2.2 Spiegelsymmetrisches Potential [Griffiths 2.1] 2.3 Potentialtopf

2.2
Spiegelsymmetrisches Potential
[Griffiths 2.1]
Betrachte ein Potential, das invariant unter Spiegelung am Ursprung ist,
V (x) = V (−x)
Aus dieser Symmetrie folgt: wenn ψ(x) eine Lsg. der zeitabhängigen Schrödingergleichung
mit Energie E ist, dann auch ist auch ψ(−x) eine Lsg. und zwar mit der gleichen Energie.
Begründung: Sei y = −x.
~2 d2
~ 2 d2
−
+ V (x) ψ(−x) = −
+ V (−y) ψ(y)
2M dx2
2M dy 2
~2 d2
+ V (y) ψ(y) = Eψ(y) = Eψ(−x)
= −
2M dy 2
wobei im zweiten Schritt V (−y) = V (y) benutzt wurde ⇒
ψ(x) ± ψ(−x)
sind ebenfalls Lösungen. Dies sind gerade bzw. ungerade Funktionen. Man kann die Lösungen also gerade oder ungerade wählen.
2.3
Potentialtopf: Bindungszustände
[Griffiths 2.1]
Sei
V (x) =


0

−V0
|x| > L/2
für
|x| < L/2
mit V0 > 0
1
Damit es eine Lösung gibt, muss E > −V0 sein.
Betrachte den Fall E < 0.
Klassisch fliegt das Teilchen zwischen −L/2 und L/2 hin und her.
Strategie: Löse die Schrödingergleichung in den drei Bereichen
x < −L/2,
−L/2 < x < L/2,
x > L/2
und schließe die Lösungen bei x = ±L/2 aneinander an.
x < −L/2 :
Definiere
−
~2 00
ψ = Eψ
2M
√
−2M E
κ :=
~
so dass
E=−
~2 κ2
2M
und
ψ 00 = κ2 ψ
Allgemeine Lsg:
ψ = Aeκx + Be−κx
2
Wir fordern Normierbarkeit. Das erfordert dass ψ → 0 für x → −∞.
ψ = Aeκx
⇒ B = 0,
Bem: klassisch darf sich das Teilchen hier nicht aufhalten. Quantenmechanisch gibt es aber
eine nicht verschwindende Aufenthaltswahrscheinlichkeit im klassisch verbotenen Bereich.
Diese fällt exponentiell mit der Entfernung vom klassisch erlaubten Bereich ab.
Dieselbe Gleichung gilt für x > L/2. Dort ist die allgemeine Lsg. ψ = Ceκx + De−κx .
Normierbarkeit erfordert C = 0, d.h.
ψ = De−κx
Für |x| < L/2:
~ 00
ψ = (E + V0 )ψ
2M
p
2M (E + V0 )
q=
~
−
Sei
so dass
ψ 00 = −q 2 ψ
Allgemeine Lsg:
ψ = F eiqx + Ge−iqx
Anschlussbedingungen bei x = −L/2:
Ae−κL/2 =F e−iqL/2 + GeiqL/2
κAe−κL/2 =iq F e−iqL/2 G − eiqL/2
Bei x = L/2:
De−κL/2 =F eiqL/2 + Ge−iqL/2
−κDe−κL/2 =iq F eiqL/2 − Ge−iqL/2
R
Zusammen mit der Normierungsbedingung dx|ψ|2 = 1 sind das 5 Gleichungen. Es gibt
aber nur noch 4 Koeffizienten A, D, F , G. Konsequenz: Es gibt eine Bedingung an die
Energie E!
Die Invarianz des Potentials unter der Spiegelung x → −x erlaubt eine Vereinfachung:
Die Lösungen können gerade oder ungerade gewählt werden.
Gerade Lösungen:
A = D,
F =G
Ae−κL/2 = 2F cos(qL/2)
⇒ κ = q tan(qL/2)
−κL/2
κAe
= 2F q sin(qL/2)
3
A = −D,
Ungerade Lösungen:
F = −G
Ae−κL/2 = −i2F sin(qL/2)
⇒ κ = −q cot(qL/2)
κAe−κL/2 = i2F q cos(qL/2)
Drücke κ durch q aus:
√
−2M E
2M (E + V0 )
κ=
,
q2 =
,
~
~2
s
2 2
r
2M V0
1
~q
κ=
−2M
− V0 =
− q2,
~
2M
~2
~2 q 2
− V0
2M
s
2M V0
κ
=
−1
q
~2 q 2
E=
Die Bedingungen an die Energie kann man also schreiben als

s
gerade
 tan(qL/2)
2M V0
Lösungen
−1=

~2 q 2
− cot(qL/2) ungerade
(∗)
Wir haben es hier mit transzendenten Gleichungen zu tun die nicht analytisch lösbar sind.
Spezialfall: sehr tiefer Potentialtopf,
V0 ~2
2M L2
Suche nach Zuständen ,,tief im Topf” d.h.
E + V0 V0
Aus dieser Relation folgt
~2 q 2
V0
2M
Also ist die linke Seite von (∗) groß gegen 1 und damit auch die rechte.
gerade:
tan(qL/2) 1
⇔
cos(qL/2) 1
Die möglichen Werte liegen also nahe den Nullstellen von cos(qL/2).
qL
1
cos(qL/2) = 0
⇔
= `+
π
2
2
mit ganzzahligen `. Wegen q ≥ 0 gibt es Lösungen mit
q ' (2` + 1)
π
mit ` = 0, 1, 2, . . .
L
4
ungerade:
cot(qL/2) 1
⇔
sin(qL/2) 1
Die möglichen Werte liegen also nahe den Nullstellen von sin(qL/2).
qL
= `π
2
mit ganzzahligen `. q muss > 0 sein. Es gibt also Lösungen für
π
q ' 2` mit ` = 1, 2, . . .
L
⇔
sin(qL/2) = 0
Beide Fälle lassen sich zusammenfassen zu
π
q ' qn := (n + 1)
L
Die Energieniveaus sind
mit n = 0, 1, . . .
En ' −V0 +
bzw.
En ' −V0 +
~2 qn2
2M
~2 π 2 2
n
2M L
Für den allgemeinen Fall kann man eine graphische Lsg. angeben:
5
Es gibt nur Lösungen mit
r
q ≤ qmax
mit
qmax =
2M V0
~
Fazit:
1. Das Energiespektrum ist diskret, und es gibt eine endliche Anzahl von Lösungen.
2. Die Anzahl der Lösungen hängt von dem dimensionslosen Parameter 2M L2 V0 /~2
ab.
3. Es gibt mindestens eine Lösung.
4. Die Lösung mit der kleinsten Energie (dem kleinsten q) ψ0 ist gerade und hat keine
Nullstellen (Knoten) weil ψ0 ∝ cos(qx) für |x| < L/2 und qL/2 < π/2.
Den Zustand mit Wellenfunktion ψ0 bezeichnet man als Grundzustand.
5. Die Wellenfunktionen sind für |x| > L/2 nicht Null, obwohl E < 0 ⇒ Es gibt eine
endliche Wahrscheinlichkeit, das Teilchen im klassisch verbotenen Bereich zu finden.
5. Mai 2014
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