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Mathematiktest
Mathematik Grundkurs, 1. Semester, Rehder,
Einführung in die Differentialrechnung
Datum: ___ . ___ 2015
Vorname und Name (bitte leserlich in GROSSEN DRUCKBUCHSTABEN)
…………………………………………………………………………….
Aufgabe
1
2
3
4
5
∑
Note
Erreichte
Punktzahl
Bitte beachten Sie:

Bearbeitungszeit: 18 Minuten

Jedes abgegebene Blatt mit Namen versehen! Namen jeweils leserlich in BLOCKSCHRIFT.

(Teil-) Lösungen werden nur mit vollständigem (Teil-) Lösungsweg anerkannt.

Alle nichtkommunikationsfähigen Hilfsmittel sind erlaubt!

Insofern (Teil-) Inhalte von anderen Schülern/ Schülerinnen kopiert werden, wird dieser Test mit 0
Punkten bewertet.

Jede Aufgabe zählt 10 Punkte, die drei besten Aufgaben zählen regulär, alle anderen Aufgaben werden
als Zusatzaufgaben gewertet.
Aufgabe 1:
Betrachten Sie die Funktion 𝑓 mit der Gleichung 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1. Kreuzen Sie jeweils Zutreffendes an. Hierbei
können mehrere Aussagen wahr sein.
a) Um was für eine Funktionsart handelt es sich bei 𝑓?
 Gerade
 quadratische Funktion
 kubische Funktion
 Polynom
y
 Exponentialfunktion
y
b) Welche Steigung 𝑚 besitzt 𝑓 an der Stelle 𝑥0 = 0?
4
4
 𝑚=0
𝑚=1
𝑑𝑓
 𝑚 = 𝑑𝑥 (0) = 𝑓 ′ (0)
𝑚=2
𝑚=𝜋
4
 𝑚=2
3
3
c) Welches der folgenden Schaubilder ist der Funktionsgraph von 𝑓?
A
B
2
1
1
-2
-3
-1
C
2
-2
1
-1
-1
2
x
3
x
1
2
3
-1
-2
-2Ihre Entscheidung: ______________________________________________________________
Begründen Sie
d) Berechnen Sie die Ableitung von 𝑓. -3
-3
-4
-4
Aufgabe 2:
Ordnen Sie den folgenden differenzierbaren Funktionen 𝑓 jeweils ihre entsprechende Ableitungsfunktion 𝑓 ′ zu.
Jede Ableitungsfunktion 𝑓 ′ muss dabei mit genau einer Funktion 𝑓 verbunden werden.
𝑓(𝑥) = 12𝑥
𝑓 ′ (𝑥) = 0
𝑓(𝑥) = 𝑥²
𝑓 ′ (𝑥) = 12
𝑓(𝑥) = 1
𝑓 ′ (𝑥) = 0
𝑓(𝑥) = 2
𝑓 ′ (𝑥) = 8𝑥
𝑓(𝑥) = 3
𝑓 ′ (𝑥) = 2𝑥
𝑓(𝑥) = 4𝑥² + 12
𝑓 ′ (𝑥) = 2016𝑥 2015
𝑓(𝑥) =
1
𝑎
√𝑥³
,𝑎 ∈ ℕ
𝑓 ′ (𝑥) = 3𝑥² ∙ 𝑒 𝑥 + 𝑥³ ∙ 𝑒 𝑥 = 𝑒 𝑥 (3𝑥 2 + 𝑥 3 )
𝑓(𝑥) = 𝑥³ ∙ 𝑒 𝑥
𝑓 ′ (𝑥) = 0
𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥
𝑓 ′ (𝑥) = 𝑒 𝑥
𝑓(𝑡) = (𝑧 + 12)12345 , 𝑧 ∈ ℝ
𝑓 ′ (𝑡) = 0
𝑓(𝑥) = 𝑥 2016
𝑓 ′ (𝑥) = − 𝑎 𝑥 − 𝑎 −1
3
3
Aufgabe 3:
Kreuzen Sie an, ob die jeweiligen Aussagen „wahr“ oder „falsch“ sind. Falls Sie „falsch“ angekreuzt haben, ist
Ihre Entscheidung kurz und präzise zu begründen.
Aussage
wahr
falsch
Die Funktion 𝑓(𝑥) = 𝑥³ − 2 besitzt die Ableitung 𝑓 ′ (𝑥) = 3𝑥².


Die Ableitung einer Funktion an einer Stelle ist eine Zahl.








Eine stetig differenzierbare Funktion 𝑓 ∶ (𝑎, 𝑏) → ℝ ist streng
monoton fallend, wenn 𝑓 ′ (𝑥) < 0 für alle 𝑥 aus (𝑎, 𝑏) erfüllt ist.
Die Tangentensteigung bestimmt sich rechnerisch aus dem Grenzwert
der Differenzenquotienten.
2𝑥
= lim 2 = 2.
𝑥→0 𝑥 − 0
𝑥→0
Es gilt: lim
Begründung
Aufgabe 4:
Betrachtet man an einem Ort auf der Erde den Luftdruck in Abhängigkeit von der Höhe über dem Erdboden,
dann ergibt sich eine streng monoton fallende Funktion, die jeder Höhe 𝑥 einen Luftdruck 𝐷(𝑥) zuordnet.
a) Wie groß ist der Druckunterschied zwischen den Höhen 𝑥 und 𝑥0 ?
y
b) Wie groß ist die durchschnittliche9 Druckgefälle
zwischen den Höhen 𝑥 und 𝑥0 ?
8
c) Definieren Sie das punktuelle Druckgefälle
in der Höhe 𝑥0 .
7
Aufgabe 5:
a) Definieren Sie, was Sie unter einer Sekante verstehen.
6
b) Definieren Sie, was Sie unter einer Tangente
verstehen.
5
4
c) Ergänzen Sie im folgenden Schaubild die Tangente an den dargestellten Funktionsgraphen an der Stelle
𝑥0 = 0.
3
2
1
x
-2
-1
1
-1
2
Mathematiktest
Mathematik Grundkurs, 1. Semester, Rehder,
Einführung in die Differentialrechnung
Datum: ___ . ___ 2015
Vorname und Name (bitte leserlich in GROSSEN DRUCKBUCHSTABEN)
…………………………………………………………………………….
Aufgabe
1
2
3
4
5
∑
Note
Erreichte
Punktzahl
Bitte beachten Sie:

Bearbeitungszeit: 18 Minuten

Jedes abgegebene Blatt mit Namen versehen! Namen jeweils leserlich in BLOCKSCHRIFT.

(Teil-) Lösungen werden nur mit vollständigem (Teil-) Lösungsweg anerkannt.

Alle nichtkommunikationsfähigen Hilfsmittel sind erlaubt!

Insofern (Teil-) Inhalte von anderen Schülern/ Schülerinnen kopiert werden, wird dieser Test mit 0
Punkten bewertet.

Jede Aufgabe zählt 10 Punkte, die drei besten Aufgaben zählen regulär, alle anderen Aufgaben werden
als Zusatzaufgaben gewertet.
Aufgabe 1:
Betrachten Sie die Funktion 𝑓 mit der Gleichung 𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 1. Kreuzen Sie jeweils Zutreffendes an.
Hierbei können mehrere Aussagen wahr sein.
a) Um was für eine Funktionsart handelt es sich bei 𝑓?
 Gerade
 quadratische Funktion
 kubische Funktion
 Polynom
y
 Exponentialfunktion
y
b) Welche Steigung 𝑚 besitzt 𝑓 an der Stelle 𝑥0 = 0?
4
4
 𝑚=0
 𝑚 = −1
 𝑚 = −2
𝑑𝑓
 𝑚 = − 𝑑𝑥 (0) = −𝑓 ′ (0)
4
 𝑚 = −𝜋
 𝑚 = −2
3
3
c) Welches der folgenden Schaubilder ist der Funktionsgraph von 𝑓?
A
B
2
1
1
-2
-3
-1
C
2
-2
1
-1
-1
2
x
3
x
1
2
3
-1
-2
-2Ihre Entscheidung: ______________________________________________________________
Begründen Sie
d) Berechnen Sie die Ableitung von 𝑓. -3
-3
-4
-4
Aufgabe 2:
Ordnen Sie den folgenden differenzierbaren Funktionen 𝑓 jeweils ihre entsprechende Ableitungsfunktion 𝑓 ′ zu.
Jede Ableitungsfunktion 𝑓 ′ muss dabei mit genau einer Funktion 𝑓 verbunden werden.
𝑓(𝑥) = 12𝑥
𝑓 ′ (𝑥) = 0
𝑓(𝑥) = 𝑥³
𝑓 ′ (𝑥) = 12
𝑓(𝑥) = 4
𝑓 ′ (𝑥) = 0
𝑓(𝑥) = 5
𝑓 ′ (𝑥) = 10𝑥 + 12
𝑓(𝑥) = 6
𝑓 ′ (𝑥) = 3𝑥²
𝑓(𝑥) = 5𝑥² + 12𝑥
𝑓 ′ (𝑥) = 2015𝑥 2014
𝑓(𝑥) =
1
𝑎
√𝑥³
,𝑎 ∈ ℕ
𝑓 ′ (𝑥) = 2𝑥 ∙ 𝑒 𝑥 + 𝑥² ∙ 𝑒 𝑥 = 𝑒 𝑥 (2𝑥 + 𝑥²)
𝑓(𝑥) = 𝑥² ∙ 𝑒 𝑥
𝑓 ′ (𝑥) = 0
𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥
𝑓 ′ (𝑥) = 𝑒 𝑥
𝑓(𝑡) = (𝑧 + 11)12645 , 𝑧 ∈ ℝ
𝑓 ′ (𝑡) = 0
𝑓(𝑥) = 𝑥 2015
𝑓 ′ (𝑥) = − 𝑎 𝑥 − 𝑎 −1
3
3
Aufgabe 3:
Sabrina möchte mit dem Differentialquotienten nachweisen, dass die Funktion 𝑓(𝑥) = 6𝑥 an der Stelle 𝑥0 = 0
differenzierbar ist und die zugehörige Ableitung bestimmen. Hierbei macht Sabrina allerdings zahlreiche Fehler.
Markieren Sie alle auftretenden Fehler. Setzen Sie mehr als 2 falsche Markierungen, dann erhaltenen Sie für
diese Aufgabe keine Punkte. Für jede richtige Markierung erhalten Sie 2P.
y
9
𝑓(𝑥)
− 𝑓(0)
6𝑥²
6𝑥²
′ (0)
∆𝑓(𝑥) = 𝑓
= limm
= lim
= lim
= lim 6 = 0
𝑥→→0
𝑥→0 𝑥²
𝑥→2 𝑥²
𝑥→0
𝑥−0
8
Aufgabe 4:
7
a) Was unterscheidet eine Tangente von einer Sekante?
6
5
b) Ergänzen Sie im folgenden Schaubild die Tangente an den dargestellten Funktionsgraphen an der Stelle
4
𝑥0 = 1,25.
3
2
1
x
-2
-1
1
2
-1
c) Ist der dargestellte Funktionsgraph im Intervall (0, 1) monoton steigend? Begründen Sie ihre Antwort.
Aufgabe 5:
1
a) Daria behauptet, dass die Funktion 𝑓(𝑥) = 𝑥 in 𝑥0 = 0 nicht differenzierbar ist. Ist dem tatsächlich so?
Nehmen Sie Stellung zu Darias Behauptung.
b) Die Bundeskanzlerin berichtet während ihrer wöchentlichen Pressekonferenz folgendes:
„Unmittelbar nach der Grenzschließung hat die Steigung der Zunahme der Flüchtlingsanzahlen
drastisch nachgelassen.“ Beurteilen Sie diese Aussage aus mathematischer Sicht.
Mathematiktest
Mathematik Grundkurs, 1. Semester, Rehder,
Einführung in die Differentialrechnung
Datum: ___ . ___ 2015
Vorname und Name (bitte leserlich in GROSSEN DRUCKBUCHSTABEN)
…………………………………………………………………………….
Aufgabe
1
2
3
4
5
∑
Note
Erreichte
Punktzahl
Bitte beachten Sie:

Bearbeitungszeit: 18 Minuten

Jedes abgegebene Blatt mit Namen versehen! Namen jeweils leserlich in BLOCKSCHRIFT.

(Teil-) Lösungen werden nur mit vollständigem (Teil-) Lösungsweg anerkannt.

Alle nichtkommunikationsfähigen Hilfsmittel sind erlaubt!

Insofern (Teil-) Inhalte von anderen Schülern/ Schülerinnen kopiert werden, wird dieser Test mit 0
Punkten bewertet.

Jede Aufgabe zählt 10 Punkte, die drei besten Aufgaben zählen regulär, alle anderen Aufgaben werden
als Zusatzaufgaben gewertet.
Aufgabe 1:
Betrachten Sie die Funktion 𝑓 mit der Gleichung 𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 1. Kreuzen Sie jeweils Zutreffendes an.
Hierbei können mehrere Aussagen wahr sein.
a) Um was für eine Funktionsart handelt es sich bei 𝑓?
 Exponentialfunktion
 quadratische Funktion
 kubische Funktion
y
 Polynom
 Gerade
y
b) Welche Steigung 𝑚 besitzt 𝑓 im Intervall [0,1]?
4
4
 𝑚=0
 𝑚 = −1
 𝑚 = −2
𝑑𝑓
 𝑚 = − 𝑑𝑥 (0) = −𝑓 ′ (0)
𝑚=
−1−1
1−0
4
 𝑚 = −2
3
3
c) Welches der folgenden Schaubilder ist der Funktionsgraph von 𝑓?
A
B
2
1
1
-2
-3
-1
C
2
-2
1
-1
-1
2
x
3
x
1
2
3
-1
-2
-2Ihre Entscheidung: ______________________________________________________________
Begründen Sie
d) Berechnen Sie die Ableitung von 𝑓. -3
-3
-4
-4
Aufgabe 2:
Ordnen Sie den folgenden differenzierbaren Funktionen 𝑓 jeweils ihre entsprechende Ableitungsfunktion 𝑓 ′ zu.
Jede Ableitungsfunktion 𝑓 ′ muss dabei mit genau einer Funktion 𝑓 verbunden werden.
𝑓(𝑥) = 12𝑥
𝑓 ′ (𝑥) = 0
𝑓(𝑥) = 2𝑥²
𝑓 ′ (𝑥) = 12
𝑓(𝑥) = 7
𝑓 ′ (𝑥) = 0
𝑓(𝑥) = 8
𝑓 ′ (𝑥) = 3𝑥² + 13
𝑓(𝑥) = 9
𝑓 ′ (𝑥) = 4𝑥
𝑓(𝑥) = 𝑥³ + 13𝑥
𝑓 ′ (𝑥) = 2017𝑥 2016
𝑓(𝑥) =
1
𝑎
√𝑥³
,𝑎 ∈ ℕ
𝑓 ′ (𝑥) = 2𝑥𝑒 𝑥 + 𝑥²𝑒 𝑥
𝑓(𝑥) = 𝑥²𝑒 𝑥
𝑓 ′ (𝑥) = 0
𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥
𝑓 ′ (𝑥) = 𝑒 𝑥
𝑓(𝑡) = (𝑗 + 11)17645 , 𝑗 ∈ ℝ
𝑓 ′ (𝑡) = 0
𝑓(𝑥) = 𝑥 2017
𝑓 ′ (𝑥) = − 𝑎 𝑥 − 𝑎 −1
3
3
Aufgabe 3:
Ein Jack Russell rennt im Garten am Zaun hin und her und jagt die Passanten. Das Diagramm zeigt die
Geschwindigkeit 𝑣 des Hundes, wobei positives 𝑣 die Bewegung nach rechts, negatives v die Bewegung nach
links bedeutet. Die Geschwindigkeit 𝑣 wird dabei in Meter pro Sekunde (𝑚/𝑠), die Zeit 𝑡 in Sekunden (𝑠)
gemessen. Der Jack Russell startet zum Zeitpunkt 𝑡0 = 0 in der Mitte des Zaunes.
1) Wann wird der Hund schneller, wann langsamer? Geben Sie jeweils alle entsprechenden Bereiche an.
2) In welchen Zeitintervallen, bzw. zu welchen Zeitpunkten bewegt sich der Hund nicht?
Aufgabe 4:
Eine Gerade verläuft durch die Punkte 𝐴(0|1) und 𝐵(1|3).
a) Bestimmen Sie die Steigung dieser Geraden.
b) Geben Sie die Funktionsgleichung dieser Geraden an und bestimmen Sie dessen Ableitungsfunktion.
Aufgabe 5:
Gegeben sei die Funktion 𝑓 mit der Gleichung 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 𝑥 + 1.
a) Berechnen Sie die erste Ableitungsfunktion von 𝑓.
b) Bestimmen Sie die folgenden Funktionswerte:
𝑓(0) = ____
𝑓(1) = ____
𝑓(2) = ____
c) Bestimmen Sie die lokale Steigung von 𝑓 an der Stelle 𝑥0 = 0.