Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2 Grundgleichungen
2.1 Der Carr-Helfrich-Mechanismus
2.2 Die Grundgleichungen . . . . .
2.2.1 Drehimpulserhaltung . .
2.2.2 Impulserhaltung . . . . .
2.2.3 Massenerhaltung . . . .
2.2.4 Ladungserhaltung . . . .
2.2.5 Flexoeekt und WEM .
2.2.6 Zusammenfassung . . . .
2.3 Skalierung . . . . . . . . . . . .
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3
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13
13
14
14
15
3 Lineare Stabilitatsanalyse
17
4 Der dielektrische Bereich
22
3.1 Der lineare Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 Losungen des linearen Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.1 Der lineare Operator im Limes groer Dicken . . . .
4.2 Die konvektive Mode . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Schwelle und kritischer Wellenvektor . . . .
4.2.2 Eigenvektor und transponierter Eigenvektor
4.3 Goldstonemode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Diskussion des Limes groer Dicken . . . . . . . . .
4.5 Flexo-Eekt und WEM . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Schwach nichtlineare Analyse
5.1 Die Ginzburg-Landau-Gleichung . . . . .
5.2 spontan gebrochene Isotropie-homeotrop
5.3 spontan gebrochene Isotropie-planar . . .
5.3.1 Die A-Gleichung . . . . . . . . .
1
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39
INHALTSVERZEICHNIS
2
5.3.2 Die '-Gleichung . . . .
5.3.3 Zusammenfassung . . .
5.4 Berechnung der Koezienten
5.4.1 Die A-Gleichung . . .
5.4.2 Die '-Gleichung . . . .
5.4.3 Die gg-Gleichung . . .
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6 Die Koezienten
6.1 Koezienten der A-Gleichung fur K Q; P
6.1.1 Lineare Koezienten . . . . . . . . .
6.1.2 Nichtlineare Koezienten . . . . . .
6.2 Koezienten der '-Gleichung fur K P; Q
6.2.1 Lineare Koezienten . . . . . . . . .
6.2.2 Nichtlineare Koezienten . . . . . .
6.3 Koezienten fur K Q; P . . . . . . . . .
6.3.1 A-Gleichung . . . . . . . . . . . . . .
6.3.2 '-Gleichung . . . . . . . . . . . . . .
6.3.3 Die gg-Gleichung . . . . . . . . . . .
6.4 Zusammenfassung aller Koezienten . . . .
7 Stabilitatsanalyse
7.1 Homogene Losung . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 Normalrollen . . . . . . . . . . .
7.1.2 Stabilitat der Normalrollen . . . .
7.1.3 Losung fur abnormale Rollen . .
7.1.4 Stabilitat der abnormalen Rollen
7.2 Dreidimensionale Losung . . . . . . . . .
7.3 Busse Balloon . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . .
8 Experimente
8.1
8.2
8.3
8.4
Verwendete Untersuchungsmethode
Versuchsaufbau und Materialien . .
Durchfuhrung und Ergebnisse . . .
Diskussion der Ergebnisse . . . . .
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59
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66
66
68
68
71
71
72
73
78
9 Zusammenfassung und Ausblick
79
A MBBA-Materialparameter
81
9.1 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
9.2 Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
INHALTSVERZEICHNIS
3
B Koezienten der Amplitudengleichungen
82
B.1 Koezienten fur den Grenzfall K Q; P . . . . . . . . . . . . . . . 82
B.2 Koezienten fur den Grenzfall K Q; P . . . . . . . . . . . . . . . 83
B.3 Koezienten der reskalierten Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4
INHALTSVERZEICHNIS
Kapitel 1
Einleitung
Seit vielen Jahren wird in Bayreuth Strukturbildung in nematischen Flussigkristallen
intensiv untersucht. Es gab und gibt zu diesem Thema zahlreiche experimentelle so
wie auch theoretische Arbeiten.
Meist wird hier Elektrokonvektion untersucht. Das heit, ein Flussigkristall wird
zwischen zwei Glasplatten eingeschlossen, an die eine auere Spannung angelegt
werden kann. Erhoht man nun diese Spannung uber einen kritischen Schwellwert
hinaus, so bilden sich Konvektionsrollen. Siehe Abbildung 1.1.
v
^
E || z
^
z
^
y
^
z
rn
Directo
^
x
Abbildung 1.1: Experimentelle Anordnung
Dieses System zeigt die typischen Eigenschaften der Strukturbildung. Es ist dissipativ und kontinuierlich und bildet in Abhangigkeit eines aueren Parameters sponta5
6
KAPITEL 1. EINLEITUNG
ne, zeitliche, ortliche, raum-zeitlich geordnete oder auch chaotische Strukturen aus.
Allerdings weist es auch Besonderheiten gegenuber sehr bekannten Systemen wie
zum Beispiel der thermisch getriebenen Rayleigh Bernard Konvektion in einfachen
Fluiden auf.
Zuallererst betrachtet man hier Strukturbildung nicht in einfachen sondern in komplexen Fluiden. Nematische Flussigkristalle sind stabchenformige Molekule, die sich
entlang einer Vorzugsrichtung, dem sogenannten Direktor, anordnen. Sie besitzen
eine Anisotropie. Damit sind schon im Grundzustand des Systems verschiedene Anordnungen moglich. Am haugsten werden planar, das heit der Direktor ist parallel
zu den Platten orientiert, und homeotrop, das heit der Direktor ist senkrecht zu
den Platten orientiert, verwendet.
Legt man an die Platten eine Wechselspannung an, so steht auer der Amplitude des elektrischen Feldes zusatzlich noch die Frequenz als Kontrollparameter zur
Verfugung. Man kann zum Beispiel in verschiedenen Frequenzbereichen verschiedene Instabilitatsmechanismen beobachten, die konduktives Regime und dielektrisches
Regime genannt werden.
Auerdem wechselwirken Flussigkristalle stark mit einem auerem Magnetfeld.
Die vielfaltigen Moglichkeiten das System zu beeinussen bewirken ein sehr reiches
Szenario an Instabilitaten.
Auf Grund der sehr dunnen Proben sind die Relaxationszeiten sehr klein und es
kann ein groes Aspektverhaltnis erzeugt werden.
Des weiteren ist dieses System sehr gut experimentell zuganglich.
Diese Eigenschaften machen es zu einem sehr beliebten Modell fur Strukturbildung.
Die hier gefundenen Mechanismen konnen anschlieend verallgemeinert werden.
Die Strukturen am Einsatz der konvektiven Instabilitaten werden seit vielen Jahren
intensiv untersucht und sind relativ gut verstanden. Ein letztes, lange ungelostes
Problem, die Bildung von laufenden Rollen im konduktiven Bereich wurde erst vor
kurzem in Bayreuth von M. Treiber et al. [14] aufgeklart.
In einigen Fallen beobachtet man aber auch einen zweiten U bergang zu einer neuen
Struktur. Hierzu gehoren die seit vielen Jahren bekannten Chevrons, deren Entstehungsmechanismus bisher nicht verstanden war. Kurz vor Beginn dieser Arbeit
wurde in Bayreuth von A. G. Rossberg et al. [8, 9] eine neue Theorie entwickelt,
welche diese Instabilitat beschreibt. Chevrons sind hauptsachlich aus der Elektrokonvektion in planarer Anordnung im dielektrischen Bereich bekannt. Das Szenario
ihrer Entstehung ist mit steigender Spannung das folgende: Nach einem ersten U bergang zu engen Konvektionsrollen wird das System schnell durch das Auftreten von
Defekten instabil. Es entsteht das sogenannte Defektchaos. Defekte tragen eine topologische Ladung, die je nach dem, ob eine Rolle an diesem Punkt, bei Betrachtung
aus einer vorgegebenen Richtung, endet oder beginnt, +1 oder ;1 ist.
7
Abbildung 1.2: Aufnahmen aus dem dielektrischen Bereich
8
KAPITEL 1. EINLEITUNG
Dann bilden sich Chevrons. Das heit, Defekte gleicher Ladung ordnen sich entlang
von Ketten, die sich parallel zur ursprunglichen Rollenrichtung anordnen. Die Ladung wechselt von Kette zu Kette. Dazwischen sind die Rollen abwechselnd nach
rechts und links gedreht, was dem Ganzen das Aussehen eines Fischgratenmusters
gibt. Abbildung 1.2 zeigt Aufnahmen aus dem dielektrischen Bereich bei planarer Anordnung fur verschiedene Spannungen. Die Abbildungen zeigen von oben
nach unten Rollen nahe der Schwelle, eine Aufnahmen aus dem defektchaotischen
Zustand und Chevrons. Die Messungen wurden von M. Scheuring durchgefuhrt [25].
A. G. Rossberg et al. gingen ursprunglich von einer homeotropen Direktorausrichtung und dem konduktiven Bereich aus. Es gelang ihnen hierfur gekoppelte
Amplitudengleichungen aufzustellen, in denen auer der Amplitude der Rollen eine
weitere Mode, die (fast) freie Rotation des Direktors in der x-y-Ebene, eingebunden
wurde. Simulation dieser Gleichungen zeigen Chevronstrukturen. Es wurde moglich
zu einem qualitativen Verstandnis des Entstehungsmechanismus zu gelangen [9].
Sie zeigen weiter, da man Chevronbildung allgemein erwarten kann, wenn gewisse
Symmetrieeigenschaften verwirklicht sind und ein Kopplungsterm das richtige Vorzeichen besitzt. Man erwartet diesen Eekt immer fur Systeme mit einer spontan
gebrochenen Isotropie, die durch eine kleine auere Storung aufgehoben wird.
Der konduktive Bereich in homeotroper Anordnung gehort oensichtlich in diese
Symmetrieklasse. Vor dem Einsatz der konvektiven Instabilitat tritt der sogenannte
Freederickszubergang auf, bei dem der Direktor aus seiner ursprunglich homeotropen Anordnung klappt und sich senkrecht zum von auen angelegten elektrischen
Feld stellt. Dadurch entsteht in der Mitte der Zelle eine planare Anordnung. Der
Direktor ist allerdings an den Randern nicht verankert, so da er sich in der x-yEbene frei drehen kann. Es entsteht eine sogenannte weiche Mode. Diese wird von
auen leicht durch ein Magnetfeld gestort.
Da das dielektrische Regime mit planarer Anordnung, in dem die Chevronbildung
seit langem bekannt ist, auch in diese Symmetrieklasse fallen soll, verwundert auf
den ersten Blick etwas. Allerdings ist die Wellenlange der Rollen im dielektrischen
Bereich sehr klein und zudem unabhangig von der Zelldicke, so da der orientierende
Eekt der Rander als eine kleine Storung betrachtet werden kann.
In dieser Arbeit wird der dielektrischen Bereich noch einmal intensiv untersucht.
Ziel dieser Untersuchung ist es unter anderem festzustellen, ob sich die Theorie der
Chevrons auf diesen Bereich ubertragen lat. Dazu werden neben einer linearen
Analyse auch eine schwach nichtlineare Analyse durchgefuhrt und das Stabilitatsdiagram berechnet.
Die einfache Geometrie in diesem Bereich lat eine analytische Berechnung zu. Man
erhot sich dadurch Aufschlu uber die zugrundeliegenden physikalischen Mechanismen zu gewinnen.
9
Der Inhalt dieser Arbeit gliedert sich wie folgt:
In Kapitel 2 wird der Mechanismus der elektrohydrodynamischen Konvektion
erklart und die Grundgleichungen eingefuhrt.
In Kapitel 3 werden die Grundlagen der linearen Stabilitatsanalyse eingefuhrt.
In Kapitel 4 wird diese fur den dielektrischen Bereich durchgefuhrt.
In Kapitel 5 werden die Amplitudengleichungen fur den dielektrischen Bereich
aufgestellt.
In Kapitel 6 werden die Koezienten dieser Gleichungen explizit berechnet.
In Kapitel 7 werden die Losungen dieser Gleichungen und deren Stabilitat
untersucht.
In Kapitel 8 werden in Leipzig durchgefuhrte Experimente zur Direktorauslenkung
in der x-y-Ebene vorgestellt.
In Kapitel 9 werden die wichtigsten Ergebnisse zusammengefasst.
Kapitel 2
Carr-Helfrich-Mechanismus und
Grundgleichungen
In diesem Kapitel wird zuerst der Mechanismus der elektrohydrodynamischen Konvektion erklart und dann die Grundgleichungen dieses Systems vorgestellt. Im letzten Teil wird auf die Skalierung eingegangen.
2.1 Der Carr-Helfrich-Mechanismus
Der grundlegende Mechanismus der elektrohydrodynamischen Konvektion in Flussigkristallen wurde Erstmals von Carr und Helfrich fur Gleichspannung vorgeschlagen [1, 2, 3].
Fur diesen Mechanismus ist es notwendig, da freie Ladungstrager in der Probe
vorhanden sind. Es reicht bereits eine sehr geringe Konzentration aus, die in den
meisten Flussigkristallen durch Alterungsprozesse oder ahnliches auch ohne auere
Zusatze bereits vorhanden ist. Des weiteren mu die Leitfahigkeit in Richtung des
Direktors groer sein, als senkrecht dazu. Das heit a mu positiv sein. Haug verwendete Flussigkristalle wie Phase V oder MBBA erfullen diese Voraussetzungen.
Wird nun der Direktor, z.B. durch thermische Fluktuationen, leicht aus seiner ursprunglichen, planaren Lage ausgelenkt, bewegen sich freie Ladungen auf Grund
der Anisotropie der Leitfahigkeit bevorzugt entlang der Vorzugsachse des Flussigkristalls, es bilden sich Raumladungen. Durch das auere elektrische Feld werden
Volumenkrafte in der Flussigkeit wirksam, die eine Flussigkeitsstromung hervorrufen. Diese wiederum bewirkt uber die Rotationsviskositat ein Drehmoment auf die
Molekule, das zusatzlich durch das von den Raumladungen hervorgerufene dielektrische Drehmoment verstarkt wird1.
Diesen Vorgangen wirken das elastische Drehmoment und das durch das auere Feld
1
fur a < 0
10
2.1. DER CARR-HELFRICH-MECHANISMUS
11
hervorgerufene dielektrische Drehmoment entgegen.
Wenn die angelegte Spannung genugend gro ist, uberwiegen die destabilisierenden
Eekte und es bilden sich Konvektionsrollen mit einer Wellenlange von 2d.
Dieser Mechanismus ist auf Wechselspannung ubertragbar. Wenn eine Wechselspan-
Abbildung 2.1: Schnappschu aus dem konduktiven Bereich (oben) und Schnappschu
aus dem dielektrischen Bereich (unten)
nung angelegt wird, hat man auer der elektrischen Spannung noch einen zweiten
Kontrollparameter, die Frequenz. Jetzt werden die Relaxationszeiten des Flussigkristalls, wie die Direktorrelaxationszeit d und die Ladungsrelaxationszeit 0 , wichtig.
12
KAPITEL 2. GRUNDGLEICHUNGEN
Die Ladungsrelaxationszeit ist gegeben durch:
0 = 0?
(2.1)
?
Fur die Direktorrelaxationszeit sind verschiedene Denitionen moglich, die jedoch
immer von der Form
(2.2)
D = k q2 +0 E 2
0
a 0
sind. Der Carr-Helfrich-Mechanismus beruht im wesentlichen auf dem Aufbau von
Raumladungen. Falls nun die treibende Frequenz etwa in der Groenordnung von
1
0 oder darunter liegt, konnen die elektrischen Ladungen dem aueren Feld folgen.
Gleichzeitig gilt in diesem Bereich D !1 . Der Direktor und das Geschwindigkeitsfeld konnen dem aueren Feld nicht folgen und bleiben im wesentlichen zeitlich
konstant. Dieser Bereich wird konduktiver Bereich genannt. Die Wellenlange der
entstehenden Konvektionsrollen ist hier von der Groenordnung des Abstands der
Platten.
Fur groere Frequenzen ! > 10 wird die Ladungstrennung immer weniger eektiv,
und damit auch die destabilisierenden Krafte immer schwacher, so da die fur a < 0
stabilisierenden Drehmomente auf den Direktor uberwiegen. Fur a < 0 gibt es deshalb immer eine Grenzfrequenz !c, die als Cuto-Frequenz bezeichnet wird, die den
Leitfahigkeitsbereich nach oben begrenzt.
Elektrohydrodynamische Konvektion ist jedoch auch fur Frequenzbereiche mit ! >
!c moglich. Bei groerem angelegten elektrischen Feld E0 und groerer Wellenzahl
q wird die Direktorrelaxationszeit verkleinert und 1d wird von der Groenordnung
der aueren Frequenz. Nun oszillieren der Direktor und das Geschwindigkeitsfeld
mit der aueren Frequenz, wahrend die Raumladungen in wesentlichen statisch bleiben. Dieser Bereich wird dielektrischer Bereich genannt. Hier ist die Wellenlange
im Vergleich zum konduktiven Bereich sehr klein und unabhangig von der Zelldicke.
In Abbildung 2.1 sind jeweils ein Schnappschu einer Messung im konduktiven und
im dielektrischen Bereich zu sehen.
2.2 Die Grundgleichungen
In diesem Abschnitt werden die Grundgleichungen der Elektrokonvektion in nematischen Flussigkristallen vorgestellt. Sie nden sich zum Beispiel in [35, 34, 33].
In dieser Arbeit wird grotenteils die Darstellung aus [11] gewahlt. Die elektrohydrodynamischen Grundgleichungen bestehen aus den ublichen hydrodynamischen
Grundgleichungen (Massenerhaltung, Drehimpulserhaltung und Impulserhaltung)
und zusatzlich aus den quasistatischen Maxwell-Gleichungen ( Ladungserhaltung
und Coulomb-Gesetz).
2.2. DIE GRUNDGLEICHUNGEN
13
2.2.1 Drehimpulserhaltung
Der elastische Anteil der freien Energie lautet
h
i
Fel = 12 k11 (r n^)2 + k22 (r n^)2 + k33 (^n r n^ )2 ;
(2.3)
wobei die elastischen Konstanten k11; k22 und k33 jeweils einer "splay\, "twist\oder
bend \-Deformation entsprechen. n^ = (nx; ny ; nz ) ist die auf eins normierte Rich"tung
des Direktors.
Auf Grund der Anisotropie sind die Suszeptibilitat, die Dielektrizitatskonstante und
die Leitfahigkeit Tensoren. Im Fall nematischer Flussigkristalle sind diese uniaxial
und lassen sich folgendermaen darstellen:
ij = ?ij + a ni nj ;
ij = ?ij + a ninj ;
ij = ?ij + a ninj ;
a = k ; ?
a = k ; ?
a = k ; ?:
(2.4)
Wobei ? und k jeweils die Groe senkrecht bzw parallel zum Direktor n^ bezeichnet.
Wenn zusatzlich zum aueren elektrischen Feld noch ein Magnetfeld angelegt wird
lautet der elektromagnetische Beitrag zur freien Energie wie folgt:
(2.5)
Fem = ; 21 0a (^n H)2 ; 0 a (^n E)2 :
Das Drehmomentgleichgewicht kann nun als
; = n^ S = 0
(2.6)
geschrieben werden. S ist das von de Gennes eingefuhrte Molekularfeld, welches an
jedem Ort parallel zum Direktor sein mu. Das Molekularfeld besteht aus einem
reversiblen Teil
(Srev )i = [@i ; @j (@ni;j )] F
(2.7)
mit @j = @xj und ni;j = @j ni , sowie aus dem viskosen Anteil
(Svisc)i = ;1Ni ; 2 nj Aij ;
(2.8)
wobei N , die zeitliche A nderung des Direktors relativ zur bewegten Flussigkeit,
sowie der symmetrische Tensor Aij gegeben sind durch:
N = ddtn^ + 21 n^ (r v)
Aij = 12 (vi;j + vj;i) :
14
KAPITEL 2. GRUNDGLEICHUNGEN
Die substantielle Ableitung ist durch ddt = @t + vr gegeben. Wie ublich werden
Tragheitsterme, die die zweite Zeitableitung von n^ enthalten vernachlassigt. Um
Gleichung (2.6) auf ihre zwei unabhangigen Komponenten senkrecht zu n^ zu reduzieren, fuhrt man sie durch Multiplikation mit der Drehmatrix D in ein Koordinatensystem, dessen x-Achse parallel zur n^ Achse ist, uber.
2
3
nx ny
nz
D = 64 ny ;nx 0 75
(2.9)
2
nxnz ny nz nz ; 1
Nach dieser Transformation sieht man, da die erste Komponente von ; aus (2.6)
trivial verschwindet. Anders als in [11] werden hier nicht polare Koordinaten fur den
Direktor eingefuhrt, sondern weiterhin kartesisch gerechnet. Mit Hilfe der Normierungsbedingung des Direktors wird im folgenden nx aus den Gleichungen eliminiert.
q
nx = 1 ; n2y ; n2z
(2.10)
Dieses Vorgehen erweist sich als gunstig fur die schwach nichtlineare Analyse.
2.2.2 Impulserhaltung
Der Impulserhaltungssatz lautet hier
ij
(2.11)
m dd vti = fi + @T
@xl :
m ist die Massendichte. Die Volumenkraft f ist hier f = eE , wobei e die Ladungsdichte und E das elektrische Feld darstellen.
Der Spannungstensor T hat neben einem isotropen Beitrag des Drucks einen elastischen Beitrag s und einen viskosen Beitrag t,
Tij = ;pij + sij + tij ;
(2.12)
mit
@F n
sij = ; @n
k;j
k;i
tij = 1nk nl Akl ninj + 2 niNj + 3nj Ni +
4Aij + 5ni nk Akj + 6nj nk Aki:
Die isotrope Viskositat entspricht 4 =2. Damit reduziert sich Gleichung (2.11) auf
die normale Navier-Stokes-Gleichung. Eine anschauliche Beschreibung der Bedeutung der Viskositatskoezienten ndet sich z.B. in [12]. Es gilt die Onsager-Relation
[13]
6 ; 5 = 2 + 3 :
(2.13)
2.2. DIE GRUNDGLEICHUNGEN
15
Es gibt nur 5 voneinander unabhangige Viskositatskoezienten.
Oft werden zusatzlich die Rotationsviskositaten
1 = 3 ; 2
2 = 3 + 2 :
(2.14)
(2.15)
1 = (4 + 5 ; 2 ) =2
2 = (3 + 4 + 6) =2
0 = (1 + 4 + 5 + 6 )
(2.16)
(2.17)
(2.18)
und die Scherviskositaten
eingefuhrt.
Um den Druck aus der Gleichung (2.11) zu entfernen wird die Rotation dieser Gleichung genommen. Es bleiben zwei unabhangige Gleichungen. Im folgenden werden
die zweite und dritte Komponente verwendet.
2.2.3 Massenerhaltung
Die Flussigkeit wird als inkompressibel angenommen, so da sich die Kontinuitatsgleichung auf
rv = 0
(2.19)
reduziert. Um diese Gleichung automatisch zu erfullen werden die Geschwindigkeitspotentiale g und f eingefuhrt.
v = rot
rot^z f + rot^z g ~f + ~g
~ = @x@z ; @y @z ; ;@x2 ; @y2
~ = (@y ; ;@x ; 0)
2.2.4 Ladungserhaltung
Die quasistatischen Maxwellgleichungen lauten
r(E ) = e
r E = 0:
(2.20)
(2.21)
rj + @t e = 0;
(2.22)
j = E + e v:
(2.23)
Die Ladungserhaltung lautet
mit
KAPITEL 2. GRUNDGLEICHUNGEN
16
Jetzt kann die Ladungsdichte aus den Gleichungen (2.11) und (2.22) noch mit Hilfe
von Gleichung (2.20) eliminiert werden. Gleichung (2.21) wird durch folgenden
Ansatz erfullt
E = E0 ; r:
(2.24)
E0 ist das von auen angelegte elektrische Feld. ist das induzierte elektrische
Potential.
2.2.5 Flexoeekt und WEM
Die bisherige Beschreibung entspricht dem sogenannte Standartmodel (SM). Es existieren zwei Erweiterungen dieses Modells, die Hinzunahme des Flexoeekts und
das sogenannte Weak Electrolyte Model (WEM). Der Flexoeekt beschreibt die
Polarisation die durch die Deformation des polarisierbaren Mediums hervorgerufen
wird.
Pflexo = e1n^ (rn^) ; e3 n^ r n^
(2.25)
Diese Polarisation bewirkt einen dritten Beitrag zur freien Energie
Fflexo = ;EPflexo
(2.26)
Das WEM wurde erst vor kurzem in Bayreuth von M. Treiber et al. entwickelt[14].
Im Gegensatz zu dem im SM angenommenen ohmschen Verhalten beschreibt es die
Leitfahigkeitseigenschaften des Nematen durch zwei frei bewegliche Ladungstragersorten. Dieses Modell ermoglichte es Erstmals die seit langem bekannten laufenden
Rollen im konduktiven Bereich von Nematen zu erklaren.
In Kapitel 4 wird auf die moglichen Einusse dieser Erweiterungen auf die in dieser
Arbeit durchgefuhrten Rechnungen eingegangen.
2.2.6 Zusammenfassung
Es bleiben also 5 voneinander unabhangige Gleichungen: zwei Gleichungen aus der
Drehimpulserhaltung (2.6), die in Zukunft als ny - und nz -Gleichung bezeichnet werden, zwei Gleichungen aus der Impulserhaltung (2.11), die als g- und f -Gleichung
bezeichnet werden und eine Gleichung aus der Ladungserhaltung (2.22), die Gleichung genannt wird.
Eine elegante und moderne Herleitung der Gleichungen des Standartmodels ndet
sich in [14, 15].
2.3. SKALIERUNG
17
2.3 Skalierung
Um dimensionslose Gleichungen zu erhalten wird folgende Skalierung eingefuhrt.
Lange
Zeit
Leitfahigkeit
Dielektrizitatskonstante
elektrisches Feld
Viskositatskoezienten
Elastizitatskoezienten
Magnetfeld
Massendichte
mit
x
t
E
i
kii
H
m
=
x0 d
= t0 k00d22
=
00
=
0 =
E 0 E0
=
i0 0
0 k0
=
kiiq
= H 0 d 0k0 a
2
=
0 k00
0 = 8:8542 10;12 VAms
0 = 410;7 AV ms
(2.27)
und den Skalierungsfaktoren
0 = 10;3 Nm2s
k0 = 10;12N
0 = 10;8 1m
(2.28)
Die gestrichenen Symbole stellen die dimensionslosen Groen dar. Die Striche werden in Zukunft wieder weggelassen.
Die dimensionslose Rechnung vereinfacht, selbst bei analytischer Rechnung, die Angabe von Zahlenwerten zum Beispiel fur die Koezienten der Amplitudengleichungen wesentlich. Auerdem ermoglicht sie den Vergleich mit den Ergebnissen numerischer Programme, die die gleiche Skalierung verwenden. Deshalb sind alle in
dieser Arbeit angegebenen Gleichungen und Ergebnisse in dimensionsloser Form aufgefuhrt.
An manchen Stellen ist es allerdings sinnvoll Ergebnisse auch in physikalischen Einheiten anzugeben, so zum Beispiel bei der Berechnung des Schwellwertes der Spannung. In den Fallen in denen auf physikalische Einheiten zuruckskaliert wird wird
an der jeweiligen Stelle explizit darauf hingewiesen.
Die Zeit ist auf ein hypotetisches D skaliert. Ab jetzt wird k00d22 mit d bezeichnet
und ist ein Ma fur die Direktorrelaxationszeit im konduktiven Bereich. d wird
ausschlielich zu Skalierungszwecken verwendet.
Nach Einsetzten obiger Denitionen in die Gleichungen konnen zwei charakteristische dimensionslose Groen identiziert werden,
2
Q = k0d 2 0
(2.29)
0
0
18
und
KAPITEL 2. GRUNDGLEICHUNGEN
R = dk0E2 0 :
2
2
0
(2.30)
In Q erkennt man im wesentlichen das Verhaltnis der Relaxationszeiten der Ladungen und des Direktors
Q = ? d :
(2.31)
?
0
Kapitel 3
Lineare Stabilitatsanalyse
Die lineare Stabilitatsanalyse gibt Auskunft daruber, bei welchem Wert des bzw
der Kontrollparameter die Instabilitat einsetzt und welcher Art die Instabilitat am
Einsatzpunkt ist. Das heit, mit ihrer Hilfe kann man den Wellenvektor des entstehenden Musters bestimmen und feststellen, ob die Instabilitat oszillatorisch oder
stationar ist.
Im folgenden sollen nun die Grundlagen der linearen Stabilitatsanalyse fur Elektrokonvektion in Flussigkristallen erlautert werden.
Die hydrodynamischen Grundgleichungen des vorherigen Kapitels lassen sich zusammenfassend so schreiben:
f(~u; !; t; V )@ ~u = N
f(~u; !; t; V ):
G
t
(3.1)
f und N
f nichtlineare Operatoren, die die Ortsableitungen enthalten und
Dabei sind G
auf die Variable ~u = ~u(~r; t) wirken. ~u enthalt die Groen ,nz ,ny ,f und g. V und
! sind die Kontrollparameter des Systems. Der Grundzustand dieser Gleichung fur
die planare Orientierung ist
~u = 0:
(3.2)
Um eine lineare Stabilitatsanalyse durchzufuhren wird um diese Losung linearisiert
und dann die zeitliche Entwicklung der kleinen Storungen ~u betrachtet.
Das System wird instabil, sobald die Storung anfangt zu wachsen.
3.1 Der lineare Operator
Die Grundgleichungen werden um ~u = 0 linearisiert. Die kleine Storung ~u wird
sofort wieder als ~u geschrieben. Die Linearisierung erfolgte in Mathematica [29, 30].
Man erhalt folgendes Gleichungssystem von funf Gleichungen, hier in der Reihenfolge
-, ny -, nz -, g- und f - Gleichung.
19

KAPITEL 3. LINEARE STABILITATSANALYSE
20
-Gleichung
h
i h
i
;Q k @x2 + ?@y2 + ?@z2 ; k@x2 + ?@y2 + ?@z2 @t +
[QV a + a (@t V ) + a V @t ] @x nz = 0
ny -Gleichung
h
i
(k22 ; k11 ) @z @y nz + h2x + 1@t ; k33 @x2 ; k11@y2 ; k22 @z2 ny +
h
i
;2@x2 + 3@y2 g + 2@x@y @z f = 0
nz -Gleichung
h
i
a V R@x + h2x ; a V 2R + 1@t ; k33 @x2 ; k22@y2 ; k11@z2 nz +
h i
(k22 ; k11 ) @y @z ny + 3 @y @z g + ;2 @x2 + @y2 + 3@z2 @x f = 0
g-Gleichung
h
i
;3 @t @y @z nz + 2@x2 ; 3@y2 @t ny
h 2 2
i
; @x + @y @t ; 1 @x4 ; 2 @y4 ; (0 ; 2 ; 5 ) @x2 @y2 ; a4 =2 @x2 + 2@y2 @z2 g
h
i
(;1 + 4=2 ; 2 ) @x2 + (4=2 ; 2) @y2 + @z2 @x@y @z f = 0
f-Gleichung
h
i
kV R@x2 + ?@y2 V R + ?@z2 V R @x +
h
i
;a V 2R@x2 ; 2 @t @x2 + 3 @t @z2 nz + 3 @t @y @z ny +
h
i
;@t + (1 + 3 + 4=2 + 5) @x2 + (1 + 2 + 3) @y2 @y @z g +
h
i
(1 + 2 + 3) @z2 @y @z g ;
h 2 2 2 i
@t @x + @z + @y @x f + 4=2@y4 @x f +
h 2
i
1@x + (1 + 4 =2) @y2 + (0 ; 2 ; 5) @z2 @x3 f
h
i
(2 =2 + 3 + 4 + 5=2) @y2 + (1 + 2 + 3 ) @z2 @x @z2 f = 0

3.2. LOSUNGEN
DES LINEAREN OPERATORS
21
3.2 Losungen des linearen Operators
Aus der Translationsinvarianz des Systems in der x-y -Ebene folgt, da die Losungen
in x- und y-Richtung harmonisch sind. Es kann also folgender Ansatz fur diese
beiden Raumrichtungen gewahlt werden:
= ~(z; t) sin(qx + py)
ny = n~y (z; t) sin(qx + py)
nz = n~z (z; t) cos(qx + py)
g = g~(z; t) sin(qx + py)
f = f~(z; t) sin(qx + py):
Fur eine der Groen kann die Symmetrie der x- y- Abhangigkeit frei gewahlt werden.
Sie legt damit die Form der anderen Groen fest. Die Tilde wird im weiteren wieder
weggelassen.
Fur die z-Abhangigkeit der Groen gibt es auf Grund der Reexionssymmetrie zwei
verschiedenen Losungsklassen, die ohne Hinzunahme des Flexoeekts oder Korrekturen durch das WEM nicht aneinander koppeln. (z); nz (z) und f (z) sind beim
U bergang z ! ;z symmetrisch und ny (z) und g(z) antisymmetrisch oder umgekehrt [20]. Die erste Klasse fuhrt immer zur niedrigeren Schwelle.
Zur eindeutigen Bestimmung des Systems mussen noch die Randbedingungen an der
oberen und unteren Platte betrachtet werden. Stets gelten folgende Bedingungen:
= f = nz = 0
bei z = d :
2
(3.3)
ny = @z f = g = 0
bei z = d2 :
(3.4)
Dabei folgt = 0 aus der Annahme, da die Platten ideal leitfahig sind,
f = 01 aus der Undurchdringbarkeit der Platten und nz = 0 aus der Annahme fester
Verankerung in Bezug auf "splay\- Deformationen.
Fur die anderen Groen gibt es zwei haug verwendete Moglichkeiten, feste oder
freie Randbedingungen.
Feste Randbedingungen bedeuten:
Man geht von einer festen Verankerung des Direktors am Rand aus, deshalb wird
auch ny = 0. Des weiteren nimmt man an, da auf Grund der Reibung am Rand
1
das entspricht vz = 0
22

KAPITEL 3. LINEARE STABILITATSANALYSE
auch die Geschwindigkeitskomponenten vx und vy am Rand verschwinden. Fur feste Randbedingungen konnen die Gleichungen nur mit Hilfe eines Galerkinverfahrens
gelost werden. Als Testfunktionen werden typischerweise Sinus-, Cosinus- und die
sogenannten Chandrasekhar-Funktionen verwendet.[11]
Einfache analytische Rechnungen werden durch die Verwendung freier Randbedingungen ermoglicht. Sie bedeuten sowohl reibungs- als auch drehmomentfreie Rander.
Hierbei wird die feste Verankerung der Flussigkristalle an den Platten aufgegeben
und nur noch das Verschwinden der nz Komponente am Rand gefordert. Weiterhin
wird vx und vy ungleich Null am Rand zugelassen. Deren Ableitungen nach z, sowie vz , mussen allerdings weiterhin verschwinden. Freie Randbedingungen bedeuten
also:
@z n y = @ z g = 0
bei z = d2
(3.5)
Die experimentellen Bedingungen werden in den meisten Fallen wohl besser durch
feste Randbedingungen beschrieben. In dieser Arbeit spielen die Rander meist die
Rolle einer kleinen Korrektur. Es erscheinen freie Randbedingungen somit sinnvoller, die auerdem eine einfachere analytische Handhabbarkeit ermoglichen. Die Wahl
der Randbedingungen wird im nachsten Kapitel noch genauer begrundet. Folgender Ansatz erfullt die freien Randbedingungen und weist die richtige Symmetrie auf.
ny
nz
g
f
=
=
=
=
=
~(t) cos(kz)
n~y (t) sin(kz)
n~z (t) cos(kz)
g~(t) sin(kz)
f~(t) cos(kz)
Wenn man diese Ansatze in die linearisierten Gleichungen einsetzt, erhalt man eine
Gleichung der Form
Be @t~u = Le ~u:
(3.6)
B und L sind lineare Operatoren und hangen parametrisch von t ab. Sie sind
periodisch mit T = 2! . Nach dem Floquet Theorem [21] haben Losungen solcher
Gleichungen folgende Form:
~u(z) = et
X
n
~un(z)ein!t
(3.7)

3.2. LOSUNGEN
DES LINEAREN OPERATORS
23
nennt man den Floquet-Koezienten. Die Koezienten ~un konnen komplex sein.
Da aber ~u(z) reell ist, mu folgende Beziehung gelten:
~u;n(z) = ~un
(3.8)
Auch hier kann man wieder zwei Symmetrieklassen identizieren, die ebenfalls ohne
Hinzunahme des Flexo-Eekts oder Korrekturen durch das WEM, nicht aneinander
koppeln. Fur V ! ;V , das ist im Falle einer reinen Wechselspannung gleichbedeutend mit t ! t + T=2, ist (t) symmetrisch und ny ; nz ; f und g antisymmetrisch oder
umgekehrt. Die erste Klasse von Losungen fuhrt im Bereich niedriger Frequenzen,
dem konduktiven Bereich zu einer niedrigeren Schwelle, die zweite Klasse im Bereich
hoherer Frequenzen, dem dielektrischen Bereich.
Wenn man nur bis zur niedrigsten Fouriermode entwickelt oszilliert im konduktiven
Bereich mit der aueren Frequenz wahrend alle anderen Groen unabhangig von
der Zeit sind. Im dielektrischen Bereich verhalt es sich umgekehrt.
Im Falle freier Randbedingungen und der niedrigsten Modenapproximation in der
Zeit ist eine analytische Berechnungen von (V; !; q) moglich. Die niedrigste Modenapproximation ist fur den dielektrischen Bereich dann gultig, wenn 0 ! >> 1
ist, die Ladungen also dem aueren Feld nicht folgen konnen, und 0 >> d ist, der
Direktor und das Geschwindigkeitsfeld dem aueren Feld instantan folgen konnen.
Die niedrigste Modenapproximation wird also fur groe ! immer besser.
Die Losung fur ergibt sich aus der Losbarkeitsbedingung des Gleichungssystems.
In der Regel gibt es mehrere Losungen fur . Falls alle Realteile Re(i )< 0 sind
klingt die Storung exponentiell mit der Zeit ab, der Grundzustand ist asymptotisch
stabil. Gilt andererseits fur den groten Re()> 0, so wachsen die Storungen exponentiell an und der Grundzustand ist instabil. Re() wird lineare Wachstumsrate
genannt.
Die Spannung V0 (q; !) bei der gerade Re(max )= 0 gilt heit neutrale Flache. Bei
gegebener Frequenz ! ist V0 die Spannung bei der der stationare, unstrukturierte
Grundzustand instabil gegenuber einer Storung mit dem Wellenvektor q wird.
Das Minimum der neutralen Flache bezuglich q ist die Schwellspannung Vc(qc; !),
auch Threshold oder kritische Spannung genannt. Bei Vc setzt die Instabilitat mit
qc = (qc; pc) bei Erhohung der Spannung zuerst ein.
Wenn der Imaginarteil von ungleich Null ist, entsteht an der Schwelle eine oszillatorische Instabilitat. Dies tritt fur die hier betrachteten Falle aber nicht auf und
soll deshalb nicht weiter diskutiert werden.
Nachdem die Schwelle bestimmt ist, lat sich nun auch der Eigenvektor der am
schnellsten wachsenden linearen Mode berechnen. Er ergibt sich als Losung der linearen Gleichungen bei V = Vc und q = qc.
Im folgenden Kapitel wird die lineare Stabilitatsanalyse fur den dielektrischen Bereich explizit durchgefuhrt.
Kapitel 4
Der dielektrische Bereich
Aus fruheren Rechnungen (siehe z.B. [16],[17]) ist bekannt, da die Wellenlange
der dielektrischen Rollen unabhangig von der Zelldicke ist, diese also gro gewahlt
werden kann. Im Vergleich zu den konduktiven Rollen ist die Wellenlange der dielektrischen Rollen auerdem sehr klein. So ist unter den ublichen experimentellen
Bedingungen die Wellenlange sehr klein gegenuber der Zelldicke. Unter diesen Voraussetzungen lat sich zeigen, da die Instabilitat, die zu dielektrischen Rollen fuhrt
eine Volumeninstabilitat ist. Das heit, diese Instabilitat wurde in einem Volumen
homogen ausgerichteter Nematen auftreten, wenn ein elektrisches Feld senkrecht zu
n angelegt wurde. Die Instabilitat fuhrt dann zu planaren Lamellenstrukturen. Es
erscheint also sinnvoll, die lineare Analyse ohne Rander, das heit im Limes groer
Dicken, durchzufuhren.
Die Gultigkeit dieser Naherung wird in Abschnitt 4.4 noch genauer diskutiert werden.
4.1 Der lineare Operator im Limes groer Dicken
Unter Vernachlassigung der Ableitungen in z erhalt man fur den linearen Operator
folgendes Ergebnis:
h
i
h
i
;Q k @x2 + ?@y2 ; k @x2 + ?@y2 @t +
[QV a + a (@t V ) + a V @t ] @xnz = 0
h
i
h
i
1@t ; k33@x2 ; k11 @y2 ny + ;2 @x2 + 3 @y2 g = 0
h
i
h i
a V R@x + ;a V 2R + 1@t ; k33 @x2 ; k22@y2 nz ; 2 @x2 + @y2 @x f = 0
24
4.2. DIE KONVEKTIVE MODE
25
h 2
i
2 @x ; 3 @y2 @t ny +
h 2 2
i
; @x + @y @t ; 1@x4 ; 2 @y4 ; (0 ; 2 ; 5) @x2 @y2 g = 0
h
i
h
i
k V R@x2 + ?@y2 V R @x + ;a V 2 R@x2 ; 2 @t @x2 nz ;
h 2 2
i
@t @x + @y + 4 =2@y4 + 1@x4 @x f = 0
Fur eine Rechnung ohne Rander zerfallt der lineare Operator in zwei Blocke.
Ein Block wird von der -, nz -und der f -Gleichung gebildet, der zweite Block von
der ny - und der g-Gleichung.
Als Losung fur den ersten Block ndet man eine Mode, deren Wachstumsrate bei
einem bestimmten Vc und qc gerade positiv wird. Dieser Block beschreibt also die
konvektive Mode, die zur Bildung von Konvektionsrollen fuhrt. Diese Mode wird
hier mit V1 bezeichnet.
Fur den zweiten Block ndet man eine Losung, deren Wachstumsrate fur q ! 0
gegen Null geht und fur kleine q leicht gedampft ist. Die Existenz dieser Mode
kommt daher, da ohne Rander der Direktor in der x-y-Ebene frei drehbar ist. Eine
homogene Verdrehung des Direktors ist nicht gedampft, bei langwelligen Modulationen in p und q wird diese Mode leicht gedampft. Diese Mode ist unabhangig vom
aueren Feld und ist eine homogene Mode. Sie wird Goldstonemode genannt und
hier mit VG bezeichnet.
Im Linearen gibt es keine Kopplung zwischen diesen beiden Moden. Da allerdings
in der Nahe der Schwelle die Wachstumsrate beider Moden in der Nahe von Null
liegt, koppeln diese im Nichtlinearen aneinander. Eine schwach nichtlineare Analyse
mu also beide Moden einbeziehen.
Zuerst wird hier die konvektive Mode untersucht und im zweiten Teil dann die Goldstonemode.
4.2 Die konvektive Mode
Es ist bekannt, da an der Schwelle im dielektrischen Bereich pc = 0 ist. Es treten
Normalrollen auf 1 . Das heit, die lineare Analyse dieses Bereichs wird zusatzlich
zur Vernachlassigung der z-Abhangigkeit auch ohne y- Abhangigkeit durchgefuhrt.
Fur die weitere Rechnung werden die Inertialterme, also Terme der Form @t , aus
der Navier-Stokes-Gleichung vernachlassigt. Dieser Term tritt in der f -Gleichung
in Kombination mit einem Term der Form 1@x2 auf. Wie sich spater zeigen wird,
Diese Annahme gilt eventuell bei Hinzunahme des Flexoeektes nicht mehr. Siehe Diskussion
in Abschnitt 4.5
1
KAPITEL 4. DER DIELEKTRISCHE BEREICH
26
ist qc2 im dielektrischen Bereich von der Groenordnung k233! . Man mu also !
mit 1qc2 = 1 k233! vergleichen. Fur MBBA ergibt sich fur das Verhaltnis der beiden
Terme k1 332 = 10(;7) . Der Inertialterm ist vernachlassigbar.
Es ergibt sich folgender linearer Operator fur die konvektive Mode.
h
i
;Qk ; k @t @x2 + [QV a + a (@t V ) + a V @t ] @x nz = 0
h
i
h
i
a V R@x + ;a V 2 R + 1@t ; k33@x2 nz + ;2 @x2 f = 0
h
i
h
i
h i
k V R @x3 + ;a V 2 R ; 2@t @x2 nz + 1@x2 @x3 f = 0
4.2.1 Schwelle und kritischer Wellenvektor
Aus Symmetriegrunden 2 macht man folgenden Ansatz fur nz , f und :
= 0(t) sin(qx)
nz = nz0 (t) cos(qx)
f = f0(t) sin(qx):
Fur die Zeitabhangigkeit wird nun folgender Ansatz gewahlt, da dieser wie in Kapitel 3 erklart im dielektrischen Bereich zu einer niedrigeren Schwelle fuhrt. Auerdem
wird nur bis zur niedrigsten Mode in der Zeit entwickelt.
0(t) = et 0
nz0 (t) = et nz+ ei!t + nz; e;i!t
f0 (t) = et f+ei!t + f;e;i!t :
Das heit, das induzierte elektrische Feld ist zeitlich konstant, wahrend die Direktorauslenkung in z-Richtung und das Geschwindigkeitspotential f , welches hier vz
entspricht, mit dem aueren Feld oszillieren.
Man sieht, da die -Gleichung die gleichen Symmetrien in x und in der Zeit aufweist wie , die nz -Gleichung wie nz und die f -Gleichung wie @x f .
nz+ ,nz; , f+ und f; sind komplexe Groen. Da nz und f reell sind, mussen sie
folgende Bedingung erfullen:
nz+ = nz;
f+ = f;:
Diese Ansatze werden in den linearen Operator eingesetzt und die Gleichungen jeweils auf die niedrigste Fourier-Mode projiziert. Das ist e0i!t fur die - Gleichung
2
Siehe Kapitel 3
4.2. DIE KONVEKTIVE MODE
27
und jeweils ei!t und e;i!t fur die ny - und die f - Gleichung. Somit erhalt man aus der
- Gleichung eine und aus den anderen beiden Gleichungen jeweils zwei neue Gleichungen. Um reelle Gleichungen zu erhalten, wird noch in Real- und Imaginarteil
aufgespalten
nz+ = nzr + inzi f+ = fr + ifi
nz; = nzr ; inzi f+ = fr ; ifi :
Dann werden aus den zwei ny - bzw f - Gleichungen durch folgende Umformung
jeweils zwei reelle Gleichungen erzeugt.
1=2(Gleichung1 + Gleichung2 )
i=2(Gleichung1 ; Gleichung2 )
Das entspricht einer Aufspaltung in eine Gleichung proportional zu cos(!t) und
eine Gleichung proportional zu sin(!t). Auch die Groen nzr und nzi sind jeweils
proportional zu cos(!t) und sin(!t).
Im weiteren wird direkt gleich Null gesetzt und die neutrale Flache V0 bestimmt.
Damit lat sich das lineare Eigenwertproblem folgendermaen schreiben:
LV1 = 0
(4.1)
mit
0
2 Q
q
0
0
0
aV
BB a qRV=k 2 k33 q2;;qQ
2
3
3
=
4
RV
!
q
0
a
1
2
BB
2
2
L=B
0
;1!
;k33 q + 1=4RV a 0 ;2 q3
B@ ;1=2k q3RV
2
2
3=4aq RV
;2 !q2
1 q5
0
;2 !q2
;1=4a q2RV 2
0 ;1 q5
und
0
BB nz0
r
V1 = BBBB nzi
@ fr
fi
1
CC
CC
CC :
A
1
CC
CC
CC
A
(4.2)
(4.3)
Aus der Losbarkeitsbedingung des linearen Gleichungssystems
det L = 0
(4.4)
ergibt sich ein quadratisches Polynom in V 2, dessen Losung die neutrale Flache
V02(!; q) ist.
p2
b ; 4ac
;
b
;
V0 =
(4.5)
2a
KAPITEL 4. DER DIELEKTRISCHE BEREICH
28
mit a =
b =
c =
wobei E =
S
K
X
=
=
=
=
2
1 ; XE 3
+ 2 (X ; 1) 2a (X ; 1)
S
1 ; XE
+
2
(
X
;
1)
2Ka
S
4 K 2 + (!)2
k
a
k
a
k33q2
;2
1
2 (X ; 1) + 3:
(4.6)
(4.7)
(4.8)
(4.9)
(4.10)
(4.11)
(4.12)
(4.13)
Um die Schwelle Vc und die Wellenzahl qc am Einsatz der Instabilitat zu erhalten,
mu noch das Minimum der neutralen Flache V0 bezuglich q gesucht werden. Die
eindimensionale Rechnung ermoglicht eine analytische Minimierung der neutralen
Flache, wie sie zum Beispiel im konduktiven Bereich nicht moglich ist. Man ndet,
nach Reskalierung, in physikalischen Einheiten:
2+ ) (
;
2
Vc =d = 4! ; 1 1 k a?1 (2 +1 ) 2
a ? 1 + a ? ;2
2
2
(4.14)
Vc ist hier die Peak-Spannung und nicht, wie
p sonst ublich, die eektive Spannung.
Um Vc;eff zu erhalten mu Vc noch durch 2 geteilt werden.
Fur qc ergibt sich, ebenfalls nach Reskalierung, in physikalischen Einheiten:
a ? 2 +1 a
(
;
+
1 1 ) 1 + ? a ;2 ? + 2
2
qc = ! k 1 + a??a ;2 +2 1
33 1
2
2
(4.15)
Damit eine Losung fur Vc existiert, mu a > 0 sein. Entgegen fruherer Annahmen
existiert auch fur leicht positive a eine Losung.
Es ware denkbar, da es Materialien gibt, fur die der Term 1+ ?a?a ;2 +21 ?a + 2 <
0 wird, so da die rechte Seite von (4.15) negativ wird. Fur bekannte Materialien
wie MBBA und Phase V ergeben sich aber 0.9 bzw 0.98, so da dieser Term manifest
positiv ist.
4.3. GOLDSTONEMODE
29
4.2.2 Eigenvektor und transponierter Eigenvektor
Fur den Eigenvektor V1 ergibt sich:
0
BB nz
BB r
BB nzi
@ fr
fi
0
1 B
CC B
B
CC B
B
CC = B
B
A B
B
@
a Vc
k qc
1
;1
;42 !k +2k Ra Vc2 ;3aRk Vc2
41 qc3 k
42 k33 qc2 ;2 a RVc2 ;a 1 RVc2
4(22 ;1 1 )qc3
1
CC
CC
CC
CC
CA
(4.16)
Es wurde nzr auf eins Normiert, da sich dies fur die weiteren Rechnungen als am
gunstigsten erweist. Fur die schwach nichtlineare Analyse wird neben dem Eigenvektor auch der transponierte Eigenvektor benotigt. Die einzelnen Eintrage des
transponierten Eigenvektors haben die gleichen zeitlichen und raumlichen Symmetrien wie die jeweils dazugehorige Gleichung des linearen Operators.
Um V1y auszurechnen genugt es also, die Koezientenmatrix (4.2) zu transponieren
und diese dann auf den transponierten Eigenvektor anzuwenden. Es ist folgendes
Problem zu losen:
LyV1y = 0:
(4.17)
Fur den transponierten Eigenvektor ergibt sich
0 ;(2 k+a1 )qcRVc
BB
22 Qk
1 q2
BB
2 2
y
V1 = BBB
1 q
;
2
B@
;1
1
CC
CC
CC :
CC
A
(4.18)
1
Hier wurde willkurlich die letzte Komponente auf eins normiert.
4.3 Goldstonemode
In diesem Abschnitt wird die Losung der ny - und der g-Gleichung berechnet. Im
Gegensatz zu fruheren Rechnungen z.B von M. Kaiser in [22] vernachlassigen wir
weiterhin die Inertialterme @t der g-Gleichung. Der Inertialterm @t tritt, z.B.
bei Modulationen in y Richtung, in Kombination mit 1@y2 auf. Es ist also die
Groenordnung von mit 1 p2 zu vergleichen. Wie die spatere Rechnung zeigen
wird, ist proportional zu p2 . Im Limes p ! 0 gehen also und p2 gleichermaen
gegen Null. Da 1 , ist der Inertialterm zu vernachlassigen.
Die Rechnung wird weiterhin ohne ein aueres Magnetfeld durchgefuhrt. Auch hierin
KAPITEL 4. DER DIELEKTRISCHE BEREICH
30
unterscheidet sie sich von Rechnungen aus [22].
Fur den linearen Operator ergibt sich:
h
i
h
i
1@t ; k33 @x2 ; k11@y2 ny + ;2 @x2 + 3@y2 g = 0 (4.19)
h 2
i
h
i
2 @x ; 3@y2 @t ny + ;1 @x4 ; 2@y4 ; (0 ; 2 ; 5) @x2 @y2 g = 0 (4.20)
Man macht folgenden Ansatz:
ny = ny et cos (Qx + Py)
g = get cos (Qx + Py) :
Damit ndet man fur mit
= ; k11P 2 + k33 Q2 NZ
(4.21)
Z = 2P 4 + (0 ; 2 ; 5) P 2Q2 + 1Q4
2
N = ; 3P 2 ; 2Q2 + 1 2P 4 + (0 ; 2 ; 5) P 2Q2 + 1 Q4
2
= ; 3P 2 ; 2Q2 + 1Z:
Fur P; Q ! 0 geht also gegen Null, die Goldstonemode ist nicht gedampft. Fur
kleine P; Q ist die Goldstonemode leicht gedampft. ist allerdings nicht analytisch,
d. h. es lat sich nicht in kleine P und Q entwickeln.
Der Nichtanalytische Teil der Wachstumsrate wird von ; (3P 2 ; 2Q2 )2 gebildet.
Wenn man diesen Term gegenuber 1Z vernachlassigt, erhalt man fur die Wachstumsrate
(4.22)
= ; k11 P 2 + k33Q2 1 :
1
Der Term (3 P 2 ; 2 Q2 ) ist genau der Term, der die Kopplung von g an ny bewirkt.
Die Nichtanalytizitat kommt also rein vom backow g .
Fur den Eigenvektor VG erhalt man:
ny
g
mit
!
=
1
!
ZZ
;N
ZZ = 3 p2 ; 2q2 k11p2 + k33q2 :
(4.23)
4.4. DISKUSSION DES LIMES GROSSER DICKEN
31
Es wurde ny gleich eins gewahlt. Man erhalt zwei verschiedene Eigenvektoren, je
nachdem ob zuerst der Grenzubergang fur p oder q gegen Null durchgefuhrt wird.
Diese werden im folgenden aufgefuhrt.
!
!
1
n
y
lim
= 23 k11
(4.24)
q!0;p!0 g
3 ;1 2
!
!
1
n
y
(4.25)
lim
= ;22 k33
p!0;q!0 g
2 ;1 1
Diese beiden Ergebnisse fur g unterscheiden sich deutlich voneinander, denn einmal
ist g proportional 3 und einmal proportional zu ;2 . Somit wechselt g je nach
Grenzubergang das Vorzeichen und unterscheidet sich stark im Betrag. Fur MBBAMaterialparameter ergibt sich zum Beispiel
!
!
n
1
y
lim
= 0:003
(4.26)
q!0;p!0 g
!
!
n
1
y
lim
= ;0:36 :
(4.27)
p!0;q!0 g
4.4 Diskussion des Limes groer Dicken
In diesem Abschnitt soll noch einmal detailliert begrundet werden, warum es gerechtfertigt ist, in erster Naherung die z-Abhangigkeit zu vernachlassigen, das heit
also, ohne Rander zu rechnen.
Des weiteren wird auf die Wahl der Randbedingungen eingegangen, falls Korrekturen durch die Rander berucksichtigt werden.
Zuerst wird die Schwelle mit Randern unter der Annahme freier Randbedingungen
berechnet. Es werden also z-Abhangigkeiten der Form cos(kz) (siehe 3.6) verwendet. k entspricht genau d und in dimensionsloser Form gilt k = 1. Man ndet
Korrekturen zu V0 aus (4.5) in den Groen E; S; K; X und :
Ek =
Sk =
Kk =
Xk =
2
k + ? kq
a 2
k + ? kq
a
2
k33q + k11k2
2
3 kq ; 2
4
2
1 + (1 + 2 + 1) kq + 2 kq
(4.28)
(4.29)
(4.30)
(4.31)
32
KAPITEL 4. DER DIELEKTRISCHE BEREICH
0
!21
k
k = 2 (X ; 1) + 3 @1 ; q A :
(4.32)
Korrekturen durch die Rander treten in der Form kq22 auf. Das Verhaltnis kq22 ist an der
Stelle qc proportional zu !d1 2 und wird im dielektrischen Bereich schnell sehr klein.
So betragt das Verhaltnis kq22 bereits fur nicht zu groe Dicken und Frequenzen, wie
z. B. d = 20m und ! = 2200Hz, nur noch 0:01. Der Wert fur die Schwelle, der
in Abschnitt (4.2.1) berechnet
wurde, entspricht also einer Entwicklung von V0 bis
2
k
zur nullten Ordnung in q2 . Diese Naherung wird mit steigendem !d2 immer besser.
In Kapitel 7 werden Korrekturterme bis zur ersten Ordnung in kq22 berechnet.
15.0
10.0
5.0
0.0
−2.0
−1.0
0.0
z
1.0
2.0
Abbildung 4.1: Chandrasekharfunktion
Fur feste Randbedingungen ist das Problem nicht einfach analytisch losbar. Daher macht man haug einen Einmoden-Galerkinansatz mit einer ChandrasekharFunktion fur f . Fur und nz andert sich die z-Abhangigkeit nicht. Die niedrigste
Mode der Chandrasekhar-Funktionen lat sich folgendermassen darstellen:
chan1[z] = cosh(sz)= cosh(s ) ; cos(sz)= cos(s )
(4.33)
2
2
mit
s = 1:51:
(4.34)
Hier wird gewahrleistet, da auch die Ableitung von f am Rand Null ist, siehe
Abbildung 4.1.
4.4. DISKUSSION DES LIMES GROSSER DICKEN
33
Wenn die Schwelle damit berechnet wird, ergibt sich eine Korrektur fur die neutrale
Flache in Xk aus (4.31):
Xk;fest = I3I9Xk;frei;
(4.35)
mit I9 = 0:6973 und I3 = 1:3948. Obwohl das Produkt I3 I9 1 ist, bewirkt diese
Korrektur eine Erhohung von etwa 15% von Vc2 . Dieser Unterschied bleibt auch im
Limes groer Dicken bestehen. Das System wurde in dieser Naherung also stark von
der Wahl der Randbedingung abhangen.
Die experimentellen Bedingungen werden sicherlich besser durch feste Randbedingungen beschrieben. Im konduktiven Bereich geht man davon aus, da diese gut
durch einen Einmodenansatz einer Chandrasekhar Funktion approximiert werden
konnen. Im dielektrischen Bereich wird im Gegensatz zum konduktiven Bereich das
Verhaltnis der Dicke zur Wellenlange mit zunehmendem ! immer groer. Wenn nur
die niedrigste Chandrasekhar-Mode benutzt wird, wachst die Randschicht, in der
die Ableitung von f Null ist, proportional zur Dicke an. Man konnte allerdings vermuten, da diese eher gleich gro bleiben sollte und damit mit zunehmender Dicke
immer unwichtiger wird.
Um zu testen, welches z-Prol sich fur f einstellt, wird ein Ansatz mit 5 Chandrasekhar-Moden benutzt. Mit einem Programm von W. Decker und W. Pesch [36]
wurde der lineare Eigenvektor numerisch berechnet. Es ergibt sich folgendes zProl fur f , siehe Abbildung 4.2. Man sieht, da die Randschicht bei Verwendung
12.5
Cosinus
f−Profil
Bester Fit
10.4
8.3
6.3
4.2
2.1
0.0
−1.6
−1.0
−0.5
0.0
z
0.5
1.0
1.6
Abbildung 4.2: f , der beste Fit und Cosinus bei d=40 m und ! = 2200 Hz
von mehreren Chandrasekhar Moden immer kleiner wird. Um diesen Eekt deutlicher zu machen, wurde in Mathematica ein Cosinus mit den oben benutzten 5
KAPITEL 4. DER DIELEKTRISCHE BEREICH
34
Chandrasekhar-Funktionen gettet. Wenn man diesen bestmoglichen Fitt an das
Cosinus Prol mit dem Ergebnis des f Prols aus der numerischen Berechnung vergleicht, sieht man, da diese sehr ahnlich sind.
Obwohl das entstehende Prol sicherlich am Rand @z f = 0 erfullt, lat sich, fur
groe ! und Dicken, das Prol von f bei Rechnung mit nur einer z-Mode besser
durch einen Cosinus als durch chan1 annahern. Auf Grund dieser Tatsache scheint
die Verwendung freier Randbedingungen, welche der Verwendung eines Cosinus entsprechen, sinnvoller zu sein. Das wird auch dadurch bestatigt, da Vergleiche der
numerisch berechneten Schwelle bei 5 Moden mit den Berechnungen mit freien Randbedingungen gut ubereinstimmen. Diese U bereinstimmung wird, wie zu erwarten,
mit steigendem !d2 besser. Einige Ergebnisse sind in der folgenden Tabelle zusammengestellt.
Dicke
in m
120
40
20
10
feste RB
!
Vc2
Vc2
freie RB
in HZ feste RB freie RB
0
5163 427871 427833 1.00009
1291 12058
12039
1.0016
1291
3137
3123
1.0044
861
637
632
1.0218
4.5 Flexo-Eekt und WEM
Aus dem konduktiven Bereich ist bekannt, da sowohl der Flexo-Eekt [19] wie auch
Korrekturen durch das WEM [14] in der niedrigsten Frequanzapproximation keine
Beitrag leisten.
Im dielektrischen Bereich ist das aufgrund der anderen Zeitsymmetrie der einzelnen
Groen nicht gegeben. Auch in der niedrigsten Frequenzapproximation kann es
Beitrage des Flexoeekts und aus dem WEM geben.
Zuerst soll hier der Flexoeekt betrachtet werden. In den linearisierten Gleichungen
ergeben sich folgende zusatzliche Beitrage :
-Gleichung
nz -Gleichung
ny -Gleichung
(e1 + e3)@x [@y @t ny ; @t @z nz ]
(4.36)
;(e1 + e3 )@x@z ; (e1 ; e3 )@y ny E0
(4.37)
(e1 ; e3)@y nz E0 + @x@y (e1 + e3 )
(4.38)
4.5. FLEXO-EFFEKT UND WEM
35
Numerische Untersuchungen des Einusses des Flexoeekts auf den dielektrischen
Bereich wurden z. B. von Thom [19] und W. Decker[38] durchgefuhrt. Sie ergaben
unter anderem, da fur bestimmte Werte der Flexoparameter e1 und e3 auch im
dielektrischen Bereich Schragrollen direkt an der Schwelle moglich sind.
Dieser deutliche Einu des Flexoeektes lat sich vielleicht damit erklaren, da hier
auch in der niedrigsten Frequenzapproximation Beitrage des Flexoeekts berucksichtigt werden mussen.
Fur Materialien wie MBBA, Phase 5 oder Mischung 5 werden an der Schwelle im
Experiment allerdings immer Normalrollen beobachtet. Scheinbar bendet man
sich hier in einem Bereich, in dem die Werte der Flexoparameter so sind, da sich
Normalrollen ergeben.
Von dieser Situation soll hier auch weiterhin ausgegangen werden.
Des weiteren wird fur die lineare Analyse in dieser Arbeit im Limes groer Dicken
gerechnet, so da die z-Ableitungen vernachlassigt werden. Es ergeben sich also in
der linearen Analyse keine Korrekturen durch den Flexoeekt.
Fur dunne Proben konnte der Flexoeekt auch im Linearen zu Korrekturen fuhren.
In der schwach nichtlinearen Analyse, in der auch Modulationen in y- und z-Richtung
zugelassen werden, konnen Korrekturen durch den Flexoeekt Einu haben. Es
ist anzunehmen, da diese klein sind. Sie werden in diese Arbeit nicht betrachtet.
Die Erweiterung des Standartmodels zum WEM bewirkt eine Korrektur in der Gleichung und fuhrt zur Einfuhrung einer neuen Gleichung der Variablen 3 .
Korrektur zur -Gleichung
E0@z (4.39)
-Gleichung
h 2
i
~ t (1 + a )q2 + p2 ; @z2 + [@t + r~] (4.40)
~ E0 @z ; d@
h 2 2 2
i
~ t E0 iqnz = 0
+ a ~ E0 @z ; d@
Der Parameter d~ wird fur groe Dicken klein und kann vernachlassigt werden. Bei
Vernachlassigung der z-Ableitungen ergeben sich durch das WEM keine Korrekturen zum SM.
Auch hier konnten aber bei der Berechnung der Koezienten der schwach nichtlinearen Analyse Korrekturen aus dem WEM auftreten. Auch diese werden in dieser
Arbeit nicht betrachtet.
3
In der Arbeit von M. Treiber [14] wird eine andere Skalierung verwendet als in dieser Arbeit
Kapitel 5
Schwach nichtlineare Analyse
Im vorherigen Kapitel wurde eine lineare Analyse des dielektrischen Bereichs durchgefuhrt. Diese gab Aufschlu daruber, bei welchem Wert des Kontrollparameters der
homogene Grundzustand instabil wird, und welche Mode bei diesem Wert anfangt
zu wachsen. Diese Mode wird kritische Mode oder auch am schnellsten wachsende
Mode1 genannt.
V(r; z; t) = V1(z; t)eiqcx
(5.1)
Man hat also den Zustand direkt an der Schwelle bestimmt.
Nun wird der Kontrollparameter uber die Schwelle hinaus erhoht. Die kritische
Mode beginnt zu wachsen. Es mussen also auch Nichtlinearitaten der Grundgleichungen hinzugenommen werden. Nichtlineare partielle Dierentialgleichungen sind
normalerweise nicht analytisch losbar. Deshalb fuhrt man, anstatt die nichtlinearen
Grundgleichungen vollstandig zu losen, eine systematische Entwicklung durch. Siehe zum Beispiel [31],[32].
Dazu betrachtet man nur kleine Abstande von der Schwelle. Dieser Abstand wird
fur die Elektrokonvektion ublicherweise in
2
2
= V V;2 Vc
(5.2)
c
gemessen. In der Nahe der Schwelle sind die Nichtlinearitaten noch schwach, man
spricht deshalb von einer schwach nichtlinearen Analyse.
Das schwach nichtlineare Verhalten kann beschrieben werden, indem man den physikalischen Zustand folgendermaen darstellt:
V(r; z; t) = V1(t; z)eiqcxA(r; t) + c:c: + h:o:t:
(5.3)
A ist die Amplitude. Da hier << 1 ist auch A << 1.
Auerdem lat man nur langsame Variationen der Amplitude in Raum und Zeit zu,
1
Ihre Form ist hier fur Normalrollen angegeben.
36
5.1. DIE GINZBURG-LANDAU-GLEICHUNG
37
die die Existenz eines Bandes von Losungen oberhalb von = 0 beschreiben. Es
sind also @t ; @x und @y << 1.
In diesem Limes ist eine reduzierte Beschreibung durch die sogenannten Amplitudengleichungen moglich. Ihre Form kann allein aus Ordnungs- und Symmetrieargumenten bestimmt werden. Damit haben diese Gleichungen fur eine ganze Klasse
von Systemen die gleiche Form.
Im folgenden soll, ausgehend von der Ginzburg-Landau-Gleichung, die Form der
Amplitudengleichungen fur den dielektrischen Bereich in planarer Anordnung abgeleitet werden.
5.1 Amplitudengleichung fur anisotrope SystemeDie Ginzburg-Landau Gleichung
Zuerst soll die Amplitudengleichung fur ein anisotropes System beschrieben werden.
Die hier angegebene Gleichung ist fur eine stationare Bifurkation und Normalrollen
gultig. Ihre Form liegt aus Symmetriegrunden fest.
h 2 2 2 2
i
@t A = + xx
@x + yy @y ; gjAj2 A
(5.4)
Diese Gleichung heit auch Ginzburg-Landau-Gleichung. Der lineare Teil der Gleichung beschreibt den Einsatz der Instabilitat. Fur eine konstante Amplitude A
ergibt sich
@t A = A:
(5.5)
Fur > 0 beginnt die kritische Mode zu wachsen. Wenn nun A anwachst, wird der
kubische Term wichtig, die Wachstumsrate wird fur
A = gjAj2A
(5.6)
gleich Null. Die Amplitude sattigt also bei diesem Wert und man erhalt
jAj2 = g :
(5.7)
Fur > 0 sind auer der Losung bei e(iqcx) noch Losungen leicht verschiedener
Wellenvektoren moglich. Es gibt ein Band von Losungen. Dieses wird durch langsame raumliche Variation von A beschrieben. Solche Losungen haben die Form
A = A0 eiQx+iPy . Das entspricht leichten Korrekturen von qc. qc ! (qc + Q; P ). Die
Terme xx@x2 und yy @y2 beschreiben den Eekt, da bei P = 0; Q = 0 maximal ist.
Dementsprechend nimmt hier quadratisch in P und Q ab. Fur P; Q 6= 0 setzt die
38
KAPITEL 5. SCHWACH NICHTLINEARE ANALYSE
Instabilitat bei hoherem ein.
Ginzburg-Landau Gleichungen haben fur alle anisotropen Systeme, mit stationarer
Bifurkation und im Normalrollenbereich, die gleiche Form. Die speziellen Eigenschaften eines System stecken in den Koezienten, die aus den jeweils zugrundeliegenden Gleichungen bestimmt werden mussen.
Die Ginzburg-Landau Gleichung fur anisotrope Systeme ist seit langem bekannt und
intensiv untersucht worden.
In den folgenden Abschnitten wird die Ginzburg-Landau Gleichung durch Hinzunahme einer zusatzlichen Mode erweitert.
Diese Mode ist die (fast) freie Rotation des Direktors in der x-y-Ebene. Ein System,
bei dem der Direktor frei drehbar ist, besitzt zwar eine Anisotropie, es ist aber von
auen nicht festgelegt in welche Richtung diese Anisotropie zeigt. Das nennt man
spontan gebrochene Isotropie.
Ein typisches System, das diese Symmetrie aufweist, ist Elektrokonvektion in homeotroper Anordnung im konduktiven Regime. Dieses System gab den Ausschlag,
die folgenden Amplitudengleichungen aufzustellen. Sie wurden von Rossberg et al.
[8] aufgestellt.
5.2 Amplitudengleichungen fur Systeme mit spontan gebrochener Isotropie - homeotrope Anordnung im konduktiven Bereich
Bei homeotroper Anordnung steht der Direktor senkrecht zu den Platten. Das
System ist im Grundzustand isotrop. Siehe Abbildung 5.1
Abbildung 5.1: homeotrope Anordnung, V = 0
Wenn eine Spannung angelegt wird kommt es als erste Instabilitat zum Freederickszubergang. Aufgrund der negativen dielektrischen Anisotropie der Flussigkristalle
richten sich diese bevorzugt senkrecht zum angelegten elektrischen Feld aus. Bei
5.2. SPONTAN GEBROCHENE ISOTROPIE-HOMEOTROP
39
V = VF klappt der Direktor aus seiner ursprunglichen Orientierung in die x-yEbene. Siehe Abbildung 5.2.
Abbildung 5.2: homeotrope Anordnung V > VF
Es entsteht in der Mitte der Zelle eine planare Anordnung der Flussigkristalle. Da
der Direktor an den Randern nicht verankert ist, kann er sich in der Ebene frei
drehen. Diese Mode wird Goldstonemode genannt. Es handelt sich also um ein
System mit spontan gebrochener Isotropie. Wenn die Spannung weiter erhoht wird,
setzt die ubliche Konvektion ein. Siehe Abbildung 5.32
Abbildung 5.3: homeotrope Anordnung V > Vc
Eine schwach nichtlineare Analyse dieses Systems mu also die konvektive Mode
und die Goldstone-Mode beinhalten.
Hier stellt sich der physikalische Zustand folgendermaen dar:
h
i
V(r; z; t) = V1(t; z)eiqcxA(r; t) + c:c: + VG(z; t)'(r; t) + h:o:t:
(5.8)
' entspricht der Rotation des Direktors in der Ebene. Auch wieder aus Symmetrie2
Die Bilder stammen von A. Hertrich [24]
40
KAPITEL 5. SCHWACH NICHTLINEARE ANALYSE
grunden ndet man folgende Gleichungen fur Normalrollen:
2 @ 2 A + 2 (@ ; iq ')2 A
@t A = A + xx
c
x
yy y
2
;gjAj A + iy ';y A
~1@t ' = K1@y2 ' + K3 @x2 ' ; a H 2'
+ ;4 [;iqc A (@y ; iqc') A + c:c:]
(5.9)
Die Ableitung in diesen und ahnlichen Gleichungen wirken nur auf die Amplitude
A, wahrend ';y die Ableitung von ' nach y darstellt. Alle Koezienten sind reell
und mit Ausnahme von y und ; immer positiv.
Der Term (@y ; iqc') ergibt sich direkt aus der Rotationsinvarianz des Systems. Eine kleine A nderung des Wellenvektors (qc; 0) ! (qc; P ) entspricht einer Drehung des
Wellenvektors um = qPc . Das ist auf Grund der Rotationsinvarianz gleichbedeutend zu einer Drehung des Direktors um ' = . Damit diese Beziehung so gultig
ist mu im Eigenvektor VG ny auf eins normiert werden.
Die neuen Eekte werden durch die Koezienten y und ; beschrieben.
Fur y = ;yy2 qc kann die erste Gleichung aus (5.9), die im weiteren auch AGleichung genannt wird, von einem Potential abgeleitet werden, und ' spielt die
Rolle eines Eichfeldes.
Der letzte Ausdruck in der zweiten Gleichung aus (5.9), die auch '-Gleichung genannt wird, beschreibt das Drehmoment, welches das Rollenmuster auf den Direktor
ausubt. Falls ; < 0 ist entspricht dies einem abstoenden Drehmoment zwischen
dem lokalem Wellenvektor und dem Direktor. In diesem Fall wirkt ; destabilisierend.
Der Term ;a H 2 der '-Gleichung stort die spontan gebrochene Isotropie leicht von
auen.
Um Chevronbildung zu ermoglichen, mu die spontan gebrochene Isotropie leicht
von auen gestort werden, das heit, der Term ;a H 2 mu vorhanden sein. Des
weiteren mu ; < 0 sein.
Im nachsten Abschnitt wird uberpruft inwieweit sich diese Gleichungen auf den dielektrischen Bereich ubertragen lassen. In Kapitel 6 werden dann die Koezienten
explizit berechnet. Ziel dieser Analyse ist es insbesondere, festzustellen, ob auch im
dielektrischen ein Chevron-Szenario moglich ist.
5.3. SPONTAN GEBROCHENE ISOTROPIE-PLANAR
41
5.3 Amplitudengleichungen fur Systeme mit spontan gebrochener Isotropie - planare Anordnung im dielektrischen Bereich
Auf den ersten Blick uberrascht es, da das planare System in die Klasse der Systeme mit spontan gebrochener Isotropie fallt. Denn hier ist ja im Gegensatz zur
homeotropen Geometrie der Direktor am Rand verankert.
Allerdings wurde im vorherigen Kapitel gezeigt, da im dielektrischen Bereich die
Wellenlange der Rollen klein gegenuber der Zelldicke und unabhangig von dieser
ist, so da der Einu der Rander gering wird. Es kann also naherungsweise ohne
Rander gerechnet werden. Damit kann sich der Direktor frei in der Ebene drehen.
Man erhalt ein System mit spontan gebrochener Isotropie.
Der physikalische Zustand lat sich folgendermaen schreiben:
h
i
V(r; z; t) = V1(t)eiqcxA(r; z; t) + c:c: + VG(t) '(r; z; t) + h:o:t:
Anders als in (5.8) hangen hier VG und V1 nicht von z ab.
(5.10)
Es werden die Amplitudengleichungen fur ein unendlich ausgedehntes System aufgestellt.
5.3.1 Die A-Gleichung
Die Modikation der A-Gleichung macht keine Schwierigkeiten. Zusatzlich zur langsamen Variation in x-und y-Richtung gibt es jetzt auch in z-Richtung eine langsame
Variation. Im linearen Teil der A-Gleichung gibt es jetzt zusatzlich zu den Koheranzlangen xx und yy noch eine Koheranzlange zz .
Um diese zu berechnen wird in kleine Storungen (Q; P; K ) um (qc; 0; 0) entwickelt.
Hierfur mu zuerst der gesamte lineare Operator betrachtet werden. Wenn nur
bis zur Ordnung O(2) entwickelt wird, zeigt sich allerdings, da wiederum nur die
Gleichungen , nz und f beitragen.
Man ndet fur = 0 eine Wachstumsrate der Form:
2
= ;1 ;xx
(Q ; qc)2 ; yy2 P 2 ; zz2 K 2 + h:o:t:
(5.11)
Mischterme PQ oder PK treten nicht auf, da sie aus Symmetriegrunden verboten
sind.
Korrekturen des Eigenvektors V1, die sich in dieser Ordnung in Q; P; K ergeben,
sind quadratisch. Lineare Korrekturen treten nicht auf.
Da hier wieder nur die -,nz - und die f -Gleichungen eine Rolle spielen, ist weiterhin
eine einfache analytische Berechnung moglich.
KAPITEL 5. SCHWACH NICHTLINEARE ANALYSE
42
Die A-Gleichung hat folgende Form:
h 2 2 2
i
@t A = + xx
@x + yy (@y ; iqc')2 + zz2 @z2 ; gjAj2 + iy ';y A
(5.12)
5.3.2 Die '-Gleichung
Die Modikation der '-Gleichung ist problematischer.
Wie sich in Kapitel 4 gezeigt hat, ist der Goldstonemode bereits ohne zusatzliche
Modulationen in z-Richtung nicht analytisch in kleine (Q; P ) entwickelbar. Somit
lat sich auch der Eigenvektor nicht analytisch berechnen.
Es ist in diesem Fall also nicht moglich, mit nur eine Gleichung fur die Goldstonemode auszukommen, sondern der Nichtanalytizitat mu in einer zweiten Gleichung
Rechnung getragen werden.
Wenn nun zusatzlich noch langsame Modulationen in z hinzugenommen werden,
mu, wie bereits fur die A-Gleichung beschrieben, der vollstandige lineare Operator
betrachtet werden um zu berechnen.
Die Zeitsymmetrie ist hier umgekehrt als die der konvektiven Mode und es wird in
kleine Storungen (Q; P; K ) um (0; 0; 0) entwickelt.
Wenn man hier nur bis zur niedrigsten nichttrivialen Ordnung in P; Q; K geht erhalt
man bereits einen komplizierten, nichtanalytischen Ausdruck fur , der von der Form
Z
(5.13)
=N
ist, wobei Z ein Polynom der Ordnung O(14) und N ein Polynom der Ordnung O(12)
ist. Jedes dieser Polynome enthalt alle Kombinationsmoglichkeiten von P 2; Q2; K 2
die zur jeweiligen Ordnung fuhren, und ist somit sehr kompliziert.
Deshalb werden hier zwei Grenzfalle betrachtet, in denen Vereinfachungen moglich
sind.
Zuerst wird angenommen, da K Q; P ist, und somit K gegenuber P; Q vernachlassigt werden kann. Das entspricht einem konstanten z-Prol.
Dann wird noch der Grenzfall K Q; P betrachtet. Das heit, die Modulationen in P; Q sind langwelliger als die Modulationen in z-Richtung. Dieser Grenzfall
scheint im Hinblick auf die spatere Einfuhrung von Randern sinnvoller zu sein. Die
Stabilitatsanalyse wird in Kapitel 7 deshalb auch nur an den Gleichungen dieses
Grenzfalls betrachtet.
Hier werden aber trotzdem beide Grenzfalle aufgefuhrt.
Der Fall K P; Q
Aus Kapitel 4 ist bekannt, da ohne Modulationen in z-Richtung folgende Form
hat:
5.3. SPONTAN GEBROCHENE ISOTROPIE-PLANAR
mit
= ; k11p2 + k33q2 NZ
43
(5.14)
Z = a1p4 + a2p2 q2 + a3 q4
2
N = ; b1 p2 + b3 q2 + b3 Z:
Da sich nicht analytisch in kleine (Q; P ) entwickeln lat ist hier die Rucktransformation aus dem Fourierraum in eine Amplitudengleichung nicht direkt moglich. Es
ist notwendig, eine weitere Gleichung hinzuzunehmen.
Die linearen Teile dieser Gleichungen sehen folgendermaen aus:
@t ' = K3 @x2 + K1 @y2 gg
(5.15)
4
2
a1 @y + a2 @y2 @x2 + a3@x4 ' = ; b1 b1 @y2 + b3@x2 gg
(5.16)
3
+ a1@y4 + a2@y2 @x2 + a3 @x4 gg:
Ansonsten andert sich die Form der '-Gleichung nicht. Die Einfuhrung einer dritten
Gleichung, die auch gg-Gleichung genannt wird, hat keinen Einu auf die nichtlinearen Terme der Gleichungen, da es sich hierbei nicht um eine dritte Mode handelt,
sondern nur um eine zusatzliche Gleichung, die es ermoglicht, die lineare Wachstumsrate richtig zu reproduzieren. Allerdings mu bei der Berechnung der nichtlinearen
Koezienten beachtet werden, da VG nicht analytisch berechenbar ist, das heit,
die Grenzubergange P ! 0 und Q ! 0 vertauschen nicht. Es mu also je nach Koezient entschieden werden, welcher Grenzubergang der richtige ist. Darauf wird
bei der Berechnung der Koezienten in Kapitel 6 explizit eingegangen.
Obwohl hier die Modulationen in z-Richtung gegenuber den Modulationen in der
x-y-Ebene vernachlassigt worden sind, mu die '-Gleichung einen Term enthalten,
der die leichte Storung der spontan gebrochenen Symmetrie durch die Rander widerspiegelt.
Dieser Term wird aus der durch das Freederickszfeld gegebenen Beziehung zwischen
dem Drehmoment, welches durch ein Magnetfeld hervorgerufen wird, und dem Drehmoment der Rander abgeschatzt. Das Frederickszfeld fur eine Twist Deformation
ergibt sich in dimensionsbehafteter Form zu
s
HF = d k22 :
(5.17)
o a
Damit kann der Term ;a H 2 aus der '-Gleichung aus 5.9 durch K2 = k221 ersetzt
werden. Es ergeben sich also folgende Gleichungen:
@t ' = K2 K 2' + K3 @x2 + K1@y2 gg
(5.18)
KAPITEL 5. SCHWACH NICHTLINEARE ANALYSE
44
+ ;4 [;iqc A (@y ; iqc ') A + c:c:]
4
2
a1@y + a2 @y2 @x2 + a3 @x4 ' = ; b1 b1 p2 + b3 q2 gg
3 4
+ a1@y + a2@y2 @x2 + a3 @x4 gg:
(5.19)
(5.20)
Der Fall K P; Q
Um zu vereinfachen wird jetzt im Hinblick auf die spatere Einfuhrung von Randern
angenommen, da die Modulationen in x- und y-Richtung langwelliger sind als in
z-Richtung. Also P; Q K .
Es werden in der Determinante nur Terme bis zur Ordnung O(4) in p und q berucksichtigt. Dann erhalt man fur einen Ausdruck der Form
2
2
2
4
2 2
4
= ; k22((aa1PP2 ++aa2QQ2 ))KK2 ++((cb1PP4 ++cb2PP2QQ2 ++cb3QQ4 )) K 2 :
1
1
2
1
2
3
(5.21)
Es zeigt sich nun, da sich (a1 P 2 + a2Q2 ) kurzen lat, und man erhalt
2
2
2
= ; k22KK2 ++ ((ed1PP2 ++ed3QQ2 )) K 2 :
1
1
3
(5.22)
In diesem Grenzfall ist die Entwicklung analytisch moglich und man erhalt nach
Entwicklung von (5.22) in kleine Q; P einen Ausdruck der Form
= ; K1 P 2 + K2K 2 + K3Q2 :
(5.23)
Hier ist die Erweiterung der '-Gleichung aus (5.9) einfach moglich. Es mu nur
der Term K2 , der die zusatzliche Modulation in z-Richtung beschreibt, hinzugefugt
werden. Man erhalt folgende Gleichung:
@t ' = K1@y2 ' + K2 @z2 ' + K3 @x2 '
+ ;4 [;iqc A (@y ; iqc') A + c:c:]
(5.24)
Bei dieser Betrachtungsweise ist die ursprungliche Idee, ohne Rander zu rechnen
nicht vollstandig aufgegeben worden. Es ist nur die Reihenfolge der Grenzubergange
festgelegt worden, wobei im Hinblick auf die spatere Einfuhrung von Randern der
Grenzubergang K ! 0 immer als letzter gemacht wird. Dadurch wird auch der
Eigenvektor analytisch berechenbar.
Im folgenden Abschnitt sind die Gleichungen der beiden betrachteten Grenzfalle
noch einmal zusammengefat.
5.4. BERECHNUNG DER KOEFFIZIENTEN
45
5.3.3 Zusammenfassung
Gleichungen fur K Q; P
2 @ 2 A + 2 (@ ; iq ')2 A + 2 @ 2 A
@t A = A + xx
c
x
yy y
zz z
2
;gjAj A + iy;1 ';y A + y;2gg;y A
@t ' = K2K 2 + k33@x2 + k11@y2 gg
(5.25)
+ ; [;iqc A (@y ; iqc') A + c:c:]
4
2
4
a1 @y + a2 @y2 @x2 + a3 @x4 ' = ; b1 b1 @y2 + b3 @x2 gg
3 4
+ a1 @y + a2 @y2 @x2 + a3@x4 gg
Gleichungen fur K Q; P
2 @ 2 A + 2 (@ ; iq ')2 A + 2 @ 2 A
@t A = A + xx
c
x
yy y
zz z
2
;gjAj A + iy;1 ';y A
@t ' = K1 @y ' + K2@z ' + K3@x '
+ ;4 [;iqcA (@y ; iqc') A + c:c:]
2
2
2
(5.26)
5.4 Berechnung der Koezienten
Da jetzt die Form der zu verwendeten Gleichungen bestimmt ist, mu noch erklart
werden, wie die einzelnen Koezienten aus den Grundgleichungen berechnet werden.
5.4.1 Die A-Gleichung
Die linearen Koezienten
Die linearen Koezienten der A-Gleichung berechnen sich direkt aus der linearen
Wachstumsrate, wobei wie, in Abschnitt (5.3.1) erlautert, nur bis zur Ordnung O(2)
46
KAPITEL 5. SCHWACH NICHTLINEARE ANALYSE
in P; Q; K entwickelt wird. Im Gegensatz zu (5.11) ist hier an der Stelle 6= 0
angegeben.
h
i
(q; ) = ;1 ; xx(Q ; qc)2 ; yy P 2 ; zz K 2 :
(5.27)
Also ndet man fur und :
;1 = @(q)jq=qc
2 = ; 1 @ 2 (q)j
;1 xx
q=qc ;=0
2 q
Genauso auch fur yy und zz .
(5.28)
(5.29)
Die nichtlinearen Koezienten
Bevor die Berechnung der einzelnen nichtlinearen Koezienten angegeben wird,
werden noch einige Bezeichnungen eingefuhrt:
V1 = V1jq=(qc;0)
V1(p) = V1jq=(qc;p)
VG = VGjq=(0;0)
VG(p) = VGjq=(0;p):
V2 ist die Losung der quadratischen Ordnung der konvektiven Mode. Die Ableitungen dpd sind so zu verstehen, da erst das Skalarprodukt ausgefuhrt wird, und dann
nach p dierenziert wird.
Der Landau-Faktor g berechnet sich nach folgender Formel:
+
h
V
1 jN3 (V1 ; V1 ; V1 ) + N2 (V1 ; V2 ) + N2 (V2 ; V1 )i
g=;
hV1+j@L(V1 )i
(5.30)
Der Koezient y berechnet sich nach folgender Formel:
d hV+jN (V ; V (p)) + N (V (p); V (p))i
2 1
G
2 G
1
1
dp
jp=0
y = ;
+
hV1 j@L(V1 )i
(5.31)
5.4.2 Die '-Gleichung
Die linearen Koezienten
Die linearen Koezienten der '-Gleichung konnen direkt aus den jeweiligen Wachstumsraten abgelesen werden.
5.4. BERECHNUNG DER KOEFFIZIENTEN
47
Die nichtlinearen Koezienten
; berechnet sich folgendermaen:
;qc = ;hV+j@ L(V )i;1 d hV ; N V(p)jV(p))ij
G
p=0
G 2
dp G 2
(5.32)
5.4.3 Die gg-Gleichung
Die linearen Koezienten
Die Koezienten der gg-Gleichung konnen ebenfalls direkt aus der Wachstumsrate
abgelesen werden.
Kapitel 6
Die Koezienten
In diesem Kapitel werden die Koezienten der gekoppelten Amplitudengleichungen
explizit berechnet.
Auf Grund des sehr einfachen Grundzustandes des dielektrischen planaren Systems
ist die Berechnung der Koezienten vollstandig analytisch durchfuhrbar. Selbst fur
den Landau-Faktor g ergibt sich ein handlicher analytischer Ausdruck. Normalerweise ist die Berechnung der Koezienten ausschlielich numerisch moglich. Die
analytische Rechnung ermoglicht es, einzelne Beitrage zu den Koezienten zu identizieren und ihren physikalischen Ursprung besser zu verstehen.
Zur Berechnung der Koezienten mussen die Grundgleichungen bis zur dritten Ordnung entwickelt werden. Diese Entwicklung sowie alle weiteren Berechnungen wurden in Mathematica durchgefuhrt.
Die Ergebnisse der einzelnen Koezienten sind immer zuerst ohne Naherungen angegeben. Dann wird 3 = 0 gesetzt und schlielich auch noch a . So wird deutlich,
welches die wesentlichen Beitrage zu den einzelnen Koezienten sind. In manchen
Fallen ware es moglich, auer a auch noch a gleich Null zu setzen. Fur die meisten
Materialien sind die Betrage dieser zwei Parameter auch von der gleichen Groenordnung. Allerdings erhalt man verschiedene Ergebnisse, je nachdem welcher der
beiden Parameter zuerst Null gesetzt wird. Da die lineare Instabilitat nur fur a > 0
eintritt, wird hier auf den Grenzubergang a ! 0 verzichtet und immer nur a = 0
gesetzt.
Alle Koezienten sind in dimensionsloser Form angegeben, da sich so nach Einsetzten der Materialparameter einfachere Zahlenwerte ergeben, die z. B. fur die Stabilitatsanalyse angenehmer sind. Wie auch schon in den vorherigen Kapiteln wird
in Einzelfallen auch die dimensionsbehaftete Form eines Koezienten betrachtet,
dann wird aber explizit darauf hingewiesen. Alle angegebenen Zahlenwerte gelten
fur MBBA-Materialparameter.
Zuerst werden die Koezienten fur die Gleichungen, die sich im Grenzfall K P; Q
ergeben, angegeben. Dann werden fur den Grenzfall K Q; P die Koezienten
48
 K Q; P
6.1. KOEFFIZIENTEN DER A-GLEICHUNG FUR
49
angegeben, die sich andern bzw neu hinzukommen.
Am Ende des Kapitels werden noch einmal die Werte aller Koezienten fur MBBA
in dimensionsloser und in dimensionsbehafteter Form angegeben.
6.1 Koezienten der A-Gleichung fur K Q; P
Die Koezienten der A-Gleichung berechnen sich rein aus der -, nz - und der f Gleichung.
Fur die linearen Koezienten, die sich aus der Wachstumsrate ergeben, wurde das
bereits in Kapitel 5 gezeigt.
Zur Berechnung der nichtlinearen Koezienten wird immer auf V1+ projiziert. Sowohl V1+(p) als auch V1+ enthalten nur Beitrage zur , nz - und f -Gleichung. Somit
ergeben sich auch die nichtlinearen Koezienten rein aus diesen Gleichungen.
Auch hier wird wieder mit reellen Gleichungen gerechnet, das heit es wird die
Zeitabhangigkeit durch einen Beitrag proportional zu cos(!t) und einen Beitrag
proportional zu sin(!t) dargestellt, so da wieder eine nzr - und eine nzi -Gleichung
usw entstehen. Die Gleichungen hoherer Ordnungen werden exakt so umgeformt wie
die linearen Gleichungen. Dann wird auf den transponierten Eigenvektor projiziert.
6.1.1 Lineare Koezienten
Die Relaxationszeit Die Relaxationszeit der A-Gleichung sieht folgendermaen aus:
a (2 +1 ) a? 1+
1;
= ?a 2 a? (2+?1a) 0 :
(6.1)
d
1 + ? 1 ; ?a 2
Es ergibt sich
= 0:86 d0
Fur a = 0 erhalt man
= 1 a 0 :
(6.2)
1 + ? d
Man erkennt, da die Relaxationszeit dimensionsbehaftet im wesentlichen die Ladungsrelaxationszeit ist. Im konduktiven Bereich erhalt man die Direktorrelaxationszeit.
Die Koheranzlange xx
1 + ?a?a ;2 +2 1 ?a + 2
1
2
k
33 1
2
xx = ! (;2 + )
1 + a??a ;2+21
1 1
2
(6.3)
KAPITEL 6. DIE KOEFFIZIENTEN
50
Es ergibt sich
2 = 0:83=!:
xx
In der Naherung 3 = 0 und a = 0 ergibt sich 1
2 = 1 2k33 1
xx
! (; )
Man erhalt in dieser Naherung
2 2
(6.4)
2 = 0:84=!:
xx
Wenn man das Ergebnis fur xx mit dem Ergebnis fur qc aus Kapitel 4 vergleicht,
2 im wesentlichen 1 entspricht.
sieht man, da xx
qc2
Die Koheranzlange yy
Fur die Koheranzlange in y-Richtung ergibt sich:
k33 1
Z
yy2 =
(6.5)
2
2
2! (;2 + 11 ) k N
mit
Z = 224a a k + 223?a k + 24 k 1a k ; 22 ?11 a k ; 22 4a k2 ;
24 a 1k2 ; 223k a ? ; 222a 1a ? + 22k 11 a ? + 2a112 a ?
N = 2 k a + a 1a ; 22 a k ; 21 a k :
Es ergibt sich
yy2 = 0:71=!:
Fur 3 = 0 erhalt man
k331 2 a Z
yy2 =
(6.6)
2! (22 + 21 )2 p N
und folgende Veranderung in Z
Z = ;2a (2 + 1 )2 ? + 2 ? (a (2 + 5) ; 4 ?) :
N bleibt unverandert.
Es ergibt sich
yy2 = 0:63=!:
Wenn nun auch noch a = 0 gesetzt wird, erhalt man
(6.7)
yy2 = k!3321 (2 + 5)2a ; 4 ? :
2
k
2
Es ergibt sich
yy2 = 0:54=!:
1
In der Naherung 3 = 0 ist 1 + 2 = 2 .
 K Q; P
6.1. KOEFFIZIENTEN DER A-GLEICHUNG FUR
51
Die Koheranzlange zz
Die Koheranzlange ergibt sich zu
zz2 = (;2 +k33 1 )2! NZ :
1 1
k
2
(6.8)
mit
Z = ;1 22a a k ; 22 3k a k ; 23sa k ; 12 k1a k ; 22a 1 a k
;223 a 1a k ; 2 k11 a k ; 3k 11 a k + 2?11a k ; 22a 2 a k ;
2k 12a k + 122a k2 + 223a k2 + 1 2a 1k2 + 22a 1k2 +
223a 1 k2 + 2 a 11 k2 + 3 a 11k2 + 22a 2 k2 + 2 a 12k2 +
23ka ? + 22a 1 a ? ; 2 k 11a ? ; a 1 12a ?
N = 2k a + a 1 a ; 22a k ; 2a 1 k :
man erhalt
Jetzt wird 3 = 0 gesetzt
zz2 = 2:86=!:
(6.9)
1 a Z :
zz2 = k332 !
N
(6.10)
Es ergibt sich nur in Z eine Veranderung
2
k
Z = 1 2?a ; 22?a + 2 ?2 a + 22a ? + 12 ?? +
22 a 1? + 2?1? + a 12? + 2?2?:
Es ergibt sich in dieser Naherung
zz2 = 2:53=!:
Zusatzlich wird jetzt auch noch a gleich Null gesetzt
(6.11)
? (1 + 1 + 2 )) :
zz2 = ; k33 1 (a (1 + 1 )+2!
2 2
k
Es ergibt sich
zz2 = 2:24=!:
(6.12)
52
KAPITEL 6. DIE KOEFFIZIENTEN
6.1.2 Nichtlineare Koezienten
Der Landau-Faktor g
Wenn ohne z-Abhangigkeit gerechnet wird ndet man, da N2 jp=0 = 0 ist. Der
Landaufaktor g berechnet sich also nur aus dem Beitrag von N3. Die Beitrage
aus den einzelnen Gleichungen sind im folgenden aufgefuhrt. Die nzr - und nzi Gleichung sind bereits wieder zu einer Gleichung zusammengefat worden, genauso
fur die fi - und die fr -Gleichung. Die angegebenen Beitrage sind die Beitrage aus
hV1+jN3(V1; V1; V1)i. Sie sind also noch nicht normiert. Es wurde ausgenutzt, da
nzr = ;nzi ist.
-Gleichung
0;trans 34 qcQa (;40 qc + 3nzr Vc)
(6.13)
nz -Gleichung
nzr ;trans 83 n2zr ; (62 + 43) (fi + fr ) qc3 + 4a nzr RVc2 ; 5a Ra Vc2 =k
(6.14)
f -Gleichung
fr;transn2zr 34 qc2 ;2 (2 + 23 ) ! ; a RVc2 + a Ra Vc2 =k nzr +
fr;transn2zr 34 qc2 2 (1 + 2 + 3 ) (fi + fr ) qc3 (6.15)
Damit ergibt sich, nachdem noch durch die Normierung geteilt worden ist, folgendes
Ergebnis fur g:
3N
(6.16)
g=
4 (;22 + 11 ) k 2 ka ; a 1 ? ; 2 a k
N = ;423k a2 ; 422a 1a2 + 42k 11 a2 + 4a 112a2 ; 21 22a a k ;
2223 a a k + 223k a k ; 2223 k a k ; 21 2p1a k ; 222p1a k ;
223k 1a k + 422a 1 a k ; 42 3a 1 a k ; 22a 11a k ; 62k 11 a k
;23k 11 a k ; 8a 112a k + 2122a k2 + 23a p2 + 4223 a p2 + 21 2a 1k2 +
222a 1k2 + 223 a 1k2 + 423a 1 k2 + 52 a 11p2 + 23a 11 p2 + 4a 112k2
Man erhalt
g = 9:45:
 K Q; P
6.1. KOEFFIZIENTEN DER A-GLEICHUNG FUR
53
Der Landau-Faktor ist unabhangig von der Frequenz !. Damit wird auch nz unabhangig von der Frequenz.
Jetzt wird 3 gleich Null gesetzt.
3N
(6.17)
g=
4 (2 + 1) k 2 ka ; a 1 ? ; 2 a k
mit
N = 422k a2 + 42a 1 a2 + 42 k1 a2 + 4a12 a2 + 212 a a k ; 212k a k ;
422k a k ; 62a 1 a k ; 62k 1a k ; 8a 12a k + 22a k2 + 52a 1 k2 +
4a12k2 :
In dieser Naherung ergibt sich
g = 8:97:
Jetzt wird auch noch a gleich Null gesetzt. Man erhalt
!
g = 23 2 a + 31 ; 22 ; 1 :
(6.18)
2
k
In dieser Naherung ergibt sich
g = 9:03:
Das ist wohl das erste Mal, da der Landau-Faktor g analytisch berechnet werden
konnte. Das wurde dadurch ermoglicht, da im dielektrischen Bereich im Limes
groer Dicken gerechnet werden kann.
Mit g kann nun die Amplitude des Eigenvektors der konduktiven Mode bestimmt
werden. Dieses Ergebnis wurde mit numerischen Berechnungen von W. Pesch und
W. Decker [36], die von den vollstandigen Grundgleichungen ausgehen, verglichen.
Man erhalt fur nicht zu dunne Proben eine sehr gute U bereinstimmung der Amplitude und des Eigenvektors.
Der Koezient y
Um y zu berechnen wird V1+(p) auf N2(V1; VG(p)) projiziert, siehe (5.31). Das
so erhaltene Ergebnis wird nach p abgeleitet und dann p = 0 gesetzt. Da hier
N2jp=0 = 0 ist, benotigt man nur die Eintrage von V1+ und VG direkt an der Stelle
p = 0.
!
n
y
Fur VG = g ergeben sich folgende Beitrage aus den einzelnen Gleichungen:
0
KAPITEL 6. DIE KOEFFIZIENTEN
54
0-Gleichung
0;transqc ny (0qcQa ; nzr Qa Vc) + g0 ;a 0qc3 ; ?0qc3 ; a nzr qc2Vc
(6.19)
nz -Gleichung
die Beitrage aus der nz Gleichung heben sich gegenseitig auf
f -Gleichung fr;transny qc 22 ! + (5 ; 2 ) (fi + fr ) q3 ; a 0 qcRVc=2 + a nzr Vc2 =2
(6.20)
Jetzt mu die genaue Form von Vg im Grenzfall K P; Q beachtet werden, die
bisher noch nicht besprochen wurde. Es ergibt sich
!
n
y
VGjQ!0;P !0 = 0 :
(6.21)
Hier vertauschen die Grenzubergange Q ! 0 und P ! 0. Es wird kein backow g0
angeregt. Es bleiben also nur Beitrage proportional zu ny . Mit Hilfe der folgenden,
aus dem linearen Operator bekannten Beziehungen werden die Beitrage der einzelnen
Gleichungen dann noch auf eine etwas schonere Form gebracht.
nzr = 0 Vqc k
c a
1 qc3 (fi + fr ) = ;22 nz;r ! ; a nz;r RVc2 =2 + k 0qcRVc=2
Es ergibt sich, nachdem auch die Ergebnisse des transponierten Vektors eingesetzt
worden sind:
0-Gleichung
2k + a 1 n q (q R V )
(6.22)
y c c 0 ? c
2 f -Gleichung
2
k
ny qc 24 (fi + fr ) qc2 ; ?0qcR V2
(6.23)
Diese Beitrage mussen jetzt noch addiert und durch die Normierung geteilt werden.
Man erhalt
y = ;qcyy2 :
(6.24)
Somit entspricht das System einem Potentialsystem, und ' hat die Funktion eines
Eichfeldes.
Man erhalt
p
y = ;1:02= !:
(6.25)
 K P; Q
6.2. KOEFFIZIENTEN DER '-GLEICHUNG FUR
6.2 Koezienten der '-Gleichung fur K P; Q
55
6.2.1 Lineare Koezienten
Die linearen Koezienten ergeben sich aus der Wachstumsrate.
Der Koezient K1
Fur K1 erhalt man
K1 = k11 + 2 ( + 223 k+22 + ) :
1
3
4
5
1 2
(6.26)
K1 = k11 :
(6.27)
K2 = k22 :
(6.28)
2
Fur 3 = 0 ergibt sich
1
Der Koezient K2
Fur K2 erhalt man
1
Der Koezient K3
Fur K3 erhalt man
Es ergibt sich
K3 = k33 + 22k222 :
(6.29)
K1 = 0:061
K2 = 0:038
K3 = 0:18:
(6.30)
(6.31)
(6.32)
2
1
4 1
6.2.2 Nichtlineare Koezienten
Der Koezient ;
Um den Koezienten ; zu berechnen wird auf VG+ projiziert, also nur auf die
Komponente ny;trans . Es gibt also nur Beitrage aus der ny -Gleichung. Hier ist
; q2c dpd hVg jN2 (V1(p); V1(p))ijp=0;q=qc aufgefuhrt.
KAPITEL 6. DIE KOEFFIZIENTEN
56
ny -Gleichung
;ny;trans q2 2 (k33 ; k22 ) n2zr qc ; 3 (fi ; fr ) nzr qc2 ; a 0R (oqc ; nzr Vc) =2
c
(6.33)
Man sieht, da der Hauptbeitrag von (k33 ; k22 ) kommt. Die anderen Terme koppeln
entweder uber 3 oder a an diesen Term und sind somit klein. Man erhalt, nachdem
noch durch die Normierung 1 geteilt worden ist
; = 4 (k22; k33 ) + 4k33 3Z1 N+ a Z2
1
k
1
(6.34)
mit
Z1 = ;k a k + 2a k2
Z2 = ;1 a ?
N = 2k a + a 1 a ; 22a k ; 2a1 k :
Es ergibt sich
; = ;0:13:
In der Naherung 3 = 0 und a = 0 ergibt sich
; = 4 (k22;; k33) :
2
(6.35)
(6.36)
Man erhalt
; = ;0:16
(6.37)
Der Koezient ; ist also negativ. Das Drehmoment zwischen dem lokalem Wellenvektor und dem Direktor ist abstoend. Damit ist eine wichtige Bedingung fur die
Existenz eines Chevron-Szenarios gegeben. Auerdem lat dieses Ergebnis vermuten, da ; immer negativ ist, wenn k22 ; k33 negativ ist.
6.3 Koezienten fur K Q; P
6.3.1 A-Gleichung
Im Vergleich zu der Naherung K Q; P ergibt sich in der A-Gleichung nur eine
A nderung in y .
 K Q; P
6.3. KOEFFIZIENTEN FUR
57
Der Koezient y
Um y zu berechnen wird
1
VGjQ!0;P !0 =
!
3 k11
23 ;1 2
(6.38)
benotigt, wobei Q ! 0 vor P ! 0 ausgefuhrt wird. Zu dem in (6.25) berechneten
Term ergibt sich jetzt eine Korrektur, die sich aus den Termen proportional zu g0
ergibt. Sie sieht folgendermaen aus:
3 k11 2 k + a 1 ;a a ; s a + a k
:
qc 2
(;3 + 12)Qk 2 k a + a 1a ; 2 a k ; a 1k
(6.39)
Fur y erhalt man
p
p
y = ;1:02= ! ; 0:098 ! d :
0
Hier kann die A-Gleichung also nicht von einem Potential abgeleitet werden.
In der Naherung 3 = 0 verschwindet der Term (6.39) und das System wird wieder
zu einem Potentialsystem.
Die Abweichungen von y = ;qcyy2 nehmen mit steigendem ! zu.
6.3.2 '-Gleichung
Der Koezient K1
K1 = k11
1
(6.40)
Der Koezient K2
Der Koezient K2 ergibt sich aus der Beziehung des Drehmoments eines Magnetfeldes zum Drehmoment der Rander und wird aus dem Freederickszfeld berechnet.
Siehe (5.17)
K2 = k22 =1
(6.41)
Der Koezient K3
K3 = k33
1
(6.42)
KAPITEL 6. DIE KOEFFIZIENTEN
58
Man erhalt
K1 = 0:061
K2 = 0:038
K3 = 0:079
(6.43)
(6.44)
(6.45)
Der Koezient ;
Im Gegensatz zum Grenzfall K Q; P ist hier in der Goldstonemode der backow
g0 angeregt. Das heit, es gibt in VG+ einen Beitrag proportional zur g-Gleichung.
Dadurch ergeben sich aber keine A nderungen zu (6.34), da die Beitrage der gGleichung aus Symmetriegrunden Null sind.
6.3.3 Die gg-Gleichung
Die Koezienten a1; a2 und a3
a1 = 2
a2 = (0 ; 2 ; 5 )
a3 = 1
(6.46)
(6.47)
(6.48)
a1 = 23:95
a2 = 141:3
a3 = 135:45
(6.49)
(6.50)
(6.51)
b1 = 3
b2 = ;2
b3 = 1
(6.52)
(6.53)
(6.54)
b1 = ;1:1
b2 = 110:4
b3 = 109:3
(6.55)
(6.56)
(6.57)
Man erhalt
Die Koezienten b1 , b2 und b3
Man erhalt
6.4. ZUSAMMENFASSUNG ALLER KOEFFIZIENTEN
59
6.4 Zusammenfassung aller Koezienten
Die Werte aller berechneten Koezienten fur MBBA-Materialparameter in dimensionsloser und dimensionsbehafteter Form sind im Anhang zusammengefat. Dazu
werden folgende Abkurzungen eingefuhrt
2
l02 = k0 = 10;9 ms :
0
(6.58)
Hier entspricht pl0! der charakteristischen Wellenlange der Rollen.
0 = 0 ? = 4:6 10;3s
(6.59)
?
0 ist die Ladungsrelaxationszeit (2.1).
Diese Groen stellen die typische Langen und Zeitskala des dielektrischen Bereichs
dar. Eine sinnvolle Skalierung konnte in Zukunft mit diesen Groen durchgefuhrt
werden.
Kapitel 7
Stabilitatsanalyse
In den vorrangegangenen Kapiteln wurden die Rander immer als unendlich weit
entfernt angenommen. Jetzt soll die Existenz der Rander hinzugenommen werden.
Dies geschieht durch Einfuhren von Randbedingungen in z.
In diesem Kapitel werden nur die Gleichungen im Grenzfall K P; Q betrachtet,
da durch Einfuhren der Rander K auf einen Wert festgelegt wird und somit im Vergleich zu Q; P gro wird.
Da es in dieser Rechnung unter anderem interessant sein wird, die Abhangigkeit des
Einsatzes verschiedener Instabilitaten von der Dicke der Probe zu untersuchen wird
hier auf die Skalierung der Langen mit d verzichtet, da sonst diese Abhangigkeit
nicht sichtbar ware.
Allerdings werden um die Rechnungen angenehmer zu machen die Gleichungen
(5.26) reskaliert. Das fuhrt so trotzdem zu dimensionslosen Groen, die hier mit
einem Dach versehen werden. Alle Groen ohne Dach sind allerdings im weiteren
dimensionsbehaftete Groen. Es werden folgende Umformungen gemacht:
q
A = g A y = 2y
yy qc
2
x = pxx x
K3 yy
K
=
3
2
K1 xx
y = pyy y
2
K2 yy
(7.1)
K
=
zz
2
2
K2 12zz
z = pp z
qc yy ;
' = qcyy ' ; = 4KgK11
2
= ~1 yy2
1 yy
t = ~K
t
1
Die Werte der neuen Koezienten sind fur MBBA im Anhang B.3 zusammengestellt.
Das Dach auf x,y,z und t wird in weiteren wieder weggelassen und man ndet fur
die reskalierten Gleichungen
h
i
@t A = 1 + @x2 + @z2 + (@y ; i')2 ; jAj2 + iy ';y A
(7.2)
h
i
@t ' = @y2 ' + K3 @x2 ' + K 2 @z2 ' + ; ;iA (@y ; i') A + c:c: :
(7.3)
60

7.1. HOMOGENE LOSUNG
61
mit den Randbedingungen
' (0) = ' L = A (0) = A L = 0:
(7.4)
Durch die Reskalierung stecken in den Randbedingungen bei L mit
2
L2 = d 2
(7.5)
zz
sowohl der unskalierte Abstand der Platten als auch der Abstand von der Schwelle
.
Nun werden Losungen fur diese Gleichungen gesucht und deren Stabilitat betrachtet.
Um ein Gefuhl fur die z-Prole von A und ' zu bekommen werden zuerst nur
in x und y homogene Losungen betrachtet. Mit Kenntnis der z-Abhangigkeiten
wird es dann spater moglich sein die Gleichungen (7.2),(7.3) auf zweidimensionale
Gleichungen in x und y zu reduzieren und dann auch nichthomogene Losungen zu
betrachten.
7.1 Homogene Losung
Hier sind folgende Gleichungen zu losen, wobei hier o.B.d.A. A reell gewahlt werden
kann.
h
i
1 + @z2 ; A (z; t)2 ; ' (z; t)2 A (z; t) = @t A(z; t)
(7.6)
h 2 2i
(7.7)
C@z + A (z; t) ' (z) = 1 @t '(z; t)
2j;j
Mit
C = K2
(7.8)
2j;j
und den Randbedingungen
' (0) = ' L = A (0) = A L = 0:
(7.9)
7.1.1 Normalrollen
Am Einsatz der Instabilitat erwartet man Normalrollen, das heit ' ist Null. Der
Direktor ist nicht aus seiner ursprunglichen Richtung ausgelenkt. Man sucht also
Losungen der Form:
Anr = Anr (z; t)
'nr = 0

KAPITEL 7. STABILITATSANALYSE
62
Um Anr (z; t) zu bestimmen mu also folgende Gleichung gelost werden. Siehe dazu
auch [4, 5].
h
i
1 + @z2 ; Anr (z; t)2 Anr (z; t) = @t Anr (z)
(7.10)
Die lineare Losung dieser Gleichung lautet
Anr (z; t) = anr sin(kz)et
(7.11)
fur kleine anr ( mit k = L ). Damit wird die Wachstumsrate = 1 (1 ; k2 ). Fur
k2 = 1 ist also genau Null, fur k2 groer eins ist negativ und fur k2 kleiner eins
positiv. Eine anwachsende
Losung existiert also erst ab L > .
2
d
2
Das ist mit L = zz2 aquivalent zu
c = zzd2 :
2
2
(7.12)
Das heit, durch Einfuhren der Rander erhoht sich die Schwelle von = 0 auf = c.
Wenn man dies mit der Diskussion in Abschnitt 4.4 uber die Berechnung der Schwelle mit oder ohne z-Abhangigkeit vergleicht, sieht man, da die Korrektur von um
c genau der Berechnung der Schwelle bis zur Ordnung O(k2) entspricht. war davor
ganz ohne Korrekturen in k berechnet worden.
Die Losung der nichtlinearen Gleichung sind Jacobische elliptische Funktionen. Siehe auch [6].
Anr = anr sn(fzjm)
(7.13)
1
f2 = 1 + m
(7.14)
(7.15)
a2nr = 1 2+mm
Der Parameter m mit 0 < m < 1 wird durch die Randbedingungen bestimmt.
Z 2 ;1=2
(7.16)
1 ; m sin2 d = a L2
0
Vereinfachungen sind in den folgenden Fallen moglich. Fur m << 1 (das entspricht
; c << c ) ergibt sich:
s
4 (1 ; k2 ) sin(kz)
s3
und damit anr = 4 (1 ; k2 )
3 1 2
m = 3 k2 ; 1 << 1
Anr (z) =
(7.17)
(7.18)
(7.19)

7.1. HOMOGENE LOSUNG
63
Fur 1 ; m << 1 ergibt sich (das ist aquivalent zu ; c >> c)
Anr
0s 1
= tanh @ 12 zA
fur
z < L2
(7.20)
(7.21)
In Abbildung (7.1) sind numerische Losungen fur Anr der Gleichung (7.10) fur verschiedene dargestellt. Es ist Anr uber z aufgetragen, wobei die Veranderung von
L einer Veranderung von entspricht 1. Die gestrichelte Linie stellt die analytische
Losung im jeweiligen Limes ; c oder ; c dar.
eps=eps_c
eps=4 eps_c
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0.08
0.06
0.04
0.02
1 2 3 4 5 6
eps=5 eps_c
0.5 1 1.5 2 2.5 3
eps=2 eps_c
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0.8
0.6
0.4
0.2
1
2
3
4
1 2 3 4 5 6 7
Abbildung 7.1: Numerische Losungen der Gleichung (7.10) und Vergleich mit den
analytischen Losungen im jeweiligen Grenzfall.
L = 2 1 + c .
1 2

KAPITEL 7. STABILITATSANALYSE
64
7.1.2 Stabilitat der Normalrollen
Zur Untersuchung der linearen Stabilitat der normalen Rollen macht man folgenden
Ansatz:
A(z) = Anr (z) + A(z)
'(z) = '(z)
Wenn man annimmt, da der stabile Bereich der normalen Rollen klein ist, kann
man im Limes ; c < c rechnen, also mit (7.17). A posteriori mu gepruft werden,
wann diese Annahme stimmt.
s
Anr (z) = 43 (1 ; k2) sin(kz)
(7.22)
Nach Einsetzen in die Gleichungen (7.6) und (7.7) und linearisieren ergibt sich:
(A ist komplex und wird in A = Ar + iAi zerlegt, ' ist reell)
h
i
1 + @z2 ; 3A2nr ; Anr = 0
h
i
1 + @z2 ; A2nr ; Ai = 0
h 2 2
i
C@z + Anr ; 1=(2j; j) ' = 0
(7.23)
(7.24)
(7.25)
Mit der Annahme, da die kleinen Storungen A ebenfalls proportional zu sin(kz)
sind sieht man, da die Losungen fur aus den Gleichungen (7.23) und (7.24) exakt
Null bzw negativ sind. Die Stabilitat wird also von der Gleichung (7.25) bestimmt.
Um den Einsatz der Instabilitat bei = 0 zu bestimmen mu also folgende Gleichung
gelost werden:
h 2 2
i
C@z + anr =2 (1 ; cos(2kz)) ' = 0:
(7.26)
Diese Gleichung hat die Form einer Mathieu-Gleichung, wie sie z. B in [7] behandelt
wird. Eine Mathieu-Gleichung ist typischerweise von der Form
@v2 y + (a ; 2q cos(2v)) y = 0:
(7.27)
Mit folgenden Umformungen kann Gleichung (7.26) auf diese Form gebracht werden:
(7.28)
z = kv
2
an
q = 4aCk
(7.29)
2
a = 2q
(7.30)

7.1. HOMOGENE LOSUNG
65
Man sucht hier ungerade Losungen der Mathieu-Gleichung mit Periodizitat 2. Sie
lassen sich folgendermaen darstellen:
1
X
y=
m=0
B2m+1 sin(2m + 1)
(7.31)
Jetzt gibt es ein Set von charakteristischen Werten fur a, hier br genannt fur die diese Losung existiert. Fur sie lat sich eine Reihenentwicklung in q angeben. Mit
zunehmendem r werden diese Parameter groer. Da man eine Losung fur das
kleinstmogliche sucht betrachtet man br mit dem kleinstmoglichen r, also b1 . Es
ist die Reihenentwicklung bis zur zweiten Ordnung in q angegeben.
b1 = 1 ; q ; q2 =8
(7.32)
Fur ' ergibt sich:
(7.33)
' = sin(kz) ; 8q sin(3z)
Die Korrekturen in q2 in (7.32) sind sehr klein und werden fur die weitere Rechnung
vernachlassigt. Damit werden auch die Korrekturen in q in (7.33) vernachlassigt.
Man ndet mit (7.30)
q = 31 :
(7.34)
Mit (7.18) und (7.29) ergibt sich:
;Ck2 + 1 ; k2 ) = 0
k2 (C + 1) = 1:
2 2
Mit k2 = zzd2 ergibt sich fur an
2 2
2 !
K
zz
an = d2 1 + 2j;j
(7.35)
2 !
K
= c 1 + 2j;j :
(7.36)
Anstatt die Mathieu-Theorie zu verwenden kann auch direkt fur ' ein Ansatz in
der niedrigsten Mode sin(kz) gemacht werden. Die Gleichung (7.26) wird dann
auf sin(kz) projiziert und gelost. Das so erhaltene Ergebnis entspricht der obigen
Losung bei einer Entwicklung bis zu Termen in q in (7.32).
Jetzt stellt sich die Frage ob fur dieses an die Naherung (7.17) noch gerechtfertigt
ist. Fur MBBA ist C = 0:98, ;cc ist also 0:98 und damit knapp unter 1. Damit
scheint die Naherung, die im Limes C ! 0 exakt wird, noch anwendbar zu sein, was
auch von numerischen Rechnungen bestatigt wird siehe Abbildung (7.2).
66

KAPITEL 7. STABILITATSANALYSE
Abbildung 7.2: Losung fur c und an
Abbildung 7.3: Losung fur c 1 + 23 C und c (1 + 1:8C )

7.1. HOMOGENE LOSUNG
67
Fur andere Materialien wie z. B. Phase V ist C mit 0:4 kleiner, die Naherung sogar
besser.
Fur > an wird ' Erstmals ungleich Null, es treten die sogenannten abnormalen Rollen auf. Das heit, der Wellenvektor bleibt parallel zur ursprunglichen Direktororientierung, aber der Direktor beginnt sich aus seiner ursprunglichen Lage
herauszudrehen.
7.1.3 Losung fur abnormale Rollen
Um eine analytische Losung fur abnormale Rollen und deren Stabilitat zu berechnen mu erst wieder das Problem der z-Prole gelost werden. Bendet man sich im
stabilen Bereich der abnormalen Rollen weiterhin im Limes der Sinus-Prole fur A
und '?
Es wurden die Gleichungen (7.6) und (7.7) mit Hilfe eines shooting-Verfahrens numerisch gelost. Die Ergebnisse sind in Abbildung (7.2) zusammengestellt. Es sind
jeweils die Losungen fur Aan und 'an bei verschiedenen L und damit bei verschiedenen dargestellt2. Als Anhaltspunkt fur die Stabilitatsgrenze der abnormalen
Rollen konnen die Rechnungen von Rossberg
et al. [8] genommen werden. Hier sind
3
die abnormalen Rollen bis = c 1 + 2 C stabil. Abbildung (7.2) zeigt Losungen
fur c, an, c 1 + 32 C und fur c (1 + 1:8C ). Die gestrichelte Linie
zeigt jeweils einen Sinus. Von der Losung bei L = 5:2 wird angenommen, da sie
bereits im instabilen Bereich liegt.
Wenn man eine Fouriertransformation der numerischen Losung fur L = 5:2 macht
sieht man, da nur die sin(kz) Komponente einen groen Beitrag liefert, schon die
sin(3kz) Komponente ist wesentlich kleiner. Das ist fur kleinere noch besser erfullt.
Das gleiche Resultat erhalt man, wenn man einen Galerkin-Ansatz macht und diesen
in die Gleichungen einsetzt.
Aus diesem Grund erscheint es sinnvoll, fur eine erste Naherung reine Sinus-Ansatzte
zu nehmen.
Aan = aan sin(kz)
'an = 'an sin(kz)
Man erhalt folgende Ergebnisse fur aan und 'an
L = 2 1 + c .
2 2
a2an = 43C k2
'2an = 43 1 ; k2 ; a2an

KAPITEL 7. STABILITATSANALYSE
68
= 43 1 ; k2 ; 43C k2;
und damit als Losung fur die abnormalen Rollen:
Aan = aan sin(kz)
'an = 'an sin(kz):
(7.37)
(7.38)
7.1.4 Stabilitat der abnormalen Rollen
Die Stabilitat der abnormalen Rollen wird mit folgendem Ansatz berechnet:
A = aan sin(kz) + A+ sin(kz)est+iky y + A; sin(kz)es t;iky y
' = 'an sin(kz) + ' sin(kz)est+iky y + ' sin(kz)es t;iky y
Nachdem dieser Ansatz in die Gleichungen (7.2) und (7.3) eingesetzt worden ist wird
mit Hilfe des folgenden Skalarprodukts auf sin(kz) projiziert.
Z =k
2
k
hf (z) jg(z)i = 0 f (z)g(z)dz
(7.39)
Die Instabilitat ergibt sich hier als Langwelleninstabilitat fur kleine ky .Man ndet
fur k2 am Einsatz der Instabilitat ( = 0)
1
k2 =
:
K
1 + 2;2 1:52
Damit ergibt sich fur 2 !
K
stab = c 1 + 1:52 2j;j :
(7.40)
Die Instabilitat tritt also wirklich in der Nahe von = c 1 + 32 C auf, der SinusAnsatz scheint somit gerechtfertigt.
Die bisherigen Ergebnisse habe Aufschlu uber das z-Prol der Losungen der Gleichungen gegeben. Im nachsten Schritt sollen jetzt Modulationen in x und y Richtung
zugelassen werden.
7.2 Dreidimensionale Losung
Da im gesamten Bereich bis zur Instabilitat der abnormalem Rollen fur A und '
mit Sinus-Prolen in z gerechnet werden kann, konnen die dreidimensionalen Gleichungen auf zweidimensionale Gleichungen zuruckgefuhrt werden. Dazu setzt man

7.2. DREIDIMENSIONALE LOSUNG
69
fur die z-Abhangigkeit jeweils sin(kz) an und projiziert mit Hilfe des Skalarprodukts
(7.39) auf sin(kz). Man erhalt folgende Gleichungen:
@t A = 1 + @x2 ; k2 + @y2 ; 38 2i'@
y ; 43 '2 ; 34 A2 + 38 iy ';y A (7.41)
8
3
2
2
2
^
@t ' = @y ' + K3@x ' ; K2 k ' + ; ;iA 3 @y ; 4 i' A + c:c: (7.42)
Um diese Gleichungen auf eine schonere Form zu bringen wird nun noch einmal
skaliert.
q 0 ~
x = p10 x~
A =
g0 A
p
y = p10 y~
(7.43)
4
8
0
' = 3 3 '~ t = 10 t~
mit
0 = 1 ; k2
(7.44)
(7.45)
g0 = 34 :
Wenn man beachtet, da A bereits skaliert ist (7.1) erhalt man nun A2 = gg00 A~2.
Man sieht also, da die obige Umskalierung
c eine Korrektur von und g bewirkt.
0
2
Man ndet ~ = = (1 ; k ) = 1 ; = ; c. Das neue ~ ist also gegenuber
dem alten um c verschoben. Die Mode A setzt jetzt also wieder bei ~ = 0 ein.
Desweiteren wird g um g0 korrigiert und man ndet g~ = 34 g. Man ndet folgende
Gleichungen (die Tilde auf x, y und t wird wie vorher wieder weggelassen):
h
i
@t A~ = 1 + @x2 + @y2 ; (1 ; d1) 2i'@
~ y ; (1 ; d1 ) '~2 ; A~2 A~ +
h
i
(1 ; d1) iy '~;y A~
(7.46)
h
i
@t '~ = @y2 '~ + K3@x2 '~ ; K 2 ~c '~ + ; ;iA~ (@y ; i') A~ + c:c:
(7.47)
2
mit d1 = 1 ; 38 34 = 0:04. Im Gegensatz zu den Gleichungen von Rossberg et al.
(5.9) sind diese Gleichungen durch Einfuhren der Rander leicht anisotrop geworden.
Fur d1 ! 0 gehen sie in die Gleichungen (5.9) uber.
Mit A~ = a0 ei(Qx+Py) und '~ = '0 ndet man aus Gleichung (7.46) folgende Beziehung:
a20 = 1 ; P 2 + 2(1 ; d1)P'0 ; (1 ; d1)'20 ; Q2
(7.48)
Fur P 6= 0 gibt es keine Losung mit '~ = 0. Aus Gleichung (7.47) erhalt man
folgende Beziehung:
a20 ; C ~c '0 = a20P
(7.49)
70

KAPITEL 7. STABILITATSANALYSE
In diese Gleichung kann jetzt noch (7.48) eingesetzt werden und man erhalt eine
Gleichung dritter Ordnung fur '~
h
i
1 ; (2 ; d1)P 2 ; C ~c ; (1 ; d1 )'20 ; Q2 '0 = 1 ; P 2 ; 2(1 ; d1)'20 ; Q2 P:
(7.50)

Der Ubergang zu abnormalen Rollen ndet nun bei ~an (P ) statt. Er ist dadurch
gekennzeichnet, da fur < an nur eine Losung und fur > an drei Losungen fur
'0 der Gleichung (7.50) existieren.
Der kleine Unterschied in der Stabilit
atsgrenze
stab aus (7.40) und dem von Rossberg
3
et al. berechneten Wert stab = c 1 + 2 C kommt von der kleinen Anisotropie des
planaren Systems mit Randern.
7.3 Busse Balloon
In diesem Abschnitt wird das Ergebnis der Stabilitatsanalyse der Gleichungen (7.46)
und (7.47) bei P 6= 0 und Q = 0 dargestellt. Der Busseballoon wurde von A. G.
Rossberg berechnet. In Abbildung 7.4 ist uber P aufgetragen, wobei willkurlich
skaliert ist.
Losungen der Gleichungen (7.46) und (7.47) existieren erst oberhalb der neutralen
Kurve. Der Bereich unterhalb der neutralen Kurve ist dunkel schattiert. Die hellgraue Schattierung markiert den instabilen, die weie Flache den stabilen Bereich.
Die Linie, die in der Mitte des Balloons beginnt stellt den U bergang zu abnormalen
Rollen dar. Man erkennt fur P = 0 das Verhaltnis 32 zwischen stab , welches die
Grenze des stabilen Bereichs markiert und an bei dem der U bergang zu abnormalen Rollen auftritt. Die auere Begrenzungslinie des stabilen Bereichs entspricht
der langwelligen Instabilitat. Die gestrichelte Linie entspricht einer kurzwelligen
Instabilitat. Diese tritt nur auf wenn d1 6= 0 ist. Dadurch unterscheidet sich die
Stabilitatsanalyse der Gleichungen (7.46) und (7.47) von der Stabilitatsanalyse der
Gleichungen (5.9) ohne Anisotropie. Der hier gezeigte Busseballon ist bei y etwas
groer als ;1 berechnet. Dadurch entstehen aber keine qualitativen A nderungen
am Aussehen des Busseballoons. Fur y = ;1 wandert die gestrichelte Linie weiter
nach oben.
Innerhalb des Balloons ist '~ = '0 . Es existieren keine Modulationen von '~ in xund y-Richtung. Das Stabilitatsdiagram ist also innerhalb der Naherung K P; Q,
die zu den Gleichungen (7.46) und (7.47) gefuhrt hat, exakt berechenbar.
7.4. ZUSAMMENFASSUNG
71
2
1.5
1
0.5
0
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
Abbildung 7.4: Busse-Balloon fur y = ;0:4, d1 = 0:96
7.4 Zusammenfassung
In diesem Kapitel wurde gezeigt, da sich die Amplitudengleichungen des dielektrischen Bereichs, nach der Einfuhrung von Randern, auf zweidimensionale Gleichungen in der x-y-Ebene reduzieren lassen. Diese Gleichungen unterscheiden sich nur
durch eine kleine Anisotropie von den von Rossberg et al. fur die homeotrope Anordnung im konduktiven Bereich gefundenen Gleichungen.
Auerdem wurde in Kapitel 6 gezeigt, da der Kopplungsterm ; < 0 und somit
auch ; < 0 ist.
Es sind alle Voraussetzungen erfullt, die fur ein Chevronszenario notig sind.
In dieser Arbeit wurden einige Naherungen gemacht, wie z.B. die Annahme eines
Sinus-Prols fur A~ und '~, oder der Grenzfall K P; Q, die auf die Form der Amplitudengleichungen (7.47) und (7.46) gefuhrt haben. Innerhalb dieser Naherungen
72

KAPITEL 7. STABILITATSANALYSE
lat sich der im vorherigen Abschnitt angegebene Busseballoon berechnen. Es mu
allerdings uberpruft werden, ob diese Naherungen auch im Bereich der Chevrons
gultig sind.
So lat sich z. B. aus Dimensionsuberlegungen schlieen, da im Bereich der Chevrons der Wellenvektor der Modulation von '~ in x Richtung von der Groenordnung
der Dicke ist. Damit wird K Q. Damit ist die Grenze der Gultigkeit der Naherung K P; Q erreicht. Hier mu eventuell zu hoheren Ordnungen in Q gegangen
werden. Dies konnte leider im Rahmen dieser Arbeit nicht mehr durchgefuhrt werden.
Kapitel 8
Experimente
Dieses Kapitel entstand wahrend eines zweiwochigen Aufenthaltes an der Universitat
Leipzig in der Arbeitsgruppe von Ralf Stannarius. Ziel dieses Aufenthaltes war
es den Direktor-Twist, die '-Mode, in der Nahe des Einsatzes abnormaler Rollen
zu untersuchen, bzw zu uberprufen, ob die theoretische Vorhersage der Existenz
abnormaler Rollen durch das Experiment belegt werden kann. Auf Grund des kurzen
Zeitraums in dem diese Messungen durchgefuhrt wurden sind viele Dinge in diesem
Kapitel nur angedacht und bedurfen einer intensiveren Untersuchung um genauere
Aussagen machen zu konnen.
8.1 Verwendete Untersuchungsmethode
Konventionelle Experimente zur Elektrokonvektion in Nematen in planarer Anordnung haben sich bisher meist nur auf die Beobachtung des Direktor-Tilts, also der
nz -Komponente des Direktors beschrankt. Es wurde dabei ausgenutzt, da die periodische Tilt-Modulation des Direktors einen Linseneekt bewirkt und so im Transmissionsbild ein Abbild des Direktor-Tilts zu sehen ist, siehe zum Beispiel [26].
In planarer Anordnung ist der Direktor an der oberen und an der unteren Platte fest
orientiert, wahrend er in der Mitte der Zelle aus der ursprunglichen Orientierung
herausdrehen kann. Es kann eine Twist-Deformation entlang der z-Achse entstehen.
In dieser Situation wird das einfallende Licht adiabatisch mit dem Direktor mitgedreht und vor Verlassen der Zelle wieder zuruckgedreht. Dadurch ist die Intensitat
des transmittierten Lichts praktisch unbeeinut. Ein kleiner Direktor-Twist ist so
nicht beobachtbar.
Es ist allerdings bekannt, da die Einfuhrung eines =4 -Plattchens in den Strahlengang, das einen Winkel von 45 mit der ursprunglichen Polarisationsrichtung des
Lichts einschliet, die Entartung zwischen nach rechts und nach links getwisteten
Regionen aufhebt. Es entstehen helle und dunkle Bereiche im Transmissionsbild.
73
KAPITEL 8. EXPERIMENTE
74
Der Kontrast ist dann ein Ma fur den Direktor-Twist. Das kann dazu verwendet
werden, Twist-Deformationen in einer Zelle zu untersuchen.
Diese Methode wurde kurzlich in Leipzig Erstmals verwendet um Twist-Modulationen
am U bergang zu Chevrons zu untersuchen. Eine genaue Beschreibung ndet sich in
[27] oder [28].
Hier wurde versucht mit dieser Methode, den Direktor-Twist unterhalb des U bergangs zu Chevrons intensiver zu untersuchen.
8.2 Versuchsaufbau und Materialien
Abbildung 8.1 zeigt den Versuchsaufbau. In Abbildung 8.1a ist die konventionelle
Versuchsanordnung ohne =4 Plattchen zu sehen. In Abbildung 8.1b ist die Versuchsanordnung mit =4 Plattchen, hier mit gekreuzten Polarisatoren zu sehen.
ANALYZER
=4 PLATE )
SAMPLE
CELL
a)
POLARIZER
b)
Abbildung 8.1: Experimentelle Anordnung
Die Messungen wurden in Mischung 5 durchgefuhrt. Mischung 5 setzt sich aus vier
disubstituierten Benzoesaure-Estern zusammen. Der Temperaturbereich der nematischen Phase reicht von Raumtemperatur bis 70:5. Die genaue Zusammensetzung
von Mischung 5 und die bekannten Materialparameter sind in [27] angegeben.
Es wurde eine 20; 4m dicke Zelle benutzt. Die Messungen wurden bei 30 und bei
50 Hz durchgefuhrt. Die Schwelle lag bei 29:1 Volt , die Cut-O-Frequenz bei 41 Hz
und der Lifshitzpunkt bei 20 Hz.

8.3. DURCHFUHRUNG
UND ERGEBNISSE
75
8.3 Durchfuhrung und Ergebnisse
Ziel dieser Messungen ist es Informationen uber die Twist-Modulationen des Direktors nahe am Einsatz der abnormalen Rollen zu gewinnen.
Der Einsatz der ersten Defekte fallt wahrscheinlich mit dem Einsatz der abnormalen
Rollen zusammen und wird deshalb hier als Anhaltspunkt fur an benutzt. Die ersten
Defekte treten bei = 0:02 auf. Leider sind die Materialparameter von Mischung
5 nicht vollstandig bekannt, so da es nicht moglich ist das im vorherigen Kapitel
berechnete an fur Mischung 5 zu bestimmen. Es kann nur dessen Groenordnung
abgeschatzt werden, indem der fur MBBA bekannte Wert verwendet wird. Es ergibt sich fur eine Zelle der Dicke d = 20m und einer Frequenz von f= 50 Hz eine
Groenordnung von an = 0:1. Dieser Wert liegt hoher als der Einsatz der ersten
Defekte, dieser Unterschied konnte aber durch unterschiedliche Materialparameter
von MBBA und Mischung 5 erklart werden. Aus diesem Grund wurden Messungen
im Bereich zwischen = 0 und = 0:06 durchgefuhrt.
Zuerst soll eine qualitative Beschreibung der gemachten Beobachtungen gegeben
werden. Es werden jeweils in der Anordnung gema Abbildung 8.1 a die Konvektionsrollen beobachtet und mit der Anordnung gema Abbildung 8.1 b die TwistModulationen des Direktors.
Oberhalb des Einsatzes der ersten Defekte ist das beobachtete Muster nicht mehr
statisch. Defekte entstehen, laufen durch den Bildausschnitt und vernichten sich gegenseitig, so da sich die Anzahl von Defekten auf einem Bildausschnitt und damit
der Neigungswinkel der Rollen, standig andert. Die Defekte laufen hauptsachlich
senkrecht zu den Rollen. Diese Bewegung wird "glide\- Bewegung genannt. Diese
Dynamik wird mit zunehmendem schneller.
Auch die Intensitatsmodulationen, die durch den Direktor-Twist hervorgerufen werden, sind nach Auftreten der ersten Defekte nicht mehr stationar. Es scheint so,
als ob sich der Direktor an einzelnen Stellen aus seiner ursprunglichen Orientierung
herausdreht, aber durch die Defektbewegung immer wieder zuruckgedreht wird.
Es ist allerdings nicht direkt moglich zu sagen, welcher der Prozesse Ursache und
welcher Wirkung ist.In Abbildung 8.2 sind einige Aufnahmen bei verschiedenen
Spannungen zusammengestellt. Es sind jeweils das Transmissionsbild fur gekreuzte
Polarisatoren mit =4 Plattchen und fur parallele Polarisatoren dargestellt. Diese
beiden Bilder sind kurz hintereinander aufgenommen.
Von oben nach unten zeigen die Bilder Aufnahmen bei = 0, also direkt am Einsatz
der Schwelle, bei = 0:023, in der Nahe des Auftretens der ersten Defekte und bei
= 0:053 ein Stuck uber dem Auftreten der ersten Defekte.
Die Bilder, die die Twist-Modulation des Direktors darstellen, wurden stark geglattet
und der Kontrast verstarkt. Es ist zu erkennen, da mit zunehmendem die Bereiche, in denen der Direktor in eine Richtung gedreht ist, zusammenhangender und
groer werden. Auerdem nimmt der Kontrast mit steigendem zu.
76
KAPITEL 8. EXPERIMENTE
Abbildung 8.2: Kontrast und Rollen bei = 0; 0:023; 0:053

8.3. DURCHFUHRUNG
UND ERGEBNISSE
77
Im Folgenden wird die Twist-Modulation des Direktors genauer untersucht. Dazu wird die Spannung in Schritten von 0:085 Volt erhoht. Auf Grund der starken
Schwankungen im defektchaotischen Bereich wurden pro Spannung 30 Bilder aufgenommen. Die weitere Auswertung der Bilder wurde mittels digitaler Bildverarbeitung in IDL vorgenommen. Von jedem Bild wurde ein Histogram der Helligkeitswerte aufgestellt. Von diesen Histogrammen wurde dann jeweils die Breite, die
ein Ma fur den Kontrast ist, bestimmt. Zwischen der transmittierten Helligkeit
und dem Twistwinkel kann ein linearer Zusammenhang hergeleitet werden. Siehe
[28]. Das wird hier aber nicht quantitativ durchgefuhrt, da bei dieser Untersuchung
der tatsachliche Twistwinkel zunachst keine Rolle spielt. Der Kontrast ist also ein
Ma fur den Direktortwist. Aus den berechneten Werten wurde dann pro Spannung
ein Mittelwert berechnet. Die so erhaltenen Werte sind in Abbildung 8.3 zu sehen.
Bis ungefahr = 0:02 bleibt das Quadrat des Kontrastes konstant. Es ist anzunehmen, da die ersten Werte nicht besser aufzulosen sind und deshalb konstant
einem Wert entsprechen. Diese Vermutung wird auch dadurch bestatigt, da sich
die Werte oberhalb von = 0:02 gut gegen Null extrapolieren lassen. Das Quadrat
des Kontrastes steigt somit linear mit an.
Kontrast^2 [willk. Einheiten]
4.0
3.0
2.0
1.0
0.0
0.000
0.020
0.040
0.060
Epsilon
Abbildung 8.3: Quadrat des Kontrastes uber Die lineare Zunahme mit ist allein noch kein Hinweis auf einen U bergang zu abnormalen Rollen. Die Verbreiterung der Helligkeitsverteilung mit konnte auch allein
78
KAPITEL 8. EXPERIMENTE
durch starkere Fluktuationen zustande kommen.
Es ist schwierig vorauszusagen, wie die Histogramme fur die Verteilung des DirektorTwistes im defektchaotischen Zustand aussehen wurden, wenn man die Gultigkeit
der in den vorherigen Kapiteln erarbeiteten Theorie annimmt. Dafur muten eigentlich Simulationen der Gleichungen (7.47) und (7.46) gemacht werden, die dann
mit den Messungen verglichen werden konnten. Aber es ist wohl anzunehmen, da
die Form der Histogramme oberhalb des U bergangs zu abnormalen Rollen von einer
Gauverteilung abweichen wird. Deshalb wurde an den gemessenen Histogrammen
noch die Kurtosis berechnet.
Sie berechnet sich folgendermaen
4
Kurtosis = hhxx2ii2 ; 3
(8.1)
und ist ein Ma fur die Form der Verteilungskurve. Eine Gauverteilung entspricht
genau Kurtosis gleich Null. Werte kleiner Null entsprechen einer breiteren Verteilung, Werte groer Null einer schmaleren Verteilung, als eine Gaukurve.
Das Ergebnis ist in Abbildung 8.4 dargestellt. Die Linie stellt die lineare Regression
dieser Punkte dar.
Abbildung 8.4: Kurtosis uber An der Schwelle ist die Kurtosis in der Nahe von Null, die Helligkeiten also gauver-

8.3. DURCHFUHRUNG
UND ERGEBNISSE
79
teilt. Mit zunehmendem sinkt die Kurtosis unter Null. Auch hier lat sich nicht
mit Sicherheit sagen ob das Absinken unter Null erst ab einem bestimmten Wert
stattndet, oder ob die Kurtosis immer linear mit abnimmt. Mit zunehmendem wird aber zweifellos die Verteilung der Helligkeiten kastenformiger. Das scheint ein
Hinweis auf einen U bergang zu abnormalen Rollen zu sein, auch wenn sich anhand
der obigen Kurve keine Aussage daruber treen lat, bei welchem dieser stattndet.
Im ubrigen ware es schon noch festzustellen ob ein Zusammenhang zwischen dem
Neigungswinkel der Rollen und dem Kontrast, der durch die Twist-Deformation hervorgerufen wird, besteht. Bei einem U bergang zu abnormalen Rollen wurde man
erwarten, da zuerst der Direktor aus seiner ursprunglichen Orientierung herausdreht und dadurch dann Defekte hervorgerufen werden, die wiederum die Rollen
drehen.
Abbildung 8.5: Quadrat des Winkels uber Zu jedem Bild, das die Twist-Modulation zeigt, wurde auch ein Bild aufgenommen,
welches die Konvektionsrollen zeigt. Von diesen Bildern wurden die Neigungswinkel
der Rollen bestimmt. Auch hier erhalt man wieder eine Verteilung der Rollenwinkel. Von dieser Verteilung wurde ebenfalls die Breite bestimmt, und wie bei der
Berechnung des Kontrastes pro Spannung ein Mittelwert berechnet. Die Ergebnisse
sind in Abbildung 8.5 zu sehen. Die Linie entspricht der linearen Regression dieser
80
KAPITEL 8. EXPERIMENTE
Punkte. Auch hier scheint das Quadrat der Breite der Winkelverteilung linear mit
anzusteigen.
Es ware interessant, auch hier die Form der Verteilung der Winkel zu berechnen,
aber die erhaltenen Kurven waren ziemlich verrauscht, so da die Berechnung des
vierten Moments nicht sinnvoll scheint. Es ist also leider nicht moglich zusatzlich
zu der Tatsache, da sowohl
p die Breite der Helligkeitsverteilung, wie auch die Breite
der Winkelverteilung mit anwachst, genauere Aussagen uber das Verhalten des
Direktortwistes und des Rollenwinkels zueinander zu machen.
8.4 Diskussion der Ergebnisse
Leider war es mit den vorliegenden Untersuchungen nicht moglich mit Sicherheit zu
sagen, ob die erste Instabilitat in planarer Geometrie im dielektrischen Bereich den
U bergang zu abnormalen Rollen
p darstellt. Die Breite der Winkelverteilung sowie
der Kontrast wachsen mit an. Einen Hinweis auf eine Bifurkation scheint die
Veranderung der Form der Histogramme der Helligkeit zu geben. Aber auch hier ist
leider nicht festzustellen bei welchem dieser U bergang stattndet.
Auch ware es schon gewesen, eine raumliche Beziehung zwischen Bereichen, in denen
der Direktor aus seiner ursprunglichen Richtung herausgedreht ist und Bereichen in
denen die Rollen geneigt sind, herzustellen. Bei den hier durchgefuhrten Messungen
liegen zwischen der Aufnahme des Bildes, welches den Direktor-Twist darstellt und
dem Bild, welches die Konvektionsrollen darstellt, einige Sekunden. In dieser Zeit
kann sich das Rollenmuster auf Grund der Defektbewegung bereits verandert haben. Anhand dieser Messung ist also ein direkter Vergleich dieser zwei Bilder nicht
moglich. Moglich ware ein Vergleich der Groen der Bereiche, in denen die Rollen
in eine Richtung geneigt sind und der Groe der Bereiche, in denen der Direktor
in eine Richtung aus seiner ursprunglichen Lage herausgedreht ist. Dieser Vergleich
konnte allerdings im Ramen dieser Arbeit nicht mehr durchgefuhrt werden.
Die verwendete Zelle war relativ dunn. Es ware moglich, da in den vorherigen Kapiteln nicht berucksichtigte Einusse wie z. B. der Flexo-Eekt hier wichtig werden.
Es ist nicht vollkommen auszuschlieen, da durch die Hinzunahme solcher Korrekturen das Stabilitatsdiagram aus Abbildung 7.4 auch qualitativ verandert wird.
Um solche Eekte auszuschlieen muten die bereits gemachten Messungen genauso
fur andere Dicken durchgefuhrt werden.
Simulationen der Gleichungen (7.46) und (7.47) sind geplant. Der Vergleich der
Ergebnisse der Simulationen mit den experimentellen Ergebnissen ermoglicht dann
wohl genauere Aussagen als sie bisher moglich waren.
Kapitel 9
Zusammenfassung und Ausblick
9.1 Zusammenfassung
Im Rahmen der vorliegenden Arbeit wurde eine intensive Untersuchung des dielektrischen Bereichs durchgefuhrt. Die lineare Analyse ergab unter anderem, da die
Wellenlange der Konvektionsrollen im dielektrischen Bereich sehr klein und zudem
unabhangig von der Dicke der Probe ist. Das ermoglicht im Limes groer Dicken zu
rechnen. Im ersten Schritt wurden die Rander ganz vernachlassigt.
Damit fallt der dielektrische Bereich in die Klasse der Systeme mit spontan gebrochener Isotropie. Es wurde eine schwach nichtlineare Entwicklung durchgefuhrt.
Dabei wurden neue Erkenntnisse uber die Goldstonemode gewonnen, die sich in der
Form der Amplitudengleichung widerspiegeln.
Die Koezienten dieser Gleichungen konnten vollstandig analytisch berechnet werden, was Ruckschlusse auf die physikalische Herkunft erlaubt.
In einem zweiten Schritt wurden die Rander als kleine Storung mithinzugenommen
und die Losungen der Amplitudengleichungen und deren Stabilitat berechnet. Es
zeigt sich, da die Amplitudengleichungen auf zweidimensionale Gleichungen in der
x-y-Ebene mit einer leichten Anisotropie zuruckgefuhrt werden konnen.
Obwohl der dielektrische Bereich einige interessante Besonderheiten aufweist, konnte mit dieser Arbeit gezeigt werden, da sich die von Rossberg et al. aufgestellte
Theorie zur Bildung von Chevrons auch auf den dielektrischen Bereich ubertragen
lat.
9.2 Ausblick
Die Analysen dieser Arbeit wurden im Rahmen des Standartmodels durchgefuhrt.
Korrekturen dieses Modells, wie der Flexo-Eekt oder das WEM, wurden nicht
81
82
KAPITEL 9. ZUSAMMENFASSUNG UND AUSBLICK
berucksichtigt. In einer weiterfuhrenden Arbeit sollten diese Korrekturen einbezogen werden.
Auerdem ware es wunschenswert, die Analyse des dielektrischen Bereichs bis in
den Bereich der Chevrons hinein auszudehnen. Dazu ist es notwendig die gemachten
Naherungen, die auf die zweidimensionale Form der Amplitudengleichungen gefuhrt
haben, auf ihre Gultigkeit in diesem Bereich hin zu uberprufen.
Eine experimentelle U berprufung der in dieser Arbeit gefundenen Ergebnisse scheint
moglich. Dazu muten aber genauere theoretische Vorhersagen existieren, die z. B.
aus Simulationen der gekoppelten Amplitudengleichungen gewonnen werden sollten.
Anhang A
MBBA-Materialparameter
Hier sind die dimensionslosen MBBA-Materialparameter fur T = 25 zusammengestellt. Skalierung siehe Abschnitt (2.3).
k11 6.66
k22 4.2
k33 8.61
1 -18.1
2 -110.4
3 -1.1
4 82.6
5 77.9
6 -33.6
k 4.72
? 5.25
k 1.5
? 1.0
a 0.97
83
Anhang B
Koezienten der
Amplitudengleichungen
B.1 Koezienten fur den Grenzfall K Q; P
Hier sind die Werte der Koezienten der Gleichung (5.26) fur MBBA-Materialparameter
zusammengestellt.
A-Gleichung
dimensionslos dimensionsbehaftet
0.86 d0
0:860
2
xx
0:83=!
0:83l02=!
yy2
0:71=!
0:71l02=!
zz2
2:86=!
2:86l02=!
g
9:45p
9.45
y ;1:02= !
;1:02=p!l0
'-Gleichung
dimensionslos dimensionsbehaftet
;
-0.13
;0:13l0
K1
0:061
0:061l0
K2
0:038
0:038l0
K3
0:18
0:18l0
mit
2
m
k
0
;
9
l = = 10 s
0
0 = 0 ? = 4:6 10;3s
?
2
0
84
(B.1)
(B.2)
 DEN GRENZFALL K Q; P
B.2. KOEFFIZIENTEN FUR
B.2 Koezienten fur den Grenzfall K Q; P
85
Hier sind die Koezienten fur die Gleichung (5.25) fur MBBA-Materialparameter
zusammengestellt.
A-Gleichung
dimensionslos
dimensionsbehaftet
0
0.86 d
0:860
2
xx
0:83=!
0:83l02=!
2
yy
0:71=!
0:71l02=!
zz2
2:86=!
2:86l02=!
g
9:45 p
9.45 p
p
p
0
y ;1:02= ! ; 0:098 ! d ;1:02= !l0 ; 0:098 !0l0
'-Gleichung
dimensionslos
dimensionsbehaftet
;
-0.13
;0:13l0
K1
0:061
0:061l0
K2
0:038
0:038l0
K3
0:079
0:079l0
gg-Gleichung
dimensionslos
dimensionsbehaftet
a1
23.94
23.94
a2
141:3
141:3
a3
135:45
135:45
b1
1:1
1:1
b2
;110:4
;110:4
b3
109:3
109:3
mit
2
(B.3)
l02 = k0 = 10;9 ms
0
(B.4)
0 = 0 ? = 4:6 10;3s
?
86
ANHANG B. KOEFFIZIENTEN DER AMPLITUDENGLEICHUNGEN
B.3 Koezienten der reskalierten Gleichung
Hier sind die Koezienten der reskalierten Gleichungen(7.2) und (7.3) fur MBBAMaterialparameter zusammengestellt.
A-Gleichung
0:074!0
y
-1
'-Gleichung
; -0.081
K2 0.16
K3 2.57
wobei hier ! in dimensionsbehafteter Form einzusetzten ist.
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