Lösung zu Blatt 7 - Institut für Mathematik

Institut für Mathematik
Prof. Dr. Helge Glöckner
Dipl. Math. Rafael Dahmen
SoSe 11
27.05.2011
7. Übungsblatt zur
Differentialgeometrie“
”
(Aufgaben und Lösungen)
Gruppenübung
Aufgabe G13 (Äquivalenzrelationen auf Mannigfaltigkeiten)
Sei M eine glatte Mannigfaltigkeit und sei R ⊆ M ×M eine glatte Untermannigfaltigkeit
von M × M , die gleichzeitig eine Äquivalenzrelation auf M ist.
(a) Zeigen Sie, dass
R −→ R
(x, y) 7−→ (y, x)
ein glatter Diffeomorphismus ist.
(b) Zeigen Sie, dass die Abbildungen
pr1 : R −→ M : (x, y) 7→ x
und
pr2 : R −→ M : (x, y) 7→ y
glatt und surjektiv sind.
(c) Zeigen Sie, dass pr1 genau dann eine Submersion ist, wenn pr2 eine Submersion ist.
Lösung: (a)
Bevor wir uns damit beschäftigen können, ob die Funktion
f : R −→ R
(x, y) 7−→ (y, x).
ein Diffeomorphismus ist, müssen wir zuerst klären, ob sie überhaupt sinnvoll definiert
ist. Das heißt: Liegt (y, x) überhaupt in R, wenn (x, y) ∈ R ?
Die Antwort ist natürlich ja, und zwar. weil R nach Voraussetzung eine Äquivalenzrelation ist und somit insbesondere symmetrisch.
Die Funktion f kann man auf M × M ausdehnen und erhält die Funktion
g : M × M −→ M × M
(x, y) 7−→ (y, x).
7. Übung
Differentialgeometrie
Wir haben das folgende kommutative Diagramm:
M ×O M
g
/M ×M
O
i
i
R
f
/R
Hierbei ist i : R −→ M × M einfach die Inklusion.
Nach Voraussetzung ist R eine glatte Untermannigfaltigkeit von M × M . Das bedeutet,
eine Funktion mit Werten in R ist genau dann C ∞ , wenn sie verketten mit der Inklusion i
eine C ∞ -Funktion ist. Genauer: f : R −→ R ist genau dann C ∞ , wenn i◦f : R −→ M ×M
eine C ∞ -Funktion ist.
Aus dem Diagramm sehen wir aber, dass i ◦ f = g ◦ i ist und weil i : R −→ M × M
immer glatt ist, bleibt also nur noch die Glattheit von g : M × M −→ M × M zu zeigen.
Die Funktion g nimmt ihre Werte in einem Produkt von zwei Mannigfaltigkeiten an.
Also ist g genau dann glatt, wenn jede der Komponenten glatt ist. Aber die beiden
Komponentenfunktionen sind
M × M −→ M
M × M −→ M
und
(x, y) 7−→ y
(x, y) 7−→ x,
die per Konstruktion der Produktmannigaltigkeit glatt sind. Also ist g glatt und mit
obigem Argument auch f .
Da f offensichtlich sein eigenens Inverses ist, ist f ein Diffeomorphismus.
(b)
Die Inklusion i : R −→ M × M ist glatt, weil R eine Untermannigfaltigkeit von M × M
ist. Die Projektion auf die erste Komponente M × M −→ M : (x, y) 7→ x ist glatt, weil
M × M das Produkt der Mannigfaltigkeit M mit sich selbst ist. Die gesuchte Abbildung
pr1 : R −→ M : (x, y) 7→ x ist also einfach eine Verkettung von zwei glatten Abbildungen
und somit glatt.
Weil R eine Äquivalenzrealtion ist, it R insbesondere reflexic, was bedeutet, dass für
jedes x ∈ M das Paar (x, x) in R liegt. Das bedeutet, dass x = pr1 (x, x) und somit ist
x im Bild von pr1 und damit ist pr1 surjektiv. Das war zu zeigen.
Die Abbildung pr2 geht analog.
(c)
Es gilt offensichtlich:
pr2 = pr1 ◦ f,
wobei f : R −→ R die Funktion aus Aufgabenteil (a) ist. Wenn pr1 eine Submersion ist,
dann ist auch pr1 ◦ f eine Submersion, weil Verkettungen von Submersionen Submersionen sind (und f ist ein Diffeo, also insbesondere étale, also Submersion und Immersion).
Also ist pr2 eine Submsersion, wenn pr1 eine solche ist. Die Rückimplikation geht genauso, weil alles symmetrisch ist.
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7. Übung
Differentialgeometrie
Aufgabe G14 (Lie-Gruppe)
Sei (G, ·) eine Gruppe (im herkömmlichen rein algebraischen Sinne), die gleichzeitig eine
C ∞ -Mannigfaltigkeit ist, sodass die Multiplikation
µG : G × G −→ G
(x, y) 7−→ x · y
und die Inversion
ηG : G −→ G
x 7−→ x−1
glatte Abbildungen sind. Eine Gruppe (G, ·) mit so einer Mannigfaltigkeit versehen nennt
man eine Lie-Gruppe.
(a) Machen Sie sich klar, dass die Gruppe (G, ·) := (Rn , +) mit der gewöhnlichen
Mannigfaltigkeitsstruktur eine Lie-Gruppe ist.
(b) Zeigen Sie, dass die Gruppe On(R) := A ∈ Rn×n : A⊤A = 1n×n aus (H10e) eine
Lie-Gruppe ist.
(c) Zeigen Sie, dass für jedes g ∈ G die Abbildung
G −→ G : x 7→ gx
ein C ∞ -Diffeomorphismus ist.
Lösung: (a)
Der Raum Rn ist ein Vektorraum. Jeder Vektorraum ist versehen mit der Addition eine
abeslche Gruppe (nach Definition eines Vektorraums). Also ist (Rn , +) schonmal eine
Gruppe.
Nun müssen wir zeigen, dass die Gruppenoperationen
µRn : Rn × Rn −→ Rn
(x, y) 7−→ x + y
und
ηRn : Rn −→ Rn
x 7−→ −x
glatt ist. Beide Abbildungen sind aber linear. Lineare Abbildungen zwischen endlichdimensionalen reellen Vektorräumen sind immer glatt (bzgl. der kanonischen glatten
Struktur auf den verwendeten Vektorräumen).
(b)
Man sieht leicht ein, dass aus A, B ∈ On(R) folgt, dass AB ∈ On(R). Also ist On(R)
unter Multiplikation abgeschlossen.
Per Definition von On(R) ist jede Matrix A ∈ On(R) invertierbar mit Inversem A−1 = A⊤.
Man sieht so leicht, dass auch A−1 ∈ On(R) ist.
Somit ist On(R) eine Untergruppe von Gln(R).
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7. Übung
Differentialgeometrie
In Aufgabe (H10e) haben wir gesehen, dass On(R) eine Untermannigfaltigkeit von Rn×n
ist. Es bleibt zu zeigen, dass die Multiplikation
µOn(R) : On(R) × On(R) −→ On(R)
(A, B) 7−→ AB
und die Inversion
ηOn(R) : On(R) −→ On(R)
A 7−→ A−1
glatt sind.
Wir gehen ähnlich wie in Aufgabe (G13) vor: Wir zeigen die Glattheit der Funktion
µOn(R) , indem wir sie ausdehnen:
g : Rn×n × Rn×n −→ Rn×n
(A, B) 7−→ AB
und erhalten dann ein kommutatives Diagramm:
g
Rn×n ×O Rn×n
/ Rn×n
O
i
i
On(R) × On(R)
µOn(R)
/ On(R)
Weil On(R) eine Untermannigfaltikeit von Rn×n ist, folgt die Glattheit von µOn(R) aus
der Glattheit von g. Diese ist aber klar, weil g eine bilineare Abbildung ist und somit
ein Polynom in den Matrixeinträgen. Polynome sind immer glatt.
Bei der Inversion muss man vorsichtig sein: Man kann nicht einfach die Abbildung ηOn(R)
mit der Abbildungsvorschrift A 7→ A−1 auf den Raum aller Matrizen Rn×n fortsetzen,
weil ja nicht alle Matrizen invertierbar sind.
Wir lösen dieses Problem aber dadurch, dass wir ja wissen, dass auf On(R) Invertieren
und Transponieren das gleiche ist. Wir definieren also:
h : Rn×n −→ Rn×n
A 7−→ A⊤
und erhalten das folgende kommutative Diagramm:
Rn×n
O
h
i
On(R)
/ Rn×n
O
i
ηOn(R)
/ On(R)
Nun ist h glatt, weil linear zwischen endlich dimensionalen Räumen und ηOn(R) ist glatt,
weil dies nur eine Einschränkung von h auf die Untermannigfaltigkeit ist.
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7. Übung
Differentialgeometrie
Dies zeigt, dass On(R) eine Lie-Gruppe ist.
Anmerkung:
Alternativ kann man natürlich auch die Inversion ηOn(R) auf die Menge Gln(R) fortsetzen
durch A 7→ A−1 und dann die Glattheit dieser Abbildung zeigen. Dies ist auch möglich,
weil das Inverse einer Matrix glatt von den Einträgen der Matrix abhängt. Am besten
würde man hier über die Cramersche Regel argumentieren, die es erlaubt, das Inverse
mit Hilfe der Adjunkten zu berechnen. Dies ist allerdings komplizierter.
Alternativ hierzu kann man auch die Abbildung
Gln(R) −→ Gln(R) : A 7→ A−1
auf der offen Kugel mit Radius 1 um die Einheitsmatrix (gemessen in der Operatornorm)
in eine Potenzreihe entwickeln. Dies führt im Wesentlichen zur geometrischen Reihe (bzw.
Neumann-Reihe).
Anmerkung Ende.
(c)
Sei g ∈ G fest. Wir wollen zeigen, dass die Abbildung
λg : G −→ G
x 7−→ gx
ein C ∞ -Diffeomorphismus ist. Hierzu definieren wir
φg : G −→ G × G
x 7−→ (g, x).
Diese Abbildung ist glatt, weil sie in ein Produkt geht und jede Komponente für sich
glatt ist.
Jetzt können wir λg als Verkettung λg = µG ◦ φg von glatten Funktionen schreiben. Also
ist λg glatt.
Da dies für beliebiges g ∈ G gilt, ist insbesondere auch λg−1 : G −→ G glatt. Aber λg−1
ist offensichtlich die Umkehrfunktion zu λg . Also ist λg bijektiv, glatt und hat eine glatte
Umkehrfunktion. Also Diffeo.
Hausübung
Aufgabe H13 (Der Raum von Linksnebenklassen)
Nachdem wir uns in den Aufgaben (H4), (H7) und (H8) ausgiebig mit dem Quotientenraum Rn /Zn (dem n-dimensionalen Torus) beschäftigt haben, wollen wir dies in einem
allgemeineren Kontext untersuchen:
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7. Übung
Differentialgeometrie
Sei (G, ·) eine Lie-Gruppe (wie definiert in Aufgabe (G14) und sei H ⊆ G eine abgeschlossene Untergruppe, die gleichzeitig eine C ∞ -Untermannigfaltigkeit von G ist. Wir
betrachten nun die folgende Menge
G/H := {gH : g ∈ G}
mit der kanonischen Abbildung
q : G −→ G/H : g 7→ gH.
und der dazugehörigen Äquivalenzrelation:
R := {(x, y) ∈ G × G : q(x) = q(y)}
(c) Zeigen Sie die folgende Gleichheit von Mengen:
[
R = (x, y) ∈ G × G : y −1 x ∈ H =
g∈G
{g} × gH.
(d) Zeigen Sie, dass R eine abgeschlossene Teilmenge von G × G ist.
(e) Zeigen Sie, dass die folgende Abbildung ein Homöomorphismus ist:
θ : G × H −→ R : (g, x) 7→ (g, gx)
(f) Zeigen Sie, dass – wenn man θ als Abbildung mit Werten in der Mannigfaltigkeit
G × G auffasst – eine glatte Immersion ist.
(g) Folgern Sie, dass R eine Untermannigfaltigkeit von G×G ist, die über die Abbildung
θ diffeomorph zu G × H ist.
(h) Zeigen Sie mithilfe eines Satzes aus der Vorlesung, dass G/H eine eindeutige C ∞ Mannigfaltigkeitsstruktur besitzt, sodass q : G −→ G/H eine Submersion wird.
(Hier hilft auch (G13c))
Lösung: (c)
Die folgende Kette von Äquivalenzumformungen sollte alle Mengengleichheiten zeigen:
(x, y) ∈ R ⇐⇒ q(x) = q(y)
⇐⇒ xH = yH
⇐⇒ y −1 xH = H
⇐⇒ y −1 x ∈ H
⇐⇒ (∃h ∈ H)y −1 x = h
⇐⇒ (∃h ∈ H)x = yh
⇐⇒ (∃h ∈ H)y = xh−1
⇐⇒ y ∈ xH
⇐⇒ (x, y) ∈
[
g∈G
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{g} × gH.
7. Übung
Differentialgeometrie
(d)
Die Abbildung
φ : G × G −→ G
(x, y) 7−→ y −1 x
ist glatt (als Verkettung von glatten Gruppenoperationen) und somit insbesondere stetig.
Urbilder von abgeschlossenen Mengen unter stetigen Funktionen sind abgeschlossen. H
ist nach Voraussetzung abgeschlossen in G. Also ist auch
φ−1 (H) = (x, y) ∈ G × G : y −1 x ∈ H
abgeschlossen in G × G. Diese abgeschlossene Menge ist aber nach Aufgabenteil (c)
gerade die Relation R. Fertig.
(e)
Die Abbildung
θ : G × H −→ R
(g, x) 7−→ (g, gx)
ist sinnvoll definiert, weil nach Aufgabenteil (c) jedes Paar (g, gx) wirklich in R liegt.
Die Abbildung ist stetig, weil sie einfach eine Einschränkung der Abbildung
G × G −→ G × G
(g, x) 7−→ (g, gx)
ist, die stetig ist, weil sie in jeder Komponente stetig ist.
Betrachten wir nun die Abbildung:
ψ : R −→ G × H
(g, y) 7−→ (g, g−1 y).
Auch sie ist sinnvoll definiert nach Aufgabenteil (c) und stetig, weil man sie als Einschränkung einer stetigen Funktion G × G → G × G auffassen kann.
Wie man leicht sieht, sind θ und ψ invers zueinander. Also sind beide Homöomorphismen.
(f)
Die Abbildung
θe : G × H −→ G × G
(g, x) 7−→ (g, gx)
ist glatt, weil sie in jeder Komponente glatt ist. Wenn wir sie mit der glatten Funktion
ψe : G × G −→ G × G
(g, y) 7−→ (g, g−1 y)
verketten, erhalten wir die Abbildung
ψe ◦ θe : G × H −→ G × G
(g, x) 7−→ (g, x),
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7. Übung
Differentialgeometrie
also einfach nur die kanonische Einbettung der Untermannigfaltigkeit G × H in die
große Mannigfaltigkeit G× G. Diese ist also insbesondere eine Immersion. Wenn man die
Verkettung von zwei Abbildungen eine Immersion ist, dann muss die zuerst angewendete
Abbildung auch eine Immersion sein. Also ist θe eine Immersion.
(g)
Aus der Vorlesung ist bekannt, dass das Bild einer Immersion, die gleichzeitig eine topologische Einbettung ist, eine Untermannigfaltigkeit ist. Die Abbildung
θe : G × H −→ G × G
(g, x) 7−→ (g, gx)
ist eine glatte Immersion nach Aufgabenteil (f) und sie ist eine topologische Einbettung,
weil
θ : G × H −→ R
nach Aufgabenteil (e) ein Homöomorphismus ist. Also ist R eine glatte Untermannigfaltigkeit von G × G.
Die Abbildung θ : G × H −→ R ist nun eine Abbildung zwischen Mannigfaltigkeiten
und ist glatt, weil sie als Abbildung nach G × G glatt ist. Ihre Umkehrabbildung ist aus
analogen Gründen glatt und somit ist θ ein Diffeo.
(h)
In der Vorlesung wurde gezeigt, dass der Quotientenraum G/H genau dann eine C ∞ Mannigfaltigkeitsstruktur trägt, die q : G −→ G/H zu einer glatten Submersion macht,
wenn pr2 : R −→ G eine Submersion ist. Nach (G13c) ist dies genau dann der Fall, wenn
pr1 : R −→ G eine Submersion ist.
Die Projektion auf die erste Komponente pr1 : R −→ G lässt sich aber schreiben als
pr1 = p ◦ ψ,
wobei
ψ = θ −1 : R −→ G × H
(g, y) 7−→ (g, g−1 y)
ein Diffeomorphismus ist und
p : G × H −→ G
(g, x) 7−→ g
die kanonische Projektion eines Produktes von zwei Mannigfaltigkeiten, die deshalb eine
Submersion ist.
Also ist auch pr1 als Verkettung einer Submersion und eines Diffeos eine Submersion.
Also können wir den Satz über Quotientenmannigfaltigkeiten anwenden und erhalten
das gewünschte Ergebnis.
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7. Übung
Differentialgeometrie
Aufgabe H14 (Quotientenmannigfaltigkeiten – Gegenbeispiel)
Gegeben sind die folgenden offenen Teilmengen der reellen Zahlen:
I :=] − 1, 1[;
J :=]3, 5[
und
M := I ∪ J.
Ziel dieser Aufgabe ist es, zu zeigen, dass ein Quotient von M keine kanonische Mannigfaltigkeitsstruktur tragen muss, selbst wenn die Äquivalenzrelation eine abg. Untermannigfaltigkeit ist. Wir betrachten die folgende surjektive Abbildung:
q:M
−→]0,
2[3
t +1
t 7−→
t−3
falls t ∈ I
falls t ∈ J
und definieren auf der Mannigfaltigkeit M die dazugehörige Äquivalenzrelation:
R := {(x, y) ∈ M × M : q(x) = q(y)}
Zeigen Sie, dass R aufgefasst als Teilmenge von M ×M eine abgeschlossene glatte Untermannigfaltigkeit ist, aber dass es keine glatte Mannigfaltigkeitsstruktur auf der Menge
]0, 2[ gibt, sodass die Abbildung q : M −→]0, 2[ eine glatte Submersion ist.
Hinweis: Zeigen Sie: Es gibt genau eine glatte Mannigfaltigkeitsstruktur auf ]0, 2[, sodass
q|I eine glatte Submersion wird und genau eine Struktur, sodass q|J eine Submersionen
wird, aber die beiden Strukturen sind nicht kompatibel.
Lösung: Zuerst einmal überzeugt man sich leicht davon, dass q : M −→]0, 2[ wirklich
Werte in ]0, 2[ annimmt und surjektiv ist. Bezüglich der gewöhnlichen Topologie auf ]0, 2[
ist die Abbildung q sogar stetig.
Also ist auch die Hilfs-Abbildung
Φ : M × M −→ R
(x, y) 7−→ q(x) − q(y)
stetig und die Menge R lässt sich schreiben als Φ−1 ({0}) und ist abgeschlossen in M ×M
als Urbild der abgeschlossenen Menge {0} ⊆ R unter der stetigen Abbildung Φ.
Nun möchten wir zeigen, dass R eine glatte Untermannigfaltigkeit von M ×M ist. Hierzu
zerlegen wir M × M in vier disjunkte offene Mengen:
M × M = I × I ∪ I × J ∪ J × I ∪ J × J.
Da diese Mengen alle offen in M × M sind und ganz M × M überdecken, reicht es aus, zu
zeigen, dass R geschnitten mit je einem dieser offenen Mengen eine Untermannigfaltigkeit
ist.
Betrachten wir diese vier Mengen nun der Reihe nach: Beginnen wir mit I × I:
R ∩ (I × I) = {(x, y) ∈ I × I : q(x) = q(y)}
= (x, y) ∈ I × I : x3 + 1 = y 3 + 1
= {(x, y) ∈ I × I : x = y} .
= Graph(idI ).
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7. Übung
Differentialgeometrie
Also ist R ∩ (I × I) gerade der Graph der Idenität auf I, also eine Untermannigfaltigkeit
von I × I.
Kommen wir nun zu J × J:
R ∩ (J × J) = {(x, y) ∈ J × I : q(x) = q(y)}
= {(x, y) ∈ J × I : x − 3 = y − 3}
= {(x, y) ∈ J × I : x = y} .
= Graph(idJ ).
Also ist R ∩ (J × J) gerade der Graph der Idenität auf J, also eine Untermannigfaltigkeit
von J × J.
Als nächstes untersuchen wir I × J:
R ∩ (I × J) = {(x, y) ∈ I × J : q(x) = q(y)}
= (x, y) ∈ I × J : x3 + 1 = y − 3
= (x, y) ∈ I × J : y = x3 + 4 .
= Graph(x 7→ x3 + 4).
Wieder ist R ∩ (I × J) der Graph einer glatten Funktion, diesmal der der Funktion
I −→ J : x 7→ x3 + 4
und somit eine Untermannigfaltigkeit von J × J.
Nun die letzte verbleibende Menge J × I:
R ∩ (J × I) = {(x, y) ∈ J × I : q(x) = q(y)}
= (x, y) ∈ J × I : x − 3 = y 3 + 1
= (x, y) ∈ J × I : x = y 3 + 4 .
Auch diese Menge können wir als den Graphen einer glatten Funktion auffassen, allerdings hängt diesmal nicht y glatt von x ab, sondern umgekehrt. Was aber nichts daran
ändert, dass dies eine Untermannigfaltigkeit von J × I ist.
Zusammengesetzt sieht man, dass R eine glatte Untermannigfaltigkeit von M × M ist.
Nun soll gezeigt werden, dass es trotzdem nicht möglich ist, den Bildraum von q, also
das Intervall ]0, 2[ so mit einer C ∞ -Mannigfaltigkeitsstruktur zu versehen, dass q : M −→
]0, 2[ eine glatte Submersion wird.
Nehmen wir per Widerspruch an, auf der Menge ]0, 2[ sei eine Topologie und ein maximaler C ∞ -Atlas gegeben, sodass q : M −→]0, 2[ ist eine glatte Submersion ist. Dann folgt
aus Dimensionsgründen, dass ]0, 2[ auch mit dieser neuen Struktur eindimensional sein
muss und somit ist q : M −→]0, 2 nicht nur Submersion, sondern auch Immersion. Also
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7. Übung
Differentialgeometrie
étal. Also ein lokaler Diffeo. Wenn ich nun q auf eine der Mengen I oder J einschränke,
wird q bijektiv. Das heißt:
q|I : I −→]0, 2[ und q|J : J −→]0, 2[
sind bijektive étale Abbildungen, also Diffeomorphismen. Demnach muss auch die Verkettung
(q|I )−1 ◦ q|J : J −→ I
ein glatter Diffeomorphismus sein. Diese Verkettung ist aber gegeben durch:
(q|J )−1 ◦ q|I : I −→ J
x 7−→ x3 + 4
Dies ist aber kein Diffeomorphismus (weil an der Stelle 0 die Ableitung 0 hat). Widerspruch.
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