Folien zur Vorlesung Mathematik Plus: Ergänzugen Mathematik I

Bachelor Informatik
Mathematik Plus
Titel
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Folien zur Vorlesung
Mathematik Plus: Ergänzugen Mathematik I
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Hochschule Stralsund
Fakultät Elektrotechnik und Informatik
Prof. Dr. W. Kampowsky
Bachelor Informatik
Mathematik I
Folie 2-04
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Prädikatenlogische Gesetze
(1)
¬(∀x : P (x)) ↔ ∃x : ¬P (x)
(2)
¬(∃x : P (x)) ↔ ∀x : ¬P (x)
(3)
∀x : P (x) → P (y)
(4)
P (y)) → ∃x : P (x)
(5)
∀x : ∀y : Q(x, y) ↔ ∀y : ∀x : Q(x, y)
(6)
∃x : ∃y : Q(x, y) ↔ ∃y : ∃x : Q(x, y)
(7)
∃x : ∀y : Q(x, y) → ∀y : ∃x : Q(x, y)
(8)
∀x : (P (x) → S(x)) → (∀x : P (x) → ∀x : S(x))
(9)
∀x : (P (x) ↔ S(x)) → (∀x : P (x) ↔ ∀x : S(x))
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Fachhochschule Stralsund Fachbereich Elektrotechnik und Informatik
Prof. Dr. W. Kampowsky
Bachelor Informatik
Mathematik I
Folie 6-01
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Kartesische und trigonometrische Darstellung
komplexer Zahlen
Komplexe Zahl in kartesischer Darstellung:
z = ( a , b )kart , a heißt Realteil , b heißt Imaginärteil.
Komplexe Zahl in trigonometrischer Darstellung:
z = ( r , φ )trig , r heißt Betrag , φ heißt Argument.
Umrechnungen zwischen beiden Darstellungen:
( · , · )trig → ( · , · )kart : a = r · cos(φ) ,
( · , · )kart → ( · , · )trig : r =
√
a2 + b 2 ,
b = r · sin(φ)
φ = tan−1 ( ab ) ,
wobei der Winkel φ korrigiert werden muss:
a > 0 , b ≥ 0 (1. Quadrant)
a < 0 , b ≥ 0 (2. Quadrant)
a < 0 , b < 0 (3. Quadrant)
a > 0 , b < 0 (4. Quadrant)
a = 0 (Sonderfall Im-Achse)
keine Korrektur
φ+π
φ+π
φ + 2 π (oder keine Korrektur)
φ = π2 , falls b > 0, und φ = 3π
, falls b < 0
2
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Fachhochschule Stralsund
Fachbereich Elektrotechnik und Informatik Prof. Dr. W. Kampowsky
Bachelor Informatik
Mathematik I
Folie 6-02
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Rechnen mit komplexen Zahlen
Addieren/Subtrahieren:
( a , b )kart ± ( c , d )kart = ( a ± c , b ± d )kart
Multiplizieren:
( a , b )kart · ( c , d )kart = ( a c − b d , a d + b c )kart
( r1 , φ1 )trig · ( r2 , φ2 )trig = ( r1 r2 , φ1 + φ2 )trig
Dividieren:
d
( a , b )kart : ( c , d )kart = ( ac2c+b
,
+d2
b c−a d
c2 +d2
)kart
( r1 , φ1 )trig : ( r2 , φ2 )trig = ( rr12 , φ1 − φ2 )trig
Potenzieren:
(( r , φ )trig )n = ( rn , n · φ )trig
Radizieren:
q
n
( r , φ )trig hat n Lösungen:
zk = (
√
n
r,
φ
n
+ 2 nk π )trig , k = 0, 1, 2, . . . , n − 1
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Fachhochschule Stralsund
Fachbereich Elektrotechnik und Informatik
Prof. Dr. W. Kampowsky
Bachelor Informatik
Mathematik I
Folie 6-03
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Produktdarstellung von Polynomen
Jedes Polynom n-ten Grades (in Normalform)
p(x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a2 x2 + a1 x + a0
läßt sich darstellen in der Produktform
p(x) = an (x − xN1 )α1 · (x − xN2 )α2 · . . . · (x − xNs )αs
·(x2 + as+1 x + bs+1 )βs+1 · (x2 + as+2 x + bs+2 )βs+2 · . . . · (x2 + ar x + br )βr ,
wobei die xNi , i = 1, 2, . . . , s , die reellen Nullstellen mit den Vielfachheiten αi sind,
und für die Paare konjugiert komplexer Nullstellen
xNk = ck + dk j , xNj = ck − dk j , k = s + 1, s + 2, . . . , r ,
mit den Vielfachheiten βk die Beziehungen ak = −2 ck und bk = c2k + d2k gelten.
Für die Vielfachheiten gilt Gleichung:
n = α1 + α2 + . . . + αs + 2 (βs+1 + βs+2 + . . . + βr ).
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Fachhochschule Stralsund
Fachbereich Elektrotechnik und Informatik
Prof. Dr. W. Kampowsky
Bachelor Informatik
Mathematik I
Folie 8-01
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Näherungen des Flächeninhalts durch Rechtecksummen
Originalfläche unter der Kurve:
Beispiel für eine Näherung durch Untersummen:
Beispiel für eine Näherung durch Obersummen:
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Fachhochschule Stralsund Fachbereich Elektrotechnik und Informatik Prof. Dr. W. Kampowsky
Bachelor Informatik
Mathematik I
Folie 8-02
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Aussagen über das bestimmte Integral
Gegeben sei eine beschränkte Funktion f : IR → IR ,
mit [ a , b ] ⊆ D(f ) .
(1) f ist stetig auf [ a , b ] .
=⇒
f ist integrierbar über [ a , b ] .
(2) f ist monoton auf [ a , b ] .
=⇒
f ist integrierbar über [ a , b ] .
(3) f ist integrierbar über [ a , b ] .
⇐⇒ Zu jedem > 0 gibt es ein Zerlegung Z mit O(Z) − U (Z) < .
(4) f ist integrierbar über [ a , b ] .
=⇒
Für jede Folge von Zerlegungen Zk mit maxi=1,...,nk (xi − xi−1 ) → 0 gilt,
dass die Zwischensummem S(Zk ) =
Pnk
i=1
f (ξi ) · (xi − xi−1 ) mit einem
Zwischenpunkt ξi ∈ [ xi−1 , xi ] gegen das Integral
Rb
a
f (x) dx konvergieren.
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Fachhochschule Stralsund
Fachbereich Elektrotechnik und Informatik Prof. Dr. W. Kampowsky
Bachelor Informatik
Mathematik I
Folie 8-03
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Rechenregeln für das bestimmte Integral
Seien f und g intergrierbar über [ a , b ] .
Rb
(1) Vielfachenregel:
a
c · f (x) dx = c ·
Rb
(2) Summenregel:
a (f (x)
Rb
+ g(x)) dx =
a
c ∈ IR
f (x) dx ,
Rb
a
f (x) dx +
(3) Aus f (x) ≥ g(x) für alle x ∈ [ a , b ] folgt
Rb
a
Rb
a
g(x) dx
f (x) dx ≥
Speziell gilt: Aus f (x) ≥ 0 für alle x ∈ [ a , b ] folgt
Rb
a
Rb
a
g(x) dx .
f (x) dx ≥ 0 .
(4) | f | ist integrierbar über [ a , b ] und es gilt:
|
Rb
a
f (x) dx |≤
Rb
a
| f (x) | dx ≤ sup{| f (x) | /x ∈ [ a , b ]} · (b − a)
(5) Das Produkt f · g ist integrierbar über [ a , b ].
I.a. gilt:
Rb
a (f (x)
· g(x)) dx 6=
Rc
(6) Es wird festgelegt:
(7) Zerlegungsregel:
c
Rb
a
Rb
a
f (x) dx ·
Rb
a
g(x) dx
f (x) dx = 0 und
Ra
Rc
Rb
f (x) dx =
a
f (x) dx +
f (x) dx = −
b
c
Rb
a
f (x) dx .
f (x) dx , c ∈ [ a , b ]
(8) Mittelwertsatz: Wenn f stetig ist auf [ a , b ] ,
so existiert ein ξ ∈ [ a , b ] mit
(9) Schwarzsche Ungleichung:
Rb
a
Rb
a
| f (x) · g(x) | dx ≤
f (x) dx = f (ξ) · (b − a) .
qR
b
2
a f (x) dx ·
qR
b
a
g 2 (x) dx
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Fachbereich Elektrotechnik und Informatik
Prof. Dr. W. Kampowsky
Bachelor Informatik
Mathematik I
Folie 8-06
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Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Sei f : IR → IR eine stetige Funktion auf [ a , b ] ⊆ D(f ) .
(1) Für beliebiges x0 ∈ [ a , b ] ist die Integralfunktion
F (x) =
Rx
x0
f (t) dt ,
x ∈ [a, b]
eine Stammfunktion von f auf [ a , b ] .
(2) Integrieren und Differenzieren sind inverse Rechenoperationen,
d.h. es gilt:
R
F (x) = f (x) dx
⇐⇒
F 0 (x) = f (x)
für jede Stammfunktion F von f auf [ a , b ] .
(3) Für die Berechnung des bestimmten Integrals I von f über [ a , b ] gilt:
I=
Rb
a
f (x) dx = F (b) − F (a) = [ F (x) ]ba = F (x) |ba
für jede Stammfunktion F von f auf [ a , b ] .
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Fachbereich Elektrotechnik und Informatik Prof. Dr. W. Kampowsky
Bachelor Informatik
Mathematik I
Folie 8-07
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Stammfunktionen von Grundfunktionen (Auswahl)
1
n+1
R
xn dx =
R
x−1 dx = ln | x | + c
e-Funktion:
R
ex dx = ex + c
Exponentialfunktion:
R
ax dx =
Sinus-Funktion:
R
sin x dx = − cos x + c
Cosinus-Funktion:
R
cos x dx = sin x + c
Tangens-Funktion:
R
tan x dx = − ln | cos x | + c
Cotangens-Funktion:
R
cot x dx = ln | sin x | + c
Potenzfunktion:
1
ln a
· xn+1 + c ,
n 6= −1
· ax + c
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Fachbereich Elektrotechnik und Informatik
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Bachelor Informatik
Mathematik I
Folie 8-08
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Integrationstechniken
Elementare Regeln:
Sind f und g integrierbar, so gilt für beliebige reelle Zahlen α und β:
(1)
R
(α · f (x) + β · g(x)) dx = α · f (x) dx + β · g(x) dx .
R
R
Sind f und f 0 stetig, so gilt:
(2)
R
f (x) · f 0 (x) dx = 12 f 2 (x) + c ,
(3)
R
f 0 (x)
f (x)
dx = ln | f (x) | + c , falls f (x) 6= 0 .
Regel der partiellen Integration:
Sind f und g stetig differenzierbar, dann gilt:
(4a)
(4b)
f (x) · g 0 (x) dx = f (x) · g(x) − f 0 (x) · g(x) dx ,
Rb
Rb 0
0
b
a f (x) · g (x) dx = [ f (x) · g(x) ]a − a f (x) · g(x) dx .
R
R
Substitutionsregeln:
Es wird substituiert: u = g(x) bzw. x = h(u).
Sind f stetig und g stetig differenzierbar, so gilt:
(5a)
(5b)
f (g(x)) · g 0 (x) dx = f (u) du ,
Rb
R g(b)
0
a f (g(x)) · g (x) dx = g(a) f (u) du .
R
R
Sind f stetig und h stetig differenzierbar, so gilt:
(6a)
(6b)
f (x) dx = f (h(u)) · h0 (u) du ,
Rb
R g(b)
0
a f (x) dx = g(a) f (h(u)) · h (u) du .
R
R
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Prof. Dr. W. Kampowsky
Bachelor Informatik
Mathematik I
Folie 8-04
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Numerische Integration durch Trapezsummen
Originalfläche unter der Kurve:
Näherung durch 4 Trapezflächen:
Näherung durch 8 Trapezfächen:
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Bachelor Informatik
Mathematik I
Folie 8-05
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Numerische Integration durch Simpsonsummen
Originalfläche unter der Kurve:
Näherung durch 2 Parabelflächen:
Näherung durch 4 Parabelfächen:
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Bachelor Informatik
Mathematik I
Folie 8-13
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Elementare Aussagen über Schwerpunkte
(1) Seien ( x1 , y1 ) und ( x2 , y2 ) zwei Punkte der Ebene.
Für den Mittelpunkt ( xM , yM ) der beiden Punkte gilt:
xM =
x1 +x2
2
und yM =
y1 +y2
2
.
(2) Seien ( x1 , y1 ) und ( x2 , y2 ) zwei Massepunkte der Ebene
mit den Massen m1 bzw. m2 .
Für den Schwerpunkt ( xS , yS ) der beiden Massepunkte gilt:
xS =
m1 ·x1 +m2 ·x2
m1 +m2
und yS =
m1 ·y1 +m2 ·y2
m1 +m2
.
(3) Seien ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , . . . und ( xk , yk ) k Massepunkte der Ebene
mit den Massen m1 , m2 , . . . bzw. mk .
Für den Schwerpunkt ( xS , yS ) der k Massepunkte gilt:
xS =
yS =
m1 ·x1 +m2 ·x2 + ... +mk ·xk
m1 +m2 + ... +mk
m1 ·y1 +m2 ·y2 + ... +mk ·yk
m1 +m2 + ... +mk
Pk
mi ·xi
= Pi=1
,
k
i=1
mi
Pk
mi ·yi
.
= Pi=1
k
i=1
mi
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Fachhochschule Stralsund
Fachbereich Elektrotechnik und Informatik Prof. Dr. W. Kampowsky