Elektrotechnische Grundlagen, WS 00/01 Musterlösung Übungsblatt 1

Musterlösung Übungsblatt 1
Elektrotechnische Grundlagen, WS 00/01
Hieraus läßt sich der Strom I0 berechnen:
U
I 0 = ---------- = 3, 7mA
R ges
Musterlösung Übungsblatt 1
Prof. Baitinger / Lammert
Aufgabe 1
Besprechung: 06.11.2000
Für die Spannungen U1 bis U4 gilt folgendes:
U 1 = U 2 = R 12 ⋅ I 0 = 3V
Widerstandsnetzwerk
Bestimmen Sie die Werte der Spannungen U1, U2, U3 und U4 sowie der Ströme
I0, I1, I2, I3 und I4 in der nachfolgenden Schaltung Abb. 1-1. Überlegen Sie, wie die
Ergebnisse mit den Regeln von Kirchhoff überprüft werden können.
Gegeben sei: R 1 = 1, 0kΩ , R 2 = 4, 7kΩ , R 3 = 3, 8kΩ , R 4 = 3, 8k Ω , U = 10V
I1
U 3 = U 4 = R 34 ⋅ I 0 = 7V
Nun kann man die Ströme I1 bis I4 berechnen:
U
I 1 = ------1- = 3, 05mA
R1
U1
U
I 2 = ------2- = 649µA
R2
R1
I2
R2
I3
U
I 3 = ------3- = 1, 85mA = I 4
R3
I4
U2
U
=
U3
R3
R4
U4
Um die Ergebisse zu überprüfen, können folgende Gleichungen aufgestellt werden:
U1 = U2
I0
U3 = U4
U = U1 + U3
I0 = I1 + I2 = I3 + I4
Abbildung 1-1: Widerstandsnetzwerk
Die Widerstände R1 und R2 können zu einem Ersatzwiderstand R12 zusammengefasst werden; ebenso R3 und R4 :
R 12
Aufgabe 2
R1 ⋅ R2
= -----------------= 824, 6Ω
R1 + R2
Spannungsteiler
Sie haben eine Autobatterie mit 12V und wollen damit Ihren portablen CD-Spieler,
der 2,5 - 3,5V benötigt, betreiben. In ETG haben Sie etwas von einem Spannungsteiler gehört und wollen diesen einsetzen.
R3 ⋅ R4
R 34 = -----------------= 1, 9kΩ
R3 + R4
Der Gesamtwiderstand der Schaltung beträgt demnach:
R ges = R 12 + R 34 = 2, 7kΩ
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a) Zeichnen Sie die Schaltung mit Batterie und Spannungsteiler und deuten den
CD-Spieler als Widerstand an (der CD-Spieler wird noch nicht angeschlossen).
c) Nun wird der CD-Spieler an den Spannungsteiler angeschlossen, dabei kann
dieser als Widerstand angesehen werden, der einen Wert von 5kΩ besitzt.
Welche Spannung liegt nun am CD-Spieler?
R1
R1
12V
RP
12V
UR2
R2
RCD
UR2
R2
RCD
Abbildung 2-1: Spannungsteiler
b) Der größere Widerstand des Spannungsteilers hat einen Wert von 9kΩ . Welchen Wert muß der kleinere Widerstand annehmen, damit der CD-Spieler mit
3V betrieben werden kann?
Am Spannungsteiler fällt die Spannung proportional zum Widerstandswert ab,
und da an R1 9V und an R2 3V abfallen müssen, muß R1 den größeren Wert haben.
Für die Spannung am Widerstand R2 gilt:
Die Wiederstände R2 und RCD können zu Rp zusammengefasst werden:
R 2 ⋅ R CD
3kΩ ⋅ 5kΩ
R P = ---------------------- = ---------------------------- = 1875Ω
3kΩ + 5kΩ
R 2 + R CD
Dieser Wert wird nun im Spannungsteiler benutzt:
U ⋅ Rp
12V ⋅ 1875Ω
- = ---------------------------------- = 2, 07V
U R2 = -----------------9kΩ + 1875Ω
R1 + R p
U ⋅ R2
U R2 = -----------------R1 + R2
Der CD-Spieler wird nicht funktionieren !
Durch Umformung erhält man:
U R2 ( R 1 + R 2 ) = U ⋅ R 2
Abbildung 2-2: Spannungsteiler mit CD-Spieler
d) Wie muß der Spannungsteiler verändert werden, damit der CD-Spieler mit 3V
betrieben werden kann?
U R2 ⋅ R 1 + U R2 ⋅ R 2 = U ⋅ R 2
R 2 ( U – U R2 ) = U R2 ⋅ R 1
RP muß 3kΩ annehmen. Da man den CD-Spieler nicht ändern kann, muß R2
entsprechend angepasst werden:
U R2 ⋅ R 1
R 2 = -------------------U – U R2
R 2 ⋅ R CD
R P = ---------------------R 2 + R CD
3V ⋅ 9kΩ
R 2 = ----------------------- = 3kΩ
12V – 3V
R P ⋅ R CD
3kΩ ⋅ 5kΩ
- = --------------------------- = 7, 5kΩ
R 2 = ---------------------R CD – R P
5kΩ – 3kΩ
Die Spannung an R2 und somit auch am CD-Spieler ist jetzt 3V.
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Aufgabe 3
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Widerstandsnetzwerk 2
R20
Welchen Ersatzwiderstand hat das Netzwerk zwischen den Punkten A und B für
folgende Werte: R 1 = 100Ω , R 2 = 500Ω , R 3 = 1kΩ ?
R3
R13
R1
A
R2
B
R14
Abbildung 3-3: Ersatznetzwerk 2
R2
R3
R2
R2
R 20 = R 10 + R 11 + R 12 = 666, 7Ω
R2
R3
R3
R1
A
R1
R2
A
B
B
R14
Abbildung 3-4: Ersatznetzwerk 3
Abbildung 3-1: Widerstandsnetzwerk
R 20 ⋅ R 13
R 30 = R 20 || R 13 = ---------------------- = 74Ω
R 20 + R 13
Zur Ersatzwiderstandsberechnung müssen die Parallel- und Reihenschaltungen sinnvoll zusammengefasst werden:
R10
R11
R30
R40
R12
A
B
R14
R3
R13
A
Abbildung 3-5: Ersatznetzwerk 4
R 40 = R 3 + R 30 = 1074Ω
B
R14
Abbildung 3-2: Ersatznetzwerk 1
A
B
RAB
R1 ⋅ R2
R 10 = R 1 || R 2 = -----------------= 83, 3Ω = R 13
R1 + R2
R2 ⋅ R3
= 333, 3Ω
R 11 = R 2 || R 3 = -----------------R2 + R3
Abbildung 3-6: Ersatznetzwerk 5
R
R 12 = R 2 || R 2 = -----2- = 250Ω
2
R 14 = R 1 + R 2 = 600Ω
R 40 ⋅ R 14
R AB = R 40 || R 14 = ---------------------- = 385Ω
R 40 + R 14
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Aufgabe 4
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a) Ermitteln Sie die Ersatzwiderstände zwischen den Klemmen 1-2, 2-3 und 3-1
beider Schaltungen. Setzen Sie die Ersatzwiderstände gleich.
Sie erhalten dann drei Gleichungen, die „zyklisch vertauschbar“ sind, d.h. man
erhält die 2. aus der 1., indem man die Indizes der Widerstände zyklisch rotiert:
R 1 → R 2 ; R 2 → R 3 und R 3 → R 1 bzw. R 1′ → R 2′ ; R 2′ → R 3′ und R 3′ → R 1′ .
Strom- und Spannungsquellen
Gegeben seien folgende Schaltungen mit dem Lastwiderstand RL:
IL
IL
Ri1
U0
Für die Dreieckschaltung ergeben sich die folgenden Ersatzwiderstände:
I0
UL
=
UL
RL
Ri2
RL
R 1' ⋅ ( R 3' + R 2' )
R 12 = -----------------------------------R 1' + R 2' + R 3'
R 2' ⋅ ( R 1' + R 3' )
R 23 = -----------------------------------R 1' + R 2' + R 3'
Abbildung 4-1: Spannungs- und Stromquelle
Die Spannungsquelle U0 mit Innenwiderstand Ri1 soll in eine äquivalente Stromquelle I0 mit Innenwiderstand Ri2 umgewandelt werden.
Berechnen Sie I0 und Ri2 in Abhängigkeit von U0 und Ri1.
Spannungsquelle → Stromquelle
R i2 = R i1
R 3' ⋅ ( R 2' + R 1' )
R 31 = -----------------------------------R 1' + R 2' + R 3'
Entsprechend ergeben sich für die Sternschaltung diese Ersatzwiderstände:
R 12 = R 1 + R 2
R 23 = R 2 + R 3
U
I 0 = ------0R i1
R 31 = R 3 + R 1
Nun werden diese Gleichungen gleichgesetzt:
Aufgabe 5
Dreieck-Stern-Transformation
Gegeben seien die Schaltungen nach Abb. 5-1, die nach außen das gleiche Verhalten zeigen sollen. Dazu müssen Formeln aufgestellt werden, mit denen man das
Dreieck in einen Stern umwandeln kann.
1
R1
2
b) Durch geschickte Addition und Subtraktion dieser Gleichungen erhält man
eine Formel für R1. Mit „zyklischer Vertauschung“ kann man auf einfache Weise die Formeln für R2 und R3 gewinnen.
R3‘
R2
R2‘
3
2
R 2' ⋅ ( R 1' + R 3' )
( 1b )
R 2 + R 3 = -----------------------------------R 1' + R 2' + R 3'
R 3' ⋅ ( R 2' + R 1' )
( 1c )
R 3 + R 1 = -----------------------------------R 1' + R 2' + R 3'
1
R1‘
R 1' ⋅ ( R 3' + R 2' )
( 1a )
R 1 + R 2 = -----------------------------------R 1' + R 2' + R 3'
R3
3
Abbildung 5-1: Dreieck- und Sternschaltung
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Um eine Gleichung für R1 zu erhalten addiert man die Gleichungen ( 1a ) und
( 1c ) und subtrahiert dann ( 1b ):
Für die Ersatzwiderstände ergeben sich folgende Werte:
R1 ⋅ R2
100Ω ⋅ 200Ω
- = -------------------------------- = 33, 3Ω
R 1∗ = -----------------------------600Ω
R1 + R2 + R3
R 1' ⋅ ( R 3' + R 2' ) + R 3' ⋅ ( R 2' + R 1' ) – R 2' ⋅ ( R 1' + R 3' )
2R 1 + R 2 + R 3 – R 2 – R 3 = -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------R 1' + R 2' + R 3'
R1 ⋅ R3
100Ω ⋅ 300Ω
R 2∗ = ------------------------------ = -------------------------------- = 50Ω
600Ω
R1 + R2 + R3
R 1' R 3' + R 1' R 2' + R 2' R 3' + R 1' R 3' – R 1' R 2' – R 2' R 3'
2R 1 = -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------R 1' + R 2' + R 3'
R2 ⋅ R3
200Ω ⋅ 300Ω
- = -------------------------------- = 100Ω
R 3∗ = -----------------------------R1 + R2 + R3
600Ω
2R 1' R 3'
2R 1 = --------------------------------R 1' + R 2' + R 3'
Somit ergeben sich mit zyklischer Vertauschung folgende Transformationsgleichungen:
R1*
R 1' ⋅ R 3'
R 1 = --------------------------------R 1' + R 2' + R 3'
R 2' ⋅ R 1'
R 2 = --------------------------------R 1' + R 2' + R 3'
U0
I4
R 3' ⋅ R 2'
R 3 = --------------------------------R 1' + R 2' + R 3'
R3*
I5
R4
c) Nun sei die Schaltung nach Abb. 5-2 gegeben mit den Werten U 0 = 10V ,
R 1 = 100Ω , R 2 = 200Ω , R 3 = 300Ω , R 4 = 400Ω , R 5 = 500Ω . Berechnen Sie
die Ströme I1 bis I5 durch die Widerstände R1 bis R5.
R1
U0
R2*
=
R5
Abbildung 5-3: Widerstandsnetzwerk nach der Transformation
Dieses Netzwerk kann nun leicht analysiert werden. Dazu fasst man die Widerstände R2* und R4 sowie R3* und R5 zusammen, berechnet den Gesamtwider-
R2
=
R3
R4
R5
Abbildung 5-2: Widerstandsnetzwerk
Um das Netzwerk in Abb. 5-2 zu analysieren muß eines der Dreiecke ( R1 R2 R3
oder R3 R4 R5 ) in einen Stern umgewandelt werden.
Hier wird das obere Dreieck ( R1 R2 R3 ) transformiert, dann erhält man das Ersatzschaltbild in Abb. 5-3:
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stand der Parallelschaltung und die Spannung die an dieser Parallelschaltung
abfällt. Dann kann man die Ströme I4 und I5 berechnen.
Aufgabe 6
Kondensator
R 2∗ 4 = R 2∗ + R 4 = 50Ω + 400Ω = 450Ω
Ein Plattenkondensator besteht aus zwei quadratischen Platten mit den Kantenlängen l = 4cm und dem Plattenabstand d = 3mm .
R 3∗ 5 = R 3∗ + R 5 = 100Ω + 500Ω = 600Ω
a) Berechnen Sie die Kapazität C des Kondensators in Luft.
R P = R 2∗ 4 || R 3∗ 5
Die Kapazität berechnet sich wie folgt (wobei in Luft gilt: ε r = 1 ):
R 2∗ 4 ⋅ R 3∗ 5
450 ⋅ 600
= --------------------------- = ------------------------ Ω = 257Ω
450 + 600
R 2∗ 4 + R 3∗ 5
εo ⋅ εr ⋅ A
C = ---------------------d
U0 ⋅ Rp
10V ⋅ 257Ω
- = ------------------------------------- = 8, 9V
U RP = -------------------257Ω + 33, 3Ω
R P + R 1∗
ε 0 = 8, 85 ⋅ 10
– 12
A⋅s
-----------V ⋅m
UR
8, 9V
I 4 = I R ∗ = ----------P = ------------- = 20mA
2 4
R 2∗ 4
450Ω
A = ( 0, 04m ) = 0, 0016m
UR
8, 9V
I 5 = I R ∗ = ----------P = ------------- = 15mA
3 5
R 3∗ 5
600Ω
8, 85 ⋅ 10 ⋅ 0, 0016 A ⋅ s
– 12
- ⋅ ---------- = 4, 72 ⋅ 10 F = 4, 72 pF
C = --------------------------------------------------–3
V
3 ⋅ 10
2
2
– 12
Nun wechselt man wieder in das Schaltbild Abb. 5-2. Um nun den Strom I3
durch den Widerstand R3 zu berechnen, braucht man die Spannung an R3; diese
erhält man aus der unteren Masche:
WICHTIG: immer auf die Einheiten achten (hier alles in Metern rechnen) !
b) Geben Sie bei einer Spannung von U = 250V die Feldstärke E an.
kV
U
250V
- = 83 ------E = ---- = ---------------------–3
m
d
3 ⋅ 10 m
U R3 = U R4 – U R5 = R 4 ⋅ I 4 – R 5 ⋅ I 5
U R3 = 400Ω ⋅ 20mA – 500Ω ⋅ 15mA = 0, 5V
c) Welche Ladung Q speichert der Kondensator?
UR
0, 5V
I 3 = ---------3 = ------------- = 1, 67mA
R3
300Ω
Q = C ⋅ U = 4, 72 pF ⋅ 250V = 1, 18 ⋅ 10 As
Nun kann man mit Hilfe der Knotenregel die fehlenden Ströme berechnen:
d) Nun wird eine Siliziumplatte der Stärke d = 3mm zwischen die Kondensatorplatten geschoben. Wie verändert sich die Kapazität C?
–9
I 1 = I 3 + I 4 = 1, 67mA + 20mA = 21, 67mA
– 12
8, 85 ⋅ 10 ⋅ 12 ⋅ 0, 0016 A ⋅ s
- ⋅ ---------- = 56, 65 pF
C = ------------------------------------------------------------–3
V
3 ⋅ 10
I 2 = I 5 – I 3 = 15mA – 1, 67mA = 13, 33mA
Zur Kontrolle kann Überprüft werden, ob gilt: I 1 + I 2 = I 4 + I 5
e) Zwei Kondensatoren C1 und C2 werden nun in Reihe geschaltet. Leiten Sie die
Formel für die Ersatzkapazität C Ersatz her.
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Bei zwei Kondensatoren ergibt sich die Anordnung in Abb. 6-1, wobei Q1 bzw.
Q2 die Ladung des Kondesators C1 bzw. C2 ist:
C1
+Q1 -Q1
C2
+Q2
Aufgabe 7
Stromdichte
Ein Kupferkabel der Länge l = 10m hat einen Durchmesser d von 1,5 mm.
a) Welchen ohmschen Widerstand R hat das Kabel?
-Q2
Aus dem Skript kann man den spezifischen Widerstand für Kupfer ablesen:
U2
U1
Ω ⋅ mm 2
ρ Cu = 0, 0178 -------------------m
Uges
Abbildung 6-1: Reihenschaltung von Kondensatoren
Der Widerstand errechnet sich nach der Formel:
Für die Spannungen an den Kondensatoren gilt folgende Beziehung:
U ges = U 1 + U 2
ρ⋅l
R = --------A
( 1, 5mm ) 2 ⋅ π
d2 ⋅ π
A = ------------- = --------------------------------- = 1, 77mm 2
4
4
Durch das Ersetzen der Spannungen erhält man:
Ω ⋅ mm 2
0, 0178 -------------------- ⋅ 10m
m
- = 0, 1Ω
R = ----------------------------------------------------1, 77mm 2
Q
Q
U = ---C = ---U
C
Q1 Q2
Q ges
----------- = ------ + -----C ges
C1 C2
b) Welche Stromdichte J ergibt sich, wenn durch das Kabel ein Strom von
I = 20 A fließt?
Da zwischen die beiden Kondensatoren keine Ladung hineinfliessen kann, muss
-Q1+Q2=0, wodurch Q1=Q2 ist.
Die Gesamtladung Qges der Anordnung beträgt ebenfalls Qges=Q1=Q2. Deshalb
ergibt sich für Cges:
Die Stromdichte ergibt sich zu:
A
I
20 A
J = --- = -----------------------2 = 11, 3 ----------2A
mm
1, 77mm
1
1
1
---------- = ------ + -----C1 C2
C ges
C1 ⋅ C2
C ges = -----------------C1 + C2
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