen mit Radien ξm , sodass
q
λ
2
rm = z0 + m = z02 + ξm
2
λ2
2
⇒ ξm
+ ...
= z0 mλ + m2
4
p
ξm ≈ z0 mλ
(3.30)
(3.31)
z0 λ
(3.32)
Babinetsches Prinzip:
Teilen der der Fläche in Bereiche Ω1 und Ω2 . Die P gemessene Feldstärke ist dann:
EP (Ω) = EP (Ω1 ) + EP (Ω2 )
(3.33)
Komplizierte Öffnungen können aus einfachen Öffnungen zusammengesetzt werden. Für Komplementäröffnungen (Spalt/Draht, Lichtblende/Scheibe) gilt:
EP (Ω1 ) + EP (Ω) = E0
(3.34)
⇒ gleiche Beugungserscheinungen hinter komplementären Objekten.
Poissontscher Fleck:
Beugung ⇒ Intensitätsmaximum im Zentrum des geometrischen Schattens eines kreisförmigen Objektes.
Experimenteller Beweis für Wellencharakter des Lichtes.
3.5 Fraunhofer-Beugung
F =
%2
1
λz0
% ξ1
(3.35)
Nur 1. Zone trägt bei. Phase ist linear in ξ, η.
Abbildung 3.10: Fraunhofer-Beugung
43
3 Wellenoptik
Fraunhofer-Beugung = Fernfeld = Winkelspektrum
Definition: Winkel:
α
x
≈
z0 λ
λ
y
β
v=
≈
z0 λ
λ
u=
(3.36)
(3.37)
Abbildung 3.11: Winkel
ZZ
i ikz0 ik x22z+y2
0
(3.26) ⇒ E(u, v) ≈ − · e
·e
·
E0 (ξ, η) exp [2πi(uξ + vη)] dξdη
λ
Ω
= Fourier-Transformation
(3.38)
(3.39)
1-dimensional:
Z
+∞
F (u) =
f (ξ)e−2πiuξ dξ
(3.40)
f (ξ, η)e−2πi(uξ+vη) dξdη
(3.41)
−∞
2-dimensional:
Z
+∞
Z
+∞
F (u, v) =
−∞
−∞
Amplitudenverteilung im Fernfeld ist proportional zur Fouriertransformierten des Feldes in der Blendenebene.
2 E x, y, z0 % ∝ |F (u, v)|
λ (3.42)
2
I(u, v) ∝ E(u, v)2 ∝ |F (u, v)|
(3.43)
Intensitätsverteilung des Fernfeldes:
44
3.6 Fraunhofer-Beugung am Einfachspalt
3.6 Fraunhofer-Beugung am Einfachspalt
Abbildung 3.12: Fraunhofer-Beugung am Einfachspalt
Feld in Blendenebene:
E(ξ, η) = e1 (ξ) · e2 (η)
(3.44)
ist in kartesischen Koordinaten separierbar.
F.T. {e1 (ξ) · e2 (η)} = F.T. {e1 (ξ)} · F.T. {e2 (η)}
(3.45)
Fouriertransformierte ist ebenfalls separierbar.
Beugung in u =
x
z0 λ
Richtung (quer zum Spalt):
Z
b
2
E(u) ∝
exp[2πiuξ] dξ =
− 2b
⇒ E(u) ∝
1
2πiu
b
b
exp 2πiu − exp −2πiu
2
2
sin(πub)
πub
(3.46)
(3.47)
Intensitätsverteilung auf Schirm:
I(u, v) ∝
sin(πub)
πub
2 2
sin(πvb)
·
πvb
(3.48)
Position der Nullstellen:
xb
=n
z0 λ
λ
sin θ = n
b
ub =
n = 1, 2, 3
(3.49)
(3.50)
Breite des Hauptmaximums:
∆x =
2z0 λ
b
(3.51)
Nebenmaxima:
λ
λ
sin θmax = ±1, 43 , ± 2, 46 , . . .
b
b
I(θmax )
= 0, 047, 0, 017, . . .
I
(3.52)
(3.53)
45
3 Wellenoptik
3.7 Beugung am Doppelspalt
Abbildung 3.13: Beugung am Doppelspalt
a) limb→0 : Interferenz zweier Elementarwellen
Phasenverzögerung
2π
λ ∆s
für z0 a gilt:
∆s = a sin ϑ ≈ a
x
z0
(3.54)
∆s = aλu
u=
x
λz0
(3.55)
Feld bei z0 :
E(x) = E0 ·
eikr2
eikr1
√ + √
r1
r2
π∆s
eikz0 π∆s
≈ E0 · √ · ei λ + e−i λ ∝ cos(πau)
z0
(3.56)
Intensität am Schirm:
I(x) = I0 cos2 (πau)
(3.57)
Lage der Maxima:
πau = nπ
nλ
sin ϑ =
a
n∈Z
Abbildung 3.14: Lage der Maxima
46
(3.58)
(3.59)
3.8 Beugung am Gitter
b) Endliche Spaltenbreite
Doppelspalt: Faltung zweier δ-Funktionen mit Einfachspalt
a a
+δ ξ+
⊗ ΩES =
ΩDS (ξ) = δ ξ −
2
Z ∞ 2
a
a δ ξ0 −
=
+ δ ξ0 +
· ΩES (ξ 0 − ξ) dξ 0 =
2
2
−∞
a
a
= ΩES ξ +
+ ΩES ξ −
2
2
(3.60)
(3.61)
(3.62)
Feld bei z0 a:
n a o
a
+δ ξ+
· F.T. {ΩES }
E(u) ∝ F.T.{ΩDS } = F.T. δ ξ −
2
2
Z
∞ n a
a o
a −2πiuξ
F.T. δ ξ −
δ ξ−
=
·e
dξ = e−2πiu 2
2
2
−∞
sin(πub)
=
⇒ E(u) ∝ eiπua + e−iπua ·
πub
1
= cos(πua) sin(πua) ·
πub
sin2 (πub)
IDS (u) = I0 cos2 (πua) ·
(πub)2
(3.63)
(3.64)
(3.65)
(3.66)
(3.67)
Abbildung 3.15: Endliche Spaltbreite
3.8 Beugung am Gitter
1
• CD (1,6µ m Spurabstand ⇒ 625 nm
)
• Schmetterlingsflügel, Vogelfedern, Opal (3d)
• Röntgenbeugung am Kristall/Strukturbestimmung (3d)
• Spektroskopie: Monochromator
Gitter: N Spalte der Breite b im Abstand a
47
3 Wellenoptik
Abbildung 3.16: Gitter
konstruktive Interferenz (Maxima) für:
∆s = a sin ϑ = nλ
(3.68)
wie bei Doppelspalt n ∈ Z.
Unterschied: Maxima viel schärfer
Beugungsfeld in Fraunhofer-Näherung:
E(u) ∝ F.T.
(N −1
X
)
δ(ξ − ma) ⊗ ΩES
=
(3.69)
m=0
= F.T.
(N −1
X
)
δ(ξ − ma)
· F.T. {ΩES (ξ)} =
(3.70)
m=0
=
N
−1
X
e2πimau · F.T.{ΩE S} =
(3.71)
m=0
2πiN au
e
−1
· F.T.{ΩES }
2πiau
e
−1
sin2 (πN au) sin2 (πbu)
= I0 ·
·
sin 12 (πau)
(πbu)2
=
⇒ IN
Abbildung 3.17: Beugung am Gitter
48
(3.72)
(3.73)
3.8 Beugung am Gitter
N − 2 Nebenmaxima zwischen Hauptmaxima.
Für mittlere Nebenmaxima gilt:
I=
I0
N2
(3.74)
Lage der Hauptmaxima:
Abbildung 3.18: Transmissions- und Reflexionsgitter
a(sin θ − sin θ0 ) = nλ
n∈Z
(3.75)
Spektrales Auflösungsvermögen:
Abstand Maximum-Minimum
∆θ ≈ λ∆u =
λ
Na
⇒ aθ ≈ nλ
a
dλ
=
dθ
n
dλ
a λ
∆λ =
∆θ =
dθ
n Na
∆λ
1
=
λ
nN
(3.76)
(3.77)
(3.78)
(3.79)
(3.80)
Monochromator:
Abbildung 3.19: Monochromator
2
G : Gitter, z.B. 1800 Linien
mm , 10 × 10 cm
Sp: Eintritts- und Austrittsspalt
S : sphärische Spiegel
49
3 Wellenoptik
D : Detektor
räumliche Trennung unterschiedlicher Wellenlängen.
Eintrittsspalt wird auf Austrittsspalt abgebildet.
3.9 Allgemeine Betrachtung zur Beugung
Beugungsmaxima des Gitters:
a(sin θ − sin θ0 ) = nλ
Betrachtung über Wellenzahl k0 =
n∈Z
(3.81)
2π
λ :
k0 sin θ − k0 sin θ0 = n
2π
= nG
a
(3.82)
Abbildung 3.20: Beugungsmaxima des Gitters
k0x − kx = nG
(3.83)
Gitterkonstante im Fourier-Raum (reziproker Raum):
G=
2π
a
(3.84)
Bedingungen für Beugungsmaximum:
Differenz von einfallendem und gebeugtem k-Vektor ist Vielfaches der Gitterkonstante des reziproken
Raumes.
Beugung am dreidimensionalem Gitter (z.B. Kristallgitter):
50
3.10 Räumliches Auflösungsvermögen
Abbildung 3.21: Beugung am dreidimensionalem Gitter
⇒ Beugung am Kristallgitter mit Röntgenlicht oder Elektronen.
Bedingung für Maximum:
 nx 
ax
~ = 2π  na y 
G
y
~k − ~k0 = G
~
nx , ny , nz ∈ Z
(3.85)
nz
az
Spezialfall: Bragg-Reflexion
Abbildung 3.22: Bragg-Reflexion
2kz = 2k0 sin ϕ = n
2π
d
(3.86)
Bragg-Bedingung:
2d sin ϕ = nλ
(3.87)
Photonischer Kristall:
Gitterkonstante ≈ Wellenlänge (z.B. Opal)
3.10 Räumliches Auflösungsvermögen
Ideales optisches System ohne Linsenfehler.
⇒ Auflösungsvermögen beugungsbegrenzt.
Beugung an Apertur: Blende, Teleskopöffnung, Linsenrand
Beugung an Kreisblende: Airy-Muster
51
3 Wellenoptik
Abbildung 3.23: I-U -Diagramm
I(U ) = I0 ·
2J1 (πDU )
πDU
2
(3.88)
für Blendendurchmesser D und J1 Besselfunktion 1. Ordnung.
Minima bei:
U=
1, 22 2, 23
sin θ
≈
,
, ...
λ
D
D
(3.89)
84% der Intensität im 1. Maximum.
Teleskop:
Abbildung 3.24: Beugung an Teleskopöffnung
Beugung an Teleskopöffnung = Kreisblende
Rayleigh-Kriterium:
Auflösung = Radius des 1. Maximums
sin θ min = 1, 22
Mikroskop:
52
λ
D
(3.90)
3.11 Abbe’sche Theorie der Bildentstehung
Abbildung 3.25: Mikroskop
Beugung an Objektiv-Pupille: Sehwinkel:
ε=
nd
λ
> 1, 22
f
D
(3.91)
Definition: Numerische Apertur:
NA = n · sin ϑ ≈
nD
2f
(3.92)
⇒ Auflösungsvermögen:
d min = 0, 61
λ
NA
(3.93)
3.11 Abbe’sche Theorie der Bildentstehung
Abbildung 3.26: Abbe’sche Theorie der Bildentstehung
Beleutende Welle wird am Objekt gebeugt:
F.T.
Ω0 (x, y)
−→
Punkt
−→
Paralleles Bündel
F.T.
F.T.
−→
F.T.
F (α, β)
−→
Paralleles Bündel
−→
Punkt
F.T.
F.T.
−→
ΩB (x, y)
Punkt
Paralles Bündel
53
3 Wellenoptik
Blende in Fourier-Ebene:
F.T.
−→
Ω0 (x, y)
Fideal (α, β)
Blende T (α,β)
−→
Freal (α, β)
F.T.
−→
ΩB (x, y)
Entsprich Faltung mit Filterfunktion T (α, β):
ΩB (x, y) = Ω0 (x, y) ⊗ F.T.{T (α, β)}
(3.94)
Auflösungsvermögen eines Mikroskops nach Abbe:
Abbildung 3.27: Auflösungsvermögen eines Mikroskops (Abbe)
Wenn 0. und ±1. Ordnung das Objekt passieren, wird die Periodizität des Objektes wiedergegeben.
Winkel für n = 1. Ordnung mit Gitterkonstante a = Gegenstandsgröße d min :
d min sin ϑ = λ
λ
d min =
NA
3.12 Zweistrahl-Interferenz
a) Michelson-Interferometer
Abbildung 3.28: Michelson-Interferometer
54
(3.95)
(3.96)
3.12 Zweistrahl-Interferenz
R: Reflexionsgrad
T : Transmissionsgrad
Für monochromatische Welle:
E0 ei(ωt−kx)
(3.97)
√
E1 = E0 RT · ei(ωt+ϕ1 )
(3.98)
Teilwelle Weg S1 :
Teilwelle Weg S2 :
√
E2 = E0 RT · ei(ωt+ϕ2 )
2
IT ∝ h|E1 + E2 |i ∝ h|e
(3.99)
i(ωt+ϕ1 )
IT = 2RT I0 (1 + cos(∆ϕ))
2π
∆ϕ = ϕ1 − ϕ2 =
∆s
λ
+e
i(ωt+ϕ2 )
2
|i
(3.100)
mit Phasendifferenz ∆ϕ
(3.101)
mit ∆s Weglängendifferenz
(3.102)
Abbildung 3.29: I-∆s-Diagramm
b) Sagnac-Interferometer
Abbildung 3.30: Sagnac-Interferometer
55
3 Wellenoptik
Rotation mit Kreisfrequenz Ω
⇒ Doppler-Effekt ⇒ Frequenz der gegenläufigen Strahlen:
∆ν =
4AΩ
λP
(3.103)
mit A: umlaufene Fläche und P : Weglänge.
Anwendung: Laser-Kreisel
c) Mach-Zehnder-Interferometer
Abbildung 3.31: Mach-Zehnder-Interferometer
Änderung opt. Weg mit ∆nL mit Brechungsindexänderung:
⇒ ∆ϕ = 2π
∆nL
λ
d) Interferenz an dünnen Schichten
z.B. Ölfleck, Seifenblase,Luftspalt
Reflexion bei senkrechtem Einfall:
R ≈ 4% für n1 = 1, 5 und n2 = 1 (Glas/Luft)
R ≈ 2% für n1 = 1, 33 und n2 = 1 (Wasser/Luft)
Beschreibung mit Zweistrahlinterferenz genügt.
e) Interferenz gleicher Neigung
Planparallele Schicht, unterschiedlicher Winkel
56
Phasendifferenz
(3.104)
3.12 Zweistrahl-Interferenz
Abbildung 3.32: Interferenz gleicher Neigung I
⇒ Interferenzringe
Abbildung 3.33: Interferenz gleicher Neigung II
Gangunterschied:
∆s = 2nf ∆s2 − n1 ∆s2
∆s1 = a sin θe = 2d tan θt sin θe =
nf
sin θt
= 2d tan θt
n1
d
∆s2 =
cos θt
⇒ ∆s = 2nf d cos θt
Phasensprung an Grenzfläche (Vorzeichen: Fresnel-Formeln):


π für nf < n1 und nf < n2
∆ϕ = π für nf > n1 und nf > n2


0 sonst
(3.105)
(3.106)
(3.107)
(3.108)
(3.109)
(3.110)
Bedingung für konstruktive Interferenz:
∆s = 2nf d cos θt =
∆ϕ
·λ
m+
2π
(3.111)
57
3 Wellenoptik
f ) Interferenz gleicher Dicke
Abbildung 3.34: Interferenz gleicher Dicke
fester Winkel (z.B.: θe = θt = 0◦ ):
2nf d =
∆ϕ
m+
·λ
2π
(3.112)
3.13 Vielfachinterferenz
Fabry-Perot-Interferometer:
Abbildung 3.35: Fabry-Perot-Interferometer
HR: hochreflektierender Spiegel (R > 99%)
Interferenz gleicher Neigung (→ Ringe)
Abbildung 3.36: Interferenz gleicher Neigung
Innere (äußere) Refelxions- und Transmissionskoeffizienten r0 , t0 (r, t)
Er = E1r + E2r + E3r + . . . =
0 0 iδ
0 0 0 0 2iδ
= E01 + E0 tr t e + E0 tr r r t e
58
(3.113)
+ ...
(3.114)
3.14 Kohärenz
mit Phasenunterschied δ =
2πnf d
λ
cos θf .
Es gilt: r = −r0
Er = E0 r + r0 tt0 eiδ · 1 + r02 eiδ + (r02 eiδ )2 + . . . =
= E0
(3.115)
r(1 − eiδ )
1 − r2 eiδ
(3.116)
Intensität:
IR = R0
F sin2 (δ2)
1 + F sin2 ( 2δ )
IT = I0 − IR = I0
F =
2r
1 − r2
1
1 + F sin2 ( 2δ )
2
(3.117)
(3.118)
Abbildung 3.37: Intensität
Halbwertsbreite:
4
∆δ = √
F
(3.119)
Finesse:
F̃ =
Abstand benachbarter Maxima
2π
=
Breite eines Maximums
∆δ
(3.120)
Auflösungsvermögen eines Fabry-Perot-Interferometers:
∆λ
1
=
λ
mF
mit Ordnung m 1
(3.121)
3.14 Kohärenz
Kohärentes Licht:
• wohldefinierte Phase
• Voraussetzung für Interferenz
Gedankenexperiment:
59
3 Wellenoptik
Abbildung 3.38: Gedankenexperiment I
⇒ Interferenz am Doppelspalt.
Abbildung 3.39: Gedankenexperiment II
Felder addieren ∝
eikr1 +ϕ1 (t)
eikr2 +ϕ2 (t)
+
r1
r2
relative Phase ϕ1 (t), ϕ2 (t) fluktuieren.
⇒ Interferenzmuster wandert.
Zeitliche Mittelung
⇒ Intensitäten addieren
⇒ Beugungsbild Einfachspalt
kohärentes Licht: Felder addieren (feste Phase)
inkohärentes Licht: Intensitäten addieren (fluktuierende Phase + Mittelung)
a) Räumliche Kohärenz
Maß für Korrelation der Phase an zwei Orten
Gedankenexperiment:
60
(3.122)
3.14 Kohärenz
Abbildung 3.40: Gedankenexperiment
Jede Quelle führt zu Interferenzbild.
Phase zwischen Quellen fluktuiert.
⇒ Addition der Intensitäten
⇒ Beugungsbild = Einfachspalt
Quantitativ:
Abbildung 3.41: Quantitativ
Bedingungen für Interferenz:
∆g = (g1 − g2 ) λ
2
(3.123)
Für große zg a gilt:
∆g =
ad
λ
zg
2
oder φ λ
2d
(3.124)
61
3 Wellenoptik
b) Zeitliche Kohärenz
Abbildung 3.42: Zeitliche Kohärenz
∆s
c .
Weglängenunterschied ∆s in P = Laufzeitunterschied
Bedingungen für Interferenz:
Phase stabil für Zeitspanne ∆t ∆s
c
Kohärenzlänge δt · c:
cω-Lasrlicht
: cm bis km
Hg-Bogenlampe: ≤ 0, 3 mm
Tageslicht
: ≈ 900 mm
Feld als Überlagerung monochromatischer Wellen:
E(t) =
∞
X
Ej eiωj t
(3.125)
j=0
geht über in Fourierintegral:
1
E(t) = √ ·
2π
∞
Z
E(ω)eiωt dω
(3.126)
E(t)e−iωt dt
(3.127)
−∞
Umkehrung der F.T. spektrale Zerlegung:
1
E(ω) = √ ·
2π
Z
∞
−∞
Beispiel: Frequenzkomponenten = Gauß-Verteilung
" 2 #
ω − ω0
E(ω) = A · exp −
+ c.c.
δω
62
(3.128)
3.14 Kohärenz
Abbildung 3.43: Gauß-Verteilung
Zeitverlauf:
" 2 #
ω − ω0
exp −
· eiωt dω + c.c. =
δω
−∞
" #
2
A dω
δω
iω0 t
=√
t2 ·
+c.c.
· exp −
e|{z}
2
π 2
Zentralfrequenz
|
{z
}
A
E(t) = √ ·
2π
Z
∞
(3.129)
(3.130)
Einhüllende
Abbildung 3.44: Gauß-Verteilung
Für Gauß-förmige Einhüllende gilt:
δω · δt = 4
(3.131)
∆ω · ∆t ≥ 1
(3.132)
Allgemein:
für Licht einer spektralen Breite ∆ω und Pulsdauer oder Kohärenzlänge ∆ =
∆s
c .
63
3 Wellenoptik
64
4 Polaristionsoptik und Nichtlineare Optik
4.1 Polarisation elektro-magnetischer Wellen
Ebene Welle:
~ =E
~ 0 · ei(ωt−kz)
E
(4.1)
mit Ausbreitungsrichtung ~kk~z.
~ E⊥
~ ~k⊥B
~
Homogene Medien: B⊥


E0,x
~ 0 = E0,y 
E
0
 
0
~k = 0
k
(4.2)
mit E0,x und E0,y sind komplex.
Argument bestimmt die Phase der Welle:
Ex = E0,x · ei(ωt−kz) = |E0,x | · ei(ωt−kz+ϕ)
Ey = E0,y · e
i(ωt−kz)
= |E0,y | · e
i(ωt−kz+ϕ+γ)
(4.3)
(4.4)
(4.5)
Phase:
Abbildung 4.1: Phase


|E0,x |
~ = |E0,y | · eiγ  · ei(ωt−kz+ϕ)
E
0
mit γ: relative Phasenverschiebung und
|E0,x |
|E0,y | :
(4.6)
Amplitudenverhältnis.
Linear polarisierte Welle:
γ=0
γ=π
(4.7)
65
4 Polaristionsoptik und Nichtlineare Optik
Zirkular polarisierte Welle:
|E0,x |
=1
|E0,y |
γ=±
Elliptisch polarisierte Welle: sonst.
Natürliches Licht: abfolge von Wellenzügen
• keine feste Phase = inkohärent
• keine feste Polarisation = unpolarisiert
4.2 Polarisationsoptiken
a) Polarisatoren
• durch Reflexion: Fresnel-Formeln
s-Komponente reflektiert
p-Komponente transmittiert (Brewster-Winkel)
”Dünnfilmpolarisationen”
• Refelxion & Doppelbrechung
Glen-Taylor, Glen-Luft, Glen-Thomson
Totalreflexion einer Komponente
• Dichroismus
Richtungsabhängigkeit des Brechungsindexund der Absorption
|E |
Turmalin, Polaroid-Folien |E0,x
0,y |
66
π
2
(4.8)
4.2 Polarisationsoptiken
Abbildung 4.2: n-ω- und α-ω-Diagramm
• Gesetz von Malus:
Abbildung 4.3: Versuchsaufbau zum Gesetz von Mallus
k-Komponente wird durch Analysator transmittiert:
Ek = E0 cos θ
2
I(θ) = I0 cos θ
b)
(4.9)
(4.10)
λ
-Plättchen
2
Abbildung 4.4:
λ
2 -Plättchen
optischer Wegunterschied für E⊥ und Ek :
∆s = d(n⊥ − nk ) =
λ
2
(4.11)
Phasenunterschied:
∆ϕ =
2π
· d(n⊥ − nk ) = π
λ
⇒ Vorzeichenänderung von E⊥ = Spiegelung der (linear) polarisierten optischen Achse:

 

E⊥
−E⊥
λ
2
~ 0 =  Ek 
~ =  Ek 
−→
E
E
0
0
(4.12)
(4.13)
67
4 Polaristionsoptik und Nichtlineare Optik
c)
λ
-Plättchen
4
λ
4
π
∆ϕ =
2


E⊥
~ 0 =  Ek 
E
0
∆s =
z.B. linear polarisiert @ 45◦ : E⊥ = Ek = E:
 
E
~ 0 = E 
E
0
(4.14)
(4.15)


iE⊥
~ =  Ek 
E
0
λ
4
−→
(4.16)

λ
4
−→

iE
~ = E 
E
0
(4.17)
zirkular polarisiert
(4.18)
λ
4
−→
linear polarisiert
4.3 Formale Beschreibung
a) Jones Vektoren
Beschreibt kohärentes Lichtbei vorgegebener Ausbreitungsrichtung und Koordinatensystem x̂, ŷ, ẑ.
Jones-Matrix beschreibt Polarisations-Optiken:
0 E0,x
a11
=
0
E0,y
a21
a12
a22
E0,x
·
E0,y
(4.19)
z.B. linearer Polarisator:
vertikal:
1
0
0
0
horizontal:
Lineare Polarisation beliebiger Orientierung bei P̂ :
0
E0,x
= E0 p̂ P̂ · x̂ = (E0,x x̂p̂ + E0,y ŷ p̂)p̂x̂
0
E0,y
= E0 p̂ P̂ · ŷ = (E0,x x̂p̂ + E0,y ŷ p̂)p̂ŷ
0
0
0
1
(4.20)
(4.21)
(4.22)
⇒ Jones-Matrix:
unter 45◦ : p̂ =
√1 (x̂
2
(p̂x̂)2
(p̂x̂)(p̂ŷ)
(p̂x̂)(p̂ŷ)
(p̂ŷ)2
(4.23)
+ ŷ):
1
1
·
1
2
1
1
(4.24)
Drehung der Polarisationsebene:
λ
4 -Plättchen
− sin β
cos β
(4.25)
senkrecht:
68
cos β
sin β
1
0
π
0
· exp i
i
4
(4.26)
4.4 Doppelbrechung
b) Stokes Parameter
S0 = I
(4.27)
S1 = I0◦ − I90◦
(4.28)
S2 = I45◦ − I135◦
(4.29)
S3 = Irhcp − Ilhcp
(4.30)
beschreibt teilweise polarisiertes Licht (rhcp = right-handed-circular-polarised).
Unpolarisiertes Licht:
S1 = S2 = S3 = 0
(4.31)
S02 = S12 + S22 + S32
(4.32)
Vollständig polarisiertes Licht:
Polarisationsgrad:
Ip
P =
=
Ip + Iu
p
S12 + S22 + S32
S0
(4.33)
Müller-Matrizen (4 × 4) beschreiben Polarisations-Optiken.
4.4 Doppelbrechung
Calcit, Kalkspat
Abbildung 4.5: Doppelbrechung
Außerordentlicher Strahl folgt nicht snelliusschen Brechungsgesetz (wird gebrochen, auch für senkrechten
Einfall). Ordentlicher Strahl: folgt Snellius, linear polarisiert ⊥ optischen Achse, Hauptebene.
→
~ mit elektrischem Feld E:
~
Dielektrizitätstensor ←
ε verknüpft mit Verschiebung D
→
~ =ε ←
~
D
εE
0
→
~
P~ = ε0 ←
χE
Richtungsabhängige ”Rückstellkraft” der Elektronen, Hauptachsendarstellung:


εx 0 0
←
→
ε =  0 εy 0 
0 0 εz
Di = ε0 εi Ei
(4.34)
(4.35)
(4.36)
(4.37)
69
4 Polaristionsoptik und Nichtlineare Optik
optisch isotrope Medien (Gase, Flüssigkeiten, Gläser, Diamant):
εx = εy = εz = ε
(4.38)
optisch einachsige Materialien (Calcit, Quarz, Eis):
εx = εy = ε⊥
(4.39)
εz = εk 6= ε⊥
(4.40)
optisch zweiachsige Kristalle (Glimmer, Aragonit, Topas, Rohrzucker):
εx 6= εy 6= εz 6= εx
(4.41)
Einachsige doppelbrechende Kristalle:

ε⊥
←
→
ε =0
0
0
ε⊥
0

0
0
εk
(4.42)
Abbildung 4.6: ordentlicher und außerordentlicher Strahl
ordentlicher Strahl:
linear polarisiert ⊥ ~c-Achse in x-y-Ebene:


Eo,x
~ o = Eo,y 
E
0
(4.43)


ε⊥ Eo,x
→
~ o = ε0 ←
~ 0 = ε0 · ε⊥ Eo,y  = ε0 ε⊥ E
~o
D
εE
0
~ o kE
~o
D
außerordentlicher Strahl:
linear polarisiert mit Komponente in ~c-Richtung:


Ee,x
~ e = Ee,y 
E
Ee,z


ε⊥ Ee,x
→
~ e = ε0 ←
~ e = ε0 · ε⊥ Ee,y 
D
εE
εk Ee,z
~ e kE
~e
D
70
(4.44)
(4.45)
(4.46)
(4.47)
(4.48)
4.4 Doppelbrechung
Brechungsindexellipsoid, Wellengleichung:
2
~
~ ×∇
~ ×E
~ =− 1 ∂ D
∇
2
ε0 c ∂t2
(4.49)
Ansatz ebene Welle:
~ =E
~ 0 · ei(ωt−~k~r)
E
(4.50)
2
~ =− ω D
~
⇒ ~k × ~k × E
ε 0 c2
(4.51)
Definiere Brechungsindex wie gewohnt:
ω
c
=
k
n
(4.52)
→
~ =0
~+ 1←
εE
⇒ êk × êk × E
n2
(4.53)
Brechungsindex als Funktion der Richtung von ~k, zwei Lösungen für n2 :
n0 =
√
ε⊥
2
(4.54)
2
cos (ϑ) sin (ϑ)
1
=
+
ne (ϑ)2
ε⊥
εk
(4.55)
ϑ: Winkel zwischen ~k und optischer Achse.
negativ einachsig:
Abbildung 4.7: negativ einachsig
positiv einachsig:
71
4 Polaristionsoptik und Nichtlineare Optik
Abbildung 4.8: positiv einachsig
Doppelbrechung (Huygensches Prinzip):
Abbildung 4.9: Huygensches Prinzip
72
4.5 Die Optische Aktivität
~e .
Snellius gilt weiter für ~ke und ~ko mit (4.xx). Snellius gilt nicht für S
4.5 Die Optische Aktivität
Drehung der Polarisationsrichtung von linear polarisiertem Licht um Winkel α bei Durchgang durch
Schichte der Dicke d.
Abbildung 4.10: optische Aktivität
α = αs · d
(4.56)
mit αs : optisches Drehvermögen.
links- und rechtsdrehender Quarz.
chirale Moleküle: Zucker, Milchsäure, 2-Butanol.
linear polarisiert = links + rechts zirkular polarisiert:


 

 

Ex 
Ex
 Ex
1

 0  · ei(ωt−kz) = iEy  + −iEy 
 · ei(ωt−kz)

2
0
0
 0

| {z } | {z }
σ+
(4.57)
σ−
Spiralförmige Anordnung der Atome im Kristall/Molekül:
⇒ unterschiedlicher Brechungsindex n+ und n− für σ + und σ − .
+
−
⇒ α = πd
λ · (n − n )
Faraday-Effekt:
Induzierte optische Aktivität durch axiales Magnetfeld:
α = νBd
Grad
ν = 216
Tesla
(4.58)
Verdet-Konstante
(4.59)
mit B: Magnetfeld in ~k-Richtung (Vorzeichen).
Faraday-Isolator (optische Diode)
73
4 Polaristionsoptik und Nichtlineare Optik
Abbildung 4.11: Faraday-Isolator, optische Diode
Abbildung 4.12: Durchlassrichtung
Abbildung 4.13: Sperrichtung
4.6 Induzierte Doppelbrechung
a) Spannungsdoppelbrechung
isotropes Material + mechanische Spannung
⇒ Symmetriebrechung
⇒ Doppelbrechung
Beispiel: Plexiglas zwischen gekreuzten Polarisatoren
b) Kerr-Effekt
→
Flüssigkeit (isotrop) und längliche Moleküle (anisotrope Polarisierbarkeit ←
α ).
(statisches) elektrisches Feld richtet Moleküle aus:
74
4.6 Induzierte Doppelbrechung
Abbildung 4.14: statisches Elektrisches Feld richtet Moleküle aus
⇒ Symmetriebrechung
⇒ global anisotrope Polarisierbarkeit
⇒ Doppelbrechung
2
∆n = ne − no = kλEstat
(4.60)
Effekt quadratisch in Estat .
Beispiel: Nitrobenzol
k = 245 · 10−14
m
V2
(4.61)
Kerrzelle als Modulator:
Abbildung 4.15: Kerrzelle als Modulator
c) Pockels-Effekt
∆n ∝ Estat
linear in Estat ?
(4.62)
Schaltzeiten ∼ 10 ns
1
Spannungen 10
Kerr-Effekt
Isotropes Medium: Flüssigkeit, Festkörper, Gas
⇒ Symmetrie verbietet linearen Effekt.
Annahme: ∆n = k 0 Estat
75
4 Polaristionsoptik und Nichtlineare Optik
Abbildung 4.16: Annahme zum Pockels-Effekt
physikal.
Estat > 0
=
∆n > 0
Estat < 0
∆n < 0
Widerspruch!
n Skalar, Körper isotrop ⇒ Effekt kann nicht richtungsabhängig sein:
2
⇒ ∆n ∝ Estat
(4.63)
~
P~ = ε0 χe E
~ = ε0 εE
~
D
(4.64)
P~ = ε0 · χ(1) E + χ(2) E 2 + χ(3) E 3 + . . .
(4.66)
4.7 Nichtlineare Optik
lineare Optik:
(4.65)
⇒ Superpositionsprinzip
⇒ Frequenzen bleiben unverändert
nichtlineare Optik:
Polarisation P~ : Verschiebung der Elektronen gegen Kern
Abbildung 4.17: d-E-Diagramm
76
4.7 Nichtlineare Optik
Abbildung 4.18: U -d-Diagramm
V
Feldstärke von normalem Licht ≈ 1 m
−12
⇒ Auslenkung ≈ 10
m Abmessung Kern
⇒ lineare Näherung ist sehr gut.
Hohe Feldstärke (Laser) ⇒ nichtlineare Effekte wichtig.
χ(n) sind Tensoren:

Pi = 

X
(1)
χij Ej +
j
X
jk
(2)
χijk Ej Ek +
X
(3)
χijkl Ej Ek El + . . .
(4.67)
ijkl
optische Frequenzverdopplung:
Ebene Welle:
1 · E0 · ei(ωt−kz) + c.c.
2
= E0 cos(ωt − kz)
E=
(4.68)
(4.69)
Polarisation bei z = 0:
P = ε0 · χ(1) E0 cos(ωt) + χ(2) E02 cos2 (ωt) =
1 (2) 2 1 (2) 2
(1)
= ε0 · χ E0 cos(ωt) + χ E0 + χ E0 cos(2ωt)
2
2
(4.70)
(4.71)
Jedes Atom strahlt Licht der Frequenz ω und 2ω ab (→ ”Gleichrichgung”).
Weitere nichtlineare Effekte:
quadratisch in χ(2) : Frequenzverdopplung, Pockels-Effekt, parametrische Verstärkung, optische Gleichrichtung
kubisch in χ(3)
: Frequenzverdreifachung, Selbstfokussierung, Brillouin-Streuung, Phasenkonjugation
77
4 Polaristionsoptik und Nichtlineare Optik
78
5 Welle-Teilchen-Dualismus
Welle
klassische Elektrodynamik, Maxwell-Gleichungen
~ = ε0 c2 (E
~ × B),
~ I = h|S|i
~
Energiestromdichte: S
I
Impulsübertrag: Ps = c
kontinuierliche Amplitude
Teilchen
Photonen, Quanten-Mechanik
Energie: ~ω
Impuls: ~~k
gequantelte Photonenzahl
mit ~: Plancksches Wirkungsquantum
~=
h
= 1, 055 . . . · 10−34 J s
2π
(5.1)
5.1 Photoeffekt
Experimente ab 1888
Erklärung 1905 durch A. Einstein
Experiment von Milikan 1916
Abbildung 5.1: Milikans Experiment 1916
Licht setzt Elektronen aus Kathode frei.
a) 1. Experiment
λ = const., negative Spannung an Anode
⇒ Elektronen werden im Potential abgebremst.
Nur e− mit Ekin > eU erreichen Anode.
Beobachtung:
Für U > Ustop ist I = 0
⇒ Es gibt eine Obergrenze für Ekin der e− :
Ekin ≤ eUstop
(5.2)
79
5 Welle-Teilchen-Dualismus
Beobachtung:
Ustop ist unabhängig von der Intensität I des Lichts.
Interpretation:
Licht besteht aus Teilchen, Photon überträgt Energie auf Elektron, Ekin,max ≤ EPhoton nicht proportional
zur Energie der Photonen für monochromatisches Licht.
Kontrollexperiment:
pos. an Anode (alle e− absaugen).
⇒ Strom J ist proportional zur Lichtintensität I
Abbildung 5.2: J-U -Diagramm
b) 2. Experiment
Varaition von λ
Beobachtung:
Grenzfrequenz ν0 =
rial ab.
c
λ0 ,
für ν < ν0 kein Strom, unabhängig von Intensität, ν0 hängt von kathodenmate-
Beobachtung:
Für ν > ν0 ist Ustop ∝ ν.
Abbildung 5.3: Ustop -ν-Diagramm
im Wellenbild (I ∝ E 2 ) nicht erklärbar.
80
5.1 Photoeffekt
Interpretation:
Photoelektrische Gleichung:
EPhoton = ~ω = A + Ekin,max
~ω = A + eUstop
(5.3)
(5.4)
mit A: Austrittsarbeit.
Steigung ⇒ ~ = 1, 055 · 10−34 J s:
~ω =
h
2πν = hν
2π
(5.5)
Austrittsarbeit von Alkalimetallen:
Cs : A = 1, 9 eV
Na: A = 2, 3 eV
Photomultiplier:
Nachweis einzelner Photonen
Photoeffekt + Elektronenlawine
Abbildung 5.4: Photomultiplier
81
5 Welle-Teilchen-Dualismus
82
6 Anhang: Fourier-Transformation
• spektrale Darstellung
• Zeitraum ↔ Frequenzraum
f (t) ↔ F (ω) mit
F (ω) = F.T. {f (t)}
(6.1)
F (k) = F.T. {f (r)}
(6.2)
Einheit t[ s], ω[ 1s ]
• Ortsraum ↔ reziproker Raum
f (r) ↔ F (k) mit
Einheit r[ m], k[ m−1 ] ”Ortsfrequenz”
• f (t) und F (ω) sind unterschiedliche Funktionen, stellen aber beide die gleiche Wirklichkeit dar.
• math. Basiswechsel
Schreibweise: f˜(ω), [f (ω)]
Beispiel: Tiefpass
Abbildung 6.1: Tiefpass
83
6 Anhang: Fourier-Transformation
Abbildung 6.2: Diagramme zum Tiefpass
Ul − Ut
dUt
=C
R
dt
dUt
⇒ RC
+ Ut = Ul
dt
Fourierreihe:
F.T. einer periodischen Funktion mit Periode T =
(6.4)
2π
ω0 :
∞
X
f (t) =
(6.3)
Fn · einω0 t
(6.5)
n=−∞
mit komplexen Fourier-Koeffizienten Fn (= Amplitude und Phase).
Berechnung der Koeffizienten Fn : (.5) mit e−imω0 t multiplizieren und über eine Periode integrieren:
Z
T
2
−imω0 t
f (t) · e
Z
T
2
dt =
− T2
∞
X
Fn · einω0 t e−imω0 t dt =
(6.6)
− T2 n=−∞
=
∞
X
n=−∞
Z
T
2
Fn ·
e−i(n−m)ω0 t dt
(6.7)
− T2
Für m = n:
Z
T
2
− T2
84
e0 dt = T
(6.8)
Für m 6= n:
∞
X
Z
T
2
Fn ·
2π T
2π T
1
· ei(n−m) T 2 − e−i(n−m) T 2 =
i(n − m)ω0
1
=
· ei(n−m)π − e−i(n−m)π = 0
i(n − m)ω0
e−i(n−m)ω0 t dt =
− T2
n=−∞
Fn =
1
·
T
Z
T
2
f (t) · e−inω0 t dt
(6.9)
(6.10)
(6.11)
− T2
Beispiel: Periodische Rechtecksfunktion
Abbildung 6.3: Periodische Rechtecksfunktion


− T2 ≤ t < − 2b
0
f (t) = a
− 2b ≤ t < 2b

 b
0 2 ≤ t < T2
Z T2
Z 2b
1
1
ab
F0 = ·
f (t) · e0 dt = ·
a dt =
T
T
T
− T2
− 2b
Z T2
Z 2b
1
1
Fn = ·
f (t) · e−inω0 t dt = ·
ae−inω0 t dt =
T
T
− T2
− 2b
a
b
1 1
−inω0 2b
inω0 2b
=
· e
−e
=
sin nπ
T −inω0
nπ
T
Für b =
(6.12)
(6.13)
(6.14)
(6.15)
T
2
a
2
a
=
π
F0 =
F±1
F±2 = 0
F±3
a
=−
3π
Fourier-Transformation:
T → ∞ Übergang zu nicht periodischen Funktionen
Z ∞
1
f (t) =
·
F (ω) · eiωt dω
2π −∞
Z ∞
F (ω) =
f (t) · e−iωt dt
F±4 = 0
F±5
a
=
5π
(6.16)
(6.17)
(6.18)
(6.19)
−∞
85
6 Anhang: Fourier-Transformation
F (ω): kontinuierliches Frequenzspektrum.
Rechenregeln:
• Ähnlichkeitssatz:
t
F.T. f
= |α| · F (αω)
α
Skalierung Zeitachse mit
1
α
(6.20)
↔ Skalierung Frequenzachse mit α.
• Verschiebungssatz:
F.T. {f (t − t0 )} = e−iωt0 · F (ω)
F.T. eiω0 t · f (t) = F (ω − ω0 )
(6.21)
(6.22)
Modulation ↔ Frequenzverschiebung
• Differentiationsregel:
dn F (ω
F.T. {tn f (t)} = in ·
dω n
n
d f (t)
F.T.
= (iω)n · F.T.{f (t)}
dtn
(6.23)
(6.24)
Elegante Lösung von DGL im reziproken Raum.
• Parsevalsche Formel:
Z
∞
Z
2
∞
|f (t)| dt =
−∞
|F (ω)|2 dω
(6.25)
−∞
Gesamtenergie im Raum und reziproken Raum sind gleich.
Faltungsregel:
F.T. {f (t) ⊗ g(t)} = F.T. {f (t)} · F.T. {g(t)}
(6.26)
mit Faltung ⊗.
Beispiel: Filtern
Z
∞
f (t) ⊗ g(t) =
f (τ )g(t − tτ ) dτ
−∞
Beispiel: Tiefpass
Abbildung 6.4: Tiefpass
86
(6.27)
dUt
+ Ut = Ue
dt
⇒ RCiω Ũt + Ũt = Ũe
RC
(6.28)
(6.29)
1
Ũt
=
1 + iωRC
Ũe
(6.30)
Beispiel: getriebenes Pendel
Abbildung 6.5: getriebenes Pendel
mẍ + 2γ ẋ + kx = f
(6.31)
m(−iω) x̃ + 2γ(−iω)x̃ + kx̃ = f˜
2
1
x̃
1
m
=
= 2
γ
2
2
ω
ω0 − ω − 2i m
f˜ −mω − 2iγω + k
(6.32)
r
ω0 =
k
m
(6.33)
87
6 Anhang: Fourier-Transformation
88
Abbildungsverzeichnis
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit: Astronomische Methode
Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit: Zahnradmethode . . . .
Phasengeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E-Feld einer ebenen Welle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Poynting-Vektor S
Strahlungsdruck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Brechungsindex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Phasen- und Gruppengeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . .
ω-k-Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Transmission und Reflexion (senkrechter Einfall) . . . . . . . .
Transmission und Reflexion (beliebiger Einfallswinkel) . . . . .
Glasfaserkabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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7
7
8
9
10
11
13
14
15
16
17
20
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13
2.14
2.15
2.16
2.17
2.18
2.19
2.20
2.21
2.22
2.23
2.24
2.25
2.26
2.27
2.28
Extremalprinzip . . . . . . . . . . . . .
Fata Morgana . . . . . . . . . . . . . . .
Fermatsches Prinzip . . . . . . . . . . .
Abbildung durch brechende Kugelfläche
Parallele Strahlenbündel . . . . . . . . .
Dünne Linse . . . . . . . . . . . . . . . .
Brechung erster Oberfläche . . . . . . .
Brechung zweiter Oberfläche . . . . . . .
Reelles Bild einer Sammellinse . . . . .
viruelles Bild einer Zerstreuungslinse . .
Vergrößerung . . . . . . . . . . . . . . .
Astronomisches Fernrohr . . . . . . . . .
Terrestrisches Fernrohr . . . . . . . . . .
Lupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lupe (Gegenstand in den Brennpunkt) .
Mikroskop . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aperturblende . . . . . . . . . . . . . .
Eintritts- und Austrittspupille . . . . . .
Hauptebenen . . . . . . . . . . . . . . .
ABCD-Matrix . . . . . . . . . . . . . .
Strahl als Vektor . . . . . . . . . . . . .
Brechung an Kugelfläche . . . . . . . . .
Translation um Strecke d12 . . . . . . .
Ausbreitung durch ein Linsensystem . .
n-λ-Diagramm . . . . . . . . . . . . . .
Normale Dispersion . . . . . . . . . . . .
Normale Dispersion . . . . . . . . . . . .
Sphärische Aberration . . . . . . . . . .
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3.3
Beugung am Spalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zeigerdiagramm: Zentrales Maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zeigerdiagramm: N · ∆ϕ = π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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89
Abbildungsverzeichnis
90
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
3.12
3.13
3.14
3.15
3.16
3.17
3.18
3.19
3.20
3.21
3.22
3.23
3.24
3.25
3.26
3.27
3.28
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3.30
3.31
3.32
3.33
3.34
3.35
3.36
3.37
3.38
3.39
3.40
3.41
3.42
3.43
3.44
Zeigerdiagramm: 1. Minimum . . . . . . . . .
Ebene und Sphärische Referenzfläche . . . . .
Fresnel-Beugung am Spalt . . . . . . . . . . .
h-φ-Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fresnel-Kirchhoffsche Beugungstheorie . . . .
Fresnelsche Zonenplatte . . . . . . . . . . . .
Fraunhofer-Beugung . . . . . . . . . . . . . .
Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fraunhofer-Beugung am Einfachspalt . . . . .
Beugung am Doppelspalt . . . . . . . . . . .
Lage der Maxima . . . . . . . . . . . . . . . .
Endliche Spaltbreite . . . . . . . . . . . . . .
Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Beugung am Gitter . . . . . . . . . . . . . . .
Transmissions- und Reflexionsgitter . . . . . .
Monochromator . . . . . . . . . . . . . . . . .
Beugungsmaxima des Gitters . . . . . . . . .
Beugung am dreidimensionalem Gitter . . . .
Bragg-Reflexion . . . . . . . . . . . . . . . . .
I-U -Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . .
Beugung an Teleskopöffnung . . . . . . . . . .
Mikroskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Abbe’sche Theorie der Bildentstehung . . . .
Auflösungsvermögen eines Mikroskops (Abbe)
Michelson-Interferometer . . . . . . . . . . . .
I-∆s-Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sagnac-Interferometer . . . . . . . . . . . . .
Mach-Zehnder-Interferometer . . . . . . . . .
Interferenz gleicher Neigung I . . . . . . . . .
Interferenz gleicher Neigung II . . . . . . . .
Interferenz gleicher Dicke . . . . . . . . . . .
Fabry-Perot-Interferometer . . . . . . . . . .
Interferenz gleicher Neigung . . . . . . . . . .
Intensität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gedankenexperiment I . . . . . . . . . . . . .
Gedankenexperiment II . . . . . . . . . . . .
Gedankenexperiment . . . . . . . . . . . . . .
Quantitativ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zeitliche Kohärenz . . . . . . . . . . . . . . .
Gauß-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . .
Gauß-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . .
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48
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58
58
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60
61
61
62
63
63
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
4.11
Phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n-ω- und α-ω-Diagramm . . . . . . . . . .
Versuchsaufbau zum Gesetz von Mallus .
λ
2 -Plättchen . . . . . . . . . . . . . . . . .
Doppelbrechung . . . . . . . . . . . . . . .
ordentlicher und außerordentlicher Strahl
negativ einachsig . . . . . . . . . . . . . .
positiv einachsig . . . . . . . . . . . . . .
Huygensches Prinzip . . . . . . . . . . . .
optische Aktivität . . . . . . . . . . . . .
Faraday-Isolator, optische Diode . . . . .
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70
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Abbildungsverzeichnis
4.12
4.13
4.14
4.15
4.16
4.17
4.18
Durchlassrichtung . . . . . . . . . . . . . . .
Sperrichtung . . . . . . . . . . . . . . . . .
statisches Elektrisches Feld richtet Moleküle
Kerrzelle als Modulator . . . . . . . . . . .
Annahme zum Pockels-Effekt . . . . . . . .
d-E-Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . .
U -d-Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . .
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5.1
5.2
5.3
5.4
Milikans Experiment 1916
J-U -Diagramm . . . . . .
Ustop -ν-Diagramm . . . .
Photomultiplier . . . . . .
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6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
Tiefpass . . . . . . . . . . . .
Diagramme zum Tiefpass . .
Periodische Rechtecksfunktion
Tiefpass . . . . . . . . . . . .
getriebenes Pendel . . . . . .
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Abbildungsverzeichnis
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Literaturverzeichnis
[1] Zinth & Zinth: Optik, Oldenbourg
[2] Demtröder: Experimentalphysik 3, Springer Verlag
[3] D. Meschede: Gerthsen Physik, Springer Verlag
[4] Tipler: Physik, Elsevier
[5] Halliday: Physik, Wiley-VCH
[6] Ch. Kittel: Berkeley Physik Kurs I, Vieweg
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