8% JkXdgX - bei DuEPublico

"G R U N D L A G E N
D E R P H Y S I K III "
Teil I: Wellen
Vorlesung gehalten von
8% JkXdgX
im WS 1996/97
Universität GH Essen
1
Inhalt
Seite
Grundlagen der Physik III, Teil I, Wellen
KAPITEL A: Einleitung
1. Was sind Wellen?
6
2. Warum befaßt man sich mit Wellen?
6
3. Das räumlich- zeitliche Verhalten von Wellen
7
4. Die harmonische Welle
7
5. Überlagerung von Wellen
9
a) Einleitung
9
b) Fourierzerlegung
10
KAPITEL B: Eindimensionale Wellen
1. Wellen ohne Veränderung der Form
13
a) Einleitung
13
b) Eigenschaften von Kabeln
13
c) Wellengleichung
14
d) Wellenwiderstand eines Kabels
16
e) Computersimulation
17
f) Reflexion am Ende eines Kabels
18
g) Leistungsfluß
19
2. Wellen mit Veränderung der Form
20
a) Dispersion
20
b) Gruppengeschwindigkeit
20
3. Beispiele von Wellenleitern
22
a) Seilwelle
22
b) Elastische Longitudinalwelle in Festkörpern
23
c) Schallwelle
24
4. Stehende Wellen
25
a) Überlagerung entgegengesetzt laufender harmonischer Wellen
25
b) Eigenschwingungen
26
KAPITEL C: Wellen im homogenen Medium
1. Grundbegriffe
29
a) Strahlen - Wellenflächen
29
b) Raumwinkel
29
c) Intensität
30
d) Wellenvektor
31
2
e) Dreidimensionale Wellengleichung
32
f) Gruppengeschwindigkeit
32
2. Beispiel Schall
33
a) Beschreibungsgrößen
33
b) Wellengleichung für Schall im dreidimensionalen Raum
35
c) Resonatoren (Luftsäulen, Saiten, Eigenmoden im Raum)
36
d) Der Dopplereffekt
38
3. Elektromagnetische Wellen
39
a) Was sind elektromagnetische Wellen?
39
b) Wellengleichung
40
KAPITEL D: Wellen im inhomogenen Medium
1. Prinzipien der Wellenausbreitung
42
a) Huygenssches Prinzip
42
b) Satz von Malus
42
c) Fermatsches Prinzip
43
2. Brechung und Reflexion an ebenen Grenzflächen
43
a) Homogenes Medium
43
b) Reflexion
44
c) Brechung
44
d) Dispersion bei Brechung
46
3. Polarisation und Doppelbrechung
47
a) Einleitung
47
b) Streuung
48
c) Reflexion
48
d) Doppelbrechung
50
KAPITEL E: Strahlenoptik
1. Hohlspiegel
53
a) Brechung und Reflexion an gekrümmten Flächen
53
b) Exakte Abbildung von einem Punkt in einen zweiten
53
c) Kugelspiegel
54
d) Schmidt - Teleskop
55
2. Dünne Linsen
a) Abbildungsgesetz
56
56
3
b) Schräger Einfall
58
c) Bildkonstruktion
59
3. Einfache optische Geräte
60
a) Das Auge
60
b) Die Lupe
61
c) Das Brennglas
62
d) Bemerkungen zur subjektiven Helligkeit von Lichtquellen
62
e) Das Fernrohr
64
f) Das Mikroskop
65
g) Der Kondensor
65
h) Das Schlierenverfahren
66
4. Abbildungstheorie, Hauptebenen
66
a) Die kollineare Abbildung
66
b) Brennpunkte
67
c) Abbildungsgesetz
67
d) Brennweiten
68
e) Hauptebenen
68
f) Bildkonstruktion
69
g) Ungleiche Brechungsindizes im Bild- und Gegenstandsraum
69
h) Knotenpunkte
70
i) Zusammengesetzte Systeme
71
j) Dicke Linsen
71
KAPITEL F: Wellenoptik
1. Interferenz
72
a) Einleitung
72
b) Überlagerung von zwei Wellen
73
c) Kohärenz
74
d) Klassische Interferenzversuche
75
e) Interferometer
77
f) Vielstrahlinterferenz
78
2. Fraunhoferbeugung
79
a) Einleitung
79
b) Fraunhoferbeugung am Spalt
80
c) Kreisblende
81
4
d) Auflösungsvermögen
82
e) N Spalte
83
f) Fraunhoferbeugung als Fouriertransformation
86
3. Fresnelbeugung
88
KAPITEL G: Anwendungen
1. Grundzüge der Spektroskopie
92
a) Einleitung
92
b) Aufbau eines Spektrografen
92
c) Die förderliche Spaltbreite
94
d) Anordnung der Lichtquelle
96
e) Beispiel für einen Laborspektrografen
96
f) Aufgaben der Spektroskopie
98
2. Holografie
101
a) Einleitung
101
b) Fresnelhologramm eines Punktes
101
c) Mehrere Punkte
101
d) Das Nebenband Hologramm
102
KAPITEL H: Wechselwirkung von Strahlung und Materie
1. Einleitung
104
2. Dipolstrahlung
104
3. Streuung an freien Elektronen
105
a) Polarisation
105
b) Spektrale Verteilung
105
4. Streuung an gebundenen Elektronen
106
a) Dispersionstheorie
106
b) Warum ist der Himmel blau?
107
5. Andere Streueffekte
107
6. Äußerer Photoeffekt
108
6
GRUNDLAGEN III, Teil I WELLEN
KAPITEL A
Einleitung
1. Was sind Wellen?
Im weitesten Sinne verstehen wir unter einer Welle die Ausbreitung einer Störung einer physikalischen Größe im Raum. Die entsprechende Größe wäre bei Oberflächenwellen im Wasser
die Position der Oberfläche, bei Schallwellen der Druck, bei elektromagnetischen Wellen das
E- oder B-Feld. Als Modell eines Wellenleiters können wir uns nebeneinander hängende Pendel vorstellen, die durch elastische Federn miteinander gekoppelt sind. Stößt man ein Pendel
an, so wird die Störung über die Kopplungsfedern an die Nachbarn übertragen. Mit der Störung der Gleichgewichtslage geht im allgemeinen ein Energietransport einher, wohingegen das
Medium selbst im Mittel ruht. Die einzelnen Bestandteile eines Mediums können harmonische
Schwingungen um eine Ruhelage ausführen, aber im Zeitmittel bleiben sie in Ruhe. Entscheidend für den Wellencharakter ist allerdings nicht das sinusförmige Verhalten, sondern das
Ausbreiten der Störung. In diesem Sinne sind alle Signale Wellen.
Ist die gestörte Größe eine Vektorgröße ξ, so gibt ihr Richtungsverhalten die Polarisation der
Welle wieder. Es gibt longitudinale Wellen, wenn ξ parallel zur Ausbreitungsrichtung k liegt,
transversale Wellen ( ξ⊥ k), elliptisch polarisierte Wellen ( ξ beschreibt eine Ellipse in einer
Ebene senkrecht zu k) und Mischformen.
2. Warum befaßt man sich mit Wellen?
Wellen eignen sich zur Informationsübermittlung. Der Mensch nutzt dies im täglichen Leben
mit Hilfe von Schallwellen und Licht aus. Die gesamte Optik beruht auf Wellenphänomenen.
Besonders seit es mit der Erfindung des Lasers möglich ist, fast ideal sinusförmige Wellen zu
erzeugen, hat die Optik einen gewaltigen Aufschwung genommen. Aktuelle Themen sind die
Bildverarbeitung und die optische Nachrichtenübermittlung. Alle Anwender der immer noch
expandierenden Lasertechnik benötigen solide Grundkenntnisse der Wellenoptik. Licht ist eine
elektromagnetische Welle. Die Störgröße ist also das elektrische bzw. magnetische Feld. Elektromagnetische Wellen spielen außer bei der Ausbreitung im freien Raum bei der Signalübertragung auf Leitungen eine Rolle. Die Kenntnis ihres Verhaltens ist daher bei allen Messungen
schneller Vorgänge wichtig.
Da die Ausbreitungseigenschaften von Wellen von den Parametern des Ausbreitungsmediums
abhängen, eignen sich Wellen zur Diagnostik dieser Medien. Bekannt sind die Ultraschalluntersuchung im menschlichen Körper, die Erforschung des Erdinnern mit seismischen Wellen,
weniger bekannt vielleicht Plasmawellen zur Diagnose von Plasmen oder Gravitationswellen
zur Gewinnung on Information aus dem Weltraum.
Mit der Energie, die eine Welle transportiert, kann man gezielt Körper beeinflussen, z.B. Plasmen heizen. Mit nichtlinearen Effekten kann man z.B. Gleichströme induzieren und vieles
mehr.
Eine der wichtigsten Anwendungen der Wellenphysik für Physiker liegt darin begründet, daß
sie die Grundlage der Quantenmechanik ist, d.h. um die Welt aus ihren kleinsten Bausteinen
heraus zu verstehen, ist es notwendig, sich mit dem Wellencharakter der Grundbausteine vertraut zu machen.
7
3. Das räumlich-zeitliche Verhalten von Wellen
Abb. 1: Welle als Verschiebung eines Signals
Wir betrachten ein Signal, das zu einem bestimmten Zeitpunkt im Raum durch eine Funktion
y = f(z) beschrieben wird. Als Beispiel könnten wir uns denken y = ze-z.
Nach einer Zeit t soll es nach rechts gewandert sein:
y = f(z-z0), z.B.y = (z − z 0 )e −(z−z 0 )
Abb. 2: Räumlich- zeitliches Verhalten einer Welle
Wandert es mit konstanter Geschwindigkeit v nach rechts (z0 = vt), so wird es dargestellt durch
y = f(z-vt), eine linkslaufende Welle durch y = f(z+vt).
Im z(t)-Diagramm durchläuft jede Phase (die Spitze, der Anfang...) eine Gerade der Steigung
v. Bei einem Schnitt mit z1 = const gilt y = f(z1-vt), für t1 = const y = f(z-vt1). Die Formen im
Zeit- und Ortsraum sind also bei einer rechtslaufenden Welle spiegelbildlich.
4. Die harmonische Welle
Die harmonische Welle hat die Form einer Sinusfunktion, für t = 0 bedeutet dies y = y0sin(kz).
Dies entspricht der Darstellung bei Schwingungen y = y0sin(ωt). Wir nennen y0 die Amplitude,
kz die Phase. Durchlaufen wir die gesamte Periode von kz = 0 bis kz = 2π, so soll z von 0 bis
λ variieren: kλ = 2π.
k = 2π
λ
8
Abb. 3: Größen zur Beschreibung einer Welle
k nennt man die Wellenzahl. Sie ist das räumliche Pendant zur Kreisfrequenz mit
ω = 2π/T = 2πν.
Damit erhält eine rechtslaufende Welle die Gestalt
y = y 0 sin k(z−vt) = y 0 sin 2π  z − v t 
λ λ
Für z = 0 erhält man das Zeitverhalten y = y0sin kvt. Daraus schließen wir, daß
kv= ω
da k = 2π/λ, folgt
2π v = 2π und damit λ =v, λ ⋅ ν =v
λ
T
T
Abb. 4: Zusammenhang von Wellenlänge,
Schwingungszeit und Phasengeschwindigkeit
einer Welle
Stellen Sie sich vor, Sie wollten die Geschwindigkeit von Oberflächenwellen im Wasser messen. Sie könnten die zeitliche Periode T aus der Schwingung der Oberfläche an einem Ort, z.B.
an einem Pfahl bestimmen, die räumliche Periode direkt ermitteln, z.B. durch die Entfernung
eines Stockes, an dem die Oberflächenschwingung mit der am Pfahl in Phase ist. Da die Zeit,
die ein Kamm braucht, um an die Position des Vorläufers zu kommen, T ist, wird die Geschwindigkeit v = λ/T, wie oben formal abgeleitet wurde. Wir stellen also eine harmonische,
rechslaufende Welle dar als
y = y 0 sin (kz − ωt)
oder in der komplexen Schreibweise
∼ ∼
y=y 0 e i(kz−ωt)
wobei der Realteil gemeint ist.
9
5. Überlagerung von Wellen
a) Einleitung
Typisch für eine Klasse von Wellen, die sogenannten linearen Wellen, ist die Tatsache, daß sie
sich ungestört überlagern. Speist man z.B. in ein Kabel an entgegengesetzten Enden gleichzeitig Signale ein, so laufen sie aufeinander zu, überlagern sich in der Mitte zu einem Gesamtsignal und trennen sich wieder in einzelne Signale, ohne ihre Form zu ändern. Eindrucksvoll läßt
sich dies mit einer numerischen Simulation zeigen.
Abb. 5: Lineare Superposition von Wellen
Die Überlagerungsmöglichkeit ist an die Linearität des Systems geknüpft. Ein typisch nichtlinearer Effekt wäre z.B. die Erwärmung des Wellenleiters durch Energieverluste und dadurch
bedingte Änderung der Ausbreitungseigenschaften für Wellen unterschiedlicher Amplituden.
Abb.6: Zerlegung einer Welle in Rechteckpulse
Die Linearität von Wellen erlaubt es, komplizierte Wellenformen in einfachere Elementarbestandteile zu zerlegen. Häufig verwandte Zerlegungen sind die in Rechteckpulse
y(x) = Σ a i rect(x − x i )
Abb. 7: Faltung eines Signals mit der Impulsantwort des
Übertragers
Kennt man die Impulsantwort eines Übertragers, so läßt sich die Antwort auf einen beliebigen
Puls ermitteln, indem man diesen mit der Impulsantwort faltet. Im Grenzübergang unendlich
schmaler Rechteckfunktionen werden diese zu Deltafunktionen. Die Zerlegung in
10
Stufenfunktionen läßt sich auf die in Rechteckfunktionen zurückführen, da zwei um ∆z versetzte Stufenfunktionen gleicher Stufenhöhe und umgekehrten Vorzeichens eine Rechteckfunktion ergeben.
Die Zerlegung in gedämpfte Schwingungen unterschiedlicher Frequenz führt zur LaplaceTransformation. Wir befassen uns in Folgendem nur mit der Fourierzerlegung.
b) Fourierzerlegung (Jean Baptiste Fourier ,1768-1830)
α) Fourierreihe
Wenn die zu zerlegende Funktion f(t) = f(t+T) periodisch ist, kann man sie durch einen Ansatz
f(t)
= a0 +a1sinωt+a2sin2ωt+ ...+b1cosωt+b2cos2ωt+...
∞
∞
=
=
= a 0 + Σ a n sin nωt+ Σ b n cos nωt
(1)
darstellen. Dabei ist ω = 2π/T.
Um die Koeffizienten an und bn zu bestimmen, wählen wir aufgrund des Satzes von Euler
sin ωt = 1 (e iωt − e −iωt ), cos ωt = 1 (e iωt + e −iωt )
2
2i
einen komplexen Ansatz
f(t) =
∞
c n e inωt
Σ
=−∞
(2)
Zur Berechnung von cm wird die Gleichung (2) mit e −imωt multipliziert und über eine Periode
integriert. Dabei wird für n ≠ m
T
∫0 c n e i(n−m)ωt dt = 0
da dies der Mittelwert einer periodischen Funktion ist.
Für n = m wird der e-Faktor 1
T
∫ c n e i(n−m)ωt dt = Tc n
T
c n = 1 ∫ f(t)e −inωt dt
T0
(3)
Um auf die Entwicklungskoeffizienten in Gl. (1) zu kommen, wenden wir wieder den Satz von
Euler an und beachten, daß
c-n = cn*, cn = un+ ivn, c-n = un - ivn
11
un = (cn + cn*)/2
Dann ist nach Gl. (2)
∞
f(t) = c 0 + Σ c n e inωt + c n ∗ e −inωt
∞
=
= c 0 + Σ (u n + iv n )e inωt + (u n − iv n )e −inωt
=
∞
= c 0 + Σ 2u n cos nωt − 2iv n sin nωt
=
T
a 0 = 1 ∫ f(t)dt,
2T 0
T
b n = 1 ∫ f(t)cos nωtdt,
T0
T
a n = 1 ∫ f(t)sin nωtd
T0
(4)
Bei der Berechnung der Koeffizienten ist es vorteilhaft, die Symmetrieeigenschaften der Funktion f(t) auszunutzen.
β) Das Fourierintegral
Die Fourierreihe läßt sich nur bei periodischen Funktionen anwenden. Eine nichtperiodische
Funktion f(t), die nur in einem begrenzten Intervall [0,t0 ] von Null verschieden ist, kann man
in diesem Intervall durch eine Fourierreihe darstellen, indem man sie durch eine periodische
Funktion f*(t) ersetzt, die aus einer Wiederholung von f(t) im Abstand t0 besteht (s. Abb.8).
Abb. 8: Ergänzung einer nichtperiodischen Funktion f(t)
zu einer periodischen f*(t)
f*(t) wird durch die Fourierreihe streng dargestellt, f(t) nur in dem Intervall [0,t0]. Die Darstellung im gesamten Bereich verbessert sich, wenn man die Periodendauer vergrößert und wird
über die gesamte t-Achse korrekt für T → ∞ . Dieser Grenzübergang führt zum Fourierintegral.
Für eine Periodendauer T gilt nach Gl. 3 mit ω 0 = 2π/T.
f(t) =
∞
c n e inω 0 t , c n = 1
Σ
T
n=−∞
T/2
−
∫
f(t)e −inω 0 t dt
Da die Amplituden cn beim Grenzübergang gegen 0 gehen, führen wir neue Amplutuden ein:
an = cnT
f(t) = 1
T
∞
Σ
n=−∞
T/2
ane
inω 0 t
mit a n = ∫ f(t)e −inω 0 t dt
12
Für den Grenzübergang T → ∞ ersetzt man nω0. durch ω, an durch a(ω) und 1/T durch ∆ω/2π.
Der letzte Schritt ist möglich, da
∆ω = 2π∆ν = 2π  n + 1 − n  = 2π
T
T
T
Damit ergeben sich die Formeln für die Fouriertransformation
f(t) = 1
2π
∞
∫ a(ω)e
−∞
∞
iωt
dω, a(ω) = ∫ f(t)e −iωt dt
−∞
γ) Bedeutung der Fourierzerlegung
Der Satz von Fourier sagt aus, daß man jede periodische Funktion in Grundwellen und ihre
Oberwellen zerlegen kann. Die zu zerlegende Funktion braucht dabei nicht einmal stetig zu
sein. Das Fourierintegral erlaubt die Zerlegung einer nichtperiodischen Funktion . a(ω) spielt
dabei die Rolle einer frequenzabhängigen Amplitude. Die harmonischen Elementarwellen lassen sich im allgemeinen leichter behandeln als der ursprüngliche Wellenzug. Man denke z.B.
an ein Signal, das in eine elektrische Schaltung eingespeist wird. Wenn das Wechselstromverhalten der Schaltung bekannt ist, und man möchte die Verzerrung eines Pulses durch die
Schaltung ermitteln, zerlegt man ihn nach Fourier in sinusförmige Signale, bestimmt für jede
Frequenz das Übertragungsverhalten und setzt den Ausgangsimpuls aus den Elementarwellen
am Ausgang zusammen. Bei der akustischen Übertragung oder bei Meßschaltungen legt man
dabei Wert auf eine möglichst naturgetreue Reproduktion des Eingangsimpulses. In anderen
Situationen, z.B. bestimmten Fragestellungen der Bildverarbeitung, möchte man im Frequenzraum manipulieren, etwa um erhöhte Kontraste zu erzielen, oder wie bei der Frequenzvervielfachung von Laserstrahlung, um aus der bewußten Erzeugung von Oberwellen Strahlung höherer Frequenz zu bekommen.
Die Zerlegung einer Welle gibt häufig Auskunft über die beteiligten Elementarprozesse, etwa
bei Schwingungen von Maschinenteilen. Daher ist Frequenzanalyse ein wichtiges diagnostisches Intrument. Auch optische Spektroskopie, in gewissen Grenzen auch die Funktion des
menschlichen Gehörs, kann man als Frequenzanalyse auffassen.
13
KAPITEL B
Eindimensionale Wellen
1. Wellen ohne Veränderung der Form
a) Einleitung
Wichtige Eigenschaften von Wellen lassen sich an eindimensionalen Wellen erklären. Das sind
Wellen, die durch nur eine Ortskoordinate beschrieben werden wie Wellen auf dünnen
Wellenleitern, z.B. Kabeln, oder Wellen im dreidimensionalen Raum, bei denen man das Koordinatensystem so legen kann, daß alle Werte des Wellenfeldes nur von einer Ortsvariablen,
die wir z nennen, abhängen.
∂
∂
∂
≠ 0,
= 0,
=0
∂z
∂x
∂y
Als Beispiel für eindimensionale Wellenleiter betrachten wir Kabel. Die interessierenden Wellen sind dann die Spannungs- oder Stromsignale U(z,t), I(z,t), die sich auf einem Kabel
ausbreiten.
b) Eigenschaften von Kabeln
Kabel verbinden einen Signalgeber mit einem Empfänger. Sie bestehen immer aus Hin- und
Rückleiter. Die elektrischen Eigenschaften sind - wenn man von Verlusten absieht - durch Kapazität und Induktivität pro Länge (c,l) bestimmt. Da diese vom Aufbau des Kabels abhängen,
muß ein Kabel, um definierte Bedingungen zu haben, gleichförmig (homogen) sein. Übliche
Ausführungsformen von Kabeln sind doppeladrige Kabel, Koaxialkabel und Bandleiter.
Abb. 9: Verschiedene Ausführungsformen von Kabeln.
Für ein Bandleiterstückchen der Länge ∆z gilt
∆zbε r ε 0
∆C = ε ε b
∆C =
;;
r 0
d
∆z
d
∆zdµ r µ 0
∆L = µ µ d
;
r 0
b
∆z
b
Für ein Koaxialkabel (Radius des Innenleiters ri, des Außenleiters ra) gilt:
∆C = 2πε r ε 0 ; ∆L = µ µ ln (r a /r i )
r 0
∆z ln (r a /r i ) ∆z
2π
∆L =
14
c) Wellengleichung
Als Modell für ein Kabel nehmen wir eine Verzögerungsleitung aus LC-Gliedern. Das kontinuierliche Kabel ist der Grenzfall für sehr kleinen Abstand der Glieder bei endlichem ∆L/∆z
und ∆C/∆z
Abb. 10: Ersatzschaltbild für ein homogenes Kabel
|
U/I Beziehung an L: dU = −∆L dI ⋅ 1
dt ∆z
|
U/I Beziehung an C: dI = −∆C dU ⋅ 1
dt ∆z
∂U
∂
= −  ∆L  dI ⋅
∆z dt ∂z
∂z
|
(1)
∂I  ∆C  dU ∂
=
⋅
∂z  ∆z  dt ∂t
|
∂ 2 U  ∆L   ∆C  ∂ 2 U
=
∂ 2  ∆z   ∆z  ∂ 2
∂2U
∂2U
=
⋅
⋅
1
c
∂z 2
∂t 2
1 = ∆L ,
∆z
c = ∆C
∆z
(2)
Dies ist die Wellengleichung für die Ausbreitung elektromagnetischer Wellen auf Kabeln. Entsprechend erhalten wir für das Stromsignal die Wellengleichung
∂2I
∂2I
= 1⋅c⋅ 2
2
∂
∂
Diese Wellengleichung hat die allgemeine Lösung:
U = f(z-vt)+g(z+vt),
wobei f und g beliebige Funktionen sind
Beweis für U = f(z-vt):
Setze z−vt = ϕ
15
•
U=
df dϕ
df
⋅
= −v
dϕ dt
dϕ
••
d2f
 df 
=v 2 2
U= d −v
dt  dϕ 
dϕ
dU = df ,
dz dϕ
2
d2U = d f
dz 2 dϕ 2
Einsetzen in die Wellengleichung:
lcv 2
d2f
d2f
=
dϕ 2 dϕ 2
Wir folgern:
α)Die Wellen, die sich auf einem Wellenleiter ausbreiten, für die man eine Wellengleichung
der Form (2) finden kann, haben eine beliebige Form. Diese wird durch die Anfangsbedingungen bestimmt, z.B. durch den zeitlichen Verlauf der Spannung an einem Ende des Kabels. Sie
ändert sich bei der Wellenausbreitung nicht. Die Laufrichtung kann die positive oder negative
z-Richtung sein.
β)Die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle ist
v=
1
1c
wobei 1 und c Induktivität und Kapazität des Kabels pro Länge sind. Bei anderen Wellenleitern erhält man eine gleichartige Wellengleichung. Die Konstante, die vor der Ortableitung
steht und die Eigenschaften des Wellenleiters enthält, ergibt in jedem Fall v. Setzt man die
Größen eines Bandleiters oder Koaxialkabels ein, so erhält man, da
ε 0 µ 0 = 1/c 20 , c 0 = 3 ⋅ 10 8 m/s
c0
v=
εr ⋅ µr
In fast allen Fällen ist µ r = 1 , daher gilt
v=
c0
εr
In dieser Formel drückt sich die Tatsache aus, daß die Wellenleitung durch das Isolationsmaterial bestimmt ist und nicht durch die Eigenschaften der Leiter.
γ) Kabel sind lineare Wellenleiter
Hat man zwei Lösungen U1 und U2 , so ist U = U1+U2 auch eine Lösung, da
16
∂2
∂ 2 (U
∂2
)
+
+
=
U
U
U2
1
2
1
∂z 2
∂z 2
∂z 2
∂2
∂ 2 (U
∂2
)
+
+
=
U
U
U2
1
2
1
∂t 2
∂t 2
∂t 2
Dies ist die formale Begründung des Überlagerungssatzes.
d) Der Wellenwiderstand eines Kabels
Der Wellenwiderstand gibt den Zusammenhang zwischen Strom und Spannung in einer auf
dem Kabel laufenden Welle an. Um ihn zu gewinnen, gehen wir von Gl. 1 aus.
∂U
∂I
= −1
∂z
∂t
Wir nehmen an, eins der beiden Signale sei bekannt, z.B. U(z,t), das andere, hier I(z,t) soll berechnet werden. Da sowohl U wie I die Wellengleichung erfüllen sollen, müssen die Variablen
z und t bei einer hinlaufenden Welle in der Kombination z-vt, bei einer rücklaufenden Welle
als z+vt vorliegen. Zunächst wird eine hinlaufende Welle betrachtet
U h = U h (z − vt),
I h = I h (z − vt)
Gl.1 wird mit ϕ = (z − vt)
∂U h
∂I
= 1v h
∂ϕ
∂ϕ
U h = 1vI h
Uh
= 1v = 1 1 =
Ih
1c
1
c
Uh
= Zw
Ih
Zw heißt der Wellenwiderstand. Strom und Spannung einer Welle auf einem Kabel hängen miteinander zusammen wie beim Ohmschen Gesetz. Der relevante Widerstand ist der Wellenwiderstand des Kabels. Strom- und Spunnungspuls haben also bis auf diesen Faktor die gleiche
Form.
Für eine rücklaufende Welle leitet man in gleicher Weise ab
Ur
= −Z w
Ir
17
wobei das negative Vorzeichen auch zwangslos aus der Symmetrie des Kabels folgt.
Zwei Wellen mit gleicher Spannungsverteilung, die in entgegengesetzter Richtung laufen, unterscheiden sich also in der Stromrichtung. Bei der Überlagerung zweier identischer Wellen
mit entgegengesetzter Laufrichtung löscht sich bei gleicher Polarität der Spannung der Strom
aus, bei entgegengesetzter Polarität der Spannung löscht sich diese aus, aber der Strom überlagert sich konstruktiv. Ein Kabel, bei dem sich gerade zwei entgegenlaufende Pulse auslöschen,
unterscheidet sich also sehr wohl von einem Kabel ohne Signal.
Als Beispiel betrachten wir die Störung auf einer Überlandleitung durch einen Blitzeinschlag.
In erster Näherung können wir die Leitung durch ein Kabel annähern. Der Blitz möge zu Zeit
t=0 eine lokalisierte Spannungsverteilung hervorrufen.
Abb. 11: Wirkung eines Blitzeinschlages auf eine
Überlandleitung
Der Strom sei zur Zeit t=0 überall Null. Um das weitere Geschehen zu beschreiben, gehen wir
von dem Satz aus, daß alle dynamischen Vorgänge hier durch zwei entgegengesetzt laufende
Wellen beschrieben werden können. Da zwei in entgegengesetzter Richtung laufende Wellen
gleicher Form und gleicher Spannungsamplitude genau die hier vorliegenden Anfangsbedingungen herstellen, teilt sich also der ursprüngliche Puls auf in zwei mit gleicher Amplitude, die
entgegengesetzt laufen. Dieser Mechanismus gestattet es, durch geziele Anfangsaufladung eines Kabels kurzzeitige Pulse gewünschter Form zu machen. (Kabelpulser)
e) Computersimulation
Um die Wellengleichung auf einem Computer zu simulieren, wählt man Spannungs- und
Stromwerte an äquidistanten räumlichen und zeitlichen Stellen, z.B. erhält man für die Spannung ein rechteckiges Schema wie in Abb. 12. Bei t=0 kann man die Spannungen und Ströme
als bekannt voraussetzen. Um die Anfangsbedingungen für Spannung und Strom bequem einarbeiten zu können, geht man am besten nicht von der Wellengleichung (2) aus, sondern von
den gekoppetlen Gleichungen 1. Ordnung (1).
∂U
∂I
= −1
∂z
∂t
∂I
∂U
= −c
∂z
∂t
und ersetzt die Differentialgleichungen durch Differenzengleichungen, z.B.
U i,k+1 − U i,k−1
I i+1,k − I i,k
= −1
∆t
2∆z
18
I i,k+1 − I i,k−1
U i+1,k − U i,k
= −c
∆t
2∆z
Mit diesen Gleichungen lassen sich die unbekannten Größen aus den bekannten am Rand
errechnen.
Abb. 12: Rechenschema für die Computersimulation der Wellenausbreitung
f) Reflexion am Ende eines Kabels
Am Ende eines Kabels kann die Energie u.U. nicht oder nur unvollständig weitergegeben werden. Hat man ursprünglich nur ein hinlaufendes Signal, so muß am Kabelende also ein rücklaufendes Signal erregt werden. Die Form des rücklaufenden Signals kann man berechnen,
wenn man beachtet:
Die Gesamtspannung U an jeder Stelle des Kabels ist aufzufassen als die Summe eines hin(Uh) und eines rücklaufenden Signals (Ur). Das gleiche gilt für den Strom.
I = Ih + Ir
U = Uh + Ur
Uh
= Zw
I
Ur
= −Z w
I
Beispiele:
α.Kurzschluß am Ende:
Der Kurzschluß erzwingt, daß am Ende U = 0 gilt. D.h. es muß eine rücklaufende Welle angeregt werden, deren Spannung so ist, daß U = 0 für alle Zeiten bleibt.
U h + U r = 0 → U r = −U h
Die reflektierte Welle hat die gleiche Form, aber die umgekehrte Polarität wie die
ursprüngliche.
β. Offenes Ende:
Ih =
Uh
U
, Ir = − h → Ur = Uh
Zw
Zw
Die reflektierte Welle hat die gleiche Form und Polarität wie die ursprüngliche.
γ. Das Kabelende ist mit einem Ohmschen Widerstand der Größe R abgeschlossen.
Aus den Gleichungen U/I = R, U = Uh + Ur , und I = Ih + Ir
19
folgt
Uh + Ur
=R
Ih + Ir
Uh
= Zw
Ih
Ur = −Z
w
Ir
Uh + Ur
=R
U h /Z w − U r /Z w
UhZw + UrZw = UhR − UrR
U h (R − Z w ) = U r (R + Z w )
Ur R − Zw
=
Uh R + Zw
Abb. 13: Reflexion am Kabelende bei beliebigem
Abschluß
Hieraus ergeben sich die Sonderfälle von Beispiel 1 und 2 durch die Grenzübergänge
R → ∞ und R→ 0 . Für R=Zw tritt keine Reflexion auf (Ur=0). Bei Übertragung kurzzeitiger Signale ist es daher wichtig, am Ende des Kabels einen Widerstand anzubringen, der die Größe
des Wellenwiderstandes hat, um Reflexionen zu vermeiden. Das Kabel ist auf den Abschluß
angepaßt. Ein Signalgenerator "sieht" am Eingang des Kabels einen ohmschen Widerstand von
der Größe des Wellenwiderstandes. Die Energie wird optimal übertragen. Bei fehlerhaftem
Abschluß hat man am Eingang des Kabels eine Gesamtspannung und einen Gesamtstrom, die
sich aus der Summierung der Größen von hin- und rücklaufender Wellen ergeben. Die Eingangsimpedanz am Kabelanfang (z=0)
Z ein =
U ges U h (0) + U r (0)
=
I ges
I h (0) + I r (0)
ist dann also nicht der Wellenwiderstand. Ist eine Anpassung nicht möglich, kann man durch
kontinuierliche Änderung des Wellenwiderstandes Reflexionen weitgehend vermeiden. Üblich
ist eine Änderung nach einem Exponentialgesetz.
g) Leistungsfluß
Der Leistungsfluß an einer Stelle des Kabels ergibt sich durch Spannung und Strom an dieser
Stelle
P = U ⋅ I = ZwI2
20
Diese Formel erlaubt es, auch bei anderen Wellenleitern wie z.B. akustischen Wellenleitern,
einen Wellenwiderstand zu definieren.
2. Wellen mit Veränderung der Form
a) Dispersion
Die Tatsache, daß Signale auf Kabeln - oder allgemeiner auf Wellenleitern, für die man eine
Wellengleichung von der Form der Gleichung (2) aufstellen kann - während ihrer Ausbreitung
die Form nicht ändern, ist eine Folge von der Frequenzunabhängigkeit der Wellengeschwindigkeit. Zerlegt man nämlich nach Fourier das Signal in Sinuswellen unterschiedlicher Frequenz, so ergibt ihre Überlagerung wieder den ursprünglichen Impuls, wenn diese sich mit
gleicher Geschwindigkeit fortbewegen, etwa wie eine Schafherde die Form beibehält, wenn alle Schafe gleich schnell laufen. Hängt ihre Geschwindigkeit von der Frequenz ab, so erhält
man nach einer bestimmten Laufzeit Phasenverschiebungen zwischen den einzelnen Teilwellen, und ihre Addition führt zu einer anderen Pulsform. Der Puls scheint zu zerfließen. Wir sagen dann, der Wellenleiter zeigt Dispersion.
Dispersion ist eine Eigenschaft vieler Wellenleiter. Beispiele sind Wellenleiter, die aus diskreten Elementen bestehen. Da mit steigender Frequenz die Wellenlänge abnimmt, existiert eine
charakteristische Frequenz, bei der die Wellenlänge gleich dem Abstand zweier Elemente ist.
In dieser Umgebung ändern sich die Ausbreitungseigenschaften beträchtlich. Beispiele sind
Kettenleiter, d.h. elektrische Schaltungen nach dem Bauplan des Ersatzschaltbildes eines Kabels (Abb.10) aus Spulen und Kondensatoren, Festkörper aufgrund ihrer atomaren Körnigkeit
u.a.. Auch die meisten homogenen Wellenleiter zeigen Dispersion. Dazu gehören leitfähige
Flüssigkeiten im Magnetfeld, die ein Beispiel zum nächsten Abschnitt beitragen. Kabel zeigen
Dispersion, wenn man Verluste berücksichtigt. Verlustmechanismen können außerdem zu einer Änderung der Signalform beitragen, wenn die Dämpfung von der Frequenz abhängt.
b) Gruppengeschwindigkeit
Bei Impulsen interessiert man sich für die Geschwindigkeit eines charakteristischen Punktes,
etwa des Maximus der Einhüllenden. Diese Geschwindigkeit nennt man die Gruppengeschwindigkeit vg . Sie kann sehr verschieden von der Geschwindigkeit der sinusförmigen Wellen sein, die im Puls dominieren.
Abb. 14: Ausbreitung eines Wellenpaketes
Die Geschwindigkeit einer sinusförmigen Welle nennt man Phasengeschwindigkeit vph. Information läßt sich mit Wellen nur übertragen, wenn sie moduliert werden. Für die Ausbreitung
dieser Modulation ist die Gruppengeschwindigkeit maßgebend. Die Gruppengeschwindigkeit
ist in Übereinstimmung mit der speziellen Relativitätstheorie immer kleiner als die Lichtgeschwindigkeit, während es eine ganze Reihe von Wellen gibt, deren Phasengeschwindigkeit
größer als die Lichtgeschwindigkeit ist. Bei Wellenleitern ohne Dispersion ist Gruppen- und
Phasengeschwindigkeit gleich. Zur Berechnung der Gruppengeschwindigkeit aus der Dispersionsbeziehung ω (k) betrachten wir zunächst eine Gruppe von zwei Wellen, die sich nur geringfügig in ω und k unterscheiden.
21
ω 1 − ω 2 = ∆ω << ω 1 , ω 2 ; k 1 − k 2 = ∆k << k 1 , k 2
y 1 = y 0 sin (k 1 z − ω 1 t), y 2 = y 0 sin (k 2 z − ω 2 t)
Bei der Überlagerung beachten wir, daß
sin α + sin β = 2 cos
α+β
α−β
⋅ sin
2
2
ω − ω2 
ω + ω2 
k −k
k k
y 1 + y 2 = 2y 0 cos  1 2 z − 1
t  sin  1+ 2 z − 1
t
2
2
2
2
Da die beiden k und ω sehr benachbart sind, sind die Mittelwerte rechts im Sinus etwa gleich
den einzelnen Werten
k=
ω + ω2
k1 + k2
,ω = 1
2
2
∆ω  (kz
− ωt)
y 1 + y 2 = y 0 cos  ∆k z −
t sin
2
2 
Der erste Faktor ist eine langsam veränderliche Amplitudenmodulation. Der zweite Faktor hat
das Raum-Zeitverhalten der ursprünglichen Wellen. Die Geschwindigkeit, mit der die Amplitudenmodulation sich fortbewegt, ergibt sich aus der Bedingung, daß die Phase einen konstanten Wert, etwa Null hat
∆k z − ∆ω t = 0 → z =v = ∆ω
t g ∆k
2
2
Bei einer Gruppe von Wellen, die sich aus Teilwellen in einem engen Frequenzgebiet zusammensetzen - einem sogenannten Wellenpaket - gilt das Gesagte für je zwei Teilwellen. Nach
dem Überlagerungssatz bewegt sich dann die Einhüllende des gesamten Paketes mit der
Gruppengeschwindigkeit
vg =
dω
dk
Für Wellen ohne Dispersion gilt
ω
=v ph ,
k
ω dω
=
,
k dk
v g =v ph
22
3. Beispiele von Wellenleitern
a) Seilwelle
In den folgenden Beispielen versuchen wir für einige mechanische Systeme aus den Grundgleichungen, die das System bestimmen, eine Wellengleichung herzuleiten und die Phasengeschwindigkeit daraus abzulesen. Bei den mechanischen Systemen ist die Grundgleichung
2
F = m d s . Wir erhalten also eine Wellengleichung, wenn die Kraft sich als zweite Ableitung
2
der Auslenkung darstellen läßt:
Bei der Seilwelle setzen wir eine an beiden Seiten fest eingespannte Saite voraus, die um einen
kleinen Betrag s seitlich ausgelenkt wird. Durch die Auslenkung entsteht eine rücktreibende
Kraft Fges auf jedes Massenelement.
∆m = ρ ⋅ A ⋅ ∆z
Abb. 15: Kräfteverhältnisse an der
Seilwelle
In der Gleichgewichtslage ist die Gesamtkraft auf ∆m Fges = 0 , da die Seilspannungen in entgegengesetzten Richtungen wirken. Dies gilt nicht mehr, sobald das Seil gekrümmt wird. Die
Gesamtkraft auf ∆m in y-Richtung ist dann
dF y
dF y 

∆z = −
∆z
F ges = F y (z) − F y (z + ∆z) = F y (z) + F y (z) −

dz 
dz
Fy läßt sich aus der Kurvenform berechnen, wenn man annimmt, daß die außen angelegte Zugkraft F0 in Richtung der Tangente der Kurve s(z) wirkt.
F y = −F 0 sin α ≈ F 0 tan α = −F 0 ds
dz
F ges = F 0 ∆z
∂2s
∂ 2
Setzt man dies in die Bewegungsgleichung ein, erhält man die Wellengleichung
∂2s F0 ∂2s
=
∂t 2 ρA ∂z 2
Es breiten sich dispersionsfreie Wellen aus mit der Geschwindigkeit:
v=
F0
ρA
23
b) Elastische Longitudinalwelle in Festkörpern
Abb. 16: Zur Schallausbreitung
Schichten, die senkrecht zu z stehen, sollen in Richtung z um s ausgelenkt werden. s hängt dabei von der Anfangsposition z ab. Die rücktreibende Kraft auf ein Massenelement
∆m = ∆z ⋅ A ⋅ ρ
ergibt sich wie bei der Seilwelle zu
F ges = − dF ∆z
dz
Fges weist allerdings in Richtung der z-Achse. Die rücktreibende Kraft wird durch eine Verzerrung des Volumenelementes A∆z erzeugt. Nach dem Hookschen Gesetz ist diese
F = −EA ds
dz
Damit wird
(E: Elastizitätsmodul)
2
F ges = EA d s2 ∆t
dz
und mit der Bewegungsgleichung
2
ges
= ∆m d 2s
dt
erhält man die Wellengleichung
∂2s E
=
∂t 2 ρ
mit der Wellengeschwindigkeit
v=
E
ρ
∂2s
dz 2
24
c) Schallwelle
Die Behandlung erfolgt analog zum vorigen Abschnitt. Der Unterschied besteht nur in der
Form des Hookschen Gesetzes. Bei Schall in Gasen wird dies aus der Zustandsgleichung
ρ ⋅ V = nRT gewonnen. Newton hat ursprünglich angenommen T = const. Es stellte sich heraus, daß sich eine korrekte Phasengeschwindigkeit ergibt, wenn man in der Schallwelle eine
adiabatische Zustandsänderung voraussetzt, d.h. die Arbeit, die die Schallwelle erzeugt, erwärmt das Gas lokal. Die Wärme wird während einer Schwingung nicht abgeführt. Hierfür
gilt:
p ⋅ V κ = const
κ = c p /c v (cp, cv: Wärmekapazitäten bei konstantem Druck, bzw. Volumen)
Bildet man den Logarithmus und differenziert man die erhaltene Gleichung, ergibt sich:
log p + κ ⋅ log V = const
dp
dV
p +κ V =0
(1)
dp = −κp ds
dz
Diese Gleichung ist identisch mit dem Hookeschen Gesetz, wenn man dort E durch κp ersetzt.
Damit erhält man
p
v = κρ
Akustischer Wellenwiderstand
Die Schallwelle verhält sich analog zur Welle auf einem Kabel, wenn man U durch F, I durch
∂s ersetzt. Der Wellenwiderstand
∂s
Z = U h /I h wird dann Z = F/
∂t
∂t
s h = f(z − vt)
ds = ds dϕ = ds
dz dϕ dz dϕ
ds = ds dϕ = −v ds = −v ds
dt dϕ dt
dϕ
dz
Damit wird Z =
−κpA ds
dz
−v
ds
ρ
κpA
= v = κp κp A = κpρ A
Z = κpρ A
Im Festkörper erhält man durch Ersetzung von κp durch E: Z= Eρ A.
Schalldämmung erzeugt man häufig durch große Sprünge in der Dichte des schallleitenden
Mediums. An der Sprungstelle wird der Schall reflektiert. Der Schalltrichter einer Trompete
25
kann als Maßnahme angesehen werden, einen möglichst stoßfreien Übergang vom Trompeteninnern zum Außenraum herzustellen und so die Schallleistung möglichst effektiv zu übertragen. Man muß allerdings bedenken, daß man, um Eigenschwingungen anregen zu können, eine
Reflexion der Welle am Ausgang der Trompete benötigt (s. nächsten Abschnitt).
Abb. 17: Akustischer Sumpf
Häufig benötigt man sowohl in der Akustik wie in der Optik eine Anordnung, die wie ein idealer Abschluß wirkt. Im Physikerjargon spricht man von einem Sumpf. Dieser muß die Wellenenergie effektiv in Wärme umwandeln. Man erreicht dies am einfachsten durch Mehrfachreflexion an einer absorbierenden Oberfläche. In der Akustik verwendet man auch stark gedämpfte
Helmholtzresonatoren. (Helmholtzresonatoren funktionieren wie zum Pfeifen angeblasene Flaschen, s. Kap. C/2,c).
Abb. 18: Optischer Sumpf
4. Stehende Wellen
a) Überlagerung entgegengesetzt laufender harmonischer Wellen
Überlagert man eine hin- und eine rücklaufende harmonische Welle gleicher Frequenz, Wellenlänge und Amplitude, so gibt es Orte, an denen sich die Wellen zu allen Zeiten auslöschen
(A), und andere, an denen sie sich zu einer Schwingung addieren (B). Wir beobachten dies an
einem Wellenleiter, an dessen Ende eine sinusförmige Welle reflektiert wird.
Mathematisch läßt sich die Form der entstehenden Bewegung mit dem Additionstheorem von
Winkelfunktionen zeigen.
Abb. 19: Die Überlagerung zweier Wellen mit entgegengesetzter Laufrichtung
sin α + sin β = 2 cos
α−β
α+β
sin
2
2
s 1 = y 0 sin (kz + ωt)
s 2 = y 0 sin (kz − ωt)
26
s = s 1 + s 2 = 2y 0 cos ωt ⋅ sin kz
Abb.20: Stehende Welle
An einem bestimmten Ort z = z0 hat man eine Schwingung mit der Amplitude sin kz0. Die
Amplitude ändert sich sinusförmig mit z. Innerhalb einer Halbwelle schwingen alle Punkte mit
gleicher Phase. Zwischen benachbarten Halbwellen besteht ein Phasenunterschied von π/2.
Die Amplitude ist Null bei kz = nπ. Diese Orte nennt man Knoten, die dazwischen liegenden
Orte mit maximaler Amplitude Bäuche. Der Abstand zweier benachbarter Knoten ist λ/2. Breitet sich eine Welle in einem begrenzten Medium aus, z.B. eine Schallwelle im begrenzten
Raum, so erhält man durch die Reflexionen an den Grenzen immer eine Überlagerung von hinund rücklaufenden Wellen. Bei idealer Reflexion wird sich am Ende je nach zu erfüllender
Randbedingung entweder ein Bauch oder ein Knoten befinden.
Z.B. erfordert ein Kabel mit Kurzschluß am Ende, daß hier U verschwindet. U hat hier also einen Knoten, während I einen Bauch hat. Bei einem Schalleiter oder einem Seil erfordert ein festes Ende, daß die Auslenkung s hier verschwindet, z.B. s = K ⋅ sin kz ⋅ cos ωt, wenn das Ende
bei z = 0 liegt. Andererseits gilt, wie oben gezeigt
dp = −κp ⋅ ds , d.h. dp = K cos kz cos ωt. dp hat daher an der Wand einen Bauch.
dz
Da das Ohr auf Druckschwankungen anspricht, hört man Musik in der Nähe von festen Wänden lauter.
Abb. 21: Warum ist Schall in der Nähe von Wänden
lauter ?.
b) Eigenschwingungen
Im allgemeinen werden sich die Wellen, die durch Reflexion an beiden Seiten eines Wellenleiters entstehen, auslöschen, da sich an jedem Ort Schwingungen mit statistischen Phasen überlagern. Nur wenn die Wellenlänge genau so lang ist, daß durch Reflexion an beiden Enden die
gleiche Welle entsteht, werden stehende Wellen angeregt. Man kann diesen Sachverhalt auch
so beschreiben: Auf einem Wellenleiter endlicher Länge lassen sich nur die stehenden Wellen
anregen, die zu allen Zeiten die Randbedingungen erfüllen. Bei einer mechanischen Welle mit
27
festen Enden müssen sich z.B. an beiden Enden Knoten bezüglich der Auslenkung befinden.
Bei der Grundschwingung sind dies die einzigen Knoten. Für sie gilt
L = λ/2 und da v = λ/T = λ ⋅ ν, ν = v/L
Man kann dies ausnutzen, indem man in einem bekannten Medium die Grundschwingung anregt und aus bekanntem v und L die Frequenz bestimmt. Dies ist eine übliche Meßmethode für
Frequenzen im Mikrowellenbereich. Andererseits kann durch Messen der Frequenz und der
Wellenleiterlänge v und über die Formeln für Phasengeschwindigkeiten Materialeigenschaften,
z.B. aus v = E/ρ der Elastizitätsmodul E bestimmt werden.
Eine der genauesten Methoden der Anbindung des Meters an die Lichtgeschwindigkeit besteht
darin, in einem Hohlraumresonator bekannter Geometrie eine stehende elektromagnetische
Welle anzuregen. Die Frequenz wird über ein Zeitnormal sehr genau bestimmt. Neben der
Grundschwingung können sich Schwingungsformen (Moden) herausbilden, bei denen n weitere Knoten auf dem Wellenleiter liegen. Man nennt sie die n-te Oberschwingung. Für einenWellenleiter mit beiderseitig festen Enden ergeben sich folgende Möglichkeiten:
Abb. 22
Die Frequenzen der Oberschwingungen sind ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz. Diese
Situation ist z.B. für Saiten typisch. Auch bei beidseitig offenem Ende wie bei einer Trompete
oder Flöte erhält man ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz, wohingegen bei einem
Wellenleiter, der an einem Ende fest, am anderen offen ist, nur die ungeradzahligen Vielfachen
der Grundfrequenz auftreten.
Abb.23
28
Typische Vertreter sind die "gedackte", d.h. am Ende geschlossene Flöte und die Klarinette.
Da die Physik der Atome durch eine Wellengleichung beschrieben wird, gibt es auch in Atomen Eigenschwingungen. Über die Beziehung W = hν ergeben sich diskrete Eigenzustände.
29
KAPITEL C
Wellen im homogenen Medium
1. Grundbegriffe
a) Strahlen-Wellenflächen
Die im vorigen Kapitel für eindimensionale Wellen eingeführten Begriffe sind auch für die Behandlung von Wellen im dreidimensionalen Raum von grundlegender Bedeutung. Um die
Ausbreitung im Raum behandeln zu können, sind noch einige zusätzliche Begriffe notwendig.
Die Ausbreitungsrichtung beschreibt man in einem Wellenfeld zunächst über die Wellenflächen (=Wellenfronten), das sind Flächen, die Orte gleicher Phase miteinander verbinden. Bei
zweidimensionalen Wellen reduzieren sich die Wellenflächen auf Linien, z.B. sind es bei einer
punktförmigen Erregung durch einen Steinwurf an der Wasseroberfläche Kreise, im dreidimensionalen Raum Kugelflächen. Ist die Wellengeschwindigkeit nach allen Seiten gleich wie
bei Schallwellen in einem Gas mit konstantem Druck, nennt man das Medium isotrop.
Abb. 24: Wellenflächen in unterschiedlichen Medien
Bei manchen Medien wie Kristallen oder Plasmen im Magnetfeld ist die Wellengeschwindigkeit stark von der Richtung abhängig, der Stoff ist anisotrop. Als Strahlen kann man dann Linien definieren, die senkrecht auf den Wellenflächen stehen. Im homogenen, isotropen Medium
geben sie die Richtung der Ausbreitung an. Im allgemeinen unterscheiden sich die Richtungen
von Wellennormalen und Ausbreitung der Energie.
b) Raumwinkel
Dadurch, daß sich eine von einer Punktquelle erregte Welle im Raum nach allen Seiten ausbreitet, verteilt sich mit wachsendem Abstand der Wellenfront von der Quelle die Energie auf
eine immer größer werdende Fläche und die Amplitude nimmt ab. Ein Maß für die Intensität
der Welle im Abstand r ist die Leistungsdichte S = P/A (P ist die Leistung der Quelle, A die
betrachtete Fläche senkrecht zur Ausbreitungsrichtung). Bei einer Punktquelle ist
S = P 2 ∼ 12
4πr
r
Dies ist der Grund dafür, daß die Intensität, die eine Quelle, z.B. ein Beleuchtungskörper im
Abstand r erzeugt, mit dem Quadrat des Abstandes abnimmt.
30
Abb. 25: Intensität bei einer Punktquelle
Für einen Kegel mit der Spitze in der Punktquelle geht A ∼ r 2 . Dies erkennt man an einer quadratischen Fläche. Da nach dem Strahlensatz
2
A1 a1
r1 a1
und
=
=
r2 a2
A2 a2
Andere Flächen kann man in Quadrate zerlegen und erhält für sie so das gleiche Ergebnis. In
einem Kegel ist also
Ω = A2
r
eine Konstante. Man nennt Ω den Raumwinkel des Kegels. Der Raumwinkel ist die Fläche, die
ein Kegel aus der Einheitskugel um die Kegelspitze herausschneidet. Man kann den Raumwinkel als eine Verallgemeinerung des Winkels in der Ebene auffassen, wenn man diesen als die
Bogenlänge definiert, die zwei Strahlen aus dem Einheitskreis herausschneiden.
Wird vom Kegel der gesamte Raum umfaßt, ist der Raumwinkel, da die Kugelfläche
4πr 2 ist, Ω = 4π, der Halbraum hat entsprechend Ω = 2π usw.
c) Intensität
Die Leistungsdichte, die eine Quelle in einiger Entfernung erzeugt, wird um so größer, je kleiner der Raumwinkel ist, in den gestrahlt wird. Ein Lautsprecher mit einer Richtungsbündelung
des Schalls erscheint dort, wo er hinstrahlt, lauter als ohne sie. Antennen, die eine große
Reichweite erzielen sollen wie Kurzwellensender (z.B. die Deutsche Welle), müssen eine möglichst gute Richtwirkung haben. Die starke Wirkung von Lasern liegt auch daran, daß sie ihre
Energie in einen extrem kleinen Raumwinkel bündeln.
Man definiert daher als Intensität
I = P (genauer I = dP )
AΩ
dAdΩ
Bezieht man die Intensität auf ein Frequenzintervall, spricht man von spektraler
Strahlungsstärke
I ν = dP
dAdΩdν
31
d) Der Wellenvektor
Im Eindimensionalen beschreiben wir ein sich in z-Richtung ausbreitendes Wellenfeld durch
(1)
s = s 0 sin (kz − ωt)
Abb. 26: Wellenfläche für die Welle s=s0sin(kz-ωt)
Die Phase ϕ = kz − ϕt ist für t = const konstant, wenn z konstant ist. Die Wellenflächen sind also durch z = const gegeben. Breitet sich eine ebene Welle in irgendeiner Richtung k/k aus, so
ist eine Wellenfläche gegeben durch r ⋅ k = const, denn d = r ⋅ k ist die Projektion von r auf
k
k
das Lot von der Quelle auf die Wellenfläche und wählt alle r aus, die das gleiche d als Projektion auf dieses Lot haben. Im allgemeinen Fall muß man also in Gl. (1) z durch d ersetzen
Abb. 27: Zur Ableitung von Gleichung (2)
s = s0sin(k⋅ r - ωt)
(2)
k nennt man den Wellenvektor. Er steht senkrecht auf der Wellenfläche und hat den Betrag
|k| = k = 2π/λ. k kann man wie jeden Vektor zerlegen
k = kxex + kyey + kzez
mit k x = 2π/λ x , k y = 2π/λ y , k z = 2π/λ z . λ x , λ y und λ z sind die Wellenlängen, die man bei einer
Beobachtung entlang der Koordinatenachsen registrieren würde.
Abb. 28: Wellenlänge, die man in einer ebenen Welle
entlang einer Koordinatenachse beobachtet
λ x = λ/ cos ϑ
32
e) Die dreidimensionale Wellengleichung
Die eindimensionale Wellengleichung lautet
2
ω2 ∂2s
∂2s
2∂ s
=
=
v
∂t 2
∂z 2 k 2 ∂z 2
Im Dreidimensionalen verallgemeinern wir
∂2s ω2  ∂2s ∂2s ∂2s  ω2 2
=
+
+
∇ s

 =
∂t 2 k 2  ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2  k 2
(3)
 ∂/∂x 
mit ∇ =  ∂/∂y 


 ∂/∂z 
Eine Welle der Form von Gl. (2) löst die Wellengleichung (3). Setzt man
ϕ = (k ⋅ r − ωt) = (k x x + k y y + k z z − ωt)
so erhält man durch Einsetzen von Gl.(2) in (3):
∂2s 2 2 2 ω2 ∂2s 2
(k x + k y + k z ) 2 = 2 ω
∂ϕ 2
∂ϕ
k
Da k 2 = k 2x + k 2y + k 2z , ist diese Gleichung erfüllt. Die Verallgemeinerung in Form der Gl. 3 ist
also sinnvoll.
f) die Gruppengeschwindigkeit
Da k Vektoreigenschaften besitzt, kann man für die einzelnen Komponenten die Gruppengeschwindigkeit ausrechnen.
v gx = ∂ω/∂k x
Der Vektor der Gruppengeschwindigkeit ist also
v g = ∂ω/∂k x e x + ∂ω/∂k y e y + ∂ω/∂k z e z
oder
vg = ∇kω
mit
 ∂/∂k x
∇ k =  ∂/∂k y

 ∂/∂k z





Die Energie einer Welle breitet sich in Richtung vg aus. Im allgemeinen unterscheiden sich die
Richtungen von vg und k.
33
2. Beispiel Schall
a) Beschreibungsgrößen
Wir charakterisieren Schall durch Tonhöhe, Klangfarbe und Lautstärke.
α) Tonhöhe
Die Tonhöhe wird physikalisch durch die Frequenz bestimmt. ν = 440Hz ist heute Kammerton
a. Tonintervalle sind Frequenzverhältnisse, dabei sind die natürlichen Intervalle Verhältnisse
von ganzen Zahlen kleiner 7.
Bezeichnung
ν 1 /ν 2
2
Oktave
3/2
4/3
5/6
6/5
Quint
Quart
große Terz
kleine Terz
Das Verhältnis 7/6 ist verboten. Das Frequenzverhältnis 4:5:6 nennt man einen Dur-Dreiklang.
Abb. 29: Die Grunddreiklänge
In unserem Tonsystem gelten Töne im Frequenzabstand 2 als gleich. Die Tonleiter wird erzeugt, indem man auf einen Grundton den Dur-Dreiklang aufbaut, z.B. c, e, g und die beiden
Dreiklänge im Quintabstand drüber und drunter hinzunimmt (g, h, d: Dominante; f, a, c:
Subdominante).
β) Die Klangfarbe
Die Klangfarbe wird durch die Amplituden der Oberschwingungen bestimmt. Ein Flötenton ist
arm an Oberschwingungen, solche Klänge empfindet man als weich; ein Trompetenton reich
an Oberschwingungen, solche Klänge sind hart oder näselnd. Spracherkennungssysteme müssen aus dem Frequenzspektrum den gemeinten Buchstaben ermitteln.
γ) Schallintensität
Der physikalische Begriff für die Intensität einer Welle ist die Leistungsflußdichte S, das ist
die Energie, die im Zeitintervall ∆t durch eine Fläche A, die senkrecht auf k steht, fließt, geteilt durch A:
S= P
A
S nennt man Schallintensität.
Die Energie, die durch A fließt, ist
ulA = uv∆tA ,
wobei u die Energiedichte, v die Phasengeschwindigkeit ist. lA ist das Volumen, das die Energie enthält, die in der Zeit ∆t durch A fließt. Der Leistungsfluß läßt sich also aus der Energiedichte u und der Phasengeschwindigkeit berechnen
34
S = uv∆tA = uv
∆tA
Bei Schallwellen gilt für einen Oszillator
W ges = W kin + W pot = 1 mv 2s0
2
vs0 ist die Amplitude der Geschwindigkeit der Schwingung eines Teilchen, auch Schallschnelle
genannt.
N 12 mv 2s0 1 2
= ρv s0
u=
2
V
Mit vs0= s0ω, wobei s0 die Amplitude der Auslenkung ist, folgt
S = 1 vρs 20 ω 2
2
Möchte man z.B. auf einem Schallträger bei großen und kleinen Frequenzen gleiche Leistung
erzeugen, muß man bei kleinen Frequenzen entsprechend größere Auslenkungen zulassen. Da
dies i.a. unwirtschaftlich ist, geht man meist umgekehrt vor: Man speichert mit gleicher
Amplitude und gleicht die zu kleinen Leistungen bei kleinen Frequenzen mit einem Entzerrerverstärker aus.
Bei 1 kHz ist die minimale von einem gesunden menschlichen Ohr wahrnehmbare Schallintensität S 0 = 10 −12 W/m 2 . Die Schmerzgrenze liegt bei 10 W/m2. Man sagt, das menschliche Ohr
hat einen Dynamikbereich von 13 Zehnerpotenzen. Um diese große Skala noch vernünftig einteilen zu können, rechnet man die Schallintensität in eine logarithmische Skala um.
L = 10 log (S/S0)
L ist der Schallpegel in Dezibel (dB). Der Dynamikbereich des Ohres umfaßt also 130 dB, eine CD ca. 80 dB. Man beachte, daß die Schallpegelskala nicht linear ist. Verdoppelt man z.B.
eine Schallintensität S2 = 2 S1, so resultiert daraus ein Schallpegel
L2 = 10 log (S2/S0)
= 10 log(2 S1/S0)
= 10 log(S1/S0)+10 log 2
Abb. 30: Die physiologische Bewertungsfunktion
nach DIN 45633
Da 10 log 2 ≈ 3, erhöht sich der Schallpegel um 3 dB. Der auf diese Weise physikalisch definierte Schallpegel entspricht für Schall der Frequenz 1 kHz etwa dem Empfinden von Lautstärke. Bei anderen Frequenzen gibt er z.T. völlig abwegige Angaben. Z.B. ergibt sich eine
Lautstärke außerhalb des Hörbereichs, d.h. bei Frequenzen unterhalb 15 Hz (Infraschall) oder
oberhalb 20 kHz (Ultraschall). Um dies zu vermeiden, führt man über eine Bewertungsfunktion B(ν), die bei 1 kHz gleich 1 und außerhalb des Hörbereichs Null ist, den Begriff Lautstärke
ein.
35
L* = B(ν)L
Für verschiedene Zwecke gibt es unterschiedliche Bewertungsfunktionen. Man mißt nach ihnen die Lautstärke in dB(A), dB(B), dB(C).
b) Die Wellengleichung für Schall im dreidimensionalen Raum
Zur Ableitung der Wellengleichung geht man wie im eindimensionalen Fall vor mit dem Unterschied, daß jetzt die Kraft und die Auslenkung aus der Ruhelage Komponenten in allen drei
Koordinatenrichtungen haben können. Die Bewegungsgleichung für ein Volumenelement
Abb. 31: Kräfte auf ein Volumenelement in einem
Schallfeld
V = ∆x∆y∆z
in einer Koordinatenrichtung ist dann
•
∂F
m v x = − x ∆x
∂x
Da ρ = m/∆x∆y∆z und p = F x /∆y∆z, schreibt man
∂p
•
ρ vx = −
∂x
 ∂/∂x 
•
Insgesamt also ρ v= −∇
(1)
∇p mit ∇ =  ∂/∂y 


 ∂/∂z 
Dies ist die aus der Gasdynamik bekannte Bewegungsgleichung.
Wegen der adiabatischen Zustandsänderung haben wir
dp
∆V , dp = − κp dV
(2)
=
−κ
p
V dt
V dt
Die Volumenänderung ergibt sich aus den Längenänderungen
Koordinatenrichtungen
in
Abb. 32: Zusammenhang von ∆s und ∆x
dV = ds x ∆y∆z + ds y ∆x∆z + ds z ∆x∆y
und da, wie an Abb. 32 abzulesen
∂s
∆s = x ∆x wird
∂x
den
drei
36
 ∂s x ∂s y ∂s z 
+
+
V
 ∂x ∂y ∂z 
und die in Gleichuung (2) benötigte Größe
1 dV = ∂v x + ∂v y + ∂v z = ∇⋅v=divv
∂x
∂y
∂z
V dt
dp
= −κp∇⋅v
dt
Nach Differenziation der letzten Gleichung nach der Zeit kann v aus Gl. (1) eingesetzt werden.
Bei diesem wird der Vorfaktor κp/ρ als konstant angesehen. Bei einer strengeren Ableitung
schreibt man p = p0 + ∆p und ρ = ρ 0 + ∆ρ , wobei p0 und ρ 0 konstant sind, und die gesamte
Raum- und Zeitabhängigkeit in ∆p und ∆ρ steckt, die um den Faktor ε kleiner sind als p0 und
ρ0. Läßt man Terme mit ε2 weg, ergibt sich obiges Ergebnis.
dV =
∂ 2 p κp 2
= ρ∇ p
∂t 2
Man erhält also für den Druck die im Abschnitt 1) für Wellen im Raum geforderte Wellengleichung. Die Phasengeschwindigkeit ist wie im eindimensionalen Fall
κp
cs = ρ
c) Resonatoren
α) Luftsäulen
Für eindimensionale Luftsäulen wie in Flöten oder Trompeten heißt die Bedingung für die
Grundschwingung L = λ/2 . Die Frequenz wird damit
κp
(3)
ν= v = v = 1 ρ
λ 2L 2L
Um p und ρ auf die Temperatur T zurückzuführen, gehen wir von dem allgemeinen Gasgesetz
aus: pV = nRT, wobei n die Anzahl der Mole und R die Gaskonstante ist.
p = nRT
V
nm 0
(m0 = Molgewicht)
ρ=
V
p
Daraus folgt ρ = RT
m
0
Bei gleichbleibender Gasart hängt die Tonhöhe einer Flöte von der Gastemperatur ab. (Die
Flöte selbst dehnt sich viel weniger aus als das Gas.) Bei einer Flötenlänge von L = 0,38 m erhält man ν = 330 H z ≈ 440H z .
0, 76
β) Saiten
Die Eigenfrequenz für Saiten ergibt sich aus Formel (3), wenn man die Wellengeschwindigkeit
einer Seilwelle einsetzt.
F0
ν= 1
2L ρA
37
Abb. 33: Änderung der Klangfarbe durch Anzupfen der
Saite an geeigneter Stelle
Man kann den Ton, den eine Saite abgibt, durch Längenverkürzung, z.B. beim Greifen oder
durch stärkeres Spannen erhöhen. Durch schwaches Berühren der Saite an einer Stelle, an der
sich der Knoten einer Oberschwingung befindet, kann man diese Oberschwingung erregen.
Man erhält die sogenannten Flageolettetöne. Die Klangfarbe des Tones wird sehr stark durch
die Anzupf- bzw. Anstreichstelle der Saite beeinflußt. Bei Anzupfen in der Nähe des Steges
erhält man hier eine starke Steigung in der Anfangsform der Saite, zu deren Darstellung ein
hoher Anteil von Obertönen erforderlich ist. Der Ton wird härter.
γ) Eigenmoden im Raum
In einem dreidimensionalen Wellenleiter gibt es eine sehr viel größere Vielfalt von Eigenmoden als im linearen Fall. Die Berechnung ist im allgemeinen schwierig und erfordert eine Anpassung des Koordinatensystems an die Geometrie. Auf zweidimensionalen Gebilden kann
man die Bewegungsformen durch aufgestreuten Sand sichtbar machen. Dieser sammelt sich
bevorzugt in den Knotenlinien. Die möglichen Sandmuster nennt man die Chladnischen
Klangfiguren.
Im folgenden berechnen wir die Eigenmoden eines Gasvolumens, das von einem Quader der
Kantenlängen a, b, c eingeschlossen ist.
Abb. 34: Die Winkelkosinusse des Wellenvektors
Die Resonanzbedingung für die x-Richtung lautet:
λ
nx x = a
2
λ x = λ/ cos α ,
λn
also cos α = x
2a
dabei ist nx die Anzahl der Knoten auf der x-Achse.
Entsprechend erhält man für die anderen Richtungen
λn y
λn
cos β =
, cos γ = z
2c
2b
Andererseits sind die Winkelkosinusse die Komponenten des Einheitsvektors, der senkrecht
auf der Wellenfläche steht
k = cos αe + cos βe + cos γe
x
y
z
k
d.h.
cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1
38
 n 2x n 2y n 2z  2
 2 + 2 + 2  4λ = 1
a
b
c 
Alle ganzzahligen n, die diese Gleichung erfüllen, führen zu einer Eigenschwingung. Die
größten Wellenlängen, bei denen noch eine Eigenschwingung angeregt werden kann, ist wie
im linearen Fall λ = 2a , wenn a die längste Seite des Quaders ist (nx=1, ny= nz= 0).
Es gibt Resonatoren, die sehr viel kleinere Ausmaße als die halbe Wellenlänge der angeregten
Welle haben, die sogenannten Helmholtzresonatoren (Hermann v. Helmholtz 1821 - 1894)
Abb. 35: Helmholzresonator
Die Luft im Flaschenhals wird zu Schwingungen angeregt, wobei die rücktreibende Kraft von
der Kompression im Flaschenbauch herrührt. Die rücktreibende Kraft berechnet sich wie oben
∆p
p0
∆V
p 0 = −κ V , F=∆pA = −κ V 0 A∆V
mit ∆V = A∆x erhält man die Schwingungsgleichung
κp
••
m x = − A2x
V0
woraus sich mit m = ρA l die Frequenz berechnet
ω=
κp 0 A
ρ 0 lV 0
Helmholtzresonatoren wurden ursprünglich von Helmholtz zur Herausfilterung von bestimmten Tönen aus einem Klang verwendet. Zu diesem Zweck wird an der Kugel, dem Hals gegenüber ein kleines Loch angebracht, das man ans Ohr führen kann, um zu hören, ob der Resonator angeregt wird. Es gibt heute eine Vielzahl von Anwendungen, z.B. bei der Schalldämmung,
aber auch zur Schallverstärkung in der Baßreflexbox.
d) Der Dopplereffekt (Christian Doppler, 1803 - 1853)
Die Tatsache, daß bei einer Relativbewegung einer Quelle und eines Beobachters die wahrgenommene Frequenz gegenüber der Frequenz der Quelle verschoben ist, nennt man Dopplereffekt. Man kann ihn besonders leicht bei Schall beobachten, z.B. wenn ein Fahrzeug mit Martinshorn vorbeifährt: Bei Annäherung ist der Ton höher als bei Entfernung. Der Dopplereffekt
tritt allerdings auch bei anderen Wellen, z.B. bei Licht, auf. Bei Schall unterscheidet sich der
Effekt für die Situation, in der die Quelle ruht und der Beobachter sich bewegt, von der Situation, in der die Quelle sich bewegt und der Beobachter ruht.
Abb. 36: Der Beobachter bewegt sich im Wellenfeld
39
Wenn die Quelle ruht, wird das Wellenfeld beschrieben durch
s = s 0 sin (ωt − kz)
Dadurch, daß der Beobachter sich in diesem Feld bewegt, sammelt er je nach Bewegungsrichtung mehr oder weniger Wellenberge pro Sekunde auf, als wenn er ruht. Formal setzt man
z =v B t
s = s 0 sin (ωt − kv B t) = s 0 sin ω t mit ω = ω − kv B
ω − ω / ∆ω kv B v B
ω = ω = ω = v
∆ν = v B
v
ν
Wenn die Quelle sich bewegt, deponiert sie bei der Bewegung die Wellenberge an anderen Orten, als wenn sie ruht. Das Wellenfeld hat also eine andere Wellenlänge als bei ruhender Quelle. Die Modifikation der Wellenlänge ist gegeben durch
∆λ = v Q
v ph
λ
Für kleine Relativgeschwindigkeiten ist die relative Frequenzänderung gleich der relativen
Wellenlängenänderung. In diesem Fall kann man schreiben
∆ν = v rel
v ph
ν
Die gleiche Formel gilt für Licht im nichtrelativistischen Fall v<<c0. Im allgemeinen ist eine
relativistische Betrachtung erforderlich. Sie ergibt:
ν/ =
ν
1 − v/c 0
1 + v/c 0
Der Dopplereffekt wird zur Geschwindigkeitsmessung ausgenutzt. Sterne zeigen eine mit der
Entfernung immer größer werdende Rotverschiebung ihrer Spektrallinien, woraus man auf eine Expansion des Weltalls schließt. Temperaturen in heißen Gasen mißt man über die Dopplerverbreiterung von Spektrallinien durch die statistische Bewegung der Teilchen.
3. Elektromagnetische Wellen
a) Was sind elektromagnetische Wellen?
Abb. 37: Feldgeometrie bei einem Bandleiter
Speist man in den Eingang eines Kabels, z.B. eines Bandleiters, ein sinusförmiges Spannungssignal, so entsteht im Raum zwischen den Leitern ein magnetisches und elektrisches Feld, die
senkrecht aufeinander stehen und sich wellenförmig mit der Geschwindigkeit
c = c0/ εr
ausbreiten. E und B sind senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. Eine solche Welle nennt man
elektromagnetisch. In der Wellengeschwindigkeit sind von den Daten des Kabels nur das εr des
Isolationsmaterials, nicht die geometrischen Abmessungen enthalten. Sie sind also für die
40
Ausbreitung nicht wichtig. Ähnlich ist es bei Schallwellen, bei denen die Geschwindigkeit im
freien Raum und im Rohr gleich sind. In der Tabelle sind die Wellenlängen und Frequenzen
verschiedener elektromagnetischer Wellen dargestellt. Von der Physik her handelt es sich um
gleichartige Vorgänge.
b) Wellengleichung
Daß eine Wellenausbreitung ohne die im Leiter fließenden Ströme möglich ist, erkennt man
daran, daß sich aus den Maxwellgleichungen im Vakuum die Wellengleichung für elektromagnetische Wellen ableiten läßt. Wir benötigen:
•
- das Amperesche Gesetz mit j = 0: rotB = µ 0 ε 0 E
•
rotE = −B
Wir eliminieren E, indem wir von der ersten Gleichung die Rotation bilden, die zweite nach
der Zeit ableiten:
- das Induktionsgesetz:
••⋅
rot rotB = −µ 0 ε 0 B
rot rot kann vereinfacht werden.
∇(∇ × B) = V(∇ × B) − ∇ 2 B
∇ • B = 0 nach Maxwell, daher erhält man die Wellengleichung:
••
∇2B = µ0ε0 B
Die Geschwindigkeit der elektromagnetischen Wellen ergibt sich wie in allen diesen Fällen aus
dem Vorfaktor des Terms mit der Ortsableitung
1
c0 =
µ0ε0
Möchte man nicht mit den Formeln der Vektoranalysis jonglieren, kann man den eindimensionalen Fall betrachten. Wir legen das Koordinatenkreuz so, daß k = kez. Für ebene Wellen ist
∂
∂
=
= 0 . B möge in x-Richtung weisen. Dann ist
dann
∂x ∂y
 ex 0 B   0 
rotB =  e y 0 0  =  ∂B/∂z 


 
 e z ∂/∂z 0   0 
E weist also nach dem Ampereschen Gesetz in y-Richtung
 e x 0 0   −∂E/∂z 

rotE =  e y 0 E  =  0



 

 e z ∂/∂z 0   0
Die Maxwellschen Gleichungen sind dann skalar.
•
∂B
∂
= µ0ε0 E
∂z
∂z
•
∂E
∂
−
= −B
∂z
∂t
Durch Elimination von E erhält man die Wellengleichung
|
|
41
••
∂2B
=
µ
ε
B
0
0
∂z 2
Die Geometrie der Welle ist in Abb. 38 wiedergegeben. E und B sind wie auf dem Kabel in
Phase. Die Leistungsdichte ergibt sich aus dem Poyntingvektor:
Abb. 38: Die Richtung von E und B in der elektromagnetischen Welle
S = µ1 E × B
0
42
KAPITEL D
Wellen in inhomogenen Medium
1. Prinzipien der Wellenausbreitung
Ein Medium kann inhomogen sein, weil die Geschwindigkeit sich innerhalb des Raumes kontinuierlich ändert, weil Grenzflächen zwischen homogenen Medien mit verschiedenen Ausbreitungsgeschwindigkeiten liegen oder Hindernisse vorkommen. Im Prinzip ist eine exakte Berechnung mit Hilfe der Maxwellschen Theorie bei Berücksichtigung der entsprechenden Randbedingungen möglich. Um sich die Arbeit zu erleichtern, führt man gesonderte Prinzipien der
Wellenausbreitung ein, von denen man je nach Bedarf das eine wie das andere benutzt.
a) Das Huygensche Prinzip (Christian Huygens, 1629 - 1695)
Abb. 39: Die Einhüllende von Elementarwellen
Ist die Form einer Wellenfläche zur Zeit t bekannt, so berechnet man die Wellenfläche zur Zeit
t+∆t, indem man die Einhüllende der Elementarwellen sucht, die auf der ursprünglichen Fläche
gleichzeitig erregt werden und die Zeit ∆t gelaufen sind. Man zerlegt also die gesamte Störung
des Mediums entlang der Wellenfront in eine Summe von punktförmigen Störungen. Die Elementarwellen haben im isotropen Medium die Form kleiner Kugeln mit Radius r = c∆t. Im anisotropen Medium können es Ellipsoide oder andere Oberflächen sein.
b) Satz von Malus ((Etienne-Louis Malus, 1775 - 1812)
Abb. 40: der Satz von Malus
Hat man zwei Wellenflächen und zwei senkrecht dazu verlaufende Strahlen, so sind die Zeitdifferenzen bei der Wellenausbreitung von einer Wellenfläche zur nächsten auf allen Strahlen
gleich groß. Insbesondere benötigen alle Strahlen, die von einem Punkt ausgehen und sich in
einem anderen treffen, die gleiche Zeit. Um mit dem Satz von Malus rechnen zu können,
schreibt man zweckmäßigerweise Zeitdifferenzen in Differenzen der optischen Wege um. Wegen t = l/v = ln/c0 sind Zeitdifferenzen den zurückgelegten optischen Wegdifferenzen proportional, wobei man definiert: Optischer Weg = ln, allgemein ∫ ndx , und entlang eines Strahls zu
integrieren ist. Das Malussche Prinzip hat dann die Form
43
Abb. 41: Abbildung und optische Weglänge
∫
ndx =
∫
ndx
Ein Medium, bei dem der optische Weg größer als im anderen ist, nennt man optisch dichter.
c) Das Fermatsche Prinzip (Pierre de Fermat, 1601 - 1665)
Abb. 42: Der schnellste Weg von A nach B
Abb. 43: Der langsamste Weg von A nach B
Ein Lichtstrahl läuft so von einem Punkt A zu einem anderen B, daß von allen möglichen Wegen zwischen A und B der genommen wird, der bezüglich der Zeit einen Extremwert hat.
Möchten Sie z.B. von einem Punkt A zu einem anderen B laufen, wobei A in einem Gebiet
liegt, in dem Sie schnell, B in dem Sie langsam laufen können, ist der geknickte Weg schneller
als der geometrisch kürzeste. Ein Extremum mit der langsamsten Route ergäbe sich z.B. bei
Reflexion an der Innenseite eines Ringes.
2. Brechung und Reflexion an ebenen Grenzflächen
a) Homogenes Medium
Abb. 44: Im homogenen Medium bleibt eine ebene Welle
eben
Nach dem Huygensschen Prinzip bleibt eine ebene Welle im homogenen Medium eine parallel
dazu liegende ebene Welle. Es genügt also zu ihrer Konstruktion die Lage von drei Punkten (in
der Zeichenprojektion benötigt man zwei Punkte).
44
b) Reflexion
An Grenzflächen wird ähnlich wie bei Wellen auf Kabeln ein Teil (oder alle ) Energie reflektiert. Ein anderer Teil kann in das andere Medium übergehen. Hierbei ändert sich im allgemeinen die Richtung der Ausbreitung.
Zur Konstruktion der neuen Wellenfläche nach ihrer Reflexion an einer Ebene konstruieren
wir nach obenstehender Abbildung zwei Punkte der neuen Wellenfläche. Die alte Wellenfläche sei AB. Nach der Zeit BB'/c hat die Wellenfläche die Grenzfläche bei B' erreicht. Die Elementarwelle, die von A ausgeht, hat den Radius r = c∆t = BB = AA . Die neue Wellenfläche
geht also durch B' und berührt die Elementarwelle bei A'. Es gilt also
Abb. 45: Ableitung des Reflexionsgesetzes mit dem Huygenschen Prinzip
AA' = BB'
sin α = sin β
α=β
Einfalls- und Ausfallswinkel sind gleich.
c)Brechung
Abb. 46: Ableitung des Brechungsgesetzes nach dem Huygenschen Prinzip
Hat die Welle im Medium I die Geschwindigkeit c1 und im Medium II c2<c1, ist die alte Wellenfläche wieder AB und die Zeit, um von B nach B' zu gelangen ∆t = BB'/c1. Der Radius der
Elementarwelle um A ist jedoch kleiner, nämlich AA' = c2∆t. Es gilt
sin α = BB /AB , sin β = AA /AB , also
sin α BB /
=
sin β AA /
45
Da BB' = c1∆t und AA' = c2∆t, folgt das Snelliussche Brechungsgesetz
sin α c 1
=
sin β c 2
Mit der Definition des Brechungsindexes
c
c = n0
erhält man die übliche Form
sin α 1 n 2
=
sin α 2 n 1
Der Brechungsindex von Luft ist für viele Betrachtungen mit genügender Genauigkeit 1. Bei
genaueren Analysen setzt man n = n0+∆n, wobei ∆n proportional zur Teilchendichte (Teilchenzahl pro Volumeneinheit) ist (s. Kap. H/4). In der Erdatmosphäre nimmt der Brechungsindex also nach außen hin ab und geht gegen 1 im Weltraum. Glassorten haben verschiedene
Werte von n in der Nähe n = 1,5. Wasser hat ε ≈ 80 für Gleichfelder, aber n = 1,33 für Licht.
Der große Unterschied im statischen und dynamischen εr ist eine Folge des Molekülaufbaus im
Wasser.
Beim Übergang vom optisch dichteren Medium mit großem n zum optisch dünneren Medium
gibt es einen Grenzwinkel αg für den Einfallswinkel, bei dem der Ausfallswinkel 90° ist.
sin α g n 2
=n
1
1
Abb. 47: Der Grenzwinkel der Totalreflexion
Bei noch größerem Einfallswinkel ist Brechung nicht mehr möglich. Alle Energie wird reflektiert. Diesen Vorgang nennt man Totalreflexion. Man wendet ihn zur Herstellung von Spiegeln
an. Bringt man in die Nähe der spiegelnden Fläche von der Seite des dünneren Mediums her
eine zweite Grenzfläche, z.B. bei Totalreflexion in einem Prisma ein zweites Prisma, so bemerkt man, daß die Welle durch den Luftspalt hindurchkommt und in die zweite Glasplatte
eintritt. Der Grund liegt daran, daß bei der Totalreflexion eine gewisse elektrische Energie im
Außenraum vorhanden ist, dort aber normalerweise nicht abgestrahlt wird, da der Poytingvektor in Richtung der Grenzfläche zeigt. Die Abstrahlung wird erst durch die zweite Glasplatte
Abb. 48: Frustrierte Totalreflexion
ermöglicht. Diesen Vorgang nennt man frustrierte Totalreflexion. Man kann sie z.B. zur Modulation von Licht verwenden. Das Analogon in der Quantenphysik ist der Tunneleffekt.
46
Abb. 49: Lichtleiter
In Lichtleitern verhindert man das seitliche Austreten von Licht dadurch, daß man sie mit einem Medium umgibt, das einen kleineren Brechungsindex besitzt als der Lichtleiter selbst. Ein
anderes Beispiel für Totalreflexion ist die Fata Morgana.
d) Dispersion bei Brechung
Da der Brechungsindex von der Wellenlänge abhängt, erhält man für unterschiedliche Wellenlängen unterschiedliche Ablenkungen bei Brechung. Bei Licht ist z.B. normalerweise der Brechungsindex für lange Wellenlängen kleiner als für kurze. Diesen Tatbestand kann man mit
der klassischen Dispersionstheorie verstehen (s. Kap. H/4). Daher wird rotes Licht weniger abgelenkt als blaues.
Abb. 50: Normale und anomale Dispersion
Die einfachste Anordnung, um dies sichtbar zu machen, ist das Prisma, d.h. zwei um einen
Winkel geneigte Ebenen. Tritt ein Strahl unter einem Winkel α in eine Glasplatte mit parallelen Oberflächen, so tritt er wegen der Symmetrie des Strahlenganges unter dem gleichen Winkel wieder aus. Er erfährt eine Parallelverschiebung.
Abb. 51: Durchgang von Licht durch eine planparallele Platte
Sind beide Oberflächen wie beim Prisma geneigt, so erfährt der Strahl insgesamt eine Ablenkung, die mit zunehmender Neigung der beiden Flächen anwächst. Die Ablenkung erfolgt von
der brechenden Kante, d.h. der Schnittlinie der Oberflächen, weg. Im Wellenbild erfährt eine
ebene Welle im Prisma eine Verzögerung, die am breiten Ende des Prismas stärker ist als an
Abb. 52: Ablenkung von Licht durch ein Prisma
47
der Spitze. Sie ist nach dem Durchgang durch das Prisma wieder eben, aber gegenüber der ursprünglichen Richtung geneigt. Beim Durchgang durch ein Prisma wird also rotes Licht weniger abgelenkt als blaues. Dieses Verhalten wird im Prismenspektrographen zur Frequenzanalyse ausgenutzt. Der Regenbogen entsteht durch Strahlen, die zweimal an einer Tropfenoberfläche gebrochen und einmal totalreflektiert werden. Wegen der Symmetrie um die Achse SonneAuge ist der Regenbogen rund.
Abb. 53: Ablenkung durch eine planparallele Platte mit
seitlich veränderlichem Brechungsindex
Im inhomogenen Medium wie der Erdatmosphäre erhält man gekrümmte Strahlen. Ändert sich
der Brechungsindex senkrecht zur Ausbreitungsrichtung, so erhält man ähnlich wie beim Prisma eine Kippung der Wellenfront und damit eine Strahlablenkung.
3. Polarisation und Doppelbrechung
a) Einleitung
Mit den im vorigen Abschnitt entwickelten Ideen läßt sich die Brechung und Reflexion von
Licht beim Übergang zwischen zwei Medien mit ebener Grenzfläche, soweit man sich für die
Richtungen interessiert, beschreiben. Über die Intensitäten des reflektierten und transmittierten
Strahles wurden keine Aussagen gemacht. Die Intensitäten hängen von der Polarisation des
einfallenden Lichtes ab. Im folgenden befassen wir uns daher mit dem Einfluß der Polarisation
auf Reflexion und Transmission.
Wie wir in Abschn. D/1 gesehen hatten, sind elektromagnetische Wellen bezüglich E und B
transversal. Dies war keineswegs von Anfang an klar. Transversalwellen erfordern im klassischen Bild starke Scherkräfte, die verdünnte Medien nicht aufbringen. Man vermutete daher,
daß das Medium, in dem sich Lichtwellen ausbreiten und das man sich wie ein verdünntes Gas
vorstellte, nur Longitudinalwellen transportieren könne. Da natürliches Licht aus einem Gemisch von Wellen mit allen möglichen Polarisationsrichtungen besteht, fällt die Asymmetrie
bezüglich der Ausbreitungsrichtung zunächst nicht auf
Abb. 54: Natürliches Licht ist unpolarisiert
Es gibt allerdings einige Effekte, die von der Polarisationsrichtung abhängen. Dies sind im wesentlichen Streuung, Brechung und Doppelbrechung. Solche Effekte kann man zur Erzeugung
von polarisiertem Licht aus natürlichem ausnutzen.
48
b) Streuung
Abb. 55: Polarisation bei Streuung an Elektronen
Fällt eine elektromagnetische Welle auf freie oder gebundene Elektronen, so werden diese zu
Schwingungen von der Frequenz der Welle angeregt und strahlen ihrerseits als Dipol Wellen
aus. Die größte Amplitude der Streuwelle findet man senkrecht zur Dipolachse, da hier B und
E die korrekte Richtung für eine elektromagnetische Welle besitzen. In Achsenrichtung ist E
longitudinal. Daher findet in dieser Richtung keine Wellenanregung statt.
Abb. 56: Abstrahlcharakteristik eines Dipols
- Die Polarisationsrichtung der gestreuten Welle erhält man, indem man die Richtung von E
im Dipol auf eine Ebene senkrecht zum betrachteten Strahl projiziert. Mit dieser Konstruktion
erkennt man aus Abb. 55, daß auch bei Einstrahlung mit natürlichem Licht das Streulicht polarisiert ist. Z.B. ist das Himmelslicht, das durch Streuung von Sonnenlicht an den Molekülen
der Atmosphäre entsteht, polarisiert. Diese Tatsache kann man ausnutzen, um bei bedecktem
Himmel den Stand der Sonne zu ermitteln, was die Bienen angeblich zur Navigation
ausnutzen.
c) Reflexion
Abb. 57: Polarisation und Einfallsebene
Bei der Reflexion von Licht an einem Isolator wie Glas oder Kunststoff verhält sich ein Strahl,
der parallel zur Einfallsebene polarisiert ist, unterschiedlich zu einem senkrecht dazu polarisierten. Die Einfallsebene ist dabei durch den Strahl und das Einfallslot definiert.
Um zu ermitteln, was beim Übergang etwa von Luft zu Glas passiert, betrachten wir Abb. 58.
Die reflektierte Welle kann als die von den Glasmolekülen gestreute Welle aufgefaßt werden.
Bei Polarisation parallel zur Einfallsebene gibt es einen Winkel αB, bei dem die nach dem Reflexionsgesetz zu erwartende Welle in Richtung der strahlenden Dipole liegt. Unter diesen
Verhältnissen kann keine reflektierte Welle entstehen. Die Bedingung hierfür lautet α+β =
90°. Nach Snellius gilt außerdem:
49
Abb. 58: Der reflektierte Strahl wird von den Dipolen im
Medium emittiert
sin α B
=n
sin β B
tan α B = n
αB heißt der Brewsterwinkel (David Brewster, 1781 - 1868)
Man kann den Brewsterwinkel ausnutzen, um Reflexe, z.B. an Laserentladungsröhren oder
Lichtsümpfen zu vermeiden. Durch Hintereinanderschaltung von vielen im Brewsterwinkel
angeordneten Glasplatten kann man auch ein transmittierendes Polarisationsfilter herstellen.
Der Vorteil gegenüber anderen Techniken ist der einfache und robuste Aufbau.
Das Reflexions- und Transmissionsverhalten einer elektromagnetischen Welle an der Grenzfläche zweier Medien mit unterschiedlichen εr kann mit der elektromagnetischen Theorie berechnet werden. Dafür setzt man für den einfallenden (Index e), reflektierten (Index r) und
transmittierten (Index t) Anteil ebene Wellen voraus, die an der Grenzfläche den Stetigkeitsbedingungen genügen.
E //1 = E //2 , ε 1 E ⊥1 = ε 2 E ⊥2
(Der Index bzw. ⊥ bezieht sich auf die Einfallsebene, 1 und 2 auf die beiden Medien.) Man
erhält die sogenannten Fresnelschen Formeln (Augustin Jean Fresnel, 1788 - 1827)
2 cos α sin β
E //r tan (α − β) E //t
,
=
=
E //e tan (α + β) E //e sin (α + β)cos (α − β)
E ⊥r sin (α − β) E ⊥t 2 cos α sin β
,
=
=
E ⊥e sin (α + β) E ⊥e
sin (α + β)
Abb. 59: Reflexionskoeffizient für unterschiedliche Polarisationsrichtungen
Das Verhältnis der Intensitäten r erhält man durch Quadrierung.
In Abb. 59 ist der Reflexionskoeffizient für Polarisation senkrecht und parallel zur Einfallsebene dargestellt. Für α = 0 und α = 90° erhält man für beide Fälle den gleichen Wert. Aus den
Fresnelschen Formeln leitetman für α = 0 ab:
50
E ⊥r E //r α − β α/β − 1 n 2 /n 1 − 1 n 2 − n 1
=
=
=
=
=
E ⊥e E //e α + β α/β + 1 n 2 /n 1 + 1 n 2 + n 1
Der Reflexionskoeffizient ist dann
n − n1  2
r(0) =  2
n +n 
Für Luft-Glas-Übergänge erhält man mit n = 1,5 r(0) = 0,04. Der Brewsterwinkel liegt vor,
wenn bei E''r der Nenner unendlich wird. Dies ist der Fall für α + β = 90°, wie aus der anschaulichen Betrachtung ermittelt wurde.
d) Doppelbrechung
Durchdringt ein Lichtstrahl bestimmte Kristalle, z.B. Kalzit (CaCO3) senkrecht zu einer seiner
Kristallflächen, so wird er in zwei Strahlen aufgespalten, die senkrecht zueinander polarisiert
sind. Einer der Strahlen befolgt das Brechungsgesetz. Man nennt ihn den ordentlichen Strahl,
der andere befolgt es nicht. Er heißt außerordentlich. Man kann die neue Wellenfront des außerordentlichen Strahls nach einer Zeit ∆t korrekt konstruieren, wenn man Ellipsoide als Elementarwellen annimmt. Der ordentliche Strahl hat wie im isotropen Medium Kugeln als Elementarwellen. Zeichnet man diese Elementarwellen für eine Zeiteinheit, so erhält man 1 oder 2
Richtungen, in denen sich Kugel und Ellipsoid schneiden. In diesen Richtungen ist also die
Geschwindigkeit von ordentlichem und außerordentlichem Strahl gleich. Man nennt sie optische Achsen. Es gibt also Kristalle mit einer oder zwei optischen Achsen. Wir betrachten im
folgenden einachsige Kristalle.
Abb. 60: optisch positive und negative Kristalle
Die Achse ist hier zugleich die Symmetrieachse. Die Ellipsoide sind axialsymmetrisch. Wenn
vo>ve nennt man den Kristall optisch positiv, wenn vo<ve nennt man den Kristall optisch negativ. Der Hauptschnitt ist die Ebene, die den Strahl und die optische Achse enthält. Der
ordentliche Strahl ist senkrecht zum Hauptschnitt polarisiert, der außerordentliche parallel zum
Hauptschnitt. Strahlt man senkrecht zur optischen Achse und senkrecht zur Oberfläche ein, so
gehen beide Strahlen ungebrochen durch die Oberfläche.
Sie laufen allerdings mit unterschiedlicher Geschwindigkeit. Werden sie mit gleicher Phase
eingestrahlt, was man am besten durch Aufspaltung eines Strahls in zwei senkrecht zueinander
Abb. 61: Einstrahlung senkrecht zur optischen Achse
51
polarisierte erreicht, so haben sie nach Durchlaufen einer Strecke im Kristall einen Phasenunterschied. Bei einem Phasenunterschied von 90° kann man auf diese Weise zirkularpolarisiertes Licht herstellen oder analysieren. Einen solchen Kristall nennt man λ/4-Plättchen.
Abb. 62: Erzeugung von zirkularpolarisiertem Licht
Im Eingang sei
E x = E 0 sin ωt
E y = E 0 sin ωt
Dann ist am Ende des Stabes:
E x = E 0 sin ωt
E y = E 0 cos ωt
Der E-Vektor beschreibt einen Kreis.
Abb. 63: Einstrahlung parallel zur optischen Achse
Bei Einstrahlung parallel zur optischen Achse (senkrecht zur Oberfläche) sind beide Strahlen
gleich schnell. Die Doppelbrechung macht sich nicht bemerkbar.
Abb. 64: Drehung der Polarisationsebene
Bei einigen Stoffen hat man dann eine Drehung der Polarisationsebene. Außer bei Kristallen
wie Quarz tritt dies bei einigen Lösungen wie Zucker, Terpentin auf. Rechtsdrehend nennt
man einen Stoff, bei dem sich für einen Beobachter, der entgegen Strahlrichtung sieht, die Polarisationsebene im Uhrzeigersinn dreht. Der Drehwinkel ist der Länge des durchstrahlten Mediums bei Lösungen außerdem der Konzentration proportional α = K(λ)l ⋅ n.
Abb. 65: Lyot Filter
52
Die Tatsache, daß die spezifische Rotation K(λ) von der Wellenlänge abhängt, nennt man Rotationsdispersion. Man kann sie zur Konstruktion eines Frequenzfilters ausnutzen (s.Abb.65).
Ein solches Lyot-Filter ist für hohe Belastungen geeignet. (B. Lyot, 1897 - 1952)
Bei einigen Stoffen kann man durch Anlegen einer elektrischen Spannung eine künstliche
Doppelbrechung erzeugen. Dazu gehören Nitrobenzol und KDP. Solche Medien eignen sich
zum Bau optischer Schalter, d.h. um Licht definiert durchzulassen oder zu sperren. Durch Anlegen eines Magnetfeldes, z.B. an Glas, erzeugt man eine Drehung der Polarisationsebene, d.h.
künstliche optische Aktivität. Dieser sogenannte Faraday-Effekt dient als optisches Ventil, d.h.
um nur eine Laufrichtung von Licht zu gestatten. (Michael Faraday, 1791 - 1867)
Abb. 66: Faradayrotator als optisches Ventil
Man dreht die Polarisationsebene um 45° und stellt zwei Polarisatoren so auf, daß sie freien
Durchgang des Lichtes gestatten. Bei umgekehrter Laufrichtung dreht sich die Polarisationsebene mit gleicher Schraubenrichtung bezüglich k. Dadurch trifft die Welle mit 90° gegenüber dem am Anfang aufgestellten Polarisator verdrehter Polarisationsrichtung auf und wird
nicht durchgelassen.
Abb. 67: Nicolsches Prisma
Doppelbrechung kann man ausnutzen, um aus natürlichem Licht linear polarisiertes herzustellen. Das klassische Instrument dazu ist das Nicolsche Prisma (Abb.67) (William Nicol, 1768 1851). Man schneidet einen Kalzit-Kristall in einem bestimmten Schnitt in zwei Hälften, die
man mit einem Material von kleinerem Brechungsindex als Kalzit zusammenklebt (Kanadabalsam). Die Winkel richtet man so ein, daß einer der Strahlen an der Klebstelle totalreflektiert
wird.
Eine etwas bequemer zu handhabende Abart ist das Glan-Thompson-Prisma (Paul Glan,
1846 - 1898, Sylvanus Phillips Thompson, 1851-1916) (Abb. 68).
Abb. 68: Glan-Thompson-Prisma
53
KAPITEL E
Strahlenoptik
1. Hohlspiegel
a) Brechung und Reflexion an gekrümmten Oberflächen
Abb. 69: Abbildung durch eine gekrümmte Oberfläche
Brechungs- und Reflexionsgesetz gelten auch für beliebig gekrümmte Oberflächen, wenn man
diese in der Umgebung des Auftreffpunktes durch ihre Tangentialebene ersetzt. Im folgenden
betrachten wir den Strahlenverlauf in der Einfallsebene. Die Oberfläche wird in ihr durch die
Schnittkurve f(x) dargestellt, und Reflexion erfolgt an der Tangente. Für ein Bündel von Strahlen ergibt sich ein neuer Effekt, wenn sich die Steigung über den Bündelquerschnitt ändert.
Dann werden alle Strahlen, die von einem Punkt ausgehen, unterschiedlich abgelenkt und treffen sich für ein genügend schmales Bündel in einem anderen Punkt, dem sogenannten Bildpunkt. Zur Konstruktion des reflektierten, bzw. gebrochenen Strahls benötigt man die lineare
Näherung der Taylorentwicklung
∆y dy
= , (y − y 0 ) = y / (x o )(x − x 0 )
∆x dx
Zur Beschreibung der Lage des Bildpunktes die quadratische Näherung
(y − y 0 ) = y / (x 0 )∆x + 1 y // (x 0 )∆x 2
2
Die höheren Glieder der Taylorentwicklung sind für die Abbildungsfehler verantwortlich.
b) Exakte Abbildung von einem Punkt in einen zweiten
Abb. 70: Der elliptische Spiegel bildet streng einen Punkt
in einen anderen ab
Die Kurve, die alle Strahlen, die von einem Punkt G ausgehen, in einem zweiten Punkt B sammelt, ist die Ellipse. G und B nennt man die Brennpunkte. Im Raum ist die entsprechende Fläche das Rotationsellipsoid, das durch Rotation der Ellipse um die Achse entsteht, die die
54
Brennpunkte verbindet. Für den Sonderfall, daß einer der beiden Punkte ins Unendliche rückt,
degeneriert die Ellipse zur Parabel. Der zweite Punkt ist der Brennpunkt der Parabel und sein
Abstand zum Scheitel der Parabel die Brennweite f. Elliptische Spiegel werden in blitzlampengepumpten Lasern verwendet. Blitzlampe und Lasermedium befinden sich in den beiden
Brennlinien des zylindrischen Spiegels mit elliptischem Querschnitt.
c) Kugelspiegel
Abb. 71: Kugel- und Parabolspiegel mit gleicher
Brennweite
In manchen Abbildungsproblemen benötigt man tatsächlich eine exakte Punkt-zu-Punkt-Abbildung, wie z.B. in der Astronomie. Oft kann man Ungenauigkeiten hinnehmen zugunsten der
Flexibilität. Hier sind oft Kugelspiegel günstiger.
Abb. 72: Die Brennweite eines Kugelspiegels für
achsennahe Strahlen
Bei einem Kreis gilt (s. Abb. 72) MF = FA, so daß MFA ein gleichschenkliges Dreieck ist. Für
achsenparallele Strahlen, die achsennah verlaufen, ist FA ≈ R/2 (R: Kugelradius). Daher treffen sich alle achsennahen Strahlen im Brennpunkt F. Die Brennweite ist gleich dem halben
Kugelradius
f = R/2
Da man eine beliebige Kurve in der Umgebung eines Punktes S bis zur 2. Ordnung durch den
Krümmungskreis approximieren kann, gilt obige Formel auch für anders geformte Flächen,
wenn man unter R den Krümmungsradius der Kurve versteht.
Abb. 73: Die Katakaustik
55
Für achsenferne Strahlen ist FS<R/2, z.B. für α = 60° ist FS = 0. Die Tatsache, daß sich achsenferne Strahlen nicht in F schneiden, nennt man sphärische Aberration. Die Einhüllende aller
Strahlen, die von einer entfernten Lichtquelle ausgehen und an einem Kreis reflektiert werden,
ist die sogenannte Katakaustik, die man als Reflexion in Tassen beobachten kann. Die sphärische Aberration hat im Strahlenbild die Ursache, daß der Kreis für achsenferne Strahlen zu
weit geneigt ist. Korrigiert man diese Neigung, erhält man eine Parabel, für die der ursprüngliche Kreis der Krümmungskreis im Scheitel ist. Für achsennahe Strahlen verhalten sich Kreis,
Ellipse und Parabel gleich.
d) Schmidt - Teleskop
Abb. 74: Symmetrie beim Kugelspiegel
Ein Kugelspiegel ist symmetrisch um seinen Mittelpunkt M. Daher werden Lichtbündel, die
durch den Mittelpunkt gehen und verschieden geneigt sind, mit gleicher Qualität abgebildet.
Z.B. erscheinen Sterne, die mit einem Kugelspiegel aufgenommen werden, über das ganze Gesichtsfeld etwa gleich scharf. Bei einem Parabolspiegel vergrößern sich die Linsenfehler mit
steigender Neigung drastisch, da hier die Symmetrie um den Mittelpunkt fehlt. Sterne erscheinen in den Randbezirken wie Kometen. Man nennt diesen Fehler daher Koma.
Abb. 75: Schmidt-Teleskop
Eine Möglichkeit zur Korrektur der sphärischen Aberration ohne Verlust der Zentralsymmetrie
bildet das Schmidt - Teleskop. Der Hauptspiegel ist kugelförmig. Zur Korrektur der sphärischen Aberration wird im Kugelmittelpunkt eine Linse mit speziellem Profil angebracht, deren
optische Dicke zum Rand hin zunimmt, so daß die Wellenfronten in geeigneter Weise verformt
werden, um exakt den Fokus zu treffen.
Das Katzenauge besteht aus einem Glaskörper mit zwei Kugelflächen, die einen gemeinsamen
Mittelpunkt haben. Parallele Strahlenbündel werden auf eine verspiegelte Kugelfläche
Abb. 76: Katzenauge
56
fokussiert. Dadurch werden Strahlen in die Einfallsrichtung zurückreflektiert. Eine andere
Möglichkeit zur Konstruktion eines Katzenauges besteht in der Reflexion an den drei Flächen
einer Würfelecke.
2. Dünne Linsen
a) Abbildungsgesetz
Für flexible Laboraufbauten werden am häufigsten dünne Linsen mit kugelförmigen Oberflächen eingesetzt. Die Abbildung wird nach dem vorher Gesagten nie exakt, sondern nur in einer
gewissen Näherung möglich sein. Wir nehmen an, daß die Krümmungsradien groß gegen den
Linsenradius sind.
Im Strahlenbild kann man sich die Linse im Querschnitt aus Prismen mit unterschiedlichen
Prismenwinkeln zusammengesetzt denken. Bei einer Sammellinse wählt man die Prismenwinkel so, daß ein paralleles Strahlenbündel in einem Punkt gesammelt wird. Bei Zerstreuungslinsen scheinen sie von einem Punkt zu kommen.
Abb. 77: Die Wirkung einer Linse im Strahlenbild
Im Wellenbild werden dadurch, daß das Licht im Linsenkörper langsamer läuft als in der Luft,
ebene Wellenflächen zu Kugelflächen verformt. Der Brennpunkt liegt im Mittelpunkt der
Kugelflächen.
Abb. 78: Wirkung einer Linse im Wellenbild
Zur Herleitung des Abbildungsgesetzes gehen wir vom Satz von Malus aus. Wir betrachten zunächst nur drei Strahlen: Einen, der durch die Linsenmitte geht und zwei, die den Rand berühren. Da wir uns auf die Näherung beschränken, in der eine gekrümmte Fläche genügend genau
durch den Krümmungskreis approximiert wird, benötigen wir drei Punkte, um eine Wellenfläche zu spezifizieren. Wegen der Symmetrie um die Achse benötigen wir sogar nur zwei Punkte. Wir vergleichen daher die optischen Weglängen von Strahl (1) und (2) in Abb. 79:
Abb. 79: Die Ableitung des Abbildungsgesetzes mit dem Prinzip von Malus
57
L 1 = GSB = g 2 + h 2 + b 2 + h 2
= g 1 + (h/g) + b 1 + (h/b) 2
2
≈ g  1 + 1 (h/g)  + b  1 + 1 (h/b) 2 
2
2
2
L 2 = GMB = g + b − (d 1 + d 2 ) + n(d 1 + d 2 )
= g + b + (n − 1)(d 1 + d 2 )
Aus der Bedingung L1 = L2 ergibt sich dann
1 + 1 = (n − 1)  d 1 + d 2 
2
g b
 2
Abb. 80: Der Zusammenhang von Krümmungsradius, Linsendicke und Linsengröße
Der Zusammenhang von R, h und d ergibt sich nach nebenstehender Abbildung bei Betrachtung des rechtwinkligen Dreiecks
R2 = (R - d)2 + h2
R2 = R2 - 2Rd + d2 + h2
Für wenig gekrümmte Oberflächen kann man d2 gegenüber h2 vernachlässigen
2d = 1
2
R
Damit erhalten wir die endgültige Form des Abbildungsgesetzes
1+1=1
(1)
g b f
mit
1 = (n − 1)  1 + 1 
(2)
 R1 R2 
f
Da wir annehmen, daß alle Kurven durch ihre quadratische Approximation genügend genau
dargestellt werden, gilt die Aussage für alle Strahlen, die durch die Linse gehen. (1) ist das Abbildungsgesetz für dünne Linsen. Es gibt unterschiedliche Vorzeichenkonventionen. Oben haben wir die Konvention benutzt, bei der alle gegenstandsseitigen Lagen nach links, alle bildseitigen nach rechts positiv zählen. Diese Konvention ist für Sammellinsen bequem, da dann alle
Entfernungen positiv sind. Für kompliziertere Systeme ist es bequemer, ein Koordinatenkreuz
in die Mitte der Linse zu legen und alle Positionen rechts als positiv, links als negativ zu zählen. Krümmungsradien werden vom Mittelpunkt an gemessen. Dann hat die Abbildungsgleichung (1) die Form:
58
− 1a + 1/ = 1/
a
f
und für die Linsen
1 = (n − 1)  1 − 1 
 R1 R2 
f/
Zerstreuungslinsen haben negative bildseitige Brennweiten f'.
Für g → ∞ ergibt sich b = f. f ist also die früher definierte Brennweite. Je näher der Gegenstand an die Linse rückt, desto weiter entfernt sich sein Bild. Bei g = 2 f wird b = 2 f. Gegenstand und Bild sind gleich weit von der Linse entfernt und haben den kleinsten gegenseitigen
Abstand. Die Brennweite ist an beiden Seiten der Linse gleich. Größere Brechungsindizes erlauben Linsen mit weniger gekrümmter Oberfläche.
Da es zur Ableitung dieses Gesetzes nur auf die Verzögerung der Wellenfront auf der Achse
ankam, und diese durch n und die Gesamtdicke der Linse gegeben ist, kommt es in dieser Näherung nicht darauf an, wie die Krümmungsradien auf beide Flächen verteilt sind. Zerteilt man
die bikonvexe Linse durch einen ebenen Schnitt in zwei plankonvexe und nennt man (n-1)/R
die Brechkraft einer der Linsen, so erkennt man, daß sich die Brechkräfte dünner Linsen, die
nahe zusammenliegen, addieren.
1= 1+1
f f1 f2
1/f mißt man in Dioptrie = m-1.
b) Schräger Einfall
Bei einer schräg zur Achse einfallenden Welle ändert sich in der Ebene, die in Abb. 81 die
Zeichenebene ist, das Verhältnis 2d/h2, da h kleiner wird. In der anderen Ebene ändert sich dieses Verhältnis schwach.
Abb. 81: Ein Strahl geht schräg durch eine Sammellinse
D.h. die Brennweite in der Zeichenebene wird etwas kürzer als die in einer senkrecht dazu stehenden Ebene. h* = h · cos α, d* = d/cos α
Abb. 82: Der Winkel α
Da für kleine Winkel cos α ≈ 1 − α 2 /2 , erhält man
1 ∼ 2d ∼ 1 ∼  1 + 3α 2 
2 
f h 2 cos 3 α 
Solange α so klein ist, daß man α2 vernachlässigen kann, ändert sich nichts. In dieser Näherung ist sin a ≈ tan a und ein ausgedehnter Gegenstand in einer Ebene senkrecht zur Achse der
59
Gegenstandsebene wird in eine ebenfalls senkrecht zur Achse stehenden Bildebene abgebildet.
Bei starker Neigung erhält man in der Zeichenebene von Abb. 83 eine stärkere Brechkraft als
senkrecht dazu.
Abb. 83: Astigmatismus
Wie aus Abb. 83 abzulesen ist, wird ein Punkt in zwei senkrecht zueinander stehende Linien
abgebildet. Diesen Fehler nennt man Astigmatismus. Er tritt auch bei Einfall parallel zur optischen Achse auf, wenn die Linse in zwei senkrecht aufeinander stehenden Ebenen unterschiedliche Krümmungsradien aufweist.
c) Bildkonstruktion
Wir setzen voraus, daß die Linse alle Punkte der Gegenstandsebene in die Bildebene abbildet.
Daher genügt es, das Bild eines Punktes des Gegenstandes zu konstruieren. Zur Konstruktion
des Strahlenganges nutzen wir folgende Regeln aus:
Abb. 84: Bildkonstruktion bei dünnen Linsen
α) Strahlen gehen geradlinig durch die Mitte der Linse. In der Mitte verhält sich die Linse wie
eine dünne planparallele Platte.
β) Strahlen, die parallel zur Achse einfallen, schneiden die Achse im Brennpunkt. Parallel zur
Achse vom Gegenstand her einfallende Strahlen treffen den bildseitigen Brennpunkt und
umgekehrt. Ein schräg zur Achse laufendes Bündel von parallelen Strahlen sammelt sich in
der Brennebene.
γ) Zerstreuungslinsen haben negative Brennweiten
Hat man mit dieser Konstruktion einen Bildpunkt B zu einem Gegenstandspunkt G gefunden,
so gehen nach Voraussetzung alle Strahlen, die von G ausgehen und die Linse treffen, durch
B. Es ist also nicht notwendig, daß ein Konstruktionsstrahl durch die Öffnung einer tatsächlich
vorliegenden Linse geht. Man kann sich die reale Linse durch eine mit größerer Öffnung ersetzt denken, bei der die Brennpunkte an der gleichen Stelle liegen. Die Größe der Öffnung ändert an den Abbildungseigenschaften im Strahlenbild nichts.
Man zeichnet zunächst 2 Strahlen, die von einem Punkt des Gegenstandes ausgehen und parallel zur Achse durch den gegenstandsseitigen Brennpunkt Fg oder durch die Linsenmitte laufen.
Die Strahlen werden bis zur unendlich dünnen und unendlich ausgedehnt gedachten Linse gezeichnet. Die gebrochenen Strahlen ergeben sich nach obigen Regeln. Ihr Schnittpunkt ist der
Bildpunkt, in dem sich alle übrigen von dem betrachteten Punkt ausgehenden Strahlen treffen.
Wenn sich die gebrochenen Strahlen an der Bildseite nicht treffen, muß man sie nach rückwärts verlängern. Solche verlängerten Strahlen nennt man virtuell und ihren Schnittpunkt ein
60
virtuelles Bild. Ein virtuelles Bild läßt sich nicht mit einem Schirm auffangen, aber das Auge
sieht dort ein Bild, wo die ins Auge fallenden Strahlen sich treffen.
Beispiel: Strahlengang einer Lupe
Abb. 85: Beispiel für ein virtuelles Bild:
Strahlengang einer Lupe
Beispiel Zerstreuungslinse, f < 0
Abb. 86: Beispiel für eine virtuelle Abbildung mit einer Zerstreuungslinse
Windschiefe Strahlen konstruiert man, indem man sie durch Brenn- oder Mittelpunktstrahlen
zu einem Parallelstrahlenbündel ergänzt und ausnutzt, daß dieses sich in der Brennebene
sammelt.
Abb. 87: Konstruktion des Strahlenverlaufes bei
windschiefen Strahlen
3. Einfache optische Geräte
a) Das Auge
Abb. 88: Querschnitt durch ein menschliches Auge
Das Auge gehört eigentlich nicht zu den einfachen optischen Geräten, aber wir müssen einige
seiner Grundfunktionen kennen, um die Arbeitsweise einfacher optischer Geräte zu verstehen.
Das Auge arbeitet wie eine Kamera. Die Linsenwirkung wird durch die Hornhaut, die in ihrer
Brennweite verstellbare Linse und den Glaskörper, der das Augeninnere ausfüllt, bewirkt, wobei den Hauptanteil die Hornhaut erzielt. Der Gegenstand wird auf der Netzhaut abgebildet,
die die Funktion eines zweidimensionalen Detektorarrays hat und einen Teil der Bildverarbeitung leistet. Die Detektoren sind in der Lage, einzelne Photonen nachzuweisen. Die einfallende
61
Lichtleistung wird über die Pupillenöffnung reguliert. Beim Fotoapparat würde man f/r die
Blendenzahl nennen. Die einfallende Leistung ist proportional zu (r/f)2. Das Auge kann 15
Zehnerpotenzen an Lichtintensität überbrücken.
Die Regulierung der Empfindlichkeit heißt Adaption, die Regulierung der Brennweite
Akkommodation
Abb. 89: Korrektur von Fehlsichtigkeit
Wir beschreiben die Funktion des Auges in erster Näherung als eine Kamera mit Zoomlinse.
Wenn die Brennweite zu lang für das Auge ist, spricht man von Weitsichtigkeit. Dieser Fehler
kann durch Erhöhen der Brechkraft, d.h. durch eine zusätzliche Sammellinse korrigiert werden. Im Alter ist dies generell erforderlich, da der Akkommodationsbereich der Linse nachläßt.
Im umgekehrten Fall benötigt man eine Zerstreuungslinse.
Abb. 90: Verbesserung
Lochblende
der
Schärfe
durch
eine
Eine gewisse Verbesserung der Schärfe läßt sich schon durch eine Verkleinerung der Blendenöffnung erreichen, etwa durch ein gelochtes Papier, das vor das Auge gehalten wird. Das
Scheibchen auf der Retina, das durch Abbildung einer Punktquelle entsteht, wird dadurch kleiner. Aus gleichem Grund erhöht sich die Tiefenschärfe einer Kamera durch Verkleinerung der
Blendenöffnung. Das einfachste abbildende System, das z.B. in Frequenzbereichen verwendet
wird, in denen es keine Linsen gibt, ist die Lochkamera.
Von einem optischen Instrument erwarten wir, daß es eine Vergrößerung bewirkt oder daß es
die Helligkeit verbessert. Daneben gibt es Geräte, den Kontrast zu verbessern oder Meßvorgänge ausführen zu können.
Abb. 91: Der Sehwinkel
α
Die Vergrößerung ist v= αm , wobei αo und αm die Sehwinkel ohne und mit Instrument sind.
0
b) Die Lupe
Die Lupe ist eine Sammellinse, die man vor das Auge hält, um nahe Gegenstände zu vergrößern. Um den Sehwinkel α zu konstruieren, zeichnen wir zu einem vom Gegenstand ausgehenden Mittelpunktstrahl einen Parallelstrahl, der durch den Mittelpunkt der Augenlinse geht.
62
Abb. 92: Wirkungsweise einer Lupe
Man sieht, daß in Abb. 92 keine Vergrößerung des Sehwinkels vorkommt. Der eigentliche
Nutzen der Lupe besteht nicht in einer Vergrößerung, sondern darin, daß man mit Lupe näher
an einen Gegenstand kommen kann als ohne Lupe. Als Vergrößerung definiert man daher das
Verhältnis von Sehwinkel, unter dem der Gegenstand ohne Lupe erscheint, wenn er sich in der
kleinsten Entfernung vom Auge befindet, die ein bequemes Betrachten zuläßt, zu Sehwinkel
ohne Lupe. Diese Entfernung legt man auf s = 25 cm fest und nennt sie die Weite deutlichen
Sehens.
c) Das Brennglas
Abb. 93: Brennglas
Mit einem Brennglas soll die Leistungsdichte S, z.B. der Sonnenstrahlung, erhöht werden.
Dies kann z.B. bei der Konstruktion eines Sonnenkraftwerkes nützlich sein. Bei der Berechnung von S muß man beachten, daß das Bild der Sonne auf dem Schirm eine endliche Ausdehnung ρ = αf hat. α = 0, 25 = 4 ⋅ 10 −3 rad ist der Winkelradius der Sonne. Das Bild der Sonne
kann größer sein als die Linse selbst, d.h. die Leistungsdichte in der Fokalebene kann geringer
sein als auf der Linsenfläche. Die Gesamtleistung P0 auf Schirm und Linse sind gleich. Das
Verhältnis der Leistungsdichten ist dann
2
P P
SS
 
= 02 / 02 =  ρr  = r
 fα 
S L πρ πr
2
Bei einem guten Brennglas muß also die Apertur r/f möglichst groß sein.
Beispiel (wie Archimedes die feindlichen Schiffe vor Syrakus zerstörte):
α
2α = 0, 5 0 (Sonne), α rad = π ≈ 1 , 2α rad = 8 ⋅ 10 −3
grad
180 60
f = 100 m, 2 ρ = f2a = 0, 8m
d) Bemerkung zur subjektiven Helligkeit von Lichtquellen
Wie sich die empfundene Helligkeit einer Lichtquelle mit ihrer Entfernung vom Auge ändert,
hängt davon ab, ob es sich um eine punktförmige oder flächenhafte Lichtquelle handelt. Dabei
definieren wir eine punktförmige Lichtquelle als eine solche, deren Bild im Auge so klein ist,
daß jeweils nur ein Detektor anspricht. Werden mehrere Detektoren erregt, nennen wir die
63
Lichtquelle flächenhaft. Die Helligkeitsempfindung wird durch die Energie pro Detektor
bestimmt.
Abb. 94: Die Helligkeit von Punktstrahlern
Wenn P0 die nach allen Seiten (isotrop) ausgestrahlte Leistung der Punktquelle ist, gelangt in
die Linse
P = P0 Ω
4π
2 2
wobei Ω = πr /g der Raumwinkel ist, unter dem die Linse von der Lichtquelle her erscheint.
2
P 1 = P 0 πr
2
g 4π
2
P 2 = P 0 πr
2
g 4π
Daraus folgt P1/P2 = (g2/g1)2. Die im Auge registrierte Leistung nimmt mit dem Quadrat der
Entfernung der Punktquelle vom Auge ab. Da die gesamte Leistung von einem einzelnen Detektor aufgenommen wird, nimmt die Helligkeit ab. Dies ist der Grund, warum weiter entfernte
Sterne dunkler erscheinen als nähere.
Bei Flächenstrahlern wird mit größerer Entfernung das Bild kleiner, d.h. die geringere Leistung, die das Auge aufgrund der größeren Entfernung aufnimmt, verteilt sich auf eine kleinere
Fläche
S 2 P 2 /A 2 P 2 A 1
=
=
⋅
S 1 P 1 /A 1 P 1 A 2
A1  y1  2  g2  2
=
= g 
1
A2  y2 
Abb. 95: Die Helligkeit bei Flächenstrahlern
P2  g1  2
= g 
2
P
Es folgt S2/S1 = 1. Flächenstrahler erscheinen unabhängig von ihrer Entfernung gleich hell.
Dies beobachtet man etwa bei Neonleuchten in einem Flur.
64
e) Das Fernrohr
Ein teleskopisches System ist ein Linsensystem, das ein Bündel von parallelen Strahlen wieder
in ein Bündel von parallelen Strahlen überführt. Ein solches System wird außer für Fernrohre
zur Strahlaufweitung und in Laserresonatoren verwendet. Wir betrachten das Keplersche und
das Galileische Fernrohr (Johannes Kepler, 1571 - 1630; Galileo Galilei, 1514 - 1642). Beide
bestehen aus einer langbrennweitigen Objektivlinse und einer kurzbrennweitigen Okularlinse,
wobei bildseitiger Brennpunkt des Objektivs und gegenstandsseitiger Brennpunkt des Okulars
zusammenfallen. Beim Keplerschen Fernrohr ist die Brennweite des Okulars positiv, beim Galileischen negativ. Im übrigen ist der Aufbau analog.
Abb. 96: Strahlengang des Keplerschen
Fernrohres
Beim Keplerschen Fernrohr entsteht in der Fokalebene ein reelles Bild, das mit dem Okular
angesehen wird. Die Vergrößerung ergibt sich aus einer geometrischen Betrachtung der Mittelpunktstrahlen durch Objektiv und Okular.
α
tan α 2 h h f 1
= / =
v= α 2 =
1
tan α 1 f 2 f 1 f2
Die Vergrößerung wird also umso stärker, je länger die Brennweite von Objektiv und je kleiner die von Okular ist. Neben der Vergrößerung spielt die Lichtausbeute (Dämmerungsfaktor)
und der Gesichtfeldwinkel für die Qualität eines Fernrohres eine Rolle.
Abb. 97: Strahlengang beim Galilei Fernrohr
Beim Galileischen Fernrohr bleibt die Behandlung der Vergrößerung gleich, und es ergibt sich
wie beim Keplerfernrohr
f1
v=
f2
Das Bild ist hier im Gegensatz zum Keplerfernrohr aufrecht, die Länge des Teleskopes ist bei
gleichen Brennweiten kleiner. Ein wesentlicher Nachteil besteht darin, daß der Gesichtsfeldwinkel kleiner ist.
65
f) Das Mikroskop
Abb. 98: Strahlengang des
Mikroskops
Das kurzbrennweitige Objektiv bildet den Gegenstand, der sich knapp außerhalb der Brennweite f1 befindet, in ein reelles, vergrößertes Zwischenbild im Abstand l vom Objektiv ab, das
mit dem Okular als Lupe betrachtet wird. Um die Vergrößerung zu bestimmen, muß die Größe
von Gegenstand und Bild wie bei der Lupe im Abstand der deutlichen Sehweite s verglichen
werden. Die Vergrößerung des Objektivs ist v1 = l/f1 , des Okulars v2 = s/f2.
Die Gesamtvergrößerung ist das Produkt
lges = v1 · v2 = ls/f1f2.
Die Vergrößerung wird umso größer, je größer l und je kleiner f1 und f2 sind.
g) Der Kondensor
Eine Kondensorlinse wird in der Nähe des abzubildenden Gegenstandes aufgestellt, um die Intensität des Bildes zu erhöhen, indem sie die Lichtquelle in die eigentliche Abbildungslinse
abbildet.
Abb. 99: Kondensor
Der Kondensor beeinträchtigt die Abbildung selbst praktisch nicht. Die Abbildungseigenschaften des Kondensors brauchen daher nicht besonders gut zu sein. Wichtig ist seine große Apertur. Ein Strahlengang wie in Abb. 99 wird Hand-in-Hand Abbildung genannt.
66
h) Das Schlierenverfahren
Abb. 100: Schlierenaufbau
Der Schlierenaufbau dient dazu, Punkte, an denen Licht abgelenkt wird, sichtbar zu machen,
z.B. in Flammen. Der Aufbau ist wieder eine Hand-in-Hand Abbildung, wobei die Schlierenblende dafür sorgt, daß nicht abgelenktes Licht nicht auf den Schirm gelangt. Wird Licht im
Objekt abgelenkt, so geht es an der Schlierenblende vorbei. Die Bildpunkte der Stellen des Objektes, die eine Ablenkung hervorrufen, erscheinen auf dem Schirm hell.
Abb. 101: Foucaultsche Messerschneidenmethode
Ein Spezialfall des Schlierenaufbaus ist die Foucaultsche Messerschneidenmethode zur Überprüfung und Justierung von Hohlspiegeln.
4. Abbildungstheorie, Hauptebenen
a) Die kollineare Abbildung
Die Abbildungstheorie für dünne Linsen ist ein Sonderfall einer allgemeineren
Abbildungstheorie.
Abb. 102: Koordinaten bei der kollinearen Abbildung
Die allgemeinste Abbildung, die Punkte in Punkte, Gerade in Gerade und Ebenen in Ebenen
aus einem kartesischen Raum (ξ, η, ζ) in einen anderen (ξ , η , ζ ) abbildet, ist die kollineare
Abbildung.
a1ξ + b1η + c1ζ + d1
a0ξ + b0η + c0ζ + d0
a2ξ + b2η + c2ζ + d2
η/ =
a0ξ + b0η + c0ζ + d0
a3ξ + b3η + c3ζ + d3
ζ/ =
a0ξ + b0η + c0ζ + d0
Diese Transformationen bilden eine Gruppe, in der eine Abbildung ein Element ist, die Hintereinanderausführung die Verknüpfung. Man kann also zwei hintereinander ausgeführte Abbildungen durch eine einzige mit gleichen Grundeigenschaften ersetzen.
ξ/ =
67
Zur Beschreibung
Abbildungen:
optischer
Abbildungen
interessieren
nur
weiter
eingeschränkte
α) Die Systeme sollen axial symmetrisch sein, d.h. die Abbildungsgesetze für die variablen
η und ζ sollen identisch sein.
β) Punkte, die sich vor der Abbildung an der Achse spiegeln, sollen Spiegelpunkte bleiben,
d.h. aus −η = η s soll folgen -η = η s , ξ = ξ s . Durch Einsetzen dieser Bedingungen in die
allgemeinen Transformationsgleichungen stellt man fest, daß die allgemeinste Transformation, die dies leistet, die Form hat:
ξ/ =
a1ξ + d1 /
b2η
,η =
a0ξ + d0
a0ξ + d0
(1)
Der Koordinatenursprung der beiden Systeme liegt also auf der Achse. Die ξ -Position ist noch
beliebig. Alle Größen zählen positiv nach rechts.
b) Brennpunkte
Eine solche Abbildung hat in jedem der beiden Räume einen Brennpunkt. Läßt man ξ → ∞
a
gehen, wird ξ / = ξ /F / , mit ξ /F / = a 1 , bildseitiger Brennpunkt.
0
d
Andererseits wird für ξ / → ∞, ξ = ξ F , mit ξ F = − a 0 gegenstandsseitiger Brennpunkt.
0
c) Abbildungsgesetz
Bisher wurde über die Koordinatenursprünge der beiden benutzten Systeme keine Aussage gemacht. Als ausgezeichnete Punkte bieten sich die Brennpunkte an. Wir transformieren daher
die Abbildungsgleichungen (1) auf die Brennpunkte:
d
(2)
x = ξ − ξF = ξ + a0
0
a
x / = ξ / − ξ /F / = ξ / − a 1
0
Einsetzen in Gl. 1 ergibt:
a (x − d 0 /a 0 ) + d 1
a
x/ + a1 = 1
0
a 0 (x − d 0 /a 0 ) + d 0
a 1 x − a 1 d 0 /a 0 + d 1
a0x
a 1 d 1 − a 1 d 0 /a o
=a +
a0x
0
=
Es folgt das Newtonsche Abbildungsgesetz
xx / =
d1a0 − a1d0
a 20
Aus der üblichen Abbildungsgleichung findet man durch Transformation auf die Brennpunkte
68
xx / = ff /
d) Brennweiten
Abb.103: Geometrie bei der Abbildung mit rationalen
Vorzeichen
Die Brennweiten f und f' legen wir so fest, daß sich das Newtonsche Abbildungsgesetz ergibt,
und daß die Lateralvergrößerung korrekt beschrieben wird. Bei dünnen Linsen gilt:
f
y/
x/
y = − f/ = − x
(3)
(y' <0, x', f', y > 0)
Bei der kollinearen Abbildung haben wir nach Gl. 1:
y/ η/
b2
b2
y = η = a0ξ + d0 = a0x
(s. Gl.2)
Durch Vergleich mit Gl. 3 ergibt sich
b
f = − a2
0
aus der Newtonschen Abbildungsgleichung
f =
d1a0 − a1d0
a0b2
e) Hauptebenen
Als Hauptpunkte definieren wir nun die Achsenpunkte, bei denen die Lateralvergrößerung 1
wird, als Hauptebenen die Ebenen, die senkrecht zur Achse stehen und diese in den Hauptpunkten schneiden. Die Lage der Hauptebenen folgt dann aus Gl. 3 mit y'/y = 1.
x'H = -f''
xH = -f
69
Abb. 104: Hauptebenen
In der jetzt adaptierten Vorzeichenkonvention werden alle Größen vom Brennpunkt an nach
rechts positiv gerechnet. Bei positiven Brennweiten hat man dann die Geometrie von
Abb. 104.
f) Bildkonstruktion
Abb.105: Bildkonstruktion mit Hauptebenen
Die Bildkonstruktion verläuft dann völlig analog zu der bei dünnen Linsen mit dem einzigen
Unterschied, daß man die ausgezeichneten Strahlen nicht bis zur Linsenebene zeichnet, sondern bis zur Hauptebene und den Auftreffpunkt 1 : 1 auf die zweite Hauptebene überträgt.
Zeichnerisch findet man die Hauptebenen, indem man einen parallel zur Achse einfallenden
Strahl durch das gesamte Linsensystem verfolgt. Dort, wo er die Achse schneidet, ist der
Brennpunkt, wo er den einfallenden Strahl schneidet, ist die Hauptebene der dem Einfallsraum
abgewandten Seite.
Abb. 106: Konstruktion der Hauptebene
g) Ungleiche Brechungsindizes im Bild- und Gegenstandsraum
Im allgemeinen unterscheiden sich gegenstands- und bildseitige Brennweite. Bei Linsensystemen oder gekrümmten Grenzflächen zwischen zwei Medien ist dies der Fall, wenn die Brechungsindizes rechts und links verschieden sind. Wir zeigen dies an einer dünnen Linse, die
wie früher mit dem Satz von Malus behandelt wird.
Abb. 107: Geometrie für den allgemeineren Fall der
Abbildung
ng g2 + h2 + nb b2 + h2 = ngg + nbb + l
70
(l = (n - ng)dg + (n - nb)db)
ngg(1 - h2/2g2) + nbb(1 + h2/2g2) = ngg +nbb + l
ng nb
g + b = const
Die Brennweiten erhält man für g bzw. b → ∞
ng
n
= const, b = const
fg
fb
Es folgt:
ng nb
=
fg fb
Die Brennweiten verhalten sich wie die Brechungsindizes.
h) Knotenpunkte
Bei der Bildkonstruktion bei einem System mit zwei Hauptebenen kann auch der Mittelpunktstrahl benutzt werden, wenn rechts und links die Brennweiten gleich sind: Man zeichnet einen
Strahl bis zum Hauptpunkt, versetzt ihn zum konjugierten Hauptpunkt mit gleicher Neigung u
gegen die Achse. Im allgemeinen Fall mit unterschiedlichen Brennweiten geht dies nicht. Die
Orte, an denen die Neigung des Strahls gegen die Achse für Strahl und konjugierten Strahl
gleich sind, die sogenannten Knotenpunkte, fallen im allgemeinen nicht mit den Hauptpunkten
zusammen.
Abb. 108: Knotenpunkte
Def.: Knotenpunkte sind die Achsenpunkte mit u = u'
f tan u = -x' tan u'
xK' = -f, xK = -f'
Der Knotenpunkt K hat den Abstand f' von F, K' den Abstand f von F'. Für n = n' unterscheiden sich Knotenpunkte und Hauptpunkte nicht.
71
i) Zusammengesetzte Systeme
Mit den im vorigen Abschnitt dargelegten Methoden läßt sich die Lage der Haupt- und Brennpunkte finden, wenn die der einzelnen Komponenten, die ein System bilden, bekannt sind. Eine Konstruktionszeichnung zeigt Abb. 109.
Abb. 109: Konstruktion der
Lage der Brennpunkte und
Hauptebenen
−−
Dabei ist F 2 P ein Hilfsstrahl, parallel zum ursprünglichen F'1R, um den weiteren Verlauf des
einfallenden Strahls hinter der zweiten Linse zu konstruieren. Der Zeichnung entnimmt man
h = z
f/ f/
h = −z
l
f/
(f2´, h, l, f1' > 0 ; z, f' < 0)
f 1/
= − l/ ,
/
f
f
f/=
−f 1/ f 2/
l
Mit l = d − f 1/ − f 2 = d − f 1/ − f 2/ erhält man
1 = 1 + 1 − d
f / f 1/ f 2/ f 1/ f 2/
Für d → 0 ergibt sich die bekannte Addition der Brechkräfte.
j) Dicke Linsen
Mit dem obigen Formalismus läßt sich die Lage der Brennpunkte und Hauptebenen bei dicken
Linsen berechnen. Man behandelt zunächst eine kugelförmige Oberfläche eines Glaskörpers in
der Näherung dünner Linsen. Sie hat nur eine Hauptebene und zwei unterschiedliche Brennweiten. Die dicke Linse betrachtet man als System zweier solcher Kugelflächen. Abb. 110
zeigt für einige typische Linsenformen die Lage der Hauptebenen.
Abb. 110: Die Hauptebenen können bei dicken Linsen auch außerhalb der Linse liegen
72
KAPITEL F
Wellenoptik
1. Interferenz
a) Einleitung
Werden zwei sinusförmige Wellen überlagert, so gibt es Stellen im Raum, an denen sie sich
auslöschen. Dies ist der Fall, wenn der Phasenunterschied ein ungeradzahliges Vielfaches von
π beträgt. ϕ = (2n + 1)π . Man sagt, der Gangunterschied ist (2n + 1)λ/2 . An Stellen, bei denen
der Phasenunterschied ϕ = 2nπ ist, verstärken sich beide Wellen. Die Phasendifferenz ϕ ist
proportional zum Unterschied der durchlaufenden Wege, dem sogenannten Gangunterschied g.
Im allgemeinen Fall, bei dem die Strahlen Medien mit unterschiedlichen Brechungsindizes
durchlaufen, ist g = l1n1 - l2n2. Da bei einem Gangunterschied λ die Phasendifferenz 2 π ist, gilt
für den Zusammenhang von ϕ und g:
ϕ g
=
2π λ
Eine Überlagerung von endlich vielen Wellen nennt man Interferenz, n die Ordnung der Interferenz. Benötigt man zur Beschreibung der Überlagerung unendlich viele Wellen, z.B. alle
Elementarwellen in einer Blendenöffnung, so spricht man von Beugung.
Um eine Intensitätsverteilung einer Interferenz- oder Beugungsfigur zu berechnen, geht man
auf die Zeigerdarstellung von Schwingungen zurück.
Abb. 111: Zeigerdarstellung einer Schwingung
In komplexer Schreibweise stellt man eine Schwingung dar als
∼
∼
∼
∼
E=E 0 e iωt = E 0 e iϕ e iωt = E 0 e i(ωt+ϕ)
Dies ist nach dem Satz von Euler:
∼
∼
E = E 0 [cos (ωt + ϕ) + i sin (ωt + ϕ)]
Von der komplexen Darstellung kommt man also zur Schwingung, indem man den Realteil
bildet. Der Betrag der komplexen Amplitude ist die Amplitude der Schwingung, das Argument
ist die Anfangsphase, d.h. die Phase zur Zeit t=0. Die Überlagerung zweier Wellen gleicher
Frequenz kann man daher durch die Addition der zugehörigen komplexen Amplituden darstellen. Grafisch wird sie durch die Addition der entsprechenden Zeiger veranschaulicht. Zeiger
werden dabei wie Vektoren addiert. Die Winkel zwischen den Richtungen der Zeiger geben
die Phasendifferenzen an, die Längen die Amplituden.
73
b) Überlagerung von zwei Wellen
Wir möchten die Interferenzfigur berechnen, die zwei punktförmige (im Zweidimensionalen
linienförmige) Quellen, die harmonische Wellen gleicher Phase aussenden, auf einem weit entferten Schirm erzeugen.
Abb. 112: Interferenz am Doppelspalt
Eine Realisierungsmöglichkeit zeigt obige Abbildung. Zwei parallele Spalte werden von einer
Lichtquelle bestrahlt. Die Linse sammelt parallele Strahlen auf dem Schirm. D.h. von den
Spalten ausgehende parallele Strahlen interferieren. Für gerade hindurch gehendes Licht (α=0)
sind die Wege beider Strahlen gleich lang. Die Wellen überlagern sich konstruktiv. Für zwei
parallele Strahlen, die um einen Winkel α geneigt sind, unterscheiden sich die Wege. Nach
dem Satz von Malus sind die Wege von der Lichtquelle gerechnet bis zu einer Wellenfront
gleich. Der Gangunterschied ist also nach Abb. 112
g = a sinα
und der erzeugte Phasenunterschied
ϕ g
= , ϕ = 2π a sin α
λ
2π λ
Für g = n · λ mit n = 0, 1, 2, ... interferieren die Strahlen konstruktiv, für g = (2n+1)λ/2 destruktiv. Die Intensitätsverteilung ergibt sich aus dem Zeigerdiagramm von Abb. 113
Abb. 113: Zeigeraddition von Schwingungen
E res = 2E cos ϕ/2 = 2E cos  πa sin α 
λ
Die Intensität I ∼ E 2
74
I = I 0 cos 2  πa sin α 
λ
I0 ist die Intensität bei α = 0. Der Intensitätsverlauf ist also für kleine α eine cos2-Funktion.
Abb. 114: Intensitätsverteilung bei
Interferenz zweier punktförmiger
Lichtquellen
Die Abhängigkeit von der Ortskoordinate x auf dem Schirm erhält man aus der in Abb. 114
abzulesenden Beziehung x = α · f.
Dunkelheit liegt vor, wenn g in Abb. 112 gleich λ/2 ist.
πa sin α = π , d.h. sin α = λ/2
d
d
a
λ
2
Der Abstand der Streifen wird also um so größer je kleiner der Abstand der Quellen und je
größer die Wellenlänge ist. Damit überhaupt Streifen erzeugt werden, muß allerdings nach obiger Konstruktion die Wellenlänge kleiner als der Spaltabstand sein.
c) Kohärenz
Natürliches Licht ist nicht sinusförmig, da aufgrund des Emissionsmechanismus die Phase
fluktuiert. Überlagert man nacheinander jeweils zwei Wellen, wobei die Phase von mal zu mal
statistisch verändert wird, so verschwindet im Zeitmittel der cosϕ -Term aus dem Kosinussatz.
E 2res = E 21 + E 22 + 2E 1 E 2 cos ϕ
Für 2 Wellen gleicher Intensität erhält man
⟨E 2res ⟩ = 2E 2 , I res = 2I
Bei mehreren Quellen addieren sich also die Intensitäten. Bei der Überlagerung von N Wellen
mit zufälliger Phase ergibt sich in der komplexen Ebene das Bild des "random walk", den etwa
ein Betrunkener gehen würde, wenn er nach jedem Schritt der Weite S seine Richtung
Abb. 115: Überlagerung von n Wellen mit statistischer
Phase
unvorsehbar ändert. Er entfernt sich von seinem Ausgangspunkt um L2 = NS2, d.h. L = N
Bei einer festen Phase ϕ = 0 ergäbe sich statt dessen Eres = E1+E2, Eres2 = 4E2, Ires = N2I.
75
Abb. 116: Kohärenz
Der Energiesatz bleibt dadurch gewahrt, daß die Energie im Raum nicht gleichmäßig verteilt
ist. Wellen verhalten sich bei der Überlagerung also sehr unterschiedlich, je nachdem, ob man
konstante Phasendifferenzen angeben kann oder nicht. Wir sagen, eine Welle ist kohärent,
wenn man für bestimmte Zeit- und Ortsdifferenzen Phasendifferenzen angeben kann. Sinusförmige unendlich ausgedehnte Wellen sind kohärent. Das natürliche Licht ist nur für ein begrenztes Raum-Zeitintervall kohärent, z.B. wenn die Lichtquelle eine geringe Ausdehnung hat
und ihr Licht in großer Entfernung beobachtet wird. Laser haben eine wesentlich bessere
Kohärenz.
Abb. 117: Formale Definition der Kohärenzlänge
Einen quantitativen Ausdruck für die Güte der Kohärenz liefert die Autokorrelationsfunktion
F( ξ ) =
∫ f(x)f(x − ξ)dx
∫ f 2 (x)dx
d) Klassische Interferenzversuche
Historisch waren Interferenzversuche von Bedeutung, da sie den uralten Streit über die Natur
des Lichtes zugunsten von Wellen zu entscheiden schienen Die ersten Interferenzversuche
wurden mit natürlichem Licht gemacht. Wegen der schlechten räumlichen und zeitlichen Kohärenz muß von einer möglichst punktförmigen Quelle ausgegangen werden, deren Licht aufgespalten wird, so daß es von zwei virtuellen Quellen herzukommen scheint.
Abb. 118: Interferenzversuch von Th. Young
Abb. 119: Das Fresnelsche Biprisma
76
Die klassischen Anordnungen sind der Doppelspaltversuch nach Young, (Th. Young
1773 -1829).das Biprisma nach Fresnel, der Doppelspiegel nach Fresnel und die Interferenz an
dünnen Schichten wie man sie bei Ölflimen auf Wasseroberflächen beobachten kann.
Abb. 120: Der Fresnelsche Doppelspiegel
Bei dünnen Schichten wird die Interferenz des Lichtes, das an der Ober- und Unterseite des
Filmes reflektiert wird, ausgenutzt (Abb. 121). Die Formeln werden besonders einfach, wenn
man als Variable neben der Wellenlänge des benutzten Lichtes λ und der optischen Weglänge
der Schicht n · d den Neigungswinkel der Strahlen in der Schicht α einführt. Dieser Läßt sich
dann leicht mit Hilfe des Snelliusschen Brechungsgesetzes auf den Einfallswinkel zurückführen. Der Gangunterschied zwischen Strahl (1) Punkt B und (2) Punkt C in Abb. 121 ist
g12 = nd cos α, der gesamte Gangunterschied zwischen Strahl (1) und (3) g13 = 2 nd cosα.
Abb.121: Interferenz an einer dünnen Schicht
Die Intensität der Interferenzfigur ist daher von α, d, λ abhängig. Entsprechend gibt es Interferenzstreifen gleicher Neigung oder gleicher Dicke. Bei weißem Licht werden bestimmte Wellenlängen verstärkt, andere abgeschwächt. Es entsteht eine farbige Interferenzerscheinung. Interferenzstreifen gleicher Dicke sind z.B. die Newtonschen Ringe, die auftreten, wenn eine gewölbte Fläche eines durchsichtigen Materials, z.B. eine Linse mit einer ebenen Fläche einer
Glasplatte einen Luftspalt bildet. Man kann sie z.B. verwenden, um die Güte solcher Flächen
zu überprüfen. Streifen gleicher Neigung beobachtet man durch Beleuchten einer dünnen Platte, z.B. aus Glimmer, mit einer punktförmigen Lichtquelle.
Da Auslöschung bzw. Verstärkung bei einem bestimmten Einfallswinkel auftreten und die Anordnung symmetrisch um das Lot der Lichtquelle auf die Schicht ist, beobachtet man Kreise.
Weit außerhalb des Zentrums entsteht ein System paralleler Streifen.
77
Abb. 122: Warum beobachtet man Interferenzringe?
e) Interferometer
Abb. 123: Das Michelson Interferometer
Die Interferenz an planparallelen Platten nutzt man in Interferometern zu Meßzwecken aus. In
vielen Fällen geht es um die Bestimmung des Brechungsindexes n in einer Probe über den optischen Weg ng (g = Gangunterschied). Da n-1 in Gasen der Teilchenzahl proportional ist, lassen sich Teilchendichten bestimmen, bei Kenntnis des Druckes p = n* · kT Temperaturen, z.B.
in Flammen (n*: Teilchen pro Volumen). Um dies bequem durchführen zu können, spaltet
man den Strahl mit einem Strahlteiler, z.B. einer teilverspiegelten Platte in zwei Strahlen auf
wie beim Michelsoninterferometer (Abb. 123) und beim Mach-Zehnder Interferometer
(Abb. 124)
Abb. 124: Das Mach-Zehnder Interferometer
Das Michelsoninterferometer ist berühmt, da hiermit Michelson versucht hat, die Relativgeschwindigkeit des Lichtes gegen den damals vermuteten Äther zu messen. Der negative Ausgang des Experimentes hat Anstoß zur Entwicklung der speziellen Relativitätstheorie gegeben.
Da kleinste Verrückungen sich als Streifenverschiebungen bemerkbar machen, muß der Aufbau mechanisch und thermisch sehr stabil sein. Die Empfindlichkeit wird durch steile Flanken
in der Intensitätsverteilung erhöht, die man durch Interferenz vieler Strahlen erzeugt. Bei Verändern der benutzten Wellenlänge verändert sich die Lage der Streifen. Man kann ein Interferometer daher als Frequenzanalysator, d.h. Spektrometer benutzen. Die einfachste Anordnung ist eine an beiden Flächen teilverspiegelte Platte mit außerordentlich ebenen Oberflächen,
78
Abb. 125: Das Fabry Pérot Interferometer
ein sogenanntes Fabry Pérot Interferometer oder Etalon (Charles Fabry 1867 - 1945, Jean Baptiste Pérot 1863 - 1925)
f) Vielstrahlinterferenz
Wir betrachten die Interferenz von N Wellen gleicher Amplitude und gleicher gegenseitiger
Phasendifferenz ϕ wie sie etwa von einer Anordnung von N sehr schmalen Spalten mit gegenseitigem Abstand a, die mit parallelem Licht bestrahlt werden, realisiert werden kann.
Abb. 126: Vielstrahlinterferenz an N Spalten
Die Phasendifferenz ergibt sich nach Abb. 126 zu
ϕ a sin α
, ϕ = 2πa sin α
=
2π
λ
λ
Abb. 127: Zeigerdiagramm für vier Wellen
Das Zeigerdiagramm zeigt Abb. 127, dabei ist R eine Hilfsgröße, Die Figur ist bezüglich des
Mittelpunktes M symmetrisch in dem Sinne, daß jeder Sektor aus dem vorhergehenden durch
Drehung um ϕ hervorgeht.
E = R sin ϕ/2
Die Feldstärke bei konstruktiver Überlagerung aller N Strahlen ist
E 0 = NE = 2NR sin ϕ/2
79
Die resultierende Feldstärke erhält man aus dem rechtwinkligen Dreieck MAB
E res = 2R sin Nϕ/2
und die Intensitätsverteilung durch Dividieren und Quadrieren:
 E res  =  sin (Nϕ/2) 
 E0 
 N sin ϕ/2 
2
2
Abb. 128: Intensitätsverteilung bei Interferenz von 4
Strahlen mit gleicher gegenseitiger Phasendifferenz
Abb. 128 zeigt die Intensitätsverteilung in der Interferenzfigur für 4 Strahlen. Die Zeigerdiagramme zu ausgezeichneten Phasenverschiebungen sind angedeutet. Die Intensitätsverteilung
ergibt 0, wenn Zähler 0 und Nenner ≠ 0 ist. Dies ist für Nϕ/2 = πk und ϕ/2 ≠ πk / der Fall, wobei k und k' ganze Zahlen sind. Für Zähler und Nenner Null geht der Grenzwert gegen 1. Dies
ergibt die Hauptmaxima bei ϕ = 0 und ϕ = 2π . Je mehr Strahlen interferieren, desto mehr
Nullstellen liegen zwischen ϕ = 0 und ϕ = 2π , d.h. umso schmaler werden die Hauptmaxima.
Daß die Empfindlichkeit, mit der I auf eine Änderung der gegenseitigen Phasendifferenz reagiert mit N wächst, erkennt man am besten am Zeigerdiagramm: Bei der Addition vieler Zeiger mit gegenseitiger Phasenverschiebung ϕ ändert sich die Länge des resultierenden Zeigers
viel stärker bei einer Anregung von ϕ als bei der Addition von 2 Zeigern. Da bei den Nebenmaxima der Zähler etwa 1 ist, geht ihre Höhe mit 1/N2, d.h. die Nebenmaxima werden mit zunehmender Anzahl der interferierenden Strahle kleiner.
Man verwendet Anordnungen mit vielen parallelen Spalten als sogenannte Beugungsgitter zur
Spektroskopie.
2. Fraunhoferbeugung (Joseph Fraunhofer 1787 - 1826)
a) Einleitung
Beugung ist die Abweichung von geradlinigen Strahlen hinter Hindernissen wie Blenden. Mathematisch bestimmt man sie, indem man die Blende in Flächenelemente ∆ A unterteilt und den
Flächenelementen Lichtquellen zuordnet, die im allgemeinen unterschiedliche Phasenlagen
und Amplituden am Ort ihrer Überlagerung aufweisen. Die Intensitätsverteilung ergibt sich
nach dem Grenzübergang ∆A→ 0. Am einfachsten ist die Beugung im parallelen Licht zu behandeln (Abb. 129). Man nennt sie Fraunhoferbeugung. Befindet sich Lichtquelle oder Schirm
oder beides im Endlichen, spricht man von Fresnelbeugung.
80
Abb. 129: Fraunhofer- und Fresnelbeugung
b) Fraunhoferbeugung am Spalt
Abb. 130: Fraunhoferbeugung am Spalt
Da es sich um Fraunhoferbeugung handeln soll, interferieren alle Strahlen, die den Spalt in
gleicher Richtung verlassen. Durch Unterteilen des Spaltes in N Streifen gleicher Breite erhält
man wie bei der N-Strahl Interferenz als Zeigerdiagramm einen Polygonenzug. Im Grenzübergang ∆A → 0 wird aus dem Polygonenzug ein Kreisbogen. Die Neigung zwischen den Tangenten am Anfang und Ende des Kreisbogens ist durch den Phasenunterschied zwischen den
Randstrahlen gegeben.
g = b sin α
ϕ g
=
2π λ
ϕ = b2π sin α
λ
Der gleiche Winkel tritt an der Spitze des Sektors auf, daher erhält man für die resultierende
Feldstärke
E r = 2R sin ϕ/2
E 0 = Rϕ
Ir  Er 
 sin ϕ/2 
=
=
 ϕ/2 
I0  E0 
2
2
In Abhängigkeit von α ergibt sich eine Kurve wie in Abb. 131 (sinc-Funktion).
81
Abb. 131: Intensitätsfunktion für Beugung am Spalt
Die erste Dunkelheit liegt bei
α = αd
πb sin α = π
d
λ
sin α d = λ
b
Abb. 132: Anschauliche Herleitung der ersten dunkelen
Zone
Anschaulich kommt man zu diesem Ergebnis, indem man die Teilspalte in 2 Gruppen anordnet
und jedem Spalt aus der Gruppe (1) einen zweiten aus der Gruppe (2) zuordnet, der eine halbe
Spaltbreite entfernt ist. Dann interferieren die beiden Mitglieder eines Paars destruktiv, wenn
der Phasenunterschied ihrer Erregung auf dem Schirm π ist.
c) Kreisblende
Bei einer Kreisblende bildet man wegen der Symmetrie am besten ringförmige Elementarflächen. Da diese unterschiedliche Größe haben, kommt man mit der für Spalte verwendeten
Konstruktion nicht weiter. Man bildet die Summe
∼
E= Σ e iϕ ∆A ,
die zu einem Integral führt, das durch die Besselfunktion erster Ordnung J 1 (ϕ/2) dargestellt
werden kann.
Abb. 133: Geeignetes Flächenelement bei einer Kreisblende
82
 sin ϕ/2 
Statt I ∼
, erhält man
I 0  ϕ/2 
2
I ∼  J 1 (ϕ/2) 
I 0  ϕ/2 
2
Die dunklen Ringe liegen bei den Nullstellen dieser Besselfunktion:
ϕ/2 = 1, 22π; 2, 233π; 3, 238π
Die Größe der Beugungsfigur läßt sich abschätzen, indem man den Mittelwert bildet aus der
Größe der Beugungsfigur des um- und inbeschriebenen Quadrats, wobei man diese mit der von
Spalte gleicher Öffnung gleich setzt:
Abb. 134: Abschätzung der Größe der Beugungsfigur an
einer Kreisblende durch das Ergebnis für den Spalt
sin α 1 = aλ = λ
1
D
λ
sin α 2 = a = λ
2
D/ 2
(D = a1 = 2r)
Mittelwert:
sin α = 0.6 λr
d) Das Auflösungsvermögen
Durch die Beugung einer Welle am Rand einer Linse wird selbst bei Abwesenheit aller Linsenfehler ein Punkt in ein Scheibchen abgebildet. Zwei Punkte, die so nahe nebeneinander liegen, daß ihre Beugungsscheibchen sich überlappen, lassen sich nicht mehr trennen. Da die
Größe des Beugungsscheibchens proportional λ/r ist, wird das Auflösungsvermögen um so
besser, je kleiner λ und je größer r ist. Für Radioteleskope, die mit sehr großen Wellenlängen
arbeiten, benötigt man große Öffnungen.
Abb. 135: Beugung an der Pupille
Beim Auge mit einem Blendenradius von r ≈ 2 ⋅ 10 −3 m ergibt sich für
83
λ = 5 ⋅ 10 −7 m .
−7
α min ≈ λ = 5 ⋅ 10 −3 ≈ 10 −4
2r
⋅
Abb. 136: Die Größe des Beugungsscheibchens auf
der Retina
Dies ist ein Abstand von 1 cm in der Entfernung 100 m. Das Auge ist so aufgebaut, daß der
Abstand der Detektoren auf der Retina dem durch die Optik bestimmten Auflösungsvermögen
entspricht.
Beim Mikroskop begrenzt die Blendenöffnung des Objektivs das Auflösungsvermögen. Die
minimal auflösbare Winkeldifferenz ist
sin α d = 0, 6 λ
R
Daraus ergibt sich die kleinste auflösbare Struktur zu
a min
= 0, 6 λ
R
f
a min = 0, 6
λf
R
Maßgeblich ist also die maximale Apertur des Objektivs. Da diese in der Größenordnung von
1 liegt, kann man Strukturen bis herab etwa zur Größe der Wellenlänge auflösen. Zu einem
sehr ähnlichen Ergebnis für das Auflösungsvermögen kommt man mit einer fourieroptischen
Betrachtung des Abbildungsverhaltens des Mikroskopes (s. Abschnitt f) in diesem Kapitel).
e) N Spalte
α) 2 Spalte
Abb. 137: Spalte endlicher Breite
Wir betrachten jetzt im Gegensatz zum vorigen Abschnitt Spalte endlicher Breite. Die Feldstärke an einer Stelle des Schirmes, d.h. bei einem bestimmten α, ergibt sich aus der Summe
84
der Feldstärken, die von jedem Spalt einzeln erzeugt werden. Die Beugungsfigur eines Spaltes
E 1 sin ϕ/2
πb sin α
ist
=
mit ϕ/2 =
λ
E0
ϕ/2
Abb. 138: Zeigerdiagramm für zwei
Spalte endlicher Breite
Die Beugungsfigur beider Spalte ergibt sich aus der Überlagerung der Resultierenden der
Einzelspalte
E r = 2E cos ϑ/2 (E = E 1 = E 2 )
πa sin α
mit ϑ =
λ
2
Die Intensitätsverteilung der Beugungsfigur eines Doppelspaltes wird also insgesamt
I =  sin ϕ/2  (cos ϑ/2) 2
 ϕ/2 
I
2
Abb. 140: Die Intensitätsverteilung der Beugungsfigur zweier Spalte endlicher Breite
Der zweite Term beschreibt die feine Struktur. Sie ist identisch mit dem Interferenzbild von
zwei punktförmigen Lichtquellen. Die Beugung an den Einzelspalten moduliert diese
Verteilung
β) N Spalte
Durch die Addition der Erregung von N Spalten erhält man wie bei N punktförmigen
Lichtquellen
E N sin Nϑ/2
=
E 0 N sin ϑ/2
mit ϑ/2 = πa sin α
λ
Die Einhüllende bleibt wie beim Einzelspalt
85
 sin ϕ/2 
 ϕ/2 
Die Gesamtverteilung ist also
I N  sin ϕ/2   sin Nϑ/2 
=
I 0  ϕ/2   N sin (ϑ/2) 
2
2
Abb. 141 Beugungsfigur bei Vielstrahlinterferenz
Die feine Struktur wird durch die Beugung an der Begrenzung der gesamten Spaltanordnung
erzeugt, die grobe Struktur durch Beugung am Einzelspalt. Durch Manipulation am Einzelspalt, z.B. durch spezielle Formgebung der Rillen eines Gitters kann man die Einhüllende verändern, so daß z.B. die größte Intensität in eine vorgegebene Beugungsordnung fällt, oder daß
eine bestimmte Anzahl von Beugungsordnungen gleiche Intensität haben, alle anderen
wegfallen.
γ) Winkeldispersion und Auflösung eines Gitters
Gitter werden in der Spektroskopie zur Frequenzanalyse eingesetzt. Wichtige Größen, die in
dα
diesem Zusammenhang interessieren, sind die Winkeldispersion
und das Auflösungsverdλ
mögen λ , wobei ∆λ min die kleinste Wellenlängendifferez ist, die man noch gerade trennen
∆λ
kann.
Abb. 142: Die Winkeldispersion eines Gitters
Die Winkeldispersion ermitteln wir aus Abb. 142, wobei wir zulassen, daß ein Gangunterschied von n0 Wellenlängen zwischen zwei benachbarten Wellen auftritt. n0 heißt die Beugungsordnung. Ein Intensitätsmaximum erscheint unter dem Winkel
∗
sin α max = naλ
Durch Differentiation erhält man
n ∗0
cos αdα = a dλ
86
n ∗0 (1)
dα
= a cos
α
dλ
Für ein Gitter mit 1200 Strich pro mm bei senkrechtem Einfall (α = 0) erster Beugungsordnung (n = 1) und einer Brennweite des abbildenden Systems von 0,5 m erhält man typischerweise dλ/dx = 16nm/mm .
Das Auflösungsvermögen wird durch die Breite der feinsten Struktur in der Beugungsfigur gegeben. Ihre Intensitätsverteilung ist
I(α) ∼ sin (Nϑ/2) mit ϑ/2 = πa sin α
λ
Das Argument im Sinus wird damit
x = Nπa sin α
λ
Bei kleinen Veränderungen der Richtung
dx = Nπa cos αdα
λ
Eine Nullstelle liegt vor bei
dx = π
λ
dα =
d.h.
Na cos α
Aus (1) und (2) ergibt sich das Auflösungsvermögen
(2)
λ = n∗N
0
∆λ
Man erkennt, daß für das Auflösungsvermögen neben der Beugungsordnung die Gesamtzahl
der Striche maßgebend ist. Ein Spektrograf kann also nur dann sein maximales Auflösungsvermögen bringen, wenn sein Gitter voll ausgeleuchtet ist.
f) Fraunhoferbeugung als Fouriertransformation
Zur Berechnung der Beugungsfigur betrachten wir einen etwas allgemeineren Fall: In einer
Ebene, die durch die Koordinate ξ beschrieben wird, sei eine Feldstärkeverteilung E (ξ) vorgegeben. Bei Vorliegen eines Spaltes wäre E(ξ) eine Rechteckverteilung, die innerhalb der
Spaltöffnung einen konstanten Wert annimmt, außerhalb verschwindet. Die Öffnung werde in
Streifen gleicher Breite ∆ξ unterteilt.
Abb. 143: Nochmal Beugung am Spalt
Die resultierende Feldstärke für alle Strahlen, die die Öffnung unter einem gewissen Winkel α
verlassen, ist dann
87
∼
E r = ∆ξ(E 0 e iϕ 0 + E 1 e iϕ 1 + E 2 e iϕ 2 + ...)
wobei der Phasenwinkel ϕ n durch den Gangunterschied zwischen dem Strahl Nr. 0 und dem
an der Stelle ξ gegeben ist
ϕ g(ξ)
=
aus
und g(ξ) = ξ sin α folgt
λ
2π
2πξ
ξ
ϕ=
sin α ∼
2πα
λ
λ
E(α) = ∆ξ Σ E n e i(ξ/λ)2πα = λ Σ E(s)e is2πα ∆s
mit s = ξ/λ. Nach dem Grenzübergang ∆s → 0 erkennt man, daß E(α) die Fouriertransformierte von E(s) ist.
Beispiele:
Die Verteilung von E über einem Spalt ist eine Rechteckfunktion E(s) ~Rect(s/b). Die Fouriertransformierte einer Rechteckverteilung ist E(x) ∼ sinxkx , wie wir früher mit der geometrischen
Methode ermittelt haben. Ein Gitter mit sinusförmiger Amplitudenverteilung E(s)~sin ks hat
eine einzige Frequenz. Die Fouriertransformierte ist daher eine δ -Funktion
E(x) ∼ δ(x − x 0 )
Ein solches Gitter beugt das Licht nur in eine bestimmte Richtung.
Die Beugung an einer zweidimensionalen Struktur führt also zu einer zweidimensionalen Fouriertransformation dieser Struktur. Man nutzt diese Eigenschaft bei der Bildverarbeitung aus,
um durch Manipulationen im Fourierraum Verbesserungen der Darstellung zu erzielen. So
kann man durch Blenden in der Fourierebene höhere Fourierkomponenten herausfiltern und so
das Bild glätten. Hinzfügen von lokalen Phasenverschiebungen kann den Kontrast verbessern
usw.. Als Beispiel betrachten wir die Abbildung beim Mikroskop nach Abbé (Ernst Abbé
1890-1905)
Abb. 144: Auflösungsvermögen des Mikroskopes nach Abbé
Da wir uns nach Fourier jedes Objekt als Überlageruung von sinusförmigen Amplitudenverteilungen mit unterschiedlichen Raumfrequenzen vorstellen können, betrachten wir speziell ein
gitterförmiges Objekt. Nach Abb. 144 erzeugt das Objektiv hiervon ein vergrößertes Bild B.
Andererseits führt die Beugung an dem Gitter zu einer Beugungsfigur in der Fourierebene.
Diese besteht aus den Beugungsmaxima. Im Rahmen der Wellenoptik kann man das Bild B
nun auch als Interferenzfigur der Sekundärquellen in der Fourierebene auffassen. Man erkennt,
88
daß ein solches Interferenzmuster nur dann erzeugt werden kann, wenn mindestens neben dem
Hauptmaximum ein Nebenmaximum in das Objektiv fällt, d.h.
λf
R
λ
α min = f → α min = R
in größenordnungsmäßiger Übereinstimmung mit unserem früheren Ergebnis.
3. Fresnelbeugung
Fresnelbeugung liegt vor, wenn mindestens eins der beiden - Lichtquelle oder Beobachter - eine endliche Entfernung zur beugenden Struktur hat. Gegenüber der Fraunhoferbeugung wird
die Rechnung im wesentlichen durch zwei Tatsachen erschwert:
Abb. 145: Zur Geometrie beim Kirchhoffschen Beugungsintegral
Es treten bei den einzelnen Flächenelementen unterschiedliche Winkel zwischen Flächennormalen und Abstrahlrichtung auf. Die Fläche hat eine gewisse Richtcharakteristik, die wir mit
θ(ϑ) bezeichnen. Dadurch, daß die einzelnen Strahlen unterschiedlich lang sind, ist die Lichtintensität der Elementarwellen am Ort der Beugungsfigur unterschiedlich. Man geht von kugelförmigen Elementarwellen aus mit I~1/r2 und setzt daher den Ortsfaktor für die Feldstärke
~1/r.
Die Beugungsfigur ergibt sich dann nach Kirchhoff (Gustav Kirchhoff 1824-1887) durch Integration über die gesamte beugende Öffnung
E res = E 0 ∫ ∫ 1r θ(ϑ)e i ϕ (ξ, η) dξdη
Dieses Integral nennt man das Kirchhoffsche Beugungsintegral. Eine genauere Herleitung ergibt sich aus der Beugungstheorie.
Nach Fresnel kann man die Ausbreitung von Licht von einer punktförmigen Quelle zum Beobachtungspunkt P so beschreiben: Wir betrachten eine Wellenfront, die bis zu einer Entfernung
g fortgeschritten ist. Die Interferenz der Erregungen, die von den Flächenelementen dA auf
dieser Wellenfläche ausgehen, ergeben die Gesamterregung in P. Um diese leichter behandeln
zu können, unterteilen wir die Wellenfront in ringförmige Zonen. Im folgenden betrachten wir
die Einfachheit halber einen Fall mit unendlich entfernter Quelle q → ∞ . Die Breite der Zonen
wird so gewählt, daß sich für Licht, das von ihren Begrenzungen ausgeht, ein Phasenunterschied von genau λ/2 ergibt.
89
Abb. 146: Ausbreitung von Licht nach Fresnel
Abb. 147: Konstruktion der Fresnelschen Zonen
d.h.
rn = rn-1+λ/2
r1 = r0+λ/2
r2 = r0+2λ/2
·
·
·
rn = r0+nλ/2
Der Radius für die innere Begrenzung der nten Zone Rn ist dann
R 2n = r 2n − r 20 = (r 0 + nλ/2) 2 − r 20 = nr 0 λ
wenn man den um λ/r0 kleineren Term n2λ2/4 vernachlässigt.
Der Flächeninhalt einer Zone ist
∆A = π  R 2n − R 2n−1  = πr 0 λ
und damit für alle Zonen gleich. Durch die Faktoren θ(ϑ) und 1/r erhält man für das Zeigerdiagramm kleine Abweichungen vom Kreis, d.h. eine Spirale (Abb. 148).
Zeichnet man die Erregung durch das Licht, das durch die Mitte der Figur tritt bei A, so ist der
Beitrag des äußeren Randes der Fresnelzone Nr. 0 bei B, da hier ein Gangunterschied von λ/2
gegenüber dem Zentrum besteht. Die Zone Nr. 1 macht einen negativen Beitrag, da ihre Erregung am Rand eine Phasendifferenz von π gegenüber der am Rand der nullten Zone hat. Man
erreicht den Punkt C. Die Beiträge der äußeren Zonen werden immer kleiner. Die
90
Abb. 148: Das Zeigerdiagramm bei Fresnelbeugung
Gesamtfeldstärke konvergiert gegen einen Wert, der etwa halb so groß wie die Erregung der
mittleren Zone ist.
E res = E 0 − E 1 + E 2 − E 3 + ...
E
E0  E0
E
E 
+  − E 1 + 2  +  2 − E 3 + 4  + ...
2  2
2   2
2 
Die Zusammenfassung ist so vorgenommen worden, daß sämtliche eckigen Klammern verschwinden, da der Mittelwert der Erregungen von zwei Zonen den Wert der Erregung der dazwischenliegenden Zone ergibt.
=
E res ≈ E 0 /2
Eine Lochkamera kann man jetzt als eine Vorrichtung betrachten, die die Intensität verstärkt.
Die Größe des Loches muß dem Radius der nullten Fresnelschen Zone entsprechen.
R1 = r0λ
Die Feldstärke im Bild ist dann doppelt so groß wie ohne Loch, die Intensität 4 mal so groß.
Abb. 149: Wirkungsweise der Fresnelschen Zonenplatte
Blendet man alle Zonen mit negativem Beitrag aus, so erhält man die sogenannte Fresnelsche
Zonenplatte. Sie hat Abbildungseigenschaften wie eine Linse und wird als solche eingesetzt,
wenn Linsen nicht herstellbar sind wie im Röntgenbereich. Als Unterschied zu Linsen ergeben
sich aufgrund der verschiedenen Beugungsordnungen mehrere Brennweiten. Um die Fresnelbeugung an Spalten und dergleichen zu beschreiben, unterteilt man die sekundäre Wellenfront
in gerade Streifen, wobei die Bedingung für die Berandung gleich bleibt
r n = r n−1 λ/2
Abb. 150: Fresnelbeugung an einer Halbebene
91
Abb. 151: Die Cornu-Spirale
Das Zeigerdiagramm ist die sogenannte Cornu-Spirale. Beginnt man in dem Fußpunkt des Lotes vom Beobachtungspunkt P auf die Fläche, startet man im Zeigerdiagramm bei A. Die Beiträge der rechten Hälfte der Ebene liegen auf dem rechten Ast der Spirale und konvergieren
bei der hier durchgeführten Normierung gegen den Punkt (1,1), die Beiträge der linken Hälfte
gegen (-1,-1). Der Beitrag der abgedeckten Zonen wird im Punkt S abgeschnitten. Für Beobachtungsorte im Öffnungsbereich der Blende ist S auf dem linken Ast, die Spitze von Er im
Konvergenzpunkt des rechten Astes. Er hat Maxima und Minima. Für den Schattenbereich ist
S ebenfalls auf dem rechten Ast. Er ändert sich monoton. An der Schattengrenze A erhält man
die Hälfte der Feldstärke, die man ohne Blende erreicht. Die Intensität ist also 1/4.
Abb. 152: Intensitätsverteilung für Fresnelbeugung an
einer Halbebene
92
KAPITEL G
Anwendungen
1. Grundzüge der Spektroskopie
a) Einleitung
Die Spektroskopie befaßt sich mit der Frequenzanalyse von Licht. Die hohe Präzision
(λ/∆λ ∼ 10 6 ) , zu der diese Methode im vorigen Jahrhundert entwickelt worden ist, hat die
sehr genaue Ausmessung der von Atomen und Molekülen ausgesandten Frequenzen geführt
und damit den Weg zur modernen Quantenmechanik geebnet. Heute interessiert neben der
genauen Lage von Spektrallinien die Intensitätsverteilung und die Gesamtintensität, die ein
Atom innerhalb einer Spektrallinie emittiert. Zur Messung dieser Größen dient ein Spektrograf. Im folgenden wird der Aufbau von Spektrografen erläutert.
b) Aufbau eines Spektrografen
Abb. 153: Das dispersive Element im
Spektrografen
Die zentrale Komponente eines Spektrografen ist das dispersive Element, das Licht mit unterschiedlichen Frequenzen verschieden stark ablenkt. Dies kann ein Prisma sein, in dem man
die Abhängigkeit des Brechungsindexes von der Wellenlänge ausnutzt, oder eine Anordnung
zur Vielstrahlinterferenz wie ein Beugungsgitter oder ein Fabry-Pérot Etalon.
Abb. 154: Spektrograf ohne Optik wie bei
Newton
Benutzt man wie Newton (Isaac Newton 1643-1727) ein Prisma (oder Gitter) ohne weitere
Abbildungsoptik, so ist für große Lochdurchmesser der Eingangsblende das Auflösungsvermögen durch die Lochgröße bestimmt. Verringert man den Lochdurchmesser, so bestimmt ab
einer bestimmten Lochgröße der Winkeldurchmesser der Lichtquelle, bei Newton der Sonne,
den Fleckdurchmesser. Dies kann durch Einfügen einer Linse, die die Eingangsblende auf
dem Schirm abbildet, verbessert werden. Um ohne Verlust des Auflösungsvermögens mehr
Licht zur Verfügung zu haben, verwendet man statt der Kreisblende einen Spalt senkrecht zur
Dispersionsrichtung. Das Bild des Spaltes bestimmt die Form der Spektrallinie. Bei großen
Öffnungen kann das Bild des Spaltes in eine gekrümmte Linie verzerrt werden.
Eine weitere Verbesserung ist dadurch möglich, daß alle Strahlen einer Wellenlänge das Prisma oder das Gitter parallel durchlaufen. Da die Ablenkung vom Einfallswinkel abhängt, würden bei divergierenden Strahlenbündel unterschiedliche Ablenkungen auftreten. Man
93
verwendet also eine Kollimatorlinse, die die vom Spalt ausgehenden Strahlen parallel macht
und eine Kameralinse, die die Strahlen auf einem Schirm oder Detektor sammelt.
Abb. 155: Aufbau eines Spektrografen
In den einfachsten Anordnungen, den sogenannten Spektroskopen, benutzt man das Auge,
das man auf die Schirmebene fokussiert, als Detektor. Zur Aufnahme eines spektralen Bereiches verwendet man Photoplatten, die dann photometrisch ausgewertet werden müssen oder
Diodenzeilen. Photoplatten enthalten auch heute noch am meisten Information. Empfindliche
Detektoren mit einer großen internen Verstärkung sind Photomultiplier.
Abb. 156: Aufbau eines Photomultipliers
In ihnen löst man durch den äußeren Photoeffekt an einer metallischen Oberfläche Elektronen
aus, beschleunigt sie und läßt sie auf weitere Metallflächen auftreffen, wo das Signal über die
Auslösung von Sekundärelektronen verstärkt wird. Für unterschiedliche spektrale Bereiche
stehen spezielle Detektoren zur Verfügung. Bei der Benutzung eines einzelnen Detektors
wird vor diesem ein zweiter Spalt, der Austrittsspalt, angebracht. Der Spektralapparat arbeitet
als Monochromator. Zur Untersuchung des Intensitätsverlaufs über die Wellenlänge wird das
Spektrum über den Spalt geführt.
Gitterspektrografen haben gegenüber Prismaspektrografen zwei wesentliche Vorteile: Die
Dispersion ist verhältnismäßig schwach von der Wellenlänge abhängig, und man benötigt
keine Linsen, die aufgrund ihrer spektralen Durchlässigkeitsbereiche den zugänglichen Spektralbereich begrenzen. Glas ist unterhalb 380 nm undurchlässig, Quarz unterhalb 200 nm. In
diesem Bereich absorbiert auch die Luft, so daß Spektrografen evakuiert werden müssen.
Abb. 157: Gitterspektrograf in Rowland Aufstellung
Bringt man die Gitterstriche auf einem Hohlspiegel an, benötigt man überhaupt keine abbildenden Komponenten neben dem Gitter. Die klassische Gittermontierung für diesen Fall ist
die Paschen-Runge Aufstellung. Hier montiert man Gitter und die beiden Spalte auf einem
94
Kreis, dem sogenannten Rowlandkreis, dessen Durchmesser gleich dem Radius des Krümmungskreises des Gitters ist.
Abb. 158: Spektrograf in Wadsworth Aufstellung
In der Wadsworth-Aufstellung hat man einen weiteren Hohlspiegel zur Abbildung des Eintrittsspaltes auf dem Austrittsspalt. Eine häufig im Laborbetrieb benutzte Gitteranordnung ist
die Ebert-Aufstellung, in der ein Plangitter mit zwei Hohlspiegeln als Kollimator und Kamera
benutzt werden (H. Ebert 1891). Zur Verstellung der Wellenlänge wird das Gitter verdreht.
Abb. 159: Spektrograf in Ebert Aufstellung
c) Die förderliche Spaltbreite
Das Auflösungsvermögen eines Spektrografen ist bei großen Breiten des Eintrittsspaltes
durch die Breite des Bildes des Eintrittspaltes in der Detektorebene bestimmt. Üblicherweise
hat man eine 1:1 Abbildung und die Breiten von Spalt und Spaltbild sind gleich (S). Bei kleinen Breiten des Eintrittsspaltes, kurz Spaltbreite genannt, überwiegt die Breite der Beugungsfigur durch die im vorigen Kapitel behandelte Vielstrahlinterferenz. Für S → 0 erhält man das
maximale Auflösungsvermögen eines Gitterspektrografen. Dieses ist durch die Breite der
Feinstruktur in der Beugungsfigur des Gitters gegeben.
Abb. 160: Beugung am Gitter
E = sin Nϑ/2 mit ϑ = πa sin α
λ
E0
2
Nϑ/2
95
Die erste Dunkelheit erreicht man für Nϑ/2 = π, d.h. wegen
ϑ d a sin α d
=
λ
2π
sin α d = aλ = λ
N
h
Das maximale Auflösungsvermögen ist also durch die Beugung an der Gitterbegrenzung (h)
bestimmt. Für die Breite in der Detektorebene ergibt sich also mit sin α d ≈ x
f
erhält man
Abb. 161: Zusammenhang zwischen Winkelausdehnung
und wahrer Ausdehnung des Spaltbildes
x = λ , x = fλ
f h
h
Die Spaltbreite, bei der das Bild des Spaltes genauso breit ist wie die Beugungsfigur, nennt
man die förderliche Spaltbreite.
fλ
Sf =
h
Es ist nicht sinnvoll, S<Sf zu wählen, da ohne Verbesserung der Auflösung Intensität
verlorengeht.
Ähnlich wie bei der Abbéschen Abbildungstheorie des Mikroskopes kann man auch die Beugungsfigur, die der Spalt in der Gitterebene erzeugt, betrachten.
Abb. 162: Die Beugungsfigur des Spaltes
Diese sollte nicht größer als das Gitter sein.
h/2 = λ
S
f
2fλ
h
Man erkennt, daß größenordnungsmäßig die gleiche förderliche Spaltbreite herauskommt.
Die förderliche Spaltbreite bestimmt man experimentell, indem man den Spalt mit monochromatischem Licht beleuchtet und die Spektrallinie in Abhängigkeit von der Spaltbreite registriert. Bei großen Spaltbreiten entspricht die Intensitätsverteilung dem Schatten des Spaltes.
Bei
S=
96
Abb. 163: Experimentelle Bestimmung der förderlichen
Spaltbreite
schmaler werdendem Spalt wird das Bild entsprechend schmaler und die Gesamtintensität
nimmt linear mit S ab. Erreicht man die förderliche Spaltbreite, kann das Bild nicht mehr
schmaler werden. Die Gesamtintensität nimmt überproportional ab. Die förderliche Spaltbreite liegt etwa im Knick der Kurve I(s).
d) Anordnung der Lichtquelle
Die zu untersuchende Probe kann die Lichtquelle sein wie bei Sternen, Flammen oder Plasmen - man betreibt dann Emissionsspektroskopie - oder ein absorbierendes Medium bei
Absorptionsspektroskopie.
Abb. 164: Ausleuchtung des Gitters
Die Lichtquelle muß, um das Auflösungsvermögen des Gitters auszunutzen, das Gitter voll
ausleuchten. Dies ist kaum möglich, wenn man sie ohne Abbildungsoptik vor den Eintrittsspalt stellt, da dieser einen kleinen Raumwinkel ausblendet. Man bildet daher im allgemeinen
die Lichtquelle auf dem Eintrittsspalt ab. In der Laserspektroskopie durchstrahlt man eine
Probe mit einer Lichtquelle, die eine sehr genau definierte Wellenlänge aufweist und variiert
die Wellenlänge der Quelle.
e) Beispiel für einen Laborspektrografen
Um eine Vorstellung von der erforderlichen Justiergenauigkeit zu haben, betrachten wir ein
Zahlenbeispiel für einen kleinen Laborspektrografen:
Abb. 165: Dispersion und Auflösungsvermögen eines
Laborspektrografen
f = 0,5 m, Anzahl der Striche pro Längeneinheit: N/b = 1200 Striche pro mm = 1, 2 ⋅ 10 6 m −1 ,
Breite des Gitters b = 5 ⋅ 10 −2 m . Die Dispersion ergibt sich nach den Ausführungen im vorigen Kapitel zu:
dλ = dx , dλ = dx a = dx b
a
f
Nf
f
für dx = 1 mm erhält man
97
1
= 1, 6nm/mm
1, 2 ⋅ 10 6 ⋅ 0, 5
Das Auflösungsvermögen
λ = Nn = 50 ⋅ 1, 2 ⋅ 10 3 = 6 ⋅ 10 4
∆x
dλ = 10 −3
o
−7
∆x = 5 ⋅ 10 4 ≈ 10 −11 = 10 −2 nm = 0.1 A
⋅
Die förderliche Spaltbreite wird
fλ 0, 5 ⋅ 5 ⋅ 10 −7
= 0, 5 ⋅ 10 −5 = 5µm
S= =
b
⋅ −2
Abb. 166: Auswirkung einer Dejustierung
Nach der geometrischen Optik würde bei einer Fehljustierung des Fokus der Kameralinse um
50 µm eine Linienbreite von der Größe der förderlichen Spaltbreite entstehen. Eine Fehljustierung von dieser Größenordnung kann man im allgemeinen nicht zulassen. Der Fokus sollte daher besser als auf 50 µ genau justiert sein. Temperaturänderungen, aber auch rauhe Behandlung des Spektrografen können seine vorteilhaften Eigenschaften verderben. Es ist daher
häufig erforderlich, Laborspektrografen nachzujustieren. Geprüft werden sollte:
a) Wird die Mitte des Eintrittsspaltes für alle Spektralbereiche in die Mitte des Austrittsspaltes
abgebildet?
b) Sind Eintritts- und Austrittsspalt parallel zueinander und parallel zu den Gitterstrichen?
g) Stimmt der Fokus?
Abb.167: Justierung des Fokus mit der Foucaultschen
Messerschneidenmethode
Diesen überprüft man am besten mit der Foucaultschen Messerschneidemethode:
Man bestrahlt den Eintrittsspalt mit monochromatischem Licht und beobachtet die Ausleuchtung des Gitters, indem man mit dem Auge an den Austrittsspalt geht. Bei Verdrehen der
Wellenlängenskala, z.B. von rot nach blau, sollte das Gitter etwa gleichzeitig auf der gesamten Fläche in der Farbe der betrachteten Spektrallinie aufleuchten. Bei Fehljustierung scheint
ein begrenztes Gebiet von Helligkeit seitlich über das Gitter zu laufen, wie in Abb. 167
erläutert.
98
f) Aufgaben der Spektroskopie
α) Bestimmung der Wellenlänge
Die einfachste Messung mit einem Spektrografen ist die Bestimmung der Wellenlänge. Dies
ist im Prinzip über die Geometrie, d.h. die Strichzahl des Gitters, die Brennweiten, Einfallsund Ausfallswinkel möglich. In der Praxis vergleicht man heute die Lage der unbekannten
Linien mit denen von genau vermessenen Referenzlinien. Ein sehr genau vermessenes Spektrum mit einer großen Anzahl von Linien ist das des Eisenbogens. Die genaue Vermessung
der Atomlinien, z.B. der Serien des Wasserstoffspektrums, hat zur Entwicklung der
Atomtheorie und damit der Quantentheorie geführt. Durch ständige Verbesserung der Meßgenauigkeit war es möglich, Effekte zu beobachten, für deren Erklärung die klassische Quantenmechanik nicht mehr ausreicht, sondern relativistische Effekte (Dirac Theorie/Paul Adrien
Maurice Dirac 1902-) und die Quantenfeldtheorie herangezogen werden müssen.
Über die Bestimmung der Wellenlänge ist die qualitative Analyse einer Substanz möglich.
Man nimmt ein Spektrum der unbekannten Substanz auf und vergleicht mit bekannten Spektren. Auf diese Weise wurde das Helium im Spektrum der Sonne durch Bunsen (Robert Bunsen 1811-1899) und Kirchhoff entdeckt. Für Alkali- und Erdalkalimetalle ist das Spektrum,
das die Probe in einer Flamme abgibt, die einfachste Nachweismethode.
Da das Spektrum der meisten Moleküle im infraroten Spektralbereich liegt, analysiert man in
der Chemie Substanzen mit Absorptionsspektroskopie im Infraroten. Das Molekülspektrum
läßt Rückschlüsse auf Massen, Abstände und Kopplungskonstanten im Molekül zu.
β) Bestimmung von Intensitäten
Die Gesamtintensität einer Spektrallinie ist proportional zu der von ihr eingeschlossenen
Fläche
Abb. 168: Die Gesamtintensität einer Spektrallinie
∞
I ges = ∫ I(λ)dλ
Die Messung dieser Größe erfordert die Bestimmung der Energie, die in einer gewissen Zeit
ausgestrahlt wird, also Kalorimetrie. In der Praxis vergleicht man mit "Normalstrahlern", d.h.
Körpern, deren ausgestrahlte Intensität bekannt ist. Ein theoretisch gut vorhersagbares Spektrum liefert ein Hohlraum bekannter Temperatur. Sekundäre Normale sind Kohlebogen und
Wolframbandlampe.
Abb. 169: Konzentrationsbestimmung durch Interpolation
99
Ein in der Industrie häufig verwandtes Verfahren zur quantitativen Analyse besteht darin, daß
man Proben mit bekannten Konzentrationen ni des zu untersuchenden Stoffes anfertigt und
die Intensität einer Spektrallinie unter definierten Bedingungen ausmißt. Die Konzentration in
der Probe nx ergibt sich dann durch Interpolation. Man beachte, daß unter bestimmten Umständen, z.B. bei der Hohlraumstrahlung, die ausgestrahlte Intensität nicht von der Konzentration der strahlenden Atome abhängt.
Abb. 170: Übergangswahrscheinlichkeiten im Atom
Unter gewissen Voraussetzungen ist auch eine absolute quantitative Analyse möglich. Die
Anzahl der spontanen Übergänge zwischen zwei Niveaus wird durch die Einsteingleichung
gegeben (Albert Einstein 1879-1955)
dN 2
= A 21 N 2 ,
dt
wobei N2 die Anzahl der Teilchen im oberen Niveau und A21 der Koeffizient für spontane
Emission für den Übergang von Niveau 2 nach 1 ist, den wir als bekannt voraussetzen. Pro
Übergang wird die Energie hν abgestrahlt, d.h. die gesamte Strahlungsleistung ist
I ges = A 21 N 2 hν .
Aus Iges kann also sofort N2 ermittelt werden. Mit Hilfe der Boltzmann-Formel (Ludwig
n
Boltzmann 1844-1906) n 2 = e −E 2 /kT kann man bei Vorliegen von thermischem Gleichgewicht
0
auf die Anzahl der Teilchen im Grundzustand n0 schließen, und diese ist über das Ionisationsgleichgewicht mit der Ionen- bzw. Elektronenzahl ni, ne verknüpft.
n i n e n 2e
n 0 = n 0 = S(T)
Außerdem ist p = ngeskT,
d.h. bei Vorliegen des thermischen Gleichgewichtes lassen sich aus der Linienintensität Teilchenkonzentrationen und Temperatur bestimmen.
γ) Linienprofile
Die Linienprofile enthalten weitere Information, die zur Diagnostik ausgenutzt werden kann.
In der Praxis treten häufig mehrere Mechanismen gleichzeitig auf, so daß das Problem darin
besteht, diese zu trennen. Im folgenden nehmen wir an, daß die Effekte isoliert werden
können.
Die Teilchen in einem heißen Gas haben eine Geschwindigkeitsverteilung. Wegen des Dopplereffektes spiegelt sich diese im Linienprofil wider. D.h., wenn die Dopplerverbreiterung
überwiegt, ist die Breite der Linie ein Maß für die Temperatur des Gases. Setzt man im
Dopplereffekt für v<c die mittlere thermische Geschwindigkeit ein
v = ∆λ D mit 1 mv 2 = kT
c
λ
2
100
so erkennt man, daß die typische Breite der Linie ∆λ D proportional zu T ist.
Abb. 171: Stoßverbreiterung einer Spektrallinie
Durch Stöße eines leuchtenden Atoms mit Störteilchen wird ein ohne Störungen sinusförmiger Wellenzug in kurzzeitige sinusförmige Stücke zerhackt, dessen Fourieranalyse eine Frequenzverteilung mit endlicher Breite ∆λ s ergibt. ∆λ s ist proportional zur Störteilchenkonzentration, die also über die Linienbreite gemessen werden kann.
Benötigt man in der Spektroskopie eine Lichtquelle mit schmaler Linienbreite, etwa zur Bestimmung des Apparateprofils, so achtet man darauf, daß Verbreiterungsmechanismen keine
Rolle spielen. Zur Vermeidung des Dopplereffektes muß das leuchtende Gas möglichst kalt
sein und große Atommassen aufweisen, zur Vermeidung von Stoßverbreiterung sollte es
möglichst verdünnt sein.
101
2. Holografie
a) Einleitung
In der Holografie geht es darum, durch ein Wiedergabemedium wie eine Photoplatte oder einen Bildschirm, ein Wellenfeld zu erzeugen, das bezüglich Amplitude und Phase dem vom
Objekt ursprünglich ausgestrahlten Wellenfeld möglichst genau entspricht. Dies erlaubt einen
weitgehend naturgetreuen Eindruck durch die Wiedergabe, insbesondere ein dreidimensionales
Erscheinungsbild. Das erste Hologramm eines ausgedehnten Körpers wurde von Dennis Gabor
(1900-1979) im Zusammenhang mit seinen Untersuchungen zur Elektronenmikroskopie
hergestellt.
b) Fresnelhologramm eines Punktes
Abb. 172: Der Zusammenhang von Hologramm und
Zonenplatte
Im Grunde kann man die Fresnelsche Zonenplatte als das Hologramm eines Punktes auffassen.
Bestrahlt man ein punktförmiges Streuzentrum mit einer ebenen Welle, so ergibt die Überlagerung der ursprünglichen ebenen Welle und der vom Objekt ausgehenden Kugelwelle ein System von Kreisringen, die denen der Fresnelschen Zonenplatte entsprechen: Es entsteht eine
konstruktive Überlagerung an Stellen, bei denen der Gangunterschied zwischen r und r0 gerade
n ⋅ λ ist, dazwischen hat man Auslöschung. Belichtet man mit dieser Intensitätsverteilung eine
Photoplatte, erhält man eine Anordnung, die einer gewöhnlichen Fresnelschen Zonenplatte
sehr ähnlich ist. Der einzige Unterschied besteht darin, daß die radiale Verteilung der Schwärzung auf der Platte sinusförmig ist statt rechteckig wie bei der Fresnelschen Zonenplatte.
Die Wirkung ist ähnlich: Bestrahlt man sie mit parallelem Licht, wird dieses in einem Punkt
gesammelt. Außerdem entsteht eine zweite Kugelwelle, die von einem Punkt herzukommen
scheint, der vor dem Hologramm liegt, da, wo ursprünglich das Streuzentrum war. Die beiden
Punkte kann man als eine reelle und eine virtuelle Rekonstruktion des ursprünglichen Objektes
auffassen.
reelles
Abb.173:
Fresnelhologramm
und
virtuelles
Bild
beim
c) Mehrere Punkte
Kann man ein lineares Verhalten des gesamten Prozesses voraussetzen, so erzeugt ein Objekt
aus mehreren Punkten ein Hologramm, das aus der ungestörten Überlagerung der
102
Punkthologramme entsteht. Bei der Rekonstruktion erhält man ein Wellenfeld, das von den
einzelnen Bildpunkten herzukommen scheint und somit das ursprüngliche Objekt treu
wiedergibt.
Abb. 174: Die Schwärzungskurve
Die Voraussetzung der Linearität der Anordnung ist nicht ganz unproblematisch. Die Schwärzung einer Photoplatte, die man als Transmissionskoeffizient der belichteten Platte definieren
kann, ist in keiner Weise linear von der Belichtung, die die Schwärzung hervorgerufen hat, abhängig. Daher gilt Linearität nur in einem engen Bereich um eine Anfangsschwärzung.
d) Das Nebenbandhologramm
Das oben besprochene Hologramm hat den Nachteil, daß reelles und virtuelles Hologramm auf
einer Linie liegen und sich damit stören. Dies kann man vermeiden, indem man die Referenzwelle seitlich einstrahlt.
Abb. 175: Nebenband Hologramm
Bei der Rekonstruktion entstehen die beiden Bilder in unterschiedlichen Richtungen. Die Zeiger der Referenz- und der Objektwelle auf der Photoplatte bei ihrer Belichtung sind:
Referenzwelle:
Objektwelle:
∼ ∼
E r = A r e −iαx
∼
∼
E 0 = A 0 e −iδ(x) ,
wobei δ(x) die durch das Objekt erzeugte Phasenverschiebung ist.
103
Die Intensität auf der Platte wird dann:
∼ ∼
I(x) = E ⋅ E ∗ = (A r e −iαx + A 0 e −iδ )(A r e iαx + A 0 e iδ )
= A 2r + A 20 + A r A 0 (e −i(αx−δ) + e i(αx+δ) )
= A 2r + A 20 + 2A r A 0 cos (αx − δ)
________________________
Der unterstrichene Term enthält die Amplitude und die Phase als Information. Stört das Objekt
die Referenzwelle nicht, erhält man ein streifenförmiges Muster 2 A rA0cos αx. Die Störung
durch das Objekt erzeugt eine Streifenverschiebung. Bei der Rekonstruktion bleibt in der geeigneten Richtung ein Term 2A r A 0 e −iδ(x) übrig, der im wesentlichen die Objektwelle
wiedergibt.
Abb. 176: Muster des Nebenbandhologramms auf der
Photoplatte
104
KAPITEL H
Wechselwirkung von Strahlung mit Materie
1. Einleitung
In der Elektrodynamik wird der Einfluß der Materie auf die Strahlung mit Hilfe der Stoffkonstanten ε r und µ r berücksichtigt, wobei in der Optik häufig µ r = 1 gilt. Hiermit ist es z.B.
möglich, Polarisations- und Intensitätsverhältnisse beim Übergang von Strahlung von einem
zum anderen Medium vollständig zu beschreiben. Dies leisten die Fresnelschen Formeln, die
aus der Maxwellschen Theorie bei Berücksichtigung der Randbedingungen folgen. Möchte
man Aussagen über ε r selbst bekommen, muß man zu einer mikroskopischen Betrachtung
übergehen, d.h. untersuchen, wie die Atome und Moleküle in einem Medium auf die Strahlung
reagieren. Wir wissen, daß die Dynamik der Elektronen in einem Atom durch eine Wellengleichung beschrieben wird und daß diese im Atom zu Eigenzuständen führt, die diskrete Energien
aufweisen. Daher sind auch bei der Emission und Absorption nur bestimmte Energiesprünge
∆E = hν möglich. Diese Energiesprünge widersprechen der klassischen Mechanik, so daß man
im allgemeinen aus einer klassischen Betrachtung der Wechselwirkung von Strahlung mit Materie falsche Aussagen erhält. Wir behandeln das Problem trotzdem klassisch, da einige Ergebnisse, z.B. aus der Streutheorie, qualitativ richtig sind und da wir bei den falschen Vorhersagen
besser verstehen, warum die Einführung der Quantenmechanik notwendig war. Klassisch hat
man es entweder mit freien oder gebundenen Elektronen zu tun, die durch die einfallende Welle zu Schwingungen angeregt werden und ihrerseits als Dipole strahlen. Wir rekapitulieren daher im folgenden einige Grundtatsachen der Dipolstrahlung. Für eine genauere Darstellung
verweisen wir auf die Elektrodynamik.
2. Dipolstrahlung
Abb. 177: B und E im Nahfeld eines Dipols
Ein Dipol mit sinusförmigem Zeitverhalten p = ex = ex 0 sin ωt hat im Nahfeld, d.h. für Laufzeiten der Welle, die klein gegen ihre Schwingungsperiode sind, das Feld eines ruhenden Dipols
und B steht senkrecht zu E und zum Radiusvektor r. Die Feldstärke geht mit 1/r3.
Im Fernfeld hat man ein Feld einer elektromagnetischen Welle, d.h. E ⊥ B, r; B⊥ r .
Abb. 178: E und B im Fernfeld
105
E in der Welle entspricht der Projektion des ursprünglichen Feldes auf die Ebene senkrecht zu
.
E ϑ = E 0 sin ϑ, I = I 0 sin 2 ϑ
Die Abstrahlcharakteristik eines Dipols geht daher mit sin 2 ϑ.
3. Streuung an freien Elektronen
a) Polarisation
Abb. 179: Polarisationsverhältnisse bei Streuung an
Elektronen
Auch bei Streuung an gebundenen Elektronen ergeben sich die Polarisationsverhältnisse aus
dem Dipolbild (Abb. 179).
b) Spektrale Verteilung
Man muß beachten, daß bei einer konstanten Elektronendichte keine Streuung möglich ist. Dadurch, daß sich im Streulicht Wellen mit allen möglichen Phasen überlagern, würde die resultierende Intensität Null sein. Gestreut wird also immer an Fluktuationen. Sind diese Fluktuationen inkohärent, so spiegelt sich in der spektralen Verteilung des Streulichtes die Verteilungsfunktion der Elektronen wieder, und man mißt über die Breite die Temperatur der Elektronen:
∆ω H ∼ T e
Abb. 180: Linienprofil bei
inkohärenter Streuung an
freien Elektronen
Die Gesamtintensität ist ein Maß für die Dichte der Elektronen
∫
∞
I(λ)dλ ∼ n e
Wenn die Fluktuationen der Elektronendichte durch Wellenphänomene im Elektronengas korreliert sind, spricht man von kohärenter Streuung. Das Spektrum spiegelt die charakteristischen
Frequenzen der Fluktuationen wider.
106
Abb. 181: Linienprofil des Streulichtes bei kohärenter
Streuung
4. Streuung an gebundenen Elektronen
a) Dispersionstheorie
Der Brechungsindex n kann in einer mikroskopischen Theorie über die Polarisierbarkeit der
Atome und Moleküle des Mediums berechnet werden.
n2 = εr = 1 + χ
χ ist hierin die Suszeptibilität, d.h. die Polarisierbarkeit aller Teilchen in einem Volumen
χ = Nα
α ist die Polarisierbarkeit eines Atoms
p = ex = αε 0 E
p ist das Dipolment eines Atoms.
Zur Berechnung von α gehen wir vom gedämpften harmonischen Oszillator aus. Die Bewegungsgleichung im Wellenfeld lautet:
••
•
e E e iω
x +ω 20 x + γ x= m
0
ω 20 enthält die rücktreibende Kraft und γ die Dämpfung. Man löst wie bei der erzwungenen
Schwingung mit dem Ansatz
•
••
x = x 0 e iωt , x= iωx, x= −ω 2 x
 −ω 2 + ω 2 + iγω  x = e E 0
0
m


2
χ = Nα = εNem 2 1 2
0 −ω + ω + iγω
0
Der korrekte, aus der Quantenmechanik folgende Ausdruck unterscheidet sich hiervon dadurch, daß im Atom mehrere Frequenzen ω i vorliegen, über die man summieren muß. Der
Beitrag jeder Teilschwingung zu χ wird durch die Oszillatorenstärke fij charakterisiert, wobei
man von Übergängen zwischen den Niveaus i und j ausgeht.
Nje2
χ= ε m
0
f ij
Σ −ω 2 + ω 2 + iγω
Aus n 2 = 1 + χ ergibt sich der komplexe Brechungsindex
∼
n = n r + in i
Für den Fall kleiner Dämpfung kann man ni durch ein Lorentzprofil annähern
1
1
(ω = γ/2)
n ∼
i

1 +  2∆ω
γ 
2
1 + ( ω∆ωH )
2
H
107
nr − 1 ∼
∆ω
1 + ( ω∆ωH )
2
Abb. 182: Real- und Imaginärteil des Brechungsindex
Der Imaginärteil spiegelt die Form einer Absorptionslinie wider, während der Realteil den üblichen Brechungsindex angibt. Man erkennt, daß im Bereich der Absorption dn < 0 ist und dadω
mit anomale Dispersion vorliegt. Außerhalb ist dn > 0 und dort liegen die Gebiete normaler
dω
Dispersion. Z.B. liegen bei durchsichtigen Medien wie Glas Absorptionsstellen im Ultravioletten und Infraroten. Im Sichtbaren zeigt das Material daher normale Dispersion.
b) Warum ist der Himmel blau?
Die Streuung von Licht an gebundenen Elektronen nennt man Rayleigh-Streuung. Sauerstoffmoleküle haben Resonanzstellen im Ultravioletten. Da die Feldstärke des Strahlungsfeldes eines Dipols mit der Amplitude der Dipolschwingung geht und diese durch das Verhalten einer
erzwungenen Schwingung bestimmt ist, gilt
E0
E st =
2
1 + ( ω∆ωH )
Abb. 183: Streuung an Luftmolekülen
ω H ist die Halbwertsbreite der Resonanz.
I
E0
∆ω
Für ω >> 1 wird E st =
,I= 0 4
2
H
∆ω
∆ω
( ωH )
( ωH )
c , ist ∆λ = ∆ω und damit I ∼ 1 .
Da λ = ω
st
ωH
λ
∆λ 4
Bei Rayleighstreuung geht die Intensität mit der vierten Potenz der Wellenlänge. Daher wird
blaues Licht viel stärker gestreut als rotes, und der Himmel scheint bei seitlicher Beleuchtung
blau, bei Durchstrahlung rot.
5. Andere Streueffekte
108
Strahlt man genau mit einer Resonanzwellenlänge ein, erhält man Streulicht durch Resonanzfluoreszenz. Resonanzfluoreszenz eignet sich zum empfindlichen ortsaufgelösten Nachweis
von Stoffen. Die Streuung an dem Gitter eines Kristalls, die wegen der kleinen Abstände Röntgenlicht erfordert, heißt Bragg-Streuung. Sie wird zur Untersuchung von Kristallen und zur
spektralen Zerlegung von Röntgenlicht eingesetzt. Mie-Streuung findet an Teilchen statt, die
deutlich größer als die Wellenlänge der Streustrahlung ist. Comptonstreuung ist Streuung an
freien Elektronen im Festkörper mit Photonenenergien von der Größenordnung der Energie
der Ruhemasse des Elektrons mc2. Bei Comptonstreuung wird Energie auf ein Elektron übertragen und die Frequenz der Strahlung erniedrigt. Der Comptoneffekt ist klassisch nicht erklärbar, aber quantenmechanisch quantitativ beschreibbar.
6. Äußerer Photoeffekt
Durch energiereiche Strahlung können Elektronen aus einer Oberfläche ausgelöst werden. Im
klassischen Bild wird die Energie der einfallenden Strahlung, die proportional zum Quadrat
der Amplitude ist, verwendet, um die Austrittsarbeit Φ 0 zu überwinden. Der Rest wird in der
kinetischen Energie der Elektronen gefunden, d.h. man erwartet
Abb. 184: Elektronen werden durch Licht aus einer Metalloberfläche ausgelöst
kE 20 = Φ 0 + 1 mv 2
2
Beobachtet wird
hν = Φ 0 + 1 mv 2
2
Man deutet dies nach Einstein mit der Annahme, daß Licht aus Quanten der Energie hν
besteht.