Technische Thermodynamik - Prof. Dr.

Skript zur Vorlesung
Technische Thermodynamik
Prof. Dr.-Ing. Peter R. Hakenesch
Version 2.1
Technische Thermodynamik
ii
_________________________________________________________________________
Inhaltsverzeichnis
I Abbildungsverzeichnis ........................................................................................vi
II Tabellenverzeichnis ...........................................................................................viii
III Nomenklatur .......................................................................................................viii
1
2
EINFÜHRUNG ......................................................................................................1
1.1
Inhalt und Bedeutung der Thermodynamik .........................................................................1
1.2
Historischer Rückblick...........................................................................................................2
GRUNDBEGRIFFE...............................................................................................3
2.1
Physikalische Größen ............................................................................................................3
2.2
Systeme ...................................................................................................................................4
2.2.1 Allgemeines System .............................................................................................................4
2.2.2 Formen von Energieübertragung .........................................................................................4
2.2.3 Unterscheidungsmerkmale von Systemen...........................................................................5
2.2.4 Gleichgewichtssatz...............................................................................................................7
2.3
3
Zustand, Zustandsgrößen, Zustandsänderungen ..............................................................7
SYSTEMBESCHREIBUNG ................................................................................10
3.1
Stoff und Menge ...................................................................................................................10
3.1.1 Volumen..............................................................................................................................10
3.1.2 Stoffmenge .........................................................................................................................10
3.1.3 Mengenströme....................................................................................................................11
3.2
Druck, Temperatur und Energie..........................................................................................13
3.2.1 Druck ..................................................................................................................................13
3.2.2 Temperatur .........................................................................................................................14
3.2.3 Energie ...............................................................................................................................15
4
ZUSTANDSGLEICHUNGEN ..............................................................................16
4.1
Zustandsflächen ...................................................................................................................16
4.2
Festkörper .............................................................................................................................20
4.2.1 Thermische Längendehnung..............................................................................................20
4.2.2 Thermische Flächendehnung.............................................................................................21
4.2.3 Thermische Volumendehnung ...........................................................................................21
4.3
Flüssigkeiten.........................................................................................................................22
4.4
Ideale Gase............................................................................................................................23
4.4.1 Gesetz von Gay-Lussac .....................................................................................................23
4.4.2 Gesetz von Boyle-Mariotte .................................................................................................23
4.4.3 Thermische Zustandsgleichung des idealen Gases ..........................................................24
4.4.4 Gesetz von Avogadro .........................................................................................................27
4.4.5 Mischung idealer Gase.......................................................................................................27
Technische Thermodynamik
iii
_________________________________________________________________________
4.5
Reale Gase ............................................................................................................................30
4.6
Dämpfe...................................................................................................................................31
4.6.1 Dampfarten .........................................................................................................................31
4.6.2 Dampfdruckkurven .............................................................................................................32
4.6.3 Grenzkurven .......................................................................................................................33
4.6.4 Thermische Zustandsgleichung von Dampf.......................................................................34
5
6
KINETISCHE GASTHEORIE..............................................................................36
5.1
Druck als Ergebnis von Stoßvorgängen ............................................................................36
5.2
Temperatur als Maß der kinetischen Energie....................................................................40
DER ERSTE HAUPTSATZ DER THERMODYNAMIK .......................................42
6.1
Der erste Hauptsatz für geschlossene Systeme ...............................................................42
6.1.1 Inhalt des ersten Hauptsatzes............................................................................................42
6.1.2 Mechanische Arbeit und mechanische Energie .................................................................42
6.1.3 Volumenänderungsarbeit ...................................................................................................45
6.1.4 Wellenarbeit........................................................................................................................47
6.1.5 Dissipationsenergie ............................................................................................................49
6.1.6 Innere Energie ....................................................................................................................49
6.1.7 Wärme ................................................................................................................................50
6.2
Der erste Hauptsatz für ruhende geschlossene Systeme................................................52
6.3
Der erste Hauptsatz für bewegte geschlossene Systeme ...............................................53
6.4
Der erste Hauptsatz für stationäre Fließprozesse ............................................................53
6.4.1 Technische Arbeit...............................................................................................................53
6.4.2 Enthalpie.............................................................................................................................55
6.5
7
Instationäre Prozesse in offenen Systemen ......................................................................57
KALORISCHE ZUSTANDSGLEICHUNGEN......................................................60
7.1
Kalorische Zustandsgleichungen der inneren Energie....................................................60
7.2
Kalorische Zustandsgleichungen der Enthalpie...............................................................60
7.3
Innere Energie und Enthalpie fester und flüssiger Phasen .............................................61
7.4
Innere Energie und Enthalpie idealer Gase .......................................................................63
7.5
Innere Energie und Enthalpie von Dämpfen......................................................................64
7.6
Spezifische Wärmekapazitäten ...........................................................................................65
7.6.1 Wahre spezifische Wärmekapazitäten...............................................................................65
7.6.2 Mittlere spezifische Wärmekapazitäten..............................................................................66
Technische Thermodynamik
iv
_________________________________________________________________________
8
DER ZWEITE HAUPTSATZ DER THERMODYNAMIK......................................67
8.1
Inhalt des zweiten Hauptsatzes ..........................................................................................67
8.2
Entropie .................................................................................................................................69
8.2.1 Entropie und Wahrscheinlichkeit ........................................................................................69
8.2.2 Entropie als Zustandsgröße ...............................................................................................70
8.2.3 Eigenschaften der Entropie ................................................................................................71
8.2.4 Entropie reversibler Prozesse ............................................................................................71
8.2.5 Entropie irreversibler Prozesse ..........................................................................................72
8.2.6 Entropie fester und flüssiger Phasen .................................................................................73
8.2.7 Entropie idealer Gase.........................................................................................................74
8.2.8 Entropie der Dämpfe ..........................................................................................................76
9
ZUSTANDSÄNDERUNGEN ...............................................................................77
9.1
Wärme und Arbeit bei reversiblen Zustandsänderungen idealer Gase..........................77
9.1.1 Isochore Zustandsänderung...............................................................................................77
9.1.2 Isobare Zustandsänderung ................................................................................................78
9.1.3 Isotherme Zustandsänderung ............................................................................................79
9.1.4 Adiabate Zustandsänderung ..............................................................................................80
9.1.5 Polytroper Zustandsänderung ............................................................................................82
9.2
T,s-Diagramme idealer Gase ...............................................................................................85
9.2.1 Isochore Zustandsänderung idealer Gase .........................................................................85
9.2.2 Isobare Zustandsänderung idealer Gase...........................................................................86
9.2.3 Isotherme Zustandsänderung idealer Gase.......................................................................87
9.2.4 Isentrope Zustandsänderung idealer Gase........................................................................88
9.2.5 Polytrope Zustandsänderung .............................................................................................89
9.3
Wärme- und Arbeit in Entropiediagrammen ......................................................................89
9.3.1 Adiabate Systeme ..............................................................................................................89
9.3.2 Wärme und Arbeit bei reversiblen und irreversiblen Prozesset .........................................91
9.4
T,s-Diagramm realer Gase ...................................................................................................94
9.5
Mollier-Diagramm (h,s-Diagramm)......................................................................................95
9.6
Feuchte Luft (h,x-Diagramme) ............................................................................................97
9.6.1 Relative Feuchte.................................................................................................................97
9.6.2 Feuchtegrad und Sättigungsgrad .......................................................................................97
9.6.3 Zustandsgrößen feuchter Luft ............................................................................................98
9.6.4 Feuchte Luft in Diagrammform........................................................................................ 100
9.7
10
Zusammenfassung reversibler Zustandsänderungen .................................................. 105
REVERSIBLE KREISPROZESSE.................................................................107
10.1
Allgemeine Kennzeichen eines Kreisprozesses ............................................................ 107
10.2
Kreisprozesse geschlossener Systeme.......................................................................... 111
10.3
Kreisprozesse in offenen Systemen................................................................................ 113
10.4 Bewertungskennzahlen für Kreisprozesse .................................................................... 115
10.4.1
Thermischer Wirkungsgrad (rechtsdrehende Prozesse) ............................................ 115
10.4.2
Leistungsziffer (linksdrehende Prozesse) ................................................................... 115
Technische Thermodynamik
v
_________________________________________________________________________
11
KREISPROZESSE THERMISCHER MASCHINEN.......................................117
11.1 Vergleichsprozesse für Kolbenmaschinen..................................................................... 117
11.1.1
Otto-Prozeß ................................................................................................................. 117
11.1.2
Diesel-Prozeß.............................................................................................................. 122
11.1.3
Seiliger-Prozeß............................................................................................................ 124
11.1.4
Stirling-Prozeß ............................................................................................................. 128
11.2 Vergleichsprozesse für Turbomaschinen....................................................................... 132
11.2.1
Joule-Prozeß ............................................................................................................... 133
11.2.2
Ericson-Prozeß............................................................................................................ 136
11.2.3
Clausius-Rankine-Prozeß ........................................................................................... 138
11.3
Carnot-Prozeß.................................................................................................................... 140
11.4
Isentroper Wirkungsgrad adiabater Maschinen............................................................. 143
11.5 Prozeßoptimierung............................................................................................................ 145
11.5.1
Wärmerückgewinnung................................................................................................. 145
11.5.2
Zwischenkühlung......................................................................................................... 146
11.5.3
Zwischenerhitzung....................................................................................................... 149
11.5.4
Kombinierte Zwischenkühlung und Zwischenerhitzung .............................................. 152
11.5.5
Abgasturbolader .......................................................................................................... 154
12
KÄLTEANLAGEN .........................................................................................157
12.1
Allgemeiner Kältemaschinenprozeß ............................................................................... 157
12.2
Dampf-Kompressions-Kälteanlage.................................................................................. 160
12.3
Absorptionsverfahren ....................................................................................................... 163
12.4
Luftverflüssigung (Lindeverfahren)................................................................................. 164
13
LITERATURVERZEICHNIS ..........................................................................166
14
ANHANG .......................................................................................................167
Technische Thermodynamik
vi
_________________________________________________________________________
I
Abbildungsverzeichnis
Abb. 2-1:
Abb. 2-2:
Abb. 2-3:
Abb. 2-4:
Abb. 2-5:
Abb. 2-6:
Abb. 2-7:
Abb. 2-8:
Abb. 2-9:
Abb. 2-10:
Abb. 2-11:
Abb. 2-12:
Abb. 2-13:
Abb. 3-1:
Abb. 3-2:
Abb. 3-3:
Abb. 3-4:
Abb. 4-1:
Abb. 4-2:
Abb. 4-3:
Abb. 4-4:
Abb. 4-5:
Abb. 4-6:
Abb. 4-7:
Abb. 4-8:
Abb. 4-9:
Abb. 4-10:
Abb. 4-11:
Abb. 5-1:
Abb. 5-2:
Abb. 5-3:
Abb. 6-1:
Abb. 6-2:
Abb. 6-3:
Abb. 6-4:
Abb. 6-5:
Abb. 6-6:
Abb. 6-7:
Abb. 6-8:
Abb. 6-9:
Abb. 6-10:
Abb. 6-11:
Abb. 6-12:
Abb. 6-13:
Abb. 6-14:
Abb. 6-15:
Abb. 6-16:
Abb. 7-1:
Abb. 7-2:
Abb. 7-3:
Abb. 7-4:
Abb. 8-1:
Abb. 8-2:
Abb. 9-1:
Abb. 9-2:
Abb. 9-3:
Abb. 9-4:
Abb. 9-5:
Abb. 9-6:
Allgemeines thermodynamisches System ...................................................................... 4
Geschlossenes System - starre Grenze ....................................................................... 5
Geschlossenes System - variable Grenze ..................................................................... 5
Offenes System, Zylinder ................................................................................................ 5
Offenes System, Kraftwerk.............................................................................................. 5
Adiabates geschlossenes System.................................................................................. 6
Adiabates offenes System............................................................................................... 6
Zweiphasensystem.......................................................................................................... 6
Dreiphasensystem........................................................................................................... 6
Kolben mit isentroper Kompression ................................................................................ 8
Isobare Erwärmung ......................................................................................................... 8
Isotherme Kompression................................................................................................... 8
Zustandsänderung von ‘1’ zu ‘2’ in einem T - s - Diagramm .......................................... 9
Offenes System mit Mengenstrom ................................................................................ 11
Stationär durchströmtes System ................................................................................... 12
Mit Wasser durchströmtes konisches Rohr................................................................... 13
Druck in einem ruhenden Fluid ..................................................................................... 13
Zustandsfläche eines reinen Stoffes, [ 2] ...................................................................... 16
Schnitt durch die Zustandsfläche bei T=const.] ............................................................. 17
Schnitt durch die Zustandsfläche bei v=const................................................................ 17
Gasvolumen in Abhängigkeit von der Temperatur bei unterschiedlichen Drücken ...... 23
Druck p in Abhängigkeit von V bei unterschiedlichen Temperaturen............................ 24
Mischung zweier Gase .................................................................................................. 27
Realgasfaktor Z für Luft bei unterschiedlichen Drücken, [ 6] ........................................ 31
Verschiedene Stadien des Verdampfungsprozesses ................................................... 31
Zustandsänderungen von Wasser beim Erwärmen und Verdampfen bei p = const. ..... 32
Dampfdruckkurven verschiedener Stoffe im p,T-Diagramm, [ 14] ................................ 33
Grenzkurven des Naßdampfgebietes im p,v-Diagramm, [ 6] ........................................ 34
Elastischer Stoß ............................................................................................................ 36
Unelastischer Stoß ........................................................................................................ 37
Kontrollvolumen............................................................................................................. 38
Skalarprodukt zweier Vektoren ..................................................................................... 42
Bahnkurve eines Massepunktes im Raum.................................................................... 43
Kräfteverteilung an einem Massepunkt im Gravitationsfeld .......................................... 44
Beschleunigung eines Fahrzeuges ............................................................................... 45
Volumenänderungsarbeit infolge einer Kolbenbewegung ............................................ 45
Volumenänderungsarbeit im p,V-Diagramm bei a) Kompression, b) Expansion .......... 46
Volumenänderungsarbeit im p,V-Diagramm bei Umgebungsdruck .............................. 47
Zur Berechnung der Wellenarbeit ................................................................................. 48
Zufuhr von Arbeit in ein geschlossenes adiabates System .......................................... 49
Zustandsänderung von '1' → '2' durch zwei unterschiedliche Prozesse ...................... 50
Zufuhr von Wellenarbeit (a), Zufuhr von Wärme über diatherme Wand (b) ................. 51
Gekühlter elektrischer Leiter ......................................................................................... 51
Kontrollraum eines offenen Systems............................................................................. 54
Stationärer Fließprozeß, Wasserkraftwerk.................................................................... 56
Masseelement eines strömenden Mediums beim Überqueren der Systemgrenze ...... 57
Füllen einer Gasflasche mit R12 ................................................................................... 59
Integrationsweg zur Bestimmung der Enthalpiedifferenz.............................................. 62
Spezifische Wärmekapazität von Kohlenstoff und Metallen ......................................... 65
Spezifische isobare Wärmekapazität von Gasen.......................................................... 66
Berechnung der mittleren spezifischen Wärmekapazität.............................................. 66
Freier Fall....................................................................................................................... 67
Umkehrung des freien Falls .......................................................................................... 68
Isochore Zustandsänderung im p,V-Diagramm............................................................. 77
Isobare Zustandsänderung im p,V-Diagramm............................................................... 78
Isotherme Zustandsänderung im p,V-Diagramm: a) Kompression, b) Expansion ........ 79
Adiabate Zustandsänderung im p,V-Diagramm: a) Kompression, b) Expansion.......... 81
Polytropen im p,V-Diagramm, [ 13]................................................................................ 82
Isochoren im T,s-Diagramm........................................................................................... 85
Technische Thermodynamik
vii
_________________________________________________________________________
Abb. 9-7:
Abb. 9-8:
Abb. 9-9:
Abb. 9-10:
Abb. 9-11:
Abb. 9-12:
Änderung der inneren Energie bzw. Enthalpie a) isochor, b) isobar ............................ 86
Isobaren im T,s-Diagramm............................................................................................. 86
Volumenänderungsarbeit wV12 bei isobarer Zustandsänderung.................................... 87
Isothermen im T,s-Diagramm......................................................................................... 87
Isentrope im T,s-Diagramm............................................................................................ 88
Isentrope Zustandsänderung - Volumenänderungsarbeit wv12 = u 2 − u1 .................... 88
Abb. 9-13:
Abb. 9-14:
Abb. 9-15:
Abb. 9-16:
Abb. 9-17:
Abb. 9-18:
Abb. 9-19:
Abb. 9-20:
Abb. 9-21:
Abb. 9-22:
Abb. 9-23:
Abb. 9-24:
Abb. 9-25:
Abb. 9-26:
Abb. 9-27:
Abb. 10-1:
Abb. 10-2:
Abb. 10-3:
Abb. 10-4:
Abb. 10-5:
Abb. 11-1:
Abb. 11-2:
Abb. 11-3:
Abb. 11-4:
Abb. 11-5:
Abb. 11-6:
Abb. 11-7:
Abb. 11-8:
Abb. 11-9:
Abb. 11-10.
Abb. 11-11:
Abb. 11-12:
Abb. 11-13:
Abb. 11-14:
Abb. 11-15:
Abb. 11-16:
Abb. 11-17:
Abb. 11-18:
Abb. 11-19:
Abb. 11-20:
Abb. 11-21:
Abb. 11-22:
Abb. 11-23:
Abb. 11-24:
Abb. 11-25:
Abb. 11-26:
Abb. 11-27:
Abb. 11-28:
Abb. 11-29:
Abb. 11-30:
Abb. 11-31:
Abb. 11-32:
Abb. 12-1:
Abb. 12-2:
Isentrope Zustandsänderung - Spezifische Strömungsarbeit y12 = h2 − h1 ................. 88
Polytrope Expansion a) Volumenänderungsarbeit, b) Strömungsarbeit....................... 89
Geschlossenes adiabates System: a) Expansion, b) Kompression ............................. 90
Offen durchströmtes adiabates System: a) Expansion, b) Kompression ..................... 91
Darstellung der Wärme im T,s-Diagramm bei reversiblen Prozessen........................... 92
Wärme und Dissipation bei irreversiblen Prozessen, a) nicht-adiabat, b) adiabat ....... 93
T,s-Diagramm für Wasserdampf, [ 6]............................................................................. 94
h,s-Diagramm................................................................................................................. 95
Mollier-Diagramm von Wasserdampf, [ 14]................................................................... 96
a) Darstellung unterschiedlicher Phasen im h,x-Diagramm, b) Druckerhöhung, [ 13] 100
Konstruktionsprinzip des h,x-Diagramms für feuchte Luft, [ 13].................................. 100
Zustandsänderungen bei der Trocknung feuchter Luft, [ 13] ...................................... 101
Mischung von zwei Luftmassen .................................................................................. 102
Enthalpie bei der Mischung zweier Luftmassen, [ 13]................................................. 103
Mischung zweier Luftmassen im ungesättigten Gebiet, [ 13]...................................... 103
Kreisprozeß eines geschlossenen Systems im p,v-Diagramm ................................... 107
Vereinfachtes Schema einer Dampfkraftanlage.......................................................... 108
Reversible Kreisprozesse im pv-Diagramm ................................................................ 110
Kreisprozesse im p,v-Diagramm: a) Wärmekraftmaschine b) Kältemaschine ............ 112
Schema einer geschlossenen Gasturbinenanlage, [ 6] .............................................. 113
p,v-Diagramm eines Otto-Viertaktmotors .................................................................... 117
Otto-Vergleichsprozeß: a) p,v-Diagramm, b) T,s-Diagramm ....................................... 118
Thermischer Wirkungsgrad des Otto-Vergleichsprozesses, [ 16]............................... 120
Diesel-Vergleichsprozeß im a) p,v-Diagramm b) T,s-Diagramm ................................. 122
Seiliger-Prozeß im a) p,v-Diagramm b) T,s-Diagramm ................................................ 125
Otto-, Diesel und Seiliger-Prozeß; p,v- und T,s-Diagramme, [ 13]............................... 127
Arbeitsprinzip des Stirling-Motors und Ort-Zeit-Diagramm ......................................... 129
Stirling-Prozeß im a) p,v-Diagramm b) T,s-Diagramm ................................................. 129
Schema einer einfachen Gasturbinenanlage .............................................................. 132
Einfache Gasturbinenanlage als geschlossenes System, [ 6] .................................... 133
Joule-Prozeß der Gasturbine im a) p,v-Diagramm b) h,s-Diagramm .......................... 134
Geschlossene Gasturbinenanlage nach dem Ericson-Verfahren, [ 6]........................ 136
Ericson-Prozeß der Gasturbine im a) p,v-Diagramm b) h,s-Diagramm ....................... 136
Dampfturbinenanlage a) Aufbau und b) p,v-Diagramm, [ 6]........................................ 138
Clausius-Rankine-Prozeß im a) T,s-Diagramm b) h,s-Diagramm................................ 138
Carnot-Prozeß im a) p,v-Diagramm b) T,s-Diagramm ................................................. 140
Carnot-Prozeß und realer Prozeß ............................................................................... 141
Wärmekraftmaschine................................................................................................... 142
Zustandsänderungen des reversiblen Carnot-Prozesses........................................... 142
Isentrope und verlustbehaftete Zustandsänderung im h,s-Diagramm......................... 144
Joule-Prozeß mit Wärmerückgewinnung .................................................................... 145
Einfluß der Wärmerückgewinnung auf den thermischen Wirkungsgrad..................... 146
Einfluß der Zwischenkühlung im T,s-Diagramm .......................................................... 147
Thermischer Wirkungsgrad bei Zwischenkühlung ...................................................... 148
Mehrstufiger Verdichter mit Zwischenkühlung ............................................................ 149
Einfluß der Zwischenerhitzung im T,s-Diagramm........................................................ 150
Thermischer Wirkungsgrad bei Zwischenerhitzung .................................................... 151
Mehrstufige Turbine mit Zwischenerhitzung ............................................................... 152
Kombinierte Zwischenkühlung und -erhitzung im T,s-Diagramm ................................ 152
Thermischer Wirkungsgrad bei kombinierter Zwischenkühlung und -erhitzung ......... 153
Abgasturboladers und Schaltbild................................................................................. 154
p,v- und T,s-Diagramm eines Kolbenmorors mit Abgasturbolader .............................. 155
Allgemeiner Kältemaschinenprozeß (Carnot) ............................................................. 157
Entropieveränderung bei Kühlung............................................................................... 158
Technische Thermodynamik
viii
_________________________________________________________________________
Abb. 12-3:
Abb. 12-4:
Abb. 12-5:
Abb. 12-6:
Abb. 12-7:
Abb. 12-8:
Abb. 14-1:
Kompensationswärme ΔQ bei Kälteleistung Q0 .......................................................... 158
Dampf-Kompressions-Kühlkreislauf ............................................................................ 160
Realer Dampf-Kompressions-Kühlkreislauf ................................................................ 161
Ammoniak Absorptionskühlkreislauf ........................................................................... 163
Luftverflüssigungsanlage nach Linde .......................................................................... 164
T,s-Diagramm des Linde-Verfahrens........................................................................... 165
h,x -Diagramm von feuchter Luft.................................................................................. 181
II Tabellenverzeichnis
Tab. 2.1:
Tab. 2.2:
Tab. 2.3:
Tab. 3.1:
Tab. 3.2:
Tab. 4.1:
Tab. 4.2:
Tab. 4.3:
Tab. 4.4:
Tab. 4.5:
Tab. 14.1:
Tab. 14.2:
Tab. 14.3:
Tab. 14.4:
Tab. 14.5:
Tab. 14.6:
Tab. 14.7:
Tab. 14.8:
Tab. 14.9:
Tab. 14.10:
Basiseinheiten des SI-Systems....................................................................................... 3
Abgeleitete Größen des SI-Systems ............................................................................... 3
Zustandsänderungen mit einer konstanten Zustandsgröße ........................................... 9
Stoffe und deren Molmassen, [ 14] ............................................................................... 10
Temperaturskalen.......................................................................................................... 14
Schmelzwärmen und Schmelztemperaturen bei p = 105 [Pa], [ 6]............................... 18
Verdampfungsenthalpie, Siedetemperatur und kritische Punkte, [ 6] ........................... 18
Längenausdehnungskoeffizient α für einige feste Stoffe, [ 6] ....................................... 20
Volumenausdehnungskoeffizienten γ von Flüssigkeiten, [ 6]........................................ 22
Gaskonstanten und Dichten von Gasen bei p=1.0132 bar und T=0°C, [ 6] .................. 25
Defintionen der SI-Basiseinheiten ............................................................................... 167
Physikalische Konstante.............................................................................................. 167
Stoffdaten von Gasen bei 0°C..................................................................................... 168
Sättigungsdampftafel für Wasser (Drucktafel) ............................................................ 169
Sättigungsdampftafel für Wasser (Temperaturtafel) ................................................... 171
Sättigungsdampftafel Ammoniak................................................................................. 173
Mittlere spezifische isobare Wärmekapazität idealer Gase ........................................ 174
Stoffwerte von Feststoffen........................................................................................... 175
Stoffwerte von Flüssigkeiten........................................................................................ 179
Stoffwerte von Gasen .................................................................................................. 180
III Nomenklatur
A
c
cp
cv
d
E
F
g
h
h
[m ]
2
⎡m⎤
⎢s⎥
⎣ ⎦
⎡ J ⎤
⎢
⎥
⎣ kg ⋅ K ⎦
⎡ J ⎤
⎢
⎥
⎣ kg ⋅ K ⎦
[m]
[J ]
[N ]
⎡m⎤
⎢ 2⎥
⎣s ⎦
[m]
⎡J ⎤
⎢ ⎥
⎣ kg ⎦
Querschnittsfläche
Geschwindigkeit
spezifische isobare Wärmekapazität
spezifische isochore Wärmekapazität
Durchmesser
Energie
Kraft
Erdbeschleunigung
Höhe
spezifische Enthalpie
Technische Thermodynamik
ix
_________________________________________________________________________
H
I
I
I&
L
m
m&
mT
M
M
n
n
n
NA
p
p
p
P
q
Q
q&
Q&
r
R
R
Rm
s
s
S
t
T
[J ]
m⎤
⎡
⎢kg ⋅ s ⎥
⎣
⎦
[ A]
⎡ kg ⎤
⎢
⎥
⎣ s ⋅ m2 ⎦
[m]
[kg ]
⎡ kg ⎤
⎢ s ⎥
⎣ ⎦
[kg ]
⎡ kg ⎤
⎢ kmol ⎥
⎣
⎦
[N ⋅ m]
⎡ 1 ⎤
⎢ min ⎥
⎣
⎦
[mol ]
[− ]
⎡ 1 ⎤
⎢ mol ⎥
⎣
⎦
[− ]
[Pa ]
[− ]
[W ]
⎡J ⎤
⎢ ⎥
⎣ kg ⎦
[J ]
⎡W ⎤
⎢ 2⎥
⎣m ⎦
[W ]
[− ]
[Ω ]
⎡ J ⎤
⎢
⎥
⎣ kg ⋅ K ⎦
J
⎡
⎤
⎢ K ⋅ kmol ⎥
⎣
⎦
[m]
⎡ J ⎤
⎢
⎥
⎣ kg ⋅ K ⎦
⎡J ⎤
⎢K ⎥
⎣ ⎦
[s ]
[K ]
Enthalpie
Impuls
Strom
Massestromdichte
Länge
Masse
Massestrom
Teilchenmasse
Molmasse
Drehmoment
Drehzahl
Stoffmenge
Polytropenexponent
Avogadro-Konstante (Lohschmidtsche Zahl)
Wahrscheinlichkeit
Druck
Wahrscheinlichkeit
Leistung
spezifische Wärme
Wärme
Wärmestromdichte ( q& = Q& A ≠ dq dt )
Wärmestrom
Volumenverhältnis
Widerstand
stoffspezifische Gaskonstante
universelle Gaskonstante
Strecke, Entfernung
spezifische Entropie
Entropie
Zeit
thermodynamische Temperatur
Technische Thermodynamik
x
_________________________________________________________________________
u
U
U
v
V
V&
Vn
wD
wv
⎡J ⎤
⎢ ⎥
⎣ kg ⎦
[J ]
[V ]
⎡ m3 ⎤
⎢
⎥
⎣⎢ kg ⎦⎥
[m ]
3
⎡m ⎤
⎢
⎥
⎣⎢ s ⎥⎦
⎡ m3 ⎤
⎢
⎥
⎢⎣ kmol ⎥⎦
spezifische innere Energie
innere Energie
Spannung
spezifisches Volumen
Volumen
3
Volumenstrom
Molvolumen
2
⎡J ⎤
⎢ ⎥
⎣ kg ⎦
spezifische Dissipationsarbeit
⎡J ⎤
⎢ ⎥
⎣ kg ⎦
spezifische Volumenänderungsarbeit
1
2
[J ]
[− ]
Arbeit
Dampfgehalt
y
⎡J ⎤
⎢ ⎥
⎣ kg ⎦
spezifische Strömungsarbeit
x& , y& , z&
&x&, &y&, &z&
z
Z
[m]
⎡m⎤
⎢s⎥
⎣ ⎦
⎡m⎤
⎢ 2⎥
⎣s ⎦
[m]
[− ]
∫
wv ,12 = p ⋅ dv
1
W
x
x,y,z
∫
w D ,12 = T ⋅ ds
2
∫
y12 = v ⋅ dp
1
Ortskoordinaten
Geschwindigkeiten
Beschleunigungen
Höhe
Realgasfaktor
Griechische Symbole
α
α
ε
γ
γ
η
ϕ
ϕ
κ
[rad ]
⎡1⎤
⎢K ⎥
⎣ ⎦
[− ]
⎡1⎤
⎢K ⎥
⎣ ⎦
⎡K ⎤
⎢m⎥
⎣ ⎦
[− ]
[rad ]
[− ]
[− ]
Winkel
Längenausdehnungskoffizient (Feststoffe)
Verdichtungsverhältnis
Volumenausdehnungskoeffizient (Flüssigkeiten)
Temperaturgradient der Normatmosphäre
Wirkungsgrad
Drehwinkel
Volumenverhältnis, Einspritzverhältnis
Isentropenexponent
Technische Thermodynamik
xi
_________________________________________________________________________
Ψ
μ
π
ρ
σ
ϑ
τ
τ
ω
[− ]
[− ]
[− ]
⎡ kg ⎤
⎢ 3⎥
⎣m ⎦
⎡J ⎤
⎢ ⎥
⎣ kg ⎦
[°C ]
[s ]
⎡ N ⎤
⎥
⎢
⎣ mm 2 ⎦
⎡ rad ⎤
⎢ s ⎥
⎣
⎦
Druckverhältnis
Massenverhältnis
Verdichter-Druckverhältnis
Dichte
spezifische Schmelzwärme
Temperatur
Zeit
Schubspannung
Drehrate
Indizes
1,2
ab
A
D
D
el
g
G
H
k
kin
K
mech
N
irr
p
pot
rev
s
t
t
th
T
T
U
v
V
V
W
zu
Zustände
abgeführt
axial
Dissipation
Dampf
elektrisch
gesamt, total
Gewicht
Hubraum
Kreisprozeß
kinetisch
Verdichtungsraum
mechanisch
Nutz(arbeit)
irreversibel
isobar
potentiell
reversibel
Sättigung
technisch
tangential
thermisch
Teilchen
Turbine
Umgebung
isochor
Volumenänderung
Verdichter
Welle
zugeführt
Technische Thermodynamik
Einführung
1
_________________________________________________________________________
1 Einführung
1.1 Inhalt und Bedeutung der Thermodynamik
Hauptaufgabengebiet der Thermodynamik ist die Untersuchung und Beschreibung von
Energieumwandlungsprozessen
durch
eine
Analyse
der
unterschiedlichen
Erscheinungsformen von Energie und deren Verknüpfungen in Energiebilanzgleichungen.
Dies bildet die Grundlage zur Konzeption, Planung und Auslegung von Anlagen zur
Energieumwandlung.
Anlagen zur Energieumwandlung begegnen uns in vielfältiger Weise: Von der klassischen
Dampfmaschine, über Verbrennungsmotoren in Kraftfahrzeugen und Luftfahrzeugen bis hin
zu Kraftwerken auf Wind-, Wasser- oder Kernkraftbasis. Weitere Anwendungsgebiete sind
z.B. die Klimatechnik, Lüftungs- oder auch die Kältetechik.
Die Basis der Thermodynamik wird beschrieben durch die sogenannten Hauptsätze der
Thermodynamik. Sie lassen sich nicht aus bereits bewiesenen physikalischen Gesetzen
ableiten sondern stellen lediglich auf allgemeinen Erfahrung basierenden Postulate dar, die
als brauchbare Arbeitshypothesen verwendet werden können und bis heute noch nicht
widerlegt werden konnten. Der erste Hauptsatz oder auch der Energieerhaltungssatz besagt,
daß Energie weder erzeugt noch vernichtet werden kann; sie kann lediglich zwischen
verschiedenen Erscheinungsformen umgewandelt werde. Der zweite Hauptsatz formuliert
die Grenzen der Energieumwandlung und beschreibt welche Umwandlungsprozesse
überhaupt möglich sind. Der dritte Hauptsatz beschreibt die Nichterreichbarkeit des
absoluten thermischen Nullpunktes und der nullte Hauptsatz definiert das thermische
Gleichgewicht.
Die Thermodynamik nach dem heutigen Verständnis ist eine allgemeine Energielehre, die
sich in die statistische und phänomenologische Thermodynamik gliedern läßt. Die
statistische bzw. molekularstatistische Thermodynamik geht von der molekularen Struktur
der Materie aus und berechnet die Wechselwirkung zwischen den Molekülen und ihrer
Umgebung unter Anwendung mathematisch-statistischer Methoden (kinetische Gastheorie).
Die klassische oder auch phänomenologische Thermodynamik stützt sich auf die
Beobachtung thermodynamischer Prozesse aus deren Ablauf empirische Gesetze abgeleitet
werden. Dieser letztere Ansatz wird in der folgenden Vorlesung weiter verfolgt werden.
Technische Thermodynamik
Einführung
2
_________________________________________________________________________
1.2 Historischer Rückblick
Die frühere Bezeichnung für Thermodynamik war Wärmelehre. Dies erklärt sich aus der
historischen Entwicklung der Erforschung von Wärmeerscheinungen. Bis Mitte des 19.
Jahrhunderts ordnete man Wärme einem hypothetischen unzerstörbaren Stoff (caloricum)
zu. Dies entspricht zwar in groben Zügen dem Prinzip des ersten Hauptsatzes, d.h. dem
Satz von der Energieerhaltung, die Vorstellung der stofflichen Eigenschaft war jedoch
unzutreffend. Erste Zweifel an der Stofftheorie wurden mit dem Aufkommen der ersten
Wärmekraftmaschinen, d.h. Dampfmaschinen laut.: D. Papin (1647-1712) und T. Newcomen
(1663-1729) bzw. J. Watt (1736-1819). Die Idee, daß es eine Äquivalenz zwischen Wärme
und Arbeit geben müsse, wurde von Lord Rumford (1753-1814) durch die beobachtete
Aufheizung beim Aufbohren von Kanonenrohren entwickelt. Diese Idee wurde von J.P. Joule
(1818-1889) weiterentwickelt, der auf experimentellem Weg das sogenannte mechanische
Wärmeäquivalent bestimmte. Als Mitbegründer der modernen Thermodynamik gilt
N.L.S. Carnot (1796-1832), der ebenfalls die Theorie vertrat, daß Wärme und Arbeit
äquivalente Energieformen seien, dies jedoch nicht mehr veröffentlichte. Unabhängig von
den Arbeiten von Joule und Carnot wurde diese Theorie 1842 von J.R. Mayer (1814-1878)
veröffentlicht. Mit der später erfolgten Veröffentlichung des ersten Hauptsatzes wurde die
Stofftheorie als Gedankenmodell endgültig ad acta gelegt.
Auf der Basis der Arbeiten von Carnot, Mayer und Joule erstellte R. Clausius (1822-1888) im
Jahre 1850 die erste quantitative Formulierung des ersten Hauptsatzes durch Gleichungen
zwischen den Größen Wärme, Arbeit und innere Energie. Zur Definition des zweiten
Hauptsatzes führte er eine neue Größe ein, die er zuerst als ‚Äquivalenzwert einer
Verwandlung‘ und später (1865) als Entropie bezeichnete.
Unabhängig von Clausius gelangte fast zeitgleich der britische Physiker W. Thomson (18241907) zu anderen Formulierungen des zweiten Hauptsatzes. Er führte den Gedanken von
der Zerstreuung der Energie (dissipation of energy) ein, d.h., daß sich bei real
vorkommenden Prozessen der Vorrat an umwandelbarer bzw. arbeitsfähiger Energie
verringert. Aus seinen Überlegungen zum zweiten Hauptsatz schloß Thomson (seit 1892
Lord Kelvin) auf die Existenz einer universellen Temperaturskala. Diese universelle, von den
spezifischen Eigenschaften von Thermometern unabhängigen Skala, wurde ihm zu Ehren
Kelvin-Skala genannt.
Durch den von Clausius definierten Entropiebegriff war es nun möglich, aus den
thermodynamischen Hauptsätzen allgemeingültige Gesetze für das Verhalten der Materie in
ihren unterschiedlichen Aggregatzuständen und in chemische Reaktionen herzuleiten.
Daraus entwickelte sich gegen Ende des 19. Jahrhunderts eine neue Disziplin, die
sogenannte physikalische Chemie, deren Grundlagen von J.W.Gibbs (1839-1903) durch die
Definition der Phasenregel, mit entwickelt wurden.
Technische Thermodynamik
Grundbegriffe
3
_________________________________________________________________________
2 Grundbegriffe
2.1 Physikalische Größen
Als physikalische Größen werden charakteristische Eigenschaften von Objekten, wie z.B.
Gewicht und Abmessungen eines Körpers oder Temperatur und Leistung eines Motors
bezeichnet. Die Wahl geeigneter Einheiten und Definitionen physikalischer Größen ist
selbstverständlich in beliebiger Art und Weise möglich. In den technischen
Naturwissenschaften wird jedoch seit einigen Jahrzehnten das international vereinbarte
‘Système International d’Unité’ oder auch SI-System, angewendet. Der Begriff ‘international’
ist jedoch mit gewissen Einschränkungen zu sehen, da insbesondere im angelsächsischen
Raum und in der Luftfahrt das englische und amerikanische Maßsystem bzw. eine Mischung
aus beiden noch üblich sind. Obwohl in Deutschland mit der Verabschiedung des Gesetzes
über die Einheiten im Meßwesen vom 02.07.1969 im geschäftlichen und amtlichen Verkehr
vorgeschrieben, hat sich diese Erkenntnis offensichtlich noch nicht bis zum LuftfahrtBundesamt (LBA) durchgesetzt.
Das im weiteren Verlauf zu verwendende SI-System hat den Vorteil, daß ausgehend von
sieben Basiseinheiten, sich alle weiteren physikalischen Größen durch eine Kombination
dieser Basiseinheiten darstellen, bzw. ineinander überführen lassen.
Größe
Länge
Masse
Zeit
Elektrische Stromstärke
Temperatur
Lichtstärke
Stoffmenge
Tab. 2.1:
Größe
Kraft
Leistung
Energie, Arbeit
Druck
Tab. 2.2:
Einheit
Meter
Kilogramm
Sekunde
Ampère
Kelvin
Candela
Mol
Zeichen
m
kg
s
A
K
cd
mol
Definition
siehe Tab. 14.1
Zeichen
N
W
J
Pa
Definition
N = kg⋅m/s²
W = N⋅m/s
J = N⋅m
Pa = N/m²
Basiseinheiten des SI-Systems
Einheit
Newton
Watt
Joule
Pascal
Abgeleitete Größen des SI-Systems
Technische Thermodynamik
Grundbegriffe
4
_________________________________________________________________________
2.2 Systeme
Zur Beschreibung von Prozeßabläufen und Maschinen oder Teilen von Maschinen werden
thermodynamische Systeme festgelegt, die durch die mehr oder weniger willkürliche
Definition von Systemgrenzen beschrieben werden. Diese System- oder auch
Kontrollgrenzen dienen der Erfassung des Energie- und Masseaustauschs des Systems mit
seiner Umwelt. Die Festlegung von Systemgrenzen orientiert sich zweckmäßigerweise an
der konkreten Problemstellung, z.B. der inneren oder äußeren Umrandung einer
Brennkammer oder eines Dampfkessels, kann aber auch beliebiger abstrakter Natur sein.
Wesentliches Merkmal einer Systemgrenze ist die Möglichkeit die über die Systemgrenzen
hinweg stattfindenden Energie- und Masseströme sinnvoll erfassen zu können.
Vorzeichendefinition für Energie- und Massenströme:
- Positiv für Ströme, die in das System hineinfließen,
- negativ für Ströme, die das System verlassen
2.2.1 Allgemeines System
Energiezufuhr
Energieentzug
System
Massezufuhr
Masseentzug
Systemgrenze
Abb. 2-1: Allgemeines thermodynamisches System
2.2.2 Formen von Energieübertragung
- Mechanische Arbeit:
Kolbenbewegung in einem Zylinder durch Expansion des Gases im Kontrollraum
- Thermische Energie:
Aufheizung des Kontrollvolumes durch Verbrennung oder Kompression des Kontrollraums
- Stoffgebundene Energieübertragung:
Massefluß zu oder aus dem Kontrollraum
- Wärmestrahlung:
Erwärmung durch Sonneneinstrahlung, Heizstrahler
Technische Thermodynamik
Grundbegriffe
5
_________________________________________________________________________
2.2.3 Unterscheidungsmerkmale von Systemen
Geschlossene Systeme
Merkmal: Materieundurchlässig, d.h. es findet kein Masseaustausch über die Systemgrenze
hinweg mit der Umgebung statt
Abb. 2-2:
Geschlossenes System starre Grenze
Abb. 2-3: Geschlossenes System variable Grenze
Offene Systeme
Merkmal: Stoffübertragung über die Systemgrenze ist möglich
Zufluß
Abfluß
T
mechanische Arbeit
Abb. 2-4: Offenes System, Zylinder
Abb. 2-5: Offenes System, Kraftwerk
Technische Thermodynamik
Grundbegriffe
6
_________________________________________________________________________
Adiabate Systeme
Merkmal: Es erfolgt keine Wärmeübertragung über die Systemgrenzen hinweg, d.h. ‘ideal’
isolierte Wände
ideale Isolierung
Abb. 2-6: Adiabates geschlossenes
System
Abb. 2-7: Adiabates offenes System
Einphasensysteme
Unterscheidung des Systems nach der inneren Struktur, d.h. nach fester, flüssiger oder
gasförmiger Erscheinungsform. Das Einphasensystem besteht demnach aus einer
homogenen Substanzmenge, deren chemische und physikalische Eigenschaften örtlich
konstant sind.
Mehrphasensysteme
Systeme, in dem mindestens zwei unterschiedliche Phasen vorliegen, z.B. flüssiges Wasser
zusammen mit Wasserdampf.
Wasserdampf
Wasserdampf
Eis
Wasser
Wasser
Abb. 2-8:
Zweiphasensystem
Abb. 2-9:
Dreiphasensystem
Technische Thermodynamik
Grundbegriffe
7
_________________________________________________________________________
2.2.4 Gleichgewichtssatz
Allgemein: Jedes sich selbst überlassene geschlossene System strebt einem Gleichgewichtszustand zu, in dem es so lange verharrt, so lange keine äußeren Einflüsse auf das
System einwirken.
- Thermisches Gleichgewicht:
- Mechanisches Gleichgewicht:
- Chemisches Gleichgewicht:
T = const.
p = const.
M = const.
Bei gleichzeitigem Vorliegen aller drei Gleichgewichtszustände, spricht man auch von einem
Thermodynamischen Gleichgewicht
Nullter Hauptsatz der Thermodynamik:
Zwei geschlossene Systeme befinden sich im thermischen Gleichgewicht, wenn beide
Systeme die gleiche Temperatur besitzen.
Bsp.: Berührungsthermometer
2.3 Zustand, Zustandsgrößen, Zustandsänderungen
Zur vollständigen Beschreibung eines thermodynamischen Systems ist neben der Definition
der Systemgrenzen auch eine Beschreibung seiner physikalischen und chemischen
Systemeigenschaften erforderlich. Diese Systemeigenschaften werden durch die
Zustandsgrößen beschrieben, welche Variable darstellen. Der Zustand eines einfachen,
homogene Systems läßt sich durch die vier Zustandsgrößen Stoffmenge, Volumen, Druck
und Temperatur eindeutig beschreiben.
Einteilung von Zustandsgrößen:
- Äußerer Zustand:
Ortskoordinaten, Geschwindigkeit, Beschleunigung z.B. x , x& , &x&
- Innerer Zustand:
Volumen, Druck, Temperatur, Masse z.B. V, p, T, m
- Intensive Zustandsgrößen:
Unabhängig von der Systemmasse, sie bleiben bei einer Aufteilung des Systems in
Subsysteme unverändert, z.B. p, T
- Extensive Zustandsgrößen:
Im Gegensatz zu den intensiven Zustandsgrößen sind die extensiven
Zustandsgrößen abhängig von der Systemmasse, z.B. V
- Spezifische Zustandsgrößen:
Auf die Systemmasse bezogene Zustandsgrößen, z.B. v =
V
m
Die Abhängigkeit der einzelnen Zustandsgrößen von einander läßt sich durch sog.
Zustandsgleichungen beschreiben
Technische Thermodynamik
Grundbegriffe
8
_________________________________________________________________________
Bsp.: Zustandsgleichung des idealen Gases:
p = ρ ⋅ R ⋅ T ⇒ p = f ( ρ, T )
mit der stoffabhängigen Gaskonstanten R
Zustandsänderungen
Zustandsgrößen sind wegunabhängig, d.h. der Weg auf dem ein Zustand erreicht wird, ist
ohne Bedeutung.
Bsp.:
Überführung einer Gasmenge von einem Anfangszustand ‘1’ in einen Endzustand ‘2’.
Der Anfangszustand ‘1’, gekennzeichnet durch den Druck p1 und das spezifische, d.h. auf
die Masse m bezogene Volumen v1 läßt sich auf mehrere Möglichkeiten in den Zustand ‘2’ ,
gekennzeichnet durch p2 und v2 , überführen.
A) durch Verdichtung in einem Kolben ohne Wärmezufuhr, s = const.
s = const.
Abb. 2-10:
Kolben mit isentroper Kompression
B) durch Wärmezufuhr bei konstantem Druck p1 und anschließender Kompression auf p12
bei konstanter Temperatur T = T2 durch konstante Rückkühlung
p = const.
Qzu
Abb. 2-11:
T = const.
Qab
Isobare Erwärmung
Abb. 2-12:
Isotherme Kompression
Technische Thermodynamik
Grundbegriffe
9
_________________________________________________________________________
Darstellung in einem T - s – Diagramm
Isotherme
T
B2
1'
2
Isobare
A
B1
Isentrope
1
s
Abb. 2-13:
Zustandsänderung von ‘1’ zu ‘2’ in einem T - s - Diagramm
Zustandsänderungen bei denen eine bestimmte Zustandsgröße konstant gehalten wird
werden besonders gekennzeichnet:
Volumen
Druck
Temperatur
Entropie
Enthalpie
V = const.
p = const.
T = const.
s = const.
h = const.
dV = 0
dp = 0
dT = 0
ds = 0
dh = 0
Isochore
Isobare
Isotherme
Isentrope
Isenthalpe
Tab. 2.3: Zustandsänderungen mit einer konstanten Zustandsgröße
Prozeß
Die Beschreibung der Zustandsänderung eines Systems wird als Prozeß bezeichnet.
Unterschiedliche Prozesse können die gleiche Zustandsänderung hervorrufen.
Technische Thermodynamik
Systembeschreibung
10
_________________________________________________________________________
3 Systembeschreibung
3.1 Stoff und Menge
3.1.1 Volumen
Die räumliche Ausdehnung eines Systems, beschrieben durch die Systemgrenzen definiert
sein Volumen V (extensive Zustandsgröße). Gebräuchlich ist jedoch insbesondere das auf
die Systemmasse m bezogene spezifische Volumen v.
v=
Gl. 3-1:
V ⎡ m3 ⎤
m ⎢⎣ kg ⎥⎦
bzw. die Dichte ρ als Kehrwert des spezifischen Volumens v
ρ=
Gl. 3-2:
m 1 ⎡ kg ⎤
=
V v ⎢⎣ m 3 ⎥⎦
3.1.2 Stoffmenge
Die Stoffmenge eines Systems läßt sich entweder durch Angabe seiner Masse m [kg]
definieren oder durch die Anzahl seiner Mole, d.h. seine Molzahl n. Wobei ein Mol eines
Stoffes der Anzahl der Teilchen, die in 0.012 kg des Kohlenstoff-Isotops 12C enthalten sind
entspricht, d.h. 6.0221367⋅1023 Teilchen. Diese Zahl wird auch als Avogadro-Konstante, bzw.
Loschmidtsche Zahl bezeichnet.
NA = 6.0221367⋅1023 [1/mol]
Die Molmasse M eines Stoffes, ist ähnlich seiner Dichte ρ eine charakteristische
Stoffeigenschaft, die in physikalischen Tabellen aufgelistet sind. Multipliziert man die
Teilchenmasse mT mit der Avogadro-Konstante NA , so ergibt sich die Molmasse des Stoffes
zu:
M = mT ⋅ N A [kg kmol ]
Gl. 3-3:
Stoff
Wasserstoff
Helium
Kohlenstoff
Stickstoff
Sauerstoff
Fluor
Chlor
Schwefel
Schwefeldioxid
Stickstoffdioxid
Lachgas
Kohlenmonoxid
Kohlendioxid
Methan
Ethan
Luft (trocken)
Tab. 3.1:
Chemisches Symbol
H2
He
C
N2
O2
F2
Cl2
S
SO2
NO2
N2O
CO
CO2
CH4
C2H6
Molmasse M [kg/kmol]
2.01594
4.0026
12.01115
28.0134
31.9988
37.9968
70.906
32.066
64.065
46.0055
44.0128
28.010
44.010
16.043
30.070
28.9647
Stoffe und deren Molmassen, [ 14]
Technische Thermodynamik
Systembeschreibung
11
_________________________________________________________________________
Das Molvolumen Vm eines Stoffes ergibt aus dem Volumen V und der Stoffmenge (= Molzahl)
n zu
Gl. 3-4:
Vm =
[
V
= M ⋅ v m 3 kmol
n
]
Der Zusammenhang zwischen der Masse m, der Molzahl n, der Teilchenmasse mT, sowie der
Molmasse M ergibt sich aus
Gl. 3-5:
m = n ⋅ N A ⋅ mT = n ⋅ M [kg ]
Systeme, in denen chemische Reaktionen ablaufen, z.B. bei der Untersuchung von
Verbrennungsvorgängen, werden zweckmäßigerweise durch die Angabe der Molzahl
beschrieben, während Systeme ohne chemische Reaktionen durch die Angabe der Masse in
[kg] beschrieben werden können.
_________________________________________________________________________
Ü 3-1: Bestimmung der Masse m von n = 0.56 kmol Lachgas
Ü 3-2: Bestimmung der Molmasse M von Wasser
Ü 3-3: Bestimmung des spezifischen Volumens v, der Dichte ρ , des Molvolumens Vm und
der Stoffmenge n eines mit m = 1000 kg Ethan gefüllten Druckbehälters, der ein
Volumen V = 5 m3 aufweist.
_________________________________________________________________________
3.1.3 Mengenströme
Zur Charakterisierung offener Systeme ist die Beschreibung der Mengenströme erforderlich.
Systemgrenze
m
c
Massestrom, der die
Systemgrenze überschreitet
Querschnitt A
Wegstrecke s
Abb. 3-1: Offenes System mit Mengenstrom
Ein Stoff fließt mit der Geschwindigkeit c über die Systemgrenze (Rohr mit Querschnitt A). In
der Zeitspanne Δτ legen die Stoffteilchen den Weg s = c ⋅ Δτ zurück. Dadurch ergeben sich
die folgende Ströme.
Technische Thermodynamik
Systembeschreibung
12
_________________________________________________________________________
- Volumenstrom:
V =
⎡ m3 ⎤
V
s⋅ A
=
= c⋅ A ⎢ ⎥
Δτ
Δτ
⎣ s ⎦
m& =
m ρ ⋅V
⎡ kg ⎤
=
= ρ ⋅ V& = ρ ⋅ c ⋅ A ⎢ ⎥
Δτ
Δτ
⎣ s ⎦
⋅
Gl. 3-6:
- Massestrom:
Gl. 3-7:
- Massestromdichte:
Gl. 3-8:
m& ρ ⋅ V&
⎡ kg ⎤
= c⋅ρ ⎢
I& = =
2
A
A
⎣ s ⋅ m ⎥⎦
& = const .
Für stationär durchströmte Systeme gilt m
m& 1
m& 2
Abb. 3-2:
Stationär durchströmtes System
Aufgrund der Massenerhaltung folgt somit:
Gl. 3-9:
m& 1 = ρ1 ⋅ c1 ⋅ A1 = ρ 2 ⋅ c 2 ⋅ A2 = m& 2
_________________________________________________________________________
Ü 3-4: Mit Wasser durchströmtes konisches Rohr
Mittlere Eintrittsgeschwindigkeit:
Eintrittsquerschnitt:
Austrittsquerschnitt:
c1 = 0.0632 m/s
d1 = 48.4 mm
d2 = 112.3 mm
Welcher Massestrom, welche Massestromdichte und welche Geschwindigkeit
ergeben sich im Austrittsquerschnitt?
Technische Thermodynamik
Systembeschreibung
13
_________________________________________________________________________
A1
c1
A2
c2
ρ1
'1'
Abb. 3-3:
'2'
ρ2
Mit Wasser durchströmtes konisches Rohr
_________________________________________________________________________
3.2 Druck, Temperatur und Energie
3.2.1 Druck
Der Druck p wird definiert als Quotient aus der Druckkraft F und der Fläche A auf die diese
wirkt, wobei die Druckkraft senkrecht auf die Fläche A wirkt.
p=
Gl. 3-10:
F
[Pa ] = [N2]
A
m
[ ]
Bsp.: Druck in einem ruhenden Fluid (hydrostatischer Druck)
pr⋅ΔA
pr
FG
h
p⋅ΔA
Abb. 3-4:
Druck in einem ruhenden Fluid
F
⇒F = p⋅ A
A
F = m ⋅ g = ρ ⋅ V ⋅ g = ρ ⋅ h ⋅ ΔA ⋅ g
p=
Technische Thermodynamik
Systembeschreibung
14
_________________________________________________________________________
Kräftebilanz am Fluidelement:
p ⋅ ΔA − FG − pr ⋅ ΔA = 0
p (h) ⋅ ΔA − ρ ⋅ g ⋅ h ⋅ ΔA − pr ⋅ ΔA = 0
Gl. 3-11:
p ( h) = p r + ρ ⋅ g ⋅ h
_________________________________________________________________________
Ü 3-5: Berechnung der Druckänderung in Wasser von h = 0 auf h = -5m
_________________________________________________________________________
Ü 3-6: Berechnung der Druckänderung in der Atmosphäre von h = 0 auf h = +5000m
_________________________________________________________________________
⇒
Im Gegensatz zu Flüssigkeiten kann bei Gasen in geschlossenen Behältern die
Dichteänderung über die Höhe vernachlässigt werden.
3.2.2 Temperatur
Ein System, für welches durch eine bestimmte Vorschrift eine Temperaturfunktion ϑ
festgelegt wird, bezeichnet man als Thermometer. Aufgrund der willkürlichen Festlegung
dieser Vorschrift wird ϑ auch als empirische Temperatur bezeichnet. Die
Temperaturmessung eines Systems beruht darauf, das Thermometer und das System in ein
thermisches Gleichgewicht zu bringen. Wobei jedoch die Temperatur des zu messenden
Systems unverändert bleiben soll und sich lediglich die Temperatur des Thermometers
ändert. Insbesondere bei der Temperaturmessung kleiner Massen wird diese Anforderung
nur näherungsweise erfüllt. Ein Ausweichmöglichkeit stellen berührungsfreie Meßverfahren
dar, wie z.B. die Infrarot-Thermographie
Zur Temperaturmessung lassen sich Systeme verwenden, die eine eindeutige
temperaturabhängige physikalische Eigenschaft aufweisen, die sich leicht messen läßt. Z.b
die Volumenänderung von Flüssigkeiten (Fieberthermometer) oder die Änderung des
elektrischen Widerstands mit der Temperatur (Widerstandsthermometer).
Zur Definition der Temperatur sind unterschiedliche Skalen üblich.
- Celsius-Skala [°C]
- Fahrenheit-Skala [°F]
- Rankine-Skala [°R]
- Thermodynamische bzw. absolute Temperatur in Kelvin [K]
Skala
Celsius-Skala [°C]
Fahrenheit-Skala [°F]
Rankine-Skala [°R]
Thermodynamische Temperatur,
Kelvin-Skala [K]
Tab. 3.2:
Temperaturskalen
Wassereis
Siedendes Wasser
100.00°C
0.00 °C
212.00 °F
32.00 °F
671.67 °R
491.67 °R
273.15 K
373.15 K
Technische Thermodynamik
Systembeschreibung
15
_________________________________________________________________________
Umrechnungsformeln
- Celsius in Kelvin:
Gl. 3-12:
T [K ] = t [C ] + 273.15K
- Fahrenheit in Celsius:
t [C ] =
Gl. 3-13:
5
⋅ (t [F ] − 32)
9
- Kelvin in Rankine
T [R] = t [K ] ⋅
Gl. 3-14:
9
5
3.2.3 Energie
Im folgenden werden die wichtigsten mit der Energie in Zusammenhang stehenden Einheiten
dargestellt.
- Arbeit (=Energie) = Kraft x Weg
1Joule = 1J = 1Nm = 1
kg ⋅ m
kg ⋅ m 2
⋅
m
=
1
= 1W ⋅ s
s2
s2
- Energiestrom = Leistung = Arbeit/Zeit
1Watt = 1W = 1
J
kg ⋅ m 2
=1
s
s3
- Spezifische Energie = Energie/Masse
1
J
W ⋅s
m2
=1
=1 2
kg
kg
s
- Spezifischer Energiestrom = Energiestrom/Masse
1
W
m2
=1 3
kg
s
Technische Thermodynamik
Zustandsgleichungen
16
_________________________________________________________________________
4 Zustandsgleichungen
4.1 Zustandsflächen
Bei Systemen, in denen lediglich eine einzige Phase vorliegt (Einphasensystemen) wird der
thermodynamische Zustand durch die Angabe der Variablen
Druck p,
Temperatur T und
spezifisches Volumen v
eindeutig festgelegt. Die Verknüpfung dieser Variablen erfolgt durch eine sogenannte
Zustandsfunktion oder auch Zustandsgleichung
F(p,T,v) = 0
oder in expliziter Schreibweise für die einzelnen Zustandsvariablen:
p = p(T,v)
T = T(p,v)
v = v(p,T)
Je zwei der Zustandsgrößen sind also unabhängige Variable während die dritte Größe die
abhängige Variable darstellt.
Die Zustandsgleichungen sind abhängig von dem jeweils betrachteten Stoff und werden in
aller Regel empirisch ermittelt. Die experimentell ermittelten Wertetrippel von p,v,T lassen
sich in einem entsprechenden p,v,T –Koordinatensystem in Form einer Fläche darstellen.
Diese Fläche wird auch als Zustandsfläche bezeichnet und ist für einen reinen Stoff in Abb.
4-1 skizziert.
Abb. 4-1:
Zustandsfläche eines reinen Stoffes, [ 2]
Technische Thermodynamik
Zustandsgleichungen
17
_________________________________________________________________________
Schneidet man diese Zustandsfläche mit einer Ebene bei p = const. so erhält man als
Schnittkurven Isobaren, d.h. Linien gleichen Drucks. Schnitte bei T = const. liefern Isothermen
als Schnittkurven und Schnitte bei v = const. ergeben Isochoren, d.h. Linien gleichen
spezifischen Volumens.
Abb. 4-2: Schnitt durch die Zustandsfläche
bei T=const., [ 2]
Abb. 4-3: Schnitt durch die Zustandsfläche
bei v=const., [ 2]
In Abb. 4-1 ist eine Isobare, die Linie A-B-C-D-E-F , hervorgehoben. Diese Linie entspricht
dem Prozeß, den ein Stoff infolge von Wärmezufuhr bei konstantem Druck von der festen
Phase über die flüssige Phase in die gasförmige Phase durchläuft.
Auf der Zustandsfläche lassen sich einige ausgewählte Bereiche unterscheiden:
Einphasengebiete
Die Einphasengebiete umfassen die Bereiche in denen der Stoff in genau einer Phase
vorliegt, d.h. als Festkörper, als Flüssigkeit oder als Gas.
Schmelzgebiet
Der Abschnitt der Linie B-C liegt in dem Bereich des Schmelzgebietes. Beim Übergang des
Stoffes von der festen zur flüssigen Phase bleibt die Temperatur auf der Isobaren so lange
konstant, bis der Stoff vollständig von der festen in die flüssige Phase übergegangen, d.h.
geschmolzen ist. Dabei erfährt der Stoff eine deutliche Volumenänderung, sein spezifisches
Volumen v wird erheblich vergrößert.
Das Schmelzgebiet stellt ein sogenanntes Zweiphasengebiet dar. Es liegen gleichzeitig die
feste und flüssige Phase vor, die sich bei konstantem Druck und konstanter Temperatur im
thermodynamischen Gleichgewicht befinden. Dieses Schmelzgebiet wird zur festen Phase
von der Schmelzlinie und zur flüssigen Phase von der Erstarrungslinie begrenzt.
Schmelzlinie
Zum Überschreiten der Schmelzlinie von der festen zur flüssigen Phase ist dem Stoff eine
Phasenänderungsenergie oder auch Schmelzwärme bzw. Schmelzenthalpie zuzuführen. Die
erforderliche Schmelzenthalpie und die Schmelztemperatur sind druckabhängig.
In Tab. 4.1 sind für einige ausgewählte Stoffe die Schmelzwärmen bei einem Druck von
p = 105 [Pa] angegeben.
Technische Thermodynamik
Zustandsgleichungen
18
_________________________________________________________________________
spezifische Schmelzwärme σ Schmelztemperatur ϑ
[KJ/kg]
[°C]
Aluminium
Al
356
658
Blei
Pb
23.9
327.3
Eisen (rein)
Fe
207
1530
Stahl
Fe + 0.2%C
ca. 209
ca. 1500
Grauguß
Fe + 2.0%C
ca. 96
ca. 1200
Kupfer
Cu
209
1083
Ammoniak
NH3
339
-77.9
Äthylalkohol
C2H5OH
108
-114.2
Schwefeldioxid SO2
116.8
-75.5
Quecksilber
Hg
11.3
-38.9
Wasser (Eis)
H2O
333.5
0
Tab. 4.1:
Schmelzwärmen und Schmelztemperaturen bei p = 105 [Pa], [ 6]
Stoff
Erstarrungslinie
Durch Wärmeentzug des Stoffes in der flüssigen Phase wird die Richtung des Teilprozesses
C-D umgekehrt und der Stoff geht bei Überschreiten der Erstarrungslinie wieder in die feste
Phase über.
Siedelinie
Die flüssige und gasförmige Phase sind durch zwei im Punkt K zusammenlaufende Kurven
voneinander getrennt. Die linke Kurve wird als Siedelinie bezeichnet. Bei zunehmender
Wärmezufuhr bleibt die Temperatur auf der Isobaren konstant, während das spezifische
Volumen v stark zunimmt (Linie D-E).
Taulinie
Der Siedevorgang ist mit Erreichen der Taulinie abgeschlossen und der Stoff ist bei
Überschreiten der Taulinie vollständig von der flüssigen Phase in die Gasphase
übergegangen. Analog zur Schmelzenthalpie ist auch in diesem Fall eine druckabhängige
Phasenänderungsenergie für diesen Phasenwechsel erforderlich, die sogenannte
Verdampfungswärme oder auch Verdampfungsenthalpie ΔhD. Nach Überschreiten der
Taulinie steigt bei zunehmender Wärmezufuhr die Temperatur in der Gasphase wieder an
(Linie E-F).
Die Bezeichnung Taulinie ergibt sich aus der Umkehrung des Prozesses, d.h. wenn der
Prozeß in der Richtung F-E-D durchlaufen wird und dem Stoff Wärme entzogen wird, beginnt
der Stoff beim Überschreiten der Taulinie zu kondensieren und es bilden sich erste
Flüssigkeitströpfchen.
Für einige ausgewählte Stoffe ist in Tab. 4.2 die Verdampfungswärme und Siedetemperatur
bei einem Druck von p = 105 [Pa] angegeben.
Stoff
Ammoniak
Äthylalkohol
Schwefeldioxid
Quecksilber
Wasser
Tab. 4.2:
NH3
C2H5OH
SO2
Hg
H2O
VerdampfungsSiedetemperatur
enthalpie
ΔhD [KJ/kg]
ϑS [°C]
1369
-33.4
846
78.3
402
-10.0
285
356.7
2257
100.0
Kritischer
Druck
pkr [bar]
112.8
63.8
78.8
1608
221.2
Verdampfungsenthalpie, Siedetemperatur und kritische Punkte, [ 6]
Kritische
Temperatur
ϑkr [°C]
132.3
243.1
157.5
1480
374.15
Technische Thermodynamik
Zustandsgleichungen
19
_________________________________________________________________________
Naßdampfgebiet
Das Naßdampfgebiet wird von der Siedelinie und der Taulinie begrenzt. Es stellt ein
Zweiphasengebiet dar, in dem die flüssige und gasförmige Phase gleichzeitig nebeneinander
existieren und sich bei gleichem Druck und gleicher Temperatur im thermodynamischen
Gleichgewicht befinden.
Kritischer Punkt
Der Berührungspunkt von Siedelinie und Taulinie wird als sogenannter kritischer Punkt K
bezeichnet. Verläuft der Prozeß auf einer Isobaren oberhalb des kritischen Punktes K so ist
ein direkter Phasenübergang von der flüssigen zur gasförmigen Phase möglich ohne das
Naßdampfgebiet zu durchlaufen.
Sublimationsgebiet
Im Bereich von niedrigen Drücken und Temperaturen liegt das Sublimationsgebiet. Unter
Sublimation ist der direkte Übergang von der festen in die gasförmige Phase bzw. auch
umgekehrt zu verstehen (Prozeß G-H-I). Ähnlich dem Naßdampfgebiet ist das
Sublimationsgebiet ein Zweiphasengebiet, in dem der Stoff in einer heterogenen Mischung
aus fester und gasförmiger Phase vorliegt. Die für den Wechsel von der festen in die flüssige
Phase erforderliche Wärmemenge wird als Sublimationswärme bezeichnet und entspricht
der Summe aus Schmelz- und Verdampfungswärme.
Das Sublimationsgebiet wird zur festen und gasförmigen Phase durch die Sublimationslinie
und Desublimationslinie begrenzt.
Tripellinie
Die Abgrenzung des Sublimationsgebietes zum Naßdampfgebiet wird durch die Tripellinie
beschrieben, die durch den Trippelpunkt verläuft.
Durch Projektion der p,v,T-Zustandsfläche auf die p,T-Ebene erhält man das in Abb. 4-3
dargestellte p,T-Diagramm. Hier fallen das Schmelzgebiet in die Schmelzdruckkurve, das
Naßdampfgebiet in die Dampfdruckkurve und das Sublimationsgebiet in die
Sublimationsdruckkurve zusammen.
Die Dampfdruckkurve endet im kritischen Punkt K bei dem Zusammentreffen von Siede- und
Taulinie. Bei höheren Temperaturen als der kritischen Temperatur existiert keine scharfe
Grenze mehr zwischen der Gasphase und der flüssigen Phase. Flüssigkeiten und Gase
werden daher auch unter der gemeinsamen Bezeichnung Fluide zusammengefaßt.
Im p,T-Diagramm treffen sich die Schmelzdruckkurve, die Dampfdruckkurve und die
Sublimationsdruckkurve im sogenannten Trippelpunkt. Dies ist der einzige Punkt, in dem
sich alle drei Phasen in einem thermodynamischen Gleichgewicht befinden. Der Trippelpunkt
des Wassers liegt bei pTr = 0.00611 [bar] und bei ϑTr = 0.01 [°C] = 273.16 [K].
Technische Thermodynamik
Zustandsgleichungen
20
_________________________________________________________________________
4.2 Festkörper
In Festkörpern wirken sehr starke Bindungskräfte zwischen den einzelnen Atomen und
Molekülen. Diese können daher nur sehr kleine Schwingungen um ihre Gitterplätze in der
Kristallstruktur ausführen. Auch bei höheren Drücken ändert sich das Volumen kaum. Die
allgemeine Zustandsgleichung
Gl. 4-1:
F ( p , v, T ) = 0
läßt sich also vereinfachen zu
Gl. 4-2:
F (v, T ) = 0
Die Abhängigkeit des Festkörpervolumens von der Temperatur muß jedoch insbesondere
bei der Konzeption von Bauteilen und Bauwerken, die thermischen Änderungen unterworfen
sind, z.B. Brücken, beachtet werden.
4.2.1 Thermische Längendehnung
Bei der Betrachtung schlanker Körper, bei denen der Querschnitt im Verhältnis
Gesamtlänge klein ist, genügt es lediglich die thermische Längendehnung
berücksichtigen. Die Längenänderung in Abhängigkeit von der Temperatur läßt sich
begrenzte
Temperaturintervalle
linearisieren.
Experimentell
läßt
sich
Wärmedehnungskoeffizient α bestimmen:
1 ⎛ dL ⎞
⎟
⋅⎜
L0 ⎜⎝ dϑ0 ⎟⎠
mit der Bezugstemperatur ϑ0 = 273.15 K (0°C) ergibt sich die temperaturabhängige Länge
Gl. 4-3:
α=
Gl. 4-4:
Lϑ = L0 ⋅ (1 + α ⋅ Δϑ )
Stoff
Aluminium
Blei
Chrom
Eisen
Gold
Kupfer
Magnesium
Platin
Silber
Zink
Quarzglas
Fensterglas
Tab. 4.3:
Temperaturbereich in [K]
α [K-1]
273 -373
23.7⋅10-6
273 –373
29.3⋅10-6
273 –373
8.3⋅10-6
-6
273 –373
12.3⋅10
273 –373
14.3⋅10-6
273 –373
17.0⋅10-6
273 –373
26.0⋅10-6
-6
273 –373
9.0⋅10
-6
273 –373
19.7⋅10
273 -373
29.0⋅10-6
300 - 500
0.59⋅10-6
300 - 500
7⋅10-6 - 10⋅10-6
Längenausdehnungskoeffizient α für einige feste Stoffe, [ 6]
zur
zu
für
ein
Technische Thermodynamik
Zustandsgleichungen
21
_________________________________________________________________________
Ü 4-1: Längendehnung einer Autobahnbrücke
Bei 0°C beträgt die Länge einer Autobahnbrücke 650 m. Die Temperaturschwankung beträgt
-20°C im Winter bis zu +45°C im Sommer. Der Wärmedehnungskoeffizient des bei der
Brückenkonstruktion verwendeten Stahls beträgt α = 11⋅10-6/°C.
Welcher Bewegungsspielraum
berücksichtigen?
ist
für
die
beweglichen
Auflager
der
Brücke
zu
_________________________________________________________________________
4.2.2 Thermische Flächendehnung
Die temperaturabhängige Flächendehnung ergibt sich analog zur Längendehnung. Für ein
Rechteck mit den Abmessungen a0 und b0 und zu vernachlässigender Dicke d (z.B. dünne
Folien) ergibt sich die Gesamtfläche bei der Temperatur ϑ0 zu
Gl. 4-5:
A0 = a0 ⋅ b0
Die Veränderung der Seitenlängen bei einer Temperaturänderung um Δϑ beträgt
Gl. 4-6:
bzw.
Gl. 4-7:
aϑ = a0 ⋅ (1 + α ⋅ Δϑ )
bϑ = b0 ⋅ (1 + α ⋅ Δϑ )
Die Gesamtfläche ergibt sich damit zu
Gl. 4-8:
(
Aϑ = aϑ ⋅ bϑ = A0 ⋅ 1 + 2 ⋅ α ⋅ Δϑ + α 2 ⋅ Δϑ 2
)
bei Vernachlässigung der quadratischen (kleinen) Terme (z.B. αStahl2=1.21⋅10-10) gilt
Gl. 4-9:
Aϑ = A0 ⋅ (1 + 2 ⋅ α ⋅ Δϑ )
_________________________________________________________________________
Ü 4-2: Flächendehnung einer Zinkplatte
Eine Zinkplatte (αZink = 29⋅10-6 /°C) von 2.7 m² wird von 0°C auf 20°C erwärmt.
Wie groß ist die Flächenänderung?
_________________________________________________________________________
4.2.3 Thermische Volumendehnung
Entsprechend dem Ansatz für die thermische Flächendehnung läßt sich auch die thermische
Volumenänderung von Festkörpern bestimmen. Ein Quader mit den Abmessungen a0, b0, c0
hat bei der Temperatur ϑ0 = 0 °C ein Volumen von
Gl. 4-10:
V0 = a0 ⋅ b0 ⋅ c0
Mit Veränderung der Temperatur von 0 °C auf ϑ ändert sich das Volumen entsprechend
Technische Thermodynamik
Zustandsgleichungen
22
_________________________________________________________________________
Gl. 4-11:
(
Vϑ =V0 ⋅ 1 + 3 ⋅ α ⋅ Δϑ + 3 ⋅ α 2 ⋅ Δϑ 2 + α 3 ⋅ Δϑ 3
)
bzw. nach Vernachlässigung der Glieder zweiter und dritter Ordnung
Gl. 4-12:
Vϑ = V0 ⋅ (1 + 3 ⋅ α ⋅ Δϑ )
_________________________________________________________________________
Ü 4-3: Thermische Dehnung eines Zylinderkopfes
Ein aus Aluminium gegossener Zylinderkopf hat bei 20°C ein Volumen von 2.56 ltr.
Wie groß ist die relative Volumenzunahme bei einer Temperaturerhöhung auf 98°C ?
_________________________________________________________________________
4.3 Flüssigkeiten
Flüssigkeitsteilchen lassen sich im Gegensatz zu Festkörpern relativ leicht gegeneinander
verschieben. Das Volumen ändert sich jedoch auch bei hohen Drücken nur unwesentlich.
Um das Volumen von Wasser z.B. um nur 1% zu verringern ist eine Druckerhöhung von 200
bar erforderlich. Druckunabhängige Fluide werden daher als inkompressibel bezeichnet. Die
Volumenänderung infolge von Temperaturänderung ist bei Flüssigkeiten um den Faktor 101
bis 102 geringer ausgeprägt als bei Gasen.
Stoff
Benzin
Benzol
Ethanol
Glycerin
Glykol
Methanol
Petroleum
Quecksilber
Terpentinöl
Wasser
Tab. 4.4:
γ [1/°C] bei 20°C
1.060⋅10-3
1.240⋅10-3
1.100⋅10-3
0.500⋅10-3
0.640⋅10-3
1.200⋅10-3
0.960⋅10-3
0.181⋅10-3
0.970⋅10-3
0.207⋅10-3
Volumenausdehnungskoeffizienten γ von Flüssigkeiten, [ 6]
Die Volumenänderung von Flüssigkeiten in Abhängigkeit von der Temperatur läßt sich
analog der Volumenänderung von Festkörpern bestimmen:
Gl. 4-13:
Vϑ = V0 ⋅ (1 + γ ⋅ Δϑ )
_________________________________________________________________________
Ü 4-4: Volumenänderung von Benzin
In den leeren Tank eines Fahrzeuges, der ein Volumen von 60 ltr. hat, wird Benzin eingefüllt,
das eine Temperatur von 20°C hat. Im Laufe des Tages wird ein Temperaturanstieg auf 41°C
erwartet. Um welche Menge Benzin muß die Füllmenge unter dem maximalen Tankvolumen
bleiben, wenn nichts infolge der Temperaturerhöhung ausfließen soll?
_________________________________________________________________________
Technische Thermodynamik
Zustandsgleichungen
23
_________________________________________________________________________
4.4 Ideale Gase
Die Zustandsgleichung des idealen Gases läßt sich aus zwei experimentell ermittelten
Gasgesetzen ableiten: Den Gesetzen von Gay-Lussac und Boyle-Marriotte.
4.4.1 Gesetz von Gay-Lussac
Bei konstantem Druck p wächst das Volumen V eines Gases pro Grad Erwärmung um
1/273.15 des Volumens V0, das es bei einer Temperatur von 0°C hatte.
ϑ [°C ] ⎞
⎛
V = V0 ⋅ ⎜1 +
⎟
⎝ 273.15 ⎠
Gl. 4-14:
Abb. 4-4: Gasvolumen in Abhängigkeit von der Temperatur bei unterschiedlichen Drücken
Extrapoliert man die Geraden über den gemessenen Temperaturbereich hinaus, so
schneiden sie sich alle –273.15 °C, d.h. dem absoluten Nullpunkt.
Ersetzt man die Temperatur ϑ [°C] durch die thermodynamische Temperatur T [K], d.h.
ϑ = T − 273.15°C = T − T0
Gl. 4-15:
so ergibt sich
V T
=
V0 T0
bzw.
V2 T2
=
V1 T1
(p = const.)
4.4.2 Gesetz von Boyle-Mariotte
Das Produkt aus dem Druck p und dem Volumen V eines idealen Gases ist bei
gleichbleibender Temperatur konstant.
Gl. 4-16:
p ⋅ V = const.
bzw.
p1 ⋅ V1 = p2 ⋅ V2
(T = const.)
oder
p = p(V )
Technische Thermodynamik
Zustandsgleichungen
24
_________________________________________________________________________
Trägt man die Kurven der Zustandsfunktion p = p(V) in einem p,V-Diagramm für
verschiedene Temperaturen auf, so erhält man die in Abb. 4-5 skizzierte Hyperbelschar.
Abb. 4-5:
Druck p in Abhängigkeit von V bei unterschiedlichen Temperaturen
4.4.3 Thermische Zustandsgleichung des idealen Gases
Für ideale Gase läßt sich die Zustandsgleichung aus der Verknüpfung der Gesetze von GayLussac und Boyle-Mariotte herleiten.
Zur Verdeutlichung soll ein Prozeß betrachtet werden, bei dem ausgehend von einem
Ausgangszustand 1, gekennzeichnet durch den Druck p1 und die Temperatur T1, ein
Endzustand 2, gekennzeichnet durch den Druck p2 und die Temperatur T2, erreicht werden
soll.
Dies läßt sich durch die Verkettung von zwei Teilprozessen erreichen. Im ersten Schritt
erfolgt eine Druckerhöhung von p1 auf p2 bei Beibehaltung der Temperatur T1. Nach dem
Gesetz von Boyle-Mariotte ergibt sich das Volumen nach der Druckerhöhung von p1 auf p2 zu
Gl. 4-17:
V ( p2 , T1 ) =
p1
⋅ V ( p1 , T1 )
p2
mit T1 = T2 = const.
Im zweiten Schritt wird nun die Temperatur von T1 auf T2 erhöht, wobei der bereits im ersten
Schritt erreichte Druck p2 konstant gehalten wird. Entsprechend dem Gesetz von Gay-Lussac
gilt dann
Gl. 4-18:
mit
V ( p2 , T1 ) T1
=
V ( p2 , T2 ) T2
V1 = V ( p1 , T1 ) , V2 = V ( p2 , T2 )
folgt
Gl. 4-19:
bzw.
Gl. 4-20:
p1
⋅ V1
p2
T
= 1
V2
T2
p1 ⋅ V1 p2 ⋅ V2
=
T1
T2
Technische Thermodynamik
Zustandsgleichungen
25
_________________________________________________________________________
mit dem Einsetzen des spezifischen Volumens v = V m ergibt sich
V1
V
p2 ⋅ 2
m=
m
T1
T2
p1 ⋅
Gl. 4-21:
bzw.
p1 ⋅ v1 p2 ⋅ v2
=
T1
T2
Gl. 4-22:
oder
Gl. 4-23:
⎡ J ⎤
p1 ⋅ v1
= const. ≡ R ⎢
⎥
T1
⎣ kg ⋅ K ⎦
bzw.
Gl. 4-24:
p ⋅ v = R ⋅T
Dies stellt die sogenannte thermischen Zustandsgleichung des idealen Gases dar. Die
Konstante R wird hierbei als spezifische Gaskonstante bezeichnet. Gase, die diesem Gesetz
entsprechen werden als ideale Gase bezeichnet. Die meisten Gase, die in technischen
Anwendungen zum Einsatz kommen, verhalten sich bei niedrigen Drücken und Dichten
näherungsweise wie ideale Gase. Da der Geltungsbereich der thermischen
Zustandsgleichung des idealen Gases bei technischen Prozessen nur selten überschritten
wird, stellt sie in der technischen Thermodynamik in den meisten Fällen eine ausreichend
genaue Näherung dar.
Gas
Helium
Wasserstoff
Stickstoff
Sauerstoff
Luft
Kohlenmonoxid
Kohlendioxid
Schwefeldioxid
Methan
Tab. 4.5:
He
H2
N2
O2
CO
CO2
SO2
CH4
Dichte ρ [kg/m³] Gaskonstante R [J/kg⋅K]
0.1785
2077.30
0.08987
4124.50
1.2505
296.80
1.42895
259.84
1.2928
287.10
1.2500
296.84
1.9768
188.92
2.9265
129.78
0.7168
518.26
Gaskonstanten und Dichten von Gasen bei p=1.0132 bar und T=0°C, [ 6]
_________________________________________________________________________
Ü 4-5: Berechnung der Gaskonstanten von Luft
Eine Luftmasse von m = 1.6 kg nimmt bei einem Druck von p = 1,0132 bar eine Temperatur
von T = 293 K ein Volumen V = 1.32839 m³ ein. Gesucht ist die Gaskonstante R .
_________________________________________________________________________
Technische Thermodynamik
Zustandsgleichungen
26
_________________________________________________________________________
Ersetzt man in der Zustandsgleichung des idealen Gases das spezifische Volumen durch
den Quotienten aus Volumen und Masse v = V m so erhält man
Gl. 4-25:
p ⋅ v = R ⋅ T ⇒ p ⋅V = m ⋅ R ⋅ T
Mit Ersetzen der Masse m [kg] durch das Produkt aus Stoffmenge n [1/kmol] und Molmasse
M [kg/kmol]
Gl. 4-26:
m=n⋅M
läßt sich nun die Zustandsgleichung des idealen Gases in der Form
Gl. 4-27:
p ⋅V = n ⋅ M ⋅ R ⋅ T
bzw. mit dem Molvolumen vm [m³/kmol] vm = V n folgt
Gl. 4-28:
p ⋅ vm = M ⋅ R ⋅ T
Das Produkt aus Molmasse M und Gaskonstante R läßt sich auch zusammenfassen zu
Gl. 4-29:
J
⎡
⎤
Rm = M ⋅ R = 8314.51 ⎢
⎣ kmol ⋅ K ⎥⎦
und wird auch als allgemeine, molare oder auch universelle Gaskonstante bezeichnet und
die neue Schreibweise der Zustandsgleichung des idealen Gases lautet nun
Gl. 4-30:
p ⋅ vm = Rm ⋅ T
_________________________________________________________________________
Ü 4-6: Isochore Erwärmung von Stickstoff
Ein Stahltank enthält V1 = 17.84 m³ Stickstoff bei einem Druck p1 = 2.7 bar und einer
Temperatur von ϑ1 = 19.5°C. Infolge von Schweißarbeiten an der Außenhaut steigt die
Temperatur auf ϑ2 = 48°C.
Gesucht sind die
- Stickstoffmasse mN2,
- Molzahl n,
- Druck p2 nach der Erwärmung
_________________________________________________________________________
Ü 4-7: Isobare Erwärmung von Helium
Helium wird isobar (d.h. dp = 0) von ϑ1 = -5°C auf ϑ2 = 84°C erwärmt. Gesucht ist die
prozentuale Volumenzunahme.
_________________________________________________________________________
Ü 4-8: Isotherme Kompression von idealem Gas
Ein Luftvolumen von V1 = 10.47 m³ wird isotherm (dT = 0) von p1 = 1.06 bar auf p2 = 8.72 bar
komprimiert. Gesucht ist das Volumen nach der Kompression.
_________________________________________________________________________
Technische Thermodynamik
Zustandsgleichungen
27
_________________________________________________________________________
4.4.4 Gesetz von Avogadro
Gleiche Volumen von idealen Gasen enthalten bei gleicher Temperatur und gleichem Druck
die gleiche Anzahl von Molekülen.
Daraus läßt sich die Definition des Molvolumens ableiten, d.h. der Raumbedarf für n = 1 mol
einer beliebigen Substanz. Die Anzahl der Atome bzw. Moleküle pro mol beträgt
NA = 6.0221367⋅1023 1/mol
Diese Zahl wird auch als Avogadro-Konstante oder Loschmidtsche Zahl bezeichnet.
4.4.5 Mischung idealer Gase
Häufig werden in der Technik keine reinen Gase verwendet, sondern Mischungen aus
unterschiedlichen chemisch einheitlichen Gasen. Luft stellt z.B. ein Gemisch aus Stickstoff,
Sauerstoff, Kohlendioxid, sowie einige Edelgase wie Argon und Neon dar. Zur Bestimmung
der thermodynamischen Größen wie z.B. der Gaskonstanten der Mischung ist die Kenntnis
der Zusammensetzung der Mischung sowie die Kenntnis der Gaskonstanten der
Einzelkomponenten erforderlich.
Die Zusammensetzung der Mischung läßt sich durch Angabe der Massenanteile oder
Volumenanteile beschreiben:
Massenanteile
Mit m1, m2, ..., mn ergibt sich die Gesamtmasse der Mischung zu
n
m = m1 + m2 + ..... + mn = ∑ mi
Gl. 4-31:
i =1
wobei
μi =
Gl. 4-32:
mi
⇒
m
n
∑μ
i =1
i
=1
den auf die Gesamtmasse m bezogenen Masseanteil der i-ten Komponente darstellt.
Volumenanteile
Mit V1, V2, ..., Vn werden die Volumen der einzelnen Gase vor dem Zusammenmischen
bezeichnet. Der Mischvorgang wird aus Abb. 4-6 deutlich. Druck und Temperatur bleiben bei
dem Mischungsvorgang unverändert.
Wärmeisolierung
p
p
p
V2
V
T
Abb. 4-6:
Mischung zweier Gase
V = V1+V2
T
T
Technische Thermodynamik
Zustandsgleichungen
28
_________________________________________________________________________
Analog zu den Massenanteilen lassen sich auch sich auch die Volumenanteile von Gasen
zusammenfassen
n
Gl. 4-33:
V = V1 + V2 + ..... + Vn = ∑ Vi
i =1
Der Volumenanteil ri der i-ten Komponente wird als das auf das Gesamtvolumen V bezogene
Teilvolumen Vi definiert.
Gl. 4-34:
ri =
Vi
⇒
V
n
∑ r =1
i
i =1
Gaskonstante der Mischung
Unter der Annahme, daß alle n Komponenten einer Mischung den gleichen Druck p und die
gleiche Temperatur T haben, lassen sich auch n Zustandsgleichungen aufstellen.
p ⋅ V1 = m1 ⋅ R1 ⋅ T
p ⋅ V2 = m2 ⋅ R2 ⋅ T
M
p ⋅ Vn = mn ⋅ Rn ⋅ T
Die Aufsummierung über alle n Gleichungen ergibt
Gl. 4-35:
mit
n
⎡ n
⎤
p ⋅ ∑ Vi = ⎢∑ mi ⋅ Ri ⎥ ⋅ T
i =1
⎣ i =1
⎦
mi = m ⋅ μ i
folgt
n
Gl. 4-36:
p ⋅ ∑ Vi = m ⋅
i =1
⎡n
⎤
⎢∑ μi ⋅ Ri ⎥
1
⎣ i=4
1
243⎦
⋅T
Gaskons tan te der Mischung
Die Gaskonstante der Gesamtmischung entspricht der Summe der Produkte der
Massenanteile μi und der Gaskonstanten Ri der Komponenten.
n
Gl. 4-37:
R = ∑ μ i ⋅ Ri
i =1
Sind für die einzelnen Komponenten der Mischung anstelle der einzelnen Gaskonstanten Ri
die Molmassen Mi bekannt, so läßt sich die Gaskonstante der Mischung mit Hilfe der
universellen Gaskonstante Rm berechnen.
Gl. 4-38:
Rm = Ri ⋅ M i
Gl. 4-39:
R = Rm ⋅ ∑
n
μi
i =1
Mi
Molmasse der Mischung
Die Molmasse der Mischung, bzw. der Mittelwert der Molmassen M ergibt sich aus
Technische Thermodynamik
Zustandsgleichungen
29
_________________________________________________________________________
n
M = ∑ ri ⋅ M i
Gl. 4-40:
i =1
Dichte der Mischung
n
Gl. 4-41:
ρ = ∑ ri ⋅ ρ i
i =1
Beziehung zwischen Massenanteilen und Raumanteilen
Gl. 4-42:
μi =
mi ni ⋅ M i
M
R
=
= ri ⋅ i = ri ⋅
Ri
m n⋅M
M
Partialdrücke
Theoretisches Konstrukt: Während des Mischungsvorganges expandiert jede
Teilkomponente von seinem Anfangsvolumen Vi auf das größere Volumen V und sein Druck
sinkt damit von pi auf p. Der Druck der Komponente in der Mischung wird als Teildruck oder
auch als Partialdruck bezeichnet. Dieser Partialdruck läßt sich lediglich rechnerisch ermitteln,
nicht jedoch meßtechnisch bestimmen. Die Berechnung von Partialdrücken basiert auf dem
Gesetz von Dalton:
In einer idealen Gasmischung verhält sich jede Komponente so als wäre sie allein
vorhanden.
Die Zustandsgleichungen der idealen Gase nach der Mischung lauten somit
p1 ⋅ V = m1 ⋅ R1 ⋅ T
p 2 ⋅ V = m 2 ⋅ R2 ⋅ T
M
p n ⋅ V = m n ⋅ Rn ⋅ T
wobei p1, p2, ...., pn die Partialdrücke der Einzelgase in der Mischung bezeichnen.
Die Addition der einzelnen Zustandsgleichungen liefert
Gl. 4-43:
⎡ n
⎤
⎡ n
⎤
⎡n
⎤
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
p
V
m
R
T
m
∑
∑
i
i
i
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢∑ μ i ⋅ Ri ⎥ ⋅ T
⎣ i =1 ⎦
⎣ i =1
⎦
⎣ i =1
⎦
Der Gesamtdruck in der Mischung entspricht der Summe der Partialdrücke
n
Gl. 4-44:
p = p1 + p 2 + ..... + p n = ∑ pi
i =1
Die Bestimmung des Partialdrucks pi einer Komponente i in einer Gasmischung erfolgt aus
dem Volumenanteil und dem Gesamtdruck p der Mischung
Gl. 4-45:
pi = ri ⋅ p
Technische Thermodynamik
Zustandsgleichungen
30
_________________________________________________________________________
Ü 4-9: Luft
Die Zusammensetzung von Luft unter Normalbedingungen besteht aus ca.
-Stickstoff:
78 % (Volumen)
- Sauerstoff: 21%
- Argon:
1%
Gesucht sind
- Molmasse MLuft
- Gaskonstante RLuft
- Dichte im Normzustand ρn
- Partialdrücke der Komponenten pi
_________________________________________________________________________
4.5 Reale Gase
Experimentelle Untersuchungen bezüglich der Genauigkeit mit der reale Gase durch die
Zustandsgleichung für ideale Gase approximiert werden, zeigen, daß reale Gase sich mit
abnehmenden Druck dem Grenzwert
Gl. 4-46:
p ⋅v
=1
p →0 R ⋅ T
lim
annähern. Dies bedeutet, daß reale Gase sich bei kleinen Drücken näherungsweise wie
ideale Gase verhalten. Bei höheren Drücken zeigen sich somit größere Abweichungen vom
Verhalten eines idealen Gases und die die Zustandsgleichung kann durch Einführung eines
Korrekturfaktors erweitert werden. Dieser Korrekturfaktor wird auch als Realgasfaktor Z
bezeichnet. Die Zustandsgleichung für reale Gase lautet somit:
Gl. 4-47:
p⋅v
= Z ⇔ p ⋅ v = Z ⋅ R ⋅T
R ⋅T
Der Realgasfaktor Z ist eine Funktion, die von dem jeweiligen Stoff, der Temperatur und dem
Druck abhängt. Die Bestimmung von Z erfolgt experimentell.
In Abb. 4-7 ist der Verlauf des Realgasfaktors von Luft in Abhängigkeit von der Temperatur
für unterschiedliche Drücke dargestellt. Es wird deutlich, daß sich Luft bis zu Drücken von
ca. p = 10 bar, in dem Temperaturbereich von T = 270 K bis T = 1000 K, ohne größeren Fehler
als Realgas approximieren läßt.
Technische Thermodynamik
Zustandsgleichungen
31
_________________________________________________________________________
Abb. 4-7:
Realgasfaktor Z für Luft bei unterschiedlichen Drücken, [ 6]
4.6 Dämpfe
Dämpfe unterscheiden sich in ihren physikalischen Eigenschaften nicht von Gasen.
Allerdings bilden sie, sofern sie sich im thermodynamischen Gleichgewicht befinden, ein
Zweiphasensystem.
4.6.1
Dampfarten
Der Phasenübergang von der flüssigen in die gasförmige Phase erfordert die Zufuhr von
Wärme. Die unterschiedlichen Arten von Dampf, die bei dem Prozeß einer isobaren
Erwärmung (d.h. dp = 0)durchlaufen werden, sollen anhand von Abb. 4-8 und Abb. 4-9 näher
erläutert werden.
Abb. 4-8:
Verschiedene Stadien des Verdampfungsprozesses
Technische Thermodynamik
Zustandsgleichungen
32
_________________________________________________________________________
Abb. 4-9:
Zustandsänderungen von Wasser beim Erwärmen und Verdampfen bei p = const.
Bei Umgebungstemperatur T1 befindet sich das Wasser in der flüssigen Phase und hat ein
spezifisches Volumen v1 (Zustand 1). Bei Erwärmung auf die Temperatur T2 = 99.6°C
vergrößert sich sein spezifisches Volumen auf v2 (Zustand 2). Dies entspricht der
Siedetemperatur von Wasser bei p = 1 bar. Bei weiterer Wärmezufuhr bildet sich mehr Dampf
und das spezifische Volumen vergrößert sich auf v3 (Zustand 3).
Bei weiterer Wärmezufuhr bleibt die Temperatur solange konstant, bis das Wasser
vollständig in die Gasphase übergegangen ist (Zustand 4). Der Bereich des Prozesses von
Zustand 2 bis Zustand 4 wird als Naßdampf bezeichnet und stellt ein Zweiphasengemisch
dar. Aufgrund der Schwerkraft bildet sich eine deutliche Trennfläche zwischen der flüssigen
und der gasförmigen Phase (= gesättigter Dampf) aus.
Ist der letzte Rest Wasser von der flüssigen Phase in die Gasphase übergegangen, so steigt
bei weiterer Wärmezufuhr auch wieder die Temperatur und auch sein spezifisches Volumen
an (Zustand 5). das Wasser, das sich nun vollständig in der Gasphase befindet, wird auch
als überhitzter Dampf bezeichnet.
Dieser isobare Verdampfungsprozeß läßt sich für unterschiedliche Drücke wiederholen,
solange der Druck zwischen dem Druck des Trippelpunktes und dem Druck des kritischen
Punktes liegt. Bei Drücken oberhalb des kritischen Punktes lassen sich bei dem
Verdampfungsprozeß nicht mehr gleichzeitig zwei deutlich unterscheidbare Phasen mehr
beobachten. Flüssigkeits- und Gasgebiet gehen kontinuierlich ineinander über. Eine
sinnvolle Grenze zwischen Flüssigkeit und Gas existiert nicht mehr.
4.6.2
Dampfdruckkurven
Bei Verdampfung unter konstantem Druck bleibt auch die Temperatur konstant. Zu jedem
Druck gehört auch eine bestimmte Siedetemperatur und umgekehrt gehört auch zu jeder
Temperatur ein bestimmter Druck, bei dem die Flüssigkeit verdampft. Kaffeewasser kocht
z.B. in großer Höhe im Gebirge (= geringerer Druck) bereits bei einer spürbar geringeren
Temperatur als in Meereshöhe.
Dieser Druck wird auch als Dampfdruck oder Sättigungsdruck einer Flüssigkeit bezeichnet.
Technische Thermodynamik
Zustandsgleichungen
33
_________________________________________________________________________
Die Dampfdruckkurve p = p (T ) erscheint im p,T-Diagramm als Projektion des Naßdampfgebietes und verläuft vom Trippelpunkt zum kritischen Punkt. Die Dampfdruckkurve ist eine
stoffspezifische Größe und muß für jeden Stoff experimentell ermittelt werden.
Abb. 4-10:
4.6.3
Dampfdruckkurven verschiedener Stoffe im p,T-Diagramm, [ 2]
Grenzkurven
Die thermischen Daten von Dämpfen, wie sie in technischen Anwendungen Verwendung
finden, sind in sogenannten Sättigungsdampftafeln aufgelistet. Sie enthalten für den
entsprechenden Stoff u.a. die Dampfdruckkurve, also die Wertepaare des Sättigungsdrucks
ps und der Sättigungstemperatur Ts sowie die spezifischen Volumen des Stoffes auf der
Siedelinie v' und auf der Taulinie v''.
Trägt man die Sättigungsdrücke und die dazugehörigen spezifischen Volumina v' und v'' über
dem spezifischen Volumen v auf, so entsteht eine Grenzkurve, die das Naßdampfgebiet
umschließt, Abb. 4-11. Der Ast links von dem kritischen Punkt wird als untere Grenzkurve
bezeichnet und entspricht der Siedelinie. Der rechte Ast der Grenzkurve wird als obere
Grenzkurve bezeichnet und entspricht der Taulinie.
Mit zunehmendem Sättigungsdruck verringert sich die bei dem Übergang von der flüssigen
in die gasförmige Phase zu verzeichnenden Volumenzunahme
Gl. 4-48:
Δv = v′′ − v′
um im kritischen Punkt, bei dem kritischen Druck pkr und der kritischen Temperatur Tkr
vollständig zu verschwinden.
Technische Thermodynamik
Zustandsgleichungen
34
_________________________________________________________________________
Abb. 4-11:
4.6.4
Grenzkurven des Naßdampfgebietes im p,v-Diagramm,[ 2]
Thermische Zustandsgleichung von Dampf
Das Naßdampfgebiet stellt ein Zweiphasengebiet dar, in dem im Zustand des
thermodynamischen Gleichgewichts die flüssige und die gasförmige Phase den gleichen
Druck und die gleiche Temperatur haben. Druck und Temperatur sind nicht voneinander
unabhängig, sondern sind über die Dampfdruckkurve miteinander verknüpft. Zur
vollständigen Beschreibung des Zustands ist nicht nur die Angabe von Druck und
Temperatur erforderlich, sondern auch eine Angabe über das Mengenverhältnis der beiden
Phasen.
Das Mengenverhältnis wird auch als Dampfgehalt x bezeichnet, wobei m' die Masse der
flüssigen Phase und m'' die Masse der gasförmigen Phase kennzeichnet.
Gl. 4-49:
x=
m′′
m′′
=
m′ + m′′ m
Für alle Punkte, die auf der linken Grenzkurve (Siedelinie) liegen, gilt wegen m'' = 0 auch
x = 0. Entsprechend gilt für alle Punkte, die auf der rechten Grenzkurve (Taulinie) liegen, gilt
wegen m' = 0 auch x = 1. der Dampfgehalt x kann also nur zwischen den Grenzen 0 und 1
variieren.
Der Term
Gl. 4-50:
1− x =
m′
m
beschreibt den Flüssigkeitsanteil des Naßdampfes, der noch nicht in die gasförmige Phase
übergegangen ist und wird als Nässe oder auch Restfeuchte bezeichnet.
Die thermische Zustandsgleichung von Naßdampf ergibt sich aus der Volumenbilanz
Gl. 4-51:
bzw.
V = V ′ + V ′′
Gl. 4-52:
m ⋅ v = m′ ⋅ v ′ + m′′ ⋅ v ′′ ⇔ v =
m′′
m′
⋅ v′ +
⋅ v ′′
m
m
Technische Thermodynamik
Zustandsgleichungen
35
_________________________________________________________________________
Mit der Definition der Restfeuchte Gl. 4-50 folgt
Gl. 4-53:
v = (1 − x ) ⋅ v ′ + x ⋅ v ′′ = v ′ + x ⋅ (v ′′ − v ′)
Damit läßt sich der Naßdampfzustand auf jeder Isobare durch die spezifischen Volumina in
Abhängigkeit vom Dampfgehalt beschreiben.
Bei Kenntnis der spezifischen Volumina v' und v'' ergibt sich der Dampfgehalt x zu:
Gl. 4-54:
x=
v − v′
v ′′ − v ′
Der thermische Zustand des Naßdampfes läßt sich also beschreiben durch die Funktion
Gl. 4-55:
v = v( p (T ), x )
_________________________________________________________________________
Ü 4-10:
Für eine Sättigungstemperatur von 25°C sind für Wasser folgende Größen zu bestimmen:
ps
- Sättigungsdruck
- Spezifische Volumina auf der Siede- und Taulinie v' und v''
- Spezifisches Volumen v für einen Dampfgehalt von x = 37%
_________________________________________________________________________
Technische Thermodynamik
Kinetische Gastheorie
36
_________________________________________________________________________
5 Kinetische Gastheorie
5.1 Druck als Ergebnis von Stoßvorgängen
Im Gegensatz zur klassischen Thermodynamik, deren Erkenntnisse auf der experimentellen
Untersuchung thermodynamischer Prozesse beruhen, betrachtet die kinetische Gastheorie,
als Teil der statistischen Thermodynamik, die mikroskopische Struktur der gasförmigen
Materie. Die Beschreibung der Stoffeigenschaften und Gesetzmäßigkeiten erfolgt hier rein
theoretisch auf der Basis der klassischen Mechanik und der Statistik.
Dabei geht die kinetische Gastheorie von der vereinfachenden Annahme aus, daß die Atome
und Moleküle durch Massepunkte, bzw. kleinen Kugeln, repräsentiert werden, die sich in
einer permanenten, ungeordneten Bewegung befinden. Die Massepunkte bewegen sich
dabei auf geradlinigen Bahnen mit einer gleichförmigen Geschwindigkeit. Stoßvorgänge
zwischen einzelnen Teilchen oder mit einer Wand, entsprechen elastischen Stößen.
Aufgrund der (angenommenen) geringen Dichte sind Anziehungskräfte zwischen den
Teilchen vernachlässigbar.
Ausgehend von diesen Annahmen, lassen sich so bei Kenntnis der mikroskopischen Daten
eines Systems, wie der Anzahl der im Volumen enthaltenen Teilchen, ihrer Masse und
Geschwindigkeit die makroskopischen Größen eines Systems, wie z.B. Druck, Volumen und
Temperatur berechnen.
_________________________________________________________________________
Impuls und Stoß
Elastischer Stoß
Bei einem elastischen Stoß bewegen sich die Körper während einer kurzen
Berührungsphase mit einer gemeinsamen Geschwindigkeit, dann stoßen sie sich wieder ab
und bewegen sich mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten weiter.
c2
c1
m1
m2
c
m1 + m2
c1'
m1
Abb. 5-1:
Elastischer Stoß
c2'
m2
Technische Thermodynamik
Kinetische Gastheorie
37
_________________________________________________________________________
Impulssatz
Gl. 5-1:
Gl. 5-2:
′
′
m1 ⋅ c1 + m2 ⋅ c2 = m1 ⋅ c1 + m2 ⋅ c2
′
′
m1 ⋅ ⎛⎜ c1 − c1 ⎞⎟ = m2 ⋅ ⎛⎜ c2 − c2 ⎞⎟
⎝
⎝
⎠
⎠
Energiesatz
Gl. 5-3:
′2
′2
2
2
m1 ⋅ c1
m2 ⋅ c2
m1 ⋅ c1
m2 ⋅ c 2
+
=
+
2
2
2
2
Umformen und Einsetzen in den Impulssatz ergibt die Geschwindigkeiten nach dem
elastischen Stoß
Gl. 5-4:
Gl. 5-5:
′ (m − m2 ) ⋅ c1 + 2 ⋅ m2 ⋅ c2
c1 = 1
m1 + m2
′ (m − m2 ) ⋅ c2 + 2 ⋅ m1 ⋅ c1
c2 = 1
m1 + m2
Die beiden Körper erfahren keine bleibenden Verformungen, die Summe
Bewegungsenergie vor und nach dem elastischen Stoß bleibt gleich d.h. Ekin = Ekin'.
der
Unelastischer Stoß
Sind die an dem Stoßvorgang beteiligten Körper unelastisch, so verformen sie sich an den
Berührungsstellen und bewegen sich dann mit gemeinsamer Geschwindigkeit weiter.
c2
c1
m1
m2
c
m1 + m2
Abb. 5-2:
Unelastischer Stoß
Geschwindigkeit c nach dem Stoß folgt aus Impuls- und Energiesatz:
Gl. 5-6:
Gl. 5-7:
m1 ⋅ c1 + m2 ⋅ c2 = (m1 + m2 ) ⋅ c
m ⋅ c + m2 ⋅ c2
c= 1 1
m1 + m2
Technische Thermodynamik
Kinetische Gastheorie
38
_________________________________________________________________________
Die geleistete Verformungsarbeit ΔW ergibt sich aus der Differenz der Bewegungsenergien
W1 und W2 vor und nach dem Stoß:
m1 ⋅ c1
m ⋅c
+ 2 2
2
2
(
m1 + m2 ) ⋅ c 2
W2 =
2
2
m ⋅ m ⋅ (c − c )
ΔW = W1 − W2 = 1 2 1 2
2 ⋅ (m1 + m2 )
2
Gl. 5-8:
Gl. 5-9:
Gl. 5-10:
Abb. 5-3:
2
W1 =
Kontrollvolumen
Innerhalb des in Abb. 5-3 skizzierten Quaders befinden sich N Gasteilchen mit der Masse mT.
Aus der Gesamtmenge soll ein Teilchen i, 1 ≤ i ≤ N betrachtet werden: der Impuls I dieses
Teilchens beträgt
Gl. 5-11:
I = mT ⋅ c
Beim elastischen Aufprall auf die Wand ändert sich die y-Komponente des Impulses
Gl. 5-12:
mT ⋅ c y ,i → mT ⋅ (− c y ,i )
d.h.
Gl. 5-13:
ΔI y ,i = I y ,i (t + Δt ) − I y ,i (t ) = mT ⋅ (− c y ,i ) − mT ⋅ c y ,i = − 2 ⋅ mT ⋅ c y ,i
Mit der Differenzierung des Impulses nach der Zeit ergibt sich die Kraft auf die Wand:
Gl. 5-14:
F=
ΔI y ,i 2 ⋅ mT
∂I
⇒ FT ,i =
=
⋅ c y ,i
∂t
Δt
Δt
Der Betrag der gesamten auf die rechte Wand übertragenen Kraft F ergibt sich aus der
Summation der Impulsänderungen aller Gasteilchen ΔN, die im Zeitintervall Δt auf die rechte
Wand auftreffen.
ΔN
Gl. 5-15:
F = ∑ Fi =
i =1
2 ⋅ mT ΔN
⋅ ∑ c y ,i
Δt
i =1
Mit der mittleren Geschwindigkeit der Teilchen in y-Richtung ergibt sich für die Kraft F:
Technische Thermodynamik
Kinetische Gastheorie
39
_________________________________________________________________________
Gl. 5-16:
F = ΔN ⋅
2 ⋅ mT
⋅
Δt
cy
2
Die Anzahl ΔN der Teichen, die in dem Zeitintervall Δt auf die rechte Wand treffen, berechnet
sich wie folgt: Es können nur diejenigen Teilchen auftreffen, die sich im Abstand
Gl. 5-17:
Δy =
cy
2
⋅ Δt
von der Wand befinden, also in der Volumenscheibe ΔV
Gl. 5-18:
ΔV = Δy ⋅ A =
cy
⋅ Δt ⋅ A
2
Die Anzahl der Teilchen NΔV in der Volumenscheibe ΔV beträgt
Gl. 5-19:
N ΔV =
N
N
⋅ ΔV = ⋅
V
V
cy
2
⋅ Δt ⋅ A
Im statistischen Mittel bewegen sich gleichzeitig genauso viele Teilchen nach rechts wie
nach links, d.h. die Anzahl der Teilchen, die sich im Zeitintervall Δt auf die rechte Wand zu
bewegen entspricht der Hälfte der Teilchen, die sich in der Volumenscheibe ΔV befinden,
also
Gl. 5-20:
1
1 N
ΔN = ⋅ N ΔV = ⋅ ⋅
2
2 V
cy
2
⋅ Δt ⋅ A
Einsetzen von ΔN in die Gleichung für die Druckkraft (Gl. 5-16) ergibt
Gl. 5-21:
F=
N
2
⋅ mT ⋅ c y ⋅ A
V
bzw. für den Druck auf die Wandfläche A:
Gl. 5-22:
p=
F N
2
= ⋅ mT ⋅ c y
A V
Da die Bewegung der Teilchen beliebig mit gleicher Wahrscheinlichkeit in alle Richtungen
erfolgt, gilt:
2
= cy
Gl. 5-23:
cx
Gl. 5-24:
c 2 = cx
2
2
= cz
+ cy
2
2
+ cz
2
läßt sich eine mittlere Geschwindigkeit, die sogenannte mittlere thermische Geschwindigkeit
definieren:
Gl. 5-25:
mit
c=
cx
2
+ cy
2
+ cz
2
Technische Thermodynamik
Kinetische Gastheorie
40
_________________________________________________________________________
Gl. 5-26:
1
c y2 = ⋅ c 2
3
läßt sich für den Druck p somit schreiben
Gl. 5-27:
1 N
p = ⋅ ⋅ mT ⋅ c 2
3 V
5.2 Temperatur als Maß der kinetischen Energie
Gleichung Gl. 5-27 für den Druck läßt sich auch schreiben als
Gl. 5-28:
p ⋅V =
2
1
⋅ N ⋅ ⋅ mT ⋅ c 2
3
2
mit der mittleren kinetischen Energie ET eines Teilchen
Gl. 5-29:
ET =
1
⋅ mT ⋅ c 2
2
folgt
Gl. 5-30:
p ⋅V =
2
⋅ N ⋅ ET
3
Der Vergleich mit der thermischen Zustandsgleichung des idealen Gases
Gl. 5-31:
p ⋅ V = m ⋅ R ⋅ T = N ⋅ mT ⋅ R ⋅ T
zeigt, daß die mittlere kinetische Energie
thermodynamischen Temperatur T des Gases ist:
Gl. 5-32:
eines
Gasteilchens
proportional
der
3
ET = ⋅ mT ⋅ R ⋅ T
2
Die gesamte kinetische Energie aller N Teilchen, die sich im Volumen V befinden ergibt sich
mit m = N ⋅ mT zu
N
Gl. 5-33:
∑E
i =1
T
3
= ⋅ m ⋅ R ⋅T
2
Die absolute Temperatur T stellt somit ein Maß für die innere Energie der Gasmasse dar.
Ersetzt man die Masse m durch das Produkt aus Teilchenanzahl n und Molmasse M, d.h.
m = n ⋅ M und die stoffspezifische Gaskonstante R durch die universelle Gaskonstante Rm,
R = Rm M , dann erhält man für die gesamte kinetische Energie des Systems
N
Gl. 5-34:
∑E
i =1
T
3
= ⋅ n ⋅ Rm ⋅ T
2
Technische Thermodynamik
Kinetische Gastheorie
41
_________________________________________________________________________
Dies zeigt, daß die gesamte kinetische Energie lediglich von der Temperatur und der Anzahl
der Teilchen abhängt, nicht jedoch von der Teilchenmasse.
Gleichsetzen von Gl. 5-29 mit Gl. 5-32, d.h.
ET =
1
3
⋅ mT ⋅ c 2 = ⋅ mT ⋅ R ⋅ T
2
2
ergibt die mittlere thermische Geschwindigkeit als Funktion der Temperatur
Gl. 5-35:
c = 3⋅ R ⋅T
_________________________________________________________________________
Ü 5-1: Mittlere thermische Geschwindigkeit eines Luftmoleküls
Berechnen Sie die mittlere thermische Geschwindigkeit eines Luftmoleküls bei Standardbedingungen
T
RLuft
= 288.15 [K] (=15°C)
= 287.1 [J/kg⋅K]
_________________________________________________________________________
Technische Thermodynamik
Erster Hauptsatz der Thermodynamik
42
_________________________________________________________________________
6 Der erste Hauptsatz der Thermodynamik
6.1 Der erste Hauptsatz für geschlossene Systeme
6.1.1 Inhalt des ersten Hauptsatzes
Der erste Hauptsatz der Thermodynamik formuliert das Prinzip von der Erhaltung der
Energie. Dies erfordert eine Beschreibung der Größen Arbeit, Energie und Wärme. Bei der
Formulierung des ersten Hauptsatzes ist zu unterscheiden zwischen der in einem System
gespeicherten Energie und der Energie, die während eines Prozesses die Systemgrenze
überschreitet. Die in einem System gespeicherte Energie, sein Energieinhalt, besteht aus
kinetischer, potentieller und innerer Energie und stellt eine Zustandsgröße des Systems dar.
Die Energie, die während eines Prozesses die Systemgrenze überschreitet, stellt dabei keine
Zustandsgröße dar. Diese Energie wird in Arbeit und Wärme aufgeteilt. Das Verrichten von
Arbeit und das Übertragen von Wärme stellen zwei unterschiedliche physikalische
Verfahrensweisen dar um Energie über die Systemgrenzen zu transportieren. Das Prinzip
von der Erhaltung der Energie führt schließlich zu einer Energiebilanz, die die Änderung der
im System gespeicherten Energie mit der Energie verknüpft, die in Form von Wärme oder
Arbeit über die Systemgrenzen transportiert wurde.
6.1.2 Mechanische Arbeit und mechanische Energie
Allgemein
Eine Kraft verrichtet Arbeit, wenn unter ihrem Einfluß ein Körper bewegt oder verformt wird.
Arbeit als Skalarprodukt zweier Vektoren:
r
r
Bei Verschiebung des Angriffspunktes einer konstanten Kraft F um die Strecke s wird die
Arbeit W verrichtet.
Gl. 6-1:
Abb. 6-1:
r r r r
W = F ⋅ s = F ⋅ s ⋅ cos α = F ⋅ s ⋅ cos α , α ≤ 0 ≤ 180°
Skalarprodukt zweier Vektoren
Technische Thermodynamik
Erster Hauptsatz der Thermodynamik
43
_________________________________________________________________________
Bewegung eine punktförmigen Masse
Zur Verdeutlichung der Energieübertragung soll die Bewegung einer punktförmigen Masse m
im Raum betrachtet werden. Unter dem Einfluß einer Kraft bewegt sich dieser Massepunkt
r
entlang einer räumlichen Bahn, die durch den Ortsvektor r (t ) beschrieben wird.
r
r
Die Kraft selbst ist abhängig von der Bahnkurve, d.h. F = F (r ) .
Abb. 6-2:
Bahnkurve eines Massepunktes im Raum
r
r
Mit der auf der Bahnkurve zurückgelegten Strecke ds = dr ergibt sich die zwischen zwei
Punkten auf der Bahnkurve geleistete Arbeit
2 r
r
W12 = ∫ F dr
r
Gl. 6-2:
r1
Mit der Newton'schen Definition für Kraft, d.h. Kraft gleich Masse mal Beschleunigung
Gl. 6-3:
r
r
r
dc
F =m⋅a=m⋅
dt
ergibt sich für die Arbeit W12, die geleistet werden muß um den Massepunkt von (1) nach (2)
zu bewegen
r
c2 r
c2
r 1
dc r
dr r
1
2
2
W12 = ∫ m ⋅ dr = m ⋅ ∫ dc = m ⋅ ∫ c dc = ⋅ m ⋅ c 2 − ⋅ m ⋅ c1
dt
dt
2
2
r1
c1
c1
r2
Gl. 6-4:
Die beiden letzten Terme entsprechen der kinetischen Energie des Massepunktes in den
r
Punkten 1 und 2, d.h. die Arbeit, die von der Kraft F durch Verschiebung des Massepunktes
m auf der Bahnkurve geleistet wurde, ist gleich der Änderung der kinetischen Energie.
Gl. 6-5:
W12 = E kin, 2 − E kin ,1
Technische Thermodynamik
Erster Hauptsatz der Thermodynamik
44
_________________________________________________________________________
Bewegung eines Massepunktes im Schwerefeld der Erde
Im Schwerefeld der Erde erfährt jeder Körper eine zum Erdmittelpunkt gerichtete
Gewichtskraft FG. Damit erweitert sich die in Abb. 6-3 dargestellt Kräfteverteilung auf den
Massepunkt, der auf einer Bahnkurve bewegt wird entsprechend.
Abb. 6-3:
Mit
Gl. 6-6:
Kräfteverteilung an einem Massepunkt im Gravitationsfeld
r
r r
F = FG + FA
r
ergibt sich die von der Kraft F an dem Massepunkt m zu verrichtende Arbeit zu
Gl. 6-7:
r2
r r r2 r r
W12 = WG ,12 + W A,12 = ∫ FG dr + ∫ FA dr
r1
r1
Unter der Annahme einer konstanten Erdbeschleunigung g = const., ergibt sich für die
Gewichtskraft FG
Gl. 6-8:
r
FG = − m ⋅ g ⋅ ez
und somit für die Arbeit WG,12
Gl. 6-9:
r2
z2
r r
WG ,12 = ∫ FG dr = − ∫ m ⋅ g dz = − m ⋅ g ⋅ ( z 2 − z1 )
r1
z1
mit der Definition für die potentielle Energie E pot = m ⋅ g ⋅ z erhält man
Gl. 6-10:
WG ,12 = − (E pot , 2 − E pot ,1 )
Die gesamte zwischen den beiden Punkten verrichtete Arbeit beträgt somit
Gl. 6-11:
W12 = E kin, 2 − E kin,1 = − (E pot , 2 − E pot ,1 ) + W A,12
oder
Gl. 6-12:
E kin ,1 + E pot ,1 + W A,12 = E kin , 2 − E pot , 2
Die mechanische Gesamtenergie des Systems ergibt sich zu
Technische Thermodynamik
Erster Hauptsatz der Thermodynamik
45
_________________________________________________________________________
Gl. 6-13:
E mech = E kin + E pot
Arbeit und mechanische Energie sind Größen gleicher Art. Der Energiesatz der Mechanik
lautet somit
Gl. 6-14:
W A,12 = E mech, 2 − E mech,1
Der Anteil WA,12 stellt dabei den Anteil der Arbeit dar, der nicht aus einem konservativen
Kraftfeld abgeleitet werde kann. Konservative Kraftfelder, wie z.B. das Gravitationsfeld der
Erde, sind dadurch gekennzeichnet, daß die Arbeit infolge dieser Kräfte wegunabhängig ist.
_________________________________________________________________________
Ü 6-1: Beschleunigung eines Fahrzeugs
Ein Fahrzeug mit einer Masse m = 1750 kg wird t = 6.9 s lang mit a = 0.38 g beschleunigt. Der
Rollwiderstand wird mit μ = 0.014 abgeschätzt, der aerodynamische Widerstand wird
vernachlässigt.
Welche Arbeit wird von der Antriebskraft in dem Zeitintervall Δt = 6.9 s geleistet?
FT=m⋅a
FA
FR=μ⋅ 0.5⋅FG
FR=μ⋅ 0.5⋅FG
FG=m⋅g
Abb. 6-4:
Beschleunigung eines Fahrzeuges
_________________________________________________________________________
6.1.3 Volumenänderungsarbeit
Arbeit läßt sich auf ein ruhendes System nur durch Bewegung der Systemgrenzen oder
zumindest Teilen der Systemgrenzen übertragen. Ändert sich infolge der Deformation der
Systemgrenzen auch das Systemvolumen, so spricht man von Volumenänderungsarbeit.
Als Beispiel soll die in einem Kolben eingeschlossene Gasmasse betrachtet werden.
Abb. 6-5:
Volumenänderungsarbeit infolge einer Kolbenbewegung
Technische Thermodynamik
Erster Hauptsatz der Thermodynamik
46
_________________________________________________________________________
Die bei einer Verschiebung ds des Kolbens geleistete Volumenänderungsarbeit dWV
entspricht
Gl. 6-15:
dWV = p ⋅ A ⋅ ds
Die Änderung des Systemvolumens beträgt hierbei
Gl. 6-16:
dV = A ⋅ ds
Es wird vereinbart, daß zugeführte Energie oder Arbeit ein positives Vorzeichen und
abgeführte Energie oder Arbeit ein negatives Vorzeichen erhält. Damit ergibt sich für die
Volumenänderungsarbeit dWV
Gl. 6-17:
dWV = − p ⋅ dV
bei einer Kompression mit dV < 0 ein positiver Wert, d.h. dem System wird Arbeit zugeführt.
Bei einer Expansion mit dV > 0, nimmt die Volumenänderungsarbeit einen negativen Wert an,
d.h. das System gibt Arbeit ab.
Die Volumenänderungsarbeit für die Volumenänderung von V1 auf V2 ergibt sich zu
2
Gl. 6-18:
WV 12 = − ∫ p ⋅ dV
1
Bezieht man das Volumen V auf die Systemmasse m, so erhält man mit dem spezifischen
Volumen v die spezifische Volumenänderungsarbeit.
2
Gl. 6-19:
wV 12 = − ∫ p ⋅ dv
1
Bei einer quasistatischen Zustandsänderung entspricht der Druck in dem Volumen dem am
Kolbenboden und läßt sich über die thermische Zustandsgleichung p=p(V,T) berechnen. Der
Übergang vom Zustand 1 zu einem Zustand 2 verläuft auf einer prozeßabhängigen Kurve,
z.B. einer Isotherme (dT = 0). Die Fläche unter dieser Kurve entspricht der bei diesem
Prozeß zu- bzw. abgeführten Volumenänderungsarbeit.
Abb. 6-6:
Volumenänderungsarbeit im p,V-Diagramm bei a) Kompression, b) Expansion
Technische Thermodynamik
Erster Hauptsatz der Thermodynamik
47
_________________________________________________________________________
Verläuft dieser Prozeß unter einem Umgebungsdruck, so wird während der Kolbenbewegung
auch Arbeit an die Umgebung abgegeben, bzw. von ihr geleistet. Die Kolbenstangenkraft
beträgt
Gl. 6-20:
FN = ( p − pU ) ⋅ A
Die verbleibende Nutzarbeit berechnet sich zu
2
1
1
W N 12 = WV 12 − pU ⋅ (V1 − V2 )
Gl. 6-22:
Abb. 6-7:
2
W N 12 = ∫ FN ⋅ ds = ∫ ( p − pU ) ⋅ A ⋅ ds
Gl. 6-21:
Volumenänderungsarbeit im p,V-Diagramm bei Umgebungsdruck
_________________________________________________________________________
Ü 6-2: Isotherme Kompression von Luft
Ein reibungsfrei gleitender Kolben mit einem Durchmesser von d = 100mm verdichtet Luft
isotherm vom Volumen V1 = 0.18 m³ auf V2 = 0.03 m³. Der Anfangsdruck beträgt p1 = 1340
hPa. Der Umgebungsdruck beträgt pu = 980hPa.
Gesucht sind die erforderliche Kolbenkraft FN und die verrichtete Nutzarbeit WN12.
_________________________________________________________________________
6.1.4 Wellenarbeit
Zur Definition der Wellenarbeit soll eine Welle, die in das System hinein ragt, z.B. die
Antriebswelle eines Rührwerks, betrachtet werden. Die Systemgrenze durchschneidet die
Welle und bildet als rotierende Kreisfläche einen beweglichen Teil der Systemgrenze, Abb.
6-8. In dieser Schnittfläche greifen, die durch die Torsionswirkung des Drehmoments
verursachten Schubspannungen τ an.
Technische Thermodynamik
Erster Hauptsatz der Thermodynamik
48
_________________________________________________________________________
Abb. 6-8:
Zur Berechnung der Wellenarbeit
Mit der auf ein Flächenelement dA wirkenden Tangentialkraft Fτ
Gl. 6-23:
Fτ = τ (r ) ⋅ dA = τ (r ) ⋅ r ⋅ dα ⋅ dr
ergibt sich das auf den Flächenmittelpunkt bezogen Moment infolge dieser Tangentialkraft zu
Gl. 6-24:
dM τ = Fτ ⋅ r = τ (r ) ⋅ r 2 ⋅ dα ⋅ dr
Die Arbeit aller im Zeitintervall Δt angreifenden Tangentialkräfte Fτ berechnet sich aus der
Integration über den Wellenquerschnitt
Gl. 6-25:
dW = ∫ dWτ = ∫ dM τ ⋅ dϕ = M τ ⋅ dϕ
( A)
( A)
Das von der Schubspannung erzeugte Drehmoment Mτ ist gleich dem von der Welle
übertragenen Drehmoment MW, d.h. M τ = M W .
Gl. 6-26:
dW = M W ⋅ dϕ
Mit der Winkelgeschwindigkeit ω = dϕ dt ergibt sich die Wellenleistung zu
Gl. 6-27:
P(t ) = M W (t ) ⋅ ω (t )
Die in dem Zeitintervall Δt = t1 - t2 übertragene Wellenarbeit ergibt sich zu
Gl. 6-28:
t2
t2
t1
t1
WW 12 = ∫ P(t ) ⋅ dt = ∫ M W (t ) ⋅ ω (t ) ⋅ dt
bzw. bei konstanter Drehzahl und konstantem Drehmoment
Gl. 6-29:
WW 12 = M W ⋅ ω ⋅ Δt = P ⋅ Δt
Technische Thermodynamik
Erster Hauptsatz der Thermodynamik
49
_________________________________________________________________________
Ü 6-3: Berechnung von Wellenleistung P und geleisteter Wellenarbeit nach Δt = 30
Minuten Betrieb mit konstanter Drehzahl
Der Motor überträgt bei einer Drehzahl von n = 2700 min-1 ein Drehmoment von MW = 392 Nm.
_________________________________________________________________________
6.1.5 Dissipationsenergie
Durch die Zufuhr von Wellenarbeit in ein geschlossenes System, z.B. durch ein Rührwerk,
entstehen zwischen dem Fluid und der Oberfläche des Rührwerks Reibungskräfte, wodurch
das Fluid selbst in Bewegung versetzt wird und sich Wirbel ausbilden. Diese Wirbel lösen
sich nach einiger Zeit infolge der inneren Reibung des Fluids wieder auf und die kinetische
Energie geht in die chaotische Molekülbewegung über. Die innere Energie des Systems wird
somit erhöht. Dieser Umwandlungsprozeß von Wellenarbeit in innere Energie wird als
Dissipation bezeichnet. Die dissipierte Arbeit wird als Dissipationsenergie im Innern des
Systems gespeichert.
Bei der Umwandlung von Wellenarbeit in innere Energie handelt es sich um einen
irreversiblen Prozeß, da ein geschlossenes System nicht in der Lage ist, innere Energie
wieder in Wellenarbeit zurück zu verwandeln. Dissipationsenergie ist also stets positiv, da sie
dem System nur zugeführt werden kann. Die dazu erforderliche Arbeit wird als
Dissipationsarbeit Wd bezeichnet.
6.1.6 Innere Energie
Wird einem ruhenden geschlossenen System Arbeit zugeführt, Abb. 6-9, z.B. in Form von
elektrischer Arbeit über einen elektrischen Widerstand (a), durch die Zufuhr von Wellenarbeit
über ein Rührwerk (b) oder durch das Verrichten von Volumenänderungsarbeit infolge einer
Kompression (c), so kann entsprechend dem Energieerhaltungssatz diese Energie nicht
verschwinden, sondern muß im System gespeichert werden. Bei ruhenden Systemen kann
sie jedoch nicht in Form von potentieller oder kinetischer Energie gespeichert werden, da
sich das System entsprechend der Annahme in Ruhe befindet. In geschlossenen adiabaten,
d.h. wärmeundurchlässigen Systemen kann Energie nur in Form von Arbeit über die
Systemgrenze transportiert werden.
Adiabates System
Ein System wird als adiabat bezeichnet, wenn sich sein Gleichgewichtszustand nur dadurch
verändern läßt, wenn dem System Arbeit zugeführt wird oder von dem System Arbeit
verrichtet wird.
Abb. 6-9:
Zufuhr von Arbeit in ein geschlossenes adiabates System, [ 2]
Technische Thermodynamik
Erster Hauptsatz der Thermodynamik
50
_________________________________________________________________________
Diese im Inneren des Systems gespeicherte Energie wird als innere Energie bezeichnet.
Die innere Energie eines Systems läßt sich auf unterschiedlichen Wegen von einem
Zustand 1 in einen Zustand 2 überführen. In Abb. 6-10 sind zwei unterschiedliche Prozesse
(a) und (b) skizziert.
Prozeß (a):
Prozeß (b):
Zufuhr von Wellenarbeit, isochor (d.h. dV = 0)
Kompression , Zufuhr von Wellenarbeit, anschließende Expansion
Abb. 6-10:
Zustandsänderung von '1' → '2' durch zwei unterschiedliche Prozesse
Die Arbeit ist im allgemeinen eine Funktion von der Prozeßführung. Bei geschlossenen
adiabaten Systemen jedoch hängt die Arbeit lediglich von der Wahl des Anfangs- und
Endzustands und nicht von dem gewählten Weg, d.h. dem gewählten Prozeß ab. Die einem
geschlossenen adiabaten System zugeführte Arbeit dient der Erhöhung seiner inneren
Energie, die von einem geschlossenen adiabaten System geleistete (=abgeführte) Arbeit
führt zu einer Verringerung seiner inneren Energie. Die innere Energie U stellt somit eine
Zustandsgröße des Systems dar und läßt sich über die am bzw. vom System geleistete
Arbeit definieren.
Gl. 6-30:
U 2 − U 1 = W12 ,adiabat
(Definition der inneren Energie)
Die dem adiabaten System zugeführte Arbeit erhöht die mittlere Geschwindigkeit der
Molekularbewegung und verändert den mittleren Abstand der Moleküle, so daß gegen die
Anziehungs- und Abstoßungskräfte der Moleküle Arbeit verrichtet wird.
6.1.7 Wärme
Zur Definition des Begriffs Wärme, sollen an einem System zwei Prozesse durchgeführt
werden, die das System jeweils von einem Zustand 1 (V1, T1) in einen Zustand 2 (V2, T2)
überführen.
Beim ersten Prozeß soll das System adiabat vom Zustand 1 in den Zustand 2 gebracht
werden. Als Beispiel diene das in Abb. 6-11(a) skizzierte System mit ideal isolierten Wänden.
Durch die Zufuhr von Wellenarbeit wird die innere Energie und die Temperatur des Systems
erhöht. Die Änderung der inneren Energie läßt sich über die geleistet Wellenarbeit W12W
messen.
Gl. 6-31:
W12,adiabat = W12W = U 2 − U 1
Technische Thermodynamik
Erster Hauptsatz der Thermodynamik
51
_________________________________________________________________________
Bei dem zweiten Prozeß, Abb. 6-11(b) läßt sich dieser gleiche Zustand auch ohne die Zufuhr
von Wellenarbeit erreichen. Die ideale Isolierung des Systems wird durch eine diatherme
Wand ersetzt. Das System wird nun mit einem zweiten System mit einem großen
Wärmeinhalt und der Systemtemperatur T* = T2 in Kontakt gebracht. Bei beiden Systemen
stellt sich ein thermisches Gleichgewicht ein und dieser Gleichgewichtszustand (V2, T2)
entspricht genau dem Zustand, der sich im ersten Prozeß durch die Zufuhr von Wellenarbeit
erreicht wurde. Auch die Änderung der inneren Energie U2 - U1 ist gleich groß.
Abb. 6-11:
Zufuhr von Wellenarbeit (a), Zufuhr von Wärme über diatherme Wand (b), [ 2]
Bei nicht-adiabaten Systemen läßt sich die Änderung der inneren Energie in der Regel nicht
allein aus der zugeführten Arbeit erklären sondern es ist ein weitere Energieanteil notwendig,
d.h. die Wärme. Die Energie, die als Wärme die Systemgrenze überschreitet läßt sich
definieren als
Gl. 6-32:
Q12 = U 2 − U 1 − W12
(Definition der Wärme)
Die bei einem beliebigen Prozeß als Wärme übertragene Energie ist gleich der Änderung der
inneren Energie des Systems, vermindert um die als Arbeit übertragene Energie.
Bei der Betrachtung der Energie, welche die Systemgrenzen überschreitet, sind zwei
Formen von Energie zu unterscheiden und zwar Energie, die als Arbeit und Energie, die als
Wärme die Systemgrenze überschreitet. Für adiabate Systeme gilt also: Über die Grenzen
eines adiabaten Systems kann Wärme weder zu- noch abgeführt werden. Energie kann nur
in Form von Arbeit zu- bzw. abgeführt werden. Wärme ist also Energie, die an der Grenze
zwischen zwei Systemen verschiedener Temperaturen auftritt und die allein aufgrund des
Temperaturunterschiedes zwischen den Systemen übertragen wird, wenn diese über eine
diatherme Wand miteinander in Wechselwirkung stehen.
_________________________________________________________________________
Ü 6-4: Kühlung eines elektrischen Leiters
Ein elektrischer Leiter wird von einem zeitlich konstanten Gleichstrom durchflossen. Der
elektrische Leiter, der zwischen zwei Punkten mit dem Potentialunterschied Uel = 15.5 V liegt,
hat einen elektrischen Widerstand von Rel = 2.15 Ω. Durch eine entsprechende Kühlung wird
die Temperatur des Leiters konstant gehalten.
Wieviel Energie muß innerhalb von Δt = 1 h in Form von Wärme abgeführt werden?
Abb. 6-12:
Gekühlter elektrischer Leiter
Technische Thermodynamik
Erster Hauptsatz der Thermodynamik
52
_________________________________________________________________________
6.2 Der erste Hauptsatz für ruhende geschlossene Systeme
Den bis jetzt vorgestellten Überlegungen lag immer das allgemeine Prinzip von der Erhaltung
der Energie zugrunde, d.h. Energie kann weder entstehen noch vernichtet werden.
Zusammen mit dem Begriff der Arbeit, die bei adiabaten Prozessen nicht vom Verlauf der
Zustandsänderung abhängt, sondern lediglich von dem Anfangs- und Endzustand, sowie der
Definition der inneren Energie und der Energieform Wärme, läßt sich auch bei nichtadiabaten Systemen der Energieerhaltungssatz quantitativ formulieren.
Jedes geschlossene System besitzt eine Zustandsgröße, die innere Energie U, die folgende
Eigenschaften aufweist:
1.
Bei adiabaten Prozessen ist Zunahme der inneren Energie gleich der dem System
zugeführten Arbeit,
W12,adiabat = U 2 − U 1
2.
(Definition der inneren Energie)
Bei nichtadiabaten Prozessen ist die dem System als Wärme Q12 und als Arbeit W12
zugeführte Energie gleich der Zunahme seiner inneren Energie,
Q12 + W12 = U 2 − U 1
(Definition der Wärme)
Der erste Hauptsatz beschreibt also den quantitativen Zusammenhang zwischen den drei
Energieformen Wärme, Arbeit und innerer Energie. Wärme und Arbeit sind die beiden
Energieformen, die die Systemgrenzen überschreiten können, während die innere Energie
eine Eigenschaft (d.h. eine Zustandsgröße) des Systems darstellt. Der Zweck des ersten
Hauptsatzes besteht nun darin, die dem System als Wärme oder Arbeit zugeführte oder
entzogene Energie durch die Änderung einer Systemeigenschaft, nämlich durch die
Änderung der Zustandsgröße innere Energie, zu erfassen.
Werden die Wärme Q12, die Arbeit W12 und die innere Energie U auf die Masse m des
Systems bezogen, so lautet der erste Hauptsatz für geschlossene Systeme:
Gl. 6-33:
q12 + w12 = u 2 − u1
Für reversible Prozesse gilt, daß dem geschlossenen System Arbeit nur in Form von
Volumenänderungsarbeit
2
w12,rev. = − ∫ p ⋅ dv
1
zugeführt oder entzogen werden kann. Eingesetzt in den ersten Hauptsatz ergibt dies für die
Wärme q12:
2
Gl. 6-34:
q12,rev. = u 2 − u1 + ∫ p ⋅ dv
1
Die Größen Wärme, Arbeit und innere Energie sind von grundlegender Bedeutung für den
ersten Hauptsatz. Nach dem Überschreiten der Systemgrenzen, sind die dem System
zugeführte Wärme und Arbeit zu innerer Energie des Systems geworden. Wärmezufuhr und
das Verrichten von Arbeiten dienen dazu, die innere Energie eines Systems zu verändern.
Es ist nicht möglich, die innere Energie in einen mechanischen Arbeits- und einen
thermischen Wärmeanteil aufzuspalten.
Technische Thermodynamik
Erster Hauptsatz der Thermodynamik
53
_________________________________________________________________________
6.3 Der erste Hauptsatz für bewegte geschlossene Systeme
Der erste Hauptsatz der Thermodynamik für ruhende geschlossene Systeme läßt sich
erweitern auf bewegte geschlossene Systeme (z.B. ein bewegtes Fluidelement).
Die auf die Masse m bezogene gespeicherte Energie eines bewegten Systems setzt sich
zusammen aus
- seiner inneren Energie u,
- seiner kinetischen Energie
c2
2
- und seiner potentiellen Energie g⋅z .
Der gesamte Energieinhalt, d.h. die im System gespeicherte Energie E beträgt demnach
Gl. 6-35:
⎛
⎞
c2
E = m ⋅ ⎜⎜ u +
+ g ⋅ z ⎟⎟
2
⎝
⎠
Gemäß dem ersten Hauptsatz ist die Änderung des Energieinhalts gleich der Summe der
Energien, die als Wärme oder als Arbeit über die Systemgrenzen übertragen werden.
Der erste Hauptsatz für bewegte geschlossene Systeme lautet somit
Gl. 6-36:
Q12 + W12 = E 2 − E1 = U 2 − U 1 +
(
)
m 2
⋅ c 2 − c12 + m ⋅ g ⋅ ( z 2 − z1 )
2
6.4 Der erste Hauptsatz für stationäre Fließprozesse
6.4.1 Technische Arbeit
Maschinen und Apparate, die von einem zeitlich konstanten Stoffstrom, d.h. stationär
durchflossen werden, lassen sich ebenfalls durch eine besondere Form des ersten
Hauptsatzes beschreiben. Diese Form des ersten Hauptsatzes läßt sich über eine
Energiebilanz für einen Kontrollraum, also ein offenes System herleiten. Dies ist nicht mit der
Bilanz an einem bewegten geschlossenen System (vgl. 6.3), also der Bilanz an einem
bewegten Fluidelement zu verwechseln.
Der Vorteil dieser Form des ersten Hauptsatzes besteht darin, daß Prozesse und Vorgänge,
die im Inneren der Anlagen ablaufen nicht bekannt sein müssen. In der Energiebilanz treten
lediglich Größen auf, die an der Grenze des Kontrollraums bestimmbar sind.
Zu diesen Größen zählt die technische Arbeit Wt , wie sie z.B. in Form von Wellenarbeit einer
Turbine über die Kontrollgrenzen des offenen Systems abgegeben werden kann.
Entsprechend zählt auch elektrische Arbeit, die dem Kontrollraum zu- bzw. abgeführt wird als
technische Arbeit. Die in einem Zeitintervall Δτ geleistete Arbeit wird als mechanische oder
auch elektrische Leistung bezeichnet.
Gl. 6-37:
P12 =
Wt ,12
Δτ
Technische Thermodynamik
Erster Hauptsatz der Thermodynamik
54
_________________________________________________________________________
Die technische Arbeit kann auch auf die Masse m des Fluids bezogen werden und wird als
spezifische technische Arbeit bezeichnet.
Gl. 6-38:
wt ,12 =
Wt ,12
m
& ergibt sich dann die Leistung P12 zu
Mit dem zeitlich konstanten Massestrom m
Gl. 6-39:
P12 = m& ⋅ wt ,12
Die Berechnung der technischen Arbeit soll anhand des in Abb. 6-13 skizzierten Kontrollraums verdeutlicht werden.
Abb. 6-13:
Kontrollraum eines offenen Systems
Die Zustandsgrößen des Systems werden am Eintritt mit dem Index 1 und am Austritt mit
dem Index 2 gekennzeichnet. Mit Wt,12 wird die technische Arbeit bezeichnet, die dem System
über eine Welle zugeführt wird, z.B. über den Antrieb eines Verdichters. Mit Q12 wird die dem
System zugeführte Wärme bezeichnet. Der Prozeß wird über ein Zeitintervall Δτ betrachtet,
in dessen Verlauf das System von einem Fluid der Masse Δm durchströmt wird.
Da die Bewegung des strömenden Fluids für das offene System von Bedeutung ist, sind in
diesem Fall die kinetische und potentielle Energien zu berücksichtigten.
Die Energiebilanz für das System lautet:
Gl. 6-40:
bzw.
Gl. 6-41:
Q12 + W12 = E 2 − E1
⎛
⎞
⎛
⎞
c2
c2
Q12 + W12 = Δm ⋅ ⎜⎜ u 2 + 2 + g ⋅ z 2 ⎟⎟ − Δm ⋅ ⎜⎜ u1 + 1 + g ⋅ z1 ⎟⎟
2
2
⎝
⎠
⎝
⎠
Der Term Q12 bezeichnet die Wärme, die dem System zugeführt wird und der Term W12
bezeichnet die Arbeit, die dem System zugeführt wird. Die Arbeit wiederum setzt sich
Technische Thermodynamik
Erster Hauptsatz der Thermodynamik
55
_________________________________________________________________________
zusammen aus der technischen Arbeit Wt,12 und der Volumenänderungsarbeit am
Eintrittsquerschnitt +p1⋅ v1⋅Δm sowie am Austrittsquerschnitt -p2⋅ v2⋅Δm, d.h.
Gl. 6-42:
W12 = Wt ,12 + p1 ⋅ v1 ⋅ Δm − p 2 ⋅ v 2 ⋅ Δm
bzw.
Gl. 6-43:
W12 = Wt ,12 − Δm ⋅ ( p 2 ⋅ v 2 − p1 ⋅ v1 )
Der Term p 2 ⋅ v 2 − p1 ⋅ v1 wird auch als spezifische Verschiebearbeit bezeichnet. Die
Energiebilanz lautet nun
Gl. 6-44:
Q12 + Wt ,12
⎛
⎞
⎛
⎞
c 22
c12
− Δm ⋅ ( p 2 ⋅ v 2 − p1 ⋅ v1 ) = Δm ⋅ ⎜⎜ u 2 +
+ g ⋅ z 2 ⎟⎟ − Δm ⋅ ⎜⎜ u1 +
+ g ⋅ z1 ⎟⎟
2
2
⎝
⎠
⎝
⎠
Sofern es sich um einen stationären Prozeß handelt, gilt die Gleichung auch für beliebig
große Zeitintervalle Δτ und die Gleichung kann durch Δτ dividiert werden.
Gl. 6-45:
⎛
⎞
⎛
⎞
c2
c2
Q& 12 + P12 − m& ⋅ ( p 2 ⋅ v 2 − p1 ⋅ v1 ) = m& ⋅ ⎜⎜ u 2 + 2 + g ⋅ z 2 ⎟⎟ − m& ⋅ ⎜⎜ u1 + 1 + g ⋅ z1 ⎟⎟
2
2
⎝
⎠
⎝
⎠
bzw.
Gl. 6-46:
⎛
⎞
⎛
⎞
c 22
c12
&
Q12 + P12 = m& ⋅ ⎜⎜ u 2 + p 2 ⋅ v 2 +
+ g ⋅ z 2 ⎟⎟ − m& ⋅ ⎜⎜ u1 + p1 ⋅ v1 +
+ g ⋅ z1 ⎟⎟
2
2
⎝
⎠
⎝
⎠
6.4.2 Enthalpie
Die Summe aus innerer Energie U und dem Produkt p⋅V läßt sich zu einer neuen
Zustandsgröße des Systems zusammenfassen, der Enthalpie H.
Gl. 6-47:
H =U + p ⋅ V
bzw. die spezifische Enthalpie h
Gl. 6-48:
h=
H
= u + p⋅v
m
Damit ergibt sich der erste Hauptsatz für stationäre Fließprozesse zu
Gl. 6-49:
(
)
1
⎞
⎛
Q& 12 + P12 = m& ⋅ ⎜ h2 − h1 + ⋅ c 22 − c12 + g ⋅ ( z 2 − z1 )⎟
2
⎠
⎝
bzw. bezogen auf die Masse des strömenden Mediums, d.h. den Massestrom m&
Gl. 6-50:
q12 + wt ,12 = h2 − h1 +
1 2
⋅ (c 2 − c12 ) + g ⋅ ( z 2 − z1 )
2
Technische Thermodynamik
Erster Hauptsatz der Thermodynamik
56
_________________________________________________________________________
Da in der Gleichung für stationäre Fließprozesse nur Größen enthalten sind, die im Eintrittsund Austrittsquerschnitt gemessen werden können, kann sie auch auf Systeme angewendet
werden, in deren Innerem auch nicht-stationäre Prozesse ablaufen. Die Forderung nach
stationärem Verlauf bezieht sich lediglich auf die Größen im Eintritts- und Austrittsquerschnitt.
_________________________________________________________________________
Ü 6-5: Stationärer Fließprozeß am Beispiel eines Wasserkraftwerks
Die Grenzen des Kontrollraums werden so gewählt, daß die Strömungsgeschwindigkeit des
Wassers vernachlässigbar klein wird, d.h. c1 = c2 ≈ 0. Der Luftdruck ist zu vernachlässigen
und Zu- und Ablauf liegen in der gleichen Tiefe unter dem Oberwasser- bzw.
Unterwasserspiegels, d.h. p1 = p2. Der Kontrollraum ist adiabat, d.h. q12 = 0. Wasser kann als
inkompressibel angenommen werden, d.h. seine Dichte ρ bzw. spezifisches Volumen v ist
konstant.
Gesucht ist die abgegebene Turbinenarbeit wt12 .
Abb. 6-14:
Stationärer Fließprozeß, Wasserkraftwerk, [ 2]
_________________________________________________________________________
Technische Thermodynamik
Erster Hauptsatz der Thermodynamik
57
_________________________________________________________________________
6.5 Instationäre Prozesse in offenen Systemen
Ausgehend von der Energiebilanz eines offenen Systems soll der erste Hauptsatz auf nichtstationäre Prozesse erweitert werden. In allgemeiner Form lautet die Energiebilanz für den
Kontrollraum eines offenen Systems:
Die Summe der Energien, die als Wärme und Arbeit mit dem strömenden Medium über die
Systemgrenze zu- oder abgeführt werden ist gleich der Änderung des Energieinhalts des
offenen Systems.
Abb. 6-15:
Masseelement eines strömenden Mediums beim Überqueren der Systemgrenze
Zur Berechnung der Energie, die mit dem Strömungsmedium über die Systemgrenze
transportiert wird, betrachten wir ein Masseelement Δm, das die Systemgrenze B passiert,
Abb. 6-15. Die innerhalb des Zeitintervalls Δτ vorbeifließende Energie läßt sich aus dem
Energieinhalt des Masseelements Δm bestimmen:
⎞
⎛
c2
⎜⎜ u +
+ g ⋅ z ⎟⎟ ⋅ Δm
2
⎠
⎝
Die Verschiebearbeit, die von dem Strömungsmedium verrichtet werden muß um das
Masseelement um die Strecke c⋅Δτ zu bewegen, berechnet sich mit dem Querschnitt A zu:
( p ⋅ A) ⋅ (c ⋅ Δτ ) = p ⋅ v ⋅ Δm
Die gesamte Energie, die während des Zeitintervalls Δτ vorbeifließt beträgt somit:
⎞
⎛
c2
⎜⎜ u + p ⋅ v +
+ g ⋅ z ⎟⎟ ⋅ Δm
2
⎠
⎝
Dies bedeutet, daß durch den Eintritt eines strömenden Mediums in ein offenes System, sich
die Energie des Systems nicht nur um die innere Energie, kinetische Energie und die
potentielle Energie erhöht sondern auch um einen Betrag p⋅v⋅Δm . Der Term p⋅v wird auch als
spezifische Strömungsenergie bezeichnet.
Technische Thermodynamik
Erster Hauptsatz der Thermodynamik
58
_________________________________________________________________________
Tritt durch einen Eintrittsquerschnitt 1 eine Masse dm1 in das System ein, so transportiert das
Masseelement die Energie
⎛
⎞
⎛
⎞
c2
c2
⎜⎜ u1 + p1 ⋅ v1 + 1 + g ⋅ z1 ⎟⎟ ⋅ dm1 = ⎜⎜ h1 + 1 + g ⋅ z1 ⎟⎟ ⋅ dm1
2
2
⎝
⎠
⎝
⎠
Am Austrittsquerschnitt 2 fließt mit der Masse dm2 die Energie
⎛
⎞
c2
⎜⎜ h2 + 2 + g ⋅ z 2 ⎟⎟ ⋅ dm2
2
⎝
⎠
ab. Werden dem System die Wärme dQ und die technische Arbeit dWt zugeführt, dann gilt für
die Energiebilanz
Gl. 6-51:
⎞
⎛
⎞
⎛
c2
c2
dQ + dWt + ⎜⎜ h1 + 1 + g ⋅ z1 ⎟⎟ ⋅ dm1 − ⎜⎜ h2 + 2 + g ⋅ z 2 ⎟⎟ ⋅ dm2 = dE
2
2
⎠
⎝
⎠
⎝
Wobei dE die zeitliche Änderung des Energieinhalts des offenen Systems darstellt. Der
gesamte Energieinhalt E des Systems ergibt sich aus der Integration über die im System
enthaltene Masse.
Gl. 6-52:
E=
∫
Masse des
offenen Systems
⎛
⎞
c2
⎜⎜ u +
+ g ⋅ z ⎟⎟ ⋅ dm
2
⎝
⎠
Verläuft ein Prozeß über das Zeitintervall ta bis tb, so ergibt sich der erste Hauptsatz für
instationäre Fließprozesse in offenen Systemen zu
Gl. 6-53:
Qab + Wt ,ab
m2 ( t = b )
m2 ( t = b )
⎛
⎞
⎛
⎞
c12
c2
+ ∫ ⎜⎜ h1 +
+ g ⋅ z1 ⎟⎟ ⋅ dm1 − ∫ ⎜⎜ h2 + 2 + g ⋅ z 2 ⎟⎟ ⋅ dm2 = Eb − E a
2
2
⎠
⎠
m1 ( t = a ) ⎝
m1 ( t = a ) ⎝
Für stationäre Fließprozesse gilt dE = 0 und dm1 = dm2 = dm . Mit q12 = dQ dm und
wt ,12 = dWt dm vereinfacht sich die Bilanz wieder zur Gleichung des ersten Hauptsatzes für
stationäre Fließprozesse.
q12 + wt ,12 = h2 − h1 +
(
)
1 2
⋅ c 2 − c12 + g ⋅ ( z 2 − z1 )
2
Technische Thermodynamik
Erster Hauptsatz der Thermodynamik
59
_________________________________________________________________________
Ü 6-6: Abfüllen eines Kühlmittels R12 in eine Gasflasche
In einer Gasflasche mit dem Volumen V = 0.002 m³ befindet sich das Kältemittel R12 (CF2Cl2).
Zu Anfang steht das gasförmige R12 bei Ta = 20°C unter einem Druck von pa = 1.005 bar. Das
zu Ta und pa gehörige spezifische Volumen va beträgt va = 0.1967 m³/kg und die spezifische
Enthalpie ha = 303.76 kJ/kg. Zum Auffüllen wird die Gasflasche an eine Leitung mit
gasförmigem R12 angeschlossen mit p1 = 6.541 bar, T1 = 50°C, h1 = 315.94 kJ/kg.
Auszug aus der Dampftafel von R12 für Ts = 20°C
ps [bar] v' [m3/kg]
v'' [m3/kg] h' [kJ/kg]
Ts [°C]
-3
20.0
5.691
0.03102
153.73
0.7528⋅10
h'' [kJ/kg]
296.78
Die Flasche wird so aufgefüllt, daß bei 20°C gerade 80% des Volumens von siedendem R12
und das restliche Volumen von gesättigtem Dampf eingenommen wird.
Welche Menge an R12 sind einzufüllen und wieviel Wärme muß während des Füllvorgangs
über eine Kühlung abgeführt werden?
Abb. 6-16:
Füllen einer Gasflasche mit R12
_________________________________________________________________________
Technische Thermodynamik
Kalorische Zustandsgleichungen
60
_________________________________________________________________________
7 Kalorische Zustandsgleichungen
Die innere Energie U und Enthalpie H beschreiben den inneren energetischen Zustand eines
Systems. Zur Unterscheidung von den thermischen Zustandsgrößen p, V, T, werden sie als
kalorische Zustandsgrößen bezeichnet.
7.1 Kalorische Zustandsgleichungen der inneren Energie
Bei einfachen Systemen läßt sich der Gleichgewichtszustand durch zwei Zustandsgrößen
eindeutig beschreiben. Die spezifische innere Energie u läßt sich also als Funktion von
Temperatur T und spezifischem Volumen v in Analogie zur thermischen Zustandsgleichung
p = p(T , v)
(thermischen Zustandsgleichung)
u = u (T , v)
(kalorische Zustandsgleichung)
darstellen als
Gl. 7-1:
Das vollständige Differential der spezifischen inneren Energie lautet
Gl. 7-2:
⎛ ∂u ⎞
⎛ ∂u ⎞
du = ⎜
⎟ dT + ⎜ ⎟ dv
⎝ ∂T ⎠ v
⎝ ∂v ⎠ T
Der erste partielle Differentialquotient wird auch als spezifische Wärmekapazität bei
konstantem Volumen cv bezeichnet.
Gl. 7-3:
⎛ ∂u ⎞
cv = ⎜
⎟ = cv (T , v )
⎝ ∂T ⎠ v
Bei gleicher Temperaturänderung kann ein Körper um so mehr Wärme aufnehmen, desto
größer seine Wärmekapazität ist.
7.2 Kalorische Zustandsgleichungen der Enthalpie
Die spezifische Enthalpie h wird allgemein als Funktion von T und p angegeben:
Gl. 7-4:
h = h(T , p )
Diese Form gilt lediglich für Einphasensysteme, da nur hier Druck und Temperatur
voneinander unabhängig sind.
Das vollständige Differential der spezifischen Enthalpie h lautet:
Gl. 7-5:
⎛ ∂h ⎞
dh = ⎜
⎟ dT
⎝ ∂T ⎠ p
⎛ ∂h ⎞
+ ⎜⎜ ⎟⎟ dp
⎝ ∂p ⎠ T
Technische Thermodynamik
Kalorische Zustandsgleichungen
61
_________________________________________________________________________
Der erste partielle Differentialquotient wird auch als spezifische Wärmekapazität bei
konstantem Druck cp bezeichnet.
Gl. 7-6:
⎛ ∂h ⎞
cp = ⎜
⎟ = c p (T , p )
⎝ ∂T ⎠ p
Zustandsgrößen sind unabhängig von dem Verlauf der Zustandsänderungen. Dies hat den
Vorteil, daß bei der Berechnung der Integrale der Integrationsweg nicht mit dem Verlauf der
Zustandsänderung übereinstimmen muß, sondern es kann ein rechentechnisch einfacherer
Weg gewählt werden. Lediglich die Anfangs- und Endpunkte müssen übereinstimmen.
7.3 Innere Energie und Enthalpie fester und flüssiger Phasen
Aufgrund des inkompressiblen Verhaltens von Festkörpern und Flüssigkeiten gilt v = const.
und somit dv = 0 . Dadurch hängen die innere Energie und die spezifische isochore
Wärmekapazität cv nur noch von der Temperatur ab.
Gl. 7-7:
⎛ du ⎞
cv = ⎜
⎟ = cv (T )
⎝ dT ⎠
Das Differential der inneren Energie vereinfacht sich zu
Gl. 7-8:
⎛ du ⎞
du = ⎜
⎟ ⋅ dT = cv (T ) ⋅ dT
⎝ dT ⎠
Die Änderung der inneren Energie infolge einer Temperaturänderung von T1 auf T2 berechnet
sich zu
Gl. 7-9:
2
T2
1
T1
∫ du = u(T2 ) − u(T1 ) = ∫ cv (T ) ⋅ dT
Die Enthalpiedifferenz zwischen zwei Zuständen 1 (p1,T1) und 2 (p2,T2)
2
⎡⎛ ∂h(T , p ) ⎞
⎤
⎛ ∂h(T , p ) ⎞
(
)
(
)
dh
h
T
,
p
h
T
,
p
=
−
=
2
2
1
1
∫1
∫1 ⎢⎢⎜⎝ ∂T ⎟⎠ p ⋅ dT + ⎜⎜⎝ ∂p ⎟⎟⎠ ⋅ dp⎥⎥
T
⎣
⎦
2
Gl. 7-10:
läßt sich aufgrund der Wegunabhängigkeit des Integrationsweges der Zustandsgrößen
entsprechend des in Abb. 7-1 skizzierten Wegs berechnen.
Technische Thermodynamik
Kalorische Zustandsgleichungen
62
_________________________________________________________________________
Abb. 7-1:
Integrationsweg zur Bestimmung der Enthalpiedifferenz
1. Schritt:
Isobare Zustandsänderung mit p1 = const, also dp = 0
2
⎛ ∂h(T , p1 ) ⎞
⋅
dT
=
∫T ⎜⎝ ∂T ⎟⎠
∫T c p (T , p1 ) ⋅ dT
1
1
p
T2
Gl. 7-11:
2. Schritt:
T
Isotherme Zustandsänderung mit T2 = const, also dT = 0
⎛ ∂h(T2 , p ) ⎞
⎟ ⋅ dp = h(T2 , p 2 ) − h(T2 , p1 )
∂p ⎟⎠ T
p1
p2
Gl. 7-12:
∫ ⎜⎜⎝
mit der Definition der Enthalpie h = u + p ⋅ v folgt
⎛ ∂h(T2 , p ) ⎞
⎟⎟ ⋅ dp = [u (T2 ) + p 2 ⋅ v ] − [u (T2 ) − p1 ⋅ v ] = v ⋅ ( p 2 − p1 )
p
∂
⎠T
p1
p2
Gl. 7-13:
∫ ⎜⎜⎝
Aufsummieren der Teilergebnisse ergibt die Enthalpiedifferenz zwischen den Zuständen 1
und 2
T2
Gl. 7-14:
h(T2 , p 2 ) − h(T1 , p1 ) = ∫ c p (T , p1 ) ⋅ dT + v ⋅ ( p 2 − p1 )
T
Bei isobaren Zustandsänderungen gilt p1 = p2 = p und somit für die Enthalpiedifferenz
Gl. 7-15:
T2
T2
T
T
h(T2 , p ) − h(T1 , p ) = ∫ c p (T , p ) ⋅ dT = u (T2 ) − u (T1 ) = ∫ cv (T ) ⋅ dT
Technische Thermodynamik
Kalorische Zustandsgleichungen
63
_________________________________________________________________________
Für Festkörper und ideale Flüssigkeiten gilt somit
T2
Gl. 7-16:
T2
∫ c (T , p ) ⋅ dT = ∫ c (T ) ⋅ dT
p
v
T
T
d.h. die spezifische isobare und isochore Wärmekapazitäten stimmen überein.
Gl. 7-17:
c p (T ) = cv (T ) = c(T )
Bei kleinen Temperaturdifferenzen kann die Temperaturabhängigkeit der Wärmekapazität
vernachlässigt werden und die Differenz der spezifischen inneren Energie berechnet sich
aus
Gl. 7-18:
u (T2 ) − u (T1 ) = c ⋅ (T2 − T1 )
Die spezifische Enthalpiedifferenz für Festkörper und ideale Flüssigkeiten ergibt sich zu
Gl. 7-19:
h(T2 , p 2 ) − h(T1 , p1 ) = c ⋅ (T2 − T1 ) + ( p 2 − p1 ) ⋅ v1
7.4 Innere Energie und Enthalpie idealer Gase
Bei idealen Gasen ist die spezifische Wärmekapazität cv eine reine Temperaturfunktion, d.h.
es gilt:
Gl. 7-20:
cv = cv (T )
Damit kann die spezifische innere Energie idealer Gase beschrieben werden durch
T
Gl. 7-21:
u = u (T ) = ∫ c v (T ) ⋅ dT + u 0
T0
wobei die Konstante u0 die spezifischen innere Energie bei der Temperatur T0 bedeutet. Für
Gase, deren Wärmekapazität über einen gewissen Temperaturbereich als konstant angenommen werden kann, vereinfacht sich die Berechnung der spezifischen inneren Energie zu
Gl. 7-22:
u = cv ⋅ (T − T0 ) + u 0
Die spezifische Enthalpie idealer Gase ist ebenfalls eine reine Temperaturfunktion.
Zusammen mit der thermischen Zustandsgleichung p ⋅ v = R ⋅ T ergibt sich für die spezifische
Enthalpie
Gl. 7-23:
h(T ) = u (T ) + p ⋅ v = u (T ) + R ⋅ T
Differenzierung von Gl. 7-23 nach der Temperatur T ergibt
Gl. 7-24:
dh du
=
+R
dT dT
Technische Thermodynamik
Kalorische Zustandsgleichungen
64
_________________________________________________________________________
Mit
cv =
du
= cv (T )
dT
Gl. 7-26:
cp =
dh
= c p (T )
dT
folgt
Gl. 7-27:
c p (T ) − c v (T ) = R
Gl. 7-25:
und
Bei idealen Gasen sind die spezifischen Wärmekapazitäten zwar temperaturabhängig, ihre
Differenz ist jedoch konstant und entspricht der spezifischen Gaskonstante R.
_________________________________________________________________________
Ü 7-1: Adiabate Kompression von Luft
Luft wird in einem adiabaten Zylinder von p1 = 1.2 bar, T1 = 25°C solange verdichtet bis eine
Endtemperatur von T2 = 100°C erreicht wird.
Gesucht sind die zur Verdichtung erforderliche Arbeit w12 und der Enddruck p2, der höchstens
erreicht werden kann.
_________________________________________________________________________
7.5 Innere Energie und Enthalpie von Dämpfen
Dampf im Naßdampfgebiet stellt ein Zweiphasensystem dar, in dem Druck und Temperatur
nicht voneinander unabhängig sind, sondern über die Dampfdruckkurve miteinander
gekoppelt sind. In Dampftafeln sind die Werte auf der Siedelinie (') und der Taulinie ('') für die
spezifischen Volumina v' und v'', spezifische Enthalpie h' und h'' und die spezifische Entropie
s' und s'' in Tabellenform für die Sättigungstemperatur bzw. den Sättigungsdruck aufgelistet.
Bei bekanntem Dampfgehalt x berechnet sich die spezifische Enthalpie h zu
Gl. 7-28:
h = h ′ + x ⋅ (h ′′ − h ′)
Die Differenz der spezifischen Enthalpien der flüssigen und gasförmigen Phase ergibt die
Verdampfungsenthalpie ΔhD
Gl. 7-29:
ΔhD = h ′′ − h′
Das spezifische Volumen v des Zweiphasensystems ergibt sich analog zur spezifischen
Enthalpie
Gl. 7-30:
v = v ′ + x ⋅ (v ′′ − v ′)
Die spezifische innere Energie u berechnet sich zusammen mit dem Sättigungsdruck ps zu
Gl. 7-31:
u = h − ps ⋅ v
Technische Thermodynamik
Kalorische Zustandsgleichungen
65
_________________________________________________________________________
7.6 Spezifische Wärmekapazitäten
7.6.1 Wahre spezifische Wärmekapazitäten
In der kinetischen Gastheorie wurden Gase als einatomige Moleküle angenommen und die
spezifische innere Energie mit u = 3 2 ⋅ R ⋅ T berechnet. Die Differentiation nach T ergibt die
spezifische isochore Wärmekapazität cv
Gl. 7-32:
cv =
du 3
= ⋅R
dT 2
mit c p − cv = R ergibt sich die spezifische isobare Wärmekapazität cp zu
Gl. 7-33:
cp =
5
⋅R
2
Die spezifischen Wärmekapazitäten einatomiger Gase, wie z.B. Edelgase (Helium, Argon)
sind somit temperaturunabhängig.
Komplizierter gestaltet sich die Bestimmung der Wärmekapazitäten von mehratomigen
Gasen, Festkörpern und Flüssigkeiten. Hier liegt in der Regel eine Abhängigkeit von Druck
und Temperatur vor. In Abb. 7-2 und Abb. 7-3 sind für Kohlenstoff und einige ausgewählte
Metalle sowie für einige Gase der Verlauf der spezifischen Wärmekapazitäten über der
Temperatur skizziert.
Abb. 7-2:
Spezifische Wärmekapazität von Kohlenstoff und Metallen, [ 3]
Technische Thermodynamik
Kalorische Zustandsgleichungen
66
_________________________________________________________________________
Abb. 7-3:
Spezifische isobare Wärmekapazität von Gasen, [ 6]
7.6.2 Mittlere spezifische Wärmekapazitäten
Die Berechnung der mittleren spezifischen isobaren und isochoren Wärmekapazitäten cp und
cv erfolgt über die Berechnung der Mittelwerte über das entsprechende Temperaturintervall.
T
Gl. 7-34:
T
cv T2
1
2
1
=
⋅ cv (T ) ⋅ dT
T2 − T1 T∫
1
bzw.
T
Gl. 7-35:
T
c p T2
1
2
1
=
⋅ c p (T ) ⋅ dT
T2 − T1 T∫
1
Abb. 7-4:
Berechnung der mittleren spezifischen Wärmekapazität
In der Regel ist jedoch eine lineare Interpolation zwischen den beiden Temperaturen T1 und
T2 ausreichend. Wasser läßt sich z.B. bis zu einer Sättigungstemperatur von Ts = 170°C mit
einer konstanten spezifischen Wärmekapazität von c = 4186 [J/kg⋅K] berechnen. Der Fehler
liegt dabei unter einem Prozent.
Technische Thermodynamik
Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik
67
_________________________________________________________________________
8 Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik
8.1 Inhalt des zweiten Hauptsatzes
Der erste Hauptsatz der Thermodynamik beschreibt das Prinzip der Erhaltung der Energie
bei der Umwandlung in unterschiedlichen Erscheinungsformen. Es wird jedoch keine
Aussage über die Möglichkeit bzw. Unmöglichkeit dieser Umwandlung getroffen. In der Natur
ist es keineswegs selbstverständlich, daß Prozesse, die nach dem Energieerhaltungssatz
möglich wären auch wirklich vorkommen. Mit dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik
wäre es z.B. problemlos zu vereinbaren, daß der vom Dach gefallene Ziegel sich unter
Ausnutzung seiner durch den Aufprall erfolgten Aufwärmung, wieder von alleine in die Luft
erhebt und wieder auf dem Dach liegt. Dies wurde noch nicht beobachtet und erscheint auch
nicht ganz plausibel.
Offensichtlich gibt es in der Natur Vorgänge, die von alleine nur in eine bestimmte Richtung
ablaufen. Wärme fließt 'von alleine' vom wärmeren zum kälteren Körper, aber nie in von dem
kälteren zu dem wärmeren Körper. Nach dem Herausziehen einer Trennwand vermischen
sich zwei unterschiedliche Gase gleicher Dichte vollständig (=Diffusion). Eine Entmischung
ist jedoch ebenfalls noch nie beobachtet worden.
Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik ist ebenso wie der erste Hauptsatz lediglich ein
Erfahrungssatz, der auf allgemeinen Beobachtungen beruht und bis jetzt noch nicht widerlegt
wurde.
_________________________________________________________________________
Ü 8-1: Freier Fall
Ein Stück Aluminium fällt aus einer Höhe von z1 = 1000 m auf den Erdboden (z2 = 0). Die
Luftreibung wird vernachlässigt und es findet auch kein Energieaustausch mit der Umgebung
statt. Beim Aufprall dringt der Körper in das Erdreich ein und erwärmt sich infolge der dabei
entstehenden Reibung.
ges.:
Auf welche Temperatur erwärmt sich
dabei das Bauteil?
(1 )
(2)
Abb. 8-1:
Freier Fall
_________________________________________________________________________
Technische Thermodynamik
Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik
68
_________________________________________________________________________
(3 )
Die Umkehrung dieses Prozesses würde
bedeuten, daß ein Körper sich vom
Erdboden nach oben bewegt und sich
dabei abkühlt. In dem in Ü 8-1 ausgeführten Beispiel würde sich das
Aluminium entsprechend um ΔT = 10.7 K
abkühlen. Dies würde zwar dem im ersten
Hauptsatz formulierten Prinzips der
Energieerhaltung
entsprechen,
nicht
jedoch der allgemeinen Erfahrung, daß
Körper eben nicht ohne äußere Einwirkung sich im Schwerefeld bewegen.
Die Rücktransformation der inneren
Energie in potentielle Energie gelingt
offensichtlich nicht.
(2)
Abb. 8-2:
Umkehrung des freien Falls
Potentielle und kinetische Energie sowie Arbeit lassen sich zwar gegenseitig ineinander
überführen und alle drei lassen sich auch in innere Energie umwandeln, die Umkehrung
gelingt jedoch nicht, d.h. es handelt sich um einen nicht umkehrbaren, also irreversiblen
Vorgang.
Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik beschreibt also die Grenzen der Umwandlung von
Energie und die Umkehrbarkeit von thermodynamischen Prozessen.
Formulierung nach Clausius (1850)
Wärme kann nie von selbst von einem System niederer Temperatur auf ein System höherer
Temperatur übertragen werden.
Formulierung nach Max Planck (1858-1947)
Es ist unmöglich eine periodisch funktionierende Maschine zu konstruieren, die weiter nichts
bewirkt, als Hebung einer Last und Abkühlung eines Wärmereservoirs.
(Unmöglichkeit des perpetuum mobile 2. Art)
oder
Alle Prozesse bei denen Reibung auftritt sind nicht umkehrbar.
Formulierung nach H.D. Baehr (1981)
Alle natürlichen Prozesse sind nicht umkehrbar.
Technische Thermodynamik
Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik
69
_________________________________________________________________________
8.2 Entropie
Diese allgemeinen Aussagen lassen sich durch die Einführung des Begriffes der Entropie
näher erläutern. Die Entropie (aus dem Griechischen: 'Verwandelte') ist ein Maß für die
Irreversibilität thermodynamischer Prozesse und ein Kriterium zur Vorhersage der Richtung
ihrer Abläufe.
8.2.1 Entropie und Wahrscheinlichkeit
Die Durchmischung von Gasen gleichen Drucks und gleicher Dichte ist offensichtlich
irreversibel und erfolgt von selbst, obwohl es keine makroskopischen Kräfte gibt (bei
gleichem Druck!), die die Gase aus ihren ursprünglichen Volumina vertreiben. Es muß hierfür
also eine andere Ursache vorliegen.
Bei der Betrachtung einer Schachtel, deren untere Hälfte mit schwarzem Sand und deren
obere Hälfte mit weißem Sand gefüllt ist, wird schnell deutlich, was sich ergibt, wenn die
Schachtel geschüttelt wird - grauer Sand. Ebenso deutlich wird aber auch, daß sich der
ursprüngliche Ordnungszustand der gleichmäßigen Schichtung auch nach sehr langem
Schütteln aller Voraussicht nie wieder einstellen wird. Der Übergang von Ordnung zu
Unordnung infolge des Mischens stellt einen typischen irreversiblen Prozeß dar. Irreversibel
deshalb, weil der ungeordnete Zustand sehr viel wahrscheinlicher ist als der geordnete.
Als Beispiel soll die isotherme Ausdehnung eines Luftvolumens ins Vakuum betrachtet
werden, z.B. unter Verdoppelung seines ursprünglichen Volumens. Ebenso könnte man
nach der Wahrscheinlichkeit fragen, mit der sich alle Luftmoleküle in genau einer Zimmerhälfte befinden, während sich in der anderen Zimmerhälfte ein Vakuum einstellt. Dieser
Zustand würde ja dem Ausgangszustand der isothermen Expansion entsprechen. Die
Aufrechterhaltung dieses Zustandes würde im realen Leben das Vorhandensein einer festen
Wand erfordern. Ohne diese Wand beträgt die Wahrscheinlichkeit, daß sich ein Molekül in
der einen oder anderen Zimmerhälfte befindet genau
1
p=
2
Die Wahrscheinlichkeit, daß sich zwei Moleküle in der gleichen Zimmerhälfte befinden
beträgt
2
⎛1⎞
p = ⎜ ⎟ = 2 −2
⎝2⎠
und entsprechend für N Moleküle
p = 2−N
_________________________________________________________________________
Ü 8-2: Berechnung der Wahrscheinlichkeit, daß sich alle Luftmoleküle in der gleichen
Zimmerhälfte befinden
Volumen:
V = 50 m³
Dichte:
ρ = 1.225 kg/m3
M = 28.9647 kg/kmol
Molmasse
Avogadro-Konstante: NA = 6.022⋅1023 1/mol
_________________________________________________________________________
Technische Thermodynamik
Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik
70
_________________________________________________________________________
Die Aussage, daß ein Vorgang dann von alleine abläuft, wenn dabei ein Zustand mit einer
höheren Entropie erreicht wird, läßt sich also ersetzen, durch die Aussage, daß ein Vorgang
dann von alleine abläuft, wenn ein Zustand höherer Wahrscheinlichkeit erreicht wird.
Der quantitative Zusammenhang zwischen Entropie S und Wahrscheinlichkeit p wird durch
die Boltzmann-Planck-Beziehung beschrieben
Gl. 8-1:
S = k ⋅ ln( p )
wobei k = 1.38 ⋅ 10 −23 J K die Boltzmann-Konstante darstellt.
Da in der Regel lediglich Entropieänderungen von einem Zustand 1 mit der Wahrscheinlichkeit p1 zu einem Zustand 2 mit der Wahrscheinlichkeit p2 betrachtet werden, läßt sich
schreiben:
Gl. 8-2:
⎛p ⎞
ΔS = S 2 − S1 = k ⋅ ln⎜⎜ 2 ⎟⎟
⎝ p1 ⎠
8.2.2 Entropie als Zustandsgröße
Der Zweck der Entropie besteht darin, die Irreversibilität eines Prozesses zu beschreiben,
bzw. ein Maß für die Wahrscheinlichkeit zu finden, mit der ein Vorgang in eine bestimmte
Richtung abläuft. Es soll also eine wegunabhängige Zustandsgröße definiert werden.
Alle an einem Prozeß beteiligten, nicht umkehrbaren Energien, d.h. die dissipierte Arbeit WD,
werden mit der zu- bzw. abgeführten Wärme Q12 zusammengefaßt und als Qrev bezeichnet.
Für ein geschlossenes System mit ΔE kin = ΔE pot = 0 gilt:
Gl. 8-3:
∫
Q12 + W D − p ⋅ dV = U 2 − U 1
14243
Qrev
Die Größe Qrev selbst ist keine Zustandsgröße. Es läßt sich jedoch zeigen, daß der Quotient
dQrev T eine Zustandsgröße des Systems ist. Jedem System kann also eine extensive
Zustandsgröße, die sogenannte Entropie S zugeordnet werden. Sie wird definiert durch das
Differential
Gl. 8-4:
dS : =
dQrev
T
bzw.
2
Gl. 8-5:
S 2 − S1 =
∫
1
dQrev
T
Definition nach Clausius
Die Entropie ist das Verhältnis von reversibel zugeführter Wärmemenge und der absoluten
Temperatur an der Stelle des Wärmeübergangs
Technische Thermodynamik
Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik
71
_________________________________________________________________________
8.2.3 Eigenschaften der Entropie
Die Entropie ist eine Größe von der Dimension Energie bezogen auf die Temperatur: S [J/K] .
Wird die Entropie auf die Masse des Systems bezogen so erhält man die spezifische
Entropie s.
Gl. 8-6:
s=
S
m
⎡ J ⎤
⎢ kg ⋅ K ⎥
⎣
⎦
Die Entropie eines aus den Teilsystemen A, B, C, ... zusammengesetzten Systems ergibt
sich zu
Gl. 8-7:
S = S A + S B + S C + ...
Für adiabate Systeme gilt: Die Entropie eines adiabaten Systems kann nicht abnehmen.
Bei irreversiblen Prozessen in adiabaten Systemen nimmt die Entropie zu, bei reversiblen
Prozessen in adiabaten Systemen bleibt die Entropie konstant.
Eine Entropieabnahme ist nur bei offenen, nicht-adiabaten Systemen möglich und erfordert
eine Wärmeabfuhr aus dem System.
Da die absolute Temperatur T stets positiv ist, wird das Vorzeichen des Entropiedifferentials
dS durch das Vorzeichen der Wärmemenge dQ bestimmt.
Wärmezufuhr in ein System, d.h. dQ > 0 bewirkt also eine Zunahme der Entropie des
Systems, d.h. dS > 0. Entsprechend bewirkt ein Wärmeentzug mit dQ < 0 eine
Entropieabnahme des Systems, also dS < 0.
8.2.4 Entropie reversibler Prozesse
Für reversible Prozesse gilt dWD = 0, d.h. es wird keine Dissipationsarbeit WD geleistet.
Entsprechend dem ersten Hauptsatz gilt für die reversibel zugeführte Wärmemenge dQ
Gl. 8-8:
dQ = dU + p ⋅ dV
Einsetzen der Definition für die Entropie dQ = T ⋅ dS in die zugeführte Wärmemenge dQ
ergibt
Gl. 8-9:
T ⋅ dS = dU + p ⋅ dV
bzw.
Gl. 8-10:
dS =
1
p
⋅ dU + ⋅ dV
T
T
Technische Thermodynamik
Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik
72
_________________________________________________________________________
Die Entropieänderung zwischen zwei Zuständen 1 und 2 ergibt sich durch Integration von
dem Zustand 1 zu dem Zustand 2.
2
Gl. 8-11:
1
⋅ dQ
T
1
S 2 − S1 = ∫
oder
p
⎛1
⎞
S 2 − S1 = ∫ ⎜ ⋅ dU + ⋅ dV ⎟
T
T
⎠
1⎝
2
Gl. 8-12:
Mit der Definition der Enthalpie H = U + p ⋅ V bzw. dem Differential der Enthalpie dH
Gl. 8-13:
dH = dU + p ⋅ dV + Vdp
folgt
Gl. 8-14:
dH − Vdp = dU + p ⋅ dV
und man erhält für die Entropieänderung
V
⎛1
⎞
S 2 − S1 = ∫ ⎜ ⋅ dH − ⋅ dp ⎟
T
T
⎠
1⎝
2
Gl. 8-15:
8.2.5 Entropie irreversibler Prozesse
Irreversible Prozesse sind dadurch gekennzeichnet, daß Dissipationsarbeit WD geleistet wird,
d.h. es gilt dWD > 0 . Analog zu der Vorgehensweise bei reversiblen Prozessen wird die
reversibel zugeführte Wärmemenge dQ um die Dissipationsarbeit dWD erweitert.
Gl. 8-16:
dQ + dWD = dU + p ⋅ dV
Mit der Definition für die Entropie folgt
Gl. 8-17:
dS =
dQ + dWD dQ dWD
=
+
T
T
T
mit
dWD > 0
Das Entropiedifferential dS setzt sich bei irreversiblen Prozessen aus zwei Anteilen
zusammen:
Gl. 8-18:
dS = dS Q + dS irr
Der erste Term dS Q = dQ T beschreibt den Zusammenhang von Entropie und Wärmetransport.
Der zweite Term dS irr = dWD T stellt die Entropieänderung des Systems infolge von
Dissipation dar. Dissipation ist die Umwandlung von dem System zugeführter mechanischer
Arbeit in innere Energie und ist immer positiv. Dissipationsarbeit führt also immer zu einer
Erhöhung der Entropie, also einer Entropieproduktion.
Die Berechnung der spezifischen Entropiedifferenzen ergibt sich aus
Technische Thermodynamik
Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik
73
_________________________________________________________________________
Gl. 8-19:
Gl. 8-20:
1
p
⋅ du + ⋅ dv
T
T
1
v
ds = ⋅ dh − ⋅ dp
T
T
ds =
und werden in der Regel in folgender Form formuliert
Gl. 8-21:
T ⋅ ds = du + p ⋅ dv
Gl. 8-22:
T ⋅ ds = dh − v ⋅ dp
Diese Gleichungen werden auch als Gibbs'schen Fundamentalgleichungen bezeichnet.
8.2.6 Entropie fester und flüssiger Phasen
In erster Näherung kann man feste Körper und Flüssigkeiten als inkompressibel annehmen,
d.h. es gilt dv = 0 . Die Bestimmungsgleichung der spezifischen Entropie vereinfacht sich
dadurch zu
Gl. 8-23:
ds =
1
⋅ du
T
Die Berechnung der Entropiedifferenz zwischen zwei Zuständen 1 und 2 ergibt sich aus
T2
Gl. 8-24:
s2 − s1 = s(T2 ) − s(T1 ) = ∫ c(T ) ⋅
T1
dT
T
Unter der Annahme, daß die spezifische Wärmekapazität über die betrachtete Temperaturänderung konstant ist, bzw. entsprechend interpoliert wird, lautet die Entropieänderung von 1
nach 2
Gl. 8-25:
⎛T ⎞
s 2 − s1 = c12 ⋅ ln⎜⎜ 2 ⎟⎟
⎝ T1 ⎠
Technische Thermodynamik
Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik
74
_________________________________________________________________________
8.2.7 Entropie idealer Gase
Die thermische Zustandsgleichung idealer Gase lautet p ⋅ v = R ⋅ T bzw. p T = R v . Für
ideale Gase gilt weiter
Gl. 8-26:
cv (T ) =
du
⇔ du = cv (T ) ⋅ dT
dT
Eingesetzt in die Bestimmungsgleichung für die Entropie ergibt dies
Gl. 8-27:
ds =
1
R
⋅ cv (T ) ⋅ dT + ⋅ dv
1
4
2
4
3
T
v
{
= du
=
p
T
Unter der Annahme, daß die spezifische Wärmekapazität über die betrachtete Temperaturänderung konstant ist, bzw. entsprechend interpoliert wird, lautet die Entropieänderung von 1
nach 2
Gl. 8-28:
Für ideale Gase gilt
Gl. 8-29:
⎛T ⎞
⎛v ⎞
s2 − s1 = cv12 ⋅ ln⎜⎜ 2 ⎟⎟ + R ⋅ ln⎜⎜ 2 ⎟⎟
⎝ T1 ⎠
⎝ v1 ⎠
T2 p 2 ⋅ v 2
und somit läßt sich die Entropiedifferenz schrieben als
=
T1 p1 ⋅ v1
⎛p ⎞
⎛v ⎞
s2 − s1 = cv12 ⋅ ln⎜⎜ 2 ⎟⎟ + c p12 ⋅ ln⎜⎜ 2 ⎟⎟
⎝ p1 ⎠
⎝ v1 ⎠
oder auch
Gl. 8-30:
⎛p ⎞
⎛T ⎞
s2 − s1 = c p12 ⋅ ln⎜⎜ 2 ⎟⎟ − R ⋅ ln⎜⎜ 2 ⎟⎟
⎝ p1 ⎠
⎝ T1 ⎠
Technische Thermodynamik
Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik
75
_________________________________________________________________________
Ü 8-3: Entropieänderung bei Kompression von Luft
Anfangszustand (1)
p1
=
T1
=
110
27
[kPa]
[°C]
Endzustand (2)
p2
=
T2
=
1.5
247
[MPa]
[°C]
ges.:
a)
Änderung der spezifischen Entropie unter der Annahme konstanter Wärmekapazität
von Luft bei der Kompression von (1) nach (2)
b)
Welche Endtemperatur T2 ergibt sich bei einer isentropen (= adiabat reversiblen =
verlustfreien) Kompression von Luft auf den gleichen Endruck?
Anfangszustand (1)
p1
=
T1
=
110
27
[kPa]
[°C]
Endzustand (2)
p2
=
T2,rev =
1.5
?
[MPa]
[°C]
_________________________________________________________________________
Ü 8-4 Entropieänderung bei abschmelzendem Eis
T∞
T∞
Q12
T∞
mEis
TEis
TWasser
mEis
=
=
=
=
25
10
-5
20
TWasser
[°C]
[kg]
[°C]
[°C]
ges.:
a)
Wärmemenge Q12, die durch das Abschmelzen der Umgebung entzogen wird
b)
Entropieänderung S2 –S1 im System
Technische Thermodynamik
Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik
76
_________________________________________________________________________
Ü 8.5 Schlankwerden durch den Konsum von Speiseeis
T∞
T∞
Q12
mSpeiseeis
Körpertemperatur:
Speiseeis aus der Kühltruhe:
Packungsinhalt:
Nährwert pro 100 ml:
T∞
T∞
TEis
VEis
EEis
=
=
=
=
37.5 [°C]
-18
[°C]
200 [ml]
150 [kcal]
ges.:
Wärmemenge Q12, die durch das Abschmelzen dem Körper entzogen wird
Hinweis
Stoffwerte von Speiseeis entsprechen in erster Näherung denen von Wasser
_________________________________________________________________________
8.2.8 Entropie der Dämpfe
Die Berechnung der spezifischen Entropie s in dem Naßdampfgebiet gestaltet sich analog zu
der Berechnung des spezifischen Volumens v bzw. der spezifischen Enthalpie h im Naßdampfgebiet.
Bei vorgegebenem Dampfgehalt x ergibt sich aus den Werten der Dampftafel für die Entropie
der flüssigen Phase (') und der Dampfphase (''), bei der entsprechenden Sättigungstemperatur Ts bzw. den Sättigungsdruck ps die spezifische Entropie s zu
Gl. 8-31:
s = s ′ + x ⋅ (s ′′ − s′)
Die Verdampfungsentropie (s''-s') ist mit der Verdampfungsenthalpie ΔhD verknüpft durch die
Sättigungstemperatur Ts . Für die Isobaren im Naßdampfgebiet gilt:
Gl. 8-32:
T ⋅ ds = dh − v ⋅ dp
bzw.
Gl. 8-33:
ΔhD = h′′ − h′ = Ts ⋅ (s ′′ − s′)
Entropiewerte, die in Dampftafeln angegeben sind stellen keine absoluten Entropiewerte dar;
sie sind auf den Siedepunkt der siedenden Flüssigkeit im Trippelpunkt bezogen. Da jedoch
bei der Berechnung thermodynamischer Prozesse lediglich Entropiedifferenzen von Belang
sind, spielt dies keine Rolle.
Technische Thermodynamik
Zustandsänderungen
77
_________________________________________________________________________
9 Zustandsänderungen
Aufgrund ihrer Relevanz bei technischen Anwendungen, sollen im Folgenden einige
spezielle Zustandsänderungen und ihre Darstellung im p,v-Diagramm betrachet werden.
9.1 Wärme und Arbeit bei reversiblen Zustandsänderungen idealer Gase
9.1.1 Isochore Zustandsänderung
Aus der Zustandsgleichung für ideale Gase p ⋅ v = R ⋅ T läßt sich für eine isochore
Zustandsänderung (d.h. v = const., bzw. dv = 0) folgende Beziehung ableiten
Gl. 9-1:
p2 p1
=
T2 T1
Da dabei keine Volumenänderungsarbeit geleistet wird, ist Wv12 = 0. Sofern nur reversible
Prozesse betrachtet werden sollen, ist die Dissipationsarbeit WD ebenfalls Null. Die
Zustandsänderung wird also lediglich durch den Wärmetransfer Q12
Gl. 9-2:
Q12 = U 2 − U 1
bedingt und bewirkt eine Änderung der inneren Energie U. Eine isochore Zustandsänderung
wird im p,V-Diagramm stets als senkrechte Linie dargestellt.
Abb. 9-1:
Isochore Zustandsänderung im p,V-Diagramm
_________________________________________________________________________
Ü 9-1: Aufheizung einer Pressluftflasche
Eine Pressluftflasche, in der sich noch 1.84 kg Luft bei einem Druck von p1 = 1.74 bar und
einer Temperatur von T1 = 10°C befinden, heizt sich durch Sonneneinstrahlung auf 98 °C auf.
Gesucht sind die zugeführte Wärmemenge Q12, der Druck p2 , das Volumen der Flasche V
und die Änderung der inneren Energie U2 - U1
Der über den Temperaturbereich 10°C bis 98°C gemittelte Wert für die spezifische
Wärmekapazität bei konstantem Druck cp beträgt cp = 1007.6 J/(kg⋅K)
_________________________________________________________________________
Technische Thermodynamik
Zustandsänderungen
78
_________________________________________________________________________
9.1.2 Isobare Zustandsänderung
Für isobare Änderungen (d.h. p = const.) vereinfacht sich die ideale Gasgleichung zu
Gl. 9-3:
V2 T2
=
V1 T1
Dies entspricht dem Gesetz von Gay-Lussac.
Die während der Zustandsänderung geleistete Volumenänderungsarbeit berechnet sich zu:
V2
Gl. 9-4:
Wv12 = − p ⋅ ∫ dV = − p ⋅ (V2 − V1 )
V1
Eingesetzt in den ersten Hauptsatz ergibt sich für eine isobare Zustandsänderung die zuoder abgeführte Wärme für p1 = p2 = p zu
Gl. 9-5:
Q12 = U 2 − U1 + p ⋅ (V2 − V1 ) = U 2 + p ⋅ V2 − (U1 + p ⋅ V2 ) = H 2 − H1
Die isobare Zustandsänderung wird im p,V-Diagramm als waagerechte Linie dargestellt. Die
Fläche unter dieser Linie entspricht der Volumenänderungsarbeit WV12.
Abb. 9-2:
Isobare Zustandsänderung im p,V-Diagramm
_________________________________________________________________________
Ü 9-2: Isobare Expansion
Luft expandiert bei konstantem Druck p1 = 2.74 bar infolge von Wärmezufuhr vom Volumen
V1 = 3.74 m³ und der Temperatur T1 = 13°C auf V2 = 8.81 m³. Die Gaskonstante der Luft beträgt
R = 287.1 J/kgK
Gesucht sind
- die Masse m der Luft,
- die Temperatur T2,
- die zugeführte Wärmemenge Q12,
- die Volumenänderungsarbeit WV12,
_________________________________________________________________________
Technische Thermodynamik
Zustandsänderungen
79
_________________________________________________________________________
9.1.3 Isotherme Zustandsänderung
Die thermische Zustandsgleichung für ideale Gase liefert mit der Bedingung T = const.
Gl. 9-6:
p 2 V1
=
p1 V2
(Gesetz von Boyle-Mariotte)
Wegen T1 = T2 = T liefert der erste Hauptsatz mit U2 - U1 = 0 für den reversiblen Prozeß
Gl. 9-7:
Q12 + WV 12 = 0
Die Volumenänderungsarbeit WV12 berechnet sich zu
Gl. 9-8:
⎛V ⎞
WV 12 = − p1 ⋅ V1 ⋅ ln⎜⎜ 2 ⎟⎟
⎝ V1 ⎠
Die isotherme Zustandsänderung erscheint im p,V-Diagramm also immer als Hyperbel. Die
Fläche unter der Hyperbel entspricht der Volumenänderungsarbeit WV12 . Das Vorzeichen der
Volumenänderungsarbeit ist positiv bei einer Kompression und negativ bei einer Expansion
Abb. 9-3:
Isotherme Zustandsänderung im p,V-Diagramm: a) Kompression, b) Expansion
_________________________________________________________________________
Ü 9-3: Isotherme Kompression von Luft
Luft soll bei einer konstanten Temperatur von T1 = 25°C vom Volumen V1 = 0.83 m³ und dem
Anfangsdruck p1 = 3.02 bar auf das Endvolumen V2 = 0.42 m³ isotherm komprimiert werden.
Gesucht sind
- die Masse m der Luft,
- der Druck p2,
- die Volumenänderungsarbeit WV12,
- die abgeführte Wärmemenge Q12,
- die Änderung der inneren Energie U2 - U1
_________________________________________________________________________
Technische Thermodynamik
Zustandsänderungen
80
_________________________________________________________________________
9.1.4 Adiabate Zustandsänderung
Die Grenzen adiabater Systeme sind wärmeundurchlässig. Energie kann demnach nur in
Form von mechanischer Arbeit mit der Umgebung ausgetauscht werden. Generell ist bei
adiabaten Systemen für die Wärme immer Q12 = 0 zu setzen.
Weiterhin gilt für reversible Prozesse, daß keine Dissipationsarbeit geleistet wird (d.h.
verlustfrei), also WD12 = 0 . Der erste Hauptsatz vereinfacht sich somit zu
2
Gl. 9-9:
U 2 − U 1 = − ∫ p ⋅ dV = WV12
1
Gesucht ist nun die zur Berechnung des Integrals erforderliche Funktion des Drucks p in
Abhängigkeit vom Volumen V, d.h. p = p (V )
Anstelle der Bezeichnung reversible Adiabate wird in der Regel die Bezeichnung Isentrope
verwendet, da bei reversibel adiabaten Zustandsänderungen die Entropie konstant bleibt.
Druck und Volumen sind bei adiabaten und reversiblen Zustandsänderungen über das
Verhältnis der spezifischen Wärmen cp und cv miteinander verknüpft. Dieses Verhältnis wird
auch als Isentropenexponent κ bezeichnet.
Gl. 9-10:
κ=
cp
cv
Es gilt also
Gl. 9-11:
p 2 ⋅ V2κ = p1 ⋅ V1κ
(Isentropengleichung)
Durch Kombination der Isentropengleichung mit der Gasgleichung p ⋅ V = m ⋅ R ⋅ T läßt sich
die Volumenänderungsarbeit berechnen zu
Gl. 9-12:
κ
WV12 = − p1 ⋅ V1 ⋅
V2
dV
∫Vκ
V1
daraus folgt
Gl. 9-13:
WV12
κ −1
⎤
p1 ⋅ V1 ⎡⎛ V1 ⎞
⎢
=
⋅ ⎜⎜ ⎟⎟
− 1⎥
κ − 1 ⎢⎝ V2 ⎠
⎥
⎣
⎦
WV12
κ −1
⎡
⎤
p1 ⋅ V1 ⎢⎛ p 2 ⎞ κ
⎥
⎟⎟
=
⋅ ⎢⎜⎜
− 1⎥
κ − 1 ⎝ p1 ⎠
⎢
⎥
⎣
⎦
bzw.
Gl. 9-14:
oder
Gl. 9-15:
WV12 =
p1 ⋅ V1
κ −1
⎡⎛ T ⎞ ⎤
⋅ ⎢⎜⎜ 2 ⎟⎟ − 1⎥
⎣⎝ T1 ⎠ ⎦
Technische Thermodynamik
Zustandsänderungen
81
_________________________________________________________________________
Abb. 9-4:
Adiabate Zustandsänderung im p,V-Diagramm: a) Kompression, b) Expansion
_________________________________________________________________________
Ü 9-4: Adiabate Kompression von Luft
Mit den Angaben aus Ü 9-3 soll eine adiabate Kompression berechnet werden, κLuft = 1.4
- der Druck p2,
- die Temperatur T2,
- die Volumenänderungsarbeit WV12,
- die abgeführte Wärmemenge Q12,
- die Änderung der inneren Energie U2 - U1
_________________________________________________________________________
Technische Thermodynamik
Zustandsänderungen
82
_________________________________________________________________________
9.1.5 Polytrope Zustandsänderung
In Abb. 9-5 sind die bisher beschriebenen Zustandskurven des idealen Gases skizziert.
Abb. 9-5:
Polytropen im p,V-Diagramm, [ 13]
Diese Kurvenschar läßt sich durch die Potenzfunktion
Gl. 9-16:
p ⋅ V n = C = const .
beschreiben. In der Thermodynamik wird sie als Polytropengleichung bezeichnet (gr.
polytrope = die Vielgestaltige). Der Exponent n wird als Polytropenexponent bezeichnet.
Alle bisher behandelten Zustandsänderungen lassen sich aus der Polytropengleichung
ableiten:
Isochore Zustandsänderung (V = const.):
n→∞
Isobare Zustandsänderung (p = const.):
n=0
Isotherme Zustandsänderung (T = const.):
n=1
Reversibel adiabate = isentrope Zustandsänderung (S = const.): n = κ =
cp
cv
Kompressions- und Expansionsvorgänge verlaufen in technischen Apparaten überwiegend
im Bereich zwischen Adiabate und Isotherme. Die reversible adiabate bzw. isentrope (n = κ)
und die isotherme Zustandsänderung stellen Grenzfälle dar, die sich technisch nicht
realisieren lassen. Die tatsächliche Zustandsänderung verläuft auf einer Polytropen mit
einem Polytropenexponent, für den gilt: 1 < n < κ . Der genaue Wert von n ist in der Regel
nicht bekannt, läßt sich aber bei Kenntnis des Anfangs- und Endzustandes aus der
Polytropengleichung berechnen.
Gl. 9-17:
p1 ⋅ V1 n = p 2 ⋅ V2 n
Technische Thermodynamik
Zustandsänderungen
83
_________________________________________________________________________
Gl. 9-18:
⎛p ⎞
ln⎜⎜ 2 ⎟⎟
p1 ⎠
n= ⎝
⎛V ⎞
ln⎜⎜ 1 ⎟⎟
⎝ V2 ⎠
Polytrope Volumenänderungsarbeit WV12 bei n ≠ 1:
Gl. 9-19:
WV12
n −1
⎤
p1 ⋅ V1 ⎡⎛ V1 ⎞
=
⋅ ⎢⎜⎜ ⎟⎟
− 1⎥
n − 1 ⎢⎝ V2 ⎠
⎥
⎣
⎦
WV12
⎡
p1 ⋅ V1 ⎢⎛ p 2
=
⋅ ⎜
n − 1 ⎢⎜⎝ p1
⎢
⎣
bzw.
Gl. 9-20:
⎞
⎟⎟
⎠
n −1
n
⎤
⎥
− 1⎥
⎥
⎦
bzw.
Gl. 9-21:
WV12 =
⎤
p1 ⋅ V1 ⎡ T2
⋅ ⎢ − 1⎥
n − 1 ⎣ T1
⎦
Übertragene Wärme bei polytroper Zustandsänderung Q12 für n ≠ 1:
Gl. 9-22:
Q12 =
n − κ p1 ⋅ V1
⋅
κ −1 n −1
⎡T
⎤
⋅ ⎢ 2 − 1⎥
⎣ T1
⎦
bzw.
Gl. 9-23:
n −1
⎤
n − κ p1 ⋅ V1 ⎡⎛ V1 ⎞
⋅
⋅ ⎢⎜⎜ ⎟⎟
− 1⎥
Q12 =
κ − 1 n − 1 ⎢⎝ V2 ⎠
⎥
⎣
⎦
bzw.
Gl. 9-24:
n −1
⎤
⎡
⎛
⎞
n − κ p1 ⋅ V1 ⎢ p 2 n
⎥
⎟⎟
Q12 =
⋅
⋅ ⎢⎜⎜
− 1⎥
κ − 1 n − 1 ⎝ p1 ⎠
⎥
⎢
⎦
⎣
Technische Thermodynamik
Zustandsänderungen
84
_________________________________________________________________________
Ü 9-5 Zustandsänderungen
Skizieren Sie vier besondere Zustandsänderungen für ideale Gase und geben Sie
dazugehörigen Zustandsgleichungen an
_________________________________________________________________________
Ü 9-6 Isotherme Zustandsänderung
Welcher Zusammenhang besteht bei einer isothermen Zustandsänderung zwischen zu- bzw.
abgeführter Wärme und technischer Arbeit?
_________________________________________________________________________
Ü 9-7 Isentrope Zustandsänderung
Wie verhalten sich bei isentroper Zustandsänderung Druck und Temperatur?
_________________________________________________________________________
Ü 9-8 Isentrope Expansion
In einer Preßluftflasche mit V = 40 l befindet sich Luft unter p1 = 15 MPa bei
Umgebungstemperatur von T = 20°C. Nach dem Öffnen des Ventils sinkt der Druck in der
Flasche rasch auf p2 = 7.5 MPa ab, anschließend wird das Ventil wieder geschlossen.
Während dem Ausströmvorgang fand kein Wärmeaustausch zwischen Flascheninhalt und
Umgebung statt. Nach dem Schließen erhöht sich der Druck in der Flasche , da sich die
Temperatur der verbleibenden Luft wieder der Umgebungstemperatur angleicht.
a)
b)
c)
d)
Welche Temperatur T2 stellt sich direkt nach dem Ausströmen aus der Flasche
ein?
Welche Gasmasse strömt aus der Flasche?
Welcher Druck stellt sich nach dem Temperaturausgleich mit der Umgebung ein?
Welche Gasmasse würde aus der Flasche strömen, wenn der Ausströmvorgang
langsam bei konstanter Temperatur T∞ = 20°C auf p2 = 7.5 MPa erfolgen würde?
_________________________________________________________________________
Technische Thermodynamik
Zustandsänderungen
85
_________________________________________________________________________
9.2 T,s-Diagramme idealer Gase
9.2.1 Isochore Zustandsänderung idealer Gase
Für isochore Zustandsänderungen vereinfacht sich wegen dv = 0 die Gleichung für die
spezifische Entropie s zu
Gl. 9-25:
⎛T ⎞
s (T , v ) = cv ⋅ ln⎜⎜ ⎟⎟ + s(T1 , v1 )
⎝ T1 ⎠
Besondere Eigenschaften:
Wegen
Gl. 9-26:
⎛ ∂T ⎞
T = cv ⋅ ⎜
⎟
⎝ ∂s ⎠ v
bildet die spezifische Wärmekapazität cv eine Tangente an die Isochore.
Der Abstand zweier Isochoren mit v1 = const. und v2 = const. beträgt
Gl. 9-27:
⎛v ⎞
s (T , v2 ) − s (T , v1 ) = R ⋅ ln⎜⎜ 2 ⎟⎟
⎝ v1 ⎠
Im T,s-Diagramm bilden Isochoren eine Kurvenschar, die sich durch Verschiebung entlang
der Entropieachse ineinander überführen lassen. Dies bedeutet, daß sich für die
Temperaturdifferenz T2 - T1 für jede Isochore die gleiche Differenz der inneren Energie u2 - u1
ergibt.
Abb. 9-6:
Isochoren im T,s-Diagramm
Die Fläche unter der Kurve in Abb. 9-7 repräsentiert nicht nur die Summe aus übertragener
Wärme q12 und dissipierter Arbeit wD12 sondern entspricht auch der Änderung der inneren
Energie u2 - u1 .
Technische Thermodynamik
Zustandsänderungen
86
_________________________________________________________________________
Abb. 9-7:
Änderung der inneren Energie
9.2.2 Isobare Zustandsänderung idealer Gase
Bei isobarer Zustandsänderung vereinfacht sich wegen dp = 0 die Berechnung der
spezifischen Entropie zu
Gl. 9-28:
⎛T ⎞
s (T , p ) = c p ⋅ ln⎜⎜ ⎟⎟ + s(T1 , p1 )
⎝ T1 ⎠
Besondere Eigenschaften:
Wegen
Gl. 9-29:
⎛ ∂T ⎞
T =cp ⋅⎜
⎟
⎝ ∂s ⎠ p
bildet die spezifische Wärmekapazität cp eine Tangente an die Isobare. Der Abstand zweier
Isobaren mit p1 = const. und p2 = const. beträgt
Gl. 9-30:
⎛p ⎞
s (T , p 2 ) − s (T , p1 ) = − R ⋅ ln⎜⎜ 2 ⎟⎟
⎝ p1 ⎠
Im T,s-Diagramm bilden Isobaren eine Kurvenschar, die sich durch Verschiebung entlang der
Entropieachse ineinander überführen lassen. Dies bedeutet, daß sich für die
Temperaturdifferenz T2 - T1 für jede Isobare die gleiche Differenz der Enthalpie h2 - h1 ergibt.
Abb. 9-8:
Isobaren im T,s-Diagramm
Technische Thermodynamik
Zustandsänderungen
87
_________________________________________________________________________
Die Volumenänderungsarbeit bei isobarer Zustandsänderung ergibt sich aus dem ersten
Hauptsatz zu:
Gl. 9-31:
Abb. 9-9:
wV12 = u 2 − u1 − (h2 − h1 )
Volumenänderungsarbeit wV12 bei isobarer Zustandsänderung
9.2.3 Isotherme Zustandsänderung idealer Gase
Da bei idealen Gasen die innere Energie eine reine Temperaturfunktion ist, bilden
Isothermen im T,s-Diagramm eine Schar abszissenparalleler Geraden.
Gl. 9-32:
du = cv ⋅ dT = 0
Darüber hinaus sind sie identisch mit den Kurven konstanter Enthalpie (Isenthalpen):
Gl. 9-33:
dh = c p ⋅ dT = 0
Bei reversiblen Prozessen entspricht die Fläche unter der Isotherme der über die
Systemgrenze transportierten Wärme q12 und bei irreversiblen Prozessen der Summe aus
übertragener Wärme q12 und dissipierter Energie wD12 .
Abb. 9-10:
Isothermen im T,s-Diagramm
Technische Thermodynamik
Zustandsänderungen
88
_________________________________________________________________________
9.2.4 Isentrope Zustandsänderung idealer Gase
Die isentrope Zustandsänderung (s = const.) erscheint im T,s-Diagramm als senkrechte Linie
Abb. 9-11:
Isentrope im T,s-Diagramm
Abb. 9-12:
Isentrope Zustandsänderung - Volumenänderungsarbeit wv12 = u 2 − u1
Abb. 9-13:
Isentrope Zustandsänderung - Spezifische Strömungsarbeit y12 = h2 − h1
Technische Thermodynamik
Zustandsänderungen
89
_________________________________________________________________________
9.2.5 Polytrope Zustandsänderung
Bei einer polytropen Expansion mit 1 < n < κ kann die Volumenänderungsarbeit als Fläche
unterhalb der Isochoren und der Polytropen und die Strömumgsarbeit als die Fläche unter
der Isobaren und der Polytropen dargestellt werden.
Volumenänderungsarbeit
Innere Energie
u1-u2
Wärme +
q12+wD,12
Dissipationsenergie
Volumenänderungsarbei -wV,12
t
Abb. 9-14:
a-b-1-d-a
b-c-2-1-b
a-c-2-1-d-a
Strömungsarbeit
Enthalpie
Wärme +
Dissipationsenergie
Strömungsarbeit
h2-h1
q12+wD,12
a-b-1-d-a
b-c-2-1-b
-y12
a-c-2-1-d-a
Polytrope Expansion a) Volumenänderungsarbeit, b) Strömungsarbeit
9.3 Wärme- und Arbeit in Entropiediagrammen
9.3.1 Adiabate Systeme
Da adiabate Systeme mit ihrer Umgebung keine Energie in Form von Wärme austauschen,
d.h. es gilt q12 = 0 , stellt bei geschlossenen adiabaten Systemen die Fläche unter der Kurve
der Zustandsänderung nur die Dissipationsenergie wD dar. Bei adiabat-reversiblen
Zustandsänderungen (= isentrop) verschwindet diese Fläche, da keine Dissipationsarbeit
geleistet wird und die Kurve der Zustandsänderung wird zur senkrechten Linie (Abb. 9-11).
Da Wärmeübertragungsprozesse Zeit benötigen, kann aufgrund der hohen Strömungsgeschwindigkeit innerhalb von Strömungsmaschinen die übertragene Wärme von dem
Arbeitsmedium (Gas, Dampf) an das System vernachlässigt werden. In erster Näherung
können daher Kolben- und Turbomaschinen als adiabate Systeme betrachtet werden.
Geschlossene Systeme
In Abb. 9-15 ist für ein geschlossenes System die Zustandsänderung für eine adiabate
Expansion und adiabate Kompression skizziert.
Bei der Kompression von p1 auf p2 ändert sich die spezifische innere Energie u entsprechend
dem 1. Hauptsatz für geschlossene Systeme um den Betrag der spezifischen
Volumenänderungsarbeit wV,12 und die dissipierte Arbeit wD,12 .
Technische Thermodynamik
Zustandsänderungen
90
_________________________________________________________________________
2
2
u 2 − u1 = wV ,12 + wD ,12 = ∫ p ⋅ dv + ∫ T ⋅ ds
1
1
1
23 1
23
Gl. 9-34:
wV ,12
wD ,12
Bei irreversibler adiabater Verdichtung gilt somit für die spezifische Volumenänderungsarbeit
wV,12 (wV,12 > 0, dem System wird Arbeit zugeführt!)
wV ,12 = u 2 − u1 − wD ,12
Gl. 9-35:
und bei irreversibler adiabater Expansion gilt entsprechend (wV,12 < 0, dem System wird Arbeit
entzogen!)
− wV ,12 = −(u 2 − u1 ) + wD ,12
Gl. 9-36:
Die einzelnen Anteile von spezifischer innerer Energie, Volumenänderungsarbeit und
Dissipationsarbeit sind als Flächen in Abb. 9-15a,b dargestellt:
Geschlossenes adiabates
System
Innere Energie
Dissipationsenergie
Volumenänderungsarbeit
Abb. 9-15:
Expansion
u1-u2
wD,12
-wV,12
Kompression
a-b-1-d-a
b-c-2-1-b
a-c-2-1-d-a
a-c-2-d-a
b-c-2-1-b
a-b-1-2-d-a
u2-u1
wD,12
wV,12
Fläche unter der Isochore
Fläche unter der Adiabate
Geschlossenes adiabates System: a) Expansion, b) Kompression
Offene Systeme
Bei offenen, adiabat durchströmten Systemen, z.B. Strömungsmaschinen (Verdichter und
Turbinen), läßt sich unter der Annahme konstanter mechanischer Energie, d.h. keine
Änderung der kinetischen und potentiellen Energie, der 1. Hauptsatz für stationäre
Fließprozesse
(
)
1
q12 + wt ,12 = h2 − h1 + ⋅ c 22 − c12 + g ⋅ ( z 2 − z1 )
{
14243
2 4243
1
=0
=0
adiabat
vereinfachen zu
=0
kinetische Energie
potentielle Energie
Technische Thermodynamik
Zustandsänderungen
91
_________________________________________________________________________
Gl. 9-37:
wt ,12 = h2 − h1
Mit der Definition für die spezifische Strömungsarbeit y12 , (Arbeit am bewegten Fluidelement)
2
Gl. 9-38:
∫
y12 = v ⋅ dp
1
läßt sich die spezifische technische Arbeit wt,12 auch darstellen als die Summe aus
spezifischer Strömungsarbeit y12 und dissipierter Arbeit wD,12
Gl. 9-39:
wt ,12 = y12 + w D ,12
Analog zu dem geschlossenen System sind in Abb. 9-16 für ein offenes adiabates System die
spezifische Enthalpieänderung, dissipierte Arbeit und Strömungsarbeit als Flächen dargestellt, die von den folgenden Kurvenzügen umschlossen werden.
Expansion
a-b-1-d-a
h1-h2
b-c-2-1-b
wD,12
a-c-2-1-d-a
-y12
Offenes adiabates System
Enthalpie
Dissipationsenergie
Strömungsarbeit
Abb. 9-16:
Kompression
h2-h1 a-c-2-d-a
b-c-2-1-b
wD,12
a-b-1-2-d-a
y12
Fläche unter der Isobare
Fläche unter der Adiabate
Offen durchströmtes adiabates System: a) Expansion, b) Kompression
9.3.2 Wärme und Arbeit bei reversiblen und irreversiblen Prozesset
Bei reversiblen Prozessen bei denen keine Dissipationsarbeit geleistet wird, wurde die
Änderung der spezifischen Entropie s definiert als eine Größe, die der zu- bzw. abgeführten
Wärme dq proportional ist und die absolute Temperatur T den Proportionalitätsfaktor
darstellt.
Gl. 9-40:
dq = T ⋅ ds
bzw.
2
Gl. 9-41:
∫
q12 = T ⋅ ds
1
Technische Thermodynamik
Zustandsänderungen
92
_________________________________________________________________________
Bei irreversiblen Prozessen ist die spezifische Entropie proportional der Summe der
spezifischen Wärme q und der spezifischen dissipierten Arbeit wD.
Gl. 9-42:
dq + dwD = T ⋅ ds
bzw.
2
Gl. 9-43:
∫
q12 + w D12 = T ⋅ ds
1
Trägt man für eine Zustandsänderung den Verlauf der Temperatur T(s) als Funktion der
Entropie s auf, so ergeben sich bei einer reversiblen Prozeßführung die in Abb. 9-17
skizzierten Verläufe für a) Wärmezufuhr und b) Wärmeabfuhr aus dem System.
Abb. 9-17:
Darstellung der Wärme im T,s-Diagramm bei reversiblen Prozessen
Bei Zustandsänderungen werden nur Entropiedifferenzen betrachtet, d.h. daß der Nullpunkt
der Entropie willkürlich festgelegt werden kann. So wird z.B. der Nullpunkt für die Entropiewerte, wie sie in Dampftafeln von Wasser angegeben sind, in der Regel auf den Trippelpunkt
bezogen. Der tatsächliche Nullpunkt der Entropie liegt jedoch bei dem absoluten Nullpunkt,
d.h. bei T = 0 K.
Dritter Hauptsatzes der Thermodynamik
Die Entropie eines jeden reinen Stoffes nimmt im absoluten Nullpunkt der Temperatur den
Wert Null an (Nernst'sches Wärmetheorem).
Da bei irreversiblen Prozessen sich die Fläche unter der Zustandskurve aus zwei Anteilen
zusammensetzt, nämlich der übertragen Wärme q12 und der dissipierten Arbeit wD12, ist der
Verlauf der Zustandskurve nur bei Wärmezufuhr eindeutig. In diesem Fall haben beide
Anteile ein positives Vorzeichen. Bei Wärmezufuhr wächst die Entropie und die
Zustandsänderung verläuft von links nach rechts im T,s-Diagramm (Abb. 9-18a). Wird
hingegen dem System Wärme entzogen, so hängt die Richtung der Zustandsänderung von
dem Verhältnis der abgeführten Wärme zu der dissipierten Energie ab. Überwiegt die
Dissipation, so verläuft trotz Wärmeentzug die Zustandsänderung im T,s-Diagramm von links
nach rechts, d.h. die Entropie nimmt zu (Abb. 9-18a). Wird jedoch mehr Wärme abgeführt als
mechanische Arbeit dissipiert wird, so verläuft die Zustandskurve von rechts nach links, d.h.
die Entropie wird verringert (Abb. 9-18b).
Technische Thermodynamik
Zustandsänderungen
93
_________________________________________________________________________
Eindeutig wird die Situation wieder bei adiabaten Systemen, d.h. es gilt q12 = 0 und die
Fläche unter der Kurve entspricht ausschließlich der dissipierten Energie wD12.
dq + dw
dq12 + dw12
dw D
w D12
Abb. 9-18:
Wärme und Dissipation bei irreversiblen Prozessen, a) nicht-adiabat, b) adiabat
Mit den bereits bekannten Gleichungen für die spezifische Entropie läßt sich die
Zustandskurve im T,s-Diagramm mit zwei thermischen Zustandsgrößen als unabhängige
Variable beschreiben. Der beliebige Bezugspunkt ist durch den Index 1 gekennzeichnet.
Gl. 9-44:
⎛T ⎞
⎛v⎞
s (T , v ) = cv ⋅ ln⎜⎜ ⎟⎟ + R ⋅ ln⎜⎜ ⎟⎟ + s (T1 , v1 )
⎝ T1 ⎠
⎝ v1 ⎠
bzw.
Gl. 9-45:
⎛T ⎞
⎛ p⎞
s (T , p ) = c p ⋅ ln⎜⎜ ⎟⎟ − R ⋅ ln⎜⎜ ⎟⎟ + s (T1 , p1 )
⎝ T1 ⎠
⎝ p1 ⎠
Für die spezifischen Wärmekapazitäten wird die Annahme getroffen, daß sie über den
betrachteten Temperaturbereich konstant sind.
Technische Thermodynamik
Zustandsänderungen
94
_________________________________________________________________________
9.4 T,s-Diagramm realer Gase
Als Beispiel für ein T,s-Diagramm realer Gase ist das T,s-Diagramm für Wasserdampf
angegeben. In dem von der Siedelinie (x = 0) und der Taulinie (x = 1) begrenzten Naßdampfgebiet fallen die Isobaren mit den Isothermen zusammen und bilden eine horizontale
Geradenschar. Im Bereich der flüssigen Phase links neben der Siedelinie liegen die Isobaren
relativ dicht nebeneinander und sind fast nicht voneinander zu unterscheiden. Im Gebiet des
trockenen überhitzten Dampfes verlaufen Isothermen und Isobaren getrennt. Im Naßdampfgebiet sind auch Kurven gleichen Dampfgehalts eingezeichnet, die sog. Isovaporen.
Abb. 9-19:
T,s-Diagramm für Wasserdampf, [ 6]
Technische Thermodynamik
Zustandsänderungen
95
_________________________________________________________________________
9.5 Mollier-Diagramm (h,s-Diagramm)
Das sog. h,s-Diagramm (Mollier-Diagramm) geht auf den Physiker H. Mollier (1863-1935)
zurück. Während im T,s-Diagramm die Größen Wärme, Arbeit, innere Energie und Enthalpie
durch Flächen dargestellt werden, erscheinen diese Größen im Enthalpie-EntropieDiagramm als Strecken.
Zustandsänderungen werden im h,s-Diagramm als Kurvenzüge dargestellt. Als Beispiel ist in
Abb. 9-20 ein stationär durchströmtes System skizziert.
1-2: Adiabate (q12 = 0) Verdichtung eines Fluids von p1 auf p2, die Enthalpiedifferenz
entspricht der zugeführten technischen Arbeit wt12.
Gl. 9-46:
wt12 = h2 − h1
2-3: Auf der Isobaren p = p2 wird dem System reversibel Wärme zugeführt und keine
technische Arbeit geleistet (wt12 = 0).
Gl. 9-47:
q23 = h3 − h2
3-4: Innerhalb des adiabaten Kontrollraums expandiert das Fluid von p4 auf p1 .Die
Enthalpiedifferenz entspricht der vom System abgegebenen technischen Arbeit. wt34.
Gl. 9-48:
Abb. 9-20:
wt34 = h4 − h3
h,s-Diagramm
Ideale Gase
Bei idealen Gasen ergibt sich das h,s-Diagramm direkt aus dem T,s-Diagramm, in dem man
die Temperatur T mit der spezifischen Wärmekapazität cp multipliziert und erhält bis auf eine
unbestimmte Konstante die Enthalpie. Da bei Zustandsänderungen jedoch lediglich
Enthalpiedifferenzen von Interesse sind, ist dies ohne praktische Bedeutung.
Technische Thermodynamik
Zustandsänderungen
96
_________________________________________________________________________
Reale Gase
Als Beispiel für die Darstellung bei realen Gasen ist in Abb. 9-21 ein Ausschnitt des h,sDiagramms für Wasserdampf skizziert.
Isenthalpen (h = const.) und Isentropen (s = const.) sind Scharen horizontaler bzw. vertikaler
Geraden. Die Isothermen (T = const.) fallen im Naßdampfgebiet mit den Isobaren (p = const.)
zusammen. Die Steigung der Isothermen nimmt im Gebiet der Gasphase stetig ab und
verlaufen mit wachsender Entropie zunehmend waagerecht. In diesem Bereich nähert sich
das Verhalten des Wasserdampfes dem Verhalten des idealen Gases; Isotherme und
Isenthalpe fallen zusammen.
Abb. 9-21:
Mollier-Diagramm von Wasserdampf, [ 14]
Technische Thermodynamik
Zustandsänderungen
97
_________________________________________________________________________
9.6 Feuchte Luft (h,x-Diagramme)
9.6.1 Relative Feuchte
Wasser kann in Luft in allen drei Aggregatsformen, d.h. fest, flüssig oder gasförmig enthalten
sein und Phasenänderungen durchlaufen. Das Gemisch aus Luft und Wasser in der
Dampfphase wird als feuchte Luft bezeichnet. Der Luftdruck p ergibt sich als Summe der
Partialdrücke der Luft pL und des Wasserdampfes pD bei der betrachteten Temperatur.
Gl. 9-49:
p = pL + pD
Luft kann nur solange Wasserdampf aufnehmen, solange der Partialdruck des Wasserdampfs pD kleiner ist als der Sättigungsdruck pDS, der wiederum von der Temperatur abhängt.
Die relative Feuchte ϕ beschreibt das Verhältnis von Partialdruck zu Sättigungsdruck,
welches dem Dichteverhältnis des Wasserdampfes in ungesättigter zu gesättigter Luft
entspricht.
Gl. 9-50:
ϕ=
pD ρ D
=
pDS ρ DS
Mit den spezifischen Gaskonstanten von trockener Luft (RL = 287.05 [J/kg⋅K]) und Wasserdampf RD = 461.51 [J/kg⋅K]) kann in Abhängigkeit von der relativen Feuchte ϕ und dem Druck
p der Wert der spezifischen Gaskonstante der feuchten Luft Rf, die z.B. zur Berechnung der
Dichte benötigt wird, korrigiert werden.
Gl. 9-51:
RL
Rf =
1−
287.05
ϕ ⋅ pDS
R ⎞
⋅ ⎜⎜1 − t ⎟⎟ 1 − 0.378 ⋅
p
⎝ RD ⎠
ϕ ⋅ pDS ⎛
p
=
Der Sättigungsdampfdruck pDS läßt sich für den Temperaturbereich -30°C bis +70°C
näherungsweise durch die Magnus-Formel als Funktion der Temperatur T [°C] bestimmen.
Gl. 9-52:
pDS = 611.213 ⋅ e
17.5043⋅T
241.2 + T
[Pa]
Genauere Werte liefern die Dampftafel von Wasser, Tab. 14.4, Tab. 14.5.
9.6.2 Feuchtegrad und Sättigungsgrad
Der Feuchtegrad x oder die absolute Feuchte von Luft beschreiben das Massenverhältnis
von Wasserdampf und Luft
Gl. 9-53:
x=
mD RL ⋅ pD
pD
=
= 0.622 ⋅
mL RD ⋅ pL
p − pD
Der maximale Feuchtegrad wird bei dem Sättigungsdampfdruck pDS erreicht, d.h. pD = pDS
Gl. 9-54:
xS = 0.622 ⋅
pDS
p − pDS
Technische Thermodynamik
Zustandsänderungen
98
_________________________________________________________________________
Mögliche Zustandsformen in Abhängigkeit vom Feuchtegrad x
- Ungesättigte Luft:
- Gesättigte Luft:
- Übersättigte Luft:
(überhitzter Dampf)
(Sattdampf)
(Naßdampf = Nebel)
x < xS
x = xS
x > xS
Bei Temperaturen unterhalb des Trippelpunktes von Wasser (T = 0.01°C) bildet sich ein
Gemisch aus Sattdampf und Eis (Eisnebel).
Der Sättigungsgrad ψ beschreibt das Verhältnis von Feuchtegrad der Luft zum Feuchtgrad
der gesättigten Luft.
Gl. 9-55:
ψ=
x
xS
ψ=
pD p − pDS
p − pDS
⋅
=ϕ ⋅
pDS p − pD
p − pD
bzw.
Gl. 9-56:
9.6.3 Zustandsgrößen feuchter Luft
Enthalpie
Die spezifische Enthalpie der feuchten Luft bestimmt sich analog zur Berechnung der
Enthalpie von Dämpfen, d.h. für ungesättigte feuchte Luft gilt
Gl. 9-57:
h = hL + x ⋅ hD
und für gesättigte feuchte Luft gilt
Gl. 9-58:
h = hL + xS ⋅ hD
Für übersättigte feuchte Luft im Nebelgebiet gilt
Gl. 9-59:
h = hL + xS ⋅ hD + ( x − xS ) ⋅ hF
Wobei hF die spezifische Enthalpie des flüssigen Wassers beschreibt. Bei Temperaturen
unterhalb des Trippelpunktes von Wasser (T = 0.01°C), im Eisnebelgebiet gilt
Gl. 9-60:
h = hL + xS ⋅ hD + ( x − xS ) ⋅ hE
hE = spez. Enthalpie von Eis
Allgemein gilt für die spezifische Enthalpie h’ der feuchten Luft
Gl. 9-61:
h′ = c pL ⋅ T + (xD ⋅ c pD + xF ⋅ c pF + xE ⋅ c pE ) ⋅ T +
123 1444442444443
Luft
Wasser in der entsprechenden Phase
xD ⋅ ΔhV
1
424
3
Verdampfungsenthalpie
+ xD ⋅ ΔhS
1
424
3
Schmelzenthalpie
Mit h0 = 0 bei T = 0°C , d.h. Prozesse unter 0°C werden durch negative Enthalpien
beschrieben folgt
Technische Thermodynamik
Zustandsänderungen
99
_________________________________________________________________________
Gl. 9-62:
h′ − h0 = c pL ⋅ (T − T0 ) + (xD ⋅ c pD + xF ⋅ c pF + xE ⋅ c pE ) ⋅ (T − T0 ) +
14243 144444424444443
Luft
Mit
Wasser in der entsprechenden Phase
c pL =1.004 [kJ kg ]
c pD =1.86 [kJ kg ]
xD ⋅ ΔhV
1
424
3
Verdampfungsenthalpie
+ xD ⋅ ΔhS
1
424
3
Schmelzenthalpie
spez. Wärmekapazität von Luft bei p = const. (-30°C bis +50°C)
spez. Wärmekapazität von Wasserdampf bei p = const.
c pF = 4.19 [kJ kg ]
spez. Wärmekapazität von flüssigem Wasser bei p = const.
c pE = 2.07 [kJ kg ]
spez. Wärmekapazität von Eis p = const.
ΔhV = 2500 [kJ kg ] Verdampfungsenthalpie von Wasser
ΔhS = − 333.4 [kJ kg ] Schmelzenthalpie von Eis
folgt für die spez. Enthalpie h’ mit T [°C]
Gl. 9-63:
h′ = (1.004 + 1.86 ⋅ xD + 4.19 ⋅ xF + 2.07 ⋅ xE ) ⋅ T + 2500 ⋅ xD − 333.4 ⋅ xD
Dichte und spezifisches Volumen
Aus der Zustandsgleichung für feuchte Luft
Gl. 9-64:
⎛R
m ⎞
p ⋅ V = pL ⋅ V + pD ⋅ V = (mL ⋅ RL + mD ⋅ RD ) ⋅ T = mL ⋅ RD ⋅ ⎜⎜ L + D ⎟⎟ ⋅ T
⎝ RD mL ⎠
folgt
Gl. 9-65:
V = mL ⋅ (0.622 + x ) ⋅
RD ⋅ T
p
Das spezifische Volumen ergibt sich mit
Gl. 9-66:
v=
V
V
V
=
=
mL + mD mL + x ⋅ mL mL ⋅ (1 + x )
v=
0.622 + x RD ⋅ T
⋅
1+ x
p
zu
Gl. 9-67:
und die Dichte mit
Gl. 9-68:
ρ=
mL + mD mL + x ⋅ mL mL ⋅ (1 + x )
=
=
V
V
V
ρ=
1+ x
p
⋅
0.622 + x RD ⋅ T
zu
Gl. 9-69:
Für übersättigte feuchte Luft gilt
Gl. 9-70:
und
v=
0.622 + xS RD ⋅ T
⋅
1+ x
p
Technische Thermodynamik
Zustandsänderungen
100
_________________________________________________________________________
Gl. 9-71:
ρ=
1+ x
p
⋅
0.622 + xS RD ⋅ T
9.6.4 Feuchte Luft in Diagrammform
Diese Darstellungsform (Mollier, 1923) setzt einen konstanten Druck für die feuchte Luft
voraus, bei einer Druckänderung werden die Kurvenverläufe entsprechend Abb. 9-22b
verschoben.
Abb. 9-22:
a) Darstellung unterschiedlicher Phasen im h,x-Diagramm, b) Druckerhöhung, [ 13]
Abb. 9-23:
Konstruktionsprinzip des h,x-Diagramms für feuchte Luft, [ 13]
Technische Thermodynamik
Zustandsänderungen
101
_________________________________________________________________________
Trocknung feuchter Luft
Zur Trocknung feuchter Luft ist die absolute Feuchte x entsprechend dem in Abb. 9-24
skizzierten Prozeß zu reduzieren.
Abb. 9-24:
Zustandsänderungen bei der Trocknung feuchter Luft, [ 13]
(1) - (2):
Abkühlung bei x = x DS + x F = const. , Sättigungslinie wird in das Nebelgebiet
unterschritten
(2) - (3):
Entnahme des flüssigen Wassers bei konstanter Temperatur.
Im Punkt (3) gilt x = x DS , ϕ = 1
(3) – (4):
Erwärmung der feuchten Luft auf die Ausgangstemperatur T1.
Im Punkt (4) gilt x4 < x1 , ϕ 4 < ϕ1
Technische Thermodynamik
Zustandsänderungen
102
_________________________________________________________________________
Mischung von Luft unterschiedlicher Feuchte und Temperatur
Insbesondere bei Klimaanlagen werden häufig Luftmassen unterschiedlicher Feuchte und
Temperatur gemischt, z.B. durch Zuführen von Außenluft zur Raumluft. Bei dem
Aufeinandertreffen von zwei Luftmassen unterschiedlicher Temperatur und unterschiedlicher
Feuchte in der Atmosphäre kann es zur Bildung von Nebel kommen.
m1, h1’, T1, x1
m3, h3’, T3, x3
m2, h2’, T2, x2
Abb. 9-25:
Mischung von zwei Luftmassen
Massebilanz der Luft
Gl. 9-72:
mL 3 = mL1 + mL 2
Massebilanz des Wassers
Gl. 9-73:
mW 3 = mW 1 + mW 2
& W m& L folgt für die Enthalpiebilanz
mit x = mW mL bzw. x& = m
Gl. 9-74:
′
′
′
m& L 3 ⋅ h3 = m& L1 ⋅ h1 + m& L 2 ⋅ h2
bzw.
′ m&
h1 + L 2
m& L1
′ m& ⋅ h + m& L 2 ⋅ h2 m& L1 ⋅ h1 + m& L 2 ⋅ h2
=
=
h3 = L1 1
&
m
m& L 3
m& L1 + m& L 2
1 + L2
m& L1
′
Gl. 9-75:
bzw.
Gl. 9-76:
′
′
′
′
′
x − x3
m& L 2 h1 − h3
=
= 1
m& L1 h ′ − h ′ x3 − x2
3
2
Aufgrund der Proportionalität zwischen den spezifischen Enthalpien und den absoluten
Feuchten verläuft der Mischvorgang im h,x-Diagramm auf einer Geraden parallel zwischen
den Ausgangsmasseströmen, Abb. 9-26.
Technische Thermodynamik
Zustandsänderungen
103
_________________________________________________________________________
Abb. 9-26:
Enthalpie bei der Mischung zweier Luftmassen, [ 13]
Nebelbildung
Trifft eine Luftmasse vom Zustand (a) auf eine Luftmasse vom Zustand (b), so wird sich ein
Endzustand einstellen, der auf einer Geraden zwischen den beiden Punkten liegt; in diesem
Fall im ungesättigten Gebiet, Abb. 9-27. Die Bildung von Nebel ist somit ausgeschlossen.
Trifft jedoch die kalte, ungesättigt Luftmasse vom Zustand (c) auf die wärmere Luftmasse
vom Zustand (a), so stellt sich ein Endzustand ein, der je nach Masseanteilen die Sattdampflinie unterschreiten und somit zur Nebelbildung führen kann.
Abb. 9-27:
Mischung zweier Luftmassen im ungesättigten Gebiet, [ 13]
Technische Thermodynamik
Zustandsänderungen
104
_________________________________________________________________________
Ü 9.9 Wasser-Naßdampf
In einem geschlossenen Behälter mit V = 1 m³ befindet sich Wasser-Naßdampf mit einem
Dampfanteil von 60% bei einem Druck von p = 5 MPa.
Zu berechnen sind
a)
das spezifische Volumen v des Naßdampfes
b)
Masse des Naßdampfes m und des Wassers mW
c)
Spezifische Enthalpie des Naßdampfes
_________________________________________________________________________
Ü 9.10 Klimaanlage
In einem Raum beträgt die Lufttemperatur T = 20°C und die relative Feuchte ϕ = 80%. Durch
Kühlung der Luft bei konstanter absoluter Feuchte x sinkt die spez. Enthalpie um Δh = 20
[kJ/kg trockene Luft], ein Teil des Wassers kondensiert und wird abgeschieden. Anschließend
wird die Luft wieder auf T = 20°C erwärmt.
a)
b)
c)
d)
Wieviel Wasser wurde bei welcher Temperatur entfernt?
Wieviel Energie ist erforderlich, um die Luft wieder auf T = 20°C zu erwärmen?
Auf welchen Wert wird die absolute Feuchte x reduziert?
Welchen Wert nimmt die relative Feuchte ϕ an?
_________________________________________________________________________
Technische Thermodynamik
Zustandsänderungen
105
_________________________________________________________________________
9.7 Zusammenfassung reversibler Zustandsänderungen
Zustandsänderung
Bedingung
Beziehungen
zwischen p, T, V
isochor
reversibel
dv = 0
p1 T1
=
p 2 T2
p
= const .
T
isobar
reversibel
dp = 0
T1 v1
=
T2 v 2
isotherm
reversibel
dT = 0
v
= const.
T
p ⋅ v = const.
adiabat
reversibel
dq = 0, ds = 0
p1 v 2
=
p 2 v1
p1
p2
⎛v
= ⎜⎜ 2
⎝ v1
⎞
⎟⎟
⎠
T1 ⎛ v 2 ⎞
=⎜ ⎟
T2 ⎜⎝ v1 ⎟⎠
dqrev = cv ⋅ dT
q12,rev = cv ⋅ (T2 − T1 )
dq rev = c p ⋅ dT
q12,rev = c p ⋅ (T2 − T1 )
dq rev = p ⋅ dv = v ⋅ dp
dqrev = 0
q12, rev = − wv ,12 = − w p ,12
qrev ,12 = 0
⎛v
q12, rev = R ⋅ T ⋅ ln⎜⎜ 2
⎝ v1
Volumenänderungsarbeit
2
Volumenänderungsarbeit
2
wv ,12 = − ∫ p ⋅ dv
wv ,12 = − ∫ p ⋅ dv
wv ,12 = 0
wv ,12 = p ⋅ (v1 − v2 )
1
Druckänderungsarbeit
2
1
Druckänderungsarbeit
2
w p ,12 = ∫ v ⋅ dp
w p ,12 = ∫ v ⋅ dp
w p ,12 = v ⋅ ( p2 − p1 )
w p ,12 = 0
du = dq rev = cv ⋅ dT
du = dq − dwv
1
2
wv ,12 = − ∫ p ⋅ dv
⎛p ⎞
wv ,12 = R ⋅ T ⋅ ln⎜⎜ 2 ⎟⎟
⎝ p1 ⎠
⎛v ⎞
wv ,12 = p1 ⋅ v1 ⋅ ln⎜⎜ 1 ⎟⎟
⎝ v2 ⎠
w p ,12 = wv ,12
κ −1
κ
Tκ
= const.
p κ −1
⎞
⎟⎟
⎠
2
wv ,12 = − ∫ p ⋅ dv
1
1
1
T ⋅ v κ −1 = const.
⎞
⎟⎟
⎠
⎛v
q12, rev = p1 ⋅ v1 ⋅ ln⎜⎜ 2
⎝ v1
Spezifische Arbeit
p ⋅ v κ = const.
κ −1
T1 ⎛ p1 ⎞
=⎜ ⎟
T2 ⎜⎝ p 2 ⎟⎠
Spezifische Wärme
κ
κ −1
⎤
p1 ⋅ v1 ⎡⎛ v1 ⎞
⎢⎜⎜ ⎟⎟ − 1⎥
κ − 1 ⎢⎝ v2 ⎠
⎥⎦
⎣
κ −1
⎡
⎤
p ⋅v ⎛ p ⎞ κ
= 1 1 ⎢⎜⎜ 2 ⎟⎟ − 1⎥
⎥
κ − 1 ⎢⎝ p1 ⎠
⎣⎢
⎦⎥
1
=
(p ⋅v − p ⋅v )
κ −1 2 2 1 1
R
(T − T )
=
κ −1 2 1
=
w p ,12 = κ ⋅ wv ,12 = c p ⋅ (T2 − T1 )
Spezifische
inneren Energie
du = 0
u 2 − u1 = cv ⋅ (T2 − T1 )
u2 − u1 = q12,rev − p ⋅ (v2 − u 2 − u1 = 0
Spezifische
Enthalpie
dh = du
dh = dq rev = c p ⋅ dT
Spezifische
Entropie
ds = cv ⋅
du = dwv
2
u2 − u1 = wv ,12 = − ∫ p ⋅ dv
1
p,V-Diagramm
T, s-Diagramm
h2 − h1 = u 2 − u1
dT
dp
= cv ⋅
T
p
h2 − h1 = c p ⋅ (T2 − T1 )
ds = c p ⋅
dT
dp
= cp ⋅
T
p
dh = 0
h2 − h1 = 0
ds = R ⋅
dv
dp
=− R⋅
v
p
⎛T ⎞
s2 − s1 = cv ⋅ ln⎜⎜ 2 ⎟⎟
⎝ T1 ⎠
⎛T ⎞
s2 − s1 = c p ⋅ ln⎜⎜ 2 ⎟⎟
⎝ T1 ⎠
⎛v ⎞
s2 − s1 = R ⋅ ln⎜⎜ 2 ⎟⎟
⎝ v1 ⎠
⎛p ⎞
s2 − s1 = cv ⋅ ln⎜⎜ 2 ⎟⎟
⎝ p1 ⎠
⎛v ⎞
s2 − s1 = c p ⋅ ln⎜⎜ 2 ⎟⎟
⎝ v1 ⎠
⎛p ⎞
s2 − s1 = R ⋅ ln⎜⎜ 1 ⎟⎟
⎝ p2 ⎠
dh = dw p
h2 − h1 = w p ,12
ds = 0
s2 − s1 = 0
Technische Thermodynamik
Zustandsänderungen
106
_________________________________________________________________________
Zustandsänderung
Beziehungen
zwischen
p, T, V
Spezifische
Wärme
polytrop
reversibel
n
⎛v ⎞
= ⎜⎜ 2 ⎟⎟
⎝ v1 ⎠
n
p ⋅ v = const.
p1
p2
q12,rev =
n −1
⎛v ⎞
= ⎜⎜ 2 ⎟⎟
⎝ v1 ⎠
n −1
T ⋅ v = const.
T1
T2
⎛p ⎞
= ⎜⎜ 1 ⎟⎟
⎝ p2 ⎠
T1
T2
n −1
n
Tn
= const.
p n −1
⎡⎛ v
⎡⎛ v ⎞ n −1 ⎤
n −κ
n −κ
⋅ R ⋅ T1 ⋅ ⎢⎜⎜ 1
⋅ p1 ⋅ v1 ⋅ ⎢⎜⎜ 1 ⎟⎟ − 1⎥ =
(κ − 1) ⋅ (n − 1)
(κ − 1) ⋅ (n − 1)
⎢⎣⎝ v2
⎢⎣⎝ v 2 ⎠
⎥⎦
⎞
⎟⎟
⎠
n −1
⎤
− 1⎥
⎥⎦
n −1
n −1
⎡
⎤
⎡
⎤
⎛ p2 ⎞ n
⎛ p2 ⎞ n
n −κ
n −κ
⎢
⎥
⎢
=
⋅ p1 ⋅ v1 ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ − 1 =
⋅ R ⋅ T1 ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ − 1⎥
⎢⎝ p1 ⎠
⎥
⎢⎝ p1 ⎠
⎥
(κ − 1) ⋅ (n − 1)
(κ − 1) ⋅ (n − 1)
⎥⎦
⎣⎢
⎣⎢
⎦⎥
n −κ
=
⋅(p ⋅v − p ⋅v )
(κ − 1) ⋅ (n − 1) 2 2 1 1
=
Spezifische
Arbeit
n −κ
(κ − 1) ⋅ (n − 1)
⎞
⎛T
n −κ
⋅ R ⋅ (T2 − T1 )
⋅ p1 ⋅ v1 ⋅ ⎜⎜ 2 − 1⎟⎟ =
(κ − 1) ⋅ (n − 1)
⎠
⎝ T1
Volumenänderungsarbeit
Druckänderungsarbeit
n −1
⎤
p ⋅ v ⎡⎛ v ⎞
R ⋅ T1 ⎡⎛ v1
wv ,12 = 1 1 ⋅ ⎢⎜⎜ 1 ⎟⎟ − 1⎥ =
⋅ ⎢⎜
n − 1 ⎢⎝ v 2 ⎠
n − 1 ⎢⎜⎝ v2
⎥⎦
⎣
⎣
⎞
⎟⎟
⎠
n −1
⎤
− 1⎥
⎥⎦
n −1
n −1
⎡
⎤
⎡
⎤
p1 ⋅ v1 ⎢⎛ p 2 ⎞ n
R ⋅ T1 ⎢⎛ p2 ⎞ n
⎥
⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ − 1⎥
=
⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ − 1 =
⎥
⎥
n − 1 ⎢⎝ p1 ⎠
n − 1 ⎢⎝ p1 ⎠
⎥⎦
⎣⎢
⎦⎥
⎣⎢
1
=
⋅ ( p 2 ⋅ v 2 − p1 ⋅ v1 )
n −1
⎞ R
p ⋅v ⎛T
⋅ (T2 − T1 )
= 1 1 ⋅ ⎜⎜ 2 − 1⎟⎟ =
n − 1 ⎝ T1
⎠ n −1
Spezifische
inneren
Energie
n −1
⎤
p ⋅ v ⎡⎛ v ⎞
R ⋅ T1 ⎡⎛ v1
⋅ ⎢⎜
u 2 − u1 = 1 1 ⋅ ⎢⎜⎜ 1 ⎟⎟ − 1⎥ =
κ − 1 ⎢⎝ v 2 ⎠
κ − 1 ⎢⎜⎝ v2
⎥⎦
⎣
⎣
=
Spezifische
Enthalpie
1
κ −1
h2 − h1 =
⋅ ( p 2 ⋅ v 2 − p1 ⋅ v1 ) =
κ ⋅ p1 ⋅ v1 ⎡⎛ v1 ⎞
⋅ ⎢⎜ ⎟
κ − 1 ⎢⎜⎝ v2 ⎟⎠
⎣
n −1
p1 ⋅ v1
κ −1
⎞
⎟⎟
⎠
n −1
w p ,12 =
n ⋅ p1 ⋅ v1 ⎡⎛ v1
⋅ ⎢⎜
n − 1 ⎢⎜⎝ v2
⎣
⎤
p ⋅v
− 1⎥ = 1 1
κ −1
⎥⎦
wv ,12
p,VDiagramm,
T,sDiagramm
=
⎡⎛ v ⎞
⋅ ⎢⎜⎜ 1 ⎟⎟
⎢⎣⎝ v2 ⎠
n −1
⎤
− 1⎥
⎥⎦
n −1
⎡
⎤
⎛ p2 ⎞ n
⎢
⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ − 1⎥
⎢⎝ p1 ⎠
⎥
⎢⎣
⎦⎥
⎛T
⎞
R
⋅ ⎜⎜ 2 − 1⎟⎟ =
⋅ (T2 − T1 )
κ −1
⎝ T1
⎠
⎤
κ ⋅ R ⋅ T1
− 1⎥ =
κ −1
⎥⎦
q12,rev
⎤
n ⋅ R ⋅ T1
− 1⎥ =
n −1
⎥⎦
n −1
n −1
⎡
⎤
⎡
⎤
⎛ p2 ⎞ n
R ⋅ T1 ⎢⎛ p 2 ⎞ n
⎢
⎥
⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ − 1 =
⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ − 1⎥
⎢⎝ p1 ⎠
⎥
⎥
κ − 1 ⎢⎝ p1 ⎠
⎢⎣
⎥⎦
⎥⎦
⎣⎢
⎡⎛ v ⎞ n −1 ⎤
κ ⋅ p1 ⋅ v1
⋅ ⎢⎜⎜ 1 ⎟⎟ − 1⎥ =
κ −1
⎢⎣⎝ v2 ⎠
⎥⎦
n −1
⎡
⎤
⎛p ⎞n
κ ⋅ R ⋅ T1
⋅ ⎢⎜⎜ 2 ⎟⎟ − 1⎥ =
⎢⎝ p1 ⎠
⎥
κ −1
⎢⎣
⎥⎦
κ ⋅ p1 ⋅ v1 ⎛ T2 ⎞ κ ⋅ R
κ
⋅ ( p 2 ⋅ v2 − p1 ⋅ v1 ) =
⋅ ⎜ − 1⎟ =
⋅ (T2 − T1 )
κ −1
κ − 1 ⎜⎝ T1 ⎟⎠ κ − 1
c p n − κ dT
n − κ dT
⎛T ⎞
n −κ
⋅
ds = cv ⋅
⋅
=
⋅
⋅ ln⎜ 2 ⎟
s 2 − s1 = cv ⋅
n −1 T
κ n −1 T
n − 1 ⎜⎝ T1 ⎟⎠
w p ,12 = n ⋅ wv ,12
n −1
n −1
⎡
⎤
n ⋅ p1 ⋅ v1 ⎢⎛ p 2 ⎞ n
n ⋅ R ⋅ T1
=
⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ − 1⎥ =
⎥
n − 1 ⎢⎝ p1 ⎠
n −1
⎥⎦
⎣⎢
n
=
⋅ ( p 2 ⋅ v 2 − p1 ⋅ v1 )
n −1
⎞ n⋅R
n ⋅ p1 ⋅ v1 ⎛ T2
⋅ (T2 − T1 )
=
⋅ ⎜ − 1⎟⎟ =
n − 1 ⎜⎝ T1
⎠ n −1
=
Spezifische
Entropie
⎞
⎟⎟
⎠
n −κ
κ −1
u 2 − u1 n − 1
=
κ −1
wv ,12
n −1
⎡
⎤
⎛p ⎞ n
⋅ ⎢⎜⎜ 2 ⎟⎟ − 1⎥
⎢⎝ p1 ⎠
⎥
⎢⎣
⎥⎦
Technische Thermodynamik
Reversible Kreisprozesse
107
_________________________________________________________________________
10 Reversible Kreisprozesse
10.1 Allgemeine Kennzeichen eines Kreisprozesses
Die Zufuhr von Wärme in ein thermodynamisches System führt zu einer Veränderung seiner
inneren Energie und das System kann Arbeit verrichten. Das Verhältnis von zugeführter
Wärme und verrichteter Arbeit hängt von der bei der Wärmezufuhr durchlaufenen
Zustandsänderung ab.
Ein System, welches kontinuierlich Arbeit leisten soll muß also regelmäßig wieder in seinen
Ausgangszustand zurückgebracht werden. Dies ist jedoch nicht dadurch zu erreichen, daß
man einfach den Prozeß der Wärmezufuhr umkehrt. In diesem Fall wäre der Arbeitsgewinn
gleich Null. Die Rückkehr zum Ausgangszustand muß also über andere Zustandsänderungen geführt werden. Da die unterschiedlichen Zustandsänderungen in einer
geschlossen Folge hintereinander durchlaufen werden, wird dieser Vorgang als Kreisprozeß
bezeichnet.
Abb. 10-1:
Kreisprozeß eines geschlossenen Systems im p,v-Diagramm
Prozesse, die ein System wieder in seinen Anfangszustand zurückversetzen, werden als
Kreisprozesse bezeichnet
Nach dem vollständigen Durchlaufen des Kreisprozesses nehmen die Zustandsgrößen des
Systems, wie z.B. Druck, Temperatur, spezifisches Volumen, spezifische innere Energie und
Enthalpie wieder die Werte des Anfangszustandes an.
Quasistatische Zustandsänderungen bei Kreisprozessen lassen sich als geschlossene Kurve
im pv-Diagramm darstellen.
Als Beispiel für ein stationär umlaufendes Fluid soll die in Abb. 10-2 skizzierte
Dampfkraftanlage betrachtet werden.
Technische Thermodynamik
Reversible Kreisprozesse
108
_________________________________________________________________________
Abb. 10-2:
Vereinfachtes Schema einer Dampfkraftanlage
Das Wasser wird im Dampferzeuger verdampft, entspannt in der Turbine, wird dem
Kondensator zugeführt um dort wieder zu verflüssigen und wird anschließend von der
Speisewasserpumpe wieder zum Verdampfer gefördert.
Diese vier Komponenten der Dampfkraftanlage können als nacheinander geschaltete offene
Systeme betrachtet werden, die von dem Fluid durchströmt werden. Die Teilprozesse, die in
diesen einzelnen offenen Systemen ablaufen, lassen sich durch den ersten Hauptsatz für
stationäre Fließprozesse beschreiben.
q12 + wt ,12 = h2 − h1 +
(
)
q23 + wt , 23
(
)
(
)
M
qn1 + wt ,n1
1 2
⋅ c2 − c12 + g ⋅ ( z 2 − z1 ) ,
2
1
= h3 − h2 + ⋅ c32 − c22 + g ⋅ ( z3 − z 2 ) ,
2
M
1
= h1 − hn + ⋅ c12 − cn2 + g ⋅ ( z1 − z n ) .
2
Da die Zustandsgrößen, die auf der rechten Seite des Gleichungssystems stehen sich in der
Summe aufheben, ergibt die Addition der Gleichungen der Teilprozesse für den gesamten
Kreisprozeß
Gl. 10-1:
∑q +∑w
ik
t ,ik
=0
Die spezifische Nutzarbeit bzw. die Gesamtarbeit des Kreisprozesses wird definiert als
Gl. 10-2:
wt = ∑ wt ,ik
also
Gl. 10-3:
− wt =
∑q
ik
Die abgegebene, daher definitionsgemäß negative Nutzarbeit (-wt) eines Kreisprozesses ist
gleich dem Überschuß der als Wärme aufgenommenen Energie über die als Wärme
abgegebene Energie.
Technische Thermodynamik
Reversible Kreisprozesse
109
_________________________________________________________________________
Oder:
Bei einem Kreisprozeß wird die dem umlaufenden Fluid als Wärme zugeführte Energie zum
Teil in Nutzarbeit umgewandelt und zum Teil wieder als Wärme abgegeben.
Aus dem Vorzeichen der Wärmebilanz ergibt sich, ob der Kreisprozeß in einer Wärmekraftmaschine oder auch Wärmekraftanlage mit
q ik > 0 oder in einer Wärmepumpe oder
Kälteanlage mit
∑q
∑
ik
< 0 abläuft.
Ein Beispiel für eine Wärmekraftanlage wäre z.B. die einfache Dampfkraftanlage, deren
Zweck darin besteht, technische Nutzarbeit abzugeben. Dazu muß dem System Wärme
zugeführt werden. Ist die Wärmebilanz negativ, so wird mehr Wärme abgegeben als
aufgenommen, d.h. es wird dem System technische Nutzarbeit zugeführt um dem System
Wärme entziehen zu können, z.B. bei einer Kälteanlage.
Die Nutzleistung P des Kreisprozesses ergibt sich durch Multiplikation der technischen
& des umlaufenden Fluids.
Nutzarbeit (-wt) mit dem Massestrom m
Gl. 10-4:
− P = m& ⋅ (− wt ) = − ∑ Pik = ∑ Q& ik
wobei
Gl. 10-5:
dQ
dm
Q& =
= m& ⋅ q =
⋅q
dt
dt
den Wärmestrom und der Index ik den einzelnen Teilprozeß bezeichnet.
Da es sich gemäß der Annahme um einen stationären Prozeß handelt, bleibt der Energieinhalt des Kontrollraums zeitlich konstant, d.h. die Summe aller Energieströme über die
Systemgrenzen ergibt Null.
Gl. 10-6:
∑ Q& + ∑ P
ik
ik
=0
Bei reversiblen, d.h. verlustfreien Kreisprozessen berechnet sich die technische Arbeit für
jeden Teilprozeß ik gemäß
Gl. 10-7:
(w )
t ,ik rev
(
k
)
1
= ∫ v ⋅ dp + ⋅ ck2 − ci2 + g ⋅ ( z k − zi )
2
i
Die abgegebene Nutzarbeit des gesamten Kreisprozesses ergibt sich durch Aufsummieren
der Teilprozesse
Gl. 10-8:
2
3
1
2
(− wt )rev = − ∫ v ⋅ dp − ∫ v ⋅ dp − .... = ∑ (qik )rev
also
Gl. 10-9:
(− wt )rev = − ∫ v ⋅ dp = ∑ (qik )rev
Technische Thermodynamik
Reversible Kreisprozesse
110
_________________________________________________________________________
In einem pv-Diagramm (Abb. 10-3) erscheint der reversible Kreisprozeß als geschlossener
Kurvenzug. Die von dem Prozeß aufgenommene bzw. abgegebene Nutzarbeit entspricht
graphisch der von dem Kurvenzug umrandeten Fläche. Da das Vorzeichen des Flächeninhalts vom Integrationsweg des Linienintegrals abhängt, ergibt ein rechtsdrehender Prozeß
eine positive Fläche und entsprechend ergibt ein linksdrehender Prozeß eine negative
Fläche.
Abb. 10-3:
Reversible Kreisprozesse im pv-Diagramm
Ein rechtsdrehender Prozeß mit (wt )rev < 0 liefert somit Nutzarbeit und nimmt dafür Wärme
auf, Abb. 10-3(a). In Wärmekraftmaschinen vollführt daher das Arbeitsmedium immer einen
rechtsläufigen Kreisprozeß.
Ein linksdrehender Prozeß mit (wt )rev > 0 liefert somit Wärme und erfordert dafür die Zufuhr
von Nutzarbeit, Abb. 10-3(b). In Kälteanlagen vollführt das Arbeitsmedium entsprechend
einen linksläufigen Kreisprozeß.
_________________________________________________________________________
Ü 10-1:
Linienintegral
r r
r
v = v ( x, y, z ) = v ( X ( x, y, z ), Y ( x, y, z ), Z ( x, y, z )) und
r
r r
C : r = r (t ) mit a < t < b im Definitionsbereich von v .
r
Das Linienintegral von v längs der Kurve C ist das bestimmte Integral
geg.: Vektorfeld
eine
Raumkurve
b
C
r r
r r
r
∫ v ⋅ dr = ∫ v (r (t )) ⋅ r& (t ) ⋅ dt
a
Mit
r
r = ( x(t ), y (t ), z (t ))
r
gilt im Vektorfeld v :
x = x(t ), y = y (t ), z = z (t )
r
r
Berechnung des Linienintegrals durch Integration des inneren Produkts aus v und r von
t = a bis t = b
Technische Thermodynamik
Reversible Kreisprozesse
111
_________________________________________________________________________
Beispiel zur Berechnung eines Linienintegrals
r
r r
geg.: Vektorfeld v = v (x, y, z ) = v (2 y + 3, xz , yz − x )
C
Man berechne das Linienintegral
r
r
∫ v ⋅ dr
r
(
)
längs der Kurve C : r = 2t 2 , t , t 3 , 0 ≤ t ≤ 1
_________________________________________________________________________
10.2 Kreisprozesse geschlossener Systeme
Die Energiebilanz für ein geschlossenes System, das einen Prozeß mit N Zustandsänderungen durchläuft ergibt sich aus dem ersten Hauptsatz für jede einzelne
Zustandsänderung
u2 − u1 = q12 + wv12
u3 − u2 = q23 + wv23
M
M
u N − u N −1 = qN −1, N + wvN −1, N
u1 − u N = qN ,1 − wvN ,1
Die Addition der einzelnen Gleichungen ergibt
Gl. 10-10:
N
N
i =1
i =1
0 = ∑ qij + ∑ wvij
mit j = i+1
Die Arbeit des Kreisprozesses wk ist die Summe aller Volumenänderungsarbeiten wv,ij
Gl. 10-11:
N
N
i =1
i =1
wk = ∑ wvij = − ∑ qij
Das bedeutet, daß die Arbeit des Kreisprozesses gleich der Summe der übertragenen
Wärmemenge ist.
Gl. 10-12:
wk = − (q zu + qab ) = − (q zu − qab )
Die Richtung, mit der der Kreisprozeß durchlaufen wird, liefert sofort eine Aussage darüber,
ob der Prozeß eine Wärmekraftmaschine oder eine Kälteanlage beschreibt.
In Abb. 10-4 sind exemplarisch die Kreisprozesse für beide Arten von Maschinen skizziert:
Technische Thermodynamik
Reversible Kreisprozesse
112
_________________________________________________________________________
Abb. 10-4:
Kreisprozesse im p,v-Diagramm: a) Wärmekraftmaschine b) Kältemaschine
a) Wärmekraftmaschine (rechtsdrehender Prozeß)
Das System gibt infolge der Expansion von 1-2 Volumenänderungsarbeit ab.
2
Gl. 10-13:
wv12 = − ∫ p ⋅ dv < 0
1
Das System nimmt bei der Verdichtung von 2-1 Arbeit auf.
1
Gl. 10-14:
wv21 = − ∫ p ⋅ dv > 0
2
Da die Fläche unter der Expansionskurve größer ist, als die unter der Kompressionskurve
wird dem System also mehr Arbeit entzogen als zugeführt. Es gilt also
Gl. 10-15:
wk = wv12 + wv21 < 0
Eine Wärmekraftmaschine gibt Arbeit an die Umwelt ab, d.h. die Arbeit des Kreisprozesses,
bzw. die Nutzarbeit des Prozesses wk hat ein negatives Vorzeichen. Entsprechend muß die
Wärmebilanz ein positives Vorzeichen aufweisen, d.h. dem System wird Wärme zugeführt.
b) Kältemaschine (linksdrehender Prozeß)
Die Betrachtungen für den in Abb. 10-4b skizzierten Prozeß sind analog. In diesem Fall wird
dem System mehr Wärme entzogen als zugeführt. Entsprechend muß auch mehr Arbeit
zugeführt werden als abgeführt wird.
Die Zustandskurve wird also gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen.
Technische Thermodynamik
Reversible Kreisprozesse
113
_________________________________________________________________________
10.3 Kreisprozesse in offenen Systemen
Die in Abb. 10-5 skizzierte geschlossene Gasturbinenanlage, bestehend aus Verdichter V,
Wärmetauscher WT, Turbine T, Kühler K und Welle W, stellt in seiner Gesamtheit ein
geschlossenes System dar. Durch die entsprechende Wahl von Kontrollgrenzen läßt sich
das geschlossene System jedoch wieder in einzelne Teilsysteme aufteilen. Diese
Teilsysteme wiederum stellen offene Systeme dar.
Abb. 10-5:
Schema einer geschlossenen Gasturbinenanlage, [ 6]
Da der gesamte Kreisprozeß geschlossen ist, kann kein Stoffstrom die Systemgrenze des
Gesamtprozesses überqueren. Energie kann lediglich in Form von Wellenleistung und
Wärme über die Systemgrenzen transportiert werden.
Die Leistungsbilanz des skizzierten Kreisprozesses lautet somit
Gl. 10-16:
Q& + P = 0
Der Term Q& entspricht der Summe der bei allen Teilprozessen übertragenen Wärme und
der Term P stellt die über die Turbinenwelle an die Umwelt abgegebene Wellenleistung dar.
Für den Fall, daß die Anlage Nutzleistung liefern soll, d.h. P < 0, muß die Wärmestrombilanz
positiv sein. Es muß mehr Wärme zu- als abgeführt werden.
Gl. 10-17:
− P = ∑ Q& ij = Q& zu − Q& ab
NQ
Für das in Abb. 10-5 skizzierte Beispiel der Gasturbinenanlage lautet die Wärmebilanz
Gl. 10-18:
− P = Q& 23 + Q& 41 = Q& zu − Q& ab
Zur Erstellung der Leistungsbilanz des gesamten Kreisprozesses werden die Bilanzen der
Teilprozesse betrachtet. Dabei können der Verdichter und die Turbine als adiabate Systeme
angenommen werden, da aufgrund der schnellen Zustandsänderungen der Wärmeaustausch vernachlässigt werden kann.
Technische Thermodynamik
Reversible Kreisprozesse
114
_________________________________________________________________________
Die Summe aus spezifischer Enthalpie, kinetischer Energie und potentieller Energie wird
auch als Total- oder Gesamtenthalpie hg bezeichnet.
Gl. 10-19:
hg = h +
1 2
⋅c + g ⋅ z
2
Mit dieser Zusammenfassung der einzelnen Energieanteile lautet die Leistungsbilanz der
einzelnen Komponenten der Gasturbinenanlage:
Verdichter:
P12 = H g 2 − H g1
Wärmetauscher:
Q& 23 = H g 3 − H g 2
Turbine:
P34 + P = H g 4 − H g3
Kühler:
Q& 41 = H g1 − H g 4
Welle:
P12 + P34 = 0
Die Addition der Bilanzen der Teilkomponenten ergibt
Gl. 10-20:
P12 + Q& 23 + P34 + P + Q& 41 + P12 + P34 = 0
Unter der Annahme, daß die Welle die Leistung verlustfrei überträgt, gilt P12 = - P34 und somit
Gl. 10-21:
− P = Q& 23 + Q& 41
Die von der Turbine abgegebene Leistung -P wird um die für den Antrieb des Verdichters
benötigte Leistung P12 = - P34 verringert. Die Gesamtleistung der Turbine beträgt also
Gl. 10-22:
− PT = − P34 − P
Die von dem Kreisprozeß geleistete technische Arbeit wt ergibt sich durch Division der
Nutzleistung P durch den Massestrom m&
Gl. 10-23:
− wt = − ∑ wti , j = ∑ qi , j = q zu − qab
NP
NQ
Technische Thermodynamik
Reversible Kreisprozesse
115
_________________________________________________________________________
10.4 Bewertungskennzahlen für Kreisprozesse
10.4.1 Thermischer Wirkungsgrad (rechtsdrehende Prozesse)
Wirkungsgrade beschreiben das Verhältnis von Nutzen zu Aufwand.
Wärmekraftmaschinen wandeln in einem rechtsdrehenden Prozeß Wärme in Arbeit um, der
Rest geht als Abwärme verloren. Den Nutzen bei diesem Prozeß stellt die abgegebene
Arbeit wk dar, der Aufwand besteht in der zugeführten Wärmemenge qzu.
Der thermische Wirkungsgrad läßt sich für geschlossene Systeme schreiben in der Form
Gl. 10-24:
ηth =
q
− wk
= 1 − ab
q zu
q zu
10.4.2 Leistungsziffer (linksdrehende Prozesse)
Die Umkehrung der Durchlaufrichtung des Prozesses der Wärmekraftmaschine ergibt einen
linksläufigen Kreisprozeß, den der Wärmepumpe bzw. den der Kältemaschine.
Wärmepumpe
Eine Wärmepumpe entzieht der Umgebung Wärme und liefert wieder eine, um den Betrag
der zugeführten Arbeit, vergrößerte Wärmemenge ab (Heizung).
Der Nutzen der Wärmepumpe besteht in der abgegebenen Wärmemenge, der Aufwand in
der in den Kreißprozeß investierten Arbeit. Das Verhältnis von Nutzen zu Aufwand wird als
Leistungsziffer ε bezeichnet.
Gl. 10-25:
Gl. 10-26:
− qab
wk
− qab
ε=
wt
ε=
(geschlossenes System)
(offenes System)
bzw.
Gl. 10-27:
ε=
qab
q zu − qab
(allgemein gültig)
Technische Thermodynamik
Reversible Kreisprozesse
116
_________________________________________________________________________
Kältemaschine
Die Aufgabe einer Kältemaschine besteht in der Kühlung eines Kontrollraums. Die Leistungsziffer ε wird in diesem Fall definiert als
Gl. 10-28:
Gl. 10-29:
− q zu
wk
− q zu
ε=
wt
ε=
(geschlossenes System)
(offenes System)
bzw.
Gl. 10-30:
ε=
q zu
− (q zu − qab )
(allgemein gültig)
Technische Thermodynamik
Kreisprozesse thermischer Maschinen
117
_________________________________________________________________________
11 Kreisprozesse thermischer Maschinen
Zur überschlägigen Auslegung und Abschätzung des Leistungsvermögens von
Verbrennungskraftmaschinen können die dabei ablaufenden thermodynamischen Prozesse
in erster Näherung durch reversible Prozesse approximiert werden. Das in der Realität
verwendete Luft-Brennstoff-Gemisch wird durch ein ideales Gas als Arbeitsmedium ersetzt
und die chemischen Vorgänge während des Verbrennungsvorgangs werden durch eine
Wärmezufuhr ersetzt.
11.1 Vergleichsprozesse für Kolbenmaschinen
11.1.1 Otto-Prozeß
Der Viertakt-Ottomotor geht auf die Entwicklungsarbeiten von Nicolaus August Otto (18321891) in dem Jahr 1876 zurück.
Die vier Takte wiederholen sich nach jeweils zwei Umdrehungen der Kurbelwelle:
- 1. Takt:
Ansaugen eines Luft-Benzin-Gemischs
- 2. Takt:
Verdichtung des Gemischs
- 3. Takt:
Verbrennung und Expansion der Verbrennungsgase
- 4. Takt:
Herausschieben der Verbrennungsgase
Bezeichnungen:
V H = V1 − V2
V1 = V H + V K
V2 = V K
V V + VK
ε= 1 = H
V2
VK
Hubraum, Volumen zwischen unterem und oberem Totpunkt
Gesamtraum
Verdichtungsraum
Verdichtungsverhältnis
Der Ottomotor stellt ein offenes, instationär, d.h. pulsierend durchströmtes System dar. In
Abb. 11-1 ist der Prozeßverlauf im p,v-Diagramm skizziert, wie er z.B. bei laufendem Motor
auf einem Prüfstand aufgenommen wird.
0 - 1: Ansauglinie
1 - 2: Verdichtungslinie
2 - 3: Verbrennungslinie
3 - 4: Expansion
4 - 0: Ausschublinie
Abb. 11-1:
p,v-Diagramm eines Otto-Viertaktmotors
Technische Thermodynamik
Kreisprozesse thermischer Maschinen
118
_________________________________________________________________________
Die untere Fläche im p,v-Diagramm, die durch die Ansauglinie und von Teilen der
Verdichtungs- und Ausschublinie begrenzt wird, beschreibt die für den Ladungswechsel des
Zylinders erforderliche Arbeit. Die Fläche wird linksdrehend umlaufen, d.h. es wird Arbeit
aufgewendet.
Die obere Fläche wird rechtsdrehend umlaufen, d.h. das System gibt Arbeit ab. Die Nutzarbeit des Kreisprozesses entspricht der Differenz der beiden Flächen.
Der reversible Vergleichsprozeß geht von einem geschlossenen System aus, das aus dem
im Zylinder eingeschlossenen Gas besteht. Der Arbeitsaufwand für den Ladungswechsel,
d.h. die untere Fläche entfällt.
Weitere Annahmen:
- Das Luft-Brennstoff-Gemisch ist ein ideales Gas.
- Verdichtung und Expansion werden als adiabate Prozesse angenommen. Da es sich
gemäß der Annahme auch um einen reversiblen Prozeß handelt, sind diese
Zustandsänderung isentrop (= reversibel adiabat)
- Die Verbrennung wird durch eine isochore Zustandsänderung mit gleichzeitiger
Wärmezufuhr angenähert.
- Die Expansion der Verbrennungsgase mit anschließendem Ausströmen wird durch
eine isochore Wäremabfuhr ersetzt.
Mit diesen Annahmen kann der in Abb. 11-2 skizzierte Otto-Vergleichsprozeß definiert
werden:
- 1 - 2:
Isentrope Kompression
- 2 - 3:
Isochore Wärmezufuhr
- 3 - 4:
Isentrope Expansion
- 4 - 1:
Isochore Wärmeabfuhr
Abb. 11-2:
Otto-Vergleichsprozeß: a) p,v-Diagramm, b) T,s-Diagramm
Bei reversiblen Kreisprozessen ergibt sich die spezifische Nutzarbeit wk zu
Gl. 11-1:
− wk = q23 + q41 = q zu + qab = q zu − qab
Die isochor zugeführte Wärmemenge q23 beträgt
Gl. 11-2:
q23 = q zu = cv23 ⋅ (T3 − T2 ) > 0
Entsprechend berechnet sich die isochor abgeführte Wärmemenge q41 zu
Technische Thermodynamik
Kreisprozesse thermischer Maschinen
119
_________________________________________________________________________
Gl. 11-3:
q41 = qab = cv41 ⋅ (T1 − T4 ) < 0
Damit ergibt sich die spezifische Nutzarbeit wk
Gl. 11-4:
− wk = q23 + q41 = cv23 ⋅ (T3 − T2 ) + cv41 ⋅ (T1 − T4 )
Bei Vernachlässigung der Temperaturabhängigkeit der spezifischen Wärmekapazitäten
vereinfacht sich die Beziehung zu
Gl. 11-5:
− wk = cv ⋅ (T1 − T2 + T3 − T4 )
Die Temperaturen T2 und T4 ergeben sich aus der Isentropengleichung
κ −1
Gl. 11-6:
⎛V ⎞
T2 = T1 ⋅ ⎜⎜ 1 ⎟⎟
⎝ V2 ⎠
Gl. 11-7:
⎛V ⎞
T4 = T3 ⋅ ⎜⎜ 3 ⎟⎟
⎝ V4 ⎠
κ −1
⎛V ⎞
= T3 ⋅ ⎜⎜ 2 ⎟⎟
⎝ V1 ⎠
κ −1
bzw. mit dem Verdichtungsverhältnis ε = V1 V2
Gl. 11-8:
Gl. 11-9:
T2 = T1 ⋅ ε κ −1
1
T4 = T3 ⋅ κ −1
ε
Einsetzen der Temperaturen liefert
Gl. 11-10:
⎛
T T
1 ⎞
− wk = cv ⋅ T1 ⋅ ⎜⎜1 − ε κ −1 + 3 − 3 ⋅ κ −1 ⎟⎟
T1 T1 ε ⎠
⎝
Mit der Beziehung für die spezifische Wärmekapazität cv = R (κ − 1) ergibt sich für
spezifische Nutzarbeit des Otto-Vergleichsprozesses
Gl. 11-11:
− wk =
⎞
1 ⎞ ⎛T
R ⋅ T1 ⎛
⋅ ⎜1 − κ −1 ⎟ ⋅ ⎜⎜ 3 − ε κ −1 ⎟⎟
κ − 1 ⎝ ε ⎠ ⎝ T1
⎠
Thermischer Wirkungsgrad ηth des Otto-Vergleichprozesses
Gl. 11-12:
η th = 1 −
cv ⋅ (T4 − T1 )
qab
= 1 − 41
q zu
cv23 ⋅ (T3 − T2 )
Bei Vernachlässigung der Temperaturabhängigkeit der spezifischen Wärmekapazitäten gilt
Gl. 11-13:
η th = 1 −
(T4 − T1 )
(T3 − T2 )
Technische Thermodynamik
Kreisprozesse thermischer Maschinen
120
_________________________________________________________________________
bzw.
Gl. 11-14:
ηth = 1 −
1
ε κ −1
Der thermische Wirkungsgrad ηth des Otto-Vergelichsprozesses in Abhängigkeit vom
Verdichtungsverhältnis ε ist in Abb. 11-3 dargestellt.
Abb. 11-3:
Thermischer Wirkungsgrad des Otto-Vergleichsprozesses, [ 16]
Das Verdichtungsverhältis läßt sich bei Benzinmotoren jedoch nicht beliebig steigern, da mit
zunehmender Verdichtung auch die Verdichtungsendtemperatur T2 ansteigt. Wird die zur
Selbstzündung des Luft-Benzingemischs erforderliche Temperatur erreicht, so findet eine
unkontrollierte Verbrennung mit hohen Druckspitzen statt (= Klopfen). Die Klopfgrenze
moderner Ottomotoren wird bei einem Verdichtungsverhältnis von ε ≈ 10 erreicht, d.h.
ηth ≈ 0.6 .
Aufgrund der ischoren Wärmezufuhr (2 - 3) wird der Ottoprozeß auch als Gleichraumprozeß
bezeichnet.
Technische Thermodynamik
Kreisprozesse thermischer Maschinen
121
_________________________________________________________________________
Ü 11-1:
Nachrechnung eines Otto-Vergleichsprozesses
Annahmen: Arbeitsmedium ist Luft, die spezifischen Wärmekapazitäten sind konstant
Anfangstemperatur
Anfangsdruck
Maximaltemperatur
Isentropenexponent von Luft
Verdichtungsverhältnis
T1 = 288 K
p1 = 1.013 bar
T3 = 2273 K
κ = 1.4
ε = 10
ges.:
- Drücke und Temperaturen in allen Eckpunkten
- Thermischer Wirkungsgrad
_________________________________________________________________________
Ü 11-2
Nachrechnung eines Otto-Vergleichsprozesses (2)
Annahmen: Arbeitsmedium ist Luft, die spezifischen Wärmekapazitäten sind konstant
Verdichtungsverhältnis
pro Zyklus zugeführte Wärme
ε
Qzu
=
=
7.6
2.92 [kJ]
ges.:
- Thermischer Wirkungsgrad ηth
- Technische Arbeit
WK
- Nicht genutzte Wärme
Qab
_________________________________________________________________________
Ü 11-3
Nachrechnung eines Otto-Vergleichsprozesses (3)
ε
Verdichtungsverhältnis
Temperatur der angesaugten Luft
Umgebungsluftdruck
a)
T1
p∞
=
=
=
7.8
20 [°C]
0.09 [MPa]
Arbeitsmedium ist Luft, die spezifischen Wärmekapazitäten sind konstant,
pro Zyklus zugeführte spezifische Wärme: qzu = 950 [kJ/kg]
ges.:
- Thermischer Wirkungsgrad
ηth
- spezifische technische Arbeit
wK
- Drücke und Temperaturen in allen Eckpunkten des Prozesses
b)
Arbeitsmedium ist Luft, die Temperaturabhängigkeit der spezifischen
Wärmekapazitäten ist zu berücksichtigen
Alle Drücke und Temperaturen entsprechen denen von a)
ges.:
- Thermischer Wirkungsgrad
- spezifische technische Arbeit
ηth
wK
Technische Thermodynamik
Kreisprozesse thermischer Maschinen
122
_________________________________________________________________________
11.1.2 Diesel-Prozeß
Der Dieselprozeß geht auf das von Rudolf Diesel (1858-1913) entwickelte Verfahren zurück.
Der Dieselmotor saugt im ersten Takt Luft an und verdichtet sie bis zum Ende des ersten
Takts. Infolge der relativ hohen Verdichtung werden dabei hohe Drücke und auch hohe
Temperaturen erreicht. Durch eine Einspritzdüse wird Kraftstoff eingespritzt, der mit der
heißen, hochverdichteten Luft ein zündfähiges Gemisch bildet und sich selbst entzündet. Da
die Verbrennung bei nahezu konstantem Druck erfolgt, wird der Dieselprozeß auch als
Gleichdruckprozeß bezeichnet. Im Anschluß an den Verbrennungsvorgang erfolgt eine
Expansion und das Ausschieben der Verbrennungsgase. Im Vergleich zum Ottomotor liegt
beim Dieselmotor, aufgrund der höheren Zündtemperatur des Kraftstoffs, das Verdichtungsverhältnis wesentlich höher.
Diesel-Vergleichsprozeß:
1 - 2:
2 - 3:
3 - 4:
4 - 1:
Abb. 11-4:
Isentrope Kompression
Isobare Wärmezufuhr
Isentrope Expansion
isochore Wärmeabfuhr
Diesel-Vergleichsprozeß im a) p,v-Diagramm b) T,s-Diagramm
Das Volumenverhältnis
Gl. 11-15:
ϕ=
V3
V2
wird als Einspritzverhältnis oder auch Volldruckverhältnis bezeichnet.
Die spezifische Nutzarbeit wk des Diesel-Vergleichsprozesses ergibt sich aus der Wärmebilanz
Gl. 11-16:
− wk = q zu + q ab
Isobare Wärmezufuhr (2 - 3)
Gl. 11-17:
q zu = q23 = c p23 ⋅ (T3 − T2 )
Technische Thermodynamik
Kreisprozesse thermischer Maschinen
123
_________________________________________________________________________
Isochore Wärmeabfuhr (4 - 1)
Gl. 11-18:
qab = q41 = cv41 ⋅ (T1 − T4 )
Nutzarbeit wk des Prozesses
Gl. 11-19:
− wk = q23 + q41 = c p23 ⋅ (T3 − T2 ) + cv41 ⋅ (T1 − T4 )
Bei Vernachlässigung der Temperaturabhängigkeit der spezifischen Wärmekapazitäten, d.h.
c p23 = c p = const . , cv41 = cv = const. und mit cv = R (κ − 1) bzw. κ = c p cv sowie der Beziehung
für isentrope Zustandsänderungen (hier: 1 - 2 Isentrope Kompression)
Gl. 11-20:
T2 = T1 ⋅ ε κ −1
und der Definition für das Einspritzverhältnis ϕ, ergibt sich die spezifische Nutzarbeit wk des
Diesel-Vergleichsprozesses zu
Gl. 11-21:
− wk =
[
(
)]
R ⋅ T1
⋅ (ϕ − 1) ⋅ κ ⋅ ε κ −1 − ϕ κ − 1
κ −1
Der thermische Wirkungsgrad für Wäremekraftmaschinen ist definiert durch η th = 1 − qab q zu
d.h. für den Diesel-Vergleichsprozeß gilt
Gl. 11-22:
η th = 1 −
cv41 ⋅ (T4 − T1 )
c p23 ⋅ (T3 − T2 )
Für konstante spezifische Wärmekapazitäten vereinfacht sich die Beziehung zu
Gl. 11-23:
η th = 1 −
cv ⋅ (T4 − T1 )
1 (T − T )
=1 − ⋅ 4 1
c p ⋅ (T3 − T2 )
κ (T3 − T2 )
bzw.
Gl. 11-24:
η th = 1 −
1
κ ⋅ε
⋅
κ −1
ϕκ −1
ϕ −1
Der thermische Wirkungsgrad des Dieselmotors hängt also ab von dem Verdichtungsverhältnis ε, dem Einspritzverhältnis ϕ und dem Verhältnis der spezifischen Wärmekapazitäten κ.
Bei gleichem Verdichtungsverhältnis ist der thermische Wirkungsgrad des Dieselmotors
kleiner als der des Ottomotors. Der Vorteil des Dieselmotors liegt jedoch, neben konstruktiven Vorteilen, d.h. keine Zündanlage, darin, daß wegen der höheren Klopfestigkeit des
Dieselkraftstoffs ein wesentlich höheres Verdichtungsverhältnis gewählt werden kann als
beim Ottomotor. Dies führt zu einer höheren Wirtschaftlichkeit des Dieselmotors gegenüber
dem Ottomotor.
Technische Thermodynamik
Kreisprozesse thermischer Maschinen
124
_________________________________________________________________________
Ü 11-4:
Nachrechnung eines Diesel-Vergleichsprozesses
Mit Luft (ideales Gas) als Arbeitsmedium sollen
a) die Drücke und Temperaturen in den Endzeitpunkten der Zustandsänderugen berechnet
werden
V
b) Einspritzverhältnis ϕ = 3
V2
c) Thermischer Wirkungsgrad ηth
Anfangstemperatur:
T1 = 288 K
p1 = 1.01325 bar
Anfangsdruck:
T3 = 2273 K
Maximaltemperatur:
Verhältnis der spezifischen Wärmen:
κ = 1.4
Verdichtungsverhältnis:
ε = 21
_________________________________________________________________________
11.1.3 Seiliger-Prozeß
Die Verbrennungsvorgänge, des Otto- und Diesel-Prozesses werden nur näherungsweise
durch die in den Kapiteln 11.1.1 und 11.1.2 besprochenen Vergleichsprozesse
wiedergegeben. Die Annahmen der isochoren Verbrennung im Otto-Motor bzw. der isobaren
Verbrennung im Dieselmotor entsprechen den real ablaufenden Vorgängen nur bedingt.
Der im Jahre 1922 von Seiliger vorgeschlagene Vergleichsprozeß stellt eine Mischung aus
dem Otto- und dem Diesel-Prozeß (gemischter Vergleichsprozeß) dar. Die Wärmezufuhr
wird in einen isochoren und isobaren Teilprozeß aufgeteilt und es wird damit eine bessere
Annäherung an die tatsächlich ablaufenden Prozesse erreicht.
Zustandsänderungen des Seiliger-Prozesses:
1 - 2:
2 - 3:
3 - 4:
4 - 5:
5 - 1:
Isentrope Kompression
Isochore Wärmezufuhr
Isobare Wärmezufuhr
Isentrope Expansion
isochore Wärmeabfuhr
Neben den bereits bekannten Kennzahlen
V1
V2
V
ϕ= 4
V3
ε=
(Verdichtungsverhältnis)
(Einspritzverhältnis
wird als zusätzlicher Parameter das Druckverhältnis
Zustandsänderung bei idealem Gas) eingeführt.
Gl. 11-25:
Ψ=
p3 T3
=
p2 T2
(Druckverhältnis,
isochore
Technische Thermodynamik
Kreisprozesse thermischer Maschinen
125
_________________________________________________________________________
Abb. 11-5:
Seiliger-Prozeß im a) p,v-Diagramm b) T,s-Diagramm
Nutzarbeit
Die spezifische Nutzarbeit wk des Kreisprozesses ergibt sich wieder aus der Wärmebilanz
Gl. 11-26:
− wk = q zu + qab =
q23
{
isochore
Wärmezufuhr
+
+
q34
{
isobare
Wärmezufuhr
q51
{
isochore
Wärmeabfuhr
bzw.
Gl. 11-27:
− wk = c v23 ⋅ (T3 − T2 ) + c p34 ⋅ (T4 − T3 ) + c v51 ⋅ (T1 − T5 )
Unter der Anahme konstanter spezifischer Wärmen gilt
Gl. 11-28:
− wk = c v ⋅ [T1 − T2 + (1 − κ ) ⋅ T3 + κ ⋅ T4 − T5 ]
Die Bestimmung der Temperaturen ergibt sich aus den Gleichungen für die Zustandsänderungen idealer Gase.
T2 = T1 ⋅ ε κ −1
p
T3 = T2 ⋅ 3 = T2 ⋅Ψ = T1 ⋅Ψ ⋅ ε κ −1
p2
V
T4 = T3 ⋅ 4 = T3 ⋅ ϕ = T1 ⋅ ϕ ⋅Ψ ⋅ ε κ −1
V3
1 - 2: Isentrope Kompression
2 - 3: Isochore Wärmezufuhr
3 - 4: Isobare Wärmezufuhr
⎛V
T5 = T4 ⋅ ⎜⎜ 4
⎝ V5
4 - 5: Isentrope Expansion
⎞
⎟⎟
⎠
κ −1
⎛V V ⎞
= T4 ⋅ ⎜⎜ 4 ⋅ 3 ⎟⎟
⎝ V3 V5 ⎠
κ −1
= T1 ⋅ ϕ κ ⋅Ψ
Mit cv = R (κ − 1) läßt sich die spezifische Nutzarbeit wk des Seiliger-Prozesses schreiben als
Gl. 11-29:
− wk =
{
R ⋅ T1
⋅ 1 + ε κ −1 ⋅ [Ψ ⋅ (1 − κ ⋅ (1 − ϕ )) − 1] −Ψ ⋅ ϕ κ
κ −1
}
Technische Thermodynamik
Kreisprozesse thermischer Maschinen
126
_________________________________________________________________________
Thermischer Wirkungsgrad
Gl. 11-30:
Gl. 11-31:
Gl. 11-32:
qab
q51
=1 −
q zu
q23 + q34
cv ⋅ (T5 − T1 )
T5 − T1
=1 −
η th = 1 −
cv ⋅ (T3 − T2 ) + c p ⋅ (T4 − T3 )
T3 − T2 + κ ⋅ (T4 − T3 )
ηth = 1 −
η th = 1 −
1
ε κ −1
⋅
ϕκ ⋅ Ψ −1
Ψ − 1 + κ ⋅ Ψ ⋅ (ϕ − 1)
_________________________________________________________________________
Ü 11-5:
Nachrechnung eines Dieselmotors
Der theoretische Kreisprozeß eines Dieselmotors wird durch folgenden Kreisprozeß angenähert
1-2:
2-3:
3-4:
4-5:
5-1:
Polytrope Verdichtung mit nV = 1.35
Isochore Wärmezufuhr
Isobare Wärmezufuhr
Polytrope Expansion mit nE = 1.37
Isochore Wärmeabfuhr
Arbeitsmedium ist Luft als ideales Gas mit konstanten Wärmekapazitäten
geg.: T1 = 318 [K], p1 = 83.5 [kPa]
pmax = 8.6 MPa
Maximaler Prozeßdruck
Verdichtungsverhältnis
ε = 16
spez. zugeführte Wärme bei der Verbrennung
ges.: 1.
2.
3.
4.
qzu = 1730 [kJ/kg]
Zustandsgrößen p, v und T in allen 5 Eckpunkten
Übertragene Energien bei jeder Zustandsänderung (1-2-3-4-5-1)
Spezifische Arbeit des Kreisprozesses
Thermischer Wirkungsgrad
_________________________________________________________________________
Ein Vergleich zwischen Otto-, Diesel und Seiliger-Prozeß ist in Abb. 11-6 dargestellt.
Technische Thermodynamik
Kreisprozesse thermischer Maschinen
127
_________________________________________________________________________
Abb. 11-6:
Otto-, Diesel und Seiliger-Prozeß; p,v- und T,s-Diagramme, [ 13]
Technische Thermodynamik
Kreisprozesse thermischer Maschinen
128
_________________________________________________________________________
11.1.4 Stirling-Prozeß
Auf der Suche nach einem Ersatz für die zu dieser Zeit noch recht gefährlichen
Dampfmaschinen, welche als Antrieb für Lenzpumpen in Bergwerken eingesetzt wurden,
entwickelte der schottischen Geistliche R. Stirling (1790-1878), ohne tiefere thermodynamische Kenntnisse(!) einen Heißluftmotor, der im Jahre 1816 unter seinem Namen als
Stirling-Motor patentiert wurde.
Der Stirling-Prozeß verwendet ebenso wie der Ericson-Prozeß einen Wärmetauscher zur
Erhöhung des Wirkungsgrades. In einem Zylinder befinden sich zwei, über ein Rhombengetriebe gekoppelte Kolben, einen Verdrängerkolben und einen Arbeitskolben. Aufgabe des
Verdrängerkolbens ist es, das Arbeitsgas zwischen einem Raum mit konstant niedriger
Temperatur (Expansionsraum: Tmin = const.) und einem Raum mit konstant hoher Temperatur
(Kompressionsraum: Tmax = const.) hin- und herzuschieben.
Der zwischen dem Arbeits- und Verdrängerkolben, bzw. Kompressions- und Expansionskolben, befindliche Wärmetauscher oder auch Regenerator hat die Funktion eines thermodynamischen Reservoirs, das alternierend Wärme aufnimmt und wieder abgibt. Technisch
realisiert wird dies in Form von metallischen Schwämmen, die aus Matrixstrukturen aus
feinen Drähten oder Streifen bestehen
Die einzelnen Arbeitstakte sind in Abb. 11-7 skizziert:
1. Zu Beginn des Zyklus befindet sich der Kompressionskolben am äußeren Totpunkt und der Expansionskolben am inneren Totpunkt. Das gesamte Arbeitsmedium befindet sich im kalten Kompressionsraum. Da das Volumen maximal ist,
nehmen Druck und Temperatur minimale Werte an (1).
2. Der Kompressionskolben bewegt sich in Richtung seines inneren Totpunkts
während der Expansionskolben noch an seinem inneren Totpunkt verharrt, d.h.
isotherme Kompression 1 - 2. Der Druck steigt auf den Wert (2). Die Temperatur
bleibt konstant bei Tmin, da während der Kompression Wärme an die Umgebung
abgeführt wird.
3. Bei der isochoren Kompression (2 - 3) bewegen sich beide Kolben simultan; der
Kompressonskolben zu seinem inneren Totpunkt und der Expansionskolben an
seinen äußeren Totpunkt. Das Volumen zwischen beiden Kolben bleibt daher
konstant (isochor). Das Arbeistmedium wird durch die poröse Metallmatrix des
Regenerators geschoben und dabei von Tmin auf Tmax aufgeheizt und verläßt mit
Tmax den Regenerator. Die Temperaturerhöhung von Tmin auf Tmax bei konstantem
Volumen bewirkt eine Erhöhung des Drucks (3).
4. Bei der isothermen Expansion mit Tmax bewegt sich der Expansionskolben weiter
zu seinem äußeren Totpunkt, während der Kompressionskolben stationär an
seinem inneren Totpunkt verharrt. Durch die Expansion infolge der Volumenvergrößerung bei Tmax sinkt der Druck auf den Wert (4).
5. Um den Zyklus abzuschließen bewegen sich der Expansions- und der Kompressionskolben synchron, d.h. bei konstantem Volumen; der Expansionskolben zu
seinem inneren und der Kompressionskolben zu seinem äußeren Totpunkt. Das
Arbeitsmedium wird dabei wieder durch den Regenerator geschoben und gibt
seine Wärme an den Regenerator ab.
Technische Thermodynamik
Kreisprozesse thermischer Maschinen
129
_________________________________________________________________________
Wärmetauscher (Regenerator)
Expansionsraum
Kompressionsraum
1 – 2: Isotherme Wärmeabfuhr
im Kühler bei Tmin = const. an die
Umgebung
1 – 2: Isotherme Kompression
bei Tmin
2 – 3: Isochore Wärmezufuhr
Wärmeübertragung vom
Wärmetauscher an das
Arbeitsmedium
2 – 3: Isochore Kompression
3 – 4: Isothermen Expansion
bei Tmax
3 – 4: Isotherme Expansion von
p3 auf p4 : Wärmezufuhr durch
externe Heizquelle an das
Arbeitsmedium bei Tmax = const.
Verschiebung
4 – 1: Isochore Wärmeabfuhr
von T4 auf T1 :
Wärmeübertragung von dem
Arbeitsmedium an den
Wärmetauscher
Zeit
qab
qzu
Abb. 11-7:
Arbeitsprinzip des Stirling-Motors und Ort-Zeit-Diagramm
Abb. 11-8:
Stirling-Prozeß im a) p,v-Diagramm b) T,s-Diagramm, [ 3]
4 – 1: Isochore Expansion
Technische Thermodynamik
Kreisprozesse thermischer Maschinen
130
_________________________________________________________________________
Zustandsänderungen des Stirling-Prozesses
1 - 2: Isotherme Kompression von p1 auf p2 : Isotherme Wärmeabfuhr im Kühler bei
Tmin = const.
2 - 3: Isochore Wärmezufuhr von T2 auf T3 : Wärmeübertragung von dem Wärmetauscher an das Arbeitsmedium
3 - 4: Isotherme Expansion von p3 auf p4 : Wärmezufuhr durch externe Heizquelle an
das Arbeitsmedium bei Tmax = const.
4 - 1: Isochore Wärmeabfuhr von T4 auf T1 : Wärmeübertragung von dem Arbeitsmedium an den Wärmetauscher
Nutzarbeit des Stirling-Prozesses:
Die spezifische Nutzarbeit wt ergibt sich aus der Wärmebilanz zu
Gl. 11-33:
− wt = q zu − qab = q23 + q34 + q41 + q12
424
3
1
424
3 1
qab
q zu
Idealer Wärmetauscher: q 23 = − q 41
Gl. 11-34:
− wt = q34 + q12
1 - 2: Isotherme Kompression von p1 auf p2 bei T1 = T2 = const.
Gl. 11-35:
⎛ p ⎞
⎛v
q12 = R ⋅ T1 ⋅ ln⎜⎜ 1 ⎟⎟ = p1 ⋅ v1 ⋅ ln⎜⎜ 2
⎝ p2 ⎠
⎝ v1
⎞
⎟⎟ < 0
⎠
2 - 3: Isochore Kompression von p2 auf p3 bei v2 = v3 = const.
Gl. 11-36:
q 23 = cv ⋅ (T3 − T2 ) > 0
3 - 4: Isotherme Expansion von p3 auf p4 bei T3 = T4 = const.
Gl. 11-37:
⎛v
⎛p ⎞
q34 = R ⋅ T3 ⋅ ln⎜⎜ 3 ⎟⎟ = p3 ⋅ v3 ⋅ ln⎜⎜ 4
⎝ p4 ⎠
⎝ v3
⎞
⎟⎟ > 0
⎠
4 - 1: Isochore Expansion von p4 auf p1 bei v4 = v1 = const.
Gl. 11-38:
q 41 = c v ⋅ (T1 − T4 ) < 0
Ergibt die spezifische Nutzarbeit
Gl. 11-39:
⎛ p ⎞
⎛p ⎞
− wt = R ⋅ T1 ⋅ ln⎜⎜ 1 ⎟⎟ + R ⋅ T3 ⋅ ln⎜⎜ 3 ⎟⎟
⎝ p2 ⎠
⎝ p4 ⎠
bzw.:
Gl. 11-40:
⎛v
− wt = R ⋅ T3 ⋅ ln⎜⎜ 2
⎝ v1
⎞ ⎡⎛ T2
⎟⎟ ⋅ ⎢⎜⎜
⎠ ⎢⎣⎝ T3
⎞ ⎤
⎟⎟ − 1⎥
⎠ ⎥⎦
Technische Thermodynamik
Kreisprozesse thermischer Maschinen
131
_________________________________________________________________________
Thermischer Wirkungsgrad
q ab
q12
Gl. 11-41:
η th = 1 −
Gl. 11-42:
⎛ p ⎞
⎛p ⎞
R ⋅ T1 ⋅ ln⎜⎜ 1 ⎟⎟
T1 ⋅ ln⎜⎜ 2 ⎟⎟
⎝ p2 ⎠
⎝ p1 ⎠
= 1−
η th = 1 −
⎛p ⎞
⎛p ⎞
R ⋅ T3 ⋅ ln⎜⎜ 3 ⎟⎟
T3 ⋅ ln⎜⎜ 3 ⎟⎟
⎝ p4 ⎠
⎝ p4 ⎠
q zu
=1 −
q34
Mit den Beziehungen für isotherme Zustandsänderungen p2 p1 = v1 v2 und wegen den
isochoren Zustandsänderungen 4-1 und 2-3, d.h. v1 = v 4 und v 2 = v3 gilt
Gl. 11-43:
p 2 v1 v 4
=
=
p1 v 2 v3
also
Gl. 11-44:
⎛v ⎞
T1 ⋅ ln⎜⎜ 1 ⎟⎟
⎝ v2 ⎠ = 1 − T1 = 1 − Tmin = η
η th = 1 −
th , Carnot
T3
Tmax
⎛ v4 ⎞
T3 ⋅ ln⎜⎜ ⎟⎟
⎝ v3 ⎠
Dies bedeutet, daß der maximale thermische Wirkungsgrad, unter der Annahme eines
idealen Wärmetauschers (bzw. Regenerators), lediglich von dem Temperaturunterschied
zwischen warmem und kaltem Raum abhängt und somit dem Carnot-Wirkungsgrad
entspricht.
Vorteile des Stirling-Motors:
- Keine Ventile, Ventilantrieb und -steuerung
- Keine interne Verbrennung, externe Verbrennung kann mit Sauerstoffüberschuß
durchgeführt werden, somit geringere Schadstoffemission als bei explosionsartiger, interner Verbrennung
- Vielstoffmotor, da die Art der externen Wärmequelle unerheblich für den Betrieb
des Motors ist
- Keine Druckspitzen, Druckwechsel erfolgen fließend: Nahezu lautloser und
vibrationsfreier Lauf
- Konstantes Drehmoment, günstiger Betrieb auch im Teillastbereich
- Bei Umkehrung des Prozesses ohne konstruktive Änderungen auch als
Kältemaschine nutzbar
Problembereiche:
- Dichtungsprobleme zwischen Arbeitskolben und Verdrängungskolben
- Technische Realisierung eines idealen Wärmetauschers
Technische Thermodynamik
Kreisprozesse thermischer Maschinen
132
_________________________________________________________________________
11.2 Vergleichsprozesse für Turbomaschinen
Die hohen mechanischen und thermischen Belastungen, bedingt durch hohe Drücke und
Schwingungsprobleme, denen Kolbenmaschinen ausgesetzt, sind führen zu entsprechend
hohen Anforderungen an die Strukturfestigkeit. Die Gewährleistung dieser Strukturfestigkeit
bedingt in aller Regel ein relativ hohes Baugewicht. Ausnahmen bilden hier lediglich Wärmekraftmaschinen, die nur auf kurze Lebensdauer ausgelegt sind und man auf die Dauerfestigkeit verzichten kann. Bei Kolbenmotoren wären dies z.B. Triebwerke, wie sie im Rennsport
eingesetzt werden und dabei lediglich das ca. einstündige Rennen überstehen müssen. Bei
Strahltriebwerken kämen hier Marsch- oder Lenkflugkörper in Betracht, deren maximale
Betriebsdauer im Minutenbereich liegen. Lebensdaueroptimierung wird vor allem bei Trägerraketen für den Satellitentransport betrieben. Aufgrund der extrem hohen Kosten des Nutzlasttransports in eine Umlaufbahn wird hier die Lebensdauer im Sekundenbereich optimiert.
Dadurch lassen sich jedoch Leistungen erzielen, die um viele Größenordnungen über denen
von stationär arbeitenden Maschinen liegen.
Vergleichszahlen einer Saturn V -Rakete:
Startgewicht:
Startschub:
Nutzlast in geostationären Orbit:
3000 t
3400 t
31 t
1. Stufe
Gesamtstrahlleistung der 5 F1-Triebwerke, ca.:
Leistung der Turbo-Pumpen, ca.:
Treibstoffverbrauch, ca.:
Brenndauer nominal:
100⋅106 PS
300.000 PS
13.5 t/s
150 s
Die letzte Generation der im Flugzeugbau verwendeten Kolbenmotoren erreichte Leistungen
von ca. 3000 kW (ca. 4080 PS), Schiffsdiesel liegen in der Größenordnung von ca. 20.000
kW (ca. 27.000 PS). Leistungen im Kraftwerksbereich liegen jedoch heute im GigawattBereich. Mit Kolbenmotoren sind solche Leistungen nicht mehr zu erzielen, hier werden
ausschließlich Turbomaschinen eingesetzt.
In ihrer einfachsten Form besteht eine Gasturbinenanlage aus den Komponenten Verdichter,
Brennkammer und Turbine, Abb. 11-9 .
Abb. 11-9:
Schema einer einfachen Gasturbinenanlage
Technische Thermodynamik
Kreisprozesse thermischer Maschinen
133
_________________________________________________________________________
Luft wird angesaugt und im Verdichter komprimiert. In der Brennkammer wird der
verdichteten Luft Brennstoff zugemischt (z.B. Diesel, Kerosin oder Petroleum). Aufgrund des
hohen Drucks zündet das Gemisch selbständig und verbrennt bei näherungsweise
konstantem Druck. Die heißen Abgase expandieren in der Turbine und geben dabei Arbeit
ab und strömen anschließend ins Freie. Die einfache Gasturbinenanlage stellt somit ein
offenes, stationär durchströmtes System dar.
Die Aufgabe der Turbine besteht zum einen darin, über eine Welle den Verdichter
anzutreiben. Der danach verbleibende Leistungsüberschuß stellt die Nutzleistung der Anlage
dar. Je nach Verwendungszweck kann eine unterschiedliche Aufteilung der in der Turbine
gewonnenen Nutzleistung erfolgen.
Bei stationären Gasturbinen (z.B. im Kraftwerksbereich) besteht die Hauptaufgabe darin, die
nach dem Antrieb des Verdichters noch verbleibende Arbeit zum Antrieb eines Stromgenerators zu verwenden. Bei Schiffsturbinen kann mit der überschüssigen Arbeit die
Schiffsschraube angetrieben werden. Ähnlich verhält es sich bei Flugzeugturbinen, die mit
der überschüssigen Arbeit über eine Welle einen Propeller antreiben (Turbo-PropMaschinen).
Propellerantriebe erreichen jedoch bei Annäherung an die Schallgeschwindigkeit die Grenze
ihrer Anwendung. Die Blattspitzen der Propeller laufen im Überschall und werden somit
wirkungslos. Dies ist unabhängig davon, ob die Propeller von Kolbenmotoren oder Turbinen
angetrieben werden.
Zum Überschreiten der Schallgeschwindigkeit sind somit Antriebe erforderlich, die auf dem
reinen Rückstoßprinzip beruhen, d.h. also entweder Raketenantriebe oder Strahltriebwerke.
Bei Strahltriebwerken wird der nach dem Antrieb des Verdichters noch verbleibende
Arbeitsanteil in der Turbine dadurch genutzt, daß die heißen Verbrennungsabgase durch
eine Düse expandieren und den für den Antrieb erforderlichen Schub erzeugen.
11.2.1 Joule-Prozeß
Im Vergleichsprozeß der einfachen Gasturbinenanlage durchläuft das Arbeitsmedium
(ideales Gas) einen geschlossen Kreislauf. Die Verbrennungsabgase werden direkt wieder
dem Verdichter zugeführt, Abb. 11-10 .
Abb. 11-10.
Einfache Gasturbinenanlage als geschlossenes System, [ 6]
Technische Thermodynamik
Kreisprozesse thermischer Maschinen
134
_________________________________________________________________________
Die Verbrennung wird als eine isobare Wärmezufuhr angenommen. Der Energiestrom, der in
der realen Gasturbine mit den heißen Verbrennungsgasen das System verläßt, wird durch
eine isobare Wärmeabgabe in einem Wärmetauscher, der hinter der Turbine angeordnet ist,
simuliert. Verdichter und Turbine werden als adiabate Systeme angenommen, da aufgrund
der hohen Strömungsgeschwindigkeit in diesen Komponenten kein Wärmeaustausch mit der
Umgebung stattfindet.
Der Gasturbinen-Vergleichsprozeß besteht somit aus zwei Isobaren für den Wärmetausch
und zwei Isentropen für Verdichtung und Entspannung.
Abb. 11-11:
Joule-Prozeß der Gasturbine im a) p,v-Diagramm b) h,s-Diagramm
Zustandsänderungen des Joule-Prozesses
1 - 2:
2 - 3:
3 - 4:
4 - 1:
Isentrope Kompression von p1 auf p2
Isobare Wärmezufuhr beim Druck p2 auf die Maximaltemperatur T3
Isentrope Expansion von p2 auf p1
Isobare Wärmeabfuhr beim Druck p1
Nutzarbeit
Unter der Annahme von konstanten spezifischen Wärmekapazitäten ergibt sich die
spezifische Nutzarbeit wt aus der Wärmebilanz zu
Gl. 11-45:
− wt = − ∑ wti , j = ∑ qi , j = q zu + qab
Np
Nq
bzw.
Gl. 11-46:
− wt = q 23 + q 41 = c p ⋅ (T3 − T2 + T1 − T4 ) = c p ⋅ (T1 − T2 + T3 − T4 )
Mit dem Verdichter-Druckverhältnis
Gl. 11-47:
π=
p2
p1
und der Isentropenbeziehung ergibt sich für die Temperaturen
Gl. 11-48:
T2 =T1 ⋅ π
κ −1
κ
Technische Thermodynamik
Kreisprozesse thermischer Maschinen
135
_________________________________________________________________________
Gl. 11-49:
1
T4 =T3 ⋅
π
κ −1
κ
Die Gleichung für die spezifische Nutzarbeit lautet damit
Gl. 11-50:
⎛
κ −1
⎜
T
T
1
− wt = c p ⋅ T1 ⋅ ⎜1 − π κ + 3 − 3 ⋅ κ −1
T1 T1
⎜
π κ
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
bzw. mit c p R = κ (κ − 1)
Gl. 11-51:
⎡⎛ κ −1 ⎞ ⎛
⎞⎤
⎜ T3 1
⎟
κ
⎢
⎜
⎟
− wt =
⋅ R ⋅ T1 ⋅ ⎜ π − 1⎟ ⋅ ⎜ ⋅ κ −1 − 1⎟⎥
⎢⎝
κ −1
⎟⎥
⎠ ⎜⎝ T1 π κ
⎠⎦
⎣
κ
Beim Joule-Prozeß hängt also die spezifische Nutzarbeit wt von dem Druckverhältnis im
Verdichter π = p2 p1 und dem Temperaturverhältnis T3 T1 ab.
Thermischer Wirkungsgrad
Gl. 11-52:
η th = 1 −
q ab
q zu
=1 +
c p ⋅ (T1 − T4 )
q 41
T − T1
=1 −
=1 − 4
q 23
c p ⋅ (T3 − T2 )
T3 − T2
bzw.
Gl. 11-53:
1
η th = 1 −
π
κ −1
κ
Der thermische Wirkungsgrad des Joule-Prozesses ist also eine reine Funktion von dem
Druckverhältnis π. Er nimmt degressiv mit dem Druckverhältnis zu. Hohe Wirkungsgrade
erfordern bei diesem Prozeß auch hohe Druckverhältnisse
Technische Thermodynamik
Kreisprozesse thermischer Maschinen
136
_________________________________________________________________________
11.2.2 Ericson-Prozeß
Dieser Prozeß geht auf einen Vorschlag des schwedischen Ingenieurs Ericson (1803-1899)
aus dem Jahre 1833 zurück. Realisiert wurde er erst über 100 Jahre später von den
schweizer Ingenieuren Ackeret (1898-1981) und Keller (1904- ).
Der Prozeß bildet einen geschlossenen Kreislauf und kann daher auch aufwendigere
Arbeitsmedien, wie z.B. Edelgase verwenden. Der Vorteil bei der Verwendung von
Edelgasen liegt in den höheren Werten von κ und den damit verbundenen höheren
thermischen Wirkungsgraden.
Abb. 11-12:
Geschlossene Gasturbinenanlage nach dem Ericson-Verfahren, [ 6]
Zustandsänderungen des Ericson-Prozesses
1 - 2: Isotherme Kompression von p1 auf p2 mit Kühlung
2 - 3: Isobare Wärmezufuhr beim Druck p2 in einem zwischen Verdichter und
Turbine geschalteten Wärmetauscher
3 - 4: Isotherme Expansion von p2 auf p1 in einer Turbine mit Wärmezufuhr
4 - 1: Isobare Wärmeabfuhr beim Druck p1 im zwischengeschalteten
Wärmetauscher
Abb. 11-13:
Ericson-Prozeß der Gasturbine im a) p,v-Diagramm b) h,s-Diagramm
Technische Thermodynamik
Kreisprozesse thermischer Maschinen
137
_________________________________________________________________________
Der Wärmetauscher ist dergestalt ausgelegt, daß zwischen Turbine und Verdichter die
betragsmäßigen gleichen Wärmemengen ausgetauscht werden, d.h. es gilt
q 23 = − q 41
Nutzarbeit
Die spezifische Nutzarbeit wt ergibt sich aus der Wärmebilanz zu
Gl. 11-54:
− wt = q zu − q ab = q34 + q 41 + q12 + q 23 = q34 + q12
Bei isothermer Kompression von p1 auf p2 gilt
Gl. 11-55:
⎛p ⎞
⎛p ⎞
q12 = p1 ⋅ v1 ⋅ ln⎜⎜ 1 ⎟⎟ = − R ⋅ T1 ⋅ ln⎜⎜ 2 ⎟⎟
⎝ p2 ⎠
⎝ p1 ⎠
Bei isothermer Expansion mit p3 = p2 und p4 = p1 gilt
Gl. 11-56:
⎛p ⎞
⎛p ⎞
q 34 = p 3 ⋅ v3 ⋅ ln⎜⎜ 2 ⎟⎟ = R ⋅ T3 ⋅ ln⎜⎜ 2 ⎟⎟
⎝ p1 ⎠
⎝ p1 ⎠
Mit dem Verdichter-Druckverhältnis π = p2 p1 ergibt sich die spezifische Nutzarbeit zu
Gl. 11-57:
⎛T
⎞
− wt = R ⋅ T1 ⋅ ⎜⎜ 3 − 1⎟⎟ ⋅ ln(π )
⎝ T1
⎠
Thermischer Wirkungsgrad
Gl. 11-58:
η th = 1 −
T1
T3
Der thermische Wirkungsgrad des Ericson-Prozesses hängt also lediglich ab von der
Temperatur T3, bei der die Wärme zugeführt wird und der Temperatur T1, bei der die Wärme
abgeführt wird.
Der thermische Wirkungsgrad des Ericson-Prozesses stimmt mit dem des Carnot-Prozesses
überein und wäre demnach ein idealer Prozeß. Die praktische Ausführung scheitert jedoch
an der technischen Realisierung einer isothermen Kompression (erfordert Kühlung) und
einer isothermen Expansion (erfordert Wärmezufuhr). Näherungsweise läßt sich dies durch
eine stufenweise Verdichtung mit Zwischenkühlung und einer stufenweisen Expansion mit
Zwischenerhitzung erreichen.
Umgesetzt wurde dieser Gedanke in dem sogenannten Isex-Gasturbinen-Prozeß durch eine
Zwischenverbrennung zwischen den einzelnen Turbinenstufen von K. Leist (1901-1960).
_________________________________________________________________________
Ü 11-6:
Einfluß des Arbeitsmediums auf Wirkungsgrad und spezifische Arbeit
Wie verändert sich der thermische Wirkungsgrad und die spezifische technische Arbeit unter
der Annahme eines Ericson-Prozesses bei Verwendung von Helium anstelle von Luft?
Verdichtungsverhältnis π = p 2 p1 = 10 , T1 = T2 = 300 [K ] , T3 = T4 = 2400 [K ]
Technische Thermodynamik
Kreisprozesse thermischer Maschinen
138
_________________________________________________________________________
11.2.3 Clausius-Rankine-Prozeß
Dampfkraftanlagen, wie sie in Kraftwerken zur Erzeugung von elektrischem Strom eingesetzt
werden, bilden einen geschlossenen Prozeß (Dampfturbinenprozeß) und bestehen im
wesentlichen aus den in Abb. 11-14a skizzierten Komponenten.
DE
DT
K
SP
Abb. 11-14:
Dampferzeuger
Turbine
Kondensator
Speisewasserpumpe
Dampfturbinenanlage a) Aufbau und b) p,v-Diagramm, [ 6]
Das Arbeitsmedium ist Wasser, das die Anlage in einem geschlossenen Kreislauf durchströmt und periodisch seinen Aggregatzustand wechselt. Die Speisewasserpumpe fördert
flüssiges Wasser von dem Kondensator in den Dampferzeuger (1 - 2) und erhöht den Druck
auf den gewählten Sättigungsdruck. Der Antrieb der Speisewasserpumpe erfolgt entweder
über einen Elektromotor oder über die Turbine. Der Dampferzeuger ist zweigeteilt; im ersten
Teil (Verdampfer) wird durch isobare Wärmezufuhr Sattdampf erzeugt (2 - 3). Anschließend
wird durch weitere isobare Wärmezufuhr im Überhitzer bei steigender Temperatur der Sattdampf in Heißdampf umgewandelt (3 - 4). Der Heißdampf expandiert in der Turbine unter
Arbeitsabgabe wieder bis in das Naßdampfgebiet (4 - 5). Von der Turbine strömt der Naßdampf zu dem Kondensator, wo er unter isobarem Wärmeentzug wieder verflüssigt wird.
Abb. 11-15:
Clausius-Rankine-Prozeß im a) T,s-Diagramm b) h,s-Diagramm
Technische Thermodynamik
Kreisprozesse thermischer Maschinen
139
_________________________________________________________________________
Zustandsänderungen des Clausius-Rankine-Prozesses
0 - 1: Isentrope Druckerhöhung des flüssigen Wassers vom Kondensatordruck
p0 = p5 auf den Sättigungsdruck pS = p1. Nahezu senkrechte Linie im p,vDiagramm. Die beiden Punkte fallen aufgrund der geringen Temperaturzunahme (inkompressibles Arbeitsmedium) im T,s-Diagramm fast zusammen.
1 - 2: Isobare Erwärmung des flüssigen Wassers bis zum Punkt 2 auf der Siedelinie
auf die Siedetemperatur TS = T2 = T3
2 - 3: Isobare Verdampfung (Punkt 3 liegt auf der Taulinie)
3 - 4: Isobare Überhitzung
4 - 5: Isentrope Expansion in der Turbine
5 - 0: Isobare Verflüssigung des Dampfes
Nutzarbeit
Berechnung der technischen Arbeit aus der Wärmebilanz
Gl. 11-59:
− wt = q zu − qab
Da alle Wärmeübertragungen bei isobaren Zustandsänderungen ablaufen, lassen sie sich
auch als Enthalpiedifferenzen schreiben
Gl. 11-60:
q zu = q12 + q 23 + q34 = h4 − h1
Gl. 11-61:
q ab = q50 = h0 − h5
Gl. 11-62:
− wt = h0 − h1 + h4 − h5
Das Arbeitsfluid wechselt während des Kreisprozesses seinen Aggregatzustand, somit
müssen zur Berechnung der Enthalpiedifferenzen die Wasserdampftafeln herangezogen
werden.
Thermischer Wirkungsgrad
η th =1 −
q ab
q zu
bzw.
h5 − h0
h4 − h1
_________________________________________________________________________
Gl. 11-63:
Ü 11-7:
η th = 1 −
Nachrechnung einer Dampfturbinenanlage
Eine Dampfturbine verarbeitet pro Stunde 170t Frischdampf mit einer Temperatur von 350°C
und einem Druck von 100 bar. Die Wassertemperatur vor dem Eintritt in die Speisewasserpumpe beträgt 25°C.
Gesucht werden die Leistung und der thermische Wirkungsgrad nach Clausius-Rankine.
_________________________________________________________________________
Technische Thermodynamik
Kreisprozesse thermischer Maschinen
140
_________________________________________________________________________
11.3 Carnot-Prozeß
Der im Jahre 1824 von dem französischen Militäringenieur S. Carnot vorgeschlagene
Kreisprozeß stellt einen Ideal-Prozeß zum Aufzeigen des maximal möglichen thermischen
Wirkungsgrades einer thermischen Maschine dar und zwar unabhängig von deren Bauart.
Der Prozeß arbeitet mit zwei Isentropen und zwei Isothermen. Die Wärmeübertragung erfolgt
bei konstanten Temperaturen: Wärmezufuhr bei der hohen Temperatur T3, Wärmeentzug bei
der niedrigen Temperatur T1
Abb. 11-16:
Carnot-Prozeß im a) p,v-Diagramm b) T,s-Diagramm
Zustandsänderungen des Carnot-Prozesses
1 - 2:
2 - 3:
3 - 4:
4 - 1:
isotherme Kompression mit Wärmeabgabe
Isentrope Kompression
isotherme Expansion mit Wärmezufuhr
Isentrope Expansion
Nutzarbeit
Gl. 11-64:
− wk = q zu − q ab
Bestimmung der Wärmemengen aus der Entropiefunktion
Gl. 11-65:
q zu = q34 = T3 ⋅ (s 4 − s 3 ) = T3 ⋅ (s1 − s 2 )
Gl. 11-66:
q ab = q12 = T1 ⋅ (s 2 − s1 )
Gl. 11-67:
− wk = (T3 − T1 ) ⋅ (s1 − s 2 )
bzw.
Gl. 11-68:
⎛ T ⎞
− wk = ⎜⎜1 − 1 ⎟⎟ ⋅ q zu
⎝ T3 ⎠
Technische Thermodynamik
Kreisprozesse thermischer Maschinen
141
_________________________________________________________________________
Thermischer Wirkungsgrad
η th =
− wk
q zu
bzw.
Gl. 11-69:
η th = 1 −
T1
T3
Da bei gleichen Grenztemperaturen, alle in der Realität ablaufenden Kreisprozesse innerhalb
des durch den Carnot-Prozeß im T,s-Diagramm beschriebenen Rechtecks liegen, wird sein
Wirkungsgrad auch als Carnotfaktor (= größtmöglicher thermischer Wirkungsgrad)
bezeichnet.
T1
T3
Gl. 11-70:
η C = η th ,max = 1 −
Abb. 11-17:
Carnot-Prozeß und realer Prozeß
Technische Thermodynamik
Kreisprozesse thermischer Maschinen
142
_________________________________________________________________________
Ü 11-8: Kreisprozeß mit stationär umlaufendem Fluid (Carnot-Prozeß)
Abb. 11-18:
Wärmekraftmaschine, [ 2]
Teilprozesse des Carnot-Prozesses:
- Adiabate Verdichtung 1-2
- Isotherme Entspannung 2-3
- Adiabate Entspannung 3-4
- Isotherme Verdichtung 4-1
Abb. 11-19:
Zustandsänderungen des reversiblen Carnot-Prozesses
Mit Helium als Arbeitsmedium sollen die bei den vier Teilprozessen als technische Arbeit und
als Wärme aufgenommenen oder abgeführten Energien sowie die spezifische Nutzarbeit des
Kreisprozesses berechnet werden.
Temperaturen:
T0 = T1 = T4 = 300 K
T = T2 = T3 = 850 K
Druckverhältnisse:
p max p 2
=
= 50
p min p 4
Die spezifische Wärmekapazität wird temperaturunabhängig angenommen, Änderungen von
kinetischer und potentieller Energie sollen vernachlässigt werden.
_________________________________________________________________________
Technische Thermodynamik
Kreisprozesse thermischer Maschinen
143
_________________________________________________________________________
11.4 Isentroper Wirkungsgrad adiabater Maschinen
Der isentrope Wirkungsgrad bezeichnet das Verhältnis der bei isentroper (= verlustfreier)
Zustandsänderung (theoretisch) geleisteten Arbeit zu der tatsächlich geleisteten Arbeit.
Der isentrope Kompressionswirkungsgrad (Verdichter-Wirkungsgrad) ist definiert als
ηis ,V =
Gl. 11-71:
(w )
t ,12 is
wt ,12
Der isentrope Expansionswirkungsgrad (Turbinen-Wirkungsgrad) ist definiert als
w
Gl. 11-72:
η is ,T = t ,12
(wt ,12 )is
Bei offenen, adiabat durchströmten Systemen läßt sich unter der Annahme konstanter
mechanischer Energie, d.h. keine Änderung der kinetischen und potentiellen Energie, der
erste Hauptsatz für stationäre Fließprozesse
(
)
1
q12 + wt ,12 = h2 − h1 + ⋅ c 22 − c12 + g ⋅ ( z 2 − z1 )
{
14243
2 4243
1
=0
=0
=0
kinetische Energie
adiabat
potentielle Energie
vereinfachen zu
Gl. 11-73:
wt ,12 = h2 − h1
Bei einer isentropen Zustandsänderung beträgt die (theoretisch) geleistete Arbeit
Gl. 11-74:
(w )
t ,12 is
= h2,is − h1
Eingesetzt ergibt dies für den isentropen Verdichter-Wirkungsgrad η is ,V
Gl. 11-75:
η is ,V =
h2,is − h1
h2 − h1
bzw. für ideales Gas mit konstanter spezifischer Wärmekapazität, d.h. cp = const.
Gl. 11-76:
η is ,V =
T2,is − T1
T2 − T1
und entsprechend für den isentropen Turbinen-Wirkungsgrad η is ,T
Gl. 11-77:
η is ,T =
h1 − h2
h1 − h2,is
bzw. für ideales Gas, d.h. cp = const.
Gl. 11-78:
η is ,T =
T1 − T2
T1 − T2,is
Technische Thermodynamik
Kreisprozesse thermischer Maschinen
144
_________________________________________________________________________
In Abb. 11-20 sind für eine a) Kompression und eine b) Expansion sowohl die isentrope
(verlustfreie) als auch die tatsächliche Zustandsänderung dargestellt. Dabei ist zu beachten,
daß in beiden Fällen die Endpunkte '2' und '2is' jeweils auf der gleichen Isobaren p2 liegen.
Abb. 11-20:
Isentrope und verlustbehaftete Zustandsänderung im h,s-Diagramm
a) Kompression, b) Expansion
_________________________________________________________________________
Ü 11-9:
Isentroper Wirkungsgrad einer stationären Gasturbine
Eine stationäre Gasturbinenanlage besteht aus den Hauptkomponenten Verdichter V,
Brennkammer BK und Turbine T. Verdichter und Turbine sitzen auf einer gemeinsamen
Welle.
geg.: Umgebungszustand = Ansaugzustand (1):
Luftmassenstrom
Verdichterdruckverhältnis
Isentropenwirkungsgrad des Verdichters
Isentropenwirkungsgrad der Turbine
Maximale Turbineneintrittstemperatur
p0 = 1.013 bar und t0 = 15 °C
m& = 7.02 kg/s
πV = 9.5
ηV,is = 84 %
ηT,is = 86 %
T3,max =1800 K
Annahmen
- in allen Komponenten herrscht gleicher und konstanter Massenstrom
- mechanische Verluste (Lager, Getriebe) können vernachlässigt werden
- der Druckverlust in der Brennkammer kann vernachlässigt werden
- Arbeitsmedium Luft kann als ideales Gas mit konstanten Stoffgrößen betrachtet werden
R = 287 J/kg K; κ = 1.39; cp = 1023 J/kg K
1.
2.
3.
4.
5.
Skizzieren Sie das Schaltschema der Anlage (Ebenenbezeichnung 1 – 4)
Skizzieren Sie das zugehörige Ts – Diagramm
Berechnen Sie Druck p2 und Temperatur T2 nach dem Verdichter
Berechnen Sie die Brennkammerdruck und -austrittstemperatur p3, T3
Wie groß sind Temperatur T4 im Turbinenaustritt, wenn die Turbine genau auf den
Umgebungsdruck entspannt?
6.
Berechnen Sie die abgegebene Nutzleistung PN der Anlage
_________________________________________________________________________
Technische Thermodynamik
Kreisprozesse thermischer Maschinen
145
_________________________________________________________________________
11.5 Prozeßoptimierung
11.5.1 Wärmerückgewinnung
Selbst bei einer hohen Effizienz der einzelnen Komponenten erfordern Gasturbinen ein
hohes Verdichterdruckverhältnis um einen guten thermischen Wirkungsgrad zu erreichen,
was zu einem entsprechend hohen Baugewicht aufgrund der Festigkeitsanforderungen führt.
Eine Möglichkeit das erforderliche Verdichterdruckverhältnis zu verringern, besteht in der
Aufheizung des komprimierten Gases vor dem Brennkammereintritt durch die heißen
Turbinenabgase, deren Temperatur am Turbinenaustritt T4 in der Regel über der Verdichteraustrittstemperatur T2 liegt. Dadurch läßt sich die erforderliche Wärmemenge qzu = q23 , die in
der Brennkammer dem Prozeß zugeführt wird auf qzu' = q2'3 entsprechend verringern, da die
Temperatur durch die Vorheizung von T2 auf T2' erhöht wird.
qzu,BK
T
3
qzu,Vor
2'
T2'
2
T2
p3
p4
4
1
s
Abb. 11-21:
Joule-Prozeß mit Wärmerückgewinnung
Der thermische Wirkungsgrad mit Vorheizung lautet nun
Gl. 11-79:
η th =
(T3 − T4 ) − (T2 − T1 )
(T3 − T2′ )
Der Grenzwert der Vorheizung wird erreicht, wenn die Temperatur T2' auf die Turbinenaustrittstemperatur T4 erhöht wird.
Gl. 11-80:
η th = 1 −
T2 − T1
T3 − T4
bzw. als Funktion des Verdichterdruckverhältnisses π = p2 p1
Gl. 11-81:
η th = 1 −
T1 ⋅ π
T3
κ −1
κ
Technische Thermodynamik
Kreisprozesse thermischer Maschinen
146
_________________________________________________________________________
In Abb. 11-22 ist der thermische Wirkungsgrad eines Joule-Prozesses mit und ohne
Vorheizung über dem Verdichterdruckverhältnis aufgetragen. Es zeigt sich, daß die Vorheizung nur bis zu einem bestimmten Druckverhältnis einen Vorteil gegenüber dem
einfachen Joule-Prozeß bringt.
Joule-Prozeß mit Wärmerückgewinnung
ηth
Joule-Prozeß ohne Wärmerückgewinnung
Verdichter-Druckverhältnis π
Abb. 11-22:
Einfluß der Wärmerückgewinnung auf den thermischen Wirkungsgrad
(Joule-Prozeß: κ=1.4, Wirkungsgrad des Wärmetauschers: 100%, T1 = 300 K, T3 = 1760 K)
Dieses Druckverhältnis läßt sich leicht durch Gleichsetzen der thermischen Wirkungsgrade
ermitteln.
κ −1
Gl. 11-82:
T ⋅π κ
1 − κ −1 = 1 − 1
T3
κ
14243
π4
1
42
3 Joule
− Pr ozeß mit
1
Joule − Pr ozeß
Wärmerückgewinnung
Das Druckverhältnis, ab dem der einafche Joule-Prozeß günstiger ist, beträgt somit
κ
Gl. 11-83:
⎛ T ⎞ 2⋅(κ −1)
π = ⎜⎜ 3 ⎟⎟
⎝ T1 ⎠
Es zeigt sich also, daß die Wärmerückgewinnung lediglich bei kleinen Druckverhältnissen
eine Verbesserung des thermischen Wirkungsgrades bewirkt. Nachteilig wirkt sich auch die
erhöhte Komplexität der Anlage durch die Integration des Wärmetauschers aus.
Einsatzmöglichkeiten bieten sich jedoch trotzdem bei Fahrzeuggasturbinen mit geringen
Verdichterdruckverhältnissen.
11.5.2 Zwischenkühlung
Bei der Kompression von Gas steigt mit dem Druck auch die Temperatur. Aufgrund der
zunehmenden Temperatur erhöht sich auch die für die Verdichtung erforderliche Arbeit. Wird
hingegen die Verdichtung in mehreren Stufen durchgeführt und das Temperaturniveau
zwischen den einzelnen Verdichterstufen wieder abgesenkt (Zwischenkühlung), so kann
Technische Thermodynamik
Kreisprozesse thermischer Maschinen
147
_________________________________________________________________________
dadurch die Kompressionsarbeit reduziert werden. In erster Näherung läßt sich die
Zwischenkühlung durch eine isobare Zustandsänderung beschreiben.
In Abb. 11-23 ist für einen Joule-Prozeß der Einfluß der Zwischenkühlung im T,s-Diagramm
dargestellt.
T
Zwischenkühlung
s
Abb. 11-23:
Einfluß der Zwischenkühlung im T,s-Diagramm
Erfolgt die Verdichtung isentrop ohne Zwischenkühlung in einer einzigen Stufe so berechnet
sich die erforderliche Verdichterarbeit mit dem Kompressionsverhältnis π = p2 p1 zu
Gl. 11-84:
⎛ κκ−1 ⎞
wV ,12 = c p ⋅ (T2 − T1 ) = c p ⋅ T1 ⋅ ⎜⎜ π − 1⎟⎟
⎝
⎠
Für die zweistufige Verdichtung (1-a) mit dem Kompressionsverhältnis π1 und (b-2) mit dem
Kompressionsverhältnis π2 gilt
Gl. 11-85:
wV ,12 = wV ,1a + wV ,b 2 = c p ⋅ (Ta − T1 ) + c p ⋅ (T2 − Tb )
Gl. 11-86:
⎛ κ −1 ⎞
⎛ κ −1 ⎞
wV ,12 = c p ⋅ T1 ⋅ ⎜ π 1 κ − 1⎟ + c p ⋅ Tb ⋅ ⎜ π 2 κ − 1⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
Der Grenzwert für die Zwischenkühlung ist dann erreicht, wenn die Temperatur Tb die
Temperatur T1 erreicht hat.
Gl. 11-87:
κ −1
κ −1
wV ,12 = c p ⋅ T1 ⋅ ⎛⎜ π 1 κ + π 2 κ − 2 ⎞⎟
⎝
⎠
Aufgrund der als isentrop angenommenen Verdichtung gilt für die Stufenverdichtungsverhältnisse
Gl. 11-88:
π = π1 ⋅ π 2
Für die Kompressionsarbeit gilt somit
Technische Thermodynamik
Kreisprozesse thermischer Maschinen
148
_________________________________________________________________________
κ −1
⎤
⎡
⎥
⎢ κ −1 ⎛ π ⎞ κ
wV ,12 = c p ⋅ T1 ⋅ ⎢π 1 κ + ⎜⎜ ⎟⎟
− 2⎥
⎝ π1 ⎠
⎥
⎢
⎦
⎣
Gl. 11-89:
Die Druckverhältnisse, bei denen die Verdichtungsarbeit minimal wird, ergeben sich aus der
Extremtwertbedingung dwV ,12 dπ 1 = 0
⎛ κ −1 ⎞
⎡
⎜
⎟
κ −1 ⎝ κ ⎠
⎢
⋅
π
κ − 1 ⎛⎜ κ −1−1⎞⎟
⋅ π 1⎝ κ ⎠ − κ
c p ⋅ T1 ⋅ ⎢⎢
⎛ κ −1 ⎞
κ
+1 ⎟
⎜
⎢
⎝ κ
⎠
π
⎢⎣
Gl. 11-90:
⎤
⎥
⎥ = 0 ⇒ π = π =π
1
2
⎥
⎥
⎥⎦
Die Arbeitsersparnis der zweistufigen Verdichtung mit Zwischenkühlung gegenüber der
einstufigen Verdichtung ergibt sich zu
⎡ ⎛⎜ κ −1 ⎞⎟ ⎤
ΔwV = c p ⋅ T1 ⋅ ⎢π ⎝ 2⋅κ ⎠ − 1⎥
⎥
⎢
⎥⎦
⎣⎢
Gl. 11-91:
2
Der thermische Wirkungsgrad berechnet sich zu
η th =
Gl. 11-92:
wT − wV c p ⋅ (T3 − T4 ) − c p ⋅ (T2 − Tb ) − c p ⋅ (Ta − T1 )
=
q zu
c p ⋅ (T3 − T2 )
1
1−
η th =
Gl. 11-93:
π
⎛ κ −1 ⎞
⎜
⎟
⎝ κ ⎠
⎛ κ −1 ⎞
2 ⋅ T1 ⎡ ⎜⎝ 2⋅κ ⎟⎠ ⎤
−
⋅ ⎢π
− 1⎥
T3 ⎢⎣
⎥⎦
⎛ κ −1 ⎞
⎜
⎟
T
1 − 1 ⋅ π ⎝ 2⋅κ ⎠
T3
Für einen Joule-Prozeß mit κ = 1.4, T1 = 300 K, T3 = 1760 K sind die thermischen
Wirkungsgrade in Abhängigkeit von dem Verdichterdruckverhältnis in Abb. 11-24 dargestellt.
Joule-Prozeß ohne Zwischenkühlung
ηth
Joule-Prozeß mit Zwischenkühlung
Verdichter-Druckverhältnis π
Abb. 11-24:
Thermischer Wirkungsgrad bei Zwischenkühlung
Technische Thermodynamik
Kreisprozesse thermischer Maschinen
149
_________________________________________________________________________
Es zeigt sich, daß der Vorteil der Zwischenkühlung nicht in einem verbesserten thermischen
Wirkungsgrad liegt, sondern, daß sich bei vorgegebener Maschinengröße höhere Leistungen
erzielen lassen. Diese größere Leistungsdichte wird jedoch mit einem schlechteren
thermischen Wirkungsgrad und einer höheren Komplexität der Anlage erkauft.
Wird die Verdichtung in mehreren Verdichterstufen durchgeführt, so läßt sich das Prinzip der
Zwischenkühlung zwischen jeder einzelnen Verdichterstufe einsetzen. In Abb. 11-25 ist das
p,v- und T,s-Diagramm für einen mehrstufigen Verdichter mit Zwischenkühlung skizziert.
Kühlwasser
Kühlwasser
Zwischenkühler
Zwischenkühler
1. Verdichterstufe
Abb. 11-25:
3. Verdichterstufe
2. Verdichterstufe
Mehrstufiger Verdichter mit Zwischenkühlung
11.5.3 Zwischenerhitzung
Eine weitere Erhöhung der Leistungsdichte läßt sich bei Gasturbinen durch eine Zwischenerhitzung bei der Expansion erzielen. Dies ist entweder zwischen den einzelnen Turbinen
(Verdichter-Turbine und Nutzturbine) möglich oder zwischen den einzelnen Turbinenstufen.
Bei Flugtriebwerken kann hinter der Verdichter-Turbine und vor der Schubdüse noch
zusätzlich Treibstoff verbrannt werden (Nachbrennerbetrieb). Die zusätzliche Leistung
bewirkt jedoch einen stark erhöhten Treibstoffverbrauch und einen verringerten thermischen
Wirkungsgrad.
In Abb. 11-26 ist für einen Joule-Prozeß der Einfluß der Zwischenerhitzung in einem T,sDiagramm dargestellt.
Technische Thermodynamik
Kreisprozesse thermischer Maschinen
150
_________________________________________________________________________
Zwischenerhitzung
T
s
Abb. 11-26:
Einfluß der Zwischenerhitzung im T,s-Diagramm
Die Berechnung der durch Zwischenerhitzung möglichen Leistungssteigerung erfolgt in
analoger Weise zu der Vorgehensweise bei der Zwischenkühlung.
Unter der Annahme einer einstufigen isentropen Entspannung (3-4) berechnet sich die von
der Turbine abgegebene Arbeit zu
⎤
⎡
⎢
1 ⎥
Gl. 11-94:
wT ,34 = c p ⋅ (T3 − T4 ) = c p ⋅ T3 ⋅ ⎢1 −
⎥
⎛ κ −1 ⎞
⎜
⎟⎥
⎢
κ
⎣ π⎝ ⎠⎦
Für den Fall einer zweistufigen Entspannung (3-d) und (e-4) gilt:
Gl. 11-95:
⎡
⎤
1 ⎥
⎢
wT ,34 = c p ⋅ (T3 − Td ) + c p ⋅ (Te − T4 ) = c p ⋅ T3 ⋅ ⎢1 −
+ c p ⋅ Te
⎛ κ −1 ⎞ ⎥
⎜
⎟
⎢⎣ π 1⎝ κ ⎠ ⎥⎦
⎡
⎤
1 ⎥
⎢
⋅ ⎢1 −
⎛ κ −1 ⎞ ⎥
⎢⎣ π 2 ⎜⎝ κ ⎟⎠ ⎥⎦
Für den Grenzwert Te = T3 ergibt sich für die Arbeit:
Gl. 11-96:
⎡
⎤
1
1 ⎥
⎢
wT ,34 = c p ⋅ T3 ⋅ ⎢2 −
−
⎛ κ −1 ⎞
⎛ κ −1 ⎞ ⎥
⎜
⎟
⎢⎣
π 1⎝ κ ⎠ π 2 ⎜⎝ κ ⎟⎠ ⎥⎦
Die optimalen Druckverhältnisse bei der Entspannung ergeben sich wieder aus der Extremwertbedingung
Gl. 11-97:
dwT ,34
dπ 1
⎛ κ −1 ⎞
⎡ κ −1
κ − 1 ⎜⎝ κ −1 ⎟⎠ ⎤
π
⋅
⎥
⎢
⎥=0
= c p ⋅ T3 ⋅ ⎢ ⎛ κκ−1 ⎞ − κ ⎛ κ −1 ⎞
⎜
⎟
⎥
⎢ π ⎜⎝ κ +1 ⎟⎠
π⎝ κ ⎠
⎥
⎢ 1
⎦
⎣
zu
Gl. 11-98:
π1 = π 2 = π
Die infolge der Zwischenerhitzung zusätzlich bei der Entspannung abgegebene Arbeit
beträgt
Technische Thermodynamik
Kreisprozesse thermischer Maschinen
151
_________________________________________________________________________
⎡
⎤
1 ⎥
⎢
ΔwT = c p ⋅ T3 ⋅ 1 − ⎛ κ −1 ⎞
⎢
⎜
⎟⎥
⎣⎢ π ⎝ 2⋅κ ⎠ ⎦⎥
Gl. 11-99:
2
Die bei der Zwischenerhitzung zusätzlich zuzuführende Wärmeenenergie stellt einen nicht zu
vernachlässigenden Aufwand und somit auch Kostenfaktor dar.
⎤
⎡
1 ⎥
⎢
Δq zu = qde = c p ⋅ (Te − Td ) = c p ⋅ T3 ⋅ 1 − ⎛ κ −1 ⎞
⎢
⎜
⎟⎥
⎢⎣ π ⎝ 2⋅κ ⎠ ⎥⎦
Gl. 11-100:
Da das Verhältnis von zusätzlich geleisteter Arbeit zu zusätzlich zuzuführender Wärmeenergie
ΔwT
=1 −
Δq zu
Gl. 11-101:
1
π
⎛ κ −1 ⎞
⎜
⎟
⎝ 2⋅κ ⎠
kleiner als eins ist, verringert sich der thermische Wirkungsgrad gegenüber dem Kreisprozeß
ohne Zwischenerhitzung. Für den thermischen Wirkungsgrad mit Zwischenerhitzung gilt in
diesem Fall:
η th =
Gl. 11-102:
wT − wV c p ⋅ (T3 − Td ) + c p ⋅ (Te − T4 ) − c p ⋅ (T2 − T1 )
=
q zu
c p ⋅ (T3 − T2 ) + c p ⋅ (Te − Td )
bzw.
2
2−
η th =
Gl. 11-103:
π
⎛ κ −1 ⎞
⎜
⎟
⎝ 2⋅κ ⎠
T
2− 1
T3
T
− 1
T3
⎡ ⎛⎜ κκ−1 ⎞⎟ ⎤
⋅ ⎢π ⎝ ⎠ − 1⎥
⎥⎦
⎢⎣
⎡ ⎛⎜ κκ−1 ⎞⎟ ⎤
1
⋅ ⎢π ⎝ ⎠ − 1⎥ − ⎛ κ −1 ⎞
⎜
⎟
⎥⎦
⎢⎣
π ⎝ 2⋅κ ⎠
In Abb. 11-27 ist der thermische Wirkungsgrad für einen Joule-Prozeß mit und ohne
Zwischenerhitzung und -kühlung dargestellt (κ=1.4, T1 = 300 K, T3 = 1760 K).
Joule-Prozeß
ηth
Joule -Prozeß mit Zwischenerhitzung
Joule-Prozeß mit Zwischenkühlung
Verdichter-Druckverhältnis π
Abb. 11-27:
Thermischer Wirkungsgrad bei Zwischenerhitzung
In diesem Fall verschlechtert sich der thermische Wirkungsgrad noch stärker als bei der
Leistungssteigerung infolge Zwischenkühlung.
Technische Thermodynamik
Kreisprozesse thermischer Maschinen
152
_________________________________________________________________________
Ebenso wie die Zwischenkühlung läßt sich auch die Zwischenerhitzung durch die
Verwendung von zusätzlichen Brennern auch bei mehrstufigen Turbinen zwischen den
einzelnen Turbinenstufen einsetzen.
Brennstoff
Brennstoff
1. TurbinenStufe
Brenner
3. TurbinenStufe
Brenner
2. TurbinenStufe
Abb. 11-28:
Mehrstufige Turbine mit Zwischenerhitzung
11.5.4 Kombinierte Zwischenkühlung und Zwischenerhitzung
Zwischenkühlung und Zwischenerhitzung lassen sich selbstverständlich auch kombinieren,
wobei die Komplexität der Anlage entsprechend zunimmt.
Zwischenerhitzung
T
Zwischenkühlung
s
Abb. 11-29:
Kombinierte Zwischenkühlung und -erhitzung im T,s-Diagramm
Für den Fall einer Anlage mit einem zweistufigen Verdichter und einer zweistufigen Turbine
ergibt sich für die Nutzarbeit
Technische Thermodynamik
Kreisprozesse thermischer Maschinen
153
_________________________________________________________________________
wN = c p ⋅ [(T3 − Td ) + (Te − T4 ) − (T2 − Tb ) − (Ta − T1 )]
Gl. 11-104:
und für die zugeführte Wärme
q zu = c p ⋅ [(T3 − T2 ) + (Te − Td )]
Gl. 11-105:
Der thermische Wirkungsgrad ergibt sich zu
2−
w − wV
η th = T
=
q zu
Gl. 11-106:
2
⎛ κ −1 ⎞
⎜
⎟
π ⎝ 2⋅κ ⎠
⎛ κ −1 ⎞
⎡
⎤
⎜
⎟
T1 ⎢
− ⋅ 2 ⋅ π ⎝ 2⋅κ ⎠ − 2⎥
⎥
T3 ⎢
⎢⎣
⎥⎦
⎡ ⎛ κ −1 ⎞ ⎤
T1 ⎢ ⎜⎝ 2⋅κ ⎟⎠ ⎥
1
2− ⋅ π
−1 −
κ
−1 ⎞
⎛
⎥
⎢
T3
⎜
⎟
⎥⎦
2⋅κ ⎠
⎣⎢
⎝
π
Für einen Joule-Prozeß (κ = 1.4, T1 = 300 K, T3 = 1760 K) mit kombinierter Zwischenkühlung
und -erhitzung ist in Abb. 11-30 der Wirkungsgrad über dem Druckverhältnis dargestellt.
Joule-Prozeß
Joule-Prozeß mit Zwischenkühlung
Joule-Prozeß mit Zwischenerhitzung
Joule-Prozeß mit kombinierter
Zwischenkühlung und -erhitzung
ηth
Verdichter-Druckverhältnis π
Abb. 11-30:
Thermischer Wirkungsgrad bei kombinierter Zwischenkühlung und -erhitzung
Technische Thermodynamik
Kreisprozesse thermischer Maschinen
154
_________________________________________________________________________
11.5.5 Abgasturbolader
Abgasturbolader werden zur Leistungssteigerung von Kolbenmotoren eingesetzt. Das in Abb.
11-31 skizzierte Schaltbild entspricht dem eines Einwellentriebwerks bei dem die Brennkammer durch einen Kolbenmotor ersetzt wurde. Die Nutzleistung wird hier ausschließlich
von dem Kolbenmotor erbracht, während die Leistung der Abgasturbine lediglich zum Antrieb
des Verdichters dient. Durch den vorgeschalteten Verdichter wird das Druckniveau im
Kolbenmotor erhöht. Dieses höhere Druckniveau bewirkt, daß pro Arbeitszyklus eine größere
Luftmasse und somit auch eine größere Energiezufuhr infolge der erhöhten Brennstoffmenge
im Motor durchgesetzt werden kann. Die Leistungssteigerung wird jedoch mit einer erhöhten
spezifischen Belastung des Kolbenmotors erkauft, da infolge des höheren Druckniveaus
auch die Druck- und Temperaturspitzen im Zylinder ansteigen. Neben der mechanischen
Festigkeitsgrenze bildet bei Otto-Motoren die Klopffestigkeit des verwendeten Treibstoffs die
Obergrenze der Aufladung.
Verdichteraustritt (II)
Umgebungsluft (I)
Abb. 11-31:
Turbineneintritt (III)
Abgas (IV)
Abgasturboladers und Schaltbild
In Abb. 11-32 ist der Arbeitsprozeß eines Kolbenmotors mit Abgaslader dargestellt. Der
Prozeß des Kolbenmotors wurde durch einen Seiliger-Prozeß (vgl. 11.1.3) angenähert. Im
Punkt c wird das Auslaßventil geöffnet und das Abgas strömt in eine Beruhigungskammer
mit dem Druck pIII (vor der Turbine) um Druckspitzen in der Strömung abzubauen. Bis zum
Turbineneintritt III kann in erster Näherung eine isotherme Drosselung angenommen
werden. In der Turbine expandiert das Abgas (III-IV) bis auf den Umgebungsdruck p0 und
gibt dabei die spezifische Arbeit wT ab.
Im Verdichter wird Verbrennungsluft mit dem Zustand I (= Umgebungsbedingungen)
angesaugt und auf den Druck pII verdichtet (I-II). Dazu ist die spezifische Arbeit wV
erforderlich, die von der Abgasturbine zur Verfügung gestellt wird. Zusätzlich sind von der
Turbine auch die mechanischen Verluste des Verdichters aufzubringen
Technische Thermodynamik
Kreisprozesse thermischer Maschinen
155
_________________________________________________________________________
Abb. 11-32:
p,v- und T,s-Diagramm eines Kolbenmorors mit Abgasturbolader
Mit dem mechanischen Wirkungsgrad ηmech gilt für das Leistungsgleichgewicht zwischen
Abgasturbine und Verdichter:
Gl. 11-107:
PV =η mech ⋅ PT
Gl. 11-108:
m& V ⋅ wV =η mech ⋅ m& T ⋅ wT
Mit dem isentropen Verdichter- und Turbinenwirkungsgrad ηV,is und ηT,is ergibt sich
Gl. 11-109:
m& V ⋅ wV ,is ⋅
1
ηV ,is
=η mech ⋅ m& T ⋅ wT ,is ⋅ηT ,is
Für die isentrope Verdichterarbeit wV,is gilt (Index L: Luft)
Gl. 11-110:
wV ,is
κ L −1
⎡
⎤
⎛ p II ⎞ κ L
κL
⎢
⎟
⎜
− 1⎥
=
⋅ RL ⋅ TI ⋅ ⎜
⎟
⎢
⎥
κL −1
p
⎢⎣⎝ I ⎠
⎥⎦
und für die isentrope Turbinenarbeit wT,is gilt (Index G: Abgas)
Technische Thermodynamik
Kreisprozesse thermischer Maschinen
156
_________________________________________________________________________
Gl. 11-111:
wT ,is
κ G −1
⎡
⎤
⎛ p IV ⎞ κ G ⎥
κG
⎢
⎟
⎜
=
⋅ R ⋅T ⋅ 1−
κ G − 1 G III ⎢ ⎜⎝ p III ⎟⎠ ⎥
⎢⎣
⎥⎦
Für das Leistungsgleichgewicht zwischen Abgasturbine und Verdichter läßt sich somit auch
& V ≈ m& T gilt.
schreiben, wobei in erster Näherung m
Gl. 11-112:
κ L −1
⎡
⎤
⎛ p II ⎞ κ L
⎢
⎜
⎟
− 1⎥
κ L ⋅ (κ G − 1) ⋅ RL ⋅ ⎜
⎢⎝ p I ⎟⎠
⎥
⎢⎣
m& T TIII
⎥⎦
⋅
=
η mech ⋅ηV ,is ⋅ηT ,is ⋅
κ G −1
m& V TI
⎡
⎤
⎛ p IV ⎞ κ G ⎥
⎢
⎟
κ G ⋅ (κ L − 1) ⋅ RG ⋅ 1 − ⎜⎜
⎢ ⎝ p III ⎟⎠
⎥
⎢⎣
⎦⎥
_________________________________________________________________________
Ü 11.10
Dieselmotor mit Abgasturbolader
Die Leistung eines Dieselmotors soll durch einen Abgasturbolader modifiziert werden. Die
Bedingungen im Turbineneintritt des Abgasladers (Zustand III) entsprechen den Zustandsgrößen des Dieselmotors nach dem Expansionstakt, d.h. die Turbineneintrittstemperatur TIII
entspricht der Abgastemperatur T4 = 940 K des Dieselmotors und der Druck im Turbineneintritt pIII ist gleich dem Abgasdruck nach dem Expansionstakt von p4 = 3.32 bar.
Für den Abgasturbolader gelten folgende Größen:
Mechanischer Wirkungsgrad:
ηmech
Isentroper Verdichterwirkungsgrad: ηV,is
Isentroper Turbinenwirkungsgrad: ηT,is
Darüber hinaus gilt:
m&
= 0.98
= 0.80
= 0.82
= m& V = m& T = 0.15 kg/s
Als Arbeitsmedium kann mit Luft (ideales Gas: R = 287 J/kgK, κ = 1.4) gerechnet werden.
Umgebungsbedingungen: T0 = 15°C, p0 = 1.013 bar
1.
Skizzieren Sie das Schaltbild des Abgasturboladers (Ebenenbezeichnung I-IV).
2.
Das Abgas expandiert in der Turbine von pIII = p4 = 3.32 bar auf den Umgebungsdruck
pIV = p0 = 1.013 bar. Berechnen Sie die Temperatur TIV im Turbinenaustritt.
3.
Berechnen Sie die Leistung PV , die dem Verdichter des Abgasladers zur Verfügung
gestellt wird.
4.
Wie hoch ist die Temperatur TII , die sich nach der Vorverdichtung der Umgebungs
luft von pI = p0 auf pII durch den Verdichter ergibt?
5.
Berechnen Sie das Kompressionsverhältnis π V = p II p I des Verdichters des Laders.
6.
Wie hoch ist der Druck pII , der sich nach der Vorverdichtung der Umgebungsluft von
pI = p0 auf pII durch den Verdichter des Abgasturboladers ergibt?
7.
Die Umgebungsluft wurde durch den Verdichter des Laders bereits auf den Druck pII
und die Temperatur TII vorkomprimiert. Welcher Druck p2* und welche Temperatur T2*
würde sich bei einer weiteren isentropen Verdichtung durch den Dieselmotor mit
einem unveränderten Verdichtungsverhältnis von ε = v1 v2 = 19 ergeben?
Technische Thermodynamik
Kälteanlagen
157
_________________________________________________________________________
12 Kälteanlagen
12.1 Allgemeiner Kältemaschinenprozeß
Eine häufige Aufgabe von Kältemaschinen besteht in der Aufrechterhaltung einer
Temperaturdifferenz auf einem konstanten Temperaturniveau zwischen einem zu kühlenden
Raum und der Umgebung von der wieder infolge unvollständiger thermischer Isolierung
Wärme in diesen Raum zurückströmt. Eine weitere Aufgabe besteht in der Abkühlung eines
Stoffes von einem höheren zu einem niedrigeren Temperaturniveau, z.B. bei der
Luftverflüssigung.
Die dem zu kühlenden Stoff bzw. Raum entzogene Wärme muß bei einer höheren
Temperatur an die Umgebung abgegeben werden. Die prinzipiellen Zusammenhänge sollen
anhand eines linksdrehenden Carnot-Prozesses, der zwischen der höheren Umgebungstemperatur T und der niedrigeren Kühlraumtemperatur T0 betrieben wird, betrachtet werden
(Abb. 12-1). Die Maschine wird mit einem Kältemittel betrieben, dem bei der tieferen
Temperatur T0 die Wärme Q0 zugeführt wird und welches die Wärme Q wieder an die
Umgebung mit der Temperatur T abgibt. Dazu muß in diesem Beispiel die Arbeit
W = Q − Q0
Gl. 12-1:
aufgebracht werden.
W
Abb. 12-1:
Allgemeiner Kältemaschinenprozeß (Carnot)
Entropieänderungen
Durch den Wärmeentzug Q0 bei der Temperatur T0 verringert sich die Entropie im Kühlraum
um den Betrag
Gl. 12-2:
ΔS 0 =
Q0
T0
Diese Wärme Q0 muß an die Umgebung mit der Temperatur T abgeführt werden. Dadurch
vergrößert sich die Entropie der Umgebung um den Betrag
Gl. 12-3:
ΔS u =
Q0
T
Da die Umgebungstemperatur T über der Kühlraumtemperatur T0 liegt gilt
Technische Thermodynamik
Kälteanlagen
158
_________________________________________________________________________
ΔS 0 =
Gl. 12-4:
Q
Q0
> ΔS u = 0
T
T0
und somit für die gesamte Entropieänderung
ΔS = (ΔS u − ΔS 0 ) < 0
Gl. 12-5:
d.h. die Entropie würde insgesamt abnehmen (Abb. 12-2).
Abb. 12-2:
Entropieveränderung bei Kühlung
Dies ist gemäß dem 2. Hauptsatz nicht möglich, da die Wärme nicht von selbst von einem
niedrigeren Niveau auf ein höheres Niveau übergehen kann. Die technische Realisierung
einer Kältemaschine erfordert demnach noch einen Zwischenprozeß, der die Entropieverminderung ΔS kompensiert. Entropieerhöhung läßt sich entweder durch beliebige
reibungsbehaftete Prozesse erzeugen oder aber durch einen geeigneten Zusatzprozeß, der
neben der Kälteleistung Q0 noch die zusätzliche Wärme ΔQ an die Umgebung abgibt.
Zeichnet man die Entropieverhältnisse aus Abb. 12-2 übereinander, so ergibt sich die
erforderliche zusätzliche Wärme ΔQ aus der Fläche 45ad (Abb. 12-3).
Es muß also gelten:
Gl. 12-6:
Abb. 12-3:
ΔQ
T
+ ΔS ≥ 0
Kompensationswärme ΔQ bei Kälteleistung Q0
Technische Thermodynamik
Kälteanlagen
159
_________________________________________________________________________
Prinzipiell ist die Art der Erzeugung der zusätzlichen Wärme ΔQ frei wählbar, technisch
relevant sind jedoch in Kältetechnik folgende Prozesse:
-
Prozesse, bei denen mechanische Arbeit in Wärme umgesetzt wird
(Kompressionskälteanlagen)
Prozesse, bei denen Heizwärme als Kompensationsprozeß eingesetzt wird
(Absorptionsverfahren)
Thermoelektrische Prozesse, bei denen durch elektrische Energie Wärme von
der kalten Lötstelle zur warmen transportiert wird (Peltier-Effekt)
Arbeitsaufwand
Aus dem T,s-Diagramm (Abb. 12-3) ergibt sich sofort die für die Erzeugung der Zusatzwärme
ΔQ = T ⋅ ΔS erforderliche Arbeit W. Diese Zusatzwärme soll aus dem linksdrehenden Kreisprozeß stammen, der neben der Zusatzwärme ΔQ auch die Kälteleistung Q0 mittels eines
Kältemittels an die Umgebung abführt. Da das Kältemittel sich am Ende des Kreisprozesses
wieder in seinem Ursprungszustand befindet beträgt die Änderung seiner inneren Energie
U 2 − U 1 = 0 . Gemäß dem ersten Hauptsatz muß dann die dem Kältemittel zusätzlich entzogene Wärme ΔQ gleich der aufgewendeten Arbeit W sein, also
Gl. 12-7:
W = ΔQ = T ⋅ ΔS
Unabhängig von der Art des gewählten Kälteprozesses muß zum Anheben der Wärme Q0
von dem Temperaturniveau T0 auf das Temperaturniveau T mindestens die Arbeit
W = ΔQ = T ⋅ ΔS aufgewendet werden. Im T,s-Diagramm (Abb. 12-3) entspricht dies der
Fläche 4-5-a-d oder auch der Fläche 3-5-1-2.
Grundregel der Kältetechnik
Aus Abb. 12-1 ist ersichtlich, daß für die gleiche Kälteleistung Q0 um so mehr Arbeit W
aufgewendet werden muß, je größer der zu überbrückende Temperaturunterschied ΔT=T-T0
ist. Dadurch ergibt sich die Forderung, nie tiefer zu kühlen als unbedingt erforderlich und die
Umgebungstemperatur nur so wenig wie möglich zu überschreiten.
Als Maß der für den Kühlprozeß aufgewendeten Arbeit wird die Leistungsziffer ε definiert als
das Verhältnis der abgeführten Wärme Q0 bezogen auf die aufgewendete Arbeit W.
Gl. 12-8:
ε=
Q0
W
Für den Carnot-Prozeß ergibt sich für die Leistungsziffer
Gl. 12-9:
ε=
Q0
T0
=
W T − T0
Technische Thermodynamik
Kälteanlagen
160
_________________________________________________________________________
12.2 Dampf-Kompressions-Kälteanlage
Der idealisierte Dampf-Kompressions-Kühlkreislauf (1-2-3-4-1 in Abb. 12-4) entspricht dem
Clausius-Rankine-Kreisprozeß (Dampfturbinenprozeß), wobei lediglich die Durchlaufrichtung
verändert wurde. Gesättigter Dampf wird mit niedrigem Druck p1 dem Kompressor zugeführt
und adiabat-reversibel auf den Druck p2 verdichtet (1-2). Im Kondensator wird die Wärme QH
isobar abgeführt (2-3) und das Arbeitsmedium verläßt in der flüssigen Phase den
Kondensator (3). Durch eine adiabate Drosselung (Druckminderung ohne Arbeitsabgabe)
entspannt das Arbeitsmedium von dem Druck p2 wieder auf den Druck p1. In dem
Verdampfer wird das Arbeitsmedium isobar bei dem Druck p1 verdampft und nimmt dabei die
Wärmemenge QL auf.
Zusätzlich zu dem idealisierten Dampf-Kompressions-Kühlkreislauf (1-2-3-4-1) ist in Abb. 12-4
auch zum Vergleich der Carnot-Prozeß (1'-2'-3-4'-1') eingezeichnet. Die technische
Umsetzung des günstigeren Carnot-Prozesses scheitert jedoch an dem Problem, daß in
diesem Fall bei der Kompression von p1' auf p2' ein Zweiphasengemisch bei konstantem
Dampfgehalt x komprimiert werden müßte. Die Kompression eines vollständig verdampften
Stoffes gestaltet sich technisch wesentlich einfacher. Ebenso ist die irreversible
Druckminderung durch ein Drosselventil leichter zu realisieren, als eine Expansion, bei der
ein Stoff von der flüssigen Phase in ein Zweiphasengemisch isentrop entspannt wird.
Kondensator
Kompressor
Wc
Drosselventil
Verdampfer
Abb. 12-4:
Dampf-Kompressions-Kühlkreislauf
In der Realität (Abb. 12-5) weicht der Dampf-Kompressions-Kühlkreislauf aufgrund von
Druckverlusten und interner Wärmeübertragung etwas von dem in Abb. 12-4 skizzierten
idealisierten Prozeß ab. Der Dampf könnte sich beim Eintritt in den Kompressor (1) bereits
im überhitzen Zustand befinden. Die Annahme der isentropen Verdichtung läßt sich in der
Realität nicht verwirklichen, d.h. die Entropie wird in Abhängigkeit von der übertragenen
Wärme von bzw. an das Kältemittel zunehmen (2' = Wärmezufuhr) oder abnehmen (2 =
Wärmeabfuhr). Weiterhin ist es schwierig eine isobare Kondensation zu realisieren. In der
Regel wird der Druck nach der Kondensation geringer sein als im überhitzten Zustand und
die Temperatur etwas unter der Sättigungstemperatur (4) liegen und kann anschließend in
der Leitung zum Drosselventil noch etwas absinken (5). Im Verdampfer kommt es ebenfalls
zu einem Druckverlust und die Temperatur kann in der Leitung zum Kompressor wieder
etwas ansteigen.
Technische Thermodynamik
Kälteanlagen
161
_________________________________________________________________________
Kondensator
Verdampfer
Abb. 12-5:
Realer Dampf-Kompressions-Kühlkreislauf
_________________________________________________________________________
Ü 12.1 Dampf-Kompressions-Kühlkreislauf
Kondensator
Kompressor
Wc
Drosselventil
Verdampfer
geg.:
Kühlmittel Dichlordifluormethan (Freon-12)
Temperatur des Kühlmittels im Verdampfer:
Temperatur des Kühlmittels im Kondensator:
Massenstrom:
Stoffwerte für Freon-12 im Naßdampfgebiet:
Ts [°C] ps [MPa] v' [m³/kg] v'' [m³/kg] h' [kJ/kg]
-20
0.1509 0.000685 0.108847 17.8
+40
0.9607 0.000798 0.018171 74.527
Stoffwerte für Freon-12 im überhitzten Zustand:
T [°C] p [MPa] v [m³/kg] h [kJ/kg] s [kJ/kg⋅K]
+50
0.9 MPa 0.020912 211.765 0.7131
+60
0.9 MPa 0.022012 219.212 0.7358
+50
1.0 MPa 0.018366 210.162 0.7021
+60
1.0 MPa 0.019410 217.810 0.7254
ges:
Kühlleistung QL und Leistungsziffer ε
T1 = -20°C
T3 = +40°C
m& = 0.03 kg/s
h'' [kJ/kg] s' [kJ/kg⋅K] s'' [kJ/kg⋅K]
178.61
0.073
0.7082
203.051
0.2716
0.682
Technische Thermodynamik
Kälteanlagen
162
_________________________________________________________________________
Ü 12.2 Zweistufige Kompressions-Kälteanlage
Zweistufige Kompressions-Kälteanlage, die mit dem Kältemittel Ammoniak betrieben wird.
Beide Kreisläufe sind voneinander getrennt und lediglich über einen Wärmetauscher
miteinander gekoppelt.
Kreislauf I nimmt Wärme im Verdampfer bei einer Temperatur des Kältemittels von -35°C
aus dem Kühlraum, dessen Temperatur -25°C beträgt auf und gibt Wärme bei einem
Kältemitteldruck von 5 bar über einen Wärmetauscher (Kondensator von Kreislauf I) an den
Kreislauf II ab.
Kreislauf II nimmt Wärme bei einem Kältemitteldruck von 4 bar im Wärmetauscher
(Verdampfer von Kreislauf II) auf. Im Kondensator wird Wärme bei einem Kältemitteldruck
von 18 bar an die Umgebung abgegeben.
Die maximale Umgebungstemperatur beträgt 35°C und die geforderte Kälteleistung beträgt
QK = 80 [kW ] .
Annahmen
Ideale Verdichter
Beide Verdichter arbeiten verlustfrei
Vor der Kompression befindet sich das Kältemittel im Sattdampfzustand, die Kondensation
erfolgt in den Siedezustand
geg.:
Die spezifischen Enthalpien von Ammoniak im überhitzten Zustand betragen
h2 = 1947.9 kJ/kg und h6 = 1979.7 kJ/kg
ges.:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
(p, T, x, h), außer T2 und T6
Zustandspunkte 1-8
Mengenströme des Kältemittels in beiden Kreisläufen
Die im Wärmetauscher übertragene Wärmeleistung
Wärmeleistungsabgabe an die Umgebung
Antriebsleistung der beiden Verdichter
Leistungszahl der Gesamtanlage
Leistungszahl eines reversiblen Carnot-Prozesses, der zwischen
T0 = -25°C und T = +35°C arbeitet
_________________________________________________________________________
Technische Thermodynamik
Kälteanlagen
163
_________________________________________________________________________
12.3 Absorptionsverfahren
Der in Abb. 12-6 skizzierte Ammoniak-Absorptionskühlkreislauf unterscheidet sich von dem
Dampf-Kompressionskühlkrieslauf im wesentlichen durch die Art mit der die Verdichtung des
Kältemittels erreicht wird. In dem Absorptionskreislauf wird Ammoniakdampf bei niedrigem
Druck in Wasser absorbiert und der Druck der Lösung durch eine Pumpe erhöht.
Hochdruck Ammoniak Dampf
QH (zur Umgebung)
Kondensator
QH
(starke Wärmequelle)
Generator
schwache
Ammoniaklösung
Wärmetauscher
flüssiges
Ammoniak
Drosselventil
Niederdruck Ammoniak
starke
Ammoniaklösung
Absorber
Verdampfer
QL' (zur Umgebung)
Pumpe
W
Abb. 12-6:
QL
(Kühlraum)
Ammoniak Absorptionskühlkreislauf
Der Niederdruck-Ammoniakdampf aus dem Verdampfer wird im Absorber in der schwachen
Ammoniaklösung absorbiert. Dieser Prozeß läuft bei einer Temperatur ab, die etwas über
der Umgebungstemperatur liegt und die Wärme QL an die Umgebung abgeführt werden
muß. Die starke Ammoniaklösung wird durch einen Wärmetauscher zum Generator
gepumpt, wodurch eine Temperatur- und Druckerhöhung erreicht wird. Infolge der
Wärmezufuhr QH' im Generator durch eine externe Wärmequelle verdampft Ammoniak aus
der Lösung. Dieser Hochdruck-Ammoniakdampf strömt zum Kondensator, wo er analog zum
Dampf-Kompressionskreislauf, wieder verflüssigt wird und weiter durch das Drosselventil
zum Verdampfer expandiert. Im Verdampfer wird aus dem Kühlraum die Wärme QL
aufgenommen und der Niederdruck-Ammoniakdampf wird, zusammen mit der im Generator
zurückbleibenden schwachen Ammoniaklösung wieder dem Absorber zugeführt.
Der entscheidende Unterschied zum Dampf-Kompressionskreislauf besteht darin, daß sich
das Kühlmittel bei der Verdichtung nicht in der dampfförmigen, sondern in der flüssigen
Phase befindet. Durch das geringere spezifische Volumen (= höhere Dichte) der Flüssigkeit
ist für die Druckerhöhung wesentlich weniger Arbeit aufzuwenden als bei der Kompression
von Dampf.
Gl. 12-10:
WPumpe = ∫ v ⋅ dp
Technische Thermodynamik
Kälteanlagen
164
_________________________________________________________________________
Andererseits muß eine externe Wärmequelle mit relativ hoher Temperatur (T = 100-200°C)
zur Verfügung stehen. Der konstruktive Aufwand von Absorptionssystemen ist deutlich höher
als bei Dampf-Kompressions-Systemen. Der Aufwand ist jedoch dann gerechtfertigt, wenn
günstige externe Wärmequellen zur Verfügung stehen, z.B. geothermische oder solare
Wärmequellen. Ein weiterer Vorteil des Absorptionssystems besteht in der relativ geringen
Geräuschentwicklung.
12.4 Luftverflüssigung (Lindeverfahren)
Die Besonderheit des Verfahrens nach C. Linde zur Luftverflüssigung besteht in der
Realisierung der Drosselung in Form eines Gegenströmers, wodurch erst die technische
Anwendung in großem Maßstab unter wirtschaftlichen Bedingungen möglich wurde. Der
prinzipielle Aufbau einer Luftverflüssigungsanlage ist in Abb. 12-7 skizziert.
Abb. 12-7:
Luftverflüssigungsanlage nach Linde, [ 3]
Der gekühlte Kompressor saugt die Luft unter Umgebungsbedingungen (1) an und verdichtet
sie isotherm, d.h. T1 = T2 , vom Umgebungsdruck p1 (1 bar) auf p2 (50-200 bar). Die
komprimierte Luft tritt mit dem Zustand (2) in den Gegenströmer ein und gelangt zum
Drosselventil. Zur Verdeutlichung des Anlagenbetriebs ist das Verfahren im T,s-Diagramm in
Abb. 12-8 dargestellt. Beim Anfahren der Anlage (d.h. Anlage ist noch warm) wird die
Druckluft im Drosselventil vom Zustand (2) auf den Zustand (a) gedrosselt. Die Temperatur Ta
liegt nur geringfügig unter der Umgebungstemperatur T. Die gesamte Luft wird durch den
Gegenstromapparat zurückgeführt, wobei die neu ankommende Druckluft vom Zustand (2)
Technische Thermodynamik
Kälteanlagen
165
_________________________________________________________________________
auf (2') abgekühlt wird. Durch Drosselung der vorgekühlten Druckluft erreicht man bereits
eine tiefere Temperatur Ta'. Diese entspannt Luft kühlt die neu ankommende Luft auf den
Zustand (2''), wodurch sich nach der Drosselung die noch tiefere Temperatur Ta'' einstellt. Mit
zunehmender Betriebsdauer wird somit hinter dem Drosselventil eine immer tiefere
Temperatur erreicht. Nach einer gewissen Zeit stellt sich vor dem Drosselventil der Zustand
(3) und hinter dem Drosselventil der Zustand (4) ein. Da der Zustandspunkt (4) jedoch im
Zweiphasengebiet, d.h. im Sättigungsgebiet liegt, zerfällt die Luft in trocken gesättigten
Dampf (4'') und in siedende flüssige Luft (4'). Diese verflüssigte Luft kann an dem Entnahmehahn aus der Anlage entnommen werden.
Abb. 12-8:
T,s-Diagramm des Linde-Verfahrens, [ 3]
In erster Näherung hat die siedende Flüssigkeit die gleiche Zusammensetzung wie das Gas
im Ausgangszustand unter Umgebungsbedingungen. Bei genauerer Betrachtung zeigt sich
jedoch, daß die siedende Luft einen etwas höheren Sauerstoffanteil und der gesättigte
Dampf einen etwas geringeren Sauerstoffanteil als Luft unter Umgebungsbedingungen
aufweist. Aus diesem Umstand läßt sich z.B. die Zerlegung von Luft in seine Bestandteile,
d.h. die Gewinnung von Stickstoff, Sauerstoff und Edelgasen erreichen.
Technische Thermodynamik
Literaturverzeichnis
166
_________________________________________________________________________
13 Literaturverzeichnis
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Technische Thermodynamik
Anhang
167
_________________________________________________________________________
14 Anhang
Größe
Länge
Einheit
Meter
Masse
Zeit
Kilogramm [kg]
Sekunde
[s]
Elektr.
Stromstärke
Ampère
[A]
Temperatur
Kelvin
[K]
Lichtstärke
Candela
[cd]
Stoffmenge
Mol
[mol]
Tab. 14.1:
Definition
Länge, die das Licht im Vakuum in 1/299792458
Sekunden durchläuft
Masse des internationalen Kilogramm-Prototyps
9192631770fache Periodendauer der dem Übergang
zwischen den beiden Hyperfeinstrukturniveaus des
Grundzustandes von Atomen des Nuklids 133Cs
entsprechenden Strahlung.
Die Stärke eines zeitlich konstanten elektrischen
Stroms, der durch zwei im Vakuum parallel, im Abstand
von 1 Meter voneinander angeordnete, geralinige,
unendlich lange Leiter von vernachlässigbar kleinem
kreisförmigen Querschnitt fließend, zwischen diesen
pro 1 Meter Leiterlänge eine elektrodynamische Kraft
von 2⋅10-7 N erzeugen würde.
Der 273.16te Teil der Temperatur des Tripelpunktes
von Wasser
Die Lichtstärke in einer bestimmten Richtung einer
Strahlungsquelle, die monochromatische Strahlung von
540⋅1012 Hz aussendet und deren Strahlstärke in
dieser Richtung 1/683 Watt pro Steradiant beträgt.
Die Stoffmenge eines Systems, das aus ebensovielen
Teilchen besteht, wie Atome in 0.012 kg des Nuklids
12
C enthalten sind.
Defintionen der SI-Basiseinheiten, [ 6]
Boltzmann-Konstante
Planck-Konstante
Stefan-Boltzmann-Konstante
Avogadro-Konstante
Molare Gaskonstante
Normdruck
Normtemperatur
Normvolumen
Erdbeschleunigung
Tab. 14.2:
Zeichen
[m]
k
h
σ
N
R
pN
TN
VN
g
Physikalische Konstante, [ 17]
1.38054⋅10-23
6.6256⋅10-34
5.6697⋅10-8
6.02252⋅1023
8.3143
1.01325⋅105
273.15
22.4136
9.80665
J/K
J⋅s
W/(K4⋅m2)
1/mol
J/(mol⋅K)
Pa
K
m3/kmol
m/s2
Technische Thermodynamik
Anhang
168
_________________________________________________________________________
Gas
cp
[kJ/kg⋅K]
M
[kg/mol]
Helium
He
5.2380
4.003
Argon
Ar
0.5203
39.950
Wasserstoff
H2
14.2000
2.016
Stickstoff
N2
1.0390
28.010
Sauerstoff
02
0.9150
32.000
Luft
1.0040
28.950
Kohlenmonoxid
CO
1.0400
28.010
Stickstoffmonoxid
NO
0.9983
30.010
Chlorwasserstoff
HCl
0.7997
36.460
Wasser
H20
1.8580
18.020
Kohlendioxid
CO2
0.8169
44.010
Distickstofftmonoxid
N20
0.8507
44.010
Schwefeldioxid
S02
0.6092
64.060
Ammoniak (R717)
NH3
2.0560
17.030
Azetylen
C2H2
1.5130
26.040
Methan
CH4
2.1560
16.040
Methylchlorid
CH3Cl
0.7369
50.490
Ethylen
C2H4
1.6120
28.050
Ethan (R170)
C2H6
1.7290
30.070
Ethylchlorid
C2H5Cl
1.3400
64.510
Propan (R290)
C2H8
1.6670
44.100
Tab. 14.3:
Stoffdaten von Gasen bei 0°C, [ 14]
R
[kJ/kg⋅K
]
2.0770
0.2081
4.1250
0.2968
0.2598
0.2872
0.2968
0.2771
0.2280
0.4615
0.1889
0.1889
0.1298
0.4882
0.3193
0.5183
0.1647
0.2964
0.2765
0.1289
0.1896
κ
[-]
1.660
1.660
1.409
1.400
1.397
1.400
1.400
1.384
1.400
1.330
1.301
1.285
1.271
1.312
1.268
1.317
1.288
1.225
1.200
1.106
1.128
Technische Thermodynamik
Anhang
169
_________________________________________________________________________
p
[bar]
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.08
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
1.00
1.10
1.20
1.30
1.40
1.50
1.60
1.80
2.00
2.20
2.40
2.60
2.80
3.00
3.20
3.40
3.60
3.80
4
4.5
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
22
Tab. 14.4:
spezifisches Volumen
spezifische Enthalpie
spezifische Entropie
v'
v''
h'
h''
s'
s''
ϑ
[°C]
[m³/kg]
[m³/kg]
[kJ/kg]
[kJ/kg]
[kJ/(kg K)]
[kJ/(kg K)]
6.983 0.001000
129.2
29.3
2514
0.106
8.977
17.513 0.001001
67.01
73.5
2534
0.2607
8.725
24.1 0.001003
45.67
101.0
2546
0.3544
8.579
28.98 0.001004
34.8
121.4
2554
0.4225
8.476
32.9 0.001005
28.19
137.8
2562
0.4763
8.396
36.18 0.001006
23.74
151.5
2568
0.5209
8.331
41.53 0.001008
18.1
173.9
2577
0.5925
8.230
45.83 0.001010
14.67
191.8
2585
0.6493
8.151
60.09 0.001017
7.65
251.5
2610
0.8321
7.909
69.12 0.001022
5.229
289.3
2625
0.9441
7.770
75.88 0.001027
3.993
317.7
2637
1.0261
7.671
81.35 0.001030
3.24
340.6
2646
1.0912
7.595
85.96 0.001033
2.732
359.9
2654
1.145
7.533
89.95 0.001036
2.365
376.8
2660
1.192
7.480
93.51 0.001039
2.087
391.7
2666
1.233
7.435
96.71 0.001041
1.869
405.2
2671
1.270
7.395
99.63 0.001043
1.694
417.5
2675
1.303
7.36
102.32 0.001046
1.549
428.8
2680
1.333
7.328
104.81 0.001048
1.428
439.4
2683
1.361
7.298
107.13 0.001050
1.325
449.2
2687
1.387
7.272
109.32 0.001051
1.236
458.4
2690
1.411
7.247
111.4 0.001053
1.159
467.1
2693
1.434
7.223
113.3 0.001055
1.091
475.4
2696
1.455
7.202
116.9 0.001058
0.9772
490.7
2702
1.494
7.162
120.2 0.001061
0.8854
504.7
2706
1.530
7.127
123.3 0.001064
0.8098
517.6
2711
1.563
7.095
126.1 0.001067
0.7465
529.6
2715
1.593
7.066
128.7 0.001069
0.6925
540.9
2718
1.621
7.039
131.2 0.001072
0.646
551.4
2722
1.647
7.014
133.5 0.001074
0.6056
561.4
2725
1.672
6.991
135.8 0.001076
0.57
570.9
2728
1.695
6.969
137.9 0.001078
0.5385
579.9
2730
1.717
6.949
139.9 0.001080
0.5103
588.5
2733
1.738
6.93
141.8 0.001082
0.4851
596.8
2735
1.757
6.912
143.6 0.001084
0.4622
604.7
2738
1.776
6.894
147.9 0.001088
0.4138
623.2
2743
1.82
6.855
151.8 0.001093
0.3747
640.1
2748
1.86
6.819
158.8 0.001101
0.3155
670.4
2756
1.931
6.759
165 0.001108
0.2727
697.1
2762
1.992
6.705
170.4 0.001115
0.2403
720.9
2768
2.046
6.659
175.4 0.001121
0.2148
742.6
2772
2.094
6.62
179.9 0.001127
0.1943
762.6
2776
2.138
6.583
184.1 0.001133
0.1774
781.1
2780
2.179
6.550
188 0.001139
0.1632
798.4
2783
2.216
6.519
191.6 0.001144
0.1511
814.7
2785
2.251
6.491
195 0.001149
0.1407
830.1
2788
2.284
6.465
198.3 0.001154
0.1317
844.7
2790
2.315
6.441
201.4 0.001159
0.1237
858.6
2792
2.344
6.418
204.3 0.001164
0.1166
871.8
2793
2.371
6.396
207.1 0.001168
0.1103
884.6
2795
2.398
6.375
209.8 9.001173
0.1047
896.8
2796
2.423
6.355
212.4 0.001177
0.09954
908.6
2797
2.447
6.337
217.2 0.001185
0.09065
931
2799
2.492
6.302
Sättigungsdampftafel für Wasser (Drucktafel), [ 14]
Technische Thermodynamik
Anhang
170
_________________________________________________________________________
spezifisches Volumen
spezifische Enthalpie
spezifische Entropie
v'
v''
h'
h''
s'
s''
p
ϑ
[bar]
[°C]
[m³/kg]
[m³/kg]
[kJ/kg]
[kJ/kg]
[kJ/(kg K)]
[kJ/(kg K)]
24
221.8 0.001193
0.0832
951.9
2800
2.534
6.269
26
226 0.001201
0.07686
971.7
2801
2.574
6.239
28
230.1 0.001209
0.07139
990.5
2802
2.611
6.21
30
233.8 0.001216
0.06663
1008.4
2802
2.646
6.184
32
237.5 0.001223
0.06244
1025.4
2802
2.679
6.159
34
240.9 0.001230
0.05873
1041.8
2802
2.71
6.134
36
244.2 0.001237
0.05541
1057.6
2802
2.74
6.112
38
247.3 0.001245
0.05244
1072.7
2801
2.769
6.09
40
250.3 0.001252
0.04975
1087.4
2800
2.797
6.069
42
253.2 0.001259
0.04731
1102
2799
2.823
6.048
44
256.1 0.001266
0.04508
1115
2798
2.849
6.029
46
258.8 0.001273
0.04304
1129
2797
2.874
6.01
48
261.4 0.001280
0.04116
1142
2796
2.897
5.991
50
263.9 0.001286
0.03943
1155
2794
2.921
5.974
55
269.9 0.001303
0.03563
1185
2790
2.976
5.931
60
275.6 0.001319
0.03244
1214
2785
3.027
5.891
65
280.8 0.001335
0.02972
1241
2780
3.076
5.853
70
285.8 0.001351
0.02737
1267
2774
3.122
5.816
75
290.5 0.001368
0.02533
1293
2767
3.166
5.781
80
295 0.001384
0.02353
1317
2760
3.208
5.747
85
299.2 0.001401
0.02193
1341
2753
3.248
5.714
90
303.3 0.001418
0.0205
1364
2745
3.287
5.682
95
307.2 0.001436
0.01921
1386
2736
3.324
5.651
100
311 0.001453
0.01804
1408
2728
3.361
5.62
110
318.1 0.001489
0.01601
1451
2709
3.43
5.56
120
324.7 0.001527
0.01428
1492
2689
3.497
5.5
130
330.8 0.001567
0.0128
1532
2667
3.562
5.441
140
336.6 0.001611
0.0115
1572
2642
3.624
5.38
150
342.1 0.001658
0.01034
1611
2615
3.686
5.318
160
347.3 0.001710
0.009308
1651
2585
3.747
5.253
180
357 0.001840
0.007498
1735
2514
3.877
5.113
200
365.7 0.002037
0.005877
1827
2418
4.015
4.941
220
373.7 0.002671
0.003728
2011
2196
4.295
4.58
221.2
374.2
0.00317
0.00317
2107
2107
4.443
4.443
Sättigungsdampftafel für Wasser (Drucktafel) - Fortsetzung
Technische Thermodynamik
Anhang
171
_________________________________________________________________________
spezifisches Volumen
spezifische Enthalpie
spezifische Entropie
p
v'
v''
h'
h''
s'
s''
ϑ
[°C]
[bar]
[dm³/kg]
[m³/kg]
[kJ/kg]
[kJ/kg]
[kJ/(kg K)]
[kJ/(kg K)]
0.0 0.006108
1.0002
206.3
-0.04
2502
-0.0002
9.158
5 0.008718
1.0000
147.2
21.01
2511
0.0762
9.027
10
0.01227
1.0003
106.4
41.99
2520
0.151
8.902
15
0.01704
1.0008
77.98
62.94
2529
0.2243
8.783
20
0.02337
1.0017
57.84
83.86
2538
0.2963
8.668
25
0.03166
1.0029
43.4
104.77
2547
0.367
8.559
30
0.04241
1.0043
32.93
125.7
2556
0.4365
8.455
35
0.05622
1.006
25.24
146.6
2565
0.5049
8.354
40
0.07375
1.0078
19.55
167.5
2574
0.5721
8.258
45
0.09582
1.0099
15.28
188.4
2583
0.6383
8.166
50
0.1234
1.0121
12.05
209.3
2592
0.7035
8.078
55
0.1574
1.0145
9.579
230.2
2601
0.7677
7.993
60
0.1992
1.0171
7.679
251.1
2610
0.831
7.911
65
0.2501
1.0199
6.202
272.0
2618
0.8933
7.832
70
0.3116
1.0228
5.046
293.0
2627
0.9548
7.757
75
0.3855
1.0259
4.134
313.9
2635
1.0154
7.684
80
0.4736
1.0292
3.409
334.9
2644
1.0753
7.613
85
0.578
1.0326
2.829
355.9
2652
1.134
7.545
90
0.7011
1.0361
2.361
376.9
2660
1.193
7.48
95
0.8453
1.0399
1.982
398.0
2668
1.25
7.417
100
1.0133
1.0437
1.673
419.1
2676
1.307
7.355
105
1.208
1.0477
1.419
440.2
2684
1.363
7.296
110
1.433
1.0519
1.21
461.3
2691
1.419
7.239
115
1.691
1.0562
1.036
482.5
2699
1.473
7.183
120
1.985
1.0606
0.8915
503.7
2706
1.528
7.129
125
2.321
1.0652
0.7702
525.0
2713
1.581
7.077
130
2.701
1.0700
0.6681
546.3
2720
1.634
7.026
135
3.131
1.075o
0.5818
567.7
2727
1.687
6.977
140
3.614
1.0801
0.5085
589.1
2733
1.739
6.928
145
4.155
1.0853
0.446
610.6
2739
1.791
6.882
150
4.76
1.0908
0.3924
632.2
2745
1.842
6.836
155
5.433
1.0964
0.3464
653.8
2751
1.892
6.791
160
6.181
1.1022
0.3068
675.5
2757
1.943
6.748
165
7.008
1.1082
0.2724
697.3
2762
1.992
6.705
170
7.92
1.1145
0.2426
719.1
2767
2.042
6.663
175
8.924
1.1209
0.2165
741.1
2772
2.091
6.622
180
10.027
1.1275
0.1938
763.1
2776
2.139
6.582
185
11.23
1.1344
0.1739
785.3
2780
2.188
6.542
190
12.55
1.1415
0.1563
807.5
2784
2.236
6.504
195
13.99
1.1489
0.1408
829.9
2788
2.283
6.465
200
15.55
1.1565
0.1272
852.4
2791
2.331
6.428
205
17.24
1.1644
0.115
875.0
2794
2.378
6.391
210
19.08
1.1726
0.1042
897.7
2796
2.425
6.354
215
21.06
1.1811
0.09463
920.6
2798
2.471
6.318
220
23.2
1.1900
0.08604
943.7
2800
2.518
6.282
225
25.5
1.1992
0.07835
966.9
2801
2.564
6.246
230
27.98
1.2087
0.07145
990.3
2802
2.610
6.211
235
30.63
1.2187
0.06525
1013.8
2802
2.656
6.176
240
33.48
1.2291
0.05965
1037.6
2802
2.702
6.141
245
36.52
1.2399
0.05461
1061.6
2802
2.748
6.106
250
39.78
1.2513
0.05004
1085
2800
2.794
6.071
255
43.25
1.2632
0.0459
1110
2799
2.839
6.036
260
46.94
1.2756
0.04213
1135
2796
2.885
6.001
Tab. 14.5:
Sättigungsdampftafel für Wasser (Temperaturtafel), [ 14]
Technische Thermodynamik
Anhang
172
_________________________________________________________________________
spezifisches Volumen
spezifische Enthalpie
p
v'
v''
h'
h''
ϑ
[°C]
[bar]
[dm³/kg]
[m³/kg]
[kJ/kg]
[kJ/kg]
265
50.88
1.2887
0.03871
1160
2794
270
55.06
1.3025
0.03559
1185
2790
275
59.5
1.3170
0.03274
1211
2786
280
64.2
1.3324
0.03013
1237
2780
285
69.19
1.3487
0.02773
1263
2775
290
74.46
1.3659
0.02554
1290
2768
295
80.04
1.3844
0.02351
1317
2760
300
85.93
1.4041
0.02165
1345
2751
305
92.14
1.4252
0.01993
1373
2741
310
98.7
1.4480
0.01833
1402
2730
315
105.61
1.4726
0.01686
1432
2718
320
112.9
1.4995
0.01548
1463
2704
325
120.6
1.5289
0.01419
11494
2688
330
128.6
1.5615
0.01299
1527
2670
335
137.1
1.5978
0.01185
1560
2650
340
146.1
1.6387
0.01078
1596
2626
345
155.5
1.6858
0.009763
1633
2599
350
165.4
1.7411
0.008799
1672
2568
355
175.8
1.8085
0.007859
1717
2530
360
186.8
1.8959
0.00694
1764
2485
365
198.3
2.016
0.006012
1818
2428
370
210.5
2.2136
0.004973
1890
2343
371
213.1
2.2778
0.004723
1911
2318
372
215.6
2.3636
0.004439
1936
2287
373
218.2
2.4963
0.004084
1971
2244
374
220.8
2.8407
0.003458
2046
2155
374.15
221.2
3.17
0.00317
2107
2107
Sättigungsdampftafel für Wasser (Temperaturtafel) Fortsetzung
spezifische Entropie
s'
s''
[kJ/(kg K)]
[kJ/(kg K)]
2.931
5.966
2.976
5.93
3.022
5.895
3.068
5.859
3.115
5.822
3.161
5.785
3.208
5.747
3.255
5.708
3.303
5.669
3.351
5.628
3.400
5.586
3.450
5.542
3.501
5.497
3.553
5.449
3.606
5.398
3.662
5.343
3.719
5.283
3.780
5.218
3.849
5.144
3.921
5.06
4.002
4.958
4.111
4.814
4.141
4.774
4.179
4.724
4.233
4.656
4.349
4.517
4.443
4.443
Technische Thermodynamik
Anhang
173
_________________________________________________________________________
ϑ
[°C]
-80
-75
-70
-65
-60
-55
-50
-45
-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
105
110
115
120
125
130
132.4
Tab. 14.6:
spezifisches Volumen
spezifische Enthalpie spezifische Entropie
p
v'
v''
h'
h''
s'
s''
[bar]
[dm³/kg]
[m³/kg]
[kJ/kg]
[kJ/kg]
[kJ/(kg K)] [kJ/(kg K)]
0.0503
1.357
18.67
-153.7
1338
-0.527
7.195
0.075
1.368
12.83
-132.2
1347
-0.417
7.048
0.1094
1.378
9.01
-110.7
1356
-0.31
6.911
0.1563
1.389
6.449
-89.12
1365
-0.205
6.782
0.219
1.401
4.702
-67.43
1374
-0.102
6.661
0.3015
1.412
3.486
-45.66
1383
-0.001
6.547
0.4085
1.424
2.625
-23.8
1391
0.0979
6.439
0.545
1.436
2.004
-1.85
1399
0.1951
6.337
0.7171
1.449
1.551
20.19
1407
0.2906
6.24
0.9312
1.462
1.215
42.33
1415
0.3844
6.149
1.195
1.475
0.9626
64.56
1423
0.4767
6.062
1.515
1.489
0.7705
86.9
1430
0.5674
5.979
1.901
1.504
0.6228
109.3
1437
0.6567
5.9
2.362
1.518
0.5079
131.9
1443
0.7445
5.824
2.908
1.534
0.4177
154.5
1449
0.831
5.752
3.548
1.549
0.3462
177.2
1455
0.9161
5.683
4.294
1.566
0.289
200.00
1461
1.0000
5.616
5.158
1.583
0.2428
222.9
1466
1.083
5.552
6.15
1.601
0.2053
245.9
1471
1.164
5.489
7.284
1.619
0.1746
269.00
1475
1.244
5.429
8.573
1.639
0.1494
291.4
1479
1.321
5.372
10.03
1.659
0.1284
314.9
1482
1.399
5.315
11.67
1.68
0.1108
338.5
1485
1.477
5.26
13.5
1.702
0.09596
362.3
1488
1.554
5.206
15.55
1.726
0.08347
386.3
1490
1.63
5.154
17.82
1.75
0.07285
410.5
1491
1.705
5.102
20.33
1.777
0.06378
434.9
1492
1.78
5.051
23.1
1.805
0.05607
458.6
1492
1.851
5.002
26.14
1.834
0.04933
483.9
1492
1.926
4.952
29.48
1.866
0.04349
509.6
1490
2.001
4.902
33.12
1.9
0.03841
535.7
1488
2.076
4.852
37.08
1.937
0.03398
562.3
1485
2.15
4.802
41.4
1.978
0.03011
588.8
1482
2.224
4.752
46.08
2.022
0.02665
617.1
1476
2.301
4.699
51.14
2.071
0.02359
646.3
1470
2.379
4.646
56.62
2.126
0.02086
676.6
1461
2.458
4.59
62.52
2.189
0.01842
708.2
1451
2.54
4.532
68.89
2.262
0.0162
742.0
1439
2.626
4.469
75.74
2.348
0.01418
778.2
1423
2.718
4.400
83.12
2.455
0.01229
818.1
1403
2.816
4.322
91.07
2.594
0.0105
863.5
1376
2.927
4.23
99.62
2.796 0.008703
918.6
1337
3.061
4.111
108.9
3.186 0.006586
999.2
1264
3.255
3.911
113.5
4.227 0.004227
1119.0
1119
3.547
3.547
Sättigungsdampftafel Ammoniak, [ 6]
Technische Thermodynamik
Anhang
174
_________________________________________________________________________
Mittlere spezifische isobare Wärmekapazität c p
ϑ [°C]
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
800
850
900
950
1000
1050
1100
1150
1200
1250
1300
1400
1500
1600
1700
1800
1900
2000
2100
Tab. 14.7:
ϑ
0
in [kJ/(kg⋅K)]
N2
O2
CO2
Luft
N2*
1.0030
1.0303
1.0392
0.9123
0.7831
1.0032
1.0304
1.0392
0.9130
0.7943
1.0034
1.0304
1.0393
0.9138
0.8055
1.0037
1.0305
1.0394
0.9148
0.8165
1.0041
1.0306
1.0395
0.9160
0.8273
1.0046
1.0308
1.0396
0.9175
0.8378
1.0051
1.0310
1.0398
0.9191
0.8481
1.0057
1.0313
1.0401
0.9210
0.8580
1.0065
1.0316
1.0404
0.9230
0.8677
1.0074
1.0320
1.0408
0.9252
0.8771
1.0082
1.0325
1.0413
0.9276
0.8863
1.0093
1.0331
1.0419
0.9301
0.8952
1.0104
1.0338
1.0426
0.9327
0.9038
1.0117
1.1035
1.0434
0.9355
0.9122
1.0152
1.0370
1.0459
0.9426
0.9322
1.0192
1.0401
1.0490
0.9500
0.9509
1.0237
1.0437
1.0526
0.9575
0.9685
1.0286
1.0477
1.0568
0.9649
0.9850
1.0337
1.0522
1.0613
0.9722
1.0005
1.0389
1.0569
1.0661
0.9792
1.0152
1.0443
1.0619
1.0712
0.9860
1.0291
1.0498
1.0670
1.0764
0.9925
1.0422
1.0552
1.0722
1.0816
0.9988
1.0546
1.0606
1.0775
1.0870
1.0047
1.0664
1.0660
1.0827
1.0923
1.0104
1.0775
1.0712
1.0879
1.0976
1.0158
1.0881
1.0764
1.0930
1.1028
1.0209
1.0981
1.0814
1.0981
1.1079
1.0258
1.1076
1.0863
1.1030
1.1130
1.0305
1.1167
1.0910
1.1079
1.1179
1.0350
1.1253
1.0956
1.1126
1.1227
1.0393
1.1335
1.1001
1.1172
1.1274
1.0434
1.1414
1.1045
1.1217
1.1319
1.0474
1.1489
1.1087
1.1260
1.1363
1.0512
1.1560
1.1128
1.1302
1.1406
1.0548
1.1628
1.1168
1.1343
1.1448
1.0584
1.1693
1.1243
1.1422
1.1528
1.0651
1.1816
1.1315
1.1495
1.1602
1.0715
1.1928
1.1382
1.1564
1.1673
1.0775
1.2032
1.1445
1.1629
1.1739
1.0833
1.2128
1.1505
1.1690
1.1801
1.0888
1.2217
1.1561
1.1748
1.1859
1.0941
1.2300
1.1615
1.1802
1.1914
1.0993
1.2377
1.1666
1.1853
1.1966
1.1043
1.2449
Mittlere spezifische isobare Wärmekapazität idealer Gase, [ 2]
H2O
1.8549
1.8561
1.8574
1.8591
1.8611
1.8634
1.8660
1.8690
1.8724
1.8760
1.8799
1.8841
1.8885
1.8931
1.9054
1.9185
1.9323
1.9467
1.9615
1.9767
1.9923
2.0082
2.0244
2.0408
2.0574
2.0741
2.0909
2.1077
2.1246
2.1414
2.1582
2.1749
2.1914
2.2078
2.224
2.24
2.2714
2.3017
2.3311
2.3594
2.3866
2.4127
2.4379
2.462
SO2
0.5915
0.5971
0.6026
0.6083
0.6139
0.6196
0.6252
0.6309
0.6365
0.6420
0.6475
0.6529
0.6582
0.6634
0.6759
0.6877
0.6987
0.7090
0.7185
0.7274
0.7356
0.7433
0.7505
0.7571
0.7633
0.7692
0.7746
0.7797
0.7846
0.7891
0.7934
0.7974
0.8013
0.8049
0.8084
0.8117
0.8178
0.8234
0.8286
0.8333
0.8377
0.8419
0.8457
0.8493
N2* ist das Gemisch aus Stickstoff und den in der Luft enthaltenen Spurengasen (Luftstickstoff)
Technische Thermodynamik
Anhang
175
_________________________________________________________________________
Stoff
ϑ
ρ
[°C ]
Metalle und Legierungen
Aluminium 99.99%
Antimon
Beryllium (gesintert)
Blei
Bronze (6Sn, 9Zn, 84Cu, 1Pb)
Chrom
Duraluminium (94-96Al 3-5Cu 0.5Vg)
Cr-Ni-Stahl (X 12CrN 18.8)
Cr-AI-Stahl (X 10Cr Al 24)
hitzebeständig
V2A-Stahl vergütet
Cr-Stahl ( X 8Cr 17)
rost- und säurebeständig
Kesselblech HIII
Gold (rein)
Iridium
Kadmium
Kalium
Kobalt
Konstantan (Cu Ni 44)
Kupfer (rein)
Kupfer (Handelsware)
Magnesium
Mangan (α-Mn)
Mangenin (84 Cu, 4 Ni, 12 Mn)
Messing (MS58)
Messing (MS 60)
Molybdän
Monel 505
Natrium
Nickel 98.7%
⎡ kg ⎤
⎢ 3⎥
⎣m ⎦
cp
λ
⎡ kJ ⎤ ⎡ W ⎤
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎣ kg ⋅ K ⎦ ⎣ K ⋅ m ⎦
106⋅a
ρ ⋅cp ⋅λ
⎡ m2 ⎤
⎢
⎥
⎢⎣ s ⎥⎦
⎡W ⋅ s ⎤
⎥
⎢
⎢⎣ K ⋅ m 2 ⎥⎦
20
0
20
20
20
20
20
20
20
2700
6690
1877
11341
8800
6900
2700
7800
7600
0.945
0.209
1.779
0.131
0.377
0.457
0.912
0.502
0.50
238.4
230.23
154.88
35.25
61.7
69.07
165
14.65
16.74
93.27
164.5
46.41
23.55
18.6
21.88
67.0
3157
4.41
24663
1794.1
22741
7236
14307
14757
20156
7573
7975
20
20
8000
7700
0.477
0.46
15
25.11
3.93
7.09
7565
9430
20
20
20
100
20
26
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20-100
20
0
7900
19290
22400
8640
860
8780
8900
8960
8300
1740
7430
8400
8440
8400
10200
8360
970
8847
0.47
0.128
0.133
0.246
0.766
0.427
0.410
0.385
0.419
1.046
0.477
0.406
0.376
0.376
0.272
0.544
1.234
0.418
52.3
295.11
146.51
94.19
196.30
69.06
22.6
393.9
372
159.07
20.93
21.86
113.02
113.02
146.51
19.67
133.9
69.06
14.1
119.46
49.0
44.22
297.5
18.27
6.03
114.21
107
87.36
5.64
6.33
35.29
35.77
53.2
4.18
111.11
la.67
13935
26993
20892
14149
11371
16090
9081
36861
35968
17015
8612
8634
18938
18893
20161
9458
12660
15980
Niob
20
8570
Palladium
20 11970
Palladium (sehr rein)
20 21500
Rhenium
20 21020
Rhodium
20 125000
Silber
20 10497
Tantal
20 16500
Titan
20
4505
Uran 238, gesintert 99.9%
500 18000
UO2
600 11000
UO2
1400 10900
UO2
1000 10960
Vanadin
0-100
6120
Wismut
20-100
9798
Wolfram
20 19000
Wood'sche Legierung
20
1056
50Zn, 25Pb, 12.5Cd, 12.5Se
Zink
20
7130
Tab. 14.8:
Stoffwerte von Feststoffen, [ 10]
0.267
0.242
0.133
0.138
0.246
0.234
0.142
0.522
0.174
0.313
0.339
0.326
0.498
0.125
0.138
0.1473
52.33
71.16
71.16
48.14
150.7
407.72
54.4
15.49
30.3
4.18
2.3
3.05
-30.97
7.62
129.76
12.77
22.72
24.51
24.82
16.54
48.78
165.69
23.2
6.38
9.67
1.21
0.62
0.85
10.16
5.72
49.2
82.0
10942
14357
14264
11817
21526
31646
11289
6035
9741
3793
2915
3301
9715
3054
18445
1407
0.385
113.02
41.16
17.603
Technische Thermodynamik
Anhang
176
_________________________________________________________________________
Stoff
ϑ
ρ
[°C ]
Metalle und Legierungen
Zinn (weißes β-Zinn)
Zirkonium
⎡ kg ⎤
⎢ 3⎥
⎣m ⎦
20
20-125
7290
6490
Bau- und Isolierstoffe
Kiesbeton (lufttrocken)
Mörtel
Ziegelmauerwerk (lufttrocken)
20
20
20
Verputz
Asphalt
Asbestplatten
Ziegelstein (trocken)
20
20
20
20
Gips
Buche (längs der Faser, 20% H2o)
Kork (roh)
20
30
0
2200
1900
1400 1800
1690
2120
2000
16001800
1000
700
240
Zement (Portland, trocken)
Eiche (radial)
20
20
Tanne (Fichte, radial)
20
Asbestpappe
Asbestfaser
Schlackenwolle
Mineralwolle
KorkpIatten
Glaswolle
Mineralien und Gläser
Erdreich (grobkiesig)
Schamottesteine
30
50
25
50
30
0
Tonboden
Quarz
SiC-Steine (85% SiC)
Schiefer (senkrecht zur Schichtung)
Sandstein
20
100
20
20
700
20
20
Kalkstein (CaCO3, Kreide)
20
Marmor
20
Granit
Schiefer (parallel zur Schichtung)
Steinsalz
20
20
0
Spiegelglas
Bleiglas
20
20
Stoffwerte von Feststoffen - Fortsetzung
3100
600800
410420
770
470
200
200
190
200
2040
17002000
1450
21002500
2720
2700
21502300
20003000
25002700
2750
2700
21002500
2700
2890
cp
λ
⎡ kJ ⎤ ⎡ W ⎤
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎣ kg ⋅ K ⎦ ⎣ K ⋅ m ⎦
0.221
0.290
106⋅a
ρ ⋅cp ⋅λ
⎡ m2 ⎤
⎢
⎥
⎣⎢ s ⎦⎥
⎡W ⋅ s ⎤
⎢
2⎥
⎣⎢ K ⋅ m ⎦⎥
62.79
16.74
39.1
8.83
10057
5613
0.879
1.279
0.8
0.93
0.836 0.58-0.81
1572
1189
823.9-1104
2.72
0.14
0.661
0.612
0.4950.538
0.586
0.358
0.443
0.280.34
0.468
0.247
0.3990.598
0.12
0.110.13
0.12
0.815
0.815
0.8
0.92
1.88
0.66
0.116
0.11
0.05
0.046
0.041
0.037
0.184
0.287
0.312
0.250
0.114
0.280
269.8
205.3
89.4
92
121.0
69.88
1.84
0.84
0159
0.5-1.2
1488
844-1419
0.88
0.78
1.28
1.40
1.05
0.75
0.71
1.56
1.83
1.6-2.1
0.157
0.330.69
1.0
0.7170.854
0.564
0.903
1.0-1.3
0.741
2.2
0.808
2.8
0.892
0175
0.917
2.9
2.9
6.98
0.8
0.793
0.92
0.70
0.79
0.7
0.84 0.38-052
1.09
0.51
2.021
0.35
1.67- 0.16-0.30
2.09
0.75
0.298
2.39 0.17-0.25
0.8
0.76
0.679 0.70-0.93
0.9891.48
1.281.38
1.18
1.43
3.463.62
0.35
0.3470.461
1035
1168
1051
714-886
745
703.6
253.2-387.9
845
493-691
395
1277
1514
2110
1925
1562-1851
1805-2211
2378-2471
2667
2423
3666-4000
'1281
1172-1350
Technische Thermodynamik
Anhang
177
_________________________________________________________________________
Stoff
ϑ
ρ
[°C ]
⎡ kg ⎤
⎢ 3⎥
⎣m ⎦
cp
λ
⎡ kJ ⎤ ⎡ W ⎤
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎣ kg ⋅ K ⎦ ⎣ K ⋅ m ⎦
106⋅a
ρ ⋅cp ⋅λ
⎡ m2 ⎤
⎢
⎥
⎢⎣ s ⎥⎦
⎡W ⋅ s ⎤
⎢
⎥
⎢⎣ K ⋅ m 2 ⎥⎦
Mineralien und Gläser
Thermometerglas
(Jena 16III)
Pyrexglas
Fensterglas
20
2580
0.779
0.965
0.480
1392
20
20
2240
2480
1.058
1.163
20
2210
0.610
0.5040.669
0.867
1354
1420-1673
Quarzglas
0.774
0.700.93
0.728
Kunststoffe
Aminoplaste
Polyäthylen (Lupolen)
Polyurethan
Polyamide
20
20
20
20
1500
920
1200
1130
1.67
2.3
2.09
2.3
933
858
901
850-883
Polyvinylcarbazol (Luvican)
Bakelit
Buna
Zelluloid
Polytetrafluoräthyylen (Teflon)
Gummi (weich)
20
20
20
20
20
20
1190
1270
1150
1380
2200
1100
1.25
1.59
1.967
1.67
1.04
1.67
Palatal (ungesättigte Polyesterharze)
Acrylglas (Plexiglas)
Phenolgießharze
Vulkanfiber
Hartgummi (Ebonit)
Polyvinylchlorid (PVC)
Polystyrol
Anilinpreßharz
Schaumgummi
20
20
20
20
20
20
20
20
20
Iporka - Schaumstoffe
20
1100
1180
1330
1100
1150
1380
1050
1200
400500
5-15
Styropor - Schaumstoffe
20
15-100
0.138
0.164
0.129
0.1060.115
0.171
0.11
0.101
0.099
0.1
0.0870.125
0.096
0.108
0.089
0.07
0.098
0.113
0.105
0.058
0.1040.112
2.044.52
0.361.54
Verschiedene Stoffe
Wolle
Rohseide
Baumwolle
Baurinde
Kohlenstaub
Papier (gewöhnlich)
Leder (trocken)
20
35
30
25
30
20
20
100
100
81
337
730
700
860
Fett
20
Steinkohle
20
910960
12001500
2070
Schwefel
Stoffwerte von Feststoffen - Fortsetzung
20
1.395
0.348
0.348
0.324
0.2780.30
0.255
0.233
0.23
0.23
0.23
0.16-0.23
1.75
0.185
1.44
0.184
1.46
0.174
1.67
0.174
1.42
0.16
0.96
0.15
1.25
0.139
1.67
0.116
1.67 0.07-0.92
1.37
1.25
0.0310.042
0.0290.045
1.72
0.036
1.33
0.049
1.15
0.059
1.26
0.074
1.3
0.12
1.2
0.12
1.49 0.12-0.15
1.93
0.17
1.26
0.26
0.209
0.368
0.633
0.174
0.13
0.142
0.090.12
0.090.096
0.1-0.2
0.723
0.265
0.177
1498
615
685
721
722
725
542-650
596
559
581
565
511
445
427
482
216-277
14.6-29.4
23.3-75
78.7
80.7
74.1
177
337
317
392-438
629
546-561
626-700
Technische Thermodynamik
Anhang
178
_________________________________________________________________________
Stoff
ϑ
ρ
[°C ]
Verschiedene Stoffe
Paraffin
30
Schnee
Zucker (fein)
Hochafenschlacke
0
0
20
Porzellan
Ton (wenig Sand, 49% feucht)
Eis
Carborund SiC
Graphit (fest, Natur)
Stoffwerte von Feststoffen - Fortsetzung
95
20
0
100
20
⎡ kg ⎤
⎢ 3⎥
⎣m ⎦
870925
560
1600
25003000
2400
1450
917
1500
20002500
cp
λ
⎡ kJ ⎤ ⎡ W ⎤
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎣ kg ⋅ K ⎦ ⎣ K ⋅ m ⎦
2.9 0.24-0.27
2.09
1.25
0.836
o.464
0.58
0.57
1.08
0.88
1.93
0.62
0.6094
1.03
1.28
2.2
58.20
155
106⋅a
ρ ⋅cp ⋅λ
⎡ m2 ⎤
⎢
⎥
⎢⎣ s ⎥⎦
⎡W ⋅ s ⎤
⎢
⎥
⎢⎣ K ⋅ m 2 ⎥⎦
0.090.10
0.396
0.290
0.2270.274
0.397
1.0
1.243
62.58
101.7127
778-851
730
1077
1091-1195
1633
1277
1973
7357
1374015361
Technische Thermodynamik
Anhang
179
_________________________________________________________________________
Stoff
Verschiedene Flüssigkeiten
Ammoniak (NH3)
Frigen 22 (CHF2Cl), Ps=5.0 bar
Frigen 12 (CF2Cl2), Ps=3.08 bar
Aceton (C3H6O)
Frigen 13 (CF3Cl), Ps=19.7 bar
Chloroform (CHCl3)
Frigen 11 (CFCl3) ),
Ps=0.402 bar
Frigen 114 (CF2Cl.CF2Cl),
Ps=0.86 bar
Wasser
Toluol (C6H5CH3)
Benzol (C6H6)
Tetrachlorkohlenstoff (CCI4)
Frigen 113 (C2F3Cl3),
Ps=0.15 bar
Äthylalkohol
Terpentin
Äthylenglykol C2H4(OH)2
Äthylenglykol C2H4(OH)2
Spindelöl
Schwefelsäure, (H2S04)
Diphyl (73.5 Diphenyloxid, 26.5
Diphenyl)
Sole (20% MgCl2)
Paraffin (liquid)
Transformator-Öl
Glycerin C3H5(OH)3
Olivenöl
Flugmotorenöl (Rotring)
Siliconöl, AK250
ϑ
[°C ]
ρ
⎡ kg ⎤
⎢ 3⎥
⎣m ⎦
λ
⎡ kJ ⎤ ⎡ W ⎤
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎣ kg ⋅ K ⎦ ⎣ K ⋅ m ⎦
cp
20
0
20
20
20
20
20
610
1285
1394
790.4
1119
1489
1534
4.77
1.18
0.934
2.21
1.21
0.979
0.879
0.494
0.098
0.084
0.180
0.058
0.121
0.098
0
1530
0.94
0.076
20
20
20
20
0
998.2
866
879.1
1595
1621
4.183
1.70
1.738
0.841
0.909
0.598
0.140
0.154
0.105
0.080
20
0
20
100
60
10
20
789.2
860
1113
1056
845
1834
1061.5
2.432
1.719
0.382
2.742
2.02
1.414
1.59
-20
20
1184
870930
842
1260.4
920
868
970
60
20
60
60
25
Flüssige Metalle und
Legierungen
Kallium
200
795
Rubidium
0.39
1475
Caesium
28.5
1840
Natrium
100
927
Zinn
300
6940
Wismut
300 10030
Na-K-Legierung, 22% Na
100
847
Blei
400 10590
Quecksilber
20 13550
Blei-Wismut Legierung
200 10486
44.5% Pb
Lithium
200
515
Tab. 14.9:
Stoffwerte von Flüssigkeiten, [ 10]
103⋅α
106⋅η
106⋅ν
106⋅a
⎡1⎤
⎢K ⎥
⎣ ⎦
⎡N ⋅ s⎤
⎢ 2 ⎥
⎣m ⎦
⎡ m2 ⎤
⎢
⎥
⎢⎣ s ⎥⎦
⎡ m2 ⎤
⎢
⎥
⎢⎣ s ⎥⎦
2.44
220
242.9
292.62
322
220
570
541.5
0.361
0.189
0.209
0.407
0.193
0.383
0.353
0.17
0.06
0.064
0.103
0.042
0.085
0.073
470.3
0.307
0.053
0.20
1.08
1.06
1.22
1002
586
650
970
928.8
1.006
0.676
0.740
0.608
0.573
0.142
0.095
0.1
0.077
0.054
0.180
0.14
0.250
0.263
0.142
0.544
0.140
1.1
0.90
0.64
0.67
0.75
0.57
1190
1460
21317
2403
4179
27000
5835.2
1.508
1.69
19.15
2.27
4.94
14.7
5.5
10.092
0.094
0.094
0.091
0.083
0.215
0.080
2.99
2.13
0.392
0.26
1.0
0.76
12959
12800
10.94
14.22
0.11
0.135
2.09
2.43
1.97
2.01
1.465
0.122
0.27
0.16
0.141
0.168
0.70
0.49
0.68
0.70
7318
14990
80800
71240
242500
8.7
11.89
87.82
81.89
250
0.069
0.0916
0.088
0.081
0.118
0.791
0.382
0.251
1.385
0.255
0.150
0.941
0.147
0.139
0.146
45.82
21.57
13.57
85.84
31.55
14.61
23.2
15.08
8.02
11.71
0.29
341.7
484.4
475.3
705
1672
1662
529
2116
1550
2548
0.429
0.328
d.258
0.760
0.241
0.!66
0.624
0.199
0.114
0.243
72.86
38.3
29.4
66.85
17.52
9.71
29.1
9.69
4.25
7.6
4.14
45.93
569.4
1.10
21.51
1.43
1.26
0.280
0.100
0.120
0.181
0.18
Technische Thermodynamik
Anhang
180
_________________________________________________________________________
Gase
Reine anorganische Gase
(Dämpfe)
Ammoniak (NH3)
Argon
Chlor
Kohlendioxid (CO2)
Helium
Kohlenmonoxid (CO)
Luft (760 mbar)
Neon
Sauerstoff (O2)
Schwefeldioxid (S02)
Stickstoff (N2)
Stickstoffoxyd (NO)
Wasserdampf
Wasserstoff (H2)
ϑ
[°C ]
100
0
0
50
20
0
20
0
0
0
0
0
100
50
Reine organische Gase
(Dämpfe)
Aceton (C3H6O)
0
Acetylen (C2H2)
0
Äthan
0
Benzol (C6H6)
20
Chloroform (CHCl3)
0
Frigene (bei Sättigungsdruck)
Frigen 11 (CFCl3)
0
Frigen 12 (CF2Cl2)
0
Frigen 13 (CF3Cl)
0
Frigen 22 (CHF2Cl)
0
Frigen 114 (CF2Cl. CF2Cl)
20
Methan (CH4)
20
Tab. 14.10:
Stoffwerte von Gasen, [ 10]
ρ
⎡ kg ⎤
⎢ 3⎥
⎣m ⎦
⎡ kJ ⎤
⎢
⎥
⎣ kg ⋅ K ⎦
λ
W
⎡
⎤
⎢K ⋅ m⎥
⎣
⎦
0.551
1.78
3.22
1.648
0.1785
1.250
1.2045
0.90
1.428
2.139
1.25
1.34
0.589
0.075
2.232
0.524
0.502
0.875
5.238
1.051
1.005
1.03
0.915
0.624
1.042
1.009
2.135
14.36
0.030
0.018
0.008
0.0178
0.1436
0.022
0.0257
0.046
0.026
0.0084
0.024
0.023
0.029
0.202
13.0
22.2
12.3
16.2
18.6
16.6
18.2
29.8
20.3
11.6
16
17.9
12.85
9.42
23.6
16.1
3.82
9.8
104.2
13.28
15.11
33.5
18.4
4.0
6
13.38
21.7
126
16.74
21.19
50.2
25.7
4.76
13.26
17.3
19.61
191
0.792
1.17
2.05
4.0
5.28
1.45
1.641
1.667
1.09
0.607
0.0096
0.018
0.018
0.01
0.007
6.6
9.6
8.6
7.4
10
8.33
8.2
4.19
1.85
2.45
8.36
9.38
5.27
2.29
2.82
2.481
17.65
134
21.45
9.59
0.55
0.549
0.547
0.620
0.587
0.653
2.25
0.0077
0.0097
0.0115
0.0107
0.0109
0.033
10.2
11.9
13.6
12.0
11.2
10.8
4.1
o.68
0.1
0.56
1.17
19.47
6.0
0.99
0.16
0.8
2.5
26.67
cp
106⋅η
106⋅ν
106⋅a
⎡N ⋅ s⎤
⎢ 2 ⎥
⎣m ⎦
⎡ m2 ⎤
⎢
⎥
⎢⎣ s ⎥⎦
⎡ m2 ⎤
⎢
⎥
⎢⎣ s ⎥⎦
24.9
24.8
4.96
12.6
Technische Thermodynamik
Anhang
181
_________________________________________________________________________
Abb. 14-1:
h,x -Diagramm von feuchter Luft