1.1.5.1 Weche Größen beeinflussen die Schwingungsdauer eines
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1.1.5.1 Weche Größen beeinflussen die Schwingungsdauer eines Federpendels? S In diesem Versuch wird ein Federpendel betrachtet, welches aus einer Schraubenfeder mit der Federkonstanten D und einer daran angehängten Masse m besteht. Wird das Pendel um smax ausgelenkt und losgelassen, dann schwingt es mit der Schwingungsdauer T um seine Ruhelage. Die Abhängigkeit der Schwingungsdauer von der Federkonstanten D, der Masse m und der Auslenkung smax wird in diesem Versuch untersucht. Aufgabe 1. Bestimme die Abhängigkeit der Schwingungsdauer T eines Federpendels von der Auslenkung smax, 2. bestimme die Abhängigkeit von T von der an die Feder angehängten Masse m, 3. bestimme die Abhängigkeit von T von der Federkonstanten D. Material 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 1 Cobra4 Wireless Manager Cobra4 Wireless-Link Cobra4 Sensor-Unit Force: Kraft 40 N Stativfuß Stativstange, 250 mm Stativstange, 600 mm Doppelmuffe Schraubenfeder D = 3 N/m Schraubenfeder D = 20 N/m Gewichtsteller für Schlitzgewichte Schlitzgewicht schwarzlackiert, 10 g Schlitzgewicht silberbronziert, 10 g Schlitzgewicht schwarzlackiert, 50 g Schlitzgewicht silberbronziert, 50 g Software measure für Cobra4 12600-00 12601-00 12643-00 02001-00 02031-00 02037-00 02043-00 02220-00 02222-00 02204-00 02205-01 02205-02 02206-01 02206-02 14550-61 Zusätzlich wird benötigt 1 PC mit USB-Schnittstelle, Windows XP oder höher Abb. 1: Versuchsaufbau www.phywe.com P1002760 PHYWE Systeme GmbH & Co. KG © All rights reserved 1 Weche Größen beeinflussen die Schwingungsdauer eines Federpendels? S 1.1.5.1 Aufbau und Durchführung Schraube den zur Cobra4 Sensor-Unit Kraft 40 N gehörenden Haken mit Hilfe des Gewindestifts in die Rückseite des Sensors. Baue den Versuch nach Abb. 1 auf. Nimm zunächst die Schraubenfeder D = 3 N/m und den Gewichtsteller für Schlitzgewichte mit insg. 4 Schlitzgewichten zu je 10 g. Mit der Masse des Gewichtstellers von ebenfalls 10 g ergibt sich eine Gesamtmasse m = 50 g. PC und Windows starten Cobra4 Wireless Manager in die USB-Schnittstelle des PCs stecken Softwarepaket measure am PC starten Den Cobra4 Wireless-Link mit angesteckter Cobra4 Sensor-Unit Kraft 40 N einschalten. Der Sensor wird nun automatisch erkannt und es wird ihm eine ID-Nummer (01) zugewiesen, die im Display des Cobra4 Wireless-Link sichtbar ist. Die Kommunikation zwischen dem Cobra4 Wireless Manager und dem Cobra4 Wireless-Link wird über die LED Data angezeigt. Beim Einschalten wird der Kraftsensor tariert, d. h. zu Beginn zeigt er eine Gewichtskraft von 0 N. Lade den Versuch in der measure Software (Experiment > Experiment öffnen). Es werden nun alle benötigten Voreinstellungen zur Messwerterfassung gestartet. Lenke das Federpendel vertikal so aus, dass es frei schwingen kann. Messwertaufnahme in measure starten . - - - - Messung nach ca. 15 vollständigen Schwingungen beenden . Measure überträgt die Messwerte automatisch an das Hauptprogramm, mit dem die Messdaten analysiert werden können. Die Federkraft ist im oberen Umkehrpunkt des Pendels minimal (keine Dehnung durch die Gewichtskraft), im unteren maximal (maximale Dehnung der Feder). Die Schwingungsdauer T kann also ermittelt werden, indem man die Zeitdifferenz benachbarter „Kraftmaxima“ bestimmt. Für eine höhere Genauigkeit wird die Dauer von 10 vollständigen Schwingungen bestimmt. Diese entspricht beispielsweise der Zeitdifferenz zwischen dem 4. und dem 14. Kraftmaximum. Der so ermittelte Wert wird durch 10 geteilt und liefert T in hinreichender Genauigkeit. Um die Zeitdifferenz zweier Schwingungsmaxima zu bestimmen, wird die Funktion „Vermessen“ ( ) angewandt. Die beiden Cursorlinien werden so positioniert, dass sie auf den entsprechenden Schwingungsmaxima liegen. Der zeitliche Abstand wird im Auswertefenster als „∆x“ angezeigt. Abbildung 2: 2 Bestimmung der Zeitdifferenz zweier Schwingungsmaxima PHYWE Systeme GmbH & Co. KG © All rights reserved P1002760 Weche Größen beeinflussen die Schwingungsdauer eines Federpendels? 1.1.5.1 S Auswertung: Zu 1.: Wie hängt die Schwingungsdauer von der Auslenkung ab? Um diese Frage zu beantworten, ermittelst Du die Schwingungsdauer der Schraubenfeder D = 3 N/m mit einer angehängten Masse m = 50 g für drei verschiedene Auslenkungen: Tabelle 1: Schwingungsdauer für D = 3 N/m und m = 50 g Auslenkung smax Zeitdauer für 10 Schwingungen T/s klein (ca. 2–3 cm) mittel (ca. 8–10 cm) groß (ca. 15–20 cm) ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... Zu 2.: Wie hängt die Schwingungsdauer von der schwingenden Masse m ab? Ermittle für unterschiedliche Massen m die jeweiligen Schwingungsdauern T zunächst nur für die Schraubenfeder D = 3 N/m (1. ausfüllbare Spalte). Beachte dabei, dass der Gewichtsteller selbst 10g zur Masse m beiträgt! Tabelle 2: Schwingungsdauern für verschiedene Massen m m T / s gemessen für D = 3 N/m T / s berechnet für D = 3 N/m T / s gemessen für D = 20 N/m T / s berechnet für D = 20 N/m 20 g 40 g 60 g 80 g 100 g 120 g 140 g 160 g 200 g 240 g Man erkennt deutlich, dass die Schwingungsdauer von der schwingenden Masse abhängt: Mit zunehmender Masse nimmt die Schwingungsdauer ______. Erstelle für die Messwerte ein Diagramm (siehe nächste Seite). Verbinde die Messwerte geeignet! www.phywe.com P1002760 PHYWE Systeme GmbH & Co. KG © All rights reserved 3 S Weche Größen beeinflussen die Schwingungsdauer eines Federpendels? 1.1.5.1 Diagramm 1: Abhängigkeit der Schwingungsdauer T von der schwingenden Masse m für verschiedene Schraubenfedern Es handelt sich hier nicht um einen proportionalen Zusammenhang. Wie kann man das anhand des Diagramms erkennen? ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... Aus theoretischen Überlegungen, die auf der Newtonschen Mechanik, dem Hookeschen Gesetz sowie auf der Differentialrechnung basieren, folgt: T ~ m. Zu 3.: Wie hängt die Schwingungsdauer von der Federkonstanten D ab? Ermittle für unterschiedlich schwingende Massen m die jeweiligen Schwingungsdauern T für die Schraubenfeder D = 20 N/m und trage die Werte in Tabelle 2 in die 3. ausfüllbare Spalte ein. Erstelle auch für diese Messwerte ein Schaubild in Diagramm 1. Verwende dabei eine andere Farbe und beschrifte die beiden Graphen! Es gilt: Eine größere Federkonstante D bewirkt eine ________________ Schwingungsdauer T. Die Theorie liefert folgenden mathematischen Zusammenhang: T 2 m . D Berechne mit Hilfe dieser Formel die Schwingungsdauern und trage sie in die Tabelle 2 (ausfüllbare Spalten 2 und 4) ein. Beachte dabei, dass m in der Einheit „kg“ angegeben werden muss (warum?)! Wenn Du sorgfältig gemessen und richtig gerechnet hast, dann erkennst Du, dass die berechneten Zeiten systematisch zu klein sind. Die Hauptursache dafür ist, dass die Masse der schwingenden Federn nicht berücksichtigt wurde! Da der obere Teil der Feder kaum schwingt, kann man jedoch nicht einfach die gesamte Federmasse zu m addieren. Eine „gute Näherung“ erhält man, indem man 1/3 der Federmasse berücksichtigt (D = 3 N/m: mFeder = 15,3 g; D = 20 N/m: mFeder = 7,95 g). 4 PHYWE Systeme GmbH & Co. KG © All rights reserved P1002760 Weche Größen beeinflussen die Schwingungsdauer eines Federpendels? 1.1.5.1 S Weiterführende Auswertung: Überprüfe die Näherung rechnerisch: T 2 mkorrigiert D 1 3 , mit mkorrigiert m mFeder . Tabelle 3: Tberechnet vs Tkorrigiert für D = 3 N/m m mkorrigiert (= m + 1/3 mF) 20 g 25,1 g Tberechnet (mit mkorrigiert) Tgemessen 40 g 60 g 80 g 100 g 120 g 140 g Tabelle 4: Tberechnet vs Tkorrigiert für D = 20 N/m m mkorrigiert (= m + 1/3 mF) 40 g 42,7 g Tberechnet (mit mkorrigiert) Tgemessen 80 g 120 g 160 g 200 g 240 g www.phywe.com P1002760 PHYWE Systeme GmbH & Co. KG © All rights reserved 5 S Weche Größen beeinflussen die Schwingungsdauer eines Federpendels? 1.1.5.1 Raum für Notizen 6 PHYWE Systeme GmbH & Co. KG © All rights reserved P1002760 1.1.5.1 L Schraubenfederpendel (Weche Größen beeinflussen die Schwingungsdauer eines Federpendels?) Die Schüler sollen experimentell ermitteln, von welchen Größen die Schwingungsdauer eines Schraubenfederpendels abhängt. Dabei vergleichen Sie ihre eigenen experimentellen Ergebnisse mit einem vorgegebenen theoretischen Ansatz. Mit Hilfe einer Zusatzaufgabe („erweiterte Auswertung“) können die Schüler eine einfache und plausible Korrektur der theoretischen Ergebnisse vornehmen und erneut mit ihren Messergebnissen vergleichen. Diese Zusatzaufgabe kann auch zur Binnendifferenzierung des Unterrichts verwendet werden. Hinweis zu Aufbau und Durchführung der Kraftsensor muss tariert werden – das geschieht automatisch beim Ein- und Ausschalten des Sensors. Alternativ: Doppelklick auf die Schaltfläche „ “, damit sich das Fenster für die Einstellungen vom Messkanal Kraft F öffnet. Die Schaltfläche „Tara“ durch Klick mit der linken Maustaste aktivieren „ “. Falls „Tara“ bereits aktiviert ist, diese zunächst mit einem Klick deaktivieren „ “ und anschließend Fenster mit „OK“ schließen. Beobachtungen und Ergebnisse Zu 1.: Wie hängt die Schwingungsdauer von der Auslenkung ab? Tabelle 1: Schwingungsdauer für D = 3 N/m und m = 50 g Auslenkung smax Zeitdauer für 10 Schwingungen T/s Klein (ca. 2–3 cm) Mittel (ca. 8–10 cm) groß (ca. 15–20 cm) Der Schüler stellt anhand der Ergebnisse fest, dass die Schwingungsdauer nicht von der Auslenkung abhängt. Ggf. muss auf die hier möglichen experimentellen Genauigkeiten hingewiesen werden. Zu 2. und 3.: Wie hängt die Schwingungsdauer von m und von D ab? Tabelle 2: typische Ergebnisse für die Schwingungsdauern für verschiedene Massen m M T / s gemessen für D = 3 N/m T / s berechnet für D = 3 N/m T / s gemessen für D = 20 N/m T / s berechnet für D = 20 N/m 20 g 0,57 0,51 40 g 0,77 0,73 0,30 0,28 60 g 0,94 0,89 80 g 1,10 1,03 0,44 0,40 100 g 1,22 1,15 120 g 1,30 1.26 0,52 0,49 140 g 1,35 1,36 160 g 0,59 0,56 200 g 0,65 0,63 240 g 0,71 0,69 www.phywe.com P1002760 PHYWE Systeme GmbH & Co. KG © All rights reserved 7 L Schraubenfederpendel 1.1.5.1 Diagramm 1: Abhängigkeit der Schwingungsdauer T von der schwingenden Masse m für verschiedene Schraubenfedern Da das Schaubild gekrümmt ist, kann es sich nicht um einen proportionalen Zusammenhang handeln! Es gilt: „Mit zunehmender Masse nimmt die Schwingungsdauer zu“ und „Eine größere Federkonstante D bewirkt eine kleinere Schwingungsdauer T. “ Zur Herleitung der Formel für T muss man auf die Newtonsche Mechanik F m a und das Hookesche Gesetz F D s zurückgreifen: m a D s . Mit a (t ) s ' ' (t ) und dem Ansatz s (t ) smax sin( t ) folgt: 2 m D bzw. D . m Berücksichtigt man noch, dass T T 2 2 , dann folgt m . D Die Theorie weicht hier jedoch von der Messung ab: Die Masse der Feder ist nicht berücksichtigt worden, ebenso wenig wie die Dämpfung der Feder. Die Federmasse kann berücksichtigt werden, indem man die Masse m mit 1/3 der Federmasse korrigiert. Dadurch erhält man eine gute Näherung! Das Verständnis dieser Korrektur ist sicher nicht von allen Schülern zu erwarten. Jedoch im Zuge der Binnendifferenzierung sollte diese Aufgabe an einige begabte und leistungsfähige Schüler vergeben werden können! Die Lösungen hierzu sind auf der nachfolgenden Seite angegeben. 8 PHYWE Systeme GmbH & Co. KG © All rights reserved P1002760 1.1.5.1 L Schraubenfederpendel Weiterführende Auswertung: Tabelle 3: Tberechnet vs Tkorrigiert für D = 3 N/m M mkorrigiert (= m + 1/3 mF) Tberechnet (mit mkorrigiert) Tgemessen 20 g 25,1 g 0,57 s 0,57 s 40 g 45,1 g 0,77 s 0,77 s 60 g 65,1 g 0,93 s 0,94 s 80 g 85,1 g 1,06 s 1,10 s 100 g 105,1 g 1,18 s 1,22 s 120 g 125,1 g 1,28 s 1,30 s 140 g 145,1 g 1,38 s 1,35 s Tabelle 4: Tberechnet vs Tkorrigiert für D = 20 N/m m mkorrigiert (= m + 1/3 mF) Tberechnet (mit mkorrigiert) Tgemessen 40 g 42,7 g 0,29 s 0,28 s 80 g 82,7 g 0,40 s 0,40 s 120 g 122,7 g 0,49 s 0,49 s 160 g 162,7 g 0,57 s 0,56 s 200 g 202,7 g 0,63 s 0,63 s 240 g 242,7 g 0,69 s 0,69 s www.phywe.com P1002760 PHYWE Systeme GmbH & Co. KG © All rights reserved 9 L Schraubenfederpendel 1.1.5.1 Raum für Notizen 10 PHYWE Systeme GmbH & Co. KG © All rights reserved P1002760