J2 - 4pneus.ch

Max Koecher
Klassische
elementare Analysis
1987
Springer Basel AG
Prof. Dr. Max Koecher
Westfalische Wilhelms-U niversitiit
Mathematisches Institut
Universitiit Munster
EinsteinstraBe 62
D-4400 Munster
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Koecher, Max:
Klassische elementare Analysis / Max Koecher. Basel; Boston: Birkhiiuser, 1987.
NE: GT
Die vorliegende Publikation ist urheberrechtlich geschutzt. Aile
Rechte vorbehaIten. Kein Teil dieses Buches darf ohne schriftliche
Genehmigung des Verlages in irgendeiner Form durch Fotokopie,
Mikrofilm oder andere Verfahren reproduziert oder in eine fUr
Maschinen, insbesondere Datenverarbeitungsanlagen, verwendbare
Sprache ubertragen werden. Auch die Rechte der Wiedergabe durch
Vortrag, Funk und Fernsehen sind vorbehalten.
© 1987 Springer Basel AG
Urspriing1ich erschienen bei Birkhauser Verlag Basel 1987.
Umschlaggestaltung und Typografie: Albert Gomm
ISBN 978-3-0348-5168-8
ISBN 978-3-0348-5167-1 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-0348-5167-1
Vorwort
Fur Hansi
Dieses Buch will die vielfiiltigen Anwendungsmoglichkeiten der zentralen Satze
der Infinitesimalrechnung einer Variablen exemplarisch aufzeigen: Der Leser
solI dadurch zu einer Beschaftigung mit Mathematik stimuliert werden, gleichzeitig werden damit aber die Begriffsbildungen der reellen Analysis auf besondere Weise motiviert.
Das vorliegende Buch wendet sich an Studenten in mittleren und hoheren Semestern, an Mathematiklehrer und an interessierte Laien. Es eignet sich
als Erganzung und als Begleitliteratur zu einfUhrenden Vorlesungen uber reelle
Analysis und als Vorlage fUr Proseminare. Daruber hinaus kann der vorliegende
Stoff ganz oder teilweise zu mathematikdidaktischen Vorlesungen verarbeitet
werden. Aber auch der Kenner wird neue Varianten finden (z. B. 111.4.5 (5) oder
V.5.5).
Ein Zit at 111.5.2 bedeutet Abschnitt 2 im Paragraphen 5 des Kapitels III.
Innerhalb eines Kapitels wird die (romische) Kapitelnummer, innerhalb eines
Paragraphen die Paragraphennummer weggelassen, entsprechend wird innerhalb eines Abschnitts vorgegangen. Eine in Klammern angefUgte Zahl bezeichnet die Nummer einer Gleichung. Abschnitte und Paragraphen, die mit einem
Stern * gekennzeichnet sind, konnen (und soIlen) bei der ersten Lekture fortgelassen werden.
Dieser Text ist aus einer Vorlesung zur Fachdidaktik, die ich mehrfach
an der Universitat Munster gehalten habe, entstanden. Dabei wurde ich bei
der Durchsicht der Manuskripte von meinen Mitarbeitern Dr. E. NEHER, Dr.
J. HEINZE, Dr. A. KRIEG und N. KOTISSEK tatkraftig unterstutzt, ihnen allen gilt
mein Dank. Das endgiiItige Manuskript war im Fruhjahr 1985 fertiggestellt.
Ich danke den Kollegen D. PUMPLUN und R. BRAUN fUr eine erne ute kritische
Durchsicht des Manuskriptes bzw. von Teilen des Manuskriptes. Das inzwischen erschienene schone Buch Geometrische und analytische Zahlentheorie
(Manz-Verlag Wien 1986) von E. HLAWKA, J. SCHOISSENGEIER, R. TASCHNER enthalt u. a. Erganzungen zum Kap. IV.
Der Birkhauser Verlag hat die Drucklegung des Textes mit bewahrter
Sorgfalt betreut.
Tecklenburg, den 2. April 1986
M. KOECHER
Inhal tsverzeichnis
Kapitel I
Der goldene Schnitt
Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§1
Elementare Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Definition - 2. Konstruktion mit Zirkel und Lineal - 3. Konstruktion
eines reguHiren Fiinfecks - 4. PENROsE-Mosaike - 5. Zur Mystik des
goldenen Schnittes
11
11
§2
15
§3
§4
§5
§6
Das Pentagondodekaeder . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Die platonischen Karper - 2. Die EULERsche Polyeder-Formel 3. Reguliire Karper - 4. Dodekaeder und Ikosaeder - 5. * Die IkosaederGruppe
Grenzprozesse fur den goldenen Schnitt . . . . . . . . . . . . .
1. Numerische Berechnung - 2. Konvergenz - 3. Ein Kettenbruch4. Zur Approximation von Irrationalzahlen - 5. Ein Zusammenhang
mit dem Dilogarithmus
FIBONAccI-Zahlen......................
1. Historische Bemerkungen - 2. Cber die Lasung einer Rekursionsformel - 3. Anwendungen - 4. Einige Aufgaben - 5. Nicht-triviale
Resultate - 6. Eine Tabelle - 7. Die Phyllotaxis (Blattstellungslehre)
Algebraische Aspekte des goldenen Schnitts. . . . . . . . . . .
1. Der Ring Z[g] - 2. Die Einheiten von Z[g] - 3. Z[g] als euklidischer
Ring
N eueste wissenschaftliche Entdeckungen . . . .
1. Der Kohlenstoff-FuBball - 2. Das Polio-Virus
21
24
30
33
Kapitel II
Foigen ond Reihen reeller Zahlen
Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
§1
36
§2
Das LANDAusche O-Symbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Cber den Nutzen einer abkiirzenden Symbolik - 2. Eine Aquivalenzrelation - 3. Das LANDAu-Symbol - 4. Die Beispiele M c lR und
MeN - 5. Cber den Nutzen des O-Symbols - 6. Asymptotische
Gleichheit - 7. Der mittlere Binomialkoeffizient - 8. Weitere
Anwendungen
Erste Versuche zur Konvergenzverbesserung . . . . . . . . . . . .
1. Die Folgen (n(s) - 2. Die Konvergenz von ((s) - 3. Zur numerischen
Berechnung von ((2) - 4. Eine weitere Verbesserung - 5.* Noch ein
Trick - 6. Zur numerischen Berechnung von ((3) - 7. Funktionswerte
der (-Funktion
45
Inhaltsverzeichnis
8
§3
Reihen mit positiven Gliedern . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Problemstellung - 2. Differenzreihen - 3.* Die Standard-Beispiele
4. * Anwendungen auf ((s) - 5. Historische Bemerkungen
53
§4*
Fur Fortgeschrittene: Uber die Werte von ((s) fUr ungerades s . . . .
1. Problemstellung - 2. Die Reihen YJ (s) - 3. Darstellung von ((3) und
( (5)
58
§5
Alternierende Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Bildung von Differenzreihen - 2. Anwendung auf die LEIBNIz-Reihe 3. Historische Bemerkungen - 4. Eine Kettenbruchentwicklung
61
Kapitel III
Das RIEMANNSche Integral und der Logarithmus
Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
§1
Das RIEMANNSche Integral. . . . . . . . . . . . . . . .
1. Das Ober- und Unterintegral - 2. Der Hauptsatz tiber das
RIEMANNSche Integral - 3. Der Hauptsatz der Differential- und
Integralrechnung - 4. Stammfunktionen - 5. Eine Liste von
Stammfunktionen - 6. Der Vektorraum der auf einem Intervall stetigen
Funktionen - 7. Die Integration als Umkehrung der Differentiation
67
§2
Integrationsmethoden......................
1. Ober effektive Integration - 2. Partielle Integration - 3. Substitution
4. Partialbruch-Zerlegung: Problemstellung - 5. Partialbruch-Zerlegung:
Reduktionsschritt - 6. Integration der Grundtypen
74
§3
Numerische Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Vorbemerkung - 2. Die RIEMANNSchen Summen als Approximation
des Integrals - 3. Uneigentliche Integrale und das Integralkriterium 4. Die erste Quadraturformel - 5. Die Trapezregel
81
§4
Der Logarithmus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Vorbemerkung - 2. Der Logarithmus und seine Eigenschaften 3. Beweis des Satzes - 4. Eine Methode - 5. Die harmonische Reihe 6. Die STIRLINGSche Formel- 7.* Weitere logarithmische Reihen
87
§5
Die Exponentialfunktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Vorbemerkung - 2. Die Exponentialfunktion und ihre Eigenschaften 3. Die allgemeine Potenz - 4. Die Limes-Darstellung der
Exponentialfunktion - 5. Zinseszinz-Rechnung - 6. Die STIRLINGSche
Formel
96
Kapitel IV
Aigebraische und zahlentheoretische Anwendungen
§1
Algebraische Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
1. Die reellen Zahlen als Vektorraum tiber <Q - 2. Einige Gruppenisomorphismen - 3. Die Automorphismen von 1R - 4. Approximation
algebraischer Zahlen - 5. LIOUVILLEsche Transzendente
9
Inhaltsverzeichnis
§2
Einige Anwendungen aus der Zahlentheorie. . . . . . . . . . . . .
1. Vorbemerkung - 2. Das Teilerproblem - 3. Anzahl der Gitterpunkte
in einem Kreis - 4. Die Primzahlzerlegung von n! - 5. tiber die
Verteilung der Primzahlen - 6. Eine Primzahlreihe
§3
Eine Summationsformel mit Anwendungen
. . . . . . . . . . 115
1. Die GAuss-Klammer - 2. Die EULERsche Summationsformel3. Potenzsummen - 4. Die ,-Funktion - 5. Die STiRLINGSche Formel
6. Restabschatzungen - 7. * Eine allgemeine Asymptotik
§4
Rationalitiitsfragen for Logarithmus und Exponentialfunktion
1. Die Ergebnisse - 2. Hilfsmittel - 3. Beweis von Satz 1 A
109
. . . . . . 125
Kapitel V
Erzeugung von Funktionen durch unendliche Reihen
Einletiung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§1
§2
§3
§4
§5
§6
Vertauschung von Grenzprozessen bei Reihen von Funktionen
1. Bezeichnungen und Definitionen - 2. Kriterien fUr gleichmaBige
Konvergenz - 3. GleichmaBig konvergente Reihen stetiger Funktionen
4. GleichmaBige Konvergenz und Differenzierbarkeit
Potenzreihen..........................
1. Festlegung einer Redeweise - 2. Konvergenzbereich einer Potenzreihe
3. Durch Potenzreihen dargestellte Funktionen - 4. Der ABELsche
Grenzwertsatz - 5. O-Abschatzungen
Exponentialfunktion und Logarithmus . . . . . . . . . . . . .
.
1. Die Exponentialfunktion - 2. Der Logarithmus - 3. Berechnung von
Logarithmen - 4. Anwendungen
Sinus und Cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Definition durch Reihen - 2. Ein ausgezeichneter Vektorraum 3. Ungleichungen - 4. tiber die Perioden einer durch Potenzreihen
dargestellten Funktion - 5. Sinus und Cosinus als periodische
Funktionen - 6. Die Standard-Parametrisierung des Einheitskreises 7. Polarkoordinaten - 8. Flache und Umfang des Einheitskreises 9. Historische Bemerkungen
Die Partialbruchentwicklung des Cotangens. . . . . . . . . . . . . .
1. Die Cotangens-Verdopplung - 2. Eine Partialbruchreihe 3. Eindeutigkeitssatz - 4. Die Potenzreihe von nx . cot nx - 5. Zur
Berechnung von ,(2n) - 6. Das Sinus-Produkt - 7. Berechnung von
Partialsummen
129
130
133
137
143
153
Der Arcustangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
1. Vorbemerkung - 2. Die Integraldarstellung - 3. Reihen fur n - 4. Ein
schneller Algorithmus fur n
Kapitel VI
Perlen der elementaren Analysis
Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
163
Die BERNOuLLIschen Polynome . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Definition - 2. Eine Funktionalgleichung - 3. Potenzsummen 4. tiber die Nenner der BERNOuLLIschen Zahlen
163
§1
10
Inhaltsverzeichnis
§2
Eine EULERsche Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
1. Vorbemerkung - 2. Eine trigonometrische Identitat - 3. Die Reihen
Pm{x) - 4. Die Potenzreihe des Tangens - 5. Die erzeugende Funktion
§3
Summationsformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
1. Die EULERsche Summationsformel - 2. Die erste POISsoNsche
Summationsformel - 3. Die zweite POISsoNsche Summationsformel 4. Die dritte POISsoNsche Summationsformel
§4
Anwendungen der EULERschen Summationsformel . . . . . . . . . . . 181
1. Restabschatzungen - 2. Eine verallgemeinerte (-Reihe - 3. Die
harmonische Reihe
§5
Anwendungen der POISsoNschen Summationsformeln . . . . . .
1. Die geometrische Reihe - 2. Die Theta-Reihe - 3.* Summation einiger
spezieller Partialbruch-Reihen
§6
EULERsche Reihe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189·
1. Vorbemerkung - 2. Der Konvergenzsatz - 3. Die Reihen vm{r) 4. Summation der EULERschen Reihen
§7
Die Gamma-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 193
1. Historische Bemerkung - 2. Konvexe Funktionen - 3. Logarithmisch
konvexe Funktionen - 4. Die Hauptsatze tiber die Gamma-Funktion
5. Beweise - 6.* Die STiRLINGSche Formel - 7.* Die LEGENDRESche
Relation - 8. Die Funktionalgleichung der RIEMANNSchen ZetaFunktion
184
Literatur . . . . . . . . .
206
Namen- und Sachverzeichnis
207
11
Kapitel I
Der goldene Schnitt
Einleitung. Am Beispiel der "stetigen Teilung" oder, wie man heute meist sagt,
des "goldenen Schnittes" (sectio aurea) solI zunachst gezeigt werden, wie bei
einfachen Fragestellungen sehr verschiedene mathematische Gesichtspunkte
auftreten konnen. Seit der Antike versteht man unter der "stetigen Teilung" die
Unterteilung einer gegebenen Strecke auf eine wohldefinierte und gleichzeitig
iisthetische Weise. Eine solche asthetische Frage taucht z. B. bei der Wahl des
Formats eines Buches, einer Zeitschrift oder eines Bildes von selbst auf. Bei
Zeitungen und Zeitschriften richtet man sich heute meist nach der DIN-Richtverhalten. In der darstelIenden
linie, wonach sich Breite und Rohe wie 1 :
Kunst werden die Proportionen aber oft nach der Regel vom goldenen Schnitt
konstruiert.
Der Satz 11 des II. Buches von EUKLID fordert, "eine gegebene Strecke so zu
teilen, daB das unter der Ganzen und einem der beiden Abschnitte enthaltenen
Rechteck dem Quadrat des anderen Abschnittes gleich sei". In freier Ubersetzung des griechischen Fachausdrucks nennt man dies seit dem 18. Jahrhundert
die Teilung im "mittleren und auBeren Verhaltnis" oder auch stetige Teilung.
Dieses "stetig" hat mit "stetigen Funktionen" nichts gemein.
J2
§1
Elementare Eigenschaften
1. Definition. Unter dem goldenen Schnitt versteht man die Unterteilung
einer Strecke AB durch den Punkt P, so daB die Verhaltnisse
AB
GroBer Abschnitt AP
Gesamtstrecke
und
GroBer Abschnitt AP
Kleiner Abschnitt PB
gleich sind. Bezeichnet man die Lange der Strecke AB mit a und von AP mit x,
so folgt fUr den goldenen Schnitt, also fUr den gemeinsamen Wert g dieser beiden
Ver haltnisse
a
x
--------------=---
(1 )
g:=~=--.
x
a-x
Schreibt man dies als a(a - x) = x 2 , so hat man die erwiihnte Forderung von
EUKLID erfUlIt. Mit (1) folgt
(2)
g2 = g + 1,
also g -_1+J5_
2
- 1,618.033.988 * .
* Wenn Zahlen als Dezimalbriiche angegeben werden, dann sind aile angegebenen
Stellen korrekt, die letzte Stelle ist also nicht gerundet. Rationale Zahlen werden (von
Tabellen abgesehen) meist als gewohnliche Briiche geschrieben.
Konstruktion eines reguliiren Funfecks
12
Zum Vergleich ist
1.1.3
J2 = 1,414.
Manchmal wird auch h: =! als goldener Schnitt bezeichnet. HierfUr gilt
g
dann
(3)
h2
+ h = 1,
also h = g - 1 =
J52-1 = 0,618.033.988.
Bemerkung. Durch wiederholtes Quadrieren der Ungleichung 0 <
J5
J5 - 2 < ±
erhalt man gute Naherungsbriiche fiir
und damit auch fUr g: Die entstehen. d "49 b zw. 8'
13 161 b
233 51841 b
75025
d en N a"h erungen r"!is
ur y.) bzw. g sm
72 zw. 144'
23184 zw. 46368'
usw. Man vergleiche mit Satz 3.3 und mit Satz 4.1.
Aufgaben:
2)
1)
X4
X4 + x 3 + x 2 + X + 1 = (x 2 + gx + 1) (x 2 - hx + 1).
+ x 3 + 3x - 1 = (x 2 - hx + g)(X2 + gx - h).
3) Fur 0 ~ x ~ 1, 0 ~ y ~ 1, gilt xy(1 - x)(1 - y) ~ h5 (1 - xy).
(Hinweis: Man zeige, daB fur x = y = h das Gleichheitszeichen gilt, und benutze
analytische Hilfsmittel.)
2. Konstruktion mit Zirkel und Lineal. Wenn man sich an die Satze der
GALOIs-Theorie iiber die Konstruktion mit Zirkel und Lineal erinnert, so ent-
+2J5 des goldenen Schnittes sofort, daB
~:~e;~~ ~O:S\fllie;bar is!. In der Tat is! (linke Figur) AC ~ also AP ~ h
nimmt man der Darstellung g = 1
.It
A
Q
14
~I
Bereits im VI. Buch der Elemente des EUKLID (urn 300 v. Chr.) wird als Satz 30
eine ahnliche Konstruktion angegeben (rechte Figur): AB = 2 BC, CA = CD,
AB
BD = BP, und es folgt PB = g.
3. Konstruktion eines regularen Fiinfecks. Die Konstruktion eines regularen Fiinfecks mit Zirkel und Lineal ist gleichwertig mit der Konstruktion einer
komplexen Zahl ( = a + ib, (5 = 1, a > 0, b > 0 (linke Figur).
1.1.3
Konstruktion eines reguliiren Fiinfecks
13
1
2
~
:l
h
Zur Bestimmung von (, d. h. zur Berechnung der reellen Zahlen a und b, folgt
zunachst b = ~ nach dem Satz von PYTHAGORAS. Unter Verwendung der
Summenformel fUr die geometrische Reihe ergibt andererseits 1 + ( + (2 +
+ (4 = 0 aus (5 = 1. Beachtet man hier (4 = f, = [2, so folgt 1 + 2 Re (
+ 2 Re (2 = 0, Re (2 = a2 - b2 = 2a 2 - 1, also 4a 2 + 2a = 1.
e
e
Damit ist a =
~ h = )54- 1 und eine Konstruktion verlauft wie in der rechten
Figur. Offensichtlich wird mit 1 (3)
(1)
(=k(h+iJ4-h 2 )=k(h+ij2+g).
Lemma. Man hat (2 = h( - 1,
e= -
h( - h, (4 = - ( + h.
Beweis. Nach (1) und 1 (3) wird (2 = k( - g + ih j2+g) und folglich
= h( - 1. Die restlichen Behauptungen folgen durch wiederholte Multiplikation mit (.
0
(2
Mit (1) berechnet man die Seite des Fiinfecks zu
(2)
I, -11 ~ j3=g ~)5 -2-fi -1,175.570.504.
.
2n
Wegen (= e21tl / 5 = cos S
+i
2n
sinS ergibt (1) iiberdies
.2n
(3)
SIll
1 ~
1
J
~
S = "2 v 2 + g = 4 10 + 2 v 5.
Die Formel 1 - cos (J( = 2 sin 2 ~ ergibt schlieBlich
(4)
. n
SIllS
1 ;:;--:
= "2 v 3 -
und
g,
also
n 1
cos- = - g
52'
n
1 ~
also cos 10 = "2 v 2 + g .
2
Bemerkung. Der numerische Wert von h stimmt recht gut mit ;6 iiberein! Man
konnte also mit ~ ~
Jh eine Naherung der Kreisquadratur konstruieren.
14
PENROSE- Mosaike
1.1.4
4. PENROsE-Mosaike. 1m Jahre 1973 entdeckte der Oxforder Mathematiker Roger PENROSE ein Figurenpaar, genannt Drache und Pfeil, das sich vorziiglich zum Aufbau von Mosaiken eignet. Beide Figuren erhalt man aus einer
Raute mit Innenwinkel 72° = 27r und 108° = 37r unter Zuhilfenahme des golde5
5
nen Schnitts (linke Figur).
Gesucht werden nicht-periodische liickenlose Muster aus Drachen und Pfeilen,
bei denen beide Figuren niemals in Form einer Raute liegen sollen. Urn dies zu
erleichtern, kann man die Figuren in der angegebenen Weise lochen und darf sie
dann nur so zusammenlegen, daB an einer Ecke entweder nur gelochte oder
keine gelochten Figuren zusammentreffen.
Einfache Grundkombinationen sind z. B. "As" (mittlere Figur) und "kleine
Fliege" (rechte Figur). GroBere Muster ("Konig" und "Wagenrad ") findet man
im Spektrum der Wissenschaften 11 (1979).
5. Zur Mystik des goldenen Schnittes. 1m Jahre 1509 publizierte Luca
PACIOLI (oder PACIUOLO, 1445-1512, Florenz) ein von Leonardo da VINCI
(1452-1519) illustriertes Buch mit dem Titel De divina proportione, in dem der
goldene Schnitt verherrlicht wird (Deutsche Ubersetzung: Quellenschriften fUr
Kunstgeschichte und Kunsttechnik, II. Band, Wien, 1889). Neben (in moderner
Sprache) trivialen Aussagen, wie die Charakterisierung der Zahl h = ! durch die
.
(
verbal angegebene Glelchung 1 - h +
h)2 (h)2
g weniger
"2 = 5 "2 ' werden aber auch
offensichtliche Beziehungen angegeben: 1m Kap. XX wird gesagt, daB sich die
Seite des (im Einheitskreis einbeschriebenen) regelmaBigen Zehnecks zu der des
regelmaBigen Sechsecks wie 1 zu g verhalt. In der Tat gilt sin 1~ = h . sin ~. 1m
Kap. XXI wird gar behauptet, daB sich eine Kante w des (in der Einheitskugel
einbeschriebenen) Wiirfels zu einer Kante ides aus 20 gleichseitigen Dreiecken
I.2.1
Die platonischen Korper
15
J1+h2: J1 + (1 - h)2 =
J 5 + .J5 :J6 verhalt. In der Tat gilt w = ~ und i = 2 J2 (vgl. 2.4).
y3
J5+.J5
Auf PACIOLI durfte es in erster Linie zuruckzufuhren sein,
bestehenden (einbeschriebenen) Ikosaeders Wle
"wenn Sp~itere eine eigenartige Mystik in diesem Teilverhaltnis suchen zu miissen
glaubten. So bringt RAMUS (1515-1572) die gottliche Dreieinigkeit mit den drei Stiikken einer stetig geteilten Strecke in Verbindung, so schafIt KEPLER'S (1571-1630)
kiihne Phantasie eine ganze Symbolik fiir seine "sectio divina ". - Die Mitte des
neunzehnten Jahrhunderts erweckte die phantastischen Anschauungen KEPLER'S von
neuem. Es entstand eine Naturphilosophie, die in alle Gebiete, die ihr irgendwie
zuganglich waren, selbst in die Asthetik, mathematische Gesetze hineinzudeuteln
suchte. Ein solches allgemein giiltiges Gesetz vermutete man in dem "Goldenen
Schnitt", wie man die stetige Teilung jetzt taufte, in Wiederaufnahme eines alten
Beiwortes, das im Mittelalter die Regeldetri (regula aurea) tatsachlich gefiihrt hatte.
Nicht nur in der Natur so lite diese Proportion bei allen metrischen Beziehungen
maJ3gebend sein; auch in der Plastik, Malerei, Baukunst muJ3te sie als das Prinzip der
Schonheit herhalten. Diese popularisierende Mathematik gewann bald einen groJ3en
Kreis laienhafter Anhanger, wodurch das Wort "Goldener Schnitt" sich mehr und
mehr Verbreitung eroberte und schlie13lich auch in mathematische Elementarbiicher
gelangte; in diesen setze es sich so fest, daJ3 es jetzt groJ3er Miihe bediirfte, die falsche
Bezeichnung wieder zu verdrangen."
(nach J. TROPFKE, Geschichte der Elementar-Mathematik ([14], II).
§2
Das Pentagondodekaeder
1. Die platonischen Korper. Seit den Griechen sind neben den regularen
Polygonen der Ebene die regularen Korper im Anschauungsraum immer wieder
betrachtet worden. Es handelt sich dabei urn raumliche Korper von einer besonderen Symmetrie, die man manchmal nach PLATO (427-347 v. Chr.) auchplatonische Korper nennt.
TETRAEDER
WURFEL
16
Die EULERsche Polyeder-Formel
1.2.2
OKTAEDER
Da bei der Beschreibung von Ikosaeder und Dodekaeder der goldene Schnitt
eine zentrale Rolle spielt, bietet sich eine Beschreibung der reguHiren Korper und
insbesondere des Dodekaeders hier an. Zur Aufzahlung aller regularen Korper
benotigt man als topologisches Mittel
2. Die EULERsche Polyeder-Formel. Eine abgeschlossene und beschrankte Teilmenge P des 1R3 solI (fur den Augenblick) sternformig mit Bezugspunkt 0 genannt werden, wenn 0 ein innerer Punkt von P ist und wenn mit a
auch ex a, 0 ~ ex ~ 1, zu P gehort. Unter einem Polyeder versteht man dann eine
sternformige Teilmenge des 1R3 , die von endlich vielen ebenen Polygonen gegrenzt wird. Bezeichnet man mit e = e(P), k = k(P) bzw. f = f(P) die Anzahl der
Ecken, der Kanten bzw. der Seitenflachen von P, so gilt die
EULERsche Polyeder-Formel:
X(P):= e(P) - k(P) + f(P) = 2.
1.2.2
17
Die EULERsche Polyeder-Formel
Ein anschaulicher Beweis verHiuft etwa wie folgt: Man projiziert das Polyeder P
vom Punkt so auf eine umfassende KugeloberfUiehe mit Mittelpunkt 0, daB die
Eeken und Kanten als ein Polyeder-Netz N auf der KugeloberfUi.che erseheinen.
Die begrenzenden FHiehen von P werden dann zu - von Kreisb6gen begrenzten - Polygonen auf der Kugel. Die zu X = X(P) analog gebildete Weehselsumme
fUr das Netz N stimmt mit X iiberein.
In jedem Polygon J von N mit n ~ 4 Eeken wahlt man einen inneren Punkt und
zieht von dies em neue Kanten an die Eeken von J. Dadurch andern sich e, k,f
in e + 1, k + n, f + n - 1, und X andert sich nicht. Man darf daher annehmen,
daB alle Polygone von N Dreiecke sind.
Jetzt zieht man das Dreieck-Netz N durch die Kugel zum Mittelpunkt und
zerlegt damit die Kugel in Dreiecks-Pyramiden mit Spitze 0.
Nun werden die Pyramiden nacheinander entfernt und die verbleibende Oberflache der Restkorper betrachtet: Dabei andern sich e, k,f in
°
°
1,
3,
2)
e+ k+ f +
e,
k,
f
e - 1, k - 3, f- 2
,
falls die Pyramide mit dem Restkorper
jdrei
z~ei
eme
Seiten gemeinsam hat. Zum SchluB verbleibt eine Pyramide mit X = 2.
Bei einer Variante des Beweises zieht man nacheinander ein Dreieck des DreieckNetzes N auf einen Punkt zusammen. Dabei andert sich e, k, f in e - 2, k - 6,
f-4.
0
Jedes Polyeder P kann auf einen Punkt zusammengezogen werden. 1st P dagegen nieht auf einen Punkt zusammenziehbar, so gilt i. a. nieht mehr X(P) = 2. An
Beispielen kann man sich iiberlegen, daB fiir ein "Polyeder mit Loch" stets
X(P) = gilt.
In der Topologie der Mannigfaltigkeiten verallgemeinert man diese Fragestellung wie folgt: 1st Meine 2-dimensionale orientierbare und kompakte Flache im
.IR 3 (als Ersatz fiir die Polyeder-Oberflaehe oder die Kugeloberflache) und ist N
ein Netz auf M, dann hangt die analog zu X fiir N gebildete Wechselsumme
XM = XM(N) nieht von N, sondern nur von (dem topologischen Typ der Flache)
M abo Der topologische Typ der Flache wird durch eine "Kugel mit g Henkeln"
beschrieben. In Verallgemeinerung der EULERschen Polyeder-Formel gilt dann
XM = 2 - 2g. Man nennt g das Geschlecht von M. Danach hat ein sternformiges
Polyeder oder eine Kugel das Geschlecht 0, ein "Polyeder mit Loch" oder ein
"Torus" das Geschlecht 1.
°
Historische Bemerkung. Die Polyeder-Formel wird seit langem mit dem Namen
EULER verbunden. Nach TROPFKE ([14], II, Seite 398/9) wurde sie aber Anfang
des 17. Jahrhunderts erstmals von DESCARTES ausgesproehen, dies wurde aber
erst 1860 durch Druck bekannt. EULER hat die Formel1752 selbstandig gefunden und kurz danach bewiesen.
Dodekaeder und Ikosaeder
18
1.2.4
3. Regolare Korper. Ein Polyeder P des R3 heiBt reguliirer K6rper, wenn
i)
P konvex ist, d. h. mit zwei Punkten auch ihre Verbindungsstrecke
zu P gehort,
ii) alle Seitenflachen untereinander kongruente regulare, d. h. regelmaBige
m-Ecke (m > 2) sind, bei denen injeder Ecke n > 2 Kanten zusammentreffen.
Ein solcher regularer Korper soli ein (m, n)-Korper heiBen. Nach mehrfacher
Uberlieferung hatte bereits die altpythagoreische Schule (6. Jahrhundert vor
Chr.) Kenntnis von fUnf regularen Korpern (Figuren in 1).
1st P ein (m, n)-Korper mit e Ecken, k Kanten und f Seitenflachen, dann gilt
(1)
en = 2k =fm.
Denn in e . n wirdjede Kante doppelt und (da injeder Ecke auch n Seitenflachen
zusammentreffen) jede Seitenfliiche m-mal gezahlt.
1
1
Nach der EULERschen Polyeder-Formel 2 folgt e - - en + - en = 2, also
2
m
(2)
4m
2m + 2 n = mn + -,
e
m > 2,
n > 2,
und speziell
(3)
1
1
1
- + - > -,
m n 2
m > 2,
n > 2.
Da in (3) die linke Seite hochstens gleich ~
+ ~ ist, kann (3) nur dann losbar sein,
wenn n ~ 5 und aus Symmetriegriinden auch m ~ 5 gilt.
Die ganzzahligen Losungen von (2) erhiilt man jetzt wegen (1) in der folgenden
Form
(m, n)
(3,3)
(3,4)
(4,3)
(3,5)
(5,3)
e
k
4
6
4
6
12
8
8
12
6
12
30
20
20
30
12
Tetraeder
Oktaeder
Wiirfel
Ikosaeder
Dodekaeder
f
denn fUr (m, n) = (4,4), (5,4), (4,5) oder (5,5) ist (3) verletzt.
Damit sind die 5 angegebenen Beispiele die einzigen reguliiren Korper. Das Dodekaeder wird manchmal auch Pentagondodekaeder (= Fiinfeck-Zwolffiachner)
genannt.
4. Dodekaeder ood Ikosaeder. Geht man von einem in eine Einheitskugel
einbeschriebenen regularen Korper aus, so ist die Liinge seiner Kanten eine
wohlbestimmte Zahl.
19
1.2.4 Dodekaeder und Ikosaeder
Wahrend es bei Tetraeder, Wiirfel und Oktaeder elementar-geometrisch relativ
leicht ist, die Kantenlange zu bestimmen (man erhalt 2
f,
23 und
J3
J2),
kann
man beim Dodekaeder etwa wie folgt vorgehen:
1m R3 bezeichne man das kanonische Skalarprodukt mit (x, y) und definiere
(x, x).
den Betrag eines x E R 3 durch Ix I: =
Drei Vektoren a, b, e E R 3 mit Ia I = Ib I = Ie I = 1 bilden genau dann die Kanten
einer in Null gelegenen Ecke eines Dodekaeders D mit Kantenlange 1 (linke
Figur), wenn je zwei den Winkel 3n/5 einschlieBen, wenn also
J
(a, b) = (b, c)
3n
= (e, a) = m = coss
gilt. Hier ist
(1)
m = cos 35n
= cos (~ +
1~) = -
sin
1~ = - ~ h,
also
1+
2m
= h2 ,
nach 1.3 (5). Den Mittelpunkt der Kugel durch die Ecken von D erhalt man nun
als Schnittpunkt m der Mittelsenkrechten M a, Mb und Me auf den an 0 angrenzenden drei Fiinfecken.
Nach 1.1 (2) verhalt sich in einem regularen Fiinfeck die Lange einer Seite zum
Abstand einer Ecke vom Mittelpunkt wie ~ zu 1. Die Gerade Me geht
daher durch den Punkt Sc = (J • (a + b) auf der Winkelhalbierenden R(a + b),
der durch IScl' ~ = 1 gegeben ist. Wegen (1) wird
la
+ bl 2 = lal 2 + 2 (a, b) + Ibl 2 = 2 + 2m = 3 also
0'
=
1
-3-
- g
=
g,
1
2 2 .
+
m
Die Mittelsenkrechte Me wird daher durch
(2)
2 +12m (a
+ b) + Re',
e' zu a und b orthogonaler Einheitsvektor,
gegeben. Aus Symmetriegriinden hat der Schnittpunkt die Form m =
Q(a + b + c), Q > O. Setzt man m in der Gestalt (2) an und bildet man das
Skalarprodukt mit a, so folgt 1 = 2Q(1 + 2m) = 2Qh 2 • Wegen la + b + el 2
= 3(1
+ 2m) =
3h 2 erhalt man schlieBlich
Iml =
J3 Qh =
f1
und damit den
Satz A. Die Liinge einer Kante eines in eine Einheitskugel einbesehriebenen Dode. 2h
k aeders lst-.
Analog gilt
J3
20
Die Ikosaeder-Gruppe I.2.5
Satz B. Die Liinge einer Kante eines in eine Einheitskugel einbeschriebenen Ikosa(3 - g).
eders ist 2
Jt
Bemerkung. Eine abgewandelte Form des Ikosaeders ist dem Normalbiirger
vertraut: Schneidet man beim Ikosaeder namlich die Ecken ab, so erhalt man
einen "idealisierten" FuBbaIl (rechte Figur). Die Firma, die diesen FuBbaIl
herstellt, war nicht bereit, Fragen nach seiner Herkunft zu beantworten.
5*. Die Ikosaeder-Gruppe. In der Funktionentheorie wird gezeigt, daB
die abgeschlossene komplexe Ebene durch Abbildungen der Form
(1)
az
cz
+b
+d
Zf--+--,
a,b,c,deCC,
ad-bc=l,
bijektiv auf sich selbst abgebildet wird und daB aIle Abbildungen (1) bei Hintereinanderanwendung eine Gruppe E bilden.
Mit Hilfe des goldenen Schnittes g und der 5. Einheitswurzel , solI nun eine
endliche Untergruppe von E konstruiert werden: Nach F. KLEIN [7] betrachte
man die von den Abbildungen
(2)
z f--+ , z
und
-gz + 1
z f--+ - - - z+g
erzeugte Untergruppe r von E. Eine Verifikation zeigt, daB diese Abbildungen
die Ordnung 5 bzw. 2 haben.
In der abgeschlossenen Ebene betrachte man nun die Konfiguration :% (linke
Figur), die aus den fiinf Geraden R, den fiinf Kreisen mit Mittelpunkt _ g
und Radius .j2+g sowie den fiinf Kreisen mit Mittelpunkt h und Radius
fiir v = 0, 1, 2, 3, 4 besteht.
Nach [7] gilt dann der folgende, durch elementare Rechnung zu bestatigende
'v
.J2=h
'v
'v
1.3.1
Numerische Berechnung
21
b
Satz. a) r hat die Ordnung 60.
b) Aile Abbildungen aus r lassen die Konfiguration :it invariant.
In der Konfiguration :it findet man nun den Dodekaeder (und den Ikosaeder)
als stereografische Projektion in der Konfiguration ~ (rechte Figur) wieder:
In der Tat besteht ~ aus 12 Kreisbogenfiinfecken (wenn man das AuBengebiet
nicht vergiBt). Man nennt daher r die Dodekaeder- oder Ikosaeder-Gruppe.
§3
Grenzprozesse fUr den goldenen Schnitt
1. Numerische Berechnung. Wegen h 2
+ h = 1 hat man auch h = ~h.
1+
Diese Darstellung legt nahe, die Folge (an I n E IN) zu betrachten, die rekursiv
durch
1
(1)
ao = 1,
an+1 = 1 + an'
gegeben ist. Wenn diese Folge konvergiert, so ist ihr Grenzwert offenbar
gleich h. Schreibt man
an = Pn
-,
qn
Po = qo = 1 ,
mit teilerfremden natiirlichen Zahlen Pn' qn' so folgt Pn+ 1
qn aus (1). Da
Pn + qn
qn und Pn + qn teilerfremd sind, falls Pn und qn teilerfremd waren, folgt
qn+l
(2)
Pn+l = qn'
qn+l = Pn
+ qn'
n~
o.
Speziell erhalt man die Rekursionsformeln
(3)
(3')
qn+2 = qn+l
Pn+2 = Pn+l
+ qn'
+ Pn'
qo = 1,
Po = 1,
= 2,
Pl = 1,
ql
n ~o,
n
~o,
=