Analyse der beschleunigten Expansion des inhomogenen

Analyse der beschleunigten Expansion des
inhomogenen Universums im Zweiskalenmodell
René Florin Wegner, 18.06.1988 Unna
21. Oktober 2011
Bachelorarbeit U niversität Bielef eld
Ref erent : P rof. Dr. Dominik Schwarz
Koref erent : Dr. Dominika Konikowska
Inhaltsverzeichnis
1
2
Einleitung
3
Annahme eines homogenen und isotropen Universums auf groÿen
Skalen
3
4
5
2.1
Friedmann Gleichungen
2.2
Kosmologische Parameter
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Das inhomogene und anisotrope Universum
8
3.1
Geometrie des Raumes und zeitliche Entwicklung . . . . . . . . .
8
3.2
Gemittelte skalare Einstein'schen Feldgleichungen . . . . . . . . .
8
3.3
Die gemittelten skalaren Einsteingleichungen mit eektiven Gröÿen 11
3.4
Zweiskalenmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Verhalten der beschleunigten Expansion im
skalenZweiskalenmodell
14
4.1
Skalenverhalten der kosmischen Parameter . . . . . . . . . . . . .
4.2
Ansatz eines Skalenverhaltens für vernachlässigbare
4.3
4.4
QF .
. . . . .
Ansatz einer gewichteten Verteilung als Skalenverhalten für
und
5
12
QF .
14
15
hRiF
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
Allgemeiner Ansatz über maximale Unbestimmtheit. . . . . . . .
24
Schlusswort
30
1
Einleitung
Ziel dieser Bachelorarbeit ist es, dass angelehnt an einem Skalen-Ansatz für die
kosmischen Parameter, die Expansion eines nicht isotropen und inhomogenen
Universum näher beschrieben werden soll. Vor allem soll versucht werden das
Auftreten einer positiven Beschleunigung zu erklären. Hierzu wird angenommen,
dass das Universum auf hinreichend groÿen Skalen homogen ist, so dass es in
Domänen
Di
zerlegt werden kann, in welchen die, über die jeweilige Domäne
gemittelten, Energiedichten miteinander übereinstimmen. Nun existieren in
Di
Bereiche mit Unterdichte und Überdichte, welche deniert werden als Domäne
Ei
mit niedriger Energiedichte und als Domäne
Mi
mit höherer Energiedichte
als der Energiedichte des Mittelwertes.
Weiterhin werden die wesentlichen physikalischen Gröÿen, die für kosmologische Modelle ausschlaggebend sind, zum vereinfachtem Vergleich als kosmologische Parameter umformuliert. Diese beschreiben verschiedene Energieformen,
die zuerst auf eine kritische Energie genormt sind, bei der sich das Universum zusammenziehen würde. Diese Energieformen sind die in Materie gebundene Energie, welche
Ωm
zugeordnet wird, die Vakuum Energie, welche mit der
kosmologischen Konstante
Raumkrümmung mit
ΩR
Λ
auf
ΩΛ
zurückzuführen ist und der Energie der
. Ggf. können diese Parameter noch unterteilt wer-
den z.B. relativistische und nicht relativistische materielle Energie, wobei unter
den Annahmen die aus dieser Arbeit hervorgehen keine weiteren Unterteilungen
nötig sind. Nach der später beschriebenden Mittelung erhält die kosmologische
Konstante
ΩQ
bzw. die entsprechende kinematische Rückwirkung
Q
eine nicht
vernachlässigbare Bedeutung.
Notwendig für die Beschreibung der physikalischen Gröÿen eines Systems
ist eine Metrik. Allerdings verlangt die Robertson Walker (RW) Metrik einen
homogenen und isotropen Raum, welcher nicht vorliegen soll. Daher werden
die physikalischen Gröÿen gemittelt bzw. durch eektive Gröÿen ersetzt. Nun
können aber die Gröÿen in den einzellnen Domänen so stark vom Mittelwert
abweichen, dass weiteres Rechnen ungenaue Ergebnisse liefern würde. Dies kann
entgegen gegangen werden, indem über die Domänen gemittelt wird. Desto mehr
Domänen dabei berücksichtigt werden, desto genauer sollte dann die Ergebnisse
sein.
Hier in dieser Arbeit sollen dazu die Domänen zu zwei gröÿeren zusammengefasst werden.
Da nun die Mittelwertbildung und die zeitliche Entwicklung eines Parameters
nicht zwangsläug kommutieren, muss davon ausgegangen werden, dass obwohl
die Summe der Volumina der einzelnen Domänen das Volumen der übergeordneten Domäne ergibt, die kosmologischen Parameter und andere Gröÿen gemittelt
auf
Di
mehr als nur die Summe der jeweiligen Gröÿen der Unterteilungen sind.
Weshalb sich interessante Szenarien abspielen können wie zum Beispiel, dass
die Expansionsbeschleunigung von
D
negativ ist, obwohl alle Untergebiete eine
positive Wechselwirkung aufweisen.
Dieser Zusammenhang ist einer der wichtigsten Punkte, welche in dieser
Arbeit nährer untersucht werden soll. Wegen dem Wirken der Gravitation soll-
3
te die Beschleunigung der Expansion des Universums negativ sein, was aber
nach Messungen nicht der Realität entspricht. Somit könnte der Ansatz eines
Mehrskalenmodell im inhomogenen Universum eine theoretische Bestätigung
der Messwerte ergeben.
Diese zu den Haupteil führenden Informationen wurden vorwiegend aus den
Quellen [1], [2] , [3] und [8] entnommen.
4
2
Annahme eines homogenen und isotropen Universums auf groÿen Skalen
2.1
Friedmann Gleichungen
In der Kosmologie gibt es Prozesse wie bestimmte Supernovae, welche immer die
gleichen Voraussetzungen haben und daher immer das selbe elektromagnetische
Spektrum ausstrahlen. Aber es wurde bemerkt, dass die meisten Spektren rotverschoben sind. Dieses lässt sich damit erklären, dass sich die meisten Galaxien
voneinander wegbewegen und so die Wellenlängen der Photonen lang gezogen
werden. Weiterhin steht fest, dass die Rotverschiebung stärker wird, desto weiter
ein System entfernt ist, was darauf zurückzuführen ist, dass sich der Raum,
welches das Photon passiert expandiert und das, nach heutigen Erkenntnissen,
mit zunehmender Beschleunigung.
Um die Beschaenheit des Raumes zu beschreiben, bedarf es zum einen der
Grundgleichungen der allgemeinen Relativitätstheorie,
wobei
Rµν der
1
Rµν − gµν Rρρ + Λgµν = 8πGTµν ,
2
gµν der metrische, Tµν der Energie Impuls
Ricci-,
Gravitations- und
Λ
(1)
Tensor,
G
die
die kosmologische Konstante sind. Zudem wird eine Me-
trik für den Raum und die Zeit gebraucht. Für ein homogenes und isotropes
Universum gilt;
dr2
2
2
2
2
ds = dt − a (t)
+ r dθ + sin (θ) dφ
,
1 − kr2
2
2
2
welche die Robertson Walker Metrik ist. Hier sei
dimensionalen Raum,
che,
k
a (t)
ds
(2)
das Linienelement im 4-
der Skalenfaktor auf der 3-dimensionalen Hyperä-
der Krümmungsparameter und
r, θ
und
φ
die Kugelkoordinaten auf der
3-dimensionalen Hyperäche.
Wird zusätzlich davon ausgegangen, dass sich die Materie im Universum wie
eine ideale Flüssigkeit verhält, dann lässt sich der Energie Impuls Tensor zu
Tµν = pgµν + ( + p) uµ uν
vereinfachen. Mit
p
als isotropen Druck,
als homogene Energiedichte und
(3)
uµ
als Geschwindigkeit der Flüssigkeit. Die Energiedichte besteht aus vielen Komponenten wie zum Beispiel aus baryonischer Materie, Neutrinos und Photonen.
Für jede Komponente erhält man eine Zustandsgleichung
p = w.
Die Werte für
w
können statistisch erfasst werden, so gilt nach [2] 2.2.3 für
relativistische Materie
dunkler Materie
(4)
w =
1
3 und sowohl für gewöhnliche als auch für kalter
w = 0.
Aus den Gleichungen (1) bis (3) folgen die Friedmann Gleichungen
5
H2 =
Λ
8πG
k
− 2 +
3
a
3
(5)
und
4πG
Λ
ä
=−
( − 3p) +
a
3
3
(6)
mit der Denition des Hubble Parameters als
H (t) =
ȧ (t)
.
a (t)
(7)
k
8πG
3 und a2 bzw. und 3p bei vernachlässigbaren
Λ
3 in (5) und (6) nicht gegenseitig eliminieren, muss davon ausgegangen werden,
dass das Universum entweder positiv oder negativ beschleunigt expandiert. Ink
Λ
teressant ist auch, dass
3 − a2 für die gesamte Energie des Universums und
8πG
2
H − 3 für die Summe der kinetischen und potentiellen Energie steht. Λ3
würde demnach für die Vakuumenergie stehen.
Solange sich die Terme
Zudem kann bei vernachlässigbar kleinem
Energie auf ein negatives
k
Λ
von dominierender kinetischer
also einem negativ gekrümmten Raum, dessen Ex-
pansion niemals aufhört, geschlossen werden. Wegen der nie endende Expansion
nennt man ein solches Universum ein oenes Universum. Dominiert jedoch die
potentielle Energie, so rekollabiert das Universum nach einiger Zeit, da
k positiv
ist. Ein Universum mit positiver Krümmung wird daher geschlossenes Universum genannt. Für den Fall, dass
k =0
ist, ergibt sich ein aches Universum,
welches ständig expandiert.
Aus (5) und (6) folgt die Kontinuitätsgleichung
˙ = −3H ( + p) ,
(8)
welche zur Abhängigkeit
−3(1+w)
∝ a (t)
führt. Nach
a(t)
(9)
aufgelöst, kann eine Aussage zum Verhalten der Expansion
von homogenen und isotropen Bereichen im Universum, während einer Epoche
in der
w
konstant ist, getroen werden. Zum Beispiel wäre für ein Universum,
welches von relativistischer Materie geprägt ist die Gleichung (9)
2.2
−4
∝ a (t)
Kosmologische Parameter
Neben den Friedmann Gleichungen sind beim homogenen und isotropem Modell des Universums die komologischen Parameter von hoher Bedeutung, da
ihrer Anpassung an jeweilig betrachteten Systeme zum Vergleich mit anderen
Systemen nützlich ist.
Ωr =
8πG
8πG
Λ
k
r,0 , Ωm =
m,0 , ΩΛ =
, Ωk = − 2 2
2H02
2H02
3H02
a0 H0
6
(10)
Der Index 0 bedeutet hier, dass die bezogene physikalische Gröÿe zum heutigen
Zeitpunkt betrachtet wird. Der Strahlungsparameter
Ωr = Ωγ + Ων fasst
somit
Photonen und relativistische Neutrinos zusammen. Zur weiteren Vereinfachung
wird analog
Ωm = Ωb +Ωdm geschrieben, wobei b und dm die nicht relativistische
baryonische und dunkle Materie bedeuten. Mittels dieser Denition wird die
erste Friedmann Gleichung zur heutigen Zeit
t0
als
Ωtot = Ωm + Ωr + Ωk + ΩΛ = 1
(11)
umgeschrieben. Für die zeitliche Entwicklung der Parameter wird ein Skalenverhalten
a0 n
angesetzt, so dass
a
Ωm
a 3
0
a
+ Ωr
a 4
0
a
+ Ωk
a 2
0
a
+ ΩΛ =
H2
H02
(12)
folgt.
Messungen des kosmischen Mikrowellenhintergrundes und von Supernovae
bringen folgende Ergebnisse:
Wert in Si-Einheiten
H0
Ωm
ΩΛ
Ωγ
Ωtot
72, (3) s km
M pc
0.26(2)
0.74(3)
4.8(4) · 10−5
1.006(6)
[T abelle 1. P arameter, Quelle : [7]]
7
3
Das inhomogene und anisotrope Universum
3.1
Geometrie des Raumes und zeitliche Entwicklung
Um die Entwicklung der Raumzeit des Universums zu beschreiben, muss die
Zeitachse ausgezeichnet werden, wodurch die Einsteingleichungen im Allgemeinem nicht kovariant bleiben. Eine Möglichkeit hierfür ist die Aufspaltung der
vierdimensionalen Raumzeit in 3 Raum-dimensionen + 1 Zeitdimension nach
dem ADM - benannt nach Arnowitt, Deser, Misner - Formalismus. Hier wird
die vierdimensionale Raumzeit in dreidimensionalen, raumartigen und paarweise
disjunkten Hyperächen
Σ unterteilt, deren Normalvektoren nµ
in der Richtung
der zeitartigen Koordinate zeigen. Dass die Hyperächen paarweise disjunkt
sind ist allerdings nur für rotationsfreie Materie möglich. Damit folgt für einen
Projektor auf eine Hyperäche:
i, j ∈ {1, 2, 3}
hµν = gµν + nµ nν .
Mit
µ, ν ∈ {0, 1, 2, 3}und
folgt weiterhin die Drei-Metrik
gij = gµν hµi hνj .
Zudem sei
g
die Determinante der mit
gij
(13)
assoziierten Matrix. Damit weitere
Rechnungen vereinfacht werden wird die Materie des Universums als rotationsfreies ideale Flüssigkeit gesehen, welches eigentlich eine sehr starke Verallgemeinerung ist. Rotationsfrei bedeutet hier, dass der Beobachter, welcher ein
Koordinatensystem festlegt, mit dem Fluid mit schwimmen kann. Dies bedeutet
für
nµ = −nν = (−1, 0, 0, 0) = uµ
die Vierergeschwindigkeit des Fluids und für
die Vierermetrik des ADM-Formalismus
ds2 = −dt2 + gij dX i dX j .
3.2
(14)
Gemittelte skalare Einstein'schen Feldgleichungen
Weiterhin sei die externe Krümmung deniert als
Kij = −uµ;ν hµi hνj
und die interne Krümmung sei deniert über den Ricci Tensor
(15)
Rij
in der drei-
dimensionalen Hyperäche. Damit werden die ADM-Gleichungen für eine rotationsfreie Flüssigkeit im Ruhesystem zu:
1 σ
2
R σ + (K σσ ) − K ij K ji = 8πG + Λ,
2
(16)
K ij||i − K|j = 0,
(17)
˙ = K σσ ,
(18)
∂t gij = −2gik K kj
(19)
8
und
∂t K ij = K σσ K ij + Rij − (4πG + Λ) δ ij .
(20)
Gleichungen (16) und (17) werden Zwangsbedingungen und Gleichungen (18)
- (20) werden Entwicklungsgleichungen genannt. Gleichung (15) kann, mittels
uµ;ν = u(µ;ν) + u[µ;ν] in
der Aufspaltung von
einen symmetrischen und einem
verschwindenden anti symmetrischen Teil, als
1
−Kij = σij + θgij
3
umgeschrieben werden.θ ist die Expansionsrate und
(21)
σij
ist der Scherungstensor.
Mit (21) ergeben sich (16) -(20) zu:
1
1
1 σ
R σ + θ² − σµν σ µν = 8πG + Λ,
2
3
2
σ ij||i =
2
θ|j ,
3
(22)
(23)
˙ = −θ,
(24)
2
∂t gij = 2gik σ kj + θgij
3
(25)
1
1
∂t σ ij = −θσ ij − Rij + 4πG − θ2 − θ̇ + Λ δ ij .
3
2
(26)
und
Mit der Absicht physikalische Gröÿen über verschiedene Domänen zu mitteln, ist es angenehm mit skalaren Gröÿen weiter zu rechnen, weshalb die Gleichungen (21) - (26) über Spurbildung und Kombination umgeschrieben werden
als:
1
θ̇ + θ2 = −4πG − σµν σ µν + Λ,
3
(27)
1 2
1
1
θ = 8πG − Rσσ + σµν σ µν + Λ
3
2
2
(28)
0 = ˙ + θ
(29)
und
Gleichung (27) nennt sich Raychaudhuri Gleichung, (28) Hamilton constraint
und (29) Kontinuitätsgleichung.
F zu konstanter Zeit t
gdx1 dx2 dx3 , welches aus (13) hergeleitet
Probefunktion f gilt demnach:
Um diese Gleichungen über ein Gebiet
wird das Maÿ
dµg =
benötigt. Für eine
√
9
zu mitteln,
worden ist,
´
F
hf iF (t) ≡
Die Mittlung verlangt, dass auf
Daher ändert sich die Form von
F
F
f (t, x) dµg
´
.
dµg
F
(30)
die Drei-Metrik angewandt werden darf.
beim Ändern der Zeit, bzw. beim Ändern der
Koordinaten, während der Beobachter mit dem Fluid mitschwimmt. Somit ist
ein Zusammenhang zwischen Morphologie von
F
und der zeitlichen Entwick-
lung der inhomogenen Metrik zu erkennen. Um die zeitliche Änderung eines
Mittelwertes zu berechnen bedarf es vorher zum angenehmen Rechnen einen
bestimmten Ausdruck der Expansionsrate
√
∂t g(t,x)
. Damit ergibt sich
θ (t, x) = √
g(t,x)
aus der Quotientenregel:
∂t hf iF = h∂t f iF + hf θiF − hf iF hθiF .
Sofern
hf θiF 6= hf iF hθiF
(31)
vertauscht zeitliche Entwicklung und Mittelwert-
bildung nicht. Die Gleichheit würde allerdings im homogenen Standardmodell
gelten. Bevor nun (27) - (29) gemittelt werden, muss für den direkten Vergleich
zum Standardmodell ein Skalenfaktor
aF (t) ≡
|F|
|Fi |
13
(32)
´
|Fi | ≡ Fi dµg zum Referenzzeitpunkt ti .
Gebiet F gilt nach Denition:
eingeführt werden. Mit dem Volumen
Für den Hubble Parameter im
HF ≡
ȧF
1
= hθiF .
aF
3
Ohne Einschränkung der Allgemeinheit wird
die kinematische Rückwirkung
QF ≡
Q
im Gebiet
hθiFi = 0
F als
(33)
gesetzt und zudem wird
2 2 2
θ F − hθiF − hσµν σ µν iF
3
(34)
deniert, womit die gemittelten skalaren Einsteingleichungen (Buchert Gleichungen) lauten:
3
äF
= −4πG hiF + QF + Λ
aF
3HF2 = 8πG hiF −
1
1
hRiF − QF + Λ
2
2
0 = ∂t hiF + 3HF hiF
(35)
(36)
(37)
Der wesentliche Unterschied zu den Friedmann Gleichungen liegt hier bei
der Präsenz der kinematischen Rückwirkung. Da diese nur für den Spezialfall
einer Gleichheit von zwei Drittel der Varianz der lokalen Expansionsrate - erster
Term in (34) - und dem zweifachen des Scherungsterms - zweiter Term in (34) -
10
verschwindet, ist die Anwendbarkeit der Friedmann Gleichungen nicht von der
Gröÿe des Gebietes abhängig.
Die Bedeutsamkeit der kinematischen Rückwirkung wird auch an der beschleunigten Expansion eines Gebietes in (35) sichtbar. Hier kann
QF
neben
der kosmologischen Konstante das Vorzeichen der Beschleunigung bestimmen
und somit zu einer positiv beschleunigten Expansion führen, was im Friedmann
Modell nicht so leicht zu erreichen war.
Weiterhin ist die zeitliche Entwicklung der kinematischen Rückwirkung für
diese Arbeit interessant, die aus einer Lösung eine gekoppelten Dierentialgleichung folgt, die aus einer Kombination von (35) mit (36) und (37) folgt.
−6
2
6
a−2
F ∂t aF hRiF = −aF ∂t aF QF
(38)
Für eine verschwindende kinematische Rückwirkung tritt der Fall des Standardmodells auf, dass die Krümmung
QF
hRiF ∝ a−2
F
sein muss. Für endliche Werte von
treten zusätzliche Terme auf, die nicht zwangsweise verschwinden und somit
der Krümmung erlauben kein monoton steigendes bzw. fallendes Verhalten zu
haben.
3.3
Die gemittelten skalaren Einsteingleichungen mit effektiven Gröÿen
Die gemittelten skalaren Einsteingleichungen (35) -(37) lassen sich mit Hilfe von
eektiven Gröÿen umschreiben. Dazu seien
F
ef f = hiF −
1
(QF + hRiF )
16πG
(39)
und
pF
ef f =
1
(hRiF − 3QF )
48πG
(40)
die eektive Energiedichte und der eektive Druck. Damit ähneln (35) - (37)
den Friedmanngleichungen (5), (6) und (8);
3
äF
F
= Λ − 4πG F
ef f + 3pef f ,
aF
(41)
3HF2 = Λ + 8πGF
ef f
(42)
F
F
˙F
ef f = −3HF ef f + pef f .
(43)
und
(46) und (47) wurden so gewählt, damit (48) und (49) zu den Friedmann
Gleichungen passen. Daher lieÿ sich (50) bilden und beim weiteren Umformen
zur gemittelten Integrabilitätsbedingung führen:
0 = ∂t QF + 6HF QF + ∂t hRiF + 2HF hRiF
11
(44)
3.4
Zweiskalenmodell
Wenn es eine Homogenitätslänge, ab welcher die physikalischen Gröÿen dem allgemeinem Mittelwert entsprechen, gibt, dann liegt diese nach [1] 2.2.1 deutlich
über 100 Mpc. Weshalb die Annahme eines homogenen und isotropen Universums aufgehoben wird und somit als Ansatz für ein inhomogenes Universum die
Unterteilung in Domänen gleicher Energiedichte genommen wird.
Bei der Zerlegung des Universums in Quader mit Kantenlängen, welche gröÿer als die Homogenitätslänge sind, soll es eine mittlere Dichte geben, welche
sich kaum ändert bei Verlängerung der bisherigen Kantenlängen. So dass ein
solcher Quader die selben Eigenschaften aufweist wie seine Umgebung und im
idealen Fall wie das gesamte Universum. Da auf kleineren Skalen die Dichteverteilung im Innerem des Quaders inhomogen wird, kann er in Domänen
zerlegt werden, welche eine Dichte über oder unter der mittleren Dichte besitzen. Nun soll der gesamte Quader die Domäne
mit Unterdichte sollen die Domänen
lungen mit Überdichte sollen
M(i)
E (i) sein
D
sein, die Unterteilungen
und die Domänen der Untertei-
heiÿen. Weiterhin sind die Domänen nach
Konstruktion paarweise disjunkt, so dass für die Vereinigungen
M =
S
(i)
M
E=
S
E (i)
und
S
D = M E Da die Unterteilungen paarweise disjunkt sind
3
3
3
gilt demnach |D| = |E| + |M|. Zudem soll aD = aE + aM gelten, was bedeutet,
dass die Domänen D , E und M auf Di normiert sind.
Diese Formulierung macht es sehr angenehm den Anteil λM der materiedominierten Regionen im gesamten Volumen |D| zu bestimmen.
Analog gilt fürλE
gilt:
λE =
a3
|E|
= 1 − λM = 3E .
|D|
aD
(45)
Nach Messergebnissen aus einer N-body Simulation liegt zum heutigen Zeitpunkt
λM
zwischen 0.1 und 0.01.[Quelle 1, Seite 40.]
Des Weiterem sollen Aussagen getroen werden, wie das Verhalten von physikalischen Gröÿen in den Unterteilungen das Verhalten der entsprechenden Gröÿen in
D
bestimmt. Sei dazu f eine beliebige skalare und integrierbare Funktion,
die für Observablen in der Kosmologie steht. Nach der in (30) denierten Mittlung gilt:
ˆ
|D| hf iD =
f dµg =
D=M
S
E
Xˆ
i
f dµg +
E (i)
Xˆ
j
M(j)
f dµg = |E| hf iE +|M| hf iM ,
was äquivalent ist zu
hf iD = (1 − λM ) hf iE + λM hf iM .
(46)
Daher ergeben sich die Gleichungen:
hiD = (1 − λM ) hiE + λM hiM ,
12
(47)
hRiD = (1 − λM ) hRiE + λM hRiM ,
(48)
HD = (1 − λM ) HE + λM HM ,
(49)
2
QD = (1 − λM ) QE + λM QM + 6 (1 − λM ) λM (HE − HM )
(50)
äD
äE
äM
2
= (1 − λM )
+ λM
+ 2 (1 − λM ) λM (HE − HM ) .
aD
aE
aM
(51)
und
Da die kinematische Rückwirkung aus gemittelten Funktionen besteht, wurden
in (46) die Expansionsrate bzw. dessen Varianz und der Scherrungsterm eingegeben.
Wegen den in (45) auftretenden Terms
auch bei negativen
äE
und
äM
2
2 (1 − λM ) λM (HE − HM )
kann
äD
positiv sein. Dieses Phänomen soll daher näher
betrachtet werden.
Sei
F =D
so folgt nach der Mittlung von (35) über
E
und
M
äE
äM
+(1 − λM ) QE + Λ − 4πG hiE − 3
= 0,
λM QM + Λ − 4πG hiM − 3
aM
aE
dass bei beliebigen
λM
die Terme in den eckigen Klammern, unabhängig von
der jeweilig anderen Klammer, verschwinden müssen. Analoge Rechnung für
(36) und (44). Da sich (44) auf (37) zurückführen lässt kann in (37) auch für
nicht nur
D
sondern auch
E
oder
M
F
eingesetzt werden.
Zuletzt muss noch auf die gemittelten kosmologischen Parameter eingegangen werden. Damit diese Konstanten der Denition nach wohldeniert sind werden sie hier auf
HD
normiert, da
HM
oder
HE
bei weiteren Analysen gegen 0
gehen können. Zudem wird relativistische und nicht relativistische Materie unter m zusammen gefasst und es wird zur kinetischen Rückwirkung ein weitere
Parameter deniert. Für
ΩF
m ≡
F ∈ {D, M, E}gilt:
hRiF
8πG
Λ
QF
hiF , ΩF
ΩF
, ΩF
Λ ≡
R ≡−
Q ≡−
2
2
2
2
3HD
3HD
6HD
6HD
(52)
Nach (36) ist die Summe aller vier Parameter gleich 1 und aus (47) - (50) folgt
das Verhalten für die Mittlung der Parameter in
D.
M
E
ΩD
m = λM Ωm + (1 − λM ) Ωm
(53)
M
E
ΩD
Λ = ΩΛ + ΩΛ
(54)
M
E
ΩD
R = λM ΩR + (1 − λM ) ΩR
(55)
−2
D
2
2 −2
ΩD
+ (1 − λM ) ΩD
Q = λM ΩQ − HM HD
Q − HE HD
(56)
13
4
Verhalten der beschleunigten Expansion im
Zweiskalenmodell
4.1
Skalenverhalten der kosmischen Parameter
äD
aD
und
Ziel ist es, das Verhalten
dessen Unterteilungen
E
Nun wird versucht, über
Aussagen zu
D
(t) für eine Domäne D zu bestimmen. Für D und
M sollen den Gleichungen im Abschnitt 2 genügen.
eine Analyse der Entwicklung von E und M genauere
zu gewinnen.
= (1 − λM ) äaEE + λM aäM
+
M
2
äF
2 (1 − λM ) λM (HE − HM ) . Hier tauchen Terme auf wie aF und HF , F ∈
{D, E, M}, welche mit (35) und (36) umgeschrieben werden können. 3 äaFF =
−4πG hiF + QF + Λ und 3HF2 = 8πG hiF − 12 hRiF − 21 QF + Λ. Weshalb die
Entwicklungen von hiF , hRiF und QF wichtig sind. Für den Fall einer Materie
dominierten Epoche des Universums bzw. von D ist bei Energieerhaltung die
Nach (45) ist die Mittlung
äD
aD über
E
und
M:
äD
aD
Energiedichte anti-proportional zum dreidimensionalen Volumen:
8πG
Fi
2 hiF = Ωm
3HD
i
aFi
aF
3
(57)
hRiF und QF zu bestimmen wird (38) gebraucht.
−6
m
6
2
a−2
F ∂t aF hRiF = −aF ∂t aF QF folgt mit dem Ansatz hRiF = RaF
n
QF = QaF , dass einmal m = −2 und n = −6 sein kann, ohne dass hRiF
QF miteinander gekoppelt sind, oder dass für m = n folgende Beziehung
(2 + n) RanF = − (n + 6) QanF . Für zeitlich konstante Q, R und c0 folgen
Um das Verhalten von
Aus
und
und
gilt:
die Gleichungen
hRiF = −c0 (n + 6) anF , QF = c0 (n + 2) anF ,
welche für beliebige
n
gelten. Da mit
n∈N
bzw.
−n ∈ N
(58)
eine Basis für den
Lösungsraum der Dierentialgleichung gegeben ist, kann davon ausgegangen
werden, dass die allgemeine Lösung für
hRiF
und
QF
eine Summe ist, dessen
gewichtete Summanden eine Basis des jeweiligen Lösungsraumes sind.
Zuerst sollen aber einfache Fälle besprochen werden und zwar erstens der
Fall für eine verschwindende kinetische Rückwirkung
QF = 0 ⇒
1
Fi
2 hRiF = −ΩR
6HD
i
aFi
aF
2
(59)
und zweitens der Fall einer endlichen Aufsummierung von Lösungen, bei welchen
die gewichtenden Koetienten
cn
relativ groÿ zu sein scheinen:
X
1
Fi
i
(QF + hRiF ) = − ΩF
cn
Q + ΩR
2
6HDi
n∈U
14
aFi
aF
n
; U ⊆ Z.
(60)
4.2
Ansatz eines Skalenverhaltens für vernachlässigbare
QF .
Für den in (59) beschriebenen Fall kann weiter vereinfacht werden, dass
a3Mi ≈
1 3
1 Di 3
Fi 3
2 aDi und hiMi & hiEi ist. Dann gilt Ωm aFi = 2 Ωm aDi und für eine
verschwindende kosmologische Konstante Λ werden (35) und (36) zu:
a3Ei ≈
ΩDi
1 äF
=− m
2
HDi aF
4
aDi
aF
3
,
HF2
ΩDi
= m
2
HDi
2
aDi
aF
3
i
+ ΩF
m
aFi
aF
2
(61)
Weshalb sich (45) zu
2
äDi
(1 − λM )
=
Di a
2
2
HDi Ωm D
aDi
aE
3
λM
+
2
aDi
aM
3
+
s

3
2 s
3
2 2
Ei Mi 2Ω
2Ω
a
a
a
a
Ei
Mi
Di
Di
R
 ⇒
2 (1 − λM ) λM 
+ DRi
−
+ D
aE
aE
aM
aM
Ωm
Ωmi
cd a2D äD = −1 +
q
q
λM 2 ± c−1
(1 − λM ) 2 ± c−1
e aE −
m aM
2
(62)
D
umformen lässt. Für
cd =
2
2 ΩDi a3
HD
m D
i
i
Ωmi a3D
i
Fi 2
4ΩR aF
, cf =
i
, f ∈ {e, m} Da ΩF
R
sowohl
i
positiv als auch negativ sein kann wird des weiteren der Betrag geschrieben um
die beiden Fälle anschaulicher zu machen.
An (62) wird erkannt, dass das Vorzeichen der Beschleunigung in
mit den Gröÿen der Domänen
berechnen:
daF
HF dt =
E
M
und
ändern kann.
daF
aF mit (61) und dem Startwert
aF
aFi
D
sich
lässt sich aus (33)
der Integration nach
folgt:
tD − tDi
1
=
HDi
ˆaF
áF
r
aFi
D
Ωmi
2
a3Di áF
dáF ,
Fi 2 2
± ΩR aFi áF
was sich mittels quadratische Ergänzung und dem Einbringen von
(63)
cf
umschrei-
ben lässt zu:
ˆaF
HDi (tD − tDi ) =
aFi
áF
r
dáF .
q
Fi 2
−2
aFi ΩR cf ±cf (áF ± cf ) ∓ 1
Für den Fall der positiven Krümmung
cosh (x́) = c−1
f (áF + cf )
15
i
ΩF
R > 0 folgt mit der Substitution:
r
ˆx
Fi aFi ΩR cf HDi (tD − tDi ) = c2f (cosh (x́) − 1) dx́
xi
x = arccosh c−1
f aF + 1
mit
bzw.
xi = arccosh c−1
a
+
1
.
F
i
f
Die resultieren-
de Lösung ist dann:
r
i −1
aFi ΩF
R cf HDi (tD − tDi ) = sinh (x) − x − sinh (xi ) + xi
(64)
Um weitere Auswertungen zu vereinfachen werden
τF ≡ aFi
r
Fi −1
ΩR cf HDi (tD − tDi )
und
αF ≡ c−1
f aF
deniert.
Mit diesen Denitionen und weiteren Umformungen lässt sich (64) umformulieren als:
τF =
q
2
αF
+ 2αF − ln αF + 1 +
Für den Fall negativer Krümmung
q
2
αF
− sinh (xi ) + xi
+ 2αF
−1
i
ΩF
R < 0 wird mit cos (x́) = cf (áF + cf )
substituiert und es ergibt sich, dass
ˆy
−τF =
(cos (x́) + 1) dx́
yi
mit
y = arccosh (αF − 1) bzw. yi = arccos (αF − 1) ist. Somit folgt die Lösung:
−τF = sin (y) + y − sin (yi ) + yi .
(65)
Da hier in Betracht gezogen werden muss, dass der Raum sich wieder zu
zusammen ziehen wird, existiert eine Fallunterscheidung, ob t vor oder nach der
maximalen Ausdehnung von
τF0,1 = ∓
q
2αF −
2
αF
aF
liegt. Daher ergibt sich aus (65):
q
2
+ i ln αF − 1 ± i 2αF − αF + sin (yi ) − yi
Damit diese Gleichung reell bleibt, ist
aF = 2cf =
D
Ωmi a3D
i
Fi 2
2ΩR aF
i
. Mit
αF ∈ [0;
2] und
αFi = c−1
f aFi =
F 4ΩRi a3F
i
D
Ωmi a3D
i
16
damit das maximale
≈ 10−6 1
ist
xi
vernachlässigbar klein und
und
τF 1 ∈ [π; 2π]
yi = (2k + 1) π, k ∈ Z. Damit lassen sich τF 0 ∈ [0, π]
einen physikalischen Sinn geben als Zeit vor der maximalen
Ausdehnung der Region bzw. nach der maximalen Ausdehnung. Für den Fall
einer positiven Krümmung ist
Nun müssen
αe
und
αm
τF ∈ [0; ∞)
τF invertiert
nach
und in (63) eingesetzt werde. Da
dies analytisch nicht möglich ist, wurde das Programm Mathematica verwendet
um die Graphen zu plotten.
8
ΑF
6
4
2
0
0
1
2
3
4
5
6
ΤF
[Abbildung 1.
αF
für positive Krümmung bei
QF = 0]
Der Graph verhält sich für groÿe Zeiten wie eine Gerade, was durch den
schwächer werdenden Logarithmus kommt. Damit verbunden ist das stetige expandieren des Raumes.
2.0
ΑF
1.5
1.0
0.5
0.0
0
1
2
3
4
5
6
ΤF
[Abbildung 2.
αF
für negative Krümmung bei
QF = 0]
Wie erwartet rekollabiert der Raum ab dem Zeitpunkt
τF = π .
Interessant
ist auch, dass der Raum in endlicher Zeit komplett kollabiert ist. Sowohl das
aus dem Nichts entstehen des Raumes als auch das komplette Verschwinden
des Raumes ist unrealistisch, da die beinhaltete Energie erhalten sein muss. Da
allerdings anzunehmen ist, dass die Energiedichte sich zum Schluss nicht mehr
17
klassisch, sondern relativistisch verhält, kann dieses Modell dafür keine genauen
Werte liefern. Daher sollte davon ausgegangen werden, dass diese Graphen nur
für den Beobachter innerhalb dieser Domäne gilt und nicht für einen der weit
genug entfernt ist um Mittlungen über die Domänen zuzulassen. Daher wird jeder Graph in dem Zeiträumen, in welchen eine Divergenz physikalischer Gröÿen
zu beobachten ist, falsch sein.
In beiden Fällen existiert eine Abbremsung der Expansionsgeschwindigkeit,
was erwarten lässt, dass die Beschleunigung der übergeordneten Region
D
auch
vorwiegend negativ ist. Um dies genauer zu betrachten wird (62) benutzt.
αF
Da in (62) sowohl
als auch
λF
vorkommen, wird
λF
zuerst umgeformt
und (62) wird zu
s
cd a2D äD
= −1 +
s
= −1 +
= −1 +
a3M
2 ± c−1
e aE −
3
aD
s
3
(cm αM ) (2 ± αE )
3
3
(cm αM ) + (ce αE )
−
s
a3E
2 ± c−1
m aM
3
aD
!2
3
(ce αE ) (2 ± αM )
3
!2
3
(cm αM ) + (ce αE )
!2
s
s
3 (2 ± α )
αM
αE3 (2 ± αM )
E
.
−
3
3 + c c−1 α 3
αM
cm c−1
+ αE3
e αM
e m E
Mit annähernd gleichen Anfangsbedingungen der Domänen
M und E
ergibt
sich
Mi Mi 2
Di 3
a
4
Ω
Ω
a
Ω
M
R
R
ce
i
m Di
≈1
=
= D
3
i
Ei cm
4 ΩERi a2Ei Ωm aDi
ΩR und
τE
τM
r
aEi ΩERi cm
r
=
≈ 1 ⇒ τE ≈ τM ≡ τ
Fi aFi ΩR ce
M mit E , ergibt sich bei gleichen
M und E : cd a2D äD ≈ −1 Damit die Krümmungen
Wegen diesem geringen Unterschied von
Vorzeichen der Krümmung in
von
M und E
verschiedene Vorzeichen besitzen, müssen diese sehr klein sein um
den hier gegebenen Anfangsbedingungen nicht zu widersprechen.
Bei der Betrachtung einer geringen Abweichung der Beträge der Krümmungen beider Domänen, ergibt sich folgender Graph:
18
-0.2
..
cDaD2a D
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
0
1
2
3
4
5
6
Τ
[Abbildung 3.
cd a2D äD
für
τ ∈ {0; 2π}
bei
QF = 0
und Domänen mit unter-
schiedlichen Vorzeichen der Krümmungen]
Es wurde
ce
cm in Gröÿenordnungen von 10% variiert, sodass ausgesagt werden
kann, dass bei solchen Variationen kaum eine Änderung des Graphen zu sehen
ist.
cd a2D äD
ist überwiegend negativ und besitzt eine Unstetigkeit in der ersten
τ = π , da hier eine Domäne zu kollabieren beginnt.
τ & 5.9 der Wert von cd a2D äD nicht mehr zu erkennen ist, wurde
Zeiten τ erkennbarer aufgelöst:
Ableitung an der Stelle
Da
für Zeiten
für
spätere
..
cDaD2a D
1.0
0.5
0.0
5.7
5.8
5.9
6.0
6.1
6.2
Τ
[Abbildung 4.
cd a2D äD
für
τ ∈ {5, 7; 2π}
bei
QF = 0
und Domänen mit
unterschiedlichen Vorzeichen der Krümmungen]
Für
τ & 5, 96
tritt eine positive Beschleunigung ein, obwohl die unterge-
ordneten Domänen eine negative Beschleunigung besitzen. Weiterhin ist anzunehmen, dass für gröÿere Unterschiede in den Beträgen der Krümmung beider
Domänen der Zeitpunkt, ab dem die gesamte Beschleunigung positiv wird, immer kleiner wird.
Zusammengefasst wurde im Rahmen dieses Ansatzes die Möglichkeit einer
positiven Beschleunigung der Expansion des Universums bestätigt. Allerdings
19
ist der Zeitpunkt ab den eine positive Beschleunigung auftritt relativ spät in
Relation zum gesamten Zeitraum, in welchem die rekolabierende Domäne existieren soll.
4.3
Ansatz einer gewichteten Verteilung als Skalenverhalten für
hRiF
QF .
und
Um den Ansatz in (60) nachzugehen sei
nahme, dass für
n=2
U = {1, 2, 3}.
Zudem ist es anzunehmen, dass mit wahrscheinlichem
für
n=1
und
n=3
Dies folgt aus der An-
die Lösung wegen Symmetriegründen wahrscheinlich ist.
n = 2
die Gewichtung
nicht vernachlässigbar gering ist. Somit soll eine alterna-
tive Entwicklung mit nicht verschwindender kinetischen Rückwirkung erhalten
werden. Mit den Koezienten
c1 , c 2
und
c3 ,
welche die verschiedenen Skalen-
verhalten gewichten, ergibt sich aus (60):
−2
−3
−1
−3
hRiF = −5c1 a−1
F − 4c2 aF − 3c3 aF , QF = c1 aF − c3 aF
(66)
1
−2
−3
⇒ − (QF + hRiF ) = c1 a−1
F + c2 aF + c3 aF
4
(67)
Sehr interressant ist das verschwinden der Skalenverhalten
a−2
F
in
QF , was aber
allgemein aus (58) folgte und den Ansatz aus (59) erst ermöglichte. Zudem kann
eine Symmetrie der Verteilung der Koetienten
n=2
gewählt wurde. Alternativ würde
n=6
cn
die aber keinen Bezug zum vorherigen Fall hätte.
Mit
erkannt werden, weshalb
eine ähnliche Symmetrie bilden,
−1
−2
−3
2
i
6HD
ΩF
R = 5c1 aFi + 4c2 aFi + 3c3 aFi
i
und
−1
−3
2
i
6HD
ΩF
Q = c1 aFi − c3 aFi
i
ergeben sich Bedingungen an die Koezienten, die sie jedoch nicht eindeutig
festlegen. (3 Koezienten und 2 Gleichungen) demnach gilt:
c2 =
3 2 2 Fi
2
i
i 3
HDi aFi ΩR + 3ΩF
− 2aFi c1 , c3 = a2Fi c1 − 6HD
ΩF
Q
Q aFi
i
2
(68)
Die Gleichungen (35) und (36) werden umgeschrieben als:
äF
= 2c1 a−1
F −
aF
1 Fi
i
Ω − 6ΩF
Q
2 m
2 3
2
i
HD
a a−3 + HD
ΩF
Λ
i Fi F
i
Fi
Fi
−2
2 2
Fi
2 3
2
i
i
−HF2 = ΩF
+
3Ω
H
a
a
−
Ω
−
4Ω
HD
a a−3 − HD
ΩF
Di Fi F
m
R
Q
Q
Λ
i Fi F
i
Interessant ist, dass der Beitrag, welcher proportional zu
fällt und somit die Verteilung der Koezienten
cn
a2D äD
=
2
HD
i
20
weg-
nicht bedeutsam ist.
Mit der Annahme, dass die Koezienten sowohl in
selben Wert haben, folgt für (45):
2
a−1
F ist, in HF
M
also auch in
E
den
2c1 2
1 Ei
2c1 2
1 Mi
Ei 3
Ei
Mi
3
i 3
aEi +ΩΛ aE + 2 aM − Ωm − 6ΩQ
a3Mi +ΩM
Λ aM +
2 aE − 2 Ωm − 6ΩQ
HD
H
2
Di
i
4 a3E a3M
3 a3E + a3M
r
r
3 Ei Ei
Ei
Ei
2 −2
ΩΛ + Ωm − 4ΩEQi a3Ei a−3
−
Ω
+
3Ω
E
R
Q aEi aE −
2
3 Mi Mi
Mi
Mi
i
ΩΛ + Ωm − 4ΩM
a3Mi a−3
a2Mi a−2
Q
M − ΩR + 3ΩQ
M
2
Aus (33) lässt sich wieder die Entwicklung von
daF
=
dt =
HF aF
r
3
2
a3E
und
a3M
!2
(69)
bestimmen.
daF
r Fi
Fi −2 2
Fi
Fi
i
−
4Ω
aFi a−1
+
3Ω
+
Ω
aFi HDi − ΩF
m
Q
Q
F + ΩΛ aFi aF
R
Um ein numerisches Berechnen mit Mathematica durchzuführen, müssen
Vereinfachungen durchgeführt werden.
Zuerst wurde aus [1] die zu erwartende Relation von
i
ΩF
m
zu
i
ΩF
Q
und
i
ΩF
R
−6 Fi
−7 Fi
i
i
Ωm und mit Tabelle 1.
ΩF
Ωm und ΩF
R ≈ 2, 2 · 10
Q ≈ −4, 5 · 10
Fi
Fi
Verhältnis ΩΛ ≈ 2, 85Ωm .Weiterhin sollen aber sowohl der Fall positiver
bestimmt:
das
als auch negativer Krümmung besprochen werden. Demnach folgt:
r
Für
daF
2 Fi
Ωm aFi HDi dt ≈ q
3
−1
−2 2
i
∓10−6 ΩF
m + aFi aF + 2, 85aFi aF
αF ≡ a−1
Fi aF ergibt sich:
r
2 Fi 2
Ωm aFi HDi dt ≈ q
3
Für alle
αF ≥ 0
dαF
−1
i
2
∓10−6 ΩF
m + αF + 2, 85αF
(70)
bleibt die Zeit eine reelle Gröÿe, sodass die Domänen unab-
hängig von ihrer Krümmung nie kollabieren.
Daher kann der Unterschied zwischen positiver und negativer Krümmung
in (70) vernachlässigt werden. (Mit der Startbedingung folgt:
αF ≥ 1)
Nach
Mathematica ist die Lösung:
23
q
Fi 2
αF = 1, 418 sinh 2, 068 Ωm aFi HDi (t − ti ) + 1, 295
21
(71)
120
100
ΑF
80
60
40
20
0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
ΤF
[Abbildung 5.
αF (tF ) im Modell (60) mit U = {1, 2, 3}]
αF als Ordinatenachse, zeigt deutlich
Dieser Graph, mit
eine positive Be-
schleunigung, die zu einer Divergenz des Graphen für hohe Zeiten führt.
Um
tF
αM
und
αE
in (69) einzusetzen, müssen noch die Skallierung der Zeiten
angepasst werden. Mit
p
i 2
2, 068 ΩF
m aFi HDi (t − ti ) ≡ tF
gilt: tE
√ E
Ωmi a2
= √ Mi E2 i tM
Ωm aM
i
2c1
Somit kann tM von 0 bis ∞ laufen. Da in (69) noch die fünf Parameter aFi ,
2
HD
i
Fi
Fi
und Ωm fehlen, müssen für aFi und Ωm zu erwartende Werte genommen werden.
−1
M
E
Sei dazu aMi ≈ aEi ≈ 2 3 und Ωm i ≡ eΩmi ≡ 0, 25e Nach der Konstruktion
ist e > 1. Damit lässt sich (69) zusammenfassen zu:
2
a2D äD
=
2
HD
i
4
1
e
2 3 c1 2
2
3
αE + αM
− + ΩΛ αE3 + αM
− +
2
HDi
8
2
3
4 αE3 αM
3
3 αE3 + αM
r
3
1
ΩΛ + αE−2 αE−1 ∓ 10−6 −
2
4
r
3
−2
−1
ΩΛ + eαM
αM
∓ 10−6
2
!2
Für groÿe Zeiten wird das Vorzeichen der Krümmung wieder relevant, so dass
für
e = 1 ein nicht triviales Ergebnis erscheinen kann. Allerdings ist der Term in
der das Vorzeichen der Krümmung relevant ist für groÿe Zeiten vernachlässigbar
4
klein, so dass kaum ein Unterschied auällt. Für
2 3 c1
2
HD
i
negativ.
22
≥ 1
ist
2
a2D äD
nicht
2
HD
i
120
..
2aD2a DHD2i
100
80
60
40
20
0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
tM
4
[Abbildung 6.
2
a2D äD
2 3 c1
für
2
2
HD
HD
i
≥ 1
und
e ∈ {1; 100}
im Modell (60) mit
i
U = {1, 2, 3}]
Sowohl bei der oberen Linie für e = 1 als auch bei der unteren Linie für
e = 100 sind die Verläufe monoton steigend und die Werte positv. Der Wert
a2 ä
2 HD2 D für e = 100 soll dabei das Verhalten von äD für groÿe Unterschiede
Di
zwischen den Domänen repräsentieren. Analog soll mit
e = 1 Aussagen über äD
bei sich gering unterscheidenden Domänen getroen werden. Allerdings scheint
4
mit der Annahme, dass
2 3 c1
2
HD
≥1
ist keine besondere Änderung des Graphens
i
e einzutreen.
a2 ä
1 kann 2 HD2 D jedoch
mit variierenden
4
2 3 c1
Für
2
HD
i
für kleine Zeiten negativ sein.
Di
20
10
..
2aD2a DHD2i
15
5
0
-5
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
tF
4
[Abbildung 7.
2
a2D äD
2 3 c1
für
2
2
HD
HD
i
1
und
e ∈ {1; 100}
im Modell (60) mit
i
U = {1, 2, 3}]
Hier ist das selbe Verhalten wie in Abbildung 6. zu erkennen, nur dass es
einen Zeitintervall gibt, in dem die Werte für
2
a2D äD
negativ sind.
2
HD
i
23
Interessant ist es, dass der Fall negativer Beschleunigung, welcher wegen
der auftretenden Gravitation erwartet wurde, bei dieser Struktur der kinetischen Rückwirkung und der Krümmung der Domänen, sehr unwahrscheinlich
vorkommt. Daher scheint dieser Ansatz fragwürdig zu sein.
4.4
Allgemeiner Ansatz über maximale Unbestimmtheit.
Um die allgemeine Lösung der Gleichung (38) und damit das allgemeine Verhal-
hRiF ,n =
−cn (6 + n) anF , QF ,n = cn (2 + n) anF für beliebigen und hRiF = Ra−2
F und
QF = Qa−6
kombiniert.
c
,
R
und
Q
sind
reelle
Konstanten,
da
die
Linearkomn
F
bination auch reell ist und mit −n ∈ N eine Basis des entsprechenden Vektorraumes gebildet wird. Die Wahl −n ∈ N beruht darauf, dass für n ∈ N sowohl
hRiF also auch QF mit aF divergieren. Gleichzeitig würden bei −n ∈ N hRiF
und QF für aF → 0 divergieren. Wobei der Ansatz eines Materie dominierten
ten der beschleunigten Expansion zu erhalten werden die Lösungen
Universums bei diesem Grenzwert nicht mehr gilt und somit die weiteren Rechnungen falsch wären.
hinreichend groÿe
Mit
n → −n
aF ,
Die hier gewonnenen Erkenntnisse gelten somit nur für
was die hier gewählte Wahl der Basis angenehm macht.
ergibt sich
hRiF = −
X
−2
cn (6 − n) a−n
F + RaF
(72)
n∈N
und
QF =
X
−6
cn (2 − n) a−n
F + QaF .
(73)
n∈N
Die Anzahl an hier zu bestimmenden Parametern
und
QF
cn
ist unendlich. Da
hRiF
allerdings physikalische Gröÿen sind, müssen die Reihen konvergieren,
weshalb die Summanden schnell genug gegen 0 gehen müssen. Diese Konvergenz
rechtfertigt das Bestimmen endlich vieler Parameter um dem Ergebnis näher
zu kommen. Im Ansatz (60) wurden daher nur die Lösungen für
n ∈ {1, 2, 3}
genutzt und andere Lösungen vernachlässigt.
Anstelle des Vernachlässigen von unwahrscheinlichen Termen, kann auch versucht werden den unendlich vielen unbestimmten Parametern Zwangsbedingungen zu geben, wodurch sich ihre Anzahl reduzieren lässt. Eine physikalische Interpretation wäre, dass die mittlere Krümmung und die kinetische Rückwirkung
in jedem Gebiet des Universums sich anders verhalten kann; Was eine anderen
Wahl der Koezienten
cn
entspricht. Wenn dieses Verhalten sogar zufällig im
Sinne der Quantenmechanik ist, dann entsprechen die LösungenhRiF ,n
und
Ra−2
F
−n ∈ N
hRiF bendet und analog habe QF die
QF ,n − n ∈ N und Qa−6
F zu benden. Wenn
den Zustände in denen sich
Möglichkeit sich in den Zuständen
nun aus hinreichend groÿen Distanzen gemessen wird, sollte das Ergebnis maximaler Unbestimmtheit genügen. Hierbei wird angenommen, dass kein weiteres
physikalisches Gesetz einen Einuss auf die Verteilung hat, so dass das Systhem
nur mit einem Mittelwert und einer Standardabweichung beschrieben werden
24
kann. Da
hRiF
und
QF
über (38) gekoppelt sind müsste somit bei der Bestim-
mung von drei Parametern in
F
hRiF
sowohl
als auch
QF
bestimmbar sein.
Diese Parameter könnten sich allerdings von Region zu Region ändern. Wichtig
cn normierbar
P
cn
P
gilt
c
=
1
(
hRi
und
Q
sind
allerdings
n
F
F
cn
um eine Konstante gestreckt.) Daher ist gerechtfertigt cn als Wahrscheinlichkeiist auch, dass wegen der Konvergenz der Reihen die Koezienten
sind
P
cn = const.
Für
cn →
ten zu betrachten. Jedes vielfache der Reihe wäre dann auch eine Lösung, was
zwei weitere zu bestimmende Parameter ergibt, welche allerdings schon aus den
kosmologischen Parametern entnommen werden können.
Wenn nun in (66) und (67) die Koezienten
cn
mittels maximaler Unbe-
stimmtheit ermittelt werden sollen, fällt auf dass die Sonderrolle, welche die
−6
−2
Ra−2
F und QaF annehmen, schwierig zu integrieren sind. Die aF
−6
bzw. aF Abhängigkeit liegt bereits als Zustand vor, kann aber nicht vernach−6
−2
lässigt werden, da der Grenzwert hRiF oder QF gegen null zu QaF oder RaF
−2
führen muss. Der Summand müsste bei hRiF für n = 2 − (6 − n + R) aF und
−2
bei QF für n = 6 (1 − n + Q) aF sein. Zudem taucht das Problem auf, dass
diese Zustände nicht normiert sind. Zustände müssen normiert sein, weil sonst
Lösungen
ihre Vervielfachung des normierten Zustandes in die Wahrscheinlichkeit einginge und die Verteilung der Wahrscheinlichkeiten verzerrt. Abgesehen davon, dass
a−n
F
bei
aF
= 0 nicht wohldeniert und somit normierbar ist, würde bei jeder
Normierung der konstante Vorfaktor vor jedem Zustand, der aus der Kopplung
der physikalischen Gröÿen kam, sich weg kürzen. Damit wäre der normierte Zustand keine Lösung von (38). Die Kopplungskonstante kann aber auch nicht
in die Wahrscheinlichkeit hineingezogen werden, da sie sich bei der Bedingung
P
cn = 1
wieder weg normieren würden. Zuletzt bleibt die Möglichkeit zuerst
eine allgemeine Wahrscheinlichkeitsverteilung zu schaen und diese in (38) einzusetzen, um die Kopplung zu erzeugen. Ein weitere Vorteil hierbei ist es, dass
die Bedingung mit dem Grenzwert
hRiF
oder
QF
gegen null automatisch gege-
ben ist, solange die gewählte Basis zu diesem Ergebnis führen kann. Letzteres
sollte wegen dem Basisaustauschsatz immer erfüllt sein. Genauere Herleitungen
zu den stochastischen Methoden können in [4], [5] und [6] nachgelesen werden.
Gestartet wird mit der Denition des Bestimmtheitsmaÿ und der integrierten
Zwangsbedingungen:
U =−
X
ln (pn ) pn −
pn
hbα i =
P
bα pn
X
hbα i λα
(74)
α
der Erwartungswert, welcher aus einer Zwangsbedingung her-
pn
kommt.
α
bα
ist damit die Gröÿe, über welche in der Zwangsbedngung mit Index
gemittelt wird.
λα
ist ein Parameter, der der jeweiligen Zwangsbedingung ei-
ne Gewichtung gibt und
hRiF
und
QF
pn
ist die Wahrscheinlichkeit, welche später für
cn
für
eingesetzt werden soll. Hier gilt:
α=0:
X
pn
25
pn = 1
(75)
α=1:
X
xn pn = X, X ∈ {hRiF , QF }
(76)
pn
xn
ist der n-te normierte Basisvektor des Lösungsraumes von X
α=2:
X
2
(xn − X) pn = σ 2
(77)
pn
Mit
P
2 X
X
∂pn U = −
ln (pn ) + 1 + λX
+
x
λ
+
(x
−
X)
λ
= 0 folgt, dass
n
n
0
1
2
pn
pn gleich null sein muss.
i
h 2 X
X
pn = exp − 1 + λX
0 + xn λ1 + (xn − X) λ2
der Term innerhalb der Summe über
Aus der ersten Zwangsbedingung folgt:
h i
2 X
exp − xn λX
1 + (xn − X) λ2
h i
pn = P
2 X
exp − xn λX
1 + (xn − X) λ2
n
Wichtig ist noch die zweite Zwangsbedingung:
h i
P
2 X
xn exp − xn λX
+
(x
−
X)
λ
n
1
2
h i
X = nP
2 X
exp − xn λX
+
(x
−
X)
λ
n
1
2
(78)
n
= −∂λX
ln
1
"
X
h i
2 X
exp − xn λX
1 + (xn − X) λ2
#
n
Die quardratische Ergänzung liefert:
λX
1 X −
2
λX
1
4λX
2
(
)
2 X
X
xn λX
+(x
−
X)
λ
=
λ
xn +
n
1
2
2
λX
1
2λX
2
−X
, λX
2 6= 0
"
= −∂λX
ln
1
"
X
exp
−λX
2
"
X
"
n
= −∂λX
ln
1
n
exp
λX
xn + 1X − X
2λ2
−λX
2
2 #
λX
xn + 1X − X
2λ2
"
exp
−λX
1 X
2 ##
2 ##
λX
1
+
4λX
2
λX
1
+ X− X
2λ2
Dazu äquivalent ist nun eine Gleichung, die X nur in der Exponentialfunktion
enthält.
"
"
2 ##
X
λX
λX
1
1
X
= −∂λX
ln
exp −λ2 xn + X − X
1
2λX
2λ2
2
n
26
(79)
2
+
Für
λX
2 =0
ergibt sich für X
"
X
X = −∂λX
ln
1
#
X
exp −λ1 xn
(80)
n
In beiden Fällen muss die Basis
xn
bei festem
aF
mit n schnell genug wach-
sen, damit der Ausdruck wohldeniert ist, was die allgemeine Normierungsbedingung der Basis Vektoren fragwürdig macht. Aber bereits in (72) existiert ein
Widerspruch.
xn
xn ∝ anF , oder xn ∝ a−n
F . Nach
für lim X je nach Wahl einer der
war bis jetzt beliebig. Z.B.
dem Programm Mathematica erhält man
aF →0
Basen verschiedene Werte, was dem beliebigen Auswählen einer Basis widerspricht. Ein Ausweg wäre, dass eine Basis eine bestimmte Struktur haben muss,
um zugelassen zu werden. Orthogonalität ist hier keine Notwendigkeit, sondern
dient nur der Ästhetik. Denkbar wäre, dass die Beschaenheit des Lösungsraumes eine Norm vorgibt, und nur Basen zugelassen sind, welche bezüglich dieser
Norm wohldeniert also normierbar sind. Da das widersprüchliche Verhalten
von (72) bei der Basis Wahl auf Singularitäten in Grenzwerten zurückzuführen
ist, könnte dies eine denkbare Lösung sein.
Angenommen es existiert eine geeignete Wahl einer Basis, so müsste (78)
oder (79) invertiert werden und in (38) eingesetzt werden. Anstelle den Mittelwert und die Varianz der Kopplung anzupassen, könnten die Koezienten
Q
R
und λ2 für hRiF und λ1 und
3 unabhängige Gröÿen gibt.
λQ
2 für
QF
λR
1
so angepasst werden, dass es nur noch
Eine weitere Möglichkeit für den allgemeinen Ansatz bietet sich, wenn (66)
und (67) auf beliebig viele Koezienten erweitert werden. Da in weiteren Rechnungen dieser Arbeit nur
QF
und
QF + hRiF
benötigt werden, kann versucht
werden, die Koezienten so zu gewichten, dass diese beiden Gröÿen maximal
unbestimmtheit sind. Da uns vor allem der Betrag der Koezienten interessiert und angenommen wird, dass der in
QF
c2 hierfür
QF +hRiF be-
wegfallende Koezient
vernachlässigbar ist, wird nur die maximale Unbestimmtheit von
trachtet. Da die Normierung der Zustände wegen der Divergenz der Zustände bei
aF = 0 nicht möglich ist, können jetzt nur nicht normierte Zustände genommen
werden, was damit nur als Veranschaulichung dient und somit keine genauen
Egebnisse liefern kann. Mit dieser Konstruktion genügen die
lung. Zudem sei
von
n
und
σ2
n∈R
um die Rechnung zu erleichtern,
die Varianz. Dann gilt für
ˆ
cn
der Gauÿvertei-
der Erwartungswert
QF + hRiF :
e−
QF + hRiF = N
η
(n−η)2
2σ 2
a−n
F dn
Über quadratischer Ergänzung ergibt sich:
ˆ
N
e
−
(n−η)2
2σ 2
ˆ
−ln(aF )n
dn = N
1
e
−
(n−η+ln(aF )σ2 )
= Ń e− ln(aF )η+ 2 ln(aF )
2σ 2
2
σ2
27
2
−ln(aF )η+ 12 ln(aF )2 σ 2
−η+ 21 ln(aF )σ 2
= Ń aF
dn
2
1
QF + hRiF = QFi
Für
QF =
2 ln(aF )σ
a−η+
F
+ hRiFi
−η+ 1 ln(aFi )σ 2
aFi 2
´
(n−η)2
QF = M (n − 2)e− 2σ2 a−n
F dn
ˆ
−η+ 1 ln(aF )σ 2
M aF 2
=
−
gilt nach quadratischer Ergänzung:
(n−η+ln(aF )σ2 )
ne
2σ 2
ˆ
2
dn − 2
ˆ
−η+ 1 ln(aF )σ 2
M aF 2
n + η − ln (aF ) σ
−η+ 21 ln(aF )σ 2
= Ḿ aF
2
e
−
aF
−η+ 12 ln(aFi )σ 2
aFi
(n−η+ln(aF )σ2 )
e
n
− 2σ
2
2
dn − 2
√
!
dn
2σ 2
2
η − 1 − ln (aF ) σ 2
−η+ 12 ln(aF )σ 2
QF = QFi
(81)
2σ 2 π
η − 1 − ln (aF ) σ 2
(η − 1 − ln (aFi ) σ 2 )
(82)
Dem entsprechend ändern sich (35) und (36)

1 2  Fi 3 −3
äF
Ωm aFi aF +
= − HD
i
aF
2
−η+ 12 ln(aF )σ 2
Fi aF
ΩQ
−η+ 1 ln(aFi )σ 2
aFi 2

Fi
2  Fi 3
HF2 = HD
Ωm aFi a−3
F + ΩQ
i

η − 1 − ln (aF ) σ 2
i
− 2ΩF
Λ
(η − 1 − ln (aFi ) σ 2 )

a−η+ 21 ln(aF )σ2
F
i
i
+ ΩF
+ ΩF
R
Λ
−η+ 21 ln(aFi )σ 2
aFi
Mit dieser Form von (35) und (36) ergibt sich (45)
2a2D äD
2
HD
i

= −Ωa3Ei −
−η+ 12 ln(aE )σ 2
a
E
Ω i E
Q −η+ 1 ln(a )σ 2
Ei
aEi 2

i 3
ΩMi
−ΩM
m aMi −
Q
−η+ 12 ln(aM )σ 2
aM
−η+ 12 ln(aMi )σ 2
aMi
2

η − 1 − ln (aE ) σ
− 2ΩEΛi  a3E
(η − 1 − ln (aEi ) σ 2 )

η − 1 − ln (aM ) σ 2
i 3
− 2ΩM
aM
Λ
(η − 1 − ln (aMi ) σ 2 )
2
+4
a3M a3E (HE − HM )
3
2
aM + a3E
HD
i
28
Weiterhin wird die zeitliche Abhängigkeit von
aM
und
aE
benötigt. Nach
(33) gilt:
daF
HDi dt = v
u
u Fi 3 −1
Fi
i
tΩm aFi aF + ΩF
+
Ω
Q
R
2−η+ 1 ln(aF )σ 2
2
aF
(
)
−η+ 1 ln aF
σ2
2
i
aF
i
i 2
+ ΩF
Λ aF
Trotz Einsetzen typischer Werte der Parameter, und weiteren Vereinfachungen konnte Mathematica keine Lösung erhalten.
σ 2 und kleine
−η
F
F
aF ΩQ + ΩR ∝ aF ist. Demnach würden für Gebiete mit unterschiedlichem η
auch starke Unterschiede in der beschleunigten Expansion auftreten.
1
2
2
Wenn jedoch
2 ln (aF ) σ dominiert und σ nicht allzu stark variiert, dann
Was allerdings hier erkannt werden kann, ist, dass für geringe
sollten sich die beschleunigte Expansion in Abhängigkeit der kosmologischen
Parameter in jedem Gebiet annähernd gleich sein.
29
5
Schlusswort
Nachdem in dieser Arbeit langsam zum Problem der beschleunigten Expansion
von Domänen im inhomogenen Universum mittels dem Zweiskalenmodell hin
gearbeitet worden ist, konnte festgestellt werden, dass aus monotoner Beschleunigung der unterteilenden Domänen nicht die monotone Beschleunigung der
übergeordneten Domäne folgt. Viel mehr können Übergänge gefunden werden,
bei denen die zu erwartende gesamte Beschleunigung das Vorzeichen wechselt,
oder wegen der Stetigkeit sogar keine Beschleunigung haben kann. Im Beispiel
der wegfallenden kinetischen Rückwirkung konnte dies sehr gut beobachtet werden. Zudem war dies der einzige Fall, in welchem eine Domäne rekollabieren
konnte. Mit einer in endlicher Zeit verschwindenden Domäne und Energieerhaltung fällt auf, dass dies eigentlich nicht möglich ist. Der Ausweg wäre, dass bei
einem solchen System die Materie nicht mehr als ausschlieÿlich nicht relativistisch betrachtet werden kann. Dies würde eine andere Metrik des Raumes und
somit andere physikalische Gleichungen bedeuten, weshalb hier die Aussagekraft
der Graphen an den Punkten, wo relativistische Materie nicht vernachlässigbar
ist, verschwindet. Es ist davon auszugehen, dass die Eigenzeit eines kollabierendes System immer langsamer wird, weshalb sich Prozesse wie das Kollabieren
eines Raumes von einem äuÿeren Beobachter länger beobachtet wird als vom
Beobachter im kollabierenden Raum. Daher sollten die betroenen Graphen innerhalb des relevanten Zeitraumes gestreckt werden um genauere Aussagen zu
erhalten.
Für den Ansatz einer beliebigen Gewichtung der Skalenverhalten bis dritter
Ordnung el deutlich die induzierte positive Beschleunigung auf, welche ohne
Erkenntnis dieser Struktur in der Natur nicht zu erwarten wäre. Daher war
viel lehrreicher, dass verschiedene Kombinationen von Skalenansätzen der kinetischen Rückwirkung und der Krümmung, zu beliebigen Ergebnissen führen
können. Es gibt zwar immer Zwangsbedingungen, welche die Wahl der Gewichtungskoezienten einschränkt, jedoch reichen diese nicht unbedingt aus, um ein
eindeutiges Ergebnis zu verlangen.
Daher der Ansatz der maximalen Unbestimmtheit der Koezienten. Mit
dem Betrachten eines Mittelwertes und einer Standartabweichung der Verteilungen der Skalenansätze für zwei Domänen, konnten so unendlich viele Freiheiten
des Systems auf drei bzw. über die gemessenen kosmologischen Konstanten auf
eine Freiheit reduziert werden. Problem hierbei war nur, dass die Anwendung
dieses Ansatzes fragwürdig ist. Angenommen die Krümmung und die kinetische
Rückwirkung kann in jedem Punkt im Universum ein zufälliges Skalenverhalten
haben, so muss aus hinreichend weiter Entfernung betrachtet, die Verteilung
Normalverteilt sein. Um ein zufälliges Skalenverhalten zu haben muss es ein
hinreichend kleines System geben, welches quantenmechanische Beschreibung
benötigt. Wenn dies nicht der Fall wäre, so wäre das Skalenverhalten deterministisch und könnte, den äuÿeren Einüssen entsprechend, jedes beliebige Verhalten
annehmen.
Gleichzeitig ist das Angehen an die Rechnung schwierig, da zum einem die als
Zustände interpretierten Skalenverhalten normiert sein müssen und zum anderen
30
die Rechenausdrücke zu viel Rechenaufwand benötigen.
Alles im allem könnten die richtigen Annahmen der Skalierungen für die
kinetische Rückwirkung und der mittleren Krümmung das Auftreten von positiv beschleunigter Expansion des Universum erklären, da bei der Mittelung
eines inhomogenen Universums in (45) der Term
auftaucht.
31
2
2 (1 − λM ) λM (HE − HM )
Literatur
[1] Alexander Wiegand, Diplomarbeit, Ein skalendierenziertes
Entwicklungsmodell
des
inhomogenen
Univer-
sums, Karlsruhe 26.09.2009
[2] Viatheslav Mukhanov, Physical Foundation of Cosmology, Ludwig-Maximillians-Universität München 2005
[3] Edward W. Kolb/ Michael Stanley Turner, The Early
Universe, 3dte Auage, 1990
[4] L. D. Landau/ E. M. Lifschitz, Lehrbuch der Theoretischen Physik Band 2, 5te Auage, Januar 1971
[5] Torsten Flieÿbach, Statistische Physik, Lehrbuch zur
Theoretischen Physik IV, 4te Auage 2007
[6] Wolfgang Nolting, Grundkurs Theoretische Physik 6, Statistische Physik, 6te Auage
[7] Particle Data Group, PARTICLE PHYSICS BOOKLET,
July 2010, URL: http://pdg.lbl.gov
[8] Wiegand Alexander/ Buchert Thomas, Multiscale cosmology and structure-emerging dark energy: A plausibility
analysis
32
Danksagung
An dieser Stelle möchte ich mich für die organisatorische, pädagogische und
fachliche Betreuung bedanken, welche ich von Herrn Prof. Dr. Dominik Schwarz
und seiner Arbeitsgruppe erhielt.
Insbesondere möchte ich darauf hinweisen, dass ich den Zugang zu grundlegenden Quellen, auf welche sich diese Arbeit stützt, von Alexander Wiegand
erhalten habe, weshalb ich ihn dafür danken möchte.
33
Eigenständigkeitserklärung
Hiermit erkläre ich, dass ich die vorliegende Arbeit selbständig verfasst und
keine anderen als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel verwendet habe.
33615 Bielefeld, den 21.10.2011
(René Wegner)
34