selecta heinz hopf - Genesis Landscapes

Photo N H
. "tutenbach, Ziirich
SELECTA HEINZ HOPF
Photo N H
. "tutenbach, Ziirich
SELECTA
HEINZ HOPF
Herausgegeben zu seinem 70. Geburtstag von der
Eidgenossischen Technischen Hochschule Zurich
Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH
1964
Alle Rechte,
insbesondere das derÜbersetzungin fremde Sprachen,
vorbehalten
Ohne ausdrückliche Genehmigung des Verlages
ist es auch nicht gestattet, dieses Buch oder Teile daraus
auf photomechanischem Wege (Photokopie, Mikrokopie) oder auf andere Art
zu vervielfältigen
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1964
Ursprünglich erschienen bei Springer-Verlag Berlin • Göttingen . Heidelberg 1964
Softcover reprint o f the hardcover 1st edition 1964
Library of CongreßCatalog Card Number 64-8516
ISBN 978-3-662-23079-4
ISBN 978-3-662-25046-4 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-25046-4
Druck der Universitätsdruckerei H. Stürtz AG, Würzburg
Titel-Nr. 958
VORWORT
Am 19. November begeht Heinz Hopf seinen siebzigsten Geburtstag.
Mit der Herausgabe dieser Selecta mochte die Eidgenossische Technische
Hochschule, welcher er den groBten Teil seiner akademischen Tatigkeit
gewidmet hat, ihren Dank zum Ausdruck bringen fUr sein fruchtbares
Wirken als Forscher und Lehrer; sie ist stolz darauf, in ihm einen der
bedeutendsten Mathematiker unserer Zeit zu den Ihren zahlen zu durfen.
Die Ehrung zu seinem Geburtstage konnte kaum in schonerer Weise
geschehen als durch die Publikation einer Sammlung seiner eigenen
Arbeiten, in denen sich sein ganzes Lebenswerk widerspiegelt; jede
einzelne hat durch ihre Tiefe und Originalitat uber ihren Gegenstand
hinaus die Entwicklung der Mathematik entscheidend beeinfluBt. Ausstrahlend von geometrischer, topologischer und algebraischer Sicht hat
das Gedankengut Heinz Hopfs in ganz erstaunlicher Weise den meisten
Teilen mathematischer Forschung der letzten J ahrzehnte das Geprage
gegeben. Wem es vergonnt war, als SchUler oder Kollege mit Heinz
Hopf in naheren Kontakt zu treten, dem wird der starke EinfluB seiner
Personlichkeit in menschlicher und mathematischer Beziehung stets
unvergeBlich sein; daruber hinaus aber hat eine unabsehbare Zahl von
Mathematikern aus seinem Schaffen direkt und indirekt Anregung
geschopft und an seine Ideen angeknupft und wird es auch weiterhin tun.
Die Herausgeber sind davon uberzeugt, daB die mathematische Welt den
vorliegenden Ruckblick auf das uberragende wissenschaftliche Werk
Heinz Hopfs mit groBer Freude begruBen wird.
Die Auswahl der aufzunehmenden Arbeiten war nicht leicht; sie
muBte dem Wunsche Rechnung tragen, daB das Buch moglichst vielen
zuganglich, also nicht zu umfangreich sein soUte. Dies brachte es mit sich,
daB auf manches SchOne und Wichtige verzichtet werden muBte. Herr
Hopf half in freundlicher Weise bei der Wahl durch Rat und Wunsch mit
und eliminierte manches, was er in unerbittlicher Objektivitat fUr entbehrlich hielt. Einige Arbeiten sind gekurzt wiedergegeben, und an
vielen Stellen fugte er kurze Zusatze oder Kommentare hinzu, in denen die
weitere Entwicklung des Gegenstandes angedeutet ist; im ubrigen wurde
der Text der ausgewahlten Arbeiten unverandert ubemommen, abgesehen
von der Korrektur einiger Druckfehler. AIle Zusatze, FuBnoten oder Bemerkungen, die bei der Herausgabe dieser Select a neu hinzukamen, sind
in eckige Klammem gesetzt und wenn notig durch einen besonderen
Hinweis gekennzeichnet.
Die Herausgabe dieses Festbandes ware nicht moglich gewesen ohne
die Hilfe des Prasidiums des Schweizerischen Schulrates und des Zentenarfonds der Eidgenossischen Technischen Hochschule; es sei ihnen
hier fUr ihre groBzugige Unterstutzung der aufrichtigste Dank ausgesprochen. Dem Springer-Verlag sei fur sein groBes Entgegenkommen
und fur die vorzugliche Betreuung dieses Buches herzlich gedankt, ebenso Herro Dr. G. Karrer fur alle vorbereitenden Arbeiten und fur die
sorgfiiltige Durchsicht der Korrekturen.
1m Namen der Herausgeber
Zurich, im Oktober 1964
B. Eckmann
INHALTSVERZEICHNI S
Abbildung geschlossener Mannigfaltigkeiten auf Kugeln in n Dimensionen •
Jah1'esbe1'icht de1' Deutschen Mathematike1'- Ve1'einigung 34 (1925)
Eine Verallgemeinerung der Euler-Poincareschen Formel . . . . .
Nach1'ichten de1' Gesellschaft de1' Wissenschaften zu Gottingen, MathematischPhysikalische Klasse 1928
5
Zur Algebra der Abbildungen von Mannigfaltigkeiten. . . . . . . . . .
Jou1'nal fu1' die 1'eine und angewandte Mathematik 163 (1930)
14
Uber die Abbildungen der dreidimensionalen Sphiire auf die Kugelfliiche .
Mathematische Annalen 104 (1931)
38
Uber den Begriff der vollstandigen differentialgeometrischen Fliiche (mit
W. RINOW) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • . • • • • • • •
Commenta1'ii Mathematici Helvetici 3 (1931)
64
Die Klassen der Abbildungen der n-dimensionalen Polyeder auf die n-dimensionale Sphare. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Commentarii Mathematici Helvetici 5 (1933)
80
Uber die Abbildungen von Spharen auf Spharen niedrigerer Dimension
Fundamenta Mathemathicae XXV (1935)
95
Systeme symmetrischer Bilinearformen und euklidische Modelle der projektiven Raume. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Vie1'te1iah1'sschrift de1' Natu1'forschenden Gesellschaft in Zurich LXXXV
(1940). Beiblatt Nr.32 (Festsch1'ift Rudolf Fuete1')
Uber die Topologie der Gruppen-Mannigfaltigkeiten und ihrer Verallgemeinerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
119
Annals of Mathematics 42 (1941)
Uber den Rang geschlossener Liescher Gruppen . . . . . . . . . . . . . 152
Commentarii Mathematici Helvetici 13 (1940/41)
Bericht iiber einige neue Ergebnisse in der Topologie. . . . . . . . .
Revista Matematica Hispano-Americana 4.a Serie - Tomo VI (1946)
Fundamentalgruppe und zweite Bettische Gruppe . . . . .
Commenta1'ii Mathematici Helvetici 14 (1941/42)
175
. . 186
Nachtrag zu der Arbeit: Fundamentalgruppe und zweite Bettische Gruppe . 207
Commenta1'ii Mathematici Helvetici 15 (1942/43)
Dber die Bettischen Gruppen, die zu einer beliebigen Gruppe geh6ren. . . . 211
Commentarii M athematici H elvetici 17 (1944/45)
Beitrage zur Homotopietheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
Commentarii Mathematici Helvetici 17 (1944/45)
Enden offener Raume und unendliche diskontinuierliche Gruppen . . . . . 244
Commentarii Mathematici Helvetici 16 (1943/44)
Dber Flachen mit einer Relation zwischen den Hauptkriimmungen . . . . . 263
Mathematische Nachrichten 4 (1950)
Schlichte Abbildungen und lokale Modifikationen 4-dimensionaler komplexer
Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
Commentarii Mathematici Helvetici 29 (1955)
Verzeichnis der Publikationen von Heinz Hopf
Die dem ursprunglichen Text zugefugten Nachtrage 1964 stehen in eckigen
Klammern []
307
Abbildung geschlossener Mannigfaltigkeiten auf Kugeln
in n Dimensionen
Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung
34 (1925), .
(Bericht liber die Jahresversammlung in Danzig, 11.-17. September 1925)
Die Gegenstande dieses Vortrages schlieBen sich an BROUWERS Untersuchungen der Abbildung von Mannigfaltigkeiten 1 ) an. Bei diesen
handelt es sich urn eindeutige und stetige Abbildungen einer n-dimensionalen geschlossenen, orientierten Mannigfaltigkeit M n auf eine andere
n-dimensionale Mannigfaltigkeit Mn. 1m folgenden steht der Spezialfall
im Vordergrund, daB Mn eine Kugel sn ist. Diese Spezialisierung gestattet, gewisse Satze auszusprechen, die im allgemeinen Fall nicht gelten,
und ist wichtig fUr Anwendungen, in denen sn die "Richtungskugel" des
(n+1)-dimensionalen euklidischen Raumes ist.
G und G' seien zwei mit euklidischen Koordinatensystemen versehene
n-dimensionale Gebiete, 11' 12 zwei eindeutige stetige Abbildungen von G
auf Punktmengen von G'; der Punkt A von G sei ein "isolierter Ubereinstimmungspunkt" von /1 und /2' d.h. die in seiner Umgebung einzige
Losung der Gleichung 11 (P) = 12 (P). Ais zugehOriger "Ubereinstimmungsindex" wird der Grad derjenigen Abbildung einer A umgebenden (n-1)
dimensionalen Kugel k auf die Richtungskugel von G' bezeichnet, die
durch die zu den Punkten P von k gehOrigen, von 11(P) nach 12(P)
weisenden Vektoren vermittelt wird. Unter Zugrundelegung dieser
Verallgemeinerung der Begriffe des "Fixpunktes" und seines "Index"
wird durch Modifikation der von BROUWER beim Beweis seines Fixpunktsatzes fUr die n-dimensionalen Kugeln angestellten Betrachtungen 1) folgende Verallgemeinerung dieses Satzes bewiesen:
(1)
Wird die zweiseitige, geschlossene, n-dimensionale Mannigfaltigkeit Mn zweiAbbildungen 11,12 von den Graden Y1' Y2 auf die
n-dimensionale Kugel sn unterw~:fen, so ist, vorausgesetzt, daB
11 und 12 hOchstens endlich viele Ubereinstimmungspunkte besitzen, die Summe der zugehorigen Indizes gleich (-1 t Y1 + Y2.
1
Dieser Satz spielt eine wesentliche Rolle bei den im folgenden skizzierten Untersuchungen.
1) BROUWER, tJber Abbildung von Mannigfaltigkeiten, Math. Ann. 71 (1911).
Selecta Heinz Hopf
2
Abbildung geschlossener Mannigfaltigkeiten auf Kugeln in n Dimensionen
Die erste von diesen beschaftigt sich mit der Frage, wann zwei
Abbildungen einer Mn auf eine andereMn zur selben "Klasse" gehoren,
d. h. wann sie sich durch stetige Abanderung ineinander liberflihren lassen. Notwendig hierfiir istl) die Gleichheit der beiden Gradzahlen, und
diese ist, wie BROUWER gezeigt hat 2), auch hinreichend, falls n=2 und
Mn die Kugel ist. Dieses Brouwersche Resultat wird, ohne daB es benutzt
wird, durch SchluB von n-1 auf n Dimensionen und unter Verwendung
von (1) zu folgendem Satz verallgemeinert:
(2)
{
Raben zwei Abbildungen von Mn auf die Kugel sn gleichen
Grad, so gehoren sie zu derselben Klasse.
Ein Spezialfall von (2) enthalt die
(3 )
Losbarkeit der "Randwertaufgabe": auf dem Rande U n - 1 des
dem n-dimensionalen euklidischen Raum angehorigen Elements En
ist eine stetige n-dimensionale Vektorverteilung V gegeben, die
eine Abbildung des Grades 0 von U,,-1 auf die Richtungskugel
vermittelt; man soll V zu einer in ganz En stetigen Vektorverteilung erganzen. *)
(3) findet eine Anwendung bei der Behandlung der nachsten Problemstellung.
Bei dieser handelt es sich urn die Ausdehnung des Satzes von POINCARE, daJ3 die Summe der Indizes der Singularitaten eines an eine
geschlossene Flache tangentialen, in hochstens endlich vielen Punkten
unstetigen Vektorfeldes eine topologische Invariante der Flache ist3), auf
beliebige Mn. Flir die Kugeln sn ist der entsprechende Satz von BROUWER bewiesen 1 ) , fUr alle Mn wird er von RADAMARD4) ohne nahere
Beweisangabe ausgesprochen. Unter der Annahme, daB Mn derart mit
Koordinaten versehen ist, daJ3 man von" Vektoren in Mn" - die, falls M"
in einen Raum hoherer Dimensionenzahl regular eingebettet ist, Tangentialvektoren sind - reden kann, wird unter Benutzung von (1) gezeigt:
Die Summe der Indizes der Singularitaten jedes in M" liberall
(4)
endlich viele Ausnahmepunkte stetigen Vektor1bisfeldesaufisthOchstens
gleich der Eulerschen Charakteristik von Mn. *)
*) [AIle "Vektoren" sollen =1= 0 sein; Nullstellen eines Vektorfeldes im iiblichen
Sinne gelten also als "Singularitaten" oder "Ausnahmepunkte".]
2) BROUWER, Over een-eenduidige continue transformaties ... , Amst. Akad.
Versl. 21 (1913).
3) POINCARE, Sur les courbes definies par les equations differentielles, 3. partie, chap. 13, Journ. de Math. (4) I (1885).
4) HADAMARD, Note sur quelques applications de l'indice de Kronecker, abgedruckt in TANNERY, Introduction 11. la theorie des fonctions II, 2. ed. (1910).
Abbildung geschlossener Mannigfaltigkeiten auf Kugeln in " Dimensionen
j
Beim Beweis wird ein SchluB von n-1 auf n Dimensionen gemacht;
dabei ist das (n-1}-dimensionale Gebilde, auf das man im VerIauf der
Untersuchung von M" zuriickzugehen hat, aber keine "Mannigfaltigkeit"
mehr, sondem ein "Komplex". Dieser Umstand macht, da man in
Komplexen nicht von Stetigkeit einer Vektorverteilung im gewohnlichen
Sinne reden kann, die Einftihrnng eines neuen Begriffs notwendig, des
Begriffs des "komplexstetigen Vektorfeldes". - Satz (4) Hi.Bt sich so
wenden, daB in ihm, ohne daB fiber Koordinatensysteme in M" eine
Annahme gemacht wird, der Fixpunktsatz enthalten ist:
(5)
1
Jede "hinreichend kleine" Transformation einer Mn mit von 0
verschiedener Eulerscher Charakteristik in sich besitzt mindestens
einen Fixpunkt.
Auf Grund der Losbarkeit der Randwertaufgabe (3) HiBt sich (5) umkehren in:
(6)
Jede Mn, deren Charakteristik 0 ist, also insbesondere jede
geschlossene unberandete Mannigfaltigkeit ungerader Dimensionenzahl, gestattet "beliebig kleine" fixpunktfreie Transformationen in sich.
1
Ein analoger Satz gilt fiber die Anbringung von singularitatenfreien
Vektorfeldem. - Die Satze (4), (5), (6) behalten im wesentlichen ihre
Giiltigkeit auch wenn Mn eine berandete Mannigfaltigkeit ist; so hat man
bei Satz (4) nur zu beachten, daB die Randvektoren ins Innere von Mn
gerichtet sein mfissen, und femer ist dann bei ungeradem n die Indexsumme entgegengesetzt gleich der Charakteristik.
Aus dem so modifizierten Satz (4) folgt nun leicht folgende Tatsache:
Die J ordansche Hyperflache Mn begrenze im (n+1 )-dimensionalen euklidischen Raum R"+l eine M"+l; in M"+l sei eine Vektorverteilung V gegeben, die auf Mn keine, in Mn+l hochstens endlich viele Unstetigkeitsstellen besitzt und auf M n fiberallinsAuBere von Mn+l gerichtet ist. Dann
ist die Charakteristik von M"+l gleich der Summe der Indizes der Singularitaten von V, und diese Summe ist gleich dem Grade der durch V
vermittelten Abbildung von Mn auf die Richtungskugel. Dieser Abbildungsgrad aber ist bei Zugrundelegung der GauBschen Definition des
KriimmungsmaBes vermittels der Normalenabbildung bis auf einen
konstanten Faktor, der gleich der Oberflache der n-dimensionalen Einheitskugel ist und den wir vemachlassigen wollen, die "Curvatura integra"
von Mn. Es gilt also der Satz:
(7)
1
Die Curvatura integra einer n-dimensionalen Jordanschen
Hyperflache im R n+\ die eine Mn+l begrenzt, ist gleich der
Charakteristik von Mn+!.
1*
4
Abbildung geschlossener Mannigfaltigkeiten auf Kugeln in n Dimensionen
Nun entspricht es aber nicht dem Wesen der Curvatura integra, wenn
man sich bei ihrer U ntersuchung auf Jordansche H yperfHichen beschrankt,
vielmehr sind alle die geschlossenen Hyperflachen zu betrachten, auf
denen man in iiblicher Weise Differentialgeometrie treiben kann. Wir
definieren daher: eine Punktmenge m des Rn+l heiBt ein "Modell" von Mn,
wenn M n eindeutig und stetig so auf m bezogen ist, daB diese Abbildung in der Umgebung jedes Punktes eineindeutig ist. Wir betrachten nun
Modelle m von Mn, die Hyperflachen sind, d.h. bei denen es zu jedem
Punkt P von Mn einen sich mit P stetig andernden ebenen Tangentialraum an m gibt, und fragen, ob der fUr n= 2 giiltige Satz, daB die Curvatura integra aller Modelle von Mn eine topologische Invariante von Mn
istS), auch fiir hOhere n gilt. Mit Hilfe von (7) beweist man leicht:
1
Fiir ungerades n ist die Curvatura integra der Modelle von Mn
keine Invariante von Mn, ffir ungerades n~ 3 nicht einmal bei
Beschrankung auf Jordansche Modelle.
(8)
Dagegen zeigt man unter wesentlicher Benutzung von (1):
()
9
{
1st n gerade, so ist die Curvatura integra der Modelle von Mn
eine Invariante von M n ,
und mit Hilfe von (4) folgt:
(9 a) Diese Invariante ist die halbe Charakteristik von MH.
Aus (9a) laBt sich nun noch eine Folgerung ziehen: Da die Curvatura
integra als Abbildungsgrad eine ganze Zahl ist, muB jede zweiseitige Mn,
die eine Hyperflache im R n + 1 als Modell besitzt, eine gerade Charakteristik
haben. Auf Grund dieser Tatsache wird bewiesen:
(10)
1
Es gibt Mn, die keine Hyperflache im R n + 1 als Modell besitzen,
auch nicht unter Zulassung von Selbstdurchdringungen; ein Beispiel einer solchen Mn ist die komplexe projektive Ebene.
Diese 4-dimensionale Mannigfaltigkeit ist geschlossen, einfach zusammenhangend, also zweiseitig, und hat die Charakteristik + 3, was man
am einfachsten mit Hilfe von Satz (4) erkennt. AusfUhrliche Darstellung erscheint in den Math. Ann. in 3 Abhandlungen: "Uber die Curvatura integra geschlossener Hyperflachen"
((1), (8), (9), (10)); "Abbildungsklassen n-dimensionaler Mannigfaltigkeiten" ((2), (3)); "Vektorfelder in n-dimensionalen Mannigfaltigkeiten"
((4), (5), (6), (7), (9 a)).
5)
Siehe
z.B. BLASCHKE,
Vodes. liber Diff.-Geom. I (1921), § 64.
Eine Verallgemeinerung
der Euler-Poincaréschen Formel
Nachrichten der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen,
Mathematisch-Physikalische Klasse 1928
Zwischen den Bettischen Zahlen p und den Anzahlen a der i-dimensionalen Simplexe eines aus Simplexen aufgebauten w-dimensionalen
Komplexes besteht die als „Euler-Poincaresche Formel" bekannte Gleichung
i
(1)
i
2 ( - 0 * ^ = 2 (-*)*«'•
Aus einer Verallgemeinerung von (1) entspringt, wie ich gezeigt habe ),
die Formel für die algebraische Anzahl der Fixpunkte einer beliebigen
eindeutigen Abbildung eines beliebigen Komplexes auf sich, die von einer
anderen Seite her für einen Bereich von Abbildungen, der sich mit dem
eben genannten teilweise deckt, zuerst von LEFSCHETZ gefunden wurde ).
Meinen ursprünglichen Beweis ) dieser Verallgemeinerung der EulerPoincareschen Formel konnte ich i m Verlauf einer i m Sommer 1928 in
Göttingen von mir gehaltenen Vorlesung durch Heranziehung gruppentheoretischer Begriffe unter dem Einfluß von Fräulein E. NOETHER
wesentlich durchsichtiger und einfacher gestalten. Der so abgeänderte
Beweis wird i m folgenden mitgeteilt. *)
I m § 1 werden gruppentheoretische, i m § 2 kombinatorisch-topologische Tatsachen zusammengestellt, im § 3 wird der Beweis geführt.
1
2
3
§1
Wir stellen zunächst die notwendigen Sätze zusammen und sprechen
dann von den Beweisen.
*) [Die obige Note ist wohl die erste Publikation gewesen, in der die heute
geläufige, von E M M Y N O E T H E R stammende gruppentheoretische Auffassung der
Homologietheorie zur Geltung kommt.]
a) A new proof of the Lefschetz formula on invariant points, Proc. N a t .
Acad. of Sciences U . S.A. 14, N r . 2 (1928). b) Über die algebraische Anzahl von
Fixpunkten, erscheint demnächst in der Mathematischen Zeitschrift.
) Der Beweis von L E F S C H E T Z gilt für eine alle eindeutigen stetigen Abbildungen
umfassende Klasse mehrdeutiger Abbildungen beliebiger Mannigfaltigkeiten,
also
spezieller Komplexe, auf sich. — Literaturangaben in den unter ) genannten
Arbeiten.
) § 3 der unter *) genannten Arbeit b).
2
2
3
6
Eine Verallgemeinerung der Euler-Poincareschen Formel
1. & sei eine von endlich vielen ihrer Elemente erzeugte Abelsche
Gruppe; die gruppenbildende Operation wird mit
bezeichnet. Dann
ist & direkte Summe von endlich vielen zyklischen Gruppen. Die Anzahl
der dabei auftretenden unendlichen Zyklen ist die H6chstzahl der von
einander linear unabhiingigen Elemente in & und heiBt der Rang von &.
Treten keine endlichen Zyklen auf, so heiBt & eine freie Gruppe; & ist
demnach frei, wenn sie kein Element endlicher Ordnung enthiilt.
+
2. Jede Untergruppe von & ist eben falls eine von endlich vielen ihrer
Elemente erzeugte Abelsche Gruppe.
3. & zerfallt modulo jeder Untergruppe U in Restklassen, die selbst
wieder eine Abelsche, von endlich vielen ihrer Elemente erzeugte Gruppe
bilden; diese Restklassengruppe bezeichnen wir mit &jU.
4. Unter einem Homomorphismus der Gruppe & in die Gruppe ~
verstehen wir eine eindeutige Abbildung t von & auf einen echten oder
unechten Teil von ~, bei der stets t(x+ y)=t(x)+ t(y) ist. Sind dabei
alle Elemente von ~ Bilder und ist die Abbildung eindeutig umkehrbar,
so heiBt t ein lsomorphismus zwischen & und~. 1st t ein Homomorphismus, U Untergruppe von &, iB Untergruppe von ~, und (U) c iB, so ist
das Bild jeder Restklasse von & modulo U in einer Restklasse von ~
modulo iB enthalten, und diese Abbildung von &jU auf ~jiB oder einen
Teil von ~/iB ist selbst ein Homomorphismus. Die Elemente x, ffir die
t (x) = 0 ist, bilden eine U ntergruppe U von &; der nach dem eben
Gesagten bestehende Homomorphismus von &jU in ~ = ~/O ist ein lsomorphismus zwischen &/U und der Untergruppe der Bildelemente in ~.
5. & sei die freie Gruppe vom Rang n und einem Homomorphismus t
in sich unterworfen. Dann gibt es eine, als "Spur" von t bezeichnete,
Zahl 5 mit folgender Eigenschaft: sind Xl' x 2 , ••• , X,. irgendwelche freie
Erzeugende von &, d. h. die Erzeugenden von n unendlichen Zyklen, als
t
deren direkte Summe sich & darstellen liiBt, und ist t (Xi) =
,.
ist 5= 2:
1=1
a".
,.
L: a'i xi' so
;=1
6. &, n, t, 5 haben dieselben Bedeutungen wie eben; es sei ferner U
eine Untergruppe von &, die ebenfalls den Rang n habe und ebenfalls
t
t
durch in sich transformiert werde: (U) cU. Da U als Untergruppe der
freien Gruppe &, die kein Element endlicher Ordnung enthiilt, selbst kein
Element endlicher Ordnung enthiilt, ist sie nach 1. frei. Es existiert also
nach 5. die Spur 5' des Homomorphismus von U in sich. Dann ist
5'=5.
7. &, n, t, 5 haben wieder dieselben Bedeutungen. iB sei eine Untergruppe beliebigen Ranges von &, deren Restklassengruppe &/iB, die
nach 3. ein Abelsche Gruppe mit endlich vielen Erzeugenden ist, auch
t
Eine Verallgemeinerung der Euler-Poincareschen Formel
7
frei sei, und lB werde dureh f in sieh transformiert. Dann erleidet naeh 4.
@/lB einen Homomorphismus in sieh, der naeh 5. eine Spur S @/lB
besitzt. AuBerdem besitzt der Homomorphismus von lB in sich eine
Spur S lB, (da lB ebenso wie U in 6. frei ist, es treten also drei Spuren auf:
S@=S, SlB, S@/lB. Fur sie gilt: S@=SlB+S@/lB.
Die Beweise von 1., 2., 3., 4., 5. durfen als bekannt vorausgesetzt
werden.
Beweis von 6.:
Xl' X 2 , ••. ,Xn
seien freie Erzeugende von @,
Yl' Y2' ... , Yn freie Erzeugende von U. Die Yi sind wegen Ue@ line are
Verbindungen der Xi: Y= U(x) mit einer quadratisehen Matrix U, die
den Rang n hat, da andernfalls der Rang der von den Yi erzeugten
Gruppe U kleiner als n ware. Die Xi bzw. die Yi erleiden dureh f lineare
Substitutionen mit Matrizen A bzw. B:
f(x)=A(x),
f(y)=B(y).
Es ist also einerseits
f(y)=B(y)=B U(x) ,
andererseits, da f ein Homomorphismus ist,
also
mithin
f(U(x)) = U(f(x) ,
f(y)=f(U(x)) = U(f(x)) = UA(x) ,
BU(x)=UA(x).
Da aber die Xi als freie Erzeugende von @ voneinander unabhangig sind,
ist diese Gleichung eine 1dentitat, d.h. es ist im Sinne der Matrizenreehnung:
BU=UA.
1st nun E die n-reihige Einheitsmatrix, A ein Parameter, so ist
(B-AE) U=BU-AU=UA-AU=U(A-AE),
und fUr die Determinanten gilt mit Rueksieht auf IU I=1= 0
IB-AEI=IA-;'EI·
Diese somit identisehen Polynome in ;. haben als Koeffizienten von
(-1t- l ;.n-l die Spuren S' bzw. S. Damit ist die Behauptung bewiesen.
Beweis von 7.: Yl' Y2,
(2)
f(Yi) =
... ,
s
Ys seien freie Erzeugende von lB; dann ist
L: aii Yi'
;=1
s
L: aii= SlB.
i=l
8
Eine Verallgemeinerung der Euler-Poincareschen Formel
m,
seien Elemente aus Restklassen modulo
die ein System
freier Erzeugender der Restklassengruppe @/m bilden; dann ist
Zl' Z2' ••• ,Zt
(3)
f(zi)
=
t
L bijzj
t
(mod. m),
L bu = s@/m.
j~l
i~l
Die Yi und Zi bilden zusammen ein System freier Erzeugender von @.
Denn ist x irgend ein Element von @, so ist die Restklasse, in der x ist,
eine lineare Verbindung der Restklassen, in denen die Zi sind, es ist also
t
x=: LPiZi
(mod. m),
i~l
t
d.h. x- L Pizic m,
i~l
s
(4)
t
x=LqiYi+ LPiZi'
i~l
i~l
Die Yi und Zi erzeugen also @; urn zu sehen, daB sie freie Erzeugende
sind, haben wir uns noch davon zu fiberzeugen, daB sich x nur auf eine
Weise in der Form (4) darstellen laBt, oder, was dasselbe ist, daB in (4)
aus x=O stets das Verschwinden alier qi und Pi folgt. x=O bedeutet
t
aber: L Pizi = 0 (mod. m), also, da die Zi freie Erzeugende der Rests
i~l
klassengruppe reprasentieren, Pi=O; dann ist L qi Yi=O, also, da die Yi
freie Erzeugende von msind, auch qi=O.
i~l
Mithin sind die Yi und Zi freie Erzeugende von @. Die Substitution,
die sie beiferleiden und die die Spur s@ hat, ist gegeben durch (2) unddas
in Gleichungsform geschriebene System (3):
s
t
i~l
j~l
f(zi) = L CijYj+ L bijzj .
(3 a)
Die Matrix des aus (2) und (3 a) zusammengesetzten Systems hat aber die
Spur
s
L aii
i~l
t
+L
i~l
bii=sm + s@/m;
damit ist die Behauptung bewiesen.
Bemerkung: 1st eine der Gruppen @jm und mdie Identitat, so bleibt
der Satz trivialerweise richtig, wenn man fUr diese Gruppe die Spur = 0
setzt.
§2
1. en sei ein n-dimensionaler Komplex, T/ (i = 0, 1, ... , n; j =
1, 2, ... , ail seien seine i-dimensionalen Simplexe. Diese seien willkfir-
lich orientiert, d.h. fUr jedes T/ sei eine Reihenfolge seiner i+1 Ecken
Eine Verallgemeinerung der Euler-Poincareschen Formel
9
samt ihren geraden Permutationen als "positiv", die anderen Eckenreihenfolgen seien als "negativ" bezeichnet; in dem Fall i=O, in dem es nur
eine Ecke gibt, sei die einzige "Reihenfolge" dieser Ecke die positive.
Wir ordnen nun jedem T/ zwei Symbole +T/ und -T/ zu und sagen:
+T/ gehOrt zum Rande von +Tf+l oder -Tf+1 (geschrieben: +1ji c: +
T,i+l
_T,i+l)
ist , und zwar
oder +T!c:
k
1
k ' wenn T!
1 Randsimplex von T,i+l
k
+ 1ji c: +Tf+l oder +1ji c: - Tf+1, je nachdem eine positive Eckenreihenfolge von 1ji mit der nicht zu T/ gehorigen Ecke von T;+1 davorgesetzt
eine positive oder negative Eckenreihenfolge von Tf+l ist; dann definieren
wir: aus +1ji c: ±T;+1 folgt _1j'c:~T;+I; flir i>O bedeutet dies:
-1ji c:Tf+l oder _1ji c: _T;+I, jenachdem eine negative Reihenfolge
von 1ji mit der nicht zu 1ji gehorigen Ecke von Tf+1 davorgesetzf eine
positive oder negative Reihenfolge von Tf+1 ist.
2. Flir jedes i nennen wir die Linearformen in den 1ji mit beliebigen
ganzzahligen Koeffizienten "die in C" liegenden i-dimensionalen Komplexe". Als Rand e(+1ji) von +1ji bezeichnen wir denjenigen (i-1)dimensionalen Komplex, der die formale Summe der +T;-1 und - T;-1
ist, die nach 1. zum Rand von +1ji gehOren. Flir einen beliebigen
i-dimensionalen Komplex Li= I.c j 1fi definieren wir als Rand:
i
(5)
e (Li) = e (~cjT/) = ~ cie (1ji).
°sinnvolle Definition vervollstandigen wir durch
1
Diese nur flir i>
1
(5 a)
da ein TO keinen Rand besitzt. Aus (5) und (5 a) folgt
(6)
e (L~+L~) = e (L~)+ e (L~).
3. 1st e (Li) = 0, so heiBt Li ein Zyklus. Es folgt aus (6): die Summe
von Zyklen ist ein Zyklus; ist ein Vielfaches eines Komplexes ein Zyklus,
so ist der Komplex selbst ein Zyklus.
4. Da, wie man leicht verifiziert, der Rand eines Simplex ein Zyklus
ist, ist nach (5) und (3) jeder Rand ein Zyklus. Ferner ist nach (6) die
Summe von Riindern selbst Rand. n-dimensionale Rander gibt es nicht.
5. Ein Komplex, von dem ein Vielfaches ein Rand ist, heiBe ein
"Randteiler". Aus 3. und 4. ergibt sich, daB jeder Randteiler ein Zyklus
ist, aus (6) folgt leicht, daB die Summe von Randteilern selbst Randteiler
ist. n-dimensionale Randteiler gibt es nicht.
6. Diese Tatsachen lassen sich folgendermaBen zusammenfassen: die
Komplexe L', die Zyklen Zi, die Randteiler R.', die Rander R. bilden
bezliglich der Addition Abelsche Gruppen ~', .8i , i , i , die so ineinander
mm
10
Eine Verallgemeinerung der Euler-Poincareschen Formel
enthalten sind:
(7)
dabei ist insbesondere
(7a)
BO=EO,
ffin = ffin=
(7b)
o.
Bi wird von den Elementen +1fi erzeugt; mithin besitzen nach
§ 1, 1. auch Ei, ffii, ffii endliche Erzeugendensysteme und endliche Range.
Da ein Vielfaches jedes Elementes von ffii in ffii enthalten ist, kann lni
nicht hOheren Rang haben als ffii, und da ffii c aF ist, kann ffii nicht
kleineren Rang haben als ffii; mithin haben ffii und ffii gleichen Rang.
Da Bi freie Gruppe ist, enthalten die genannten Untergruppen keine
Elemente endlicher Ordnung, sind also nach § 1, 1. selbst frei.
7. Die Restklassengruppe Eijffii ist eine freie Gruppe; denn andernfalls wiirde sie ein Element endlicher Ordnung enthalten, es ware also
fUr einen gewissen Zyklus Zi und ein a> 1
aZi
=0,
Zi$O
(mod. ffii),
d.h. es ware aZi Randteiler, ohne daB Zi es ist, was der Definition der
Randteiler widerspricht. Diese somit freie Gruppe
(8)
nennen wir die "i-te Bettische Gruppe", ihren Rang pi die "i-te Bettische Zahl" von en.
8. Die Berandungsrelation e bildet die Elemente von Bi auf die
Elemente von ffi i - 1 so ab, daB jedes Element von ffi i - 1 Bild ist, daB diejenigen L i , fUr die e(Li) = 0 ist, Ei bilden, und daB die Abbildung [infolge
(6)J ein Homomorphismus ist. Dann vermittelt nach § 1, 4. e einen 1somorphismus zwischen der Restklassengruppe BijEi und ffii-l. Diese
zunachst nur fUr i> 0 sinnvolle Tatsache bleibt mit Riicksicht auf (7 a),
wonach BOjEO nur aus der 1dentitat besteht, auch fUr i=O giiltig, wenn
wir als "Gruppe der (-1)-dimensionalen Rander" die nur aus der Null
bestehende Gruppe einfUhren:
(9)
§3
Unter einer simplizialen Abbildung von en auf einen zweiten n-dimensionalen Komplex K n verstehen wir eine eindeutige Abbildung der Menge
der Eckpunkte von en auf einen echten oder unechten Teil der Menge der
Eckpunkte von K n, bei der die Bilder der Ecken jedes Simplex von en
Ecken eines Simplex (beliebiger Dimension) von KH sind. Eine simpliziale