Aufgabenblatt 7 - Elektrodynamik WS 08/09 Abgabe: Freitag, 5.12

Aufgabenblatt 7 - Elektrodynamik WS 08/09
Abgabe: Freitag, 5.12.2008
Prof. Dr. W. Hofstetter - Institut für Theoretische Physik, Universität Frankfurt
Übungsleitung: Ulf Bissbort
http://itp.uni-frankfurt.de/quantum/teaching/Edynamik08
Aufgabe 18: Kugelflächenfunktionen (7 Pkte)
Die Kugelflächenfunktionen wurden in der Vorlesung wie folgt definiert:
s
2l + 1 (l − m)! m
Yl,m (θ, ϕ) =
P (cos(θ)) eimϕ
4π (l + m)! l
Dabei bezeichnet Plm (x) die assoziierten Legendrepolynome (siehe Skript). Diese bilden auf dem
Intervall [−1, 1] ein reelles, vollständiges, orthogonales Funktionensystem.
a) (2 Pkte) Es sei r = |(x, y, z)| = |(r sin(θ) cos(ϕ), r sin(θ) sin(ϕ), r cos(θ)))|. Drücken Sie die
Größen rl Ylm (θ, ϕ) für l = 0, 1, 2 und alle möglichen zugehörige m durch die kartesischen
Koordinaten x, y, z aus.
b) (2 Pkte) Die sphärischen Multipolmomente qlm wurden in der Vorlesung als
Z
ql,m = d3 r0 ρ(r0 ) r0l Ylm (θ0 , ϕ0 )
(1)
definiert. Drücken Sie die neun kartesischen Komponenten des Quadrupoltensors explizit
durch die fünf sphärischen Komponenten ql=2,m aus.
c) (2 Pkte) Bestimmen Sie alle Multipolmomente der Ladungsverteilung ρ(r0 ) = ρr (r0 )·ρΩ (θ0 , ϕ0 )
mit
ρΩ (θ0 , ϕ0 ) = sin(θ0 ) cos(θ0 ) cos(ϕ0 )
ρr (r0 ) = ρ0
1 − (r0 /R)2
Θ(R − r0 ).
r04
(2)
(Hinweis: Diese Aufgabe ist mit minimalem expliziten Rechnen zu lösen. Drücken Sie den
Winkelanteil durch Kugelflächenfunktionen aus und verwenden Sie deren Orthogonormalität.)
d) (1 Pkt) Wie sieht das Potential dieser Ladungsverteilung für r > R aus?
Aufgabe 19: Elektrischer Dipol im Feld einer Punktladung (9 Pkte)
Im Ursprung sitze eine Punktladung Q, im Abstand d von dieser befinde sich ein idealer
(elektrischer) Dipol mit Dipolmoment p0 auf der z-Achse. Der Winkel zwischen dem Dipolmoment
und der z-Achse sei θ.
a) (1 Pkt) Drücken Sie die Energie dieses Systems als Funktion von θ und d aus. Wählen Sie den
Nullpunkt des Potentials so, dass die Energie verschwindet wenn der Dipol unendlich weit
entfernt ist.
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b) (2 Pkte) Bestimmen Sie die Kraft, sowie das Drehmoment auf den Dipol.
c) (2 Pkte) Der Dipol stehe Anfangs im Winkel θa = π/2 im Abstand da vom Ursprung. Berechnen Sie die benötigte Arbeit für folgende Prozesse auf der z-Achse:
(a) Der Dipol wird bei θ = π/2 bis zum Abstand de (< da ) an die Ladung herangebracht
und dann in den Winkel θe = π gebracht.
(b) Der Dipol wird zuerst aus dem Anfangswinkel θa = π/2 in den Winkel θ = π gebracht
und dann bis zum Abstand de (< da ) an die Ladung herangebracht.
d) (3 Pkte) Im Folgenden sei die Ladung Q im Ursprung fixiert, der Dipol habe die Masse m
und das Trägheitsmoment J. Bestimmen Sie im Rahmen der Lagrange-Mechanik die Bewegungsgleichung für einen solchen Dipol, der sich nur entlang der z-Achse bewegen und den
Winkel θ beliebig einstellen kann.
e) (1 Pkte) Bei festem Abstand d kann der Dipol Schwingungen ausführen. Bestimmen Sie die
Frequenz dieser Schwingungen für kleine Auslenkungen vom Energieminimum als Funktion
von d.
Hinweis: Betrachten Sie nur den harmonischen Term.
Aufgabe 20: Biot-Savart Gesetz (4 Pkte)
In der x-y-Ebene liege ein quadratisch-förmiger Leiter mit Seitenlänge L und Mittelpunkt im Ursprung. Durch ihn fließe der
Strom I in mathematisch positive Richtung. Berechnen Sie das
Magnetfeld B(x = 0, y = 0, z) (vektoriell) auf der z-Achse.
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