BACHELORARBEIT Weiÿlichterzeugung in Photonischen Fasern

Carl von Ossietzky
Universität Oldenburg
Bachelorstudiengang
Physik
BACHELORARBEIT
Titel:
vorgelegt von:
Weiÿlichterzeugung in Photonischen Fasern
Heiko Kollmann
Betreuender Gutachter:
Prof. Dr. Christoph Lienau
Zweiter Gutachter:
Prof. Dr. Gottfried Heinrich Bauer
Oldenburg, 11.08.2008
INHALTSVERZEICHNIS
1
Inhaltsverzeichnis
1
Einleitung
4
2
Erzeugung hoher Leistungsdichten mit Ultrakurz-Lasern
5
2.1
5
3
Der Titan-Saphir-Laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1
Erzeugung ultrakurzer Lichtpulse mit Modenkopplung
. . . . . . . .
5
2.1.2
Gruppengeschwindigkeitsdispersion
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.1.3
Der Aufbau des Lasersystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
Messung und Formung ultrakurzer Laserpulse
16
3.1
3.2
Pulsformung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
3.1.1
Funktionsweise eines Prismenkompressors . . . . . . . . . . . . . . . .
16
3.1.2
Spezikationen des verwendeten Prismenkompressors . . . . . . . . .
18
Messung der Pulsdauer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
3.2.1
Die interferometrische Autokorrelationsmessung . . . . . . . . . . . .
19
3.2.2
Auswertung und Interpretation der interferometrischen Autokorrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Lichtwellenleiter
23
4.1
Stufenindexfaser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
4.1.1
Aufbau und Lichtführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
4.1.2
Moden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
4.1.3
Dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
Photonische Kristallfaser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
4.2.1
Aufbau und Lichtführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
4.2.2
Moden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
4.2.3
Dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
4.2
5
6
22
Superkontinuumserzeugung
28
5.1
Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
5.2
Selbstphasenmodulation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
5.3
Soliton-Spaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
Die Weiÿlichtquelle
34
6.1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
6.2
6.3
Der Aufbau
Messungen und Ergebnisse mit der Stufenindexfaser . . . . . . . . . . . . . .
36
6.2.1
Variation der Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
6.2.2
Variation der Pulslänge
38
6.2.3
Variation der Trägerwellenlänge
6.2.4
Fazit - Konventionelle (Stufenindex)-Faser
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
Messungen und Ergebnisse mit der photonischen Kristallfaser
40
42
. . . . . . . .
44
6.3.1
Spezikation der FEMTOWHITE800 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
6.3.2
Erzeugung eines breiten Superkontinuums mit der PCF
45
. . . . . . .
INHALTSVERZEICHNIS
6.4
2
6.3.3
Der Einuss der Soliton-Ordnung und Spitzenleistung
6.3.4
Fazit - Photonische Kristallfaser
Vergleich beider Fasertypen
. . . . . . . .
47
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
7
Zusammenfassung und Ausblick
53
8
Literaturverzeichnis
54
9
Appendix
56
9.1
56
Programme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10 Selbständigkeitserklärung
60
ABBILDUNGSVERZEICHNIS
3
Abbildungsverzeichnis
1
Energieschema des
T i+++
6
2
in einem Saphir-Kristall. . . . . . . . . . . . . . .
+++ -Ions. . . . . . . . . . . . . .
Absorptions- und Emissionsspektrum des T i
3
Darstellung des Mode-Locking- Eektes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
4
Pulse mit Down-Chirp, Up-Chirp und ohne einen Phasenterm zweiter Ord-
5
Schematische Darstellung eines Up-Chirps und Down-Chirps.
6
Aufbau des Titan-Saphir-Lasersystems.
7
Aufbau eines Prismenkompressors
8
9
Aufbau eines Autokorrelators. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
10
Autokorrelationsfunktion.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
11
Schematische Darstellung einer Stufenindexfaser. . . . . . . . . . . . . . . . .
23
12
Brechungsindex von Glas über Wellenlänge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
13
Schematische Darstellung einer PCF. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
14
Prinzip der Frequenzverschiebung durch die SPM. . . . . . . . . . . . . . . .
30
15
Aufbau der Weiÿlichtquelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
16
Superkontinua bei Variation der Pulsleistung für die getaperte Faser. . . . .
37
17
Superkontinua bei Variation der Pulslänge für die getaperte Faser.
39
18
Superkontinua bei Variation der Trägerwellenlänge für die getaperte Faser.
41
19
Vergleichsspektrum gemessen mit der NT&C Photonic Fiber 1537.
. . . . .
43
20
Abbildung der FEMTOWHITE800.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
21
Gruppengeschwindigkeitsdispersion für verschiedene Wellenlänge der FEM-
nung.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
. . . . . . . .
13
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
GVD in Abhängigkeit der Wellenlänge für SF10,SF11 und BK7. . . . . . . .
19
TOWHITE800.
22
7
. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
Superkontinuum bei optimalen Einstellung der Weiÿlichtquelle unter Verwendung der photonischen Kristallfaser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
23
Superkontinua bei Variation der Spitzenleistung und Soliton-Ordnung. . . .
48
24
Referenz-Superkontinuum erzeugt mit einer FEMTOWHITE800.
. . . . . .
51
25
Vergleich beider Fasertypen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
Tabellenverzeichnis
1
Werte für BK7, SF10 und SF11.
2
Soliton-Ordnung
N
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
P0 .
49
bei Variation der Spitzenleistung
. . . . . . . . . . .
1
1
EINLEITUNG
4
Einleitung
Das Thema dieser Bachelorarbeit ist der Bau einer Weiÿlichtquelle, verbunden mit der Erzeugung eines Superkontinuums bei Verwendung einer photonischen- und Stufenindexfaser. Zur Erzeugung des Weiÿlichts wird ein ultrakurzer Lichtpuls in jeweils eine der Fasern eingekoppelt. Das durch nichtlineare optische Eekte entstehende Spektrum nennt
man Superkontinuum aufgrund seiner extremen Breite. Innerhalb der photonischen- und
Stufenindexfaser führen unterschiedliche optische nichtlineare Eekte zur Entstehung eines Superkontinuums. Aus diesem Grund wurden diese Fasertypen für die Weiÿlichtquelle
ausgewählt. Mit ihnen lassen sich verschiedene Einüsse auf die Entstehung eines Superkontinuums untersuchen, was in Kapitel 5 noch genauer erläutert wird.
Zur Motivation ist zu klären, worin die Vorteile gegenüber anderen Weiÿlichtquellen (wie
z.B. einer Xenon- oder Halogenlampe) liegen. Zunächst sei gesagt, dass Weiÿlichtquellen
häuge Verwendung in wissenschaftlichen Untersuchungen nden. Da wäre zum Einen die
Spektroskopie, für die eine Lichtquelle mit breitem Spektralbereich vorteilhaft sein kann,
und zum Anderen die Konfokale Fluoreszenz Mikroskopie, Durchusscytometrie, Optische
Kohärenz Tomographie (OCT) und einige mehr. Eine Weiÿlichtquelle kann im besten Fall
ein aches homogenes Spektrum erzeugen, dass sich über eine Oktave bis hin zu drei Oktaven erstrecken kann [1]. Das heiÿt, dass ein Wellenlängenbereich von 400 nm bis 2400 nm,
also vom nahen UV- bis tief in den IR- Bereich abgedeckt wird. Auÿerdem ist eine hohe
Lichtleistung am Ausgang der Weiÿlichtquelle möglich, da zur Erzeugung eines Superkontinuums die Verwendung eines Lasers mit hoher Ausgangsleistung erforderlich ist. Weiter
besitzt das mit dieser Quelle erzeugte Licht eine weitaus höhere Kohärenzlänge als Licht
von konventionellen Weiÿlichtlampen, wobei besonders die räumliche Kohärenz stark ausgeprägt ist.
In dieser Arbeit wird zunächst auf die physikalischen Eekte, die für die SuperkontinuumsEntstehung relevant sind, eingegangen. Die Funktionsweise und der physikalische Hintergrund einiger für diesen Aufbau wesentlichen optischen Geräte ist für das Verständnis
der Weiÿlichterzeugung hilfreich. Aus diesem Grund werden diese zusätzlich erläutert.
Abschlieÿend werden die Spektren der erzeugten Superkontinua bei Verwendung einer
photonischen- und Stufenindexfaser vorgestellt, sowie auf die Problematik beim Bau der
Weiÿlichtquelle eingegangen.
2
ERZEUGUNG HOHER LEISTUNGSDICHTEN MIT ULTRAKURZ-LASERN
2
5
Erzeugung hoher Leistungsdichten mit Ultrakurz-Lasern
Die Wahl des richtigen Lasersystems ist für den Erfolg der Superkontinuums-Generation
(SCG) maÿgeblich. Die für das Superkontinuum verantwortlichen nichtlinearen optischen
Eeke treten nur bei hohen optischen Leistungsdichten auf. Ganz besonders sind dafür
ultrakurze Laserpulse mit hoher Wiederholrate geeignet. Diese können schon bei moderater durchschnittlicher Leistung hohe Spitzenleistungen, d.h. hohe Leistungen pro Puls,
erzielen. Dann treten besondere nichtlineare Eekte auf, worauf im Kapitel 5 noch genauer
eingegangen wird. Einem Experimentatoren stehen nun einige Lasersysteme zur Auswahl.
Da wären z.B. ein Argon-Ionen-Laser oder Nd:YAG-Laser, die auf der einen Seite eine starke durchschnittliche Lichtleistung von einigen Watt liefern, auf der anderen Seite nur im
Dauerstrich- (Continouus Wave) oder im Puls-Betrieb mit langen Pulsdauern von einigen
Nanosekunden, bis hin zu Pikosekunden, zu betreiben sind. Hohe spektrale Bandbreiten
von einigen 10nm bis hin zu einigen 100nm und somit auch kurze Femtosekundenpulse
lassen sich sehr gut über einen Titan-Saphir-Laser erzeugen. Dieser hat sich im Laufe der
Zeit zum wichtigsten Kurzpulslasersystem [2] entwickelt. Die Physik die diesem zu Grunde
liegt ist Thema in Kap. 2.1.1.
In diesem Aufbau ndet ein Titan-Saphir-Laser (Ti:Sa) Tisapphire laser kit (Modell TS),
ein Bausatz der KAPTEYN-MURNANE LABORATORIES, Verwendung.
2.1
Der Titan-Saphir-Laser
2.1.1 Erzeugung ultrakurzer Lichtpulse mit Modenkopplung
Das aktive Lasermedium in einem Titan-Saphir-Lasersystem ist das
ein Korund-Kristall
(Al2 O3 )
T i+++
Ion, mit dem
dotiert ist. Die Physik die sich hinter der Light Amplication
by Stimulated Emission of Radiation verbirgt wird nun kurz erläutert. Die Atome des
Lasermediums werden durch ein eingestrahltes Lichtfeld zu höheren Schwingungszuständen bzw. auf höhere Energieniveaus angeregt, den metastabilen Zuständen. Diese haben
eine zeitlich begrenzte Lebensdauer
τ . Zerfällt dieser Zustand, ist entweder ein Übergang in
den Grundzustand bzw. Ausgangszustand möglich, wobei die Dierenzenergie als Photon
abgegeben wird, oder es kommt zu intermediären Übergängen, bei welchem die Atome ein
Teil ihrer Energie zunächst in Phononen umwandeln, um anschlieÿend in einen anderen
metastabilen oder virtuellen Zustand zu wechseln. Eine Vielzahl der Energiezustände wird
durch das Kristallfeld erzeugt. Ein Energieschema in Abbildung 1 zeigt die Energieniveauaufspaltung für das Lasermedium im Ti:Sa-Laser.
2
ERZEUGUNG HOHER LEISTUNGSDICHTEN MIT ULTRAKURZ-LASERN
Abbildung 1: Energieschema des
T i+++
6
in einem Sapphire-Kristall.(a) Zeigt die Aufspaltung
1
des 3d Zustandes durch das umgebende Kristallfeld. Es wirken ein kubisches und
ein trigonales Kristallfeld. Das trigonale Feld bewirkt eine schwache Aufspaltung
der Niveaus. Weitere Aufspaltungen treten durch Spin-Bahn-Kopplung auf. Die
−1 und Dq ist ein Parameter für die Kristall-
Angaben sind in Wellenzahlen cm
feldaufspaltung. (b) Vereinfachtes Energieniveauschema. [3]
Ein wichtiger Aspekt für die Funktionalität eines Lasers ist die Besetzungsinversion. Es
muss sichergestellt werden, dass sich mehr Atome in angeregten Zuständen als im Grundzustand benden. Dies ist dann gegeben, wenn die Anregungsrate gröÿer als der Schwellenwert
der Inversion ist. Die Lebensdauer
τ
einiger Zustände darf daher nicht zu kurz sein. Der mit
Titan dotierte Saphir besitzt eine Vielzahl von metastabilen Zuständen und Übergängen
zwischen diesen, aufgrund der besonderen Beschaenheit der kristallienen Struktur, womit
eine hohe spektrale Bandbreite gegeben ist. Das Emissions- und Absorptionsspektrum ist
in Abbildung 2 skizziert.
2
ERZEUGUNG HOHER LEISTUNGSDICHTEN MIT ULTRAKURZ-LASERN
Abbildung 2: Absorptions (links)- und Emissionsspektrum (rechts) des
T i+++ -Ions
7
im Saphir-
Kristall [4].
Das Fluoreszenzspektrum des Ti:Sa-Lasers besitzt eine maximale Breite von 650 nm bis
1100 nm. Das Maximum des Emissionspektrums liegt bei etwa 800 nm. Es treten nun zwei
Arten von Relaxationen der angeregten Atome auf. Entweder fällt das Atom spontan vom
angeregten Zustand in einen niederenergetischen Zustand zurück, oder es wird von einem
Photon zur Emission angeregt. Spontane Emission führt zu keiner Verstärkung des Laserlichtes, da das Photon in eine beliebige Richtung ausgesendet wird. Dieser Prozess dient
nur zum Anschwingen des Lasers, ist daher trotzdem sehr nützlich. Nur durch induzierte
Emission ist eine Verstärkung zu erreichen. Diese Art von Emission wird durch ein Photon
angeregt, dass eine Energie besitzt, die gleich der Energiedierenz des angeregten- zum
niederen Zustand ist. Das emittierte Photon hat dann nicht nur dieselbe Energie, sondern
auch Ausbreitungs- und Polarisationsrichtung, sowie Phase. Das emittierte Licht bewegt
sich zwischen den Resonatorspiegeln und die Verstärkung wird weiter vorangetrieben. Der
Resonator und das optische Medium bilden somit einen rückgekoppelten optischen Verstärker. Zwischen den Resonatorspiegeln, die einen Abstand
L
zueinander haben, bilden sich,
auf der optischen Achse, stehende Wellen, die sogenannten longitudinalen Moden. Da der
Ti:Sa-Laser Photonen verschiedener Wellenlänge emittiert, bildet sich auch eine Vielzahl
von Moden aus. Für jede dieser Moden gilt:
λm · m = 2 · L n
Mit
n
m = 1, 2, 3, ..
(1)
als Brechungsindex des Resonators. Nur wenn diese Bedingung eingehalten wird,
existiert ein stabiles Lichtfeld. Es gilt damit für die Frequenz der Resonatormoden:
2
ERZEUGUNG HOHER LEISTUNGSDICHTEN MIT ULTRAKURZ-LASERN
fm =
m·c
2 · Ln
Es ergibt sich daraus eine Umlaufzeit
T
m = 1, 2, 3, ..
8
(2)
der Photonen innerhalb des Resonators zu:
T =
2 · Ln
c
Die reziproke Umlaufzeit entspricht dem Frequenzabstand
(3)
δf .
Damit ist mit der Regelung
der Resonatorlänge eine Selektion der zu verstärkenden Wellenlängenbereiche möglich.
Die einzelnen Moden überlagern sich im Resonator, sodass sich eine Gesamtwelle ausbildet.
Je nach Einstellung der Resonatorlänge ergibt sich damit eine Verstärkung um eine mittlere
Frequenz
ω0 = 2πf0 ,
der sogenannten Trägerfrequenz. Der Laser läuft nun im Dauerstrich-
Betrieb. Die Moden bilden ein Wellenpaket, dass sich mit der Gruppengeschwindigkeit
vgruppe = dω/dk
fortbewegt.
Zu den longitudinalen Moden, dich sich auf der optischen Achse ausbilden, kommen auch
transversale, die die Form des Laserprols bestimmen. Die transversalen Moden sind geschlossene Wege zwischen den Resonatorspiegeln, die nicht auf der optische Achse liegen.
Maÿgeblich werden diese Moden durch die Form bzw. Krümmung der verwendeten Hohlspiegel (Resonatorspiegel) bestimmt.
Im Folgenden wird die nötige Theorie zur Erzeugung eines Lichtpulses betrachtet.
Es lohnt sich mit der Modenüberlagerung innerhalb des Lasers zu beginnen. Die zeitliche
Breite bzw. Einschränkung
τP
ist mit der spektralen Breite
∆ν
1
verknüpft, was über das
Zeit-Bandbreiten-Produkt bestimmt wird :
τP ∆ν = K
K
ist ein Wert der von der spektralen Form des Pulses (siehe [4]) und
(4)
∆ν
von seiner spek-
tralen Breite abhängt. Ist Gl. (4) erfüllt, spricht man von einem Bandbreiten-limitierten
Puls.
Damit zeigt sich, dass ein kurzer Puls eine groÿe spektrale Bandbreite besitzen muss, welche gleichzusetzen ist mit einer Vielzahl longitudinaler Moden.
Sei an einem festen Ort z innerhalb des Laserresonators das resultierende elektrische Feld
E(t), das der Überlagerung aller anschwingenden longitudinalen Moden entspricht, gegeben
durch folgende Darstellung:
1 Im
Folgenden ist die spektrale- und zeitliche Breite diejenige, die sich bei halber Höhe des Maximums
der jeweiligen Verteilung (spektral) oder Schwingung (zeitlich) ergibt, also die Halbwertsbreite (FWHM).
2
ERZEUGUNG HOHER LEISTUNGSDICHTEN MIT ULTRAKURZ-LASERN
E(t) =
X
Ẽn exp[i(ωn t + φn )]
9
(5)
n
Wobei
ωn
die Frequenz,
Ẽn
die komplexe Amplitude am Ort z und
φn
die zeitliche Phase der
n-ten Mode ist. Es wird eine skalare Schreibweise verwendet, in Annahme, dass die Moden
in gleicher Richtung polarisiert sind. Mit einem Messgerät, das eine zeitliche Auösung von
τD
besitzt, ist bekanntlich nicht die Amplitude des elektrischen Feldes messbar, sondern
lediglich der zeitliche Mittelwert der Intensität
I.
Betrachtet man nun in einem einfachen
Fall die Überlagerung zweier Moden, so gilt:
|Ẽ1 |2 |Ẽ2 |2
< I(t) >=
+
+
2
2
Z
τD
cos[(ω1 − ω2 )t + φ1 − φ2 ] dt
(6)
0
An dem Phasenterm der Gl.(6) ist zu erkennen, dass sich nur eine Sinoide-Funktion als
Einhüllende einstellt, also eine Folge von Pulsen, wenn die Summe der Phasen
φn
gleich
null ist. Diese konstante Phasenbeziehung bezeichnet man als Mode-Locking. Sie zeigt
sich auÿerdem in folgender Abbildung (3).
Abbildung 3: Darstellung des Mode - Locking-Eektes. (a) Darstellung nur einer Mode. (b)
Überlagerung von zwei Moden. (c) Überlagerung von 8 Moden mit zufälligen Phasen
[4]
φn .
(d) Überlagerung von 8 Moden mit konstanter Phase zum Zeitpunkt t=0.
2
ERZEUGUNG HOHER LEISTUNGSDICHTEN MIT ULTRAKURZ-LASERN
10
Mit Kenntnis dieses Zusammenhangs, lässt sich das resultierende elektrische Feld wie folgt
ausdrücken:
E(t) =
X
Ẽn exp[−iωn t]
(7)
n
φn = 0,
In dieser Darstellung gilt
alle Phasen überlagern sich konstruktiv.
Von wesentlicher Bedeutung ist die komplexe Amplitude
Ẽn ,
Lichtfeldes beinhaltet. Letzteres ist in folgender Denition für
Reihe um die Trägerfrequenz
Ẽn =
ω0
die die räumliche Phase des
Ẽn
(Gl. (8)), in einer Taylor-
entwickelt, dargestellt:
p
S(ωn ) · exp(i[β1 (ωn − ω0 ) + β2 (ωn − ω0 )2 + ...])
(8)
p
mit
S(ωn ) als Amplitude der n-ten Mode. S(ω) ist die messbare spektrale Intensitätsvern
teilung. β1 , β2 usw. sind die Entwicklungskoezienten der Taylor-Reihe. Es gilt: [βn ] = s .
Diese beeinussen die zeitliche Breite des Lichtpulses. Auf den genauen Einuss wird im
folgenden Kapitel eingegangen.
In Annahme eines gauÿförmigen Spektrums folgt aus Gl. (8), mittels der diskreten FourierTransformation, für die Intensität des Lichtes:
#
" 2t 2
ln 2
< I(t) >∝ exp −
τP
Mit
τP
(9)
als Pulslänge, die der FWHM der Intensitätseinhüllenden entspricht.
Die Spitzenleistung
P0
eines Laserpulses ist eine wichtige Gröÿe, wenn es um die Interak-
tion des Pulses mit Materie geht. Aus der Angabe der Wiederholrate
der gemittelten Lichtleistung
<P >
fR
des Lasers und
lässt sich die Spitzenleistung ermitteln über (für ein
gauÿförmiges Spektrum):
P0 ≈ 0.94
Der Quotient
< P > /fR
<P >
τP fR
(10)
wird als Pulsenergie bezeichnet.
Bendet sich der Laser im Mode-Lock-Regime, so werden die oben denierten Pulse erzeugt. Doch dafür muss die schon erwähnte Phasenbeziehung zwischen den longitudinalen
Moden bestehen. Es gibt verschiedene Methoden in dieses Regime zu gelangen, wobei zwischen den aktiven und passiven unterschieden wird. Bei dem verwendeten Lasersystem wird
die passive Selbstmodulation genutzt. Die Selbstmodulation ist ein nichtlinearer optischer
Eekt, ein Resultat des Kerr-Eektes. Sie beschreibt den Zusammenhang der Brechzahl
n(t)
eines nichtlinearen optischen Mediums mit der Brechzahl
Brechzahlkoezienten
n2 .
Es gilt bei hohen Intensitäten
I:
n0
und dem nichtlinearen
2
ERZEUGUNG HOHER LEISTUNGSDICHTEN MIT ULTRAKURZ-LASERN
n(t) = n0 + n2 · I(t)
Ist
n2
11
(11)
positiv, kommt es bei bestimmten Geometrien des Mediums zur transversalen Ände-
rung der Brechzahl, zur Selbstfokussierung. Dieser Eekt tritt nur bei Intensitäten gröÿer
14 W
als 10 m2 auf, da n2 einen sehr kleinen Wert annimmt. Als Kerr-Medium dient der Kristall
des Ti:Sa-Lasers selbst. Die mit dieser sogenannten Kerr-Linse fokussierten Resonatormoden überlappen mit dem Pumpvolumen, sodass verstärkte Moden wiederum eine Verstärkung erfahren. Die verstärkten longitudinalen Moden überlagern sich konstruktiv und
formen einen Puls. Dieser wird bei jedem Umlauf in dem Ti:Sa-Resonator in den Phasen
gekoppelt.
In diesem Lasersystem trit der Fall zu, dass zum Mode-Locking eine kurze zeitliche
Fluktuation der Intensität des Laserlichts innerhalb des Resonators auftreten muss, was
z.B. durch Änderung der Resonatorlänge erreicht werden kann.
2.1.2 Gruppengeschwindigkeitsdispersion
Nun wird auf die Veränderung des Pulses bei Propagation durch Materialien und detaillierter auf die zeitliche Veränderung durch Phasenterme höherer Ordnung eingegangen. Sind
Phasenterme zweiter Ordnung (linearer Chirp) und/oder dritter Ordnung (quadratischer
Chirp) des Lichtpulses ungleich Null, so ist dieser in seiner zeitlichen Ausdehnung nicht
2
konstant . Es gilt in der Frequenzdomäne:
E(ω, z) = E0 (ω) · exp[−i k(ω) · z )],
| {z }
k(ω) =
n(ω) · ω
c
(12)
Φ(ω)
E0 (ω)
ist die Fouriertransformierte des elektrischen Feldes und
des Materials. Die Dispersionsrelation
k(ω)
n(ω)
der Brechungsindex
lässt sich in einer Taylorreihe um
ω0
wie folgt
ausdrücken:
dk(ω)
k(ω) = k(ω0 ) +
| {z }
dω
|
{z
konst.
2
1
d
k(ω)
(ω − ω0 ) +
(ω − ω0 )2 + ...
2
2
dω
ω0
ω0
}
|
{z
}
1/vgruppe
GV D
Der Term
2 Wenn
im Folgenden von Chirp die Rede ist, ist ausschlieÿlich linearer Chirp gemeint.
(13)
2
ERZEUGUNG HOHER LEISTUNGSDICHTEN MIT ULTRAKURZ-LASERN
1
k =
z
00
d2 Φ(ω)
dω 2
=
ω0
stellt die Gruppengeschwindigkeitsdispersion (GV
d2 k(ω)
dω 2
D)
12
(14)
ω0
dar. Diese zeichnet die zeitliche Ver-
änderung des Pulses durch Propagation des Lichtes innerhalb eines Mediums aus.
Die folgende Abbildung 4 zeigt einen ungechirpen- und einen gechirpten Puls.
(a) Puls mit Down-Chirp.
(b) ungechirpter Puls.
(c) Puls mit Up-Chirp.
Abbildung 4: Pulse mit Down-Chirp, Up-Chirp und ohne einen Phasenterm zweiter Ordnung.
Für die Gruppengeschwindigkeitsdispersion in Abhängigkeit des Brechungsindex
k 00 =
λ3 d2 n(λ)
·
2πc2
dλ2
[k 00 ] =
s2
m
n(λ)
gilt:
(15)
2
ERZEUGUNG HOHER LEISTUNGSDICHTEN MIT ULTRAKURZ-LASERN
13
Besonders in der experimentellen Physik hat sich die Schreibweise
D=−
2πc 00
·k
λ2
als gebräuchlich durchgesetzt. Aus Gl. (15) ist ersichtlich, das die
dem Brechungsindex
n(λ)
(16)
GV D
des Materials abhängt. Für die Pulsdauer eines Bandbreiten-
limitierten Pulses gilt, bei Durchgang durch ein Medium der Länge
s
τout = τin ·
Mit
τin
insbesondere von
als Pulslänge vor und
τout
1+
4 · (k 00 )2 · R2
4
τin
R
:
(17)
nach dem Medium.
In folgender Abbildung (5) ist der Eekt eine Chirps nochmals schematisiert dargestellt.
Abbildung 5: Schematische Darstellung eines Up-Chirps(links) und Down-Chirps(rechts) mit
ω+ > ω0
und
ω− < ω0 .
2
ERZEUGUNG HOHER LEISTUNGSDICHTEN MIT ULTRAKURZ-LASERN
14
Wie vorher schon erwähnt, ist ein Puls Bandbreiten limitiert, wenn er die Gleichung (4)
erfüllt. Für einen gechirpten Puls ist eine Umwandlung der Relation notwendig:
τP ∆ν =
Mit
a
p
a2 + 1 · K
(18)
als Chirpfaktor.
2.1.3 Der Aufbau des Lasersystems
Abbildung 6: Aufbau des Titan-Saphir-Lasersystems.
Der Aufbau des in dieser Arbeit eingesetzten Ti:Sa-Lasers ist schematisch in Abbildung
(6) zu sehen. Im Folgenden wird der Lichtweg durch das System, ausgehend vom Pumplaser, kurz erläutert. Als Pumplaser wird ein diodengepumpter Millennia V Nd:YVO4 Laser der Firma SPECTRA PHYSICS verwendet. Dieser emittiert Licht einer Wellenlänge
von 532 nm und besitzt im Dauerstrich- oder cw-Betrieb eine maximale Ausgangsleistung
von 5 W. Zur Erhaltung der Langzeitstabilität empehlt sich ein Betrieb bei niedrigeren
Pumpleistungen. Der senkrecht polarisierte Pumpstrahl wird über einen Spiegel in den
Ti:Sa-Laser eingekoppelt. Durch einen Spiegelturm PM wird die Polarisation des Strahls
◦
um 90 gedreht. Auÿerdem dient dieses System zur Höhenänderung des Strahls. Über eine
Lochblende LB lässt sich die Intensität des Pumpstrahls variieren. Über die folgende Linse
L wird der Pumpstrahl in den Ti:Sa-Kristall fokussiert. Dieser bendet sich zwischen zwei
Hohlspiegeln CM1 und CM2. Die Spiegel bilden einen kleinen Winkel zur Strahlrichtung
2
ERZEUGUNG HOHER LEISTUNGSDICHTEN MIT ULTRAKURZ-LASERN
15
vom Ti:Sa emittierten Laserstrahl. Dieser wird über einen Prismenkompressor geschickt.
Der Prismenkompressor wird über die Prismen P1 und P2 und den Endspiegel EM gebildet. Der Kompressor gibt die Möglichkeit, die spektrale Breite und Dauer des Pulses zu
variieren. Auf die genaue Funktionsweise wird im späteren Verlauf eingegangen (siehe Kap
3.1). Abschlieÿend verlässt der Laserstrahl den Ti:Sa-Laser über den Auskoppelspiegel OM
und ein
λ/2-Plättchen
(PF). PF bewirkt, dass der Strahl mit einer horizontalen Polarisa-
tion den Laser verlässt. Der Laserresonator wird über die Strecke L zwischen EM und OM
gebildet. Es gilt L = 1.89 m, damit für die Wiederholrate
fR
= 79 Mhz. Die Laserstrahlen
benden sich in der TEM00 - Mode, was über eine Modenkamera überprüft wurde.
3
MESSUNG UND FORMUNG ULTRAKURZER LASERPULSE
3
16
Messung und Formung ultrakurzer Laserpulse
Dieser Abschnitt beschäftigt sich mit den Möglichkeiten einen Lichtpuls zu messen und zu
kontrollieren. Da die Weiÿlichterzeugung eine genaue Messung von Pulsdauern und einer
zeitlichen Regelung der Lichtpulse bedarf, sind die in diesem Kapitel erläuterten Geräte
essentiell für den Erfolg dieses Aufbaus. Es werden verschiedene Verfahren erläutert und
auf ihre Anwendung in dem Messaufbau eingegangen. Auÿerdem wird auf Besonderheiten
hingewiesen, die während der Arbeit mit diesen Geräten aufgefallen sind.
3.1
Pulsformung
3.1.1 Funktionsweise eines Prismenkompressors
Ein einmal erzeugter Laserpuls ist, wegen der Wechselwirkung mit optischen Komponenten,
nicht in seiner zeitlichen Erscheinung stabil. Z.B. nimmt mit jedem Umlauf im Laserresonator die Pulsdauer durch Dispersionseekte an den optischen Komponenten zu. Bedenkt
man, dass ein Laserpuls im Schnitt mehr als hundert Umläufe zurücklegt, ist dieser Eekt
nicht zu vernachlässigen. Dies hat zur Folge, dass die spektralen Anteile des Pulses auseinanderlaufen, wie schon im Abschnitt 2.1.2 als Chirp beschrieben. Damit der Lichtpuls eine
möglichst geringe Pulsdauer, also eine maximale spektrale Bandbreite besitzt, ist eine Kompression innerhalb des Lasers nicht nur empfehlenswert, sie ist notwendig. Hinzu kommen
die Eekte, die bei den weiteren Optiken, auÿerhalb des Ti:Sa-Lasers, im Versuchsaufbau
auftreten, wie z.B. in der Glasfaser (siehe Kap. 6). Damit sollte eine Kompression möglichst zweimal stattnden, im Laser und im Versuchsaufbau. Generell gibt es für eine solche
Vorgehensweise verschiedene Ansätze. Neben dem schon in Abschnitt 2.1.3 erwähnten und
hier verbauten Prismenkompressor, sind auÿerdem ein Gitterkompressor und Chirp-Mirror
dafür geeignet. Alle drei Systeme beruhen auf dem Prinzip der Weglängendierenz. Durch
die für verschiedene Lichtwellenlängen unterschiedlich stark auftretende Gruppengeschwindigkeitsdispersion an den optischen Komponenten bewegen sich die Frequenzen des Pulses
mit anderen Geschwindigkeiten fort, die mittels unterschiedlichen Weglängen innerhalb des
Kompressors wieder ausgeglichen werden. Z.B. propagieren kurze Frequenzen langsamer in
normalen Quarzglas als langwellige. Dementsprechend müssen die langwelligen Anteile in
einem Kompressor kürzere Wege zurücklegen als die kurzwelligen.
Der für die Funktion eines Prismenkompressor entscheidende physikalische Eekte ist die
Winkeldispersion der spektralen Anteile des Laserstrahls. Aufgrund der Wellenlängenabhängigkeit des Brechungsindex
n(λ)
des Materials, wird jede Spektrallinie unterschiedlich
stark gebrochen (blau stärker als rot). Schematisch ist die Funktionsweise in folgender Abbildung (7) dargestellt. In ihr sind auÿerdem die wichtigen geometrischen Gröÿen vermerkt.
3
MESSUNG UND FORMUNG ULTRAKURZER LASERPULSE
Abbildung 7: Aufbau eines Prismenkompressors mit Spitzenabstand
zweite Prisma
17
L und Strahlweg durch das
DP .
Die Prismen sind so angeordnet, dass der einfallende horizontal polarisierte Strahl im Brewsterwinkel auf die Prismenoberäche auftrit. Damit ist sichergestellt, dass Lichtverluste
durch Reektionen sehr gering gehalten werden. Der Brewsterwinkel ist bekanntlich:
αBrewster = arctan
Mit
n2
als Brechungsindex des Materials und
n1
n 2
(19)
n1
der Umgebung (Bei Luft:
n1 = 1).
Ein weiterer (positiver) Aspekt dieser Anordnung betrit die mathematische Beschreibung
der auftretenden Dispersion bzw. des linearen Chirps, die so beachtlich kürzer und handlicher wird. Es gilt(nach [5]):
"
2 #
d2 n
λ3
dn
GDD =
DP 2 − 4L
2
2πc
dλ
dλ
(20)
Der erste Summand beschreibt den positiven Chirp/Dispersion, der vor allem durch den
Strahlweg
DP
des zweiten Prismas bestimmt wird. Die Dicke des ersten Prismas wird ver-
nachlässigt, da der einfallende Strahl möglichst durch die Spitze eingekoppelt wird. Der
3
MESSUNG UND FORMUNG ULTRAKURZER LASERPULSE
18
zweite Term beschreibt den negativen Chirp/Dispersion, der linear vom Abstand
L
der
beiden Prismen abhängt. Abgesehen von der geometrischen Anordnung spielen materialspezische Eigenschaften eine groÿe Rolle, vor allem der Wert der Gruppengeschwindigkeitsdispersion (GV
D) des Materials. Materialien mit groÿem Brechungsindex n haben auch
GV D. Ist der Chirp des Pulses bekannt, so lässt sich
immer eine dementsprechend hohe
der Kompressor so einstellen, dass der negative Chirp über den Kompressor den positiven
Chirp des Pulses kompensiert und man damit einen Bandbreiten begrenzten Puls erhält.
Dafür und auch um eine negative
muss ein Mindestabstand
L
GDD
(Group Dispersion Delay) erzeugen zu können,
gewählt werden, damit zusätzlich die vom Kompressor selbst
erzeugte positive Dispersion kompensiert wird.
Besitzt der Lichtpuls einen negativen oder positiven Chirp am Ausgang des Prismenkompressor, bezeichnet man ihn als prechirped. Dieser Begri ist besonders bei einem negativen Chirp gebräuchlich. Dieser Prechirp kann zur Vorkompensierung von positivem Chirp,
der z.B. an Einkoppelobjektiven oder der Glasfaser auftritt, genutzt werden. So lässt sich
die zeitliche Breite des Lichtpulses an bestimmten Orten in Medien regulieren (siehe Kapitel 6).
3.1.2 Spezikationen des verwendeten Prismenkompressors
Der groÿe Vorteil eines Prismenkompressors ist der geringe Verlust an Lichtleistung (weniger als 4% Verlust durch Reektion möglich) in Brewster-Anordnung, wo hingegen der
Nachteil die vergleichsweise schlechte Kompression auf kleinem Raum darstellt. Ein Gitterkompressor kann sehr klein gehalten werden, hat allerdings durch Beugung höherer
Ordnung Leistungsverluste von bis zu 33%. Da diese Weiÿlichtquelle mit möglichst wenig
Leistungsverlusten betrieben werden muss, wegen der begrenzten Ausgangsleistung des
Lasersystems, ist daher der Prismenkompressor die bessere Wahl. Damit der Abstand zwischen den Prismen möglichst klein bleibt, sollten diese aus einem Glastyp mit einem hohen
Brechungsindex bestehen. In Tabelle 1 sind Werte für BK7, SF10 und SF11 betres der
ersten und zweiten Ableitung des Brechungsindex, sowie dem Wert der
GV D
für eine Wel-
lenlänge von 800 nm dargestellt.
h
f s2
mm
Glastyp
dn
dλ
d2 n
dλ2
BK7
-19841.77
11
0.492·10
45
SF10
-49697.68
11
1.758·10
160
SF11
-58590.43
11
2.068·10
189
GVD
i
Tabelle 1: Werte für BK7, SF10 und SF11 berechnet über die Sellmeier-Gleichung um 800 nm
Trägerwellenlänge mit Hilfe von Dispersionskonstanten (aus [6]).
In folgender Abbildung 8 ist die starke Wellenlängenabhängigkeit der Dispersion, vor allem
3
MESSUNG UND FORMUNG ULTRAKURZER LASERPULSE
19
für SF11 und SF10, zu sehen.
Abbildung 8: GVD in Abhängigkeit der Wellenlänge für SF10,SF11 und BK7 (mit Werten aus
[6]).
Aus diesen Werten zeigt sich, dass man für gute Resultate bzw. einem kleinen Kompressor,
mindestens Prismen aus SF10 verwenden sollte. Für den im Versuchsaufbau, auÿerhalb
des Ti:Sa-Lasers, aufgebauten Kompressor werden SF11-Prismen verwendet, um diesen so
klein wie nur eben möglich zu halten.
3.2
Messung der Pulsdauer
3.2.1 Die interferometrische Autokorrelationsmessung
Für eine zeitliche Auösung von Lichtpulsen mit Pulsdauern im Femtosekundenbereich
−15 s) reicht die Reaktionszeit elektrischer Messgeräte, die bei etwa 10−9 Sekunden liegt,
(10
nicht mehr aus. In diesem Fall bedient man sich einer Autokorrellationsmessung. Man vermisst den Lichtpuls mit dem kürzesten Signal, das einem zur Verfügung steht: mit dem
Puls selbst. In diesem Aufbau wird die interferometrische Autokorrelation verwendet.
3
Im Folgenden wird die Funktionsweise und der Aufbau des interferometrischen Autokorrelators erläutert und sein mathematischer Hintergrund kurz beleuchtet. (Für eine ausführliche
3 Der
Vollständigkeit halber sei gesagt, dass es noch andere Messverfahren, wie z.B. die einfache Autokorrelation oder die phasensensitiven Verfahren FROG und SPIDER gibt. Auf die Erläuterung dieser
wird verzichtet, da sie in diesem Aufbau keine Verwendung nden. Es sei nur gesagt, dass sich durch die
Verfahren FROG und SPIDER gute Aussagen über die einzelnen spektralen Phasen treen lassen.
3
MESSUNG UND FORMUNG ULTRAKURZER LASERPULSE
20
Erklärung siehe [7])
Abbildung 9: Aufbau eines Autokorrelators.
Es wird ein PulseScope-Autokorrelator der Firma APE verwendet. Der optische Aufbau dieses Modells ist in Abbildung 9 skizziert. Der optische Weg gestaltet sich wie folgt.
Tritt ein kollinearer Laserpuls über den Einkoppelspiegel (ES) durch die Gehäuseönung
(EB) wird dieser zunächst über einen Strahlteiler (ST) in zwei Teilstrahlen gespalten. Ein
Strahl läuft zu einem auf der optischen Achse durch einen Verstellmotor (VM) variablen
Tripelspiegel, der andere zu einem ortsfesten Tripelspiegel, der bei Bedarf manuell verstellt werden kann. Die reektierten Teilstrahlen treen mit einer Wegdierenz
∆l
wieder
auf dem Strahlteiler zusammen und interferieren. Dieses Spiegel-Strahlteier-System ist im
Grunde ein einfaches Michelson-Interferometer. Über eine Fokussierlinse (FS) gelangt das
Signal auf einen asymmetrischen Kristall (in diesem Fall ein BBO-Kristall). Für einen solchen Kristall gilt, dass die elektrische Suszeptibilität
χ
ein Tensor ist und für verschiedene
Richtungen andere Werte annimmt. Aus diesem Grund besitzt ein solcher Kristall einen ordentlichen Brechungsindex
no
und einen auÿerordentlichen
nao . Wegen der hohen Intensität
im Fokuspunkt, tritt eine Frequenzverdopplung auf. Dieser wird, im einfachsten Fall, über
3
MESSUNG UND FORMUNG ULTRAKURZER LASERPULSE
den Term zweiter Ordnung, der im Material induzierten Polarisation
21
P (t)
beschrieben:
P (t) = 0 · χ(1) E(t) + 0 · χ(2) E(t)2
Mit
χ(n)
als n-ter Ordnung der elektrischen Suszeptibilität und
(21)
0
als elektrische Feldkon-
stante. Für ein einfaches Beispiel mit einer monochromatischen Welle
E(t) = A(t) · sin(ω0 t)
ergibt sich für die nichtlineare Polarization:
P (2) (t) = 0 χ(2) E(t)2 = 0
Die Trägerfrequenz hat sich auf
2 ω0
χ(2) A(t)2
χ(2) A(t)2
+ 0
sin(2ω0 t)
2
2
(22)
verdoppelt. Dieser Eekt lässt sich analog auf einen
Lichtpuls übertragen.
Über einen Photomultiplier (PMT) wird das Interferenzsignal aufgenommen und ausgegeben. Eine Steuerelektronik steuert die Vorgänge im Innern des Autokorrelators, z.B. den
Verstellmotor oder den Stellmotor (SM) des Kristalls, mit dem man den Winkel der Kristalloberäche zur optischen Achse variieren kann. Dies ist notwendig, da für die Frequenzverdopplung ein auÿerordentlicher Brechungsindex benötigt wird, der nur unter bestimmten
Winkeln wirkt. Mittels der Elektronik wird das Signal der zeitlich gemittelten Autokorrelation und ihre Halbwertsbreite (FWHM) auf einem separaten Monitor ausgegeben. Eine
typische inteferometrische Autokorrelation (AKF) hat eine Form, wie in Abbildung 10 zu
sehen.
(a) Autokorrelation: ungechirpter Puls
(b) Autokorrelation: gechirpter Puls
Abbildung 10: Dargestellt ist eine Simulation einer Autokorrelation für einen Puls mit der Trä-
gerfrequenz
f0
von 3.74 THz. (a) Ungechirpter Puls mit einer Breite von 10 fs. (b)
Gechirpter Puls mit einer Phase zweiter Ordnung von 300 fs
von 162 fs.
2 und einer Pulsdauer
3
MESSUNG UND FORMUNG ULTRAKURZER LASERPULSE
22
Für die mathematische Beschreibung der interferometrischen Autokorrelationsfunktion, gilt
folgende zweite harmonische Autokorrelation:
Z
∞
|[E(t) + E(t − τ )]2 |2 dt
A(τ ) =
(23)
−∞
3.2.2 Auswertung und Interpretation der interferometrischen Autokorrelation
Um die Autokorrelation, wie sie in Abschnitt 3.2.1 erläutert wurde, auszuwerten, gibt es
τP über das Produkt
1
der Schwingungen innerhalb der FWHM, der reziproken Trägerfrequenz f
0
des Lichtpulses und einem Formfaktor K, der abhängig von der Form des Spektrums ist.
zwei bewährte Methoden. Die erste Variante berechnet die Pulsdauer
der Anzahl
B
τP =
1·B
K · f0
(24)
Die FWHM ist die Breite, die sich bei halber Höhe, gemessen vom Maximum bis zur
1
Nullinie der AKF, ergibt. Der Formfaktor bei einem gauÿschen Spektrum ist √ . Diese
2
Vorgehensweise ist nur mit Erfolg anwendbar, wenn das Signal keine Phase zweiter oder
höherer Ordnung besitzt. Ergibt sich jedoch eine Autokorrelation wie in 10b), so muss man
eine alternative Methode anwenden. Dies liegt daran, dass sich an der Anzahl der Schwingungen pro FWHM keine oder kaum Änderung durch den Chirp zeigt und damit der Puls
in Wahrheit länger ist, als das Ergebnis dieser Methode zeigt.
Die zweite Variante ist mit weniger Rechenaufwand verbunden. Man bestimmt aus dem
Signal des Autokorrelators, mittels eines Oszilloskops, den zeitlichen Mittelwert des Signals. Dies ist z.B. bei einem digitalen Oszilloskop einstellbar. Die dazugehörige Zeitskala
ist durch das Verhältnis der Dauer und der Anzahl der, auf dem Oszilloskop dargestellten,
Schwingungen (der interferometrischen Autokorrelation) pro Zeiteinheit deniert. So lässt
sich die FWHM direkt ablesen und über den Formfaktor die zeitliche Pulsbreite bestimmen.
Durch den zeitlichen Mittelwert wird der Hügel auf dem sich eine Autokorrelation mit
Chirp bendet (siehe Abb. 10b)) mit in die Berechnung einbezogen, womit ein exakteres
Ergebnis vorliegt. Dieses Verfahren nutzt auch die Elektronik des Autokorrelators, die die
FWHM direkt mit ausgibt.
Abschlieÿend sei für den Erfolg einer Autokorrelationsmessung angemerkt, dass eine Autokorrelation nur gute Ergebnisse liefert, wenn eine Überhöhung von 1 zu 8 vorliegt (Verhältnis vom Maximum zur Nullinie) (siehe [7]).
4
LICHTWELLENLEITER
4
23
Lichtwellenleiter
Lichtwellenleiter wie Stufenindexfasern, Gradientenfasern und nun auch photonische Kristallfasern sind nicht nur interessant für die Nachrichtenübermittlung bzw. Telekommunikation, sondern auch für die Untersuchung nichtlinearer optischer Eekte. Ganz besonders
im Bereich der photonischen Kristallfaser hat es in den letzten Jahren nicht nur in der
Forschung, sondern auch in der Herstellung, einige Weiterentwicklungen gegeben, die es ermöglichen noch mehr über die Nichtlinearität optischer Medien zu erfahren. Im Folgenden
werden die Funktionsweise und Beschaenheit konventioneller Glasfasern und photonischer
Kristallfasern behandelt.
4.1
Stufenindexfaser
4.1.1 Aufbau und Lichtführung
Als konventionelle Glasfaser oder Lichtwellenleiter wird ein Verbund von transparenten
Materialen bezeichnet, die einen reellen Brechungsindex besitzen und in einer zylindrischen
Anordnung vorliegen. Diese typische Bauart ist in Abbildung 11 dargestellt.
Abbildung 11: Schematische Darstellung einer Stufenindexfaser.
Im Weiteren wird nur auf die Stufenindexfaser eingegangen, welche der verbreiteste kon-
4
LICHTWELLENLEITER
24
ventionelle Fasertyp ist. Der Begri Stufenindex beruht auf der klaren Abgrenzung der
Brechungsindizes von Mantel und Kern
4 . Die Stufenindexfaser besteht aus einem Kern
kreisförmigen Querschnitts mit einem Brechungsindex
gen Querschnitts mit Brechungsindex
nM .
nK
und einem Mantel ringförmi-
Der Mantel ist mit einer Schicht schützenden
Kunststos umgeben, dem sogenantnen Coating. Die Lichtführung in dieser Art von Faser
beruht auf der Totalreektion. Damit muss für das Verhältnis der Brechungsindizes gelten:
nK > nM .
Aus dem snelliuschen Brechungsgesetz, in Kombination mit der Totalreektion,
ergibt sich für die numerische Apertur der Faser [7] :
NA =
q
n2K − n2M
(25)
Je gröÿer dieser Wert bzw. je näher er an 1 liegt, desto mehr Licht gelangt in die Faser.
Typischerweise ergeben sich Werte zwischen 0.2 und 0.3.
4.1.2 Moden
Wichtig für die Charakterisierung eines Lichtwellenleiters ist der V-Parameter, der alle
notwendigen Informationen über eine Glasfaser beinhaltet:
V = k0 rK N A
Mit
rK
(26)
als Kernradius. Er nimmt typischerweise einen Wert von ca. 2 µm an.
Je nach Bauart einer Faser können sich bei der Lichtführung verschiedene Feldverteilungen einstellen, die sogenannten Moden. Zur Beschreibung dieser ist die Betrachtung der
Maxwell-Gleichungen sinnvoll, aus welchen folgt:
~ r, ω) + n2 (ω)
∆E(~
ω2 ~
E(~r, ω) = 0
c2
(27)
Aus der Gleichung (27) ergibt sich, unter Beachtung der Randbedingung beim Übergang
Kern-Mantel, eine Eigenwertgleichung die bei verschiedenen Werten des V-Parameters nur
eine (V < 2.405) oder mehrere (V
≥
2.405) Lösungen besitzt. Jeder dieser Lösungen reprä-
sentiert eine mögliche Mode. Ist diese linear polarisiert, spricht man von einer LP-Mode.
Fasern für die V < 2.405 zutrit, werden als Monomodefasern bezeichnet, da nur eine
mögliche Lösung für Gl. (27) existiert, nämlich die Grundmode. Für eine Abschätzung der
Modenanzahl, gilt folgende asymptotische Näherung für Stufenindexfasern([18]):
4 Ist
ein ieÿender Übergang des Brechungsindex vorhanden, spricht man von einer Gradientenfaser.
4
LICHTWELLENLEITER
25
Modenanzahl =
V2
2
(28)
Bei genaurem Interesse siehe [8].
4.1.3 Dispersion
Da konventionelle Fasern meist aus Quarzglas oder ähnlichen Glastypen bestehen, tritt nur
normale Dispersion auf, die den gesamten Bereich des sichtbaren Lichts abdeckt. Wie in
folgender Abbildung (12) zu erkennen, benden sich Bereiche anomaler Dispersion nur in
Seitenbändern, im UV- und IR- Bereich.
Abbildung 12: Brechungsindex von Glas über der Wellenlänge, schematisch (aus [8]).
Damit gilt für die
GV D: k 00
> 0 bzw.
D
< 0. Die Pulsverbreiterung beruht damit auf
positiver Dispersion, es tritt ein Down-Chirp auf.
4.2
Photonische Kristallfaser
4.2.1 Aufbau und Lichtführung
Eine photonische Kristllfaser (Photonic Crystal Fiber, PCF) ist, im Vergleich zur konventionellen Glasfaser, weitaus komplexeren aufgebaut. Sie besteht aus einem transparenten
Medium, welches mit Luftröhren durchsetzt ist. Diese bilden am Randbereich eine periodische Struktur, die üblicherweise einem Sextet ähnelt. Diese bilden den Mantel der PCF.
Die Luftröhren haben eine Abstand
Λ
zueinander und einen Durchmesser
nen eingeschlossene Kernbereich besitzt den Durchmesser
dK .
d.
Der von ih-
Dieser hat typischerweise
eine Gröÿe von 2 µm. In folgender Abbildung 13 ist schematisch der Aufbau einer PCF
dargestellt.
4
LICHTWELLENLEITER
26
Abbildung 13: Schematische Darstellung einer PCF mit Kern (Core), Mantel (Cladding) und
Schutzhülle (Coating).
Λ
ist der Lochabstand und
d
der Lochdurchmesser(aus
[9])
Der Quotient d/Λ gibt das Verhältnis von Glas zu Luft an. Dieses beeinusst maÿgeblich
den Brechungsindex des Mantels
nM .
Je nach Wellenlänge des einfallenden Lichtes erge-
ben sich verschiedene Brechungsindizes. Z.B. sieht kurzwelliges Licht überwiegend Glas,
wodurch
nM ≈ nLuf t
gilt. Das Licht breitet sich, wie bei der konventionellen Faser, über
Totalreektion fort. Bei gröÿeren Wellenlängen ergibt sich der Brechungsindex aus dem
gewichteten Mittel von Glas und Luft. Quantenmechanisch ähnelt die periodische Anordnung von Luftlöchern photonischen Bandlücken (Bloch-Theorem). Diese können nur für
bestimmte Energien bzw. Wellenfunktionen überwunden werden. Erfüllt die Wellenfunktion diese Bedingung nicht, ist ihre Aufenthaltswahrscheinlichkeit im Mantel gleich Null,
sodass Lichtführung über den Kern der PCF vorliegt.
Da durch die Variationsmöglichkeit von d/Λ bei der Herstellung der PCF ein hoher Unterschied zwischen Brechungsindizes erreicht werden kann, ist die numerische Apertur typerscherweise hoch (bis zu 0.9).
4.2.2 Moden
Das besondere an einer PCF ist, dass sie so hergestellt werden kann, dass sie für einen
groÿen spekralen Bereich des sichtbaren Lichts (nahe UV bis nahe IR) V < 2.405 liefert,
damit nur eine Grundmode existiert. Dies ist von Vorteil, da es dann keine Störung zwischen
einzelnen Moden geben kann.
4
LICHTWELLENLEITER
27
4.2.3 Dispersion
Anders als bei konventionellen Fasern besitzen photonische Kristallfasern auch Bereiche
anormaler Dispersion im sichtbaren Bereich des Lichtes. Damit liegen drei Bereiche vor:
00
der Bereich der normalen Dispersion (D < 0 bzw. k > 0), der anomalen Dispersion (D >
00
00
0 bzw. k < 0) und der Nulldispersion (D = 0 bzw. k = 0). Bei der Nulldispersion (Zero
Dispersion Wavelength, ZDW) tritt keine Dispersion zweiter Ordnung auf. Jedoch kann
noch Dispersion höherer Ordnung auftreten, wie z.B. 3. Ordnung. Bei einer solchen Kombination von Dispersionsbereichen, treten besonders im Bereich um der ZDW nichtlineare
optische Eekte auf, die z.B. auch zu einem Superkontinuum führen können. Aus gerade
diesem Grund ist die Verwendung einer solchen Faser interessant für die Weiÿlichtquelle.
5
SUPERKONTINUUMSERZEUGUNG
5
5.1
28
Superkontinuumserzeugung
Einführung
Seit der Entdeckung der Erzeugung von Superkontinua in optisch nichtlinearen Medien bei
Verwendung eines Lasers von Alfano und Shapiro [10] im Jahre 1970 sind groÿe Entwicklungen gemacht und neue Erkenntnisse gewonnen worden. Seitdem beschäftigten sich viele
Arbeitsgruppen rund um die Welt mit diesem Thema, wobei Materialien wie konventionelle Glasfasern und photonische Glasfasern im Mittelpunkt der Untersuchungen standen.
Doch auch in Flüssigkeiten und Gasen sind Superkontinua erzeugt worden [10]. Es war
früher noch notwendig hohe mittlere Lichtleistungen in diese Medien einzukoppeln, um die
gewünschten Resultate zu erzielen. So benutzten Lin und Stolen [10] 1976 um die 1 kW
an mittlerer Lichtleistung um in konventionellen Fasern ein Superkontinuum erzeugen zu
können. Mit der Entwicklung in der Laser- und Materialtechnik sind nun schon Ergebnisse
mit unter 100 mW zu erreichen. Dies hängt damit zusammen, dass immer kürzere Lichtpulse erzeugt werden konnten, bis sie nur noch einige Femtosekunden lang waren und die
Werte der Dispersion, sowie der Nichtlinearität des Brechungsindex der Glasfasern, konnten besser variiert werden. Damit sind hohe Spitzenleistungen in besonders konzipierten
Medien möglich, sodass spezielle nichtlineare optische Eekte, die noch behandelt werden,
ein Superkontinuum über mehrere Oktaven generieren können.
Für die Beschreibung der Superkontinuumserzeugung existieren viele Theorien. Abhängigkeiten für das Auftreten eines Superkontinuums liegen in den Materialspezikationen,
speziell der Dispersion und optische Nichtlinearität des Brechungsindex, und der Leistungsdichte der Laserpulse. Je nach Kombination dieser Kriterien sind andere physikalische Effekte für die Entstehung des Superkontinuum verantwortlich bzw. tragen stärker dazu bei.
Bis heute ist die Physik hinter der SCG noch nicht vollkommen verstanden worden. Da
die Beschreibung jeder der Theorien den Rahmen dieser Bachelorarbeit sprengen würde,
werden nur die, für diesen Versuchsaufbau wesentlichen Theorien erläutert. Diese Theorien
beschreiben die dominierenden optischen Eekte in den Fasern, weshalb andere Eekte
(z.B. das Vier-Frequenzen-Mischen) auch auftreten können. Es wird aber davon ausgegangen, das ihre Auswirkungen gering sind.
In dieser Weiÿlichtquelle kommen zwei Arten von Fasern zum Einsatz. Zum Einen eine
konventionelle Stufenindexfaser und zum Anderen eine photonische Kristallfaser. Die photonische Kristallfaser wird im anomalen- und die konventionelle Glasfaser im normalen
Dispersionsregime gepumpt. Das bedeutet, dass die Trägerwellenlänge des Lichtpulses genau in der beschriebenen Dispersionsregion liegt. Damit sind hauptsächlich die Selbstphasenmodulation bei der Stufenindexfaser und zusätzlich noch die Soliton-Spaltung initiiert
durch durch die Raman-Streuung und Dispersion höherer Ordnung bei der photonischen
Kristallfaser die Auslöser für die Entstehung des Superkontinuums.
5
SUPERKONTINUUMSERZEUGUNG
5.2
29
Selbstphasenmodulation
Die Selbstphasenmodulation (SPM) [11,12] ist ein nichtlinearer optischer Eekt der in kristallienen Strukturen mit einem nichtlinearen Brechungsindex
n2
erzeugt werden kann. Er
resultiert direkt aus dem Kerr-Eekt (Gl. (11)). Die SPM wird in Monomodenfasern der
Selbstfokussierung (siehe Abschnitt 2.1.1) vorgezogen, da der Lichtpuls entlang der Faserachse eingekoppelt wird und Selbstfokussierung zu verbotenen Richtungsänderungen führen
würde. So ändert sich zwar der Brechungsindex mit
I(t), das hat aber keine Auswirkung auf
die Ausbreitungsrichtung des Lichtes. Aufgrund der Zeitabhängigkeit des Brechungsindex
n(t)
ändert sich ebenfalls der Wert des Wellenvektors
k = k(t) =
ω0 · n(t)
c
(29)
mit der Zeit. Dies führt zu einer Phasenverschiebung der Phase
Φ(z, t)
des elektrischen
Feldes E(z,t), das sich in z-Richtung ausbreitet:
n(t)z
Φ(z, t) = ω0 t − k(t)z = ω0 t −
c
(30)
Dies führt zur Variation der momentanen Frequenz:
δ
δn(t) z
ω(z, t) =
Φ(z, t) = ω0 1 −
δt
δt c
Die zeitliche und räumliche Änderung der Frequenz
δω(z, t) = ω(t) − ω0 = −
δω (z,t)
(31)
ist [11,12]:
ω0 n2 δI(t)
z
c
δt
(32)
2
Man nehme an, es lege eine gauÿförmige Intensitätverteilung vor, mit I(z, t) = |E(z, t)| =
2
I0 e−Γt . Γ ist der Formfaktor der Intensitätsverteilung. Setzt man dies in Gl. (32) ein, dann
erhält man den zeitlichen Zusammenhang der Frequenzänderung
δω(t) ∝ t · exp(−t2 )
δω
am Ort z:
(33)
5
SUPERKONTINUUMSERZEUGUNG
30
Folgende Abb. 14 erläutert die Änderung der Frequenzen innerhalb der Pulseinhüllenden.
Abbildung 14: Prinzip der Frequenzverschiebung durch die SPM. oben: Gauÿförmige Einhül-
lende der Feldintensität. unten: Frequenzverschiebungen
δω
in Abhängigkeit der
Zeit t.
Frequenzverschiebungen an der Pulsfront gehen in den roten- und am Pulsende in den
blauen Spektralbereich. Innerhalb der FWHM der Pulseinhüllenden ändert sich die Phase
quadratisch (linearer Chirp) mit dem Faktor
α.
δ 2 Φ α= 2
δt t=0
(34)
5
α
SUPERKONTINUUMSERZEUGUNG
31
entspricht dem Wert der Materialdispersion.
Die Gl. (33) zeigt, dass die SPM zu einer symmetrischen Änderung des Spektrums um
die Trägerwellenlänge
λ0
führt. Durch die zusätzlich auftretende Dispersion wird der Puls
verbreitert. In Abb.14 unten fällt auf, dass zu verschiedenen Zeiten
schiebungen auftreten. Je nach zeitlicher Dierenz
∆t
t
gleiche Frequenzver-
innerhalb der Lichtpulseinhüllenden
können die erzeugten Frequenzen konstruktiv oder destruktiv interferieren. Destruktive
5
Interferenz führt zu Intensitätsminima im Spektrum.
5.3
Soliton-Spaltung
Solitonen sind ein ganz besonderes Phänomen, nicht nur in der Optik, sondern auch in
der klassischen Mechanik. Sie beschreiben ein Wellenpaket, das seine Form während der
Propagation durch ein Medium beibehält. Die physikalische Existenz der Solitonen wurde
von dem englischen Physiker John Scott Russell bewiesen, der diesen Eekt erstmals 1834
an einer Wellenfront im Union Canal in Hermiston beobachtet [13]. Mathematisch korrekt
beschrieben werden die Solitonen über die Lösung der nichtlinearen Schrödinger-Gleichung
(NLSG). Es bietet sich nun eine kurze Beschreibung der NLSG für optische Solitonen in
einer Glasfaser bei Einkopplung eines Pulses der Länge
τP , an. Die NLSG hat, bei räumlich
konstanten Eigenschaften der Fasern, also bei einem konstanten nichtlinearen Koezienten
γ und konstanter GV D k 00 , folgende Form [10]:
i
γ τP2
δu s δ 2 u
−
+
|
Aef f |u = 0
δξ
2 δτ 2
β2
(35)
mit
s = signum(k00 ) = ±1; ξ =
Mit
Aef f
als eektive Fläche des Faserkerns.
t − z/vgruppe
|k00 |z
; τ=
2
τP
τP
u
(36)
ist die normierte Formfunktion des elektri-
schen Feldes, die alle Parameter der Form und der Phase des elektrischen Feldes enthält
2
00
[12]. Eine populäre Substitution ist die Dispersionslänge LD = τP /|k | und der nichtlineare
Parameter γ = n2 k0 /Aef f . Für die Lösung der Gleichung (35) gibt es verschiedene Ansätze
und Verfahrensweisen. Eine mögliche analytische Lösung ist(aus [12]):
u = sec(τ ) exp(iξ/2)
5 Für
weitere und genauere Darstellungen siehe [4].
(37)
5
SUPERKONTINUUMSERZEUGUNG
32
Für eine genauere Betrachtungsweise der möglichen Lösungen siehe [10,11].
Im Folgenden wurde vor allem auf die Quellen [10,14] zurückgegrien, da diese Literatur
ihren Schwerpunkt auf Soliton-Spaltung bei Kurzzeitpulsen gelegt hat. Bei genauerem mathematischem Interesse bzw. detaillierte Erläuterung einzelner Phänomene ist auf diese
Literatur zurückzugreifen.
Benutzt man für die Erzeugung eines Superkontinuums eine photonische Glasfaser mit
einem breiten Wellenlängenbereich anomaler Gruppengeschwindigkeitsdispersion (D > 0
00
bzw. k < 0), so kann der Lichtpuls in ein Soliton übergehen, dessen Spaltung letztlich zu
einer spektralen Verbreiterung führt.
Wie schon aus den vorherigen Kapiteln bekannt, führt normale Dispersion dazu, dass langwellige Spektralanteile eine höhere Gruppengeschwindigkeit in Medien als kurzwellige besitzen. Im anomalen Dispersions-Regime tritt genau der umgekehrte Fall in Erscheinung.
Die Folge ist ein Down-Chirp bzw. negative Dispersion innerhalb der Pulseinhüllenden.
Mit dem Kerr-Eekt bzw. der SPM nach Gl. (32) tritt ein Up-Chirp bzw. positive Dispersion auf. Bei richtiger Wahl der Parameter ist eine Kompensation der Dispersionen möglich,
so dass ein Soliton entsteht. Dieses Soliton bewirkt zunächst keine Verbreiterung des Spektrums. Jedoch kann es vorkommen, dass ein Soliton höherer Ordnung erzeugt wird. Dieses
entspricht einer Anzahl von
N
fundamentalen Solitonen, die in einer Gruppe propagieren.
Dies kann als eine mögliche numerische Lösung der nichtlinearen Schrödinger-Gleichung
auftreten. Die Ordnung
N
des Solitons hängt gleichermaÿen von Parametern der Faser, als
auch von denen des Pulses, ab:
s
N=
γ(λ) · τP2 · P0
|kF00 (λ)|
(38)
als Spitzenleistung des Lichtpulses, γ(λ) als nichtlinearer Koezient, τP als Puls|kF00 (λ)| als GV D der Faser.
Das sogenannte N -Soliton (N > 1) kann drei Zustände durchlaufen. Diese sind sowohl
Mit
P0
länge und
aus numerischen Berechnungen hervorgegangen (siehe [10]), als auch experimentell beobachtbar. Im ersten Zustand erfährt das
N -Soliton
eine sowohl zeitliche, als auch spektrale
Kompression/Verbreiterung. Dieser Eekt ist schon länger bekannt und geht auch wieder
direkt aus der NLSG hervor. Im zweiten Zustand ist eine Aufspaltung des Solitons in
N
fundamentale Solitonen zu beobachten. Im letzten Zustand, der direkt auf die Spaltung
folgt, kommt es zu einer Verbreiterung des Spektrums.
Ohne Initierung des zweiten Zustandes, vollführt das N-Soliton über die Faserstrecke eine
periodische zeitliche und spektrale Verbreiterung und Kompression, die als Solitonperiode
zSol = (π/2)LD
zusammgefasst wird. Beeinusst wird diese Periode durch das Zusammen-
spiel zwischen Dispersion und SPM.
Wird der erste Zustande von Auÿen durch entweder der Raman-Streuung oder der Dispersion höherer Ordnung gestört, beginnt die Spaltung in
N
fundamentale Solitonen. Diese
werden nicht zeitgleich, sondern nacheinander abgespalten. Zuerst wird ein fundamentales Soliton mit hoher Leistung abgespalten und
N −1
Solitonen propagieren als Gruppe
5
SUPERKONTINUUMSERZEUGUNG
33
weiter. Jedes weitere abgespaltene fundamentale Soliton besitzt eine geringere Leistung.
Alle diese Solitonen durchlaufen eine Soliton-Selbstphasen-Verschiebung (SSPV), also eine
Frequenzverschiebung um
ω0 .
Diese ist umso stärker, je früher das fundamentale Soliton
abgespalten wurde.
Je nach Pulslänge und Eingangsleistung ist entweder die Raman-Streuung oder Dispersion
höherer Ordnung für die Spaltung zuständig. Simulationen in Quelle [10] haben ergeben,
dass für Pulse die einige hundert Femtosekunden lang sind, vor allem die Raman-Streuung
für die Spaltung verantwortlich ist. Dem gegenüber ist es die Dispersion höherer Ordnung,
die bei sehr kurzen Pulsen (einige zehn Femtosekunden) dominiert.
Bei einer durch Raman-Streuung initiierten Spaltung ist eine Verschiebung der Frequenzen
hin zu kleineren Frequenzen zu beobachten- also eine IR-Verschiebung. Durch die Dispersion höherer Ordnung ergeben sich umgekehrte Resultate, also eine Verschiebung zu gröÿeren
Frequenzen. Besitzt ein Lichtpuls z.B. eine Länge von 50 fs, so treten beide Eekte gleichermaÿen ein. Es ist also eine Rotverschiebung (Raman-Streuung) und eine Blauverschiebung
(Dispersion höherer Ordnung) zu beobachten. Bei der Spaltung durch die Dispersion höherer Ordnung wird zusätzlich zu dem fundamentalen abgespaltenen Soliton eine sogenannte
dispersive Welle (dispersive-wave) generiert. Diese besitzt eine höhere Frequenz als das
fundamentale Soliton. Diese dispersiven Wellen zeichnen die Blauverschiebung des Eingangsspektrums aus. Durch Dispersion eingeleitete Soliton-Spaltung führt zu keiner SSPV
der fundamentalen Solitonen.
6
DIE WEIßLICHTQUELLE
6
6.1
34
Die Weiÿlichtquelle
Der Aufbau
Der Aufbau der Weiÿlichtquelle ist in der nachfolgenden Grak schematisch dargestellt.
Abbildung 15: Aufbau der Weiÿlichtquelle. Die gestrichelten Objekte stellen optionale Einstel-
lungen dar. Graue Objekte sollen einen Höhenversatz repräsentieren.
Beginnend beim Ausgang des Ti:Sa-Lasers wird der Lichtpuls über mehrere Spiegel zum
Prismenkompressor (PK) gelenkt. Eine Linse L mit einer Brennweite von f = 1000 mm
gleicht die Strahldivergenz des Laserstrahls aus. Die hohe Anzahl an Spiegeln zwischen dem
Ti:Sa-Laser und PK wird benötigt, um einen anderen Versuchsaufbau zu umgehen. Es hat
sich gezeigt, dass der Ti:Sa-Laser (340 - 380)- mW-Pulse bei einer Pumpleistung von 4.60 W
und einer Pulslänge von 74 fs liefert. Alle Pulse besitzen schon am Laserausgang einen posi2
tiven Chirp von etwa (250 - 300) fs , je nach Einstellung der Prismen in der Cavity. Diesen
Chirp gilt es bei der Veränderung der Pulsdauer durch den Prismenkompressor (PK) zu
bedenken. Beide Prismen des Kompressors sind im Winkel zum einfallenden Strahl variabel. Dies erleichtert u.a. die Einstellung des Brewster-Winkels. Eine Chirp-Variation erhält
6
DIE WEIßLICHTQUELLE
35
man über die Verschiebung der Prismen zum Laserstrahl als auch zueinander (Variation
von
L
und
DP ).
Besonders in der konventionellen Faser tritt ein unerwünschter positiver
Chirp auf, der mit dem Prismenkompressor vorkompensiert werden soll. Nach zweimaligen
Durchlauf durch den Prismenkompresor besitzt der Lichtpuls einen leichten Höhenversatz
zum einlaufenden Strahl. Es ist darauf zu achten, dass möglichst keine horizontale Änderung der Eintrittspunkte in die Prismen vorliegt, da ansonsten die spektralen Anteile nicht
wieder zusammengeführt werden. Dies zeigt sich in einem ellipsoiden Strahldurchmesser
vor der Faser. Diese Strahlform könnte Messergebnise verfälschen und beeinträchtigt die
Qualität des Superkontinuums, z.B. durch Verluste von Spektrallinien an Spiegelkanten
oder Blenden. Nach Durchgang durch den PK gelangt der Strahl über weitere Spiegel
(graue Spiegel) zur Einkoppeleinheit der Faser. Diese besitzen, passend zum Höhenversatz
des Lichtpulses aus dem Prismenkompressor, einen Höhenversatz zu den anderen Spiegeln
(schwarze Spiegel).
Über einen optionalen Spiegel (gestrichelt in Abb. 15) kann der Puls zu dem Autokorrelator
(AK), vom Typ PulseScope der Firma APE, gelangen. Mit diesem kann der Lichtpuls
zeitlich vermessen werden. Er besitzt eine Fehlertoleranz von (5 - 10)%. Ein kontinuierlicher Graulter (GF) dient zur Intensitätsregelung. Aufgrund der Tatsache, dass dieser
Graulter sehr schmal ist, ist die dispersive Auswirkung auf den Puls vernachlässigbar.
Wird der optionale Spiegel nicht verwendet, gelangt der Lichtpuls über drei Spiegel zur
Einkoppeleinheit, die aus zwei Mikroskopobjektiven (OB1 und OB2) und einer XYZ-Stage
gebildet wird. Vor der Einkoppeleinheit besitzt der Lichtpuls eine mittlere Leistung von
durchschnittlich 200 mW, abhängig von der Ausgangsleistung am Lasersystem. Damit liegt
ein Leistungsverlust von etwa 40% gegenüber der Lichtleistung am Ausgang des Ti:SaLasers vor. Eine Verminderung der Spiegelanzahl im Aufbau der Weiÿlichtquelle würde
eine Erhöhung der mittleren Lichtleistung vor der Faser erzielen.
Das Faserende bendet sich auf der XYZ-Stage, also einer Bühne, die in drei Dimensionen
variabel ist. Eine meist simple und schnelle Methode zur Lichteinkopplung ist, einen HeNeLaserstrahl von der anderen Seite der Faser einzukoppeln und dann eine Überlagerung beider Laserstrahlen auf den letzten zwei oder drei Spiegel zu erzeugen. Die Feinjustage der
Einkopplung geschieht über die Stage und den letzten beiden Spiegeln vor dem Mikroskopobj. (OB1). Der Lichtpuls wird über OB2 ausgekoppelt und über einen Spiegel auf ein
Streuscheibchen geschickt. Hinter diesem wird das Spektrum über eine Spektrometersonde gemessen. Diese Sonde führt zu einer Spektrometerkarte, die in einem PC verbaut ist.
Mit dieser kann ein Spektrum von 300 nm bis 1000 nm gemessen werden. Eine optionale
Modikation des Aufbaus ist die Nutzung eines Faraday-Rotators (FR) vor dem Prismenkompressor, der rücklaufendes Streulicht in das Lasersystem verhindern soll. Dies ist jedoch
nur erforderlich, falls der Laser im Mode-Locking sehr instabil läuft. In diesem Aufbau
ist ein FR nicht vorgesehen, da dieser einen zu hohen Leistungsabfall induziert und der
Ti:Sa-Laser bereits ohne FR ausreichend stabil läuft.
6
DIE WEIßLICHTQUELLE
6.2
36
Messungen und Ergebnisse mit der Stufenindexfaser
In diesem Abschnitt der Bachelorarbeit werden die mit der Weiÿlichtquelle erzeugten Superkontinua bei Verwendung der Stufenindexfaser, vom Typ NT&C Photonic Fiber Number
1537 vom Hersteller NT&C, vorgestellt. Das besondere an dieser Glasfaser ist die Verengung des Faserquerschnitts auf einem bestimmten Streckenabschnitt. Der Kerndurchmesser
bei der Verengung beträgt 2.8 µm. Durch diese Änderung des Brechungsindex, soll die Generierung des Superkontinuums mittels des Eekts der Selbstphasenmodulation eingeleitet
werden. Es wird davon ausgegangen, dass die dispersiven Eigenschaften dieser Glasfaser
denen in Kapitel 4 vorgestellten Stufenindexfasern gleichen. Daher müssten sich alle Eekte im normalen
GV D-Bereich
abspielen, somit keine anderen Eekte als SPM eine Rolle
spielen.
Das Einkoppelobjektiv OB1 besitzt eine 10-fache Vergröÿerung und eine numerische Apertur von
NA
= 0.25.
Da die Faser eine Länge von > 1 m besitzt und die Verengung in der Mitte der Faserstrecke
zu nden ist, muss der Eingangspuls einen Prechirp besitzen, also negative Dispersion, um
die positive Dispersion auf den ersten 50 cm der Faser kompensieren zu können. Dies ist
notwendig um die maximale Spitzenleistung am Punkt der Faserverengung zu erzielen, was
nur bei einem Bandbreiten-limitierten Puls an selbiger Stelle zu erreichen ist. Nur so ist
eine starke Verbreiterung des Spektrums möglich. Für die Gröÿe
L
des Prismenkompressor
wird daher ein Wert von L = 85 cm gewählt, was einem maximalen negativen Chirp von
2
-12000 fs entspricht (siehe Gl. (20)).
Im Folgenden wurde die spektrale Vergröÿerung der Pulse am Faserende bei Variation verschiedener Parameter untersucht. Dabei ist eine Variation der Eingangsleistung des Pulses in die Faser, eine Trägerfrequenzänderung und eine Pulslängenänderung durch ChirpVariation vorgenommen worden.
6.2.1 Variation der Leistung
In der folgenden Abbildung 16 sind die gemessenen Superkontinua bei Variation der Eingangsleistung bzw. der gemessenen Ausgangsleistung
Pout
am Faserende (über ein kontinu-
ierliches Graulter vor der Faser) aufgetragen. Die Eingangspulse besaÿen eine Pulslänge
von etwa
τP
= 1.2 ps. Zum Vergleich ist das Pulsspektrum am Ausgang des Ti:Sa-Lasers,
mit Angabe zur Bandbreiten-limitierten Pulslänge
TP ,
angegeben (siehe Abb. 16 (a)).
Der Puls wurde also über einen negativen Prechirp verlängert, aus dem oben genannten
Grund. Dafür wurde eine Prismenkompressorlänge von L = 85 cm und die Stellung des
zweiten Prismas dementsprechend gewählt.
6
DIE WEIßLICHTQUELLE
37
(a) Laserspektrum
(b) Superkontinuum
Abbildung 16: (a) Laserspektrum. (b) Halblogarithmisch aufgetragene Superkontinua bei Va-
riation der Leistung
Pout
mit einer Pulslänge von
τP
= 1.2 ps. Die Farbe der
Linien entspricht ungefähr der Farbe des Lichtes am Ausgang der Faser.
Es zeigt sich, dass das breiteste Superkontinuum bei einer Ausgangsleistung von
Pout
=
70 mW erzielt werden kann. Dies entspricht der maximal möglichen Leistung. Vor der Einkoppeleinheit besitzt der Lichtpuls eine durchschnittliche Leistung von 200 mW. Damit
sind maximal 35% an Lichtleistung einkoppelbar. Das Superkontinuum bei
Pout
= 70 mW
erstreckt sich von etwa 580 nm bis über 980 nm. Im Vergleich zum Laserspektrum ist die
enorme Aufweitung der spektralen Breite zu erkennen. Hatte das Spektrum des Laserpulses am Ausgang des Ti:Sa-Lasers noch eine FWHM von
∆λ
= 37 nm, damit eine volle
6
DIE WEIßLICHTQUELLE
Breite
38
6 von etwa 50 nm, ist die volle Breite am Faserende auf 400 nm angewachsen. Das
Licht besitzt am Ausgang der Faser eine gelbliche Färbung. Mit Verringerung der Leistung
bis auf 10 mW ist eine Verminderung der spektralen Verbreiterung des Eingangspulses zu
beobachten. Das Licht verändert seine Farbe am Ender der Faser vom Gelblichen ins Rote.
Auällig bei allen Spektren ist der Peak an der linken Flanke, also der blauen Seite des
Spektrums, der sich bei der Vergröÿerung von
Pout
noch weiter ins Blaue schiebt. Die In-
tensität des Peaks wird mit zunehmender Lichtleistung gröÿer und er wandert von 730 nm
(bei
Pout
= 10 mW) zu 575 nm (bei
Pout
= 70 mW).
Alle Superkontinua in Abbildung 16 zeigen nur schwache Intensitäten bei langen Wellenlängen > 800 nm. Eine weitere Auälligkeit sind die Oszillationen innerhalb aller Superkontinua. Damit ist die Folge von lokalen Intensitätsminima und lokalen Intensitätsmaxima, wie
z.B. bei
Pout
= 20 mW um einer Wellenlänge von 720 nm zu sehen. Keines der Superkon-
tinua hat ein aches Spektrum, also keine gleichverteilte Intensität über alle vorhandenen
Wellenlänge.
Die Verringerung der spektralen Breite mit Abnahme der Lichtleistung ist laut Theorie
zu erwarten, da mit kleineren Leistungen die Wirkung der SPM abnimmt(siehe Gl. (23)).
Lokale Intensitätsminima in den Spektren sind mit der destruktiven Interferenz zwischen
neuen Frequenzkomponenten zu erklären.
Leider zeigt sich keine symmetrische Aufweitung um die Trägerwellenlänge des Eingangspulses (die Intensität von Wellenlängen < 750 nm dominiert) und die mittlere Wellenlänge jedes Superkontinuums gleicht nicht der Trägerwellenlänge des Eingangspulses. Dies stimmt
nicht mit der Theorie in Abschnitt 5.2 überein, die nach Gl. (23) besagt, dass die mittlere
Wellenlänge des Pulses bei Durchgang durch die Faser keine Verschiebung erfährt und eine
symmetrische Aufweitung des Spektrums auftreten müsste. Doch das Experiment (siehe
Abb. 16) zeigt etwas anderes. Die Aufweitung zu kleineren Wellenlängen, unterhalb der
Trägerwellenlänge des Eingangspulses dominiert. Der IR-Bereich aller Spektren hat eine
niedrige Intensität und reicht maximal bis 980 nm.
6.2.2 Variation der Pulslänge
Im Folgenden werden die Ergebnisse bei Änderung der Pulsdauer, durch Variation der
Prismenstellung im Prismenkompressor vorgestellt und diskutiert.
Durch Änderung der Stellung des zweiten Prismas
7 des Prismenkompressors, ergibt sich
eine Änderung des Prechirps der Pulse vor der Faser. Dadurch verschiebt sich der Ort
an dem der Puls seine maximale Spitzenleistung besitzt längs der Stufenindexfaser, da
eine Kompensation des Puls-Chirps zu einem früheren oder späteren Zeitpunkt eintritt. Es
6 Mit
voller Breite ist die gesamte Breite des gemessenen Spekrums gemeint, da dieser Wert als Vergleichswert beider Spektren vernünftig erscheint. Die FWHM ist bei den Superkontinua ein unkomfortabler
Wert für einen Vergleich, da diese Breite nicht charakterstisch für ein Superkontinuum ist.
7 Dies ist das Prisma vor dem Endspiegel.
6
DIE WEIßLICHTQUELLE
39
sei darauf hingewiesen, dass die Bandbreiten-limitierte Pulslänge konstant bleibt, also das
Spektrum der Lichtpulse am Ausgang des Lasersystems nicht verändert wird.
(a) Laserspektrum
(b) Superkontinuum
Abbildung 17: (a) Laserspektrum. (b) Halblogarithmisch aufgetragene Superkontinua bei Va-
riation der Pulslänge
τP
mit einer Leistung von
Pout
= 50 mW. Die Farbe der
Linien entspricht ungefähr der Farbe des Lichtes am Ausgang der Faser.
In Abbildung 17 sieht man, dass mit zunehmender Pulslänge, τP = 0.607 ps bis τP = 1.22 ps,
eine Verbreiterung des Superkontinuums stattndet. Die volle Breite nimmt von 140 nm
(bei
τP
= 0.607 ps) zu 340 nm (bei
τP
= 1.22 ps) zu. Wird die Pulsdauer weiter erhöht, auf
6
DIE WEIßLICHTQUELLE
40
τP
= 1.470 ps, fällt die volle Breite auf 195 nm ab.
Es sind Oszillationen in allen Superkontinua zu sehen, wobei bei
τP
= 0.607 ps sie geringer
ausgeprägt (niedrigere Schwankungen) sind. So zeigt sich bei dieser Pulsdauer eine gleichmäÿige, damit ache, Intensitätsverteilung von 750 nm bis 825 nm, was bei den anderen
Superkontinua nur bedingt zu sehen ist. Denn mit zunehmender Pulsdauer nehmen die
Oszilattionen der Intensität innerhalb der Superkontinua zu. Damit treten auch wieder dominante Wellenlängen auf, wie z.B. der Peak an der linken Flanke des Superkontinuums bei
625 nm, bei einer Pulsdauer von
τP
= 0.883 ps. Es treten ähnliche Phänomene wie schon in
Abschnitt 6.2.1 beobachtet auf. Wieder sind die mittleren Wellenlängen der Superkontinua
geringer als die Trägerwellenlänge der Eigangspulse.
Die Beobachtung, dass bei Erhöhung des Prechirps der Eingangspulse, bis eine Pulslänge
von 1440 ps vor der Faser vorliegt, sich eine Verringerung der vollen Breite des Superkontinuums zeigt, bestätigt die Wichtigkeit des richtigen Werts des negativen Prechirps. Der
Prechirp ist für den Erfolg der Superkontinuum Erzeugung mit dieser Faser wesentlich.
Ist der Prechirp zu hoch, ist der Punkt der höchsten Spitzenleistung hinter der Faserverengung. Ein zu niedriger Prechirp bewirkt eine Verschiebung der Spitzenleistung vor die
Verengung.
Wie schon im Abschnitt 6.2.1 erwähnt, ist die optimale Eingangspulslänge bei
τ
= 1.2 ps zu
nden. Dies deckt sich mit den in diesem Abschnitt gemachten Messungen. Im Vergleich
zur Abb. 16 (b) reicht die maximale volle Breite bei
τ
= 1.2 ps nur von ca. 590 nm bis
930 nm, ist damit um 30 nm kleiner. Dies liegt an der um 20 mW geringeren Leistung von
Pout
= 50 mW und der breiteren Bandbreiten-limitierten Pulsdauer von 40 fs. Beides führt
dazu, dass die Leistungsdichte des Pulses abnimmt, somit die Wirkung der SPM nicht so
stark wie in Abschnitt 6.2.1 ist (siehe GL. (32)). Nicht zu Missachten ist auÿerdem die
niedrigere Trägerwellenlänge der Eingangspulse, die um etwa
∆λ0
= 4 nm geringer ausfällt
(dies wird im nächsten Abschnitt 6.2.3 behandelt). Aus den in diesem Abschnitt vorgestellten Messungen ndet sich eine gute Übereinstimmung mit der Theorie. Denn diese
besagt, dass die Spitzenleistung
P0
des Pulses am Punkt der Faserverengung hoch sein
muss(siehe GL. (32)), um eine breites Superkontinuum erzeugen zu können. Nur mit hoher
Leistungsdichte an der Faserverengung, dem Punkt an dem die Intensität pro Fläche stark
zunimmt und sich der Brechungsindex ändert, ist die SPM an wirkungsvollstem. Nach
Gl. (10) ist die Spitzenleistung geringer, wenn die Pulsdauer zunimmt, also gröÿer als die
Bandbreiten-limitierte Pulsdauer ist. Dies ist die Folge eines zu hohen oder niedrigen Prechirps am Punkt der Faserverengung.
6.2.3 Variation der Trägerwellenlänge
Der Einuss der spektralen Lage der Trägerwellenlänge auf den spektralen Verlauf des Superkontinuums wird im Folgenden untersucht. Die Änderung der Trägerwellenlänge wurde
durch die Variation der Prismenstellung im Oszillator erreicht.
Bei diesen Messungen wurden Pulse mit einer Pulsdauer von
τP
= 1.2 ps und die Intensität
6
DIE WEIßLICHTQUELLE
41
des Laserlichts so gewählt, dass die Pulse eine mittlere Lichtleistung von
Pout
= 50 mW am
Faserende besaÿen. Die Auswirkung auf das Superkontinuum ist in nachfolgender Abbildung 18 dargestellt.
(a) Laserspektrum
(b) Superkontinuum
Abbildung 18: (a) Laserspektrum. (b) Halblogarithmisch aufgetragene Superkontinua bei Va-
riation der Trägerwellenlänge
länge
τP
λ0
mit einer Leistung von
Pout
= 50 mW und Puls-
= 1.2 ps.
Mit Erhöhung der Trägerwellenlänge der Eingangspulse erfährt das Spektrum eine Erwei-
6
DIE WEIßLICHTQUELLE
42
terung hin zu kleineren Wellenlängen. So reicht das Superkontinuum statt zu knapp 580 nm
bei
λ0
= 788 nm, zu 490 nm bei
λ0
= 815 nm hinunter. Auch bei diesen Messungen ist eine
mittlere Wellenlänge der Superkontinua zu beobachten, die kleiner als die Trägerwellenlänge der Pulse ist. Die mittleren Wellenlängen der Superkontinua liegen bei ca. 740 nm. Eine
weitere Auälligkeit ist, dass bei beiden Superkontinua kein deutlich isolierter Peak an der
kurzwelligen Flanke der Spektrums auftritt. Dies hat wohl damit zu tun, dass die Faser in
einem anderen Bereich der Dispersion gepumpt wird und damit andere Frequenzverschiebungen in der Faser, innerhalb der Einhüllenden des Pulses, auftreten. Es zeigen sich beim
Superkontinuum, dass durch Pulse mit
λ0
= 788 nm erzeugt wurde, weniger Oszillationen
im Spektrum, erscheint also acher.
Somit ist der Einuss der Trägerwellenlänge dargelegt - die Verbindung zwischen Materialeigenschaften und Lichtpulsgröÿen. Die Theorie (siehe Kap. 4.1.3 und Kap. 5.2) besagt,
dass die Verschiebung der Frequenzen innerhalb der Pulseinhüllenden von dem Wert der
Dispersion bei der Trägerwellenlänge der Pulse abhängt (siehe Gl. (34)). Damit ist eine
Übereinstimmung von Theorie und Experiment zu beobachten.
6.2.4 Fazit - Konventionelle (Stufenindex)-Faser
Abschlieÿend lässt sich sagen, dass zwar eine Verbreiterung des Spektrums der Pulse mit
dieser Faser erreicht wurde, jedoch mit der Stufenindexfaser kein Weiÿlicht erzeugt werden
konnte. Bisher ist es nur möglich, gelbes Licht zu generieren. Dies liegt vor allem an der
Ausgangsleistung des Lasersystems bzw. Eingangsleistung der Lichtpulse in die Faser. Mit
höheren Leistungen lieÿe sich wahrscheinlich Weiÿlicht generieren, da die Wirkung der SPM
dann stärker wäre (siehe Kap. 5.2). Kürzere Pulse könnten bei gleicher mittlerer Leistung
auch Weiÿlicht herbeiführen, da beide Parameter zu einer Erhöhung der Spitzenleistung
führen.
Um ein Urteil über die Qualitität der erzeugten Superkontinua fällen zu können, ist eine
separate Messung mit diesem Fasertyp, mit einer Eingangsleistung von 795 mW und
= 451 mW, bei einer Trägerwellenlänge von
λ0
Pout
= 795 nm, zum Vergleich gewählt worden.
6
DIE WEIßLICHTQUELLE
43
Abbildung 19: Superkontinuum (aus [15]).
Man sieht in Abb. 19 ein symmetrisches und homogenes Superkontinuum um die Trägerwellenlänge. Das Spektrum besitzt wenig Oszillationen, keine Peaks an den Flanken,
sowie niedrige Intensitätsminima (Einbrüche im Spektrum) im Spektrum. Im Allgemeinen
erfüllt die Messung in Abb. 19 die in der Theorie (siehe Kap. 5.2) beschrieben symmetrische Aufweitung des Pulsspektrums um die Trägerwellenlänge. Im direkten Vergleich mit
den eigenen Messungen zeigt sich, dass diese eine stärkere Aufweitung zu kleineren Wellenlängen zeigen. Jedoch liegt die maximale Wellenlänge bei 950 nm, wohingegen sich das
Spektrum in Abb.19 bis ungefähr 1050 nm erstreckt.
Das Superkontinuum in Abb. 19 bestätigt die Annahme, dass mit einer Erhöhung der Eingangsleistung nicht nur eine weitere Verbreiterung, sondern auch eine Homogenisierung,
des Spektrums erzielt werden kann. Diese Annahme mit der eigenen Weiÿlichtquelle zu
überprüfen ist, mit diesem Lasersystem bzw. optischen Aufbau nicht möglich.
6
DIE WEIßLICHTQUELLE
6.3
44
Messungen und Ergebnisse mit der photonischen Kristallfaser
Dieses Kapitel beschäftigt sich mit den Messungen der Superkontinua, die mittels der photonischen Kristallfaser, einer FEMTOWHITE800, erzeugt wurden.
Der Aufbau der Weiÿlichtquelle musste für den Einsatz der photonischen Kristallfaser modiziert werden. Für ein optimales Ergebnis der Lichteinkopplung in die Kristallfaser wurde
ein achromatisches Objektiv OB1 an der Fasereinkopplung, mit einer 40-fachen Vergröÿerung und einer numerischen Apertur von
wird auf
L
NA
= 0.65, gewählt. Der Prismenkompressor
= 35 cm verkleinert, da weniger Chirp vorkompensiert werden muss. Der Grund
dafür wird in Abschnitt 6.3.2 erläutert. Der restliche Teil der Messaufbaus bleibt erhalten.
6.3.1 Spezikation der FEMTOWHITE800
Die FEMTOWHITE800 von dem Hersteller Crystal-bre ist eine für geringe Lichtleistungsdichten konzipierte photonische Kristallfaser. Laut den Herstellerangaben ist schon mit
mittleren Laserleistungen von unter 100 mW eine spektrale Aufweitung auf etwa 1000 nm
möglich, wenn eine Bandbreiten-begrenzte Pulsdauer von 50 fs, bei einer Trägerwellenlänge
von 800 nm, vorliegt.
Die Faser hat eine Länge von (120 ± 0.5) mm und bendet sich in einem Aluminiumgehäuse,
das zusätzlich mit einem Stahlmantel umgeben ist (siehe Abb. 20). Die FEMTOWHITE800
hat einen Durchmesser von 2.5 cm, wobei der Kerndurchmesser der Faser bei (1.8 ± 0.3) µm
liegt.
Abbildung 20: Abbildung der FEMTOWHITE800. [15]
Die Dispersion der photonischen Faser ist für den Wellenlängenbereich um 800 nm optimiert. Das bedeutet, dass sich die Lichtpulse mit einer Trägerwellenlänge um 800 nm im
anomalen Dispersionsregime der Faser benden. Die Nulldispersion liegt bei (750
± 15 )nm.
6
DIE WEIßLICHTQUELLE
45
D(λ)
Die nachfolgende Grak 21 zeigt
normalen - und anomalen
GV D,
dieser Faser mit Markierungen für die Bereiche der
sowie der Nulldispersion. Die roten Balken begrenzen den
Bereich der möglichen Trägerwellenlängen der Lichtpulse.
Abbildung 21:
D(λ) der FEMTOWHITE800, mit Markierungen für die Dispersionsbereiche. [9]
Bei 780 nm liegt der nichtlineare Brechungsindex bei n2 (λ) > 3 ·10
−1
Koezient bei γ(λ) ≈ 95 (Wkm) .
−4 und der nichtlineare
Diese photonische Kristallfaser erhält zudem die Polarisation der Lichtpulse und die Pulse
propagieren in der Grundmode für
λ0
> 650 nm.
6.3.2 Erzeugung eines breiten Superkontinuums mit der PCF
Dieses Unterkapitel stellt das breiteste Superkontinuum vor, das mit der photonischen Kristallfaser erzeugt werden konnte.
Anders als bei der Stufenindexfaser muss für die Erzeugung von Weiÿlicht in der PCF die
Pulsdauer beim Eintritt in die Kristallfaser minimal sein. Der Lichtpuls ist im besten Fall
Bandbreiten-limitiert. Damit ist der Wert des Prechirps vor dem Objektiv OB1 so groÿ,
dass nur die positive Dispersion an dem Objektiv kompensiert wird. Es hat sich gezeigt,
2
dass ein Prechirp von β2 = (-1000 ± 100) fs für eine Vorkompensierung ausreicht. Folgende
Messung wurde mit einer Pulsdauer von
Pout
τP
= 170 fs, einer mittleren Ausgangsleistung von
= 30 mW und mit einer Spitzenleistung von
P0
= 10.2 kW bei Bandbreitenlimitierung
durchgeführt. Der Lichtpuls hatte eine Bandbreiten-limitierte Pulsdauer von
TP
= 35 fs.
Da von einer Chirp-Kompensation innerhalb des Objektivs ausgegangen wurde, ist
τP ≈
6
TP .
DIE WEIßLICHTQUELLE
46
Die Trägerwellenlänge lag bei
λ0
= 817 nm und damit war die Gruppengeschwindigk 00 (λ) = 12.4 fs2 /mm.
keitsdispersion innerhalb der Kristallfaser
(a) Laserspektrum
(b) Superkontinuum
Abbildung 22: (a) Laserspektrum. (b) Halblogarithmisch aufgetragenes Superkontinuum bei ei-
ner Pulslänge von
τP ≈
35 fs mit einer Leistung von
Pout
= 30 mW.
Das Superkontinuum in Abb. 22 hat eine spektrale Ausdehnung von 458 nm bis 970 nm und
somit eine volle Breite von 512 nm. Es existieren isolierte Peaks bei 404 nm und 435 nm. Die
Intensität ist im Bereich von 458 nm bis 640 nm am höchsten und nimmt mit zunehmender
Wellenlänge ab. Die Intensität der spektralen Anteile im IR-Bereich ist schwach und geht
6
DIE WEIßLICHTQUELLE
47
nur bis knapp 970 nm.
Wie in Abschnitt 5.3 beschrieben, liegt die Superkontinuums-Erzeugung in der PCF hauptsächlich der Soliton-Spaltung zugrunde, die nur bei Soliton-Ordnungen von
N
ten. Über Gl. (38) ergibt sich in diesem Fall für die Ordnung der Solitonen:
eine hohe Ordnung
N
> 1 auftre-
N ≈
10. Da
ein breites Spektrum nach sich führt, entspricht das in Abb. 22 dar-
gestellte Spektrum den Erwartungen. Das Superkontinuum deckt den gesamten sichtbaren
Bereich ab, generiert damit weiÿes Licht. Das Spektrum besitzt hohe Intensitäten im kurzwelligen Spektralbereich. Das liegt in Einklang mit der Theorie, die bei kurzer Pulsdauer,
die bei dieser Messung mit
τP ≈
35 fs gegeben ist, eine dominante dispersive Wellener-
zeugung vorhersagt (siehe Kap. 5.3). Dieses führt zur verstärkten Erzeugung kurzwelliger
Spektralanteile. Damit ist die Dispersion höherer Ordnung hauptsächlich für die Spaltung
der Solitonen verantwortlich.
Einzelne Peaks bei 404 nm und 435 nm können dispersiven Wellen zugeordnet werden (siehe
[10,14]), die zusammen mit den fundamentalen Solitonen in der Faser propagieren. Dispersive Wellen ,die unterhalb der Nulldispersionswellenlänge (ZDW), also unter 750nm, der
Faser liegen, werden durch die auftretende SPM in dem Regime der normalen Dispersion
weiter aufgeweitet, was zur Vebreiterung des Spektrums führt. Oberhalb der ZDW, in dem
anomalen Dispersionsregime, treten hauptsächlich Soliton-Dynamiken auf, also SSFV. Da
die SSFV aufgrund von Raman-Streuung auftritt, die hauptsächlich bei längeren Pulsdauern zu beobachten ist, sind diese Dynamiken kaum im Spektrum zu sehen und einzelne
fundamentale Solitonen sind nicht stark genug ausgeprägt um zugeordnet zu werden. Höhere Pulsdauern bei Eintritt in die Kristallfaser müssten eine verstärkte Aufweitung des
Eingangsspektrums zu längeren Wellenlängen bewirken (siehe [10]).
6.3.3 Der Einuss der Soliton-Ordnung und Spitzenleistung
Im Folgenden wird der Einuss der Soliton-Ordnung
P0 ,
N , durch Variation der Spitzenleistung
untersucht.
TP = 40 fs
gewählt, damit war TP höher als bei der Messung in Abschnitt 6.2. Für die GDD der
2
Pulse vor dem Objektiv galt damit β2 = -1050 fs , womit wiederum τP ≈ TP vorlag. Die
00
2
Trägerwellenlänge war λ0 = 804 nm. Die GV D in der Kristallfaser war k (λ) = 6.88 fs /mm.
Es wurde eine Pulsdauer von
τP
= 170 fs, bei einer Bandbreitenlimitierung von
6
DIE WEIßLICHTQUELLE
48
(a) Laserspektrum
(b) Superkontinuum
Abbildung 23: (a) Laserspektrum. (b) Halblogarithmisch aufgetragenes Superkontinuum bei ei-
ner Pulslänge von
τP ≈
40 fs.
In Abbildung 23 sind die gemessenen Superkontinua aufgetragen. Es ist zu erkennen, dass
die spektrale Breite des Superkontinuums mit Anstieg der Spitzenleistung der Eingangspulse zunimmt. Bei einer mittleren Ausgangsleistung von
Pout
= 2.5 mW besitzt das gemes-
sene Spektrum voneinander getrennte Bereiche hoher Intensität. Diese sind bei 546 nm
und 650 nm zu nden. Auÿerdem sind isolierte Peaks bei 404 nm und 435 nm vorhanden,
die eine schwache Intensität aufweisen. Ferner existiert ein schwach intensiver Bereich bei
6
DIE WEIßLICHTQUELLE
49
780 nm bis 900 nm.
Mit Erhöhung der Lichtleistung nimmt die Intensität der isolierten Peaks ab. Es tritt einer Verbreiterung des Spektralbereichs um 650 nm auf. Die Intensität der Wellenlängen
> 750 nm nimmt ab. Bei
Pout
= 15 mW ist die Intensität der isolierten Peaks schon ver-
schwindend gering und der intensive Bereich des Superkontinuums reicht von 500 nm bis
zu 720 nm. Der Bereich um 850 nm hat weiterhin an Intensität verloren. Ab einer mittleren
Leistung von
Pout
= 20 mW hat das Superkontinuum eine volle Breite von 450 nm bis zu
950 nm. Die Intensität der Wellenlängen >700 nm ist sehr schwach. Die isolierten Peaks
sind verschwunden.
Die Nachfolgende Tabelle 2 zeigt die nach Gl. (38) berechnete Soliton-Ordnung
verschiedenen Spitzenleistungen
Tabelle 2: Soliton-Ordnung
N
N
bei
P0 .
Pout /mW
P0 /kW
N
2.5
0.8
4
5
1.6
6
10
3.2
8
15
4.7
10
20
6.3
12
bei Variation der Spitzenleistung
P0 .
Wie erwartet tritt mit Erhöhung der Spitzenleistung, also auch der Ordnung
N
der Soli-
tonen, eine Verbreiterung des Superkontinuums ein. Diese tritt besonders im Bereich des
sichtbaren Lichts verstärkt auf. Das Eingangsspektrum, welches bei
N
bar im Superkontinuum um 800 nm vorliegt, wird mit zunehmenden
bei
N
= 4 noch gut sicht-
N
verringert bis es
= 12 nicht mehr zu erkennen ist. Es ndet also eine Abachung des Spektrums für
langwellige Anteile (>750 nm) statt.
In dem Superkontinuum bei
N
= 4, also bei
Pout
= 2.5 mW, sind 4 isolierte Peaks im Bereich
des sichtbaren Lichts zu erkennen, die der Anzahl der fundamentalen Solitonen entspricht,
die aus dem
N -Soliton
abgespalten wurden. Je mit einem fundamentalen Soliton wird eine
dispersive Welle erzeugt, deren Frequenzen als Peaks im Spektrum zu erkennen sind. Die
Peaks nehmen an Intensität vom langwelligen zum kurzwelligen Spektralbereich ab. Der
dominante Peak liegt bei etwa 650 nm, der nächstniedrigere bei 546 nm, dann folgt einer
bei 435 nm und der niedrigste Peak ist bei 404 nm zu nden. Die letzten beiden sind auch
in den Messungen in Abschnitt 6.2 gefunden worden. Wird nun die Spitzenleistung der
Lichtpulse erhöht, erhöht sich die Ordnung des
N -Solitons,
also auch die Anzahl der ab-
gespaltenen fundamentalen Solitonen. Diese erzeugen dispersive Wellen, die wiederum als
Peaks im sichtbaren Spektralbereich zu erkennen sind. Aufgrund der SPM die in dem Bereich der normalen Dispersion auftritt, in dem sich die dispersiven Wellen aufhalten, kommt
es zu einer Verbreiterung der Peaks, vor allem im Bereich um 546 nm. Die Intensität der
6
DIE WEIßLICHTQUELLE
Peaks im kurzwelligen Spektralbereich nimmt weiter ab, bis sie bei
50
N
= 12 kaum noch zu
erkennen sind. Dies liegt daran, dass jedes weitere abgespaltene fundamentale Soliton eine
niedrigere Intensität als sein vorheriges besitzt, wie in Kap. 5.3 erläutert. Dementsprechend
nimmt auch die Intensität der dispersiven Wellen ab. Damit sind die Peaks im kurzwelligen
Spektralbereich wohl auf spät abgespaltene Solitonen zurückzuführen.
Je höher die Leistung des Eingangspulses, desto stärker dominieren die Spektralanteile
zwischen 450 nm und 720 nm. Mit Erhöhung der Leistung nimmt die Verbreiterung der
dispersiven Wellen, also die Erzeugung von neuen Frequenzanteilen um die Frequenzen der
dispersiven Wellen durch die SPM zu. Da der Eekt der SPM stark von der Intensität des
Lichtpulses abhängt, war dies zu erwarten.
Die Messungen zeigen eine gute Übereinstimmung mit theoretischen Vorhersagen in Kap.
5.3. Diese sagen voraus, dass bei niedrigen Eingangspulsdauern die Spaltung der
N
- Soli-
tonen (nach Gl. (38)) zur Erzeugung von dispersiven Wellen führt, die bei dieser Messung
beobachtet werden konnten. Auch ist die in der Theorie vorhergesagte Verminderung der
Intensität der jeweils nächsten abgespaltenen fundamentalen Solitonen in dem Superkontinuum zu erkennen gewesen.
6.3.4 Fazit - Photonische Kristallfaser
Abschlieÿend lässt sich sagen, dass die photonische Kristallfaser besonders gute Übereinstimmung zwischen Experiment und Theorie aufzeigt, was die Soliton-Spaltung durch
Dispersion höherer Ordnung und die damit verbundene Erzeugung von dispersiven Wellen
betrit. Mit dieser Faser ist es möglich Weiÿlicht zu generieren und einen Spektralbereich
einer vollen Breite von 512 nm abzudecken, also knapp eine Oktave. Dennoch erfüllt sie
nicht ganz die Erwartungen. So ist das Spektrum nicht homogen und acht für
λ
> 650nm
stark ab. Der nahe IR-Bereich ist nur schwach abgedeckt, sodass die durchschnittliche Intensität unterhalb von 12% der maximalen Intensität des Superkontinuums liegt. Dies liegt
daran, dass der Einuss der Raman-Streuung und damit der SSFV kaum beobachtet wurde. Laut Herstellerangaben sollte dies jedoch zu beobachten sein, jedenfalls ist in ihrem
Referenzspektrum ein solches Verhalten zu erkennen (siehe Abb. 24). Das Spektrum in
Abbildung 24 erstreckt sich von ca. 490 nm bis 1620 nm.
6
DIE WEIßLICHTQUELLE
51
Abbildung 24: Referenz-Superkontinuum erzeugt mit einer FEMTOWHITE800.[9]
Die Ergebnisse der Superkontinua in Abschnitt 6.3.2 und 6.3.3 sind befriedigend was den
Bereich der kurzen Wellenlängen betrit (von 450 nm bis 700 nm). Der nahe IR-Bereich
(800 nm bis 1200 nm) der Superkontinua ist schwach an Intensität. Eine Erhöhung der
Pulsleistung könnte eine Verbreiterng der Spektren zu längeren Wellenlängen herbeiführen.
6
DIE WEIßLICHTQUELLE
6.4
52
Vergleich beider Fasertypen
Abbildung 25: Vergleich der optimalen Superkontinua der Messungen mit der photonischen Kri-
stallfaser und konventionellen Faser.
Für das in Abb. 25 dargestellte Superkontinuum bei Verwendung der konventionellen Faser
wurde mit Pulsen einer Bandbreitenlimitierung von
TP ≈ 40 fs und einer durchschnittlichen
Pout = 50 mW gepumpt. Bei der photonischen Kristallfaser wurden Pulse mit
mit Pout = 30 mW verwendet. Es ist oensichtlich, dass beide Fasern ihre Vor-
Leistung von
TP
= 35 fs
und Nachteile haben und sich gut ergänzen. Mit der Stufenindexfaser wird der Spektralbereich von 580 nm bis hin zu 980 nm gut abgedeckt. Die Intensität des Superkontinuums
ist in dem Bereich groÿ, in welchem das Superkontinuum, das durch die photonische Kristallfaser erzeugt wurde, abacht. Das mit der PCF generierte Superkontinuum besitzt im
Bereich von 460 nm bis zu 680 nm eine homogene und intensive spektrale Verteilung.
Die Verwendung der PCF bietet mehr Vorteile als die Verwendung der Stufenindexfaser,
trotz der schwachen Intensität der Superkontinua bei langen Wellenlängen. Denn schon bei
niedrigen Pulsleistungen lassen sich breite Spektren erzeugen. Zusätzlich kann der Aufbau
der Weiÿlichtquelle verkleinert werden, da der Prismenkompressor nicht gröÿer als 35 cm
in der Diagonalen sein muss. Der einzige Nachteil ist die zeitintensive Lichteinkopplung in
die Kristallfaser, die sehr empndlich auf Dejustierung reagiert.
7
7
ZUSAMMENFASSUNG UND AUSBLICK
53
Zusammenfassung und Ausblick
Diese Bachelorarbeit hat gezeigt, dass Superkontinua mit einer Stufenindexfaser und einer photonischen Kristallfaser mit einer maximalen vollen Breite von 512 nm bei niedrigen
mittleren Lichtleistungen < 75 mW mit ultrakurzen Lichtpulsen < 50 fs erzeugt werden
können. Sie hat auÿerdem den Aufbau der für die Weiÿlichtquelle wesentlichen optischen
Geräte, sowie ihren physikalischen Hintergrund, erläutert. Die für diesen Aufbau wesentlichen nichtlinearen optischen Eekte innerhalb der beiden Fasertypen wurden erklärt und
ihren Einuss auf die Erzeugung von Superkontinua dargelegt.
Der Abschnitt 6.3 über die photonische Kristallfaser hat gezeigt, dass es gute Übereinstimmungen zwischen theoretischen Modellen und experimentellen Beobachtungen gibt.
Überraschend zeigte sich bei den Messungen mit der Stufenindexfaser schon bei niedrigen
Pulsleistungen 100 mW hohe spektrale Aufweitungen, die das vorliegende Referenzspektrum [14] nicht vermuten lies. So zeigten sich vorwiegend positive Ergebnisse bei beiden
Fasern. Dies soll aber nicht darüber hinweg täuschen, dass die Weiÿlichtquelle, ob nun
in Betrieb mit der konventionellen Faser oder der PCF, noch nicht optimiert wurde und
ihr volles Potenzial nicht oenbart hat. Bisher ist noch kein Superkontinuum erzeugt worden, das eine homogene Struktur von 400 nm bis über 1000 nm aufweist, geschweige denn
bei der PCF den Herstellerangaben entspricht (siehe [8]). Höhere Lichtleistung durch Verwendung von dielektrischen Spiegeln und einer geringeren Spiegelanzahl würde womöglich
eine Verbesserung erzielen. Dies ist für die Zukunft geplant. Ein Austausch der Endspiegel innerhalb des Ti:Sa-Lasers würde zu einer höheren Bandbreite und höheren mittleren
Leistung der Pulse führen. Es könnte die Superkontinua der Weiÿlichtquelle positiv beeinussen. Doch ein Umbau in dieser Hinsicht ist nicht geplant.
8
8
LITERATURVERZEICHNIS
54
Literaturverzeichnis
Literatur
TM Extreme, Application Note, Koheras A/S, 2008.
[1]
SuperK
[2]
Helmut Frowein, Titan-Saphir Laser: Grundlagen und Anwendungen des wichtigsten
Kurzpulslasersystems, Optik und Photonik, 1/07, 48-53, 2007.
[3]
Robert R. Alfano, The Supercontinuum Laser Source, Springer Verlag, 1989.
[4]
Claude Rullière, Femtosecond Laser Pulses, Principles and Experiments - Second
Edition, Springer Verlag, 2005.
[5]
Jean-Claude Riels und Wolfgang Rudolph, Ultrashort Laser Pulse Phenomena, Elsevier INC., 2006.
[6]
Datenblatt: Optisches Glas [S.11 (BK7),S.78 (SF10),S.79 (SF11)], Schott AG, 2007
[7]
Wjatscheslaw Schmidt, Charakterisierung von wenig-Zyklen Lichtimpulsen mittels interferometrischer Autokorrelation, Studienarbeit, Arbeitsgruppe Ultraschnelle NanoOptik, Carl von Ossietzky Universität Oldenburg, 2008.
[8]
Fedor Mitschke, Glasfasern - Physik und Technologie, Spektrum Akademischer Verlag, 2005.
[9]
FEMTOWHITE800, Application Note, Crystal Fibre, 2008.
[10] John M. Dudley, Supercontinuum generation in photonic crystal ber, Reviews of
modern physics, 78, 1135 - 1176, 2006.
[11] Govind P. Agrawal, Applications of Nonlinear Fiber Optics,The Institute of Optics,
University of Rochester, Academic Press, 2001.
[12] John A. Buck, Fundamentals of Optical Fibers - SE, John Wiley
&
Sons, 246-259,
2004.
[13] Chris Eilbeck, John Scott Russell and the solitary wave, Heriot-Watt University,
2007.
[14] Ilaria Cristiani, Dispersive wave generation by solitons in microstructured optical
bers, University of Pavia, Optical Society of America, 2004.
[15] Sebastian Prickling, Messung an NT&C Photonic Fiber 1537, Universität Stuttgart.
[16] D. Kühlke, Optik: Grundlagen und Anwendungen, Verlag Harri Deutsch, 2007.
LITERATUR
55
[17] Courtney Jarman, Supercontinuum Generation in Sapphire: A Measurement of Intensity, REU Programm, The Ohio State University, 2005.
[18] Stefan Bleil, Zwei-Photonen-angeregte Fluoreszenz im Femtosekunden-Zeitfenster als
neues Meÿverfahren für die konfokale Mikroskopie, Dissertation, Fakultät für Mathematik und Naturwissenschaften der Carl von Ossietzky Universität Oldenburg, 5-10,
2005.
9
APPENDIX
9
56
Appendix
9.1
Programme
Matlab-Programm zur Simulation eines Pulses und der Pulsdauerberechnung:
function ps(specle,phi1,phi2)
% phi1: lineare Phase, Gröÿenordnung 1E-13
% phi2: quadratische Phase, Gröÿenordnung 1E-27
c=3e8; % Lichtgeschwindigkeit
spec=load(specle); % Laden des gemessenen Spektrums
% Wahl des relevanten Spektralbereichs
lrand=nd(spec(:,1)
rrand=nd(spec(:,1)
>= 540);
> 1060);
spec=spec(lrand(1):rrand(1),:);
% Bestimmung des Rauschens:
rausch=mean(spec(1:100,2));
imax=max(spec(:,2)); % Maximum des Spektrums
rausch=rausch+0.001*(imax-rausch); %Rauschpegel
%Abschneiden aller Werte unterhalb des Rauschpegels:
[imax,maxind]=max(spec(:,2));
ind=nd(spec(:,2)<rausch);
i=1;
while ind(i)
<
maxind
i=i+1;
end
lrand=ind(i-1);
i=size(ind,1);
while ind(i)
>
maxind
i=i-1;
end
rrand=ind(i+1);
% Verkleinerung des Spektrums auf die Werte
>
Rauschpegel
spec=spec(lrand(1):rrand(1),:);
% Zuweisung der Einheiten
spec(:,1)=2.*pi.*1e9.*c./spec(:,1); % Umrechnung nm -> Hz
spec(:,2)=(spec(:,2)-rausch)./(imax-rausch); % Intensität abzüglich Rauschen
[imax,indmax]=max(spec(:,2));
w0=spec(indmax,1); % Trägerfrequenz
tau=(-1e-12:5e-16:1e-12)'; % Zeitwert für die diskrete Fouriertransformation
% Diskrete Fouriertransformation:
E=zeros(size(tau,1),1);
for i=1:size(spec,1)
9
APPENDIX
57
E=E+sqrt(spec(i,2))*exp(j*spec(i,1)*tau)*exp(-j*phi1*(spec(i,1)-w0))*exp(-j*phi2*(spec(i,1)w0)2);
end
% Interferometrische Autokorrelation:
akf=2*max(xcorr(E.*conj(E)))+4.*xcorr(E.*conj(E))
+4.*real(xcorr(conj(E).2.*E,conj(E)))
+4.*real(xcorr(E,conj(E).*E.2))+2.*real(xcorr(E.2));
tau2=linspace(2*tau(1),2*tau(end),size(akf,1))'; % Zeitachse der Autokorrelationsfunktion
akf=akf./mean(akf(1:10)); % Normierung
makf=smooth(akf,64); % Glättung der Werte
% Berechnung der FWHM über die gemittelte AKF:
nakf=[tau2 makf ];
nakf(:,2)=nakf(:,2)./mean(nakf(1:50,2)); % gemittelte AKF
nakf(:,1)=nakf(:,1)./sqrt(2); % Normierung
[maxint,maxpos] = max(nakf(:,2));
fwhm = ((max(nakf(:,2)) - min(nakf(:,2))) / 2) + min(nakf(:,2));
hml = 1;
hmr = size(nakf,1);
while (hml
<
maxpos) && (nakf(hml,2)
<
fwhm)
hml = hml + 1;
end
while (hmr
>
maxpos) && (nakf(hmr,2)
<
fwhm)
hmr = hmr - 1;
end
pulsbreite = (nakf(hmr,1)-nakf(hml,1))*1e15;
fprintf(1,'\nPulsbreite über IAK: %f\n',pulsbreite)
% Berechnung der FWHM über die Intensitätsverteilung des E-Feldes:
nakf=[tau E.*conj(E)];
nakf(:,2)=nakf(:,2)./mean(nakf(1:50,2));
[maxint,maxpos] = max(nakf(:,2));
fwhm = ((max(nakf(:,2)) - min(nakf(:,2))) / 2) + min(nakf(:,2));
hml = 1;
hmr = size(nakf,1);
while (hml
<
maxpos) && (nakf(hml,2)
<
fwhm)
hml = hml + 1;
end
while (hmr
>
maxpos) && (nakf(hmr,2)
<
fwhm)
hmr = hmr - 1;
end
pulsbreite = (nakf(hmr,1)-nakf(hml,1))*1e15;
fprintf(1,'Pulsbreite direkt: %f\n\n',pulsbreite)
9
APPENDIX
58
%Darstellung aller Graphen (Spektrum, E-Feld, Intensitätsverteilung, AKF)
gure;
subplot(3,1,1);
plot(spec(:,1)/(2*pi),spec(:,2),'r');
xlabel('\nu / Hz');
ylabel('I / a.u.');
axis tight;
subplot(3,1,2);
plot(tau,real(E)./max(real(E)),'r',tau,abs(E).2./max(abs(E).2),'b');
axis tight;
xlabel('t / s');
ylabel('E / a.u.');
subplot(3,1,3);
<= min(tau2)/2);
cutr=nd(tau2 >= max(tau2)/2);
cutl=nd(tau2
plot(tau2(cutl(end)+1:cutr(1)-1),akf(cutl(end)
+1:cutr(1)-1),'r',tau2(cutl(end)
+1:cutr(1)-1),makf(cutl(end)
+1:cutr(1)-1),'b');
axis tight;
xlabel('\tau / s');
ylabel('AKF / a.u.');
Matlab-Programm zur Berechnung des Phasenterms zweiter Ordnung eines
Lichtpulses:
function chirp(spec,puls)
c = 2.99*108; % Lichtgeschwindigkeit
tp = puls*10-15; % Gemessene Pulsdauer
data = load(spec); % Gemessenes Laser-Spektrum am Ti:Sa
[lmax,lmindex] = max(data(500:900,2)); % Maximum
% Bestimmung der FWHM (Bandbreite):
k = nd(data(500:900,2)>lmindex/2);
delta = data(k(end,1),1)-data(k(1,1),1);
nu = (c*(delta*109)/((data(k(end,1),1)*data(k(1,1),1))));
% Berechnung des Chirpfaktors aus dem Zeit-Bandbreiten-Produkt:
a = sqrt(((tp*nu)/0.707)2-1);
% Chirp des Pulses:
chirp_pulse = (a*tp2)/(8*0.693*(1+a2));
9
APPENDIX
fprintf(1,'Chirp in fs2: %f\n\n',round(chirp_pulse*1030));
end
59
10
10
SELBSTÄNDIGKEITSERKLÄRUNG
60
Selbständigkeitserklärung
Hiermit versichere ich, dass ich diese Arbeit selbständig verfasst und keine anderen als die
gegebenen Quellen und Hilfsmittel benutzt habe.