Topologische Betrachtungen zu quantisierten

Topologische Betrachtungen zu
quantisierten Eichtheorien
auf dem Torus
Diplomarbeit
von
Harald Griehammer
Institut fur Theoretische Physik III
Friedrich-Alexander-Universitat
Erlangen-Nurnberg
16. Juni 1993
Topologische Betrachtungen zu
quantisierten Eichtheorien
auf dem Torus
Diplomarbeit
von
Harald Griehammer
Institut fur Theoretische Physik III
Friedrich-Alexander-Universitat
Erlangen-Nurnberg
16. Juni 1993
I read a news today, oh boy;
ve thousand holes in Blackpool,
Lancashire;
and though the holes were rather small;
they had to count them all.
Now they know how many holes it takes
to ll the Albert Hall.
The Beatles: A Day in the Life.
Sgt. Pepper's Lonely Hearts Club Band.
Lyrics by John Lennon.
Abstract
This work is mainly dedicated to show the usefulness and beauty of topological
investigations of second-quantised nonabelian Gauge Theories in the Hamiltonian Formulation.
Considering the dependence of local physics on the Boundary Conditions of Spacetime starting from canonical quantisation, it is shown that vacuum excitations are
insensitive to Boundary Conditions only as long as the timescale of the temporal developement is smaller than typical dimensions of the spacetime. The Schwinger- and
Feynman- propagators for massive complex spatially quasi-periodic scalar elds on
a circle as spatial manifold are calculated. The sensitivity of the Vacuum State on
the Boundary Conditions is also demonstrated by calculating the generalized Casimir
Eect in this theory.
The second part is concerned with Gauge Fields on compact spatial manifolds. The
connection between the mathematical and the physical description of Gauge Theories
is presented (more) carefully (than usual) introducing Charts and Fibre Bundles on
the one hand, and the Canonical Quantisation procedure on the other. The proper
Gau Law as generator of innitesimal time-independent Gauge Transformations is
derived using the Correspondence Principle. Analyzing the topology of the Fibre Bundle, Boundary Conditions of U(N) and SU(N) theories with and without fermions on
tori T d; d = 1; 2; 3 are derived: Globally nontrivial Fibre Bundles (i.e. such in which
periodic Boundary Conditions are not the most general choice possible) are found in
U(N) and pure U(N) and SU(N) on T 2 and T 3, constructed, and identied as describing Monopoles. In the end possible physical implications of topologically nontrivial
mappings, i.e. Large Gauge Transformations not covered by Gau Law, are sketched.
Such mappings are shown not to exist in SU(N) including fermions on T 1 and T 2, but
in any other of the considered theories in T d; d = 1; 2; 3. Explicit construction is given
for each case, especially for the mapping T 3 ! SU (N ) so far unknown.
Inhaltsverzeichnis
Einleitung
1 Randbedingungen in einfachen QFT
1.1 Wann spurt das Feld Randbedingungen? : : : : : :
1.1.1 Allgemeine Betrachtungen : : : : : : : : : :
1.1.2 Ein Beispiel: Felder auf dem Kreis : : : : :
1.2 Der verallgemeinerte Casimir-Eekt auf dem Kreis :
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2.1 Die Topologie von Torus und Wurfel : : : : : : : : : : : : : : : :
2.1.1 Dierentialgeometrische Grundlagen : : : : : : : : : : : :
2.1.2 Dierentialgeometrie des Torus : : : : : : : : : : : : : : :
2.1.3 Umlauf und Homotopie : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
2.1.4 Integration auf kompakten Mannigfaltigkeiten : : : : : : :
2.2 Eichtheorien auf Mannigfaltigkeiten : : : : : : : : : : : : : : : : :
2.2.1 Eichtheorien auf Mannigfaltigkeiten I: Der Physiker : : : :
2.2.2 Eichtheorien auf Mannigfaltigkeiten II: Der Mathematiker
2.2.3 \Reine" Eichtheorien : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
2.2.4 Kriterium fur Defekte oder globale Trivialitat : : : : : : :
2.3 Kanonische Quantisierung von Eichtheorien : : : : : : : : : : : :
2.3.1 Quantisierte Eichtheorien im hamiltonschen Formalismus :
2.3.2 Denition physikalischer Zustande : : : : : : : : : : : : : :
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2 Grundlagen von Eichtheorien
3 Randbedingungen in Eichtheorien
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3.1 Herleitung von Randbedingungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
3.1.1 Formalismus : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
3.1.2 Beispiel : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
3.2 QED und U(N)-Eichtheorien auf Tori : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
3.2.1 QED auf dem Kreis : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
3.2.2 QED auf dem Torus T 2 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
3.2.3 QED auf dem Torus T 3 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
3.2.4 U(N)-Theorien auf Tori : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
3.3 SU(N)-Eichtheorien auf Tori : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
3.3.1 Randbedingungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
3.3.2 Beispiel : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
3.4 Reine SU(N)- und U(N)- Eichtheorien auf Tori : : : : : : : : : : : : : :
3.4.1 Existenz topologisch nichttrivialer Kartentransformationen auf T 2
3.4.2 Verallgemeinerung auf T 3 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
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INHALTSVERZEICHNIS
3.5 Bemerkung zum verallgemeinerten Casimir-Eekt : : : : : : : : : : : : 66
3.5.1 Formalismus : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 66
3.5.2 Relevanz des Casimireektes fur verschiedene Eichtheorien : : : 67
4 Groe Eichtransformationen
4.1 Wann existieren groe Eichtransformationen?
4.1.1 Herleitung : : : : : : : : : : : : : : : :
4.1.2 Das gausche Gesetz : : : : : : : : : :
4.1.3 Physik groer Eichtransformationen : :
4.1.4 Windungszahloperatoren : : : : : : : :
4.2 QED auf Tori : : : : : : : : : : : : : : : : : :
4.2.1 U(1) auf S 1 : : : : : : : : : : : : : : :
4.2.2 U(N) auf T d : : : : : : : : : : : : : : :
4.3 U(N)- und SU(N)- Theorien auf Tori : : : : :
4.3.1 SU(N) auf dem Kreis : : : : : : : : : :
4.3.2 SU(N) und U(N) auf dem Torus T 3 : :
4.3.3 Reine U(N)- und SU(N) - Eichtheorien
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Zusammenfassung
A Explizite Konstruktion nichttrivialer Randbedingungen
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93
Literaturverzeichnis
94
A.1 QED auf T 2 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 93
A.2 Reine Eichtheorien auf T 2 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 94
Abbildungsverzeichnis
1.1.1 Lichtkegel und Cauchy-Hyperachen fur R = S 1 R : : : : : : : : : :
1.2.1 Verallgemeinerter Casimir-Eekt auf dem Kreis I : : : : : : : : : : : :
1.2.2 Verallgemeinerter Casimir-Eekt auf dem Kreis II : : : : : : : : : : : :
2.1.1 Zur Denition einer Mannigfaltigkeit : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
2.1.2 Minimaler Atlas des Kreises : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
2.1.3 Konstruktion eines guten Atlas' aus einer schlechten Karte fur das Quadrat
2.1.4 Homotopieklassen des Torus : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
2.2.1 Zur Denition eines Faserbundels : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
2.2.2 Paralleltransport eines Vektors auf triv. und nichttriv. Faserbundel : :
3.1.1 Zur Konstruktion von Randbedingungen : : : : : : : : : : : : : : : : :
3.2.1 Zur Konstruktion der ersten Homotopiegruppe der Abbildungen S 1 !
U (1) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
3.2.2 Karten und Kartentransformationen auf dem Torus T 2 : : : : : : : : :
3.2.3 Monopole am Rande eines Wurfels : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
3.4.1 Zur ersten Homotopiegruppe von SU (2)=Z2 bzw. SO(3) : : : : : : : : :
4.3.1 Kongurationsraum in SU(N)-Theorien auf S 1 : : : : : : : : : : : : : :
4.3.2 Abbildung des Torus auf eine Kugel : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
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Einleitung
Obwohl { oder gerade weil { quantisierte Eichtheorien sich als so zuverlassig im Bereich
der Storungstheorie erwiesen haben [8, passim], [15, passim], [24, passim], ist uber ihre
nichtperturbative Struktur nur sehr wenig bekannt. Von ihr wird jedoch die Losung
zahlreicher wichtiger Probleme (Connement-Mechanismus [8, p. 322],[2, p.211-268],
Auftreten und Berechnung von Kondensaten der Fermionen und Gluonen [15], Losung
des U(1)-Problemes [8, p. 487-493], Baryon- oder Leptonzahl- verletzende Prozesse
[24, p.434], etc.) erwartet. Exakt losbare Modelle oder gar gute Naherungen zu realistischen Theorien existieren aufgrund ihrer hohen Komplexitat nicht: Zu den ublichen
Problemen der Quantenmechanik (nur zu einer verschwindend geringen Zahl partieller
Dierentialgleichungen sind hinlanglich gute Naherungen bekannt) kommt neben dem
feldtheoretischen (uberabzahlbar viele Freiheitsgrade; damit sind viele Satze uber endlichdimensionale Systeme wie der von-Neumannsche uber die Symmetrieeigenschaften
des Grundzustandes nicht mehr gultig) noch das uberussiger Eichfreiheitsgrade hinzu
(cf. Abschnitt 2.3). Jeder Hinweis auf die Struktur dieser Theorien wird dankbar
aufgenommen, besonders wenn { wie in dieser Arbeit gezeigt { fur zwingende und exakte Voraussagen nicht einmal Ideen zur Losung der komplexen Dynamik der Theorie,
sondern nur die topologische Betrachtung der Eichtheorie auf kompakten Mannigfaltigkeiten vonnoten ist.
Ziel dieser Arbeit ist es, beim Studium von Quantenfeldtheorien auf kompakten
Raumen die Lucke zwischen dem eher sorglosen (cf. unten) Denken der Physiker und
den nicht ohne Erlauterungen auf die quantisierte Theorie ubertragbaren klassischen,
oft unverstandlichen Argumenten der Mathematiker moglichst sorgfaltig zu fullen. In
der Literatur wurde bisher immer nur einer dieser beiden Wege beschritten. Daraus resultierten zahlreiche unnotige Ungenauigkeiten und Miverstandnisse (wird im Rahmen
dieser Arbeit zu demonstrieren sein) auf der einen, Ablehnung wegen Unverstandlichkeit auf der anderen Seite. Schwachen und Starken beider Wege sollen herausgearbeitet
werden.
Warum kompakte Raume? Vielfaltig sind die Vorteile, die sich aus der Verwendung raumlich kompakter Mannigfaltigkeiten ergeben:
Da die Losung jeder Dierentialgleichung, die Konstruktion jeder Greensfunktion
eine Spezikation der Randbedingungen verlangt, ist die Frage nach deren Zulassigkeit,
Relevanz und eventueller A quivalenz von groer Bedeutung. So werden normalerweise
in der Kontinuumsformulierung z.B. bei partieller Integration auftretende Oberachenterme durch das Argument wegdiskutiert, da \Felder im Unendlichen genugend schnell
verschwinden" (als Literaturhinweise seien exemplarisch nur [24, p.86] und [16] genannt). Dies wird durch eine asymptotische Hypothese in ihrer schwachsten Form mo4
EINLEITUNG
5
tiviert: Die Physik im Unendlichen (also am \Rande" des euklidischen Raumes) habe
keinen Einu auf die lokale Physik; Damonen, die im Unendlichen (auf dem Rand der
Raumzeit) sitzen, sollen in endlicher Zeit keine der Observablen am Standpunkt des
Beobachters beeinussen konnen.
Das bedeutet einerseits, da der Rand des Kontinuums impenetrabel ist oder nicht
existiert, also der Raum kompakt ist, um Mikrokausalitat (cf. Abschnitt 1.1.1) zu
gewahrleisten. Andererseits wird angenommen, da im Unendlichen jeder Zustandsvektor unabhangig von der gewahlten Richtung gegen das physikalische Vakuum strebt:
limr!1 j phys >=j Vac >. So werden alle Punkte am zur Kugel1 S d?1 aquivalenten
Rande eines d-dimensionalen euklidischen Raumes auf denselben Punkt des physikalischen Hilbertraumes abgebildet. Es erhebt sich die Frage, ob die schwache asymptotische Hypothese und die \stille Kompaktikation" des Raumes zu einer Kugel S d {
beides ad-hoc - Hypothesen { gerechtfertigt oder gar bewiesen werden konnen.
In Eichfeldtheorien folgt aus der asymptotischen Hypothese naiv, da das Vektorpotential im Unendlichen wie O(r?(1+")) ; " > 0 verschwindet (d=3). Tatsachlich
mu das Eichfeld nur zu einer reinen Eichkonguration streben, um das Verschwinden
lokaler Observablen am Rande zu gewahrleisten (cf. Aharanov-Bohm - Eekt, cf. [24,
p. 101-107]). Auch die aus der asymptotischen Hypothese folgende Annahme, da
Teilchen nur in einem lokalisierten Raumbereich miteinander wechselwirken, erweist
sich bereits in der Quantenelektrodynamik (QED, U(1)-Eichtheorie) als problematisch:
Das Coulombfeld einer Punktladung verschwindet nicht genugend schnell im Unendlichen, sondern nur wie 1=r (d=3). Einerseits kann es also zu Wechselwirkungen im
Endzustand einer Streuung kommen, andererseits werden zwei bei +1 und ?1 bendliche Ladungen ein nichtverschwindendes Feld produzieren, das die lokale Physik
beeinussen kann [30]. In nichtabelschen Eichtheorien wie Quantenchromodynamik
(QCD, SU(3)-Eichtheorie) ist im Streuproze aufgrund des Connements, also der Unbeobachtbarkeit \farbiger" Zustande, erst recht keine Separation der Teilchen (Quarks
oder Gluonen) zu erwarten.
Daruber hinaus verspricht die Verwendung kompakter Mannigfaltigkeiten technische Erleichterungen: Sowohl in klassischer als auch in der Quantenfeldtheorie fuhrt
dies zu einer Diskretisierung des Impuls- und Energiespektrums, also zur Reduktion
der Moden auf abzahlbar viele. Besonders die automatische Regularisation der im
Kontinuum auftretenden Infrarotdivergenzen ist dabei hervorzuheben. Die Denition eines Nullmodes (cf. Abschnitt 4.2.1 und 4.3.1) von Feldoperatoren A ist in
endlichen Raumen des Volumens V problemlos, A0 := 1=V M ddx A, wahrend im
Kontinuum die schlecht denierten Nullmoden ( dd x)?1( dd x A) meist als irrelevant
wegdiskutiert werden. Bereits in einem einfachen Modell wie dem von Eichtheorien
in einer Raumdimension erweisen sie sich jedoch als unverzichtbar, das Verschwinden
von Ladungstragern im Unendlichen als problematisch und die Moglichkeit der Implementation einer axialen Eichung A1 = 0 nach Elimination der Eichfelder aus der
Coulomb-Wechselwirkung als falsch: Der Kongurationsraum der naiven Kontinuumsformulierung lat in einer Raumdimension keine dynamischen Eichfelder mehr zu. Eine
sorgfaltige Formulierung im endlichen Intervall zeigt aber, da die axiale Eichung nicht
implementiert werden kann und dynamische Nullmoden nach vollstandiger Eichxierung ubrigbleiben [19](cf. Abschnitt 4.2.1/4.3.1).
R
R
R
In der gesamten Arbeit verstehe ich unter einer Kugel die Kugeloberache, wie dies auch Mathematiker tun.
1
6
EINLEITUNG
Daneben existieren in der Kontinuumsformulierung auch konzeptionelle Probleme,
die auf kompakten Mannigfaltigkeiten vermieden werden konnen: Quantenfeldtheorie ist im Kontinuum als lokale Theorie zu formulieren. Die in den kanonischen Komutatorrelationen (2.1.1) zwischen konjugierten Variablen auftretenden diracsche Distribution ist nur zusammen mit einem Funktionenraum deniert:
dd x f (~x)(d)(~x ? ~y) = f (~y), wenn f eine auf dem unendlich groen euklidschen
Raum quadratintegrable Funktion ist, also insbesondere im Unendlichen \genugend"
schnell verschwindet, was wieder zum Auftauchen einer asymptotischen Hypothese
fur die Eigenwerte von Observablen fuhrt. Als wesentlich einfacher erweist sich auch
hier die Betrachtung der Quantenfeldtheorie auf kompakten Raumen, da dort die
Lokalitatsbedingung aufgrund des endlichen Raumvolumens wegfallt (cf. Abschnitte
1.1.1/2.3.1/3.1.1)2 .
Es sei nicht verschwiegen, da der Bruch der Lorentz-Invarianz, besonders der Rotationssymmetrie, in kompakten, raumlichen Mannigfaltigkeiten neben anderen Problemen der gewichtigste Nachteil gegenuber der Formulierung im Kontinuum darstellt.
Gerade weil uber die Struktur der exakten Losung von Eichtheorien so wenig bekannt ist, erhebt sich die Forderung, von einer auf kompakten Mannigfaltigkeiten wohldenierten Theorie unter Verwendung moglichst weniger Hypothese zu starten und den
Kontinuumslimes mit groer Sorgfalt durchzufuhren, um die physikalisch relevanten
Operatoren korrekt identizieren zu konnen.
R
z
d-mal
}|
{
= S S 1 als kompakte Raume
gewahlt, da sie eine Reihe von Vorteilen gegenuber anderen kompakten Mannigfaltigkeiten besitzen:
Warum Tori?
In dieser Arbeit werden Tori T d
1
(i) T d bricht nicht die Translationsinvarianz
(ii) und lat als einzige Mannigfaltigkeit3 in naturlicher Weise ein kartesisches, uberall regulares Koordinatensystem zu, im Gegensatz z.B. zu Kugeln, deren naturliches Koordinatensystem die Winkel der Kugelkoordinaten sind, die in Nord- und
Sudpol singular werden. Nur in kartesischen Koordinaten aber ist die kanonische
Quantisierung von Feldern wohldeniert.
(iii) Damit hangt zusammen, da der Torus die einzige global ache Mannigfaltigkeit
einer gegebenen Raumdimension ist (cf. [23, p. 32]). Demgegenuber besitzt
z.B. die Kugel stets eine positive Krummung, die durch geeignete Deformation
der Kugel bestenfalls lokal zum Verschwinden gebracht werden kann. Sind wir
am Studium der Theorie in kleinen Volumina als Modell (cf. 3.4.2/4.3.3) interessiert, sollte unserer Raum global moglichst dieselben Eigenschaften wie der ache
euklidsche Raum besitzen, um Einusse der Krummung auszuschalten.
(iv) Tori konnen aufgrund ihrer Verwandtschaft mit dem euklidschen Raum Rd in den
euklidschen Teil des Minkowskiraumes eingebettet werden (\Universelle U berdeckung", [22, p. 117]). Damit ist die Interpretation aller Operatoren und Observablen im endlichen Raum dieselbe wie im unendlichen, und der Zustandsraum
Nichtsdestotrotz ist ein Raum genugend glatter Funktionen auch im endlichen Volumen zu
denieren.
3 T.St
or, priv. commun.
2
EINLEITUNG
7
des Torus ist ein Unterraum des Hilbertraumes seiner universellen U berdeckung
(cf. Abschnitt 1.2).
Die meisten der im Folgenden erforschten globalen Strukturen ndet man in beiden
bis zu dreidimensionalen kompakten Standardraumen S d und T d. Einzige in dieser
Arbeit besprochene Ausnahme ist das Fehlen groer Eichtransformationen in QED
und reinen (i.e. fermionlosen) Eichtheorien auf Kugeln S d, d > 1 (Abschnitt 4.2.2 und
4.3.3).
Zum Aufbau Das erste Kapitel beschaftigt sich mit der Frage, wann und wie Rand-
bedingungen auf die lokale Physik einer Quantenfeldtheorie Einu haben. Der Vakuumzustand erweist sich als sofort sensitiv, Anregungen als eine von der Struktur
des Raumes4 abhangige Zeit insensitiv, wie am Beispiel des verallgemeinerten CasimirEektes und des Feynman-Propagators, bzw. des kovarianten Kommutators eines massiven komplexen Skalarfeldes auf dem Kreis demonstriert wird.
Stark formalisiert ist das zweite Kapitel, dessen erste beiden Abschnitte der Selbstkonsistenz der Arbeit wegen eingefugt wurden: In ihnen werden die Grundlagen fur
die Arbeit mit Eichtheorien auf kompakten Mannigfaltigkeiten gelegt. Zunachst werden Karten und Koordinatensysteme auf Mannigfaltigkeiten, dann auch Faserbundel
mathematisch deniert und fur das Verstandnis der folgenden Kapitel unverzichtbare
Techniken entwickelt, die in der mathematischen Literatur oensichtlich wegen ihrer
Trivialitat keine Erwahnung nden (Integration auf kompakten Mannigfaltigkeiten,
Unterschied zwischen \reinen" und \vollen" Eichtheorien, Verbindung zwischen Liealgebra und Liegruppe). Abschlieend wird die kanonische Quantisierung von Eichtheorien unter sorgfaltiger Betrachtung des gauschen Gesetzes als Generator innitesimaler Eichtransformationen detailiert erlautert und die Verbindung zu den vorausgegangenen Denitionen hergestellt. Der Zusammenhang zwischen dem gauschen
Gesetz und der Theorie der Faserbundel wird dargelegt. Kritischer Vergleich mit der
Standardherleitung des gauschen Gesetzes zeigt deren Schwachen, obwohl man spater
(Abschnitt 4.1.2) dieselbe Form wie die der naiven Kontinuumformulierung erhalt. Es
erweist sich, da nur unter bestimmten Voraussetzungen die Wahl von bestimmten
Randbedingungen auf kompakten Mannigfaltigkeiten physikalisch observable Eekte
zeitigt.
Da Randbedingungen fur Felder auf kompakten Mannigfaltigkeiten nur mittels
dieses Formalismus' hergeleitet werden konnen, erweist sich am Anfang des dritten
Kapitels. In ihm werden die mathematischen und physikalischen Konzepte des vorangegangenen Kapitels zu deren Konstruktion in U(N)- und SU(N)-Eichtheorien mit
und ohne Fermionen verwendet. Exemplarisch ist die Herleitung von Randbedingungen in U(1)-Theorien auf dem Kreis und dem Torus T 2 eingehend erlautert. Letztere
ermoglicht neben der trivialen Wahl periodischer auch davon durch physikalische Operatoren unterscheidbare andere Randbedingungen. Sie treten auch in U(N)- und reinen
U(N)- und SU(N)-Theorien auf und werden konstruiert und { wie allgemein ublich {
als magnetische Monopoldefekte interpretiert. Die bekannten Windungszahloperatoren
werden in U(N)-Theorien physikalisch motiviert. Erstmalig wird ein Windungszahloperator fur reine Eichtheorien konstruiert.
Abschlieend befat sich das vierte Kapitel mit der Erforschung groer Eichtransformationen, also solcher, die nicht durch das gausche Gesetz erzeugt werden. Nachdem
4
Darunter verstehe ich seine globale Struktur, wie sie durch die Randbedingungen vorgegeben ist.
8
EINLEITUNG
in Kapitel zwei das gausche Gesetz als Zwangsbedingung (Annihilation physikalischer
Zustande) implementiert worden war, mu die Anwendung von unitaren Operatoren
groer Eichtransformationen auf physikalische Zustande diese nicht invariant lassen
[6],[17]. Es wird durch bekannte topologische U berlegungen und Konstruktion gezeigt, da solche Eichtransformationen in reinen und Fermionen einschlieenden U(N)und in reinen SU(N)-Eichtheorien auf allen Tori existieren, nicht jedoch in Fermionen einschlieenden SU(N)-Theorien auf dem Torus T 1, auf deren Kongurationsraum
naher eingegangen wird. In U(N)- und SU(N)-Theorien auf T 3 werden Reprasentanten
groer Eichtransformationen erstmals konstruiert.
cf. (confer): vergleiche, i. Ggs. z. direktem Verweis
passim: uberall, weit und breit verstreut
DUDEN
Diese Arbeit verwendet durchwegs das naturliche Einheitensystem h = 1 = c; die
Signatur der (d+1)-dimensionalen Minkowskimetrik ist (+; ??). Falls nicht anders
|
{z
d-mal
}
erwahnt wird uber doppelt auftauchende Indices summiert (einsteinsche Summenkonvention).
Auf eine Eindeutschung allgemein in Englisch gebrauchter Begrie wurde verzichtet,
bei Existenz gebrauchlicher deutscher Namen daneben die englischen Pendants gestellt.
Kapitel 1
Der Einu von Randbedingungen
auf einfache Quantenfeldtheorien
A long nightmare of classical special functions theory allows us to transform this
expression to ...
Boyer, Ann.Phys (NY) 56, 486
In diesem Kapitel soll die Frage geklart werden, ob, wann und wie (einfache) physikalische Systeme auf Randbedingungen reagieren.
Dazu weden nach allgemeinen U berlegungen freie, zweitquantisierte Felder auf der
raumlichen Mannigfaltigkeit eines Kreises studiert: Wir werden die zeitliche Entwicklung von anfangs lokalisierten Anregungen des Grundzustandes bei gegebenem und
den Unterschied der Vakuumenergien bei variierendem Kreisumfang L (verallgemeinerter Casimir-Eekt) untersuchen. Randbedingungen in Eichfeldtheorien werden als
einer der beiden Schwerpunkte dieser Arbeit im zweiten und dritten Kapitel diskutiert
werden.
1.1 Wann spurt das Feld Randbedingungen?
1.1.1 Allgemeine Betrachtungen
Wenden wir uns zunachst der Frage zu, wann Felder die Prasenz von Randbedingungen
merken, wenn sie zum Zeitpunkt t = t0 in einem Raumbereich U lokalisiert sind, in
dem (fur nicht-kompakte raumliche Mannigfaltigkeiten M1) keine Rander liegen oder
der (fur kompakte M) eine oene Umgebung ist. Auerhalb von U verschwindet das
Feld. Es ist also aufgrund des Identitatssatzes fur holomorphe Funktionen [3, p. 138]
nicht analytisch und besitzt wegen der Unscharferelation keinen eindeutigen Impuls.
Die Quantenfeldtheorie bestehe aus N (skalaren, vektoriellen oder spinorischen) Feldern, deren Operatoren im Heisenberg-Bild fur jeden Punkt P der Raumzeit i(P; t)
(i = 1; ::; N ; P 2 M) und deren kanonisch konjugierte Impulse i(P; t) seien. Kanonische Quantisierung [15],[24] fordert dann die folgenden Kommutatorrelationen zu
gleicher Zeit:
(1.1.1)
[i(P; t); j (Q; t)] = 0 = [i(P; t); j (Q; t)] 8i; j ;
1
Mannigfaltigkeiten werden in Abschnitt 2.1.1 dieser Arbeit deniert werden.
9
10
KAPITEL 1. RANDBEDINGUNGEN IN EINFACHEN QFT
[i(P; t); j (Q; t)] = iij ~(P; Q) ;
wobei [ : ] Kommutator fur bosonische oder Antikommutator fur fermionische Felder
bedeutet. Wichtig ist hier die von der Raumstruktur abhangige ~-Funktion: Felder
und konjugierte Impulse vertauschen nur dann nicht, wenn beide am gleichen Punkt
der Mannigfaltigkeit wirken.
Wenn Vergangenheit und Zukunft immer und uberall in der Raumzeit unterscheidbar sind und der Schnitt der kausalen Zukunft eines Punktes mit der kausalen Vergangenheit eines anderen keine Punkte am Rande der Raumzeit enthalt (was bei kompakten M fur jede endliche Zeit naturlich der Fall ist), nennen wir die Raumzeit
mikrokausal. Dann existiert zu jeder Zeit eine globale Cauchy-Hyperache; d.h. die
Zeitentwicklung jedes Zustandes ist eindeutig xiert durch die klassischen oder quantenmechanischen Bewegungsgleichungen und Angabe des Zustandes auf einer globalen
raumartigen Hyperache [14, p. 192-208].2 Im Folgenden betrachten wir ausschlielich
solche Mannigfaltigkeiten.
Insbesondere existieren immer rein raumartige Schnitte durch die Raumzeit. Zeitoder lichtartige Kurven schlieen sich nicht. Kleine grune Mannchen tauchen nicht
am Rande der Raumzeit wie aus dem Nichts auf. Kausalitat ist auch global gewahrleistet. Da es keine ausgezeichnete Raum- oder Zeitrichtung gibt (Relativitatsprinzip), sind alle Cauchy-Hyperachen aquivalent. Wir werden im Folgenden ein global
geodatisches Koordinatensystem (Inertialsystem) in der Raumzeit wahlen. Die raumliche Hyperache M ist also ach; zwei Cauchy-Flachen verschiedener Eigenzeiten sind
parallel. Die kanonische Quantisierungsprozedur ist in Inertialsystemen wohldeniert.
Fur jede Cauchy-Flache gelten obige Kommutatorrelationen (1.1.1) in ihrer jeweiligen
Eigenzeit.
Da die Kommutatoren zweier Operatoren auf einer raumartigen Hyperache verschwinden, wenn die Punkte auf M nicht identisch sind, verschwinden sie fur alle
raumartig entfernten Punkte der Raumzeit:
[i(P; t); j (Q; t0)] = #~LC(P; t; Q; t0)fij (P; t; Q; t0) , etc.
(1.1.2)
Hier ist f eine von der Dynamik bestimmte Funktion und #~LC die Heaviside-Funktion,
die fur raumartige Abstande zwischen (P,t) und (Q,t') verschwindet, also von der Struktur der Raumzeit abhangt.
Praparieren wir das System so, da im Moment t0 das Feld am Ort P lokalisiert
war3:
j (M; t0) >= (?)(P; t0) j Vac >
((?) bezeichnet den Teil des Feldes mit negativer Frequenz, enthalt also den Erzeugeranteil [24, p. 135].), und messen die Zeitentwicklung des Feldes am Ort Q 6= P
zu einem Zeitpunkt t > t0 mittels lokaler Operatoren (Observablen), die aus und
bestehen (z.B. der Energiedichte). Kausalitat und Unscharferelation fordern t > t0,
wenn der Anfangszustand wohlprapariert sein soll. Unter Ausnutzung von
(?) j Vac >= j Vac >
Desweiteren kann man dann zeigen, da kovariante und kanonische Quantisierung aquivalent sind
[4, p. 29].
3 Man bemerke, da j (M; t) > kein Eigenzustand zum Hamiltonoperator ist, also auch im Heisenbergbild zeitabhangig ist.
2
 DAS FELD RANDBEDINGUNGEN?
1.1. WANN SPURT
11
ergibt sich
< j Op [; ] (Q; t) j >=
=< j (P; t0)Op [; ] (Q; t) j Vac > + < j [Op [; ] (Q; t); (P; t0)] j Vac > :
Der erste Term ist der Vakuumerwartungswert des lokalen Operators Op, der zu jedem
Zeitpunkt der Messung derselbe ist und damit uber die Zeitentwicklung von j >
keine Auskunft gibt.
Im zweiten Term erhalten wir nach Taylorentwicklung des Meoperators in und
Kommutatoren
[(Q; t); (P; t0)] und [(Q; t); (P; t0)] ;
die { wie aus (1.1.2) folgt { nur dann nicht verschwinden, wenn (P; t0) und (Q; t) zeitoder lichtartig voneinander getrennt sind. Ein Beobachter wird also erst dann die
Erzeugung eines Teilchens bzw. die A nderung des Feldes an seinem Beobachtungsort
wahrnehmen, wenn seine Koordinate (Q; t) innerhalb des Lichtkegels liegt, der von
(P; t0) ausgeht. Bis dann wird fur ihn der Zustand j > mit dem Vakuum identische
Quantenzahlen besitzen.
Da ein Feld durch Angabe der Eigenwerte zu einem vollstandigen Satz miteinander kommutierender Observablen und Spektralzerlegung nach dieser Basis eindeutig charakterisiert ist, wird ein Zustand j > erst dann die Randbedingungen der
Raumzeit bemerken, wenn (bei nicht-kompakten M) der Rand innerhalb des VorwartsLichtkegels von (P; t0) liegt, oder (fur kompakte M) der Vorwarts-Lichtkegel sich selbst
beruhrt.
1.1.2 Ein Beispiel: Felder auf dem Kreis
Wenden wir uns nun der Untersuchung von komplexen massiven Skalarfeldern in der
Raumzeit R = S 1 R zu, i.e. auf einem Kreis M = S 1 vom Umfang L und nichtkompakter Zeit. R ist ach und mit der Minkowski-Metrik ausgestattet.
Untersuchung der Raumzeit Die Konstruktion des von einem beliebigen Punkt
(P; t0) ausgehenden Lichtkegels zeigt, da R mikrokausal ist und stets globale Cauchy-
Hyperachen existieren.
Abbildung 1.1.1: Lichtkegel (links) und Cauchy-Hyperachen (rechts) fur R = S 1 R
12
KAPITEL 1. RANDBEDINGUNGEN IN EINFACHEN QFT
Raum- und nicht raumartig separierte Punkte konnen eindeutig voneinander unterschieden werden, wahrend licht- und zeitartig separierte mischen, sobald der Lichtkegel
nach der Zeitspanne L=2 im P entgegengesetzten Punkt P' konvergiert.
Einfuhrung des ublichen raumlichen kartesischen Koordinatensystemes auf dem
Kreis (x 2 R, wobei alle Punkte x + nL; n 2 Z identiziert werden) und kanonische Denition der Entfernung zweier Punkte auf einer Cauchy-Hyperache als Mindestlange
X aller moglicher Kurven C auf M zeigt uns, da X 2 0; L2 sein mu. Der
kovariante Abstand ist dann
s2 = t2 ? X 2 ;
(1.1.3)
was die Struktur des Lichtkegels genau wiederspiegelt: Sobald t2 (L=2)2 liegen alle
Punkte in oder auf dem Lichtkegel; raumartige Abstande konnen nur fur j t j<j X j
auftreten. Man kann leicht zeigen, da raum- und nicht raumartige Abstande unter
Lorentz-Transformationen nicht mischen.
Die nun folgende Rechnung wird die U berlegungen des ersten Abschnittes reproduzieren.
h
i
Das komplexe Skalarfeld [24, p. 93f., 138f.] Die Lagrangedichte des freien komplexen Skalarfeldes der Masse m
L = (@y)(@ ) ? m2y ergibt die kanonisch konjugierten Impulse und Hamiltondichte
@ ;
= _ y ; y = _ ; @1 = @x
(1.1.4)
H = y_ y + _ ? L = y + (@1y)(@1) + m2y :
Observablen mussen an allen um L auseinanderliegenden Punkten denselben Wert besitzen, was wegen ihres bilinearen Auftretens4 die Felder (x; t) an diesen Punkten nur
bis auf eine Phase ' (Verzerrungsphase, Twist Phase) identiziert5:
(1.1.5)
(x + L; t) = ei'(x; t) ; ' 2 [0; ]
wird einer Fourierentwicklung unterzogen
dp a(E; p)e?i(Et?px)(E 2 ? p2 ? m2) ;
(x; t) = dE
2L
wobei E und p Energie und Impuls des Feldes sind und die diracsche -Funktion garantiert, da eine Losung der Klein-Gordon - Gleichung (Euler-Lagrange - Gleichung
zu L) ist. Damit ist mit (1.1.5)
(x; t) = L1 2E1 ane?i(Ent?pnx) + byn ei(Ent?pnx)
(1.1.6)
n
n
mit pn = 2L (n + ) ; n 2 Z ; = 2' ;
(1.1.7)
Z
X
q
En = + p2n + m2 :
Um aus den zueinander adjungierten Feldoperatoren hermitesche Operatoren konstruieren zu
konnen, mussen dei Felder bilinear auftreten.
5 Eine exakte Herleitung dieser Randbedingungen wird nach Einf
uhrung von Karten auf dem Kreis
(Abschnitt 2.1) in Abschnitt 3.1.2 gegeben.
4
 DAS FELD RANDBEDINGUNGEN?
1.1. WANN SPURT
13
an=byn ist der Vernichter/Erzeuger eines Teilchens/Antiteilchens mit Impuls pn . Der
Vakuumzustand ist deniert als der Zustand, der keine Teilchen oder Antiteilchen
enthalt:
an j Vac >= 0 = bn j Vac > 8n 2 Z
(1.1.8)
Aus den kanonischen Kommutatorrelationen (1.1.1) folgen als einzig nicht verschwindende Kommutatoren zwischen Erzeugern oder Vernichtern
an; aym = 2LEn mn = bn; bym :
(1.1.9)
Berechnung des Kommutators (1.1.2) Die Berechnung der generalisierten Kommutatoren, auch Pauli-Jordan- oder Schwinger-Funktionen genannt [4, p. 29], ist nun
einfach:
(x; t); y(x0; t0) = ? Li E1 sin En (t ? t0)eipn(x?x )
(1.1.10)
X
n
0
n
Nach Anwendung der poissonschen Summenformel [3, p. 270] und Integration [11, .
3.876.1] erhalt man mit (1.1.7) 6
(1.1.11)
(x; t); y(x0; t0) = ? 2i (t ? t0) #(s2 )J0(mps ) cos 2
mit s2 = (t ? t0)2 ? (x ? x0 + L)2 ; cf. kovarianter Abstand (1.1.3),
und (t ? t0) = #(t ? t0) ? #(t0 ? t) :
Im Fall masseloser Teilchen wird der Kommutator besonders einfach, wie man entweder
durch Bildung des Limes in (1.1.11) (lima!0 J0(a) = 1 nach [1, . 9.1.12]) oder direkte
Berechnung von (1.1.10) mit m=0 zeigt:
[(x; t); (x0; t0)] = ? 2i (t ? t0) #(s2 ) cos 2 :
Man beachte, da die Ergebnisse invariant unter Verschiebungen von x oder x' um den
Kreisumfang L sind, was ja gleiche Punkte auf M reprasentiert.
Wie aus (1.1.2) erwartet, ist die Heaviside-Funktion nur innerhalb des Lichtkegels
von Null verschieden, der Kommutator zweier Felder an raumartig getrennten Punkten von R verschwindet. Gleiches gilt auch fur Kommutatoren, die Impulsoperatoren
enthalten, da sie durch Anwenden von @t@ oder @t@ auf (1.1.11) erhalten werden (1.1.4).
Erst wenn j t ? t0 j L=2 \erkennt" das Feld, da Randbedingungen existieren.
Bis dahin sind Anregungen des Vakuums bei unterschiedlichen Intervallangen L ununterscheidbar, wenn die Anfangszustande gleich waren, da die Kommutatoren der sie
erzeugenden Operatoren identisch sind.
Im Gegensatz dazu erweist sich die Vakuumubergangsamplitude oder ZweipunktGreensfunktion (Feynmanpropagator) als L-abhangig: Die Wahrscheinlichkeitsamplitude, ein Teilchen in (x; t) aus dem Vakuum zu erzeugen und nach Propagation in (x0; t0)
wieder zu vernichten zusammen mit dem umgekehrten Proze fur das Antiteilchen ist
gegeben durch das zeitgeordnete Produkt
< Vac j T (x0; t0)y(x; t) j Vac >=
= #(t0 ? t) < Vac j (x0; t0)y(x; t) j Vac > +
+#(t ? t0) < Vac j y(x; t)(x0; t0) j Vac > :
X
X
0
6
# ist die Heaviside-Funktion, J0 die nullte Besselfunktion.
14
KAPITEL 1. RANDBEDINGUNGEN IN EINFACHEN QFT
Mit (1.1.6 / 1.1.8) ergibt sich unter Anwendung der poissonschen Summenformel, Integration nach [11, . 3.876.2 der englischen Ausgabe, die deutsche ist fehlerhaft] und
Herumspielen mit verallgemeinerten Besselfunktionen der zweiten Art Kn [1, . 9.1.3
und 9.6.4]
< Vac j T (x0; t0)y(x; t) j Vac >= 21 K0(m ?s2 ) cos 2 :
(1.1.12)
Die Vakuum-Vakuum - U bergangsamplitude ist sofort verschieden fur verschiedene
Kreisumfange, was nicht verwunderlich ist, da das Vakuum als zeitlich unverandert
deniert wurde und damit von den Randbedingungen wei. Die durch Vakuumuktuationen erzeugten nicht auf der Massenschale sitzenden Teilchen konnen mit jeder beliebigen Geschwindigkeit propagieren, also instantan die Randbedingungen der Raumzeit
erkunden. Interessant ist auch, da sich Vakuumzustande zu verschiedenen Verzerrungsphasen im Feynman-Propagator unterscheiden.
X
q
1.2 Der verallgemeinerte Casimir-Eekt auf dem
Kreis
Wir stellten fest, da Vakua zu unterschiedlichen Umfangen (und sogar zu unterschiedlichen Verzerrungsphasen) inaquivalent sind, da sie unterschiedlicheVakuumubergangsamplituden (Feynman - Propagatoren) (1.1.12) besitzen.
j VacL,' >6=j VacL',' > 8L 6= L0 _ ' 6= '0
0
Casimir [7] sagte durch Berechnung der Dierenz der Grundzustandsenergie zweier
Vakua zwischen zwei unendlich ausgedehnten, ideal leitenden und im Abstand L oder
L' parallel verlaufenden Kondensatorplatten in vierdimensionaler QED eine attraktive
Kraft zwischen den Platten voraus, die durch Sparnaay [29] gefunden wurde.
Im Folgenden sollen die Energiedichten der Vakua j VacL,' > und j VacL',' >
zweier \Universen" S 1 R unterschiedlicher raumlicher Umfange verglichen werden.
Es wird sich erweisen, da sie stark von der Wahl der Randbedingungen abhangen.
Beide Vakua liegen im Fockraum des Minkowski-Vakuums j VacMinkowski >:=
limL!1 j VacL,' >. Als intuitives Argument genuge, da der Minkowskiraum die
universelle U berdeckung der Raume S 1 R ist. Jeder ihrer Zustande kann damit als
raumlich periodischer Zustand im Fockraum des Minkowskivakuums interpretiert werden (Beweis im Rahmen der axiomatischen Feldtheorie in [18]). Damit konnen wir die
Grundzustandsenergien zweier verschiedener (L; ')-Vakua vergleichen.
0
Vakuumenergiedichten verschiedener Theorien Berechnen wir die Energiedich-
te des Vakuums eines komplexen freien massiven Skalarfeldes. Aus (1.1.4/1.1.6/ 1.1.8/
1.1.9) erhalten wir fur das (orts- und zeitunabhangige) Matrixelement der Vakuumenergiedichte:
< VacL,' j H j VacL,' >csf (x; t) = L1 En;'
(1.2.1)
X
n2Z
(Im Folgenden werden wir den Index ' zur Unterscheidung unterschiedlicher Vakua in
Raumen gleichen Umfanges weglassen.)
1.2. DER VERALLGEMEINERTE CASIMIR-EFFEKT AUF DEM KREIS
gilt
15
Da das freie reelle Skalarfeld nur die Halfte der Freiheitsgrade des komplexen besitzt,
7
< VacL j H j VacL >rsf = 21 < VacL j H j VacL >csf :
(1.2.2)
Schlielich ergibt sich fur das freie Spinorfeld [24, p. 139f., p. 53] mit Spinoren
positiver und negativer Energie un und vn (kein Spin in 1+1 Dimensionen!) aus der
Lagrangedichte
L = i @ ? m
(1.2.3)
die Hamiltondichte
;
H = _ ? L = ?i 1@1 + m
= iy = i 0 ;
(1.2.4)
und mit der Dirac-Gleichung die Fourier-Zerlegung des Feldes in Vernichter bn / Erzeuger dyn von Teilchen / Antiteilchen des Impulses pn (1.1.7)
= L1 Em bnune?i(Ent?pn x) + dyn vnei(Ent?pn x) :
n n
X
Einzig nicht verschwindende Antikommutatoren zwischen Erzeugern und Vernichtern sind aufgrund der kanonischen Antikommutatorrelationen (1.1.1)
fbn; byn g = L Emn nn = fdn ; dyn g ;
0
0
0
und da die Spinoren normiert sind auf
uyn un = Emn = vnyvn ; uyn vn = 0 ;
erhalten wir
< VacL j H j VacL >spf = ? < VacL j H j VacL >csf
(1.2.5)
aufgrund der Antikommutation.
Damit genugt die Berechnung von (1.2.1), um die Vakuumenergien der anderen
freien Theorien aus (1.2.2/1.2.5) zu erhalten.
Die Reihe in (1.2.1) ist divergent selbst im Limes des Minkowskiraumes L ! 1. In
der kanonischen Quantisierung wird normalerweise die unendlich hohe Vakuumenergie
als physikalisch insignikant subtrahiert (\Renormierung der Grundzustandsenergie"),
hier aber interpretieren wir die Zustande j VacL > als Zustande im Fockraum des Minkowskivakuums, die unterschiedliche Quantenzahlen besitzen konnen. Damit mussen
auftretende Divergenzen durch Normalordnung der Operatoren bezuglich des Minkowskivakuums vermieden werden [4, Kap.6 zur detaillierten Behandlung]:
< phys j: Op [; ] (Q; t) :j phys >=
=< phys j Op [; ](Q; t) j phys > ? < VacMink. j Op [; ](Q; t) j VacMink. > ;
Da das Feld reell ist, durfen wir nur periodische (' = 0) oder antiperiodische (' = ) Randbedingungen fordern.
7
16
KAPITEL 1. RANDBEDINGUNGEN IN EINFACHEN QFT
soda insbesondere
< VacL j H j VacL >reg =< VacL j H j VacL > ? Llim
< VacL' j H j VacL' > :
!1
(1.2.6)
Da aber beide Terme auf der rechten Seite divergieren, konnen sie nicht einfach voneinander subtrahiert werden, sondern mussen zunachst regularisiert werden, was im
Folgenden geschieht.
0
Berechnung von (1.2.1) fur masselose Teilchen
1 E = 2 j n + j
(1.2.7)
L n n L2 n
nach (1.2.1/1.1.7). Zur Regularisation von (1.2.7) werden wir zwei Wege beschreiten: -Funktions - Regularisierung und zunachst Regularisierung durch Point Splitting,
aquivalent zur Heat-Kernel - Regularisierung (cf. [19], [4, passim]).
Wir fuhren einen Abschneideparameter so ein, da hohere Energien exponentiell
unterdruckt werden und die Reihe fur alle 6= 0 konvergiert:
X
En !
X
Ene?En =
n
n
(n + )e? 2L (n+ ) + e? 2L + (n ? )e? 2L (n? )
= 2L
n>0
n>0
Nach Berechnung des Grenzwertes der Reihe entwickeln wir das Resultat in Potenzen
von um den ursprunglichen Wert = 0
2
2
1 + O()
? 2L (n ) = L ?
(
n
)
e
lim
?
!0 n>0
(2)2 2 2 12
X
X
"
X
#
X
X
und lassen alle Terme der Summe, die im dimensionslosen Parameter L= divergieren,
wegen (1.2.6) weg (hier also den ersten). Damit ist die renormierte Vakuumenergiedichte des masselosen komplexen Skalarfeldes
(1.2.8)
< VacL j H j VacL >csf, m=0= 2L2 (1 ? ) ? 61 :
Alternativ kann man (1.2.1) auch durch analytische Fortsetzung der fur s > 1 konvergenten Reihe n>0 (n )?s mittels der verallgemeinerten riemannschen Zetafunktion
[4, p. 165f.] [11, . 9.521] regularisieren:
B2( )
(n ) = slim
(
s;
)
=
?
!?1
2
n>0
P
X
mit [11, . 9.531,9.623.3], wobei B2 das zweite Bernoulli-Polynom ist [11, . 9.627.2]
B2( ) = 2 + 61 :
Damit wird das Ergebnis der Cuto-Regularisierung (1.2.8) reproduziert.
Man beachte, da die Wahl der Verzerrungsphase ' = 2 entscheidet, ob die
Vakuumenergiedichte des endlichen Intervalls groer oder kleiner ist als die des nach
1.2. DER VERALLGEMEINERTE CASIMIR-EFFEKT AUF DEM KREIS
17
(1.2.6) als Renormierungspunkt unterschiedlicher L-Vakua dienenden Minkowskivakuums. Da alle Zustande j VacL > im Fockraum uber dem Minkowskivakuum liegen und
damit die Wellenfunktion sich von einem zum anderen L-Vakuum entwickeln kann,
wirkt insbesondere, falls L variabel ist, eine vom Umfang des Systems abhangige Kraft
2 (1 ? ) ? 1 ;
@ L dx < Vac j H j Vac >
F (L) = ? @L
=
ren,
m=0
L
L
L2
6
0
p
die fur 2 [0;p1=2 (1 ? 3)[ attraktiv ist mit maximaler Attraktion
p bei = 0, fur
= 1=2 (1 ? 3) verschwindet und schlielich fur 2 ]1=2 (1 ? 3); 1=2] repulsiv
wird mit groter Repulsion bei = 1=2 (siehe Abbildung 1.2.1).
Vorzeichen und Starke der Casimir-Energie und -Kraft sind also von den gewahlten
Randbedingungen abhangig und konnen im Allgemeinen nicht durch einfache physikalische U berlegungen bestimmt werden (obwohl dimensionale Argumente die richtige
Abhangigkeit des Absolutbetrages von L voraussagen [15, p. 139]).
Es sei noch zu bemerken, da wir fur reelle Skalarfelder (1.2.2) die Resultate von
Birrell und Davies [4, p. 92f.] reproduzieren.
Z
Berechnung von (1.2.1) fur massive Teilchen Sie ist etwas umfangreicher als im
masselosen Fall und ergibt keinen geschlossenen Ausdruck. Die Reihe wird wiederum
durch Einfuhren eines Energie-Cutos regularisiert:
2 p
mL
2
2 + a2e? L (n+ )2 +a2 ; a :=
< VacL j H j VacL >reg = lim
(
n
+
)
2
!0 L n
2
Fur jedes 6= 0 ist die Reihe wiederum konvergent und kann mittels der poissonschen
Summenformel umgeschrieben werden:
Xq
< VacL j H j VacL >reg =
@
1
cos
2
= ? lim
!0 2 2Z
@
X
2
m
K1(m 2 + (L)2)
2 + (L)2
q
4q
3
5
Nach erfrischendem Spiel mit modizierten Besselfunktionen zweiter Art ergibt sich
m2 cos 2 < VacL j H j VacL >reg = lim
!0 2
2 + (L)2 K0(m 2 + (L)2)+
2
(L)2 K (m 2 + (L)2) :
+ m1 2 1 2 2 ?
1
+ (L) + (L)2
X
"
q
q
3
5
q
Im Limes ! 0 wird der erste Term in der Klammer fur 6= 0 von der Ordnung 2
[11], verschwindet also, wahrend der Term = 0 der Reihe unabhangig von L unendlich
wird. Diese beiden werden also gestrichen (1.2.6); und die renormierte Vakuumenergiedichte eines freien massiven Skalarfeldes ist
) :
(1.2.9)
< VacL j H j VacL >ren, csf= ? L2 2 (mL) cos 2 K1(mL
>0
X
18
KAPITEL 1. RANDBEDINGUNGEN IN EINFACHEN QFT
Fur masselose Teilchen erhalten wir wegen limm!0 K1(mL ) = 1=(mL ) [1, . 9.6.9]
eine Reihe, deren Grenzwert berechnet werden kann [11, . 1.443.3]
cos 2 = 2 ? 2 [ (1 ? )] ;
2
6
>0
was zum Resultat (1.2.8) zuruckfuhrt.
Die Reihe (1.2.9) konvergiert sehr schnell, da K1(z) z?1=2 e?z fur z > 2 [1,
. 9.7.2/8.6]. Somit ist der Casimir-Eekt mit zunehmender Masse exponentiell unterdruckt.
X
Abbildung 1.2.1: Verallgemeinerter Casimir-Eekt auf dem Kreis I: Abhangigkeit der
Vakuumenergiedichte (1.2.9) von ' fur verschiedene in Einheiten des inversen Kreisumfanges 1=L gemessene Massen m. Die Vakuumenergiedichte ist durch Multiplikation
mit L2=2 dimensionslos gewahlt. (MAPLE 5.0)
Abbildungen 1.2.1/1.2.2 zeigen das numerische Resultat einer Aufsummation von
(1.2.9) mittels MAPLE 5.0 in Abhangigkeit von Masse und Verzerrungswinkel. Die
Konvergenz wurde fur max = 5; 8; 15; 20 getestet und liegt jenseits der Zeichengenauigkeit. Der rapide Abfall der Vakuumenergiedichte fur mL > 2 ist im dreidimensionalen
Bild gut zu sehen. Minimale Energiedichte wird unabhangig von m oder L fur periodische ( = 0), maximale fur antiperiodische ( = 1=2) Randbedingungen beobachtet
(fur fermionische Felder umgekehrt wegen (1.2.5)), wahrend der Vorzeichenwechsel der
Vakuumenergiedichte sich mit zunehmendem mL zu groeren Verzerrungswinkeln verschiebt, wie man aus Abbildung 1.2.1 sieht.
Man beachte abschlieend, da der verallgemeinerte Casimir-Eekt bereits in nicht
wechselwirkenden Theorien auftritt. Er kann somit auch als durch Wechselwirkung
der Raumzeit (mittels ihrer globalen Eigenschaften, i.e. Randbedingungen) mit dem
Vakuum der freien Theorie gedeutet werden. In Abschnitt 3.1.2 und 3.5 werden wir
die physikalische Relevanz des verallgemeinerten Casimir-Eektes in Eichtheorien auf
Tori untersuchen.
1.2. DER VERALLGEMEINERTE CASIMIR-EFFEKT AUF DEM KREIS
19
Damit ist die Betrachtung einfacher Quantenfeldtheorien im Rahmen dieser Arbeit
beendet. Im Folgenden wenden wir uns Eichtheorien zu8.
Abbildung 1.2.2: Verallgemeinerter Casimir-Eekt auf dem Kreis II: Abhangigkeit der
Vakuumenergiedichte (1.2.9) von Verzerrungswinkel und Masse des Feldes. Skalierung
wie oben. (MAPLE 5.0)
Nach Vollendung der Arbeit erfuhr ich, da (1.2.9/1.2.8) von Wipf [33] ebenfalls hergeleitet
wurden.
8
Kapitel 2
Grundlagen von Eichtheorien auf
kompakten Mannigfaltigkeiten
[Answers] can only be obtained by looking
at more carefully phrased questions rst
[1]. ([1]: Author not yet known. (to be
published))
G. 't Hooft: Phys. Scr. 24 (1982), 892
Dieses Kapitel bildet die Grundlage fur den zweiten Teil der Arbeit. Bei der mathematisch rigorosen Beschreibung von Eichtheorien auf kompakten Mannigfaltigkeiten
werden wir jedoch die physikalischen Aspekte betonen, um nicht einem Rigor Mortis
zu verfallen. Die kanonische Quantisierung von Eichtheorien zeigt die A quivalenz der
mathematischen und physikalischen Beschreibung.
2.1 Die Topologie von Torus und Wurfel
2.1.1 Dierentialgeometrische Grundlagen
Zunachst haben wir uns etwas naher mit der Topologie des Raumes zu befassen, in
dem die Theorie formuliert werden soll, da wir sehen werden, da diese bereits wichtige
physikalische Schlufolgerungen erzwingt. [9, Appendix J, p.907], [14, p. 11]
Denitionen Betrachten wir einen Raum M, auf dem wir { nach Denition einer
Topologie { oene Umgebungen Ui denieren konnen, die genugend glatte (z.B. nichtfraktale) Rander @ Ui besitzen und mittels lokal homomorpher Funktionen i : M ! Rd
auf oene Umgebungen Ui des d-dimensionalen euklidschen Raumes abgebildet werden.
Jede zusammenhangende Umgebung Ui heit zusammen mit der dazugehorigen
Abbildung i Karte. Ein Satz von Karten (Ui; i), der M vollstandig uberdeckt
( Ui = M), heit analytischer Atlas, wenn auch die Abbildungen zwischen zwei sich
uberschneidenden Umgebungen analytisch und insbesondere homomorph sind. Das

'ij 'i!j := j ?i 1 analytisch
heit, wenn Ui \ Uj 6= ;, mu die Ubergangsfunktion
sein. Zwei Atlanten heien kompatibel, wenn ihre Vereinigung wiederum ein Atlas ist.
Man bemerke, da eine Karte (Ui; i ) jeden Punkt auf M hochstens einmal enthalten kann, da die Abbildungen i der Umgebungen von M in Rd lokal homomorph sind.
S
20

2.1. DIE TOPOLOGIE VON TORUS UND WURFEL
21
Abbildung 2.1.1: Zur Denition einer Mannigfaltigkeit
(Spater werden wir einer \schlechten Karte" begegnen, die Punkte auf M mehrmals
enthalt.) Ich werde im Folgenden auch die Projektionen Ui in den Rd als Karten und
einen Atlas aus der geringsten Kartenzahl als minimalen Atlas bezeichnen.
Eine analytische Mannigfaltigkeit der Dimension n ist nun ein lokal euklidscher
Raum M zusammen mit einem Atlas (Ui; i).
Erlauterungen Lokale physikalische Observablen durfen nicht von der Wahl der
Karte abhangen
Observable(Karte 1, Koordinatenystem x1) =
= Observable(Karte 2, Koordinatensystem x2) ;
(2.1.1)
jedoch konnen Hilfsgroen wie z.B. Eich auf unterschiedlichen Karten durchaus verschiedene Werte besitzen (cf. Abschnitt 2 dieses Kapitels): Sowohl die Koordinaten als
auch die Abbildungen der Hilfsgroen konnen also kartenabhangig sein, was { wie wir
im dritten Kapitel sehen werden { in beschranktem Umfang durch globale Operatoren
physikalisch messbar sein kann.
Aus der Forderung der Eindeutigkeit physikalischer Observablen auf M folgt, da
jeder Atlas A mit jedem anderen Atlas A' kompatibel sein mu, also nur eine Klasse
von kompatiblen Atlanten existiert [14, p. 12]. Diese Feststellung ist deswegen so
wichtig, weil wir durch sie im Folgenden zwischen verschiedenen Atlanten wechseln
durfen, ohne den physikalischen Inhalt der Theorie zu andern.
Es gilt noch einen wichtigen Unterschied zwischen einem minimalen Atlas und einem
normalen Atlas zu erklaren, den wir am einfachen Beispiel eines Kreises veranschaulichen wollen:
Zur U berdeckung eines Kreises benotigt man einen Atlas aus mindestens zwei Karten. Wahlt man eine groere Anzahl von Karten, so kann man stets aus diesem Atlas
A einen neuen, mit dem vorherigen kompatiblen Atlas A' erzeugen, der eine Karte
weniger enthalt, indem man die Abbildung ' im U berlapp zweier Karten stetig fortsetzt und somit eine neue Karte erzeugt, die die beiden alten Karten im neuen Atlas
A' ersetzt. Dieses Verfahren ist moglich, solange die beiden Karten sich in nur einer
zusammenhangenden Region uberlappen, und bricht ab, sobald wir einen minimalen
Atlas erreicht haben, da dann jedes weitere \Zusammenkleben" zu Karten fuhrt, die
denselben Punkt auf M mehrmals enthalten.
22
KAPITEL 2. GRUNDLAGEN VON EICHTHEORIEN
Abbildung 2.1.2: Ein minimaler Atlas des Kreises
2.1.2 Dierentialgeometrie des Torus
Kartenwahl Wir betrachten Eichtheorien in einem dreidimensionalen Wurfel, wobei
wir gegenuberliegende Flachen miteinander identizieren: Physikalische Observablen
sind also periodisch (2.1.1), cf. Abschnitt 1.1.2.
Observable(~x + L~ei) = Observable(~x)
(~ei ist der Einheitsvektor in Richtung der i-ten kartesischen Koordinate, L die Kantenlange des Wurfels.) Tatsachlich ist unser Raum also der dreidimensionale, euklidsche Raum R3, auf den ein kartesisches Gitter der Kantenlange L gestulpt wurde, das
Punkte miteinander identiziert. Alternativ, und davon mochte ich meine Diskussion
starten, sagt uns die Topologie, da unser Wurfel isomorph zu einem dreidimensionalen Torus T 3 = S 1 S 1 S 1 ist [22, p. 40]: Unsere Wahl der Randbedingungen
entspricht also dem \Toro-Universum", einer Welt, deren Raumkomponente wie ein
Torus aussieht1.
Konstruieren wir der Anschaulichkeit halber zunachst einen Atlas des zweidimensionalen Torus T 2 = S 1 S 1, also eines Quadrates, bei dem gegenuberliegende Kanten
identiziert werden; die Generalisation zu T 3 ist nicht schwer. Huten Sie sich jedoch
davor, einen Torus T 2 mit der Oberache eines Ringes (\doughnut") in drei Dimensionen zu identizieren: Der Torus T 2 ist das direkte Produkt zweier Kreise (Untermengen
des R2 ). Man benotigt also zur Darstellung von T 2 die Einbettung in einen 2+2=4
{ dimensionalen Raum. Einbettung in den dreidimensionale Raum ist nicht ausreichend, wie intuitiv klar ist: In einem Ring ist ein Kreis vor dem anderen dadurch
ausgezeichnet, da der eine das Loch schat, um das sich der andere dann windet.
Betrachten wir das zur U berdeckung von T 2 topologisch aquivalente Problem der
U berdeckung des Quadrates: Wir konnen es als eine schlechte Karte interpretieren, da
auf ihm alle Punkte mit Ausnahme der Rander die Eigenschaften haben, die wir von
Karten erwarten. Insbesondere taucht der Punkt P des Torus viermal auf, namlich als
die vier Ecken des Quadrates. Um aus dieser schlechten Karte einen Atlas aus guten
ist.
1
Bjorken [5] nennt ihn Femto-Universum, da er an einer Expansion fur kleine Volumen interessiert

2.1. DIE TOPOLOGIE VON TORUS UND WURFEL
23
Karten zu erhalten, uberdecken wir das Innere des Quadrates mit einer Karte 1; Karten
2 und 3 uberdecken die obere und untere bzw. rechte und linke Kante einschlielich
einer kleinen Umgebung, jedoch nicht die Ecken und deren unmittelbare Umgebung,
die von Karte 4 uberdeckt werden. Auch kann man die Karten so wahlen, da sich in
jedem Punkt hochstens drei Karten uberlappen.
Abbildung 2.1.3: Konstruktion eines guten Atlas' aus einer schlechten Karte fur das
Quadrat
Ein Punkt mit den Koordinaten (x1 = 0; x2 = 0) existiert also auf Karte 1 nicht.
Dieser Atlas ist minimal. Unsere Kartenwahl uberdeckt jeden der generierenden Kreise
des Torus wie in Abbildung 2.1.3 dargestellt.
Die analoge Konstruktion fur T 3 benotigt 23 Karten: Man uberdecke das Innere
des Wurfels mit einer Karte 1, jedes gegenuberliegende Seitenpaar mit einer Karte
(2,3,4), die davon ausgenommenen jeweils parallelen Kanten mit einer weiteren (5,6,7)
und schlielich die Ecken mit Karte 8.
2.1.3 Umlauf und Homotopie
Anschauliche Herleitung Wir konnen jetzt sinnvoll denieren, was \einmal um
den Torus herumlaufen" bedeutet. Starten wir in einem Punkt auf der unteren Kante
und laufen uber die obere Kante des Quadrates, so denieren wir dies anschaulich als
einen Umlauf, denn dann kommen wir auf der \anderen Seite" des Quadrates wieder
heraus. Nur geschlossene Wege, die uber eine oder mehrere der Kanten des Quadrates
fuhren, konnen sich also um den Torus winden.
Insbesondere sehen wir, da eine geschlossene Kurve, die von R startet, sich um
den Torus einmal windet und nach R0 R zuruckkehrt, sich nur durch die Benutzung
zweier Karten darstellen lat.
Denitionen [22],[23],[24] Um eine mathematisch prazisere Formulierung zu erhal
ein: Zwei nicht notwenten, fuhren wir den Begri der homotopischen Aquivalenz
digerweise geschlossene Kurven C und C' auf M mit Parametrisierung s 2 [0; 2]
heien homotopisch aquivalent, wenn es eine uberall stetige Funktion F(s,t) auf M
24
KAPITEL 2. GRUNDLAGEN VON EICHTHEORIEN
Abbildung 2.1.4: Zwei stetig ineinander deformierbare Wege (a) und (b) der Windungszahl 10 , die homotopisch inaquivalent zu einem Weg (c) (~k = 02 ) sind.
gibt, die die beiden Kurven ineinander deformiert: F (s; t = 0) = C (s); F (s; t = 1) =
C 0(s) ; F (s; t) 2 M 8s; t. Die Menge aller zu gegebenem C homotopischen Kurven
bildet eine A quivalenzklasse. Die oben betrachteten geschlossenen Kurven in der Mannigfaltigkeit M konnen nun als Abbildungen von Kreisen S 1 auf M betrachtet werden,
die mittels einer Koordinate s parametrisiert sind. Solche Abbildungen zerfallen nun
in unterschiedliche Homotopieklassen, die durch einen (auf T 2 zweikomponentigen)
Vektor ~k beschrieben werden, dessen Komponenten die Windungszahl der Kurve um
jeden der generierenden Kreise des Torus angeben. Die Menge aller Homotopieklassen
dieser Abbildung bildet eine Gruppe, die erste Homotopiegruppe 1(T 2) = Z 2 bzw.
1(T 3) = Z 3 des Torus (Z : Menge der ganzen Zahlen). Gruppenoperation ist dabei das Aneinanderreihen zweier Pfade, Einselement alle homotopisch trivialen Pfade,
das Inverse zu einem Pfad C jeder Pfad derselben A quivalenzklasse wie der im entgegengesetzten Umlaufsinn durchlaufene Pfad C. Eine Mannigfaltigkeit, deren erste
Homotopiegruppe aus nur einem Element besteht, heit einfach zusammenhangend;
sie hat anschaulich kein Loch (cf. Abschnitt 3.2.2).
Eine spater interessante Generalisierung ist einfach: Die Menge der Homotopieklassen einer Abbildung von Kugeln S n auf eine Mannigfaltigkeit oder Gruppe G heit n-te
Homotopiegruppe n(G). Dabei mu die Deformationsfunktion F (s; t) 2 G _ M 8s; t
sein. Im Folgenden werden wir zumeist die Homotopieeigenschaften von Liegruppen
betrachten.
Abbildungen aus der dem Einselement der Homotopiegruppe zugeordneten A quivalenzklasse ("Windungszahl Null") verbinden Mitglieder derselben Homotopieklasse
und werden im Folgenden klein genannt. Sie konnen stetig zur trivialen Abbildung
(f (S n ) = const:) deformiert werden. Als gro bezeichnen wir Abbildungen, die unter
schiedliche Aquivalenzklassen
verbinden, also nichttriviale Windungszahl besitzen.
Die wichtigsten Homotopiegruppen konnen in [22, p. 120] gefunden werden. Da sie
von Mathematikern fur eine Vielzahl von Gruppen und Mannigfaltigkeiten berechnet
wurden, erspart die Klassikation nach Homotopiegruppen viel Arbeit in den Kapiteln
drei und vier.

2.1. DIE TOPOLOGIE VON TORUS UND WURFEL
25
2.1.4 Integration auf kompakten Mannigfaltigkeiten
Integrale uber M Betrachten wir das Integral einer beliebigen Groe B auf der
gesamten Mannigfaltigkeit, wobei B auch koordinatenabhangig sein kann, also verschiedene Werte B (Karte i;~x) auf unterschiedlichen Karten i haben kann.
Nach Einfuhrung von Karten und U bergangsfunktionen 'ij (cf. 2.1.1.) erhalt man
das Integral durch Summation der Integrale uber B auf allen Karten, wobei davon die
doppelt gezahlten Integrale der U berlappregionen abzuziehen sind:
Z
M
B=
X
i
Z
Karte i
dd xi B (i;~x) ?
X
Z
i>j Ui \Uj
dd xi B (i;~x)
Ist B auf jeder Karte beschrankt, so kann man die Korrekturterme zum Verschwinden bringen, wenn das Ma der U berlappregionen sehr klein gewahlt wird. Sei z.B.
der U berlapp ein Ring mit Innenradius r1 und Auenradius r2 (r2 ? r1 =: dr), so kann
man durch Minimierung der Ringdicke dr ! 0 erreichen, da
Z
dd xi B (i;~x) 2r2dr sup jB (i;~x)j
8~x2
;
(2.1.2)
und damit der Korrekturterm verschwindet.
Im Folgenden wird das Volumen der U berlappregion stets als innitesimal und alle
auf M denierten Groen als beschrankt angenommen. Die doppelt auftauchenden
Integrale werden also vernachlassigt.
Integralsatze Am Beispiel des gauschen wollen wir die Wirkung von Integralsatzen
auf kompakten Mannigfaltigkeiten illustrieren:
Z
M
r~ B~ =
X
Z
i Karte i
ddx
i
r~ B~ (i;~x) =
X
i
I
@ Karte i
d~si B~ (i;~si)
(2.1.3)
Betrachten wir z.B. das Integral der Divergenz eines Vektors uber eine Kugel S 2,
die von zwei Scheiben als Karten mit minimalem U berlapp uberdeckt wird. Ist B
kartenunabhangig, also B~ (i;~x) = B~ (j; 'ij (~x)) , verschwindet das Integral wie erwartet,
da sich die Integrationen uber die Kartenrander gegenseitig wegheben, wahrend fur
kartenabhangige Vektoren B~ (i;~x) 6= B~ (j; 'ij (~x)) die Dierenz der Oberachenintegrale
im Allgemeinen von Null verschieden ist:
Z
S
I
I
d~s2 B~ (2;~s2) =
d~s1 B~ (1;~s1) +
@ Karte 2
@ Karte 1
= S1 d~s1 B~ (1;~s1) ? B~ (1; '12(~s2)
r~ B~ =
2
I
h
i
(2.1.4)
Das Minuszeichen entsteht, da der Rand der Karte 2 von Karte 1 aus gesehen im
mathematisch negativen Sinne umlaufen wird.
Das Argument, da Oberachenintegrale auf kompakten Mannigfaltigkeiten verschwinden, weil kein Rand vorhanden ist, entpuppt sich also als im Allgemeinen nur
fur kartenunabhangige Groen wie Observablen gultig (Beispiele in Abschnitt 3.2.2,
(3.2.4.)).
26
KAPITEL 2. GRUNDLAGEN VON EICHTHEORIEN
2.2 Eichtheorien auf Mannigfaltigkeiten
O " oo& "o& o& "!" .
Proclos, Comm. in Eucl., um 300 v.Chr.
Hat die Topologie der Mannigfaltigkeit oder deren Aufteilung in Karten einen Einu auf die Physik von Eichtheorien? Zur Klarung dieser Frage mussen wir zunachst
die Grundlagen einer Eichtheorie mathematisieren.
Ich werde versuchen, dies auf zwei Wegen zu tun: Den formalistisch-abstrakten des
Mathematikers und zunachst { um eine Vorstellung zu entwickeln, war fur Objekte
einzufuhren sind { den abstrahierenden des Physikers.
2.2.1 Eichtheorien auf Mannigfaltigkeiten I: Der Physiker
Relevanz der Eichfelder in der Quantenmechanik Bereits im ersten Kapitel
sahen wir, da der leere Raum in einer quantisierten Feldtheorie mit den Feldern wechselwirken kann. In Eichtheorien kann diese Wechselwirkung sogar auftreten, obwohl
alle lokalen Observablen verschwinden, wie eine Untersuchung des zuerst von Aharonow
und Bohm beschriebenen Eektes zeigt2. Dieses Beispiel arbeitet mit Wellenfunktionen fur Teilchen, aber klassischen Strahlungsfeldern und demonstriert die Relevanz des
Eichfeldes der Elektrodynamik in der Quantenmechanik.
In der Mitte zwischen den beiden Spalten eines Doppelspaltexperimentes, direkt
hinter ihnen, plaziert man einen parallel zu ihnen ausgerichteten, unendlich langen
und undurchdringlichen Solenoid innitesimaler Breite3, der von einem den abstrahierenden des Physikers. Magnetfeld B durchsetzt wird, das auerhalb des Solenoids
verschwindet und o.B.d.A. entlang der x3-Achse eines Koordinatensystemes mit Ursprung im Solenoid verlauft.
Z
B~ (~x) = (0; 0; B(x1)(x2)) ; = dx1 dx2B3(~x) = B
Dieses Magnetfeld wird z.B. durch das Vektorpotential
A~ = 2(x2+ x2) (?x2; x1; 0) ;
1
2
bzw. in Zylinderkoordinaten
(2.2.1)
Ar = Az = 0 ; A' = 2r
erzeugt. Da das Magnetfeld als Rotation des Vektorpotentials deniert ist und auerhalb des Solenoides verschwindet, lat sich (2.2.1) fur r 6= 0 als Gradient einer Funktion
schreiben:
~ e?ig(~x) 8r 6= 0 : (~x) = ' + const.
~ (~x) = i eig(~x)r
A~ = r
(2.2.2)
g
2
Ich werde hier voraussetzen, da der Leser mit diesem Beispiel vertraut ist, und nur die mir wichtigen Details wiederholen. Nicht vertraute Leser sollten ein beliebiges Quantenmechanik - Lehrbuch
zu Rate ziehen, z.B. [24, p. 101.],[25, p. 136].
3 Auch f
ur Solenoide endlichen Durchmessers gilt die folgende Argumentation.
2
2.2. EICHTHEORIEN AUF MANNIGFALTIGKEITEN
27
Das heit aber, da das gesamte Eichfeld auerhalb des Solenoids durch eine Eichtransformation des trivialen klassischen Feldes A~ = 0 gegeben ist, alle lokalen Observablen
wie magnetisches und elektrisches Feld also verschwinden aufgrund der Eichfreiheit,
die die klassische Elektrodynamik zulat (klassisches Vakuum). Man kann also durch
Umeichen das Eichfeld an jedem Punkt des Raumes auerhalb des Solenoids zum Verschwinden bringen, jedoch wegen der Erhaltung der nichtlokalen Observable Flu unter lokalen Eichtransformationen nicht uberall gleichzeitig. Die Eichtransformation
ist dabei ebensowenig wie eindeutig deniert, sondern andert sich bei einmaligem
Umlauf um den Solenoid um den Wert . Allerdings ist das Eichfeld (2.2.1) in jedem
Punkt eindeutig. Alternativ macht einen Sprung im Punkt ' = 2(1 ? const.=), der
jedoch unphysikalisch ist, da er durch Wahl der Integrationskonstanten zu beliebigen
Winkeln rotiert werden kann.
Naiverweise sollte der Solenoid das Interferenzmuster geladener Teilchen (im Folgenden der Kurze halber als Elektronen bezeichnet) nicht andern, da sich diese nur
durch die Region auerhalb des Solenoides bewegen konnen, in der mit dem Magnetfeld alle lokalen Observablen Null sind, die also lokal feldfrei ist. Tatsachlich ergibt
sich aber aus dem Prinzip der minimalen Substitution p~ ! ~p ? gA~ , da sich die Wellenfunktion des freien Teilchens (~x) = 0 exp ig~p ~x andert, und damit die von den
Spalten kommenden elektronischen Welle zusatzlich zur ublichen Interferenzphase uber
die gesamte Trajektorie die Phasendierenz
= ?g
d~si A~ + g
d~si A~ = g d~si A~ = g
Z
Traj. 1
Z
I
Traj. 2
aufsammelt, was zu einer Verschiebung des Interferenzmusters bei Variation von fuhrt:
x 2L
d g
(: de-Broglie - Wellenlange des Elektrons), wenn der Spaltabstand d sehr viel kleiner
als die Entfernung L zum Schirm ist.
Obwohl also lokal die Wellenfunktion des Elektrons durch die Eichtransformation
(~x) ! eig(~x)(~x) ; (~x) = ?(~x) in einer oenen Umgebung um ~x (2.2.3)
zu der des freien Teilchens transformiert werden kann (ebenso wie das Eichfeld zu
A~ = 0), erhalt man { oensichtlich durch direkte Kopplung des in der klassischen
Elektrodynamik nur als Hilfsgroe eingefuhrten Eichfeldes an den Teilchenstrom { den
tatsachlich beobachteten Aharonow - Bohm - Eekt. Er hat seine Ursache in dem nichtverschwindenden Flu, der jede beliebige den Solenoid enthaltende Flache durchsetzt,
also in einer globalen Observablen.
Damit kann man lokal auerhalb des Solenoids zwar jedem Elektron im Hilbertraum
der physikalischen Zustande den Vektor des freien Elektrons zuordnen; global aber ist
der Zustand von dem im einem eichfeldfreien Raum verschieden, da er eine von ihm
verschiedene Observable (Interferenzmuster bzw. Flu) besitzt.
Mathematisieren wir diese Beobachtung, indem wir zunachst den Solenoid ganz aus
dem dem Beobachter (oder Elektron) zuganglichen Raum herausnehmen: Der Leser
kann dann leicht sehen, da die so entstandene Mannigfaltigkeit M = R3 =fSolenoidg
eine nichtverschwindende erste Homotopiegruppe besitzt: 1(M) = Z . Schalten wir
andererseits das magnetische Feld im Solenoid ganz ab, so erhalten wir fur die Elektronen die Wellenfunktion des feldfreien Raumes, und die Mannigfaltigkeit ist einfach
28
KAPITEL 2. GRUNDLAGEN VON EICHTHEORIEN
zusammenhangend: 1(R3) = 1. Oensichtlich hat also die Wahl der Mannigfaltigkeit
bzw. des experimentellen Aufbaus einen Einu auf den physikalischen Zustandsvektor, durch den das System im physikalischen Hilbertraum beschrieben wird: Der
physikalische Hilbertraum lokaler Operatoren und die Mannigfaltigkeit verschmelzen
in der Quantenmechanik zu einer neuen, ubergeordneten Struktur, dem (globalen) Hilbertraum, in dem neben den lokalen auch globale Operatoren wirken, und in dem dem
Eichfeld eine besondere Rolle zukommt, die es sorgfaltig zu studieren gilt.
Konstruktion [24],[27] Abstrahieren wir nun obiges Beispiel aus der Wellenmechanik
auf die Feldtheorie: Der Physiker begreift eine Eichtheorie als eine Theorie, deren
physikalische Observablen (z.B. magnetische und elektrische Felder) an jedem Punkt
der Raumzeit invariant gegen eine kontinuierliche Gruppe G (in obigem Beispiel die
Eichgruppe der Elektrodynamik, U(1)) von (sog. lokalen Eich-) Transformationen sind,
wahrend die fundamentalen Felder sich nach einer von der gewahlten Reprasentation
der Eichgruppe D(G) und des Feldes abhangigen Regel transformieren:
Observable((P )) = Observable(g(P )(P ))
(P ) 6= g(P )(P ) 8 g 6= 1
(2.2.4)
Hier beschreibt g(P )(P ) die Wirkung eines Elementes g einer Liegruppe G auf das
Feld im Punkt P. Fermionen der Standard-Yang-Mills - Theorien transformieren sich
z.B. in der fundamentalen Reprasentation: g(P )(P ) = U~ (P )(P ) (cf. (2.2.3)).
Davon ausgehend konnen wir zeigen, da ein Eichfeld existieren sollte, da die Hamiltonfunktion (Energiedichte) der Felder (als phys. Observable) invariant unter jeder
solchen Eichtransformation sein soll. Der Standard-Ausdruck fur die kinetische Energie
~ (P ) (1.2.4) andert sich jedoch unter
in der fermionischen Hamiltondichte (P )~ r
einer ortsabhangigen Translation g(P):
g(P ) (P )~ r
~ (P ) = (P )U~ ?1 (P )~ r
~ U~ (P )(P )
h
i
h
i
Deswegen fuhrt man ein Eichfeld A~ (P ) ein, dessen Transformationseigenschaft (cf.
(2.2.2))
g(P ) A
~ U~ y(P )
~ (P ) := U~ (P )A~ (P ) := U~ (P ) A~ (P ) + i r
(2.2.5)
g
"
#
garantiert, da es aus der Lie-Algebra der Eichgruppe (dem Tangentialraum in G im
Punkt g = 1), und die neue Energiedichte
~ ? igA~ (P )
(P )~ D~ (P )(P ) mit D~ (P ) = r
(2.2.6)
invariant unter lokalen Transformationen aus der Eichgruppe ist. Man beachte, da
~ wieder die Regel der minimalen Substituman in der Ortsdarstellung wegen p~ = ?ir
tion erhalt: ~p(P ) ! p~(P ) ? gA~ (P ) = ?iD(P ).
An jedem Punkt P der Mannigfaltigkeit M existiert eine Kopie eines komplexen Vektorraumes F der Felder, namlich F(P) (der lokale Hilbertraum physikalischer
Zustande im Aharonow - Bohm - Eekt). Dem phyxsikalischen Zustand, wie er durch
lokale Observablen beschrieben wird, ist in ihm der Vektor (P ) zugeordnet, der nach
(2.2.4) invariant unter lokalen Eichtransformationen ist. Fixieren wir nun eine Eichung,
z.B. Coulomb - oder Lorentzeichung, so hangt das so angegebene Feld (P ) wie A~ (P )
2.2. EICHTHEORIEN AUF MANNIGFALTIGKEITEN
29
von der gewahlten Eichung ab (cf. (2.2.1): A0' = A' + f (')=r beschreibt ebenfalls das
magnetische Feld.). Gerade die Form des Transformationsgesetzes (2.2.4) bzw. (2.2.3)
legt es nahe, (P ) als Vektor in F(P) aufzufassen, der die Zerlegung des abstrakten
Zustandsvektors (P ) nach einer von der Eichung abhangigen vollstandigen Orthonormalbasis fe(P )g von F(P) darstellt, die sich unter Anwendung von Gruppenelementen
g(P) transformiert als
g(P )e(P ) = e(P )U~ (P )y :
Das \Skalarprodukt"
(P ) =< e(P ); (P ) > : g (P ) = (P ) :
(2.2.7)
ist damit ein von einer Eichung (Koordinatensystem) unabhangiger Vektor, der jedem
Punkt der Mannigfaltigkeit M als lokaler physikalischer Zustandsvektor im lokalen
physikalischen Hilbertraum F(P) zugeordnet ist.
Die Wahl eines spezischen Feldes aus dem abstrakten Zustandsvektor entspricht also der Wahl der Basis fe(P )g eines Koordinatensystemes in F(P) und wird
Eichung genannt. A nderung der Basis im Punkt P entspricht einer lokalen Eichtransformation. In unterschiedlichen Punkten konnen (wegen der Forderung der stetigen
Dierenzierbarkeit des Feldes innitesimal) verschiedene Eichungen gewahlt werden.
Der vollstandige Zustandsvektor, also derjenige, der in dem physikalischen Hilbertraum deniert ist, in dem auch die globalen Operatoren (wie der Flu) wirken, kann
jedoch { in Abhangigkeit von der Struktur der Mannigfaltigkeit { einen anderen Zustand beschreiben als derjenige, den man bei Betrachtung der Zustandsvektoren an
jedem Punkt von M erwarten wurde, wie man am Aharonow - Bohm - Eekt sah: Lokal sieht der Zustandsvektor des Elektrons in jedem Punkt wie der eines Elektrons im
eichfeldfreien Raum aus; global jedoch zeigt die vom Flu durch den Raum abhangige
Verschiebung des Interferenzmusters, da der Zustandsvektor im physikalischen Hilbertraum nicht das \Vakuum" sein kann.
Karten Was ist nun der Eekt, den die Benutzung von Karten nach sich zieht? Phy-
sikalische Observablen sind eichinvariant, wahrend der Wert des Teilchen- und Eichfeldes von der Wahl der die Eichung auf der Karte xierenden Abbildung Xi abhangig ist,
die ein Feld auf dem Torus in eines auf der Karte uberfuhrt: Xi : (P ) ! (i;~x(P )).
Im U berlapp zweier Karten mussen nur Observablen ubereinstimmen, also eichvariante
Groen nur bis auf Transformationen W~ 2 G gleich sein. Auf unterschiedlichen Karten
konnen z.B. unterschiedliche Eichungen gegeben sein.
A~ (2; P ) = W~ 12(P )A~ (1; P )
(2.2.8)
y
~ (1; P )W~ 12(P ) , etc.
~ (2; P ) = W~ 12(P )
W~ 12 ist dabei die Komposition X2 X1?1.
Wir betonen, da W~ ij keine Eichtransformation im eigentlichen Sinne ist, sondern
vielmehr das Verhalten von Eichfeldern unter Kartenwechseln beschreibt.
Der Physiker gelangt somit zur Formulierung einer Eichtheorie mittels einer Mannigfaltigkeit M, einer Eichgruppe G, dem Eichfeld A~ und dem Hilbertraum der lokalen
physikalischen Zustande F. Aus der neuen fundamentalen Bedeutung der kovarianten
Ableitung D~ (P ) schliet er, da Raumzeit und Eichgruppe zu einer neuen ubergeordneten Struktur verschmelzen.
30
KAPITEL 2. GRUNDLAGEN VON EICHTHEORIEN
2.2.2 Eichtheorien auf Mannigfaltigkeiten II: Der Mathematiker
Es ist diese neue Struktur, die der Mathematiker aufgreift, um von dort aus Eichtheorien auf Mannigfaltigkeiten zu denieren und die Moglichkeit nichtlokaler Phanomene
zu untersuchen.
Denition eines Faserbundels [14],[22],[23],[27] Nach guter Tradition beginnt er
also mit einer Denition:
Eine Struktur (E, , M, F, G) heit Faserbundel ( Fibre Bundle ), wenn sie die
folgenden Eigenschaften besitzt:
(i) E ist eine analytische Mannigfaltigkeit, genannt Bundelmannigfaltigkeit ( Total
Space ) und wird wie folgt konstruiert:
Es existiert eine Projektion : E ! M auf eine analytische Mannigfaltigkeit
M, genannt der Basisraum ( Basis, Base Space ).
Auf einem Satz von oenen Mengen Ui, die die Basis M vollstandig uberdecken,
existieren lokale Trivialisierungen genannte Surjektionen Xi , also Homeomorphismen Xi : ?1(Ui) ! Ui F mit Xi?1(P; ) = P ; P 2 Ui ; 2 F .
Dabei ist F ebenfalls eine analytische Mannigfaltigkeit, die (typische) Faser oder
Standardfaser ( Fibre ).
(ii) Ferner existiert eine Strukturgruppe ( Structure Group ) G von Homeomorphismen
der Faser F, i.A. eine Liegruppe. G wirkt dabei auf F durch GL(m,C)-Matrizen
der fundamentalen Reprasentation.
Gibt es mehrere Fasern und Reprasentationen in E, so ist G die Gruppe, deren
fundamentale Reprasentation der grote gemeinsame Teiler der Reprasentationen
D(G) ist.
(iii) Beim U bergang von einem Satz lokaler Koordinaten (Ui; Xi ) zu einem anderen
(Uj ; Xj ) sind im U berlapp Ui \ Uj an einem Punkt P Xi und Xj durch eine
regulare und insbesondere eindeutige Abbildung
W~ i!j (P ) = Xj (P ) Xi?1 (P ) : F ! F
miteinander verbunden. Diese Homeomorphismen von F sind wiederum Elemente
der Strukturgruppe G.
W~ i!j = W~ ij nenne ich dabei Kartentransformation ( Patching, Transition Function ).
Werfen wir den mathematischen Ballast ab und reduzieren die obige Denition auf
das Wesentliche:
(i a) Eine Bundelmannigfaltigkeit E ist lokal das direkte Produkt einer Mannigfaltigkeit F mit einer Karte oder Umgebung Ui aus einer anderen Mannigfaltigkeit
M, der Basis. Oder in der Sprache des Physikers: Unter der Anwendung lokaler
Operatoren verhalten sich physikalischer Hilbertraum und Mannigfaltigkeit wie
ein direktes Produkt (z.B. lokale A quivalenz der Aharonow - Bohm - Zustande
mit dem Vakuumzustand).
2.2. EICHTHEORIEN AUF MANNIGFALTIGKEITEN
31
Abbildung 2.2.1: Zur Denition eines Faserbundels
Global hat das nicht der Fall zu sein, wie wir spater nochmals an einem Beispiel
sehen werden. Gilt diese Eigenschaft jedoch auch global, so heit das Faserbundel
global trivial. Zustande im physikalischen Hilbertraum konnen dann vollstandig
durch lokale Observablen beschrieben werden.
(ii a) In F existiert ein Skalarprodukt , das gegenuber einer Gruppe G invariant ist, cf.
Abschnitt 2.2.3. ist im obigen Beispiel der Zustandsvektor, der jeder globalen
Feldkonguration zugeordnet ist.
Das druckt die Invarianz physikalischer Zustandsvektoren unter lokalen Eichtransformationen aus.
(iii a) ist eine Konsistenzbedingung an die Transformation zwischen zwei verschiedenen
Karten der Basis M: Zwei Basen der Koordinatensysteme der Fasern F im selben
Punkt P 2 M, aber auf zwei unterschiedlichen Karten des Basisraumes, haben
nur bis auf Transformationen aus G gleich zu sein. Jeder Physiker kann auf seiner
Karte eine ihm genehme Eichung wahlen.
Die Kartentransformationen mussen die kleine und groe Kozyklenbedingung erfullen, um eindeutig formuliert zu sein:
W~ ij (P ) = W~ ji?1(P )
W~ ij (P )W~ jk (P ) = W~ ik (P )
(2.2.9)
Somit wird die U bereinstimmung zwischen der Konstruktion des Physikers und
obiger mathematischer Denition oensichtlich.
Nun deniert man einen (lokalen) Schnitt ( Local (Cross-) Section ) als die auf
Ui M analytische Abbildung
i : Ui
M ! (Ui F ) E;
32
KAPITEL 2. GRUNDLAGEN VON EICHTHEORIEN

die die zur Projektion lokal zugehorige Entechtung ist (i.e. i(P ) = P ). Ofter
noch wird die Restriktion von i auf einen Punkt P der lokale Schnitt genannt. Der
lokale Schnitt wurde in der Analyse des Aharonow - Bohm - Eektes als Zustandsvektor
(P ) im lokalen physikalischen Hilbertraum bezeichnet.
Fur die (lokal) eichunabhangige Abbildung i fuhren wir nun in der schon oben
geschilderten Weise eine basisabhangige Parametrisierung ein [21],[27]: Deniere eine
vollstandige orthonormale Basis fe(P )g auf F(P), nach der der Schnitt zerlegt wird:
i (P ) =< e(P ); i(P ) > (cf. (2.2.7)) Dabei wird vorausgesetzt, da eine Drehung
eines Koordinatensystemes in F(P) keine Fixpunkte zulat.
Diese im Nachsatz zu (ii) enthaltene Bedingung wird in Buchern uber Dierentialgeometrie wohl implizit gemacht, ihre Bedeutung soll aber hier vor dem Hintergrund
der in Abschnitt 2.2.3 und den Kapiteln drei und vier besprochenen groen Dierenz zwischen reinen Eichtheorien und Eichtheorien mit Feldern der fundamentalen
Reprasentation unterstrichen werden.
Damit wird jedem Punkt der Basismannigfaltigkeit ein Zustandsvektor (P ) aus
F(P) zugeordnet. (P ) ist also das, was der Physiker ein Teilchenfeld (Fermionoder Bosonfeld) nannte. Auch hier deniert die Wahl einer Basis im Hilbertaum der
Zustande F(P) eine Eichung in jedem Punkt P. Eine Eichung ist somit lokal durch
Angabe des Punktes P in der Basismannigfaltigkeit und der Basis in F(P) festgelegt.
Jede Umeichung andert den Wert von .
Denition von Eichtransformationen [21],[35] Wir sind an einer Eichxierung
auf ganz M interessiert. Dazu haben wir nun zwei Schritte zu unterscheiden:
Die Karteneichung (Globale Eichung) xiert einen vollstandigen Satz oener Umgebungen auf M, also einen Atlas, und gibt die Kartentransformationen W~ ij der Felder
in den U berlappregionen zweier Karten an.
Die lokale Eichung erst wahlt in jedem Punkt des Basisraumes eine Basis fe(P )g
der Faser F(P) aus. Tatsachlich ist durch die Denition (i) des Faserbundels intuitiv
klar, da man nur eine Faser fur jede Karte benotigt, da lokal das Faserbundel trivial
ist. (Dieser Satz ist in z.B. in [22, p. 312] und [23, p. 161] bewiesen.)
Eine Karteneichtransformation (globale Eichtransformation)4 ist also eine A nderung des Kartensatzes ( durch Vereinigen, Verschieben, Zerschneiden, Ausdehnen oder
Schrumpfen von Karten so, da das Resultat wieder ein Atlas von M ist ), was aufgrund der Kompatibilitat aller Atlanten nichts an der Physik andert, oder auch eine
A nderung der Kartentransformationen W~ ij durch Neuwahl einer lokalen Eichung:
Lokale Eichtransformationen ( fur den Physiker die eigentlichen \Eichtransformationen") andern auf einer Karte von M wohldeniert die Basen fe(Ui)g der Fasern
F (Ui).
Man beachte, da im Allgemeinen lokale Eichtransformationen Karteneichtransformationen induzieren und umgekehrt: In einer Faser F(P) in einem Punkt P der
U berlappregion zweier Karten i und j sei auf der Karte i der Vektor (Karte i; P ), auf
der anderen (Karte j; P ) deniert. Die Kartentransformation ist dann
(j; P ) = W~ ij (P )(i; P ) :
Letzterer Ausdruck ist unglucklich, da in der Physik globale Eichtransformationen ortsunabhangige Transformationen aus der Eichgruppe bezeichnen.
4
2.2. EICHTHEORIEN AUF MANNIGFALTIGKEITEN
33
A nderung des Koordinatensystemes der Faser F(Karte i, P) durch
0(i; P ) = U~ (i; P )(i; P )
fuhrt zu der neuen Kartentransformation
(j; P ) = W~ ij0 (P )0(i; P ) = W~ ij (P )U~ ?1(i; P )0(i; P ) :
(2.2.10)
Soll sich also die Karteneichung nicht andern, mu U~ (P ) = 1 fur alle Punkte P in den
U berlappregionen gelten.
Denition der U bertragung [22],[23],[24] Das letzte fehlende Verbindungsglied
zwischen physikalischer und mathematischer Interpretation einer Eichtheorie ist der
Begri der U bertragung im Faserbundel E:
Man vergleiche in zwei auf M innitesimal benachbarten Punkten P, Q die Vektoren
(P ); (Q) in F. Dazu transportiert man (P ) langs einer Tangente von M im Punkt
P nach Q und erhalt
M Q) = (P ) + d~x r
~ (P ) :
(P !
(2.2.11)
Man kann aber (P ) auch parallel transportieren und dann mit (Q) vergleichen. Da
Analytizitat vorausgesetzt war, konnen beide Vektoren nur innitesimal voneinander
verschieden sein; ihre Dierenz wird also im Tangentialraum von F liegen (Ist F eine
Liegruppe, so liegt die Dierenz also in der dazugehorigen Liealgebra.):
?! Q) = (P ) + igd~x A~ (P )(P )
(P parallel
(2.2.12)
M Q) ? (P parallel
(P !
?! Q) = d~x r~ ? igA~ (P ) (P )
(2.2.13)
Die Dierenz
h
i

wird Kovariante Ableitung genannt. igA~ (P ) heit Ubertragung
( Connection ) im
Faserbundel E. Der Faktor i wird dabei aus Bequemlichkeitsgrunden eingefuhrt, um
im Falle einer unitaren Darstellung D(G) der Eichgruppe mit hermiteschen Matrizen A
rechnen zu konnen; die Kopplungskonstante g beschreibt das Gewicht der \Ableitung"
A~ in der Faser F gegenuber der in der Basis M. Beides ist aber letztlich Konvention,

Mathematiker denieren meist igA~ d~x = A als Ubertragung
(cf. Konventionen in
[22],[23]).
Zwei verschiedene Eekte konnen der Grund fur eine nichtverschwindende U bertragung A sein: Physikalische Dynamik ((P ) und (Q) beschreiben unterschiedliche
physikalische Zustande) und Umeichung ( Die Basen fe(P )g und fe(Q)g sind nicht
gleich gewahlt). Damit ist (2.2.13) ein Ma fur die dem Zustandsraum F, aquivalent
zum lokalen physikalischen Hilbertraum, innewohnende Dynamik.
Schlielich fat der Physiker die U bertragung A~ selbst als fundamentales (Eich-)
Feld auf und ordnet auch ihm einen Zustandsraum zu. Dies entspricht der mathematischen Denition eines Hauptfaserbundels ( Principal Fibre Bundle ) als ein Faserbundel,
dessen Faser der Raum der Strukturgruppe G ist.
34
KAPITEL 2. GRUNDLAGEN VON EICHTHEORIEN
Der Feldstarketensor Fij wird abschlieend parallel zur riemannschen Geometrie
aufgebaut: Ist D~ (P ) die Ableitung des Gesamtraumes E, so mit der Krummungstensor den Eekt einer innitesimalen Parallelverschiebung entlang eines Rechtecks der
Seitenlangen dxi und dxj :
dxidxj Fij := gi dxi dxj [Di; Dj ] ;
(2.2.14)
und somit die innere Krummung des Raumes E bzw. M durch die Faser F. Diese
Konstruktion ist von der allgemeinen Relativitatstheorie her vertraut (cf. [14]).
Ich mochte hier unterstreichen, da eine U bertragung A~ (P ) ein lokales, also nur auf
einer Umgebung um P (einer Karte von M) deniertes Konzept darstellt, das global
den Bach 'runtergehen kann: Es macht nur Sinn, zwei eichvariante Zustandsvektoren in der gleichen Faser F zu vergleichen. Da E lokal ein direktes Produkt von Basisraum
und Faser ist, ermoglicht diesen Vergleich lokal. Ist das Faserbundel, oder insbesondere
das Hauptfaserbundel auch global trivial, so folgt unmittelbar, da die U bertragung
uberall wohldeniert ist und beliebig entfernte Zustandsvektoren durch ein unendliches Produkt von innitesimalen Parallelverschiebungen d~x D~ miteinander verglichen
werden konnen. Diese in der nichteuklidschen Geometrie globaler Fernparallelismus
genannte Eigenschaft global trivialer (Haupt-) Faserbundel wird z.B. in [23, p. 152]
bewiesen. Ich mache nochmals darauf aufmerksam, da dieses Verhalten nichtlokal ist,
zu seiner Messung also globale Observablen benotigt werden.
Wir sehen also: Ein Faserbundel ist genau dann global trivial, wenn der Schnitt global (insbes. uberall analytisch) deniert werden kann.
Ist zu guter Letzt ein Faserbundel nicht global trivial, so denieren wir einen globalen Schnitt (M) als die Menge f (Ui)g der lokalen Schnitte aller Karten.
Damit hat es ein Ende mit der Deniererei, und wir wenden uns einem kleinen
Beispiel zu.
Kleine Zerstreuung (Cf. [22, p. 307f.]) Dies ist { wenn es auch etwas merkwurdig
aussehen mag { eines der wenigen Beispiele, bei dem man sich ein Faserbundel veranschaulichen kann, das zudem nicht notwendigerweise global trivial ist5.
Betrachten wir folgende \Eich"-Theorie: Auf einem Kreis S 1 (der Basismannigfaltigkeit M) leben kleine graue Mannchen, deren armer Zustandsraum, also typische
Faser F, nur aus zwei Elementen bestehe: Sie konnen nur das \Umklappen eines Vektors", nicht die Richtung des Vektors selbst messen; d.h. besteht nur aus den zwei
Elementen \Umklappen" und \Nicht Umklappen".
Um den Kreis vollstandig zu uberdecken, verwenden sie den minimalen Atlas von
zwei Karten und reduzieren den U berlapp so ziemlich auf zwei Punkte P und Q (siehe
Abbildung 2.1.2).
Die Wesen errichten eine Basis in der Faser, soda die beiden Werte " und #
annehmen kann. Schlielich vereinbaren sie auch eine lokale Eichung: Als Ausgangspunkt ihrer Messung denieren sie auf jeder Karte einen Vektor, mit dessen Richtung
die anderen verglichen werden: Sie nehmen den Vektor in F(P) in die Hand und tragen
ihn nach P', um ihn mit dem dortigen Wert von zu vergleichen. Deuten die Vektoren in P und P' in unterschiedliche Richtungen, so bendet sich dazwischen nach ihrer
Obwohl es eine bemerkenswerte Verwandtschaft mit dem Ising - Modell aufweist, konnte ich eine
physikalische Relevanz dieses Eektes jedoch nicht entdecken.
5
2.2. EICHTHEORIEN AUF MANNIGFALTIGKEITEN
35
Denition ein Teilchen. Nehmen wir im Folgenden an, da auf keiner der Karten ein
so detektierbares Teilchen gefunden wurde (\Vakuum" der Theorie).
Wechseln sie zwischen P und P' die Karte, so haben sie erst die \Vektorkonvention"
(also Eichung) der anderen Karte anzunehmen, ohne da sie ein Teilchen detektieren
konnen, wenn beide Konventionen im U berlapp der Karten nicht ubereinstimmen, wie
aus der Untersuchung jeder der U berlappregionen auf einer der Karten folgt. Mit
einer Kartentransformation akzeptieren sie also nur die Eichung der neuen Karte. Die
Kartentransformationen in den U berlappregionen konnen Werte g 2 G annehmen, und
die moglichen Kombinationen sind:
Kombination g(P ) g(Q)
1
1
1
2
1 ?1
3
?1 1
4
?1 ?1
Schicken wir einen Gelehrten auf die Reise, wahrend ein zuverlassiger Freund zuhause bleibt. Beide verglichen ihre Vektoren vor der Abreise miteinander und werden
sie beim nachsten Zusammentreen wieder vergleichen. In Abbildung 2.2.2 ist das
Ergebnis des Paralleltransportes festgehalten.
Abbildung 2.2.2: Paralleltransport eines Vektors aus F links fur Fall eins, in der Mitte
fur Fall vier und rechts fur die Falle zwei oder drei.
Zu ihrem Erstaunen gelingt der Paralleltransport nicht widerspruchsfrei im zweiten
und dritten Fall, selbst wenn auf jeder Karte kein Teilchen registriert wurde. Insbesondere ist der Ort des scheinbaren \Umklappens" immer der Anfangs- und Endpunkt des
Umlaufes; und nur nichtkontrahible Umlaufe detektieren diese \Teilchen": Entschliet
sich der Gelehrte, auf halbem Wege umzukehren, gelingt der Paralleltransport. Und
wie beim Mobiusband gelingt ein Paralleltransport, bei dem Anfangs- und Endergebnis gleich sind, bei zweimaligem Umlauf um den Kreis: Das Teilchen ist scheinbar
verschwunden.
In den Fallen eins und vier erkennen wir die Bundelmannigfaltigkeit E als orientierbar, im zweiten und dritten Fall als nicht orientierbar. Eine einfache lokale Eichtransformation, i.e. Neudenition der Vektorkonvention, auf der zweiten Karte ermoglicht
die Wahl der Eichung " im Falle vier auf ganz M, wahrend eine Umeichung auf einer
oder beiden Karten fur das Mobiusband nur die Problemstelle verschiebt, Fernparallelismus jedoch nicht erreichen kann.
36
KAPITEL 2. GRUNDLAGEN VON EICHTHEORIEN
Es existieren somit zwei unterschiedliche Faserbundel: In den Fallen eins und vier ist
E = S 1 G ein Zylinder und global trivial, in den anderen Fallen ist E das Mobiusband
und eben nur lokal trivial. Bei Rekonstruktion des Faserbundels E aus Strukturgruppe
G, Faser F und Basisraum M konnen also unterschiedliche Wahlen von Kartentransformationen W~ ij auch unterschiedliche Faserbundel erzeugen. Zylinder und Mobiusband
sind nicht stetig ineinander deformierbar; und so hat man einen Cut-and-Glue - Operator B (P0) zu denieren, der den Zylinder in ein Mobiusband uberfuhrt und in einem
beliebigen Punkte P0 nicht stetig/regular sein kann.
Die Physikerfreunde einigen sich nach wechselseitigen Schuldzuweisungen im Fall
eines Mobiusbandes darauf, da ihre Eichtheorie einen Defekt besitzt, der nur durch
globale Operatoren detektiert werden kann: Eine Feldkonguration, die nur durch
globale Operatoren zu beobachten ist, und der man Teilchencharakter zuordnen wurde,
wenn man ein Teilchen detektieren konnte, das sich auerhalb des zuganglichen Raumes
bendet. Im Aharonow - Bohm - Eekt war dieses unbeobachtbare Teilchen fur das
Elektron der Solenoid.
Wir werden sehen, da beidesmal das dreidimensionale Analogon ein Monopol ist.
2.2.3 \Reine" Eichtheorien
Betrachten wir Eichtheorien in Abwesenheit von sich unter der fundamentalen Reprasentation der Strukturgruppe transformierender Teilchen (in Standard-Yang-Mills
- Theorie also ohne Fermionen). Wegen der Kopplung des nichtabelschen Eichfeldes
an sich selbst sind diese Theorien auer fur die Elektrodynamik weder frei noch trivial
(2.2.14/2.3.1). Physikalisch konnen nun neue stabile Feldkongurationen auftreten, da
z.B. ein durch Connement gebildeter Eichfeldstring nicht mehr aufbrechen kann (cf.
Kapitel 3.4).
Da die Eichfelder unter der adjungierten Darstellung der Eichgruppe G transformieren, sind alle koordinatenunabhangigen Eichtransformationen Z, die mit jeder Matrix
der Lie-Algebra vertauschen, Fixpunkte der Eichtransformationen (2.2.5).
ZA
~ (~x) = A~ (~x)
Eine Umeichung ndet bei solchen Transformationen nicht statt: Alle eichvarianten
Felder besitzen dieselben Werte wie zuvor; das Koordinatensystem fe(P )g wurde nicht
verandert. Das Zentrum Z ist als die Menge aller solcher Matrizen aus G deniert und
formt eine Untergruppe von G. Aufgrund des zweiten schurschen Lemmas (cf. [9, p.
80, Theorem II]) sind dann alle Zentrumselemente in irreduziblen Darstellungen der
Strukturgruppe zur Einheitsmatrix proportional; durch die denierenden Eigenschaften
der Gruppenelemente werden sie weiter eingeschrankt. So hat U(N) ein kontinuierliches
Zentrum
(2.2.15)
Z (U (N )) = U (1) = ei' ; ' 2 [0; 2[ ;
wahrend die Elemente der SU(N) Determinante 1 haben mussen, also
n
o
Z (SU (N )) = ZN = e 2Ni n ; n = 0; ::; (N ? 1) :
n
o
(2.2.16)
Es existieren also unterschiedliche Eichtransformationen, die nur bis auf Zentrumselemente identisch sind und dasselbe transformierte Eichfeld erzeugen, bzw. die die
2.2. EICHTHEORIEN AUF MANNIGFALTIGKEITEN
37
Periodizitat eines Eichfeldes in einer Koordinate s 2 [0; 2] unverandert lassen, obwohl
sie selbst nur bis auf Zentrumselemente periodisch sind:
U~ (~x) A
~ (~x) = ZU~ (~x)A~ (~x)
8A~ (s = 0) = A~ (s = 2) : U~ (s)A~ (s) = A~ 0(s) ^ A~ 0(s = 0) = A~ 0(s = 2)
()
U~ (s = 2) = Z U~ (s = 0)
(2.2.17)
Wir mussen nun fordern, da jede Drehung des Koordinatensystems in F(P) (auer
der trivialen U~ = 1) zu neuen Feldern fuhrt, haben also alle Fixpunkte der Theorie unter Eichtransformationen auszuschlieen. Ansonsten konnten wir als Strukturgruppe
ja jede beliebig groe Gruppe wahlen, deren auf das Skalarprodukt der Faser F(P)
wirkende Reprasentation nicht treu, sondern eben z.B. die fundamentale Reprasentation der beobachteten Strukturgruppe ist, was oensichtlich unvernunftig ist: Jede
Eichtheorie konnte dann z.B. als GL(n,C)-Theorie interpretiert werden. Dies ist die
Implikation des Nachsatzes in der Denition eines Faserbundels in 2.2.2 (ii): Die Strukturgruppe ist stets diejenige Gruppe, deren fundamentale Darstellung auf die Faser
wirkt.
Betrachten wir also \reine" Eichtheorien, so zeitigen Eichtransformationen der Art
(2.2.17) lokal keine unterschiedlichen Eekte. Nur unter der fundamentalen Darstellung transformierende Teilchen konnen zwischen der Anwendung von U~ und Z U~ unterscheiden. Die Strukturgruppe ist nicht mehr die ursprungliche Gruppe G, sondern
G=Z (G) =: G0(G), namlich die Gruppe, deren fundamentale Darstellung die adjungierte von G ist6. Man uberzeugt sich schnell, da
G0(U (1)) = 1 ;
(2.2.18)
0
0
G (U (N )) = G (SU (N )) = SU (N )=ZN :
(2.2.19)
Es erweist sich als auerst nutzlich, Eich- und Kartentransformationen weiterhin aus G
zu wahlen, wenn man nicht vergit, da sie tatsachlich nur bis auf ein Zentrumselement
deniert sind, da also z.B. die Eichtransformation
U~ (s = 2) = Z U~ (s = 0)
(2.2.20)
in G' periodisch ist.
Hatten wir diese Verkleinerung der Eichgruppe nicht vorgenommen, so wurde nach
vollstandiger Eichxierung der Hamiltonoperator noch eine diskrete Symmetrie aufweisen, die der Zentrumsymmetrie entspricht. Schreiber [26] entdeckte diese Symmetrie
in der SU(2) - Theorie auf dem Kreis auch ohne die Ausreduktion von Z . Unsere
Betrachtung erspart uns diese zusatzliche Suche am Ende, indem wir sie bereits am
Anfang eliminieren und statt dessen die Eichgruppe neu denieren.
Wir werden die Struktur der Faserbundel reiner Eichtheorien in 3.2.2, 3.2.4, 3.4 und
3.5.2 naher untersuchen und resultierende physikalische Konsequenzen erkunden.
2.2.4 Kriterium fur Defekte oder globale Trivialitat
Ich bin mir im Klaren daruber, da dieses Kapitel dem nur an den physikalischen Konsequenzen interessierten Leser viel abverlangt. Fehlen ihm auch nach Parallelstudium
Bis auf den Fall der auerordentlichen Gruppe G2 ist dies fur keine halbeinfache Liegruppe wieder
G selbst.
6
38
KAPITEL 2. GRUNDLAGEN VON EICHTHEORIEN
von Aharonow - Bohm - Eekt und Zerstreuung mit diesem Kapitel Beispiele, so verweise ich ihn auf Abschnitt 3.2.2, in dem nochmals das Auftreten von Defekten mit dem
nun zu entwickelnden Formalismus exemplarisch durchexerziert wird. Danach sollte er
jedoch zu diesem Kapitel zuruckkehren, da die hier entwickelten Techniken nicht nur
unverzichtbar fur die weitere Arbeit sind, sondern auch reiche und billige Ernte im
dritten und vierten Kapitel ermoglichen.
Kriterien fur beliebige Mannigfaltigkeiten [22],[23] Wann konnen wir das Eich-
feld ohne Zuhilfenahme mehrerer Karten, also global, denieren? Ist ein und dieselbe
Basis feg einer Faser F widerspruchsfrei in jedem Punkt des Basisraumes M wahlbar,
liegt also globale Trivialitat des Faserbundels vor, so beschreibt A nur noch physikalische Dynamik, die Eichung ist vollstandig xiert.
Ist E nicht global trivial, werden wir wie im Aharonow - Bohm - Eekt und Ising Modell von einer Defektstruktur sprechen. Zur Beschreibung der Eichtheorie ist dann
die Einfuhrung mehrerer Karten unumganglich: Wir sahen ja, da auf jeder Karte das
Faserbundel trivial ist. Defekte oder Twists konnen somit nur durch die Verknupfung
von Karten entstehen.
Minimieren wir das Volumen jeder U berlappung zweier Karten (cf. Zerstreuung). ~s
parametrisiere im Folgenden den (d-1) - dimensionalen Rand der Karte (~s 2 [0; 2]d?1)
(auf einer Kreisscheibe die Winkelkoordinate) und t 2 [0; 1] die Koordinate normal
zum Kartenrand (Radialkoordinate). t sei die Breite der U berlappregion. Auf jeder
U berlappung zweier Karten (einem Teil des Kartenrandes) ist nun eine mittels der
Koordinaten (~s; t) parametrisierte Funktion W~ ij , also eine Abbildung
W~ ij : Kartenuberlapp(~s; t) ! Eichgruppe G
(2.2.21)
deniert. Eine Eichtheorie ist genau dann defektfrei, wenn alle Kartentransformationen W~ ij mittels lokaler auf einer ganzen Karte i wohldenierter Eichtransformationen U~ (Karte i) an jedem Punkt der U berlappregion gleichzeitig stetig zum Einselement
der Eichgruppe deformierbar sind (Anwendung von (2.2.10)):
U~ : U~ j@Karte i= W~ ij
(2.2.22)
U~ (~s; t) ist nur dann auf der Karte wohldeniert, wenn fur alle t, besonders also fur
t ! 0, U~ nichtsingular ist. Also mu
lim
U~ (~s; t) = const.
(2.2.23)
t!0
sein, wobei diese Konstante mittels einer nicht koordinatenabhangigen Eichtransformation stets zu 1 gewahlt werden kann. Wir identizieren also die Radialkoordinate t
mit dem in 2.1.3 denierten Deformationsparameter und sehen, da U~ entweder fur alle
Werte von t eine kleine Eichtransformation im Sinne von 2.1.3 ist, oder nicht existiert.
Groe Eichtransformationen treten auf einer Karte nicht auf.
Somit reduziert sich die Suche nach Defektstrukturen auf die bekannte Frage, ob die
durch W~ ij denierten Abbildungen in eine oder mehrere A quivalenzklassen zerfallen.
Durch stetige Deformation kann man stets den Streifen der Breite t zu einer Linie in G degenerieren, d.h. man wahlt W~ unabhangig von t. Es folgt mit (2.2.5),
da die Komponente des Eichfeldes normal zum Kartenrand stets homogen, i.e. ohne
Gradiententerm, transformierend gewahlt werden kann.
2.2. EICHTHEORIEN AUF MANNIGFALTIGKEITEN
39
Jede nicht-kompakte U berlappregion zwischen zwei Karten separat betrachtet besteht aus nur einer A quivalenzklasse. Defektstrukturen konnen also so nicht auftreten.
Anfangs- und Endpunkt von Kartentransformationen sind jedoch zusatzlich durch die
Kozyklenbedingung (2.2.9) eingeschrankt: Es existieren stets noch Punkte zusammen
mit einer innitesimalen Umgebung, in denen drei Karten uberlappen (cf. Abbildung
2.1.3).
Reduzieren wir in der U berlappregion dreier Karten 1,2,3 durch lokale Eichtransformationen z.B. auf Karte 2 W~ 23(U1 \ U2 \ U3) zum Einselement der Strukturgruppe,
so erhalten wir wegen (2.2.9), da
W~ 12(P ) = W~ 13(P ) 8P 2 U1 \ U2 \ U3 :
(2.2.24)
Somit ist die Kartentransformation W~ auf dem Rand der Karte 1 eine stetige (sogar unendlich oft dierenzierbare) Funktion der Koordinaten des Randes, unabhangig
davon, zu welcher Karte sie transformiert. Da wegen der Eindeutigkeit von W~ auf
dem Rand einer Karte W~ (~s = (0; ::)) = W~ (~s = (2; ::)) sein mu, ist W~ eine geschlossene Hyperache in der Gruppenmannigfaltigkeit, die durch die Koordinaten ~s
des Kartenrandes parametrisiert ist. Gegen jede Reparametrisierung von W~ (~s) mittels
einer stetigen, monotonen Funktion f (~s), die in Anfangs- und Endpunkt unterschiedliche Werte annimmt, ist die Lage von W~ in G invariant. Insbesondere fuhrt eine
Reparametrisierung also nicht aus einer gegebenen A quivalenzklasse von Abbildungen
heraus. Da physikalische Zustande unter solchen Eichtransformationen aufgrund der
Denition des Skalarproduktes (2.2.7) sind, ist eine tautologische Bemerkung.
Kartenrander zusammenhangender Karten sind topologisch aquivalent zu Produkten d-dimensionaler Kugeln S d, parametrisiert mittels ~s. Stets lassen sich Atlanten
nden, deren Kartenrander Kugeln gleichen. Damit werden die Abbildungen wieder
durch die bereits oben eingefuhrten Homotopieklassen katalogisiert: Ist die d-te Homotopiegruppe d(G) nicht einelementig, so kann man die lokalen Teile des Bundels beim
Zusammenkleben durch Kartentransformationen unentwirrbar verdrehen (twisting).
Klassikation von Defekten Die folgenden Namen fur die Defektstrukturen in
einer vierdimensionalen Raumzeit haben sich eingeburgert und sind durch zahlreiche
Beispiele motiviert (z.B. [23, p.246]):
0(G) 6= 1 : Oberachendefekte (Domain Walls) z.B. Ising-Modell
1(G) 6= 1 :
Liniendefekte (Vertex)
z.B. Nielsen-Olesen-String,
Dirac-Monopol,
Aharonow - Bohm - Eekt
cf. Abschnitt 3.2.2
2(G) 6= 1 :
Punktdefekte / Monopole
't Hooft-Monopole
3(G) 6= 1 :
Instantonen
cf. Kapitel vier
Der erste Defekt wurde in der kleinen Zerstreuung dargestellt: 0(f1; ?1g) = Z2 ist
zweielementig, somit existiert im oben beschriebenen Universum eine triviale Eichtheorie (Zylinder), entsprechend dem Einselement der nullten Homotopiegruppe, und eine
mit Defekt (Mobiusband).

Zum Abschlu dieser Uberlegungen
sei nochmals auf die Wichtigkeit der Eichgruppe
G hingewiesen: Die Wahl von G legt fest, ob und welche Defekte zu erwarten sind; und
40
KAPITEL 2. GRUNDLAGEN VON EICHTHEORIEN
ein Symmetriebruch, der eine Verkleinerung der Eichgruppe zu H G zur Folge hat,
wird nochmals andere (i.A. sogar mehr) Defekte zeitigen.
Zur Stetigkeit von Funktionen aus der Lie-Algebra Schreibt man U~ auch als
Exponent einer Lie-Algebra - wertigen Funktion U~ (~s; t) = eig(~s;t), was nach [9, p. 390
Theorem VII] fur jede zusammenhangende, kompakte Liegruppe G moglich ist, so ist
mit (2.2.23) auch 1 wegen der Eindeutigkeit des Matrix-Logarithmus' in einer
kleinen Umgebung der Identitat [10, p. 49f., insbesondere Proposition 6 (ii)] eindeutig
vorgegeben und
(~s; t) = (~s + 2~ei; t) 8t nahe t = 0:
(2.2.25)
Diese Eigenschaft von wird im Allgemeinen global nicht gelten, d.h. es kann passieren, da (~s; t) 6= (~s + 2~ei; t), obwohl U~ (~s; t) = U~ (~s + 2~ei; t) und U~ uberall stetig
dierenzierbar ist. So eine Unstetigkeit ist vom Blattwechsel des gewohnlichen Logarithmus bei einem vollen Umlauf um den Koordinatenursprung der komplexen Ebene
vertraut und kann durch die Einfuhrung mehrerer Karten zum Verschwinden gebracht
werden (cf. Abschnitt 4.1.1).
Ist auf der ganzen Karte innitesimal klein, so besteht uberall die bijektive Beziehung zwischen U~ und , also
8 1 : (~s + 2~ei; t) = (~s; t) 8t :
(2.2.26)
Beispiele, in denen (2.2.25) auf der ganzen Karte gilt oder nicht gilt, sind in Abschnitt 3.2.2 und 3.3.2 gegeben; ihre Entstehung wird im Abschnitt 3.2 dieses Kapitels
und in 4.1.1 erklart.
2.3 Kanonische Quantisierung von Eichtheorien
He's a gauge xer.
M. Thies, Lunch Time Communication
Beschlieen wir dieses recht formale Kapitel mit der Formulierung von kanonisch
quantisierten Eichtheorien. Es moge erscheinen, da die soeben eingefuhrten mathematischen Strukturen nicht oder nur begrenzt auf die Quantenmechanik anwendbar
seinen. Tatsachlich ist aber das Gegenteil der Fall.
2.3.1 Quantisierte Eichtheorien im hamiltonschen Formalismus
Hamiltonfunktion Aus (2.2.6) und (2.2.14) ergibt sich die (eichinvariante, also kartenunabhangige) Lagrangedichte von Eichtheorien zu7
? 1 tr [F F ]
L = i D ? m
2
mit D := @ + igA ;
F := ? gi [D ; D ] = @A ? @ A + ig [A; A ] :
(2.3.1)
Da die Minkowskimetrik die Signatur (+; ?::?) besitzt, ist (A~ )i = ?A , wenn eine raumartige
Komponente ist.
7
2.3. KANONISCHE QUANTISIERUNG VON EICHTHEORIEN
41
Die Fermionenfelder sind dabei in der Standard-Yang-Mills - Theorie Vektoren
im Farbraum genannten Raum der Eich- oder Strukturgruppe G, von denen jede
Komponente ein Viererspinor ist: = m. = 1; ::; 4 ist der Spinorindex und
m = 1; ::; dimDfund.(G) der Farbindex. Fur SU(N) z.B. ist ein N-dimensionaler Vektor im Raum von N Farben, dessen einzelne Eintrage vier Spinorkomponenten sind.
Die Spur in (2.3.1) ist im Farbraum zu nehmen.
Es ist nutzlich, die Zerlegung von Liealgebra-wertigen Matrizen nach einer vollstandigen Orthonormalbasis ftag (a = 1,..,dim L(G) , in SU(N) ist z.B. dim L(G) =
N 2 ? 1; in U(1) ist die Liealgebra eindimensional (a=1)) der Lie-Algebra L(G) der
Strukturgruppe einzufuhren:
tr tatb = 21 ab ; ta; tb = if abctc : Op = Opata
h
i
h
i
Hier sind f abc die Strukturkonstanten der Liealgebra, und ta z.B. fur SU(N) hermitesche
spurlose Matrizen8.
Folglich ist
Fa = 2 tr [F ta] = @Aa ? @ Aa ? gf abcAbAc :
Um den unnotigen Aufwand zu vermeiden, die sich bei einer wegen des Fehlens
eines zu A0 kanonisch konjugierten Impulses notwendigen kanonischen Quantisierung
mit Zwangsbedingungen (Dirac-Constraint-Quantisierung) ergibt, wahlen wir zur Herleitung der Hamiltonfunktion
H= H
Z
M
noch auf klassischer Ebene die Weyl-Eichung9 A0 = 0. Dann sind die kanonischen Variablen die Vektorpotentiale A~ a und Fermionfelder und deren kanonisch konjugierten
Impulse ai = ?F 0a = A_ ai 10 und (cf. (1.2.4)) iy, woraus sich die kartenunabhangige
Hamiltondichte ergibt zu
H(P ) = ?iy(i;~x)~ D~ (i;~x)(i;~x) + my(i;~x) (i;~x) +
~ 2(i;~x) + 1 (Fij (i;~x))2
+ 21 tr 2
i
0 i
~ ? igA~ (i;~x) :
:= ; := 0 ; D~ (i;~x) := r
mit
(2.3.2)
In Analogie zur Elektrodynamik deniert man oft auch ~ als farbelektrisches und Bi :=
?1=2ijk F jk als farbmagnetisches Feld. Nach (2.2.8) sind
beide nicht eichinvariant,
transformieren aber homogen, soda ihr \Betrag" (trOp2)(1=2) erhalten bleibt.
Es ist aus den vorhergehenden Abschnitten klar, da A~ die U bertragung auf der
Mannigfaltigkeit M ist.
Fur SU(3) sind sie die Gell-Mann - Matrizen a =2.
Wie gebrauchlich sie ist, sieht man schon an der Anzahl von Namen, die sie besitzt: Temporal
Gauge, Heisenberg-Pauli- oder Evans-Fuller - Eichung.
10 war ein raumartiger Index im Minkowskiraum, also x = ?x . i ist ab jetzt einer im euklidschen
Raum, in dem kein Unterschied zwischen co- und kontravarianten Vektoren mehr besteht.
8
9
42
KAPITEL 2. GRUNDLAGEN VON EICHTHEORIEN
Kanonische Quantisierung Wir quantisieren, indem wir Felder und konjugierte
Impulse als Operatoren interpretieren, die die kanonischen Gleichzeitigkeits-Kommutatorrelationen (1.1.1) erfullen, von denen nur die folgenden nicht verschwinden:
Aai(Karte i; P; t); bj (Karte i; Q; t) = iabij ~(P; Q)
(2.3.3)
(2.3.4)
m(Karte i; P; t); y m (Karte i; Q; t) = mm ~(P; Q)
h
i
0
0
0
0
Wie in (1.1.1) hangt ~(P; Q) von der Struktur der Raumzeit ab. Man beachte, da ~
auf jeder Karte eindeutig deniert ist:
~(P; Q) = ~(Karte i;~x(P ) ? ~x(Q)) ; ~x(P ) = ~x(Q) , P = Q
(2.3.5)
X
i
Im hamiltonschen Formalismus ist die manifeste Lorentz-Invarianz der Lagrangedichte (2.3.1) durch die Beschrankung auf eine bestimmte raumartige Hyperache M
gebrochen. Die Zeit t spielt dann die Rolle eines Entwicklungsparameters der Theorie,
wobei die Zeitentwicklung von Operatoren im Heisenberg-Bild gegeben ist durch
d Op(P ) :
(2.3.6)
[Op(P ); H ] = i dt
2.3.2 Denition physikalischer Zustande
Symmetrien der Hamiltonfunktion Man stellt fest, da die Operatoren
Z
d3x Ga (i;~x)f a(i;~x) ;
eiG[i;f ] := exp i
Karte i i
~ + ga(i;~x) + gf abc A~ b(i;~x) ~ c(i;~x)
Ga(i;~x) := ?~ a(i;~x) r
(2.3.7)
(2.3.8)
(a(i;~x) := y(i;~x)ta(i;~x) ist die fermionische Farbladungsdichte) fur beliebige Funktionen f a (i;~x), die nur auf einer Karte so deniert sein mussen, da eigf (i;~x) in jedem
Kartenpunkt stetig dierenzierbar ist, eine kontinuierliche Symmetrie des Hamiltonoperators (sogar der Hamiltondichte (2.3.2)) dartellen, also mit ihm vertauschen und
damit gute Quantenzahlen darstellen. Ga (i;~x) generiert beliebige zeitunabhangige
Eichtransformationen auf einer Karte, die ja in der Weyl-Eichung noch zugelassen
sind (vgl. (2.2.4/2.2.5)):
e?iG[i;f ](i;~x)eiG[i;f ] = eigf (i;~x)(i;~x)
~ iG[i;f ] = eigf (i;~x) A~ (i;~x) + i r
~ e?igf (i;~x) , etc.
e?iG[i;f ]Ae
g
"
#
(2.3.9)
Im Folgenden werden wir statt eigf (i;~x) oft auch U~ (i;~x) schreiben.
Die (nur in QED kartenunabhangigen) Ga (i;~x) selbst vertauschen nur bis auf
Oberachenterme an den Kartenrandern mit dem Hamiltonoperator, sind selbst also
keine guten Quantenzahlen, und erfullen die Algebra
Ga (i;~x); Gb(i; y~) = i~(~x ? ~y)f abcGc (i;~x) ;
(2.3.10)
h
i
weshalb im Allgemeinen sowieso nicht alle gleichzeitig mit dem Hamiltonoperator diagonalisierbar waren.
2.3. KANONISCHE QUANTISIERUNG VON EICHTHEORIEN
43
Herleitung des gauschen Gesetzes Die Bedeutung dieses Operators kann aus
dem Korrespondenzprinzip hergeleitet werden: In der Weyl-Eichung werden wir im hamiltonschen Formalismus11 nur drei der vier klassischen Euler-Lagrange - Gleichungen12
~ H ] = iA~_ und
fur die Eichfelder A~ aus den heisenbergschen Bewegungsgleichungen [A;
~ ; H ] = i~_ nden, da A0 nicht mehr existiert, und somit trivialerweise [A0; H ] ver[
schwindet.
Wir vermissen { wie bereits in der klassischen Hamiltonfunktion { das quantenmechanische Analogon zum gauschen Gesetz, das wir im Lagrangeformalismus aus dem
Prinzip der stationaren Wirkung durch Variation von (2.3.1) bzgl. A0(i;~x) erhalten
[24, p. 85.]. Dabei hangt die Lagrangedichte nicht explizit von den Koordinaten ab,
nur Aa0 (i;~x) ist also funktional zu variieren.
Aa0 (i; xi) ! Aa0(i; xi) + Aa0(i; xi)
t1
t1
=) S =! 0 = dt L = dt
d3xiL ;
t0
t0
M
i Karte i
L = @Aa@(Li; x) Aa0(i; xi) + @ (@ A@aL(i; x)) @ (Aa0(i; xi)) =
(2.3.11)
Z
(2:3:1)
=
Z
Z
X
Z
0
i
i
i
a
abc
b
c
?g (i; xi ) ? gf A~ (i; xi ) ~ (i; xi) + ~ a(i; xi) r~ Aa0(i; xi)
h
0
~ Aa0(i; xi) enthaltenden Term durch partielle
Normalerweise wandelt man den r
Integration um und erhalt so das gausche Gesetz, nachdem man den Oberachenterm
wegdiskutiert hat (\Felder verschwinden im Unendlichen genugend schnell"). Hier
konnen wir nicht so verfahren: Einerseits wollen wir nicht zu genau den ad-hoc Argumenten greifen, die in der Einleitung so vehement verdammt wurden, andererseits
kann die Ausbreitung der Felder nicht durch die Existenz von Karten gestoppt werden:
Zwei auf unterschiedlichen Karten sitzende Ladungen wechselwirken miteinander. Man
bemerke auerdem, da auer in QED weder a(i; xi) noch Aa0(i; xi) eichinvariant,
also im selben Punkt P der Mannigfaltigkeit auf unterschiedlichen Karten nur bis auf
Kartentransformationen W~ ij identisch sind (2.2.4/2.2.8).
Wollen wir stets in der Weyl-Eichung bleiben, so ist die kleine Variation Aa0(i; xi) =
Aa0(i;~x) zeitunabhangig. Da wir in der quantisierten hamiltonschen Theorie die im
Lagrangeformalismus zu A0 gehorige Bewegungsgleichung nicht erhalten, mu sie aufgrund des Korrespondenzprinzipes als Zwangsbedingung fur physikalische Zustande
implementiert werden. Als Operatorgleichung kann sie nicht gelten, da die Operatoren
weder miteinander (2.3.10) noch mit einer der kanonischen Variablen kommutieren.
Auch vertauscht i.A. der Operator (2.3.8) wie gesagt nur bis auf Karten - Randterme
mit dem Hamiltonoperator, ist also keine gute Quantenzahl. Da jedoch eig(i;") (2.3.7)
mit H vertauscht, implementieren wir, da physikalische Zustande invariant sind unter
diesen Transformationen:
exp ?i d3xi Gaua(Karte i;~x)"a(Karte i;~x) j phys >=j phys > ! (2.3.12)
R
11Dies gilt bereits in der klassischen Eichtheorie, in der die im Folgenden auftretenden Kommutatoren als Poissonklammern zu betrachten sind.
12Diese drei sind bis auf ein Ober
achenintegral (parallel zur nachfolgenden Herleitung des gauschen Gesetzes) die quantenmechanischen Analoga zum amperesche Durchutungsgesetz D0 aj +
+Di Fji a = jja . Die beiden restlichen Maxwellgleichungen D F = 0 ergeben sich nicht
aus dynamischen Betrachtungen, sondern sind Folgerungen aus der Denition des Feldstarketensors
(2.2.14/2.3.1): Aufgrund der Jacobi- (oder Bianchi- ) Identitat ist [D ; [D ; D ]] = 0.
44
KAPITEL 2. GRUNDLAGEN VON EICHTHEORIEN
~ "a(i;~x) j phys >
= exp ?i d3xi ?ga(i;~x) ? gf abc A~ b(i;~x) ~ c(i;~x) + ~ a(i;~x) r
Die Eichfunktionen "a(i;~x) sind beliebige, im Gegensatz zu f a (2.3.7) uberall innitesimale und stetig dierenzierbare Funktionen, die ausschlielich auf einer Karte deniert
sind. Dabei folgt die Forderung nach stetiger Dierenzierbarkeit aus der umkehrbaren Eindeutigkeit, mit der jedes innitesimale "ata mit einem
dem Einheitselement der
a ta
ig"
Strukturgruppe innitesimal benachbartem Element e
verknupft ist (siehe Bemerkung am Ende von 2.2.4).
Da der Operator (2.3.12) fur alle moglichen Eichfunktionen mit dem Hamiltonoperator vertauscht (2.3.8), garantiert (2.3.6), da durch (2.3.12) denierte Zustande sich
nicht aus dem physikalischen Sektor des Zustandsraumes heraus entwickeln konnen.
Damit induzieren die "a(i;~x) die in (2.2.7) und 2.2.2 beschriebenen Rotationen der
in der Faser F(P) in jedem Punkt der Mannigfaltigkeit eingefuhrten Basen fe(P )g.
j phys > ist ein Zustand im physikalischen Fockraum und wurde in 2.2.2 als lokaler
Schnitt in der Faser F(P) bezeichnet.
R
i
h
Das verallgemeinerte gausche Gesetz Man bemerke, da physikalische Zu-
stande invariant unter allen Eichtransformationen (Karte i) sind, die aus innitesimalen Transformationen " erzeugt werden konnen. Wenn
eiGau[i;] = eiGau[i;"j ]
(2.3.13)
Y
j
mit
a
eiGau[i;"j (i;~x)] := eig Karte i d3xiGau (i;~x)"aj(i;~x) ;
dann ist wegen (2.3.12)
e?iGau[i;"j ] j phys >=j phys >
auch
e?iGau[i;] j phys >=j phys >
(2.3.14)
fur alle kleinen Eichtransformationen (cf. Abschnitte 2.1.2 und 2.2.4), d.h. Eichtransformationen, die aus innitesimalen, stetig dierenzierbaren Funktionen "aj erhalten
werden konnen.
Eliminiert man das gausche Gesetz durch unitare quantenmechanische Transformatoren wie in [20], so entspricht das der Denition einer Basis, und damit eines
Schnittes i, in der Faser auf jeder Karte (cf. auch 4.3.1).
R
Schwierigkeiten und Miverstandnisse Wegen der in 2.2.4 angesprochenen Probleme mit dem Logarithmus von eig fur nicht der Identitat innitesimal benachbarte
Elemente der Liegruppe G kann im allgemeinen (i;~x) unstetig sein, solange wegen
~ U~ y stetig (stetig dierenzierbar) sind:
(2.2.4/2.2.5) nur U~ := eig(i;~x) und U~ r
Da die Gauoperatoren nicht untereinander vertauschen (2.3.10), ist mit der Campbell-Baker-Hausdor- (CBH-) Formel [9, p. 378]
eiGau[i;1]eiGau[i;2] = eiGau[i;] =
(2.3.15)
1
= exp i Gau[i; 1] + Gau[i; 2] + 2 [Gau[i; 1]; Gau[i; 2]] +
1 [Gau[i; ]; [Gau[i; ]; Gau[i; ]]] +
+ 12
1
1
2
+ [Gau[i; 2]; [Gau[i; 2]; Gau[i; 2]]] + :
n
o
2.3. KANONISCHE QUANTISIERUNG VON EICHTHEORIEN
45
Die gleichmaige Konvergenz dieser Reihe ist nicht gewahrleistet, und somit kann die
resultierende Eichfunktion andere Eigenschaften als die ursprunglichen k besitzen,
insbesondere nicht mehr an jedem Punkt der Karte stetig sein.
In abelschen Eichgruppen (e.g. U(1) in QED) und invarianten abelschen Untergruppen einer nichtabelschen Eichgruppe (e.g. der U(1)-Untergruppe von U(N)) allerdings
gibt es nur einen Gauoperator, der naturlich mit sich selbst vertauscht. Damit ist
eiGau[1]eiGau[2] = eiGau[1+2 ] ;
(2.3.16)
und fur jedes endliche Produkt von Gauoperatoren hat = i i dieselben Eigenschaften wie die i, insbesondere stetige Dierenzierbarkeit in jedem Kartenpunkt.
Stets aber sind alle Funktionen, die in einer Variable s periodisch und uberall auf einer
Karte stetig sind, aus den stetigen und in s periodischen innitesimalen Eichfunktionen
"a generierbar, also klein. Ein Beispiel fur nicht stetige Eichfunktionen, die aus stetig
dierenzierbaren erhalten werden, ist in Abschnitt 3.3.2 gegeben.
Jackiw [16] und andere [5], [24] integrieren (2.3.11) partiell, \vergessen" Oberachenterme (was schon beim Aharonow - Bohm - Eekt nicht gerechtfertigt war, da dort
A' nur wie 1=r im Unendlichen verschwand, cf. Einleitung) und implementieren also
als Zwangsbedingung nach dem Korrespondenzprinzip
P
Gau0a(i;~x) j phys >:=
(2.3.17)
~ ~ a(i;~x) + ga(i;~x) + gf abc A~ b(i;~x) ~ c(i;~x) j phys >= 0 8a ;
:= r
h
i
da bereits dieser Operator mit dem Hamiltonoperator vertauscht, wenn man Randeekte vernachlassigt. Das ist aber wie oben gezeigt bei genauerem Hinsehen auf
kompakten Mannigfaltigkeiten, auf denen das \Unendliche" nicht existiert, ad hoc nur
zu rechtfertigen, wenn man die Eichfunktionen so beschrankt, da sie auerhalb einer oenen Umgebung verschwinden. Damit sind sie immer \klein" und entsprechen
der Vorstellung von lokalen Eichtransformationen. Versucht man, dies fur sehr groe
Karten mit dem Argument des Verschwindens der Eichfelder und Impulse \im Unendlichen" zu rechtfertigen, stot man auf einige unnotige Naherungen und Argumentationshindernisse (cf. Abschnitt 4.3.2) wie in [16]. Dort wird angenommen, da die
Felder A~ bzw. Fij im Unendlichen schneller als 1=r bzw. 1=r2 (d=3) verschwinden und
kleine Eichtransformationen im Unendlichen konstant sind, wodurch der falsche (cf.
Abschnitt 3.3.2) Eindruck erweckt wird, alle im Unendlichen nicht konstanten Eichtransformationen seien gro, also homotopisch nichttrivial. Wir konnen diese Form
nur rechtfertigen, wenn die Eichfunktionen a auerhalb einer oenen Umgebung einer
Karte und insbesondere auf dem Kartenrand null sind, was aber naturlich die zulassigen
Eichfunktionen stark einschrankt und insbesondere wegen (2.2.10) die Kartentransformationen nicht andern kann. Gerade davon wollen wir aber im Folgenden extensiven
Gebrauch machen.
In Abschnitt 4.1.2 werden wir nochmals auf Jackiw und sein gausches Gesetz
zuruckkommen und zeigen, da einerseits durch seine Herleitung eine Eichung nicht
explizit vollstandig xiert ist, andererseits eine innitesimale Version von
Gau0a j phys >= 0 exakt hergeleitet werden kann.
Groe Eichtransformationen Der Frage, ob die Operatoren (2.3.8/2.3.7) fur alle
Funktionen f a auf Karten identisch sind mit den in (2.3.14) denierten, oder ob neben
46
KAPITEL 2. GRUNDLAGEN VON EICHTHEORIEN
kleinen Eichtransformationen auch groe existieren, also solche nichttrivialer Homotopie, wird in Kapitel vier nachgegangen. Abschlieend sei hier lediglich nochmals betont, da die Eichfunktionen a nur auf einer Karte deniert sind, folglich auch wegen
ihres Nichtverschwindens am Kartenrand die Randbedingungen modizieren konnen,
wahrend die Funktionen f a auch global, i.e. auf ganz M, gegeben sein konnen, soda
ihr Wert im U berlapp sich transformiert zu
f a(i;~x) ! f a(j; 'ij (~x)) ;
(2.3.18)
und der zugehorige quantenmechanische Operator
[f ] := e?i
ist (cf. 4.1.1).
R
M
Ga (i;~x)f a(i;~x)
(2.3.19)
Kapitel 3
Randbedingungen in Eichtheorien
Maybe it is even a rigorous statement, but
I do not know enough about rigor to be
able to tell.
Bjorken [5, p.463]
Nach der formalen Herleitung der Bedeutung von Eichtheorien auf kompakten Mannigfaltigkeiten widmen wir uns nun deren Konsequenzen: Da es auerst unhandlich ist,
stets Felder auf mehreren Karten zu denieren, werden wir im Folgenden eine Karte
so weit ausdehnen, da sie nahezu die gesamte Mannigfaltigkeit uberdeckt und von
dort aus startend Randbedingungen verschiedener Eichtheorien herleiten und deren
Bedeutung interpretieren.
Wir werden dabei zu einer der intuitiven physikalischen Aussage entgegengesetzten
Schlufolgerung kommen: Lokale Physik kann durchaus von der Wahl der Randbedingungen abhangen. Welche Randbedingungen zu benutzen sind, ist im Prinzip von der
Natur vorgegeben, bzw. aus der Beobachtung globaler Observablen deduzierbar, die
jedoch tatsachlich in unserem Universum undurchfuhrbar ist. In Modellsystemen legt
der Physiker durch die Frage, die er beantworten will, Randbedingungen nach dem
Gesetz der Zweckmaigkeit fest.
3.1 Herleitung von Randbedingungen
3.1.1 Formalismus
In Abschnitt 2.2.4 sahen wir, da auf unterschiedlichen Karten zwar Felder im selben
Punkt der Mannigfaltigkeit nur bis auf Kartentransformationen W~ identisch zu sein
haben, da aber auf jeder Karte genau dann eine stetige lokale Eichtransformation U~
existiert, die diese zur Einheitsmatrix reduziert, wenn die Abbildung der auf dem Kartenrand denierten Kartentransformationen in die Strukturgruppe G fur alle moglichen
W~ in derselben homotopischen A quivalenzklasse wie die Einheitsmatrix liegt. Andernfalls existieren unterschiedliche Sektoren der Theorie.
Daraus konnen wir wie folgt Randbedingungen von Feldern auf einer maximalen
Karte konstruieren, die nahezu ganz M u berdeckt:
Betrachte zwei auf M innitesimal benachbarte Punkte P und Q (X (P; Q) = ,
cf. 1.1.2) zusammen mit der kurzesten aller sich um T d windenden geschlossenen
topologisch nichttrivialen Kurven durch P und Q. Die damit zur U berdeckung der
47
48
KAPITEL 3. RANDBEDINGUNGEN IN EICHTHEORIEN
Kurve notigen zwei Karten werden nun so gewahlt, da die eine Karte (Karte 2) den
kurzeren, die andere (Karte 1) den langeren der beiden Kurvenabschnitte zwischen P
und Q enthalt und beide Punkte in disjunkten U berlappregionen liegen. Ein Teil der
kurzeren Strecke ist nicht auf Karte 1 deniert, ein Teil der langeren nicht auf Karte 2.
Auf Karte 1 liegen P und Q weit (dist(P; Q)(Karte 1) = L ? ) entfernt voneinander,
auf Karte 2 sind sie benachbart (dist(P; Q)(Karte 2) = = X (P; Q)). L ist dabei
wieder der Umfang der den Torus T d generierenden Kreise.
Abbildung 3.1.1: Zur Konstruktion von Randbedingungen
Es genugt, einen moglichen Vertreter jeder A quivalenzklasse der Kartentransformationen W~ auf dem U berlapp beider Karten zu xieren, da jedes andere W~ derselben A quivalenzklasse durch lokale Eichtransformationen auf einer der Karten erhalten
werden kann, die physikalische Zustande invariant lassen (cf. 2.2.4 und das verallgemeinerte gausche Gesetz in 2.3.2).
Da Felder denitionsgema auf jeder Karte eindeutig und im Betrag beschrankt
sind1, gilt fur z.B. Fermionfelder der fundamentalen Reprasentation (cf. (2.2.11)):
(Karte 2; Q) = (2; P ) + O()
Also konnen (1; P ) und (1; Q) zueinander korreliert werden:
(1; Q) = W~ 12y (Q)(2; Q) = W~ 12y (Q) ((2; P ) + O()) =
= W~ 12y (Q)W~ 12(P )(1; P ) + O() ;
was bei Minimierung des Abstandes zwischen den auf Karte 1 \weit" voneinander
entfernten Punkten P und Q zu Randbedingungen auf Karte 1 fuhrt:
8 & 0 : (1; Q) = W~ 12y (Q)W~ 12(P )(1; P )
(3.1.1)
Dieselbe U berlegung fur die Eichfelder ergibt
~ W~ 12y (P )W~ 12(Q)
A~ (1; Q) = W~ 12y (Q)W~ 12(P ) A~ (1; P ) + gi r
(3.1.2)
"
#
Strenggenommen sind Feldoperatoren unbeschrankt, womit untenstehende Entwicklung nicht deniert ist. Dieses Problem wird jedoch im Rahmen der axiomatischen Quantenfeldtheorie elegant
umgangen (z.B. [13, p.105]). Hier sei nur angemerkt, da man stets so tun kann, als ob jeder
Operator der Feldalgebra beschrankt ware.
1
3.1. HERLEITUNG VON RANDBEDINGUNGEN
49
und fur z.B. die Impulse
(3.1.3)
~ (1; Q) = W~ 12y (Q)W~ 12(P )~ (1; P )W~ 12y (P )W~ 12(Q) :

Also sind periodische Randbedingungen ohne Anderung
des physikalischen Zustandes
~
nur dann zugelassen, wenn W (s) Mitglied der trivialen Homotopieklasse, Reprasentant
des Einselementes der Homotopiegruppe, ist. Nur auf global trivialen Faserbundeln
sind also periodische Randbedingungen eine die Physik von Eichtheorien nicht einschrankende Wahl.
Fuhren wir das \naturliche" kartesische Koordinatensystem auf der maximalen
Karte ein und nehmen an, da Punkt P/Q auf Karte 1 die Koordinaten (1; (0+ =2; ::))/
(1; (L?=2; ::)) habe, dann folgt fur alle Operatoren am Rande dieser maximalen Karte,
da
y
8 & 0 : Op(1; (L ? =2; ::)) = W~ 12 (1;(L?=2;::))W~ 12(1;(0+=2;::))Op(1; (0 + =2; ::)) (3.1.4)
zusammen mit allen Ableitungen. (Man erinnere sich nochmals, da ein Punkt (0; ::)
oder (L; ::) auf Karte 1 nicht existiert!) Diese Eigenschaft werden wir im Folgenden
strenge (Pseudo-) Periodizitat aller Variablen nennen. (cf. Konstruktion der Funktion
in [30, App. B])
Da wir in 2.2.4 gesehen hatten, da die Kartentransformationen stets unabhangig
von der Radialkoordinate t der Karte gewahlt werden konnen, transformieren sich in
(3.1.2) bei geeigneter Wahl von W~ die Radialkomponenten der Eichfelder homogen,
i.e. ohne Gradiententerm.
Die ~-Funktion Bisher haben wir die Diracdistribution auf der gesamten Mannigfal-
tigkeit deniert (1.1.1/2.3.3/2.3.4/2.3.5). Auf der maximalen Karte konnen wir sie nun
explizit unter Beachtung der hergeleiteten Randbedingungen angeben: Fur bis auf Phasen 'i = 2 i (1.1.7) in jeder Richtung i periodische Fermionfelder in d-dimensionalen
Tori ergibt sich z.B.
~(~x(P ) ? ~x(Q)) = L1d
exp 2Li ~n + ~ [~x(P ) ? ~x(Q)] :
~n2Z d
X
Man beachte aber, da auf der maximalen Karte P und Q stets unterschiedliche Punkte
auf M sind, wenn sie unterschiedliche Koordinaten besitzen, cf. [30, Anhang B]:
~(L?) 6= ~(0+) !
3.1.2 Beispiel
Der Leser wird bereits gemerkt haben, da der Formalismus der Kartentransformationen nicht nur auf Eichtheorien beschrankt ist, sondern stets Anwendung ndet,
wenn physikalische Observablen eine Symmetrie unter Transformationen der Felder
besitzen.
Leiten wir im Folgenden die Randbedingungen von Kapitel eins her: Lokale Observablen komplexer Skalar- und Spinorfelder sind unter ortsunabhangigen Phasentransformationen ei' invariant. Somit konnen zwei Felder im selben Punkt des Raumes
auf zwei unterschiedlichen Karten um eine beliebige Phase ' abweichen, die uberall in
50
KAPITEL 3. RANDBEDINGUNGEN IN EICHTHEORIEN
der zusammenhangenden U berlappregion der Karten koordinaten- und zeitunabhangig
sein mu. Ware dies nicht der Fall, so ware der Hamiltonoperator nicht derselbe auf
beiden Karten, sondern wurde sich durch einen Zusatzterm unterscheiden: Z.B. kann
der bei ortsabhangigen Phasen aus
r~ (2;~x) = r~ ei'12(~x)(1;~x) = ir~ '(~x) ei'(~x) + ei'(~x)r~ (1;~x)
auftretende Zusatzterm
~' r
~' y r
nicht in den Hamiltonoperator freier Skalarfelder (1.1.4) absorbiert werden. Im Rahmen
von Eichfeldtheorien ist dies jedoch oft moglich, siehe 3.5.
Betrachten wir wieder Felder auf einem Kreis S 1: Es existieren zwei disjunkte
U berlappregionen (siehe Abb. 2.1.2), die damit auch unterschiedliche Phasen zulassen:
W~ 12(R) = ei'(R) ; @'(R) = 0
W~ 12(S ) = ei'(S) ; @'(S ) = 0
Aus (3.1.1) folgt dann als Randbedingung, wenn man die Ausdehnung von Karte 2 verkleinert und die von Karte 1 so vergroert, da sie nahezu den ganzen Kreis uberdeckt
(a; b & 0 in Abb. 2.1.2; L ? L? etc.):
(L?) = ei'(S)?i'(R)(0+) ;
und wenn wir einen neuen wiederum koordinatenunabhangigen Winkel ' := '(S ) ?
'(R) denieren, erhalten wir die in (1.1.5) geforderten Randbedingungen.
Andererseits sind auf der Kugel S 2 nur periodische Randbedingungen erlaubt: Es
existiert nur eine U berlappregion zwischen den beiden eine Kugel uberdeckenden Karten, und da die Phase ' uberall in ihr konstant sein mu, folgt in Kugelkoordinaten:
(1; = ?; = 0 + ) = ei'e?i'(1; = ?; = 0)
(1; = ?; = 0) = (1; = ?; = 0) ; 0 2 [0; ] ;
sogar
(1; = ?; ) = const. 8 :
Verdrehte Randbedingungen in reinen Skalarfeld - Theorieen sind somit auf der Kugel
nicht zulassig, egal welchen Einu auch immer Eichtheorien haben mogen.
Im Folgenden erforschen wir die Faserbundel von Eichtheorien auf Tori und konstruieren Randbedingungen dazu. Zum Problem der fermionischen Phase kommen wir
in 3.5 zuruck.
3.2 QED und U(N)-Eichtheorien auf Tori
3.2.1 QED auf dem Kreis
In diesem einfachst moglichen Fall konnen periodische Randbedingungen gewahlt werden. Wir werden ihn nutzen, um den in 2.2.4 und 3.1.1 aufgebauten Formalismus am
Beispiel zu demonstrieren.
Wir ubernehmen den in Abb. 2.1.2 denierten minimalen Atlas auf dem Kreis S 1,
der Basis des Faserbundels. Die Kartentransformationen seien gegeben auf R und S :
W~ 12(R) = eiw~12(R) ; W~ 12(S ) = eiw~12 (S)
3.2. QED UND U(N)-EICHTHEORIEN AUF TORI
51
Die Wahl periodischer Randbedingungen ist zulassig, da die Abbildungen von Kartentransformationen der disjunkten U berlappregionen auf den Kreis S 1 als Mannigfaltigkeit der Eichgruppe U(1) nur disjunkte Linien sind und somit stets stetig zum
Einselement der Eichgruppe kontrahiert werden konnen (0(U (1)) = 1). Damit ist das
Faserbundel global trivial.
Im Detail konnen wir die Existenz eines lokale Eichtransformationen generierenden quantenmechanischen Operators eiGau[1;] auf Karte 1 leicht zeigen, der die Kartentransformationen zum Verschwinden bringt, physikalische Zustande j phys > aber
aufgrund des gauschen Gesetzes (2.3.14) invariant lat:
Wir wiederholen zunachst aus 2.2.4, da eine Eichtransformation entweder auf der
ganzen Karte 1 stetig zum Einselement der Eichgruppe deformierbar, also klein ist,
oder irgendwo auf Karte 1 irregular wird. Drehen wir mittels des Operators eiGau[1;]
den fermionischen Zustandsvektor auf Karte 1 (2.3.9), so andern sich die Kartentransformationen nach (2.2.10):
W~ 120 (R) = W~ 12(R)e?ig(1;R) = eig(w~12(R)?(R))
W~ 120 (S ) = W~ 12(S )e?ig(1;S) = eig(w~12(S)?(S))
(die Eichgruppe U(1) ist abelsch), soda jedes mit (R=S ) = w~12(R=S ) die Kartentransformationen trivialisiert. Es existiert fur jedes mogliche W~ 12 eine Vielzahl
von unendlich oft stetig dierenzierbaren Eichtransformationen mit dieser Eigenschaft.
Man bemerke, da auf Karte 1 die U berlappregionen \weit" voneinander entfernt, und

somit die Eichfunktionen in beiden Uberlapps
nicht zueinanden korreliert sind.
Danach fuhrt Expansion der Karte 1 (a & 0) und gleichzeitige Kontraktion von
Karte 2 (b & 0) zu periodischen Randbedingungen fur alle Operatoren auf Karte 1
(3.1.1/3.1.2/3.1.3/3.1.4) 2:
(L?) = (0+)
A(L?) = A(0+)
(L?) = (0+)
(3.2.1)
Dabei ist aufgrund der U berdeckung des Kreises mittels mindestens zweier Karten der
Punkt 0 L in Karte 1 nicht deniert und damit aus (3.2.1) auszuschlieen. Dies
ist bei der Berechnung von z.B. Kommutatoren zu berucksichtigen, wie in [30, p. 83f.]
demonstriert wurde.
3.2.2 QED auf dem Torus T 2
Da wir hier erstmals einem global nichttrivialen Faserbundel auf M, also verdrehten
Randbedingungen begegnen, behandeln wir diesen Fall wiederum in einiger Ausfuhrlichkeit und erlautern deren physikalische Bedeutung.
Beweise der Nichttrivialitat des Faserbundels Wahlen wir die Karten wieder
wie in Abb. 2.1.3. In (2.2.24) wurde bereits gezeigt, da im U berlapp dreier Karten eine
der Kartentransformationen stets als Identitat, und damit die Kartentransformationen
vom Rand einer Karte (@ Karte = S 1, parametrisiert mittels der Winkelkoordinate
s 2 [0; 2]) auf alle anderen in jedem Punkt des Randes stetig gewahlt werden kann.
2
Letztere ist trivial, da in Elektrodynamik der Impuls eichinvariant ist.
52
KAPITEL 3. RANDBEDINGUNGEN IN EICHTHEORIEN
Aufgrund der Eindeutigkeit in jedem Kartenpunkt von Operatoren, die sich unter
Eichtransformationen nach der fundamentalen Darstellung der Eichgruppe transformieren, also in Standard-QED wegen der Existenz von Fermionen, folgt
W~ (s = 0) = W~ (s = 2) () w~(s = 0) = w~(s = 2) + 2g n ; n 2 Z :
(3.2.2)
Man moge beunruhigt daruber sein, da w~ im Punkt s = 0 = 2 nicht eindeutig ist.
Dieses Problem existiert jedoch nur scheinbar: Tatsachlich ist auch s keine gute den
Kartenrand parametrisierende Koordinate. Wie in 4.1.1. gezeigt wird, sind sowohl
zur U berdeckung des (eine kompakte Mannigfaltigkeit darstellenden) Kartenrandes als
auch der (kompakten) Eichgruppe U(1) mehrere Karten notwendig. Dann kann nach
dem oben beschriebenen Verfahren auf U(1) eine maximale Karte deniert werden,
aus der analog zur Diskussion in 3.1.1 der Punkt s = 0 = 2 auszuschlieen ist.
Dann kann w~ auf jeder Karte eindeutig und ohne Sprung deniert werden und die
exakte Formulierung von (3.2.2) lautet W~ (s = 0+) = W~ (s = 2?). Die folgende
Formulierung kommt jedoch ohne solche Feinheiten aus: Wir betrachten Abbildungen
der Kartentransformationen auf die Mannigfaltigkeit U(1), bei der weder das Problem
der Unstetigkeit (3.2.2) noch das der Einfuhrung von Karten auftauchen wird. W~
ist nach (3.2.1) eine geschlossene Kurve in der Gruppenmannigfaltigkeit, die durch s
parametrisiert wird.
W~ : S 1 ! U (1) S 1
Abbildung 3.2.1: Drei mogliche Abbildungen eines Kreises auf einen Kreis der Windungszahlen 0 und 2.
Abbildung 3.2.1 zeigt zwei homotopisch inaquivalente Abbildungen, die sich nicht
bzw. zweimal um U(1) winden. Kleine Eichtransformationen auf einer Karte andern
die Kartentransformationen zu stetig zu W~ deformierbaren Abbildungen W~ 0. Damit
liegen (a) und (b) in derselben homotopischen A quivalenzklasse, wahrend (a/b) und
(c) nicht stetig ineinander deformierbar sind. Die unter stetiger Deformation invariante
Groe ist anschaulich die Anzahl der Windungen von S 1 um U(1), die Windungszahl
n, die jede ganze Zahl sein kann.
3.2. QED UND U(N)-EICHTHEORIEN AUF TORI
53
Man sieht, da Kartentransformationsfunktionen w~ , deren Dierenz zwischen den
Punkten s = 0 und s = 2 nicht gleich ist, auch nicht stetig ineinander deformierbar sind und somit in homotopisch unterschiedlichen Sektoren liegen, die durch die
Windungszahl n (3.2.2) unterschieden werden.
Es ist also 1(U (1)) = Z (cf. [22, p. 101, 120]). Im Allgemeinen konnen fur die
Felder nach (3.1.4) keine uberall periodischen Randbedingungen gewahlt werden.
Dieses Ergebnis soll ausgehend von der Denition physikalischer Zustande als invariant unter aus innitesimalen Eichfunktionen generierten Eichtransformationen (2.3.12)
nochmals hergeleitet werden.
Betrachten wir eine uberall auf einer Karte innitesimale Eichfunktion ". Nach
(2.2.26) ist " periodisch in s, und nach (2.3.12) und (2.3.14) ist der physikalische Zustandsvektor invariant unter allen aus innitesimalen Eichtransformationen generierbaren Eichtransformationen. Mit (2.3.16) folgt sofort, da jede beliebige Eichfunktion
in jedem Kartenpunkt periodisch in s zu sein hat:
(s; t) = (s + 2; t) 8t
Damit ist jede auf der Karte stetige Eichfunktion insbesondere am Kartenrand periodisch in s. Die Windungszahl n ist also eine unter lokalen Eichtransformationen
erhaltene Zahl.
Wahlen wir jedoch (s; t)j@Karte = w~(s; t)j@Karte ? ng s, so ist diese Eichfunktion
periodisch in s und kann somit aus innitesimalen Eichtransformationen generiert werden. Dann andern sich die Kartentransformationen zu
W~ 0(s; t) = eins ;
wobei fur jede ganze Zahl n W~ 0 ein Reprasentant einer A quivalenzklasse der Abbildungen S 1 ! S 1 ist. Einfache Reparametrisierungen der Koordinate s ! f (s) mit
f (s = 2) ? f (s = 0) = 2 andern an der Windungszahl naturlich nichts (cf. Abschnitt
2.2.4) und konnen leicht aus innitesimalen Eichtransformationen generiert werden.
Mogliche Randbedingungen Unter Ausnutzung dieser Resultate konnen wir nun
Randbedingungen in QED auf dem Torus T 2 konstruieren.
Die bei den U berlegungen zum Zusammenkleben von Kartentransformationen im
U berlapp dreier Karten (2.2.24) notwendigen Eichtransformationen auf einer der drei
Karten xieren durch die Kozyklenbedingungen (2.2.9) die Kartentransformationen.
Eine der drei Kartentransformationen mu die Identitat sein.
Unabhangig sind { wie obiges Bild zeigt { nur die Kartentransformationen zwischen
Karte 2 und allen anderen und Karte 3 und allen anderen Karten, da nur die Karten
2 und 3 nicht uberlappen.
Legen wir diese Kartentransformationen so fest, da
W~ 2i(s) = eif2(s)n2 und W~ 3i(s) = eif3(s)n3 ;
und die Funktionen fi(s) so, da zuletzt (cf. Abbildung oben)
?if (x1)n2
in U12
W~ 2i(s) = e
1 sonst
if (x2)n3
in U13
W~ 3i(s) = e
1 sonst ;
f (xi = a) = 0 ; f (xi = L ? a) = 2 ;
(
(
54
KAPITEL 3. RANDBEDINGUNGEN IN EICHTHEORIEN
Abbildung 3.2.2: Karten und Kartentransformationen auf dem Torus T 2
wobei f (xi) uberall unendlich oft stetig dierenzierbar ist. Dabei resultiert das negative
Vorzeichen fur W~ 2i aus der Konvention, da positive n Windungszahlen sind, bei denen
sich die geschlossene Kurve im Gegenuhrzeigersinn um U(1) windet.
Man sieht dann, da auer in den gekennzeichneten Gebieten die Kartentransformationen trivial sind. Um dies zu erreichen, so sei nochmals betont, fuhren wir ausschlielich Eichtransformationen auf den Karten 2 und 3 aus, die physikalische Zustande
invariant lassen.
Man sieht nun, da auf Karte 1 in zwei U berlappregionen nichttriviale Kartentransformationen existieren. Durch Umeichen auf dieser Karte konnen wir stets W~ in nur
einer der beiden Regionen nichttrivial wahlen, z.B.
W~ 13(U13) = e2if (x2)n
(3.2.3)
wenn sich dort dann w~ entlang der diesen U berlapp parametrisierenden Koordinate
um 2g (n2 + n3) andert. Die einzige unabhangige nichttriviale Windungszahl aller Kartentransformationen auf dem Torus ist somit n := n2 + n3. Sie kann nicht mehr durch
neue lokale Eichtransformationen zum Verschwinden gebracht werden.
Mogliche Randbedingungen der unterschiedlichen Sektoren der QED auf T 2 werden
im Anhang A1 konstruiert.
Zuletzt sei bemerkt, da nur fur Windungszahl Null periodische Randbedingungen
gelten, wie es auch zu erwarten war: Nur dann ist die Kartentransformation stetig zum
Einselement der Eichgruppe deformierbar und das Faserbundel trivial.
Konstruktion des Windungszahloperators Was ist nun die Physik hinter diesen
Randbedingungen und homotopisch inaquivalenten Kartentransformationen? Oensichtlich konnen wegen (2.1.1) lokale Observablen keinen Unterschied zwischen den
Sektoren verschiedener Windungszahl n detektieren, wir mussen also zu globalen Operatoren greifen.
Berechnen wir den gesamten magnetischen Flu im Torus T 2:
:=
Z
T2
B
(3.2.4)
3.2. QED UND U(N)-EICHTHEORIEN AUF TORI
55
~ A~ ist3, erhalt man nach Anwendung des stokesschen Integralsatzes
Da lokal B = r
parallel zu (2.1.3/2.1.4)
=
d~si A~ (i;~s)
(3.2.5)
@ Karte i
X
I
i
Die Eichfelder sind aber im U berlapp zueinander korreliert, soda zum Beispiel im
oberen U berlapp U12 der Karten 1 und 2 gilt (Vorzeichenwechsel, da der Umlaufsinn
des Kurvenintegrals auf Karte 2 von Karte 1 aus gesehen negativ ist.):
= A~ (2; s)
d~s1 A~ (1;~s) +
d~s2 A~ (2;~s) =
U1 \U2
U1 \U2
~ w12 =
d~s1 A~ (1;~s) ? r
d~s1 A~ (1;~s) ?
=
U1 \U2
U1 \U2
= w12(Q) ? w12(P ) ;
Z
W~ (s) A
~ (1; s)
Z
Z
Z
h
i
wobei P und Q { wie in Abb. 3.2.2 deniert { die Endpunkte der U berlappregion
U12 sind. Nachdem alle Kartentransformationen uberall stetig dierenzierbar gewahlt
worden waren, ergibt sich mit (3.2.3), da
= 2 n ;
g
(3.2.6)
was ebenfalls bei Verwendung einer der Randbedingungen (A.1.1/A.1.3/A.1.5) oder
der dazugehorigen Kartentransformationen (A.1.2/A.1.4) folgt und bestatigt, da sie
fur festes n alle aquivalent sind.
Man bemerke, da das magnetische Feld der Elektrodynamik als Observable invariant unter lokalen Eichtransformationen ist:
[; Gau "(~x)] = 0 8"(~x) 1
(3.2.7)
Wir erhalten die Windungszahl n, die die Verzerrung des Faserbundels beschreibt,
durch Anwenden von :
n = 2g 2 B =: C1(A~ )
(3.2.8)
Z
T
Mathematiker klassizieren die Struktur der Faserbundel einer U(N)-Strukturgruppe
auf Mannigfaltigkeiten mittels der topologischen Ladung, die unter Umeichung der Felder auf den Karten invariant ist. Sie ist hier als Integral uber die erste Chern-Klasse
bzw. ersten Chern-Charakter geradzahlig dimensionaler Mannigfaltigkeiten gegeben
[22, p. 380.] und zu (3.2.8) aquivalent.
C1(A~ ) = 4g
Z
M
tr[Fij ij ]
(3.2.9)
ij ist der total antisymmetrische Einheitstensor zweiter Stufe; die Spur ist uber die
Matrizen des Farbraumes zu nehmen und fur U(1) bedeutungslos.
3
In zwei Dimensionen ist die Rotation von A~ : @1 A2 ? @2 A1 =B ein Pseudoskalar.
56
KAPITEL 3. RANDBEDINGUNGEN IN EICHTHEORIEN
Bedeutung der homotopisch inaquivalenten Sektoren der Theorie Topolo-
gische Ladungen sind so deniert, da sie nur unter lokalen Eichtransformationen invariant sind, aber i.A. durch die Dynamik geandert werden konnen (cf. spater Abschnitt
4.1.4). Hier allerdings konnen wir leicht zeigen, da der gesamte magnetische Flu
unabhangig von einer bestimmten Karteneichung eine gute Quantenzahl ist, also mit
dem Hamiltonoperator vertauscht, da das elektrische Feld ~ eine Observable ist (cf.
(2.1.4)):
H; =
d~s ~ (~s) = 0
(3.2.10)
2
Z
T
X
i
I
@ Karte i
Damit konnen Sektoren homotopisch inaquivalenter Kartentransformationen nicht kommunizieren: Die Windungszahl ist eine Erhaltungsgroe, Kartentransformationen und
Randbedingungen sind der Dynamik nicht unterworfen.
Der gesamte magnetische Flu ist i.A. nicht null (3.2.6). Wir folgern, da sich
im vom Torus eingeschlossenen Raum eine magnetische Ladung der Starke gM = 2ng
bendet, da der Flu durch eine geschlossene Oberache gleich 4 mal der Starke der
den Flu produzierenden Quelle (also Ladung) ist. Innerhalb des Torus bendet sich
ein magnetischer Monopol als Quelle des magnetischen Flusses, dessen Starke durch
die elektrische Kopplungskonstante und die Windungszahl des Faserbundels eindeutig
festliegt4.
Bei Wahl periodischer Randbedingungen (n=0) existiert kein Monopol, der gesamte
magnetische Flu ist Null5.
Innerhalb der QED konnen wegen (3.2.10) keine Monopole durch Zeitentwicklung
eines Systemes auf dem Torus generiert werden.
Ein Experimentator prapariere ein zweidimensionale System so, da dessen Mannigfaltigkeit ein Torus T 2 ist, z.B. indem er das System auf der Flache eines Quadrates
einenge und periodische Randbedingungen schae. Er lege nun von auen senkrecht
zum z.B. in x3-Richtung liegenden Quadrat ein Magnetfeld an, das in der Probe periodisch zu sein hat (B~ ext(~x + L~ei) = B~ ext(~x) ; i = 1; 2), um die periodische Struktur
der Probe nicht zu zerstoren, und dessen Flu deswegen wie in (3.2.6) gequantelt sein
mu. Kann er von auen den magnetischen Flu durch das System andern, ohne die
periodische Struktur zu zerstoren?
Nach dem aus den Denitionsgleichungen fur das elektrische und magnetische Feld
folgenden faradayschen Induktionsgesetz6, das in der Quantenmechanik als Operatorgleichung gilt, folgt:
d~s E~ ext(t) = ?_ ext(t)
2
I
T
Um die Periodizitat der Anordnung nicht zu verletzen, mu auch das externe elektrische
Feld als eichinvariante Observable periodisch sein, also ist mit _ int = 0 (3.2.10)
_ t) = _ ext + _ int = 0 :
(
Man bemerke, da im Elekromagnetismus magnetische Monopole bei weitem starker sind als
elektrische (M = (137)(n=2)2 = (137)2 (n=2)2 , : Feinstrukturkonstante) und mit zunehmender
Windungszahl noch dominanter werden.
5 Mebar w
are so ein Eekt durch den Nachweis einer Ablenkung der Bahn bewegter geladener
Teilchen, die nicht durch die Wirkung anderer (bekannter) Ladungen erklart werden kann.
6 Da sich dieses Gesetz aus der Denition des elektrischen und magnetischen Feldes aus dem Eichfeld
ergibt (cf. Funote 12 in Abschnitt 2.3.2), ist diese Gleichung im polarisierten Medium unverandert
gultig.
4
3.2. QED UND U(N)-EICHTHEORIEN AUF TORI
57
Nur durch Zerstorung der Versuchsanordnung kann ein Experimentator also den Flu
durch eine periodische Struktur andern, unabhangig von der Entwicklung des physikalischen Zustandes auf dem Torus. Eine auf Beschreibung der Veranderung des Zustandes
auf dem Torus abzielende Erklarung dieses Phanomenes kann die Topologie oder der
Windungszahl - Formalismus nicht leisten und soll deshalb hier nicht weiter versucht
werden. Nichtsdestotrotz ist die Schlufolgerung eine exakte Aussage: Wir verwendeten zur Herleitung Operatorgleichungen, die nichts von physikalischen Zustanden
wissen.
Wir interpretieren (3.2.6) also so, da innerhalb der generierenden Kreise des Torus
ein physikalisches Teilchen sitzt, das magnetische Ladung tragt. Lebewesen auf dem
Torus jedoch konnen den Monopol selbst nicht beobachten, sondern nur einen Defekt
auf der Mannigfaltigkeit, namlich das Nichtverschwinden eines mittleren magnetischen
Feldes B = 1=L2 T 2 B . Mit zunehmender Groe des Toro-Universums wird das mittlere Feld allerdings immer kleiner, also der Einu des Defektes auf die lokale Physik
im Torus fur L ! 1 unabhangig von der Windungszahl der Kartentransformationen
abnehmen. Man beachte auch, da der naive Limes L ! 1 in (A.1.1/A.1.3/A.1.5) zu
periodischen Randbedingungen fuhrt. Einzig oensichtliche Auswirkung des Defektes
bleibt dann die Quantisierung aller elektrischen Ladungen in Einheiten der inversen
magnetischen Monopolstarke: g0 = 1=(2gM ). Diese Beobachtung wurde zuerst von
Dirac (cf. [24]) gemacht; von Wu und Yang stammt die Interpretation des diracschen
Monopoles als Defekt einer U(1)-Eichtheorie auf einer Kugel S 2 [35].
Da andererseits jede kompakte Mannigfaltigkeit mit einfach zusammenhangenden
Karten uberdeckt werden kann, also solchen, deren Rander topologisch aquivalent zu
Kreisen sind, existieren in U(1)-Eichtheorien auf allen zweidimensionalen Mannigfaltigkeiten Monopole.
Abschlieend sei bemerkt, da die Existenz von bereits einem Teilchen, das sich
in der fundamentalen Darstellung der Strukturgruppe transformiert, zum Auftauchen
inaquivalenter Kartentransformationen, und damit von Monopolen fuhrt: Betrachten
wir reine QED, so mussen nur Eichfelder auf jeder Karte eindeutig deniert sein, also
W~ (s = 0) = ei'W~ (s = 2) (' beliebig), da die Eichfelder unter solchen Transformationen invariant sind. Abbildungen der Kartentransformationen in die Eichgruppe
sind dann nicht mehr Kreise, sondern stets kontrahible Linien (Wegfallen von (3.2.2)).
Anders gesagt ist jede ortsunabhangige Eichtransformation ein Fixpunkt, damit ist
die Eichgruppe U(1)/U(1)=1 (cf. 2.2.3, (2.2.18)), alle Abbildungen des Kartenrandes
auf 1 aber sind aquivalent. Somit sind in reinen U(1)-Eichtheorien die Kartentransformationen stets trivialisierbar, periodische Randbedingungen auf jeder kompakten
Mannigfaltigkeit beliebiger Dimension wahlbar.
R
3.2.3 QED auf dem Torus T 3
Zuletzt sei eine einfache Erweiterung obiger U berlegungen angesprochen. Auf dem
Torus T 3 sind durch Fixierung der Kartentransformationen auf den drei Karten, die
die Seiten des Wurfels wie in 2.1.2 uberdecken, alle Kartentransformationen festgelegt. Abbildungen des Kartenrandes S 2 in U(1) sind nur dann trivial, wenn W~ eine
Funktion jeder der linear unabhangigen Koordinaten ist (2(U (1)) = 1 [22, p.120]).
Existiert aber eine Gleichung f (~s) = 0, die den Rand auf eine einparametrige Gruppe
einschrankt, z.B. durch Forderung nach Unabhangigkeit der Kartentransformationen
von einer Radialkoordinate, so reduzieren sich die Abbildungen W~ auf die Abbildun-
58
KAPITEL 3. RANDBEDINGUNGEN IN EICHTHEORIEN
gen von Kreisen in U(1), die { wie oben gesehen { eine nichttriviale Homotopiegruppe
besitzen.
Parallel zu obiger abschlieender Transformation kann man zeigen, da in jeder
Richtung der kartesischen Einheitsvektoren eine Windungszahl existiert, deren Windungszahloperator eine Komponente des den Flu durch jeden der drei Untertori T 2
messenden Vektors ist:
g
C~ 1(A~ ) = 2L
B~
(3.2.11)
M
C~ 1(A~ ) ist invariant unter kleinen Eichtransformationen und vertauscht komponentenweise mit dem Hamiltonoperator. In unserem Universum konnen wir also wieder keine
magnetischen Monopole im Rahmen der QED erzeugen.
Die Interpretation des Monopoles als direkt beobachtbares Teilchen wird nun vollends sinnlos: Es sae in einer uns nicht zuganglichen hoheren raumlichen Dimension
(\senkrecht auf der Realitat"). Vorstellbar ware allenfalls die Praparation eines Systemes als Wurfel mit periodischen Randbedingungen, an dessen gegenuberliegenden
Auenseiten (also gerade dort, wo die maximale Karte nicht deniert ist!) magnetische
Nord- und Sudpole sitzen, die einen magnetischen Flu i = 2ni=g durch die Box
erzeugen. Mochte man also so ein System beschreiben, sind die oben angesprochenen
Randbedingungen unvermeidlich.
Auch benotigt der Mathematiker zur Denition einer kompakten Mannigfaltigkeit
keinen hoherdimensionalen Raum, sondern nur den euklidschen Raum derselben Dimension wie M, cf. Denition in 2.1.1. Die Interpretation des Monopoldefektes als zwei
auerhalb des Torus sitzelden \wirklicher" Teilchen ist also vollkommen uberussig.
Z
Abbildung 3.2.3: Monopole am Rande eines Wurfels
3.2.4 U(N)-Theorien auf Tori
Alle U berlegungen dieses Abschnittes sind sofort auf U(N)-Eichtheorien ubertragbar,
da U(N) eine invariante Untergruppe U(1) enthalt. (cf. 2.2.3 und [22, p. 120]:
0(U (N )) = 2(U (N )) = 1 ; 1(U (N )) = Z ) Nur diese uberlebt auch die Spurbildung uber Elemente der Liealgebra in (3.2.9), da die anderen Generatoren der U(N)
spurlos sind.
Auch in U(N) ist das Auftauchen von Defekten beliebiger Windungszahl n 2 Z
ausschlielich auf die Anwesenheit von Teilchen zuruckzufuhren, die sich nach der
fundamentalen Reprasentation transformieren. Bei deren Abwesenheit (reine U(N)Eichtheorien) reduziert sich die Strukturgruppe nach (2.2.19) zu U (N )=U (1) =
3.3. SU(N)-EICHTHEORIEN AUF TORI
59
SU (N )=ZN , von der in Abschnitt 3.4 gezeigt wird, da in ihr ganz andere Monopole
existieren.
3.3 SU(N)-Eichtheorien auf Tori
3.3.1 Randbedingungen
Mit den bis jetzt angehauften Methoden konnen wir einfach beweisen, da jede SU(N)Eichtheorie in bis zu drei Raumdimensionen triviale Faserbundelstruktur besitzt, also
periodische Randbedingungen gewahlt werden konnen:
Man kann auf jeder beliebigen bis zu dreidimensionalen Mannigfaltigkeit Karten
so einfuhren, da ihre Rander topologisch aquivalent zu S 0; S 1 oder S 2 sind. Da
0(SU (N )) = 1(SU (N )) = 2(SU (N )) = 1 [22, p. 120]7, existieren fur jede Kartentransformation W~ (~s) trivialisierende lokale Eichtransformationen auf einer Karte,
unter denen nach (2.3.14) physikalische Zustande invariant sind.
Also konnen mit (3.1.4) auf Tori stets streng periodische Randbedingungen fur
alle Operatoren gewahlt werden, was aufgrund des Matrixcharakters der Operatoren
Rechnungen stark vereinfacht.
3.3.2 Beispiel
Erlautern wir das an einem Beispiel:
Man konnte versucht sein, in Analogie zu QED (3.2.2) auf dem mittels s parametrisierten Rand S 1
W~ (s) = exp igw~a0 (s)ha0 = exp isna0 ha0 ; na0 2 Z ; a0 2 f1; ::; N ? 1g ; (3.3.1)
ha0 = diag( 1; ::; 1 ; ?a0; 0; ::; 0 )
(a0)?mal
(N ?a0 ?1)?mal
(fha0 g ist ein nicht normierter maximaler Satz miteinander kommutierender linear unabhangiger Matrizen der Liealgebra von SU(N), also eine Basis der Cartan-Subalgebra.)
als topologisch nichttriviale Eichtransformation zu bezeichnen, da
w~a0 (s + 2) = w~a0 (s) + 2g na0 :
Drei U berlegungen zeigen im Folgenden, da die Nichtperiodizitat von w~(s) nur auf
Schwierigkeiten bei der Denition des Matrix-Logarithmus (cf. 2.2.4) zuruckzufuhren
ist, nicht auf topologische Nichttrivialitat.
| {z }
| {z }
Homotopiegruppe Jede Liegruppe SU(N) oder U(N), n > 1, enthalt eine SU(2)
Untergruppe [9, p. 405, Beispiel IV]. Wir mussen im Folgenden also nur zeigen, da
(3.3.1) in SU(2) aus innitesimalen Eichtransformationen generierbar ist, Generalisierung zu SU(N) ist dann oensichtlich.
Es ist wohlbekannt [9, p. 426, Beispiel I], da jede Matrix aus SU(2) geschrieben
werden kann als U~ = a01 + aaa, wobei a ; (a = 1; 2; 3) die Paulimatrizen sind.
Unitaritat von U~ und det U~ = 1 ergeben, da nur drei der vier Koezienten a0; aa linear
7
Das gilt sogar fur jede einfache oder halbeinfache endlichdimensionale Liegruppe!
60
KAPITEL 3. RANDBEDINGUNGEN IN EICHTHEORIEN
unabhangig voneinander sind: (a0)2 + aaaa = 1. Man erkennt, da die Mannigfaltigkeit
der SU(2) eine in den vierdimensionalen Raum eingebettete Kugel S 3 ist. Es ist von
der Anschauung her klar, da jede Abbildung von Kreisen S 1 oder Kugeln S 2 auf S 3
abgezogen, d.h. stetig zu einem beliebigen Punkt der Kugel kontrahiert werden kann.
Folglich ist 1(SU (2)) = 1 = 2(SU (2)), wie in [22, p.120] gezeigt.
Konstruktion der lokalen Eichtransformation Konstruieren wir nun zu (3.3.1)
in SU(2) diejenige Funktion F(s,t), die sie stetig zur Identitat deformiert, ohne die
Bedingung W~ (s +2) = W~ (s) zu verletzen. Dann haben wir wegen (2.3.14/2.2.22) gezeigt, da man W~ durch lokale Eichtransformationen auf einer Karte trivialisieren kann,
ohne den Zustandsvektor des Systems im physikalischen Hilbertraum zu verandern.
Schreiben wir
W~ (s) = exp ins3 = exp i(=2)2 exp i(=2)n(1 sin s ? 2 cos s) =: V~1(s)V~2(s) ;
p
was man leicht mittels der Formel exp ia a = 1 cos + i( aa)= sin ; := a a;
beweist, sehen wir, da beide V~i bereits aus in s periodischen liealgebrawertigen Funktionen v~i(s) aufgebaut sind. Beide konnen nun leicht zur Identitat kontrahiert werden:
Wahlen wir als Deformationsparameter die Radialkoordinate t 2 [0; 1] auf einer Karte
(cf. 2.2.4), so sind
V~1(s; t) := exp it 2 2 ; V~2(s; t) := exp itn 2 (1 sin s ? 2 cos s)
beide fur alle t periodisch in s, aus SU(2), uberall auf der Karte unendlich oft stetig
dierenzierbar, und daruber hinaus ist V~i(s; t = 0) = 1 ; V~i (s; t = 1) = V~i (s).
Damit kann die Kartentransformation mittels des unitaren Operators
e?iGau[n 2g t(a1 sin s?a2 cos s)]e?iGau[ 2g ta2] =: e?iGau[a(s;t)]
(3.3.2)
trivialisiert werden, ohne den Zustandsvektor j phys > zu andern. Beide Operatoren
der linken Seite sind Exponenten des innitesimalen gauschen Gesetzes (2.3.12).
Schwache des Matrixlogarithmus und Nichtabreien der CBH-Formel Da
die Eichfunktion nicht mehr uberall auf der Karte innitesimal ist, mu der Matrixlogarithmus ebenfalls nicht mehr auf der ganzen Karte wohldeniert sein. (s; t) \entfernt"
sich zu weit von dem Gebiet, in dem und eig eineindeutig miteinander verknupft
sind. Man bemerke, da die Mannigfaltigkeit von W~ (s) (3.3.1) ein Grokreis auf S 3
ist.
Bei den unitaren Operatoren ist die Nichtperiodizitat von in s auf die nichttrivialen Kommutatorrelationen der gauschen Gesetze (2.3.10) zuruckzufuhren, soda
die Campbell-Baker-Hausdor - Formel (2.3.15) sich zu einer fur t=1 in s unstetigen
Eichfunktion aufsummiert. In QED hatten wir gesehen, da die CBH-Formel nach
dem ersten Term abbricht, also alle aus innitesimalen generierbaren Eichfunktionen
dieselben Eigenschaften wie die innitesimalen besitzen. Es ist also mehr Zufall, da
in QED die homotopisch nichttrivialen Eichtransformationen gerade diejenigen sind,
bei denen auch der Matrixlogarithmus nicht eindeutig deniert ist.
Bemerkenswert ist hier, da jeder einzelen Term der CBH-Formel fur alle t periodisch in s ist und nur die Summe unendlich vieler Terme in eine am Rande nichtperiodische Eichfunktion konvergiert, wie dies nur bei nicht gleichmaig konvergenten
Reihen moglich ist. Man vergleiche dazu auch die Fourierentwicklung einer in einem
Intervall nicht streng periodischen linearen Funktion [11, . 1.441.1].
3.4. REINE SU(N)- UND U(N)- EICHTHEORIEN AUF TORI
61
Nutzen der Homotopiegruppen Abschlieend seien die Vorteile unterstrichen, die
eine Klassikation von Kartentransformationen mittels abstrakter Homotopiegruppen
von Abbildungen auf Gruppenmannigfaltigkeiten bringt:
Konnten wir in 3.2.1 (QED auf T 1) noch jede Eichtransformation explizit konstruieren, die eine beliebige Kartentransformation trivialisiert, so war es in 3.2.2 (QED
auf T 2) nur noch moglich, Klassen zu unterscheiden und Eichtransformationen implizit zu konstruieren. Die Anschaulichkeit der Abbildung von Kartenrandern auf die
Eichgruppe war dabei sehr hilfreich.
Hier nun konnen wir explizit nur noch fur sehr einfache Falle wie den obigen die
eine gegebene Kartentransformation trivialisierende lokale Eichtransformation auf einer
Karte konstruieren, wahrend dies fur beliebige W~ , erst recht auf komplizierteren Kartenrandern wie S 2, nicht mehr ohne ubergroem Aufwand moglich ist. Dann versagt
auch die Anschauung. Hier erweist sich die Klassikation, die die Mathematiker mittels
der Homotopiegruppen vornehmen, als wesentlich ezienter und leichter verstandlich,
wenn auch uber deren exakter Herleitung im Allgemeinen ein Hauch von Magie liegt
(cf. [22, p. 89-129],[23, p. 51-119]). Diese Konstruktion entbindet auch der eigentlichen
Picht, Karten und U bergangsfunktionen sowohl auf dem Kartenrand als kompakter
Mannigfaltigkeit als auch auf der Eichgruppe zu denieren (cf. Abschnitt 3.2.2).
3.4 Reine SU(N)- und U(N)- Eichtheorien auf Tori
3.4.1 Existenz topologisch nichttrivialer Kartentransformationen auf T 2
Parametrisieren wir wiederum den Kartenrand mittels der Winkelkoordinate s.
In reinen SU(N)- und U(N)- Theorien ist nach 2.2.2(ii) und (2.2.19) die Eichgruppe
SU (N )=ZN , wobei ZN das Zentrum der Gruppe SU(N) ist.
't Hooft [31],[32] verdanken wir die Entdeckung, da so eine Eichtheorie dann einen
Liniendefekt besitzt, da 1(SU (N )=ZN ) = ZN . Wir werden wie in 2.2.3 weiterhin W~ 2
SU (N ) annehmen, dabei aber nicht vergessen, da W~ nur bis auf Zentrumselemente
bestimmt ist (2.2.17/2.2.20).
Konstruktion topologisch nichttrivialer Kartentransformationen in SU (2)=Z2
Betrachten wir den noch vorstellbaren Fall G = SU(2). Die Gruppenmannigfaltigkeit
ist dann { wie in 3.3.2 gesehen { eine Kugel S 3, das Zentrum der SU(2) die zweielementigen Gruppe Z2 = f1; ?1g. Die Zentrumselemente identizieren also alle Antipoden
in der Gruppenmannigfaltigkeit. Damit ist die Mannigfaltigkeit der SU (2)=Z2 (von
der bekannt ist, da sie isomorph zu SO(3) ist [9, p. 65]) eine Halbkugel, bei der
auf dem A quator gegenuberliegende Punkte miteinander identiziert werden, also die
projektive Ebene RP 3. [9, p. 426].
Es existieren nach Abb. 3.4.1 genau zwei homotopisch inaquivalente Abbildungsklassen von Kreisen auf SO(3). Damit ist 1(SU (2)=Z2 ) = 1(SO(3)) = Z2 [22, p. 112
oder 120]. Als Reprasentant trivialer Kartenransformationen, also des Einselementes
der Homotopiegruppe, dient
W~ (s) = 18s ; und W~ (s = 0) = 1 ^ W~ (s = 2) = ?1
(3.4.1)
62
KAPITEL 3. RANDBEDINGUNGEN IN EICHTHEORIEN
Abbildung 3.4.1: Mannigfaltigkeit von SU(2) und SO(3) mit kontrahiblem und nicht
kontrahiblem Loop. S 3 wurde um eine Dimension auf S 2 reduziert.
als Reprasentant der nichttrivialen Transformation. Man beachte, da W~ nur bis auf
Zentrumselemente der SU(2) bestimmt ist. Wir haben also eine regulare und uberall
eindeutig denierte Funktion W~ (s = 0)=Z2 = W~ (s = 2)=Z2 in SU (2)=Z2 , (2.2.20).
Konstruktion top. nichttrivialer Kartentransformationen in SU (N )=ZN Fur
SU (N )=ZN ist die Konstruktion der Homotopiegruppe und nichttrivialer Kartentransformationen auf diesem anschaulichen Wege nur schwer machbar, und auch eine allgemeine Berechnung der ersten Homotopiegruppe erweist sich als unnotig kompliziert,
da hier Theoreme uber die Homotopie von Quotientengruppen zuhilfe zu nehmen sind.
Wir werden deswegen einen anderen Weg beschreiten: Gelingt es uns, einen (nichtlokalen) Operator zu nden, der invariant gegen lokale Eichtransformationen ist, sich
aber bei homotopisch nichttrivialer Kartentransformation andert, so konnen wir mit
ihm die Topologie des Faserbundels klassizieren.
Welches kann ein geeigneter Operator sein? (3.2.9) oensichtlich nicht, da die
SU(N)-Generatoren spurlos sind, also C1(A~ ) identisch verschwindet. Tatsachlich sieht
man schnell, da keiner der bei Mathematikern unter den Namen Chern- oder ChernSimons - Klassen bekannten Windungszahloperatoren zur Klassikation taugt. Hier
hilft aus dem zweiten Kapitel entwickelte Intuition weiter. Der mit dem Hamiltonoperator vertauschende Windungszahloperator kann somit konstruiert werden, was hier
erstmals geschieht.
Wir wissen, da Windungszahlen durch Erproben der Kartentransformationen bestimmt werden konnen (Abschnitt 2.2.2). Betrachten wir Parallelverschiebung eines
Zustandsvektors langs des Kartenrandes. Der innitesimale Parallelverschieber war in
(2.2.12) konstruiert worden. Den endlichen erhalten wir einfach als das entlang des
durch ~s parametrisierten Kartenrandes pfadgeordnete Produkt (analog zum zeitgeordneten Produkt der kovarianten Storungstheorie) der innitesimalen [2, p. 97]:
U (Karte i; ~b;~a; @ Karte i) =
~
~~
~~
= nlim
!1 1 + ig A(b) d~sn 1 + ig A(b ? d~sn ) d~sn?1 [] 1 + ig A(~a) d~s0 =:
=: P exp ig ab d~si A~ (~si)
(3.4.2)
n
~a + nlim
d~sm = ~b
!1
h
i
ih
R
P
m=0
h
i
3.4. REINE SU(N)- UND U(N)- EICHTHEORIEN AUF TORI
63
Dabei ist d~sm die Tangente zum Kartenrand im m-ten Aufpunkt des Randes. Man kann
zeigen (z.B. [2, p.97]), da dieser Operator sich unter Eichtransformationen homogen
transformiert:
e?iG[f ]U (i; ~b;~a; C )eiG[f ] = eigf (~b)U (i; ~b;~a; C )e?igf (~a)
(3.4.3)
Deniert man nun
W (i; A~ ) := N1 trU (i; ~b; ~b; @ Karte i) ;
(3.4.4)
wobei die Spur im Farbraum genommen wird und wir vereinbaren, da der Kartenrand
im vom Kartenmittelpunkt aus gesehen mathematisch positiven Sinne umlaufen wird,
so ergibt sich aus der Invarianz der Spur unter zyklischem Vertauschen der in ihr
stehenden Matrizen sofort, da W (i; A~ ) unabhangig vom gewahlten Anfangspunkt des
Umlaufes ~b ist.
Zeigen wir nun, da W (i; A~ ) invariant unter lokalen Eichtransformationen ist. Dazu
genugt es zu zeigen, da innitesimale Eichtransformationen (2.3.12) seinen Wert nicht
andern; aus (2.3.13/2.3.14) folgt dann wie schon so oft, da W (i; A~ ) unter jeder beliebigen lokalen Eichtransformation invariant ist, genauso wie der physikalische Zustandsvektor:
e?iGau["]W (i; A~ )eiGau["] =
(3.4.5)
1
= N1 tr exp ig"(~b + d~sm ) U (i; ~b; ~b; @ Karte i) exp ?ig"(~b)
"
X
m=1
!
#
Da " innitesimal ist, folgt mit (2.2.26) die Invarianz von W (i; A~ ) unter lokalen Eichtransformationen.
Im Allgemeinen aber mussen Eichtransformationen
nur bis auf Zentrumselemente
2i n ~
~
N
ubereinstimmen: U (s = 2) = e U (s = 0) (2.2.20); und der Operator W (i; A~ )
andert sich unter diesen Transformationen zu
(3.4.6)
W (i; A~ ) ! e 2Ni nW (i; A~ ) ;
eine zuvor o.B.d.A. in SU(N) periodische Kartentransformation wird durch Anwendung
von U~ nichtperiodisch in SU(N), bleibt aber naturlich in SU (N )=ZN periodisch (2.2.20):
W~ 0(s) = W~ (s)U~ y : W~ 0(s = 2) = e 2Ni n W~ 0(s = 0)
Da { wie oben gesehen { W (i; A~ ) aber invariant unter allen lokalen Eichtransformationen war, kann U~ nicht uberall durch den quantenmechanischen Operator lokaler
Eichtransformationen gegeben sein, sondern mu zumindest in einem Punkt R auf der
Karte i irregular sein (cf. Argumentation in 2.2.4).
Wir haben somit gezeigt, da es einen unter lokalen Eichtransformationen invarianten Operator gibt, der sich aber unter allgemeinen Eichtransformationen andert,
die die Kartentransformationen ebenfalls grundsatzlich beeinussen, jedoch nicht auf
einer ganzen Karte wohldeniert als Eichtransformationen wahlbar sind. Bemerken
wir noch, da spatestens das N-malige Anwenden von U~ wieder in SU(N) periodische
Kartentransformationen liefert, der Operator W (i; A~ ) also wieder denselben Wert wie
zuvor annimmt, so sehen wir, da N homotopisch inaquivalente Wahlen von Randbedingungen existieren, die durch die Art ihrer Periodizitat in SU(N) unterschieden
werden:
(3.4.7)
W~ (s = 2) = e 2Ni n W~ (s = 0) ; n 2 f0; ::; N ? 1g
64
KAPITEL 3. RANDBEDINGUNGEN IN EICHTHEORIEN
(Man beachte die U bereinstimmung mit (3.4.1) fur SU(2).) Damit haben wir gezeigt,
da 1(SU (N )=ZN ) = ZN , und zwar ohne Verwendung mathematisch komplizierterer
Satze uber Homotopiegruppen von Quotientengruppen.
Eigenschaften des windungszahlandernden Operators Der von 't Hooft [31]
erstmals eingefuhrte Operator B, der U~ (s) am Rande erzeugt, besitzt damit folgende
Eigenschaften:
(i):8~x 6= ~x(R) : Bn (R) lokale Eichtransformation U~Bn (~x) , die die Randbedingung
in einen topologisch zum vorherigen inaquivalenten Sektor uberfuhrt (cf.(iii)).
(ii): In R 2 Karte i ist Bn(R) irregular; nur dort also hat er einen Eekt auf
physikalische Zustande. [Bn(R); lokaler eichinvarianter Operator in ~x] = 0 8~x 6= ~x(R)
(iii):U~Bn macht in SU(N) einen Sprung bei einem bestimmten
Winkel bzgl. R, wenn
2i n ~
~
man R einmal im Uhrzeigersinn umrundet : UBn (s = 2) = e N UBn (s = 0)
Wieder einige Erlauterungen:
Aus der obigen Konstruktion folgt, da die Singularitat in R unvermeidlich ist.
Damit entspricht Bn(R) dem in der Zerstreuung zu 2.2.2 konstruierten Cut-and-Glue
- Operator. U~Bn ist wiederum nur bis auf Zentrumselemente bestimmt und Element
der Eichgruppe SU (N )=ZN . Somit ist U~Bn wohldeniert. Dirac-Oberache heit die
durch den Winkel in (iii) beschriebene Hyperebene in M. Ihr Durchstoen fuhrt zum
Phasensprung. Sie ist unphysikalisch, also durch Observablen welcher Art auch immer
nicht detektierbar, und kann oensichtlich durch lokale Eichtransformationen um R
gedreht werden (cf. Aharonow - Bohm - Eekt in Abschnitt 2.2.1).
Wir sehen desweiteren, da Bn(R) nur modulo N deniert werden kann:
Bn(R)N = 1
(3.4.8)
Interpretation des Operators W (i; A~ ) [2, p. 213.] Mit (3.4.3) ergibt sich, da
unter Einschlu von Fermionen der Ausdruck
~b)U (i; ~b;~a; C )(~a)
(
~b)(~a) eichinvariant ist. Er beschreibt anschaulich so etwas wie
im Gegensatz zu (
einen Mesonzustand aus raumlich getrennten Quarks, die durch ein Eichfeld entlang
einer Kurve C verknupft sind. Wir interpretieren W also als den Rest, der nach Erzeugung eines Mesons, anschlieendem Transport eines der Quarks entlang des Kartenrandes und zuletzt wieder Vernichtung des Quark-Antiquarkpaares ubrigbleibt, namlich
ein Eichfeldstring entlang des Kartenrandes. Das erzeugte Meson war ein Farbsingulett, und die Mittelung uber alle moglichen Singulettzustande entspricht der Spur in
W (i; A~ ). Es ist jedoch klar, da ein tatsachlicher Mesonzustand in der quantisierten
Theorie wie in der klassischen wesentlich komplizierter sein wird. U (C ) wird so nur
in Ermangelung eines besseren Operators interpretiert. Wilson formulierte die reine
Eichtheorie ausschlielich mittels eichinvarianter Operatoren und fuhrte als erster den
nach ihm benannten Loopoperator U (C ) ein.
Betrachten wir die Analogie, die zwischen der Denition von W (i; A~ ) und der des
Windungszahloperators C1 in U(N)-Theorien besteht: Auch C1 probt (3.2.9/3.2.5) ein
\Linienintegral" uber die Eichfelder am Kartenrand, bzw. die Starke des die Karte
durchsetzenden Flusses auf eine Probeladung, die entlang des Kartenrandes transportiert wurde, wie dies (klassisch) zur Messung des magnetischen Flusses ublich ist; dazugekommen ist lediglich die wegen der Nichtkommutativitat der SU (N )=ZN notwendige
3.4. REINE SU(N)- UND U(N)- EICHTHEORIEN AUF TORI
65
Pfadordnung. Interpretieren wir also W (i; A~ ) als die durch den Karte i durchsetzenden
magnetischen Flu M erzeugte Phase exp iM (Karte i), obwohl fur nichtkommutative
Algebren kein zum stokesschen Integralsatz analoges Gesetz existiert, das den Wert des
Eichfeldes langs einer geschlossenen Kurve mit dem die von der Kurve umschlossenen
Flache durchsetzenden (farb-)magnetischen Flu verbindet.
Windungszahloperator Konstruieren wir den zum global nichttrivialen Faserbun-
del SU (N )=ZN uber T 2 gehorigen Windungszahloperator: In Analogie zu (3.2.5/ 3.2.6)
wurden wir gerne W (A~ ) := i W (i; A~ ) denieren. Jedoch ist W (A~ ) dann keine gute
Quantenzahl:
Betrachten wir zunachst den Kommutator zwischen dem Hamiltonoperator und
U (i; ~b;~a; C ) einer mittels s 2 [0; 2] parametrisierten Kurve C:
U (i; ~b;~a; C ); H =
m
m+1
n
= ? 2g lim U (i; ~b;~a + d~si+1; C ) ~ (~a + d~si) d~si P
h
i
n!1 m=1
P
P
U (i; ~a +
P
i
i
mP
?1
d~si?1;~a; C ) =
= ? 2g ~a~b U (i; ~b;~a + ~s; C )(d~s ~ (~a + ~s))U (i; ~a + ~s;~a; C ) ;
wie man mithilfe von (2.3.2/3.4.2) schnell zeigt. Also ist
W (i; A~ ); H = ? 2gN
d~si tr ~ (i;~s)U (i; ~s;~s; @ Karte i) :
@ Karte i
R
h
i
I
i
h
i
Leider ist im Gegensatz zu (3.2.10) die Summe der W (i; A~ ) aller Karten nicht null,
denn weder die Impulse ~ noch die Wilsonloops U sind eichinvariant, konnen vielmehr
auf unterschiedlichen Karten verschiedene Werte besitzen (2.2.8):
~ (j; @ Karte i) = W~ ij (@ Karte i)~ (i; @ Karte i)W~ ijy(@ Karte i)
Besonders schwierig ist das Transformationsverhalten des Wilsonloops im U berlapp
zweier Karten: Der Umlaufsinn des Wilsonlops am Kartenrand
wurde als positiv von
!
der jeweiligen Karte aus gesehen deniert (im Folgenden als C dargestellt). Also stimmt
die Pfadordnung auf beiden Karten nicht uberein, sondern mu invertiert werden, was
durch hermitesche Konjugation geschehen kann (siehe (3.4.2)):
!
U (j ; ~b;~a; C ) = W~ ij (~a)U y (i; ~b;~a; C )W~ ijy(~b)
Wir erhalten also im U berlapp einer Karte mit allen anderen nach der Wahl von auf
dem Kartenrand i in SU (N )=ZN stetigen Kartentransformationen (Abschnitt 2.2.4 und
(2.2.24))
"
W (i; A~ ) +
#
j 6=i:U \U
?!
~ (i;~si)U (i; ~si;~si; @ Karte
j
= ? 2gN
H
d~si tr
h
W (j; A~ ); H =
P
i
?
i) ? ~ (j;~si)U (j ; ~sj ;~sj ; @ Karte i) =
@ Karte i
h
?!
H
g
= ? 2N
d~si tr ~ (i;~si)(U (i; ~si;~si; @ Karte
@ Karte i
i
?!
i) ? U y (i; ~si;~si; @ Karte i)) :
i
66
KAPITEL 3. RANDBEDINGUNGEN IN EICHTHEORIEN
Damit ist klar, welcher Ausdruck als Windungszahloperator geeignet ist und mit dem
Hamiltonoperator vertauscht. Es ist der Realteil der Summe aller W (i; A~ ), da ~ hermitesch ist, die Dierenz zweier Wilsonoperatoren antihermitesch, also die Spur rein
imaginar:
tr ~ (i;~si) U (i; ~si;~si; @ Karte i) ? U y(i; ~si;~si; @ Karte i) =
= 2Im tr ~ (i;~si)U (i; ~si;~si; @ Karte i) :
h
i
i
h
Wir wiederholen nochmals die wichtigsten Eigenschaften des hier erstmals konstruierten Windungszahloperators
3
2
ReW (A~ ) :=
X
i
1 Re tr P exp ig
d~si A~ (i;~si) :
N
@ Karte i
I
6
4
7
5
(3.4.9)
Er vertauscht mit dem Hamiltonoperator, ist also eine gute Quantenzahl, sowie mit
dem gauschen Gesetz, was Invarianz unter lokalen Eichtransformationen garantiert.
Man kann ihn in begrenzter Analogie zu den Windungszahloperatoren der QED als
denjenigen Operator denieren, der den farbmagnetischen Flu durch den Torus T 2
mit. Damit folgt, da wie in QED keine Defektstrukturen / Monopole in der Box
im Rahmen der reinen Eichtheorie erzeugt werden konnen. Der Operator Bn (R) kann
innerhalb der reinen Eichtheorie nicht existieren.
Unter Anwendung von nicht uberall Eichtransformationen beschreibenden Operatoren Bn (R) andert ReW (A~ )allerdings seinen Eigenwert (3.4.6):
Bn (R)ReW (A~ )Bny(R) = Re e 2Ni nW (A~ )
h
i
(3.4.10)
Ein zur Windungszahl Null gehorender Operator (triviale Randbedingungen, also
A~ (i;~x(P )) = A~ (j;~x(P )) etc.) hat Eigenwert Null. Anwendung von ReW (A~ ) auf physikalische Zustande ergibt also den Cosinus eines zur Windungszahl n proportionalen
Ausdrucks
ReW (A~ ) j phys >= cos 2Nn j phys > ; n 2 f0; ::; N ? 1g :
(3.4.11)
n kann wieder nur mod N extrahiert werden, wie dies aus der Homotopiebetrachtung
klar ist (3.4.8):
N
N
Bn(R) ReW (A~ ) Bny(R) = ReW (A~ )
h
i
Man bemerke, da ReW (A) nicht zwischen Windungszahlen n und ?n (N ?n)modN
unterscheiden kann. Es gelang mir nicht, einen diese Windungszahlen separierenden
Operator zu konstruieren. Falls er nicht existiert, und falls man durch Anwenden von
B1(R) ein weiteres Quark - Antiquark - Paar erzeugt, wenn bereits (N ? 1) Paare am
Rande des Wurfels sitzen, so verschwindet der totale magnetische Flu. Damit hatte
B1(R) denselben Eekt wie die Vernichtung der (N ? 1) bereits existierenden Paare.
Eine physikalische Interpretation dieses Phanomenes kann ich nicht geben.
Mogliche Randbedingungen werden im Anhang A2 konstruiert.
3.5. BEMERKUNG ZUM VERALLGEMEINERTEN CASIMIR-EFFEKT
67
3.4.2 Verallgemeinerung auf T 3
Nichttriviale Kartentransformationen auf T 3 Entlang der in 3.2.3 gegebenen
Verallgemeinerung auf T 3 in U(1) bewegen wir uns auch hier: Ist W~ nur von einem
Parameter abhangig, so existieren wieder drei den drei Untertori T 2 zuzuordnende
Windungszahloperatoren, die einen Vektor bilden (3.2.11)
ReW~ (A~ ) := ReW (A~ ) ~ei ;
(3.4.12)
wobei ~s ~ei = 0. Der Vektor ist komponentenweise eine Erhaltungsgroe, magnetische
Monopole konnen also nicht innerhalb einer reinen SU(N)-Eichtheorie erzeugt werden.
Analog zu obigem Operator Bn (R) ist B~n(C ) deniert: Er generiert uberall eine
Eichtransformation, ist jedoch irregular auf einer beliebigen geschlossenen Kurve C,
einem Wirbel (Vortex), der in jede Richtung den Torus hochstens einmal umwindet
(cf. 2.1.3). U~Bn~ macht bei einem bestimmten Winkel bzgl. C auf einer Diracoberache einen Sprung, wenn man C einmal im Uhrzeigersinn umrundet: U~B~n (s =
2) = e 2Ni n U~B~n (s = 0). Alle Eigenschaften von Bn(R) gelten analog.
Hinweis Es sei nochmals darauf hingewiesen, da die Existenz eines so gearteten
Defektes in reinen SU(N)- oder U(N)- Eichtheorien nur der Abwesenheit von Teilchen
zuzuschreiben ist, die sich nach der fundamentalen Reprasentation der SU(N) transformieren, weshalb sich die Eichgruppe auf SU (N )=ZN reduziert, cf. Abschnitt 2.2.3.
Wie realistisch kann das Modell einer reinen SU(N)- oder U(N)- Theorie sein?
Betrachten wir dazu das bereits fur U(1) in 3.2.2/3.2.3 verwendete Bild 3.2.3: Zwei
Farbmagneten sitzen auerhalb des Torus, ihr farbmagnetischer Flu durchsetzt den
Wurfel. Man kann dann den Einu von farbmagnetischen Feldern auf Gluonen studieren und vielleicht Ursachen des Connements im Gluonsektor nden. Tatsachlich verlief aber die Forschung in diese Richtung nach 't Hoofts Artikeln [31],[32], in denen aus
Dualitatsbetrachtungen zwischen farbelektrischen und farbmagnetischen Feldern die
Existenz einer Conning-Phase neben z.B. einer Higgs-Phase motiviert werden konnte
(cf. Abschnitt 4.3.3.), im Sande. Analytische Resultate nden heutzutage nur noch
Interesse bei Gittereichtheoretikern, die einerseits Schwierigkeiten haben, dynamische
Fermionen auf das Gitter zu setzen und andererseits so ihre numerischen Resultate
kontrollieren konnen.
3.5 Bemerkung zum verallgemeinerten CasimirEekt
3.5.1 Formalismus

Bis jetzt wurden fermionische Felder als im Uberlapp
zweier Karten bis auf Eichtransformationen gleich angenommen. In 3.1.2 sahen wir, da auch eine in der U berlappregion ortsunabhangige Phase ' zugelassen werden mu. Nun ergrunden wir, ob und
wann dies an den vorangegangenen U berlegungen der Abschnitte 3.2, 3.3 und 3.4 etwas andert.
Allgemein gilt also im U berlapp zweier Karten
(j; P ) = W~ ij (P )ei'(i; P ) ; ' 2 [0; ] ;
(3.5.1)
68
KAPITEL 3. RANDBEDINGUNGEN IN EICHTHEORIEN
wobei ei' im Farbraum proportional zur Einheitsmatrix und in jedem Punkt einer
zusammenhangenden U berlappregion zwischen Karten i und j koordinatenunabhangig
ist.
Nachdem eine lokale Eichtransformation auf Karte i in Verallgemeinerung von
(2.2.10) die Kartentransformationen andert zu
W~ ij0 (P ) = W~ ij (P )ei'U~ y (i; P ) ;
kann man genau dann die fermionische Phase eliminieren, ohne im Raum der physikalischen Zustande eine A nderung zu bewirken (insbesondere ohne eine A nderung der
Grundzustandsenergie, wie dies ja in Kap. 1 der Fall ist), wenn
U~ (i; P ) j@Karte i= ei' ;
also wenn ei' in der Eichgruppe liegt, genauer gesagt sogar im Zentrum der Eichgruppe,
da die fermionische Phase ja mit jedem Gruppenelement vertauscht.
3.5.2 Relevanz des Casimireektes fur verschiedene Eichtheorien
Damit sind die folgenden Aussagen schnell bewiesen:
T d und U(N) Das Zentrum der U(N) ist U(1) , also existiert stets ein U~ (i; P ), das
die fermionische Phase in jedem zusammenhangenden U berlapp zu Null reduziert. Damit hat die Wahl der fermionischen Phase keinen Einu auf die Physik, erleichtert
hochstens ein paar Rechnungen. Die in (3.2.1/A.1.1/A.1.3/A.1.5) gewahlten Randbedingungen gelten unverandert.
Wir sehen, da die Elimination der Phase in den in [19] betrachteten U(N)-Theorien
durch den nur die Randbedingungen der Fermionen (L?) = e?i'(0+) andernden
unitaren Operator
e?iGau[ gL ] :
'x
'x
e?iGau[ gL ](x)eiGau[ gL ] = ei' Lx (x) = 0(x) ; 0(0+) = 0(L?)
'x
einer Neudenition des Eichfeldes (sogar nur seines Nullmodes) entspricht, ohne dessen
Periodizitatsbedingung zu andern:
'x
'x
e?iGau[ gL ]A(x)eiGau[ gL ] = A(x) + L' = A0(x) :
Eliminiert man aus jeder Gleichung in [19] auf diese Art ', so andert sich keine der
Observablen, was unser Ergebnis bestatigt.
T d und SU(N) Wie in 2.2.3 bemerkt, ist das Zentrum der SU(N) eine diskrete
Gruppe, folglich kann nicht jede beliebige fermionische Phase eliminiert werden; jedoch kann man stets erreichen, da ohne A nderung physikalischer Zustande die Phase
reduziert wird zu
2
(3.5.2)
'0 = min
n j'? Nnj ;
3.5. BEMERKUNG ZUM VERALLGEMEINERTEN CASIMIR-EFFEKT
69
also '0 2 [0; 2N [ (oder auch '0 2 ] ? =N ; +=N ]) liegt. Nur der so denierte Winkel
hat physikalische Bedeutung, andert also z.B. in der in Kapitel eins beschriebenen Art
die Grundzustandsenergie des Vakuums auf der endlichen Mannigfaltigkeit.
Die parallel zum U(N)-Fall konstruierte unitare Transformation
T]
e?iGau[ gLN
xn
xn
e?iGau[ gLN T ](x)eiGau[ gLN T ]
0(L?)
xn
xn
e?iGau[ gLN T ]A(x)eiGau[ gLN T ]
A0(L?)
xn
:
=
=
=
=
xn T
ei LN
(x) = 0(x) :
ei' T 0(0+)
n T = A0(x) :
xn T
xn T
A(x)e?i LN
+ gLN
ei LN
A0(0+) ;
0
zeitigt in der in [19] auf dem Kreis formulierten SU(N)-Eichtheorie ebenfalls keinen
observablen Eekt.
Damit kann man in jeder bis zu dreidimensionalen Mannigfaltigkeit periodische
Randbedingungen fur die Eichfelder einer SU(N)-Theorie wahlen, ohne die physikalischen Zustandsvektoren zu verandern; die Fermionen konnen stets bis auf eine ortsunabhangige Phase wie in (3.5.2) periodisch gewahlt werden. Eine Ausnahme bilden
die Kugeln S d ; d > 1, da in ihnen nach Abschnitt 3.1.2 nur eine zusammenhangende
U berlappregion existiert und ortsunabhangig Phasen nicht zugelassen werden konnen.
T d und SU (N )=ZN Wir merken hier an, da die Fermionen in der fundamentalen
Reprasentation der SU (N )=ZN zu transformieren haben, also nicht die Standard-YangMills - Fermionen sind. In einer reinen Eichtheorie ergibt die Denition einer fermionischen Phase naturlich keinen Sinn.
SU (N )=ZN hat als einziges Zentrumselement die Einheitsmatrix; damit kann eine
fermionische Phase nicht geandert werden. Ein verallgemeinerter Casimir Eekt existiert in Abhangigkeit von ' 2 [0; ]. An den in 3.4.2 hergeleiteten Randbedingungen
fur Eichfelder andert sich nichts, die Randbedingungen fur Fermionfelder allerdings
bekommen zusatzlich die oben hergeleitete Phase.
Kapitel 4
Groe Eichtransformationen
Wie armselig steht der theoretische Physiker vor der Natur und { vor seinen Studenten.
A. Einstein
But it is possible that this postulate, while
not obviously wrong, may not be right.
Bjorken [5]
Die Frage, ob jede beliebige Eichtransformation (2.3.8/2.3.9) aus innitesimalen generiert werden kann, soll nun beantwortet werden. Groe Eichtransformationen werden
konstruiert und interpretiert.
4.1 Wann existieren groe Eichtransformationen?
4.1.1 Herleitung
Mathematisches Konzept Abstrahieren wir nochmals das Konzept von Eichtrans-
formationen auf Mannigfaltigkeiten (cf. 2.2.2 und Schlu von 2.3.2): Eichtransformationen auf ganz M sind Funktionen U~ , die Werte aus der Strukturgruppe G annehmen.
Jeder Punkt in M wird dabei auf einen Punkt in der Mannigfaltigkeit der Strukturgruppe abgebildet:
U~ : M ! G
(4.1.1)
Um die explizite Abbildung anzugeben, hat man strenggenommen sowohl auf M als
auch auf G Karten einzufuhren. U~ nimmt dabei { unabhangig von auf M eingefuhrten
Karten und Koordinatensystemen { einen eindeutigen Wert in G ein, also
U~ (i;~x) = U~ (j; 'ij (~x))
im U berlapp zweier Karten. Schreibt man U~ = exp igf , fuhrt also auch auf G Karten und Koordinatensysteme mittels kartenabhangiger f (l) ein, wobei im U berlapp
zweier Karten l und m auf G exp igf (l; U~ ) = exp igf (m; U~ ) im gleichen Punkt U~ der
U berlappregion in G gelten mu, so ist die Abbildung von M auf G explizit durch
Abbildung von f (l) auf ~x(i) gegeben. Dabei sind die Funktionen f (l; U~ ) i.A. nicht auf
unterschiedlichen Karten auf G oder M gleich, wenn ihr Aufpunkt in G und M gleich
70
4.1. WANN EXISTIEREN GROE EICHTRANSFORMATIONEN?
ist (2.3.18):
71
f (l; U~ ); (i;~x(P )) ! f (m; U~ ); (j; 'ij (~x(P )))
Die Moglichkeit der Konstruktion von Abbildungen M ! G mittels Karten auf
beiden Mannigfaltigkeiten entbindet uns von der Picht, dies stets zu tun. Tatsachlich
haben wir bisher stets nur eine (maximale bzw. schlechte) Karte in G betrachtet, was
zur Mehrdeutigkeit der Eichfunktionen f z.B. in (3.2.2/3.3.1/3.4.7) fuhrte, die durch
Einfuhrung von Karten auf dem Kreis bzw. der Kugel behoben werden konnen.
Im Allgemeinen werden solche global (i.e. auf ganz M) denierten Eichtransformationen die Kartentransformationen andern (cf. (2.2.10)):
W~ ij0 (P ) = U~ (P )W~ ij (P )U~ y(P ) :
(4.1.2)
Sollen die Kartentransformationen also unverandert bleiben, so mu in jedem Punkt

der Uberlappregion
U~ mit W~ vertauschen, was am einfachsten zu erreichen ist, wenn
das Faserbundel trivial (Wahl von W~ = 1 uberall moglich) oder U~ = 1 in den U berlappregionen ist, bzw. wenn W~ oder U~ im U berlapp aus dem Zentrum von G sind.
Andererseits kann man jede beliebige die Kartentransformationen verandernde Eichtransformation zulassen, solange sie nicht aus der A quivalenzklasse der gegebenen Kartentransformation herausfuhrt, da dann durch lokale (kleine) Eichtransformationen auf
einer Karte die alten Kartentransformationen wiederhergestellt werden konnen, ohne
physikalische Zustande zu beeinussen.
Tatsachlich ist leicht zu zeigen, da U~ niemals aus einer gegebenen A quivalenzklasse
von Kartentransformationen herausfuhren kann: U~ mu stetig auf jeder Karte sein,
also kann es entlang der Argumente von Abschnitt 2.2.4 die Randbedingungen nicht
zu einem topologisch zu W~ ij inaquivalenten W~ ij0 verandern. Damit konnen wir uns auf
groe Eichtransformationen beschranken, die Kartentransformationen bzw. daraus in
3.1.1 hergeleitete Randbedingungen nicht verandern.
Es folgt auch, da stets lokal, d.h. auf jeder Karte, eine kleine Eichtransformation
~U 0 existiert, die nicht nur keine lokale Observable, sondern nicht einmal Feldoperatoren
in einem Gebiet kleiner als M invariant lat:
U~ U~ 0 = 1 in einem oenen Gebiet ;
(4.1.3)
deren globale Konstruktion jedoch ausgeschlossen ist.
Globale Eichtransformationen zerfallen als Abbildungen (4.1.1) wiederum in unterschiedliche Homotopieklassen. Nicht das Einselement der im Folgenden ebenfalls Homotopiegruppe genannten Gruppe der A quivalenzklassen von Abbildungen M ! G
reprasentierende Transformationen sind nicht durch eine Abfolge innitesimaler Eichtransformationen auf M generierbar. Also ist global (auf M) die Invarianz physikalischer Zustande nicht durch das gausche Gesetz gewahrleistet.
Groe Eichtransformationen als Kartentransformationen [22, p. 320],[23, p.
260] Das Auftauchen der Homotopiegruppe bei der Betrachtung groer Eichtransformationen ist kein Zufall:
Betrachten wir zwei physikalische Zustande1 zu unterschiedlichen Zeiten t0 und
t1 > t0, j phys >t0 und j phys >t1 , die sich in keiner Observablen unterscheiden.
1
Nicht notwendigerweise Eigenzustande zum Hamiltonoperator, cf. Abschnitt 1.1.1.
72
KAPITEL 4. GROE EICHTRANSFORMATIONEN
Konnen wir zeigen, da beide auch durch denselben Zustand im physikalischen Hilbertraum dargestellt werden, bzw. da es in der Pfadintegralformulierung zumindest
einen Pfad gibt, bei dem j phys > zeitlich unverandert bleibt? Besonders interessant
ist diese Frage fur das physikalische Vakuum: Existieren neben einem gegebenen Vakuum (klassisch z.B. A~ (~x) = 0 8~x) auch andere Vakuumzustande, die nicht erreicht
werden konnen, wenn das Vakuum zeitlich unverandert bleibt; ist das Vakuum also
nicht zusammenhangend? Zerfallt es also in mehrere eichvariante Sektoren?
Man bemerke, da diese Fragestellung eine \heimliche Kompaktikation" der Zeitkomponente der Raumzeit enthalt2. Unsere Raumzeit wird also zu M S 1, wobei M
mit euklidscher Signatur ausgestattet ist.
Betrachten wir das Faserbundel auf der Raumzeit, die wir zu diesem Zwecke mit
zwei Karten uberdecken, deren Rand (bzw. U berlappregion) genau M ist. Dann ist
nur noch zu klaren, ob die Kartentransformationen W~ : M ! G zwischen beiden
Karten in homotopisch inaquivalente Klassen zerfallen, die Raumzeit also auch global
nichttriviale Eichtheorien zulat. Falls topologisch inaquivalente Kartentransformationen existieren, konnen als lokale Schnitte des Faserbundels (cf. 2.2.2) denierte
Zustandsvektoren im physikalischen Hilbertraum nicht global (i.e. fur jede Zeit t) deniert werden. A priori mussen also die im hier verwendeten Heisenbergbild auf jeder
Karte zeitunabhangigen Kets j phys >t0 und j phys >t1 nicht ubereinstimmen, da
sie auf unterschiedlichen Karten denierte Schnitte und im U berlapp zweier Karten
nicht auf ganz M als identisch wahlbar sind. Ist aber das Faserbundel auch global trivial, also die Kartentransformationen stets aus dem Einselement der Homotopiegruppe
von M ! G, so kann auch global ein Schnitt deniert werden, die Zustande sind im
U berlapp beider Karten identisch. Damit sind auch j phys >t0 und j phys >t1 und
insbesondere Vakuumzustande zusammenhangend.
Man bemerke, da die Kartentransformationen auf der Raumzeit nach der Argumentation in 2.2.4 stets zeitunabhangig gewahlt werden konnen, womit wir die Abbildung einer euklidischen Mannigfaltigkeit M auf G erhalten, die durch eine Windungszahl n(U~ ) charakterisiert werden und in beiden Karten wie im Kartenuberlapp
die Weyl-Eichung A0 = 0 gilt.
Verwendung der maximalen Karte Groe Eichtransformationen proben die glo-
bale Struktur der Mannigfaltigkeit. Um ihren Eekt zu beobachten, mussen wir offensichtlich den globale Fernparallelismus (2.2.12) der Mannigfaltigkeit prufen, wie wir
dies bisher mit dem der Kartenrander getan haben (Abschnitte 2.2.4 und 3.4.1). Das
Eichfeld A~ ist also auf ganz M zu denieren. Um uns die Abbildung der Mannigfaltigkeit auf G durch die Einfuhrung von Karten nicht unnotig zu erschweren, benutzen wir
fur M die in Kapitel drei hergeleitete maximale Karte mit ihren Randbedingungen,
die es ermoglicht, das Eichfeld (nahezu) global zu denieren.
Wir bilden also die maximale Karte auf G ab, wobei wir annehmen, da U~ in den
nicht auf der maximalen Karte liegenden Regionen nur beschrankt variiert.
U~ (L?; ::) = U~ (0+; ::)
(4.1.4)
Also ist auch der Wertebereich der Abbildung U~ ( max. Karte) ! G in G eine bis auf
einen Streifen vom Mae Null kompakte Untermannigfaltigkeit.
Das ist unabhangig davon, ob man in der Weyl - Eichung startete, die naturlich mit dieser Kompaktikation strenggenommen nicht vertraglich ist, oder auf einem anderen Weg quantisiert hat.
2
4.1. WANN EXISTIEREN GROE EICHTRANSFORMATIONEN?
73
Damit fuhren wir auf dieser Karte eine Eichtransformation aus, die wie gesehen so
wahlbar ist, da die Randbedingungen unverandert bleiben. Die Karteneichung sei also
durch die Eichtransformationen U~ unverandert. Ist die fermionische Randbedingung
gegeben als (1; (L?; ::)) = V~ (1; (0+; ::)), so folgt aus dieser Forderung wieder, da
U~ und V~ uberall am Kartenrand vertauschen mussen, was am einfachsten erreicht
werden kann, wenn U~ oder V~ am ganzen Rand aus dem Zentrum der Eichgruppe G
stammen.
Der quantenmechanische Operator groer Eichtransformationen Solche auf
die ganze Mannigfaltigkeit wirkenden Eichtransformationen U~ (~x) werden durch den
auf ganz M wirkenden Operator (cf. (2.3.7/2.3.19))
[f ] =
e?iG[i;f (~x)]
(4.1.5)
X
Karte i
erzeugt. Dabei ist wegen der Beschranktheit aller Operatoren wieder der Beitrag der
nicht-maximalen Karten zu vernachlassigen (cf. (2.1.2)). Der Operator ist also bei
Verwendung der maximalen Karte in M einfach
[fn ] = e?iG[max. Karte;f (~x)n] ;
(4.1.6)
wobei n die Windungszahl der Abbildung U~ ist, die U~ als Reprasentanten eines bestimmten Gruppenelementes der Homotopiegruppe H (M ! G) ausweist.
Es stellt sich wiederum die Frage, ob der beliebige Eichtransformationen auf M
erzeugende unitare quantenmechanische Operator (4.1.5/4.1.6) stets als Produkt von
innitesimale Eichtransformationen generierenden unitaren Operatoren (2.3.13) dargestellt werden kann. Dann sind physikalische Zustande unter jeder Eichtransformation
invariant, beliebige Eichtransformationen U~ (M) sind stets zur Identitat der Strukturgruppe deformierbar, die Homotopiegruppe der Abbildungen (4.1.1) einelementig.
4.1.2 Das gausche Gesetz
Der Unterschied zwischen den Operatoren [fn ] (4.1.6) und e?iGau[] (2.3.13) besteht
also darin, da die Funktionen aus auf der ganzen maximalen Karte innitesimalen
Eichfunktionen " erhalten werden, wahrend diese Beschrankung fur die Funktionen f
nicht gilt.
Ein neues gausches Gesetz Betrachten wir im Lichte der in Kapitel drei hergelei-
teten Randbedingungen nochmals das gausche Gesetz in seiner innitesimalen Form
(2.3.12).
Wir hatten am Ende des zweiten Kapitels auf Schwierigkeiten und Miverstandnisse
hingewiesen, die aus dem Versuch entstehen, die innitesimale Eichfunktionen "a(~x) zu
eliminieren. Nun konnen wir das fur eine Karteneichung (und damit Randbedingungen)
nicht andernde innitesimale Eichtransformation tun, falls das Faserbundel auf M
global trivial ist, wir also periodische Randbedingungen wahlen konnen, oder falls die
Randbedingungen stets aus dem Zentrum der Eichgruppe wahlbar sind.
Nach dieser Wahl ist namlich mit (3.1.3), (4.1.4) und (2.2.26)
~ ~ a "a = (4.1.7)
~ ~ a"a ?
~ "a =
d3x r
d3xr
d3x~ a r
Z
Z
max. Karte
max. Karte
Z
max. Karte
74
KAPITEL 4. GROE EICHTRANSFORMATIONEN
= ?
Z
max. Karte
~ ~ a "a ;
d3x r
wodurch aus dem gauschen Gesetz in innitesimaler Form (2.3.12) tatsachlich die
beliebigen innitesimalen Eichfunktionen " eliminiert werden konnen, und wir das bei
Jackiw etwas schematisch hergeleitete gausche Gesetz exakt erhalten:
~ ~ a(~x) + ga(~x) + gf abc A~ b(~x) ~ c(~x) j phys >= 0 (4.1.8)
Gau0a(~x) j phys >:= r
h
i
auf der maximalen Karte nach Fixierung der Karteneichung in allen Theorien, deren Faserbundel global trivial sind nach Wahl periodischer Randbedingungen, oder
in Theorien, deren Kartentransformationen aus dem Zentrum der Eichgruppe gewahlt
werden konnen, nach dieser Wahl. Mit diesen Randbedingungen verschwinden auch die
Randterme, die bei Kommutation von Gau'a mit dem Hamiltonoperator vor Fixierung
der karteneichung auftauchten, also fuhrt Zeitentwicklung nicht aus dem so denierten
physikalischen Sektor des Hilbertraumes heraus. Mit diesen durch das neue gausche
Gesetz erzeugten Eichtransformationen konnen wir die Randbedingungen also nicht
mehr andern.
Damit haben wir gezeigt, da [19],[20] das richtige gausche Gesetz benutzen, da
in SU(N)-Theorien wie in Abschnitt 3.3 gesehen stets periodische Randbedingungen,
in U(N)-Theorien nach Abschnitt 3.2 die homotopisch nichttriviale Randbedingungen
beschreibenden Matrizen V~ stets auf dem gesamten Kartenrand aus dem Zentrum U(1)
der U(N) gewahlt werden konnen.
Hinweis Konstruktionsgema werden nur periodische Eichfunktionen durch Gau'a (~x)
unmittelbar erzeugt.
Man beachte namlich, da diese Argumentation nur fur das innitesimale gausche
Gesetz (2.3.12) gultig ist, nicht aber fur die verallgemeinerte Form (2.3.14) mit beliebigen aus innitesimalen generierbaren Eichfunktionen , sobald nicht periodisch
ist, was i.A. nicht der Fall zu sein hat (cf. Ende der Abschnitte 2.2.4 und 2.3.2 und
Kapitel drei)! Vielmehr hat man eine bereits fur einfache nichtabelsche Gruppen extrem schwierige Fallunterscheidung zu machen zwischen groe Eichtransformationen
beschreibenden Eichfunktionen und solchen , die zwar periodische Eichtransformationen beschreiben, die nicht durch Gau' direkt generiert werden, jedoch wie in (2.3.13)
als endliches Produkt von durch Gau' generierten Eichtransformationen geschrieben
werden konnen, also klein sind. Eine allgemeine Losung der Fallunterscheidung ist
nicht in Sicht.
4.1.3 Physik groer Eichtransformationen
Nehmen wir an, da tatsachlich homotopisch inaquivalente, also groe, Eichtransformationen existieren. Die Invarianz physikalischer Zustande unter homotopisch zueinander aquivalenten Abbildungen M ! G ist durch das gausche Gesetz gesichert;
und zumindest vor Renormierung ( cf. [30]) vertauscht der Operator [fn ] mit dem
Hamiltonoperator((2.3.8)/Abschnitt 2.3.2).
Nun sind mehrere Szenarien denkbar. Welches von ihnen realisiert ist, lat sich nur
durch detailliertes Studium der Dynamik des Systemes entscheiden, ist topologischen
Betrachtungen also unzuganglich.
4.1. WANN EXISTIEREN GROE EICHTRANSFORMATIONEN?
75
Existenz des #-Winkels als neuer freier Parameter Sind physikalische Zustande
auch zu [fn ] Eigenzustande, so ist aufgrund dessen Unitaritat
[fn] j phys >= ei!(fn) j phys >
Ist [fn] ein kleine Eichtransformationen erzeugender Operator (n=0), so mu wegen
(2.3.14) auch !(fn) = 0 sein. Die Phase ist also nur von der Windungszahl der Abbildung U~ abhangig. Die Hintereinanderschaltung zweier Eichtransformationen nichttrivialer Windungszahlen n1; n2 mu dasselbe Ergebnis wie eine Eichtransformation der
Windungszahl n1 + n2 liefern. Zusammen mit dieser Linearitatsbedingung folgt, da
[fn] j phys >= ei#n(f ) j phys > ; # 2 [0; 2[ ;
(4.1.9)
wobei # ein bis jetzt unbestimmter Winkel, ein neuer Parameter der Theorie also, ist.
Wir werden in reinen Eichtheorien den Wert von # bestimmen konnen, nicht jedoch
in Fermionen einschlieenden Standard-Yang-Mills - Theorien.
Geschichte und Bedeutung dieses beruhmten #-Winkels auch nur annahernd seiner Bedeutung angemessen darzustellen, wurde den Umfang dieser Arbeit bei weitem
sprengen. Der folgende Abri ist eher als Erinnerung an Lehrbuchwissen (z.B. [8, p.
486-493], [24, p. 433f.],[5],[16]) gedacht.
Callan, Dashen und Gross [6] zeigten nahezu gleichzeitig mit Jackiw und Rebbi
[17] die Existenz von Eichfeldkongurationen in klassischen SU(N)-Yang-Mills - Theorien auf der Kugel S 3, die reine (groe) Eichtransformationen des klassischen Vakuums
A~ (~x) = 0 8~x sind, aber mittels kleiner Eichtransformationen nicht stetig zu diesem deformiert werden konnen. Es existieren jedoch klassische Losungen der Bewegungsgleichungen, die zwei solche Vakua miteinander verbinden, und die zu vorgegebener Windungszahl minimale Wirkung besitzen (Instantonen). Semiklassisch fuhrte sie dann die
Eichinvarianz bzw. die aus der Existenz von Operatoren, die von einem in den anderen
Vakuumsektor fuhren, folgende Verletzung der Cluster Decomposition [8, p. 491] bei
Denition des Vakuums als eines der eichvarianten Zustande, z.B. A~ (~x) = 0, zur moglichen Existenz von #-Vakua als U berlagerung aller moglichen topologisch inaquivalenten Vakuumkongurationen, in Analogie zur Konstruktion von quantenmechanischen
Blochwellen in periodischen Potentialen.
Man kann zeigen, da zwei physikalische Zustande, die Eigenzustande zu inaquivalenten Winkeln # sind, nicht miteinander kommunizieren, wenn die Windungszahl n
jeden Wert aus Z annehmen kann
< phys,#0 j phys,# >
=
< phys,#0 j
1
Y
[fn ]y
[fn ] j phys,# >=
n=?1
X
0
< phys,# j ei(#?# )n j phys,# >=
n
2(# ? #0) < phys,#0 j phys,# > ;
=
=
also verschiedene #-Welten aufeinander orthogonal und nicht normierbar sind. Ferner
fuhrt die Existenz von #-Vakua zu einem neuen Term in der Wirkung, der als totale
Divergenz geschrieben werden kann (cf. folgender Abschnitt), lokal die Bewegungsgleichungen also nicht beeinut. Er lost das U(1)-Problem, ist jedoch sowohl unter
Paritats- als auch unter kombinierter Paritats- und Ladungskonjugation fur # 6= 0 nicht
invariant. Damit ware QCD a priori CP-verletzend. Tatsachlich kann man jedoch zeigen, da # < 10?9 sein mu, da ein elektrisches Dipolmoment des Neutrons bisher nicht
0
76
KAPITEL 4. GROE EICHTRANSFORMATIONEN
beobachtet wurde. Dieses strong-CP-Problem der QCD in der Wigner-Weyl-Phase ist
bis heute ungelost.
Symmetriebruch des Grundzustandes Die Ungultigkeit des von-Neumann-Theo-
rems der Quantenmechanik in der Feldtheorie (cf. [13, p. 2]) aufgrund der Existenz
uberabzahlbar vieler Freiheitsgrade ermoglicht noch andere Szenarien: Das Vakuum
mu nicht dieselben Symmetrien wie der Hamiltonoperator aufweisen.
Sind physikalische Zustandsvektoren nicht Eigenzustande zum Operator [fn], die
Symmetrie also spontan gebrochen
[fn] j phys >6/j phys > 8n 6= 0 ;
konnte dies zur Entstehung von Goldstone-Bosonen fuhren. Starke Hinweise darauf
wurden im Falle QED auf dem Torus von Lenz et al. [20] gefunden. Die Goldstonebosonen waren mit den Photonen zu identizieren.
Ob die hier vorgestellten semiklassischen Argumente eine exakte quantenfeldtheoretische Behandlung uberleben, ob Theorien unterschiedliche Phasen bei verschiedenen
Energien zeigen oder Phasen gar koexistieren konnen, ist Gegenstand der Forschung3.
4.1.4 Windungszahloperatoren
Wenden wir uns der allgemeinen Charakterisierung von Windungszahloperatoren groer
Eichtransformationen zu. Es sollte klar sein, da groe Eichtransformationen und
Randbedingungen nichts miteinandr zu tun haben, da wir bei Verwendung der maximalen Karte ja auch groe Eichtransformationen periodisch sein mussen, (4.1.4).
Die neue Art Windungszahloperatoren CH (A~ ), die wir zur Klassikation der Windungszahlen der Abbildungen U~ brauchen, mussen mit dem gauschen Gesetz (2.3.12/4.1.8) als Generator kleiner Eichtransformationen vertauschen:
(4.1.10)
CH (A~ ); Gaua0(~x) = 0
i
h
Konstruktion Wie in 4.1.1 gesehen, konnen die Abbildungen U~ auch als Karten-
transformationen auf kompakten Raumzeiten interpretiert werden. Damit klassizieren
sich groe Eichtransformationen bezuglich ihrer Windungszahl wie Kartentransformationen. Besitzt man also einen Operator C (A~ ), der die Windungszahl von Kartentransformationen eines Faserbundels zur Mannigfaltigkeit M S 1 testet, so erhalt man den
Windungszahloperator der Abbildungen U~ , sobald man ihn ausschlielich durch auf
M (also am Kartenrand) denierte Operatoren ausdrucken kann. Man versuche also,
lokal den Integranden von C (A~ ) als totale Divergenz darzustellen,
dd+1 x @ch(i; A~ ) ;
C (A~ ) =
X
Z
Karte i von MS 1
i
der dann nach (2.1.3) die Struktur der Kartentransformationen auf dem U berlapp
testet. Wir wahlen das Koordinatensystem der Raumzeit so, da der Normalvektor
von M der Einheitsvektor in Zeitrichtung, der U berlapp also raumartig ist.
C (A~ ) =
dd x ch(i; A~ )0 = CH (i; A~ )0
X
i
3
Z
Mi
Neueste Ergebnisse fur QED in [20].
X
i
4.1. WANN EXISTIEREN GROE EICHTRANSFORMATIONEN?
77
Die Anwendung eines am Kartenrand eine Eichtransformation U~ beschreibenden Cutand-Glue - Operators Bn (cf. Abschnitt 3.4.1) auf Karte 1 erhoht den Wert von C (A~ )
konstruktionsgema um die Windungszahl n(U~ ), lat CH (i 6= 1; A~ )0 invariant und
erhoht deswegen auch den Wert von CH (1; A~ )0 auf Karte 1 um diese ganze Zahl n(U~ )
(cf. Argumentation in 3.4.1).
Man bezeichnet CH (1; A~ )0 =: CH (A~ ) auf der Mannigfaltigkeit M als Operator einer topologischen Quantenzahl, invariant konstruktionsgema unter jeder kleinen Eichtransformation, jedoch nicht unter groen:
[fn]CH (A~ )
[fn ]y = CH (A~ ) + n(f )
(4.1.11)
und auch im Allgemeinen nicht kommutierend mit dem Hamiltonoperator
CH (A~ ); H 6= 0 ;
(4.1.12)
da einerseits CH (A~ ) konstruktionsgema die Struktur von ganz M ergrunden mu
(Fernparallelismus), also auf ganz M deniert ist. Zusatzlich ist CH (A~ ) nur auf einer
Karte deniert, Beitrage verschiedener Karten konnen sich also nicht gegenseitig wegheben, wie das in (3.2.10) und Abschnitt 3.4.1 geschah. Andererseits existieren meist
bereits klassische Losungen (Instantonen), die sich nur durch ihre Windungszahl unterscheidende Zustande durch Zeitentwicklung miteinander verbinden. Im physikalischen
Sinne ist CH (A~ ) also keine gute Quantenzahl.
Auch hier haben die Mathematiker einen nicht unbetrachtlichen Teil der Arbeit
ubernommen: Sie klassizieren auf ungeradzahlig dimensionalen Mannigfaltigkeiten
die Struktur eines Faserbundels mittels der aus den in geradzahligen Dimensionen
existierenden Chern-Charakteren (3.2.9) nach obigem Verfahren abgeleiteten ChernSimons - Formen [22, p. 397.]. CH (A~ ) ist dann das Integral uber die Chern-Simons
- Form eines Faserbundels.
h
i
Anmerkungen Bn ist ebensowenig wie der in 3.4.1 konstruierte Operator fur n 6= 0
uberall auf der Mannigfaltigkeit der Raumzeit eine Eichtransformation, sondern mu
zumindest in einem kleinen Gebiet der Raumzeit eine A nderung des physikalischen
Zustandes bewirken, wenn er in der Theorie existiert. Da sein Einu nicht nur lokal
sondern auch zeitlich begrenzt ist, wird er Instanton-Operator genannt. Oensichtlich
kommunizieren uber ihn die unterschiedlichen Sektoren eines physikalischen Zustandes
der Theorie. Sein Kommutator mit dem Hamiltonoperator ist dann die Energie, die
notig ist, um einen unterschiedlichen Sektor (uber die von Bn induzierte Feldkonguration) zu erreichen.
Man bemerke, da alle in Kapitel drei konstruierten Windungszahloperatoren mit
dem Hamiltonoperator vertauschen und stets lokal als Oberachenintegral geschrieben
werden konnen; der Operator ReW (A~ ) (3.4.9) war sogar ausschlielich als Integral uber
die Kartenrander deniert.
Alle vorherigen Windungszahloperatoren vertauschen mit den im Folgenden konstruierten CH (A~ ), da beide Skalare im Farbraum und Funktionen der stets miteinander
vertauschenden Operatoren A~ (~x) sind. Damit kann die Anwendung keines der Windungszahloperatoren die Windungszahl eines anderen andern. Insbesondere bestatigen

wir nochmals, da die Kartentransformationen in einer Aquivalenzklasse
bleiben.
Es ist also kein Zufall, da wir in diesem Kapitel nur noch auf die Resultate des
vorherigen zuruckgreifen mussen; der Groteil der Arbeit ist bereits getan. An den
78
KAPITEL 4. GROE EICHTRANSFORMATIONEN
folgenden Untersuchung wird die hier nur skizzierte Beziehung zwischen mathematischen und physikalischen Motivationen der Windungszahloperatoren der Abbildungen
U~ : M ! G verdeutlicht werden.
4.2 QED auf Tori
4.2.1 U(1) auf S 1
Die Existenz von groen Eichtransformationen im Schwinger-Modell ist wohlbekannt
(cf. [19]).
Konstruktion groer Eichtransformationen Das Faserbundel ist { wie in 3.2.1
gezeigt { global trivial, wir wahlen also periodische Randbedingungen; das gausche
Gesetz in seiner innitesimalen Form ist durch (4.1.8) gegeben.
Betrachten wir Abbildungen U~ : S 1 ! S 1, wie sie in 3.2.2 ausfuhrlich behandelt
wurden. Ist U~ = eigfn(x), so ist jede die Randbedingungen erhaltende (U~ (L?) =
U~ (0+)) Abbildung mit fn (L?) ? fn(0+) = 2g n ; n 2 Z eine topologisch nichttriviale
Abbildung der Windungszahl n, z.B.
2 n
U~ (x) = e2i Lx n : A0(x) = U~ (x)A(x) = A(x) + gL
(4.2.1)
Wie diese groen Eichtransformationen nach einer vollstandigen Eichxierung (klassisch, oder in der Quantenmechanik durch unitare Transformationen) aussehen, hangt
von der Wahl der Eichung bzw. unitaren Transformation ab. Im Schwinger - Modell
sind in den in [19],[20] verwendeten Eichungen die groen Eichtransformationen wieder
durch (4.2.1) gegeben.
Windungszahloperator Der die Windungszahl von U~ detektierende Operator ist
bis auf Konstanten der Nullmode des Eichfeldes und kann aus dem Windungszahloperator (3.2.8/ 3.2.5) entlang der in 4.1.4 gegebenen Argumente leicht konstruiert
werden:
L
(4.2.2)
CH1(A) = 2g dx A(x)
Z
0
Dieses Integral der ersten Chern-Simons - Form [22, p. 398] ist eichinvariant unter
kleinen
[CH1(A); Gau(x)"(x)] = [CH1(A); Gau0(x)] = 0 ;
jedoch nicht unter allgemeinen, in x periodischen Eichtransformationen:
L
~ fn(x) = CH1(A) + n
[fn]CH1(A)
y[fn] = CH1(A) + 2g dx r
(4.2.3)
0
Er vertauscht auch nicht mit dem Hamiltonoperator
L
[CH1(A); H ] = 2ig dx (x) ;
0
also konnen Sektoren unterschiedlicher Windungszahl miteinander kommunizieren, und
ein physikalischer Zustand kann sich von einem in den anderen Sektor entwickeln.
Z
Z
4.2. QED AUF TORI
79
Dabei soll nochmals unterstrichen werden, da aus den in Abschnitt 3.2.2, Abbildung 3.2.1, konstruierten Abbildungen klar ist, da bei Verwendung zweier Karten
sowohl auf M als auch auf G Koordinaten und Eichfunktionen uberall stetig sind.
Auch CH1(A) kann in unterschiedlichen Eichungen verschieden aussehen. Man wird
deswegen den hier gebrauchten Ausdruck (quantenmechanisch durch Anwendung der
\eichxierenden" unitaren Transformation) in die entsprechende Eichung uberfuhren.
In QED faktorisiert der Windungszahloperator (4.2.2) nach Anwendung der in [20] konstruierten unitaren Transformationen in einen Teil, der { angewandt auf den physikalischen Sektor des Hilbertraumes { verschwindet, und einen Teil, der nur physikalische
Variablen enthalt, namlich den Nullmode des Eichfeldes.
Invarianz lokaler Physik Man beachte auch, da lokal, also in einer oenen Umge-
bung, stets eine kleine Eichtransformation existiert, die die ursprungliche physikalische
Situation wiederherstellt. Dies ist auch aus der Behandlung des Aharonow - Bohm Eektes (Abschnitt 2.2.1) vertraut. Wie man sieht, ist er auch interpretierbar als #Vakuum, wenn man # = 2g (: magnetischer Flu durch den Solenoid)(2.2.2) setzt.
Die Observable, die den Wert von # dann festlegt, ist das Interferenzmuster, aus dem
entnommen werden kann.
Die Anwendung z.B. der durch das gausche Gesetz generierten ( in x periodischen)
Eichtransformation
an 8x 2 ]0; a[ _ ]L ? a; L[
L
xn
8x 2 ]a; L2 [
; 0 < a < L2 ;
e?2i(x;a) : (x; a) =
L
? xn 8x 2 ] L ; L ? a[
8
>
<
>
:
L
2
(wobei (x; a) auch in den Punkten a; L ? a; L=2 als stetig dierenzierbar angenommen wird) nach der globale Transformation (4.2.1) fuhrt zu keiner A nderung lokaler
Operatoren im Intervall ]a; L=2[ .
Abschlieend sei nochmals die Wichtigkeit des { in einer naiven Kontinuumformulierung (cf. Einleitung) meist vernachlassigten { Nullmodes (4.2.2) von Eichfeld und
konjugierem Impuls unterstrichen.
4.2.2 U(N) auf T d
U(1) auf T d Es ist klar, da auch die Abbildungen
T d = S 1 S 1 ! S 1 U (1)
|
{z
dmal
}
eine nichttriviale Homotopiegruppe besitzen, da jeder der generierenden Kreise des
Torus einzeln auf U(1) abgebildet werden kann und nach 2.1.3, 3.2.2, (4.2.1) nichttriviale Homotopiegruppe besitzt. Damit ist die Homotopiegruppe H (T d ! U (1)) = Z d;
Reprasentanten nichttrivialer Elemente sind die groen Eichtransformationen
(4.2.4)
U~~n (~x) = exp 2Li ~n ~x ; ~n 2 Z d :
~n ist dabei ein d-komponentiger Vektor, dessen Eintrage die Windungszahl der Abbildung jedes generierenden Kreises auf U(1) sind.
80
KAPITEL 4. GROE EICHTRANSFORMATIONEN
Der Windungszahloperator ist ebenfalls ein d-komponentiger Vektor (cf. (3.2.11)),
dessen i-te Komponente (in kartesischen Koordinaten, keine Summation uber i)
~ 1(A~ ) (~x?) = g L dxi trAi(~x)
CH
(4.2.5)
i
2 0
invariant unter kleinen Eichtransformationen ist, jedoch sich unter groen um die Windungszahl ni andert.
Auf Tori existieren groe Eichtransformationen stets, selbst wenn Monopole nicht
zugelassen sind. Deren Auftreten auf T 3 war ja an die Unabhangigkeit der Kartentransformationen von einer der Winkelkoordinaten gekoppelt.
Man bemerke abschlieend, da die Existenz groer Eichtransformationen in QED
darauf zuruckzufuhren ist, da T d das direkte Produkt von Kreisen ist. Wahlt man
als raumliche Mannigfaltigkeit eine Kugel S d, d > 1, so existieren wegen d(U (1)) = 1
[22, p. 120] keine topologisch nichttrivialen Eichtransformationen. Allerdings kann
man unter Zuhilfenahme der poincareschen Vermutung, da die Kugeln und die zu ihnen topologisch aquivalenten Mannigfaltigkeiten in jeder Dimension d > 1 die einzigen
kompakten Raume sind, die eine triviale erste Homotopiegruppe 1(S d) = 1 besitzen,
sofort sehen, da auf allen anderen Mannigfaltigkeiten in QED groe Eichtransformationen existieren. Wir bemerkten bereits in der Einleitung, da Kugeln keine fur
kanonisch quantisierte Eichtheorien geeigneten Mannigfaltigkeiten sind.
Z
U(N) auf T d Wie in 3.2.4 konnen wir auch hier alle Ergebnisse der vorausgegan-
genen Abschnitte ubernehmen. Damit haben wir die Ergebnisse von [19] und [20]
reproduziert: Sie nden in ein- bis dreidimensionaler QED und U(N)-Theorien auf
Tori groe Eichtransformationen als Restsymmetrien nach vollstandiger Elimination
des gauschen Gesetzes, i.e. nach vollstandiger Eichxierung.
Reine U(1)-Theorien auf S 1 In absoluter Analogie zu 3.2.2 existieren in reinen
U(1)-Theorien keine groen Eichtransformationen: Jede Abbildung ist kontrahibel.
4.3 U(N)- und SU(N)- Theorien auf Tori
4.3.1 SU(N) auf dem Kreis
Da die Homotopiegruppe der Abbildungen S 1 ! SU (N ), 1(SU (N )), einelementig ist
(cf. Abschnitt 3.3), existieren keine groen Eichtransformationen.
Bedeutung fur das nichtabelsche Schwingermodell Die in [19] so bezeichneten
unitaren Operatoren
eiG[m] = exp i
L
Z
0
dx
X
l
[?ldl + gldl x] ;
(4.3.1)
2 m ; m 2 Z ;
dl = Lg
l
l
l ; l die Diagonalkomponeneten der Matrizen ata ; ata sind,
konnen { wie in 3.3.2 gezeigt { tatsachlich mithilfe unitarer Operatoren des gauschen Gesetzes und streng periodischer Eichfunktionen (3.3.2) generiert werden und
wobei
4.3. U(N)- UND SU(N)- THEORIEN AUF TORI
81
lassen deswegen physikalische Zustande invariant (2.3.13/2.3.14). Daher ist es falsch,
von groen Eichtransformationen zu sprechen; #-Vakua existieren in eindimensionaler
SU(N)-QCD nicht.
Vielmehr ist die Eichung in [19] noch nicht vollstandig xiert: Man kann zusatzlich
ein \sekundares gausches Gesetz" denieren, eiG[m] j phys >=j phys >, und mittels
unitarer Transformationen stets noch den Nullmode des Eichfeldes (nicht zu verwechseln mit der in Abschnitt 2.3.1 eingefuhrten Zeitkomponente des Eichfeldes A).
L
A0 := L1
dx Aa0 (x)ta0 ; ta0 alle Diagonalmatrizen ;
0
a0
der sich unter (4.3.1) zu
2 m (A00)ij = (A0)ij + gL
(4.3.2)
i ij
X
Z
2
2
[ beschranken, da A0 und A0 + gL
identitransformiert, auf das Intervall A0 2 [0; gL
sche physikalische Situationen beschreiben; oder aber { und das ist einfacher { man
2
betrachtet A0 als die einen Kreis des Umfanges gL
parametrisierende Koordinate, wie
dies in 2.2.4 mit der Variable s getan wurde.
Physikalische Wellenfunktionen sind dann U berlagerungen ohne Phase der Wellenfunktionen in einem Intervall:
n )
phys = (A0 + 2gL
n2Z
Die Theorie ist also nur auf einem der Intervalle mit streng periodischen Randbedingungen
n ?)
(A0 = 0+) = (A0 = 2gL
zu losen.
X
Die Struktur des Kongurationsraumes Grund fur diese Mehrdeutigkeit in [19]
ist die Losung der eichxierenden Dierentialgleichung [19, . 4.14]
A0 = U~ (x)A(x)U~ y(x) + gi U~ (x) @x@ U~ y(x) ;
(4.3.3)
@
@x A0 = 0 ; A0 diagonal.
Zunachst sei bemerkt, da die in der naiven Kontinuumtheorie mogliche Wahl einer
axialen Eichung A = 0 im endlichen Intervall aufgrund der geforderten Periodizitat der
eichtransformierten Felder und der U~ nicht erlaubt ist.
Man sieht leicht, da alle Eichtransformationen U~ 0(x), die sich nur durch mittels (4.3.1) erzeugte kleine Eichtransformationen exp 2i Lx ml unterscheiden, ebenfalls
Losungen der Dierentialgleichung sind. Damit ist die Eichung durch Forderung nach
Koordinatenunabhangigkeit und Diagonalitat von A0 nicht vollstandig xiert. Zwar
lat auch die U(1)-Theorie diese Freiheit bei der Losung der Dierentialgleichung zu,
jedoch existiert dort der Operator (4.2.2), der die Windungszahl einer Eichtransformation exp 2i Lx n detektieren kann und invariant unter kleinen Eichtransformationen ist.
Demgegenuber vertauscht der Nullmode (4.3.2) nicht mit dem gauschen Gesetz,
a0 bd b
a0
[Gau0d(x); A0] = ig
L a0;b f A (x)t ;
X
82
KAPITEL 4. GROE EICHTRANSFORMATIONEN
kann also kein Windungszahloperator sein.
Das Problem nicht vollstandig xierter Eichungen ist aquivalent zu einer nicht eindeutig gewahlten Basis feg des Faserbundels F(P) (Abschnitt 2.2.2) und wird nach
seinem Entdecker auch Gribov-Problem genannt ( [12], cf. [15, p.576]). Es kann wie
folgt interpretiert werden:
Man betrachte den Kongurationsraum der Eichfelder F (M), cf. 2.2 und [28].
In ihm beschreiben
alle durch kleine Eichtransformationen U~ verbindbaren Feldkon~
U
gurationen A dieselbe physikalische Situation wie A, sind also aquivalent. Diese
kontinuierliche A quivalenzklasse heit Orbit und ist in Abbildung 4.3.1 als Linie dargestellt.
Die in 2.2.1 eingefuhrte vollstandige Eichxierung bedeutet nun, da die Eichung
erhaltende, kleine Eichtransformationen nicht mehr moglich sind, also durch eine Bestimmungsgleichung f (A) = 0, die das Eichfeld zu erfullen hat, nur ein Reprasentant
aus jedem Orbit ausgewahlt wird (f (A) xiert eine Basis von F (M)). Der Raum der
moglichen Losungen dieser Bestimmungsgleichung (in der Abbildung als gestrichelte
Linie dargestellt) soll also jeden Orbit genau einmal schneiden. Wird ein Orbit nicht
geschnitten, so ist die Eichung ubervollstandig; wird er mehrmals geschnitten, ist sie
unvollstandig (Gribov-Problem).
Dabei ist f (A) = 0 klassisch die eine bestimmte Eichung xierende Gleichung.
Wie in [20] gezeigt wird, ist sie in der Quantenmechanik die Denitionsgleichung fur
eine neue von den Eichfeldern abhangige Variable A0, die unitare Matrix in (4.3.3)
ein Funktional von A. Diese Variable mu sich aus der Bestimmungsgleichung oder
expliziter Konstruktion eindeutig ergeben: Die fur beliebige eichaquivalente Felder A
konstruierte Variable A0 mu also unabhangig vom gewahlten Reprasentanten U~ A des
Orbits sein.
Es ist also darauf zu achten, da der Losungsraum jeder die Eichung xierenden
Gleichung, bzw. jeder neue Variablen denierenden unitaren Transformation, die wie
in [20] im Raum der physikalischen Zustande das gausche Gesetz eliminieren soll,
jeden Orbit genau einmal schneidet.
~ A~ (~x) = 0 in nichtabelschen
Gribov [12] entdeckte, da die Coulomb-Bedingung r
Eichtheorien mehrere Schnitte mit dem Orbit bestimmter Kongurationen besitzt, die
Eichung also nicht vollstandig xiert ist [15, p. 576].
Wie oben gesehen schneidet die Bestimmungsgleichung (4.3.3) einen Orbit mehr2
mals, namlich in um gL
im Nullmode auseinanderliegenden Stellen. Erst durch die
2
zusatzliche Forderung \A0 2 [0; gL
[ " wird der Losungsraum auf einen Punkt jedes
Orbits eingeschrankt, die Eichung vollstandig xiert. Der verbleibende (physikalische)
Kongurationsraum ist der (global denierte) Schnitt des Faserbundels (cf. 2.2.2),
2
in SU(2) ein Kreis des Umfanges gL
, in SU(N) ein Torus T N ?1, dessen generierende
2
besitzen.
Kreise alle Umfang gL
Man beachte, da im Limes starker Kopplung oder groer Intervallangen der eichxierte Kongurationsraum der Felder A0 in SU(N) kleiner wird, schlielich nahezu
punktformig ist. Nichtsdestotrotz ist der Kongurationsraum jedoch stets topologisch
von dem eines Punktes verschieden: 1(S 1) = Z ; 1(S 0) = 1. Im Kontinuumslimes ist
das Eichfeld also nicht vollstandig eliminierbar: Neben der Coulomb-Wechselwirkung
existieren stets noch freie gluonische Felder. Dies wurde durch Betrachtung der physikalischen Dynamik in [19],[26] ebenfalls gezeigt.
2
In QED ist der Kongurationsraum nach Eichxierung hingegen R; zwei um gL
aus-
4.3. U(N)- UND SU(N)- THEORIEN AUF TORI
83
Abbildung 4.3.1: Kongurationsraum der Eichfelder und nicht vollstandig die Eichung
xierender Schnitt. Rechts der Schnittraum aus dem Losungsraum einer die Eichung
vollstandig xierenden Bestimmungsgleichung mit dem Kongurationsraum von SU(2)Eichtheorien, wie im Text hergeleitet ein Kreis, auf dem das im Kongurationsraum
denierte Skalarprodukt (2.2.7) lebt.
einanderliegende Nullmoden sind durch groe Eichtransformationen ineinander uberfuhrbar (4.2.1). Da der so konstruierte Kongurationsraum zusammenhangend ist,
existieren Instantonoperatoren. Im Kontinuumslimes L ! 1 bleibt die Mannigfaltigkeit immernoch R, durch groe Eichtransformationen verbindbare Kongurationen
rucken immer naher zusammen. Niemals aber konnen die in der naiven Kontinuumsformulierung nicht auftauchenden Nullmoden (cf. Einleitung) wegdiskutiert werden:
Stets bleiben sie dynamische Freiheitsgrade der Theorie.
4.3.2 SU(N) und U(N) auf dem Torus T 3
Der Windungszahloperator Mathematiker geben als Ausdruck fur das Integral
der zweiten Chern-Simons - Form von SU(N)- und U(N)- Eichtheorien auf dreidimensionalen Mannigfaltigkeiten den Windungszahloperator [22, p. 398], [16]
2
(4.3.4)
d3x ijk tr Ai rj Ak ? 23i gAj Ak :
CH2(A~ ) := 12 2g
M
Wir konnten in 3.4.1 zeigen, da SU(N)-Faserbundel stets trivial sind, und da in U(N)Theorien die in 3.2.4 konstruierten Randbedingungen V~ aus dem Zentrum der U(N)
stammen, ist nach Karteneichung das gausche Gesetz durch (4.1.8) gegeben und jede
Eichtransformation (4.1.4) und Feld (Abschnitt 3.3.1) periodisch.
Damit konnen wir zeigen, da CH2(A~ ) tatsachlich unter kleinen Eichtransformationen invariant ist, namlich mit den Generatoren innitesimaler Eichtransformationen
vertauscht: Dazu bemerken wir zunachst, da mit der in 2.3.1,(2.3.1) gegebenen Denition des Feldstarketensors und der Spur von Generatoren der Liealgebra folgt, da
2
CH2(A~ ) = 12 2g M d3x [F12a Aa3 + Aa2r3Aa1]
(4.3.5)
(oder jede zyklische Permutation der Koordinatenindices 1,2,3), und da Oberachen
Z
Z
84
KAPITEL 4. GROE EICHTRANSFORMATIONEN
terme der Art
d3x ri ~(3)(~x ? ~y)Aaj(~x) =
= d2x? ~(3)((~x? ; xi = L?) ? ~y) ? ~(3)((~x?; xi = 0+) ? ~y) Aaj(~x) = 0
h
R
i
i
h
R
(~x? sind die Komponenten von ~x senkrecht zu ~ei) aufgrund der strengen Periodizitat
der Felder verschwinden (zur Diracdistribution siehe (2.3.5) und Abschnitt 3.1.1).
Es folgt dann unter Beachtung der Denition der kovarianten Ableitung (2.3.2) in
der adjungierten Darstellung
~ + gf abc A~ b(~x) ;
D~ ac (~x) := acr
da
2
CH2(A~ ); Gaua0(~x) = 4i 2g ijk Diac (~x)Fjkc (~x) = 0
(4.3.6)
aufgrund der Bianchi-Identitat (Funote 9 in Abschnitt 2.3.2).
Auch das ursprungliche gausche Gesetz (2.3.12) vertauscht mit dem Windungszahloperator:
CH2(A~ ); d3x Gaua(~x)"a(~x) =
(4.3.7)
2
= 2i 2g d3x r1 (r3"a(~x)) (Aa2 (~x) ? Aa1 (~x)) + r3 [Aa1 (~x)r2"a(~x)] =
=0 ;
da auch innitesimale Eichfunktionen periodisch sind (4.1.4/2.2.26).
Schlielich wollen wir das Verhalten von CH2(A~ ) unter beliebigen durch (2.3.8/2.3.7)
generierten Eichtransformationen U~n (~x) = exp igfn(~x) einer eventuellen Windungszahl
n testen:
(4.3.8)
e?iG[fn]CH2(A~ )eiG[fn ] = CH2(U~ A~ ) =
1
ig
= CH2(A~ ) + 2 (2)2 d3 x "ijk ritr Aj rk U~ U~ y +
+ (21 )2 d3x tr r1U~ y U~ r2 r3U~ y U~ ;
wobei der zweite Term als Oberachenintegral wegen der strengen Periodizitat der
~ U~ y!) verschwindet. Der
Felder und Eichtransformationen (mit allen Ableitungen U~ r
dritte kann noch einfach umgeformt werden, soda schlielich
e?iG[fn ]CH2(A~ )eiG[fn] = CH2(U~ A~ ) + n(f ) ;
(4.3.9)
wobei n(f ) := 81 2 d3x tr[ r1U~ U~ y ; r2U~ U~ y r3U~ U~ y ] =
= 2412 d3x ijk tr riU~ U~ y rj U~ U~ y rk U~ U~ y
die Windungszahl einer Eichtransformation ist, denitionsgema eine beliebige ganze
Zahl. Man beachte, da wir die Relationen (4.3.6/ 4.3.7/4.3.8/4.3.9) hergeleitet haben, ohne an irgendeiner Stelle zu den Argumenten Zuucht nehmen zu mussen,
da Eichfunktionen oder Felder im Unendlichen verschwinden, wie dies in [16, .
3.22,3.35,3.36,3.49a] getan wurde. Vielmehr ergeben sich unsere Ergebnisse aus der
h
h
R
i
i
R
h
i
Z
Z
Z
Z
4.3. U(N)- UND SU(N)- THEORIEN AUF TORI
85
in 3.3.1 hergeleiteten strengen Periodizitat aller in G nicht kommutierenden Variablen
und Eichtransformationen.
Da CH2(A~ ) nicht mit dem Hamiltonoperator vertauscht, ist anzunehmen, da Sektoren unterschiedlicher Windungszahl miteinander kommunizieren. Die klassischen
Losungen zur niedrigster Wirkung, die die Windungszahl andern, sind die in 4.1.3/4.1.4
angesprochenen Instantonen. Ein quantenmechanischer Cut-and-Glue - Operator Bn
wurde noch nicht gefunden.
Konstruktion groer Eichtransformationen Bis jetzt garantiert nichts, da nichttriviale Abbildungen T 3 ! G tatsachlich existieren. Die Windungszahl n jeder Eich-
transformation konnte Null sein, wie das fur SU(N) auf dem Kreis der Fall war.
Singer [28] zeigte, da fur alle halbeinfachen Liegruppen und dreidimensionalen
Mannigfaltigkeiten groe Eichtransformationen existieren 4. Er untersuchte dafur die
Topologie des Kongurationsraumes, wie wir das in Abschnitt 4.3.1 getan haben.
Tatsachlich kamen Callan et al. [6] und Jackiw et al. [17] auf die mogliche Existenz von #-Vakua in SU(N)-Theorien, indem sie bemerkten, da die Abbildungen
S 3 ! SU (N ) wegen 3(SU (N )) = Z in unendlich viele homotopisch unterschiedliche
Sektoren zerfallen.
Da jede SU(N)- und U(N)- Gruppe eine SU(2)-Untergruppe enthalt, betrachten
wir zunachst die Abbildung der Kugel S 3 in die Gruppenmannigfaltigkeit der SU(2),
wie in 3.3.2 gesehen ebenfalls S 3. Solche Abbildungen sind z.B. unter dem Namen
Hedgehog-Losung wohlbekannt [16],[5] und gegeben durch
U~ (~y) = exp if (r) ~y r ~ = 1 cos f (r) + i ~y r ~ sin f (r) ;
(4.3.10)
r2 := ~y ~y ; yi 2] ? 1; +1[ ; i : i-te Paulimatrix
r = 1 entspricht dabei dem Sudpunkt der Kugel S 3, r = 0 dem Nordpol, cf. Azimuthwinkel in Kugelkoordinaten. Dabei ist f(r) eine beliebige (wegen der strengen
Periodizitat von U~ unendlich oft stetig dierenzierbare) Funktion mit den Eigenschaften
f (r = 0) = 0 ; f (r ! 1) = n ; n 2 Z ;
(4.3.11)
soda
U~ (r = 0) = 1 ; U~ (r ! 1) = (?1)n :
(4.3.12)
Man kann zeigen [5] (oder Einsetzen in (4.3.9)), da diese Abbildung Windungszahl n
besitzt.
Finden wir nun eine Abbildung T 3 ! S 3, so konnen wir den Hedgehog mit seinen
topologischen Eigenschaften benutzen.
Da diese Abbildung den Genus der Mannigfaltigkeit andert, (1(T 3) = Z 3, wahrend
1(S 3) = 1), kann die Abbildung nicht uberall bijektiv sein, sondern mu drei homotopisch zueinander inaquivalente geschlossene Hyperachen der Windungszahl eins auf
dem Torus in denselben Punkt auf S 3 abbilden. Dadurch werden die \Locher" des
Torus beseitigt (cf. Abbildung).
Oft wird behauptet, da aus seinem Artikel die Unvermeidbarkeit des Gribov-Problemes in QCD
folgt, unabhangig von der Eichung. Dies ist nicht richtig; vielmehr bezeichnet Singer eine Eichung
dann als vollstandig xiert, wenn auch groe Eichtransformationen unmoglich sind, die die Eichung
erhalten, also nicht { wie allgemein verstanden { wenn das gausche Gesetz vollstandig eliminiert
ist. Vergleiche dazu die unseren in 4.1.1 gemachten sehr ahnlichen U berlegungen am Anfang seines
Beweises des Theoremes V.
4
86
KAPITEL 4. GROE EICHTRANSFORMATIONEN
Abbildung 4.3.2: Abbildung des Torus auf eine Kugel durch Identikation aller Punkte
auf einem Kreuz
Die gesuchte Abbildung kann also nicht topologisch sein, d.h. alle Eigenschaften
des Torus erhalten, ist jedoch auerhalb der identizierten Hyperachen bijektiv.
Betrachten wir zur Verdeutlichung wiederum einen Kubus, dessen gegenuberliegende Seiten identiziert werden (T 3), und einen, dessen Punkte auf den Seiten alle
miteinander identiziert werden (S 3). Wir haben also eine Abbildung
~y : T 3 ! S 3
xi 2 ]0; L[ 7! yi(xi) 2 ] ? 1; +1[
zu nden, soda U~ auf den Randern des Wurfels uberall denselben Wert annimmt.
Der Rand des Wurfels wird dann auf den Sudpol der Kugel abgebildet. Das konnen
wir z.B. durch die uberall unendlich oft dierenzierbare Funktion
yi(xi) := exp L ?1 x ? exp x1
(4.3.13)
i
i
erreichen, die uberall auf der durch den Wurfel reprasentierten maximalen Karte bijektiv ist, jedoch nicht auf den (strenggenommen nicht auf der maximalen Karte liegenden)
Seiten. Damit ist
U~ (@ (max.Karte)) = (?1)n :
(4.3.14)
Um noch zu zeigen, da diese nichttopologische Abbildung trotzdem die Windungszahl des Hedgehogs nicht verandert, genugt es sicherzustellen, da yi(xi) eine zulassige
Reparametrisierung des Integrals in (4.3.9) ist, die Jacobimatrix von yi(xi) also stets
invertierbar ist. Man uberzeugt sich leicht, da die Determinante der Jacobi-Matrix
nirgendwo auf der maximalen Karte verschwindet oder unendlich wird (keine Summation uber i):
@yi = 1 exp 1 + 1 exp 1
ij
@xj
x2i
xi (L ? xi)2 L ? xi > 0 ; 8xi 2 ]0; L[
@yi = @yi > 0 :
) det @x
j
i @xi
Die Windungszahl bleibt also erhalten.
Schlielich wollen wir noch durch die Wahl von f (r) garantieren, da U~ (~x) streng
periodisch, also insbesondere an den Randern unendlich oft dierenzierbar ist:
2n
(4.3.15)
f (r) := 1 + exp
1=r2
!
Y
4.3. U(N)- UND SU(N)- THEORIEN AUF TORI
87
erfullt (4.3.11) und strebt fur r ! 1 ; r ! 0, i.e. an den Seiten und Mittelpunkt des
Wurfels, schneller als jede Potenz gegen die angegebenen Grenzwerte. Alle Ableitungen
am Kartenrand sind Null.
Man beachte nochmals, da alle Irregularitaten von U~ nicht auf der maximalen
Karte liegen, sondern auf den anderen, innitesimalen. Analog zu 4.1.1 konnen wir
aber leicht auf den anderen (sehr kleinen) Karten U~ (j;~x) = 1 , also fja unabhangig von
jeglichen Koordinaten setzen. Damit ist die in (4.1.5) denierte Eichfunktion f auf
jeder Karte analytisch.
Bemerkung zu Theorien mit vollstandiger Eichxierung Ich wiederhole noch-
mals das in 4.2.1 gesagte: Diese Betrachtungen zeigen die Existenz von groen Eichtransformationen im Allgemeinen; ihre Konstruktion und der zu ihnen gehorende Windungszahloperator jedoch sind hier vor einer Eichxierung gegeben. Wie beide nach
einer in [20, to be published] gegebenen unitaren \eichxierenden" Transformation
aussehen, bleibt hier jedoch ungeklart.
Erweiterung auf SU(N) Da { wie gesehen { SU(N) eine Untergrupe SU(2) besitzt,
gibt die Einbettung obiger Abbildung (4.3.10/4.3.13/4.3.15) in SU(N) sofort auch alle
groen Eichtransformationen der SU(N). Wir zeigten also durch Konstruktion, da
H (T 3 ! SU (N )) = Z . Unvermeidbar ist weiterhin dei Identikation von Hyperachen
des Torus: Da 1(SU (N )) = 1 [22, p. 120], ist die Abbildung wieder genus-andernd
(nichttopologisch).
Erweiterung auf U(N) Auch U(N) enthalt eine SU(2)-Untergruppe, wenn N > 1.
Andererseits existieren in der invarianten U(1)-Untergruppe der U(N) { wie in 4.2.2
gezeigt { weitere groe Eichtransformationen U~m~ (U (1)) des Windungszahlvektors m
~
(4.2.4). Diese vertauschen stets sowohl miteinander als auch mit den groen Eichtransformationen U~n (SU (N )) der Windungszahl n. Die Windungszahl von U~m~ (U (1)) bzgl.
~ 1(A~ )
des Operators CH2(A~ ) ist also Null (4.3.9), und die von U~n (SU (N )) bzgl. CH
~ 1(A~ ) nur die invariante U(1)-Untergruppe uber(4.2.5) ebenfalls, da die Spur in CH
lebt (cf. Abschnitt 3.2.4). Auch vertauschen naturlich beide Windungszahloperatoren
miteinander.
Damit existieren in U(N)-Eichtheorien vier freie Parameter, falls physikalische Zustande zu jedem Generator groer Eichtransformationen [n; m
~ ] Eigenzustande sind
und die generierenden Kreise des Torus unterschiedliche Umfange besitzen:
[n; m
~ ] j phys >= exp i #SU (N )n + #~U (1) m
~ j phys > :
(4.3.16)
h
i
Jede dieser Symmetrien kann einzeln gebrochen sein, soda das System bezuglich jeder
der beiden Untergruppen in einer unterschiedlichen Phase beobachtet werden konnte.
Besitzen die den Torus generierenden Kreise alle gleichen Umfang, erwartet man aus
Symmetriegrunden, da alle mit den groen Eichtransformationen der U(1) assoziierten
quantenmechanischen Operatoren in derselben Phase liegen. Insbesondere sind die
drei in der Wigner-Weyl - Phase auftauchenden freien Parameter # gleich. Damit
durfte die Dynamik von U(N)-Eichtheorien, unter denen sich auch die Glashow - Salam
- Weinberg - Theorie der elektroschwachen Wechselwirkung bendet, sehr interessant
sein.
88
KAPITEL 4. GROE EICHTRANSFORMATIONEN
4.3.3 Reine U(N)- und SU(N) - Eichtheorien
Kommen wir zum Abschlu zu Eichtheorien mit Strukturgruppe G0 = SU (N )=ZN
(2.2.19), N > 1. Da diese groe Eichtransformationen auf Tori zulassen, erkannten
zuerst 't Hooft [31],[32] und Witten [34].
Konstruktion groer Eichtransformationen auf dem Kreis Hier sind (2.3.12)
und (4.1.8) nicht aquivalent, wenn die Randbedingungen nicht im trivialen Sektor der
Theorie liegen, i.e. keine Defekte nach Abschnitt 3.4 existieren.
Entlang der Argumentation in 3.4.1 sieht man sofort, da auf S 1 jede reine Eichtheorie groe Eichtransformationen besitzt, namlich alle nach (3.4.7) in SU(N) pseudoperiodischen Eichtransformationen, z.B. also (cf. (A.2.6))
U~n (~x) = exp 2Ni n Lx T :
(4.3.17)
Beachte, da U~n(@ max. Karte) 2 Z (G), also (4.1.2) die Randbedingungen unverandert
bleiben. (4.3.4) kann { wie aus (4.3.9) ersichtlich { nicht die Windungszahl von (4.3.17)
detektieren. Der Windungszahloperator (3.4.4, cf. Abschnitt 4.1.4)
L
W (A) = N1 trP exp ig 0 dx A(x)
(4.3.18)
ist jedoch invariant unter kleinen Eichtransformationen (3.4.5) und andert sich nach
(3.4.6) unter groen:
e?iG[fn ]W (A)eiG[fn] = e 2Ni nW (A) :
Man beachte, da die Windungszahl wieder nur Modulo N bestimmt ist. Da spatestens
U~ N (x) periodisch ist, mu die Windungszahl dieser Transformation wieder Null sein.
Z
Interpretation der #-Vakua Das ermoglicht die Bestimmung des Winkels #, wenn
die physikalischen Zustande nach (4.1.9) Eigenzustande zu e?iG[fn] sind:
(4.3.19)
# = 2N q ; q 2 0; ::; (N ? 1) :
q ist dabei eine unter Eichtransformationen erhaltene Ladung, die sich allerdings unter
Anwendung von W(A) andert:
e?iG[fn]W (A) j phys >= e 2Ni n(q+1) j phys > :
(4.3.20)
Wir interpretieren also W(A) als den Operator, dessen q-malige Anwendung die Ladung q erzeugt und die topologische Erhaltungsgroe n(f) mit. Somit haben wir N
mogliche Wahlen fur q, deren jede einen Eigenraum der Operatoren e?iG[fn ] beschreibt.
Diese Eigenraume heien Zentrale Sektoren [31],[32]. Die Operatoren e?iG[fn] bilden
Eichaquivalenzklassen aufeinander ab und heien auch Zentrale Konjugationen.
Wir interpretieren parallel zu 3.4.1 W(A) als den Rest eines Mesons, das nach seiner Erzeugung und Transport eines der Quarks um den Kreis wieder vernichtet wurde.
Ein Wilson-Loop, der sich um den Torus windet,(4.3.18) kann also auch als Quark
und Antiquark interpretiert werden, die (statisch) auerhalb des Intevalles sitzen und
darin ein Potential induzieren (cf. Monopol in Abschnitt 3.2.3 und 3.4.1). In Analogie
4.3. U(N)- UND SU(N)- THEORIEN AUF TORI
89
zur Elektrodynamik nimmt man an, da die statischen Ladungen hauptsachlich durch
elektrische Felder wechselwirken. Jedoch konnen statische Quarks auch farbmagnetische Krafte aufeinander ausuben. W(A) kreiert also ein (per denitionem elektrisches)
Fluquantum; die Anzahl von Fluquanten wird durch q bestimmt [2, p. 212].
Schreiber [26] fand in SU(2) auf dem Kreis die Existenz eines die Werte 0 oder
annehmeden Winkels #, als er die Wellenfunktionen reiner SU(2)-Eichtheorien konstruierte.
Reine Eichtheorien auf hoherdimensionalen Tori Wie in 4.2.2 gilt obige Ar-
gumentation fur jeden der generierenden Kreise des Torus. Der Winkel # ist nun ein
d-komponentiger Vektor, dessen Eintrage die Ladungen qi der n generierenden Tori
sind. Auch der Windungszahloperator ist ein d-komponentiger Vektor:
~ (A~ ) = N1 trP exp ig 0L dxi Ai(~x) ;
W
i
?
iG
[
f
]
n
~
e
W (A)i j phys >= e 2Ni ~n(~q+~ei ) j phys > :
R
't Hooft [31],[32] gelang es, aus den Eigenschaften der Erzeuger von farbelektrischem
~
( W (A~ ) ) und -magnetischem Flu (Bn, cf. 3.4.1) deren Dualitat zu zeigen und daraus
die mogliche Existenz dreier Phasen (Connement/Higgs/Goldstone) in reinen Eichtheorien auf T 3 zu motivieren. Obwohl in dieses Gebiet viel Arbeit investiert wurde,
gelang ein Beweis der Existenz dieser drei Phasen jedoch nicht. Deren Relevanz fur
Fermionen einschlieende Theorien ist weiterhin glaubhaft zu machen.
Gesamtstruktur groer Eichtransformationen auf T 3 Zusatzlich existieren die
in Abschnitt 4.3.2 konstruierten Eichtransformationen: Man sieht aus (4.3.9), da die
groen Eichtransformationen U~m~ (SU (N )=ZN ) (4.3.17) den Wert des Windungszahloperators CH2(A~ ) (4.3.4) nicht andern, also bzgl. dieses Operators Windungszahl Null
besitzen. Andererseits sind die in 4.3.2 konstruierten groen Eichtransformationen
U~n (SU (N )=ZN ) periodisch in SU(N) und U(N), vertauschen die sie quantenmecha~ (A~ ). Auch vertauschen
nisch erzeugenden unitaren Operatoren mit den Wilsonloops W
beide Windungszahloperatoren. Damit existieren wie in U(N)-Theorien auf T 3 zwei
unterschiedliche Arten groer Eichtransformationen: Eine durch [n; m
~ ] erzeugte beliebige Eichtransformation besitzt vier unabhangige Windungszahlen, deren Existenz
jeweils zu jedem der in Abschnitt 4.1.3 besprochenen Falle fuhren kann.
Falls physikalische Zustande Eigenzustande zu jeder Eichtransformation sind und
alle den Torus generierenden Kreise unterschiedliche Umfange besitzen, existieren insgesamt vier Parameter # ; ~q:
~ (f ) j phys > :
[n; m
~ ] j phys >= exp i #n(f ) + 2N ~q m
~q ist dabei durch die Randbedingungen (Ladungen auerhalb des Quaders) festgelegt,
bzw. kann durch Anwendung von W (A)i um eine Einheit in Koordinatenrichtung ~ei
erhoht werden.
Zusammenfassung
How can I do the calculation if I don't
know what has to come out??
S. Levit, Waischenfeld Talk 1991
Das Studium von Quantenfeldtheorien, insbesondere von Eichtheorien, kann auf
kompakten Mannigfaltigkeiten nach detailierter Untersuchung der Randbedingungen
erfolgreich sein. Obwohl in dieser Arbeit stets mit quantenmechanischen Operatoren
gearbeitet wurde, ndet der hier eingefuhrte und extensiv genutzte Formalismus von
Faserbundeln auf kompakten Mannigfaltigkeiten nicht nur in quantisierten Eichtheorien
Verwendung, sondern tatsachlich in jeder Feldtheorie, sei sie klassisch oder quantenmechanisch: Immer wenn die Hamiltonfunktion oder der ihr entsprechende Operator
eine (nicht notwendigerweise kontinuierliche oder lokale) Symmetrie besitzt, ist er anzuwenden, da Randbedingungen auf kompakten Mannigfaltigkeiten durch Einfuhrung
von Karten und Kartentransformationen bei der lokalen Invarianz von Observablen
(2.1.1) hergeleitet werden, cf. Abschnitt 3.1.2. Methode und Anwendungen wurden in
dieser Arbeit allgemein genug gehalten, um die Konstruktion von Randbedingungen in
beliebigen Feldtheorien auf beliebigen Mannigfaltigkeiten zu gestatten.
Die Behauptung, da in der klassischen Mechanik keine Defekte auftreten, ist nur
bedingt richtig. Wir sahen, da dazu die Existenz eines in der fundamentalen Darstellung der Eichgruppe nichttrivial transformierenden Feldes (~x) ! U~ (~x)(~x) notwendig
war. In der klassischen Punktmechanik der Elektrodynamik haben Eichtransformationen keinen Einu auf Punktteilchen mit Ausnahme einer A nderung des Impulses
(entsprechend reinen Eichtheorien); klassische Feldtheorien wie die Elektrodynamik der
Kontinua und reine nichtabelsche Eichtheorien, erfullen jedoch diese Bedingung. Es ist
dabei problemlos moglich, als elementare Ladungsdichte e := hg und nicht g selbst zu
denieren, damit die im naiven klassischen Limes h ! 0 verschwindende magnetische
Kopplungskonstante (cf. Abschnitt 3.2.2) gM = h2ng quantisiert bleibt (cf. [21]).
Zum Studium von Eichtheorien wahlten wir als kompakte Mannigfaltigkeiten die
auch global achen Tori T d, d = 1,2,3. Damit war gewahrleistet, da alle Operatoren
und Zustande wie im Kontinuum interpretiert werden konnten, da der physikalische
Zustandsraum der Tori ein Unterraum des Hilbertraumes des Minkowskiraumes war.
Probleme bei der Denition von Reihen unbeschrankter Operatoren (Abschnitt
3.1.1) und deren Konvergenzeigenschaften (Abschnitte 2.2.3, 3.1.1) wurden beiseitegelassen. Letztendlich sind sie nur durch eine axiomatische Betrachtung von Quantenfeldtheorien behebbar [13, p. 105]. Auch die Frage, ob die beobachteten Strukturen
eine Renormierung unbeschadet uberleben, mu oen bleiben. Jedoch scheint es mir
keinen unmittelbar einleuchtenden oder gar zwingenden Grund fur das Auftauchen von
90
ZUSAMMENFASSUNG
91
Anomalien zu geben.
Das erste Kapitel demonstrierte, da zwar lokalisierte Anregungen eines Grundzustandes insensitiv zu den gewahlten Randbedingungen sind, solange eine fur jede
Mannigfaltigkeit typische Zeitskala nicht uberschritten wird, danach aber Zustande
auf unterschiedlichen Mannigfaltigkeiten und zu verschiedenen Randbedingungen stark
voneinander abweichen konnen.
Aus der Denition einer Cauchy-Hyperache folgt dieser Satz sofort in der klassischen relativistischen Feldtheorie und wurde unter Verwendung der kanonischen Kommutatorrelationen in quantisierten Feldtheorien ebenfalls bewiesen.
Auch der Vakuumzustand in Quantenfeldtheorien erweist sich als auf Art und Groe
der Mannigfaltigkeit und Wahl der Randbedingungen sensitiv. Es existiert zum Beispiel eine endliche Vakuumenergiedichte der Theorie gegenuber der im Kontinuum,
nachdem man diese durch Vergleich zum Vakuum des Minkowsikraumes renormiert hat
(verallgemeinerter Casimir-Eekt). Neu war hier die Berechnung der kovarianten Kommutatorrelation, des Feynmanpropagators und des verallgemeinerten Casimir-Eektes
massiver komplexer Skalarfelder auf dem Kreis.
In Kapitel zwei wurde die Unvermeidlichkeit der Einfuhrung von Karten auf kompakten Mannigfaltigkeiten gezeigt, wenn man Koordinatensysteme und Randbedingungen sauber denieren mochte. Die kanonische Quantisierung von Eichtheorien wurde
in einigem Detail behandelt und der Zusammenhang zu der vorher entwickelten seit
Langem bekannten klassischen mathematischen Theorie der Faserbundel unterstrichen.
Die quantisierte Theorie unterscheidet dabei zwei Klassen von Eichtransformationen:
groe und kleine.
Kleine Eichtransformationen werden durch das gausche Gesetz generiert, das im
Rahmen der kanonischen Quantisierung mittels des Korrespondenzprinzipes aufgrund
eines zur Zeitkomponente des Eichfeldes kanonisch konjugierten Impulses separat als
Zwangsbedingung an physikalische Zustande zu implementieren ist. Oberachenterme
konnen dabei auf kompakten Mannigfaltigkeiten im Gegensatz zur in der Literatur
oft geauerten Meinung zunachst nicht wegdiskutiert werden. Physikalische Zustande
werden durch den so hergeleiteten Gauoperator vernichtet, was deren Invarianz unter
kleinen Eichtransformationen garantiert.
Im dritten Kapitel wurden Randbedingungen auf kompakten Mannigfaltigkeiten
zunachst unter Verwendung des vorher erarbeiteten physikalisch und mathematisch
exakten Formalismus allgemein hergeleitet. Nach Beantwortung der Frage, fur welche
Theorien die Kartentransformationen in homotopisch inaquivalente Abbildungen des
Kartenrandes in die Eichgruppe zerfallen, welche Faserbundel also nicht global trivial
sind, xierten wir einen Atlas, der aus im Wesentlichen einer die ganze Mannigfaltigkeit M mit Ausnahme innitesimaler Streifen bedeckenden Karte bestand, und leiteten
aus Reprasentanten nichttrivialer und trivialer Kartentransformationen Bedingungen
fur alle Felder am Rande dieser maximalen Karte her. Dazu benutzten wir lokale,
i.e. ausschlielich auf einer Karte denierte Eichtransformationen, deren physikalische Irrelevanz durch das gausche Gesetz (2.3.12/2.3.14) gesichert war. Eine ahnliche
Herleitung ist aus der Literatur nicht bekannt.
Eine sorgfaltige Analyse der Topologie eines Faserbundels zeigt, da in SU(N) Eichtheorien alle Operatoren auf jedem bis zu dreidimensionalen Torus streng periodisch gewahlt werden konnen, in U(N) und reinen Eichtheorien jedoch auch andere
Klassen von Randbedingungen existieren, die als magnetische Monopole auf zwei-, als
magnetische Vertices auf dreidimensionalen Mannigfaltigkeiten zu interpretieren sind,
92
ZUSAMMENFASSUNG
wobei die Wahl periodischer Randbedingungen dann zur Selektion des monopolfreien
Sektors der Theorie fuhrt. Diese Defekte sind den Mathematikern im Rahmen der klassischen Theorie bekannt; die exakte Behandlung im Rahmen der Quantenfeldtheorie
mittels Karten ist meines Wissens jedoch neu.
Die Starke sowohl des mathematischen als auch des physikalischen Zuganges zur
Topologie von Faserbundeln wurde dabei deutlich: Man kann bereits aus der Betrachtung meist wohlbekannter Homotopiegruppen einer Abbildung des Kartenrandes auf
die Eichgruppe herleiten, da Randbedingungen nur dann trivial wahlbar sind, wenn
die zugehorige Homotopiegruppe einelementig ist. Klassikation und Interpretation
erfolgen entweder mittels von den Mathematikern bereitgestellter Windungszahloperatoren, oder analog dazu konstruierter globaler physikalischer Operatoren, die die
Feldkongurantionen an den Kartenrandern miteinander vergleichen. Letzteres ist besonders nutzlich, wenn die Homotopiegruppe nicht einfach zu konstruieren ist, wie dies
bei den SU (N )=ZN -Eichtheorien der Fall war. Die Einfuhrung eines Cut-and-Glue Operators kann dabei sehr hilfreich sein.
Das genauere Studium magnetischer Flusse in Eichtheorien wird durch geeignete
Wahl der Randbedingungen moglich, wie seit [31],[32] bekannt. Die Relevanz dieser
nur in reinen nichtabelschen Eichtheorien auftretenden Monopole fur die Losung der
vollen Theorie ist jedoch fraglich.
Da solche Windungszahloperatoren Erhaltungsgroen sind, konnen zu topologisch
unterschiedlichen Randbedingungen gehorende Sektoren des Hilbertraumes nicht miteinander kommunizieren. Magnetische Monopole konnen also im Rahmen der betrachteten Theorien weder klassisch noch quantenmechanisch erzeugt oder vernichtet werden, Randbedingungen konnen durch Zeitentwicklung nicht verandert werden. Ob nach
einer Renormierung der Theorie unterschiedliche Sektoren des Hilbertraumes der physikalischen Zustande weiterhin nicht miteinander kommunizieren, bleibt unentschieden.
Die Notwendigkeit dafur oder gar eine Modelltheorie, in der so eine Anomalie auftritt,
ist jedoch nicht gegeben.
Gro heien alle nicht durch das gausche Gesetz gedeckten Eichtransformationen.
Klassisch besteht zu kleinen kein Unterschied. In der Quantenmechanik uberabzahlbar
vieler Freiheitsgrade mussen jedoch physikalische Zustande, insbesondere das Vakuum,
unter ihnen nicht invariant sein. Sie existieren, wenn die (verallgemeinerte) Homotopiegruppe von Abbildungen der Mannigfaltigkeit in die Eichgruppe nicht einelementig
ist. In jedem Fall wurde die Interpretation und Konstruktion der groen Eichtransformationen dadurch erleichtert, da sie auch als Kartentransformationen auf einer
hoherdimensionalen Mannigfaltigkeit interpretiert werden konnten.
Groe Eichtransformationen existieren { wie in Kapitel vier gezeigt { nicht in SU(N)
-Eichtheorien auf T 1 und T 2, wo wir die Implikationen dieses Resultates zur Konstruktion des Kongurationsraumes nutzten. In allen anderen betrachteten Fallen wurden
sie konstruiert. In U(N)- und reinen Eichtheorien existieren auf T 3 sogar vier unterschiedliche Klassen groer Eichtransformationen, was hier erstmals erwahnt wurde.
Dieses Kapitel demonstrierte am besten Macht und Ohnmacht eines topologischen
Zuganges: Eichtheorien { zumal in ihrer quantisierten Form { sind so komplex, da man
fur jeden so hergeleiteten Hinweis auf die Struktur einer Losung dankbar ist. Werden
die durch einfache, jedoch exakte topologische U berlegung vorhergesagten Strukturen
(vor Renormierung) nicht gefunden, so ist die Eichung un- oder ubervollstandig xiert.
So ein Kriterium entpuppt sich als auerst nutzlich, da die Losung von eichxierenden
Gleichungen in nichtabelschen Eichtheorien oft zunachst nicht erkannte Mehrdeutig-
ZUSAMMENFASSUNG
93
keiten aufweist (Gribov-Problem, Abschnitt 4.3.1), die ansonsten falsch interpretiert
wurden.
Ob die Symmetrie des Hamiltonoperators unter groen Eichtransformationen allerdings von den physikalischen Zustanden geteilt wird (wodurch neue freie Parameter,
#-Winkel, eingefuhrt werden und der Grundzustand eine Summe miteinander durch
groe Eichtransformationen verbundener, miteinander kommunizierender eichvarianter
Zustande ist), oder ein spontaner Symmetriebruch des Grundzustandes vorliegt (wodurch masselose Teilchen, Goldstone-Bosonen,erzeugt werden konnen), ist nur durch
Erforschung der dynamischen Eigenschaften der Theorie zu klaren, an der topologische
Betrachtungen scheitern mussen.
Nutzen und Schonheit der dargestellten Methode war gerade darauf zuruckzufuhren,
da eine (Naherungs-) Losung der Theorie nicht benotigt wird, um zu zeigen, wie
man Randbedingungen herleitet, klassiziert und interpretiert, und sie oder die groen
Eichtransformationen konstruiert.
Interessant durfte die weitere Erforschung der Implikationen groer Eichtransformationen auf dem Kreis als losbarer Theorie und Vergleich mit dem Fermionen einschlieenden Modell sein. Die im vorletzten Teil des letzten Kapitels fur den Torus
erstmals konstruierten groen Eichtransformationen von U(N) und SU(N) im Formalismus der unitaren Eichxierung [20, noch zu entwickeln] in nichtabelschen Eichtheorien
zu identizieren und ihre mogliche Relevanz fur Connement etc. zu betrachten, zu
entscheiden, welche Phase im Grundzustand der QCD realisiert ist, und eventuelle Phasenubergange zu untersuchen, um qualitative und quantitative Voraussagen (notfalls
auch im Rahmen einer Modelltheorie) machen zu konnen, durfte die interessanteste
Fortfuhrung dieser Arbeit darstellen. In diese Richtung sollte zukunftige Forschung
zielen, um uns der Losung der groen Zahl von Problemen nichtabelscher Eichtheorien
naherzubringen.
Anhang A
Explizite Konstruktion
nichttrivialer Randbedingungen
A.1 QED auf T 2
Dehnen wir Karte 1 so aus (a & 0), da sie nahezu den gesamten Torus uberdeckt, und wahlen f (x2) = x2=L, wobei wir die Unstetigkeit von W~ in den Punkten
(0,0),(0,L),(L,0) und (L,L) in Kauf nehmen durfen, da diese Punkte sowieso strenggenommen nicht auf der maximalen Karte 1 liegen, so erhalten wir als Randbedingungen
nach (3.1.4)
A1 (streng) periodisch in jede Richtung
A2 ; (streng) periodisch in x2-Richtung
2
n
(A.1.1)
A2(x1 = L?; x2) = A2(x1 = 0+; x2) ? gL
x
(x1 = L?; x2) = e?2i L2 n (x1 = 0+; x2)
Dies ist eine von vielen eichaquivalenten Randbedingungen zu festem n. Die Wahl anderer zu (3.2.3) homotopisch aquivalenter Kartentransformationen wird andere Randbedingungen zeigen, ohne den Zustandsvektor im physikalischen Hilbertraum zu beeinussen. Allerdings konnen andere Randbedingungen Rechnungen vereinfachen.
Man kann z. B. W~ nur in der oberen U berlappregion U12 nichttrivial wahlen:
x
W~ 12(~x) = e?2i L1 n
(A.1.2)
Daraus folgen die Randbedingungen
A2 periodisch in jede Richtung
A1 ; periodisch in x1-Richtung
2
n
(A.1.3)
A1(x1; x2 = L?) = A1(x1; x2 = 0+) + gL
x1
(x1; x2 = L?) = e2i L n (x1; x2 = 0+)
Eine \symmetrische Wahl" ist
x
ei xL2 n in U13
(A.1.4)
W~ (x1; x2) = e?i L1 n in U12
1 sonst
8
>
<
>
:
94
A.2. REINE EICHTHEORIEN AUF T 2
95
entsprechend den Randbedingungen
A1=A2 periodisch in x1- / x2-Richtung
A1(x1; x2 = L?) = A1(x1; x2 = 0+) + gL n
A2(x1 = L?; x2) = A2(x1 = 0+; x2) ? gL n
x
(x1 = L?; x2) = e?i L2 n (x1 = 0+; x2)
x
(x1; x2 = L?) = ei L1 n(x1; x2 = 0+)
(A.1.5)
Zuletzt sei bemerkt, da nur fur Windungszahl Null periodische Randbedingungen in
allen Beispielen gelten, wie es auch zu erwarten war: Nur dann ist die Kartentransformation stetig zum Einselement der Eichgruppe deformierbar und das Faserbundel
trivial.
A.2 Reine Eichtheorien auf T 2
Hier konnen wir in vollkommener Analogie zu 3.2.2 die Karten und Kartentransformationen konstruieren und stellen wieder fest, da nur eine unabhangige homotopisch
nichttriviale Kartentransformation existiert, die wir wieder als ausschlielich im U berlapp der Karten 1 und 3 nichttrivial wahlen. Homotopisch inaquivalente Kartentransformationen unterscheiden sich in unterschiedlichen periodischem Verhalten in SU(N)
(3.4.7).
2i x2
U13 ;
(A.2.6)
W~ (s) = exp N n L T1 :: in
sonst
(
wobei T := hN ?1 (cf. (3.3.1)) der Generator des Zentrums der SU(N) ist.
Daraus folgen sofort die zu (A.1.1) analogen Randbedingungen: Periodizitat aller
Operatoren in x2-Richtung,
A1(L?; x2) = W~ y(x2)A1(0+; x2)W~ (x2)
2n
T
(A.2.7)
A2(L?; x2) = W~ y(x2)A2(0+; x2)W~ (x2) ? gLN
(L?; x2) = W~ y(x2)(0+; x2)
oder andere zu (A.1.3/A.1.5) analoge Randbedingungen, die hier nicht nochmals explizit aufgelistet sind.
Fur jede dieser Randbedingungen kann man auch wieder leicht zeigen, da der
Windungszahloperator dasselbe Ergebnis liefert wie bei der Berechnung mittels Karten.
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Danksagung
Wer sich bis hierher durchgefressen hat, hat das Recht (und die Picht), zu erfahren,
wer diese Arbeit unterstutzt hat.
Mein Dank gilt meinen Zimmergenossen Rik Naus und Mike Engelhardt, da sie
mich ertragen haben. Riks Engagement bei den zahlreichen Diskussionen und beim
wiederholten Lesen dieser Arbeit ist mehr als \hilfreich" zu nennen: Obwohl er dazu
nie \ernannt" wurde, ist sein Status mit \Betreuer der Arbeit" nur unzureichend beschrieben.
Bernd Schreiber danke ich fur bohrende Fragen und inspirierende Diskussionen uber
die Struktur eindimensionaler Eichtheorien.
Jutta Geithners Einsatz beim Zeichnen der Bilder zu dieser Arbeit ist nicht zu
unterschatzen; ebenso wie die gute Atmosphare, die im Institut fur Theoretische Physik
III stets herrscht, und fur die jeder einen unverwechselbaren Beitrag leistet.
Ohne da Thomas Stor ein unleserliches Typoskript zweimal auf seine Verstandlichkeit durchgelesen hatte, ware es wohl noch kryptischer und ein Hort physikalischer
Fehler geworden.
Zu besonderem Dank bin ich aber Professor Frieder Lenz verpichtet: Ohne sein
beharrliches Nachfragen und Zweifeln ware diese Arbeit nie so weit gediehen. Neben
seiner steten Diskussionsbereitschaft danke ich ihm fur den Satz, mit dem er mich am
Institut begrute: \Glauben sie keinen Autoritaten!"
Wer sich zuerst auf die Danksagungen gesturzt hat, und also niemals die Arbeit
lesen wird, soll wenigstens dieser Leute huldreich gedenken.
Ich versichere, da diese Arbeit von mir eigenstandig und nur unter Zuhilfenahme
der angegebenen Quellen verfertigt wurde.
Nurnberg, am 16. Juni 1993
Errata
Seite/Absatz Korrektur
4/1 Mitte \uberabzahlbar" falsch: Man arbeitet in quadratintegrablen
Funktionenraumen, also mit unendlich, aber abzahlbar vielen
Basisvektoren (Thanks to K. Lucke). Lies also unendlich. Die
Argumentation mittels des von-Neumann-Theoremes bleibt
davon unberuhrt.
5/3 Ende \... Connement, also Unbeobachtbarkeit..." Falsch: Hat
nichts miteinander zu tun. Lies nur Connement.
6/(ii) Erganze: Dies ist auch in Eichtheorien wichtig: A~ mu als
Vektor in kartesischen Koordinaten quantisiert werden, da
man ansonsten in den Kommutatorrelationen Jacobideterminanten zu berucksichtigen hat, diese also nicht kanonisch sind.
Kapitel 1 Ersatzlos streichen, hat nichts mit der Arbeit zu tun ...
Kapitel 2.1 und 2.2 Streichen, da trivial. Wer jetzt nichts mehr versteht,
wende sich an die Promotoren der 50-Seiten-Regelung fur
Diplomarbeiten.
43/letzter Absatz Lies: Da jedoch eiG[i;"] ...
43/Fun. 11 Lies: ...Kommutatoren (unter Weglassen des Faktors i) als ...
43/Fun. 12 Lies: D0aj + DiFija = jja
44/.(2.3.15) letzte Zeile : +[Gau[i; 2]; [Gau[i; 2]; Gau[i; 1 ]]]...
69/letzter Abs. Aus den in 3.4.2 und Anhang A.2 hergeleiteten ...
74/2 ... Matrizen V~ stets ...: Lies: Matrizen W~ , cf Anhang A.1,
stets ...
75/unterste Formel Die Rechnung ist falsch. Nichtsdestotrotz sind wegen der
durch die Eichtransformationen beliebiger Windungszahl implementierte unendlichen Symmetrie die Zustande zu verschiedenem # zueinander orthogonal und nicht normierbar.
76/2 ... Existenz uberabzahlbar vieler ... Lies: Existenz unendlich
vieler . (s.o.)
83/.(4.3.4) weitere Zeile: = 41 ( 2g )2 M d3xijk tr Fij + 23i gAiAj Ak :
83/.(4.3.5) Vorfaktor nur ( 2g )2.
84/2 Funote 11
84/.(4.3.9) 1. Zeile: ... = CH2(A~ ) + n(f ) ,
99/Danksagung vorletzter Absatz lies: ... begrute : \Glaubed se keine Autoritate!" (Typischer TEX- Fehler)
R
h
i