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Zur Erinnerung
Stichworte aus der
17. Vorlesung:
Viskosität
laminare Strömung,
Gesetz von HagenPoiseuille
Gleichungen der
Strömungslehre
Temperatur,
Temperaturskalen,
thermische
Ausdehnung von
Festkörpern
Experimentalphysik I SS 2011
FR     u  dV
 V
 p 4

M
   R
t
8 z
Kontinuitätsgleichung & Bernoulli-Gleichung,
Euler-Gleichungen (nicht stationär), NavierStokes-Gleichung (reale Flüssigkeit, Viskosität)
alle (reproduzierbar und reversibel) mit T veränderliche
Eigenschaften nutzbar:
Ausdehnung (i.d.R. Flüssigkeiten), elektrischer
Widerstand, Kontaktspannung, Wärmestrahlung, u.v.a.m.
18-1
Temperaturmessung
Thermische
Ausdehnung fester
Körper:
Rohr bei A fixiert, bei B beweglich
Rohr wird mittels Wasserdampf (durchströmend) erwärmt
Zeiger wird mechanisch durch thermische Ausdehnung
bewegt
Experimentalphysik I SS 2011
18-2
Thermische Ausdehnung von Festkörpern
„Mikroskopische“
Betrachtung:
T

1
kT
2
Pro Atom und Freiheitsgrad,
hier: Schwingung der Atome um
Ruhelage
für E pot,i    ri  ri , 0 
(Parabel-Potential) wird
2
ri (t ) t  ri , 0
Parabel-Potential ist gute Näherung
nur für
ri  ri , 0  ri , 0
Schwingung unter Wirkung von Parabelpotential:
 keine Änderung des mittleren Abstandes,
da ri (t ) t  ri , 0  keine Ausdehnung (T)
 thermische Ausdehnung beruht auf Abweichung
vom Parabelpotential
Experimentalphysik I SS 2011
18-3
Thermische Ausdehnung von Festkörpern
„Morse-Potential:
bessere Näherung für
Epot(ri)
(unsymmetrisch,
anharmonisch)

E pot (ri )  ED 1  e
ri
t
 ri , 0 ,

 ( ri  ri , 0 ) 2
ri  ri , 0  ri  ri , 0
In der Regel:
d ri (T ) 
0 
dT
Experimentalphysik I SS 2011
ri
steigt mit T
18-4
Thermische Ausdehnung von Festkörpern
Linear:
T gemessen in °C (TC)
L(TC )  L(T0  0C )  (1    TC )
α = linearer Ausdehnungskoeffizient
  TC 
L
L(T0 )
α nur näherungsweise konstant
   0    TC ,
  TC   0
spezielle Materialen: α < 0 möglich
besondere Anwendungen: α ≡ 0 erwünscht
Volumenausdehnung:
isotropes Material:
V (TC )  V0  (1    TC )3
 V (TC )  V0  (1  3  TC ),
anisotropes Material:
Experimentalphysik I SS 2011
3
  TC  1
 x  y z
18-5
Thermische Ausdehnung von Festkörpern
Abhängigkeit des
Ausdehnungskoeffizienten von der
Temperatur:
Variation von α mit T durch Änderung des Einflusses der
Anharmonizität des Potentials mit E
ΔL/L = α [K-1] ΔT
für Cu (280 K), ΔT = 80 K , L = 1000 mm
ΔL = α [K-1] ⋅ ΔT ⋅ L = 16.5 10-6 ⋅ 80 ⋅ 103 [mm]
ΔL = = 1.3 ⋅ 10-3 ⋅ 103 mm = 1.3 mm
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18-6
Thermische Ausdehnung
Thermische
Ausdehnung von
Festkörpern und
Flüssigkeiten:
Experimentalphysik I SS 2011
18-7
Thermische Ausdehnung von Festkörpern
Bolzensprenger:
Stab: Länge L,
Querschnitt q,
Elastizitätsmodul E
(z.B. für Eisen)
Kraft für Dehnung oder Stauchung um ΔL
F  E q
L
L
thermische Dehnung
L
   T
L
Verhinderung der thermischen Ausdehnung oder
Schrumpfung durch Kraft:
F  E  q    T
z.B. Eisen: α ΔT = 10-5 [1/K] 100 [K] = 10-3
(q = π R2; R = 3 mm, ΔL/L = 10-3)
F = 1011 [N/m2] ⋅ 3 ⋅ 10-5 [m2] ⋅ 10-3 = 3 ⋅ 103 [N]
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18-8
Thermische Ausdehnung von Gasen
Gasthermometer:
p (TC )  p0  (1   p  TC ), V0  const.
TC 
1
p

 p(TC )  p0 
p0

1 p

 p p0

TC  273,15 
Experimentalphysik I SS 2011
p (T0 )
p0
C 
18-9
Thermische Ausdehnung von Gasen
Gase: Ausdehnung isotrop
ideales Gas: Wechselwirkungsenergie (WWE) der
Teilchen für r > ro
WWE << kT
Eigenvolumen N VTeilchen << V
Gesetz von
Gay-Lussac:
V (TC )  V0  (1   V  TC ),
p(TC )  p0  (1   p  TC ), V0  const.
 p  V 
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p0  const.
1
C 1
273,15
18-10
Absolute Temperaturskala
Gesetz von
Gay-Lussac:
V (TC )  V0  (1   V  TC ),
p0  const.
(1)
p(TC )  p0  (1   p  TC ), V0  const.
(2)
 p  V 
1
C 1
273,15
Wenn diese Gleichungen für beliebig tiefe (negative)
Temperaturen gelten würden, dann würden Volumen und
Druck negativ. → Es gibt eine tiefste Temperatur ToC.
Aus (1) oder (2) mit V=0 bzw. p=0:
Nullpunkt der
absoluten
Temperaturskala:
0  1    ToC
1
 ToC    273,15C  0 K

TC  Tabs
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18-11
Absolute Temperaturskala
Absolute Temperatur,
Kelvinskala:
1
ToC    273,15C  0 K

ΔTC = ΔTabs
TC [°C] = Tabs [K] - 273,15 K
V (TC )  V0 (1   v  TC )
V (Tabs )  V0 (1   v (Tabs  273,15 K ))  V0 vTabs
Gesetz von
Gay-Lussac:

sowie
Kinetische Gastheorie:
V1 T1

V2 T2
bzw.
p1 T1

p2 T2
bzw.
Zusammen:
Vgl.:
V T
p  T in abs. Temperatur T.
p V  T
p V  N k T
Anm: k ist eine Naturkonstante und somit unabhängig von
der Teilchenmasse und weiteren Teilcheneigenschaften.
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18-12
Avogadro-Konstante und Molvolumen
Stoffmenge:
1 Mol
(Anzahl der „Einheiten“: Atome oder Moleküle)
1 mol = Stoffmenge eines Systems, das aus
ebensoviel Teilchen (NA) besteht, wie 12 g des
Kohlenstoffnukleids 12C.
auf 12C bezogen: NA m(12C) = 12 [g] = NA 12 m*
m* = (1/12) m(12C) = mittlere Masse eines Nukleons im
12C – Kern = 1,661 ·10-27 kg
Avogadro-Konstante
oder Loschmidt-Zahl:
Allgemein:
NA = 1 g /m* = 6.022·1023 mol-1
Die Masse der Stoffmenge 1 mol ist gleich dem
„Atomgewicht in Gramm“
NA mTeilchen = ATeilchen [g]
ATeilchen = „Atomgewicht“ = mTeilchen/m*
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18-13
Avogadro-Konstante und Molvolumen
Avogadro-Konstante:
Bestimmung von NA:
12 g 12C durch Massenvergleich mit Massennormal
„Abzählen“ der Zahl der Teilchen, z.B. durch Methoden
der Röntgen-Strukturanalyse
1 mol Wasserstoff H2 : 2 g
1 mol Helium 4He : 4 g
1 mol Kohlenstoff 12C : 12 g
1 mol Stickstoff 14N2: 28 g
1 mol Sauerstoff 16O2: 32 g
1 mol CO2: 44 g
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18-14
Wärmemenge und spezifische Wärme(kapazität)
(genauer: spezifische Wärmekapazität)
Zufuhr Wärmemenge ΔQ (Energie) an Masse m
→ ΔT(ΔQ, m)
ΔQ = c m ΔT → c = ΔQ / (m ΔT)
c = spezifische Wärme (-kapazität)
c = ΔQ für m = 1 kg und ΔT = 1 K
c von Struktur des Materials abhängig
(z.B.: Zahl der Freiheitsgrade bei Gas)
alte Einheit Wärmemenge „cal“ oder „kcal“:
ΔQ = 1 kcal → 1 kg H20, 14.5 °C → 15.5 °C
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18-15
Allgemeine Gasgleichung für ideale Gase
Ziel:
Spezifische Molwärme(kapazität) idealer Gase
VM = Volumen der Stoffmenge 1 mol bei 1 bar und 0 °C
p V = N k T (bekannt)
für V = VM → p VM = NA k T mit NA k = R = 8.31 J /(K mol)
p VM = R T
oder für Stoffmenge n [Mol]
pV=nRT
V/VM = n
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18-16
Spezifische Molwärme(kapazität)
Mmol = Masse eines Mol [kg]
Q  c  M mol  T  C  T
Spezifische Molwärme:
Q
 c  M mol  C
T
C  
J
mol K
C = Energie (Wärmemenge) für ΔT = 1 K und ν = 1 mol
allgemein: n = Zahl der Mol
Q
 n  c  M mol  n  C
T
Wärmekapazität zu unterscheiden:
ΔQ → ΔT bei V = const. → C  CV
ΔQ → ΔT bei p = const. → C  CP
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18-17
Spezifische Molwärme idealer Gase
Im thermischen Gleichgewicht:
ΔQ zuführen → ΔT → Erhöhung der inneren Energie ΔU
Für 1 Teilchen: mittlere Energie
<E>T = <Ekin>T + <Erot>T + <Evib>T = f ·½ k T
Gaskonstante R:
Für Stoffmenge 1 mol: mittlere Energie
<E>M = NA <E>T = f ·½ NA k T = f ·½ R T
ΔU = Δ<E>M = f ·½ R ΔT
Spezifische Molwärme
bei konstantem V:
ΔQ = ΔU = ν CV ΔT = ν f ·½ R ΔT
CV = ½ f R
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18-18
Anregung/Einfrieren von Freiheitsgraden
CV(T):
Angeregte
Freiheitsgrade:
Nur diejenigen Freiheitsgrade,
die bei gegebenem T angeregt sind
(Energie aufnehmen), tragen zu CV bei.
Energieaufnahme, wenn kT > ΔE.
→ CV steigt mit T.
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18-19
Spezifische Molwärme idealer Gase
Gleichgewicht zwischen Kraft auf Kolben von außen und
Kraft auf Kolben durch Gas von innen (pinnen = paußen).
ΔQ zuführen → ΔT → Erhöhung der inneren Energie ΔU
und Verrichtung von Arbeit ΔW
ΔQ = ΔU + ΔW
mit
ΔU = CV ΔT
ΔW = F Δx = p A Δx = p ΔV
mit
pV=RT
p (V+ΔV) = R (T+ΔT)
p ΔV = R ΔT
ΔQ = CP ΔT = CV ΔT + R ΔT
Spezifische Molwärme
bei konstantem p:
Cp/CV:
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(für 1 mol)
CP = CV + R
CP

CV
1
2
fR  R f  2


1
fR
f
2
hängt nur von der Struktur
der Moleküle ab!
18-20
Zahl der Freiheitsgrade bei größeren Molekülen
Wir betrachten ein Molekül mit N ≥ 3 Atomen,
das nicht linear aufgebaut ist.
Zahl der Freiheitsgrade:
Zahl der unabhängigen Bewegungsrichtungen = 3 N
Davon Translationen: 3
und Rotationen: 3
Zahl der „Eigenschwingungen“: S = 3N-3-3 = 3 (N – 2)
Zahl der Schwingungsfreiheitsgrade = 2 S
nämlich je einen für kin. und pot. Energie.
Zahl aller Freiheitsgrade insgesamt:
2S+3+3=6N–6–6+3+3=6N–6
Im Molekül:
Im Festkörper:
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Zahl der Freiheitsgrade pro Atom:
(6 N – 3 – 3 ) / N = 6 – 6 / N
~ im Festkörper (N » 1): 6
18-21
Spezifische Molwärme von Festkörpern
Phononen:
Viele Eigenschwingungen („Phononen“)
mit verschiedenen Frequenzen ν.
Schwingungsenergie auch quantisiert.
Niedrige Frequenzen:
h ν = Evib,min < k · 300 K, angeregt
Hohe Frequenzen:
h ν = Evib,min > k · 300 K, eingefroren
→ Cmol steigt mit T.
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18-22
Spezifische Molwärme von Festkörpern
Für hinreichend hohe Temperaturen:
alle Schwingungen angeregt, Freiheitsgrade pro Atom = 6
<Emol> = 6 · ½ NA k T = 3 R T
Dulong-Petit-Gesetz:
Experimentalphysik I SS 2011
Cmol = 3 R
18-23
Wärmekapazität von Festkörpern
Wärmekapazität C:
ΔQ = C ΔT = ν Cmol ΔT
mit ν = m / M = m / (NA ATeilchen)
Q 
m Cmol T
N A ATeilchen
Masse m für alle Proben gleich,
Temperaturerhöhung ΔT gleich,
Cmol fast gleich, aber
AAl < ACu < APb (im Verhältnis 27 : 63,5 : 207),
so dass
ΔQAl > ΔQCu > ΔQPb.
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18-24
Energieumsatz bei Phasenübergängen
Wenn Evib > EBindung → schmelzen, verdampfen
ΔQ → Aufbrechen von Bindungen
Kondensation: Bildung von Bindungen
EBindung für Bindung A-B auf C übertragen
Reaktion, Massenwirkungsgesetz
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18-25
Schmelzen, Verdampfen
Zufuhr von Energie ΔQ → T steigt.
Wenn <Evib> ≈ EBindung → Viele Bindungen brechen auf.
Wenn Schmelzvorgang begonnen hat: T = const. im Körper
(durch Wärmeleitung) bis Material vollständig geschmolzen.
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18-26
Schmelzen, Verdampfen
Energieverteilung NT(E)
festgelegt durch T.
Bindung wird gelöst für Teilchen mit E > EB, deren Anzahl

N 
*
T
 NT ( E ) dE
EB
Wenn Energiezufuhr gestoppt: Schmelzen/Verdampfen
endet erst wenn


 NT ( E ) dE   NT ( E ) dE
1
EB
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0
0
18-27
Schmelzen, Verdampfen
Spezifische
Schmelzwärme λS:
Spezifische
Verdampfungswärme λV:
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Energie, die zum Schmelzen von 1 kg eines Stoffes
nötig ist:
Qschmelz[J] = λS[J/kg] ·m [kg]
Energie, die zum Verdampfen von 1 kg eines Stoffes
nötig ist:
Qverdampf[J] = λV[J/kg] ·m [kg]
18-28
Wärmetransport
Jeder sich selbst überlassene Körper mit der Temperatur
TK tauscht mit seiner Umgebung so lange Energie aus,
bis er die gleiche Temperatur TU wie seine Umgebung hat
thermisches Gleichgewicht

Konvektion:
Wärmeleitung:
durch Transport makroskopischer Volumina:
(Gase und Flüssigkeiten)
durch Transport einzelner Teilchen
Wärmeleitung in Gasen
durch Kopplung von Schwingungen und
Energietransport im FK (bei Metallen i.w. durch
Elektronen)
Wärmestrahlung:
Experimentalphysik I SS 2011
durch Strahlung (einziger Mechanismus im
Vakuum)
18-29
Wärmetransport durch Konvektion
Erwärmung „von unten“
T(a) >T(b) → da dρ/dT<0
ρ(a)<ρ(b) → Auftrieb
→ untere Schichten steigen auf
→ Durchmischung durch Konvektion
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18-30
Wärmetransport durch Konvektion
Seewind:
Tiefdruckgebiet:
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18-31
Wärmeleitung
nur Energietransport,
kein Massentransport,
T1 und T2 < T1 durch
Kontakt mit „Wärmereservoirs“
fixiert.
angenommen: Wärmestrom nur in
x-Richtung, nach einiger Zeit
stationärer Fall:
dQ
 const.
dt
dQ
T

   q 
dt
x
   W m 1 K 1

Wärmeleitzahl:
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18-32
Wärmeleitung in Metallen
Metall: „freie“ Elektronen
hohe elektrische Leitfähigkeit
Elektronen: geringe Masse, starke Wechselwirkung mit
Atomrümpfen
→ dominanter Beitrag der Elektronen zur Wärmeleitung
(Metall)
Gute Wärmeleiter sind auch gute elektrische Leiter.
Zusammenhang von Wärmeleitzahl λ und elektrischer
Leitfähigkeit σ:
Wiedemann-FranzGesetz:
experimentell   a  T  
Theorie:
Experimentalphysik I SS 2011
a
 2 k2

3 e2
18-33
Wärmeleitung in Metallen
Cu:
Stahl:
gute Wärmeleitung
TA steigt an, ΔQ fließt schnell nach E →
TE steigt bald nach Beginn der Zufuhr an
schlechte Wärmeleitung, ΔQ fließt nur
langsam nach E → TA steigt stark an,
Verluste auf maßgeblicher Zeitskala, durch
Ableitung in Umgebung: → TE steigt kaum an
t
Wärmemenge:
dQ
dt
dt
0
Q1 (t )  
Gleichgewicht (ΔQ1 = ΔQ2 ) wird für Stahl, wg. schlechterer
Wärmeleitung i. vgl. zu Kupfer, erst bei höherer T erreicht
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18-34
Wärmeleitung in Metallen
Experimentalphysik I SS 2011
18-35
Wärmeleitung in Flüssigkeiten
Experimentalphysik I SS 2011
18-36
Wärmeleitung in Gasen /Wiederholung)
Ohne Diffusion:
Mit Diffusion:
dW
  (T1  T2 )   Wärmeübergangszahl
dt
dW
dT

dt
dx
  Wärmeleitfähigkeit  
1 f k  v
12 
Transport von Energie:
kleine Masse
→ großes <v>
Draht glüht im oberen Bereich weniger stark, da dort höhere
Dichte von H2, daher bessere Wärmeleitung
Experimentalphysik I SS 2011
18-37