Elektrotechnik II
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Vorlesungsskript
Elektrotechnik II
3. Semester
gehalten an der
USST Shanghai
Herbst 2012
von
Prof. Dr. Holger Kapels
Liebe Studierende,
das Skript zur Vorlesung „Elektrotechnik II“ beginnt mit einem Kapitel zur Wiederholung des Stoffes
der Vorlesung „Elektrotechnik I“. Damit haben Sie die Möglichkeit, vorhandenes Wissen nochmal
aufzufrischen und sich an die deutschen Begriffe zu gewöhnen. Mit dem Kapitel 2 beginnt dann der
neue Stoff der Vorlesung. Ich freue mich auf die Veranstaltung mit Ihnen und wünsche Ihnen ein
erfolgreiches Studium,
Holger Kapels
Elektrotechnik II
Inhaltsverzeichnis
1
2
3
4
5
Wiederholung ............................................................................................................................... 4
1.1
Einheitensystem.................................................................................................................... 4
1.2
Gleichungen.......................................................................................................................... 5
1.2.1. Größengleichungen ....................................................................................................... 5
1.2.2. Einheitengleichungen..................................................................................................... 5
1.2.3. Zugeschnittene Größengleichungen .............................................................................. 6
1.3
Elektrischer Widerstand ........................................................................................................ 7
1.3.1. Widerstand und Leitwert ................................................................................................ 7
1.3.2. Spezifischer Widerstand ................................................................................................ 8
1.3.3. Ohmsches Gesetz ......................................................................................................... 9
1.3.4. Differentieller Widerstand und Gleichstromwiderstand ................................................... 9
1.3.5. Temperaturabhängigkeit des Widerstandes bei Metallen ............................................. 10
1.3.6. Beispiel Pt100-Sensor ................................................................................................. 11
1.3.7. Temperaturabhängigkeit des Widerstandes bei Halbleitern ......................................... 12
1.3.8. Kenngrößen verschiedener Materialien ........................................................................ 12
1.4
Kenngrößen von elektrischen Schaltungen ......................................................................... 13
1.5
Kirchhoffsche Gesetze ........................................................................................................ 16
1.5.1. Kirchhoffsche Knotenregel (Kirchhoff’s Current Law, KCL) .......................................... 16
1.5.2. Kirchhoffsche Maschenregel (Kirchhoffs’ Voltage Law, KVL) ....................................... 17
1.5.3. Strom- und Spannungsteiler ........................................................................................ 18
1.6
Lineare Quellen................................................................................................................... 20
1.6.1. lineare Spannungsquelle (U0 + Ri), lineare Stromquelle (I0 || Ri) ................................... 20
1.6.2. Umwandlung von linearen Quellen .............................................................................. 21
1.6.3. Lineare Quelle mit Last ................................................................................................ 21
1.6.4. Umwandlung linearer Zweipole in Ersatzquellen (Norton/Thévenin Theorem) ............. 22
1.6.5. Leistungsanpassung .................................................................................................... 25
1.7
Nichtlineare Quellen und Verbraucher ................................................................................ 27
1.8
Wheatstone-Brücke - Sensorbrücke.................................................................................... 29
Berechnung von Gleichstromschaltungen .................................................................................. 30
2.1
Überlagerungsprinzip .......................................................................................................... 30
2.2
Basisverfahren der Netzwerkanalyse .................................................................................. 33
2.3
Maschenstromverfahren ..................................................................................................... 34
2.4
Knotenpotentialverfahren .................................................................................................... 37
Mittelwerte periodischer Funktionen ........................................................................................... 41
3.1
Arithmetischer Mittelwert – Gleichanteil .............................................................................. 43
3.2
Effektivwert Ueff = TRMS (true rms) ..................................................................................... 45
Schaltungsberechnung von Wechselstromkreisen ..................................................................... 48
4.1
Sinusförmige Spannungen/Ströme ..................................................................................... 48
4.1.1. Zeigerdarstellung von sinusförmigen Signalen ............................................................. 48
4.1.2. Sinusförmige Funktionen in der komplexen Ebene ...................................................... 49
4.2
Elektrische Impedanz (Wechselstromwiderstand) ............................................................... 53
4.3
Admittanz (Wechselstromleitwert) ....................................................................................... 58
Leistung bei sinusförmigen Größen............................................................................................ 59
5.1
Momentanleistung............................................................................................................... 59
5.2
Wirkleistung ........................................................................................................................ 59
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6
7
8
9
5.3
Scheinleistung .................................................................................................................... 60
5.4
Leistungsfaktor ................................................................................................................... 61
5.5
Blindleistung ....................................................................................................................... 61
5.6
Komplexe Leistung ............................................................................................................. 63
Frequenzverhalten von RLC-Schaltungen.................................................................................. 64
6.1
RC-Filter ............................................................................................................................. 64
6.1.1. Tiefpass ....................................................................................................................... 67
6.1.2. Hochpass ..................................................................................................................... 74
6.1.3. Bandpass ..................................................................................................................... 79
6.2
Schwingkreise ..................................................................................................................... 86
6.3
Serienschwingkreis ............................................................................................................. 88
6.4
Parallelschwingkreis ........................................................................................................... 95
Nicht-sinusförmige Schaltvorgänge .......................................................................................... 102
7.1
Schaltverhalten von Kapazitäten ....................................................................................... 102
7.1.1. Laden eines Kondensators ........................................................................................ 104
7.1.2. Entladen eines Kondensators .................................................................................... 107
7.2
Schaltverhalten von Induktivitäten ..................................................................................... 111
7.2.1. Laden einer Spule ...................................................................................................... 111
Dreiphasennetz ........................................................................................................................ 114
8.1
Idee................................................................................................................................... 114
8.1.1. Sternschaltung ........................................................................................................... 116
8.1.2. Dreieckschaltung ....................................................................................................... 117
8.2
Verbrauchersystem ........................................................................................................... 117
8.2.1. Sternpunktverbraucher .............................................................................................. 118
8.2.2. Verbraucher in Dreieckschaltung ............................................................................... 119
8.3
Unbelastete Strang- und Leiterspannungen ...................................................................... 119
8.4
Sternpunktlast im Dreileitersystem .................................................................................... 120
8.4.1. Sternpunktverschiebung ............................................................................................ 122
8.5
Sternpunktlast im Vierleitersystem .................................................................................... 123
8.6
Dreiecklast im Dreileitersystem ......................................................................................... 124
Transformator .......................................................................................................................... 126
9.1
Problemstellung ................................................................................................................ 126
9.2
Vorüberlegungen .............................................................................................................. 126
9.2.1. Gegeninduktivität ....................................................................................................... 126
9.2.2. Kopplungs- und Streufaktor ....................................................................................... 127
9.3
Der Transformator als Bauteil ........................................................................................... 128
9.3.1. Wicklungssinn ............................................................................................................ 129
9.3.2. Vierpolersatzschaltung ............................................................................................... 131
9.3.3. Linearer Transformator .............................................................................................. 132
9.3.4. Verlustloser und streuungsfreier Transformator ......................................................... 133
9.4
Idealer Transformator........................................................................................................ 136
9.5
Leistungsanpassung ......................................................................................................... 139
9.5.1. Vollständige Anpassung............................................................................................. 139
9.5.2. Übertrageranpassung ................................................................................................ 140
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1 Wiederholung
1.1 Einheitensystem
Es werden die international festgelegten Einheiten des MKSA-Systems verwendet:
Basisgröße
Basiseinheit
Einheitenzeichen
Formelzeichen
Länge
Meter
m
l
Masse
Kilogramm
kg
m
Zeit
Sekunde
s
t
Stromstärke
Ampere
A
Temperatur
Kelvin
K
T
Stoffmenge
Mol
mol
n
Licht
Candela
cd
V
Die Basis dieses Systems bilden die sieben sogenannten SI-Einheiten (SI steht für: système
international d’unités) und die davon abgeleiteten Einheiten wie:
Kraft:
Druck:
Arbeit:
Leistung:
1N = 1 kgm/s²
1Pa = 1N/m²
1J = 1Nm = 1V·A·s
1W = 1V·A
Innerhalb des MKSA Systems tritt ausschließlich der Faktor 1 auf!
Die Bezeichnung MKSA-System bezieht sich auf die ersten vier SI-Einheiten. Demgegenüber steht
beispielsweise das im allgemeinen Sprachgebrauch übliche cgs-System (cm, g, s), welches in der
Wissenschaft (offiziell) keine Anwendung findet.
Alle physikalischen Größen lassen sich darstellen als:
physikalische Größe = Zahlenwert · Einheit
Beispiel:
Spannung U = 24,45V; Zeit t = 23,567ms.
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Da die in der Elektrotechnik auftretenden Zahlenwerte häufig sehr groß sind oder sehr nahe bei Null
liegen, hat sich die Verwendung von Skalierungsfaktoren durchgesetzt. Man verwendet die folgenden
SI-Präfixe (Vorsilben):
SI-Präfix
Beispiel:
gesprochen Faktor
SI-Präfix
gesprochen Faktor
-3
k
Kilo
10
-6
M
Mega
10
-9
G
Giga
10
-12
T
Tera
10
m
Milli
10
µ
Micro
10
n
Nano
10
p
Pico
10
3
6
9
12
statt 1000V verwendet man 1kV
statt 0,001V verwendet man 1mV
1.2 Gleichungen
1.2.1. Größengleichungen
Physikalische Gleichungen sind stets Größengleichungen, das heißt jede Größe ist als Produkt aus
Zahlenwert und Einheit anzugeben. Größengleichungen beschreiben physikalische Zusammenhänge
und sind somit unabhängig vom Einheitensystem, beispielsweise gilt folgende Gleichung ebenso im
MKSA-System wie im cgs-System:
Beispiel:
F=m·a
1.2.2. Einheitengleichungen
Beim Umformen von Gleichungen besteht immer eine gewisse Wahrscheinlichkeit für Fehler bei der
Umstellung der Gleichung. Betrachtet man ausschließlich die Einheiten der physikalischen Größen
auf der linken und rechten Seite der Gleichung, so lassen sich diese Fehler gut erkennen.
Immer dann, wenn man ausschließlich die Einheiten der Gleichung betrachtet und nicht auch die
Zahlenwerte, spricht man von einer Einheitengleichung.
Der Operator [...] bedeutet dabei “Einheit von ...“
Beispiel:
[U] = 1V
“Die Einheit der Spannung ist Volt“
Jede Größengleichung hat eine zugehörige Einheitengleichung.
Beispiel:
[F] = [m][a]
ist die Einheitengleichung der Gleichung F = m a
Ist die Einheitengleichung falsch, dann ist auch die zugehörige Größengleichung falsch. Der Satz gilt
nicht in umgekehrter Richtung. Benutzen Sie die Einheitengleichung als Werkzeug, um Ihre
Berechnungen auf Plausibilität zu überprüfen.
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1.2.3. Zugeschnittene Größengleichungen
Bei Faustformeln oder Meßreihen besteht häufig der Wunsch, Gleichungen nur mit Zahlenwerten
anzugeben. Damit solche Gleichungen physikalisch korrekt bleiben, müssen sie in den spezifischen
Einheiten formuliert werden.
Spannung in Volt = Widerstand in Ohm Strom in Ampere
man schreibt: U/V = R/Ω /A
Beispiel:
Solche Gleichungen heißen zugeschnittene Größengleichungen. Besondere Bedeutung haben sie,
wenn ein physikalischer Zusammenhang durch eine exponentielle Gleichung beschrieben werden
kann:
Beispielsweise könnte eine Spannungs-Strom-Kennlinie eines Bauelementes durch die folgende
Gleichung mit den dimensionslosen Größen C und β beschrieben werden:
U CI
Die Einheitengleichung zeigt sofort, daß diese Größengleichung keinen Sinn ergibt, denn "Ampere
hoch beta" ist nicht definiert. Man könnte im Text genaue Einheiten festlegen: in A ergibt U in V.
Stattdessen schreibt man die Gleichung mathematisch korrekt als zugeschnittene Größengleichung:
U
I
C
V
A
Nun kann in Ampere eingesetzt werden und man erhält das Ergebnis in Volt.
Wie bereits besprochen, kommt innerhalb des genormten MKSA Systems nur der Faktor 1 vor.
Häufig will man aber Meßwerte in andere alltagstauglichere Systeme umrechnen. Auch dafür
verwendet man zugeschnittene Größengleichungen.
Beispiel:
Im wissenschaftlichen Umfeld werden Geschwindigkeiten in m/s angegeben, im Alltag möchte man
jedoch häufig eine Angabe in km/h haben. Wie muß die zugeschnittene Größengleichung aussehen,
die gemessene Werte in Meter und Sekunden direkt in km/h umwandelt?
Zuerst setzt man an, was gegeben ist:
v
s
t
(Geschwindigkeit ist Strecke pro Zeit)
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Dann erweitert man alle Größen mit den gegeben und den gesuchten Einheiten:
km
m
s
v h m
km
s
t
h
s
Jetzt muß man nur noch nach der gesuchten zugeschnittenen Größengleichung auflösen:
m
l
l
l
l
v
1
m
m
1
m
m
m
m
m 3,6
km
s km
t
km
t
1000m
t 1
t
t
s
s
h
s h
s
h
s
3600s
s 3,6
s
s
Also:
l
v
m 3,6
km
t
h
s
1.3 Elektrischer Widerstand
1.3.1. Widerstand und Leitwert
Betrachtet man einen metallischen Leiter, an den eine Spannung angelegt wird, so müßte man davon
ausgehen, daß das elektrische Feld und die resultierende Kraftwirkung zu einer permanenten
Beschleunigung der Elektronen führen würden. Damit dürfte es keinen konstanten Stromfluß geben,
der Strom müßte im Gegenteil immer weiter ansteigen.
Tatsächlich sind die freien Elektronen in einem Leiter nicht beliebig beweglich, sondern es wirkt auf
sie eine Art Reibungskraft. Das Zustandekommen dieser Kraft kann man sich bildlich und vereinfacht
durch ständige Kollisionen der beschleunigten Elektronen mit den in einem Kristallgitter angeordneten
Metallatomen vorstellen. Durch diese Kollisionen werden die Elektronen immer wieder abgebremst
und es stellt sich eine mittlere Geschwindigkeit aller Elektronen ein. Den Widerstand, den der Leiter
der freien Bewegung der Ladungsträger entgegensetzt, bezeichnet man als elektrischen
Widerstand oder Resistanz R. Um elektrischen Strom durch einen Leiter zu treiben und damit
dessen Widerstand zu überwinden, ist Energie erforderlich.
Analog kann man sich einen (frei beweglichen) Körper vorstellen, auf den eine Kraft wirkt. Befindet
sich dieser Körper im Vakuum des Weltraums, so wird er durch die wirkende Kraft permanent
beschleunigt, befindet er sich hingegen in Luft, so wird er nur so lange beschleunigt, bis sich die
angelegte Kraft und die Kraft durch den Luftwiderstand gegenseitig aufheben.
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Die Kraft, die den Strom durch den Leiter treibt, resultiert aus dem elektrischen Feld, das auf die
Ladungsträger wirkt. Daher gilt im Allgemeinen, daß ein größerer Strom nur dann erzielt werden
kann, wenn eine höhere elektrische Spannung (und damit eine höhere Feldstärke) an den Leiter
angelegt wird. Man definiert den elektrischen Widerstand R als das Verhältnis von anzulegender
Spannung und dem resultierenden elektrischen Strom:
R
U
I
[R] = 1V/A = 1Ω (Ohm) nach Georg Simon Ohm
den Kehrwert des elektrischen Widerstands bezeichnet man als elektrischen
Leitwert oder Konduktanz G:
G
1 I
R U
[G] = 1A/V = 1S (Siemens) = 1 mho (amerik.)
nach Werner v. Siemens
Man sagt:
Fließt durch einen Widerstand (Verbraucher) R der Strom , dann fällt an ihm die Spannung U = R·
ab. Man spricht von einem Spannungsabfall U.
1.3.2. Spezifischer Widerstand
Der Widerstand eines elektrischen Leiters hängt sowohl vom Material als auch von den
geometrischen Eigenschaften des Leiters ab. Je länger ein Leiter wird, desto größer ist sein
Widerstand und je größer seine Querschnittsfläche, desto geringer wird der Widerstand.
Da man, völlig unabhängig von der tatsächlichen Geometrie, die elektrischen Eigenschaften eines
bestimmten Materials beschreiben will, hat man die Begriffe des spezifischen Widerstandes (auch
Resistivität) und des spezifischen Leitwertes (auch Konduktivität) eingeführt, es handelt sich
dabei um Materialkonstanten.
Für einen homogenen Leiter der Länge l und konstanter Querschnittsfläche A gilt:
R=
spezifischer Widerstand:
spezifischer Leitwert:
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l
A
; G=
A
l
[] = Ωm
[] = 1/ Ωm = S/m
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Beispiel Kupfer: CU = 0,017 Ωmm2/m
(Werte werden üblicherweise in Ωmm2/m angegeben, um die Berechnung in der Praxis zu
erleichtern).
1.3.3. Ohmsches Gesetz
Georg Simon Ohm hat den Zusammenhang zwischen Strom und Spannung untersucht und dabei
1826 das Ohmsche Gesetz formuliert. Das Gesetz besagt, daß in einem metallischen Leiter
Spannung und Strom stets zueinander proportional sind.
U=R I; R = const.
Dieses Gesetzt gilt bei metallischen Leitern im Allgemeinen bei konstanter Temperatur, weil nur dann
auch der spezifische Widerstand konstant ist.
Während der elektrische Widerstand allgemein als Quotient von Spannung und Strom definiert wurde
und somit allgemein U = R gelten muß, beschreibt das Ohmsche Gesetz den Spezialfall, daß der
elektrische Widerstand konstant und damit unabhängig von der angelegten Spannung ist.
Nur im Falle R = const. ≠ f(U) spricht man von einem ohmschen Widerstand.
Das Ohmsche Gesetz gilt (in weiten Bereichen) für metallische Leiter, aber beispielsweise nicht für
die Stromleitung im Vakuum, bei Gasentladungen, in Glühlampen oder in Halbleitern.
1.3.4. Differentieller Widerstand und Gleichstromwiderstand
Ein ohmscher Widerstand hat eine lineare StromSpannungskennlinie. In jedem Punkt der Kennlinie gilt das
ohmsche Gesetz und der Widerstand berechnet sich aus der
Steigung der Kennlinie:
R
U U
const
I
I
Neben den ohmschen Widerständen existieren
verschiedenste nichtlineare Bauelemente, bei denen der
Quotient aus Spannung und Strom nicht konstant ist. Beispiele für solche Bauelemente sind
spannungsabhängige Widerstände VDR (voltage dependent resistor) oder Dioden. Bei diesen
Bauelementen ist der Widerstand eine Funktion der Spannung oder des Stromes, er ändert sich
somit beim Durchlaufen der Kennlinie. Ein einzelner Widerstandswert reicht folglich zur Beschreibung
solcher Bauelemente nicht aus.
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Zur Angabe eines Widerstandswerts muß ein Arbeitspunkt (AP: UAP, IAP) angegeben werden, in
welchem der Widerstandswert gilt.
Bei nichtlinearen Elementen wird der sogenannte
Gleichstromwiderstand (englisch DC resistance) im
Arbeitspunkt UAP, IAP angegeben:
R AP =
UAP
IAP
Werden nun die Betriebsbedingungen verändert, also z.B. die Spannung am Bauteil erhöht, so gilt
der angegebene Gleichstromwiderstand nicht mehr. Es wird eine zweite Angabe benötigt, die
beschreibt, wie sich der Widerstand vom Gleichstromwiderstand ausgehend verändert, wenn der
Arbeitspunkt verlassen wird.
Zusätzlich zum Gleichstromwiderstand beschreibt man
dazu die lokale Änderung der Spannung bei kleinen
Stromänderungen um den Arbeitspunkt als differentiellen
Widerstand (englisch incremental resistance). Der
differentielle Widerstand ist die Steigung der Tangente der
U--Kennlinie in einem bestimmten Arbeitspunkt. Der
differentielle Widerstand gilt nur in einer hinreichend
kleinen Umgebung um diesen Arbeitspunkt.
r=
dU
dI AP
Der differentielle Widerstand beschreibt die Änderung der Spannung bei Änderung des Stroms, also
das Verhalten bei dynamischem Betrieb des Bauelements.
Der Gleichstromwiderstand wird auch als Großsignalwiderstand und der differentielle Widerstand
als Kleinsignalwiderstand bezeichnet.
1.3.5. Temperaturabhängigkeit des Widerstandes bei Metallen
Der elektrische Widerstand erklärt sich durch Kollisionen der Leitungselektronen mit den Atomen des
Metalls (vereinfachtes Modell). Die Metallatome schwingen um Ihre Ruheposition im Gitter, die Stärke
dieser Schwingungen steigt mit zunehmender Temperatur an. Damit steigt auch die Anzahl der
Kollisionen pro Zeiteinheit und die Elektronen werden stärker abgebremst. Als Folge erhöht sich der
elektrische Widerstand von Metallen mit steigender Temperatur.
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Nimmt der Widerstand mit der Temperatur zu, so spricht man von Kaltleitern. Solche Widerstände
haben einen positiven Temperaturkoeffizienten und heißen daher auch PTC (positive temperature
coefficient). Es gilt:
: T
Die Temperaturabhängigkeit des Widerstands läßt sich näherungsweise durch einen Polynomansatz
beschreiben:
R R0 1 0 0 0 0 L
2
0 ist die Bezugstemperatur in °C; z.B. 0 = 20°C
0 heißt Temperaturkoeffizient; 0
1 1
K °C
R0 ist der Widerstandswert bei 0
In der Praxis reicht die Genauigkeit eines linearen Ansatzes häufig aus. Wenn die Bezugstemperatur
zu 0°C gewählt wird, so vereinfacht sich obige Gleichung zu:
R R0 1
Der Temperaturkoeffizient 0 beschreibt die Temperaturabhängigkeit des Widerstands eines
bestimmten Materials, er ist damit eine Materialkonstante.
Der Temperaturkoeffizient ist eine relative Größe, denn er bezieht sich immer auf einen
Widerstandswert bei der Bezugstemperatur. Häufig möchte man in der Praxis jedoch einen Wert für
die absolute Widerstandsänderung eines Sensors bei Temperaturänderung angeben. Dazu führt man
die Temperaturempfindlichkeit E ein. Die Temperaturempfindlichkeit berechnet sich direkt aus der
Steigung der Funktion R(). Sie gibt an, um wieviel Ohm sich der Widerstand des Sensors ändert,
wenn sich die Temperatur um 1K ändert.
E
dR
d a
Bei Sensoren mit stark nichtlinearer Kennlinie gilt die Angabe der Temperaturempfindlichkeit nur für
einen bestimmten Temperaturbereich.
1.3.6. Beispiel Pt100-Sensor
Ein häufig verwendeter Temperatursensor für Präzisionsmessungen ist der Platinsensor. Er wird
standardmäßig als temperaturabhängiger Metall-Widerstand mit einem Bezugswiderstand von R0 =
100 bei einer Bezugstemperatur von = 0°C eingesetzt und als Pt100-Sensor bezeichnet (Es gibt
auch Pt Sensoren mit anderen Bezugswiderständen).
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Der Temperaturkoeffizient eines Pt100 beträgt = 3,8510-3/K. Die Vorteile dieses Sensors liegen in
seiner guten Genauigkeit, seines großen Meßbereichs von unter -100°C bis weit über 500°C.
Sensoren dieses Typs sind genormt und damit leicht untereinander austauschbar.
1.3.7. Temperaturabhängigkeit des Widerstandes bei Halbleitern
Im Unterschied zu Metallen dominiert bei Halbleitern ein anderer physikalischer Effekt die Änderung
des Widerstandes. Mit zunehmender Temperatur werden, durch das Aufbrechen von Bindungen,
mehr frei bewegliche Ladungsträger erzeugt, dieser Effekt überkompensiert die Widerstandserhöhung durch die Gitterschwingungen. Die Leitfähigkeit von Halbleiterbauelementen steigt daher
mit der Temperatur, man spricht von NTC Widerständen (negative temperature coefficient).
1.3.8. Kenngrößen verschiedener Materialien
Material
0 in mm²/m
/°C
Kupfer
0,017
0,0043
Silber
0,016
0,0036
Platin
0,10
0,0039
Wolfram
0,055
0,0041
Glühfaden in Glühlampen
Konstantan
0,5
0,00004
fast 0
Kohle
65
-0,0004
Motoren: Kohlebürsten
Silizium (rein)
2,3109 Isolator
-0,075
|| ca. 20 mal größer als in
Metallen
-0,03
ca. 10 mal größer als Platin
Bemerkung
(55%Cu, 44%Ni, 1% Mn)
technische NTC
Beachte:
Konstantan hat eine sehr geringe Temperaturabhängigkeit und eignet sich daher gut zur Herstellung
von präzisen Drahtwiderständen.
Reines Silizium ist ein sehr schlechter elektrischer Leiter.
Technische NTC haben einen viel größeren Temperaturkoeffizienten als Platinsensoren. Ihre
Kennlinie ist aber stark nichtlinear und ihr Temperaturbereich ist viel kleiner als der von Pt100
Sensoren.
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1.4 Kenngrößen von elektrischen Schaltungen
Eine elektrische Schaltung mit mehreren Verbindungsknoten der Bauelemente wird auch als
Netzwerk bezeichnet. Im Folgenden werden die Methoden vorgestellt, mit denen die Ströme und
Spannungen in solchen Schaltungen berechnet werden können. Diese Vorgehensweise bezeichnet
man entsprechend als Netzwerkanalyse.
Die eingeführten Methoden beschränken sich zunächst auf lineare Gleichstromnetzwerke. Die
Einschränkung auf Gleichstrom bedeutet, daß sich in den untersuchten Netzwerken die Ströme und
Spannungen im Zeitverlauf nicht ändern dürfen.
Die Einschränkung auf lineare Netzwerke bedeutet, daß zunächst nur ohmsche Widerstände als
Verbraucher zum Einsatz kommen und keine nichtlinearen Bauelemente, wie beispielsweise Dioden
oder Transistoren.
Zählpfeilsystem
In einem elektrischen Stromkreis wird stets elektrische Energie von einer Quelle (dem Generator)
zum Verbraucher übertragen. Bei der Berechnung der Ströme und Spannungen in diesem Stromkreis
ist daher zu berücksichtigen, in welche Richtung der Strom fließt oder wie ein Generator gepolt ist.
Um dies zu erreichen, werden die sogenannten Zähl- oder Bezugspfeile eingeführt. Die Pfeile geben
an, in welche Richtung eine Größe positiv zu betrachten (zu zählen) ist.
Für jede Spannungs- und Stromgröße wird ein Zählpfeil in der Schaltung definiert. Dabei ist die
Richtung dieser Zählpfeile anfänglich einigermaßen willkürlich. Sämtliche Betrachtungen über die
Vorzeichen der Größen beziehen sich anschließend immer auf die anfangs gewählten Richtungen.
Achtung: Ströme und Spannungen sind skalare, also ungerichtete Größen. Auch wenn ihnen nun
Pfeile zugeordnet werden, werden aus diesen Größen keine Vektoren. Die Pfeile sind lediglich ein
Werkzeug zur Festlegung der Vorzeichenkonvention.
Ein positiver Zahlenwert einer Größe bedeutet:
bei Strömen: Zählpfeil und Richtungssinn des Stromes stimmen überein
bei Spannungen: Zählpfeil weist vom höheren zum niedrigeren Potential
Dabei kommen die folgenden Konventionen zur Anwendung:
Aus historischen Gründen bezeichnet man dabei als Richtungssinn des Stromes die Richtung
positiv geladener Ladungsträger. Sie ist damit entgegengesetzt zur Bewegungsrichtung der
Elektronen. Dieser Umstand wird als technische Stromrichtung bezeichnet. Der Strom fließt
also konventionsgemäß vom höheren zum niedrigeren Potential, obwohl sich die Elektronen
tatsächlich in die entgegengesetzte Richtung bewegen.
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Bei Quellen (beispielsweise bei Batterien) zeichnet man eine Spannung als Pfeil vom
positiven zum negativen Pol ein, da der positive Pol auf einem höheren Potential liegt. Der
Strompfeil zeigt in die entgegengesetzte Richtung (Erzeugerzählpfeilsystem).
Bei Verbrauchern zeichnet man die an dem Verbraucher anliegende Spannung mit gleichem
Richtungssinn wie der hindurchfließende Strom (Verbraucherzählpfeilsystem).
Beispiel:
Einfacher Stromkreis mit Quelle (Batterie) und Verbraucher (Widerstand), bei dem alle Größen ein
positives Vorzeichen haben.
Die Quelle wird im Erzeugerzählpfeilsystem definiert, während der Widerstand dem
Verbraucherzählpfeilsystem genügt.
Man kann in dieser Schaltung z.B. den Strompfeil auch umdrehen, bei der Analyse würde sich dann
ein negatives Vorzeichen für den Strom ergeben.
Das heißt, die Aussagen
"Der Strom + mit positivem Vorzeichen fließt in ein Bauelement."
und
"Der Strom - mit negativem Vorzeichen fließt aus einem Bauelement."
sind gleichwertig.
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Grundlegende Begriffe
Anhand der nachfolgenden Schaltung sollen die wichtigsten Kenngrößen erläutert werden, die für
eine systematische Netzwerkanalyse erforderlich sind.
Die kreisförmigen Schaltzeichen U0 und U1 sind ideale Spannungsquellen, die unabhängig von dem
abgegebenen Strom immer dieselbe Spannung liefern. Es sind die Zählpfeile zur Bestimmung der
Stromrichtung eingezeichnet. Die Richtungen der Spannungspfeile über den einzelnen Verbrauchern
sind durch die Konvention des Verbraucherzählpfeilsystems in Richtung der Ströme festgelegt, der
Übersichtlichkeit wegen wurden sie nicht in die Abbildung aufgenommen. Man erkennt, daß die
Richtung von U1 ebenfalls im Verbraucherzählpfeilsystem definiert wurde, was gemäß früher
gemachter Aussagen durchaus erlaubt ist, solange das Vorzeichen korrekt beachtet wird.
Es werden die folgenden Begriffe zur Beschreibung eines Netzwerkes eingeführt:
Knoten (k): Zusammenschluß von 3 oder mehr Netzwerkelementen.
k = Anzahl der Knoten eines Netzwerkes (hier k = 3, durchnumeriert)
Es gilt: Von den k Knoten eines Netzwerkes sind stets genau r = k - 1 voneinander unabhängig.
Zweige (Z): Verbindungen zwischen den Knoten.
Die Ströme entlang dieser Zweige werden als Zweigströme bezeichnet (hier Z = 5). Die Zweigströme
tragen die Bezeichnungen I1 … I5.
Maschen (m): geschlossene Umläufe (manchmal auch „Schleife“ genannt).
Es gibt in einem Netzwerk mit Z Zweigen und k Knoten genau m = Z (k1) = Z – r voneinander
unabhängige Maschen (hier m = 3). In der Regel bietet es sich an, jedes Fenster des Netzwerkes als
Masche zu wählen. Die Maschen sind in dem Netzwerk mit M1…M3 bezeichnet.
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Elektrotechnik II
1.5 Kirchhoffsche Gesetze
Die grundlegenden zwei Regeln, auf denen die weiteren Methoden der Netzwerkanalyse aufbauen,
wurden von Gustav Robert Kirchhoff bereits mit 20 Jahren während seines Studiums im Jahre 1844
aufgestellt.
1.5.1. Kirchhoffsche Knotenregel (Kirchhoff’s Current Law, KCL)
Die Summe aller in einen Knoten zu- und abfließenden Ströme verschwindet.
Nach Konvention werden die auf einen Knoten zufließenden Ströme positiv gezählt und die
abgehenden Pfeile negativ. Nach dem Grundsatz, was in den Knoten herein fließt, muss auch wieder
herauskommen, lässt sich dies als Gleichung wie folgt darstellen:
I
n
0 Kirchhoffsche Knotenregel
n
Beispiel:
Für den Knoten 1 gilt: Strom I1 fließt in ihn hinein, während I2 und I3 herausfließen.
Also I1 – I2 – I3 = 0
An diesem Beispiel wird sofort klar, dass die Richtung der Pfeile willkürlich festgelegt werden kann:
Dreht man die Richtung der Pfeile um, so ändern sich die entsprechenden Vorzeichen in der
Gleichung. Gleichzeitig müssen die Ströme aber mit gedrehtem Vorzeichen eingesetzt werden, so
dass sich wieder die Ausgangsgleichung ergibt.
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1.5.2. Kirchhoffsche Maschenregel (Kirchhoffs’ Voltage Law, KVL)
Die Summe aller Teilspannungen in einer Masche verschwindet.
Man definiert dazu in der jeweiligen Masche einen Umlaufsinn mit dem Uhrzeigersinn. Diese
Konvention hilft bei der systematischen Berechnung von Netzwerken, ansonsten könnte genauso gut
der entgegengesetzte Umlaufsinn gewählt werden. Es werden alle Spannungspfeile in der Masche,
die in Richtung dieses Umlaufssinns zeigen positiv gezählt, die anderen negativ. Als Gleichung
dargestellt:
U
n
0 Kirchhoffsche Maschenregel
n
Beispiel:
Die Maschengleichung für Masche 1 lautet:
M1: -U0 + UR1 + UR2 = 0
Die Kirchhoffsche Maschengleichung findet ihre Entsprechung in der Betrachtung eines
Gravitationsfeldes: Bewegt man eine Masse in einem Gravitationsfeld entlang eines geschlossenen
Weges, so resultiert eine zu überwindende Potentialdifferenz von Null und es wurde keine Arbeit
verrichtet. Bildlich ausgedrückt: Entlang eines geschlossenen Weges wird jeder Höhenunterschied
(Potentialdifferenz entspricht Spannung), der positiv durchschritten wird, an anderer Stelle negativ
durchschritten. Die investierte Arbeit beim Aufstieg wird beim Abstieg wiedergewonnen. Das gilt im
Übrigen völlig unabhängig vom gewählten Weg, solange dieser in sich geschlossen ist.
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1.5.3. Strom- und Spannungsteiler
Sollen in einem Netzwerk ein Zweigstrom einer Parallelschaltung oder eine Teilspannung einer
Serienschaltung ermittelt werden, so kann man unter Nutzung der Rechenregeln für Parallel- und
Serienschaltung eine einfache Methode zur Ermittlung dieser Größen ableiten.
Stromteilerregel
Wenn der Strom durch einen Zweig Ri einer Parallelschaltung
bestimmt werden soll und der Gesamtstrom bekannt ist, so
kann man die Stromteilerregel anwenden.
Zur Ableitung dieser Regel ermittelt man die Zweigspannung
über den Ersatzwiderstand der Parallelschaltung und
berechnet dann den Strom durch den betreffenden Zweig über
das ohmsche Gesetz:
Ii =
Gi
I
Gges
Merksatz:
"Die Ströme durch die einzelnen Zweige einer Parallelschaltung verhalten sich proportional zu
den Leitwerten der Zweige."
Spannungsteilerregel
Wenn die Spannung an einem Widerstand Ri einer
Reihenschaltung bestimmt werden soll und die Gesamtspannung
über der Reihenschaltung bekannt ist, kann die
Spannungsteilerregel angewandt werden.
Zur Ableitung dieser Regel ermittelt man den Gesamtstrom über
den Ersatzwiderstand der Reihenschaltung und berechnet dann
die Spannung an dem betreffenden Widerstand über das
ohmsche Gesetz:
Ui =
Ri
U
Rges
Merksatz:
"Die Spannungen an den einzelnen Elementen einer Reihenschaltung verhalten sich
proportional zu den Widerständen der Elemente."
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Anwendung:
In der Schaltungstechnik muss häufig eine definierte Spannung als Referenz zur Verfügung stehen,
die geringer ist als die Betriebsspannung der Schaltung. Dazu kann man einen Spannungsteiler
einsetzen.
Soll diese Spannung einstellbar sein, verwendet man dazu einen einstellbaren Widerstand mit einem
Abgriff in der Mitte. Diesen veränderbaren Widerstand bezeichnet man als Potentiometer.
Potentiometer
Die Spannungsteiler Regel gilt nur für den unbelasteten Spannungsteiler. Die Spannung U2 darf
also nur so abgegriffen werden, daß kein zusätzlicher Strom über die Klemmen A und B fließt. Wir
sagen auch, die Spannung U2 muß hochohmig abgegriffen werden.
Aufgabe:
Vergleichen Sie die Spannung U2 des unbelasteten und des belasteten Spannungsteilers der beiden
nachfolgenden Schaltungen.
a) unbelasteter Spannungsteiler
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b) belasteter Spannungsteiler
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1.6 Lineare Quellen
1.6.1. lineare Spannungsquelle (U0 + Ri), lineare Stromquelle (I0 || Ri)
Eine lineare Quelle entsteht aus der Kombination einer idealen Quelle mit einem Widerstand, dem
sogenannten Innenwiderstand. Dabei gibt es die Möglichkeit, diese lineare Quelle entweder mit
idealer Stromquelle oder mit idealer Spannungsquelle aufzubauen. In ihrem Verhalten nach außen
unterscheiden sich diese beiden Varianten nicht.
Ausgangskennlinie
UL = U0 – Ri IL
Ausgangskennlinie
UL = Ri (I0 - IL)
Vergleicht man die Gleichungen für die Kennlinien, so erkennt man, daß die Spannungsquelle mit
Innenwiderstand äquivalent zu der Stromquelle mit Innenwiderstand ist.
a) Spannungsquelle mit Innenwiderstand
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UL = U0 – Ri IL
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b) Stromquelle mit Innenwiderstand
UL = Ri (I0 - IL) = Ri I0 – Ri IL
Ein Parametervergleich zeigt, daß beide Ausgangskennlinien identisch sind, wenn die im folgenden
Abschnitt aufgestellten Bedingungen erfüllt sind.
1.6.2. Umwandlung von linearen Quellen
Eine lineare Spannungsquelle mit der Leerlaufspannung U0 läßt sich in eine lineare Stromquelle mit
dem Kurzschlußstrom I0 überführen, wenn sie
den gleichen Innenwiderstand Ri besitzen
und
U0 = Ri I0 gilt.
Man bezeichnet U0 als die Leerlaufspannung der linearen Quelle, da diese Spannung anliegt, wenn
keine Last anliegt (RL ).
Man bezeichnet I0 als Kurzschlußstrom, da dieser Strom fließt, wenn die Ausgänge der linearen
Quelle kurzgeschlossen sind (RL=0).
1.6.3. Lineare Quelle mit Last
Trägt man in die Ausgangskennlinie der linearen Quelle die Strom-Spannungskennlinie des
Lastwiderstandes ein, so kann man den Arbeitspunkt der Schaltung graphisch bestimmen. Der
Arbeitspunkt beschreibt den Strom und die Spannung, die sich beim Betrieb dieses Lastwiderstandes
mit dieser linearen Quelle einstellen.
Aufgabe:
Ermitteln Sie U0, I0, Ri und RL aus den hier dargestellten Kennlinien und berechnen Sie den
Arbeitspunkt (UAP, IAP)
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1.6.4. Umwandlung linearer Zweipole in Ersatzquellen (Norton/Thévenin Theorem)
Häufig interessieren nicht die einzelnen Spannungen und Ströme innerhalb einer Schaltung, sondern
nur das Verhalten der Schaltung insgesamt, wenn man einen Lastwiderstand an die
Ausgangsklemmen anschließt.
Hierbei macht man sich den folgenden Satz zunutze:
Jeder aktive lineare Zweipol läßt sich in eine Ersatzspannungsquelle oder Ersatzstromquelle
umwandeln.
Erläuterungen:
Ein Zweipol ist dabei ein Netzwerk mit zwei nach außen geführten Anschlüssen (Klemmen).
Aktiv bedeutet, daß mindestens eine Quelle vorhanden sein muß.
Linear bedeutet, daß im Netzwerk nur lineare Bauelemente vorkommen.
Die Umwandelbarkeit in eine Ersatzspannungsquelle wird im englischen als Helmholz-ThéveninTheorem, die Umwandelbarkeit in eine Ersatzstromquelle als Norton-(Mayer)-Theorem bezeichnet.
Aktiver linearer Zweipol
Helmholz-Thévenin-Theorem
Ersatzquelle
Norton-Theorem
Originalschaltung und Ersatzschaltung sind äquivalent bezüglich ihres Verhaltens an den Klemmen,
das heißt die Arbeitspunkte sind identisch. Damit ist auch die Leistungsaufnahme eines Verbrauchers
an den Klemmen identisch.
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Vorgehen zur Umwandlung eines Zweipols in eine Ersatzquelle
1. Bestimmung der Quellspannung U0
Die Quellspannung der Ersatzquelle ist gleich der Leerlaufspannung des linearen Zweipols. Man
entfernt den Lastwiderstand und berechnet mittels der Verfahren der Netzwerkanalyse die
Spannung an den Ausgangsklemmen.
2. Bestimmung des Innenwiderstandes Ri
Man berechnet den Innenwiderstand zwischen den beiden Polen des linearen Zweipols ohne den
Lastwiderstand. Hier werden:
- ideale Spannungsquellen im Netzwerk durch einen Kurzschluß ersetzt
- ideale Stromquellen aus dem Netzwerk entfernt
3. Berechnung des Kurzschlußstromes I0
Soll die Ersatzstromquelle bestimmt werden, so berechnet man den Kurzschlußstrom über
I0 = U0 / Ri
Alternativ kann man auch statt Schritt 2 den Kurzschlußstrom des linearen Zweipols berechnen.
Dieser ist gleich dem Kurzschlußstrom der Ersatzquelle. Den Innenwiderstand ermittelt man über
Ri = U0 / I0
Beachte:
Dieses Verfahren läßt sich auch dann anwenden, wenn an den Zweipol ein und nur ein nichtlineares
Bauelement angeschlossen wird.
Beispiel:
Bestimmen Sie die Ersatzquelle der folgenden Schaltung bezüglich der Klemmen 1 und 2.
1. Schritt: Bestimmung der Leerlaufspannung
Durch R2 fließt im Leerlauf kein Strom und damit
fällt an R2 auch keine Spannung ab.
Die Leerlaufspannung U0 ergibt sich aus der
Spannungsteilerregel zu:
U0 =
R3
U
R1+R3
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2. Schritt: Bestimmung des Innenwiderstandes
Ersetzen von Spannungsquellen durch Kurzschluß
und Stromquellen entfernen.
Ri = R2 + R1 || R3 = R2 +
=
R1R3
R1+R3
R1R2 +R1R3 +R2R3
R1+R3
3. Schritt: Bestimmung des Kurzschlußstromes I0
Der Kurzschlußstrom ergibt sich zu:
I0 =
U0
R3
R1+R3
R3
=
U
=
U
Ri R1+R3
R1R2 +R1R3 +R2R3 R1R2 +R1R3 +R2R3
Ergebnis:
Wählt man U0, I0, Ri wie berechnet, so verhalten sich diese drei Schaltungen bezüglich der Last RL
völlig identisch:
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1.6.5. Leistungsanpassung
Die Leistung, die in einem Lastwiderstand RL umgesetzt wird, der von einer linearen
Spannungsquelle (oder von einem beliebigen linearen Netzwerk, daß in eine solche lineare
Spannungsquelle konvertiert werden kann) gespeist wird, berechnet sich zu:
RLU02
PL
(Ri RL ) 2
Die umgesetzte Leistung ist also vom Widerstandswert des Innenwidertands sowie des
Lastwiderstands abhängig. Um zu berechnen, bei welchem Lastwiderstand die größte Leistung
umgesetzt wird, wird die obige Formel nach RL abgeleitet, gleich Null gesetzt und nach RL aufgelöst.
Führen Sie dies zur Übung selbstständig durch und vergleichen Sie Ihre Ergebnis mit dem
Folgenden.
Leistungsanpassung
In einem Lastwiderstand RL, der von einer linearen Spannungsquelle versorgt wird, wird genau dann
die größte Leistung umgesetzt, wenn der Lastwiderstand gleich dem Innenwiderstand der Quelle
ist RL = Ri. Paßt man den Lastwiderstand und Innenwiderstand der Quelle aneinander an, so spricht
man von Leistungsanpassung (power matching).
2
Für den Fall der Leistungsanpassung gilt: PL ,max
U0
4 Ri
Dabei wird jedoch nur die Hälfte der von der Quelle abgegebenen Leistung im Lastwiderstand, die
andere Hälfte im Innenwiderstand der Quelle umgesetzt. Der Wirkungsgrad der Schaltung beträgt für
diesen Betriebsfall η = 0,5.
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Wird der Lastwiderstand als Vielfaches des Innenwiderstands angegeben (normiert), so ergibt sich
der gezeigte Verlauf (grün) der auf die maximale Leistung normierten Leistung am Lastwiderstand. In
dem folgenden Diagramm ist auch der Verlauf des Wirkungsgrads eingezeichnet (rot).
Bei der Übertragung von Nachrichten spielt der Wirkungsgrad keine Rolle, es muß aber sichergestellt
werden, daß die maximale Energie des Signals den Empfänger erreicht, nachrichtentechnische
Systeme arbeiten daher stets in Leistungsanpassung.
Bei der Energieversorgung möchte man dagegen einen möglichst hohen Wirkungsgrad erreichen, der
Lastwiderstand muß also um ein vielfaches größer sein, als der Innenwiderstand der Quelle. Daß
dabei nicht die maximal mögliche Energie an den Verbraucher abgegeben wird spielt keine Rolle.
Würde man Energieversorgung in Leistungsanpassung betreiben, so würde die Hälfte der Leistung
im Kraftwerk verbraucht werden.
Abhängig von Verhältnis Lastwiderstand zu Innenwiderstand unterscheidet man folgende
Anpassungsarten:
Stromanpassung
RL << Ri
Unteranpassung
RL < Ri
Leistungsanpassung
RL = Ri
Überanpassung
RL > Ri
Spannungsanpassung
RL >> Ri
Laden von
Akkumulatoren
η0
Nachrichtentechnik
η = 0,5
Energieübertragung
η1
Strom ist (fast)
unabhängig von RL
Spannung ist (fast)
unabhängig von RL
Identifizieren Sie die unterschiedlichen Anpassungsarten in dem oben gezeigten Diagramm.
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1.7 Nichtlineare Quellen und Verbraucher
Der Arbeitspunkt von einem an eine Quelle angeschlossenen Verbraucher ergibt sich aus dem
Schnittpunkt der Kennlinie der Quelle und der Kennlinie des Verbrauchers.
Im Falle von linearen Quellen und Verbrauchern kann dieser Arbeitspunkt einfach anhand des
Diagramms oder durch Rechnung ermittelt werden.
Nichtlineare Quelle mit linearer Last
Besitzt die Quelle eine nichtlineare Kennlinie - die Klemmenspannung ist also keine lineare Funktion
des entnommenen Stroms - wie das zum Beispiel bei Solarzellen der Fall ist, kann der Arbeitspunkt
nicht mehr so einfach rechnerisch
Solarzelle mit linearer Last
bestimmt werden. Bei solchen
I/A 3
Quellen bietet es sich an, den
Arbeitspunkt graphisch zu ermitteln.
2.5
Dazu wird die Kennlinie der linearen
Last in die Kennlinie der Quelle
2
eingezeichnet. Am Schnittpunkt der
beiden Kennlinien kann der sich
1.5
einstellende Arbeitspunkt abgelesen
1
werden.
0.5
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
U/V
Nichtlineare Last an linearer Quelle
Analog dazu kann der Arbeitspunkt von einer nichtlinearen Last an einer linearen Quelle graphisch
bestimmt werden. Dazu ist der Schnittpunkt einer gegebenen Lastkennlinie mit der Kennlinie der
Spannungsquelle zu ermitteln (Gerade durch Leerlaufspannung und Kurzschlußstrom).
Übung:
Bestimmen Sie einzeln den Arbeitspunkt für jede
der Dioden, wenn sie mit einer linearen
Spannungsquelle mit einer Leerlaufspannung U0
= 1,5V und einem Innenwiderstand von Ri = 20
verbunden werden.
Lösung:
AP Ge: 50 mA; 0,45 V, AP Si: 28 mA; 0,94 V
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Wird eine nichtlineare Last durch ein lineares Netzwerk versorgt, so kann das Thévenin-Theorem
angewandt werden und das Netzwerk in eine lineare Spannungsquelle überführt werden. Diese
Umwandlung ist nur für genau eine nichtlineare Last anwendbar.
Übung:
Es sei das gezeigte Netzwerk mit den folgenden
Parametern gegeben:
U0 = 12.4 V
R1 = 800
R2 = 1.6 k
a) Bestimmen Sie die Parameter der
Ersatzspannungsquelle.
Characteristic diagram of VDR
8
7
6
5
U/V
b) Nun soll ein Varistor (VDR) mit
nebenstehender Kennlinie an dieser
linearen Quelle betrieben werden.
Bestimmen Sie den Arbeitspunkt der
sich einstellt graphisch.
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
I / mA
6
7
8
9
10
Lösung:
a) Leerlaufspannung ULL = 6,4 V, Ri = 800 , Kurzschlußstrom Ik = 7,7mA
b) Arbeitspunkt 3 V bei 4 m
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1.8 Wheatstone-Brücke - Sensorbrücke
Zwischen zwei Knoten, die auf gleichem elektrischem Potential liegen, fällt gemäß der Kirchhoffschen
Maschenregel keine Spannung ab, zwischen diesen Knoten fließt daher auch kein Strom. Gilt in
nebenstehender Schaltung UR1 = UR2, so folgt I = 0.
Dieses Verfahren lässt sich zu einer Methode zur
Widerstandsbestimmung erweitern. Dazu verwendet man eine
sogenannte Wheatstone Brücke (benannt nach Sir Charles
Wheatstone, erfunden von Samuel Hunter Christie). Die Brücke
besteht aus einer Spannungsquelle und zwei parallel geschalteten
Spannungsteilern aus je zwei Widerständen. Der erste
Spannungsteiler enthält neben einem Festwert-Widerstand R1
den zu messenden Widerstand RX. Der zweite Spannungsteiler
wird aus dem Widerstand R3 und dem einstellbaren Widerstand
RM gebildet. Die Abgriffe der beiden Spannungsteiler werden
über ein Strommessgerät verbunden. Die Spannungen an den
Spannungsteilern berechnen sich zu:
U1 = U0
RX
R1
bzw. U2 = U0
RM
R3
Stellt man nun RM so ein, dass an beiden Spannungsteilern die gleiche Spannung anliegt, dann wird
der Strom zwischen den Spannungsteilern zu null und es gilt:
RX RM
R1
RX = RM
R1 R3
R3
Diesen Zustand nennt man Abgleichbedingung. Bei bekanntem Verhältnis von R1 zu R3 kann man
den einstellbaren Widerstand RM mit einer Skala versehen, an der bei abgeglichener Brücke ( = 0)
der zu bestimmende Widerstand RX direkt abgelesen werden kann. Der Vorteil der Meßbrücke liegt
in der Unabhängigkeit der Meßgenauigkeit von der Quellenspannung U0. Innenwiderstand und
Genauigkeit des Strommeßgerätes spielen auch hier keine Rolle.
Für die Brückenempfindlichkeit E0 (am Abgleichpunkt) gilt:
E0
dU ab
dRM
Abgl!
Uab
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2 Berechnung von Gleichstromschaltungen
2.1 Überlagerungsprinzip
Hat ein lineares Netzwerk mehrere Spannungs- oder Stromquellen, so kann es unter Ausnutzung des
Überlagerungsprinzips analysiert werden. Das Überlagerungsprinzip wird auch als
Superpositionsprinzip oder Helmholtz-Prinzip bezeichnet.
Dabei wird zunächst die Wirkung jeder einzelnen Quelle untersucht, wodurch man häufig das
Problem auf eine einfache Bestimmung eines Ersatzwiderstandes oder die Anwendung
Spannungsteiler- oder Stromteilerregel reduzieren kann. Anschließend werden die einzelnen Effekte
aufaddiert.
In einem linearen Netzwerk kann die von allen Quellen hervorgerufene Wirkung an einer beliebigen
Stelle des Netzwerkes als Summe der Wirkungen jeder einzelnen Quelle bestimmt werden. Dabei
sind die nichtbetrachteten idealen Quellen durch ihre idealen Innenwiderstände zu ersetzen (ideale
Spannungsquelle Ri = 0, Stromquelle mit Ri ).
Vorgehen:
1.
Für jede Quelle zeichnet man ein Schaltbild, bei dem alle anderen idealen
Spannungsquellen durch einen Kurzschluß ersetzt werden und alle anderen idealen
Stromquellen ersatzlos entfernt werden.
2.
Für jede Teilschaltung berechnet man den gesuchten Teilstrom (oder die gesuchte
Teilspannung) der durch die jeweilige Quelle hervorgerufen wird.
3.
Man addiert die Teilströme oder Teilspannungen auf und erhält den Gesamtstrom oder die
Gesamtspannung.
Beispiel:
Bestimmung des Stroms I4 durch den Widerstand R4 durch Anwendung des Überlagerungsprinzips.
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a) Wirkung von U0
I 4a
U0
6.6V
0,12 A
R3 R4 55
b) Wirkung von I0
I 4b
Überlagerung von I4a and I4b:
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R3
G4
I0
I 0 0,04 A
R3 R4
G3 G4
I 4 I 4 a I 4b 0,16 A
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Drei Methoden zur Netzwerkanalyse
Um alle Größen in einem linearem Netzwerk mit z Zweigen und k Knoten zu berechnen, müssen z
Zweigströme und z Zweigspannungen bestimmt werden, also 2z lineare voneinander unabhängige
Gleichungen gelöst werden. Um umfangreiche Schaltungen analysieren zu können, ist dabei ein
systematisches Vorgehen unerläßlich. Vor der Anwendung eines Verfahrens zur systematischen
Netzwerkanalyse sollte das Netzwerk durch Zusammenfassen von reinen Reihen- und
Parallelschaltungen so weit als möglich vereinfacht werden.
Zur systematischen Analyse von Netzwerken wurden drei Methoden entwickelt. Im Folgenden wird
insbesondere auf die Anwendung der Knotenpotential- und der Maschenanalyse näher eingegangen.
Je nach Typ des zu analysierenden Netzwerks wird eines dieser Verfahren ausgewählt.
1. Basisverfahren der Netzwerkanalyse
Bei diesem Verfahren werden die Kirchhoffschen Regeln direkt angewendet. Das Verfahren dient
zur Vermittlung der Vorgehensweise und macht die Vorteile der systematischen Verfahren
deutlich. Aufgrund der großen Anzahl der zu lösenden Gleichungen eignet es sich nur bedingt zur
Untersuchung realer Netzwerke.
2. Maschenstromverfahren
Bei diesem Verfahren wird die Komplexität durch die Definition von Maschenströmen reduziert.
Die Anzahl der zu lösenden Gleichungen reduziert sich auf die Anzahl der unabhängigen
Maschen. Es eignet sich besonders für den häufig anzutreffenden Fall von Netzwerken mit mehr
Spannungsquellen als Stromquellen.
3. Knotenverfahren / Knotenpotentialanalyse (KPA)
Bei diesem Verfahren wird für jeden Knoten die Spannung gegenüber einem willkürlich gewählten
Referenzknoten bestimmt. Als Referenzknoten wird in der Regel der Massepunkt der Schaltung
gewählt. Jedem Knoten ist damit eine sogenannte Knotenspannung zugeordnet. Die Komplexität
der Analyse reduziert sich von ursprünglich 2z Gleichungen auf (k-1) Gleichungen. Aus den
Knotenspannungen lassen sich anschließend die gesuchten Zweigspannungen und Zweigströme
berechnen. Die meisten Schaltungs-Simulationsprogramme (z.B. PSpice) basieren auf diesem
Verfahren.
Beispielnetzwerk zur Erläuterung des Basisverfahrens und der Maschenstromanalyse:
Die Stromquelle Iq6 und der
Widerstand R6 werden im
Folgenden als ein Zweig
betrachtet. Dies ist zulässig,
wenn der Gesamtstrom durch R6
und Iq6 gefragt ist, aber nicht
zwingend erforderlich. Dieses
Netzwerk somit z = 6 Zweige
und k = 4 Knoten.
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2.2 Basisverfahren der Netzwerkanalyse
1. Zweigströme festlegen
2. Zweigspannung gleichsinnig zu Zweigströmen festlegen
3. Knoten numerieren (typischerweise 0 für das gemeinsame Massepotential)
4. Maschen numerieren (jede "einfache Masche" erhält eine Nummer)
5. Kirchhoffs Maschenregel für jede Masche anwenden
6. Kirchhoffs Knotenregel für k-1 Knoten anwenden (Masseknoten auslassen)
1. Zweigströme
2. Zweigspannungen
3. Knoten
4. Maschen
5. Maschenregel
M1:
- U1 + U2 + U3 = 0
M2:
- U2 + U4 – U5 = 0
M3:
- U3 + U5 + U6 = 0
6. Knotenregel für k-1 linear unabhängige Knoten
N1:
+ I1 – I2 – I4 = 0
N2:
+ I2 – I3 – I5 = 0
N3:
+ I4 + I5 – I6 = 0
Die Beziehungen zwischen Zweigströmen und Zweigspannungen ergeben sich aus dem ohmschen
Gesetz:
U1 = -R1 I1+Uq1, U2 = R2 I2, U3 = R3 I3, U4 = R4 I4, U5 = R5 I5, U6 = R6 (I6-Iq6)
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In Summe ergeben sich somit 12 Gleichungen für 12 Unbekannte (U1 … U6, I1 … I6) die mittels der
Standardmethoden der linearen Algebra gelöst werden können.
2.3 Maschenstromverfahren
Das Maschenstromverfahren reduziert die Komplexität auf nur eine Gleichung je Masche (m=z-k+1),
im Beispielnetzwerk also von 12 Gleichungen auf 3:
1. Zweigströme definieren
2. Maschenstrom für jede Masche in Richtung des Uhrzeigersinnes definieren
3. Lineare Stromquellen in Lineare Spannungsquellen überführen
4. Zweigströme als Funktion der Maschenströme ausdrücken
5. Kirchhoffsche Maschenregel auf jeden Zweigstrom anwenden
1. Zweigströme
2. Maschenströme
IM3
IM1
3. Quellen umwandeln Uq6 = R6 Iq6
IM2
4. Zweigstrom = f(Maschenstrom)
I1 = IM1
I2 = IM1 – IM2
I3 = IM1 – IM3
I4 = IM2
I5 = IM2-IM3
I6 = IM3
5. Kirchhoffsche Maschenregel
M1:
- Uq1 + R1I1 + R2I2 + R3I3 = 0
M2:
-R2 I2 + R4 I4 – R5 I5 = 0
M3:
-R3 I3 + R5 I5 + R6 I6 – Uq6 = 0
R1IM1 +R2 (IM1 – IM2) + R3 (IM1-IM3) = Uq1
-R2 (IM1-IM2) + R4 IM2 – R5 (-IM2+IM3) = 0
-R3 (IM1- IM3) + R5 (-IM2+IM3) + R6 IM3 = Uq6
Beachten Sie, daß diese Grundform des Maschenstromverfahrens nur für Netzwerke angewandt
werden kann, die ausschließlich Spannungsquellen enthalten. Wir werden das Verfahren später so
erweitern, daß auch ideale Stromquellen behandelt werden können.
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Durch Anwendung des Maschenstromverfahrens ergibt sich für das gleiche Netzwerk ein lineares
Gleichungssystem von nur 3 Gleichungen für 3 Unbekannte Maschenströme.
Das resultierende lineare Gleichungssystem kann als Matrixgleichung dargestellt werden. Die Matrix
bezeichnet man als Maschen-Impedanzmatrix Z, die Vektoren heißen Maschenstromvektor I und
Quellenspannungsvektor U:
R2
R1 R 2 R 3
R2
R 2 R 4 R5
R3
R5
R3
IM1 Uq1
R5
IM2 0
R 3 R 5 R 6 IM3 Uq6
r ur
Man beachte die Ähnlichkeit der Gleichung Z I=U mit dem ohmschen Gesetz. Aus den
Maschenströmen lassen sich unmittelbar die Zweigströme und damit auch alle Spannungen
berechnen.
Löst man die Gleichung, so ergibt sich: IM1 = 5,77 mA; IM2 = 0,96 mA; IM3 = 5,74 mA.
Das Maschenstromverfahren bietet zwei Vorteile:
1. Die Anzahl der Gleichungen wird auf die Anzahl der Maschen reduziert.
2. Die Maschen-Impedanzmatrix Z kann direkt ohne Umformungen aus der Schaltung aufgestellt
werden, indem man nachfolgendes Schema anwendet.
Aufstellen der Maschen-Impedanz-Matrix
1. Jedes Element ni,i auf der Hauptdiagonalen ist die Summe der Widerstände in Masche i
2. Jedes andere Element ni,k ist die negative Summe der Widerstände, durch die sowohl der
Maschenstrom i als auch k hindurchfließen. Fließen die Ströme durch keine gemeinsamen
Widerstände, so wird eine Null eingetragen.
3. Jedes Element ui des Lösungsvektors ist die Summe der Spannungsquellen in Masche i (positiv,
wenn der Zählpfeil von ui entgegengesetzt zur Richtung von IMi ist, andernfalls negativ)
Mit diesem Verfahren können beliebig komplizierte lineare Netzwerke analysiert werden. Die Lösung
des Gleichungssystems erfolgt in der Praxis numerisch oder mit dem Gaußschen
Eliminationsverfahren.
Übung:
Wenden Sie das Verfahren zur Aufstellung der Maschen-Impedanz-Matrix und des Lösungsvektors
für das Beispielnetzwerk an und vergleichen Sie dies mit obigem Ergebnis.
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Elektrotechnik II
Die folgenden Eigenschaften der Maschen-Impedanz-Matrix können genutzt werden, um die
aufgestellte Matrix auf Korrektheit zu prüfen:
a) Die Matrix ist stets symmetrisch zur Hauptdiagonalen.
b) Jedes Element auf der Hauptdiagonalen ist positiv.
Maschenstromverfahren mit idealen Stromquellen
Soll ein Netzwerk mit dem Maschenstromverfahren analysiert werden, so darf es nur
Spannungsquellen enthalten. Da ideale Stromquellen nicht in Spannungsquellen umgewandelt
werden können, müssen diese gesondert betrachtet werden.
Befindet sich eine ideale Stromquelle in einem Zweig, der nur zu einer
Masche gehört, so vereinfacht sich die Situation, da die Quelle den
Maschenstrom in dieser Masche bereits festlegt. Bei der Definition der
Maschen ist also darauf zu achten, daß alle idealen Stromquellen
jeweils nur Bestandteil einer einzelnen Masche sind. In der
nebenstehenden Abbildung legt die Stromquelle den Maschenstrom
fest, der Strom 0 entspricht dem Maschenstrom.
Die Maschen, die eine ideale Stromquelle enthalten, werden nicht in
die Maschenimpedanzmatrix aufgenommen, die zugehörigen Zeilen entfallen. Die Ströme der idealen
Stromquellen werden direkt in den Maschentromvektor eingetragen.
Die Vorgehensweise wird an einem kurzen Beispiel verdeutlicht. Das gezeigte Netzwerk soll mittels
der Maschenstromanalyse untersucht werden.
Die Maschen müssen so gelegt werden,
daß die beiden idealen Stromquellen
jeweils nur in einer Masche liegen. Wir
definieren die Masche M1 über: Iq1, R2
und R5. M4 über: Iq4, R2 und R3. Und
schließlich M6 über: R5, R2, R3 und R6.
Die beiden Maschen M1 und M4 erhalten
keine Einträge in der
Maschenimpedanzmatrix und die Zeile für
die Masche M6 wird ganz normal nach
den Regeln für die Maschenstromanalyse
aufgestellt. Die idealen Stromquellen
werden als Maschenströme direkt in den
Maschenstromvektor eingetragen.
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Elektrotechnik II
Es ergibt sich damit das folgende vereinfachte Gleichungssystem:
R2 R5
R2 R3
I q1
R2 R3 R5 R6 I q 4 0
I 6
Die einzige unbekannte Größe ist somit der Maschenstrom 6. Das Gleichungssystem kann jedoch
leicht nach 6 aufgelöst werden:
I6
I q1 R2 R5 I q 4 R2 R3
R2 R3 R5 R6
2.4 Knotenpotentialverfahren
Ähnlich wie das Maschenstromverfahren reduziert das Knotenpotentialverfahren die Anzahl der zu
lösenden Gleichungen. Basis dieses Verfahrens sind die Knotenpotentiale , sie sind definiert als die
Spannung (Potentialunterschied) zwischen dem betrachteten Knoten und dem Bezugsknoten. Das
Ziel des Verfahrens ist ebenfalls die Bestimmung sämtlicher unbekannter Spannungen und Ströme
im Netzwerk. Dieses Verfahren eignet sich besonders für Netzwerke mit vielen Stromquellen. Es soll
am folgenden Beispielnetzwerk eingeführt werden:
Soll ein Netzwerk dem Knotenpotentialverfahren unterzogen werden, so
darf es nur noch Stromquellen und Leitwerte enthalten. Die
Spannungsquelle U1 muß also zusammen mit ihrem Innenwiderstand R1
zunächst in eine Stromquelle überführt werden. Dabei gilt:
G1
U
1
; I0 1
R1
R1
Die Richtung des Stromes muß dabei so gewählt werden, daß der
Spannungsabfall an G1 der ursprünglichen Spannung U1 entspricht.
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Elektrotechnik II
Alle Widerstände im Netzwerk werden anschließend in ihre Leitwerte überführt.
Das Knotenpotentialverfahren reduziert die Komplexität auf nur eine Gleichung je unabhängigem
Knoten (k-1), im Beispielnetzwerk also von wiederum 12 Gleichungen (3 Maschen und 3 Knoten) auf
3. Nach der Vorbereitung des Netzwerks (Leitwerte, Stromquellen) werden folgende Schritte
durchgeführt:
1. Zweigströme definieren und Quellenströme markieren
2. Bezugsknoten definieren (üblicherweise Massepotential) und Knotenpotential für jeden
unabhängigen Knoten definieren
3. Aufstellen der Kirchhoffgleichung für jeden Knoten.
4. Ausdrücken der Kirchhoffgleichungen als Funktion der Knotenpotentialdifferenzen und der
Leitwerte mit:
I ab Gab (a b )
Schritte des Knotenpotentialverfahrens:
1. Zweiströme und Quellenströme
2. Knotenpotentiale
3. Kirchhoffsches Knotengesetz
4. Auflösen und Einsetzen der Knotenpotentiale
K1: -0 + 1 + 2 + 5 = 0 1 + 2 + 5 = 0
G1(1-3) + G2(1-2) + G51 = I0
K2: -2 + 3 + 4 = 0
G2(2-1) + G3(2-3) + G42 = 0
K3 +0 - 1 - 3 - 6 = 0 -1 - 3 = -0 + 6
G1(3-1) + G3(3-2) = -I0 + I6
Nach Anwendung des Verfahrens entsteht ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen für
drei unbekannte Knotenpotentiale. Dieses System läßt sich mit den bekannten Lösungsverfahren für
lineare Gleichungssysteme lösen.
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Das resultierende Gleichungssystem läßt sich in Matrixschreibweise mit der Knoten-AdmittanzMatrix Y darstellen, die beiden Vektoren nennt man Knotenpotentialvektor und
Quellenstromvektor I:
G1 G2 G5
G2
G1
G2
G2 G3 G4
G3
G1 1 I 0
G3 2 0
G1 G3 3 I 0 I 6
G I
Aus den Knotenpotentialen lassen sich unmittelbar alle Zweigspannungen und damit auch die
Zweigströme berechnen.
Das Knotenpotentialverfahren bietet zwei Vorteile:
1. Die Anzahl der Gleichungen wird auf die Anzahl der unabhängigen Knoten reduziert.
2. Die Knoten-Admittanz-Matrix Y kann direkt ohne Umformungen aus der Schaltung aufgestellt
werden, indem man nachfolgendes Schema anwendet.
Aufstellen der Knoten-Admittanz-Matrix
1. Jedes Element ni,i auf der Hauptdiagonalen ist die Summe der Leitwerte, die mit Knoten i
verbunden sind.
2. Jedes andere Element ni,k ist die negative Summe der Leitwerte, die zwischen Knoten i und
Knoten k liegen. Liegt zwischen den Knoten kein Leitwert, so wird eine Null eingetragen.
3. Jedes Element ii des Lösungsvektors ist die Summe der Stromquellen am Knoten i (positiv, wenn
der Strom in den Knoten fließt, andernfalls negativ)
Mit diesem Verfahren können beliebig komplizierte lineare Netzwerke analysiert werden. Die Lösung
des Gleichungssystems erfolgt in der Praxis numerisch oder mit dem Gaußschen
Eliminationsverfahren.
Die folgenden Eigenschaften der Knoten-Admittanz-Matrix können genutzt werden, um die
aufgestellte Matrix auf Korrektheit zu prüfen:
a) Die Matrix ist stets symmetrisch zur Hauptdiagonalen.
b) Jedes Element auf der Hauptdiagonalen ist positiv, die übrigen Elemente sind negativ oder
gleich Null.
Übung:
Wenden Sie das Verfahren zur Aufstellung der Knoten-Admittanz-Matrix und des Lösungsvektors für
das Beispielnetzwerk an und vergleichen Sie dies mit obigem Ergebnis.
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Knotenpotentialverfahren mit idealen Spannungsquellen
Soll ein Netzwerk dem Knotenpotentialverfahren unterzogen werden, so darf es nur noch
Stromquellen enthalten. Da ideale Spannungsquellen nicht in Stromquellen umgewandelt werden
können, muß mit diesen gesondert verfahren werden.
Befindet sich eine ideale Spannungsquelle zwischen zwei
Knoten, so vereinfach sich die Situation eigentlich noch, denn
eine ideale Spannungsquelle U0 zwischen zwei Knoten a und b
sorgt für eine feste Potentialdifferenz zwischen diesen Knoten.
Somit ist nur noch eines der Knotenpotentiale unbekannt, das
zweite hat zu diesem die Differenz U0. Die beiden Knoten können
zu einem Knoten zusammengefaßt werden, die Strombilanz (KCL)
gilt natürlich auch für die Summe der beiden Knoten.
Das Zusammenfassen der Knoten wird im Gleichungssystem
dadurch ausgedrückt, daß Zeile a auf b addiert und dann Zeile a
gestrichen wird. Der neue zusammengefaßte Knoten heißt in
diesem Fall dann b:
G1a G1b G1c a Iq1
a
G 2a G 2b G 2c Iq 2 G 2a G1a G 2b G1b G 2c G1c Iq 2 Iq1
b
b
G3a G3b G3c c Iq3 G3a
G3b
G3c c Iq3
Jetzt muß nur noch die ideale Spannungsquelle in das Gleichungssystem "eingebaut", also das
Potential des Knotens a ausgedrückt werden. Es gilt: a b U 0 also a b U 0 . Eingesetzt in
das obige Gleichungssystem folgt:
1
1
0
a U 0
G 2a G1a G 2b G1b G 2c G1c Iq 2 Iq1
b
G3a
G3b
G3c c Iq3
Befindet sich im zu untersuchenden Netzwerk eine ideale Spannungsquelle, so wird das
Knotenpotentialverfahren zunächst so durchgeführt, als wäre die Quelle nicht vorhanden. In das
entstandene Gleichungssystem wird die Quelle dann nach folgendem Schema eingefügt:
1. Addition der zwei beteiligten Knotenzeilen und Streichen einer Zeile.
2. Einfügen der Spannungsquelle als Differenz der Knotenpotentiale, durch Eintragen von "1"
und "-1" in die gestrichene Zeile. Die Richtung des Spannungspfeils wird durch die Vorzeichen
der neuen Einträge berücksichtigt.
3. Die Spannungsquelle wird in die freigewordene Position des Quellenvektors eingetragen.
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3 Mittelwerte periodischer Funktionen
Wechselgrößen
Eine wichtige Klasse zeitlich veränderlicher Signale hat die Eigenschaft der Periodizität, d.h., dass
sich der Signalverlauf in immer gleichen Zeitabständen wiederholt.
Beispiel einer periodischen Wechselspannung:
16
US
14
û
12
U [V]
10
8
6
4
T
2
0
0
10
20
30
40
50
60
70
t [ms]
Eine periodische Funktion beginnt im negativen Unendlichen (t -) und endet im positiven
Unendlichen (t ). Periodische Wechselsignale werden mit folgenden Größen beschrieben:
Periodendauer T; [ T ] = s
Die Periodendauer (oder kurz Periode) eines Wechselsignals ist das Grundintervall, nach dessen
Ablauf sich die Werte des Signals wiederholen. Dieses Grundintervall eines Signals wird als
Schwingung bezeichnet, die Periode gibt damit die Länge einer Schwingung an.
Frequenz f; [ f ] = Hz
Die Frequenz f gibt an, wie viele vollständige Schwingungen eines Signals in einer Sekunde
stattfinden. Die Frequenz ist damit der Kehrwert der Periodendauer.
Kreisfrequenz rad/s
Die Schwingung eines Sinussignals lässt sich als rotierender Zeiger in der komplexen Ebene
interpretieren. Die Kreisfrequenz eines Signals gibt an, wie oft der zugehörige Zeiger in einer
Sekunde einen vollständigen Kreis (360° bzw. 2) beschreibt. Da eine Schwingung einem Vollkreis
entspricht, ergibt sich die Kreisfrequenz aus dem Produkt der Frequenz und 2 (Vollkreis). Die Einheit
der Kreisfrequenz ist damit 2/s oder rad/s.
Momentanwert u(t):
Der Momentanwert beschreibt den Wert des Signals zu jedem Zeitpunkt t. Bei sinusförmigen
Spannungen gilt z.B. u(t) = û ∙ sin(t + ).
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Elektrotechnik II
15
Spitze-Tal-Wert: 2∙û
10
U [V]
5
0
0
10
20
30
40
50
-5
-10
-15
t [ms]
Scheitelwert US:
Der Scheitelwert Us beschreibt den größten Wert, den das Signal in einer Periode (und damit für alle
Zeitpunkte) annimmt.
Amplitude û:
Die Amplitude û ist die größte Auslenkung, die ein Signal in einer Periode aus einer Mittellage erfährt.
Diese Mittellage ist als arithmetischer Mittelwert definiert, sie stellt damit auch den Gleichanteil eines
Signals dar.
Mischgrößen
Häufig liegen Spannungen und Ströme vor, die sich aus der Überlagerung einer Gleichspannung u
oder –stroms i (Gleichanteil) mit einer Wechselspannung u oder –strom i (Wechselanteil) ergeben.
Diese werden als Mischgrößen bezeichnet. Z.B. für die Mischspannung ut u u u uˆ sint :
20
15
U [V]
10
û
u
5
0
0
10
20
30
40
50
-5
-10
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t [ms]
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3.1 Arithmetischer Mittelwert – Gleichanteil
Zur näheren Charakterisierung von Wechselgrößen ist es häufig nötig, Mittelwerte der Signale zu
betrachten. Die zwei wichtigsten Mittelwerte werden im Folgenden mit ihren Eigenschaften
vorgestellt. Allen diesen Größen ist gemeinsam, dass die Mittelwertbildung stets über eine Periode
stattfindet. Es wird also immer ein bestimmter Wert über eine ganze Periode summiert (integriert) und
anschließend durch die Länge der Periode geteilt. Da sich die Signalwerte nach einer Periode
wiederholen, gilt der berechnete Mittelwert für das ganze Signal.
Zur Bildung des arithmetischen Mittelwerts wird der Momentanwert u(t) eines Signals
vorzeichenrichtig über die Dauer einer Periode integriert und dann durch die Länge der Periode
geteilt:
T
u
1
u t dt
T 0
Da sich die Signalwerte nach einer Periode wiederholen, müssen die Integrationsgrenzen nicht mit
den Periodengrenzen übereinstimmen, es muss lediglich über die Länge einer Periode integriert
werden:
1
u
T
T t0
ut dt
t0
Anschaulich gesprochen werden bei der Bildung des arithmetischen Mittelwerts die Flächen, die das
Signal mit der Abszisse einschließt, aufsummiert. Flächen, die über der Achse liegen werden dabei
positiv gezählt, die unter der Achse werden negativ gezählt. Schwingt ein Signal genau symmetrisch
um die Nullachse, wie das bei einem reinen Sinus der Fall ist, dann heben sich die positiven und die
negativen Flächenanteile auf und der Mittelwert verschwindet (Abbildung).
20
15
U [V]
10
û
u
5
0
0
10
20
30
40
50
-5
-10
t [ms]
Der arithmetische Mittelwert wird auch als Gleichanteil eines Signals bezeichnet. Die folgenden
Überlegungen verdeutlichen den Begriff.
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Elektrotechnik II
Betrachtet wird eine sinusförmige Wechselspannung, zu der eine Gleichspannung addiert wurde:
u t u0 u sin t
Die Mittelwertbildung dieses Signals ergibt:
T
T
T
T
1
1
1
1
u
t
dt
u
u
sin
t
dt
u
dt
u sin t dt u0 0 u
0
0
T 0
T 0
T 0
T 0
Nach der Mittelwertbildung bleibt also nur der Anteil der Gleichspannung übrig. Aus dieser Tatsache
folgt die Bezeichnung Gleichanteil für den arithmetischen Mittelwert.
Die untenstehende Abbildung zeigt dasselbe Sinussignal mit überlagerter Gleichspannung u0 =
5V.Die Flächenanteile des Signals liegen nun symmetrisch um den Gleichanteil. Bei der Bildung des
arithmetischen Mittelwerts bleibt nur der Gleichanteil übrig.
20
15
U [V]
10
û
u
5
0
0
10
20
30
40
50
-5
-10
t [ms]
Die Amplitude eines Signals wurde definiert als maximale Auslenkung aus einer Mittelwertlage. Der
Gleichanteil eines Signals ist das Bezugsniveau für die Amplitude.
Die Amplitude û eines Signals ist also seine maximale Auslenkung aus seinem Gleichanteil.
Normgemäß (DIN 40110) ist ein Wechselsignal dadurch gekennzeichnet, dass es keinen Gleichanteil
besitzt. Signale, die aus Gleich- und Wechselanteil bestehen, werden nach Norm als Mischsignale
bezeichnet.
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3.2 Effektivwert Ueff = TRMS (true rms)
Insbesondere in der Energietechnik interessiert häufig nur die Leistung, die eine Wechselspannung in
einem Verbraucher umsetzen kann. Um Signale hinsichtlich dieser Eigenschaft vergleichen zu
können wurde der Effektivwert Ueff eingeführt. Für Spannungen kann der Effektivwert so definiert
werden:
Eine Wechselspannung, die in einem Verbraucher die gleiche Leistung umsetzt wie eine
Gleichspannung von x Volt, hat einen Effektivwert von x Volt. Aus dieser Definition kann auch die
mathematische Beschreibung des Effektivwerts hergeleitet werden:
Die Momentanleistung, die eine Wechselspannung in einem Verbraucher mit dem Widerstand R
umsetzt ergibt sich zu:
u2
p t u i
R
Die mittlere Leistung kann nun über den arithmetischen Mittelwert berechnet werden:
2
1 u
1
PAC p
dt
u 2 dt
TTR
TR T
Für eine Gleichspannung entspricht die umgesetzte Momentanleistung auch der mittleren Leitung:
PDC
U
p
R
2
Gemäß obiger Definition soll die Wechselspannung im Mittel dieselbe Leistung umsetzten wie die
Gleichspannung, die beiden Ausdrücke für die mittleren Leistungen können also gleichgesetzt
werden:
2
PDC
U
1
1
PAC
u 2 dt U 2 u 2 dt
R
TR T
TT
Löst man diesen Ausdruck nach U auf, so erhält man den Effektivwert der Wechselspannung:
U U eff
1 2
u dt
T T
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Elektrotechnik II
Der Effektivwert einer Wechselgröße entspricht somit dem quadratischen Mittelwert. Die englische
Bezeichnung RMS Value spiegelt dies unmittelbar wieder, sie steht für Root Mean Square also:
Quadratwurzel Mittelwert Quadrat.
Die Effektivwerte für andere Wechselgrößen (z.B. Ströme) berechnen sich analog.
Für sinusförmige Größen, hier am Beispiel einer Spannung u t u sin t gezeigt, ergibt sich der
folgende Zusammenhang zwischen Amplitude u und Effektivwert U:
1. Quadrieren:
u sin t
2
2
u
1 cos 2t
2
2. Mittelwert bilden:
2 T
u
2T
2
T
T
u
1
cos
2
t
dt
dt
cos
2
t
dt
0
0
2T 0
3. Wurzel ziehen
U
u
2
Achtung: Dieser Zusammenhang gilt nur für sinusförmige Größen.
Der Effektivwert ist mit Abstand die wichtigste Größe für technische Wechselsignale. Aufgrund dieser
Bedeutung wird häufig nur der Effektivwert angegeben, ohne extra zu kennzeichnen, dass es sich um
einen Effektivwert handelt. So bedeutet die Angabe U = 230V für die Netzspannung in Deutschland,
dass es sich um einen Effektivwert von 230V handelt. Die Amplitude unserer Netzspannung beträgt
also mit u 2U über 325V.
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Elektrotechnik II
Effektivwert einer Mischgröße
Häufig treten Mischgrößen als Überlagerung einer Gleichspannung und einer Wechselspannung auf.
20
15
U [V]
10
û
u
5
0
0
10
20
30
40
-5
50
ut u uˆ sint
-10
t [ms]
Der Effektivwert wird analog durch Einsetzen in die Effektivwertformel bestimmt:
T
1
u uˆ sint 2 dt
U
T0
2
2
Mit Hilfe der binomischen Formel a b a 2ab b vereinfacht sich die Berechnung zu
2
U
1
2
2
1
0 u dt 2
2
2
1
0 2 u uˆ sint dt 2
2
uˆ sint dt
2
0
Wird nur der mittlere Term berechnet, so folgt:
U
1
2
1
2
1
2
2
1
1
2
0 u dt 2 2 u uˆ cost 0 2
2
2
1
1
0 u dt 2 2 u uˆ 1 1 2
2
2
1
u
dt
0
0
2
2
2
uˆ sint dt
2
0
2
uˆ sint dt
2
0
2
uˆ sint dt
2
0
Der Effektivwert der Mischgröße lässt sich damit aus der Wurzel der Summe der Effektivwerte der
Einzelgrößen zum Quadrat bestimmen:
U U 2,eff U 2,eff
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4 Schaltungsberechnung von Wechselstromkreisen
Zahlreiche Berechnungen im Bereich der sinusförmigen Wechselgrößen lassen sich vereinfachen,
wenn sie in der komplexen Ebene durchgeführt werden.
4.1 Sinusförmige Spannungen/Ströme
4.1.1. Zeigerdarstellung von sinusförmigen Signalen
Projiziert man eine sinusförmige Größe auf einen Kreis, so kann ihr zeitlicher Verlauf durch einen
rotierenden Zeiger beschrieben werden. Der Winkel des Zeigers zu einem bestimmten Zeitpunkt
beschreibt die Phasenlage und die Länge des Zeigers die Amplitude des sinusförmigen Signals. Eine
Periodendauer T entspricht einem vollständigen Umlauf des Zeigers und damit 2.
Phasendifferenz zwischen sinusförmigen Spannungen
In der nachfolgenden Abbildung hat u1(t) = û1sin(t + 1) eine positive Phase 1, der Phasenwinkel
2 von u2(t) = û2sin(t + 2) ist negativ. Man sagt, u1 eilt u2 vor.
Übung:
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Elektrotechnik II
Bestimmen Sie die Phasendifferenz = 1 2 zwischen den Spannungen u1 und u2.
= (t/T) 360° = _______
4.1.2. Sinusförmige Funktionen in der komplexen Ebene
Wenn eine sinusförmige Funktion als Zeiger dargestellt werden kann, dann ist es auch möglich,
diesen Zeiger als einen Punkt in der komplexen Ebene zu beschreiben.
Wir können damit eine Abbildung einer Funktion im Zeitbereich in die komplexe Ebene beschreiben:
Zeitbereich
Komplexe Ebene
j + û cos(t + )
u(t) = ûsin(t + )
u(t) = ûcos(t + ) + jûsin(t + )
Im{u(t)}
Mathematisch wird die zeitabhängige Funktion mit j multipliziert und zu ihr der Term ûcos(t + )
hinzugefügt. Umgekehrt wird bei der Rücktransformation aus der komplexen Funktion wieder die
ursprüngliche Funktion im Zeitbereich, indem nur der Imaginärteil berücksichtigt wird:
u(t ) Imu( t )
Wendet man die Eulersche Formel an, so kann die komplexe
Funktion sehr kompakt als Exponentialfunktion dargestellt werden:
u(t ) û cos(t ) jû sin(t ) ûe j e jt
Hierbei bezeichnet man:
û = ûej
|û| = û
arg(û) =
ejt
komplexe Amplitude
und
Betrag der komplexen Amplitude
Phasenwinkel der komplexen Amplitude
Winkelfaktor
Anschaulich kann man sich die Exponentialdarstellung so erklären: Der erste Exponentialterm legt
den anfänglichen Phasenwinkel bei t = 0 fest, da er keine Zeitabhängigkeit besitzt ändert er sich auch
nicht im Zeitverlauf. Der zweite Exponentialterm (Winkelfaktor) sorgt für die Drehung des Zeigers mit
der Kreisfrequenz . Die Amplitude û legt die Länge des Zeigers fest.
Man erhält unter Nutzung der komplexen Amplitude die Zeitfunktion in der komplexen Ebene:
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u( t ) û e jt
Die komplexe Amplitude enthält also, anders als die reelle Amplitude, bereits die Information über
den anfänglichen Phasenwinkel.
Meist interessiert nicht die Zeitfunktion u(t) selbst sondern nur deren Amplitude und deren
Phasenlage im Bezug zu anderen Signalen.
Die komplexe Amplitude ist ein wichtiges Werkzeug der Elektrotechnik.
Eine sinusförmige Wechselgröße wird durch die komplexe Amplitude zur Zeit t = 0 beschrieben. Dies
bezeichnet man als Zeigerdarstellung. Der Zeiger entspricht u(0).
Anstelle von ûej wird auch geschrieben: û , das bezeichnet man als Darstellung in Betrag und
Phase. Häufig verwendet man auch den Effektivwert und schreibt U = U .
Der Nutzen der zunächst aufwendig erscheinenden Transformation der Funktion u(t) in die komplexe
Ebene ist die Vereinfachung der Berechnung von Spannungen und Strömen.
Die folgenden mathematischen Operationen für
sinusförmige Größen können deutlich einfacher mit
komplexen Zahlen als im Zeitbereich mit
Sinusfunktionen durchgeführt werden:
Transformation
u(t)
Zeitbereich
u(t)
Komplexe Ebene
Rücktransformation
Addition und Subtraktion (Superposition)
(häufig benötigt für Kirchhoffsche Gesetze)
algebraische
Operationen
ures(t)
Zeitbereich
Ableitung und Integration
(wichtig für Kondensator und Induktivität)
Da die komplexe Amplitude keine Information über den zeitlichen Verlauf enthält, wird die Zeitfunktion
wiedergewonnen, indem die komplexe Amplitude mit dem Winkelfaktor ejt multipliziert wird.
Durch die Transformation in den komplexen Bereich kann nicht nur das Rechnen mit
trigonometrischen Funktionen vermieden werden, sondern sie ermöglicht auch, die Differentiation auf
eine einfache Division und die Integration auf eine einfache Multiplikation zu reduzieren (wird später
noch gezeigt werden).
Beispiel:
u1 und u2 seien die sinusförmigen Spannungen an den Bauelementen R und C. Gesucht ist die
Gesamtspannung us(t). u1(t) = û1sin(t + 1)
und
u2(t) = û2sin(t + 2).
Anstelle die Sinusfunktionen zu addieren und deren Additionsregeln zu
berücksichtigen, werden die Spannungen in die komplexe Ebene
u2(t)
u1(t)
R
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C
us(t)
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Elektrotechnik II
transformiert und dort (als Zeiger) einfach addiert. Die mathematische Operation dann entspricht
einer einfachen Vektoraddition:
û1=û1ej= a1 + jb1
û2=û2ej= a2 + jb2
und
Damit folgt: ûs û1 û2 ûs e j
Übung A1
Es sei:
u1(t) = 20µVsin(t /6)
u2(t) = 32µVsin(t + /3)
us(t)/µV = 20sin(t /6) + 32sin(t + /3)
û1 = _____ _____ = ______ V - j _____ V
û2 = _____ _____ = ______ V+ j _____ V
ûs = ______ V+ j _____ V = _____ _____
Die Summe der Spannungen ist eine sinusförmige Spannung
mit der Amplitude
________
und der Phase
________°
Superposition of u1 and u2
-5
4
x 10
u1
3
u2
u1+u2
2
120
60
Voltage [V]
1
0
180
0
-1
-2
240
300
-3
-4
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
t/
Abb.: Überlagerung der Spannungen u1 und u2 im Zeitbereich und als Zeigerdarstellung
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Übung A2
Bestimmen Sie den Effektivwert der Spannungen
Superposition of u1 and u2
60
40
Voltage [mV]
20
0
-20
u1
-40
u2
u1+u2
-60
-0.5
0
0.5
1
t [ms]
1.5
2
2.5
Periode T = ___
U1 = _____ _____
U2 = _____ _____
U3 = _____ _____
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4.2 Elektrische Impedanz (Wechselstromwiderstand)
Es sei u(t) eine sinusförmige Wechselspannung mit u = û sin(t + u). Durch die Transformation in
die komplexe Ebene ergibt sich die komplexe Spannung:
u(t) = ûejt mit û = ûu
oder als Effektivwert U = Uu mit U
1
û
2
Es sei i(t) ein Wechselstrom mit i(t) = îsin(t + i).
Die Transformation in die komplexe Ebene ergibt:
i(t) = îejt mit î = îi
oder als Effektivwert = i mit I
1
î
2
Definition:
Die elektrische Impedanz Z eines Bauteils ist das Verhältnis von komplexer Spannung, die an dem
Bauelement abfällt, zum komplexen Strom durch dieses Bauelement. Es handelt sich also um eine
Verallgemeinerung des elektrischen Widerstandes auf Wechselstromschaltungen.
Z
U û
I
î
mit [Z] = 1
Aus der komplexen Rechung ergibt sich die Darstellung von Z in Polar-Form:
Z
û
î
U U u U
u i Z .
I
I i ι
I
Dabei bezeichnet man:
Z = U/
Betrag der Impedanz
= u i
Phasenwinkel der Impedanz
Stellt man Z in kartesicher Form dar, so gilt:
Z R jX
mit:
R = Re(Z):
X = Im(Z):
Widerstand / Resistanz
Blindwiderstand / Reaktanz
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Elektrotechnik II
Es gilt also R = Zcos und X = Zsin , wobei die Reaktanz positiv oder negativ sein kann:
Definition:
bei X < 0 und damit < 0 ist die Impedanz kapazitiv,
bei X > 0 und damit > 0 ist die Impedanz induktiv.
Kondensator
Legt man an einen Kondensator eine Spannung an, so baut sich zwischen seinen Platten ein
elektrisches Feld auf und die Platten werden mit einer Ladungsmenge Q aufgeladen. Bei
Gleichstromanregung findet zunächst ein kurzer Ladungstransport statt. Nachdem die
Kondensatorplatten bis zur maximalen Kapazität geladen sind, fließt keine Ladung mehr nach und
der Kondensator wirkt wie eine Unterbrechung des Stromkreises.
Aus der Definition der Kapazität ergibt sich wegen Q = C U und der
Definition der Ladung die Kondensatorgleichung:
i( t ) C
du
dt
Aus der Gleichung folgt, daß nur dann Strom durch den Kondensator fließt, wenn sich die Spannung
über dem Kondensator verändert.
Legt man nun eine Wechselspannung (nicht notwendigerweise sinusförmig) an einen Kondensator,
so verändert sich die Spannung fortlaufend und es fließt damit kontinuierlich Strom.
Beispiel: Es liege am Kondensator die Spannung u(t) = ûsin(t) mit =2f =2/T:
i( t ) C
u(t) = ûsin(t)
duc
Cû cos( t ) î cos( t )
dt
u(t)
i(t)
Der Strom eilt der Spannung um /2, also 90° voraus.
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Elektrotechnik II
Der etwas seltsam anmutende Umstand, daß zunächst nur Strom fließt und dann erst später eine
Spannung anliegt, läßt sich leicht erklären, wenn man den Ladungstransport betrachtet: Es muß
zunächst Ladung transportiert werden, also Strom fließen, damit sich die Platten aufladen können
und sich damit das elektrische Feld, also die Spannung, aufbauen kann.
Für einen Kondensator mit der Kapazität C gilt mit:
U (t ) U e jt und I (t )
dU (t )
C U j e jt
dt
Daraus folgt die Impedanz eines Kondensators:
ZC
U
1
I
jC
Der Betrag der Impedanz eines Kondensators verringert sich mit zunehmender Frequenz. Der
Phasenwinkel beträgt stets = -90°, der Strom eilt somit der Spannung voraus.
Merkspruch: "Kondensator Strom eilt vor."
Damit läßt sich das ohmsche Gesetzt in komplexer Form formulieren: U
1
I
jC
Induktivität
Verbindet man eine Spule mit einer Stromquelle, so baut sich im Inneren der Spule ein Magnetfeld
auf. Im Fall von Gleichstrom ändert sich die Stärke des Magnetfeldes nur im Einschaltmoment
während es sich aufbaut, danach bleibt sie konstant. Da nur ein veränderliches Magnetfeld eine
Spannung induziert, liegt in diesem Fall nur ganz kurz eine Spannung an der Spule an. Sobald das
Magnetfeld vollständig aufgebaut ist, verhält sich die Spule wie ein Kurzschluß und es fällt keine
Spannung mehr an ihr ab.
Bei zeitlich veränderlichen Strömen entsteht jedoch durch die Selbstinduktion
permanent Spannung an den Klemmen, die durch die Spulengleichung
beschrieben werden kann:
u( t ) L
di
dt
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Elektrotechnik II
Beispiel: Der Strom i = î sin(t) fließe durch eine Induktivität L mit = 2f.
i = î sin(t)
u = Lî cos (t) = û cos(t)
u(t)
i(t)
Die Spannung u(t) eilt dem Strom i(t) um /2 voraus.
Für eine Spule mit der Induktivität L gilt mit:
I( t ) I e jt und U( t ) L
dI( t )
L I j e jt
dt
Daraus folgt die Impedanz einer Spule:
ZL
U
jL
I
Der Betrag der Impedanz der Induktivität steigt mit zunehmender Frequenz. Der Phasenwinkel
beträgt stets = 90°, die Spannung eilt dem Strom voraus.
Merkspruch: "An Induktivitäten, die Ströme sich verspäten."
Damit läßt sich das ohmsche Gesetzt in komplexer Form formulieren: U jL I
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Widerstand
Die Impedanz eine Widerstandes berechnet sich entsprechend:
ZR
U
R
I
Der Betrag der Impedanz ist gleich der Impedanz und unabhängig von der Frequenz. Der
Phasenwinkel beträgt = 0, so daß Strom und Spannung gleichphasig sind. Die Impedanz eines
Widerstandes besteht nur aus Resistanz, die Reaktanz ist Null.
Motivation für die Transformation in die komplexe Ebene:
Regt man ein lineares Netzwerk mit einer sinusförmigen Wechselspannung oder einem
Wechselstrom an, so ist im Zeitbereich aufgrund der Kondensator- und Spulengleichung eine
Differentiation oder Integration notwendig. Die Addition der Ströme und Spannungen erfordert die
Anwendung der Rechenregeln für trigonometrische Funktionen. Schon die Analyse kleiner Netzwerke
wird dadurch sehr rechenaufwendig und schnell unübersichtlich.
Stattdessen kann man alle Größen in die komplexe Ebene transformieren und ersetzt dort die
Differentiation und Integration durch eine Division oder Multiplikation mit j. Additionen erfolgen nach
den Regeln der Vektoraddition. Die Einführung des Begriffes der Impedanz erlaubt uns, mit
Kondensatoren und Induktivitäten ganz analog wie mit Widerständen zu rechnen.
Die Rechenregeln für lineare Gleichstromnetzwerke können in der komplexen Ebene auch auf
lineare Netzwerke mit Widerständen, Kondensatoren und Induktivitäten (reaktive
Bauelemente) angewandt werden, wenn diese mit einer sinusförmigen Wechselspannung nur
einer Frequenz angeregt werden und sich im eingeschwungenen Zustand befinden.
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4.3 Admittanz (Wechselstromleitwert)
In Analogie zum Leitwert G = 1/R bei Gleichstromnetzwerken definieren wir einen komplexen
Leitwert: die Admittanz Y für Netwerke mit Wechselstrom:
Y
1
Z
mit
Y
I
I
i u Y Y und Y =
U U
Stellt man die Admittanz in der R-Form dar, so gilt:
Y G jB
mit
und
G = Re(Y)
B = Im(Y)
Wirkleitwert (Konduktanz)
Blindleitwert (Suszeptanz)
Man kann Y in kartesischer Form als Parallelschaltung von G und jB auffassen.
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5 Leistung bei sinusförmigen Größen
Im Fall von Gleichspannungen oder Gleichströmen ergibt sich für die Leistung, die in Widerständen
umgesetzt wird, immer eine Wirkleistung P [W]. Im Fall des Wechselstromkreises tritt an diese Stelle
zunächst die Scheinleistung S [VA].
5.1 Momentanleistung
Sind Strom und Spannung an einer Last gegeben, so kann daraus die momentan aufgenommene
elektrische Leistung p berechnet werden. Sind Strom und Spannung sinusförmige Wechselgrößen
mit Amplitude und Phasenlage, so ist die Momentanleistung p(t) ebenfalls sinusförmig. Sie berechnet
sich zu:
pt u t it uˆ sint u iˆ sint i
mit sin x sin y
pt
1
cosx y cosx y
2
uˆ iˆ
cos u i cos2t u i
2
Bei Verwendung der Effektivwert lässt sich die Gleichung umformen zu:
pt U I cosu i U I cos2t u i
zeitlichkonstant
( Gleichante
il )
(Wirkleistu
ng )
mit doppelterFrequenzschwankend
(Wechselant
eil)
( Blindleist
ung )
Die Momentanleistung besteht also aus einem zeitunabhängigen Anteil, der lediglich von der
Phasendifferenz zwischen Strom und Spannung abhängig ist, sowie einem zeitabhängigen Anteil, der
sich im Laufe einer Periode stetig ändert. Die Phasendifferenz zwischen Strom und Spannung wird im
Folgenden mit = u - i bezeichnet.
5.2 Wirkleistung
Will man wissen, welche Leistung ein Bauteil durchschnittlich aufnimmt, so muss man den Mittelwert
der Momentanleistung berechnen. Da sich bei den sinusförmigen Größen die Werte nach dem Ablauf
einer Periode zyklisch wiederholen, ist es ausreichend, den Mittelwert über eine Periode zu
betrachten. Dieser Mittelwert heißt Wirkleistung P und berechnet sich wie folgt:
T
T
1
1
P pt dt U I cosu i U I cos2t u i dt
T0
T0
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Der zeitvariante Anteil ist eine reinere Kosinusfunktion, die über zwei volle Perioden integriert wird.
Da das Integral über eine Periode des Kosinus den Wert Null liefert, verschwindet der zeitvariante
Anteil bei der Mittelwertbildung und der Gleichanteil stellt die Wirkleistung P dar:
P
uˆ iˆ
cosu i U I cos
2
[ P] W
Die aufgenommene Wirkleistung ist also eine Funktion des Kosinus aus der Phasendifferenz
zwischen Strom und Spannung an der betrachteten Last.
5.3 Scheinleistung
Die Scheinleistung ist definiert als Produkt der Effektivwerte von Strom und Spannung:
S
uˆ iˆ
U I
2
[ S ] VA
Damit kann die Gleichung der Momentanleistung p(t) vereinfacht werden zu:
pt S cos S cos2t u i P S cos2t u i
Es ergibt sich somit eine um den Gleichanteil P herum schwingende Kosinusfunktion mit der
Amplitude S:
Darstellung des Wirk- und Scheinleistungsverlaufs für einen
Wechselspannungs- und Wechselstromverlauf [Quelle: www.fh-pforzheim.de]
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5.4 Leistungsfaktor
Zur Beschreibung des relativen Leistungsverhältnisses von Wirk- zu Scheinleistung an nicht rein
ohmschen elektrischen Verbrauchern (z.B. Elektromotoren) führt man den Leistungsfaktor ein, er
ist definiert als Quotient von Wirk- zu Scheinleistung:
P S cosu i
cos
S
S
Rein Ohmsche Lasten haben also einen Leistungsfaktor = 1, während für Spulen und
Kondensatoren = 0 gilt.
Da an einem rein Ohmschen Widerstand keine Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung
auftritt, gilt die bekannte Beziehung:
P U I cos0 U I
An einer rein kapazitiven oder induktiven Last beträgt dieser Phasenunterschied im Betrag 90° bzw.
½, so dass der Ausdruck für die Wirkleistung immer zu Null wird:
P U I cos 0
2
Ideale Kondensatoren oder Spulen nehmen also keine Wirkleistung auf. Die momentane
Leistungsaufnahme ist jedoch nicht immer gleich Null, lediglich der Mittelwert verschwindet. Reaktive
Bauelemente sind Energiespeicher, sie werden während der Hälfte einer Periode (positive Halbwelle)
geladen und nehmen dabei Leistung auf. Während der anderen Hälfte der Periode (negative
Halbwelle) entladen sie sich wieder und geben dabei Leistung ab. Die Leistung schwingt zwischen
Quelle und Last hin und her, ihr Mittelwert verschwindet.
Da auch dieser Anteil häufig von Interesse ist, definiert man dafür eine eigene Größe.
5.5 Blindleistung
Durch eine weitere mathematische Umformung des Ergebnisses für die Momentanleistung p(t) wird
im Folgenden die dritte wichtige Leistungskenngröße, die Blindleistung Q eingeführt:
pt P S cos2t u i P S cos2t 2 i
mit cos2t 2 i cos2t 2 i cos sin2t 2 i sin
P S cos2t 2 i cos S sin2t 2 i sin
P P cos2t 2 i Q sin2t 2 i
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mit
Q S sin
Blindleistung [var]
sin
Blindfaktor
und
Damit spaltet sich der zeitliche Verlauf der Leistung in die folgenden drei Teile auf:
pt
P
Wirkleistu
ng
P cos2t 2i Q sin2t 2i
Wirkleistu
ngsschwingung
Blindleist
ungsschwingung
Die Blindleistung Q beschreibt den Anteil der Leistung, der im Mittel von einer Last aufgenommen
und wieder abgegeben wird:
Q U I sin
Die Einheit var (Volt Ampere Reaktiv) dient lediglich dazu, eine Blindleistungsangabe eindeutig zu
kennzeichnen. Bei einem Phasenwinkel von Null verschwindet der Sinusterm, so dass rein Ohmsche
Verbraucher keine Blindleistung aufnehmen.
Obwohl die Blindleistung zwischen Quelle und Verbraucher hin und her pendelt, im klassischen Sinn
also nicht "verbraucht" wird, muss sie bei technischen Anwendungen trotzdem berücksichtigt werden.
Einerseits muss diese Leistung in jeder Periode über die Leitungen des Versorgungsnetzes
transportiert werden, die Infrastruktur muss also für diese zusätzliche Belastung ausgelegt sein. Zum
anderen verursacht die pendelnde Blindleistung bei jedem Durchgang durch die Leitungen echte
Verluste, da die Leitungen einen voll Null verschiedenen Ohmschen Widerstand aufweisen, der beim
Transport der zusätzlichen Ladungsmenge zu einem Spannungsabfall auf den Leitungen und damit
zur Aufnahme von Wirkleistung durch die Leitungen führt.
Man kann den Transport der Blindleistung vermeiden, indem man direkt am Verbraucher eine
sogenannte Blindleistungskompensation betreibt. Dabei werden an induktive Verbraucher
Kondensatoren und an kapazitive Verbraucher Spulen angeschlossen. Sind die
Kompensationselemente richtig dimensioniert, so pendelt die Blindleistung nur noch zwischen den
Verbrauchern und der Kompensation.
Summiert man das Quadrat der Wirkleistung und das Quadrat der Blindleistung, so ergibt sich:
P 2 Q 2 S 2 cos 2 S 2 sin2 S 2
Die Scheinleistung lässt sich damit über den Satz von Pythagoras direkt aus der Wirk- und
Blindleistung berechnen:
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S P2 Q2
5.6 Komplexe Leistung
Stellt man die Leistung als Zeiger in der komplexen Leistungsebene dar, so ist die Scheinleistung der
Effektivwert des komplexen Leistungszeigers. Die Wirkleistung entspricht dem Realteil des
Leistungszeigers. Der schwingende Anteil der Leistung stellt den Imaginärteil, die Blindleistung Q dar.
Wirkleistung und Blindleistung stehen damit senkrecht aufeinander.
Somit kann die Scheinleistung in die folgende, komplexe Schreibweise überführt werden:
S P j Q S cos j S sin S e j
U eff I eff e j u i U eff e ju I eff e ji U I
S U I
*
*
Dem Realteil von S entspricht die Wirkleistung P:
P ReS Re U I
*
Dem Imaginärteil von S entspricht die Blindleistung Q:
Q ImS Im U I
*
j∙Im{S}
S
j∙Q
P
Re{S}
Zeigerdiagramm der Scheinleistung S in der Gaußschen Zahlenebene
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6 Frequenzverhalten von RLC-Schaltungen
6.1 RC-Filter
Wir hatten bisher nur rein sinusförmige Signale einer einzelnen Frequenz betrachtet, meist hat man
es in der Praxis jedoch mit einer Mischung (Überlagerung) von vielen unterschiedlichen Frequenzen
und Amplituden zu tun. So besteht z.B. das Audiosignal aus einem CD Player aus einer
Überlagerung von Sinussignalen mit Frequenzen zwischen 20Hz bis 20kHz. In vielen Anwendungen
möchte man nur einen Teilbereich der Frequenzen weiterverarbeiten, dieser Signalanteil muss dazu
aus dem Gesamtsignal herausgefiltert werden.
Um die Eigenschaften der Filterschaltungen zu analysieren, wird nicht die Filterschaltung selbst
analysiert, sondern die Wirkung der Schaltung auf Eingangssignale. Die Schaltung selbst wird dabei
als System betrachtet, vereinfacht als eine „Blackbox“ mit einem Eingangsklemmenpaar oder dem
Eingangstor und einem Ausgangsklemmenpaar, dem Ausgangstor (Zweitor):
Eingang
Ue
Ausgang
System
Ua
Das Systemverhalten kann im Zeitbereich oder im Frequenzbereich beschrieben werden.
Der Frequenzgang beschreibt das Verhalten abhängig von der Frequenz, er ist eine komplexe
Funktion der Frequenz. Verschiedene komplexe Kenngrößen von Wechselstromschaltungen können
als Frequenzgang dargestellt werden, so zum Beispiel die Impedanz Z, die Admittanz Y oder aber die
Übertragungsfunktion F.
Ein solches Zweitor wird durch seine Übertragungsfunktion F() beschrieben. Die
Übertragungsfunktion gibt an, wie sich das Verhältnis von komplexer Ausgangsspannung Ua zu
komplexer Eingangsspannung Ue in Abhängigkeit der Frequenz verändert. Ein solches Filter ist
also eine Form von frequenzabhängigem Spannungsteiler, die Übertragungsfunktion selbst ist
ebenfalls komplex.
F
U a
U e
Eine Frequenzabhängigkeit weist eine Schaltung immer dann auf, wenn sie neben Widerständen
auch Kondensatoren oder Induktivitäten enthält, da deren Impedanz frequenzabhängig ist.
Betrachten wir zunächst das folgende elementare Zweitor:
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Z1
Ue
Z2
Ua
Seine Übertragungsfunktion lässt sich einfach durch die Anwendung der Spannungsteilerregel für Ua
bestimmen:
F
U a
Z 2
U e Z 1 Z 2
In der Vorlesung Grundlagen der Elektrotechnik werden ausschließlich passive lineare Filter
behandelt. Solche Filter bestehen nur aus den drei Grundbauelementen Widerstand, Kondensator
und Spule. Passiv bedeutet, dass solche Filter keine verstärkenden Elemente beinhalten, die mittlere
Leistung des Ausgangssignals kann also maximal so groß werden, wie die des Eingangssignals.
Im Folgenden werden die Impedanzen Z durch verschiedenartige Verschaltungen von Widerständen,
Kapazitäten oder Induktivitäten ersetzt.
Die hier besprochenen elektrischen Filter dienen meist dazu, nur einen bestimmten Frequenzbereich
eines Signals zu übertragen, oder aber einen bestimmten Frequenzbereich zu unterdrücken. Aus den
Anwendungen ergeben sich die Bezeichnungen der Filter, die im Folgenden vorgestellt werden:
Hochpassfilter
Signale mit Frequenzen oberhalb einer bestimmten Frequenz können das Filter fast ungedämpft
passieren, während die Amplituden von Signalen tieferer Frequenzen gedämpft werden. Im
Allgemeinen kann die Phasenlage des Signals verändert werden.
Tiefpassfilter
Signale mit Frequenzen unterhalb einer bestimmten Frequenz können das Filter fast ungedämpft
passieren, während die Amplituden von Signalen höherer Frequenzen gedämpft werden. Im
Allgemeinen kann die Phasenlage des Signals verändert werden.
Bandpassfilter
Funktional ist das Filter eine Kombination aus Hochpass- und Tiefpassfilter. Signale mit Frequenzen
zwischen einer bestimmter Untergrenze und einer Obergrenze, dem Frequenzband, werden
übertragen, die Anteile mit Frequenzen außerhalb des Bandes werden unterdrückt. Im Allgemeinen
kann die Phasenlage des Signals verändert werden.
Bandsperre
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Diese Filter kann man sich als Umkehrung des Bandpassfilters verdeutlichen. Ein bestimmtes
Frequenzband wird gedämpft, während die übrigen Signalanteile ungedämpft passieren können. Im
Allgemeinen kann die Phasenlage des Signals verändert werden.
Allpass(filter)
Der Allpass lässt Signale sämtlicher Frequenzen ungedämpft passieren, lediglich die Phasenlage der
Signale wird frequenzabhängig verändert.
Durchlassbereich, Sperrbereich und Grenzfrequenz
Die Definitionen dieses Abschnitts gelten ganz allgemein für alle behandelten Filter. Betrachtet man
die Übertragungsfunktion eines Filters im Bode-Diagramm, so lassen sich zwei Frequenzbereiche
unterscheiden: Ein Frequenzbereich in dem die Signale fast nicht gedämpft werden und ein Bereich,
in dem die Signale mehr oder weniger stark gedämpft werden. Der erste Bereich wird
Durchlassbereich, der zweite Sperrbereich genannt. Bei Bandfiltern heißen diese Bereiche
Durchlassband und Sperrband.
Die Frequenz an der Grenze zwischen Durchlassbereich und Sperrbereich heißt
Grenzkreisfrequenz g. Die übliche (aber nicht einzige) Definition der Grenzfrequenz sagt aus, dass
die Grenzfrequenz genau dann erreicht ist, wenn die Leistung die in einem am Ausgang des Filters
angeschlossenen Widerstand umgesetzt wird, auf die Hälfte des Maximums abgesunken ist. Die
Amplitude des Signals ist dann auf den 1/2fachen Wert Ihres Maximums abgesunken.
Im Bode-Diagramm liegt die Grenzfrequenz bei der Frequenz, bei der die Amplitudenübertragungsfunktion um 3dB von Ihrem Maximalwert abgesunken ist, daher wird die Frequenz häufig als
3dB-Frequenz bezeichnet.
Die Steigung, mit der sich die Dämpfung der Amplitude im Sperrbereich über der Frequenz ändert,
wird als Filter- oder Flankensteilheit bezeichnet. Der Ausdruck Flankensteilheit darf hierbei nicht mit
der Flankensteilheit bei der zeitlichen Betrachtung von Signalen verwechselt werden.
Die Abbildung zeigt eine Übertragungsfunktion mit gekennzeichnetem Sperr- (rot) und
Durchlassbereich (grün), die Grenzfrequenz liegt genau auf der Grenze der Bereiche.
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6.1.1. Tiefpass
Ein Tiefpass überträgt Gleichspannungen ungedämpft zum Ausgang. Mit steigender Frequenz sinkt
der Betrag der Ausgangspannung ab; hohe Frequenzen werden nur gedämpft an den Ausgang
übertragen. Ein Tiefpassfilter kann in einfacher Form mittels einer RC- oder RL-Schaltung realisiert
werden:
L
R
Ue
C
Ua
Ue
R
Ua
Tiefpassfilter als RC-Schaltung oder RL-Schaltung
Die grundsätzliche Funktion dieses Filters kann man sich anhand des RL-Filters verdeutlichen, indem
man die Kreisfrequenz zunächst gleich Null setzt. Im Gleichspannungsfall kann man die Spule durch
einen idealen Draht ersetzen. Die gesamte Eingangsspannung liegt also im Gleichspannungsfall am
Ausgangstor an. Lässt man die Kreisfrequenz nun gegen unendlich gehen, so steigt die Impedanz
der Spule immer weiter an, bis sie schließlich durch einen Leerlauf ersetzt werden kann. Am
Ausgangstor liegt dann eine Amplitude von Null an. Der Tiefpass dämpft also Signale hoher
Frequenz, während er Signale tiefer Frequenz passieren lässt.
Die grundsätzliche Funktion dieses Filters kann man sich ebenfalls anhand des RC-Filters
verdeutlichen, indem man die Kreisfrequenz zunächst gleich Null setzt. Im Gleichspannungsfall leitet
der Kondensator nicht und kann durch einen Leerlauf ersetzt werden. Die gesamte
Eingangsspannung liegt im Gleichspannungsfall am Ausgangstor an. Lässt man die Kreisfrequenz
nun gegen unendlich gehen, so leitet der ideale Kondensator unendlich gut und kann durch einen
Kurzschluss ersetzt werden. Am kurzgeschlossenen Ausgangstor liegt dann eine Amplitude von Null
an. Der Tiefpass dämpft also Signale hoher Frequenz, während er Signale tiefer Frequenz passieren
lässt.
Setzt man den Ausdruck für die Impedanz des Kondensators in die Spannungsteilerformel ein, so
erhält man die komplexe Übertragungsfunktion des RC-Tiefpassfilters:
1
U
1
1
jC
F a
U e R 1
1 jRC 1 j
jC
g
Die komplexe Übertragungsfunktion des RL-Tiefpassfilters ergibt sich zu:
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F
U a
R
1
1
U e R jL 1 j L 1 j
R
g
Für den RC-Tiefpassfilter gilt g
1
R
. Für den RL-Tiefpassfilter gilt g .
L
RC
Die komplexe Übertragungsfunktion kann in Amplitudengang A() (auch Amplitudenantwort
bezeichnet) als Betrag der komplexen Übertragungsfunktion und Phasengang (auch Phasenantwort
bezeichnet) () getrennt werden. So ergibt sich für den RC-Tiefpass der Amplitudengang
A F
1
1
2 2 2
1 jRC
1 R C
1
1
g
2
,
wie auch für den RL-Tiefpass
A F
1
1 j
L
R
1
L
1
R
2
2
1
1
g
2
die gleiche Frequenzabhängigkeit.
Zur Berechnung des Phasengangs () wird die Übertragungsfunktion zunächst in Real- und
Imaginärteil zerlegt. Für den RC-Tiefpass folgt
F
1
1 jRC
1
RC
j
2
1 jRC 1 jRC 1 RC 2
1 RC
und der Phasengang berechnet sich zu
arg F arctan
ImF
arctan RC arctan
g
ReF
.
In gleicher Weise kann der Phasengang für den RL-Tiefpass ermittelt werden
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Elektrotechnik II
L
L
1 j
1
1
R
R
F
j
2
2
L
L
L
L
1 j
1 j 1
1
R
R
R
R
und es ergibt sich analog für den RL-Tiefpass
arg F arctan
ImF
L
arctan arctan
g
ReF
R
.
Bei der Frequenz f = 0 Hz bzw. der Kreisfrequenz = 0 s-1 besitzt der Amplitudengang den Wert 1.
Mit steigender Frequenz sinkt der Wert zu Null ab.
Die Amplitude des Gesamtsignals am Eingangstor des RC-Tiefpass setzt sich folgendermaßen aus
den Spannungsamplituden an Widerstand und Kondensator zusammen:
U U C2 U R2
Die Grenzfrequenz wird als die Frequenz definiert, bei der das Zweitor die Hälfte der maximalen
Leistung an eine Last abgibt.
2
U g2 1 U max
Pmax
1 2
1
Pg
U g2 U max
Ug
U max
2
R 2 R
2
2
Bei Erreichen der Grenzfrequenz ist die Amplitude am Ausgangstor, also an UC, genau 1/2Umax,
damit gilt für die Grenzfrequenz:
2UC UC2 U R2 2UC2 UC2 U R2 UC U R
und damit R = XC. Mit XC = 1/C gilt im Falle der Grenzkreisfrequenz:
R
Die Grenzfrequenz fg kann direkt aus den Bauteilwerten berechnet werden:
fg
1
g C
g
1
RC
1
2 RC
Der Amplitudengang beträgt bei der Grenzkreisfrequenz somit für den RC-Tiefpass
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A g
1
1 g2 R 2C 2
1
2
Für den RL-Tiefpass ergibt sich analog der Amplitudengang bei der Grenzkreisfrequenz
A g
1
L
1
R
2
2
1
2
Bode-Diagramm
Häufig interessiert das Frequenzverhalten einer Schaltung, die aus verschiedenen
frequenzbestimmenden Baugruppen besteht. Diese können explizit entwickelte Filter sein. Häufig
entsteht eine Filtereigenschaft aber auch als unerwünschter (parasitärer) Effekt durch
Leitungsinduktivitäten und Kapazitäten zwischen Anschlüssen der elektronischen Bauelemente.
Wenn das Frequenzverhalten jeder einzelnen Baugruppe bekannt ist, ergibt sich das
Gesamtverhalten durch Multiplikation der Übertragungsfunktionen aller Baugruppen.
Wenn der Amplitudengang einzelner Baugruppen in einer logarithmischen Skalierung aufgetragen
wird, so läßt sich diese Multiplikation einfach durch eine Addition der logarithmisch skalierten
Diagramme zurückführen.
Vor diesem Hintergrund werden Amplitudengänge in der Regel logarithmisch als sogenanntes BodeDiagramm dargestellt. Darüber hinaus bietet diese Darstellung den Vorteil, dass auch Signale, die
sich über verschiedene Größenordnungen erstrecken, in dem Diagramm dargestellt werden können.
Dieser Fall tritt zum Beispiel häufig bei Schallmessungen auf.
Bei einem Bode-Diagramm wird der Amplitudengang in der Einheit Dezibel (dB) angegeben und die
normierte Frequenz logarithmisch aufgetragen. Durch die Verwendung der Dezibel-Skala entsteht ein
doppelt-logarithmisches Diagramm. Häufig wird auch anstelle der normierten Frequenz die Frequenz
direkt in logarithmischer Skalierung aufgetragen.
Die Verstärkung in dB wird dabei als zehnfaches logarithmisches Leistungsverhältnis definiert:
P
AdB 10 log Aus
PEin
2
U Aus
dB 10 log R2
U Ein
R
2
dB 10 log U Aus dB 20 log U Aus
U2
U Ein
Ein
dB 20 log A dB
Einige charakteristische Werte am Beispiel des Tiefpass sollen die spätere Darstellung im Folgenden
erläutern. Bei der Frequenz f = 0 wird keine Dämpfung erwartet:
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0 : AdB 20 log
1
1
g
2
20 log1 0 dB
Bei der Grenzfrequenz ist der Amplitudengang auf 1/2 gesunken. In Dezibel entspricht dieses einer
Dämpfung von -3,01 dB:
g : AdB 20 log
1
3,01dB
20 log
11
2
1
Bei der Grenzfrequenz fg ist der Amplitudengang um 3 dB abgefallen.
Die Grenzfrequenz fg ( = g) wird daher oft auch als 3 dB-Grenze bezeichnet (Hinweis vorab: Gilt
nur für Filter 1. Ordnung).
Zu hohen Frequenzen hin steigt die Dämpfung stetig an:
: AdB 20 log
20 log
g
2
1
g
1
Bei sehr hohen Frequenzen f >> fg kann die 1 innerhalb der eckigen Klammern vernachlässigt
werden und man erhält AdB -20∙log(f/fg). Daher ergibt sich in einem Bode-Diagramm
charakteristischerweise für hohe Frequenzen eine Gerade mit einer Steigung von -20 dB pro Dekade.
Diese Gerade schneidet die 0dB-Horizontale bei der Grenzfrequenz des Filters.
Man nennt die Steigung der Geraden die Filtersteilheit S. Alle Hoch- und Tiefpässe erster Ordnung
sind dadurch gekennzeichnet, dass sich im Sperrbereich bei Verzehnfachen (eine Frequenzdekade)
der Frequenz die Dämpfung um 20dB ändert. Filter erster Ordnung weisen im Sperrbereich somit
eine Filtersteilheit von -20dB/Dekade auf.
Die Gerade gibt die
Filtersteilheit an und
schneidet die 0dBAchse bei fg
Die -3 dB-Grenze
Schneidet den
Amplitudengang bei fg
Grenzfrequenz fg
Bode-Diagramm (Amplitudengang) eines Tiefpassfilters
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Elektrotechnik II
Da Filterschaltungen im Allgemeinen nicht nur die Amplitude eines Signals, sondern auch dessen
Phase beeinflussen, kann die Phasenveränderung als Funktion der Frequenz - die Phasenantwort ebenfalls im Bode-Diagramm dargestellt werden.
Hierfür werden zunächst die charakteristischen Werte des Phasengangs bestimmt:
arctan 0 0
g
0 : arctan
g
g
g : arctan
arctan 1 45
arctan 90
g
: arctan
Die folgende Abbildung zeigt den Verlauf des Amplituden- und Phasengangs für die Bauteilwerte R =
1k und C = 10µF.
Bode-Diagramm (Amplitudengang und Phasengang) eines RC-Tiefpassfilters
Man erkennt, dass der Phasengang bei der Grenzfrequenz genau -45° beträgt und im Sperrbereich
des Tiefpass -90° beträgt.
Die folgende Abbildung zeigt den Verlauf der Amplituden- und Phasenübertragungsfunktion für die
Bauteilwerte R = 100 und L = 1H.
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Elektrotechnik II
Bode-Diagramm (Amplitudengang und Phasengang) eines RL-Tiefpassfilters
Die folgende Abbildung zeigt ein Bode-Diagramm für ein anderes Tiefpassfilter. Amplituden- und
Phasenantwort (gestrichelt) sind dabei zusammen in einem Bode-Diagramm dargestellt.
Bode-Diagramm (Amplitudengang und Phasengang) eines Tiefpassfilters
Grundsätzlich gilt für alle RC- und RL-Filter:
Eine gegebene Grenzfrequenz kann mit verschiedenen Kombinationen der Bauteilwerte erreicht
werden. Die Bauteilwerte müssen je nach Anwendung und den geforderten Eingangs- und
Ausgangsimpedanzen gewählt werden.
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6.1.2. Hochpass
Ein Hochpass überträgt hochfrequente Signale ungedämpft zum Ausgang. Mit sinkender Frequenz
sinkt der Betrag der Ausgangsspannung ab. Gegenüber einem Tiefpass 1. Ordnung sind Widerstand
und Kapazität bzw. Widerstand und Induktivität vertauscht.
R
C
Ue
R
Ua
Ue
L
Ua
Hochpassfilter als RC-Schaltung oder RL-Schaltung
Die Grundsätzliche Funktion dieses Filters kann man sich am Beispiel des RC-Hochpassfilters
verdeutlichen, in dem man die Kreisfrequenz zunächst gleich Null setzt. Im Gleichspannungsfall leitet
der Kondensator nicht und die gesamte Eingangsspannung fällt am Kondensator ab. Die Amplitude
am Ausgangstor ist dann Null. Lässt man die Kreisfrequenz nun gegen unendlich gehen, so leitet der
ideale Kondensator unendlich gut und kann durch einen Kurzschluss ersetzt werden. Die Amplitude
des Eingangssignals liegt dann vollständig am Ausgangstor an. Der Hochpass dämpft also Signale
tiefer Frequenz und lässt Signale hoher Frequenz passieren.
Die grundsätzliche Funktion dieses Filters wird wiederum ebenfalls anhand des RL-Hochpassfilters
deutlich, wenn man die beiden Extreme der Kreisfrequenz betrachtet. Bei einer Kreisfrequenz von
Null, also bei Gleichspannung, verhält sich die Spule wie ein Stück idealer Draht und schließt somit
das Ausgangstor kurz. Die Amplitude am Ausgangstor ist in diesem Fall also Null.
Lässt man die Kreisfrequenz nun gegen unendlich gehen, so steigt die Impedanz der Spule immer
weiter an, bis sie schließlich durch einen Leerlauf ersetzt werden kann. Die Amplitude des
Eingangssignals liegt dann vollständig am Ausgangstor an. Der Hochpass dämpft also Signale tiefer
Frequenz und lässt Signale hoher Frequenz passieren.
Setzt man den Ausdruck für die Impedanz des Kondensators in die Spannungsteilerformel ein, so
erhält man die komplexe Übertragungsfunktion des RC- Hochpassfilters:
F
U a
R
1
1
1
g
U e R 1
1
1 j
jC
jRC
Die komplexe Übertragungsfunktion des RL-Hochpassfilters ergibt sich zu:
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F
U a
jL
1
1
1
R L
g
U e R jL 1 R
1 j
1 j
jL
Für den RC-Tiefpassfilter gilt g
1
R
. Für den RL-Tiefpassfilter gilt g .
L
RC
Die komplexe Übertragungsfunktion kann in Amplitudengang A() und Phasengang () getrennt
werden. So ergibt sich für den RC-Hochpass der Amplitudengang
A F
1
1 j
1
RC
1
1
1
RC
2
1
g
1
2
wie auch für den RL-Hochpass
A F
1
R L
1 j
1
R L
1
2
1
g
1
2
die gleiche Frequenzabhängigkeit.
Zur Berechnung des Phasengangs () wird die Übertragungsfunktion zunächst in Real- und
Imaginärteil zerlegt. Für den RC-Hochpass folgt
RC j
RC 2
RC
F
j
2
2
RC j RC j 1 RC
1 RC
RC
und der Phasengang berechnet sich zu
arg F arctan
g
ImF
1
arctan
arctan
ReF
RC
In gleicher Weise kann der Phasengang für den RL-Hochpass ermittelt werden:
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1
1
F
R L
1 j
1
R L
R L
1
j
2
2
R L
R
L
R
L
j
1
1
j
und es ergibt sich analog für den RL-Hochpass
g
ImF
R L
arctan
arctan
ReF
arg F arctan
Der Amplitudengang beträgt bei der Grenzkreisfrequenz für den RC-Hochpass
A g
1
1
1
g RC
2
1
2
,
woraus sich die Grenzfrequenz fg berechnen lässt:
fg
1
2 RC
Für den RL-Hochpass ergibt sich analog der Amplitudengang bei der Grenzkreisfrequenz
A g
1
L
1
R
2
1
2
2
und damit die Grenzfrequenz fg
fg
R
2 L
Der Ausdruck für die Grenzfrequenz für einen RC-Tiefpass ist identisch zum Ausdruck für den RCHochpass. Bei identischen Bauteilwerten haben RC-Hochpass und RC-Tiefpass die gleiche
Grenzfrequenz. Der Durchlass- und Sperrbereich sind natürlich vertauscht.
Bei der Grenzfrequenz beträgt der Phasengang für den RC-Hochpass bzw. den RL-Hochpass 45°.
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1
R L
arctan 1 45
arctan 1 45
arctan
g
bzw.
g RC
g
g arctan
Einige charakteristische Werte des Amplitudengangs sollen die spätere Darstellung in Abhängigkeit
von der Frequenz im Folgenden erläutern:
0 : AdB 20 log
g : AdB 20 log
20 log g
2
g
1
1
1
3,01dB
20 log
11
2
1
: AdB 20 log
1
1 g
2
20 log1 0dB
Die charakteristischen Werte des Phasengangs in Abhängigkeit von der Frequenz sind:
g
arctan 90
0 : arctan
g
g
g : arctan
arctan 1 45
g
arctan 0 0
: arctan
Die folgende Abbildung zeigt den Verlauf der Amplituden- und Phasenübertragungsfunktion für die
Bauteilwerte R = 1k und C = 10µF.
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Man erkennt, dass die Phasenlage bei der Grenzfrequenz genau 45° und im Sperrbereich 90°
beträgt.
Die folgende Abbildung zeigt den Verlauf der Amplituden- und Phasenübertragungsfunktion für die
Bauteilwerte R = 100 und L = 1H.
Man erkennt ebenfalls, dass die Phasenlage bei der Grenzfrequenz genau 45° und im Sperrbereich
90° beträgt.
Es kann also festgehalten werden, dass sich RL-Hochpässe prinzipiell genau wie RC-Hochpässe
verhalten. Ob nun für einen bestimmten Zweck eine RC- oder eine RL-Schaltung die bessere Wahl
ist, hängt von einer ganzen Reihe weiterer Rahmenbedingungen ab und kann pauschal nicht
beantwortet werden. Als grundsätzliche Richtlinie kann gesagt werden, dass RC-Filter eher für
Anwendungen bei niedriger Frequenz zum Einsatz kommen, während man im Hochfrequenzbereich
überwiegend RL-Filter findet.
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6.1.3. Bandpass
Bandpass-Filter oder einfach kurz Bandpässe dienen dazu, einen bestimmten Frequenzbereich, das
Frequenzband, aus einem Signal zu gewinnen, alle Frequenzanteile außerhalb des Frequenzbands
werden (mehr oder weniger stark) gedämpft. Im Allgemeinen beeinflusst ein Bandpass-Filter auch die
Phasenlage eines Signals. Wie auch die anderen bisher besprochenen Filter, wird der Bandpass
durch eine komplexe Übertragungsfunktion beschrieben, die in Amplituden- und Phasenanteil zerlegt
werden kann.
Es gibt eine Vielzahl unterschiedlicher Möglichkeiten, Bandpässe zu realisieren, von denen hier nur
einige exemplarisch vorgestellt werden. Im Wesentlichen sollen die Parameter erörtert werden, die
zur Beschreibung eines Bandpass-Filters notwendig sind.
RL-Bandpass
Ein einfacher und naheliegender Ansatz zur Realisierung eines Bandpasses ist die Serienschaltung
eines Hoch- und eines Tiefpassfilters. Das Tiefpass-Filter begrenzt dabei das Durchlassband zu
hohen Frequenzen hin, während das Hochpass-Filter die untere Grenze des Bandes darstellt.
Dieser Ansatz soll an einem Beispiel untersucht werden. Das Bandpass-Filter wird aus einem RLHochpass und einem RL-Tiefpass aufgebaut (Die Betrachtungen gelten analog für RC-Filter und
Kombinationen aus RC- und RL- Filtern). R1 und L1 bilden das Hochpassfilter, während der Tiefpass
aus L2 und R2 besteht:
Ue
10k
10H
R1
L2
L1
100H
R2
10k
Ua
Vor der Berechnung der eigentlichen Übertragungsfunktion folgt zunächst eine Vorüberlegung zur
maximalen Ausgangsamplitude dieses Bandpasses. Die bisher betrachteten Filter erster Ordnung
weisen im Durchlassbereich eine minimale Dämpfung von 0dB auf, die Amplitude des
Ausgangssignals kann also maximal den Wert der Amplitude des Eingangssignals annehmen. Beim
vorliegenden Filter kann man die minimal auftretende Dämpfung abschätzen, indem man den
Einfluss der beiden Spulen unberücksichtigt lässt. Die Spule L1 wird dazu gedanklich durch einen
Leerlauf, die Spule L2 durch einen Kurzschluss ersetzt. Es verbleibt also ein Spannungsteiler aus den
beiden Widerständen R1 und R2, wobei die Ausgangsspannung am Widerstand R2 abfällt:
Ua
R2
U e
R1 R2
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Da jeder Einfluss der Spulen, also eine Impedanz von L1 < ∞ und/oder eine Impedanz von L2 > 0,
immer zu einer Verkleinerung der Ausgangsamplitude führt, ist mit dem ohmschen Spannungsteiler
eine untere Schranke für die Dämpfung gefunden. Die minimale Dämpfung und damit das Maximum
der Amplitudenübertragungsfunktion beträgt für das obige Beispiel also:
R2
10kΩ
1
20 log 10
Amax 20 log 10
20 log 10 6dB
10kΩ 10kΩ
2
R1 R2
Da die zweite Filterstufe eine Last für das erste Filter darstellt, kann die Übertragungsfunktion des
Bandpassfilters nicht einfach mittels der Addition der Bode-Diagramme der beiden
Übertragungsfunktionen konstruiert werden.
Hochpaß
Tiefpaß
Die Addition der beiden obenstehenden Bode-Diagramme würde zu einer Übertragungsfunktion
führen, die in einem Bereich um 100Hz eine Dämpfung von nahezu 0dB aufweisen würde, was
gemäß der Vorüberlegung aber nicht der Fall sein kann. Bei Betrachtung der beiden BodeDiagramme wird deutlich, dass abhängig von der Lage der Grenzfrequenzen der beiden Filter, die
minimale Dämpfung deutlich unter der oben hergeleiteten unteren Schranke liegen kann - lassen Sie
dazu gedanklich die Grenzfrequenz des Hochpasses ansteigen und die des Tiefpasses absinken und
überlegen Sie sich, wie sich die minimal erreichbare Dämpfung entwickelt.
Die Angabe einer einzelnen Grenzfrequenz ist zur Charakterisierung eines Bandpasses nicht
ausreichend. Bandpässe besitzen daher eine untere und eine obere Grenzfrequenz (fu und fo).
Gemäß der allgemein gültigen Definition ist die Grenzfrequenz dann erreicht, wenn die
Ausgangsamplitude um 3dB von ihrem Maximalwert abgefallen ist. Wie gleich gezeigt werden wird,
können die beiden Grenzfrequenzen des Bandpass-Filters nicht direkt aus den Grenzfrequenzen der
beiden Einzelfilter abgeleitet werden.
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Die Grenzfrequenzen der beiden Filter berechnen sich nach f g
R 1
zu:
L 2
fg,HP = 16Hz und fg,TP = 160Hz.
Die folgende Abbildung zeigt das Bode-Diagramm für das Bandpass-Filter aus dem Beispiel. Das
durch fu und fo begrenzte Durchlassband ist grün, die Sperrbereiche sind rot markiert.
Das Maximum der Amplitudenantwort liegt bei etwa -6dB, so dass die Grenzfrequenzen an den
Stellen liegen, an denen die Amplitudenantwort auf jeweils -9dB abgefallen ist. Es ergibt sich:
fu ≈ 7Hz und fo ≈ 330Hz. Der Abstand zwischen den beiden Grenzfrequenzen (in der Abbildung grün
markiert) wird als Bandbreite B bezeichnet:
B = fu - fo
Für das Beispiel beträgt die Bandbreite B etwa 323Hz.
Zusätzlich zur Bandbreite wird der geometrische Mittelwert der Grenzfrequenzen als
(Band)Mittenfrequenz f0 definiert:
f0
fo fu
Die Mittenfrequenz f0 des Filters aus dem Beispiel beträgt etwa 48Hz.
In den Sperrbereichen dominiert jeweils das Verhalten eines Filtertyps, die andere Stufe liefert dann
keine frequenzabhängige Dämpfung mehr, sondern steuert nur noch den ohmschen Anteil aus dem
Widerstand bei. Die Steilheit S der Dämpfung in den Sperrbereichen beträgt also wie bei allen
anderen Filtern erster Ordnung 20dB/dec.
Die Phasenantwort des Bandpass-Filters in den Sperrbereichen ergibt sich ebenfalls aus der
Phasenantwort des jeweils dominierenden Filtertyps. Im unteren Sperrbereich dominiert das
Verhalten des Hochpass-Filters, so dass sich dort eine Phasenlage von +90° ergibt, während sich im
oberen Sperrbereich die Eigenschaft des Tiefpass-Filters mit -90° Phasenlage durchsetzt. Bei
Erreichen der Mittenfrequenz heben sich die beiden reaktiven Anteile gegenseitig auf, so dass dort
nur ohmsches Verhalten sichtbar wird, die Phasenlage beträgt 0°. Die untere und obere
Grenzfrequenz sind in der Phasenantwort durch +45° bzw. -45° Phasenwinkel gekennzeichnet. Die
nachfolgende Abbildung zeigt die Phasenantwort des Beispiel Bandpasses.
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Zeichnen Sie die Punkte fu, fo und f0 in das Diagramm und überprüfen Sie die jeweiligen
Phasenwinkel.
Im Allgemeinen lassen sich die Kennwerte eines Bandpass-Filters also nicht so einfach aus den
Bauteilwerten berechnen, sondern müssen aus der Übertragungsfunktion des Bandpasses bestimmt
werden. Für Sonderfälle ist dies jedoch möglich, dazu folgt im nächsten Abschnitt ein weiteres
Beispiel.
RC-Bandpass
Im folgenden Beispiel wird ein Bandpass-Filter betrachtet, das aus zwei RC-Filtern aufgebaut ist.
R1
Ue
C2
C1
R2
Ua
R1 und C1 bilden ein Tiefpassfilter, R2 und C2 ein Hochpassfilter. Zunächst soll die komplexe
Übertragungsfunktion bestimmt werden. Hierzu wird die Ausgangsspannung Ua() bestimmt, welche
durch folgende Gleichung beschrieben wird:
U a U C1
R2
R2
1
jC2
Die Spannung UC1() wird unter Berücksichtigung des Hochpassfilters als Last von C1 bestimmt:
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1
1
R2
jC1
jC2
1
1
R2
jC1
jC2
mit U C1 U e
1
1
R2
jC2
jC1
R1
1
1
R2
jC1
jC2
Durch Einsetzen lässt sich jetzt die Ausgangsspannung Ua() berechnen:
1
1
R2
jC1
jC2
1
1
R2
R2
jC1
jC2
U a U e
1
1 R 1
2
R2
jC2
jC2
jC1
R1
1
1
R2
jC1
jC2
Bevor die komplexe Übertragungsfunktion ermittelt wird, wird als Vereinfachung folgende Annahme
getroffen:
R1 = R2 = R und
C1 = C2 = C
Damit vereinfacht sich die Berechnung der Ausgangsspannung Ua()
1
1
R
R
1
jC
jC
U a U e
U e
U e
2
1
2
1
1
1
1
3 jRC
R
R
R
3
R R2
jRC
j
C
j
C
j
C
jC
jC
und es folgt für die komplexe Übertragungsfunktion
F
U a
U e
1
1
3 j
RC
RC
Der Amplitudengang ergibt sich damit zu
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A
U a
U e
1
1
9
RC
RC
2
Anders als bei einem Hochpass oder einem Tiefpass ergibt sich das Maximum des Amplitudengangs
bei RC = 1 zu
AmaxRC 1
1
9
1
0,333
3
Zu sehr kleinen und sehr großen Frequenzen hin steigt die Dämpfung stetig an, so dass der
Amplitudengang zu Null strebt.
ARC 0 0
ARC 0
Gemäß Definition ist die Grenzfrequenz erreicht, wenn der Amplitudengang auf 1/2 seines
Maximalwertes abgefallen ist. Bei diesem Bandpass ergeben sich somit 2 Grenzfrequenzen fu und fo.
fu , o : Au ,o
1
2
Amax
1
18
2
1
1
2
2
RC 9
RC 3 1 RC 3RC RC 3RC 1 0
RC
RC
Die quadratische Gleichung wird für die Werte aus folgendem Beispiel gelöst:
10µF
1k
R1
Ue
Die Grenzfrequenzen betragen:
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C2
C1
10µF
R2
1k
Ua
f u 4,82Hz & f o 52,57Hz
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Die Bandbreite B beträgt:
B fo fu 47,75Hz
Die Frequenz bei maximaler Amplitude beträgt:
f (RC 1) 15,91Hz
Bei den Grenzfrequenzen beträgt die Phasenantwort ±45°.
Die folgende Grafik zeigt die Darstellung des Amplitudengangs und des Phasengangs im BodeDiagramm:
f( = 1) = 15,91
fu = 4,8Hz
fo = 52,5Hz
B = 47,7Hz
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=0
= 45
= -45
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6.2 Schwingkreise
Schaltungen mit zwei unterschiedlichen Energiespeichern (Spule und
Kondensator) bilden einen Schwingkreis. In der Elektrotechnik sind sie von
großer Bedeutung, da ihr Resonanzverhalten zum Aufbau von Filtern oder
Oszillatoren genutzt werden kann.
Der Name Schwingkreis leitet sich aus der Tatsache her, dass die Energie
in einer solchen Schaltung unter bestimmten Bedingungen zwischen den
beiden Energiespeichern hin und her schwingt. Während jeder Schwingung
wird die Energie dabei umgewandelt und ist zu einem Zeitpunkt vollständig
als elektrische Feldenergie im Kondensator und zu einem anderen
Zeitpunkt als magnetische Feldenergie in der Spule gespeichert. Als Analogon hierzu kann man sich
einen mechanischen Federschwinger vorstellen. Während einer Schwingung wird die Energie
kontinuierlich von Federenergie in kinetische Energie und zurück gewandelt. Ein verlustloser
Federschwinger schwingt, einmal angeregt, endlos weiter. Genauso verhält es sich bei elektrischen
Schwingkreisen. Eine Schaltung aus einem idealen Kondensator und einer idealen Spule und lauter
völlig widerstandslosen Verbindungen würde nach Anregung ebenfalls endlos weiterschwingen.
Wird die Masse des Federschwingers aus ihrer Ruhelage ausgelenkt und dann losgelassen, so
schwingt sie immer auf der für diesen einen Federschwinger charakteristischen Frequenz, seiner
Resonanzfrequenz. Die Resonanzfrequenz ist abhängig von den mechanischen Eigenschaften des
Systems: Federkonstante und schwingende Masse. Analog dazu ist die charakteristische Frequenz,
auf der ein elektrischer Schwingkreis schwingt, durch die Werte seiner Bauelemente eindeutig
festgelegt. Die folgende Abbildung verdeutlicht die Analogie:
Quelle: schulen.edhi.at
Die folgende Abbildung zeigt die Resonanzschwingungen des obigen LC-Schwingkreises
(C = 100nF, L = 10mH) nach Anregung durch einen Spannungssprung. Zu Beginn der Betrachtung ist
die gesamte Energie also im elektrischen Feld des Kondensators gespeichert. Gezeigt sind:
Anregung (rot), Spannung am Kondensator (blau) und Strom durch die Spule (grün):
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Werden schwingfähige Systeme genau mit ihrer Resonanzfrequenz angeregt, so erhöht sich die im
System gespeicherte Energie kontinuierlich und die Schwingungsamplitude steigt immer weiter an.
Bei einem Federschwinger kann man sich diese Anregung so vorstellen, dass die Schwungmasse
immer im Punkt der maximalen kinetischen Energie (entspannte Feder) von außen einen
zusätzlichen Impuls erhält.
Bei mechanischen Systemen ist diese Erhöhung der Schwingungsamplitude bei Resonanz unter dem
Begriff Resonanzkatastrophe bekannt. Bei schwach gedämpften Systemen kann die Überhöhung
bis zur Zerstörung des Systems führen. Ein bekanntes Beispiel dafür ist die Anregung von
Resonanzschwingungen bei Brücken.
Im Folgenden werden die grundsätzlichen elektrischen Eigenschaften eines Serien- und
Parallelschwingkreises zusammengefasst
Die Frequenz, bei der ein Schwingkreis schwingt, ergibt sich aus der Resonanzbedingung:
Resonanz tritt bei einer Resonanzfrequenz 0 auf, wenn die durch den Generator gelieferte
Spannung und Strom in Phase sind. In diesem Fall heben sich die Blindanteile der Impedanzen von
Spule und Kondensator auf und es gilt:
Im {Z(0)} = 0 und entsprechend Im {Y(0)} = 0
Die folgende Abbildung zeigt sie Spannungsverläufe an Spule und Kondensator bei Anregung der
obigen LC-Schaltung mit der Resonanzfrequenz. Man erkennt deutlich die, sich anbahnende,
Resonanzkatastrophe.
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6.3 Serienschwingkreis
Eine Reihenschaltung einer Spule und eines Kondensators sowie eines
Widerstandes bildet einen Serienschwingkreis oder Reihenschwingkreis.
Die Schaltung werde durch eine sinusförmige Spannung U0 mit der
Kreisfrequenz versorgt. Selbst ohne einen expliziten Widerstand in der
Schaltung wird aufgrund des Innenwiderstands der Quelle und der Verluste
in der Spule stets ein Restwiderstand in der Schaltung vorhanden sein.
Die Gesamtimpedanz Z des Serienschwingkreises bestimmt sich aus der
Addition der Einzelimpedanzen.
1
Z R j L
C
Aufgrund der Serienschaltung von Induktivität und Kondensator zeigt die Ortskurve der Schaltung
kapazitive und induktive Anteile:
j∙Im {Z}
→∞
R
0
Re {Z}
Z
j∙Im {Y}
Y
=0
0
Re{Y}
0
Ortskurve des Impedanz- und Admittanz-Verlaufs des Serienschwingkreises
Aus der Ortskurve ist zu erkennen, dass die Impedanz bei einer bestimmten Frequenz, der
Resonanzfrequenz, rein reell wird, d.h., dass der Imaginärteil von Z verschwindet. Die Impedanz von
Induktivität und Kondensator müssen sich bei dieser Frequenz aufheben:
1
1
1
2
0 0 L
0 L
0
0
0C
0 C
LC
1
LC
Die Resonanzfrequenz f0 des Schwingkreises ergibt sich somit zu:
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f0
0
1
2 2 LC
Bei Resonanz ist die Impedanz des Serienschwingkreises also minimal und rein reell und nimmt den
Wert des Widerstandes an.
Z 0 R
Für die weiteren Betrachtungen wird zunächst die Impedanz nach Betrag und Phase ermittelt:
L
2
j arctan
1
1
2
Z R j L
R L
e
C
C
1
C
R
Somit ergibt sich:
1
Z R L
C
2
2
arctan
L
und
1
C
R
Wird der Schwingkreis mit einer Wechselspannungsquelle mit konstanter Amplitude |U|, aber
variierender Frequenz betrieben, so ändert sich auch die Amplitude des Stromes |I| mit der Frequenz.
Der Betrag des durch den Serienkreis fließenden Stromes ergibt sich dabei zu
I
U
Z
U
1
R L
C
2
2
Betrachten wir zunächst den Betrag des Stromes bei den drei Extremwerten Resonanz =0, 0
und .
Z I 0
0:
0
:
1
LC
: Z R
I
U
R
Z I 0
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Elektrotechnik II
Der Betrag des Stromes wird maximal bei der Resonanzfrequenz und fällt dann zu niedrigen und
hohen Frequenzen asymptotisch zu Null hin ab. Die folgende Grafik verdeutlicht hierzu den
Amplitudengang des Stromes.
I
I
U
R
U
R
1
2
u
o
Amplitudengang des Stromes des Serienschwingkreises
Von charakteristischer Bedeutung sind die beiden Grenzfrequenzen u und o, bei denen die
Amplitude auf 1/2 ihres Maximalwertes abgefallen ist. Diese werden später genauer erläutert.
Für den Phasengang werden ebenfalls die gleichen Grenzwertbetrachtungen durchgeführt.
90
45
0
-45
-90
u
o
Phasengang des Serienschwingkreises
Zu sehr niedrigen und sehr großen Frequenzen hin nähert sich der Phasengang den Werten -90° und
+90° an. Bei der Resonanzfrequenz beträgt der Phasengang 0°. Bei den beiden Grenzfrequenzen u
und o werden -45° bzw. +45° erreicht.
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1
L
2
R RC
0:
0
:
L
1
0
: 0
R
RC
LC
0
1
L
R RC
1
0
2
Bandbreite
Die Bandbreite eines Schwingkreises ist für die beiden Frequenzen oberhalb und unterhalb der
Resonanzfrequenz f0 definiert, bei denen der Realteil der Impedanz gleich dem Imaginärteil der
Impedanz wird. Diese beiden Frequenzen werden als obere fo und untere Grenzfrequenz fu
bezeichnet.
B f f o f u
Der Betrag des Stromes ist bei der oberen und unteren Grenzfrequenz auf den 1/2-Teil bzw. auf
70,71% seines Maximalwertes abgefallen.
I u ,o
U
Z u ,o
U
R2 R2
U
R 2
Aus dem Wert des Betrages der Impedanz an dieser Stelle lässt sich die Grenzbedingung für die
beiden Grenzkreisfrequenzen bestimmen:
2
2
1
1
R 2 o L
R 2 R 2
R 2 u L
u C
o C
Aufgrund der quadratischen Funktion kann das Ergebnis der Formel in den Klammern positive und
negative Werte annehmen. Für ein positives Ergebnis ist die Lösung für folgende Gleichung zu
suchen
1
R o L
C
o
2
2
Die sich hieraus ergebene quadratische Gleichung führt nur zu einem Ergebnis, der oberen
Grenzkreisfrequenz
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Elektrotechnik II
R o L
1
1
o L
R 0 o2 LC 1 0 RC 0
o C
o C
o1, 2
R
R2
1
R
R2
1
o
2L
4 L2 LC
2L
4 L2 LC
Aus dem negativen Ergebnis der Formel in der Klammer kann die untere Grenzfrequenz bestimmt
werden
R u L
u1, 2
1
1
u L
R 0 u2 LC 1 u RC 0
u C
u C
R
R2
1
R
R2
1
u
2
2
2L
4L
LC
2L
4L
LC
Aus der Differenz der beiden Grenzkreisfrequenzen bestimmt sich die Bandbreite B des
Schwingkreises zu
B
o u
2
B f
R
2L
1 R
2 L
R
R2
1
2
4L
LC 2 L
2
R2
1
4 L2 LC
bestimmen.
Anmerkung: Die Bandbreite B ist der Frequenzbereich um die Resonanz, in dem die Wirkleistung bis
auf die Hälfte der Maximalleistung abfällt
Güte
Beim Betrieb des Schwingkreises pendelt durch den ohmschen Anteil nicht nur Blindleistung Qblind.
Bei jedem Umlauf wird auch Wirkleistung Pwirk umgesetzt. Das Verhältnis von Blindleistung (in der
Spule oder im Kondensator) zu der durchschnittlich umgesetzten Leistung wird als Güte Q des
Schwingkreises bezeichnet. Sie gibt an, wie groß die gespeicherte Energie im Verhältnis zu der im
Widerstand umgesetzten ("verbrauchten") Energie ist. Reine, ideale LC Schwingkreise haben eine
unendlich große Güte.
Die Güte des Serienschwingkreises wird über
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Elektrotechnik II
Q
Q blind
Pwirk
mit Pwirk R I und Qblind L I
2
0 L I 2
Q
RI
2
mit 0
2
I
2
C
1
LC
berechnet zu
Q
1
L
R C
Die Güte Q ist also eine relative Größe, die die Bandbreite B in Beziehung zur Resonanzfrequenz
darstellt. Es gilt:
Q
f0
B
Große Widerstände führen zu kleinen Güten und einer starken Schwingungsdämpfung. Daher wird
häufig auch der Kehrwert der Güte, die Dämpfung d als Parameter verwendet
d
1
B
Q f0
Je größer die Güte Q ist, desto schmaler ist die Bandbreite des Schwingkreises. Je kleiner die Güte
des Schwingkreises, desto kleiner ist auch die Resonanzüberhöhung
Q=
Q = 100
Q = 10
Resonanzüberhöhung eines Schwingkreises in Abhängigkeit von seiner Güte
Der Wert der Spannungsüberhöhung kann mit einer Faustformel abgeschätzt werden:
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Elektrotechnik II
Für Güten Q > 1 entspricht der Faktor der Spannungsüberhöhung in etwa der Güte
Für Güten < 1 tritt praktisch keine Überhöhung mehr auf
Beispiel: Gegeben ist die nebenstehende Schaltung, die an eine Spannungsquelle mit der effektiven
Eingangsspannung von 10 mV angeschlossen ist.
Das Spannungsmaximum tritt an der Stelle der
Resonanzfrequenz mit f0 = 1/2·(LC) = 7,12 MHz auf. Die
Spannungsüberhöhung lässt sich abschätzen zu
uˆ max uˆ 0 Q uˆ 0
1
L
4,47V
R C
Dieses Ergebnis kann per Simulation verifiziert werden:
Spannungsüberhöhung des Beispiels eines Serienschwingkreises
Bei genauer Betrachtung unterscheiden sich die Frequenzen der Spannungsüberhöhungen an
Induktivität und Kondensator. Die Spannungsüberhöhung am Kondensator tritt bei der Frequenz
C 0 1
1
2Q 2
auf.
Die Spannungsüberhöhung an der Induktivität tritt bei der Frequenz
1
L 0 1
2Q 2
1
auf.
Je kleiner die Güte, desto größer ist der Abstand.
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Elektrotechnik II
Frequenzen der Spannungsüberhöhung an Induktivität und Kondensator
6.4 Parallelschwingkreis
Ein Parallelschwingkreis – bestehend aus einer
Parallelschaltung aus R, L und C – zeigt in Bezug
auf die Impedanz ein zum Serienschwingkreis
entgegengesetztes Verhalten. Speist man einen
Parallelschwingkreis mit einer Stromquelle, so
ergibt sich bei Resonanz die maximale Amplitude
der Spannung.
Zur vereinfachten Rechnung wird die lineare
Spannungsquelle des Serienschwingkreises in eine lineare Stromquelle überführt. Die Berechnung
erfolgt zweckmäßigerweise über die Admittanz.
Die Gesamtadmittanz Y des Parallelschwingkreises bestimmt sich aus der Addition der EinzelAdmittanzen.
1
Y G j C
L
Aufgrund der Parallelschaltung von Induktivität und Kondensator zeigt die Ortskurve der Schaltung
kapazitive und induktive Anteile:
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Elektrotechnik II
j∙Im {Y}
→∞
G
0
Re {Y}
j∙Im {Z}
Y
Z
=0
0
Re{Z}
0
Ortskurve des Admittanz- und Impedanz-Verlaufs des Parallelschwingkreises
Für die Resonanzkreisfrequenz 0 ergibt sich:
1
ImY 0 0 mit Y G j C
0
L
1
LC
Die Resonanzfrequenz f0 des Parallelschwingkreises ergibt sich somit zu:
f0
0
1
2 2 LC
Bei Resonanz ist die Admittanz des Parallelschwingkreises also minimal und rein reell und nimmt den
Wert des Widerstandes an.
Y 0 G
Für die weiteren Betrachtungen wird zunächst die Admittanz nach Betrag und Phase ermittelt:
C
2
j arctan
1
1
2
Y G j C
G C
e
L
L
1
L
G
Somit ergibt sich:
1
Y G C
L
2
2
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und
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Elektrotechnik II
iu arctan
C
1
L
G
Wird der Schwingkreis mit einer Wechselstromquelle mit konstanter Amplitude |I|, aber variierender
Frequenz betrieben, so ändert sich auch die Amplitude der Spannung |U| mit der Frequenz.
Der Betrag der am Parallelschwingkreis anliegenden Spannung ergibt sich dabei zu
U
I0
Y
I0
1
G C
L
2
2
Betrachten wir zunächst den Betrag der Spannung bei den drei Extremwerten Resonanz =0, 0
und .
Y U 0
0:
0
1
LC
: Y R
U
I0
G
Y U 0
:
Der Betrag der Spannung wird maximal bei der Resonanzfrequenz und fällt dann zu niedrigen und
hohen Frequenzen asymptotisch zu Null hin ab. Die folgende Grafik verdeutlicht hierzu den
Amplitudengang der Spannung.
U
U
I0
G
I0
Maximalwert
G
1
2
u
o
Amplitudengang der Spannung des Parallelschwingkreises
Von charakteristischer Bedeutung sind die beiden Grenzfrequenzen u und o, bei denen die
Amplitude auf 1/2 ihres Maximalwertes abgefallen ist. Diese werden später genauer erläutert.
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Elektrotechnik II
Für den Phasengang iu der Admittanz werden ebenfalls die gleichen Grenzwertbetrachtungen
durchgeführt.
Zu sehr niedrigen und sehr großen Frequenzen hin nähert sich der Phasengang den Werten -90° und
+90° an. Bei der Resonanzfrequenz beträgt der Phasengang 0°. Bei den beiden Grenzfrequenzen u
und o werden -45° bzw. +45° erreicht.
0:
0
:
1
C
iu
2
G GL
C
1
1
0 iu 0
: 0
0GL
LC G
1
C
iu
2
G GL
Die folgende Grafik verdeutlicht den Verlauf des Phasengangs der Admittanz. Zu kleinen Frequenzen
hin zeigt der Parallelschwingkreis ein induktives Verhalten, sowie zu großen Frequenzen hin ein
kapazitives Verhalten.
iu
90
induktives
Verhalten
kapazitives
Verhalten
45
0
0
-45
-90
u
o
Phasengang der Admittanz des Parallelschwingkreises
Bandbreite
Die Bandbreite des Parallelschwingkreises wird analog zur Vorgehensweise beim Serienschwingkreis
ermittelt.
B f f o f u
Die Bandbreite B ist der Frequenzbereich um die Resonanz, in dem die Wirkleistung bis auf die Hälfte
der Maximalleistung abfällt. Der Betrag der Spannung ist bei der oberen und unteren Grenzfrequenz
auf den 1/2-Teil bzw. auf 70,71% seines Maximalwertes abgefallen.
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Elektrotechnik II
U u ,o
I
Y u ,o
I
G2 G2
I
G 2
Aus dem Wert des Betrages der Admittanz an dieser Stelle lässt sich die Grenzbedingung für die
beiden Grenzkreisfrequenzen bestimmen:
2
2
1
1
G 2 oC
G2 G2
G 2 uC
u L
o L
Aufgrund der quadratischen Funktion kann das Ergebnis der Formel in den Klammern positive und
negative Werte annehmen.
1
G 2 oC
L
o
2
Aus dem positiven und dem negativen Wert der Klammer können die obere und untere
Grenzkreisfrequenz bestimmt werden
o1, 2
G
G2
1
G
G2
1
o
2
2
2C
4C
LC
2C
4C
LC
u1, 2
G
G2
1
G
G2
1
u
2
2
2C
4C
LC
2C
4C
LC
Somit ergibt sich die Bandbreite des Parallelschwingkreises zu
B f
o u
1 G
1 1
2
2 C 2 RC
Güte
Die Güte des Parallelschwingkreises wird über
Q
Q blind
Pwirk
mit Pwirk PR
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U
2
R
und Qblind PC 0C U
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2
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Elektrotechnik II
Q
0C U 2 R
U
2
mit 0
1
LC
berechnet zu
Q R
C
L
Die folgende Abbildung zeigt die Spannungsüberhöhung bei Resonanz an einem
Parallelschwingkreis hoher Güte.
Für die Güte Q gilt allgemein das Verhältnis der Resonanzfrequenz zur Bandbreite. Es gilt:
Q
f0
B
Sowie für die Dämpfung d
d
1
B
Q f0
Je größer die Güte Q ist, desto schmaler ist die Bandbreite des Schwingkreises. Je kleiner die Güte
des Schwingkreises, desto kleiner ist auch die Resonanzüberhöhung.
Damit kann die Formel zur Berechnung der Grenzkreisfrequenzen auch als Funktion der Güte und
der Resonanzfrequenz ausgedrückt werden. Der Faktor G/C kann ersetzt werden durch
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Elektrotechnik II
G
1
2 f0 0
2 B
C RC
Q
Q
Damit ergibt sich für die Grenzkreisfrequenzen in Abhängigkeit der Güte und der Resonanzfrequenz:
o
0
2Q
u
02
0
2Q
4Q
2
02
02
4Q
2
02
Diese beiden Gleichungen zur Berechnung der unteren und oberen Grenzkreisfrequenz gelten für
den Parallelschwingkreis und den Serienschwingkreis.
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Elektrotechnik II
7 Nicht-sinusförmige Schaltvorgänge
Bisher haben wir uns ausschließlich mit sinusförmigen Signalverläufen beschäftigt, in der Realität
treten jedoch häufig auch andere Signale auf. Die Untersuchung des zeitlichen Verlaufs solcher
Vorgänge bezeichnet man auch als Transientenanalyse.
Bisher wurden sinusförmige Vorgänge betrachtet. Die
Schaltungsanalyse konnte daher mit Methoden der
komplexen Wechselstromrechnung durchgeführt werden.
Im Folgenden wird diese Betrachtung jetzt um transiente
Vorgänge erweitert. Die nebenstehende Schaltung zeigt
einen Kondensator der an einer Spannungsquelle
angeschlossen ist.
Der Spannungsverlauf der Quelle soll jetzt einer
Sprungfunktion folgen, d.h., sie ändert ihren Zustand
von 0 auf 1 ohne Übergangszeit. Die Reaktion des
Systems auf die Sprungfunktion ist eine
Sprungantwort in Form einer Ladekurve des
Kondensators.
i
C
u
u(t)
7.1 Schaltverhalten von Kapazitäten
Anhand des folgenden Beispiels aus der Praxis wird die Vorgehensweise bei der Untersuchung
nichtsinusförmiger Signalverläufe (Transientenanalyse) eingeführt.
Häufig wird eine sinusförmige Spannung aus der Versorgungsleitung (Steckdose) über einen
Transformator auf eine niedrige Spannung transformiert und soll dann in eine Gleichspannung
umgewandelt werden.
Diese Umwandlung wird durch einen
Gleichrichter bewerkstelligt, der aus mindestens
einer Diode besteht. Eine Diode ist ein
Halbleiterbauelement, das den Strom nur in
einer Richtung von Anode zur Kathode fließen
läßt. Man kann sich eine ideale Halbleiterdiode wie ein Ventil für
elektrischen Strom vorstellen. Während der Strom in einer
Richtung (Durchlaßrichtung) ungehindert fließen kann, wird er in
der anderen Richtung (Sperrichtung) vollständig gesperrt.
Die einfachste Gleichrichterschaltung, der Einwegegleichrichter,
besteht aus einer Diode in Serie mit der Last, die durch einen
Widerstand R dargestellt werden kann. Diese
Gleichrichterschaltung erzeugt aus der Sinusspannung eine
pulsierende Gleichspannung.
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Elektrotechnik II
Frage:
Mit dieser Stromversorgungs-Schaltung soll ein Radiogerät versorgt werden. Wenn das Radio
angeschaltet wird, wird es nicht einwandfrei funktionieren, stattdessen hört man einen 50 Hz
Brummton aus dem Lautsprecher. Wie kann man die Schaltung verbessern?
Es gibt eine einfache Möglichkeit, die sogenannte Welligkeit des
Signals zu reduzieren, indem man einen Kondensator parallel
zur Last schaltet. Diesen Kondensator bezeichnet man auch als
Glättungskondensator:
Durch Hinzuschalten des Kondensators werden die Spannungsschwankungen von vorher 9 V auf
u 3 V reduziert. Das resultierende Signal kommt einer Gleichspannung schon deutlich näher.
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103/141
Elektrotechnik II
7.1.1. Laden eines Kondensators
Strom und Spannung an einem Kondensator sind über die Kondensatorgleichung miteinander
verknüpft. Es gilt
iC t C
duC t
dt
Der Strom ic(t) kann also als Antwort einer Sprungfunktion „springen“.
Die nebenstehende Schaltung zeigt einen
R
S
Kondensator C, der über einen Widerstand R und
einen Schalter S mit einer Gleichspannungsquelle U0
iC(t)
uR(t)
verbunden ist. Es gilt die Anfangsbedingung
U0
C uC(t)
uC (t = 0) = 0 V. Es soll das Verhalten des Ausgangs
bei idealem Spannungssprung am Eingang analysiert
werden.
Der Schalter S wird zum Zeitpunkt t = 0 in die Stellung 2 bewegt. Der Kondensator kann sich jetzt
über den Widerstand aufladen. Zur Berechnung des Spannungsverlaufs am Kondensator für t ≥ 0
wird zunächst das Gleichungssystem anhand der Maschengleichung aufgestellt
U 0 uR t uC t 0
mit uR t iC t R und iC t C
duC t
dt
Es ergibt sich eine lineare, inhomogene Differentialgleichung 1. Ordnung
R C
duC t
uC t U 0
dt
mit der Zeitkonstante R·C = und dem Störglied U0. Die Gesamtlösung der Differentialgleichung für
die Spannung uc(t) setzt sich aus der allgemeinem, homogenen Lösung und dem speziellen,
partikulären Anteil zusammen:
uC t uC t hom uC t spez
Die Lösung der homogenen Differentialgleichung
duC t
uC t 0
dt
lautet
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Elektrotechnik II
t
uC t hom C1 e
mit R C
Für die Bestimmung der Konstante C1 ist zunächst die Lösung der Gleichung für uC(t)Spez erforderlich.
Die spezielle, partikuläre Lösung uC(t)Spez im eingeschwungenen Zustand ist
uC t spez uC t spez uC U 0
Für die Gesamtlösung für uC(t) folgt damit
t
uC t C1 e U 0 mit R C
Die Konstante C1 wird aus der Anfangsbedingung zum Zeitpunkt t = 0 bestimmt
uC 0 uC 0hom uC 0spez 0 , womit für die Konstante C1 = -U0 folgt.
Das Ergebnis für den Spannungsverlauf am Kondensator ist somit
t
uC t U 0 1 e mit R C
Der Stromverlauf durch den Kondensator während des Ladevorgangs wird über die
Kondensatorgleichung
iC t C
duC t
dt
bestimmt. Folgende Umformungen sind durchzuführen
d
iC t C U 0 U 0 e
dt
t
1 t
iC t C 0 U 0 e
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dea x
a ea x
dx
mit R C
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Elektrotechnik II
U 0 t
iC t C
e
t
C 1 U 0 e
RC
und es ergibt sich für den Stromverlauf durch den Kondensator
t
U
iC t 0 e
R
mit R C
In der folgenden Grafik sind der Spannungs- und Stromverlauf am Kondensator grafisch dargestellt.
Nach der Zeit 1· ist die Kondensatorspannung bereits auf 63,2% der treibenden Spannung
angestiegen. Nach 5· kann der Kondensator als geladen angesehen werden:
iC
U0/R
läßt sich grafisch aus Tangente ermitteln
95,0%
86,5%
uC
U0
uC(t)
Zeitkonstanten beim Laden
eines Kondensators
über einen Widerstand:
63,2%
1∙ = 63,2%
2∙ = 86,5%
3∙ = 95,0%
4∙ = 98,2%
5∙ = 99,3%
der treibenden Spannung
36,8%
iC(t)
1
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2
3
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4
5 t
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Elektrotechnik II
Fragen zur Vertiefung
F1: Finden Sie einen Weg, um die Zeitkonstante eines Ladevorgangs aus einer linear skalierten
Ladekurve zu ermitteln.
Charging a capacitor
1
0.9
0.8
0.7
0.5
c
u (t) / V
0.6
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
20
40
60
80
100
t / ms
120
140
160
180
200
F2: Bestimmen Sie den Ladestrom iC(t) für die eingangs dargestellte Schaltung zur Ladung eines
Kondensators und fügen Sie den Kurvenverlauf mit sinnvoll gewählter Skalierung in obiges Diagramm
ein. Es sei: U = 1V, R = 1k, C = 47 µF.
7.1.2. Entladen eines Kondensators
Die nebenstehende Schaltung zeigt einen
R
Kondensator C, der über einen Widerstand R und
S
einen Schalter S mit einer Gleichspannungsquelle U0
iC(t)
verbunden ist. Es gilt die Anfangsbedingung
uR(t)
U0
uC (t = 0) = U0 V. Es soll das Verhalten des Ausgangs
C uC(t)
bei idealem Spannungsabfall am Eingang analysiert
werden.
Der Schalter S wird zum Zeitpunkt t = 0 in die Stellung 1 bewegt. Der Kondensator kann sich jetzt
über den Widerstand entladen. Zur Berechnung des Spannungsverlaufs am Kondensator für t ≥ 0
wird zunächst das Gleichungssystem anhand der Maschengleichung aufgestellt
uR t uC t 0
R iC t uC t 0
Nach Einsetzen der Kondensatorgleichung erhält man die homogene Differentialgleichung
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Elektrotechnik II
R C
duC t
uC t 0
dt
Diese braucht nur gelöst werden, d.h., man erhält die Lösung allein aus der homogenen Lösung
UC(t)hom. Die Lösung der homogenen Differentialgleichung ist
t
uC t uC t hom C1 e
mit R C
Die Bestimmung der Konstante C1 erfolgt wieder aus der Anfangsbedingung
uC 0 uC 0hom U 0
0
C1 e U 0
Womit für die Konstante C1 folgt: C1 = U0
Die Gesamtlösung für den Verlauf der Kondensatorspannung beim Entladen beträgt somit
t
uC t U 0 e
mit R C
Der Stromverlauf iC(t) durch den Kondensator während des Entladevorgangs wird über die
Kondensatorgleichung
iC t C
duC t
dt
bestimmt. Einsetzen und ableiten des Kondensator-Spannungsverlaufs ergibt
d
iC t C U 0 e
dt
t
t
t
C U 0 e 1 i t C 1 U e
C
0
RC
und es folgt für den Stromverlauf iC(t)
t
U
iC t 0 e
R
mit R C
Dass der Entladestrom des Kondensators in umgekehrter Richtung als zur eingezeichneten
Pfeilrichtung des Stromes in der Schaltung iC(t) fließt, verdeutlicht das negative Vorzeichen.
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Elektrotechnik II
In der folgenden Grafik sind der Spannungs- und Stromverlauf am Kondensator grafisch dargestellt.
Nach der Zeit 1· ist die Kondensatorspannung bereits auf 36,8% der Startspannung abgefallen.
Nach 5· kann der Kondensator als entladen angesehen werden:
uC
U0
36,8%
Zeitkonstanten beim Entladen eines Kondensators
über einen Widerstand:
uC(t)
läßt sich grafisch aus Tangente ermitteln
1
2
iC(t)
3
4
5 t
1∙ = 36,8%
2∙ = 13,5%
3∙ = 4,98%
4∙ = 1,83%
5∙ = 0,674%
der Kondensatorspannung
iC
-U0/R
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Elektrotechnik II
Fragen zur Vertiefung
F1: Bestimmen Sie die Zeitkonstante in folgendem Diagramm dargestellten Entladevorganges
anhand von 3 verschiedenen Datenpunkten und vergleichen Sie das Ergebnis mit der rechnerisch
ermittelten Zeitkonstante =RC für R=1k, C=47µF.
Discharge of Capacitor in Resistance
10
9
8
7
u (t) / V
6
c
5
4
3
2
1
0
0
20
40
60
80
100
t / ms
120
140
160
180
200
F2: Ermitteln Sie die Zeitkonstante aus der folgenden halblogarithmischen Darstellung der
Entladekurve.
Discharge of Capacitor in Resistance
1
0
10
c
u (t) / V
10
-1
10
0
20
40
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60
80
100
t / ms
120
140
160
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180
200
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Elektrotechnik II
7.2 Schaltverhalten von Induktivitäten
Analog zu den Schaltvorgängen mit einem Kondensator werden im Folgenden die Schaltvorgänge in
einem Stromkreis mit einer Spule behandelt. Dieser Fall hat für die Praxis eine besondere
Bedeutung, da jede Leiteranordnung auch eine Induktivität aufweist. Als Faustformel kann man bei
1 mm Leitungslänge von 1nH Induktivität ausgehen. Diese störenden Induktivitäten werden auch als
parasitäre Induktivitäten bezeichnet und haben eine hohe Bedeutung bei schnellen
Schaltvorgängen.
7.2.1. Laden einer Spule
Strom und Spannung an einer Spule sind über das Induktionsgesetz miteinander verknüpft. Es gilt
uL t L
diL t
dt
Die Spannung uL(t) kann also als Antwort einer Sprungfunktion „springen“. Die Energie in einer Spule
wird im magnetischen Feld im Inneren der Spule gespeichert.
Die nebenstehende Schaltung zeigt eine Induktivität L,
R
S
die über einen Widerstand R und einen Schalter S mit
einer Gleichspannungsquelle U0 verbunden ist.
iL(t)
u
(t)
Zunächst hat sich der Schalter S „hinreichend lange“ in
U0
R
L uL(t)
der Schalterstellung 1 befunden. Es gilt die somit die
Anfangsbedingung
iL (t = 0) = 0 A. Es soll das Verhalten des Spulenstroms
bei idealem Spannungssprung am Eingang analysiert werden.
Der Schalter S wird zum Zeitpunkt t = 0 in die Stellung 2 bewegt. Das Magnetfeld der Spule kann sich
jetzt über den Spulenstrom aufbauen, der über den Widerstand R begrenzt wird. Zur Berechnung des
Stromverlaufs in der Spule für t ≥ 0 wird zunächst ein Gleichungssystem anhand der
Maschengleichung aufgestellt
U 0 uR t uL t 0
mit uR t iL t R und uL t L
U 0 R iL t L
diL t
0
dt
diL t
dt
Es ergibt sich eine lineare, inhomogene Differentialgleichung 1. Ordnung
L diL t
U
iL t 0
R dt
R
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Elektrotechnik II
mit der Zeitkonstante R·C = und dem Störglied U0/R. Die Gesamtlösung der Differentialgleichung
für den Stromverlauf iL(t) setzt sich aus der allgemeinem, homogenen Lösung und dem speziellen,
partikulären Anteil zusammen:
iL t i L t hom iL t spez
Die Lösung der homogenen Differentialgleichung
diL t
iL t 0
dt
lautet
t
iL t hom C1 e
mit
L
R
Für die Bestimmung der Konstante C1 ist zunächst die Lösung der Gleichung für iL(t)Spez erforderlich.
Zum Zeitpunkt t fließt durch die Spule der maximale Strom U0/R. Die spezielle, partikuläre Lösung
iL(t)Spez im eingeschwungenen Zustand ist somit
i L t spez i L t spez i L
U0
R
Für die Gesamtlösung für iL(t) folgt damit
t
iL t C1 e
U0
L
mit
R
R
Die Konstante C1 wird aus der Anfangsbedingung zum Zeitpunkt t = 0 bestimmt. Der Spulenstrom
zum Zeitpunkt t = 0 ist Null:
iL 0 iL 0hom iL 0spez 0
0
0 C1 e
U0
U
U
C1 1 0 C1 0
R
R
R
, womit für die Konstante C1 = -U0/R folgt.
Das Ergebnis für den Stromverlauf durch die Spule ist somit
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U
iL t 0
R
t
L
1 e mit
R
Fragen zur Vertiefung
F1: Bestimmen Sie die Zeitkonstante graphisch im folgenden linearen Diagram und vergleichen Sie
es mit der rechnerisch ermittelten Zeitkonstante der oben dargestellten Schaltung.
1.0A
0.5A
0A
0s
(L)
10ms
20ms
30ms
40ms
50ms
60ms
70ms
80ms
90ms
Time
F2: Angenommen, Sie schließen die Spannungsquelle in der oben dargestellten Schaltung genau
dann kurz, wenn die Schaltung Ihren eingeschwungenen Zustand erreicht hat. Diesen Zeitpunkt
bezeichnen wir als t = 0. Leiten Sie die Gleichung zur Bestimmung des zeitlichen Verlaufs des
Stromes iL(t) ab.
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8 Dreiphasennetz
8.1 Idee
Betreibt man einen Verbraucher an einer sinusförmigen Wechselspannung, so schwingt die
aufgenommene Leistung ebenfalls sinusförmig mit der doppelten Frequenz der
Versorgungsspannung. Bei Elektromotoren kann dies zu erheblicher mechanischer Belastung durch
auftretende Schwingungen führen. Um diese Leistungsoszillation zu verhindern, verwendet man
mehrere sinusförmige Spannungen gleicher Frequenz, deren Phasen zueinander verschoben sind.
Dabei ist die Phasendifferenz zwischen zwei beliebigen aufeinanderfolgenden Signalen identisch.
Derartige Energieversorgungssysteme bezeichnet man allgemein als Mehrphasensysteme.
Das technische wichtigste Mehrphasensystem ist das symmetrische Dreiphasensystem, das auch als
Drehstrom oder Kraftstrom bezeichnet wird. In diesem System wird die Energieversorgung über drei,
betragsmäßig gleich große, Sinusspannungen realisiert, die zueinander eine Phasendifferenz von je
120° aufweisen.
Die drei sogenannten Strangspannungen U1, U2 und U3 des Drehstromgenerators haben denselben
Betrag, U, die Phasen sind um 120° = 2/3 zueinander versetzt:
U1 = U0°; U2 = U-120°; U3 = U+120°
Die folgende Abbildung zeigt den zeitlichen Verlauf der Strangspannungen, sowie das zugehörige
Zeigerdiagramm.
Betreibt man einen symmetrischen Verbraucher, z.B. einen Motor mit
drei identischen Wicklungen (siehe Abbildung), an einem
Drehstromnetz, so zeigen zwar die einzelnen Verbrauchselemente
wieder eine sinusförmige Leistungsaufnahme, die gesamte
aufgenommene Leistung (als Summe der Einzelleistungen) ist jedoch
zu jedem Zeitpunkt konstant.
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Gesamtleistung: Px
P1, P2, P3
Damit ist sowohl die Leistungsaufnahme eines Verbrauchers als auch die Leistungsabgabe eines
Generators zeitunabhängig konstant. Die beschriebenen mechanischen Schwingungen werden somit
vermieden. Außerdem laufen Drehstrommotoren durch das Drehfeld sicher an, während einige
Wechselstrommotoren beim Anlaufen Unterstützung benötigen.
Wie später noch gezeigt werden wird, kommt ein symmetrisches Dreiphasennetz durch Einsparung
des Rückleiters mit 75% des Materialaufwandes aus, um die gleiche Leistung zu übertragen wie ein
herkömmliches Wechselstromnetz.
Drehstrom lässt sich beispielsweise dadurch erzeugen,
dass ein Generator über drei über den Umfang in gleichen
Abständen verteilte Spulen (L1, L2 und L3) verfügt.
Diese Spulen können entweder in der sogenannten
Sternschaltung oder in der Dreieckschaltung
miteinander verbunden werden.
L1
L3
L2
Dreiphasen-Vierleitersystem
in Sternschaltung
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Dreiphasen-Dreileitersystem
in Dreieckschaltung
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8.1.1. Sternschaltung
Die Sternschaltung findet beim üblichen Haushalts-Drehstromnetz (230/400V) Anwendung, die
einzelnen Phasen werden mit L1, L2 und L3 bezeichnet. Der Nullpunkt N heißt Sternpunkt. Alle
Leiter bilden zusammen ein Vierleitersystem. U1, U2 und U3 werden als Strangspannungen
bezeichnet. Die Spannungen U12, U23 und U31 heißen Außenleiterspannungen oder kurz
Leiterspannungen.
Es gilt: U12 = U1-U2;
U23 = U2-U3;
U31 = U3-U1
Die komplexen Zeiger der Strangspannung können über eine einfache geometrische Betrachtung in
die Leiterspannung wie folgt umgerechnet werden.
Für den Betrag UL dieser Leiterspannungen gilt damit der folgende Zusammenhang zu dem Betrag
der Strangspannung U:
U L 3 U
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Strangspannung (line-to-neutral)
U1 = û/2 0°
U2 = û/2 -120°
U3 = û/2 +120°
Leiterspannung (line-to-line)
Die haushaltsüblichen 230V liegen zwischen einer Phase und dem Nulleiter an, während zwischen
zwei Phasen die 400V (= 3230V)des Kraftstroms gemessen werden können.
8.1.2. Dreieckschaltung
Die oben dargestellte Dreieckschaltung ist ein Dreileitersystem, das insbesondere für Mittel- und
Hochspannung eingesetzt wird. Hierbei handelt es sich um eine Reihenschaltung der
Generatorstränge.
Diese Schaltung wird nicht direkt am Generator
des Kraftwerks eingesetzt, sondern nur bei der
Spannungstransformation im Mittel- und
Hochspannungsbereich. Im Allgemeinen haben
z.B. Freileitungen daher nur drei Leiter. Die
Abbildung zeigt einen Freileitungsmast mit zwei
getrennten Drehstromsträngen in
Dreieckschaltung, insgesamt sind also sechs
Leiter zu erkennen. Die Leitung an der Spitze des
Mastes ist das sogenannte Erdseil, es ist leitend
mit dem Mast verbunden und dient lediglich dem
Blitzschutz.
Die Dreieckschaltung als Erzeugersystem wird hier nicht weiter betrachtet. Im Folgenden wird stets
ein Generator-Vierleitersystem, also eine Sternschaltung am Generator vorausgesetzt.
8.2 Verbrauchersystem
Entsprechend den Überlegungen zum Generatorsystem können auch Verbraucher in Sternschaltung
oder Dreieckschaltung angeschlossen werden.
Sternpunktverbraucher
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Verbraucher in Dreieckschaltung
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Sind die jeweils drei Impedanzen identisch, so spricht man von einer symmetrischen Last. Im Falle
des symmetrisch belasteten Netzes ist es ausreichen einen Zweig zu analysieren.
8.2.1. Sternpunktverbraucher
Ein Sternpunktverbraucher lässt sich auf zwei Arten anschließen:
a) Anschluss mit Rückleiter (Vierleiter-System)
Dabei tritt im Allgemeinen ein Strom SN im Rückleiter auf, der als Sternpunktleiterstrom
bezeichnet wird.
b) Anschluss ohne Rückleiter (Dreileiter-System)
Dabei tritt im Allgemeinen eine Spannung USN zwischen dem Nullpunkt und dem
Verbrauchersternpunkt S auf, die als Sternpunktspannung USN bezeichnet wird. Die Ströme
durch die Impedanzen 1, 2 und 3 usw. heißen (Außen)-Leiterströme, die Spannungen U1S ,
U2S und U3S heißen Lastspannungen.
Bei symmetrischer Belastung sind ISN und USN gleich Null, es spielt also keine Rolle, ob der Rückleiter
angeschlossen ist oder nicht.
Umgekehrt lässt sich aus SN = 0 und USN = 0 aber nicht auf symmetrische Belastung schließen.
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8.2.2. Verbraucher in Dreieckschaltung
Bei der nebenstehend dargestellten Dreieckschaltung
kann der Rückleiter prinzipiell nicht angeschlossen
werden.
Die Ströme 12 , 23 , 31 heißen Lastströme oder
Phasenströme.
Für die unterschiedlichen Anschlussarten soll im Folgenden untersucht werden, wie sich die
Spannungen und Ströme verhalten. Zunächst wird dazu der unbelastete Fall als Referenz betrachtet.
8.3 Unbelastete Strang- und Leiterspannungen
Die Beträge der Leiterspannung UL lassen sich durch die Strangspannung U darstellen:
UL = 3 U
Mit dem Drehfaktor a: = ej2/3 = 120° schreiben sich die Strangspannungen wie folgt:
U1 = U0°
=U
U2 = U120° = a² U
U3 = U+120° = a U
Die Leiterspannungen ergeben sich zu:
U12 = U1 - U2 = UL +30°
U23 = U2 - U3 = UL - 90°
U31 = U3 - U1 = UL +150°
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8.4 Sternpunktlast im Dreileitersystem
Im Dreileitersystem gibt es keinen Rückleiter und es ergibt sich die folgende Schaltung:
Auch wenn der Rückleiter nicht angeschlossen ist, stellt sein
Potential das Bezugspotential (Masse) dar.
Die Lastströme sind in diesem Fall gleich den
Leiterströmen.
Es sind die Leiterströme 1, 2 und 3 , die Lastspannungen U1S, U2S, U3S und die Sternpunktspannung
USN zu berechnen.
Über die Kirchhoffsche Maschenregel erhält man drei Gleichungen der folgenden Form unter
Berücksichtigung der Strangspannungen U1, U2 und U3:
U1S = U1 USN
U2S = U2 USN
U3S = U3 USN
Über das Ohmsche Gesetz ergibt sich unter Nutzung der Admittanz Yi = 1/Zi entsprechend:
1 = Y1U1S
2 = Y2U2S
3 = Y3U3S
Da kein Rückleiterstrom fließen kann, folgt aus der Kirchhoffschen Knotenregel:
1 + 2 + 3 = 0
Aufgabe:
Leiten Sie den folgenden Ansatz für die Sternpunktspannung her.
U SN
Y 1U 1 Y 2 U 2 Y 3U 3
Y1 Y 2 Y 3
Sternpunktspannung im Dreileitersystem
Bei symmetrischer Last verschwindet die Sternpunktspannung im Dreileitersystem. Die
Lastspannungen sind damit gleich den Strangspannungen.
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Aufgabe:
Eine Sternpunktlast sei in einem Dreileitersystem angeschlossen. Es sei Z1 = 8; Z2 = 660° und
Z3 = 830°. Die Leiterspannung betrage UL= 400V.
a) Wie groß ist die Strangspannung?
b) Bestimmen Sie die Sternpunktspannung.
c) Bestimmen Sie die Lastspannungen.
d) Bestimmen Sie die Leiterströme.
e) Bestimmen Sie die Gesamt-Wirkleistung.
[ Lösung:
a) U = 230,9V
b) USN = 114,7V171,9°
c) U1S = 344,9V2,7°, U2S = 216,2V90,5°, U3S = 183,8V90,6°
d) 1 = 43,1A2,7°; I2 = 36,0A150,5° ; I3 = 23,0A120,6°
e) Pges = Re{ I1* U1S + I2* U2S + I3* U3S } = 22,4kW ]
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8.4.1. Sternpunktverschiebung
Wie eben gezeigt, führt eine unsymmetrische Belastung im Dreileiter-Sternpunkt-System zum
Auftreten einer Sternpunktspannung ungleich Null. Der Wert der Impedanz an einem Strang
beeinflusst also die Lastspannungen an den anderen Strängen. Dieser Umstand kann in der Praxis
zu erheblichen Problemen führen.
Die folgende Abbildung zeigt die Lastspannungen in einem symmetrisch belasteten Dreileiter-Netz,
alle Lastspannungen entsprechen den Strangspannungen.
Nun wird die Impedanz im roten Zweig auf ein Zehntel ihres ursprünglichen Werts verkleinert.
Obwohl die Impedanzen in den übrigen Zweigen nicht verändert wurden, steigen dort die
Lastspannungen stark an, was zur Zerstörung dieser Verbraucher führen kann. Die Ursache für
diesen Anstieg liegt in der auftretenden Sternpunktspannung. Da der Sternpunkt den Bezugspunkt für
alle drei Verbraucher bildet, führt eine Sternpunktspannung immer zu einer Änderung der
Lastspannungen, sowohl im Betrag als auch in der Phase.
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Diesen Effekt bezeichnet man als Sternpunktverschiebung. Im Zeigerdiagramm wird diese
Verschiebung unmittelbar deutlich. Die folgende Abbildung zeigt die Zeiger der Lastspannungen vor
und nach der Impedanzänderung im roten Zweig.
8.5 Sternpunktlast im Vierleitersystem
Im Vierleitersystem existiert ein Rückleiter, wie in nachfolgender Schaltung dargestellt:
In diesem Fall vereinfacht sich die Rechnung, da an den Verbrauchern, auch bei unsymmetrischer
Belastung, immer die jeweiligen Strangspannungen anliegen und es gilt damit Lastspannung =
Strangspannung. Die Lastströme lassen sich damit leicht über das Ohmsche Gesetz bestimmen.
Im Vierleitersystem kann keine Sternpunktverschiebung auftreten. Eine Gefahr geht jedoch von einer
Unterbrechung im Rückleiter aus. In diesem Falle gelten die Betrachtungen für das Dreileiternetz und
eine potentiell gefährliche Sternpunktverschiebung kann bei unsymmetrischer Last auftreten.
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Aufgabe:
Es sei wie im obigen Beispiel Z1 = 8, Z2 = 660° und Z3 = 830° sowie UL= 400V gegeben.
Zur Anwendung der neuen Begriffe bestimmen Sie die folgenden Größen:
a) Berechnen Sie den Betrag der Strangspannung.
b) Bestimmen Sie die komplexen Strangspannungen.
c) Berechnen Sie die Leiterströme.
d) Bestimmen Sie den Rückleiterstrom.
e) Bestimmen Sie die Gesamt-Wirkleistung.
[ Lösung:
a) U = 230,9 V
b) U1 = U, U2 = U-120°, U3 = U120°
c) 1 = 28,9A0°, 2 = 38,5A180°, 3 = 28,9A150°
d) SN = 1 + 2 + 3 = 37,5A157,4°
e) Pges = 16,9 kW ]
Man erkennt, dass die Gesamt-Wirkleistung in diesem Falle also deutlich geringer ist als bei der
Dreileiteranordnung ohne Rückleiter. Dies wird offensichtlich, wenn man die deutlich höheren
Lastspannungen der Dreileiteranordnung mit der Strangspannung der Vierleiteranordnung vergleicht.
8.6 Dreiecklast im Dreileitersystem
Bei einer Dreiecklast im Dreileitersystem liegen die Leiterspannungen direkt an der Last.
Zur Berechnung der Lastströme I12, I23, I31 und der Leiterströme I1, I2, I3 geht man folgendermaßen
vor:
Die Lastströme ergeben sich aus den Leiterspannungen aus dem Ohmschen Gesetz:
12 = Y12 U12
23 = Y23 U23
31 = Y31 U31
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Durch Anwendung der Kirchhoffschen Knotenregel erhält man:
1 = 12 31
2 = 23 12
3 = 31 23
Durch Aufsummieren dieser drei Gleichungen ergibt sich:
1 + 2 + I3 = 0
Bei symmetrischer Belastung mit Y12 = Y23 = Y31 = Y müssen auch die Lastströme symmetrisch sein
und aus den betragsmäßig gleichen Leiterspannungen folgt damit, dass die Leiterströme ebenfalls
symmetrisch sind. Es ergibt sich daher hier der gleiche Zusammenhang wie zwischen der
Leiterspannung und der Strangspannung:
IL = 3p
bei Dreieckslast im Dreileitersystem
Der Leiterstrom ist um den Faktor 3 größer als der Phasenstrom.
Aufgabe:
Es sei wie im obigen Beispiel Z1 = 8, Z2 = 660° und Z3 = 830° sowie UL= 400V gegeben.
Zur Anwendung der neuen Begriffe bestimmen Sie die folgenden Größen.
a) Bestimmen Sie die Leiterspannungen.
b) Berechnen Sie die Lastströme.
c) Bestimmen Sie die Leiterströme.
d) Bestimmen Sie die Gesamt-Wirkleistung.
[ Lösung:
a) U12 = UL-150°, U23 = UL90°, U31 = UL-30°
b) 12 = 50,0A30°; 23 =66,7A150°; 31 = 50,0A180°
c) 1 = 96,6A15°; 2 = 116,7A150°; 3 = 34,2A76,9°
d) Pges = 50,7kW ]
In diesem Falle ist die gesamte Wirkleistung um den Faktor 3 höher als bei einem
Sternpunktverbraucher im Vierleitersystem mit Rückleiter. Dies liegt daran, dass die an der Last
anliegende Spannung bei der Dreiecklast um den Faktor 3 höher ist, als bei dem
Sternpunktverbraucher im Vierleitersystem.
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9 Transformator
9.1 Problemstellung
Eine Halogenleuchte sei für 10 V und 5 W spezifiziert. Sie soll durch eine 230 V Netzspannung
versorgt werden. Wie kann das Leuchtmittel versorgt werden, ohne zerstört zu werden?
Aufgabe
Eine Möglichkeit wäre es, einen Widerstand in Reihe zu der Halogenleuchte zu schalten.
a) Bestimmen Sie den erforderlichen Widerstand.
b) Für welche Leistung muss der Widerstand ausgelegt werden?
c) Welchen Hauptnachteil hat diese Lösung?
[Lösung: a) 440 , b) 110 W ]
Eine effizientere Lösung ist die Reduzierung der Wechselspannung über einen Transformator. Im
Folgenden wird die Funktionsweise eines solchen Transformators behandelt.
9.2 Vorüberlegungen
Vor der Einführung des Transformators sollen zunächst die Betrachtungen über elektrische Spulen
erweitert werden.
9.2.1. Gegeninduktivität
Ein elektrischer Strom i durch eine Induktivität L erzeugt ein magnetisches Feld und damit einen
magnetischen Fluss Hat die Spule N Windungen, so ist des Gesamtfluss N mal so groß, wie der
Fluss, den eine einzelne Windung erzeugt. Die Induktivität L beschreibt das Verhältnis zwischen dem
fliesenden Strom i und dem auftretenden magnetischen Fluss .
L
i
Die Induktivität L wird auch als Selbstinduktivität oder
Eigeninduktivität bezeichnet, da sie nur das magnetische Feld
berücksichtigt, das die Spule selbst erzeugt hat.
Befindet sich nun eine zweite Spule (oder allgemein eine
Leiterschleife) in der Nähe der ersten Spule, so kann ein Teil des
von der ersten Spule erzeugten magnetischen Flusses auch durch
die zweite Spule treten, wie die nebenstehende Abbildung zeigt.
Man bezeichnet diesen Anteil des Flusses als verketteten Fluß.
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Zwei oder mehrere solcher Spulen heißen magnetisch gekoppelt. Im Folgenden gehen wir stets
vom Sonderfall zweier gekoppelter Spulen aus.
Fließt durch eine Spule L1 ein Strom i1, so erzeugt dieser in der gekoppelten Spule L2 einen Fluß 12.
Das Verhältnis zwischen Strom und verkettetem Fluß wird als Gegeninduktivität M bezeichnet. Es gilt:
M 12
12
i1
Umgekehrt würde natürlich auch ein Strom i2 durch die zweite Spule L2 einen verketten Fluß 21 in
der der Spule L1 erzeugen und es gilt:
M 21
21
i2
Es kann gezeigt werden, daß diese beiden Gegeninduktivitäten stets gleich groß sind. Es ist also die
Wirkung der ersten Spule auf die zweite Spule genauso groß, wie die Wirkung der zweiten Spule auf
die erste. Dieser Zusammenhang heißt magnetische Reziprozität, es gilt M = M12 = M21. Im
Folgenden werden wir die Gegeninduktivität daher nur noch mit M bezeichnen.
Der Gesamtfluß FX in einer Spule LX berechnet sich also aus dem Anteil, den die Spule selbst erzeugt
und einem Anteil, der über die zweite Spule eingekoppelt wird. Es gilt damit:
1 L1 i1 M i2
2 L2 i2 M i1
9.2.2. Kopplungs- und Streufaktor
Es ist unmittelbar verständlich, daß im Allgemeinen nicht der Gesamtfluß einer Spule auch durch die
andere Spule hindurchtritt. Das Verhältnis aus dem Fluß, der durch die zweite Spule tritt, und dem
Gesamtfluß durch die erste Spule heißt Koppelfaktor k.
k
21 12
Es gilt wieder die magnetische Reziprozität.
1 2
Der Anteil am Gesamtfluß 1, der nicht zum Koppelfluß 12 beiträgt heißt Streufluß 11. Es gilt:
1 = 12 + 11 und 2 = 21 + 22.
Um die Streuverluste zu beschreiben wird der Streufaktor = 1 - k² eingeführt.
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Für die Stärke der Kopplung werden folgende Begriffe verwendet:
k=1
k < 1
k < 0,8
k=0
ideale Kopplung
feste Kopplung
lose Kopplung
Spulen sind ungekoppelt.
Eine nahezu ideale Kopplung erreicht man, wenn man die beiden Spulen direkt übereinander wickelt.
Der Fluß der einen Spule muß dann zwangsläufig fast vollständig auch durch die andere Spule
treten.
9.3 Der Transformator als Bauteil
Transformatoren sind elektrisch betrachtet relativ komplexe Gebilde, die nicht so einfach analytisch
beschrieben werden können. Um Schaltungen mit Transformatoren in der Praxis berechnen zu
können, führt man Modelle mit verschiedenen Abstraktionsgraden ein. Für jede Anwendung dieser
Modelle muß zunächst geprüft werden, ob die Voraussetzungen für die jeweilige Vereinfachung
gegeben sind. Bei steigendem Abstraktionsgrad kann man folgende Modelle erstellen:
Zwei (oder mehrere) gut gekoppelte Spulen bezeichnet man als Transformator (Energietechnik) oder
Übertrager (Nachrichtentechnik). Der Transformator stellt ein elektrisches Zweitor mit Primär- und
Sekundärspule dar. Die folgende Abbildung zeigt einen Transformator mit beiden Spulen auf einem
gemeinsamen Kern. Gesamt-, Koppel- und Streufluß sind eingezeichnet.
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Setzt man die Induktivitäten der Spulen sowie die Gegeninduktivität in das Induktionsgesetz ein, so
ergibt sich ein Gleichungssystem mit allen Strömen und Spannungen am Zweitor:
di1
di
M 2
dt
dt
Dieses Gleichungssystem heißt auch Transformatorgleichung.
di1
di2
u2 (t ) M L2
dt
dt
u1 (t ) L1
Für sinusförmige Signale kann man das Gleichungssystem in den komplexen Bereich überführen
(Ableitung entspricht Multiplikation mit j) und man erhält folgendes Gleichungssystem für zwei
gekoppelte Spulen:
U 1 j L 1I1 j M I 2
U 2 j M I1 j L2 I 2
9.3.1. Wicklungssinn
Bei zwei gekoppelten Spulen hängt es von der Definition der Stromrichtung und von dem
Wicklungssinn der Spulen ab, ob sich der magnetische Fluß der beiden Spulen verstärkt oder
teilweise kompensiert. Dies wird durch das Vorzeichen vor der Gegeninduktivität M in den
Gleichungen berücksichtigt.
Bestimmung des Vorzeichens bei Kopplung zweier Spulen:
1. Man bestimmt die Richtung des magnetischen Flusses 1 über die Rechte-Hand-Regel
entsprechend der Definition der Stromrichtung von i1 und dem Wicklungssinn.
2. Man bestimmt die Richtung des magnetischen Flusses 2 über die Rechte-Hand-Regel,
Stromrichtung von i2 und dem zugehörigen Wicklungssinn.
3. Wenn 1 und 2 entgegengesetzt gerichtet sind, muß der Term mit M ein negatives Vorzeichen
aufweisen, sind die Flüsse gleich orientiert, so ist das Vorzeichen positiv.
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Um den Wicklungssinn eines
Transformators in einem Schaltplan zu
Kennzeinchen, werden die Enden jeder
Wicklung mit einem Punkt markiert. Dabei
wird ausgedrückt, welche Enden zum
selben Zeitpunkt dieselbe Polarität des
Stroms aufweisen.
Der linke Punkt markiert den
hineinfließenden Strom i1, der den
magnetischen Fluß 1 erzeugt.
Entsprechend der Lenz’schen Regel wird in der zweiten Spule ein Strom fließen, der einen
magnetischen Fluß 2 erzeugt, der dem ersten entgegengesetzt ist. Hieraus resultiert die dargestellte
Stromrichtung i2. Auf der rechten Seite wird entsprechend ein Punkt an dem Ende der Spule gesetzt,
an dem der Strom i2 die Spule verläßt.
Um aus einem Schaltplan das Vorzeichen vor M zu bestimmen, wenn die gekoppelten Spulen durch
einen Punkt gekennzeichnet sind, geht man folgendermaßen vor:
1. Man definiert die Stromrichtung in jeder Masche.
2. a) Wenn bei den mit dem Punkt markierten Anschlüssen entweder beide Ströme hereinfließen
oder beide Ströme herausfließen, muß das Vorzeichen vor dem M-Term das gleiche Vorzeichen
wie der L-Term haben.
oder
b) Wenn an einem mit einem Punkt markierten Anschluß der Strom hineinfließt und an dem
anderen mit einem Punkt markierten Anschluß der Strom herausfließt, muß das Vorzeichen vor
dem M-Term entgegengesetzt zu dem Vorzeichen des L-Terms sein.
Beispiel:
i1 fließt in den mit dem Punkt markierten Anschluß in die Spule hinein, während i2 aus dem anderen
mit einem Punkt markierten Anschluß herausfließt. Die M und L Terme in der Transformatorgleichung
müssen also unterschiedliche Vorzeichen aufweisen. Die oben dargestellte Konstellation ist die
Standardform eines Transformators.
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9.3.2. Vierpolersatzschaltung
Durch Einfügen eines zusätzlichen Terms jM1 – jM1 in die erste Gleichung und
jMI2 – jMI2 in die zweite Gleichung erhält man:
U1 R1 I1 j(L1 M) I1 jM (I1 I2 )
U2 R 2 I2 j(L 2 M) I2 jM (I1 I2 )
Dieser Gleichung entspricht das folgende Ersatzschaltbild:
Bei diesem Ersatzschaltbild wird der Transformator nicht mehr durch zwei magnetisch gekoppelte
Induktivitäten, sondern durch drei nicht-magnetisch gekoppelte Induktivitäten dargestellt. Man
bezeichnet dies als T-Ersatzschaltung oder Vierpol-Ersatzschaltung des Transformators. Der
Vorteil dieser Darstellungsweise ist, daß die herkömmlichen Verfahren für die AC-Netzwerkanalyse
angewandt werden können. Diese Ersatzschaltung ist eine reine Modellvorstellung, sie modelliert
lediglich die elektrischen Eigenschaften der beiden Maschen. Das Modell ist physikalisch nicht
anschaulich und technisch so auch nicht realisierbar, die Übertragung von Energie wird damit z.B.
nicht erfaßt. Die Ersatzschaltung gilt nur für belastete Transformatoren.
L1 - M und L2 - M heißen Längsinduktivitäten (oder Streuinduktivitäten) und M nennt man in
diesem Zusammenhang auch Querinduktivität.
Die folgende Abbildung zeigt den Zusammenhang zwischen Streu- und Querinduktivitäten
anschaulich anhand der gekoppelten Länge der beiden Spulen.
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9.3.3. Linearer Transformator
Ein Transformator wird linear genannt, wenn die Permeabilität µ des Eisenkernes, auf den die Spulen
gewickelt sind, über die im Betrieb auftretenden Spannungen und Ströme als konstant angenommen
werden kann. Es handelt sich beim linearen Transformator um ein vereinfachtes Modell. In der Praxis
muß geprüft werden, ob die Voraussetzungen zum Einsatz dieses Modells gegeben sind.
Primärspule:
Sekundärspule:
Spule mit N1 Windungen, an die die Energiequelle u1 angeschlossen wird
Spule mit N2 Windungen, die den Verbraucher ZL speist
R1 und R2 stellen die unerwünschten Verluste der Spulen aufgrund des Drahtwiderstandes und
anderer Verlustarten dar.
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9.3.4. Verlustloser und streuungsfreier Transformator
Ein Transformator heißt verlustlos, wenn die Verluste durch den Leitungswiderstand der Spulen und
durch Wirbelströme im Kern vernachlässigt werden können. Die in dem Ersatzschaltbild dargestellten
Widerstände R1 und R2 können damit entfallen.
Ein Transformator heißt streuungsfrei, wenn der Streufluß vernachlässigbar und damit der
Kopplungsfaktor gleich 1 ist.
Aus k = 1 folgt:
M k L1 L 2 L1 L 2
für den streuungsfreien Transformator
Die Induktivität einer Spule ist proportional zu dem Quadrat der Windungen: L ~ N²
Für zwei Spulen auf demselben Eisenkern ergibt sich damit:
2
L1 N12 N1
ü² wobei ü = N1/N2 das Übertragerverhältnis genannt wird.
L 2 N22 N2
Häufig können industrielle Transformatoren näherungsweise als verlustlos und streuungsfrei
angesehen werden. Für diesen Spezialfall sollen die folgenden Zusammenhänge untersucht werden:
Stromverhältnis Ausgang/Eingang = 2/1
Spannungsverhältnis Ausgang/Eingang = U2/U1
Eingangsadmittanz Y1 = 1/U1
Stromverhältnis Ausgangsstrom zu Eingangsstrom
Für den Spezialfall des verlustlosen und streuungsfreien Transformators ergibt sich das folgende
vereinfachte T-Ersatzschaltbild:
Hierbei ist
und damit folgt durch Anwendung der Stromteilerregel:
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I 2 I1
j M
j M
I1
Z L j M j L2 M
Z L j L2
Man erkennt unmittelbar, daß für das Verhältnis 2 / 1 gilt:
frequenzabhängig
belastungsabhängig
komplex
Für eine reelle Last ZL = RL ergibt sich als Ortskurve des Verhältnisses ein Halbkreis.
Verhältnis Ausgangsspannung zu Eingangsspannung
Das Verhältnis der Spannung U2 zu U1 ergibt sich aus der Transformatorgleichung.
U1 R1 jL1 I1 jM I2
U2 jM I1 R 2 jL 2 I2
Für den Spezialfall des verlustlosen und streuungsfreien Transformators vereinfacht sich mit
R1 = R2 = 0 und
dieses Gleichungssystem zu:
U 1 j L1 I 1 j L1L2 I 2
U 2 j L1L2 I 1 j L2 I 2
Damit ergibt sich das Spannungsverhältnis zu:
LL I L I
U 2 j L1L2 I 1 j L2 I 2
1 2 1 2 2
U1
j L1 I 1 j L1L2 I 2 L1 I 1 L1L2 I 2
Aufgabe:
Setzen Sie die Gleichung für 2 aus dem Verhältnis der Ströme in die Gleichung für das
Spannungsverhältnis ein und leiten Sie damit die folgende Gleichung her.
U2
U1
L2
L1
Setzt man den oben dargestellten Zusammenhang L1/L2 = N1²/N2²=ü² ein, so ergibt sich:
Für den verlustlosen und streuungsfreien Transformator gilt:
U 2 N2 1
U 1 N1 ü
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Die Ausgangsspannung verhält sich zur Eingangsspannung wie das Verhältnis von
Sekundärwindungszahl zu Primärwindungszahl.
Aus diesem Zusammenhang ergibt sich die Namensgebung für den Transformator. Mit ihm können
entsprechend des Übertragerverhältnisses Spannungen herauf- und heruntertransformiert werden
.
Das Spannungsverhältnis ist dabei
unabhängig von der Frequenz
unabhängig von der Last ZL und
die Ausgangsspannung ist stets in Phase mit der Eingangsspannung
Bestimmung der Eingangsadmittanz
Wenn Schaltungen mit Transformatoren ausgelegt werden, muß bekannt sein, welche Impedanz der
Transformator in Verbindung mit der angeschlossenen Last hat. Der Transformator wird dabei
zusammen mit seiner Last wie ein zweipoliges Bauteil mit einer Ersatzadmittanz betrachtet. Es bietet
sich dazu an, die Eingangsadmittanz Y1 = 1/U1 zu berechnen.
Die Eingangsadmittanz ergibt sich mit U2/U1 = 1/ü und U2 = ZL 2 zu:
Y1
I1
I
I1
1
I
1
1
U 1 ü U 2 ü I 2 Z L ü Z L I 2
Für das Verhältnis der Ströme des verlustlosen und streuungsfreien Transformators gilt:
I 1 Z L j L2
I2
j L1L2
Damit folgt für die Eingangsadmittanz:
Y1
L2
Z L j L2
j L2
1
ZL
1
j L1L2 ü Z L j L1L2 ü Z L j L1L2 ü Z L j L1L2 ü
L1 ü Z L
Aus den Gleichungen für den verlustlosen und streuungsfreien Transformator ergibt sich:
ü
L1
L2
Durch Einsetzen des Übertragerverhältnisses ergibt sich für die
Eingangsadmittanz:
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µ
L1
ü2ZL
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Y1
1
1
2
j L1 ü Z L
Dies entspricht der nebenstehend dargestellten Parallelschaltung der Induktivität L1 mit der um den
Faktor ü² multiplizierten Lastimpedanz. Der dargestellte Strom Iµ heißt Magnetisierungsstrom.
9.4 Idealer Transformator
Der ideale Transformator stellt die höchste Abstraktionsstufe
dar. Bei ihm wird lediglich das Übertragungsverhältnis
modelliert, alle anderen Eigenschaften, inklusive der
Spuleninduktivitäten finden in diesem Modell keine
Berücksichtigung. Nebenstehend ist das Schaltzeichen des
idealen Transformators abgebildet.
Der bei dem verlustlosen und streuungsfreien Transformator
eingeführte Magnetisierungsstrom ergibt sich zu:
I
U1
j L1
Wenn die Impedanz von jL1 sehr viel größer als ü²ZL ist, kann dieser Magnetisierungsstrom
vernachlässigt werden. Man spricht in diesem Falle von einem idealen Transformator.
Damit ergeben sich für den idealen Transformator die folgenden weiteren Vereinfachungen:
Y1
1
Z1 ü2 Z L
ü Z L
2
Am Eingang des Transformators wirkt eine mit dem Faktor ü² multiplizierte Lastimpedanz.
Es findet eine Impedanztransformation von ZL zu ü2ZL statt, eine Signalquelle wird nun mit der Last
ü2ZL belastet. Dies wird beispielsweise in der Nachrichtentechnik ausgenutzt, um eine breitbandige
Leistungsanpassung durchzuführen.
Mit U2 = ZL 2 und U1 = ü U2 folgt wegen Y1 = 1 / U1 :
Y1
I1
1
I
I
2
2 2 2
U 1 ü Z L ü U 2 ü U 1
Es gilt bei einem idealen Transformator damit 2 / 1 = ü oder:
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I 2 U 1 N1
ü
I 1 U 2 N2
Das Verhältnis der Ströme ist gleich dem Kehrwert des Verhältnisses der Spannungen.
Im Folgenden finden Sie eine Übersicht der möglichen Transformationen am idealen Transformator.
Zi
I2
I1
U0
Zi / ü2
Zi
U2 ZL
U1
ü I1
I2 / ü
I1
ü2 ZL
U0
üU2
U0 / ü
ZL
U2
ü:1
auf Sekundärseite bezogen
auf Primärseite bezogen
Reale Größe
auf Primärseite
bezogen
auf Sekundärseite
bezogen:
Z
ü2Z
Z/ü2
Y
Y/ ü2
ü2Y
C
C/ü2
ü2C
L
Lü2
L/ü2
/ü
ü
U
üU
U/ü
Beispiel:
Es sei: G1 = 10 mS, G2 = 200 mS, C1 = 20 mS, C2 = 400 mS, L = 2 unf k = 100 mA. Der ideale
Transformator habe einen Übertragerverhältnis von ü = 10. Berechnen Sie die Spannung UC.
C1
L
Ik
G2
G1
U1
U2
UC
C2
ü :1
idealer Trafo
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Lösung:
1. Da es sich um einen idealen Transformator handelt, kann die Impedanztransformation angewandt
werden.
2. Man bezieht alle Größen auf die Primärseite. Impedanzen werden dazu mit ü² multipliziert
(entsprechend Leitwerte durch ü² geteilt) und Spannungen mit ü multipliziert. Damit ergibt sich
folgendes Ersatzschaltbild:
C1
ü2L
Ik
üUC
G1
U1
G2/ü
2
2
C2/ü
3. Unter Anwendung der Methoden der AC-Netzwerkanalyse wird die gesuchte Größe berechnet. Hier:
z.B. Umwandlung von Ik und G1 in eine lineare Spannungsquelle, Zusammenfassung von Elementen und
Anwendung der Spannungsteilerregel.
a) Quellenumwandlung
R1
C1
ü2L
Uq
üUC
U1
G2/ü
2
2
C2/ü
Uq = Ik / G1 = 10 V
R1 = 100
b) Vereinfachung
Z1
Uq
Z2
üUC
Z1 = R1 + 1/jC1 + jü²L = 100 –j 50 + j 200 = 100 + j 150
Y2 = G2/ü² + jC2/ü² = 2 mS + j 4 mS Z2 = 100 – j 200
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c) Bestimmung der Spannung über Spannungsteilerregel
ü UC = Uq Z2 / ( Z1 + Z2 ) = 10 V (100 – j 200 200 – j 50 20/17 (6-7j) V
UC = 2/17 (6-7j) V = 1,085V49,4°
9.5 Leistungsanpassung
Übertrager werden häufig in der Nachrichtentechnik zur Leistungsanpassung einer Quelle mit einer
bestimmten Innenimpedanz an eine gegebene Last eingesetzt. Diese Anwendung wird nachfolgend
am Beispiel des idealen Transformators vorgestellt.
9.5.1. Vollständige Anpassung
Es sei eine Quelle U0 mit der Innenimpedanz Zi und einer Last ZL vorgegeben. Durch den Einsatz
eines idealen Übertragers soll Leistungsanpassung hergestellt werden.
Bezieht man die Last auf die Primärseite des idealen
Übertragers, so herrscht Leistungsanpassung, wenn
gilt:
ü² ZL = Zi*
Für den Sonderfall einer ohmschen Last und eines
ohmschen Innenwiderstandes ergibt sich unmittelbar:
ü² RL = Ri oder entsprechend das
Übertragerverhältnis bei Leistungsanpassung:
ü
Ri
RL
Die maximale Leistung beträgt dann PL, max = U0² / 4Ri
Die Forderung für Leistungsanpassung läßt sich aber
im Allgemeinen nicht erfüllen, wenn Zi und ZL komplex und fest vorgegeben sind.
Aus der Bedingung ü 2 ZL Zi folgt ü 2 (R L jX L ) (R i jX i )*
*
Durch Gleichsetzen von Real- und Imaginärteil ergeben sich daraus die folgenden zwei Bedingungen:
ü2RL = Ri
und
ü2XL = Xi
Das läßt sich nur erfüllen, wenn XL oder Xi noch variiert werden kann, da man mit ü nur einen
Freiheitsgrad hat.
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9.5.2. Übertrageranpassung
Wenn Zi und/ oder ZL komplex sind, ist also prinzipiell keine vollständige Leistungsanpassung
möglich.
Man kann zeigen, daß bei gegebenem Zi und ZL die maximale Wirkleistung PL in ZL genau dann
umgesetzt wird, wenn das Übertragerverhältnis so gewählt wird, daß gilt:
ü
Zi
ZL
Aufgabe:
Bestimmen Sie für gegebene Zi = Ri + j Xi und ZL = RL+jXL zunächst die Spannung über RL in
Abhängigkeit von ü. Stellen Sie anschließend die Gleichung für die Wirkleistung in RL über
P = URL² / RL in allgemeiner Form auf. Zur Vereinfachung überlegen Sie, welcher Term minimal oder
maximal sein muß, damit P maximal wird und bestimmen anschließend diesen Punkt durch
Nullsetzen der Ableitung. Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit obiger Formel.
Diese Anpassung führt zwar auf eine geringere Leistung als bei vollständiger Anpassung aber
dennoch kann ein Vielfaches der Wirkleistung in dem Lastwiderstand umgesetzt werden, als es bei
einer direkten Verbindung ohne Transformator der Fall ist.
Aufgabe:
In der folgenden Schaltung sei Ri = 20, R2 = 15k, Li = 200mH, U0 = 60V, f = 50Hz gegeben.
a) Es sei: C0 = 285nF. Wie groß ist ü für maximale Leistung an R2?
Li
Ri
R2
U2
U1
U0
C0
ü :1
idealer Trafo
b) Wie groß müssen ü und CX für vollständige Anpassung sein?
Li
U0
Ri
R2
U2
U1
CX
ü:1
idealer Trafo
c) Wie groß ist die Leistung in der folgenden Schaltung an R2, wenn man keinen Trafo benutzt?
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Li
Ri
R2
U0
C0
[ Lösung: a) PR2 = 32,5 W bei ü = 0,0594; b) ü = 0,0365 und CX = 67,5 nF; c) PR2 = 154,8 mW ]
Man erkennt, dass sich eine erheblich größere Wirkleistung erzielen läßt als ohne Übertrager.
Nachfolgend ist der Verlauf der Leistung für Schaltung a) dargestellt.
Übertrageranpassung
2
P at R in W
40
Leistungsmaximum bei
Übertrageranpassung mit
20
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
ü
Hinweis: Dieses Skript ist nur für die Teilnehmer der Vorlesung "Elektrotechnik II" an der USST
Shanghai konzipiert. Eine weitergehende Verbreitung, Veröffentlichung oder sonstige Verarbeitung
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