Analyse von Bewegungs- und Stellvorgängen

3. Analyse von Bewegungs- und Stellvorgängen
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3 Analyse von Bewegungs- und Stellvorgängen
Bewegungsvorgänge treten z. B. bei folgenden Arbeitsmaschinen auf:
• Dreh-, Fräs-, Bohrmaschinen, Stanzen, Scheren, Sägen
• Krane, Aufzüge, Stetigförderer, Fahrzeuge
• Ventilatoren, Pumpen, Kompressoren
• Walzanlagen, Kalander, Pressen, Biege- und Richtmaschinen
Stellvorgänge sind kennzeichnend für folgende Arbeitsmaschinen
• Ventile, Schieber
• Vorschub-, Positioniereinrichtungen, Industrieroboter
• Taktstraßen, Gestänge
Zur Einleitung und Aufrechterhaltung ist mechanische Energie erforderlich. Diese wird heute im wesentlichen über pneumatische, hydraulische oder elektrische Antriebe erzeugt. Für Bewegungsvorgänge werden fast ausschließlich elektrische Antriebe eingesetzt.
Bei den Stellvorgängen hat neben den elektrischen Antrieben insbesondere in automatisierten Fertigungsstraßen die Pneumatik große Bedeutung.
Hydraulik hat wesentliche Vorteile, wenn sehr große Kräfte benötigt werden (z. B. Baumaschinen)
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3. Analyse von Bewegungs- und Stellvorgängen
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Inhalt:
Analyse von Bewegungs- und Stellvorgängen ..................................................................................... 1
3
3.1 Größen des Bewegungsablaufs [2].............................................................................................. 3
3.1.1 Weg und Geschwindigkeit ................................................................................................ 3
3.1.2 Beschleunigung und Verzögerung.................................................................................... 4
3.1.3 Ruck .................................................................................................................................. 5
3.1.4 Übung "Bewegungs-Zeit Analyse" .................................................................................... 6
3.2 Mechanische Kraftübertragungsglieder [10, 11] .......................................................................... 8
3.2.1 Rotations-Rotations-Umformer (Getriebe) ........................................................................ 8
3.2.2 Rotations-Translations-Umformer................................................................................... 17
3.2.3 Kupplungen..................................................................................................................... 19
3.2.4 Bremsen.......................................................................................................................... 26
3.3 Kräfte und Drehmomente [2]...................................................................................................... 29
3.3.1 Widerstandskraft bzw. Widerstandsmoment................................................................... 29
3.3.2 Charakteristiken von Arbeitsmaschinen.......................................................................... 32
3.3.3 Beschleunigungskraft bzw. Beschleunigungsmoment.................................................... 33
3.3.4 Trägheitsmoment ............................................................................................................ 35
3.3.5 Bewegungsgleichung...................................................................................................... 39
3.3.6 Übung "Beschleunigungsmoment" ................................................................................. 43
3.4 Mechanische Antriebsleistung und Energie [2].......................................................................... 44
3.4.1 Widerstands- und Beschleunigungsleistung ................................................................... 44
3.4.2 Ein- und Mehrquadrantenantriebe .................................................................................. 45
3.4.3 Leistungsbedarf von Arbeitsmaschinen .......................................................................... 46
3.4.4 Kinetische Energie .......................................................................................................... 48
3.4.5 Elastizität und Getriebespiel ........................................................................................... 50
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3.1
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Größen des Bewegungsablaufs [2]
3.1.1 Weg und Geschwindigkeit
Die Geschwindigkeit ist als zeitliche Änderung des Weges definiert:
ds
v=
,
dt
s = ∫ v dt ,
(3.1)
(3.2)
t
v : Geschwindigkeit in m/s, s : Weg in m.
Für Kreisbahnbewegungen gilt:
dα
,
dt
α = ∫ω dt ,
ω=
(3.3)
(3.4)
t
ω : Winkelgeschwindigkeit in rad s , α : Drehwinkel in rad.
Drehzahl:
n=
ω
2π
in 1 s .
Die Umlaufgeschwindigkeit eines Bahnpunktes auf dem Durchmesser D beträgt
D
v= ω
2
in m s .
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(3.5)
(3.6)
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Eine gleichförmige Bewegung liegt vor, wenn dv d t = 0 . Damit:
ds
v=
= konst ,
dt
s = vt + s0 ,
bzw.
dα
= konst ,
ω=
dt
α = ω t + α0 ,
s0 , α 0 : Anfangswerte.
3.1.2 Beschleunigung und Verzögerung
Die Beschleunigung ist als zeitliche Änderung der Geschwindigkeit definiert:
d v d2 s
a=
=
,
dt dt 2
v = ∫ a dt ,
Seite 4
(3.7)
(3.8)
(3.9)
(3.10)
(3.11)
(3.12)
t
2
a > 0 : Beschleunigung in m s , a < 0 : Verzögerung.
Für Kreisbahnbewegungen gilt:
dω d2 α
= 2 ,
ε=
dt
dt
ω = ∫ ε dt ,
(3.13)
(3.14)
t
2
ε > 0 : Winkelbeschleunigung in rad s , ε < 0 : Winkelverzögerung.
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Für Bewegungen mit konstanter Beschleunigung (a = konst. bzw. ε = konst. ) gilt:
v = at + v 0 ,
a
s = t 2 + v 0t + s0 ,
2
bzw.
ω = ε t + ω0 ,
Seite 5
(3.15)
(3.16)
(3.17)
Die Beschleunigung ist für die Beanspruchung mechanischer Übertragungsglieder und für die Festlegung
der Leistung im dynamischen Betrieb von Bedeutung.
3.1.3 Ruck
Der Ruck ist als zeitliche Änderung der Beschleunigung definiert:
d a d2 v d3 s
r=
=
=
,
dt dt 2 dt 3
(3.18)
d ε d2 ω d3 α
= 2 = 3 ,
ρ=
dt
dt
dt
(3.19)
r : Ruck in m s 3 .
Für Kreisbahnbewegungen gilt:
3
ρ : Winkelruck in rad s .
Der Ruck ist für die maximale Belastung der mechanischen Übertragungsglieder verantwortlich. Bei Personenbeförderung wird ein Ruck von r > 2,5 m s 3 als unangenehm empfunden.
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Zusammenfassung:
Translationsbewegung
Rotationsbewegung
r
a
ρ
ε
α = ∆t 3 + 0 ∆t 2 + ω0 ∆t + α 0
s = ∆t 3 + 0 ∆t 2 + v 0 ∆t + s0
6
2
6
2
r
ρ
ω = ∆t 2 + ε 0 ∆t + ω0
v = ∆t 2 + a0 ∆t + v 0
2
2
a = r ∆t + a0
ε = ρ ∆t + α 0
Tabelle 3.1: Allgemeine Gleichungen für die Berechnung der Größen in einem Zeitabschnitt ∆t mit den
Anfangswerten s0 . v 0 , a0 bzw. α 0 , ω 0 , ε 0
In der Tabelle 3.1 sind einzusetzen für
• gleichförmige Bewegung: v = konst., a = 0, r = 0 bzw. ω = konst., ε = 0, ρ = 0 ,
• gleichmäßig beschleunigte Bewegung: a = konst., r = 0 bzw. ε = konst., ρ = 0 ,
• ruckförmige Bewegung: r = konst. bzw. ρ = konst.
3.1.4 Übung "Bewegungs-Zeit Analyse"
In einem Industriebau mit einer Höhe von 8m soll ein Aufzug installiert werden. Der maximale Ruck ist auf
rmax = ±15
, m s 3 begrenzt. Die Beschleunigung soll amax = ±1m s 2 , die Geschwindigkeit v max = ±2 m s nicht
überschreiten. Der Antrieb ist so auszulegen, dass die gesamte Fahrzeit minimal ist.
Berechnen Sie das Bewegungsprofil und stellen Sie es grafisch dar.
Wie groß ist unter den gegebenen Randbedingungen die minimale Fahrzeit?
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Tabelle 3.2: Orientierungswerte für translatorische Bewegungsgrößen
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3.2
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Mechanische Kraftübertragungsglieder [10, 11]
Mechanische Kraftübertragungsglieder sind Drehmomentwandler, die bei möglichst konstanter Leistung
ein Antriebsmoment bei einer Antriebsdrehzahl in ein Abtriebsmoment mit der zugehörigen Abtriebsdrehzahl wandelt.
Kupplungen übertragen im Allgemeinen ein konstantes Moment mit konstanter Drehzahl (abgesehen vom
Schlupf).
3.2.1 Rotations-Rotations-Umformer (Getriebe)
Unter Rotations-Rotations-Umformer versteht man einen Drehmomentwandler, der auf der Antriebs- und
der Abtriebsseite eine rotatorische Bewegung ausführt, mithin also das klassische Getriebe. An der Antriebsseite (Index 1, Motorseite) wird die mechanische Leistung eingespeist, an der Abtriebsseite (Index 2)
wird die Leistung abgenommen. Das Verhältnis zwischen Antriebs- und Abtriebsdrehzahl
n
n
ω
i = Antrieb = 1 = 1
(3.20)
nAbtrieb n2 ω 2
wird Übersetzungsverhältnis i genannt.
Bei mehrstufigen Getrieben (Bild 3.7) sind die Übersetzungsverhältnisse und die Wirkungsgrade der Einzelstufen miteinander zu multiplizieren ( n : Stufenzahl):
n
i ges. = ∏ ik ,
k =1
n
ηges. = ∏ηk .
(3.21)
k =1
Zahnradgetriebe bauen sehr viel kompakter als Zugmittelgetriebe und kommen in allen Bereichen der Antriebstechnik zum Einsatz. Wesentliches Merkmal ist das Ineinandergreifen von Zahnrädern unterschiedlicher Zähnezahl (Bild 3.1), wodurch Zahnradgetriebe grundsätzlich nicht schlupfen.
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Tabelle 3.3: Kenndaten
üblicher Zugmittelgetriebe
Bild 3.1: Prinzipaufbau eines einstufigen, geradeverzahnten Stirnradgetriebes (Spur Gear)
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Stirnradgetriebe (Spur, Helical Gear, Bild 3.1, Bild 3.2) sind die gebräuchlichsten Getriebe, pro Stufe werden Übersetzungen von i = 4… 8 und sehr guter Wirkungsgrade von 80% (sehr kleine Getriebe) bis ca.
98% erreicht. Sie sind geradeverzahnt (relativ laut) und in schräger Evolventenverzahnung verfügbar. Die
Wellen treiben parallel aus. Ein gutes Preis-Leistungsverhältnis steht ein höherer Bauraum im Vergleich zu
Planetengetrieben gegenüber.
Bild 3.2: Schrägverzahnte Stirnradstufe (Helical Gear, links), doppelt schrägverzahnte Stirnradstufe
(rechts)
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Bild 3.3: Planetengetriebe mit unterschiedlichen Anordnungen vom äußeren Rad (Annulus), Planetenrad (Planet) und Sonnenrad (Sun).
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Planetengetriebe (Planetary Gears, Bild 3.3) können hohe Drehmomente bei vergleichsweise kleinem
Bauraum übertragen, sie sind meist mit drei umlaufenden Planetenrädern ausgestattet. An- und Abtriebswelle sind zentrisch fluchtend. Wegen des komplizierten Aufbaus relativ teuer, Übersetzungen und Wirkungsgrade wie bei Stirnradgetrieben.
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Schneckengetriebe (Worm Gears, Bild 3.4, Bild 3.7) besitzen pro Stufe eine Übersetzung von bis zu
i = 100 , und werden wegen des relativ schlechten Wirkungsgrades meist in einfachen, preiswerten Antrieben eingesetzt (Fensterheber im Auto). Ihre Wellen treiben im 90° Winkel aus. Schneckengetriebe sind bei
höherer Übersetzung selbsthemmend (Rückläufige Drehmomente der Arbeitsmaschine werden blockiert).
Sie zeichnen sich durch ein geringes Geräusch und gute Laststoßdämpfung aus.
Bild 3.4: Anordnung einer Schneckenstufe mit Schnecke und Schneckenrad.
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Kegelradgetriebe (Bevel Gears, Bild 3.5) werden meist bei höheren Leistungen eingesetzt, da sie wegen
der sehr aufwendigen Justage teuer sind. Sie bestehen aus einem kleinerem Kegelrad, welches in ein Tellerrad mit großem Durchmesser eingreift. Unterschieden werden Kegelradgetriebe nach der Form der Verzahnung. An- und Abtriebswelle treiben im 90° Winkel aus, Übersetzung und Wirkungsgrad wie bei einer
Stirnradstufe.
Bild 3.5: Gerade (links), spiralförmig (mittig) und hypoid (rechts) verzahnte Kegelradstufe.
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Bild 3.6: Prinzipaufbau eines Harmonic-Drive-Getriebes.
Harmonic-Drive-Getriebe (Bild 3.6) sind hochübersetzende ( i ≤ 320 pro Stufe) Getriebe in sehr kompakter
Bauweise. Der Gesamtwirkungsgrad liegt bei 80% ... 90%. Das Getriebe ist nahezu spielfrei, benötigt allerdings ein flexibles inneres Rad (Flexspline) und ist deshalb sehr teuer. Einsatz ausschließlich in der
"High-End"-Servotechnik.
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Bild 3.7: Getriebe der Firma Danfoss-Bauer, Esslingen: links: Stirn-Kegel-Stirnrad, rechts: StirnradSchnecke
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Tabelle 3.4: Typische Daten von Kleingetrieben in der Feinwerktechnik.
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3.2.2 Rotations-Translations-Umformer
Wenn lineare (translatorische) Bewegungen mit Hilfe von rotierenden Aktoren (z. B. Elektromotor) erzeugt
werden sollen, sind entsprechende Rotations-Translations-Umformer notwendig.
Dies kann im einfachen Fall die Seilscheibe einer Förderanlage (Treibscheibe eines Fahrstuhls Bild 3.8)
oder das Rad einer Elektrolok auf der Schiene sein.
Bild 3.8: Prinzip eines Aufzugantriebs mit
rotierendem Elektromotor, RotationsRotations-Umformer (Winde) RotationsTranslations-Umformer (Treibscheibe)
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3. Analyse von Bewegungs- und Stellvorgängen
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In der Automatisierungstechnik kommen wegen der kürzeren Wege entweder Zahnstangen (Bild 3.9) oder
Schraubengetriebe in Gleit- und Wälzausführung (Bild 3.10) zum Einsatz. Der Wirkungsgrad der
Zahnstange und der Wälzschraubengetriebe (Kugelgewindetrieb) liegt bei 90% ... 95%. Das Gleitschraubengetriebe erreicht wegen der hohen Reibung jedoch nur maximal 45%.
Bild 3.9: Prinzip einer Zahnstange
Bild 3.10: Aufbau eines Wälzschraubengetriebes /
Kugelgewindetriebes
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3.2.3 Kupplungen
Seite 19
Kupplungen dienen dem Verbinden von Wellen zur Übertragung von Drehbewegungen und Drehmomenten, sind also im Allgemeinen zwischen Motoren und Getrieben, sowie zwischen Getrieben und Antriebsmaschinen erforderlich.
Kupplungen werden unterschieden hinsichtlich
• der Zeitdauer der Verbindung, ständig (Dauerkupplungen) oder zeitweilig (Schaltkupplungen)
• der Lage der verbindenden Wellen zueinander, exakt und konstant (feste Kupplungen) oder mit axialem oder radialem Lage-, bzw. Winkelausgleich (Ausgleichskupplungen),
• der Art der Drehmomentübertragung, Kraft und Formpaarung,
• der Art der Betätigung, fremdbetätigt (schaltbare Kupplungen oder selbsttätig (selbstschaltende
Kupplung)
In Bild 3.11, Bild 3.12 und Bild 3.13 sind typische Ausführungen von festen Kupplungen dargestellt.
Bild 3.11: Feste Kupplungen: Hülsenkupplungen, a) Hülse mit Schrauben; b) Hülse aufgepresst; c) geschlitzte Hülse mit Klemmringen; d) elastische Hülse; e) geschlitzte Hülse mit federnden Lappen; f) unterschiedlich dicke Wellenenden; g) und h) unmittelbare Wellenverbindung.
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Bild 3.12: Feste Kupplungen: Schalenkupplungen; a) Prinzip; b) für höhere Anforderungen; c) und d) stark
vereinfachte Ausführungen.
Bild 3.13: Feste Kupplungen: Scheibenkupplungen für kleine Drehmomente; a) mit Zentrierung; ohne Zentrierung; c) ohne Schraubenverbindungen.
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Ausgleichskupplungen können in sehr einfachen Anwendungen z. B. Gummi- oder Kunststoffschläuche,
bzw. eine Spiralfedern sein. Je nach Ausführung gleichen sie Axialspiel (Bild 3.14, Bild 3.15, Bild 3.16),
Radialspiel (Bild 3.17, Bild 3.18) oder Winkelspiel (Bild 3.19, Bild 3.20, Bild 3.21) der zu verbindenden Wellen aus.
Bild 3.14: Ausgleichskupplungen: Hülsenkupplungen mit axialem Ausgleich und mittelbarer Wellenverbindung; a) Formschluss durch Querstifte und Hülse; b) Welle direkt als Hülse; c) Scheibe in geschlitzten
Wellenenden.
Bild 3.15: Ausgleichskupplungen: Hülsenkupplungen mit axialem Ausgleich und unmittelbarer Wellenverbindung; a) mit Hülse zu axialen Führung; b) Welle direkt als Hülse; c) ohne axiale Führung.
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Bild 3.16: Ausgleichskupplungen: Scheibenkupplungen mit axialem Ausgleich; a) mit einem Mitnehmerbolzen; b) mit mehreren Mitnehmerbolzen; c) gefederter Mitnehmerbolzen.
Bild 3.17: Ausgleichskupplungen: Mitnehmerkupplungen; a) spielbehaftet; b) spielfrei.
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Bild 3.18: Ausgleichskupplungen: Kreuzschlitz- bzw. Kreuzscheibenkupplungen; a) mit Führungsleisten
(Kreuzscheibe); b) Mit Klauen (Kreuzschlitz); 1,2: Endscheiben; 3: Zwischenscheibe; 4,5: Gleitscheibe.
Winkelbewegliche Kupplungen dienen zur Bewegungsübertragung zwischen Wellen, die um den Winkel α
zueinander geneigt sind. Die Bewegungsübertragung kann durch elastische Glieder (Bild 3.19, Bild 3.20)
oder durch Gelenke (Bild 3.21) erfolgen.
Bild 3.19: Winkelbewegliche Kupplung:
Faltenbalgkupplung.
Bild 3.20: Winkelbewegliche Kupplung: Federgelenkkupplung; 1: Federring.
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Bild 3.21: Winkelbewegliche Kupplungen: Kreuzgelenkkupplungen; a) mit zylindrischem Mittelteil 1; b) mit
Koppelring 2.
Schaltbare Kupplung sind dann erforderlich, wenn aus funktionellen Gründen, unabhängig vom momentanen Betriebsverhalten, ein Schließen oder Öffnen der Wellenverbindung ermöglicht werden muss. Das Betätigen der Kupplung erfolgt dabei im Allgemeinen durch ein von außen gesteuertes Verschieben einer
Kupplungshälfte. Ihr Aufbau kann prinzipiell aus allen bisher dargestellten Dauerkupplungen abgeleitet
werden.
Bild 3.22: Selbstschaltende Kupplungen:
Drehmomentanhängige
Kupplungen; a) Einscheibenreibkupplung; b) Kugelrastkupplung.
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Bei selbstschaltenden Kupplungen erfolgt das Auslösen des Schaltvorgangs in Abhängigkeit von den momentanen Betriebsverhältnissen wie Drehmoment (Bild 3.22), Drehzahl (Bild 3.23), Drehrichtung (Bild
3.24, Bild 3.25) oder Drehwinkel.
Bild 3.24: Selbstschaltende Kupplungen: DrehrichBild 3.23: Selbstschaltende Kupplungen: Drehzahl- tungsabhängige Kupplungen; Schlingfederkupplung; 1: Antrieb; 2: Abtrieb; 3: Feder.
abhängige Kupplungen; Fliehkraftkupplung.
Bild 3.25: Selbstschaltende Kupplungen: Drehrichtungsabhängige Kupplungen; a) Formrichtgesperre, b)
Reibrichtgesperre; 1: Antrieb; 2: Abtrieb.
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3.2.4 Bremsen
Bremsen werden grundsätzlich nach zwei Ausführungen unterschieden:
• die Haltebremse, welche ausschließlich im Stillstand geschaltet wird und nur zum Halten einer Position eingesetzt werden kann. Sie ist im Wesentlichen verschleißfrei.
• Die Stoppbremse, welche zum aktiven Verzögern eingesetzt werden kann. Sie ist verschleißbehaftet.
Eine typische Anordnung bei Elektromotoren ist die in Bild 3.26 dargestellte Federdruckbremse, die außen
an das Motorlagerschild, im Lüftergehäuse angebracht ist.
Bild 3.26: EinscheibenFederdruckbremse (Anbau)
mit Handlüftung (DanfossBauer, Esslingen).
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Tabelle 3.5: Ausführungsformen der Konstruktionselemente "Reibfläche, Bremskraft, Lüftkraft von Reibbremsen (Danfoss-Bauer,
Esslingen).
3. Analyse von Bewegungs- und Stellvorgängen
Seite 28
Große Verbreitung haben Scheibenbremsen, die mit einer Druckfeder gebremst und mit einem Gleichstrommagneten gelüftet werden (Bild 3.26). Die Bremswirkung ist also auch im Fall eines Stromausfalls
gewährleistet, womit sie als Sicherheitsbremse im Sinne der Unfallverhütungsvorschriften anerkannt wird.
Die Bremse kann im Wechselstromkreis (Bild 3.27) oder im Gleichstromkreis (Bild 3.28) geschaltet werden. Die Gleichstromschaltung ist aufwendiger, ermöglicht aber sehr viel kürzere Schaltzeiten bis zum
Einsetzen der Bremswirkung ( ≈ Faktor 2!).
Wechselstrommagnete werden ungern eingesetzt, da sie im eingeschalteten Zustand zum Brummen neigen (100Hz).
Bild 3.27: Beschaltung einer mit Gleichstrommagne- Bild 3.28: Beschaltung einer mit Gleichstrommagneten ausgestatteten Federdruckbremse (Spule zw. + ten ausgestatteten Federdruckbremse (Spule zw. +
und -), Schalten im Gleichstromkreis.
und -), Schalten im Wechselstromkreis.
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3. Analyse von Bewegungs- und Stellvorgängen
3.3
Seite 29
Kräfte und Drehmomente [2]
3.3.1 Widerstandskraft bzw. Widerstandsmoment
Bei einer gleichförmigen Bewegung ( a = 0, ε = 0 ) muss die antreibende Kraft F bzw. das antreibende
Drehmoment M gleich der Widerstandskraft (Lastmoment) FW bzw. M W sein (Bild 3.29).
Bild 3.29: Zählpfeile für Kraft
und Drehmoment, gleichförmige Bewegung.
Das Lastmoment der Arbeitsmaschine wird positiv gezählt, wenn es dem Moment des Antriebsmotors entgegenwirkt (Verbraucherzählpfeilsystem).
Für die Umrechnung des Widerstandsmoments der Arbeitsmaschine auf die Motorwelle muss die Energieflussrichtung beachtet werden, wenn mechanische Kraftübertragungsglieder (rotatorisch - rotatorisch,
translatorisch - rotatorisch, etc.) Verwendung finden.
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3. Analyse von Bewegungs- und Stellvorgängen
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Ist PW die Leistung auf der Motorseite des
Getriebes und PWA die Leistung auf der Seite
der Arbeitsmaschine (Bild 3.30) und PV die
Getriebeverlustleistung, so ergibt sich für den
Energiefluss
Motor ⇒ Arbeitsmaschine:
PW = PWA + PV , bzw. PW =
PWA
,
ηG
Arbeitsmaschine ⇒ Motor
PW = PWA − PV , bzw. PW = PWAηG .
(3.22)
(3.23)
Bild 3.30: Zählpfeile und Drehmomente für ein Zahnradge- (ηG in beiden Energieflussrichtungen nähetriebe (ohne Schlupf) im Motorbetrieb
rungsweise gleich!)
Ist das Getriebe schlupfbehaftet, so ist auch bei der An- ( ω W ) und Abtriebsdrehzahl ( ω WA ) die Energieflussrichtung zu berücksichtigen:
Energieflussrichtung Motor ⇒ Arbeitsmaschine
ω W = ω WA
i
,
(1 − s )
Energieflussrichtung Arbeitsmaschine ⇒ Motor
ω W = ω WA i (1 − s ) .
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(3.24)
(3.25)
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3. Analyse von Bewegungs- und Stellvorgängen
Seite 31
Setzt man mit der bekannten Gleichung P = Mω die Winkelgeschwindigkeiten in (3.22), bzw. (3.23) ein, so
lassen sich letztendlich für die Drehmomente an An- ( M W ) und Abtriebsseite ( M WA ) folgende Gleichungen
angeben:
Energiefluss Motor ⇒ Arbeitsmaschine:
M W = M WA
1 1− s
ω WA 1
⋅
= M WA ⋅
,
i ηG
ω W ηG
(3.26)
ω WA
1 η
ηG = M WA ⋅ G .
ωW
i 1− s
(3.27)
Energiefluss Arbeitsmaschine ⇒ Motor:
M W = M WA
Ebenfalls über die Leistungsbilanz können auch die Drehmoment/Kraftverhältnisse an Rotations-Translations-Umformer angegeben werden:
Energiefluss rotatorisch ⇒ translatorisch:
v 1
D 1− s
M W = FW ⋅
= FW S ⋅
,
2 ηS
ω ηS
(3.28)
Energiefluss translatorisch ⇒ rotatorisch:
v
DS ηS
,
=
=
⋅
M
F
F
η
W
W
S
W
Bild 3.31: Berechnungsgrößen für Rota2 1− s
ω
tions-Translations-Umformer
(3.29)
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3. Analyse von Bewegungs- und Stellvorgängen
3.3.2 Charakteristiken von Arbeitsmaschinen
Seite 32
Natürliche Kennlinien sind der
Arbeitsmaschine immanent,
d. h. eine Drehzahl- oder
Drehmomentänderung an der
Arbeitsmaschine kann nur auf
der zugehörigen Kennlinie erfolgen. Die antreibende Maschine gibt im stationären Zustand exakt das Moment ab,
was die Arbeitsmaschine entsprechend ihrer Kennlinie benötigt!
Bild 3.32: Natürliche Kennlinien von Arbeitsmaschinen
• Bild 3.32a: Reib- und Hubmomente (M W = konst.):
1: Ventile, 2: spanabhebende Werkzeugmaschinen, 3:Fahrzeuge mit niedrigen Geschwindigkeiten, 4:
Kolbengebläse, 5: Hub- und Umlaufkolbenpumpen, 6: Aufzüge und Hebezeuge
• Bild 3.32b: Gas und Flüssigkeitsreibung ( M W ~ω W2 ):
7: Kreiselpumpen (belastet), 8: Kreiselpumpen (entlastet), 9: Lüfter
• Bild 3.32c: überlagerte Einflüsse
10: Extruder, 11: Kalander (Viskosereibung M W ~ω W ), 12 Schiffspropeller, 13: Mühlen, 14: Papiermaschinen
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3. Analyse von Bewegungs- und Stellvorgängen
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3.3.3 Beschleunigungskraft bzw. Beschleunigungsmoment
Bei ungleichförmigen Bewegungen (a ≠ 0, bzw. ε ≠ 0 ) gelten für die Augenblickswerte von Kraft f bzw.
Drehmoment m allgemein die Beziehungen
fb = m
d v v dm
+
,
dt 2 dt
(3.30)
mb = J
dω ω d J
+
.
dt 2 dt
(3.31)
mit m : translatorisch bewegte Masse in kg und J : Trägheitsmoment in kgm 2 . In m und J sind alle bewegten Massen bzw. Trägheitsmomente von Motor, Arbeitsmaschine und den Übertragungsgliedern einzubeziehen.
In vielen Fällen ist die zeitliche Änderung der bewegten Massen oder Trägheitsmomente null bzw. sehr gering:
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fb = ma = m
dv
,
dt
(3.32)
mb = Jε = J
dω
.
dt
(3.33)
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3. Analyse von Bewegungs- und Stellvorgängen
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Eine translatorisch bewegte Masse m kann auf die Motorwelle als Trägheitsmoment umgerechnet werden
(Bild 3.31):
2
v 
JW = m   .
(3.34)
ω
 
Das Trägheitsmoment einer rotierenden Arbeitsmaschine J WA überträgt sich bei einem zwischengeschalteten Getriebe mit
ω 
J W = J WA  WA 
 ωW 
auf die Motorseite.
2
(3.35)
Für das an der Motorwelle auftretende Beschleunigungs- oder Verzögerungsmoment ist wiederum die Energieflussrichtung maßgebend:
Energiefluss Motor ⇒ Arbeitsmaschine:
2
2
1  ω WA  d ω
1  1 − s  dω
,
mb = J WA
J
=
WA


ηG  ω W  d t
ηG  i  d t
(3.36)
Energiefluss Arbeitsmaschine ⇒ Motor:
2
2
 ω  dω
 1  dω
= J WAηG 
mb = J WAηG  WA 
 dt .
d
t
i
(1
s
)
ω
−


 W 
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(3.37)
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3. Analyse von Bewegungs- und Stellvorgängen
Energiefluss rotatorisch ⇒ translatorisch:
Seite 35
2
2
m  v  dω m  DS (1 − s )  d ω
mb =  
= 
,

2
d
t
ηS  ω  d t ηS 

(3.38)
Energiefluss translatorisch ⇒ rotatorisch:
2
2
 DS  dω
 v  dω
mb = m ηS  
=m ηS 
.

 ω  dt
 2(1 − s )  d t
(3.39)
Die Winkelgeschwindigkeit ω und das Beschleunigungsmoment mb sind auf die Motorwelle bezogen.
3.3.4 Trägheitsmoment
Für das Trägheitsmoment einer drehenden Masse m mit den Masseteilchen dm , die sich auf dem Radius
r drehen, gilt allgemein
J = ∫ r 2 dm .
(3.40)
m
Da die Masse eines Drehkörpers proportional r 2 ist, ergibt sich für das Trägheitsmoment eine Proportionalität von r 4 !
In Tabelle 3.6 sind für einige homogene Körper (Schwungräder) Trägheitsmomente angegeben.
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Tabelle 3.6: Trägheitsmomente einiger homogener Körper
3. Analyse von Bewegungs- und Stellvorgängen
Seite 37
Trägheitsmomente komplizierter Körper berechnet man heute meist direkt mit moderner CAD-Software,
mit denen diese ohnehin gezeichnet werden!
Messtechnisch wird bei großen Antrieben das Trägheitsmoment aus dem Auslaufversuch ermittelt (Bild
3.33). Bei bekanntem Reibungs- oder Widerstandsmoment M W ergibt sich das Trägheitsmoment aus
J = MW
∆t
.
∆ω
(3.41)
Bild 3.33: Auslaufkurve eines Antriebs zur Messung des
Trägheitsmoments
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3. Analyse von Bewegungs- und Stellvorgängen
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Bei Kleinantrieben wird der Rotor an einem Draht aufgehängt und
durch Verdrehung zum Pendeln angeregt (Bild 3.34).
Die gemessene Frequenz f wird mit der Pendelfrequenz f0 eines
bekannten Trägheitsmoments J0 verglichen (an identischem Draht
aufhängen!).
Das gesuchte Trägheitsmoment ergibt sich zu
2
f 
J = J0  0  .
f 
(3.42)
Bild 3.34: Torsionspendel zur Bestimmung des Trägheitsmoments
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3. Analyse von Bewegungs- und Stellvorgängen
3.3.5 Bewegungsgleichung
Seite 39
Die Momentenbilanz eines Antriebssystems nach Bild 3.35 ist die fundamentale Beziehung zur Bestimmung des Bewegungsablaufs. Sie wird auch Bewegungsgleichung genannt und muss für beliebige Zeitpunkte erfüllt sein. Sie lautet (Zählpfeile nach Bild 3.35):
m − mW − mb = 0
bzw.
m − mW − J
dω
=0
dt
(3.43)
(3.44)
wenn alle wirksamen Trägheitsmomente in J zusammengefasst und alle Größen auf die Winkelgeschwindigkeit ω des Antriebsmotors bezogen sind (Bild 3.35).
Bild 3.35: Antriebssystem
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3. Analyse von Bewegungs- und Stellvorgängen
Seite 40
Für den Anlauf eines Antriebssystems muss gelten, dass das Antriebsdrehmoment m des Motors größer
ist als das Widerstandsmoment mW der Arbeitsmaschine.
Aus der Bewegungsgleichung (3.44) folgt unmittelbar für die Anlaufzeit
ω =ω W
tA =
∫
ω =0
J
dω .
m − mW
(3.45)
Gleichung (3.45) gilt allgemein auch für dynamische Hochläufe.
Erfolgt die Änderung der Drehzahl langsamer als die elektrischen und mechanischen Zeitkonstanten des
Antriebssystems, so läuft die Maschine näherungsweise an seiner stationären DrehmomentDrehzahlkennlinie hoch ("quasistationärer Hochlauf"). Die Anlaufzeit bzw. die Hochlaufkurve ω (t ) kann in
diesem Fall analytisch oder grafisch ermittelt werden (Bild 3.36).
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3. Analyse von Bewegungs- und Stellvorgängen
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Bild 3.36: Grafische Ermittlung eines quasistationären Hochlaufs (Asynchronmaschine, siehe später)
In den einzelnen Drehzahlintervallen ∆nν = ∆n = 58,6U/min=0,977/s berechnet sich mit Gleichung (3.45)
die hierfür benötigte Anlaufzeit ∆tν im Zeitintervall ν zu
∆ων
2π ∆n
∆tν = J
=J
.
M bν
M bν
Die gesamte Anlaufzeit ergibt sich dann aus der Summe aller Teilintervalle (Bild 3.36) zu ca. 2,75s.
Die Anlaufzeit und das Beschleunigungsverhalten orientieren sich ausschließlich an dem zur Verfügung
stehenden Beschleunigungsmoment und an der natürlichen Kennlinie der Arbeitsmaschine. Sind für den
Prozess bestimmte Anlaufcharakteristiken notwendig, so ist im Allgemeinen eine aktive Regelung des Antriebs notwendig.
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3. Analyse von Bewegungs- und Stellvorgängen
Das Antriebssystem wird solange beschleunigt, bis ein stabiler Arbeitspunkt erreicht ist.
Seite 42
Bild 3.37: Statische Stabilität,M : Motorkennlinie, M W : Lastkennlinie
Für einen stabilen Arbeitspunkt muss gelten (Bild 3.37):
Mb = M − M W = 0
(3.46)
d M d MW
<
.
dω
dω
(3.47)
und
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3. Analyse von Bewegungs- und Stellvorgängen
3.3.6 Übung "Beschleunigungsmoment"
Seite 43
Zuckerzentrifuge
400
Für eine 500kg Zuckerzentrifuge ist der
Bewegungsablauf mit ω (t ) und J (t ) gegeben, das Widerstandsmoment ist gegenüber den Auftretenden Beschleunigungsmomenten zu vernachlässigen.
160
350
140
300
120
250
100
200
80
150
60
Winkelgeschwindigkeit
100
40
50
20
0
0
0
50
100
150
200
250
300
Winkelgeschwindigkeit in 1/s
Trägheitsmoment in kgm**2
Trägheitsmoment
Berechnen Sie den Verlauf des Beschleunigungsmoments mb und tragen
Sie es in das Diagramm ein.
350
Zeit in s
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3. Analyse von Bewegungs- und Stellvorgängen
3.4
Seite 44
Mechanische Antriebsleistung und Energie [2]
3.4.1 Widerstands- und Beschleunigungsleistung
Von der Arbeitsmaschine wird für die Widerstandskraft bzw. das Widerstandsmoment die Leistung
pW = fW v , bzw. pW = mWω
(3.48)
aufgenommen.
Bei gleichförmiger Bewegung (stationärer Betrieb) beträgt die mechanische Leistung (siehe auch Abschnitt 2.2)
PW = 2π nM W = ω W M W .
(3.49)
Eine Beschleunigungs- bzw. Verzögerungsleistung tritt bei Speicherung bzw. Rückgewinnung kinetischer
Energie auf. Werden alle im System vorhandenen Massen und Trägheitsmomente auf die Motorwelle umgerechnet, so gibt die Antriebsmaschine beim mechanischen Übergangsvorgang folgende Beschleunigungsleistung ab:
dv
dω
,
(3.50)
pb = fbv = m v
, bzw. pb = mbω = Jω
dt
dt
bzw. nimmt diese Leistung beim Bremsen auf.
Während des Zeitintervalls t 2 − t 1 wird vom Motor die mechanische Energie
t2
t2
W = ∫ p d t = ∫ ( pW + pb ) d t
t1
(3.51)
t1
umgesetzt.
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3. Analyse von Bewegungs- und Stellvorgängen
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3.4.2 Ein- und Mehrquadrantenantriebe
Zur Analyse von Bewegungsvorgängen ist neben ihrer zeitlichen Abhängigkeit auch eine Kennzeichnung
des Energieflusses notwendig (Zählpfeile). Es werden alle positiven Leistungen PW = M W ω W als Antriebsleistungen definiert. Der Motor nimmt elektrische Leistung aus dem Netz auf und gibt diese nach Abzug
der Verluste an die Arbeitsmaschine ab.
Für Bremsvorgänge (negative Leistung) müssen demzufolge entweder das Widerstandsmoment M W oder
die Winkelgeschwindigkeit ω W ihre Richtung ändern. Der Motor wird dann von der Arbeitsmaschine angetrieben und nimmt die zugehörige mechanische Leistung auf.
Die Verhältnisse vom Standpunkt
der elektrischen Maschine aus
veranschaulicht Bild 3.38. Man
unterscheidet zwischen
Bild 3.38: Einteilung der Quadranten nach Energie- und Bewegungsrichtung
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• Einquadrantenantriebe
(I):
Antreiben in eine Drehrichtung,
• Zweiquadrantenantriebe (I,
II) : Antreiben und Bremsen
für eine Drehrichtung,
• Vierquadrantenantriebe: Antreiben und Bremsen in beliebigen Drehrichtungen.
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Tabelle 3.7: Überschlägiger Leistungsbedarf einiger Arbeitsmaschinen
3. Analyse von Bewegungs- und Stellvorgängen
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3.4.3 Leistungsbedarf von Arbeitsmaschinen
In der Tabelle 3.7 sind Orientierungswerte für den Leistungsbedarf
einiger Arbeitsmaschinen angegeben. Die Werte stützen sich auf die
genannten geometrischen Parameter unter Zugrundelegung mittlerer
Zerspanungs- und Verformungswerte.
Sie sind nur für überschlägige Abschätzungen zu verwenden. Für
eine genaue Antriebsauslegung kann z. B. auf [2] zurückgegriffen
werden.
J
Mw
ω
Pw
Pb
P
Seite 47
Beispiel:
400
200
300
150
200
100
100
50
0
0
-100
Für die Zuckerzentrifuge aus der Übung
"Beschleunigungsmoment" war das
Lastspiel (Winkelgeschwindigkeit und
Trägheitsmoment) bekannt.
Winkelgeschwindigkeit in 1/s
Leistung in kW
Trägheitsmoment in kgm**2
Widerstandsmoment in Nm
3. Analyse von Bewegungs- und Stellvorgängen
Unter Anwendung der Gleichung (3.48)
für die mechanische Leistung (Widerstandsleistung) pW und (3.50) für die
Beschleunigungsleistung pb wurde der
Leistungsbedarf p des Antriebs ermittelt.
Das Widerstandsmoment M W betrage
konstant 120Nm.
-50
-200
0
60
120
180
240
300
-100
360
Zeit in s
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3. Analyse von Bewegungs- und Stellvorgängen
3.4.4 Kinetische Energie
Die in einem Antriebssystem gespeicherte kinetische Energie lässt sich über
t2
W = ∫ pb d t =
t1
Seite 48
ω2
∫ Jω d ω
(3.52)
ω1
bestimmen. Nach einem Hochlauf eines Antriebssystems auf die Winkelgeschwindigkeit ω ist im System
also die Energie
ω2
(3.53)
W =J
2
gespeichert. Durch Bremsung bis zum Stillstand wird diese Energie wieder freigesetzt.
Bei einigen Arbeitsmaschinen ergibt sich ein ungleichförmiger Geschwindigkeitsverlauf infolge des sich periodisch mit der Zeit ändernden Widerstandsmoments mW (Bild 3.39).
Bild 3.39: Kurbelantrieb: a) Kräfte und
Winkel, b) Tangentialkraftverlauf, c)
Verlauf der Winkelgeschwindigkeit
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3. Analyse von Bewegungs- und Stellvorgängen
Unter Einführung des Ungleichförmigkeitsgrads
δ =
v max − v min ωmax − ωmin
=
v
ω
Seite 49
(3.54)
mit den mittleren Geschwindigkeiten v bzw. ω kann z. B. die im Kurbeltrieb nach Bild 3.39 zwischen den
Positionen 1 und 2 benötigte Energie bei Änderung der Geschwindigkeit zwischen max. und min. über
(3.55)
W12 = Jδω 2
berechnet werden.
Arbeitsmaschine
δ
Pumpe
1/30
Stanze
1/30
Papiermaschine
1/40
Mühle
1/50
Webstuhl
1/50
Spinnmaschine
1/80
Verdichter
1/80
Alle Maschinen >250kW
1/100 ... 1/250
Tabelle 3.8: Orientierungswerte für den Ungleichförmigkeitsgrad δ
Die Werte für δ sind möglichst klein zu halten, da es insbesondere bei großen Antriebsleistungen zu unzulässigen Stromschwankungen im Versorgungsnetz kommen kann. Häufig werden zusätzliche Schwungmomente zur Reduzierung der Drehzahlschwankungen in das System integriert.
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3. Analyse von Bewegungs- und Stellvorgängen
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3.4.5 Elastizität und Getriebespiel
Ist die Elastizität innerhalb des Antriebssystems nur ungenügende gedämpft (Bild 3.40), so können nicht
mehr alle Massen und Trägheitsmomente auf einen Körper zurückgerechnet werden. Es sind zur Beschreibung solcher System sogenannte Mehrmassenmodelle notwendig.
Bild 3.40: Modell eines Zweimassen-Antriebssystems mit elastischer Welle
Die Bewegungsgleichung für das Zweimassen-Antriebssystem nach Bild 3.40 lautet
dω
dω W
− mW − J W
= 0,
dt
dt
(3.56)
d2α
d2α W
= 0.
m − JM 2 − mW − J W
dt
dt 2
(3.57)
m − JM
bzw.
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Von der elastischen Welle mit der Federkonstanten C wird das Drehmoment mü übertragen:
mü = C(α − α W ) .
(3.58)
Eingesetzt in (3.57) erhält man für die Auslenkung α eine Dgl. 2. Ordnung mit der Eigenfrequenz
J + JW
ω0 = C M
.
(3.59)
JM J W
Schon geringste Anregungen in der Nähe der Eigenfrequenz (Resonanzfrequenz) können bei schwacher
Dämpfung zu unkontrollierten Resonanzüberhöhungen und bei Nichtbeachtung zur Zerstörung der mechanischen Übertragungsglieder führen. Ein Betrieb in der Nähe der Resonanz ist in jedem Fall zu vermeiden!
Schnell drehende Antriebssysteme werden häufig jenseits der Resonanz betrieben ("überkritischer Betrieb"). Während des Hochlaufs werden also eine oder mehrere Resonanzdrehzahlen ("kritische Drehzahlen") durchlaufen. Hierauf ist bei der Dimensionierung der mechanischen Bauteile Rücksicht zu nehmen.
Durch Getriebespiel (Bild 3.41) können die mechanischen Antriebselemente im Reversierbetrieb unzulässig hoch belastet werden.
Bild 3.41: Beispiel für Getriebespiel
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Bild 3.42: Signalflussplan für den mechanischen Teil des Antriebssystems nach Bild 3.41 unter Berücksichtigung der Elastizität, der trockenen Reibung (Haftreibung), der geschwindigkeitsabhängigen Dämpfung und des Getriebespiels.
Elastizitäten, Getriebespiele, Haft- und Gleitreibung, etc. in Antriebssystemen können mit einfachen analytischen Formeln nicht beschrieben werden.
Man bedient sich in solchen Fällen meist der aus der Regelungstechnik bekannten Beschreibung in sogenannten Signalflussplänen (Bild 3.42), die dann mit den verfügbaren Simulationsprogrammen (z. B. Simulink, Pspice, MatLab, etc. untersucht werden können.
Das Hauptproblem ist hierbei nicht das Aufstellen und Simulieren des Signalflussplans, sondern die genaue Vorausberechnung der Parameter wie die Federkonstante, Reibung, Steifigkeiten, Dämpfungen, etc.
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