2 Mengen und Abbildungen

2 Mengen und Abbildungen
2.1 Mengen
Menge verstehen wir eine Zusammenfassung von Objekten zu einem
Die Objekte heiÿen Elemente. Ist M eine Menge und x ein Element
Unter einer
Ganzen.
von
M
so schreiben wir
x ∈ M.
Wir sagen auch: x gehöre zu
M
M
oder x liegt in
M .
Ist
x
kein Element von
so schreiben wir
x∈
/ M.
Eine Menge kann durch Aufzählung ihrer Elemente, z.B. durch
M = {a, b, c, d}
oder durch Angabe einer Eigenschaft (, Aussageform) beschrieben werden
M = {x | x hat Eigenschaft E}.
Beispiel 2.1
Zunächst benutzen wir Zahlenmengen als Beispiele. Im folgenden
spendieren wir diesen die üblichen Bezeichnungen.
(1) Die Menge der
natürlichen Zahlen
N := {1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .}.
N
enthält mit jeder Zahl
n
auch die Zahl
n + 1.
(2) Die Menge der natürlichen Zahlen einschlieÿlich
0:
N0 := {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .}.
(3) Die Menge der
ganzen Zahlen
Z := {. . . , −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .}.
Z
enthält
0
und mit jeder natürlichen Zahl
(4) Die Menge der
n
auch
−n.
Primzahlen
P := {p ∈ N | p = p1 p2
für
p 1 , p2 ∈ N
11
mit
p1 ≤ p2
impliziert
p1 = 1 < p2 },
2 Mengen und Abbildungen
Mengen haben aber nicht unbedingt etwas mit Zahlen zu tun. In kürze werden
wir auch mit Mengen aus Mengen, Mengen aus Abbildungen usw. arbeiten.
Zwei Mengen
M
und
N
sind
gleich, d.h. M = N , wenn sie dieselben Elemente
haben. D.h.
M = N bedeutet (x ∈ M ⇔ x ∈ N ).
Eine Menge
M
Teilmenge von N , d.h. M ⊂ N , falls jedes Element von M
heiÿt
N gehört. Hier sei betont, dass die Bezeichnung M ⊂ N auch erlaubt, dass
M = N ist1 . Will man ausdrücken, dass M eine echte Teilmenge von N ist, d.h.
M ⊂ N und M 6= N gilt schreibt man M $ N .
Um zu zeigen, dass eine Menge M Teilmenge einer anderen Menge M ist,
muÿ man zeigen, dass für jedes Element x ∈ M auch x ∈ N gilt. Um zu zeigen,
dass zwei Mengen M und N gleich sind, beweist man zunächst M ⊂ N und
dann N ⊂ M .
zu
Die Menge
∅ := {x ∈ M | x 6= x}
heiÿt
leere Menge.
leere Menge
Die
Sie ist eindeutig bestimmt und hängt nicht von
∅⊂M
ist Teilmenge jeder Menge;
Potenzmenge 2M
von
M
∅
M
ab. Die
enthält selbst kein Element.
ist die Menge aller Teilmengen von
M:
2M = {N | N ⊂ M }.
Beispiel 2.2
2{0,1} = {∅, {0}, {1}, {0, 1}} ,
2∅ = {∅},
Operationen mit Mengen
Im folgenden stellen wir einige wichtige
∅
22 = {∅, {∅}}.
Operationen mit Mengen vor:
Die Vereinigung
Die Vereinigung
M ∪ N := {x | x ∈ M ∨ x ∈ N }
zweier Mengen
denen von
M, N
besteht sowohl aus den Elementen von
M
als auch aus
N.
Beispiel 2.3
Z = N0 ∪ {−n | n ∈ N}.
1 das ist leider nicht einheiltlich in der Literatur. In manchen Büchern und Vorlesungen
werden die Symbole
⊆
(statt
⊂)
bzw.
⊂
(statt und
12
$)
benutzt.
2 Mengen und Abbildungen
Sei allgemeiner
S
eine Menge, deren Elemente selbst Mengen sind. Die
gung der Mengen aus S
Vereini-
ist die Menge
[
M := {x | ∃ M ∈ S mit x ∈ M }.
M ∈S
S
M ∈S M ist also die Menge der Elemente, die mindestens einem M ∈ S angehören. Oft wird das Mengensystem
, d.h., jedem Element von S wird ein
indiziert
eindeutiger Index
i
aus einer Indexmenge
I
zugeordnet, d.h.,
S = {si | i ∈ I}.
Wir schreiben
[
Mi := {x | ∃i ∈ I mit x ∈ Mi } .
i∈I
Beispiel 2.4
Sei
I=N
und
Mi := {i, i + 1, . . . , 2i}
[
für
i ∈ N.
Dann ist
Mi = N
i∈I
Beweis: Da jede der Mengen Mi
S
i∈I Mi ⊂ N. Wir
müssen also noch zeigen, dass auch N ⊂
i∈I Mi gilt.
S Sei also n ein beliebiges
Element aus N, dann ist n ∈ Mn . Folglich ist n ∈
i∈I Mi . Da n beliebig war,
S
gilt
N⊂
i∈I
Teilmenge von
N
ist, gilt
S
Mi .
Der Durchschnitt
Der Durchschnitt zweier Mengen
M
und
N
M ∩ N := {x | x ∈ M ∧ x ∈ N }
ist die Menge aller Elemente, die sowohl zu
M
als auch zu
N
gehören. Allge-
meiner ist
\
M := {x | ∀ M ∈ S gilt x ∈ M }
M ∈S
der Durchschnitt einer
nichtleeren
Elementen, die zu allen
M ∈S
\
Menge
S
von Mengen. Er besteht aus den
gehören. Oder mit Indexschreibweise
Mi := {x | ∀i ∈ I ist x ∈ Mi }.
i∈I
Beispiel 2.5
Sei
I
die Indexmenge
I =N
und
Mi := {n ∈ N | i < n < 4i}.
Dann ist
\
Mi = ∅.
i∈I
Beweisen Sie diese Gleichheit, ähnlich wie in Beispiel 2.4.
13
2 Mengen und Abbildungen
Das Komplement
Das Komplement einer Menge
N
in
M
(oder die Dierenz von
M
und
N)
ist
die Menge
M \N := {x | x ∈ M ∧ x ∈
/ N }.
M \N besteht aus allen Elementen von M , die nicht zu N
ist Z\N = {0, −1, −2, . . . }.
gehören. Zum Beispiel
Wir halten nun folgende wichtige Zusammenhänge fest.
(a)
M \M = ∅, M \∅ = M .
(b)
M ∩ M = M, M ∪ M = M .
(c) Kommutativität:
M ∪ N = N ∪ M,
M ∩ N = N ∩ M.
(d) Assoziativität:
(M ∪ N ) ∪ L = M ∪ (N ∪ L),
(M ∩ N ) ∩ L = M ∩ (N ∩ L).
(e) Distributivität:
(M ∩ N ) ∪ L = (M ∪ L) ∩ (M ∪ L),
(M ∪ N ) ∩ L = (M ∩ L) ∪ (M ∩ L).
(f ) Für die Teilmengen
M, N
einer Menge
X
gilt:
(1)
X\(X\M ) = M.
(2)
X\(M ∩ N ) = (X\M ) ∪ (X\N )
X\(M ∪ N ) = (X\M ) ∩ (X\N )
de Morgansche Regel.
(3) Allgemeiner gilt sogar
S
T
X\ SM ∈S M = TM ∈S (X\M )
X\ M ∈S M = M ∈S (X\M )
de Morgansche Regel.
Wie beweist man solche Regeln? Wir führen dies am Beispiel der zweiten De
Morganschen Regel einmal vor:
Beweis von X\(M ∪ N ) = (X\M ) ∩ (X\N )
X\(M ∪N ) ⊂ (X\M )∩(X\N ). Sei also x ∈ X\(M ∪N ).
x∈
/ M ∪ N . Demnach ist x weder Element von N noch
(i) Zunächst zeigen wir
Dann ist
x∈X
aber
14
2 Mengen und Abbildungen
Element von
M.
Also ist
x
sowohl in
X\M
wie auch in
X\N
und damit auch
im Schnitt dieser beiden.
X\(M ∪ N ) ⊃ (X\M ) ∩ (X\N ).
X\M wie auch in X\N . damit
X\(M ∪ N ).
(ii) Nun zeigen wir
Ist
x
ist
dann ist
N
sowohl in
und damit in
x ∈ (X\M ) ∩ (X\N ),
x weder in M noch in
Kartesisches Produkt
geordnete Paar
Das
(Tupel) zweier Objekte
x, y
ist das Objekt
(x, y)
mit
der Eigenschaft
(x, y) = (x′ , y ′ ) ⇔ x = x′ und y = y ′ .
Insbesondere ist
(x, y) 6= (y, x)
falls
x 6= y .
Formal kann man
(x, y)
als Menge
denieren vermöge
(x, y) := {{x}, {x, y}}.
Man zeigt dann leicht (Übungsaufgabe), daÿ die obige Eigenschaft erfüllt ist.
Das
kartesische Produkt zweier Mengen M, N
ist die Menge
M × N := {(x, y) | x ∈ M und y ∈ N }.
Beispiel 2.6
b ∈ N.
Also
Die Menge N × N besteht aus den
N × N = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), . . . }.
Analog bildet man das
n-fache
Paaren
(a, b)
mit
a∈N
und
Produkt
M1 × · · · × Mn := {(x1 , . . . , xn ) | x1 ∈ M1 ∧ · · · ∧ xn ∈ Mn }.
Dabei werden die
n-Tupel (x1 , . . . , xn )
rekursiv durch
(x1 , . . . , xn ) := ((x1 , . . . , xn−1 ), xn )
deniert mit der Eigenschaft
(x1 , . . . , xn ) = (y1 , . . . , yn ) ⇔ x1 = y1 , . . . , xn = yn .
Eigenschaften des Produkts
(a)
(M1 ∩ M2 ) × N = (M1 × N ) ∩ (M2 × N ).
(b)
(M1 ∪ M2 ) × N = (M1 × N ) ∪ (M2 × N ).
Versuchen Sie mal einer dieser beiden Eigenschaften zu beweisen. Zeigen Sie
(M1 ∩ M2 ) × N auch in (M1 × N ) ∩ (M2 × N ) liegt,
(M1 × N ) ∩ (M2 × N ) auch in (M1 ∩ M2 ) × N liegt.
dazu, dass jedes Element aus
und das jedes Element aus
15
2 Mengen und Abbildungen
Quotienten
Sei
M
Relation
eine Menge. Eine
auf
M
ist eine Teilmenge
R ⊂ M × M.
Wir
schreiben:
x ∼R y :⇔ (x, y) ∈ R.
Eine Relation auf
M
heiÿt
(a)
x ∼R x
(b)
x ∼R y ⇔ y ∼R x
(c)
x ∼R y
(Reexivität)
und
x ∼R y
Wir lesen
Beispiel 2.7
sind also
und
b
a
Äquivalenzrelation, wenn stets gilt:
(Symmetrie)
y ∼R z ⇒ x ∼R z
als x ist äquivalent zu
Betrachte
und
b
(Transitivität)
M =N
y
bezüglich
R.
R = {(a, b) ∈ N × N | a + b gerade}. Dann
a und b gerade sind oder wenn a
und
äquivalent genau dann wenn
ungerade sind.
Beispiel 2.8
Betrachte
M =N×N
und die Relation
R := {((a, b), (c, d)) | a + d = c + b} .
Dann sind zum Beispiel die Paare
(1, 2)
und
Jede Äquivalenzrelation auf einer Menge
gung von
M
x
klasse von
(3, 4)
M
äquivalent.
deniert eine zugehörige Zerle-
x∈M
die Äquivalenz-
y ∼R x.
Sei umgekehrt
in disjunkte Teilmengen. Dazu ist für jedes
bezüglich
R
deniert als Teilmenge
Kl(x) := {y ∈ M | x ∼R y}.
Satz 2.9 Für jede Äquivalenzrelation R ⊂ M × M gilt:
(a) x ∈ Kl(x)
(b) x ∼R y ⇔ Kl(x) = Kl(y)
(c) Kl(x) 6= Kl(y) ⇔ Kl(x) ∩ Kl(y) = ∅.
Beweis: (a) ist klar, wegen x ∼R x.
Ist Kl(x) = Kl(y), so gilt y ∈ Kl(y) = Kl(x),
y ∼R x und z ∈ Kl(y), so also
z ∼R y
Daher
z ∈ Kl(x).
Da
z
und
also
y ∼R x ⇒ z ∼R x.
beliebig war folgt
Kl(y) ⊂ Kl(x).
16
2 Mengen und Abbildungen
Die Symmetrie besagt
y ∼R x ⇔ x ∼R y .
Also gilt ebenfalls
Kl(x) ⊂ Kl(y).
Das beweist (b).
Für
z ∈ Kl(x) ∩ Kl(y) 6= ∅
ist
z ∼R x
und
z ∼R y
also
x ∼R y ⇒ Kl(x) = Kl(y).
Ist
Kl(x) = Kl(y),
so gilt
Kl(x) ∩ Kl(y) = Kl(x) 6= ∅,
da
x ∈ Kl(x).
Mit Hilfe einer Äquivalenzrelation kann man nun neue Mengen konstruieren.
Denition 2.10
R eine Äquivalenzrelation auf der Menge M . Der Quotient
M/R von M bezüglich R ist deniert als die Menge der Äquivalenzklassen von
R:
M/R := {Kl(x) | x ∈ M }.
Sei
Beispiel 2.11
Sei wieder
Beispiel 2.12
Gegeben sei
M = N und R = {(a, b) ∈ N × N | a + b gerade}.
Dann besteht die Menge M/R aus zwei Elementen, nämlich zum einem aus der
Menge der ungeraden Zahlen Kl(1) und der Menge der geraden Zahlen Kl(2).
M =N×N
und die Relation
R := {((a, b), (c, d)) | a + d = c + b} .
Die Element des Quotienten
M/R
sind die Klassen
. . . , Kl(1, 3), Kl(1, 2), Kl(1, 1), Kl(2, 1), Kl(3, 1), . . .
Wir werden die Konstruktion aus Beispiel 2.12 in Kapitel 4 wiedersehen, wenn
wir die ganzen Zahlen aus den natürlichen Zahlen konstruieren.
2.2 Abbildungen
Eine
Abbildung f
einer Menge
M
in eine Menge
N
ist eine Vorschrift, die jedem
x ∈ M jeweils ein eindeutig bestimmtes Element y = f (x) ∈ N zuordy = f (x) heiÿt Wert von f an der Stelle x. M heiÿt Denitionsbereich, N
Wertebereich von f .
Element
net.
der
Schreibweise:
f : M → N, x 7→ f (x)
Beispiel 2.13
Oft werden Abbildungen durch Terme deniert, z.B.:
f : Z → Z, z 7→ z 2 .
17
2 Mengen und Abbildungen
Ein anderes Beispiel ist
g : N → N n 7→ g(n)
und
g(n)
n. Im zweiten Beispiel ist nicht
g wohldeniert ist, d.h. ob jedem Wert aus dem
sei die kleinste Primzahl gröÿer als
unbedingt klar, ob die Abbildung
Denitionsbereich auch ein eindeutiger Wert aus dem Bildbereich zugeordnet
wird. Gibt es zu jedem
ist als
n?
n ∈ N immer eine eindeutige kleinste Primzahl die gröÿer
Die Frage kann man bejahen, wenn man weiÿ, dass es unendlich viele
Primzahlen gibt.
f1 : M1 → N1 , f2 : M2 → N2 heiÿen gleich
(i)M1 = M2 , N1 = N2 und (ii) f1 (x) = f2 (x) für alle x ∈ M1 = M2 .
erfüllt schreiben wir f1 = f2 .
Zwei Abbildungen
Beispiel 2.14
wenn gilt
Ist beides
f : Z → Z, z 7→ z 2 , g : N →
Z, z 7→ z und h : N → Z, h(z) :=gröÿte natürliche Zahle kleiner als z 2 +
1. Obwohl f (z) = g(z) für alle z ∈ Z gilt, ist f 6= g . Andererseits sind die
Abbildungen g und h gleich.
Betrachten Sie die Abbildungen
2
Wir führen nun eine Reihe wichtiger Bezeichnungen ein:
Denition 2.15
a) Der
Graph einer Abbildung f : M → N
ist die Teilmen-
ge
Γf := {(x, f (x)) | x ∈ M } ⊂ M × N.
b) Das
Bild einer Teilmenge A ⊂ M
unter
f :M →N
ist die Teilmenge
f (A) := {f (x) | x ∈ A}.
f (M )
c) Das
heiÿt Bildmenge von
M.
Urbild einer Teilmenge B ⊂ N
ist die Teilmenge
f −1 (B) := {x ∈ M | f (x) ∈ B}.
d) Die
Faser eines Elementes y ∈ N
unter
f
ist das Urbild
f −1 ({y}) := {x ∈ M | f (x) = y}.
Oft schreibt man auch
e) Sei
A
f −1 (y)
eine Teilmenge von
M.
statt
f −1 ({y}).
Dann nennt man
f |A : A → N, x 7→ f (x)
die
Einschränkung von f
auf
A.
18
2 Mengen und Abbildungen
Beispiel 2.16
Es sei
f : N → N, n 7→
1
n2
falls
falls
n ≥ 4,
n < 4.
P ⊂ N die Menge der Primzahlen. Das Bild von P unter f ist f (P) =
f (1) = 1, f (2) = 4, f (3) = 9 und f (n) = 1 für alle n ≥ 4. Das
−1
Urbild von P ⊂ N unter f ist f
(P) = ∅, denn f (n) ist für kein n ∈ N eine
−1
Primzahl. Die Faser des Elementes 4 ist f
({4}) = {2}.
Weiter sei
{1, 4, 9},
denn
Denition 2.17
(a)
Eine Abbildung
f :M →N
injektiv, wenn für alle x1 , x2 ∈ M
heiÿt
gilt
f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2 .
Eine äquivalente Denition ist, dass die Faser
höchstens ein Element hat.
(b)
f −1 ({y})
für jedes
y ∈N
surjektiv, wenn f (M ) = N . Eine äquivalente Denition ist, dass die Faser
für jedes y ∈ N mindestens ein Element hat.
f −1 ({y})
(c)
bijektiv, wenn f
injektiv und surjektiv ist. Eine äquivalente Denition ist,
−1
daÿ die Faser f
({y}) für jedes y ∈ N
ein Element hat.
Beispiel 2.18
genau
f : Z → Z, z 7→ z 2 und g : N →
N, g(z) = z . f ist weder injektiv (denn f (−1) = f (1)) noch surjektiv (denn
für alle z ∈ Z ist f (z) 6= −1). Die Abbildung g ist injektiv, denn f (z1 ) = f (z2 )
impliziert z1 = z2 . g ist aber nicht surjektiv, denn das Bild von f (N) ist echt
kleiner als der Wertebereich N. Für alle z ∈ N gilt z.B. f (z) 6= 3.
Betrachten Sie die Abbildungen
2
Es gelten die folgenden Regeln für Bild- und Urbildmengen.
Satz 2.19 Für jede Abbildung f : M → N und Teilmengen A, A1 , A2 ⊂ M ,
B1 , B2 ⊂ N gilt:
(a)
(b)
f −1 (B1 ∪ B2 ) = f −1 (B1 ) ∪ f −1 (B2 )
f −1 (B1 ∩ B2 ) = f −1 (B1 ) ∩ f −1 (B2 )
(c)
f (A1 ∪ A2 ) = f (A1 ) ∪ f (A2 )
(d)
f (A1 ∩ A2 ) ⊂ f (A1 ) ∩ f (A2 )
19
2 Mengen und Abbildungen
(e)
A ⊂ f −1 (f (A))
Beweis: Wir zeigen hier nur eine der Aussagen. Dafür sehr ausführlich. Der
Rest ist Übung für Sie.
−1
Sei zunächst x ∈ f
(B1 ∪ B2 ), d.h. f (x) ∈ B1 ∪ B2 . Ist f (x) ∈ B1 so ist
−1
x ∈ f (B1 ). Ist f (x) ∈ B2 so ist x ∈ f −1 (B2 ). In beiden Fällen gilt x ∈
f −1 (B1 ) ∪ f −1 (B2 ) und damit f −1 (B1 ∪ B2 ) ⊂ f −1 (B1 ) ∪ f −1 (B2 ). Wir müssen
−1
also noch f
(B1 ∪ B2 ) ⊃ f −1 (B1 ) ∪ f −1 (B2 ) zeigen. Ist x ∈ f −1 (B1 ) ∪ f −1 (B2 )
f (x) entweder
(B1 ∪ B2 ).
dann ist
−1
x∈f
in
B1
oder in
B2 .
Es gilt also
f (x) ∈ B1 ∪ B2
und damit
Bemerkung: liest man die Aussagen (d) und (e), dann fragt man sich sofort,
ob denn nicht auch Gleichheit anstelle der Inklusion gilt. Überlegen Sie sich
Beispiele welche belegen, dass die Gleichheiten nicht gelten.
Denition 2.20
M →N
und
Die
Zusammensetzung oder Komposition der Abbildungen f :
g:N →P
ist die Abbildung
g ◦ f : M → P,
x 7→ g(f (x)).
g nach f .) Falls Denitionsbereich und Wetrebereich gleich sind (also
f : M → M ) schreiben wir auch f 2 statt f ◦ f . Die Abbildung idM : M → M ,
x 7→ x ist die identische Abbildung (auf der Menge M ).
(Lies:
Regel 2.21 Kompositionen gehorchen den evidenten Gesetzen:
(a) Für je drei Abbildungen f : M → N, g : N → P, h : P → Q gilt
Assoziativität.
h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f
(b) Für jede Abbildung f : M → N gilt:
idN ◦ f = f = f ◦ idM
Einheitsgesetz
Satz 2.22 Eine Abbildung f : M → N ist genau dann
bijektiv, wenn es eine
Abbildung g : N → M gibt mit g ◦ f = idM und f ◦ g = idN . Ein solches g ist
eindeutig bestimmt durch f .
g heiÿt auch Umkehrabbildung von f und man setzt g = f −1 .
Beweis: Ist f
x ∈ M mit f (x) =
y . Man setzt dann g(y) := x und erhält eine Abbildung g : N → M ; mit
den bekannten Eigenschaften. Zur Umkehrung sei g : N → M Abbildung mit
g ◦ f = idN , f ◦ g = idN . Aus f ◦ g = idN folgt f (g(N )) = idN (N ) = N .
Also N = f (g(N )) ⊂ f (M ) ⊂ N und daher f (M ) = N . Also ist f surjektiv.
Aus g ◦ f = idN folgt analog die Injektivität von f . Denn sei f (x) = f (y) für
x, y ∈ M . Dann ist
x = g(f (x)) = g(f (y)) = y,
bijektiv, so gibt es für jedes
y∈N
genau ein
was zu zeigen war.
20
2 Mengen und Abbildungen
f : M → N, g : N → P bijektive Abbildungen, so ist auch das Kompositum
g ◦ f : M → P bijektiv und für die entsprechenden Umkehrabbildungen gilt:
Sind
(g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g −1 .
Man überzeuge sich davon, dass die vertauschte Reihenfolge richtig ist.
21