Klausur zur Spieltheorie Musterlösung

Prof. Dr. Ulrich Schwalbe/Dr. Tone Arnold Sommersemester
2002
Klausur zur Spieltheorie
Musterlösung
Vorfragen
Aufgabe 1 Berechnen Sie alle Nash Gleichgewichte des folgenden Spiels (in reinen und gemischten Strategien).
A P
A 0, 0 3, 1
P 1, 3 2, 2
Lösung Die Nash GGe in reinen Strategien sind (A, P )
und (P, A). Das GG in gemischten Strategien berechnet
sich wie folgt. Spieler 1 muss indifferent sein zwischen seinen beiden reinen Strategien, gegeben die gemischte Strategie (q, 1 − q) des Spielers 2. Für die Auszahlungen des
Spielers 1 muss daher gelten:
0 · q + 3(1 − q) = q + 2(1 − q).
Auflösen nach q ergibt q = 0.5. Die gemischte Strategie des Spielers 2 ist also (0.5, 0.5). Da das Spiel symmetrisch ist, ist die gemischte Strategie des Spielers 1 ebenfalls (0.5, 0.5). Das GG in gemischten Strategien ist also
((0.5, 0.5), (0.5, 0.5)).
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Aufgabe 2 Eine Firma F überlegt sich, in einen Markt einzutreten, in dem sich ein Monopolist M befindet. Tritt die
Firma ein, so kann der Monopolist entweder kämpfen oder
den Eintritt zulassen. Im Falle des Kampfes sind die Auszahlungen für beide Firmen −3 und bei Zulassen des Eintritts sind die Auszahlungen für beide gleich 2. Tritt die
Firma F nicht ein, so ist ihre Auszahlung gleich null, und
die des Monopolisten ist gleich 5.
a) Stellen Sie das Spiel in extensiver Form dar.
F
PPP N
E
PP
P
M
PP
P
@
K
(−3, −3)
Z
@
@
(0, 5)
@
@
@
(2, 2)
b) Bestimmen Sie alle Nash Gleichgewichte.
Lösung Die Nash GGe sind (N, K) und (E, Z).
c) Welches der Gleichgewichte ist teilspiel perfekt?
Lösung Das GG (N, K) enthält eine unglaubwürdige
Drohung. Das teilspiel perfekte GG ist (E, Z).
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Aufgabe 3 Gegeben sei das folgende Nullsummen Spiel:
L
R
T 5, −5 2, −2
B 6, −6 1, −1
a) Bestimmen Sie das Nash Gleichgewicht des Spiels.
Lösung Das Nash GG ist (T, R).
b) Angenommen, obiges Spiel wird 20 mal wiederholt. Bestimmen Sie das Nash Gleichgewicht des wiederholten
Spiels.
Lösung Rückwärtige Induktion ergibt, dass im GG
in jeder Runde (T, R) gespielt wird.
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Aufgabe 4 Was versteht man unter einer dominierten Strategie? Erläutern Sie dieses Konzept anhand eines einfachen
Beispiels.
Lösung Eine Strategie s dominiert eine Strategie s0 eines
Spielers, wenn die Auszahlung des Spielers bei s immer
mindestens genauso hoch ist wie seine Auszahlung bei s0,
unabhängig von den Strategien seiner Gegner.
Beispiel Gefangenendilemma: Die Strategie A dominiert
die Strategie B (für beide Spieler).
A B
A 2, 2 6, 1
B 1, 6 5, 5
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Hauptfragen
Aufgabe 5 Peter und Laura wollen vier Flaschen Bier unter sich
aufteilen. Die Verhandlung wird durch folgendes Zwei–
Stufen–Spiel dargestellt:
• In der ersten Stufe verlangt Laura einen Anteil für sich,
der zwischen null und vier Flaschen liegen kann, d.h.
eine Zahl aus der Menge {0, 1, 2, 3, 4}.
• In der zweiten Stufe kann Peter zustimmen oder ablehnen.
Die Auszahlungen sind wie folgt: Stimmt Peter dem Vorschlag von Laura zu, so wird das Bier entsprechend aufgeteilt. Lehnt er ab, so erhält jeder zwei Flaschen Bier.
a) Stellen Sie das Spiel in Extensivform dar.
L
0
1
2
3
4
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
J
0
4
BN
B
B
B
J
2 1
2 3
BN
B
B
B
J
BN
B
B
B
2 2
2 2
J
2 3
2 1
5
BN
B
B
B
J
2 4
2 0
BN
B
B
B
2
2
b) Bestimmen (bzw. beschreiben) Sie alle teilspiel perfekten Nash Gleichgewichte des Spiels.
Lösung Bezeichne (sP (0), sP (1), . . . sP (4)) Peters Strategie in Abhängigkeit von Lauras Vorschlag. Rückwärtige Induktion ergibt: Peter spielt entweder die Strategie
(JJJN N ) oder (JJN N N ). Laura ist dann indifferent zwischen den Vorschlägen 2, 3, und 4. Es gibt
also 6 teilspiel perfekte Nash GGe: Laura spielt 2, 3,
oder 4, und Peter spielt (JJJN N ) oder (JJN N N ).
In jedem der GGe sind die Auszahlungen (2, 2).
c) Gibt es ein Nash Gleichgewicht, in dem einer der Spieler mehr als zwei Flaschen Bier bekommt?
Antwort Nein. Verlangt Laura eine Zahl grösser als
2, so wird Peter ablehnen und beide erhalten 2. Peter kann nicht mehr als 2 erhalten, da Laura sich eine
Auszahlung von 2 in jedem Fall sichern kann.
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Aufgabe 6 In einem Markt können die Bedingungen entweder
gut oder schlecht sein. Die Natur zieht diese jeweils mit
der Wahrscheinlichkeit 0, 5. Zwei Firmen überlegen, ob sie
in den Markt eintreten sollen. Das Spiel läuft wie folgt ab.
• Firma 1 beobachtet den Zug der Natur (gut oder schlecht),
Firma 2 jedoch nicht.
• Firma 1 entscheidet zuerst, ob sie eintritt (E1) oder
nicht (N1).
• Firma 2 beobachtet den Zug von Firma 1 und entscheidet dann, ob sie ihrerseits eintritt (E2) oder nicht
(N2).
• Die Gewinne sind wie folgt:
Eine Firma, die nicht eintritt, erhält den Gewinn null.
Bei guter Marktlage gilt: Treten beide Firmen ein, so
sind die Gewinne 1 pro Firma. Tritt nur eine Firma
ein, so ist ihr Gewinn 3.
Bei schlechter Marktlage gilt: Treten beide Firmen ein,
so sind die Gewinne −2 pro Firma. Tritt nur eine Firma ein, so ist ihr Gewinn −1.
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a) Stellen Sie das Spiel entweder in Normalform oder in
Extensivform dar (Sie können wählen, welche Form
Ihnen lieber ist).
Normalform
Die Natur zieht gut:
E2 N2
E1 1, 1 3, 0
N1 0, 3 0, 0
Die Natur zieht schlecht:
E2
N2
E1 −2, −2 −1, 0
N1 0, −1 0, 0
b) Bestimmen Sie die beste Antwort der Firma 1 auf den
Zug der Natur. D.h., was wird Firma 1 tun, wenn die
Bedingungen gut/schlecht sind?
Lösung
s1(gut) = E1, s1(schlecht) = N1.
c) Angenommen, Firma 2 bestimmt ihre Vermutungen
nach dem Satz von Bayes, wenn immer dies möglich
ist. Gegeben die Strategie der Firma 1 aus Aufgabenteil a), welche Vermutungen über den Zug der Natur
(gut oder schlecht) sollte Firma 2 haben, wenn sie beobachtet, dass Firma 1 in den Markt eingetreten bzw.
nicht eingetreten ist?
Lösung
µ(gut|E1) = µ(schlecht|N1) = 1.
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d) Gegeben diese Vermutungen der Firma 2, bestimmen
Sie die beste Antwort der Firma 2 auf jede mögliche
Aktion (E1 bzw. N1) der Firma 1.
Lösung
s2(E1) = E2, s2(N1) = N2.
e) Wie lautet (zusammenfassend) das perfekte Bayesianische Gleichgewicht des Spiels? Lösung
s1(gut) = E1, s1(schlecht) = N1,
µ(gut|E1) = µ(schlecht|N1) = 1,
s2(E1) = E2, s2(N1) = N2.
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Aufgabe 7 Siehe Übungsblatt 5, Aufg. 1c).
Betrachten Sie das folgende Spiel in Normalform.
A B
A 2, 2 4, 1 .
B 1, 4 3, 3
a) Bestimmen Sie das Nash Gleichgewicht des Stufenspiels.
Lösung Das Nash GG ist (A, A).
b) Angenommen, das Spiel wird unendlich oft wiederholt.
Zeigen Sie, dass ein Paar von Trigger Strategien ein
Nash Gleichgewicht des wiederholten Spiels darstellt,
wenn der Diskontfaktor hinreichend hoch ist.
Lösung Es ist zu prüfen, ob einer der Spieler sich
durch Abweichen in einer Periode t besser stellen kann,
gegeben der andere hält sich an die Trigger Strategie.
Angenommen Spieler 2 hält sich an die Trigger Strategie. Die Auszahlung des Spielers 1 bei der Trigger
Stragegie ist
3
VT =
.
1−δ
Die Auszahlung des Spielers 1 bei Abweichen (zu A)
in Periode t ist
4 − 2δ
VA =
.
1−δ
Abweichen lohnt nicht, falls V T ≥ V A, also falls
3 ≥ 4 − 2δ
⇒
δ ≥ 0.5.
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Zwei Trigger Strategien bilden demnach ein GG, wenn
der Diskontfaktor mindestens 0.5 beträgt.
c) Das Spiel wird wie folgt modifiziert:
A
B
C
A 2, 2
4, 1 −2, −2
.
B 1, 4
3, 3 −2, −2
C −2, −2 −2, −2 −6, −6
Dieses Spiel wird zweimal hintereinander gespielt. Entwerfen Sie eine Strategiekombination, die ein Nash Gleichgewicht des Spiels darstellt, und bei der in der ersten
Runde (B, B) gespielt wird.
Lösung Die Strategie lautet
• Spiele B in der ersten Runde.
• In der zweiten Runde
– spiele A, falls in der ersten Runde (B, B) gespielt wurde, und
– spiele C sonst.
Die Auszahlung eines Spielers bei dieser Strategiekombination ist
3 + 2 = 5.
Weicht z.B. Spieler 1 ab und spielt in beiden Runden
A, während sich Spieler 2 an die Strategie hält, dann
ist die Auszahlung des Spielers 1
4 − 2 = 2 < 5.
Abweichen lohnt sich also nicht. Spielen beide Spieler
die angegebene Strategie, so ist dies ein Nash GG, bei
dem in der ersten Runde (B, B) gespielt wird.
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