Wahrscheinlichkeitstheorie - Sommersemester 2017

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Stochastik für Mathematiker
Teil 2: Wahrscheinlichkeitstheorie
Sommersemester 2017
Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff
TU Bergakademie Freiberg
Fakultät für Mathematik und Informatik
Stand: 12. Juli 2017
TU Bergakademie Freiberg
Wahrscheinlichkeitstheorie
Sommersemester 2017
0 Organisatorisches
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Informationen
Vorlesung:
Dienstag
7:30-9:00
Mittwoch ungerade Wochen 14:00-15:30
Lesender: Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff
PRÜ-1103
PRÜ-1103
Kontaktdaten: http://www.mathe.tu-freiberg.de/sto/
mitarbeiter/hans-joerg-starkloff
Website zur Vorlesung: http://www.mathe.tu-freiberg.de/wt
Übung: Mittwoch, 9:15-10:45, PRÜ-1103
Übungsleiter: Dr. Udo Lorz
Kontaktdaten: http:
//www.mathe.tu-freiberg.de/dek/mitarbeiter/udo-lorz
Website zur Übung: http://www.mathe.tu-freiberg.de/wt-ue
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Sommersemester 2017
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Literatur
Bauer, H.: Wahrscheinlichkeitstheorie.
Verlag Walter de Gruyter, 5. Auflage, 2002. (E-Book TUBAF, 2011)
Hesse, C.: Wahrscheinlichkeitstheorie – Eine Einführung mit
Beispielen und Anwendungen.
Vieweg-Teubner-Verlag, 2. Auflage, 2009. (1. Auflage TUBAF)
Klenke, A.: Wahrscheinlichkeitstheorie.
Springer-Verlag, 3. Auflage, 2013. (E-Book TUBAF)
Brokate, M., Henze, N., Hettlich, F., Meister, A.,
Schranz-Kirlinger,G., Sonar,T.: Grundwissen Mathematikstudium –
Höhere Analysis, Numerik und Stochastik.
Springer-Verlag, 2016, Kapitel 19-24. (E-Book TUBAF)
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1 Grundbegriffe
1.1 Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten
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1.1 Anmerkungen
Die Wahrscheinlichkeitstheorie liefert Methoden zur mathematischen
Untersuchung von Versuchen, Beobachtungen, Situationen, etc., bei
denen man die Ergebnisse nicht genau (vorher-)berechnen kann, aber
eine Quantifizierung der vorhandenen Unsicherheit möglich und
nützlich ist.
Eine Möglichkeit dieser Unsicherheitsquantifizierung besteht in der
Nutzung stochastischer Modelle (oft auch in Verbindung mit
statistischen Modellen). Dabei werden Wahrscheinlichkeiten als
Maßzahlen für die Chancen des Eintretens von bestimmten zufälligen
Ereignissen und darauf aufbauende Konzepte genutzt.
Der Wahrscheinlichkeitsbegriff ist dabei aus dem Begriff der relativen
Häufigkeit für das Eintreten von zufälligen Ereignissen bei
unabhängigen und gleichartigen Wiederholungen von Zufallsversuchen
entstanden.
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1 Grundbegriffe
1.1 Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten
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1.1 Anmerkungen (Fortsetzung)
Die Einbettung der Wahrscheinlichkeitstheorie in die Mathematik
erfolgt durch ihre Grundlegung mit Hilfe der Maß- und
Integrationstheorie und durch vielfältige Verflechtungen mit anderen
mathematischen Teilgebieten.
Dies wurde erstmalig umfassend und konsequent 1933 in dem Buch
von A. N. Kolmogorow (Kolmogoroff, Kolmogorov)
Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung“ realisiert.
”
Das mathematische Modell eines zufälligen Versuchs ist ein
Wahrscheinlichkeitsraum.
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1 Grundbegriffe
1.1 Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten
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1.2 Definitionen
Sei pΩ, F, Pq ein Wahrscheinlichkeitsraum.
Die Elemente ω P Ω werden Elementarereignisse genannt.
Die messbaren Mengen A P F heißen (zufällige) Ereignisse.
Ein Ereignis A P F tritt ein, falls eines seiner Elementarereignisse
ω P A eintritt.
PpAq P r0, 1s ist die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des
Ereignisses A P F .
Das Ereignis ∅ P F wird unmögliches Ereignis genannt. Es gilt
Pp∅q “ 0 .
Das Ereignis Ω P F heißt sicheres Ereignis. Es gilt PpΩq “ 1.
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1.1 Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten
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1.3 Beispiel (Einmaliges Würfeln)
Ω “ t1, 2, 3, 4, 5, 6u ,
F “ PpΩq
Das Ereignis A “ t2, 4, 6u tritt ein, wenn eine gerade Zahl gewürfelt wird.
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1.1 Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten
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1.4 Beispiel (Außentemperatur in ˝ C)
Ω “ r´100, 100s,
F “BXΩ
Das Ereignis A “ p16, 22q tritt ein, wenn eine (angenehme) Temperatur
zwischen 16˝ C und 22˝ C herrscht.
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1.1 Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten
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1.5 Definitionen
Sei pΩ, F, Pq ein Wahrscheinlichkeitsraum und A, B P F .
Das Ereignis Ac P F wird das zum Ereignis A P F komplementäre
(oder auch entgegengesetzte) Ereignis genannt. Es tritt genau dann
ein, wenn A nicht eintritt.
Das Ereignis A Y B tritt ein, wenn das Ereignis A oder das
Ereignis B oder beide Ereignisse A und B eintreten. Man sagt,
das Ereignis A oder B tritt ein.
Das Ereignis A X B tritt ein, wenn sowohl das Ereignis A als auch
das Ereignis B eintritt. Man sagt, das Ereignis A und B tritt ein.
Es gelte A X B “ ∅ . Dann heißen die Ereignisse A und B
unvereinbar, denn sie können nicht zugleich eintreten.
Es gelte A Ď B . Dann sagt man aus A folgt B oder das Ereignis
A zieht das Ereignis B nach sich.
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1.1 Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten
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1.6 Beispiele (Einmaliges Würfeln, vgl. Beispiel 1.3)
Das komplementäre Ereignis Ac “ t1, 3, 5u besteht darin, dass eine
ungerade Zahl gewürfelt wird.
Sei B “ t1, 2u . Dann folgt
A Y B “ t1, 2, 4, 6u und A X B “ t2u .
Das Ereignis A oder B tritt ein, wenn eine der Zahlen 1, 2, 4 oder
6 gewürfelt wird und das Ereignis A und B tritt ein, wenn eine
Zwei gewürfelt wird.
Sei C “ t4u . Dann gilt
t4u “ C Ď A “ t2, 4, 6u .
Aus dem Ereignis, dass eine Vier gewürfelt wird, folgt, dass eine
gerade Zahl gewürfelt wird.
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1.1 Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten
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1.7 Beispiele (Außentemperatur in ˝ C, vgl. Beispiel 1.4)
Sei B “ r´100, 0q , also das Ereignis Frost.
Dann ist A Y B “ p16, 22q Y r´100, 0q das Ereignis, dass eine
angenehme Temperatur oder Frost herrscht.
Da A X B “ ∅ , sind die Ereignisse angenehme Temperatur und
Frost miteinander unvereinbar.
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1.1 Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten
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1.8 Anmerkungen
Jede Zuordnung von Wahrscheinlichkeiten zu den zufälligen
Ereignissen, die den Axiomen der Maßtheorie (siehe unten) genügt, ist
mathematisch korrekt, aber nicht immer ein gutes mathematisches
Modell für reale Versuche oder Situationen.
Erinnerung an die Axiome:
˜
P
Pp∅q “ 0 ; PpΩq “ 1 ;
¸
8
8
ď
ÿ
Ai “
P pAi q für Ai P F, Ai X Aj “ ∅ pi “ j, i, j P Nq .
i“1
i“1
Einige Folgerungen:
P pAc q “ 1 ´ P pAq ; A Ď B ñ PpAq ď PpBq ; 0 ď PpAq ď 1 ;
P pA Y Bq “ PpAq ` PpBq ´ P pA X Bq .
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1.1 Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten
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1.9 Anmerkungen
Nicht immer, z.B. bei komplexen stochastischen Modellen, wird ein
Wahrscheinlichkeitsraum explizit konstruiert oder angegeben.
Ausgangspunkt für theoretische Überlegungen kann auch die Menge
der zufälligen Ereignisse zu einem Zufallsversuch sein. Die
grundlegende wesentliche Eigenschaft von zufälligen Ereignissen
besteht darin, dass man nach der Durchführung des Zufallsversuches
eindeutig entscheiden kann, ob das zufällige Ereignis eingetreten ist
oder nicht. Ausgestattet mit den besonderen“ zufälligen Ereignissen
”
(∅, Ω) und den Operationen (Komplementbildung, Vereinigung und
Durchschnitt) besitzt die Menge der zufälligen Ereignisse zu einem
Zufallsversuch die Struktur einer Booleschen Algebra.
Nach einem Satz von Stone kann man zu jeder Ereignisalgebra eine
isomorphe Mengenalgebra finden, folglich kann man zufällige
Ereignisse immer durch Mengen repräsentieren, so wie das in unseren
Axiomen geschehen ist.
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1.1 Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten
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1.10 Beispiel (Einmaliges Würfeln mit Gewinnbeträgen)
F “ PpΩq
Ω “ t1, 2, 3, 4, 5, 6u ,
Augenzahl
Gewinn Spieler 1
Gewinn Spieler 2
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1
1
2
3
3
2
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4
5
4
4
6
6
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1.2 Klassische Wahrscheinlichkeitsräume
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1.11 Definition
Ein Wahrscheinlicheitsraum pΩ, F, Pq heißt
klassischer Wahrscheinlichkeitsraum bzw.
Laplacescher Wahrscheinlichkeitsraum,
falls
(1) 0 ă card pΩq ă 8 ,
(2) F “ PpΩq und
(3) für alle ω P Ω gilt Pptωuq “
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1
cardpΩq
.
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1.2 Klassische Wahrscheinlichkeitsräume
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1.12 Aufgabe
Sei pΩ, F, Pq ein klassischer Wahrscheinlichkeitsraum. Zeigen Sie, dass
dann für jedes Ereignis A Ď Ω gilt
PpAq “
Anzahl der für das Ereignis A günstigen Fälle“
card pAq
“”
.
card pΩq
Anzahl der möglichen Fälle“
”
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1.2 Klassische Wahrscheinlichkeitsräume
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1.13 Anmerkung
Die Anzahl der für das Ereignis A günstigen Fälle kann in der Regel
durch kombinatorische Überlegungen ermittelt werden.
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1.3 Bedingte Wahrscheinlichkeiten
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1.14 Definition
Sei pΩ, F, Pq ein Wahrscheinlichkeitsraum und B P F ein Ereignis mit
PpBq ą 0 . Dann wird
PpA |Bq :“
PpA X Bq
PpBq
für A P F
die bedingte Wahrscheinlichkeit des zufälligen Ereignisses A unter der
Bedingung B bzw. kurz von A unter B bzw. von A gegeben B
genannt.
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1.3 Bedingte Wahrscheinlichkeiten
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1.15 Satz
Sei pΩ, F, Pq ein Wahrscheinlichkeitsraum und B ein Ereignis mit
PpBq ą 0 .
(1) Dann ist Pp ¨ |Bq ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf dem messbaren
Raum pΩ, Fq .
(2) Insbesondere gilt die Additionsformel
PpA1 Y A2 |Bq “ PpA1 |Bq ` PpA2 |Bq ´ PpA1 X A2 |Bq .
(3) Seien A1 , . . . , An P F, n “ 2, 3, . . . , mit PpA1 X . . . X An´1 q ą 0 .
Dann gilt die Multiplikationsformel
PpA1 X . . . X An q “
“ PpA1 q PpA2 |A1 q PpA3 |A1 X A2 q . . . PpAn |A1 X . . . X An´1 q .
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1.3 Bedingte Wahrscheinlichkeiten
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1.16 Beispiel (Multiplikationsformel)
In einer Urne befinden sich zehn Kugeln, davon sieben rote und drei
schwarze. Es werden vier Kugeln ohne Zurücklegen entnommen. Wie groß
ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis R , dass alle vier gezogenen
Kugeln rot sind ?
Zur Lösung dieser Aufgabe definieren wir die Ereignisse
R . . . alle vier gezogenen Kugeln sind rot und
Ri . . . die i-te gezogene Kugel ist rot, i “ 1, 2, 3, 4,
und erhalten
PpRq “ PpR1 X R2 X R3 X R4 q
“ PpR1 q ¨ PpR2 |R1 q ¨ PpR3 |R1 X R2 q ¨ PpR4 |R1 X R2 X R3 q
7 6 5 4
1
“
¨ ¨ ¨ “ “
p 16.67% .
10 9 8 7
6
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1.3 Bedingte Wahrscheinlichkeiten
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1.17 Satz (Formel der totalen Wahrscheinlichkeit, Zerlegungssatz)
Sei pΩ, F, Pq ein Wahrscheinlichkeitsraum, ∅ “ I Ď N eine nichtleere,
höchstens abzählbare Indexmenge und
Ť pBn qn PI Ď F eine höchstens
abzählbare Zerlegung von Ω , d.h.
Bn “ Ω und Bi X Bj “ ∅ für
nPI
alle i ‰ j mit PpBn q ą 0 für alle n P I . Dann gilt für A P F
ÿ
PpAq “
PpA |Bn q PpBn q .
n PI
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1.3 Bedingte Wahrscheinlichkeiten
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1.18 Beispiel
Drei verschiedene Firmen liefern gleichartige Teile an einen
Automobilkonzern. Der Anteil der drei Firmen beträgt 60%, 30% bzw.
10% am gesamten Lieferumfang. Die Ausschussquoten der drei Zulieferer
betragen 1%, 2% bzw. 3% . Wie groß ist die Ausschussquote insgesamt?
Zur Lösung dieser Aufgabe definieren wir folgende Ereignisse
A . . . Teil ist Ausschuss
Fn . . . Teil wurde von der n-ten Firma geliefert, n “ 1, 2, 3 .
PpAq “
3
ÿ
PpA |Fn q PpFn q “
n“1
“ 0.01 ¨ 0.6 ` 0.02 ¨ 0.3 ` 0.03 ¨ 0.1 “ 0.015 “
p 1.5%
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1.3 Bedingte Wahrscheinlichkeiten
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1.19 Aufgabe
Konstruieren Sie für das Beispiel 1.18 einen geeigneten
Wahrscheinlichkeitsraum.
Geben Sie die Ereignisse A und Fn , n “ 1, 2, 3 , explizit an.
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1.3 Bedingte Wahrscheinlichkeiten
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1.20 Satz (Bayessche Formel, Satz von Bayes)
Sei pΩ, F, Pq ein Wahrscheinlichkeitsraum, ∅ “ I Ď N eine nichtleere,
höchstens abzählbare Indexmenge und
Ť pBn qn PI Ď F eine höchstens
abzählbare Zerlegung von Ω , d.h.
Bn “ Ω und Bi X Bj “ ∅ für
n PI
alle i ‰ j , mit PpBn q ą 0 für alle n P I .
Dann gilt für A P F mit PpAq ą 0
PpBn |Aq “
PpA |Bn q PpBn q
PpA |Bn q PpBn q
“ ř
PpA |Bi q PpBi q
PpAq
für n P I .
i PI
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1.3 Bedingte Wahrscheinlichkeiten
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1.21 Anmerkung
Man nennt in diesem Zusammenhang auch
P pBn q
P pBn |Aq
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a-priori-Wahrscheinlichkeiten und
a-posteriori-Wahrscheinlichkeiten.
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1.3 Bedingte Wahrscheinlichkeiten
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1.22 Beispiel (vgl. Beispiel 1.18)
Wie groß ist die bedingte Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Teil von der
n-ten Firma geliefert wurde unter der Bedingung, dass es Ausschuss ist ?
PpFn |Aq “
PpA |Fn q PpFn q
PpA |Fn q PpFn q
“ 3
,
ř
PpAq
P pA |Fi q PpFi q
n “ 1, 2, 3
i“1
0.01 ¨ 0.6
“
0.015
0.02 ¨ 0.3
PpF2 |Aq “
“
0.015
0.03 ¨ 0.1
PpF3 |Aq “
“
0.015
PpF1 |Aq “
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2
“
p 40%
5
2
“
p 40%
5
1
“
p 20%
5
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1 Grundbegriffe
1.4 Unabhängigkeit
| 27 |
1.23 Definition
Sei pΩ, F, Pq ein Wahrscheinlichkeitsraum. Zwei Ereignisse A, B P F
heißen unabhängig bezüglich des Wahrscheinlichkeitsmaßes P (oder
stochastisch unabhängig), falls gilt
PpA X Bq “ PpAq ¨ PpBq .
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1.4 Unabhängigkeit
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1.24 Behauptung
Für unabhängige Ereignisse A und B mit PpAq ą 0 bzw. PpBq ą 0
gilt
PpB|Aq “ PpBq bzw. PpA|Bq “ PpAq .
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1.4 Unabhängigkeit
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1.25 Satz
Sei pΩ, F, Pq ein Wahrscheinlichkeitsraum und A, B P F zwei
Ereignisse. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent
(1) A und B sind unabhängig,
(2) A und B c sind unabhängig,
(3) Ac und B sind unabhängig,
(4) Ac und B c sind unabhängig.
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1.4 Unabhängigkeit
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1.26 Definitionen
Sei pΩ, F, Pq ein Wahrscheinlichkeitsraum und I ‰ ∅ eine beliebige
Indexmenge.
Eine Familie pAi qiPI Ď F von Ereignissen heißt vollständig
unabhängig, falls für jede nichtleere, endliche Teilmenge In Ď I gilt
˜
¸
č
ź
P
Ai “
PpAi q .
iPIn
iPIn
Ist I “ t1, . . . , nu so werden die Ereignisse A1 , . . . , An P F
vollständig unabhängig genannt.
Für I “ N spricht man von einer vollständig unabhängigen Folge
pAi qiPN Ď F von Ereignissen.
Gilt lediglich PpAi X Aj q “ PpAi q ¨ PpAj q für alle i, j P I, i ‰ j ,
dann heißt die Familie pAi qiPI Ď F von Ereignissen paarweise
unabhängig.
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1.4 Unabhängigkeit
| 31 |
1.27 Beispiel
Wir betrachten den zweimaligen Wurf mit einer fairen Münze und dabei
die Ereignisse
A1 . . . beim ersten Wurf wird Zahl (Z) geworfen
A2 . . . beim zweiten Wurf wird Wappen (W ) geworfen
A3 . . . beide Wurfergebnisse sind verschieden
Als Grundmenge wählen wir Ω “ tpW, W q, pW, Zq, pZ, W q, pZ, Zqu .
Jedes der Elementarereignisse hat die Wahrscheinlichkeit 1{4 . Folglich ist
PpA1 q “ PptpZ, Zq, pZ, W quq “ 1{2 ,
PpA2 q “ PptpW, W q, pZ, W quq “ 1{2 und
PpA3 q “ PptpW, Zq, pZ, W quq “ 1{2 . Wie man leicht sieht, ist
PpAi X Aj q “ PpAi q ¨ PpAj q “ 1{4 für alle i, j P t1, 2, 3u, i ‰ j . Jedoch
ist einerseits PpA1 X A2 X A3 q “ PptpZ, W quq “ 1{4 , aber andererseits
PpA1 q PpA2 q PpA3 q “ 1{8 . Damit sind die Ereignisse A1 , A2 , A3 zwar
paarweise unabhängig, jedoch nicht vollständig unabhängig.
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1.4 Unabhängigkeit
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1.28 Definition
Sei pΩ, F, Pq ein Wahrscheinlichkeitsraum, I ‰ ∅ eine beliebige
Indexmenge und für jedes i P I sei Mi Ď F ein Mengensystem. Dann
heißt die Familie pMi qiPI von Mengensystemen unabhängig, falls für jede
mögliche Auswahl von Ereignissen Ai P Mi für alle i P I die Familie
pAi qiPI von Ereignissen vollständig unabhängig ist, d.h. falls für jede
nichtleere, endliche Teilmenge ti1 , ..., in u Ď I und jedes Ereignis
Aik P Mik mit k “ 1, ..., n gilt
P pAi1 X ... X Ain q “ PpAi1 q ¨ ... ¨ PpAin q .
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1.4 Unabhängigkeit
| 33 |
1.29 Anmerkungen
(1) Die Familie pMi qiPI ist genau dann unabhängig, wenn jede endliche
Teilfamilie unabhängig ist.
(2) Die Unabhängigkeit bleibt bestehen, wenn man die Mengensysteme
Mi verkleinert.
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1 Grundbegriffe
1.5 Zufallsvariable und Verteilung
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1.30 Definition
Sei pΩ, F, Pq ein Wahrscheinlichkeitsraum und pΩ1 , F 1 q ein messbarer
Raum. Dann wird die pF, F 1 q-messbare Abbildung X : Ω Ñ Ω1
Zufallsvariable bzw. zufälliges Element aus pΩ1 , F 1 q genannt. Man spricht
von einer Zufallsvariable X von einem Wahrscheinlichkeitsraum
pΩ, F, Pq in einen messbaren Raum pΩ1 , F 1 q und schreibt dafür
X
pΩ, F, Pq ÝÑ pΩ1 , F 1 q oder X : pΩ, F, Pq Ñ pΩ1 , F 1 q.
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1 Grundbegriffe
1.5 Zufallsvariable und Verteilung
| 35 |
1.31 Anmerkung
Zufallsvariable dienen als mathematische Objekte zur Beschreibung
bestimmter Eigenschaften der Ergebnisse eines Experimentes mit
zufälligem Ausgang (Zufallsexperiment). Eine Zufallsvariable weist jedem
möglichen Ergebnis eines Zufallsexperimentes einen gewissen Wert
ω 1 P Ω1 zu. Der Wert ω 1 “ Xpωq der Zufallsvariable ist zum Beispiel das
zahlenmäßige zufällige Versuchsergebnis oder eine zahlenmäßige
Charakteristik des zufälligen Versuchsergebnisses.
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1 Grundbegriffe
1.5 Zufallsvariable und Verteilung
| 36 |
1.32 Definition
Sei X eine Zufallsvariable von einem Wahrscheinlichkeitsraum pΩ, F, Pq
in einen messbaren Raum pΩ1 , F 1 q . Dann wird das durch X übertragene
Wahrscheinlichkeitsmaß (Bildmaß)
PX “ P ˝X ´1
Verteilungsgesetz bzw. kurz Verteilung von X genannt. Das
Verteilungsgesetz PX ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf dem messbaren
Raum pΩ1 , F 1 q . Für B P F 1 gilt
PX pBq “ PpX ´1 pBqq “ Pptω P Ω : Xpωq P Buq “: PpX P Bq.
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1 Grundbegriffe
1.5 Zufallsvariable und Verteilung
| 37 |
1.33 Beispiel und Definition
Sei pΩ, F, Pq ein Wahrscheinlichkeitsraum und
X: Ω Ñ Ω
mit
Xpωq “ ω
die identische Abbildung. Es ist also
pΩ1 , F 1 q “ pΩ, Fq und
PX “ P .
In diesem Fall nennt man die Zufallsvariable X unmittelbar gegeben.
1.34 Behauptung
Für jedes Wahrscheinlichkeitsmaß P auf einem messbaren Raum pΩ, Fq
gibt es eine Zufallsvariable mit Werten in pΩ, Fq , für die P das
Verteilungsgesetz ist.
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1 Grundbegriffe
1.5 Zufallsvariable und Verteilung
| 38 |
1.35 Anmerkung
Oft wird für eine Zufallsvariable X von einem Wahrscheinlichkeitsraum
pΩ, F, Pq in einen messbaren Raum pΩ1 , F 1 q nur das Verteilungsgesetz
PX angegeben ohne den ursprünglichen Wahrscheinlichkeitsraum
pΩ, F, Pq und insbesondere das Wahrscheinlichkeitsmaß P näher zu
beschreiben. Man spricht dann von einem hypothetischen
Wahrscheinlichkeitsraum pΩ, F, Pq. Die Existenz eines solchen
Wahrscheinlichkeitsraumes ist durch eine unmittelbar gegebene
Zufallsvariable stets gesichert.
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1 Grundbegriffe
1.6 Zufallsgrößen
| 39 |
1.36 Definition
Eine Zufallsvariable X von einem Wahrscheinlichkeitsraum pΩ, F, Pq in
den messbaren Raum pR, Bq wird Zufallsgröße oder reelle Zufallsvariable,
reellwertige Zufallsvariable bzw. zufällige reelle Zahl genannt. Das
Verteilungsgesetz PX von X ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf pR, Bq
und somit pR, B, PX q ein Wahrscheinlichkeitsraum.
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1 Grundbegriffe
1.6 Zufallsgrößen
| 40 |
1.37 Definition
Sei X eine Zufallsgröße. Dann heißt die Funktion
FX : R Ñ r0, 1s
mit
FX pxq :“ PX pp´8, xqq “ Pptω P Ω : Xpωq ă xuq
für x P R
Verteilungsfunktion der Zufallsgröße X bzw. des Verteilungsgesetzes PX .
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1.6 Zufallsgrößen
| 41 |
1.38 Anmerkungen
(1) An Stelle von Pptω P Ω : Xpωq ă xuq ist die Kurzschreibweise
PpX ă xq gebräuchlich, also FX pxq “ PpX ă xq , analog auch für
Wahrscheinlichkeiten für andere zufällige Ereignisse im
Zusammenhang mit einer Zufallsgröße X .
(2) Mit Hilfe der Verteilungsfunktion lässt sich die Wahrscheinlichkeit
typischer Ereignisse einfach berechnen
PpX ă bq “ FX pbq für b P R,
PpX ě aq “ 1 ´ FX paq für a P R,
Ppa ď X ă bq “ FX pbq ´ FX paq für a, b P R, a ă b.
(3) Neben der oben gegebenen Definition der Verteilungsfunktion einer
Zufallsgröße ist eine weitere Variante (mit geringfügig anderen
Eigenschaften) verbreitet:
FrX pxq “ P pX ď xq ,
x P R.
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Wahrscheinlichkeitstheorie
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1 Grundbegriffe
1.6 Zufallsgrößen
| 42 |
1.39 Satz
Die Verteilungsfunktion FX einer Zufallsgröße X hat folgende
Eigenschaften
(V1) FX ist monoton wachsend,
(V2) FX ist linksseitig stetig,
(V3)
(V4)
lim FX pxq “ 0 und
xÑ´8
lim FX pxq “ 1 .
xÑ`8
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1 Grundbegriffe
1.6 Zufallsgrößen
| 43 |
1.40 Satz
Sei X eine Zufallsgröße. Dann ist eine messbare Funktion f : R Ñ R
genau dann PX -integrierbar, wenn f ˝ X P-integrierbar ist. In diesem
Fall gilt
ż
ż
f pxq PX pdxq “ f pXpωqq Ppdωq .
R
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Ω
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1 Grundbegriffe
1.6 Zufallsgrößen
| 44 |
1.41 Definition
Eine Zufallsgröße X heißt diskret, falls ihr Wertebereich WX Ď R
höchstens abzählbar ist.
1.41 Anmerkung
Ist eine Zufallsgröße X nur durch ihr Verteilungsgesetz (z.B. ihre
Verteilungsfunktion) gegeben, nennt man sie oft diskret, wenn eine
höchstens abzählbare Menge WX mit der Eigenschaft
P pX P WX q “ 1
existiert.
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1 Grundbegriffe
1.6 Zufallsgrößen
| 45 |
1.42 Satz und Definition
Das Verteilungsgesetz PX einer diskreten Zufallsgröße X ist eindeutig
durch die möglichen Werte txk , : k P I Ď Nu “ WX und die
(zugehörigen) Einzelwahrscheinlichkeiten
pk :“ Pptω P Ω : Xpωq “ xk uq “: PpX “ xk q ,
kPI,
bestimmt. Es gilt
ÿ
pk “ 1
und
k PI
PX “
ÿ
pk δxk .
k PI
Die Verteilungsfunktion FX ist eine stückweise konstante Funktion mit
den Sprungstellen xk und den Sprunghöhen pk , k P I . Sie hat die
Darstellung
ÿ
FX pxq “
pk Ipxk ,8q pxq , x P R .
k PI
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1 Grundbegriffe
1.6 Zufallsgrößen
| 46 |
1.43 Beispiel (Einmaliges Würfeln)
Die diskrete Zufallsgröße X beschreibe als unmittelbar gegebene
Zufallsgröße das Ergebnis beim einmaligen Würfeln mit einem fairen
Würfel.
WX “ t1, 2, 3, 4, 5, 6u ,
1
xk “ k , pk “ , k “ 1, . . . , 6 ,
6
6
1 ÿ
PX “
δk ,
6 k“1
FX pxq “
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6
1 ÿ
I
pxq ,
6 k“1 pk,8q
x P R.
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1.6 Zufallsgrößen
| 47 |
1.43 Beispiel (Fortsetzung)
Grafische Darstellung der Verteilungsfunktion FX pxq
F X HxL
1
5
6
4
6
3
6
2
6
1
6
1
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2
3
4
Wahrscheinlichkeitstheorie
5
6
x
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1 Grundbegriffe
1.6 Zufallsgrößen
| 48 |
1.44 Satz
Sei X eine diskrete Zufallsgröße. Dann ist eine Funktion f : R Ñ R
genau dann PX -integrierbar, wenn f ˝ X P-integrierbar ist. In diesem
Fall gilt
ż
ż
ÿ
f pXpωqq Ppdωq “ f pxq PX pdxq “
f pxk q pk .
Ω
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R
Wahrscheinlichkeitstheorie
k PI
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1.6 Zufallsgrößen
| 49 |
1.45 Definition
Das Verteilungsgesetz PX einer Zufallsgröße X sei absolut stetig
bezüglich des Lebesgue-Borel-Maßes λ auf dem messbaren Raum
pR, Bq pPX Î λq . Dann wird die Zufallgröße X (absolut) stetig genannt.
Jede nichtnegative, messbare Funktion
fX : R Ñ r0, 8s mit
fX pxq “
d PX
pxq ,
dλ
die Radon-Nikodym-Ableitung von PX bezüglich λ , wird
Verteilungsdichte oder auch Dichtefunktion bzw. kurz Dichte der
Zufallsgröße X bzw. des Verteilungsgesetzes PX genannt.
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1.6 Zufallsgrößen
| 50 |
1.46 Anmerkungen
(1) Die Dichtefunktion fX einer stetigen Zufallsgröße X ist nur λ-fast
überall eindeutig bestimmt.
(2) Sei f : R Ñ r0, 8s eine nichtnegative, messbare Funktion mit
ż8
ż
f pxq λpdxq “
R
f pxq dx “ 1 .
´8
Dann ist f λ ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf pR, Bq und für die
unmittelbar gegebene Zufallsgröße X gilt
PX “ f λ ,
d.h. X ist eine stetige Zufallsgröße mit der Dichtefunktion fX “ f .
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1 Grundbegriffe
1.6 Zufallsgrößen
| 51 |
1.47 Satz
Für eine stetige Zufallsgröße X mit der Dichtefunktion fX gilt
(1)
ż
PX pBq “
fX pxq dx
für B P B ;
B
(2)
żx
FX pxq “
fX ptq dt
für x P R ;
´8
(3) PpX “ xq “ 0
(4) fX “
FX1
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für alle
x P R;
λ-fast überall, falls FX stetig differenzierbar ist.
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1.6 Zufallsgrößen
| 52 |
1.48 Folgerung
Für eine stetige Zufallsgröße X mit der Dichtefunktion fX gilt
ż8
ż
fX pxq λpdxq “
R
fX pxq dx “ 1 ,
´8
żb
PpX ă bq “ PpX ď bq “ FX pbq “
fX pxq dx
für b P R ,
´8
ż8
PpX ě aq “ PpX ą aq “ 1 ´ FX paq “
fX pxq dx für a P R ,
a
Ppa ď X ă bq “ Ppa ă X ă bq “ Ppa ă X ď bq “ Ppa ď X ď bq
żb
“ FX pbq ´ FX paq “
fX pxq dx
für a, b P R , a ă b .
a
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1 Grundbegriffe
1.6 Zufallsgrößen
| 53 |
1.49 Beispiel
Sei X eine stetige Zufallsgröße mit der Dichtefunktion
fX pxq “
1
I
pxq
b ´ a ra,bs
für
´ 8 ă a ă b ă 8.
Dann ist
$
0
’
&
FX pxq “
’
%
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für x ď a ,
x´a
b´a
für a ă x ď b ,
1
für x ą b .
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1 Grundbegriffe
1.6 Zufallsgrößen
| 54 |
1.49 Beispiel (Fortsetzung)
Grafische Darstellung
der Dichtefunktion fX pxq und der Verteilungsfunktion FX pxq
fX HxL
FX HxL
1
0.75
0.5
1
b-a
0.25
a
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b
x
a
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b
x
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1 Grundbegriffe
1.6 Zufallsgrößen
| 55 |
1.50 Satz
Sei X eine stetige Zufallsgröße mit der Dichtefunktion fX und
g : R Ñ R eine PX -integrierbare Funktion. Dann ist fX ¨ g
λ-integrierbar, und es gilt
ż
ż8
ż
gpxq PX pdxq “
R
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gpxq fX pxq λpdxq “
R
gpxq fX pxq dx.
´8
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1 Grundbegriffe
1.7 Zufallsvektoren
| 56 |
1.51 Definition
Eine Zufallsvariable X von einem Wahrscheinlichkeitsraum pΩ, F, Pq in
den messbaren Raum pRd , Bd q mit d P N wird Zufallsvektor bzw.
zufälliger, reeller Vektor genannt. Das Verteilungsgesetz PX von X ist
ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf pRd , Bd q und somit pRd , Bd , PX q ein
Wahrscheinlichkeitsraum.
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1 Grundbegriffe
1.7 Zufallsvektoren
| 57 |
1.52 Anmerkung und Definitionen
Ein Zufallsvektor X kann auch als d-Tupel von Zufallsgrößen
Xi , i “ 1, . . . , d , aufgefasst werden
X “ pX1 , . . . , Xd qT .
Für das Verteilungsgesetz PX des Zufallsvektors X verwendet man
auch die Schreibweisen
PX “ PX1 ,...,Xd “ PpX1 ,...,Xd q
und nennt PX1 ,...,Xd die gemeinsame Verteilung der Zufallsgrößen
X1 , . . . , Xd . Die Verteilungsgesetze PXk der einzelnen Zufallsgrößen
Xk , k “ 1, . . . , d , werden (eindimensionale) Randverteilungen genannt.
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1 Grundbegriffe
1.7 Zufallsvektoren
| 58 |
1.53 Definition
Sei X ein Zufallsvektor. Dann heißt die Funktion
FX : Rd Ñ r0, 1s
mit
˜
FX p~xq “ FX1 ,...,Xd px1 , . . . , xd q :“ PX
d
ą
p´8, xi q
¸
“
i“1
“ Pptω P Ω : X1 pωq ă x1 , . . . , Xd pωq ă xd uq “
“ PpX1 ă x1 , . . . , Xd ă xd q für ~x “ px1 , . . . , xd qT P Rd
Verteilungsfunktion des Zufallsvektors X bzw. gemeinsame
Verteilungsfunktion oder auch Verbundverteilungsfunktion der
Zufallsgrößen X1 , . . . , Xd .
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1 Grundbegriffe
1.7 Zufallsvektoren
| 59 |
1.54 Anmerkungen
Sei X ein Zufallsvektor.
(1) Dann gilt für die Randverteilung PXk , k “ 1, . . . , d ,
PXk pBq “ PX1 ,...,Xd pR ˆ . . . ˆ R ˆ B ˆ R ˆ . . . ˆ Rq
´
¯
“ PX1 ,...,Xd Rk´1 ˆ B ˆ Rd´k
für B P B .
(2) Für die Verteilungsfunktion FXk der k-ten Randverteilung PXk ,
k “ 1, . . . , d , gilt
´
¯
FXk pxq “ PX1 ,...,Xd Rk´1 ˆ p´8, xq ˆ Rd´k
“ lim FX1 ,...,Xd py, . . . , y, x, y, . . . , yq für x P R .
yÑ8
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1 Grundbegriffe
1.7 Zufallsvektoren
| 60 |
1.54 Anmerkungen (Fortsetzung)
(3) Sei X “ pX1 , X2 qT ein zweidimensionaler Zufallsvektor und
´8 ă ai ă bi ă 8 , i “ 1, 2 . Dann gilt
Ppa1 ď X1 ă b1 , a2 ď X2 ă b2 q
“ PX1 ,X2 pra1 , b1 q ˆ ra2 , b2 qq “ PX pra1 , b1 q ˆ ra2 , b2 qq
“ PX pp´8, b1 q ˆ p´8, b2 qq ´ PX pp´8, a1 q ˆ p´8, b2 qq
´ PX pp´8, b1 q ˆ p´8, a2 qq ` PX pp´8, a1 q ˆ p´8, a2 qq
“ FX pb1 , b2 q ´ FX pa1 , b2 q ´ FX pb1 , a2 q ` FX pa1 , a2 q .
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1 Grundbegriffe
1.7 Zufallsvektoren
| 61 |
1.55 Satz
Sei X ein Zufallsvektor. Dann ist eine messbare Funktion f : Rd Ñ R
genau dann PX -integrierbar, wenn f ˝ X P-integrierbar ist. In diesem
Fall gilt
ż
ż
f p~xq PX pd~xq “
Rd
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f pXpωqq Ppdωq .
Ω
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1.7 Zufallsvektoren
| 62 |
1.56 Definition
Das Verteilungsgesetz PX des Zufallsvektors X sei absolut stetig
bezüglich des Lebesgue-Borel-Maßes λd auf dem messbaren Raum
pRd , Bd q pPX Î λd q . Dann wird der Zufallsvektor X (absolut) stetig
genannt. Jede nichtnegative, messbare Funktion
fX : Rd Ñ r0, 8s mit
fX p~xq “
d PX
p~xq ,
d λd
die Radon-Nikodym-Ableitung von PX bezüglich λd , wird
Verteilungsdichte oder auch Dichtefunktion bzw. kurz Dichte des
Zufallsvektors X bzw. des Verteilungsgesetzes PX genannt.
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1 Grundbegriffe
1.7 Zufallsvektoren
| 63 |
1.57 Anmerkungen
(1) Die Dichtefunktion fX eines stetigen Zufallsvektors ist nur λd -fast
überall eindeutig bestimmt.
(2) Sei f : Rd Ñ r0, 8s eine nichtnegative, messbare Funktion mit
ż8
ż
f p~xq λd pd~xq “
Rd
ż8
...
´8
f px1 , . . . , xd q dx1 . . . dxd “ 1 .
´8
Dann ist f λd ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf pRd , Bd q und für den
unmittelbar gegebenen Zufallsvektor X gilt
PX “ f λd ,
d.h. X ist ein stetiger Zufallsvektor mit der Dichtefunktion fX “ f .
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1 Grundbegriffe
1.7 Zufallsvektoren
| 64 |
1.58 Satz
Für einen stetigen Zufallsvektor X mit der Dichtefunktion fX gilt
(1)
ż
PX pBq “ PpX P Bq “
fX p~xq d~x “
B
ż
“
ż
¨¨¨
fX px1 , . . . , xd q dx1 . . . dxd
für B P Bd
B
(2)
FX p~xq “ FX1 ,...,Xd px1 , . . . , xd q “
żx1
żxd
“
...
fX pt1 , . . . , td q dtd . . . dt1 ,
´8
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~x “ px1 , . . . , xd qT P Rd
´8
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1.7 Zufallsvektoren
| 65 |
1.58 Satz (Fortsetzung)
(3) Es gilt PX pBq “ 0 für niederdimensionalen Mengen B P Bd ,
dimpBq P t0, . . . , d ´ 1u , insbesondere
PpX “ ~xq “ 0
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für alle ~x P Rd .
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1 Grundbegriffe
1.7 Zufallsvektoren
| 66 |
1.59 Folgerung
Sei X “ pX1 , X2 qT ein zweidimensionaler, stetiger Zufallsvektor mit der
Dichtefunktion fX und ´8 ă ai ă bi ă 8 , i “ 1, 2 . Dann gilt
Ppa1 ă X1 ă b1 , a2 ă X2 ă b2 q
“ Ppa1 ď X1 ă b1 , a2 ă X2 ă b2 q
..
.
“ Ppa1 ď X1 ď b1 , a2 ď X2 ď b2 q
“FX pb1 , b2 q ´ FX pa1 , b2 q ´ FX pb1 , a2 q ` FX pa1 , a2 q
żb1 żb2
fX px1 , x2 q dx2 dx1 .
“
a1 a2
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1.7 Zufallsvektoren
| 67 |
1.60 Anmerkungen
Sei X ein stetiger Zufallsvektor mit der Dichtefunktion fX .
(1) Dann gilt für die Randverteilung PXk , k “ 1, . . . , d , und B P B
´
¯
PXk pBq “ PX1 ,...,Xd Rk´1 ˆ B ˆ Rd´k “
ż ż
ż
“
. . . fX px1 , . . . , xd q dx1 . . . dxk´1 dxk`1 . . . dxd dxk .
B R
R
(2) Die Komponenten Xk des Zufallsvektors X sind stetige
Zufallsgrößen und für die Verteilungsdichte fXk der k-ten
Randverteilung PXk , k “ 1, . . . , d , gilt
ż
ż
fXk pxk q “ . . . fX px1 , . . . , xd q dx1 . . . dxk´1 dxk`1 . . . dxd
R
für xk P R
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R
λ-fast überall.
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1.7 Zufallsvektoren
| 68 |
1.60 Anmerkungen (Fortsetzung)
(3) Die Umkehrung von (2) gilt nicht. Es gibt z.B. stetige Zufallsgrößen
X1 , X2 , so dass pX1 , X2 qT kein stetiger Zufallsvektor ist.
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1 Grundbegriffe
1.7 Zufallsvektoren
| 69 |
1.61 Satz
Sei X ein stetiger Zufallsvektor mit der Dichtefunktion fX und
g : Rd Ñ R eine PX -integrierbare Funktion. Dann ist fX ¨ g
λd -integrierbar, und es gilt
ż
ż
gp~xq PX pd~xq “
Rd
gp~xq fX p~xq λd pd~xq “
Rd
ż8
...
“
´8
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ż8
gpx1 , . . . , xd q fX px1 , . . . , xd q dx1 . . . dxd .
´8
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1 Grundbegriffe
1.8 Unabhängigkeit von Zufallsvariablen
| 70 |
1.62 Definitionen
Sei pΩ, F, Pq ein Wahrscheinlichkeitsraum und I ‰ ∅ eine beliebige
Indexmenge. Für i P I sei pΩ1i , Fi1 q ein messbarer Raum und Xi eine
Zufallsvariable
Xi
pΩ, F, Pq ÝÑ
pΩ1i , Fi1 q , i P I .
Dann heißt die Familie pXi qiPI von` Zufallsvariablen
unabhängig, falls
˘
die Familie von Urbild-σ-Algebren Xi´1 pFi1 q iPI unabhängig ist.
Ist I “ t1, . . . , nu so spricht man direkt von unabhängigen
Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn .
Für I “ N spricht man von einer unabhängigen Folge pXi qiPN von
Zufallsvariablen.
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1 Grundbegriffe
1.8 Unabhängigkeit von Zufallsvariablen
| 71 |
1.63 Anmerkung
(1) Eine Familie von Zufallsvariablen ist genau dann unabhängig, wenn
jede endliche Teilfamilie unabhängig ist.
(2) Es genügt daher, Bedingungen für die Unabhängigkeit von
Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn zu finden. Sind diese für jede endliche
Teilfamilie einer Familie von Zufallsvariablen erfüllt, so ist die gesamte
Familie unabhängig.
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1 Grundbegriffe
1.8 Unabhängigkeit von Zufallsvariablen
| 72 |
1.64 Satz
Seien Xi Zufallsvariable von demselben Wahrscheinlichkeitsraum
pΩ, F, Pq in den messbaren Raum pΩ1i , Fi1 q
X
i
pΩ, F, Pq ÝÑ
pΩ1i , Fi1 q,
i “ 1, . . . , n .
Die Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn sind genau dann unabhängig, wenn
PX1 ,...,Xn “
n
â
PXi .
i“1
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1 Grundbegriffe
1.8 Unabhängigkeit von Zufallsvariablen
| 73 |
1.65 Folgerung
Sei pΩ, F, Pq ein Wahrscheinlichkeitsraum und I ‰ ∅ eine beliebige
Indexmenge. Für i P I sei pΩ1i , Fi1 q ein messbarer Raum und Xi eine
Zufallsvariable
Xi
pΩ, F, Pq ÝÑ
pΩ1i , Fi1 q .
Die Familie pXi qiPI von Zufallsvariablen ist genau dann unabhängig,
wenn für jede nichtleere, endliche Teilmenge In “ ti1 , . . . , in u Ď I gilt
PXi1 ,...,Xin “
n
â
j“1
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PXij .
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1 Grundbegriffe
1.8 Unabhängigkeit von Zufallsvariablen
| 74 |
1.66 Satz
Seien Xi Zufallsgrößen auf demselben Wahrscheinlichkeitsraum
pΩ, F, Pq
X
i
pΩ, F, Pq ÝÑ
pR, Bq ,
i “ 1, . . . , n .
Die Zufallsgrößen X1 , . . . , Xn sind genau dann unabhängig, wenn für alle
px1 , . . . , xn q P Rn gilt
FX1 ,...,Xn px1 , . . . , xn q “
n
ź
FXi pxi q .
i“1
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1 Grundbegriffe
1.8 Unabhängigkeit von Zufallsvariablen
| 75 |
1.67 Folgerung
Sei pΩ, F, Pq ein Wahrscheinlichkeitsraum und I ‰ ∅ eine beliebige
Indexmenge. Für i P I sei Xi eine Zufallsgröße
X
i
pΩ, F, Pq ÝÑ
pR, Bq .
Die Familie pXi qiPI von Zufallsgrößen ist genau dann unabhängig, wenn
für jede nichtleere, endliche Teilmenge In “ ti1 , . . . , in u Ď I und alle
px1 , . . . , xn q P Rn gilt
FXi1 ,...,Xin px1 , . . . , xn q “
n
ź
FXij pxj q .
j“1
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1 Grundbegriffe
1.8 Unabhängigkeit von Zufallsvariablen
| 76 |
1.68 Satz
Seien Xi stetige Zufallsgrößen auf demselben Wahrscheinlichkeitsraum
pΩ, F, Pq mit den Dichtefunktionen fXi
X
i
pΩ, F, Pq ÝÑ
pR, Bq ,
i “ 1, . . . , n .
Die Zufallsgrößen X1 , . . . , Xn sind genau dann unabhängig, wenn für die
gemeinsame Dichtefunktion fX1 ,...,Xn für λn -fast alle px1 , . . . , xn q P Rn
gilt
n
ź
fX1 ,...,Xn px1 , . . . , xn q “
fXi pxi q .
i“1
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1 Grundbegriffe
1.8 Unabhängigkeit von Zufallsvariablen
| 77 |
1.69 Folgerung
Sei pΩ, F, Pq ein Wahrscheinlichkeitsraum und I ‰ ∅ eine beliebige
Indexmenge. Für i P I sei Xi eine stetige Zufallsgröße
X
i
pΩ, F, Pq ÝÑ
pR, Bq .
Die Familie pXi qiPI von Zufallsgrößen ist genau dann unabhängig, wenn
für jede nichtleere, endliche Teilmenge In “ ti1 , . . . , in u Ď I und λn -fast
alle px1 , . . . , xn q P Rn gilt
fXi1 ,...,Xin px1 , . . . , xn q “
n
ź
fXij pxj q .
j“1
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1 Grundbegriffe
1.8 Unabhängigkeit von Zufallsvariablen
| 78 |
1.70 Satz
Sei pΩ, F, Pq ein Wahrscheinlichkeitsraum, I ‰ ∅ eine beliebige
Indexmenge und pXi qiPI eine unabhängige Familie von Zufallsvariablen
X
i
pΩ, F, Pq ÝÑ
pΩ1i , Fi1 q ,
iPI.
Für i P I sei pΩ2i , Fi2 q ein messbarer Raum und Yi eine Zufallsvariable
Y
i
pΩ1i , Fi1 , PXi q ÝÑ
pΩ2i , Fi2 q .
Dann ist pYi ˝ Xi qiPI eine unabhängige Familie von Zufallsvariablen
Y ˝X
i
i
pΩ, F, Pq ÝÝ
ÝÑ
pΩ2i , Fi2 q ,
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iPI.
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1 Grundbegriffe
1.9 Symmetrie
| 79 |
1.71 Definition
Die Zufallsgröße X bzw. deren Verteilungsgesetz PX heißt
symmetrisch, falls X und ´X dieselbe Verteilung besitzen, d.h.
PX “ P´X .
Die Zufallsgröße X bzw. deren Verteilungsgesetz PX heißt symmetrisch
bezüglich des Symmetriezentrums c P R bzw. kurz symmetrisch bezüglich
c P R , falls X ´ c symmetrisch ist.
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1 Grundbegriffe
1.9 Symmetrie
| 80 |
1.72 Satz
Sei X eine stetige Zufallsgröße auf einem Wahrscheinlichkeitsraum
pΩ, F, Pq. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent
(1) Die Verteilung von X ist symmetrisch.
(2) Für die Verteilungsfunktion FX von X gilt
FX p´xq “ 1 ´ FX pxq
für alle
x P R.
(3) Für die Verteilungsdichte fX von X gilt
fX p´xq “ fX pxq
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λ-fast überall .
Wahrscheinlichkeitstheorie
Sommersemester 2017
1 Grundbegriffe
1.9 Symmetrie
| 81 |
1.73 Beispiel
Die stetige Zufallsgröße X besitze die Verteilungsdichte
fX pxq “
1
1
.
π 1 ` x2
Offensichtlich ist die Verteilung von X symmetrisch.
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Wahrscheinlichkeitstheorie
Sommersemester 2017
1 Grundbegriffe
1.9 Symmetrie
| 82 |
1.74 Aufgabe
(1) Zeigen Sie, dass eine stetige Zufallsgröße X genau dann symmetrisch
bezüglich c P R ist, wenn für die Verteilungsfunktion FX von X
gilt
FX pc ´ xq “ 1 ´ FX pc ` xq für alle x P R .
(2) Zeigen Sie, dass eine stetige Zufallsgröße X genau dann symmetrisch
bezüglich c P R ist, wenn für die Verteilungsdichte fX von X gilt
fX pc ´ xq “ fX pc ` xq λ-fast überall .
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Wahrscheinlichkeitstheorie
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2 Kenngrößen für Zufallsgrößen
2.1 Erwartungswert
| 83 |
2.1 Definition
Sei X eine Zufallsgröße auf einem Wahrscheinlichkeitsraum pΩ, F, Pq.
Falls X bezüglich P integrierbar ist, d.h.
ż
|Xpωq| Ppdωq ă 8
Ω
so sagt man, dass der Erwartungswert der Zufallsgröße X existiert und
nennt die Größe
ż
ż
E pXq :“ Xpωq Ppdωq “ X d P
Ω
Ω
den Erwartungswert der Zufallsgröße X.
(Bem. Obige Bedingung wird auch durch E p|X|q ă 8 ausgedrückt.)
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2 Kenngrößen für Zufallsgrößen
2.1 Erwartungswert
| 84 |
2.2 Satz
Der Erwartungswert der Zufallsgröße X existiert genau dann, wenn
ż
|x| PX pdxq ă 8.
R
Existiert der Erwartungswert E pXq, so gilt
ż
ż
E pXq “ Xpωq Ppdωq “ x PX pdxq.
Ω
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R
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2 Kenngrößen für Zufallsgrößen
2.1 Erwartungswert
| 85 |
2.3 Satz
Der Erwartungswert der diskreten Zufallsgröße X mit dem Wertebereich
WX “ txk ukPIĎN und den Einzelwahrscheinlichkeiten tpk ukPI existiert
genau dann, wenn
ÿ
|xk | pk ă 8.
k PI
Existiert der Erwartungswert E pXq, so gilt
ÿ
E pXq “
xk p k .
k PI
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2.1 Erwartungswert
| 86 |
2.4 Beispiel (Einmaliges Würfeln)
Für die diskrete Zufallsgröße X aus Beispiel 1.43 mit
xk “ k,
1
pk “ ,
6
k “ 1, . . . , 6,
gilt
E pXq “
6
ÿ
k“1
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k
1
7
“ “ 3.5
6
2
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2.1 Erwartungswert
| 87 |
2.5 Satz
Der Erwartungswert der stetigen Zufallsgröße X mit der Dichtefunktion
fX existiert genau dann, wenn
ż
|x| fX pxq dx ă 8.
R
Existiert der Erwartungswert E pXq, so gilt
ż
E pXq “ x fX pxq dx.
R
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2.1 Erwartungswert
| 88 |
2.6 Beispiel
Für die stetige Zufallsgröße X aus Beispiel 1.49 mit der Dichtefunktion
fX pxq “
1
I
pxq
b ´ a ra,bs
für
´8ăaăbă8
gilt
ż
E pXq “
R
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1
x fX pxq dx “
b´a
żb
x dx “
a`b
.
2
a
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2.1 Erwartungswert
| 89 |
2.7 Beispiel
Sei X eine stetige Zufallsgröße mit der Dichtefunktion
fX pxq “ λe´λx Ir0,8q pxq
Dann ist
ż8
ż
E pXq “
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x λe´λx dx “
x fX pxq dx “
R
für λ ą 0.
1
.
λ
0
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2.1 Erwartungswert
| 90 |
2.8 Beispiel (Gegenbeispiel)
Die symmetrische, stetige Zufallsgröße X aus Beispiel 1.73 besitzt die
Dichtefunktion
1
1
fX pxq “
.
π 1 ` x2
Der Erwartungswert E pXq existiert in diesem Fall nicht.
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2.1 Erwartungswert
| 91 |
2.9 Anmerkung (Geometrische Interpretation des Erwartungswertes einer
stetigen Zufallsgröße)
Sei X eine stetige Zufallsgröße mit der Dichtefunktion fX . Dann ist
E pXq P R gerade die x-Koordinate des Schwerpunktes der Fläche
zwischen der x-Achse und dem Graph der Funktion fX ě 0.
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2.1 Erwartungswert
| 92 |
2.10 Anmerkung (Bedeutung des Erwartungswertes)
wichtigste Kenngröße einer Zufallsgröße
wichtigster Lageparameter einer Zufallsgröße
durchschnittlicher Wert, Mittelwert einer Zufallsgröße
Zentrum, Schwerpunkt der Verteilung einer Zufallsgröße
Grundlage zur Definition weiterer Kenngrößen
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2.1 Erwartungswert
| 93 |
2.11 Definition
Es sei pΩ, F, Pq ein Wahrscheinlichkeitsraum und E eine Eigenschaft, so
dass für alle Elementarereignisse ω P Ω definiert ist, ob ω diese Eigenschaft
besitzt oder nicht. Dann sagt man, die Eigenschaft E gilt P-fast sicher
(abgekürzt P-f.s.) auf Ω bzw. P-fast sicher alle ω P Ω besitzen die
Eigenschaft E, falls es ein Ereignis N P F mit PpN q “ 0 gibt, so dass
tω P Ω : ω besitzt Eigenschaft E nichtu Ď N.
Ein Ereignis A P F tritt P-fast sicher ein bzw. ist P-fast sicher, wenn
PpAc q “ 0 bzw. PpAq “ 1.
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2.1 Erwartungswert
| 94 |
2.12 Definition
Sei X eine Zufallsgröße auf einem Wahrscheinlichkeitsraum pΩ, F, Pq.
Dann spricht man von einer nichtnegativen Zufallsgröße X, wenn
Xě0
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P-fast sicher.
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2.1 Erwartungswert
| 95 |
2.13 Aufgabe
(1) Zeigen Sie, dass eine Zufallsgröße X genau dann nichtnegativ ist,
wenn
FX pxq “ 0 für alle x ď 0.
(2) Zeigen Sie, dass eine stetige Zufallsgröße X mit der Dichtefunktion
fX genau dann nichtnegativ ist, wenn
fX Ip´8,0q “ 0
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λ-fast überall.
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2.1 Erwartungswert
| 96 |
2.14 Satz
(1) Sei X eine Zufallsgröße, deren Erwartungswert existiert. Dann gilt
| E pXq | ď E p|X|q .
(2) Seien X und Y Zufallsgrößen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum
pΩ, F, Pq, deren Erwartungswert existiert, und es gelte X ď Y P-fast
sicher. Dann gilt
E pXq ď E pY q .
(3) Seien X1 , . . . , Xn Zufallsgrößen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum
pΩ, F, Pq, deren Erwartungswert existiert, sowie ci P R, i “ 1, . . . , n
reelle Zahlen. Dann existiert auch E pc1 X1 ` . . . ` cn Xn q, und es gilt
˜
¸
n
n
ÿ
ÿ
E
ci Xi “
ci E pXi q .
i“1
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i“1
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2.1 Erwartungswert
| 97 |
2.15 Satz
(1) Für c P R sei X “ c P-fast sicher, d.h. X ist eine P-fast sicher
konstante Zufallsgröße. Dann existiert E pXq, und es gilt
E pXq “ c.
(2) Sei A P F. Dann existiert der Erwartungswert der Zufallsgröße
X “ IA , und es gilt
E pXq “ PpAq.
(3) Sei X eine Zufallsgröße, und es gelte ´8 ă a ď X ď b ă 8 P-fast
sicher. Dann existiert E pXq, und es gilt
a ď E pXq ď b.
(4) Sei X eine nichtnegative Zufallsgröße, deren Erwartungswert existiert.
Dann gilt E pXq “ 0 genau dann, wenn X “ 0 P-fast sicher.
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2.1 Erwartungswert
| 98 |
2.16 Satz
Sei X eine nichtnegative Zufallsgröße, deren Erwartungswert existiert.
Dann gilt
ż8
E pXq “ p1 ´ FX pxqq dx.
0
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2.1 Erwartungswert
| 99 |
2.17 Beispiel
Die Zufallsgröße X aus Beispiel 2.7 ist nichtnegativ und besitzt die
Verteilungsfunktion
´
¯
FX pxq “ 1 ´ e´λx Ip0,8q pxq für λ ą 0.
Man kann ihren Erwartungswert also auch gemäß
ż8
ż8
1
E pXq “ p1 ´ FX pxqq dx “ e´λx dx “
λ
0
0
berechnen.
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2.1 Erwartungswert
| 100 |
2.18 Satz (Multiplikationssatz)
Seien X1 , . . . , Xn unabhängige Zufallsgrößen auf einem
Wahrscheinlichkeitsraum pΩ, F, Pq, deren Erwartungswert existiert. Dann
existiert auch E pX1 ¨ . . . ¨ Xn q, und es gilt
˜
¸
n
n
ź
ź
E
Xi “
E pXi q .
i“1
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i“1
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2.2 Momente
| 101 |
2.19 Definition
Sei X eine Zufallsgröße auf einem Wahrscheinlichkeitsraum pΩ, F, Pq. Falls
ż
|Xpωq|p Ppdωq ă 8 für p P N,
Ω
so sagt man, dass das p-te Moment der Zufallsgröße X existiert und nennt
die Größe
ż
ż
µp :“ µp pXq :“ X p pωq Ppdωq “ X p d P .
Ω
Ω
das (gewöhnliche) Moment der Ordnung p bzw. das p-te (gewöhnliche)
Moment der Zufallsgröße X. Für p “ 1 schreibt man kurz
µ :“ µpXq :“ µ1 pXq.
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2.2 Momente
| 102 |
2.20 Anmerkung
Sei X eine Zufallsgröße, deren p-tes Moment µp pXq, p P N, existiert.
Dann existiert der Erwartungswert der Zufallsgröße Y “ X p , und es gilt
E pY q “ E pX p q “ µp pXq.
Für p “ 1 gilt insbesondere
E pXq “ µpXq.
Folglich kann man einerseits den Erwartungswert der Zufallsgröße als
spezielles Moment und andererseits die Momente als Erwartungswerte
spezieller Funktionen von der Zufallsgröße auffassen.
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2.2 Momente
| 103 |
2.21 Satz
Das p-te Moment der Zufallsgröße X existiert genau dann, wenn
ż
|x|p PX pdxq ă 8 für p P N.
R
Existiert das p-te Moment µp pXq, so gilt
ż
ż
p
p
µp pXq “ E pX q “ X pωq Ppdωq “ xp PX pdxq.
Ω
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R
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2.2 Momente
| 104 |
2.22 Satz
Das p-te Moment der diskreten Zufallsgröße X mit dem Wertebereich
WX “ txk uk PIĎN und
ÿ
|xk |p pk ă 8 für p P N.
k PI
Existiert das p-te Moment µp pXq, so gilt
ÿ p
xk pk .
µp pXq “
k PI
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2.2 Momente
| 105 |
2.23 Beispiel (Einmaliges Würfeln)
Für die diskrete Zufallsgröße X aus Beispiel 1.43 mit
xk “ k,
1
pk “ ,
6
k “ 1, . . . , 6,
gilt
p
µp pXq “ E pX q “
6
ÿ
k“1
kp
1
1
“ p1 ` 2p ` 3p ` 4p ` 5p ` 6p q .
6
6
Für p “ 2 ergibt sich
6
` ˘ 1 ÿ
91
k2 “ .
µ2 pXq “ E X 2 “
6 k“1
6
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2.2 Momente
| 106 |
2.24 Satz
Das p-te Moment der stetigen Zufallsgröße X mit der Dichtefunktion fX
existiert genau dann, wenn
ż
|x|p fX pxq dx ă 8 für p P N.
R
Existiert das p-te Moment µp pXq, so gilt
ż
µp pXq “ xp fX pxq dx.
R
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2.2 Momente
| 107 |
2.25 Beispiel
Für die stetige Zufallsgröße X mit der Dichtefunktion
fX pxq “ λ e´λx Ir0,8q pxq für λ ą 0
gilt
µp pXq “
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p!
λp
für p P N.
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2.2 Momente
| 108 |
2.26 Satz
Sei X eine Zufallsgröße, deren p-tes Moment µp pXq, p “ 2, 3, . . . ,
existiert.
(1) Dann existieren auch alle Momente µq pXq, q “ 1, . . . , p ´ 1,
niedrigerer Ordnung und somit insbesondere E pXq.
(2) Dann gilt
ż
|X ´ c|p d P ă 8 für alle
c P R.
Ω
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2.2 Momente
| 109 |
2.27 Definition
Sei X eine Zufallsgröße, deren p-tes Moment µp pXq, p P N, existiert.
Dann heißt
ż
νp :“ νp pXq :“ pX ´ E pXqqp d P für p P N
Ω
das zentrale Moment der Ordnung p bzw. das p-te zentrale Moment der
Zufallsgröße X.
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2.2 Momente
| 110 |
2.28 Anmerkung und Definition
Sei X eine Zufallsgröße, deren p-tes Moment µp pXq, p P N, existiert.
Dann existiert das p-te Moment der zentrierten Zufallsgröße
Y “ X ´ E pXq, und es gilt
µp pY q “ νp pXq “ E ppX ´ E pXqqp q .
Das p-te zentrale Moment νp pXq der Zufallsgröße X ist also gerade das
(gewöhnliche) p-te Moment der zentrierten Zufallsgröße X ´ E pXq und
kann zugleich als Erwartungswert spezieller Funktionen von der
Zufallsgröße aufgefasst werden.
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2.2 Momente
| 111 |
2.29 Satz
Sei X eine Zufallsgröße, deren p-tes Moment µp pXq, p P N, existiert.
Dann existiert für a, b P R auch νp paX ` bq, und es gilt
νp paX ` bq “ ap νp pXq.
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2.2 Momente
| 112 |
2.30 Folgerung und Definition
Zentrale Momente einer Zufallsgröße sind invariant gegenüber
Verschiebungen (translationsinvariant).
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2.2 Momente
| 113 |
2.31 Satz
Sei X eine Zufallsgröße, deren p-tes Moment µp pXq, p P N, existiert.
Dann gilt für p “ 2, 3, 4
ν2 “ µ2 ´ µ21 ,
ν3 “ µ3 ´ 3µ2 µ1 ` 2µ31 ,
ν4 “ µ4 ´ 4µ3 µ1 ` 6µ2 µ21 ´ 3µ41 ,
und allgemein
νp “ µp `
p´1
ÿˆ
q“2
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˙
p
µq p´µqp´q ` p´1qp´1 pp ´ 1qµp
q
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für p P N.
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2.2 Momente
| 114 |
2.32 Satz
Sei X eine Zufallsgröße, deren p-tes Moment µp pXq, p P N, existiert.
Dann gilt für p “ 2, 3, 4
µ2 “ ν2 ` µ21 ,
µ3 “ ν3 ` 3ν2 µ1 ` µ31 ,
µ4 “ ν4 ` 4ν3 µ1 ` 6ν2 µ21 ` µ41 ,
und allgemein
µp “ νp `
p´1
ÿˆ
q“2
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˙
p
νq µp´q ` µp
q
Wahrscheinlichkeitstheorie
für p P N.
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2.2 Momente
| 115 |
2.33 Beispiel
Für die Zufallsgröße X mit der Dichtefunktion
fX pxq “ λ e´λx Ir0,8q pxq für λ ą 0
gilt
ν2 pXq “
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1
,
λ2
ν3 pXq “
2
,
λ3
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ν4 pXq “
9
.
λ4
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2.2 Momente
| 116 |
2.34 Satz
Sei X eine symmetrische Zufallsgröße, deren p-tes Moment µp pXq, p P N,
existiert. Dann gilt
(1)
µp pXq “ 0,
falls p ungerade;
(2)
νp pXq “ µp pXq.
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2.2 Momente
| 117 |
2.35 Anmerkungen
Neben den gewöhnlichen und zentralen Momenten spielen auch
absolute Momente E p|X|p q bzw. absolute zentrale Momente
E p|X ´ E pXq |p q eine Rolle, zum Teil auch nicht nur für Werte
p P N.
Für eine nichtnegative Zufallsgröße X mit existierendem p-ten
Moment (p ě 1) gilt
ż8
p
µp pXq “ E pX q “ p
PpX ě tqtp´1 dt .
0
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2.3 Variabilitätskenngrößen
| 118 |
2.36 Definition
Sei X eine Zufallsgröße, deren zweites Moment existiert. Das zweite
zentrale Moment ν2 pXq der Zufallsgröße X wird Varianz der Zufallsgröße
X genannt und man schreibt dafür
´
¯
σ 2 :“ σ 2 pXq :“ Var pXq :“ ν2 pXq “ E pX ´ E pXqq2 ě 0.
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2.3 Variabilitätskenngrößen
| 119 |
2.37 Anmerkung (Bedeutung der Varianz)
mittlere quadratische Abweichung einer Zufallsgröße von ihrem
Erwartungswert
Je größer die Varianz, desto weiter sind die Werte der Zufallsgröße X
um E pXq herum verteilt.
Je kleiner die Varianz, desto stärker konzentriert sich die Verteilung
um den Erwartungswert herum.
beschreibt die Variabilität, das Streuverhalten einer Zufallsgröße
wichtigste Variabilitätskenngröße, wichtigster Streuungsparameter
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2.3 Variabilitätskenngrößen
| 120 |
2.38 Beispiel
Für die stetige Zufallsgröße X aus Beispiel 2.6 mit der Dichtefunktion
fX pxq “
1
I
pxq
b ´ a ra,bs
für
´8ăaăbă8
gilt
ż ˆ
Var pXq “
a`b
x´
2
˙2
fX pxq dx “
pa ´ bq2
.
12
R
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2.3 Variabilitätskenngrößen
| 121 |
2.39 Satz
(1) Für c P R sei X “ c P-fast sicher. Dann existiert Var pXq, und es gilt
Var pXq “ 0.
(2) Sei X eine Zufallsgröße, deren zweites Moment existiert. Dann gilt
` ˘
Var pXq “ E X 2 ´ E pXq2 .
Insbesondere folgt
` ˘
E pXq2 ď E X 2 .
(3) Sei X eine Zufallsgröße, deren zweites Moment existiert. Dann gilt für
a, b P R
Var paX ` bq “ a2 Var pXq .
Somit ist die Varianz eine translationsinvariante Kenngröße.
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2.3 Variabilitätskenngrößen
| 122 |
2.40 Definition
(1) Sei X eine Zufallsgröße, deren zweites Moment existiert. Dann heißt
c ´
¯
a
σ :“ σpXq :“ sd pXq :“ Var pXq “ E pX ´ E pXqq2 ě 0
Standardabweichung der Zufallsgröße X.
(2) Für eine Zufallsgröße X mit existierendem zweiten Moment und
Var pXq ą 0 ist
X ´ E pXq
X̃ :“
sd pXq
die Standardisierung von X.
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2.3 Variabilitätskenngrößen
| 123 |
2.41 Anmerkungen
(1) Die Maßeinheit der Varianz einer Zufallsgröße X ist das Quadrat der
Maßeinheit von X. Diese Maßeinheit ist häufig schwer oder nicht zu
interpretieren.
(2) Die Standardabweichung einer Zufallsgröße X hat hingegen dieselbe
Maßeinheit wie X und ist deshalb einfacher zu interpretieren.
(3) Die Standardabweichung einer Zufallsgröße ist eine
translationsinvariante Kenngröße.
(4) Für a, b P R gilt sd paX ` bq “ |a| sd pXq .
(5) Für die Standardisierung X̃ von X gelten
´ ¯
´ ¯
E X̃ “ 0 ,
Var X̃ “ 1 ,
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´ ¯
sd X̃ “ 1 .
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2.3 Variabilitätskenngrößen
| 124 |
2.42 Beispiel
Für die stetige Zufallsgröße X aus Beispiel 2.38 mit der Dichtefunktion
fX pxq “
1
I
pxq
b ´ a ra,bs
für
´8ăaăbă8
gilt
sd pXq “
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b´a
? .
2 3
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2 Kenngrößen für Zufallsgrößen
2.3 Variabilitätskenngrößen
| 125 |
2.43 Definition
Sei X eine Zufallsgröße, deren zweites Moment existiert, und es gelte
E pXq ‰ 0. Dann heißt
sd pXq
cv pXq :“
E pXq
(Pearsonscher) Variationskoeffizient der Zufallsgröße X.
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2 Kenngrößen für Zufallsgrößen
2.3 Variabilitätskenngrößen
| 126 |
2.44 Anmerkungen
(1) Der Variationskoeffizient ist eine dimensionslose Kenngröße.
(2) Für a ą 0 gilt
cv paXq “ cv pXq .
Der Variationskoeffizient ist folglich eine skaleninvariante Kenngröße.
(3) Teilweise wird der Variationskoeffizient nur für nichtnegative
Zufallsgrößen oder auch durch die Beziehung
cv pXq :“
sd pXq
ě0
|E pXq|
definiert.
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2 Kenngrößen für Zufallsgrößen
2.3 Variabilitätskenngrößen
| 127 |
2.45 Anmerkung (Bedeutung des Variationskoeffizienten)
Als relative Kenngröße ist der Variationskoeffizient besonders zum
Vergleich der Variabilität verschiedener Zufallsgrößen bzw.
Verteilungen geeignet.
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2 Kenngrößen für Zufallsgrößen
2.3 Variabilitätskenngrößen
| 128 |
2.46 Beispiel
Für die Zufallsgröße X mit der Dichtefunktion
fX pxq “ λ e´λx Ir0,8q pxq für λ ą 0
gilt (vgl. Beispiele 2.7 und 2.33)
cv pXq ” 1 für alle λ ą 0.
Der Variationskoeffizient ist folglich unabhängig vom Parameter λ ą 0.
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2 Kenngrößen für Zufallsgrößen
2.4 Schiefe und Wölbung
| 129 |
2.47 Definition
Sei X eine Zufallsgröße, deren drittes Moment existiert mit Var pXq ą 0.
Dann heißt
ν3 pXq
ν3 pXq
γ pXq :“ 3
“ 3{2
σ pXq
ν pXq
2
(Charliersche) Schiefe der Zufallsgröße X.
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2 Kenngrößen für Zufallsgrößen
2.4 Schiefe und Wölbung
| 130 |
2.48 Satz
Sei X eine Zufallsgröße, deren drittes Moment existiert mit Var pXq ą 0.
(1) Dann existiert für a ‰ 0 und b P R auch γ paX ` bq, und es gilt
γ paX ` bq “ sign paq γ pXq .
(2) Ist X̃ die Standardisierung der Zufallsgröße X , dann gilt
´ ¯
γ pXq “ µ3 X̃ .
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2.4 Schiefe und Wölbung
| 131 |
2.49 Anmerkungen
(1) Die Schiefe ist eine dimensionslose Kenngröße.
(2) Die Schiefe ist eine translationsinvariante Kenngröße.
(3) Die Schiefe ist eine skaleninvariante Kenngröße.
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2 Kenngrößen für Zufallsgrößen
2.4 Schiefe und Wölbung
| 132 |
2.50 Anmerkung (Bedeutung der Schiefe)
Die Schiefe beschreibt die Asymmetrie einer Verteilung.
Symmetrische Verteilungen haben die Schiefe 0.
Eine rechtsschiefe (auch: linkssteile) Verteilung hat eine positive
Schiefe.
Hingegen ist die Schiefe einer linksschiefen (auch: rechtssteilen)
Verteilung negativ.
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2 Kenngrößen für Zufallsgrößen
2.4 Schiefe und Wölbung
| 133 |
2.51 Beispiel
Für die Zufallsgröße X aus Beispiel 2.33 mit der Dichtefunktion
fX pxq “ λ e´λx Ir0,8q pxq für λ ą 0
gilt
γ pXq ” 2 für alle λ ą 0.
Die Schiefe ist somit unabhängig vom Parameter λ ą 0.
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2.4 Schiefe und Wölbung
| 134 |
2.52 Definition
Sei X eine Zufallsgröße, deren viertes Moment existiert mit Var pXq ą 0.
Dann heißt
ν4 pXq
ν4 pXq
“ 2
κpXq :“ 4
σ pXq
ν2 pXq
Wölbung oder Kurtosis der Zufallsgröße X.
Die Größe
εpXq :“ κpXq ´ 3
heißt Exzess der Zufallsgröße X.
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2 Kenngrößen für Zufallsgrößen
2.4 Schiefe und Wölbung
| 135 |
2.53 Satz
Sei X eine Zufallsgröße, deren viertes Moment existiert mit Var pXq ą 0.
(1) Dann existiert für a ‰ 0 und b P R auch κ paX ` bq, und es gelten
κ paX ` bq “ κ pXq
und ε paX ` bq “ ε pXq .
(2) Ist X̃ die Standardisierung der Zufallsgröße X , dann gilt
´ ¯
γ pXq “ µ4 X̃ .
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2 Kenngrößen für Zufallsgrößen
2.4 Schiefe und Wölbung
| 136 |
2.54 Anmerkungen
(1) Wölbung und Exzess sind dimensionslose, translationsinvariante und
skaleninvariante Kenngrößen.
(2) Der Exzess einer Zufallsgröße beschreibt die Abweichung der Wölbung
im Vergleich zu einer Normalverteilung mit demselben Erwartungswert
und derselben Varianz. So werden Dichtefunktionen unterteilt in
normalgipflig (εpXq “ 0);
steilgipflig (εpXq ą 0) bzw.
flachgipflig (εpXq ă 0).
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2 Kenngrößen für Zufallsgrößen
2.5 Kovarianz und Korrelationskoeffizient
| 137 |
2.55 Definition
Seien X und Y Zufallsgrößen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum
pΩ, F, Pq, deren zweites Moment existiert. Dann heißt
Cov pX, Y q :“ E ppX ´ E pXqqpY ´ E pY qqq
Kovarianz der Zufallsgrößen X und Y .
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2.5 Kovarianz und Korrelationskoeffizient
| 138 |
2.56 Satz
Seien X und Y Zufallsgrößen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum
pΩ, F, Pq, deren zweites Moment existiert.
(1) Offensichtlich ist
Cov pX, Y q “ Cov pY, Xq .
(2) Es gilt
Cov pX, Y q “ E pXY q ´ E pXq E pY q .
(3) Für a, b, c, d P R gilt
Cov paX ` b, cY ` dq “ ac Cov pX, Y q .
Insbesondere ist die Kovarianz eine translationsinvariante Kenngröße.
(4) Speziell gilt
Cov pX, Xq “ Var pXq .
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2 Kenngrößen für Zufallsgrößen
2.5 Kovarianz und Korrelationskoeffizient
| 139 |
2.57 Satz
Seien X und Y Zufallsgrößen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum
pΩ, F, Pq, deren zweites Moment existiert.
(1) Dann existiert auch Var pX ` Y q, und es gilt
Var pX ` Y q “ Var pXq ` Var pY q ` 2 Cov pX, Y q .
(2) Sind die Zufallsgrößen X und Y unabhängig, dann gilt
Cov pX, Y q “ 0
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und
Var pX ` Y q “ Var pXq ` Var pY q .
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2.5 Kovarianz und Korrelationskoeffizient
| 140 |
2.58 Aufgabe
Seien Xi und Yi , i “ 1, 2, Zufallsgrößen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum
pΩ, F, Pq, deren zweites Moment existiert. Zeigen Sie, dass dann gilt
Cov pX1 ` X2 , Y1 ` Y2 q “
“ Cov pX1 , Y1 q ` Cov pX1 , Y2 q ` Cov pX2 , Y1 q ` Cov pX2 , Y2 q .
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2.5 Kovarianz und Korrelationskoeffizient
| 141 |
2.59 Definitionen
Seien X und Y Zufallsgrößen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum
pΩ, F, Pq, deren zweites Moment existiert. Weiterhin sei Var pXq ą 0
und Var pY q ą 0. Dann heißt
Cov pX, Y q
Cov pX, Y q
“
% :“ %pX, Y q :“ Corr pX, Y q :“ a
sd
pXq sd pY q
Var pXq Var pY q
(Pearsonscher) Korrelationskoeffizient bzw.
(gewöhnlicher) Korrelationskoeffizient
der Zufallsgrößen X und Y .
Ist der Korrelationskoeffizient positiv (negativ), so nennt man die
Zufallsgrößen X und Y positiv (negativ) korreliert.
Für Corr pX, Y q “ 0 heißen die Zufallsgrößen X und Y unkorreliert.
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2 Kenngrößen für Zufallsgrößen
2.5 Kovarianz und Korrelationskoeffizient
| 142 |
2.60 Satz
Seien X und Y Zufallsgrößen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum
pΩ, F, Pq, deren zweites Moment existiert. Weiterhin sei Var pXq ą 0 und
Var pY q ą 0.
(1) Offensichtlich ist Corr pX, Y q “ Corr pY, Xq.
(2) Für a “ 0, b, c “ 0, d P R gilt
Corr paX ` b, cY ` dq “ sign pacq Corr pX, Y q .
(3) Speziell gilt für a “ 0, b P R, dass Corr pX, aX ` bq “ sign paq.
(4) Ist X̃ bzw. Ỹ die Standardisierung von X bzw. Y , dann gilt
´
¯
Corr pX, Y q “ E X̃ ¨ Ỹ .
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2 Kenngrößen für Zufallsgrößen
2.5 Kovarianz und Korrelationskoeffizient
| 143 |
2.61 Anmerkungen
(1) Die Maßeinheit der Kovarianz Cov pX, Y q zweier Zufallsgrößen X und
Y ist das Produkt der Maßeinheiten von X und Y . Diese Maßeinheit
ist häufig schwer oder nicht zu interpretieren.
(2) Der Korrelationskoeffizient ist hingegen eine dimensionslose
Kenngröße.
(3) Der Korrelationskoeffizient ist eine translationsinvariante Kenngröße.
(4) Der Korrelationskoeffizient ist eine skaleninvariante Kenngröße.
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2 Kenngrößen für Zufallsgrößen
2.5 Kovarianz und Korrelationskoeffizient
| 144 |
2.62 Satz
Seien X und Y Zufallsgrößen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum
pΩ, F, Pq, deren zweites Moment existiert. Weiterhin sei Var pXq ą 0 und
Var pY q ą 0.
(1) Es gilt
´1 ď Corr pX, Y q ď 1.
(2) Es gilt |Corr pX, Y q| “ 1 genau dann, wenn Konstanten a ‰ 0 und
b P R existieren mit Y “ aX ` b P-f.s.
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2 Kenngrößen für Zufallsgrößen
2.5 Kovarianz und Korrelationskoeffizient
| 145 |
2.63 Anmerkung (Bedeutung des Korrelationskoeffizienten)
Der Korrelationskoeffizient ist ein Maß für die Stärke des linearen
Zusammenhangs zwischen zwei Zufallsgrößen.
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2 Kenngrößen für Zufallsgrößen
2.5 Kovarianz und Korrelationskoeffizient
| 146 |
2.64 Satz
Seien X und Y Zufallsgrößen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum
pΩ, F, Pq, deren zweites Moment existiert. Weiterhin sei Var pXq ą 0 und
Var pY q ą 0. Sind die Zufallsgrößen X und Y unabhängig, dann gilt
Corr pX, Y q “ 0.
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2 Kenngrößen für Zufallsgrößen
2.5 Kovarianz und Korrelationskoeffizient
| 147 |
2.65 Beispiel
Sei X eine diskrete Zufallsgröße mit dem Wertebereich
WX “ t´1, 0, 1uund den Einzelwahrscheinlichkeiten
1
PpX “ ´1q “ PpX “ 0q “ PpX “ 1q “ .
3
Offensichtlich sind die Zufallsgrößen X und Y “ X 2 abhängig. Jedoch ist
Corr pX, Y q “ 0.
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2 Kenngrößen für Zufallsgrößen
2.5 Kovarianz und Korrelationskoeffizient
| 148 |
2.66 Definition
Sei X “ pX1 , . . . , Xd qT ein Zufallsvektor und die Erwartungswerte E pXi q
der einzelnen Komponenten Xi , i “ 1, . . . , d, mögen existieren. Dann
versteht man unter dem Erwartungswert E pXq des Zufallsvektors X
(auch: Erwartungswertvektor) den Vektor der Erwartungswerte
pE pX1 q , . . . , E pXd qqT .
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2 Kenngrößen für Zufallsgrößen
2.5 Kovarianz und Korrelationskoeffizient
| 149 |
2.67 Definition
Sei X “ pX1 , . . . , Xd qT ein Zufallsvektor und die zweiten Momente der
einzelnen Komponenten Xi , i “ 1, . . . , d, mögen existieren. Dann heißt die
Matrix
Σ “ pσi,j qdi,j“1
mit
σi,j “ Cov pXi , Xj q ,
i, j “ 1, . . . , d,
Kovarianzmatrix des Zufallsvektors X.
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2 Kenngrößen für Zufallsgrößen
2.5 Kovarianz und Korrelationskoeffizient
| 150 |
2.68 Satz und Definition
Sei X “ pX1 , . . . , Xd qT ein Zufallsvektor und die zweiten Momente der
einzelnen Komponenten Xi , i “ 1, . . . , d, mögen existieren. Dann gilt
(1) Die Kovarianzmatrix ist eine reelle symmetrische Matrix.
(2) Die Kovarianzmatrix ist positiv semidefinit, d.h.
~xT Σ ~x ě 0
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für alle ~x P Rd .
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2 Kenngrößen für Zufallsgrößen
2.5 Kovarianz und Korrelationskoeffizient
| 151 |
2.69 Beispiel
Seien X1 und X2 Zufallsgrößen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum
pΩ, F, Pq, deren zweites Moment existiert. Weiterhin sei
σ12 “ Var pX1 q ą 0 und σ22 “ Var pX2 q ą 0 , sowie % “ Corr pX1 , X2 q .
Dann hat die Kovarianzmatrix Σ die Gestalt
ˆ 2
˙
σ1
% σ1 σ2
Σ“
.
% σ1 σ2
σ22
Sind X1 und X2 unkorreliert, d.h. % “ 0, dann ist die Kovarianzmatrix Σ
eine Diagonalmatrix
ˆ 2
˙
σ1 0
Σ“
.
0 σ22
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Sommersemester 2017
3 Transformationen von Zufallsgrößen
| 152 |
Problem
Seien X1 , . . . , Xd Zufallsgrößen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum
pΩ, F, Pq mit bekanntem Verteilungsgesetz PX1 ,...,Xd und g : Rd Ñ R
eine messbare Funktion. Welche Verteilung hat dann die Zufallsgröße
Y “ gpX1 , . . . , Xd q ?
Gesucht ist also
PY
oder FY
bzw. speziell
fY
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oder yk P WY
und
PpY “ yk q .
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3 Transformationen von Zufallsgrößen
3.1 Die Verteilungsfunktion unter Transformationen
| 153 |
3.1 Satz
Seien X1 , . . . , Xd Zufallsgrößen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum
pΩ, F, Pq und g : Rd Ñ R eine messbare Funktion. Dann gilt für die
Zufallsgröße Y “ gpX1 , . . . , Xd q
PY “ PX1 ,...,Xd ˝g ´1 “ P ˝pX1 , . . . , Xd q´1 ˝ g ´1
und somit
FY pyq “ PX1 ,...,Xd pg ´1 pp´8, yqqq “ PppX1 , . . . , Xd q´1 pg ´1 pp´8, yqqqq .
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3 Transformationen von Zufallsgrößen
3.1 Die Verteilungsfunktion unter Transformationen
| 154 |
3.2 Beispiel
Sei X eine stetige Zufallsgröße. Dann gilt für die Zufallsgröße Y “ X 2
#
` ? ˘
` ? ˘
FX ` y ´ FX ´ y für y ą 0 ,
FY pyq “
0
für y ď 0 .
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3 Transformationen von Zufallsgrößen
3.1 Die Verteilungsfunktion unter Transformationen
| 155 |
3.3 Satz
Sei X eine Zufallsgröße und g : R Ñ R eine streng monoton wachsende
stetige Funktion mit
m “ inf gpxq und M “ sup gpxq.
xPR
xPR
Dann gilt für die Zufallsgröße Y “ gpXq
$
0
’
&
`
˘
FX g ´1 pyq
FY pyq “
’
%
1
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für y ď m ,
für m ă y ă M ,
für y ě M .
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3 Transformationen von Zufallsgrößen
3.1 Die Verteilungsfunktion unter Transformationen
| 156 |
3.4 Beispiele
Sei X eine Zufallsgröße. Dann gilt
(1)
ˆ
FaX`b pyq “ FX
y´b
a
˙
für a ą 0 ;
(2)
#
FeX pyq “
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0
für y ď 0 ,
FX pln yq
für y ą 0 .
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3 Transformationen von Zufallsgrößen
3.2 Transformationssatz für Dichten
| 157 |
3.5 Satz (Transformationssatz für Dichten)
Sei X “ pX1 , . . . , Xd qT ein Zufallsvektor auf einem
Wahrscheinlichkeitsraum pΩ, F, Pq mit der Dichtefunktion fX bezüglich
des Lebesgue-Borel-Maßes auf pRd , Bd q .
Für eine offene Menge D Ď Rd gelte
ż
fX p~xq d~x “ 1 .
D
Die Abbildung g : D Ñ Rd sei injektiv und stetig.
Die inverse Abbildung g ´1 : Wg Ñ Rd sei stetig partiell
differenzierbar.
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3 Transformationen von Zufallsgrößen
3.2 Transformationssatz für Dichten
| 158 |
3.5 Satz (Fortsetzung)
Für die Determinante der Jacobi-Matrix gelte
´1
´1
Bg1
1
By1 p~y q . . . Bg
p~
y
q
Byd
.
.. .
Jg´1 p~y q “ .
. ‰ 0 für alle ~y P Wg .
´1
´1
Bgd
Bgd
By p~y q . . . By p~y q
1
d
Dann ist Y “ gpXq ebenfalls ein stetiger Zufallsvektor und besitzt die
Dichtefunktion
fY p~y q “ fX pg ´1 p~y qq |Jg´1 p~y q| IWg p~y q .
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3 Transformationen von Zufallsgrößen
3.2 Transformationssatz für Dichten
| 159 |
3.6 Anmerkung
Ist die Abbildung g : D Ñ Rd stetig differenzierbar, so kann in der
1
Behauptung von Satz 3.5 Jg´1 p~y q durch Jg pg´1
ersetzt werden,
p~
y qq
wobei
Bg1 p~xq . . . Bg1 p~xq
Bx1
Bxd
..
.. Jg p~xq “ .
‰ 0 für alle ~x P D .
.
Bgd
Bgd
Bx p~xq . . . Bx
p~xq
1
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d
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3 Transformationen von Zufallsgrößen
3.2 Transformationssatz für Dichten
| 160 |
3.7 Beispiel
Sei X “ pX1 , X2 qT ein stetiger Zufallsvektor mit der Dichtefunktion
fX1 ,X2 . Die Abbildung g : R2 Ñ R2 sei gegeben durch
g1 px1 , x2 q “ x1 ` x2
und g2 px1 , x2 q “ x2 .
Dann besitzt der Zufallsvektor
Y “ pY1 , Y2 qT “ pg1 pX1 , X2 q, g2 pX1 , X2 qqT “ pX1 ` X2 , X2 qT
die Dichtefunktion
fY1 ,Y2 py1 , y2 q “ fX1 ,X2 py1 ´ y2 , y2 q .
Insbesondere ergibt sich für die Randverteilung von Y1 “ X1 ` X2
ż
fX1 `X2 py1 q “ fX1 ,X2 py1 ´ y2 , y2 q dy2 .
R
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3 Transformationen von Zufallsgrößen
3.3 Summen unabhängiger Zufallsgrößen
| 161 |
3.8 Satz und Definition
Seien P1 und P2 zwei Wahrscheinlichkeitsmaße auf dem messbaren Raum
pR, Bq. Dann wird durch
ż ż
pP1 ˚ P2 qpBq :“
IB px1 ` x2 q P1 pdx1 q P2 pdx2 q für B P B
żR
R
P1 pB ´ x2 q P2 pdx2 q
“
żR
P2 pB ´ x1 q P1 pdx1 q
“
R
ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf pR, Bq definiert. Dieses Maß P1 ˚ P2
wird die Faltung der Wahrscheinlichkeitsmaße P1 und P2 genannt.
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3 Transformationen von Zufallsgrößen
3.3 Summen unabhängiger Zufallsgrößen
| 162 |
3.9 Beispiel
Für die Dirac-Maße δx1 und δx2 auf pR, Bq, x1 , x2 P R , gilt
δx1 ˚ δx2 “ δx1 `x2 .
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3 Transformationen von Zufallsgrößen
3.3 Summen unabhängiger Zufallsgrößen
| 163 |
3.10 Anmerkung
Offensichtlich lässt sich die Definition der Faltung auf endliche viele
Wahrscheinlichkeitsmaße P1 , . . . , Pn verallgemeinern
ż
ż
pP1 ˚ . . . ˚ Pn qpBq :“ . . . IB px1 ` . . . ` xn q P1 pdx1 q . . . Pn pdxn q
R
R
für B P B .
Wie man leicht sieht, ist die Faltungsoperation sowohl assoziativ als auch
kommutativ.
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3 Transformationen von Zufallsgrößen
3.3 Summen unabhängiger Zufallsgrößen
| 164 |
3.11 Satz
Seien X1 und X2 unabhängige Zufallsgrößen auf einem
Wahrscheinlichkeitsraum pΩ, F, Pq. Dann gilt
PX1 `X2 “ PX1 ˚ PX2
und insbesondere
ż
ż
FX1 `X2 pxq “ FX1 px ´ x2 q PX2 pdx2 q “ FX2 px ´ x1 q PX1 pdx1 q .
R
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R
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3.3 Summen unabhängiger Zufallsgrößen
| 165 |
3.12 Satz
Es seien X1 und X2 unabhängige stetige Zufallsgrößen auf einem
Wahrscheinlichkeitsraum pΩ, F, Pq mit den Dichtefunktionen fX1 bzw.
fX2 . Dann ist X1 ` X2 ebenfalls eine stetige Zufallsgröße und besitzt die
Dichtefunktion
ż
fX1 `X2 pxq “ fX1 px ´ x2 qfX2 px2 q dx2
żR
fX2 px ´ x1 qfX1 px1 q dx1 .
“
R
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3.3 Summen unabhängiger Zufallsgrößen
| 166 |
3.13 Beispiel
Die Zufallsgrößen X1 und X2 seien unabhängig und mögen dieselbe
Verteilungsfunktion
´
¯
´λx
FX pxq “ 1 ´ e
Ip0,8q pxq , x P R, λ ą 0 ,
(vgl. Beispiel 2.17) besitzen. Dann gilt
”
ı
FX1 `X2 pxq “ 1 ´ p1 ` λxq e´λx Ip0,8q pxq
und
fX1 `X2 pxq “ λ2 x e´λx Ir0,8q pxq .
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3.4 Minimum und Maximum unabhängiger Zufallsgrößen
| 167 |
3.14 Satz
Seien X1 , . . . , Xd unabhängige Zufallsgrößen auf einem
Wahrscheinlichkeitsraum pΩ, F, Pq mit der Verteilungsfunktion FXi pxq ,
i “ 1, . . . , d . Dann gilt für die Zufallsgrößen
Xmax “ max tX1 , . . . , Xd u
FXmax pxq “
d
ź
FXi pxq
bzw.
bzw.
Xmin “ min tX1 , . . . , Xd u
FXmin pxq “ 1 ´
i“1
TU Bergakademie Freiberg
d
ź
p1 ´ FXi pxqq .
i“1
Wahrscheinlichkeitstheorie
Sommersemester 2017
3 Transformationen von Zufallsgrößen
3.4 Minimum und Maximum unabhängiger Zufallsgrößen
| 168 |
3.15 Definitionen
Sei pΩ, F, Pq ein Wahrscheinlichkeitsraum und I ‰ ∅ eine beliebige
Indexmenge. Für i P I sei Xi eine Zufallsgröße auf dem
Wahrscheinlichkeitsraum pΩ, F, Pq.
Dann heißt die Familie pXi qiPI von Zufallsgrößen identisch verteilt,
falls PXi “ PXj für alle i, j P I .
Ist I “ t1, . . . , nu so werden die Zufallsgrößen X1 , . . . , Xn
identisch verteilt genannt.
Für I “ N spricht man von einer identisch verteilten Folge pXi qiPN
von Zufallsgrößen.
Ist eine Familie pXi qiPI von identisch verteilten Zufallsgrößen
zugleich auch noch eine Familie von unabhängigen Zufallsgrößen, so
spricht man von einer unabhängigen, identisch verteilten Familie von
Zufallsgrößen und verwendet dafür die Abkürzung i.i.d. ( independent
”
and identically distributed“).
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Wahrscheinlichkeitstheorie
Sommersemester 2017
3 Transformationen von Zufallsgrößen
3.4 Minimum und Maximum unabhängiger Zufallsgrößen
| 169 |
3.16 Folgerung
Seien X1 , . . . , Xd i.i.d. Zufallsgrößen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum
pΩ, F, Pq mit der Verteilungsfunktion FX . Dann gilt für die Zufallsgrößen
Xmax “ max tX1 , . . . , Xd u
FXmax pxq “ pFX pxqqd
bzw.
bzw.
Xmin “ min tX1 , . . . , Xd u
FXmin pxq “ 1 ´ p1 ´ FX pxqqd .
Sind die Zufallsgrößen Xi außerdem stetig und die Verteilungsfunktion
FX stetig differenzierbar, so gilt für die Dichtefunktionen
fXmax pxq “ d pFX pxqqd´1 fX pxq
bzw.
fXmin pxq “ d p1 ´ FX pxqqd´1 fX pxq ,
wobei fX “ FX1 λ-fast überall.
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3 Transformationen von Zufallsgrößen
3.4 Minimum und Maximum unabhängiger Zufallsgrößen
| 170 |
3.17 Beispiel
Die i.i.d. Zufallsgrößen X1 , . . . , Xd mögen die Verteilungsfunktion
´
¯
FX pxq “ 1 ´ e´λx Ip0,8q pxq , x P R , λ ą 0 ,
besitzen (vgl. Beispiel 2.17). Dann gilt
´
¯d´1
fXmax pxq “ λd 1 ´ e´λx
e´λx Ir0,8q pxq
bzw.
fXmin pxq “ λd e´λdx Ir0,8q pxq ,
d.h. das Minimum Xmin hat dieselbe Art von Verteilung wie die
Zufallsgrößen X1 , . . . , Xd , jedoch nicht mit dem Parameter λ ą 0 ,
sondern mit dem Parameter λd .
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Wahrscheinlichkeitstheorie
Sommersemester 2017
3 Transformationen von Zufallsgrößen
3.4 Minimum und Maximum unabhängiger Zufallsgrößen
| 171 |
3.18 Anmerkung (Anwendung in der Zuverlässigkeitstheorie)
(1) Ausfallwahrscheinlichkeit von in Reihe geschalteten Bauelementen
Ñ Minimum
(2) Ausfallwahrscheinlichkeit von parallel geschalteten Bauelementen
Ñ Maximum
(3) Berechnung der Ausfallwahrscheinlichkeit von komplexen Systemen
Ñ Kombination beider Situationen
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Wahrscheinlichkeitstheorie
Sommersemester 2017
4 Ausgewählte diskrete Verteilungen
| 172 |
Bestimmungsstücke und Kenngrößen einer diskreten Zufallsgröße
Sei X eine diskrete Zufallsgröße mit dem Wertebereich WX “ txk ukPI
und den Einzelwahrscheinlichkeiten ppk qkPI mit einer Indexmenge
∅ “ I Ď N . Dann gilt (vgl. die Sätze 1.42 und 2.22)
ÿ
ÿ
ÿ
p k “ 1 , PX “
pk δxk , FX pxq “
pk Ipxk ,8q pxq , x P R ,
kPI
kPI
µp pXq “
kPI
ÿ
xpk pk
für p P N ,
kPI
falls µp pXq existiert. Insbesondere ist (vgl. die Sätze 2.3 und 1.44)
ÿ
ÿ
E pXq “
xk pk und Var pXq “
pxk ´ E pXqq2 pk .
kPI
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kPI
Wahrscheinlichkeitstheorie
Sommersemester 2017
4 Ausgewählte diskrete Verteilungen
4.1 Einpunktverteilung
| 173 |
4.1 Definition
Eine Zufallsgröße X auf einem Wahrscheinlichkeitsraum pΩ, F, Pq
besitzt eine Einpunktverteilung im Punkt c P R , falls X “ c P-fast sicher.
Man spricht in diesem Fall auch von einer entarteten Verteilung im Punkt
c P R.
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Wahrscheinlichkeitstheorie
Sommersemester 2017
4 Ausgewählte diskrete Verteilungen
4.1 Einpunktverteilung
| 174 |
Bestimmungsstücke und Kenngrößen
Die Zufallsgröße X besitze eine Einpunktverteilung im Punkt c P R .
Dann gilt (vgl. Sätze 2.15 (1) und 2.39 (1))
WX “ tcu ,
p “ PpX “ cq “ 1 ,
PX “ δc ,
FX pxq “ Ipc,8q pxq ,
E pXq “ c ,
µp pXq “ cp
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Var pXq “ 0 ,
für p P N .
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Sommersemester 2017
4 Ausgewählte diskrete Verteilungen
4.2 Zweipunktverteilung
| 175 |
4.2 Definition
Eine Zufallsgröße X auf einem Wahrscheinlichkeitsraum pΩ, F, Pq
besitzt eine Zweipunktverteilung, falls X nur zwei verschiedene Werte
x1 P R und x2 P R annehmen kann.
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Wahrscheinlichkeitstheorie
Sommersemester 2017
4 Ausgewählte diskrete Verteilungen
4.2 Zweipunktverteilung
| 176 |
Modellvorstellung
Die Zweipunktverteilung wird als Modell für Zufallsexperimente benutzt,
bei denen es nur zwei mögliche Versuchsausgänge gibt.
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Wahrscheinlichkeitstheorie
Sommersemester 2017
4 Ausgewählte diskrete Verteilungen
4.2 Zweipunktverteilung
| 177 |
Bestimmungsstücke und Kenngrößen
Die Zufallsgröße X besitze eine Zweipunktverteilung. Dann gilt
WX “ tx1 , x2 u ,
pk “ PpX “ xk q ,
PX “ p1 δx1 ` p2 δx2 ,
k “ 1, 2 ,
p1 ` p2 “ 1 ,
FX pxq “ p1 Ipx1 ,8q pxq ` p2 Ipx2 ,8q pxq ,
E pXq “ p1 x1 ` p2 x2 ,
Var pXq “ px1 ´ x2 q2 p1 p2 ,
µp pXq “ p1 xp1 ` p2 xp2
für p P N .
Für eine eigentliche Zweipunktverteilung gelten 0 ă p1 ă 1 , 0 ă p2 ă 1 .
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Wahrscheinlichkeitstheorie
Sommersemester 2017
4 Ausgewählte diskrete Verteilungen
4.3 Bernoulli-Verteilung
| 178 |
4.3 Definition
Eine Zufallsgröße X auf einem Wahrscheinlichkeitsraum pΩ, F, Pq
besitzt eine Bernoulli-Verteilung mit dem Parameter p P r0, 1s , falls
X nur die Werte 0 und 1 annehmen kann mit PpX “ 1q “ p .
Hierfür schreibt man auch
X „ B ppq .
Anmerkung
Die Bernoulli-Verteilung ist eine spezielle Zweipunktverteilung. Es gilt
x1 “ 0 ,
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x2 “ 1 ,
p1 “ 1 ´ p
Wahrscheinlichkeitstheorie
und p2 “ p .
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4 Ausgewählte diskrete Verteilungen
4.3 Bernoulli-Verteilung
| 179 |
Modellvorstellung und Definitionen
Die Bernoulli-Verteilung wird für die Beschreibung von
Zufallsexperimenten benutzt, bei denen das Eintreten eines festen
Ereignisses A P F mit PpAq “ p P r0, 1s untersucht wird. Dabei
wird die Zufallsgröße X “ IA betrachtet.
Das Ereignis A tritt ein (Erfolg) : X “ 1 .
Das Ereignis A tritt nicht ein (Misserfolg) : X “ 0 .
Diese Art von Experiment nennt man Bernoulli-Experiment.
Die Wahrscheinlichkeit p “ PpX “ 1q “ PpAq wird
Erfolgswahrscheinlichkeit genannt.
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Wahrscheinlichkeitstheorie
Sommersemester 2017
4 Ausgewählte diskrete Verteilungen
4.3 Bernoulli-Verteilung
| 180 |
Beispiele
Auftreten von Zahl beim Wurf einer idealen Münze pp “ 0.5q .
Beim Werfen eines Kronverschlusses fällt der Verschluss auf die glatte
Seite pp « 0.6q .
Ein zufällig heruntergefallenes Marmeladenbrötchen landet auf der
Marmeladenseite (gefühlt: p “ 1) .
Ziehen eines Loses auf dem Rummel (Niete oder Gewinn).
Ein zufällig aus einem Warenposten ausgewähltes Werkstück ist
Ausschuss.
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Wahrscheinlichkeitstheorie
Sommersemester 2017
4 Ausgewählte diskrete Verteilungen
4.3 Bernoulli-Verteilung
| 181 |
Bestimmungsstücke und Kenngrößen
Es sei X „ B ppq eine mit dem Parameter p P r0, 1s
Bernoulli-verteilte Zufallsgröße. Dann gilt
WX “ t0, 1u ,
p “ PpX “ 1q ,
PX “ p1 ´ pqδ0 ` pδ1 ,
E pXq “ p ,
$
0
’
&
1´p
FX pxq “
’
%
1
für x ď 0 ,
für 0 ă x ď 1 ,
für x ą 1,
Var pXq “ pp1 ´ pq ,
µq pXq “ p
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1 ´ p “ PpX “ 0q ,
für q P N .
Wahrscheinlichkeitstheorie
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4 Ausgewählte diskrete Verteilungen
4.4 Gleichverteilung
| 182 |
4.4 Definition
Eine Zufallsgröße X auf einem Wahrscheinlichkeitsraum pΩ, F, Pq
besitzt eine diskrete Gleichverteilung, falls X endlich viele Werte
x1 , . . . , xn P R , xi ‰ xj , i, j P t1, . . . , nu , jeweils mit der gleichen
Wahrscheinlichkeit annimmt. Hierfür schreibt man auch
X „ U tx1 , . . . , xn u .
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4 Ausgewählte diskrete Verteilungen
4.4 Gleichverteilung
| 183 |
Modellvorstellung
Bei einem Zufallsexperiment sind endlich viele Versuchsausgänge möglich.
Jeder Versuchsausgang hat dieselbe Wahrscheinlichkeit.
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4 Ausgewählte diskrete Verteilungen
4.4 Gleichverteilung
| 184 |
Beispiel
Einmaliges Würfeln mit einem idealen Würfel.
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4 Ausgewählte diskrete Verteilungen
4.4 Gleichverteilung
| 185 |
Bestimmungsstücke und Kenngrößen
Es sei X „ U tx1 , . . . , xn u eine diskret gleichverteilte Zufallsgröße. Dann
gilt
WX “ tx1 , . . . , xn u ,
PX “
E pXq “
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n
1 ÿ
δx ,
n k“1 k
n
1 ÿ
xk ,
n k“1
pk “ PpX “ xk q “
FX pxq “
µp pXq “
1
,
n
k “ 1, . . . , n ,
n
1 ÿ
I
pxq ,
n k“1 pxk ,8q
n
1 ÿ p
x
n k“1 k
Wahrscheinlichkeitstheorie
für p P N .
Sommersemester 2017
4 Ausgewählte diskrete Verteilungen
4.5 Hypergeometrische Verteilung
| 186 |
4.5 Definition
Eine Zufallsgröße X auf einem Wahrscheinlichkeitsraum pΩ, F, Pq
besitzt eine hypergeometrische Verteilung mit den Parametern
N P N , K P t0, . . . , N u und n P t1, . . . , N u , falls X die Werte
k P tkmin , . . . , kmax u Ď t0, . . . , nu mit den Einzelwahrscheinlichkeiten
`K ˘`N ´K ˘
pk “ PpX “ kq “
k
`Nn´k
˘
n
annimmt, wobei kmin “ max t0, n ` K ´ N u und kmax “ min tK, nu .
Hierfür schreibt man auch
X „ Hyp pn, K, N q .
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Wahrscheinlichkeitstheorie
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4 Ausgewählte diskrete Verteilungen
4.5 Hypergeometrische Verteilung
| 187 |
Modellvorstellung: Urnenmodell ohne Zurücklegen
In einem nicht einsehbaren Gefäß (Urne) befinden sich N P N
gleichartige Objekte (z.B. Kugeln).
Davon besitzen K , K “ 0, . . . , N, dieser Objekte eine spezielle
Eigenschaft (z.B. rote Kugeln), die sie von den anderen N ´ K
Objekten (z.B. weiße Kugeln) unterscheiden.
Die Objekte in der Urne sind gut durchmischt, so dass jedes Objekt
die gleiche Chance hat, entnommen zu werden.
Nun werden nacheinander insgesamt n Objekte, n P t1, . . . , N u ,
entnommen (ohne das jeweils gezogene Objekt vor der nächsten
Entnahme wieder in die Urne zurückzulegen) und gezählt, wieviele der
entnommenen Objekte die spezielle Eigenschaft aufweisen.
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Wahrscheinlichkeitstheorie
Sommersemester 2017
4 Ausgewählte diskrete Verteilungen
4.5 Hypergeometrische Verteilung
| 188 |
Beispiel (Lotto 6 aus 49)
Von den N “ 49 Kugeln besitzen K “ 6 die spezielle Eigenschaft, dass
sie die von einem Spieler getippten
Zahlen sind. Es werden n “ 6 Kugeln
` ˘
gezogen. Folglich gibt es 49
“
13
983 816 mögliche Ziehungsergebnisse.
6
Es gibt nur einen Sechser, dessen Wahrscheinlichkeit ist
1{13 983 816 “ 0.00000007151 .
Die weiteren Wahrscheinlichkeiten sind:
Fünfer : 0.00001845 ,
Vierer : 0.00096862 und
Dreier : 0.017650404 .
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4 Ausgewählte diskrete Verteilungen
4.5 Hypergeometrische Verteilung
| 189 |
Anwendung
statistische Qualitätskontrolle (Stichprobenziehung ohne Zurücklegen,
z.B. bei zerstörender Prüfung von Werkstücken)
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Wahrscheinlichkeitstheorie
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4 Ausgewählte diskrete Verteilungen
4.5 Hypergeometrische Verteilung
| 190 |
Bestimmungsstücke und Kenngrößen
Es sei X „ Hyp pn, K, N q eine mit den Parametern
N P N , K P t0, . . . , N u und n P t1, . . . , N u hypergeometrisch verteilte
Zufallsgröße. Dann gilt
WX “ tmax t0, n ` K ´ N u , . . . , min tK, nuu ,
`K ˘`N ´K ˘
pk “ PpX “ kq “
k
`Nn´k
˘
,
k P WX ,
n
K
E pXq “ n ,
N
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K
Var pXq “ n
N
ˆ
˙
K N ´n
1´
.
N N ´1
Wahrscheinlichkeitstheorie
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4 Ausgewählte diskrete Verteilungen
4.6 Binomialverteilung
| 191 |
4.6 Definition
Eine Zufallsgröße X auf einem Wahrscheinlichkeitsraum pΩ, F, Pq
besitzt eine Binomialverteilung mit den Parametern n P N und p P r0, 1s ,
falls X die Werte k P t0, . . . , nu mit den Einzelwahrscheinlichkeiten
ˆ ˙
n k
p p1 ´ pqn´k
pk “ PpX “ kq “
k
annimmt. Hierfür schreibt man auch
X „ B pn; pq .
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Wahrscheinlichkeitstheorie
Sommersemester 2017
4 Ausgewählte diskrete Verteilungen
4.6 Binomialverteilung
| 192 |
Modellvorstellung: Urnenmodell mit Zurücklegen
In einer Urne befinden sich N P N gleichartige Objekte (z.B. Kugeln).
Darunter befinden sich Objekte mit einer speziellen Eigenschaft (z.B.
rote Kugeln), die sie von den anderen Objekten (z.B. weiße Kugeln)
unterscheiden.
Der Anteil der Objekte mit der speziellen Eigenschaft sei p ¨ 100% ,
p P r0, 1s .
Die Objekte in der Urne sind gut durchmischt, so dass jedes Objekt
die gleiche Chance hat, entnommen zu werden.
Nun wird ein Objekt aus der Urne entnommen und registiert, um
welche Art von Objekt es sich handelt.
Anschließend wird das Objekt wieder in die Urne zurückgelegt und die
Objekte wieder gut durchmischt.
Dieser Vorgang wird n-mal nacheinander ausgeführt und gezählt, wie
oft ein Objekt mit der speziellen Eigenschaft gezogen wurde.
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Wahrscheinlichkeitstheorie
Sommersemester 2017
4 Ausgewählte diskrete Verteilungen
4.6 Binomialverteilung
| 193 |
Anmerkungen und Definition
(1) Die Binomialverteilung beschreibt die n-malige unabhängige
Durchführung eines Bernoulli-Experiments.
(2) Diese Vorgehensweise nennt man auch Bernoulli-Schema.
(3) Die binomialverteilte Zufallsgröße X gibt an, wieviele Erfolge bei der
n-maligen unabhängigen Durchführung eines
Bernoulli-Experiments eingetreten sind, d.h. wie häufig dabei das
betrachtete Ereignis A eingetreten ist.
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Wahrscheinlichkeitstheorie
Sommersemester 2017
4 Ausgewählte diskrete Verteilungen
4.6 Binomialverteilung
| 194 |
Anwendung
statistische Qualitätskontrolle (Stichprobenziehung mit Zurücklegen,
z.B. bei zerstörungsfreier Prüfung von Werkstücken)
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Wahrscheinlichkeitstheorie
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4 Ausgewählte diskrete Verteilungen
4.6 Binomialverteilung
| 195 |
Bestimmungsstücke und Kenngrößen
Es sei X „ B pn; pq eine mit den Parametern n P N und p P r0, 1s
binomialverteilte Zufallsgröße. Dann gilt
ˆ ˙
n k
p p1 ´ pqn´k , k “ 0, . . . , n ,
WX “ t0, . . . , nu , pk “ PpX “ kq “
k
PX “
n
ÿ
pk δk ,
FX pxq “
k“0
E pXq “ np ,
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n
ÿ
pk Ipk,8q pxq ,
k“0
Var pXq “ npp1 ´ pq ,
Wahrscheinlichkeitstheorie
γ pXq “ a
1 ´ 2p
.
npp1 ´ pq
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4 Ausgewählte diskrete Verteilungen
4.6 Binomialverteilung
| 196 |
Spezialfall
Die Bernoulli-Verteilung ist eine spezielle Binomialverteilung. Es gilt
B ppq “ B p1; pq
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für p P r0, 1s .
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4 Ausgewählte diskrete Verteilungen
4.6 Binomialverteilung
| 197 |
Satz 4.6.1
Seien Xi „ B ppq , i “ 1, . . . , n , i.i.d. Bernoulli-verteilte Zufallsgrößen
mit dem Parameter p P r0, 1s . Dann gilt
X1 ` . . . ` Xn „ B pn; pq .
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4 Ausgewählte diskrete Verteilungen
4.6 Binomialverteilung
| 198 |
Satz 4.6.2
Seien X1 „ B pn1 ; pq und X2 „ B pn2 ; pq zwei unabhängige,
binomialverteilte Zufallsgrößen. Dann gilt
X1 ` X2 „ B pn1 ` n2 ; pq .
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4 Ausgewählte diskrete Verteilungen
4.6 Binomialverteilung
| 199 |
Vergleich von hypergeometrischer Verteilung und Binomialverteilung
˘
`
Es sei X „ Hyp pn, K, N q und Y „ B n; K
N . Dann gilt einerseits
E pXq “ E pY q “ n
K
N
und andererseits
Var pXq “ n
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K
N
ˆ
1´
K
N
˙
N ´n
K
ďn
N ´1
N
Wahrscheinlichkeitstheorie
ˆ
˙
K
1´
“ Var pY q .
N
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4 Ausgewählte diskrete Verteilungen
4.6 Binomialverteilung
| 200 |
Satz 4.6.3
Für N Ñ 8 und K Ñ 8 mit
`K ˘`N ´K ˘
k
`Nn´k
˘
n
K
N
Ñ p P r0, 1s gilt
ˆ ˙
n k
Ñ
p p1 ´ pqn´k
k
für k “ 0, . . . , n , n P N ,
d.h. die Einzelwahrscheinlichkeiten der hypergeometrischen Verteilung
konvergieren unter den oben genannten Bedingungen gegen die
Einzelwahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung.
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4 Ausgewählte diskrete Verteilungen
4.6 Binomialverteilung
| 201 |
Anmerkung
Für große Werte von N P N kann die hypergeometrische Verteilung
Hyp pn, K, N q durch die Binomialverteilung B pn; pq mit p “ K
N
approximiert werden.
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4 Ausgewählte diskrete Verteilungen
4.7 Geometrische Verteilung
| 202 |
4.7 Definition
Eine Zufallsgröße X auf einem Wahrscheinlichkeitsraum pΩ, F, Pq
besitzt eine geometrische Verteilung mit dem Parameter p P p0, 1q , falls
X die Werte k P N mit den Einzelwahrscheinlichkeiten
pk “ PpX “ kq “ pp1 ´ pqk´1
annimmt. Hierfür schreibt man auch
X „ Geo ppq .
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4 Ausgewählte diskrete Verteilungen
4.7 Geometrische Verteilung
| 203 |
Modellvorstellung
Die geometrische Verteilung beschreibt die Anzahl der Versuche im
Bernoulli-Schema bis zum ersten Erfolg, d.h. wieviele Versuche
durchgeführt werden müssen, bis zum ersten Mal das betrachtete Ereignis
A , der Erfolg, eintritt.
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4 Ausgewählte diskrete Verteilungen
4.7 Geometrische Verteilung
| 204 |
Anwendung
Versicherungsmathematik (Risikobestimmung)
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4 Ausgewählte diskrete Verteilungen
4.7 Geometrische Verteilung
| 205 |
Bestimmungsstücke und Kenngrößen
Es sei X „ Geo ppq eine mit dem Parameter p P p0, 1q geometrisch
verteilte Zufallsgröße. Dann gilt
WX “ N ,
PX “
pk “ PpX “ kq “ pp1 ´ pqk´1
8
ÿ
pk δk ,
FX pxq “
k“1
E pXq “
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1
,
p
8
ÿ
für k P N ,
pk Ipk,8q pxq ,
k“1
Var pXq “
1´p
,
p2
2´p
γ pXq “ ?
ą 0.
1´p
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4.7 Geometrische Verteilung
| 206 |
Satz und Definition
Es sei X „ Geo ppq eine mit dem Parameter p P p0, 1q geometrisch
verteilte Zufallsgröße. Dann gilt
PpX ě n ` k | X ą nq “ PpX ě kq für alle
n, k P N .
Diese Eigenschaft der geometrischen Verteilung wird Gedächtnislosigkeit
genannt.
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4.7 Geometrische Verteilung
| 207 |
Anmerkungen
Von der geometrischen Verteilung gibt es eine Variante, bei der nicht
die Anzahl der Versuche bis zum ersten Erfolg im
Bernoulli-Schema, sondern die Anzahl der Misserfolge vor dem
ersten Erfolg gezählt werden.
Dies führt zu einer Verschiebung des Wertebereiches der Zufallsgröße
und natürlich auch anderen Einzelwahrscheinlichkeiten.
Folglich unterscheiden sich auch Momente und damit im
Zusammenhang stehende Kenngrößen der beiden Varianten dieser
Verteilung.
In einigen Lehrbüchern bzw. Formelsammlungen wird beim Übergang
von der Betrachtung der Anzahl der Versuche zur Anzahl der
Misserfolge auch von der Erfolgswahrscheinlichkeit zur
Misserfolgswahrscheinlichkeit übergegangen, d.h. p und 1 ´ p
wechseln die Plätze.
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4 Ausgewählte diskrete Verteilungen
4.8 Negative Binomialverteilung
| 208 |
4.8 Definition
Eine Zufallsgröße X auf einem Wahrscheinlichkeitsraum pΩ, F, Pq
besitzt eine negative Binomialverteilung mit den Parametern n P N und
p P p0, 1q , falls X die Werte k P tn, n ` 1, . . .u mit den
Einzelwahrscheinlichkeiten
ˆ
˙
k´1 n
pk “ PpX “ kq “
p p1 ´ pqk´n
n´1
annimmt. Hierfür schreibt man auch
X „ NB pn; pq .
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4.8 Negative Binomialverteilung
| 209 |
Modellvorstellung
Die negative Binomialverteilung beschreibt die Anzahl der erforderlichen
Versuche im Bernoulli-Schema bis zum n-ten Erfolg.
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4.8 Negative Binomialverteilung
| 210 |
Anwendung
Versicherungsmathematik (Schadenzahlverteilung)
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4.8 Negative Binomialverteilung
| 211 |
Bestimmungsstücke und Kenngrößen
Es sei X „ NB pn; pq eine mit den Parametern n P N und p P p0, 1q
negativ binomialverteilte Zufallsgröße. Dann gilt
ˆ
˙
k´1 n
p p1 ´ pqk´n , k “ n, n ` 1, . . . ,
WX “ tn, n ` 1, . . .u , pk “
n´1
PX “
8
ÿ
pk δk ,
FX pxq “
k“n
E pXq “
n
,
p
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8
ÿ
pk Ipk,8q pxq ,
k“n
Var pXq “ n
1´p
,
p2
2´p
γ pXq “ a
ą 0.
np1 ´ pq
Wahrscheinlichkeitstheorie
Sommersemester 2017
4 Ausgewählte diskrete Verteilungen
4.8 Negative Binomialverteilung
| 212 |
Aufgabe 4.8.1
Seien Xi „ Geo ppq , i “ 1, . . . , n, i.i.d. geometrisch verteilte
Zufallsgrößen mit dem Parameter p P p0, 1q . Zeigen Sie, dass dann gilt
X1 ` . . . ` Xn „ NB pn; pq .
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Wahrscheinlichkeitstheorie
Sommersemester 2017
4 Ausgewählte diskrete Verteilungen
4.8 Negative Binomialverteilung
| 213 |
Spezialfall
Die geometrische Verteilung ist eine spezielle negative Binomialverteilung.
Es gilt
Geo ppq “ NB p1; pq für p P p0, 1q .
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Wahrscheinlichkeitstheorie
Sommersemester 2017
4 Ausgewählte diskrete Verteilungen
4.8 Negative Binomialverteilung
| 214 |
Aufgabe 4.8.2
Seien X1 „ NB pn1 ; pq und X2 „ NB pn2 ; pq zwei unabhängige, negativ
binomialverteilte Zufallsgrößen. Zeigen Sie, dass dann gilt
X1 ` X2 „ NB pn1 ` n2 ; pq .
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Wahrscheinlichkeitstheorie
Sommersemester 2017
4 Ausgewählte diskrete Verteilungen
4.8 Negative Binomialverteilung
| 215 |
Anmerkung
Von der negativen Binomialverteilung gibt es – in Analogie zur
geometrischen Verteilung – eine Variante, bei der nicht die Anzahl
der Versuche bis zum n-ten Erfolg im Bernoulli-Schema,
sondern die Anzahl der Misserfolge vor dem n-ten Erfolg gezählt
werden.
Dies führt analog zu einer Verschiebung des Wertebereiches der
Zufallsgröße und ebenso anderen Einzelwahrscheinlichkeiten.
Folglich unterscheiden sich auch Momente und damit im
Zusammenhang stehende Kenngrößen der beiden Varianten dieser
Verteilung.
In einigen Lehrbüchern bzw. Formelsammlungen wird beim Übergang
von der Betrachtung der Anzahl der Versuche zur Anzahl der
Misserfolge auch von der Erfolgswahrscheinlichkeit zur
Misserfolgswahrscheinlichkeit übergegangen, d.h. p und 1 ´ p
wechseln die Plätze.
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Wahrscheinlichkeitstheorie
Sommersemester 2017
4 Ausgewählte diskrete Verteilungen
4.9 Poisson-Verteilung
| 216 |
4.9 Definition
Eine Zufallsgröße X auf einem Wahrscheinlichkeitsraum pΩ, F, Pq
besitzt eine Poisson-Verteilung mit dem Parameter λ ą 0 , falls X die
Werte k P t0, 1, 2, . . .u mit den Einzelwahrscheinlichkeiten
pk “ PpX “ kq “
λk ´λ
e
k!
annimmt. Hierfür schreibt man auch
X „ Π pλq .
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Wahrscheinlichkeitstheorie
Sommersemester 2017
4 Ausgewählte diskrete Verteilungen
4.9 Poisson-Verteilung
| 217 |
Modellvorstellung und Definition
Die Poisson-Verteilung beschreibt die Anzahl von Ereignissen, die
mit konstanter Rate und unabhängig voneinander in einem festen
Zeitintervall oder räumlichen Gebiet eintreten.
Sie beschreibt näherungsweise die Anzahl der Erfolge bei sehr vielen
Versuchen im Bernoulli-Schema, wenn die
Erfolgswahrscheinlichkeit im einzelnen Bernoulli-Experiment sehr
klein ist.
Die Poisson-Verteilung wird deshalb auch die Verteilung der
seltenen Ereignisse genannt.
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Wahrscheinlichkeitstheorie
Sommersemester 2017
4 Ausgewählte diskrete Verteilungen
4.9 Poisson-Verteilung
| 218 |
Anwendungen
Physik (radioaktiver Zerfall, Anzahl emittierter Teilchen)
Versicherungsmathematik (Schadenzahlverteilung)
Operations Research (Verteilung der Anzahl der Ankünfte bei
Warteschlangenmodellen)
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Wahrscheinlichkeitstheorie
Sommersemester 2017
4 Ausgewählte diskrete Verteilungen
4.9 Poisson-Verteilung
| 219 |
Bestimmungsstücke und Kenngrößen
Es sei X „ Π pλq eine mit dem Parameter λ ą 0 Poisson-verteilte
Zufallsgröße. Dann gilt
WX “ t0, 1, . . .u ,
PX “
8
ÿ
pk “ PpX “ kq “
pk δk ,
FX pxq “
k“0
E pXq “ λ ,
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λk ´λ
e ,
k!
8
ÿ
k “ 0, 1, . . . ,
pk Ipk,8q pxq ,
k“0
Var pXq “ λ ,
1
γ pXq “ ? ą 0 .
λ
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Sommersemester 2017
4 Ausgewählte diskrete Verteilungen
4.9 Poisson-Verteilung
| 220 |
Aufgabe
Seien X1 „ Π pλ1 q und X2 „ Π pλ2 q zwei unabhängige,
Poisson-verteilte Zufallsgrößen. Zeigen Sie, dass dann gilt
X1 ` X2 „ Π pλ1 ` λ2 q .
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Wahrscheinlichkeitstheorie
Sommersemester 2017
4 Ausgewählte diskrete Verteilungen
4.9 Poisson-Verteilung
| 221 |
Satz 4.9.1
Seien X1 „ Π pλ1 q und X2 „ Π pλ2 q zwei unabhängige,
Poisson-verteilte Zufallsgrößen. Dann gilt
ˆ ˙
n k
PpX1 “ k | X1 ` X2 “ nq “
p p1 ´ pqn´k für alle k “ 0, . . . , n
k
mit
p“
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λ1
.
λ1 ` λ2
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4 Ausgewählte diskrete Verteilungen
4.9 Poisson-Verteilung
| 222 |
Satz 4.9.2
Für pn P r0, 1s mit lim npn “ λ ą 0 gilt
nÑ8
ˆ ˙
n k
λk ´λ
pn p1 ´ pn qn´k ÝÝÝÑ
e
nÑ8 k!
k
für k “ 0, 1, . . . ,
d.h. die Einzelwahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung konvergieren
unter den oben genannten Bedingungen gegen die
Einzelwahrscheinlichkeiten der Poisson-Verteilung.
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Wahrscheinlichkeitstheorie
Sommersemester 2017
4 Ausgewählte diskrete Verteilungen
4.9 Poisson-Verteilung
| 223 |
Anmerkungen
(1) Für große Werte von n P N kann die Binomialverteilung B pn; pq
durch die Poisson-Verteilung Π pλq mit λ “ np approximiert
werden.
(2) Für große Werte von N P N und n ď N kann die
hypergeometrische Verteilung Hyp pn, K, N q durch die
Poisson-Verteilung Π pλq mit λ “ n K
N approximiert werden.
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Wahrscheinlichkeitstheorie
Sommersemester 2017
5 Ausgewählte stetige Verteilungen
| 224 |
Bestimmungsstücke und Kenngrößen
Sei X eine stetige Zufallsgröße mit der Dichtefunktion fX . Dann gilt
(vgl. die Sätze 1.47 (2) und 2.24)
żx
FX pxq “
fX ptq dt
für x P R ,
´8
ż
xp fX pxq dx
µp pXq “
für p P N ,
R
falls µp pXq existiert. Insbesondere ist (vgl. die Sätze 2.5 und 1.50)
ż
ż
E pXq “ xfX pxq dx und Var pXq “ px ´ E pXqq2 fX pxq dx .
R
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R
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Sommersemester 2017
5 Ausgewählte stetige Verteilungen
5.1 Gleichverteilung
| 225 |
5.1 Definition
Eine stetige Zufallsgröße X auf einem Wahrscheinlichkeitsraum pΩ, F, Pq
besitzt eine stetige Gleichverteilung auf dem Intervall ra, bs ,
´8 ă a ă b ă `8 , falls ihre Dichtefunktion durch
fX pxq “
1
I
pxq ,
b ´ a ra,bs
x P R,
gegeben ist. Hierfür schreibt man auch
X „ Ura, bs .
Für die Gleichverteilung auf einem Intervall ist auch die Bezeichnung
Rechteckverteilung gebräuchlich.
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Wahrscheinlichkeitstheorie
Sommersemester 2017
5 Ausgewählte stetige Verteilungen
5.1 Gleichverteilung
| 226 |
Bedeutung der Parameter
a und b sind Lageparameter bzw. Verschiebungsparameter.
Sie begrenzen den Bereich, in dem die Wahrscheinlichkeitsmasse liegt.
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Wahrscheinlichkeitstheorie
Sommersemester 2017
5 Ausgewählte stetige Verteilungen
5.1 Gleichverteilung
| 227 |
Anmerkungen
(1) Die Gleichverteilung lässt sich auf einfache Weise von einem
abgeschlossenen Intervall ra, bs auf eine beliebige messbare Menge
B P B mit 0 ă λpBq ă 8 (insbesondere z.B. halboffene und offene
beschränkte Intervalle) verallgemeinern. Dazu verwendet man die
Dichtefunktion
fX pxq “
1
IB pxq
λpBq
für x P R .
(2) Auch auf den mehrdimensionalen Fall eines gleichverteilten stetigen
Zufallsvektors X bezüglich einer messbaren Menge B P Bd mit
0 ă λd pBq ă 8 kann die Gleichverteilung verallgemeinert werden.
Dazu verwendet man in analoger Weise die Dichtefunktion
fX p~xq “
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1
IB p~xq
λd pBq
für ~x P Rd .
Wahrscheinlichkeitstheorie
Sommersemester 2017
5 Ausgewählte stetige Verteilungen
5.1 Gleichverteilung
| 228 |
Anwendung
geometrische Wahrscheinlichkeiten
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Wahrscheinlichkeitstheorie
Sommersemester 2017
5 Ausgewählte stetige Verteilungen
5.1 Gleichverteilung
| 229 |
Bestimmungsstücke und Kenngrößen
Sei X „ Ura, bs eine auf dem Intervall ra, bs gleichverteilte Zufallsgröße.
Dann gilt (vgl. Beispiele 1.49, 2.6 und 2.38)
FX pxq “
E pXq “
x´a
I
pxq ` Ipb,8q pxq ,
b ´ a ra,bs
a`b
,
2
µp pXq “
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Var pXq “
pb ´ aq2
,
12
bp`1 ´ ap`1
pb ´ aqpp ` 1q
x P R,
γ pXq “ 0 ,
für p P N .
Wahrscheinlichkeitstheorie
Sommersemester 2017
5 Ausgewählte stetige Verteilungen
5.1 Gleichverteilung
| 230 |
Satz 5.1.1
Sei X „ Ura, bs eine auf dem Intervall ra, bs gleichverteilte Zufallsgröße.
Dann gilt für c, d P R, c ‰ 0 ,
#
Urac ` d, bc ` ds für c ą 0 ,
cX ` d „
Urbc ` d, ac ` ds für c ă 0 ,
d.h. die Familie der Gleichverteilungen auf abgeschlossenen beschränkten
Intervallen ist abgeschlossen bezüglich (nicht entarteter) linearer
Transformationen.
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Wahrscheinlichkeitstheorie
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5 Ausgewählte stetige Verteilungen
5.2 Cauchy-Verteilung
| 231 |
5.2 Definition
Eine stetige Zufallsgröße X auf einem Wahrscheinlichkeitsraum pΩ, F, Pq
besitzt eine Cauchy-Verteilung mit den Parametern µ P R und λ ą 0 ,
falls ihre Dichtefunktion durch
fX pxq “
1
λ
,
2
π λ ` px ´ µq2
x P R,
gegeben ist. Hierfür schreibt man auch
X „ C pµ; λq .
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Wahrscheinlichkeitstheorie
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5 Ausgewählte stetige Verteilungen
5.2 Cauchy-Verteilung
| 232 |
Bedeutung der Parameter
µ ist ein Lageparameter bzw. Verschiebungsparameter.
λ ist ein Skalenparameter (Stauchung bzw. Streckung der x-Achse)
bzw. Streuungsparameter.
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Wahrscheinlichkeitstheorie
Sommersemester 2017
5 Ausgewählte stetige Verteilungen
5.2 Cauchy-Verteilung
| 233 |
Bestimmungsstücke und Kenngrößen
Sei X „ C pµ; λq eine mit den Parametern µ P R und λ ą 0
Cauchy-verteilte Zufallsgröße. Dann gilt
˙
ˆ
1 1
x´µ
FX pxq “ ` arctan
, x P R.
2 π
λ
Sämtliche Momente und davon abgeleitete Kenngrößen existieren nicht.
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5 Ausgewählte stetige Verteilungen
5.2 Cauchy-Verteilung
| 234 |
Aufgabe
Sei X „ C pµ; λq eine mit den Parametern µ P R und λ ą 0
Cauchy-verteilte Zufallsgröße. Zeigen Sie, dass dann für a, b P R, a ‰ 0 ,
gilt
aX ` b „ C paµ ` b; |a|λq ,
d.h. die Familie der Cauchy-Verteilungen ist abgeschlossen bezüglich
(nicht entarteter) linearer Transformationen.
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Wahrscheinlichkeitstheorie
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5 Ausgewählte stetige Verteilungen
5.2 Cauchy-Verteilung
| 235 |
Anmerkung
Mit Hilfe von charakteristischen Funktionen (später) kann folgendes leicht
gezeigt werden.
Seien X1 „ C pµ1 ; λ1 q und X2 „ C pµ2 ; λ2 q unabhängige Zufallsgrößen.
Dann gilt
X1 ` X2 „ C pµ1 ` µ2 ; λ1 ` λ2 q ,
d.h. die Familie der Cauchy-Verteilungen ist abgeschlossen bezüglich der
Faltung, und
X1 ´ X2 „ C pµ1 ´ µ2 ; λ1 ` λ2 q .
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Wahrscheinlichkeitstheorie
Sommersemester 2017
5 Ausgewählte stetige Verteilungen
5.3 Normalverteilung
| 236 |
5.3 Definitionen
Eine stetige Zufallsgröße X auf einem Wahrscheinlichkeitsraum pΩ, F, Pq
besitzt eine Normalverteilung mit den Parametern µ P R und σ 2 ą 0 ,
falls ihre Dichtefunktion durch
fX pxq “ ?
px´µq2
1
e´ 2σ2 ,
2πσ
x P R,
gegeben ist. Hierfür schreibt man auch
`
˘
X „ N µ; σ 2 .
Der spezielle Fall N p0; 1q wird Standardnormalverteilung genannt.
(Manchmal ist es günstig, die Einpunktverteilung im Punkt µ P R als
Normalverteilung mit den Parametern µ und σ 2 “ 0 zu betrachten, dies
ist dann keine stetige Verteilung mehr.)
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Wahrscheinlichkeitstheorie
Sommersemester 2017
5 Ausgewählte stetige Verteilungen
5.3 Normalverteilung
| 237 |
Bedeutung der Parameter
µ ist ein Lageparameter bzw. Verschiebungsparameter.
σ 2 ist ein Skalenparameter bzw. Streuungsparameter.
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Wahrscheinlichkeitstheorie
Sommersemester 2017
5 Ausgewählte stetige Verteilungen
5.3 Normalverteilung
| 238 |
Anwendung
Bei der summarischen Überlagerung vieler kleiner unabhängiger
Einflüsse kann die daraus resultierende Größe annähernd durch eine
normalverteilte Zufallsgröße modelliert werden.
Beschreibung von Messfehlern in der Messtechnik.
Zufällige Abweichung von Nennwerten, z.B. von Abmessungen von
Werkstücken.
Zentrale Bedeutung als Grenzverteilung bei Grenzwertsätzen für
Summen von Zufallsgrößen.
Zentrale Verteilung der parametrischen Statistik.
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Wahrscheinlichkeitstheorie
Sommersemester 2017
5 Ausgewählte stetige Verteilungen
5.3 Normalverteilung
| 239 |
Bestimmungsstücke und Kenngrößen
`
˘
Sei X „ N µ; σ 2 eine mit den Parametern µ P R und σ 2 ą 0
normalverteilte Zufallsgröße. Dann gilt
ˆ
FX pxq “ Φ
x´µ
σ
˙
mit
1
Φpxq “ ?
2π
żx
t2
e´ 2 dt ,
x P R,
´8
E pXq “ µ ,
ν2p´1 pXq “ 0 ,
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Var pXq “ σ 2 ,
γ pXq “ 0,
ν2p pXq “ p2p ´ 1q!! σ 2p
Wahrscheinlichkeitstheorie
für p P N .
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5 Ausgewählte stetige Verteilungen
5.3 Normalverteilung
| 240 |
Aufgabe 5.3.1
`
˘
Sei X „ N µ; σ 2 eine mit den Parametern µ P R und σ 2 ą 0
normalverteilte Zufallsgröße. Zeigen Sie, dass dann für a, b P R, a ‰ 0, gilt
`
˘
aX ` b „ N aµ ` b; a2 σ 2 ,
d.h. die Familie der Normalverteilungen ist abgeschlossen bezüglich (nicht
entarteter) linearer Transformationen.
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Wahrscheinlichkeitstheorie
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5 Ausgewählte stetige Verteilungen
5.3 Normalverteilung
| 241 |
Folgerung
(1) Ist X „ N p0; 1q , so folgt für µ, σ P R, σ ‰ 0, dass
`
˘
σX ` µ „ N µ; σ 2 .
`
˘
(2) Ist X „ N µ; σ 2 , so ist
X ´µ
„ N p0; 1q .
σ
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Wahrscheinlichkeitstheorie
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5 Ausgewählte stetige Verteilungen
5.3 Normalverteilung
| 242 |
Satz 5.3.2
`
˘
`
˘
Seien X1 „ N µ1 ; σ12 und X2 „ N µ2 ; σ22 unabhängige
Zufallsgrößen. Dann gilt
`
˘
X1 ` X2 „ N µ1 ` µ2 ; σ12 ` σ22 ,
d.h. die Familie der Normalverteilungen ist abgeschlossen bezüglich der
Faltung, und
`
˘
X1 ´ X2 „ N µ1 ´ µ2 ; σ12 ` σ22 .
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Wahrscheinlichkeitstheorie
Sommersemester 2017
5 Ausgewählte stetige Verteilungen
5.3 Normalverteilung
| 243 |
Satz 5.3.3
Sei X „ N p0; 1q eine standardnormalverteilte Zufallsgröße.
(1) Für beliebige t ą 0 gilt
ˆ
˙
1
1
1
1 1 ´t2 {2
2
?
´ 3 e´t {2 ď 1 ´ Φptq “ PpX ą tq ď ?
e
.
t
2π t
2π t
(2) Für beliebige beschränkte stetig differenzierbare Funktionen
g : R Ñ R gilt
`
˘
E g 1 pXq “ E pXgpXqq .
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Sommersemester 2017
5 Ausgewählte stetige Verteilungen
5.4 Mehrdimensionale Normalverteilung
| 244 |
5.4 Definition
~ “ pX1 , . . . , Xd qT auf einem
Ein d-dimensionaler Zufallsvektor X
Wahrscheinlichkeitsraum pΩ, F, Pq besitzt eine d-dimensionale
Standardnormalverteilung, falls die Komponenten Xi , i “ 1, . . . , d ,
unabhängige standardnormalverteilte Zufallsgrößen sind. Man schreibt in
diesem Fall
´
¯
~ „ N ~0; Id ,
X
wobei Id die d-dimensionale Einheitsmatrix bezeichnet.
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Wahrscheinlichkeitstheorie
Sommersemester 2017
5 Ausgewählte stetige Verteilungen
5.4 Mehrdimensionale Normalverteilung
| 245 |
Satz 5.4.1
¯
´
~ ein stetiger Zufallsvektor mit
~ „ N ~0; Id . Dann ist X
Sei X
Dichtefunktion
fX~ p~xq “ a
1
p2πqd
1 T
~
x
e´ 2 ~x
1
1
2
“a
e´ 2 }~x} ,
d
p2πq
~x P Rd ,
(} ¨ } bezeichnet die Euklidische Norm in Rd ).
Außerdem gelten für den Erwartungswertvektor und die Kovarianzmatrix
´ ¯
´ ¯
~ “ ~0 ,
~ “ Id .
E X
Cov X
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Wahrscheinlichkeitstheorie
Sommersemester 2017
5 Ausgewählte stetige Verteilungen
5.4 Mehrdimensionale Normalverteilung
| 246 |
Definition 5.4.2
~ “ pX1 , . . . , Xn qT besitzt eine
Ein n-dimensionaler Zufallsvektor X
Normalverteilung, falls für einen d-dimensionalen standardnormalverteilten
~ , einen Vektor µ
Zufallsvektor Z
~ P Rn und eine n ˆ d´Matrix A gilt
~ “µ
~.
X
~ ` AZ
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Sommersemester 2017
5 Ausgewählte stetige Verteilungen
5.4 Mehrdimensionale Normalverteilung
| 247 |
Satz und Bezeichnung 5.4.3
~ “ pX1 , . . . , Xn qT aus
Für den n-dimensionalen Zufallsvektor X
Definition 5.4.2 gilt
´ ¯
´ ¯
~ “µ
~ “ AAT .
E X
~,
Cov X
Man schreibt in diesem Fall
`
˘
~ „N µ
X
~ ; AAT .
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Sommersemester 2017
5 Ausgewählte stetige Verteilungen
5.4 Mehrdimensionale Normalverteilung
| 248 |
Definition und Satz 5.4.4
~ “ pX1 , . . . , Xn qT aus
Gilt für den n-dimensionalen Zufallsvektor
X
´ ¯
T
~ “ AA “ Σ mit detpΣq “ 0 , dann
Definition 5.4.2 d “ n , Cov X
~ eine n-dimensionale nichtentartete Normalverteilung N p~
besitzt X
µ; Σq
~
und X ist ein stetiger Zufallsvektor mit Dichtefunktion
"
*
1
1
T
´1
exp ´ p~x ´ µ
~ q Σ p~x ´ µ
~ q , ~x P Rn .
fX~ p~xq “ a
2
p2πqn detpΣq
Σ ist dann eine reelle, symmetrische und positiv definite Matrix.
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5 Ausgewählte stetige Verteilungen
5.4 Mehrdimensionale Normalverteilung
| 249 |
Aufgabe 5.4.5
~ „ N p~
Sei X
µ; Σq ein mit den Parametern µ
~ P Rn und Σ P Rnˆn
normalverteilter n-dimensionaler Zufallsvektor, A1 P Rmˆn und ~b P Rm .
Zeigen Sie, dass dann für den m-dimensionalen Zufallsvektor
~ “ A1 X
~ ` ~b gilt
Y
´
¯
~ „ N A1 µ
Y
~ ` ~b; A1 ΣAT1 .
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5 Ausgewählte stetige Verteilungen
5.4 Mehrdimensionale Normalverteilung
| 250 |
Spezialfall n “ 2
~ “ pX1 , X2 qT ein nichtentarteter zweidimensionaler
Sei X
normalverteilter Zufallsvektor auf einem Wahrscheinlichkeitsraum
pΩ, F, Pq mit den Parametern µ
~ “ pµ1 , µ2 qT P R2 und Σ P R2ˆ2 . Die
Kovarianzmatrix Σ hat die Gestalt (vgl. Beispiel 2.69)
ˆ 2
˙
σ1
% σ1 σ2
Σ“
, wobei
% σ1 σ2
σ22
σ12 “ Var pX1 q ą 0 ,
σ22 “ Var pX2 q ą 0
und
% “ Corr pX1 , X2 q P p´1, `1q .
Dann ist
´1
Σ
1
“
detpΣq
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ˆ
σ22
´% σ1 σ2
´% σ1 σ2
σ12
˙
mit
Wahrscheinlichkeitstheorie
`
˘
detpΣq “ σ12 σ22 1 ´ %2 .
Sommersemester 2017
5 Ausgewählte stetige Verteilungen
5.4 Mehrdimensionale Normalverteilung
| 251 |
Spezialfall n “ 2 (Fortsetzung)
Hieraus folgt für px1 , x2 qT P R2
"
1
1
a
fX1 ,X2 px1 , x2 q “
exp ´
ˆ
2
2p1
´
%2 q
2πσ1 σ2 1 ´ %
px1 ´ µ1 q2
px1 ´ µ1 qpx2 ´ µ2 q px2 ´ µ2 q2
ˆ
´
2%
`
σ1 σ2
σ12
σ22
„
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Wahrscheinlichkeitstheorie
*
Sommersemester 2017
5 Ausgewählte stetige Verteilungen
5.4 Mehrdimensionale Normalverteilung
| 252 |
Satz 5.4.6
~ “ pX1 , X2 qT ein zweidimensionaler, normalverteilter Zufallsvektor
Sei X
mit den Parametern µ
~ “ pµ1 , µ2 qT P R2 und
ˆ 2
˙
σ1
%σ1 σ2
Σ“
.
%σ1 σ2
σ22
Dann gilt
`
˘
(1) Xi „ N µi ; σi2 für i “ 1, 2 .
(2) X1 und X2 sind genau dann unabhängig, wenn sie unkorreliert sind.
(3) Für beliebige a1 , a2 P R gilt
`
˘
Y :“ a1 X1 ` a2 X2 „ N a1 µ1 ` a2 µ2 ; a21 σ12 ` a22 σ22 ` 2a1 a2 σ1 σ2 .
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Wahrscheinlichkeitstheorie
Sommersemester 2017
5 Ausgewählte stetige Verteilungen
5.5 Logarithmische Normalverteilung
| 253 |
5.5 Definition
Eine stetige Zufallsgröße X auf einem Wahrscheinlichkeitsraum pΩ, F, Pq
besitzt eine logarithmische Normalverteilung bzw. Log-Normalverteilung
mit den Parametern µ P R und σ 2 ą 0 , falls ihre Dichtefunktion durch
pln x´µq2
1
e´ 2σ2 Ip0,8q pxq ,
fX pxq “ ?
2πσx
x P R,
gegeben ist. Hierfür schreibt man auch
`
˘
X „ LogN µ; σ 2 .
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Wahrscheinlichkeitstheorie
Sommersemester 2017
5 Ausgewählte stetige Verteilungen
5.5 Logarithmische Normalverteilung
| 254 |
Satz 5.5.1
`
˘
Sei Y „ N µ; σ 2 eine normalverteilte Zufallsgröße. Dann gilt
`
˘
X “ eY „ LogN µ; σ 2 .
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Wahrscheinlichkeitstheorie
Sommersemester 2017
5 Ausgewählte stetige Verteilungen
5.5 Logarithmische Normalverteilung
| 255 |
Anwendung
Bei der multiplikativen Überlagerung vieler (kleiner) unabhängiger
Einflüsse kann die daraus resultierende Größe annähernd durch eine
logarithmisch normalverteilte Zufallsgröße modelliert werden.
Ingenieurwissenschaften (Korngrößenverteilung).
Versicherungsmathematik (Schadenzahlverteilung,
Schadenhöheverteilung).
Finanzmathematik (Einkommensverteilung).
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Wahrscheinlichkeitstheorie
Sommersemester 2017
5 Ausgewählte stetige Verteilungen
5.5 Logarithmische Normalverteilung
| 256 |
Bestimmungsstücke und Kenngrößen
`
˘
Sei X „ LogN µ; σ 2 eine mit den Parametern µ P R und σ 2 ą 0
logarithmisch normalverteilte Zufallsgröße. Dann gilt für x P R
ˆ
FX pxq “ Φ
lnpxq ´ µ
σ
˙
Ip0,8q pxq mit
żx
1
Φpxq “ ?
2π
t2
e´ 2 dt ,
´8
E pXq “ eµ`
σ2
2
´ 2
¯
2
Var pXq “ eσ ´1 e2µ`σ ,
,
¯
´ 2
a
2
σ
σ
γ pXq “ e ´1 e `2 ą 0
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und µp pXq “ epµ`
Wahrscheinlichkeitstheorie
p2 σ 2
2
für p P N .
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5 Ausgewählte stetige Verteilungen
5.5 Logarithmische Normalverteilung
| 257 |
Bedeutung der Parameter
Wie man der Übersicht der Bestimmungsstücke und Kenngrößen
entnehmen kann, treten die Parameter µ und σ 2 häufig gemeinsam
in den Formeln für die Kenngrößen auf. Durch diese Kopplung ist es
nicht möglich, eine klare Zuordnung etwa zu Lage- oder
Streuungsparametern vorzunehmen.
So wirkt der Parameter µ im Unterschied zur Normalverteilung hier
nicht wie ein Lage- bzw. Verschiebungsparameter, sondern eher wie
ein nichtlinearer Skalenparameter.
Der Parameter σ 2 kann hingegen als Formparameter interpretiert
werden, da er die Gestalt der Dichtefunktion wesentlich beeinflusst.
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5 Ausgewählte stetige Verteilungen
5.6 Exponentialverteilung
| 258 |
5.6 Definition
Eine stetige Zufallsgröße T auf einem Wahrscheinlichkeitsraum pΩ, F, Pq
besitzt eine Exponentialverteilung mit dem Parameter λ ą 0 , falls ihre
Dichtefunktion durch
fT ptq “ λ e´λt Ir0,8q ptq ,
t P R,
gegeben ist. Hierfür schreibt man auch
T „ Exp pλq .
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5 Ausgewählte stetige Verteilungen
5.6 Exponentialverteilung
| 259 |
Bedeutung des Parameters
λ ist ein Skalenparameter.
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5 Ausgewählte stetige Verteilungen
5.6 Exponentialverteilung
| 260 |
Bestimmungsstücke und Kenngrößen
Die Zufallsgröße T besitze eine Exponentialverteilung mit dem Parameter
λ ą 0 . Dann gilt (vgl. Beispiele 2.17, 2.25, 2.7, 2.33, 2.51)
´
¯
´λt
FT ptq “ 1 ´ e
Ip0,8q ptq ,
t P R,
µp pT q “
E pT q “
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1
,
λ
p!
λp
für p P N ,
Var pT q “
1
,
λ2
Wahrscheinlichkeitstheorie
γ pT q ” 2 .
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5 Ausgewählte stetige Verteilungen
5.6 Exponentialverteilung
| 261 |
Satz 5.6.1
Es sei T „ Exp pλq eine mit dem Parameter λ ą 0 exponentialverteilte
Zufallsgröße. Dann gilt
PpT ě t0 ` t | T ą t0 q “ PpT ě tq
für alle
t0 , t ą 0 ,
d.h. die Exponentialverteilung besitzt die Eigenschaft der
Gedächtnislosigkeit.
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5.6 Exponentialverteilung
| 262 |
Anmerkung 5.6.2
Die Exponentialverteilung ist das stetige Analogon zur geometrischen
Verteilung.
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5 Ausgewählte stetige Verteilungen
5.6 Exponentialverteilung
| 263 |
Anwendung
Zuverlässigkeitstheorie (Beschreibung der Lebensdauer von nicht
alternden technischen Systemen).
Operations Research
Betriebsdauer zwischen Systemausfällen;
Zeit zwischen dem Eintreffen aufeinanderfolgender Kunden;
Zeit zwischen aufeinanderfolgender Telefonanrufen.
Versicherungsmathematik (Verteilung der Schadenhöhe).
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5 Ausgewählte stetige Verteilungen
5.6 Exponentialverteilung
| 264 |
Satz 5.6.3
Seien Ti „ Exp pλq , i “ 1, . . . , d , i.i.d. exponentialverteilte Zufallsgrößen
mit dem Parameter λ ą 0 . Dann gilt (vgl. Beispiel 3.17)
mintT1 , . . . , Td u „ Exp pλdq .
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5 Ausgewählte stetige Verteilungen
5.7 Gammaverteilung
| 265 |
5.7 Definition
Eine stetige Zufallsgröße T auf einem Wahrscheinlichkeitsraum pΩ, F, Pq
besitzt eine Gammaverteilung mit den Parametern λ ą 0 und p ą 0 ,
falls ihre Dichtefunktion durch
fT ptq “
λp p´1 ´λt
t
e
Ip0,8q ptq ,
Γppq
t P R,
gegeben ist. Hierfür schreibt man auch
T „ Γ pλ; pq .
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5 Ausgewählte stetige Verteilungen
5.7 Gammaverteilung
| 266 |
Definition Gammafunktion
Die Gammafunktion Γpxq ist für x ą 0 durch das uneigentliche Integral
erster Art
ż8
Γpxq :“ tx´1 e´t dt
0
definiert. Die unvollständige Gammafunktion der unteren Grenze Γpx, yq
ist gegeben durch
ż8
tx´1 e´t dt für x ą 0
Γpx, yq :“
und y ą 0 .
y
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5 Ausgewählte stetige Verteilungen
5.7 Gammaverteilung
| 267 |
Eigenschaften der Gammafunktion
lim Γpx, yq “ Γpxq für alle
y0
Γpx ` 1q “ x Γpxq ,
x ą 0.
ˆ ˙
?
1
“ π
Γp1q “ 1 und Γ
2
sowie
Γpn ` 1q “ n! für n P N .
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5 Ausgewählte stetige Verteilungen
5.7 Gammaverteilung
| 268 |
Bedeutung der Parameter
λ ist ein Skalenparameter.
p ist ein Struktur- bzw. Formparameter.
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5 Ausgewählte stetige Verteilungen
5.7 Gammaverteilung
| 269 |
Bestimmungsstücke und Kenngrößen
Die Zufallsgröße T besitze eine Gammaverteilung mit den Parametern
λ ą 0 und p ą 0 . Dann gilt
˙
ˆ
Γpp, λtq
FT ptq “ 1 ´
Ip0,8q ptq ,
t P R,
Γppq
E pT q “
p
,
λ
Var pT q “
q
ś
Γpp ` qq
µq pT q “ q
“
λ Γppq
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p
,
λ2
2
γ pT q “ ? ą 0 ,
p
pp ` l ´ 1q
l“1
λq
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für q P N .
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5.7 Gammaverteilung
| 270 |
Anwendung
Zuverlässigkeitstheorie (Beschreibung der Lebensdauer von
technischen Systemen)
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5 Ausgewählte stetige Verteilungen
5.7 Gammaverteilung
| 271 |
Spezialfall
Die Exponentialverteilung ist eine spezielle Gammaverteilung. Es gilt
Exp pλq “ Γ pλ; 1q
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für λ ą 0 .
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5 Ausgewählte stetige Verteilungen
5.7 Gammaverteilung
| 272 |
Anmerkung
Mit Hilfe der charakteristischen Funktionen kann leicht gezeigt werden:
Seien T1 „ Γ pλ; p1 q und T2 „ Γ pλ; p2 q unabhängige Zufallsgrößen.
Dann gilt
T1 ` T2 „ Γ pλ; p1 ` p2 q ,
d.h. die Familie der Gammaverteilungen ist abgeschlossen bezüglich der
Faltung.
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5 Ausgewählte stetige Verteilungen
5.8 Erlang-Verteilung
| 273 |
5.8 Definition
Die Gammaverteilung mit den Parametern λ ą 0 und p “ n P N wird
Erlang-Verteilung mit den Parametern λ ą 0 und n P N genannt.
Eine Erlang-verteilte Zufallsgröße T besitzt folglich die Dichtefunktion
fT ptq “
λn
tn´1 e´λt Ip0,8q ptq ,
pn ´ 1q!
t P R.
Hierfür schreibt man auch
T „ Erl pλ; nq .
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5 Ausgewählte stetige Verteilungen
5.8 Erlang-Verteilung
| 274 |
Anmerkung
Seien T1 „ Erl pλ; n1 q und T2 „ Erl pλ; n2 q unabhängige Zufallsgrößen.
Dann gilt
T1 ` T2 „ Erl pλ; n1 ` n2 q ,
d.h. die Familie der Erlang-Verteilungen ist abgeschlossen bezüglich der
Faltung.
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5 Ausgewählte stetige Verteilungen
5.8 Erlang-Verteilung
| 275 |
Aufgabe
Seien Ti „ Exp pλq , i “ 1, . . . , n , i.i.d. exponentialverteilte Zufallsgrößen
mit dem Parameter λ ą 0 . Zeigen Sie, dass dann gilt
T1 ` . . . ` Tn „ Erl pλ; nq ,
d.h. die Summe unabhängiger, exponentialverteilter Zufallsgrößen ist
Erlang-verteilt.
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5 Ausgewählte stetige Verteilungen
5.9 Chi-Quadrat-Verteilung
| 276 |
5.9 Definition
Die Gammaverteilung mit den Parametern λ “ 21 und p “ n2 , n P N ,
wird χ2 -Verteilung mit n Freiheitsgraden genannt. Eine mit n
Freiheitsgraden χ2 -verteilte Zufallsgröße T besitzt folglich die
Dichtefunktion
fT ptq “
t
n
1
` n ˘ t 2 ´1 e´ 2 Ip0,8q ptq ,
2 Γ 2
n
2
t P R.
Hierfür schreibt man auch
T „ χ2n .
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5 Ausgewählte stetige Verteilungen
5.9 Chi-Quadrat-Verteilung
| 277 |
Folgerung
Seien T1 „ χ2n1 und T2 „ χ2n2 unabhängige Zufallsgrößen. Dann gilt
T1 ` T2 „ χ2n1 `n2 ,
d.h. die Familie der χ2 -Verteilungen ist abgeschlossen bezüglich der
Faltung.
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5 Ausgewählte stetige Verteilungen
5.9 Chi-Quadrat-Verteilung
| 278 |
Bestimmungsstücke und Kenngrößen
Die Zufallsgröße T besitze eine χ2 -Verteilung mit n Freiheitsgraden.
Dann gilt
?
2 2
E pT q “ n ,
Var pT q “ 2n ,
γ pT q “ ? ą 0 ,
n
µq pT q “
q
ź
pn ` 2pl ´ 1qq für q P N .
l“1
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5 Ausgewählte stetige Verteilungen
5.9 Chi-Quadrat-Verteilung
| 279 |
Satz
Seien Xi „ N p0; 1q , i “ 1, . . . , n , i.i.d. standardnormalverteilte
Zufallsgrößen. Dann gilt
X12 ` . . . ` Xn2 „ χ2n ,
d.h. die Summe der Quadrate unabhängiger, standardnormalverteilter
Zufallsgrößen ist χ2 -verteilt mit n Freiheitsgraden.
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5 Ausgewählte stetige Verteilungen
5.10 Weibull-Verteilung
| 280 |
5.10 Definition
Eine stetige Zufallsgröße T auf einem Wahrscheinlichkeitsraum pΩ, F, Pq
besitzt eine Weibull-Verteilung mit den Parametern λ ą 0 und p ą 0 ,
falls ihre Dichtefunktion durch
p
fT ptq “ p λp tp´1 e´pλtq Ip0,8q ptq ,
t P R,
gegeben ist. Hierfür schreibt man auch
T „ Wei pλ; pq .
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5 Ausgewählte stetige Verteilungen
5.10 Weibull-Verteilung
| 281 |
Bedeutung der Parameter
λ ist ein Skalenparameter.
p ist ein Struktur- bzw. Formparameter.
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5 Ausgewählte stetige Verteilungen
5.10 Weibull-Verteilung
| 282 |
Bestimmungsstücke und Kenngrößen
Die Zufallsgröße T besitze eine Weibull-Verteilung mit den Parametern
λ ą 0 und p ą 0 . Dann gilt
´
¯
p
FT ptq “ 1 ´ e´pλtq Ip0,8q ptq ,
t P R,
´ ¯
Γ
E pT q “
1
p
,
λp
Var pT q “
´
Γ
µq pT q “
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´ ¯2
´ ¯
2p Γ
p`q
p
q
λ
¯
2
p
´Γ
1
p
λ2 p2
,
´ ¯
q
p
pλq
qΓ
“
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für q P N .
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5 Ausgewählte stetige Verteilungen
5.10 Weibull-Verteilung
| 283 |
Anwendung
Zuverlässigkeitstheorie (Beschreibung der Lebensdauer von
technischen Systemen).
Festigkeit spröder Materialien.
Partikelgrößenverteilung in der mechanischen Verfahrenstechnik.
Grenzverteilung geeignet normierter Minima
( Verteilung des schwächsten Kettenglieds“).
”
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5 Ausgewählte stetige Verteilungen
5.10 Weibull-Verteilung
| 284 |
Anmerkungen
(1) In einigen Lehrbüchern bzw. Formelsammlungen wird als
Dichtefunktion der Weibull-Verteilung
p
fT ptq “ p λ tp´1 e´λt Ip0,8q ptq ,
t P R,
an Stelle von
p
fT ptq “ p λp tp´1 e´pλtq Ip0,8q ptq ,
t P R,
angegeben. Dadurch erfolgt jedoch eine Kopplung der beiden
Parameter λ und p , so dass λ nicht mehr als Skalenparameter
interpretiert werden kann.
(2) Die Weibull-Verteilung wird in der Verfahrenstechnik auch als
RRSB-Verteilung (nach Rosin, Rammler, Sperling und Bennet)
bezeichnet.
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Wahrscheinlichkeitstheorie
Sommersemester 2017
5 Ausgewählte stetige Verteilungen
5.10 Weibull-Verteilung
| 285 |
Spezialfall
Die Exponentialverteilung ist eine spezielle Weibull-Verteilung. Es gilt
Exp pλq “ Wei pλ; 1q
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für λ ą 0 .
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5 Ausgewählte stetige Verteilungen
5.11 Rayleigh-Verteilung
| 286 |
5.11 Definition
Die Weibull-Verteilung mit den Parametern λ “ ?12σ , σ ą 0 , und
p “ 2 wird Rayleigh-Verteilung mit dem Parameter σ 2 ą 0 genannt.
Eine mit dem Parameter σ 2 ą 0 Rayleigh-verteilte Zufallsgröße besitzt
folglich die Dichtefunktion
fT ptq “
2
1
´ t2
2σ I
t
e
p0,8q ptq ,
σ2
t P R.
Hierfür schreibt man auch
` ˘
T „ Ray σ 2 .
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Sommersemester 2017
5 Ausgewählte stetige Verteilungen
5.11 Rayleigh-Verteilung
| 287 |
Bestimmungsstücke und Kenngrößen
Die Zufallsgröße T besitze eine Rayleigh-Verteilung mit dem
Parameter σ 2 ą 0 . Dann gilt
ˆ
˙
2
´ t2
FT ptq “ 1 ´ e 2σ Ip0,8q ptq , t P R ,
c
E pT q “
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π
σ,
2
´
π¯ 2
Var pT q “ 2 ´
σ .
2
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5 Ausgewählte stetige Verteilungen
5.11 Rayleigh-Verteilung
| 288 |
Satz
`
˘
`
˘
Seien X1 „ N 0; σ 2 und X2 „ N 0; σ 2 unabhängige Zufallsgrößen.
Dann gilt
b
` ˘
X12 ` X22 „ Ray σ 2 .
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Sommersemester 2017
6 Bedingte Verteilungen und bedingte Erwartungswerte
6.1 Zufälliges Ereignis mit positiver Wahrscheinlichkeit als Bedingung | 289 |
6.1 Definition (und Behauptung)
Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum pΩ, F, Pq und B P F ein
zufälliges Ereignis mit PpBq ą 0 .
PpA X Bq
die bedingte Wahrscheinlichkeit
PpBq
von A unter der Bedingung B (auch: gegeben B“).
”
Die Abbildung
Für A P F ist PpA|Bq :“
F Q A ÞÑ PB pAq “ PpA|Bq P r0; 1s Ă R
definiert ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf pΩ, F, Pq, welches absolut stetig
bezüglich P ist und die Radon-Nikodym-Ableitung
d PB
1
pωq “
¨ IB pωq ,
dP
PpBq
ω P Ω,
besitzt.
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Sommersemester 2017
6 Bedingte Verteilungen und bedingte Erwartungswerte
6.1 Zufälliges Ereignis mit positiver Wahrscheinlichkeit als Bedingung | 290 |
6.2 Definition (und Behauptung)
Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum pΩ, F, Pq, ein zufälliges Ereignis
B P F mit PpBq ą 0 und eine Zufallsvariable X : Ω Ñ Ω1 mit Werten
im messbaren Raum pΩ1 , F 1 q . Die Abbildung
F 1 Q A1 ÞÑ PX|B pA1 q :“
P ptX P A1 u X Bq
PpBq
ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf pΩ1 , F 1 q, die bedingte Verteilung der
Zufallsvariable X unter der Bedingung B bzw. kurz die bedingte
Verteilung von X unter B.
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6 Bedingte Verteilungen und bedingte Erwartungswerte
6.1 Zufälliges Ereignis mit positiver Wahrscheinlichkeit als Bedingung | 291 |
6.3 Definitionen
Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum pΩ, F, Pq, ein zufälliges Ereignis
B P F mit PpBq ą 0 und eine Zufallsgröße X : Ω Ñ R .
Die Funktion
R Q x ÞÑ FX|B pxq :“ PX|B pp´8; xqq “
P ptX ă xu X Bq
,
PpBq
x P R,
ist die bedingte Verteilungsfunktion der Zufallsgröße X unter der
Bedingung B bzw. kurz bedingte Verteilungsfunktion von X unter B.
Falls existiert, ist
ż
E pX|Bq :“
x PX|B pdxq P R
R
der bedingte Erwartungswert der Zufallsgröße X unter der Bedingung
B.
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6 Bedingte Verteilungen und bedingte Erwartungswerte
6.1 Zufälliges Ereignis mit positiver Wahrscheinlichkeit als Bedingung | 292 |
6.4 Anmerkung
Mit den Bezeichnungen der vorigen Definitionen gilt:
Existiert E pXq , dann existiert auch E pX|Bq und es gilt
ż
ż
1
E pX|Bq “
X dP “
X d PB .
PpBq B
Ω
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Sommersemester 2017
6 Bedingte Verteilungen und bedingte Erwartungswerte
6.1 Zufälliges Ereignis mit positiver Wahrscheinlichkeit als Bedingung | 293 |
6.5 Satz (und Definition)
Sei pX, Y qT ein stetiger Zufallsvektor mit gemeinsamer Dichtefunktion
fX,Y und B P B mit PpY P Bq ą 0 .
Dann ist die bedingte Verteilung PX|Y PB von X unter Y P B absolut
stetig bezüglich λ und die bedingte Dichte von X unter Y P B ist
ż
d PX|Y PB
1
pxq “
fX,Y px, yq dy , x P R .
fX|Y PB pxq “
dλ
PpY P Bq B
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Sommersemester 2017
6 Bedingte Verteilungen und bedingte Erwartungswerte
6.2 Höchstens abzählbare Zerlegung als Bedingung
| 294 |
6.6 Anmerkung
In vielen Situationen kann (muss) man mit bedingenden Ereignissen
rechnen, die aber noch nicht bekannt sind. Dann sind bedingte
Wahrscheinlichkeiten und Erwartungswerte als Zufallsgrößen zu
modellieren. Die wird hier zuerst für den (technisch einfacheren) Fall
diskreter Zufallsgrößen behandelt.
6.7 Voraussetzung
Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum pΩ, F, Pq und eine diskrete
Zufallsgröße Y auf pΩ, F, Pq mit Wertebereich tyk ; k P J Ă Nu , so
dass für alle k P J gilt: PpY “ yk q ą 0 .
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Wahrscheinlichkeitstheorie
Sommersemester 2017
6 Bedingte Verteilungen und bedingte Erwartungswerte
6.2 Höchstens abzählbare Zerlegung als Bedingung
| 295 |
6.8 Definitionen
Unter Voraussetzung 6.7 sei A P F und X eine Zufallsgröße auf
pΩ, F, Pq mit E p|X|q ă 8 .
(i) Die bedingte Wahrscheinlichkeit von A gegeben Y (bezüglich Y ) ist
die Zufallsgröße PpA|Y q auf pΩ, F, Pq, definiert durch
PpA|Y qpωq “ PpA|tY “ yk uq “
PpA X tY “ yk uq
PpY “ yk q
für ω P tY “ yk u, k P J.
(ii) Der bedingte Erwartungswert von X gegeben Y (oder bezüglich Y )
ist die Zufallsgröße E pX|Y q auf pΩ, F, Pq, definiert durch
ż
1
E pX|Y q pωq “ E pX|tY “ yk uq “
X dP
PpY “ yk q tY “yk u
für ω P tY “ yk u, k P J.
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Wahrscheinlichkeitstheorie
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6 Bedingte Verteilungen und bedingte Erwartungswerte
6.2 Höchstens abzählbare Zerlegung als Bedingung
| 296 |
6.9 Anmerkung
Mit den Ereignissen Bk :“ tω P Ω : Y pωq “ yk u, k P J, ist eine höchstens
abzählbare Zerlegung des Grundraumes
ď
Z :“ tBk ; k P Ju mit
Bk “ Ω ; Bk X B` “ ∅ , k, ` P J, k “ `,
kPJ
und die dazugehörige σ´Algebra
#
+
ď
A“
Bj ; J0 Ă J “ σpY q
jPJ0
verbunden.
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6 Bedingte Verteilungen und bedingte Erwartungswerte
6.2 Höchstens abzählbare Zerlegung als Bedingung
| 297 |
6.10 Definition
Unter Voraussetzung 6.7 definiert man mit den obigen Bezeichnungen die
bedingte Wahrscheinlichkeit von A bezüglich Z bzw. bezüglich σpY q als
PpA|Zq :“ PpA|Aq :“ PpA|σpY qq :“ PpA|Y q .
Analog definiert man den bedingten Erwartungswert von X bezüglich Z
bzw. bezüglich σpY q als
E pX|Zq :“ E pX|Aq :“ E pX|σpY qq :“ E pX|Y q .
Da dies eine Zufallsgröße ist, spricht man auch von der bedingten
Erwartung von X bezüglich Z.
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6 Bedingte Verteilungen und bedingte Erwartungswerte
6.2 Höchstens abzählbare Zerlegung als Bedingung
| 298 |
6.11 Satz
Mit Definition 6.10 gilt für A P F mit der Indikatorfunktion
IA : Ω Ñ t0; 1u
PpA|Y q “ E pIA |Y q .
6.12 Anmerkung
Diese Beziehung ist die Entsprechung zu PpAq “ E pIA q und zeigt, dass
die Eigenschaften bedingter Wahrscheinlichkeiten aus denen bedingter
Erwartungen abgeleitet werden können.
Der nachfolgende Satz ist der Schlüssel zur Definition bedingter
Erwartungen (und Wahrscheinlichkeiten) bezüglich beliebiger
Teil-σ-Algebren von F .
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6 Bedingte Verteilungen und bedingte Erwartungswerte
6.2 Höchstens abzählbare Zerlegung als Bedingung
| 299 |
6.13 Satz
Unter den Voraussetzungen zu Definition 6.10 gilt für eine Zufallsgröße X
mit E p|X|q ă 8 :
(i) Die Zufallsgröße E pX|Y q ist eindeutig gekennzeichnet durch die
beiden Bedingungen
(a) E pX|Y q ist messbar bezüglich A “ σpY q ;
(b) für beliebige B P A “ σpY q gilt
ż
ż
E pX|Y q d P “
Xd P .
B
B
(ii) Es existiert eine messbare Funktion ψ : R Ñ R , so dass gilt
E pX|Y q pωq “ ψpY pωqq ,
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Wahrscheinlichkeitstheorie
ω P Ω.
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6 Bedingte Verteilungen und bedingte Erwartungswerte
6.2 Höchstens abzählbare Zerlegung als Bedingung
| 300 |
6.14 Beispiel
Gegeben sei ein diskreter Zufallsvektor pX, Y qT mit
`
˘
P pX, Y qT “ pxi , yj qT “ pij , i “ 1, . . . , M ; j “ 1, . . . , N ;
wobei pij ą 0 für beliebige i “ 1, . . . , M ; j “ 1, . . . , N gelte.
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6 Bedingte Verteilungen und bedingte Erwartungswerte
6.3 Teil-Sigma-Algebra als Bedingung
| 301 |
6.15 Anmerkung
Die Definition von bedingten Wahrscheinlichkeiten bzw. Erwartungen ist
schwieriger, wenn als Bedingung tY “ yu mit PpY “ yq “ 0 für ein
y P R berücksichtigt werden muss, z.B. für eine stetige Zufallsgröße Y .
Dies ist notwendig und möglich mit Hilfe der Aussagen in (i) von Satz 6.13.
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6.3 Teil-Sigma-Algebra als Bedingung
| 302 |
6.16 Beispiel
Gegeben sei eine Zufallsgröße Y „ U r0; 1s .
In Abhängigkeit der Realisierung y von Y werden n unabhängige
Bernoulli-Experimente mit Erfolgswahrscheinlichkeit y durchgeführt,
X sei die zufällige Anzahl der sich einstellenden Erfolge.
Dann sollte intuitiv gelten
ˆ ˙
n k
PpX “ k|Y “ yq “
y p1 ´ yqn´k für k “ 0, . . . , n .
k
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6.3 Teil-Sigma-Algebra als Bedingung
| 303 |
6.17 Definition
Sei pΩ, F, Pq ein Wahrscheinlichkeitsraum, A eine Teil-σ-Algebra von
F , X und XA Zufallsgrößen auf pΩ, F, Pq mit E p|X|q ă 8, sowie
(a) XA ist A-messbar
und
(b) für beliebige A P A gilt E pXIA q “ E pXA IA q .
Dann heißt XA bedingte Erwartung von X gegeben A (oder bedingter
Erwartungswert unter der Bedingung A, etc. und wird durch E pX|Aq
bezeichnet. Im Fall A “ σpY q mit einer Zufallsvariable Y schreibt man
auch E pX|Y q .
Für X “ IB mit B P F heißt
E pX|Aq “ E pIB |Aq “: PpB|Aq
bedingte Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung A.
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6.3 Teil-Sigma-Algebra als Bedingung
| 304 |
6.18 Satz (Korrektheit)
Erfüllen die Zufallsgrößen XA und X̃A die Bedingungen (i) und (ii) in
Definition 6.17, dann gilt
XA “ X̃A
P ´f.s..
(Zufallsgrößen mit dieser Eigenschaft werden Versionen der bedingten
Erwartung von X gegeben A genannt.)
6.19 Satz (Existenz)
Unter den Voraussetzungen von Definition 6.17 existiert E pX|Aq .
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6.3 Teil-Sigma-Algebra als Bedingung
| 305 |
6.20 Satz
Sei pΩ, F, Pq ein Wahrscheinlichkeitsraum, A eine Teil-σ-Algebra von
F , X1 und X2 Zufallsgrößen auf pΩ, F, Pq mit endlichem
Erwartungswert mit PpX1 “ X2 q “ 1 . Dann gilt
E pX1 |Aq “ E pX2 |Aq
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P ´f.s..
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6.3 Teil-Sigma-Algebra als Bedingung
| 306 |
6.21 Satz (und Definition)
Unter den Voraussetzungen von Definition 6.17 sei A “ σpY q für eine
Zufallsgröße Y mit Verteilung PY . Dann existiert eine PY -f.s. eindeutig
definierte messbare Funktion g : R Ñ R , so dass
E pX|Y q pωq “ gpY pωqq
P ´f.s.
gilt. Eine solche Funktion wird bezeichnet mit gpyq “ E pX|Y “ yq und
bedingter Erwartungswert von X unter der Bedingung tY “ yu genannt.
Im Fall X “ IB , B P F , wird gpY q “ E pIB |Y “ yq “ PpB|Y “ yq als
bedingte Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung Y “ y bezeichnet.
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6.3 Teil-Sigma-Algebra als Bedingung
| 307 |
6.22 Satz (Faktorisierungslemma, Satz von Doob-Dynkin)
Seien Y, Z Zufallsgrößen auf pΩ, F, Pq und Z sei messbar bezüglich σpY q.
Dann existiert eine messbare Funktion g : R Ñ R mit Z “ gpY q und die
Funktionswerte von g sind für alle y P WY “ tY pωq ; ω P Ωu eindeutig
bestimmt.
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6 Bedingte Verteilungen und bedingte Erwartungswerte
6.3 Teil-Sigma-Algebra als Bedingung
| 308 |
6.23 Satz
Unter den Voraussetzungen zu Satz 6.21 wird eine Funktion
R Q y ÞÑ gpyq “ E pX|Y “ yq PY -f.s. eindeutig durch die Bedingung
ż
ż
@B P B :
Xpωq Ppdωq “
gpyq PY pdyq
Y ´1 pBq
B
definiert. Im Fall X “ IA , A P F, lautet die Bedingung
ż
@ B P B : P pA X tY P Buq “
PpA|Y “ yq PY pdyq.
B
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6.3 Teil-Sigma-Algebra als Bedingung
| 309 |
6.24 Satz (und Definition)
Sei pX, Y qT ein stetiger Zufallsvektor mit gemeinsamer Dichtefunktion
fX,Y und h : R Ñ R eine messbare Funktion, so dass E p|hpXq|q ă 8 .
Dann ist mit der bedingten Dichte von X unter Y
#
fX,Y px,yq
fY pyq , falls fY pyq ą 0 ;
fX|Y px|yq “
0,
sonst
die Zufallsgröße
ż
hpxqfX|Y px|Y q dx
R
eine Version von E phpXq|Y q , der bedingten Erwartung von hpXq unter
Y , d.h.
ż
E phpXq|Y “ yq “ hpxqfX|Y px|yq dx für PY -fast alle y P R .
R
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6.3 Teil-Sigma-Algebra als Bedingung
| 310 |
6.25 Anmerkung
Die bedingte Dichte fX|Y px|yq ergibt sich für stetige fX,Y durch einen
Grenzprozess: für A P B mit PpX P Aq ą 0 und y0 P R, h ą 0 , mit
Ppy0 ď Y ď y0 ` hq ą 0 gilt
PpX P A|y0 ď Y ď y0 ` hq “
y0ş`h
ş
y0
A
y0ş`h ş
y0
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fX,Y px, yq dx dy
ş
fX,Y px, yq dx
A
Ñ ş
fX,Y px, yq dx dy
fX,Y px, yq dx
ph Ñ 0q .
R
R
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6.3 Teil-Sigma-Algebra als Bedingung
| 311 |
6.26 Satz
Sei X eine Zufallsgröße auf dem Wahrscheinlichkeitsraum pΩ, F, Pq mit
E p|X|q ă 8 und A eine Teil-σ-Algebra von F .
(i) @ c P R : E pcX|Aq “ c E pX|Aq
P-f.s. .
(ii) E pE pX|Aqq “ E pXq .
(iii) Ist X A-messbar, gilt E pX|Aq “ X
P-f.s. .
(iv) Ist A1 eine Teil-σ-Algebra von A gilt die Turmeigenschaft
E pE pX|Aq |A1 q “ E pX|A1 q
P ´f.s. .
(v) Ist Y eine weitere Zufallsgröße auf pΩ, F, Pq mit E p|Y |q ă 8 ,
dann gilt
E pX ` Y |Aq “ E pX|Aq ` E pY |Aq
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P ´f.s. .
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6 Bedingte Verteilungen und bedingte Erwartungswerte
6.3 Teil-Sigma-Algebra als Bedingung
| 312 |
6.27 Satz
Seien Y, X, Xi , i P N, Zufallsgrößen auf dem Wahrscheinlichkeitsraum
pΩ, F, Pq mit endlichen Erwartungswerten sowie A eine Teil-σ-Algebra
von F.
(i) Y ě X
P ´f.s.
ñ
E pY |Aq ě E pX|Aq
P ´f.s.
(ii) (Satz über monotone Konvergenz)
@ i P N : Xi`1 ě Xi
ñ
P ´f.s. ; X “ lim Xi
iÑ8
lim E pXi |Aq “ E pX|Aq
iÑ8
P ´f.s.
P ´f.s.
(iii) (Lemma von Fatou)
@ i P N : Xi ě 0
ˆ
ñ
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ˆ
˙
P ´f.s. ; E lim inf Xi ă 8
iÑ8
˙
E lim inf Xi |A
iÑ8
ď lim inf E pXi |Aq
iÑ8
Wahrscheinlichkeitstheorie
P ´f.s.
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6 Bedingte Verteilungen und bedingte Erwartungswerte
6.3 Teil-Sigma-Algebra als Bedingung
| 313 |
6.27 Satz (Fortsetzung)
(iv) (Satz über dominierte Konvergenz)
@ i P N : |Xi | ď Y
ñ
P ´f.s. ; X “ lim Xi
iÑ8
lim E pXi |Aq “ E pX|Aq
iÑ8
P ´f.s.
P ´f.s.
(v) (Ungleichung von Jensen)
g : R Ñ R konvex, E p|X|q ` E p|gpXq|q ă 8
ñ
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E pgpXq|Aq ě g pE pX|Aqq
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P ´f.s.
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6.3 Teil-Sigma-Algebra als Bedingung
| 314 |
6.28 Folgerung
Seien X, Xi , i P N, Zufallsgrößen auf dem Wahrscheinlichkeitsraum
pΩ, F, Pq mit endlichen Erwartungswerten sowie A eine Teil-σ-Algebra
von F.
(i) X ě 0
P ´f.s.
E pX|Aq ě 0 P ´f.s.
ˇ ˘
P ´f.s.
(ii) Es gilt |E pX|Aq| ď E |X| ˇA
ˇ ˘allgemeiner für p ě 1
` und
E p|X|p q ă 8 ñ |E pX|Aq|p ď E |X|p ˇA
P ´f.s.
ñ
`
(iii) lim E p|Xi ´ X|q “ 0
iÑ8
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ñ
lim E p| E pXi |Aq ´ E pX|Aq |q “ 0 .
iÑ8
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6.3 Teil-Sigma-Algebra als Bedingung
| 315 |
6.29 Satz
Sei X eine Zufallsgröße auf dem Wahrscheinlichkeitsraum pΩ, F, Pq mit
E p|X|q ă 8 und A eine Teil-σ-Algebra von F.
(i) Sind X und A unabhängig, dann gilt E pX|Aq “ E pXq
(ii) Für B P A gilt E pXIB |Aq “ IB E pX|Aq
P ´f.s. .
P ´f.s. .
(iii) Für eine A-messbare Zufallsgröße Y mit E p|XY |q ă 8 gilt
E pXY |Aq “ Y E pX|Aq
P ´f.s. .
(iv) Sei g : R2 Ñ R` messbar, die Zufallsgröße Y sei A-messbar, X
sei unabhängig von A und es gelte E pgpX, Y qq ă 8 .
Es bezeichne für y P R Gpyq :“ E pgpX, yqq .
Dann ist G : R Ñ R` eine messbare Funktion und es gilt
E pgpX, Y q|Aq “ GpY q
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Wahrscheinlichkeitstheorie
P ´f.s. .
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6 Bedingte Verteilungen und bedingte Erwartungswerte
6.3 Teil-Sigma-Algebra als Bedingung
| 316 |
6.30 Satz
Sei` X ˘eine Zufallsgröße auf dem Wahrscheinlichkeitsraum pΩ, F, Pq mit
E |X|2 ă 8 , A eine Teil-σ-Algebra von F , H “ L2 pΩ, F, Pq ,
H1 :“ L2 pΩ, A, P |A q und πA : H Ñ H1 der Operator der orthogonalen
Projektion auf H1 .
Dann gilt
E pX|Aq “ πA X
P ´f.s.
und insbesondere
`
˘
E pX ´ E pX|Aqq2
`
˘
“ inftE pX ´ Y q2 : Y : Ω Ñ R, Y ist A ´ messbaru .
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6 Bedingte Verteilungen und bedingte Erwartungswerte
6.3 Teil-Sigma-Algebra als Bedingung
| 317 |
6.31 Satz
Sei pX, X1 , . . . , Xn qT ein Gaussscher (d.h. normalverteilter)
Zufallsvektor auf dem Wahrscheinlichkeitsraum pΩ, F, Pq und
A “ σpX1 , . . . , Xn q .
Dann gilt
E pX|Aq “ a ` b1 X1 ` . . . ` bn Xn
P ´f.s.,
wobei pa, b1 , . . . , bn q eine (beliebige) Lösung des linearen
Gleichungssystems
E pXq “ a ` b1 E pX1 q ` . . . ` bn E pXn q
E pXXi q “ a E pXi q ` b1 E pX1 Xi q ` . . . ` bn E pXn Xi q ,
i “ 1, . . . , n,
ist. Dieses lineare Gleichungssystem besitzt mindestens eine Lösung.
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6 Bedingte Verteilungen und bedingte Erwartungswerte
6.3 Teil-Sigma-Algebra als Bedingung
| 318 |
6.32 Folgerung
Sei pX1 , X2 qT ein normalverteilter
Zufallsvektor
mit Parametern
ˆ 2
˙
σ
%
σ
σ
1
2
1
µ
~ “ pµ1 , µ2 qT P R2 , Σ “
mit σ12 σ22 ą 0, |%| ă 1 .
% σ1 σ2
σ22
Dann gelten für x1 P R , x2 P R
$ ´
´
¯¯2 ,
σ2
’
/
&
.
x2 ´ µ2 ` % σ1 px1 ´ µ1 q
1
a
exp ´
,
fX2 |X1 px2 |x1 q “
’
/
2p1 ´ %2 qσ22
2πp1 ´ %2 qσ2
%
¯
´
d.h. X2 |X1 “ x1 „ N µ2 ` % σσ12 px1 ´ µ1 q; p1 ´ %2 qσ22 , sowie
σ2
, a “ µ2 ´ bµ1 ,
σ1
˘
`
˘
`
d.h. E pX2 |X1 q „ N µ2 ; %2 σ22 , E pX2 ´ E pX2 |X1 qq2 “ p1 ´ %2 qσ22 .
E pX2 |X1 q “ a ` bX1
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P ´f.s.
mit b “ %
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Sommersemester 2017
7 Grenzwertsätze
7.1 Charakteristische Funktionen
| 319 |
7.1 Definition
Sei X eine Zufallsgröße auf dem Wahrscheinlichkeitsraum pΩ, F, Pq.
Die komplexwertige Funktion ϕX einer reellen Variablen mit
ż
ż
ż
`
˘
ϕX ptq :“ E eitX “
eitX d P “
cosptXq d P `i sinptXq d P
Ω
Ω
Ω
für t P R heißt charakteristische Funktion der Zufallsgröße X (bzw. der
Verteilung PX ).
7.2 Anmerkung
ϕX ptq existiert für beliebige t P R , da | eitx | ď 1 gilt und die Funktion
messbar ist.
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Wahrscheinlichkeitstheorie
Sommersemester 2017
7 Grenzwertsätze
7.1 Charakteristische Funktionen
| 320 |
7.3 Satz
Sei X eine Zufallsgröße auf dem Wahrscheinlichkeitsraum pΩ, F, Pq.
(i) Es gilt fürż t P R
ż
ż
itx
ϕX ptq “ e PX pdxq “ cosptxq PX pdxq ` i sinptxq PX pdxq
żR
żR
żR
“ eitx dFX pxq “ cosptxq dFX pxq ` i sinptxq dFX pxq.
R
R
R
(ii) Für eine diskrete Zufallsgröße X mit möglichen Werten pxk ; k P Jq
und Einzelwahrscheinlichkeiten ppk ; k P Jq gilt
ÿ
ÿ
ÿ
ϕX ptq “
eitxk pk “
cosptxk qpk ` i
sinptxk qpk .
kPJ
kPJ
kPJ
(iii) Für eine stetige Zufallsgröße X mit Dichtefunktion fX gilt
ż
ż
ż
itx
ϕX ptq “ e fX pxq dx “ cosptxqfX pxq dx`i sinptxqfX pxq dx.
R
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R
Wahrscheinlichkeitstheorie
R
Sommersemester 2017
7 Grenzwertsätze
7.1 Charakteristische Funktionen
| 321 |
7.4 Beispiele
a) Besitzt die Zufallsgröße X eine Einpunktverteilung in c P R , dann gilt
ϕX ptq “ eitc “ cosptcq ` i sinptcq ,
t P R.
b) Ist die Zufallsgröße X exponentialverteilt mit Parameter λ ą 0 , dann
gilt
λ
ϕX ptq “
, t P R.
λ ´ it
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Wahrscheinlichkeitstheorie
Sommersemester 2017
7 Grenzwertsätze
7.1 Charakteristische Funktionen
| 322 |
7.5 Satz
Sei X eine Zufallsgröße auf dem Wahrscheinlichkeitsraum pΩ, F, Pq mit
charakteristischer Funktion ϕX . Dann gelten:
(i) ϕX p0q “ 1 ;
(ii) |ϕX ptq| ď 1 ,
t P R;
(iii) ϕX p´tq “ ϕ´X ptq “ ϕX ptq ,
t P R;
(iv) für a, b P R ist ϕaX`b ptq “ eitb ϕX patq ,
t P R;
(v) ϕX ist gleichmäßig stetig auf R ;
(vi) für beliebige n P N , t1 , . . . , tn P R , z1 , . . . , zn P C gilt
n
ÿ
ϕX ptk ´ t` qzk z` ě 0
k,`“1
(d.h., ϕX ist eine positiv semidefinite oder nichtnegativ definite
Funktion auf R).
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Wahrscheinlichkeitstheorie
Sommersemester 2017
7 Grenzwertsätze
7.1 Charakteristische Funktionen
| 323 |
7.6 Satz
Für unabhängige Zufallsgrößen X, Y auf pΩ, F, Pq mit charakteristischen
Funktionen ϕX , ϕY gilt
(i) ϕX`Y ptq “ ϕX ptq ¨ ϕY ptq ,
t P R;
(ii) ϕX´Y ptq “ ϕX ptq ¨ ϕY ptq ,
t P R;
(iii) sind die Zufallsgrößen X1 , . . . , Xn mit n P N unabhängig und
identisch verteilt, dann gilt für die Zufallsgröße Sn :“ X1 ` . . . ` Xn
ϕSn ptq “ pϕX1 ptqqn ,
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t P R.
Sommersemester 2017
7 Grenzwertsätze
7.1 Charakteristische Funktionen
| 324 |
7.7 Satz
Die charakteristische Funktion einer Zufallsgröße bestimmt deren
Verteilungsgesetz eindeutig, d.h. aus
ϕX ptq “ ϕY ptq ,
t P R,
für Zufallsgrößen X und Y folgt
PX “ PY .
(Die Zufallsgrößen dürfen prinzipiell auch auf unterschiedlichen
Wahrscheinlichkeitsräumen definiert sein.)
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Wahrscheinlichkeitstheorie
Sommersemester 2017
7 Grenzwertsätze
7.1 Charakteristische Funktionen
| 325 |
7.8 Satz
Sei X eine Zufallsgröße auf dem Wahrscheinlichkeitsraum pΩ, F, Pq mit
charakteristischer Funktion ϕX , Verteilungsfunktion FX und Verteilung
PX . Es gelten:
ż
1 T e´ita ´ e´itb
1
(i) lim
ϕX ptq dt “ PX ppa; bqq ` PX pta, buq ;
T Ñ8 2π ´T
it
2
(ii) sind a und b Stetigkeitsstellen von FX , dann ist
ż
1 T e´ita ´ e´itb
lim
ϕX ptq dt “ FX pbq ´ FX paq ;
T Ñ8 2π ´T
it
ż
|ϕX ptq| dt ă 8 , dann ist X eine stetige
(iii) falls zusätzlich
R
Zufallsgröße mit gleichmäßig stetiger Dichtefunktion fX und
ż
1
fX pxq “
e´itx ϕX ptq dt ,
x P R.
2π R
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Wahrscheinlichkeitstheorie
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7 Grenzwertsätze
7.1 Charakteristische Funktionen
| 326 |
7.9 Satz
Sei X eine Zufallsgröße auf dem Wahrscheinlichkeitsraum pΩ, F, Pq mit
charakteristischer Funktion ϕX . Dann ist X genau dann symmetrisch,
wenn die charakteristische Funktion reellwertig ist, d.h. es gilt ϕX ptq P R
für beliebige t P R .
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Wahrscheinlichkeitstheorie
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7 Grenzwertsätze
7.1 Charakteristische Funktionen
| 327 |
7.10 Beispiele
Für t P R gilt für eine diskrete Zufallsgröße X
n
1 ÿ itxk
a) X „ Utx1 , . . . , xn u ñ ϕX ptq “
e
;
n k“1
`
`
˘˘n
b) X „ B pn; pq ñ ϕX ptq “ 1 ´ p 1 ´ eit
;
p eit
;
1 ´ p1 ´ pq eit
p
d) X „ Geoo ppq ñ ϕX ptq “
;
1 ´ p1 ´ pq eit
ˆ
˙n
p eit
e) X „ NB pn; pq ñ ϕX ptq “
;
1 ´ p1 ´ pq eit
c) X „ Geo ppq
f) X „ Π pλq
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ñ
ñ
ϕX ptq “
ϕX ptq “ eλpe
it
´1q
.
Wahrscheinlichkeitstheorie
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7 Grenzwertsätze
7.1 Charakteristische Funktionen
| 328 |
7.11 Beispiele
Für t P R gilt für eine stetige Zufallsgröße X
eitb ´ eita
a) X „ Ura; bs ñ ϕX ptq “
;
pb ´ aqit
b) X „ C pµ; λq ñ ϕX ptq “ eiµt´λ|t| ;
`
˘
1 2 2
c) X „ N µ; σ 2
ñ ϕX ptq “ eiµt´ 2 σ t ;
λ
;
λ ´ it
ˆ
˙p
λ
e) X „ Γ pλ; pq ñ ϕX ptq “
;
λ ´ it
ˆ
˙n
λ
f) X „ Erl pλ; nq ñ ϕX ptq “
.
λ ´ it
d) X „ Exp pλq
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ñ
ϕX ptq “
Wahrscheinlichkeitstheorie
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7 Grenzwertsätze
7.1 Charakteristische Funktionen
| 329 |
7.12 Satz
Seien X1 , . . . , XN unabhängige Zufallsgrößen auf pΩ, F, Pq und
SN “ X1 ` . . . ` XN . Dann gelten
(i) Xi „ B pni ; pq
(ii) Xi „ Geo ppq
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SN „ NB pN ; pq ;
ñ
(iii) Xi „ NB pni ; pq
(iv) Xi „ Π pλi q
SN „ B pn1 ` . . . ` nN ; pq ;
ñ
ñ
ñ
SN „ NB pn1 ` . . . ` nN ; pq ;
SN „ Π pλ1 ` . . . ` λN q ;
Wahrscheinlichkeitstheorie
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7 Grenzwertsätze
7.1 Charakteristische Funktionen
| 330 |
7.12 Satz (Fortsetzung)
`
˘
`
˘
2
(v) Xi „ N µi ; σi2
ñ SN „ N µ1 ` . . . ` µN ; σ12 ` . . . ` σN
und
`
˘
X1 ´ X2 „ N µ1 ´ µ2 ; σ12 ` σ22 ;
(vi) Xi „ Γ pλ; pi q
(vii) Xi „ Exp pλq
ñ
ñ
SN „ Γ pλ; p1 ` . . . ` pN q ;
SN „ Erl pλ; N q ;
(viii) Xi „ Erl pλ; ni q
ñ
SN „ Erl pλ; n1 ` . . . ` nN q ;
(ix) Xi „ C pµi ; λi q
ñ
SN „ C pµ1 ` . . . ` µN ; λ1 ` . . . ` λN q und
X1 ´ X2 „ C pµ1 ´ µ2 ; λ1 ` λ2 q .
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7 Grenzwertsätze
7.1 Charakteristische Funktionen
| 331 |
7.13 Satz
Sei X eine Zufallsgröße auf dem Wahrscheinlichkeitsraum pΩ, F, Pq mit
charakteristischer Funktion ϕX .
(i) Falls E p|X|p q ă 8 mit p P N , dann ist
(a) ϕX p-fach differenzierbar auf R mit
ż
ż
ppq
p itX
ϕX ptq “ piXq e dP “ pixqp eitx PX pdxq ,
Ω
t P R;
R
ppq
(b) µp pXq “ E pX p q “ p´iqp ϕX p0q ;
p
ÿ
pitqq
pitqp
(c) ϕX ptq “
µq pXq `
Rp ptq ,
q!
p!
q“0
t P R,
wobei |Rp ptq| ď 2 E p|X|p q und lim Rp ptq “ 0 gelten.
tÑ0
(ii) Falls
p2nq
ϕX p0q
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`
˘
existiert für ein n P N , dann gilt E |X|2n ă 8 .
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Sommersemester 2017
7 Grenzwertsätze
7.1 Charakteristische Funktionen
| 332 |
7.14 Definition
~ “ pX1 , . . . , Xn qT ein Zufallsvektor auf pΩ, F, Pq.
Sei X
Die komplexwertige Funktion ϕX~ von n reellen Variablen
~t “ pt1 , . . . , tn q P Rn mit
´
¯
´
¯
` ˘
~~
ϕX~ ~t “ ϕX~ pt1 , . . . , tn q :“ E eipt1 X1 `...`tn Xn q “ E eitX
~ (bzw. der Verteilung
heißt charakteristische Funktion des Zufallsvektors X
PX~ ).
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7 Grenzwertsätze
7.1 Charakteristische Funktionen
| 333 |
7.15 Anmerkungen
Die Eigenschaften von charakteristischen Funktionen von
Zufallsvektoren entsprechen zum großen Teil den Eigenschaften von
charakteristischen Funktionen von Zufallsgrößen.
~ “ pX1 , . . . , Xn qT mit charakteristischer
Für einen Zufallsvektor X
Funktion ϕX~ erhält man die charakteristische Funktion zum Beispiel
von der ersten Komponente X1 , indem in ϕX~ alle Variablen außer
der ersten Null gesetzt werden, d.h.
ϕX1 ptq “ ϕX~ pt, 0, . . . , 0q ,
t P R;
entsprechende Aussagen gelten für die anderen Komponenten bzw.
andere Teilvektoren.
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7 Grenzwertsätze
7.1 Charakteristische Funktionen
| 334 |
7.16 Satz
~ “ pX1 , . . . , Xn qT ein Zufallsvektor auf pΩ, F, Pq mit
Sei X
charakteristischer Funktion ϕX~ .
Dann sind die Zufallsgrößen X1 , . . . , Xn genau dann vollständig
unabhängig, wenn gilt
ϕX~ pt1 , t2 , . . . , tn q “ ϕX1 pt1 q ¨ ϕX2 pt2 q ¨ . . . ¨ ϕXn ptn q .
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7 Grenzwertsätze
7.1 Charakteristische Funktionen
| 335 |
7.17 Satz
~ “ pX1 , . . . , Xn qT auf pΩ, F, Pq ist genau dann
Ein Zufallsvektor X
normalverteilt mit Erwartungswertvektor µ
~ “ pµ1 , . . . , µn qT und
~
µ; Σq , falls für ~t “ pt1 , . . . , tn q P Rn
Kovarianzmatrix Σ , d.h. X „ N p~
gilt
1 ~ ~T
~
ϕX~ p~tq “ ei t µ~ ´ 2 t Σ t .
7.18 Anmerkungen
Dies kann als alternative Definition von normalverteilten
Zufallsvektoren genutzt werden.
Sind die Komponenten unkorreliert, dann sind sie auch unabhängig.
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Wahrscheinlichkeitstheorie
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7 Grenzwertsätze
7.2 Konvergenzbegriffe für Folgen von Zufallsgrößen
| 336 |
7.19 Definition
Seien X, Xn , n P N, Zufallsgrößen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum
pΩ, F, Pq. Man sagt, die Folge von Zufallsgrößen pXn qnPN konvergiert
P-fast sicher gegen X, falls
´!
)¯
P ω P Ω : lim Xn pωq “ Xpωq “ 1
nÑ8
und schreibt dafür
P -f.s.
Xn ÝÝÝÑ X.
nÑ8
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7 Grenzwertsätze
7.2 Konvergenzbegriffe für Folgen von Zufallsgrößen
| 337 |
7.20 Anmerkung
Die P-fast sichere Konvergenz einer Folge von Zufallsgrößen ist ein
Spezialfall der in der Maß- und Integrationstheorie eingeführten µ-fast
überall Konvergenz einer Folge von messbaren Abbildungen für den Fall
eines Wahrscheinlichkeitsmaßes µ “ P.
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7 Grenzwertsätze
7.2 Konvergenzbegriffe für Folgen von Zufallsgrößen
| 338 |
7.21 Definition
Seien X, Xn , n P N, Zufallsgrößen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum
pΩ, F, Pq, und es existiere E pX p q bzw. E pXnp q für 1 ď p ă 8 und n P N.
Man sagt, die Folge pXn qnPN konvergiert im p-ten Mittel gegen X, falls
ż
lim |Xn pωq ´ Xpωq|p Ppdωq “ 0
nÑ8
Ω
und schreibt dafür
Lp pPq
Xn ÝÝÝÝÑ X
nÑ8
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Lp
bzw. Xn ÝÝÝÑ X.
nÑ8
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7.2 Konvergenzbegriffe für Folgen von Zufallsgrößen
| 339 |
7.22 Anmerkung
Die Konvergenz im p-ten Mittel einer Folge von Zufallsgrößen ist ein
Spezialfall der in der Maß- und Integrationstheorie eingeführten
Konvergenz im p-ten Mittel einer Folge von messbaren Abbildungen für
den Fall eines Wahrscheinlichkeitsmaßes µ “ P.
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7 Grenzwertsätze
7.2 Konvergenzbegriffe für Folgen von Zufallsgrößen
| 340 |
7.23 Definition
Seien X, Xn , n P N, Zufallsgrößen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum
pΩ, F, Pq. Man sagt, die Folge von Zufallsgrößen pXn qnPN konvergiert in
Wahrscheinlichkeit oder stochastisch gegen X, wenn für alle ε ą 0 gilt
lim P ptω P Ω : |Xn pωq ´ Xpωq| ě εuq “ 0
nÑ8
und schreibt dafür
P
Xn ÝÝÝÑ X.
nÑ8
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7 Grenzwertsätze
7.2 Konvergenzbegriffe für Folgen von Zufallsgrößen
| 341 |
7.24 Anmerkung
Die Konvergenz in Wahrscheinlichkeit einer Folge von Zufallsgrößen ist ein
Spezialfall der in der Maß- und Integrationstheorie eingeführten
Konvergenz einer Folge von messbaren Abbildungen dem Maße nach für
den Fall eines Wahrscheinlichkeitsmaßes µ “ P.
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7 Grenzwertsätze
7.2 Konvergenzbegriffe für Folgen von Zufallsgrößen
| 342 |
7.25 Anmerkungen
Für die P-fast sichere Konvergenz, die Konvergenz im p-ten Mittel und die
stochastische Konvergenz gelten:
Sind zusätzlich Xn1 , n P N , Zufallsgrößen auf pΩ, F, Pq und gilt
PpXn “ Xn1 q “ 1 , n P N , dann folgen aus der Konvergenz der
Zufallsgrößen Xn gegen X auch die entsprechende Konvergenz für
n Ñ 8 der Zufallsgrößen Xn1 gegen eine Zufallsgröße X 1 auf
pΩ, F, Pq und auch PpX 1 “ Xq “ 1 .
Insbesondere sind für diese Konvergenzarten die Grenzwerte P-fast
sicher eindeutig bestimmt.
Für diese Konvergenzarten können äquivalente Cauchy-Bedingungen
formuliert werden.
Diese Konvergenzarten sind verträglich mit der linearen Struktur, d.h.
die Folge pXn qnPN konvergiert genau dann gegen X , wenn die
Folge der Zufallsgrößen pXn ´ XqnPN gegen 0 konvergiert.
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7 Grenzwertsätze
7.2 Konvergenzbegriffe für Folgen von Zufallsgrößen
| 343 |
7.26 Definition
Seien X, Xn , n P N, Zufallsgrößen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum
pΩ, F, Pq. Man sagt, die Folge von Zufallsgrößen pXn qnPN konvergiert in
Verteilung gegen X bzw. die Folge von Verteilungsgesetzen pPXn qnPN
konvergiert schwach gegen PX , wenn für jede stetige beschränkte
Funktion g : R Ñ R gilt
ż
ż
´
¯
lim g d PXn “ g d PX
bzw. lim E pgpXn qq “ E pgpXqq
nÑ8
nÑ8
R
R
und schreibt dafür
d
Xn ÝÝÝÑ X
nÑ8
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bzw.
PXn ùùùñ PX .
nÑ8
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7 Grenzwertsätze
7.2 Konvergenzbegriffe für Folgen von Zufallsgrößen
| 344 |
7.27 Anmerkung
Die Verteilungskonvergenz kann auch betrachtet werden, wenn die
Zufallsgrößen Xn , n P N , auf unterschiedlichen
Wahrscheinlichkeitsräumen definiert sind, da nur die Verteilungen im
Bildraum wesentlich sind.
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7 Grenzwertsätze
7.2 Konvergenzbegriffe für Folgen von Zufallsgrößen
| 345 |
7.28 Satz
Seien X, Xn , n P N, Zufallsgrößen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum
pΩ, F, Pq. Dann konvergiert die Folge pXn qnPN genau dann in Verteilung
gegen X, wenn
lim FXn pxq “ FX pxq
nÑ8
für alle Stetigkeitsstellen x P R von FX pxq.
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7 Grenzwertsätze
7.2 Konvergenzbegriffe für Folgen von Zufallsgrößen
| 346 |
7.29 Beispiel
Sei pcn qnPN eine streng monoton wachsende Folge von reellen Zahlen mit
lim cn “ c P R
nÑ8
und es gelte für Zufallsgrößen Xn auf pΩ, F, Pq : P pXn “ cn q “ 1 ,
n P N.
Dann konvergiert die Folge pXn qnPN in Verteilung gegen eine
Zufallsgröße X mit PpX “ cq “ 1 , aber für die entsprechenden
Verteilungsfunktionen gilt FXn pcq “ 1 , n P N , FX pcq “ 0 , d.h.
lim FXn pcq “ 1 “ FX pcq “ 0 .
nÑ8
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7 Grenzwertsätze
7.2 Konvergenzbegriffe für Folgen von Zufallsgrößen
| 347 |
7.30 Satz (Stetigkeitssatz)
Seien X, Xn , n P N, Zufallsgrößen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum
pΩ, F, Pq.
(i) Dann konvergiert die Folge pXn qnPN genau dann in Verteilung gegen
X, wenn gilt
lim ϕXn ptq “ ϕX ptq
nÑ8
für alle
t P R.
(ii) Gilt für die Folge der charakteristischen Funktionen
lim ϕXn ptq “ ψptq ,
nÑ8
t P R,
wobei die Grenzfunktion ψ an der Stelle 0 stetig ist oder die
Konvergenz gleichmäßig auf endlichen Teilintervallen von R erfolgt,
dann ist ψ die charakteristische Funktion einer Zufallsgröße und die
Folge pXn qnPN konvergiert in Verteilung gegen diese Zufallsgröße.
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7 Grenzwertsätze
7.2 Konvergenzbegriffe für Folgen von Zufallsgrößen
| 348 |
7.31 Beispiele
(1) Satz 4.6.3
Hyp pn, K, N q ùùùùùùùùùùùùñ B pn; pq.
N Ñ8, KÑ8,
(2) Satz 4.9.2
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K
Ñp
N
B pn; pn q ùùùùùùùùñ Π pλq.
nÑ8, npn Ñλ
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7 Grenzwertsätze
7.2 Konvergenzbegriffe für Folgen von Zufallsgrößen
| 349 |
7.32 Beispiel
Seien Ti „ Exp pλq, i “ 1, . . . , n, i.i.d. exponentialverteilte Zufallsgrößen
mit dem Parameter λ ą 0. Dann gilt
d
mintT1 , . . . , Tn u ÝÝÝÑ 0
nÑ8
und
PYn ùùùñ Exp pλq
nÑ8
sowie
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für Yn “ n mintT1 , . . . , Tn u
1
1
d
maxtT1 , . . . , Tn u ÝÝÝÑ .
nÑ8 λ
ln n
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7 Grenzwertsätze
7.2 Konvergenzbegriffe für Folgen von Zufallsgrößen
| 350 |
7.33 Aufgabe
Seien Xi , i P N, i.i.d. Zufallsgrößen mit der Verteilungsfunktion
FX pxq “ xp Ip0,1s pxq ` Ip1,8q pxq mit
p ą 0.
Zeigen Sie, dass dann gilt
d
mintX1 , . . . , Xn u ÝÝÝÑ 0
nÑ8
und
PYn ùùùñ Wei pλ; pq
nÑ8
für
?
p
Yn “
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n
mintX1 , . . . , Xn u mit
λ
Wahrscheinlichkeitstheorie
λ ą 0.
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7 Grenzwertsätze
7.2 Konvergenzbegriffe für Folgen von Zufallsgrößen
| 351 |
7.34 Satz
Seien X, Xn , n P N, Zufallsgrößen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum
pΩ, F, Pq. Dann folgt aus
P
Xn ÝÝÝÑ X
nÑ8
stets
d
Xn ÝÝÝÑ X
nÑ8
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bzw.
PXn ùùùñ PX .
nÑ8
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7 Grenzwertsätze
7.2 Konvergenzbegriffe für Folgen von Zufallsgrößen
| 352 |
7.35 Beispiel (Gegenbeispiel für die Umkehrung von Satz 7.34)
` ˘
Es sei X „ B 12 eine Bernoulli-verteilte Zufallsgröße und Xn “ 1 ´ X
für alle n P N. Dann besitzen X und Xn dieselbe Verteilung und
trivialerweise gilt
d
Xn ÝÝÝÑ X
nÑ8
bzw.
PXn ùùùñ PX .
nÑ8
Andererseits ist
|Xpωq ´ Xn pωq| “ 1 für alle
ωPΩ
und somit kann die Folge pXn qnPN von Zufallsgrößen nicht in
Wahrscheinlichkeit gegen X konvergieren.
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7 Grenzwertsätze
7.2 Konvergenzbegriffe für Folgen von Zufallsgrößen
| 353 |
7.36 Satz
Seien Xn , n P N, Zufallsgrößen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum
pΩ, F, Pq, und es gelte
d
Xn ÝÝÝÑ c
nÑ8
bzw.
PXn ùùùñ δc
nÑ8
für ein
c P R.
Dann folgt
P
Xn ÝÝÝÑ c.
nÑ8
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7 Grenzwertsätze
7.2 Konvergenzbegriffe für Folgen von Zufallsgrößen
| 354 |
Übersicht: Zusammenhänge zwischen den Konvergenzbegriffen
(gleichmäßig)
Xn ÝÝÝÝÝÝÝÝÑ X
nÑ8
§
§
đ
(punktweise)
Xn ÝÝÝÝÝÝÝÑ X
nÑ8
§
§
đ
P -f.s.
Xn ÝÝÝÑ X
nÑ8
§İ
§§Teilfolge
đ§
P
Xn ÝÝÝÑ X
nÑ8
§İ
§§
đ§X”c
Lp pPq
Xn ÝÝÝÝÑ X
nÑ8
§İ
§§ lim }Xn }p “}X}p ,1ďpă8
đ§n8
P
Xn ÝÝÝÑ X
nÑ8
d
Xn ÝÝÝÑ X
nÑ8
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Sommersemester 2017
7 Grenzwertsätze
7.3 Gesetze der großen Zahlen
| 355 |
7.37 Anmerkung
Grenzwertsätze betreffen asymptotische Aussagen über Verteilungen
einer Folge von Zufallsvariablen, hier über Partialsummen
Sn “ X1 ` . . . ` Xn für eine Folge pXk qkPN von Zufallsgrößen auf
pΩ, F, Pq.
Man spricht von schwachen Gesetzen, wenn die stochastische
Konvergenz vorliegt.
Man spricht von starken Gesetzen, wenn die fast sichere Konvergenz
vorliegt.
Die Partialsummen Sn müssen noch geeignet normiert werden,
damit eine Grenzwert (hier eine entartete Zufallsgröße, also eine reelle
Konstante) existiert (z.B. wächst die Varianz mit größer werdendem n
falls sie existiert und die Zufallsgrößen Xk unabhängig sind).
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7 Grenzwertsätze
7.3 Gesetze der großen Zahlen
| 356 |
7.38 Satz (Schwaches Gesetz der großen Zahlen von Tschebyschew)
Sei pXk qkPN eine i.i.d. Folge von Zufallsgrößen auf pΩ, F, Pq mit
n
ÿ
` ˘
E X12 ă 8 und für n P N sei Sn :“
Xk .
k“1
Dann gilt
1
P
Sn ´ E pX1 q ÝÝÝÑ 0
nÑ8
n
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ˆ
bzw.
˙
1
P
Sn ÝÝÝÑ E pX1 q .
nÑ8
n
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7 Grenzwertsätze
7.3 Gesetze der großen Zahlen
| 357 |
7.39 Folgerung (Schwaches Gesetz der großen Zahlen von Bernoulli)
Sei pXk qkPN eine i.i.d. Folge von Zufallsgrößen auf pΩ, F, Pq mit
n
ÿ
Xk „ B ppq und für n P N sei Sn :“
Xk .
k“1
Dann gilt
1
P
Sn ÝÝÝÑ p .
nÑ8
n
7.40 Anmerkung
Diese Aussage liefert in der axiomatischen Wahrscheinlichkeitstheorie die
theoretische Begründung für die Häufigkeitsinterpretation des
Wahrscheinlichkeitsbegriffs.
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7 Grenzwertsätze
7.3 Gesetze der großen Zahlen
| 358 |
7.41 Satz (Schwaches Gesetz der großen Zahlen)
Sei pXk qkPN eine i.i.d. Folge von Zufallsgrößen auf pΩ, F, Pq mit
n
ÿ
E p|X1 |q ă 8 und für n P N sei Sn :“
Xk .
k“1
Dann gilt
1
P
Sn ´ E pX1 q ÝÝÝÑ 0
nÑ8
n
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ˆ
bzw.
˙
1
P
Sn ÝÝÝÑ E pX1 q .
nÑ8
n
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7 Grenzwertsätze
7.3 Gesetze der großen Zahlen
| 359 |
7.42 Satz (Starkes Gesetz der großen Zahlen von Kolmogorow)
Sei pXk qkPN eine i.i.d. Folge von Zufallsgrößen auf pΩ, F, Pq und für
n
ÿ
n P N sei Sn :“
Xk .
k“1
˙
1
Dann konvergiert die Folge der Zufallsgrößen
Sn
genau dann
n
nPN
fast sicher, falls E p|X1 |q ă 8 ist und in diesem Fall gilt
ˆ
˙
1
1
P -f.s.
P -f.s.
Sn ´ E pX1 q ÝÝÝÑ 0
bzw.
Sn ÝÝÝÑ E pX1 q .
nÑ8
nÑ8
n
n
ˆ
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7 Grenzwertsätze
7.4 Zentrale Grenzwertsätze
| 360 |
7.43 Anmerkung
Inhalt des zentralen Grenzwertsatzes ist die Verteilungskonvergenz
von geeignet normierten Summen Sn “ X1 ` . . . ` Xn einer Folge
pXk qkPN von unabhängigen Zufallsgrößen auf pΩ, F, Pq.
Hier wird nur der wichtigste grundlegende zentrale Grenzwertsatz
behandelt, die Voraussetzungen in dem Satz können in verschiedener
Hinsicht stark abgeschwächt werden.
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Sommersemester 2017
7 Grenzwertsätze
7.4 Zentrale Grenzwertsätze
| 361 |
7.44 Satz (Zentraler Grenzwertsatz von Lindeberg-Levy)
Sei pXk qkPN eine i.i.d. Folge von Zufallsgrößen auf pΩ, F, Pq mit
n
ÿ
` ˘
E X12 ă 8 , Var pX1 q ą 0 und für n P N sei Sn :“
Xk .
k“1
Sn ´ n E pX1 q
Dann gilt für die standardisierten Partialsummen Zn :“ a
n Var pX1 q
PZn ùùùñ N p0; 1q ,
d.h.
żx
u2
1
lim PpZn ă xq “ Φpxq “ ?
e´ 2 du ,
nÑ8
2π ´8
nÑ8
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x P R.
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7 Grenzwertsätze
7.4 Zentrale Grenzwertsätze
| 362 |
7.45 Folgerung (Zentraler Grenzwertsatz von Moivre-Laplace)
Sei pSn qnPN eine Folge von Zufallsgrößen auf pΩ, F, Pq mit
Sn „ B pn; pq , n P N, 0 ă p ă 1 .
Sn ´ np
Dann gilt für die standardisierten Partialsummen Zn :“ a
npp1 ´ pq
PZn ùùùñ N p0; 1q ,
d.h.
żx
u2
1
lim PpZn ă xq “ Φpxq “ ?
e´ 2 du ,
nÑ8
2π ´8
nÑ8
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Wahrscheinlichkeitstheorie
x P R.
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7 Grenzwertsätze
7.4 Zentrale Grenzwertsätze
| 363 |
7.46 Beispiel
Seien Xi „ Ur´1, `1s , i P N , i.i.d. Zufallsgrößen auf einem
Wahrscheinlichkeitsraum pΩ, F, Pq. Dann gilt
PZn ùùùñ N p0; 1q
nÑ8
für
c
Zn “
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3
Sn .
n
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7 Grenzwertsätze
7.4 Zentrale Grenzwertsätze
| 364 |
7.47 Satz (Berry-Esseen-Ungleichung)
Sei pXi qiPN eine Folge von i.i.d. Zufallsgrößen, deren dritten Momente
existieren, wobei Var pXi q ą 0 . Dann gilt
¯
´
3
1 E |X1 ´ E pX1 q|
sup |FZn pxq ´ Φpxq| ď
?
2
xPR
n Var pX1 q3{2
für
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Sn ´ n E pX1 q
Zn “ a
.
n Var pX1 q
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Sommersemester 2017
8 Elemente der mathematischen Statistik
8.1 Einige Grundbegriffe
| 365 |
8.1 Anmerkungen
(i) In vielen praktischen Fällen sind Verteilungsfunktionen von
Zufallsgrößen nicht (exakt) bekannt (nicht theoretisch berechenbar),
aber es sind Daten verfügbar, die Informationen über die unbekannte
Verteilungsfunktion liefern. Eine analoge Situation gilt auch für
allgemeinere Zufallsvariable.
(ii) In der klassischen“ ( Fisherschen“) mathematischen Statistik geht
”
”
man oft von einer Verteilungsfunktion einer Zufallsgröße mit
unbekannten exakten (wahren)“ Parametern aus.
”
(iii) In der Bayesschen Statistik werden alle unbekannten Größen,
insbesondere auch unbekannte Parameter einer Verteilungsfunktion,
als Zufallsgrößen mit einer Verteilung modelliert.
(iv) In gewisser Weise sind die Aufgabenstellungen der mathematischen
Statistik invers zu den Aufgabenstellungen der
Wahrscheinlichkeitstheorie.
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Sommersemester 2017
8 Elemente der mathematischen Statistik
8.1 Einige Grundbegriffe
| 366 |
8.2 Definition
Gegeben sei ein messbarer Raum pΩ, Fq , eine F ´ B-messbare
Abbildung X : Ω Ñ R und eine Familie pPθ qθPΘ , Θ Ď Rd , d P N , von
Wahrscheinlichkeitsmaßen auf pΩ, Fq .
(i) Dann nennt man pΩ, F, pPθ qθPΘ q ein parametrisches statistisches
Modell für die Grundgesamtheit X . Die Verteilungsfunktion von X
unter dem Wahrscheinlichkeitsmaß Pθ (θ P Θ) werde mit FX|θ
bezeichnet.
(ii) Die F ´ BpRn q-messbare Abbildung X pnq “ pX1 , . . . , Xn q : Ω Ñ Rn
heißt mathematische Stichprobe vom Umfang n aus der
Grundgesamtheit X, falls für beliebige θ P Θ die Zufallsgrößen
X1 , . . . , Xn unabhängig und identisch verteilt mit der
Verteilungsfunktion FX|θ sind.
(iii) Für jedes ω P Ω wird xpnq “ px1 , . . . , xn q “ X pnq pωq P Rn
Realisierung der mathematischen Stichprobe oder konkrete
Stichprobe vom Umfang n genannt.
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8 Elemente der mathematischen Statistik
8.1 Einige Grundbegriffe
| 367 |
8.3 Beispiel
Die Grundgesamtheit X beschreibe ein Bernoulli-Experiment.
Wir betrachten ein Bernoulli-Schema, d.h. die n-malige,
unabhängige Wiederholung eines Bernoulli-Experiments.
Beschreibt Xi den Ausgang des i-ten Experiments, d.h. Xi “ 1 bei
Erfolg und Xi “ 0 bei Misserfolg, so ist das n-Tupel pX1 , . . . , Xn q
eine mathematische Stichprobe vom Umfang n aus der
Grundgesamtheit X .
Jede Realisierung, d.h. jedes n-Tupel aus Nullen und Einsen, z.B.
xp5q “ p1, 0, 1, 1, 0q , ist eine konkrete Stichprobe.
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Wahrscheinlichkeitstheorie
Sommersemester 2017
8 Elemente der mathematischen Statistik
8.1 Einige Grundbegriffe
| 368 |
8.4 Definition
Sei X pnq eine mathematische Stichprobe vom Umfang n aus einer
Grundgesamtheit X auf pΩ, F, pPθ qθPΘ q .
(i) Für eine nicht von θ abhängige messbare Funktion T̃n : Rn Ñ R
nennt man die messbare Abbildung
Tn “ T̃n pX pnq q “ T̃n pX1 , . . . , Xn q : Ω Ñ R
eine Stichprobenfunktion.
(ii) Für jede Realisierung xpnq “ X pnq pωq , ω P Ω , ist
Tn pωq “ T̃n pX1 pωq, . . . , Xn pωqq “ T̃n px1 , . . . , xn q P R
eine Realisierung der Stichprobenfunktion Tn .
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8 Elemente der mathematischen Statistik
8.1 Einige Grundbegriffe
| 369 |
8.5 Beispiele und Definitionen
Sei X pnq eine mathematische Stichprobe vom Umfang n aus einer
Grundgesamtheit X . Dann nennt man die Stichprobenfunktion
(i)
´
¯
1
X n “ X n X pnq :“ pX1 ` . . . ` Xn q
n
Stichprobenmittelwert,
(ii) allgemeiner für p P N
´
¯
1
Mnp “ Mnp X pnq :“ pX1p ` . . . ` Xnp q
n
p-tes Stichprobenmoment und
(iii)
´
¯
Sn2 “ Sn2 X pnq :“
n
˘2
1 ÿ`
Xi ´ X n
n ´ 1 i“1
Stichprobenstreuung.
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8.1 Einige Grundbegriffe
| 370 |
8.5 Beispiele und Definitionen (Fortsetzung)
(iv) Für jedes x P R definiert man die Stichprobenfunktion
n
´
¯´
¯
1ÿ
I
pXi q
Fpn pxq “ Fpn pxq X pnq :“
n i“1 p´8,xq
und nennt die Abbildung Fpn p¨q : R Ñ r0, 1s empirische
Verteilungsfunktion.
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8.1 Einige Grundbegriffe
| 371 |
8.6 Anmerkungen
(1) Für jedes ω P Ω und damit jede Realisierung
px1 , . . . , xn q “ pX1 pωq, . . . , Xn pωqq der mathematischen Stichprobe
X pnq ergibt sich für jedes x P R eine Realisierung
n
n
´
¯
1ÿ
1ÿ
Ip´8,xq pXi pωqq “
I
pxi q
Fpn pxq pωq “
n i“1
n i“1 p´8,xq
“
1
card pti P t1, . . . , nu : xi ă xuq
n
der Stichprobenfunktion Fpn pxq .
´
¯
Die Funktion Fpn p¨q pωq : R Ñ r0, 1s besitzt für jedes ω P Ω die
Eigenschaften einer Verteilungsfunktion.
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8.1 Einige Grundbegriffe
| 372 |
8.6 Anmerkungen (Fortsetzung)
(2) Für alle x P R gilt
´
¯
Eθ Fpn pxq “ FX|θ pxq
und
´
¯ 1
Varθ Fpn pxq “ FX|θ pxqp1 ´ FX|θ pxqq .
n
(3) Aus dem starken Gesetz der großen Zahlen folgt
P -f.s.
Fpn pxq ÝÝθÝÝÑ FX|θ pxq für jedes x P R.
nÑ8
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8.1 Einige Grundbegriffe
| 373 |
8.7 Satz (Hauptsatz der mathematischen Statistik, Satz von
Glivenko-Cantelli)
Sei X pnq eine mathematische Stichprobe vom Umfang n aus einer
Grundgesamtheit X , so gilt
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ P -f.s.
sup ˇFpn pxq ´ FX|θ pxqˇ ÝÝθÝÝÑ 0 .
xPR
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nÑ8
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8.1 Einige Grundbegriffe
| 374 |
8.8 Anmerkungen
(i) Wichtige Aufgabenstellungen in der mathematischen Statistik sind
unter anderem
die Bestimmung unbekannter Parameter der Verteilung einer
Grundgesamtheit, d.h. die Parameterschätzung, wobei hier Punktoder Bereichsschätzungen genutzt werden;
die Überprüfung, ob bestimmte Hypothesen (Annahmen) über
unbekannte Parameter (oder andere Eigenschaften) angenommen oder
abgelehnt werden sollten; dies wird durch statistische Tests oder
Signifikanztests realisiert.
(ii) Zu beachten ist, dass im Allgemeinen keine Aussagen mit 100%-iger
Sicherheit getroffen werden können. Es müssen in der Regel
Fehlerwahrscheinlichkeiten mit berücksichtigt werden.
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8.2 Punktschätzungen von Parametern
| 375 |
8.9 Definitionen
Sei pΩ, F, tPθ uθPΘ q ein parametrisches statistisches Modell für die
Grundgesamtheit X, X pnq eine mathematische Stichprobe vom
Umfang n aus dieser Grundgesamtheit X und g : Θ Ñ R eine
Funktion. Unter einer Punktschätzung bzw. kurz einem` Schätzer
für
˘
pnq
p
p
gpθq versteht man eine Stichprobenfunktion Gn “ Gn X
.
Für jedes ω P Ω und damit jede Realisierung
px1 , . . . , xn q “ pX1 pωq, . . . , Xn pωqq der mathematischen Stichprobe
X pnq ist
p n pωq “ G
p n pX1 pωq, . . . , Xn pωqq “ G
p n px1 , . . . , xn q P R
gpn :“ G
eine Realisierung der Schätzfunktion. Diese nennt man den
Schätzwert für gpθq anhand der konkreten Stichprobe px1 , . . . , xn q.
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8.2 Punktschätzungen von Parametern
| 376 |
8.10 Definitionen (Eigenschaften von Schätzern)
Sei pΩ, F, tPθ uθPΘ q ein parametrisches statistisches Modell für die
Grundgesamtheit X, X pnq eine mathematische Stichprobe vom Umfang n
aus dieser Grundgesamtheit X und g : Θ Ñ R eine Funktion.
p n für gpθq heißt erwartungstreu, wenn für alle θ P Θ
Ein´Schätzer
G
¯
p n existiert und gilt
Eθ G
´
Eθ
ż
¯
p
p n d Pθ “ gpθq.
Gn :“ G
Ω
Die Differenz
´ ¯
p n ´ gpθq
Eθ G
nennt man die Verzerrung, den systematischen Fehler oder auch den
pn .
Bias des Schätzers G
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8.2 Punktschätzungen von Parametern
| 377 |
8.10 Definitionen (Eigenschaften von Schätzern, Fortsetzung)
p n und G
p ˚ zwei erwartungstreue Schätzer für gpθq, so heißt G
p˚
Sind G
n
n
p
besser als Gn , falls für alle θ P Θ gilt
´ ¯
´ ¯
pn .
p ˚ ď Varθ G
Varθ G
n
Falls für alle θ P Θ gilt
´ ¯
p n “ gpθq,
lim Eθ G
nÑ8
´ ¯
pn
so nennt man die Folge G
von Schätzern für gpθq
nPN
asymptotisch erwartungstreu.
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8.2 Punktschätzungen von Parametern
| 378 |
8.10 Definitionen (Eigenschaften von Schätzern, Fortsetzung)
´ ¯
pn
Die Folge G
von Schätzern für gpθq heißt (schwach)
nPN
konsistent, falls für alle θ P Θ gilt
Pθ
p n ÝÝ
G
ÝÑ gpθq.
nÑ8
´
¯
pn
Die Folge G
von Schätzern für gpθq heißt stark konsistent,
nPN
falls für alle θ P Θ gilt
Pθ ´f.s.
pn Ý
G
ÝÝÝÑ gpθq.
nÑ8
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8.2 Punktschätzungen von Parametern
| 379 |
8.11 Beispiel und Definition
Sei pΩ, F, tPθ uθPΘ q ein parametrisches statistisches Modell für die
Grundgesamtheit X, X pnq eine mathematische Stichprobe vom Umfang n
aus dieser Grundgesamtheit X, und es existiere Eθ p|X|p q, p P N, für alle
θ P Θ. Dann ist das p-te Stichprobenmoment
Mnppq “
n
1ÿ p
X
n i“1 i
ein erwartungstreuer Schätzer für
ż
gpθq “ Eθ pX p q “
X p d Pθ
Ω
´
ppq
und die Folge Mn
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¯
nPN
ist stark konsistent.
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8.2 Punktschätzungen von Parametern
| 380 |
8.12 Beispiel
Sei pΩ, F, tPθ uθPΘ q ein parametrisches statistisches Modell für die
Grundgesamtheit X, X pnq eine mathematische Stichprobe
` ˘ vom Umfang n
aus dieser Grundgesamtheit X, und es existiere Eθ X 2 für alle θ P Θ.
Dann ist die Stichprobenstreuung
Sn2
n
˘2
1 ÿ`
Xi ´ X n
“
n ´ 1 i“1
ein erwartungstreuer Schätzer für
ż
pX ´ Eθ pXqq2 d Pθ
gpθq “ Varθ pXq “
Ω
` ˘
und die Folge Sn2 nPN ist stark konsistent.
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8.2 Punktschätzungen von Parametern
| 381 |
8.13 Definition
Sei pΩ, F, tPθ uθPΘ q ein parametrisches statistisches Modell für die
Grundgesamtheit X und g : Θ Ñ R eine
Funktion. Existiert für einen
´ ¯
2
p
p
Schätzer Gn das zweite Moment Eθ Gn für alle θ P Θ, so heißt
ˆ´
¯2 ˙
p
Eθ Gn ´ gpθq
p n für gpθq.
mittlerer quadratischer Fehler des Schätzers G
p ˚ den gleichmäßig besten Schätzer in einer
Man nennt den Schätzer G
n
gewissen Menge G von Schätzern für gpθq, wenn
ˆ´
ˆ´
¯2 ˙
¯2 ˙
˚
p
p
Eθ Gn ´ gpθq
ď Eθ Gn ´ gpθq
p n P G und alle θ P Θ.
gilt für alle G
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8.2 Punktschätzungen von Parametern
| 382 |
8.14 Satz
Sei pΩ, F, tPθ uθPΘ q ein parametrisches statistisches Modell für die
Grundgesamtheit X und g : Θ Ñ R eine Funktion.
´ ¯ Existiert für einen
p
p 2 für alle θ P Θ, so gilt
Schätzer Gn für gpθq das zweite Moment Eθ G
n
für den mittleren quadratischen Fehler
ˆ´
¯2 ˙
´ ¯ ´ ´ ¯
¯2
p
p
p
Eθ Gn ´ gpθq
“ Varθ Gn ` Eθ Gn ´ gpθq .
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8.2 Punktschätzungen von Parametern
| 383 |
8.15 Beispiel
Sei pΩ, F, tPθ uθPΘ q ein parametrisches statistisches Modell für die
Grundgesamtheit X, X pnq eine mathematische Stichprobe
` 2 ˘ vom Umfang n
aus dieser Grundgesamtheit X und es existiere Eθ X für alle θ P Θ.
Für jeden Vektor ~a `“ pa1˘, . . . , an qT P Rn mit a1 ` . . . ` an “ 1 ist der
p~a “ G
p~a X pnq “ a1 X1 ` . . . ` an Xn ein erwartungstreuer
Schätzer G
n
n
Schätzer für gpθq “ Eθ pXq.
Es gilt
´ ¯
p~a “ pa2 ` . . . ` a2 q Varθ pXq .
Varθ G
n
1
n
Da a21 ` . . . ` a2n unter der Nebenbedingung a1 ` . . . ` an “ 1 minimal
wird, wenn ai “ n1 für alle i “ 1, . . . , n gilt, ist X n der beste lineare
erwartungstreue Schätzer für gpθq “ Eθ pXq
(BLUE: best linear unbiased estimator“).
”
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8.2 Punktschätzungen von Parametern
| 384 |
8.16 Satz
Sei pΩ, F, tPθ uθPΘ q ein parametrisches statistisches Modell für die
Grundgesamtheit
X und g : Θ Ñ R eine Funktion. Für eine Folge´ ¯
´ ¯
p 2 für
p
Gn
von Schätzern für gpθq existiere das zweite Moment Eθ G
n
nPN
alle θ P Θ und alle n P N. Ist diese Folge asymptotisch erwartungstreu und
gilt
´ ¯
p n “ 0 für alle θ P Θ,
lim Varθ G
nÑ8
so ist sie konsistent.
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8.2 Punktschätzungen von Parametern
| 385 |
8.17 Definition (Momentenmethode)
Sei pΩ, F, tPθ uθPΘ q ein parametrisches statistisches Modell für die
Grundgesamtheit X, X pnq eine mathematische Stichprobe vom Umfang n
aus dieser Grundgesamtheit X und es existiere Eθ pX p q, p P N, für alle
θ P Θ Ď Rd , d P N.
Hat der Parameter θj , die j-te Komponente von θ, j “ 1, . . . , d, eine
Darstellung der Form
θj “ hj pµ1 pXq, . . . , µp pXqq
mit einer stetigen Funktion hj : Rp Ñ R, so nennt man
´
¯
MM
x
θj n “ hj Mnp1q , . . . , Mnppq
den Momentenschätzer bzw. den nach der Momentenmethode
konstruierten Schätzer für θj , j “ 1, . . . , d.
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8.2 Punktschätzungen von Parametern
| 386 |
8.18 Beispiel
Gegeben sei eine exponentialverteilte Grundgesamtheit X „ Exp pλq,
θ “ λ, Θ “ p0, 8q Ď R.
1
µ1 pXq “ .
θ
Folglich erhält man die Darstellung
θ“
1
.
µ1 pXq
Also ist
θpnM M “
1
p1q
Mn
der Momentenschätzer für θ.
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8.2 Punktschätzungen von Parametern
| 387 |
8.19 Beispiel
`
˘
Gegeben sei eine normalverteilte Grundgesamtheit X „ N µ; σ 2 ,
θ “ pθ1 , θ2 qT “ pµ, σ 2 qT , Θ “ R ˆ p0, 8q Ď R2 . Dann gilt
µ1 pXq “ θ1
und µ2 pXq “ θ12 ` θ2 .
Folglich erhält man die Darstellungen
θ1 “ µ1 pXq
und θ2 “ µ2 pXq ´ µ1 pXq2 .
Also sind
MM
x
θ1 n “ Mnp1q
und
´
¯2
MM
p2q
p1q
x
θ 2 n “ M n ´ Mn
die Momentenschätzer für θ1 und θ2 .
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8.2 Punktschätzungen von Parametern
| 388 |
8.20 Satz
Sei pΩ, F, tPθ uθPΘ q ein parametrisches statistisches Modell für die
Grundgesamtheit X, X pnq eine mathematische Stichprobe vom Umfang n
aus dieser Grundgesamtheit X und es existiere Eθ pX p q, p P N, für alle
θ P Θ Ď Rd , d P N.
´ MM ¯
Dann ist die Folge x
θj n
der Momentenschätzer für den Parameter
nPN
θj , die j-te Komponente von θ, j “ 1, . . . , d, stark konsistent.
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8.2 Punktschätzungen von Parametern
| 389 |
8.21 Folgerung
Sei pΩ, F, tPθ uθPΘ q ein parametrisches statistisches Modell für die
Grundgesamtheit X, X pnq eine mathematische Stichprobe vom Umfang n
aus dieser Grundgesamtheit X und es existiere Eθ pX p q, p P N, für alle
θ P Θ Ď Rd , d P N. Weiterhin sei g : Θ Ñ R eine stetige Funktion.
´ ¯
pn
Dann ist die Folge G
mit
nPN
´ MM
¯
MM
pn “ g x
θ1 n , . . . , x
θd n
G
eine stark konsistente Folge von Schätzern für gpθq.
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8.2 Punktschätzungen von Parametern
| 390 |
8.22 Definitionen (Maximum-Likelihood-Methode)
Sei pΩ, F, tPθ uθPΘ q ein parametrisches statistisches Modell für die
Grundgesamtheit X mit Wertebereich WX und X pnq eine mathematische
Stichprobe vom Umfang n aus dieser Grundgesamtheit X.
Für den Fall, dass X eine diskrete Grundgesamtheit ist, definieren wir
Ln : Rn ˆ Θ Ñ r0, 8q gemäß
n
ź
Ln px1 , . . . , xn , θq :“
Pθ pX “ xi q.
i“1
Für den Fall, dass X eine stetige Grundgesamtheit mit der
dpPθ ˝X ´1 q
Dichtefunktion fθ ist, d.h. fθ “
, definieren wir
dλ
Ln : Rn ˆ Θ Ñ r0, 8q gemäß
n
ź
Ln px1 , . . . , xn , θq :“
fθ pxi q.
i“1
Die Funktion Ln wird Likelihood-Funktion genannt.
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8.2 Punktschätzungen von Parametern
| 391 |
8.22 Definitionen (Maximum-Likelihood-Methode, Fortsetzung)
ML
Die j-te Komponente x
θj n , j “ 1, . . . , d, des d-dimensionalen zufälligen
`
˘
Vektors Tn X pnq mit Tn : Rn Ñ Rd nennt man
Maximum-Likelihood-Schätzer für den Parameter θj , die j-te Komponente
von θ, wenn für alle px1 , . . . , xn q P pWX qn gilt
Tn px1 , . . . , xn q P arg max Ln px1 , . . . , xn , θq.
θPΘ
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8.2 Punktschätzungen von Parametern
| 392 |
8.23 Anmerkungen und Definition
(1) Für jedes ω P Ω und damit jede Realisierung
px1 , . . . , xn q “ pX1 pωq, . . . , Xn pωqq der mathematischen Stichprobe
X pnq liefert der Vektor der Maximum-Likelihood-Schätzer denjenigen
Wert θp “ Tn px1 , . . . , xn q als Schätzwert für θ, der die Realisierung
genau dieser Stichprobe am wahrscheinlichsten macht.
(2) Ist die Likelihood-Funktion differenzierbar, so erfüllt der Vektor der
Maximum-Likelihood-Schätzer die sogenannten
Maximum-Likelihood-Gleichungen
B log Ln px1 , . . . , xn , θ1 , . . . , θd q
“0
Bθj
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für j “ 1, . . . , d.
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8.2 Punktschätzungen von Parametern
| 393 |
8.24 Beispiel
`
˘
Gegeben sei eine normalverteilte Grundgesamtheit X „ N µ; σ 2 ,
θ “ pθ1 , θ2 qT “ pµ, σ 2 qT , Θ “ R ˆ p0, 8q Ď R2 . Dann sind
ML
x
θ1 n “ X n
und
n
˘2
ML
1 ÿ`
x
θ2 n “
Xi ´ X n
n i“1
die Maximum-Likelihood-Schätzer für θ1 und θ2 und stimmen mit den
Momentenschätzern überein. Folglich sind
´ M L¯
´ M L¯
x
x
θ1 n
und
θ2 n
nPN
nPN
ML
stark konsistente Folgen von Schätzern. Während x
θ1 n erwartungstreu
ML
n´1 2
ist, ist x
θ2 n “
Sn nur asymptotisch erwartungstreu.
n
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8.3 Bereichsschätzungen von Parametern
| 394 |
8.25 Anmerkung
Die Genauigkeit einer Punktschätzung kann z.B. mit Hilfe der Varianz des
Schätzers bzw. des mittleren quadratischen Fehlers quantifiziert werden.
Explizitere Aussagen dazu können getroffen werden, wenn statt einer
Punktschätzung eine Bereichsschätzung durchgeführt wird.
Aus mathematischer Sicht ergibt sich dabei die im Allgemeinen nicht
einfach zu lösende Aufgabe, Funktionen der mathematischen Stichprobe
zu bestimmen, für die eine bekannte, von weiteren unbekannten
Parametern nicht abhängige Verteilung berechenbar ist.
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8.3 Bereichsschätzungen von Parametern
| 395 |
8.26 Definition
Ein Konfidenzintervall (auch Vertrauensbereich) ist ein in Lage und/oder
Breite zufälliger Bereich, der den unbekannten (reellen) Parameter θ mit
Wahrscheinlichkeit 1 ´ α überdeckt. Der Wert 1 ´ α wird
Konfidenzniveau genannt.
8.27 Anmerkungen
Typische Werte für α sind 0.05, 0.1 oder 0.01.
Man unterscheidet drei Arten von Konfidenzintervallen:
zentral oder beidseitig begrenzt (θ̂n;α{2 ď θ ď θ̂n;1´α{2 );
einseitig, oben begrenzt (θ ď θ̂n;1´α );
einseitig, unten begrenzt (θ̂n;α ď θ).
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8.3 Bereichsschätzungen von Parametern
| 396 |
8.28 Anmerkung
Für normalverteilte Grundgesamtheiten spielen sowohl bei
Konfidenzintervallen, als auch bei statistischen Tests neben der
χ2 -Verteilung auch die t-Verteilung, die auch Student- oder
Gosset-Verteilung genannt wird, eine große Rolle.
Die Dichtefunktion einer t-verteilten Zufallsgröße mit dem Parameter
n P N ( Anzahl der Freiheitsgrade“) ist
”
˘ ˆ
`
˙´ n`1
2
Γ n`1
x2
2` ˘
, x P R.
1
`
f pxq “ ?
n
nπ Γ n2
Sind X1 , . . . , Xn unabhängige und identisch normalverteilte Zufallsgrößen
mit Parametern µ P R und σ 2 ą 0 , dann ist die Zufallsgröße
Xn ´ µ ?
n
Sn
t-verteilt mit n ´ 1 Freiheitsgraden.
Y :“
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8.3 Bereichsschätzungen von Parametern
| 397 |
8.29 Satz
Für eine normalverteilte Grundgesamtheit mit unbekannten Parametern
µ P R und σ 2 ą 0 sind die zweiseitigen Konfidenzintervalle
Sn
Sn
X n ´ ? tn´1;1´α{2 ď µ ď X n ` ? tn´1;1´α{2
n
n
bzw.
pn ´ 1qSn2
pn ´ 1qSn2
2
ď
σ
ď
.
χ2n´1;1´α{2
χ2n´1;α{2
Dabei sind tn´1;γ bzw. χ2n´1;γ jeweils γ-Quantile der t- bzw.
χ2 -Verteilung mit n ´ 1 Freiheitsgraden.
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8.4 Statistische Tests
| 398 |
8.30 Anmerkung
Ein statistischer Test ist ein Verfahren zur Überprüfung einer statistischen
Hypothese (eine Behauptung über Eigenschaften von Zufallsgrößen, z.B.
etwa über einen Parameter der Verteilung) auf der Basis einer Stichprobe.
Das Vorgehen dazu soll an einem kleinen Beispiel erläutert werden.
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8.4 Statistische Tests
| 399 |
8.31 Beispiel (Abfüllmenge Waschmittelpackungen)
Bei einem Verbrauchertest für Waschmittel werde auch die Abfüllmenge
kontrolliert. Dabei ergaben sich bei 10 zufällig ausgewählten 5 kg
Packungen einer bestimmten Sorte folgende Abfüllmengen (in kg):
4.6 , 4.95 , 4.8 , 4.9 , 4.75 , 5.05 , 4.9 , 5.1 , 4.85 , 4.95 .
Ist auf der Basis dieser Beobachtungswerte die Auffassung vertretbar, dass
die Packungen im Mittel weniger Waschmittel als angegeben enthalten ?
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8.4 Statistische Tests
| 400 |
Wir modellieren die tatsächliche Abfüllmenge (in kg) einer
Waschmittelpackung als Zufallsgröße X , die als normalverteilt mit
unbekannten Parametern angenommen wird.
Berechnete Schätzwerte für den Erwartungswert, die
Standardabweichung und die Varianz der Merkmalsgröße sind:
x “ 4.885 ,
s “ 0.145 ,
s2 “ 0.0211 .
Zu überprüfen ist eigentlich die Richtigkeit der Vermutung, dass der
Erwartungswert kleiner ist als der Sollwert µ0 “ 5 . Dies kann aber
nicht einfach aus der Tatsache
x “ 4.885 ă 5 “ µ0
gefolgert werden, da die auftretenden zufälligen Schwankungen
berücksichtigt werden müssen.
Aus mathematischen Gründen ist die direkte Überprüfung nicht
möglich, deshalb wird geprüft, ob der Erwartungswert gleich dem
Sollwert µ0 “ 5 ist, oder ob man im Gegensatz dazu von einem
kleineren Erwartungswert ausgehen kann (muss).
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Wahrscheinlichkeitstheorie
Sommersemester 2017
8 Elemente der mathematischen Statistik
8.4 Statistische Tests
| 401 |
Testablauf Beispiel Waschmittelpackungen I
1
Aufstellen der Hypothesen
H0 : µ “ 5
H1 : µ ă 5
2
Festlegen des Signifikanzniveaus α
α “ 0.05
3
Auswahl der Testgröße (Prüfgröße) T
T “
X ´ µ0 ?
n,
S
unter H0 besitzt diese Zufallsgröße eine t´Verteilung mit n ´ 1
Freiheitsgraden.
x ´ µ0 ?
4.885 ´ 5 ?
Im Beispiel ist t “
n“
10 “ ´2.508 .
s
0.145
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Wahrscheinlichkeitstheorie
Sommersemester 2017
8 Elemente der mathematischen Statistik
8.4 Statistische Tests
| 402 |
Testablauf Beispiel Waschmittelpackungen II
4
Festlegung des kritischen Bereiches K
K “ tt P R : t ă tn´1;α u “ p´8; t9;0.05 q “ p´8; ´t9,0.95 q
K “ p´8, ´1.833q .
5
Entscheidung
t “ ´2.508, K “ p´8, ´1.833q ñ t P K , die Hypothese H0
wird abgelehnt (verworfen) und die Auffassung ist vertretbar, dass die
Packungen im Mittel weniger Waschmittel als angegeben enthalten.
Man kann auch sagen: die Abfüllmengen sind signifikant zu gering.
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Wahrscheinlichkeitstheorie
Sommersemester 2017
8 Elemente der mathematischen Statistik
8.4 Statistische Tests
| 403 |
Ausblick: Module, die auf der Grundvorlesung Stochastik aufbauen
Stochastische Finanzmarktmodelle
Teil 1, ungerade WS, 5.Mm+5.BWM
Teil 2, gerade SS, 6.Mm+6.BWM
Angewandte Statistik
Teil 1, ungerade WS, 5.Mm+5.BWM
Teil 2, gerade SS, 6.Mm+6.BWM
Finanz- und Versicherungsmathematik
(gerade SS, 6.Mm+6.BWM+2.MWM)
Stochastische Prozesse
Stochastische Prozesse, gerade WS, 5.Mm+5.BWM
Stochastische Analysis, ungerade SS, 6.Mm+6.BWM
Zeitreihenanalyse in den Wirtschaftswissenschaften, SS, BWM
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Wahrscheinlichkeitstheorie
Sommersemester 2017
8 Elemente der mathematischen Statistik
8.4 Statistische Tests
| 404 |
Ausblick: Module für die weitere Vertiefung
Stochastische Geometrie und räumliche Statistik
Stochastische Geometrie, ungerade WS, 7.Mm
Räumliche Statistik, gerade SS, 8.Mm
Theoretische Statistik
Schätz- und Testtheorie, gerade WS, 7.Mm+1.MWM
Asymptotische und algorithmische Statistik, ungerade SS,
8.Mm+2.MWM
Statistische Analysemethoden für Mathematiker
Multivariate Statistik, gerade WS, 7.Mm+1.MWM
Zeitreihenanalyse, ungerade SS, 8.Mm+2.MWM
Aktuelle Themen aus der Stochastik, WS, Mm
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Sommersemester 2017

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