während man sie hatte, um H

M. Schmuckenschläger
... man glaubte ein Kriterium der Realität in den Vernunftformen
zu haben, - während man sie hatte, um Herr zu werden über die
Realität, um auf eine kluge Weise die Dinge zu mißverstehen ...
F. Nietzsche
INHALTSVERZEICHNIS
ii
Inhaltsverzeichnis
1
Mengentheorie
1.1 Vollständig geordnete und wohlgeordnete Mengen . . . . . . . . .
1.2 Maximalitätstheorem, Lemma von Zorn, Wohlordnungssatz . . . .
1.3 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
2
3
2
Topologie und Analysis
2.1 Normierte Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Metrische Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
6
7
10
3
Topologische Räume
3.1 Topologien . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Halbstetige Funktionen . . . . . . . . . . .
3.3 Offene und abgeschlossene Abbildungen
3.4 Räume mit abzählbarer Basis . . . . . . .
3.5 Überdeckungen . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Filter und Netze . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Initiale und finale Topologien . . . . . . .
3.8 Konstruktionen . . . . . . . . . . . . . . .
3.9 Zusammenhängende Räume . . . . . . .
3.10 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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21
21
24
25
27
29
29
32
38
45
50
Reguläre und normale Räume
4.1 Reguläre und vollständig reguläre Räume . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Normale Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
81
84
90
4
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INHALTSVERZEICHNIS
iii
Literatur: [3], [2], [4], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11], [12], [13], [16], [18], [19], [20].
Wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/Topology
1
1 Mengentheorie
1.1 Vollständig geordnete und wohlgeordnete Mengen
Sei (X, ≤) eine geordnete Menge; unter einer oberen Schranke einer Teilmenge
A von X versteht man ein Element x ∈ X, so daß für alle a ∈ A: a ≤ x. Unter dem
Supremum sup A von A versteht man die kleinste obere Schranke von A, d.h.
sup A ist eine obere Schranke von A und für jede weitere obere Schranke x von A
gilt: sup A ≤ x. Schließlich heißt ein Element x ∈ A ein maximales Element von
A, wenn aus y ∈ A und x ≤ y folgt: y = x – d.h. es gibt in A kein echt größeres
Element als x; A kann auch mehrere maximalen Elemente besitzen; ferner muß
ein maximales Element von A – auch wenn es eindeutig ist – nicht unbedingt
das Supremum von A sein! Analog sind die Begriffe untere Schranke, Infimum
sowie minimales Element definiert.
Definition 1.1.1 Eine geordnete Menge (X, ≤) heißt linear geordnet bzw. wohlgeordnet, wenn alle Elemente vergleichbar sind – i.e. für alle x, y ∈ X gilt x ≤ y oder
y ≤ x – bzw. wenn jede Teilmenge ein minimales Element besitzt. Eine geordnete Menge
(X, ≤) heißt vollständig geordnet, wenn jede linear geordnete Teilmenge ein Supremum in X besitzt; man sagt dann auch (X, ≤) ist ein c.p.o..
N ist wohlgeordnet, R ist ein c.p.o. aber nicht wohlgeordnet. Die Potenzmenge
P(X ) einer beliebigen Menge X ist mit der Mengeninklusion ein c.p.o. (aber nicht
wohlgeordnet). Jede wohlgeordnete Menge ist linear geordnet, denn für x 6= y
besitzt { x, y} ein minimales Element, also gilt entweder x < y oder y < x.
Satz 1.1.2 (Zermelo) Ist (X, ≤) ein c.p.o. und F : X → X eine Abbildung, so daß für
alle x ∈ X: x ≤ F( x ). Dann besitzt F einen Fixpunkt.
B EWEIS : 1. Sei a ∈ X; eine Teilmenge A von X heißt zulässig, wenn a ∈ A, F( A) ⊆
A und wenn für jede linear geordnete Teilmenge B von A gilt: sup B ∈ A. Ist B die
T
Menge aller zulässigen Teilmengen von X, so ist X ∈ B und X0 : = { A : A ∈ B}
ist die kleinste zulässige Menge.
Die Menge [ a, ∞): = { x ∈ X : x ≥ a} ist zulässig, denn falls x ≥ a, dann ist
F( x ) ≥ x ≥ a und das Supremum jeder linear geordnete Teilmenge von [ a, ∞)
liegt selbst in [ a, ∞). Also X0 ⊆ [ a, ∞).
2. Sei Y0 : = {y ∈ X0 : ∀ x ∈ X0 , x < y : F( x ) ≤ y} und für alle y ∈ Y0 sei
schließlich
Z(y): = {z ∈ X0 : (z ≤ y) ∨ (z ≥ F(y))} .
Es gilt dann Z(y) ∈ B , i.e. für alle y ∈ Y0 gilt: Z(y) = X0 .
i. a liegt in Z(y), denn für alle y ∈ Y0 ⊆ X0 gilt: a ≤ y.
ii. Ist z ∈ Z(y) und z ≤ y, so ist entweder z < y, dann gilt aber Definition von Y0 :
F(z) ≤ y, oder y = z, also in jedem Fall F(z) ≤ y. Ist z ∈ Z(y) und z ≥ F(y), so
folgt: F(z) ≥ z ≥ F(y).
2
1 MENGENTHEORIE
iii. Sei C ⊆ Z(y) linear geordnet und c0 = sup C ∈ X0 . Falls für alle c ∈ C: c ≤ y,
dann folgt: c0 ≤ y und folglich c0 ∈ Z(y). Gibt es andererseits ein c ∈ C, so daß
c > y, dann folgt: c ≥ F(y) und somit: c0 ≥ F(y).
3. Y0 ∈ B , i.e. Y0 = X0 , d.h. für alle x, y ∈ X0 gilt entweder x ≤ y oder x ≥ F(y) ≥
y, i.e. X0 ist linear geordnet. Für x0 : = sup X0 gilt dann: F( x0 ) = x0 .
i. a ∈ Y0 , denn falls x ∈ X0 , dann folgt nach 1. x ≥ a.
ii. Sei y ∈ Y0 , d.h. für alle x ∈ X0 mit x < y gelte F( x ) ≤ y. Zu zeigen ist, daß für
alle x ∈ X0 mit x < F(y) gilt: F( x ) ≤ F(y). Nun ist aber nach 2. x ∈ X0 = Z(y),
also gilt entweder x ≤ y oder x ≥ F(y), i.e. x ≤ y. Da y ∈ Y0 und x ∈ X0 folgt
daraus: F( x ) ≤ F(y).
iii. Sei B ⊆ Y0 linear geordnet und b0 = sup B ∈ X0 . Zu zeigen ist, daß für alle
x ∈ X0 mit x < b0 gilt: F( x ) ≤ b0 . Nach 2. gilt für alle y ∈ Y0 entweder x ≤ y
oder x ≥ F(y). Angenommen für alle b ∈ B gilt x ≥ F(b), dann folgt x ≥ b, i.e.
x ≥ b0 , was unmöglich ist. Somit gibt es ein b ∈ B, so daß b ≥ x. Falls b = x,
dann folgt aus x < b0 , daß ein b1 ∈ B existiert, so daß b < b1 ; da b1 ∈ Y0 , folgt:
F( x ) = F(b) ≤ b1 ≤ b0 . Falls b > x, dann folgt aus b ∈ Y0 : F( x ) ≤ b ≤ b0 .
1.2 Maximalitätstheorem, Lemma von Zorn, Wohlordnungssatz
Das Auswahlaxiom besagt, daß es zu jeder Familie Xα , α ∈ I, von nicht leeren
S
Mengen eine Funktion f : I → α Xα gibt – eine sogenannte Auswahlfunktion,
so daß für alle α ∈ I: f (α) ∈ Xα .
Korollar 1.2.1 (Hausdorff) Jede geordnete Menge (X, ≤) enthält eine maximale linear
geordnete Teilmenge.
B EWEIS : Sei X die Menge aller linear geordneten Teilmengen von X, dann ist
(X , ⊆) ein c.p.o. Enthält X kein maximales Element, so gibt es zu jedem A ∈ X
ein B ∈ X mit A ⊆ B, A 6= B – für jedes A ∈ X ist also die Menge X A : = { B ∈
X : A ⊆ B, A 6= B} nicht leer. Nach dem Auswahlaxiom gibt es eine Abbildung
F : X → X , so daß für alle A ∈ X : F( A) ∈ X A , i.e. A ⊆ F( A) und A 6= F( A);
nach Satz 1.1.2 besitzt aber F einen Fixpunkt.
Korollar 1.2.2 (Lemma von Zorn) Sei (X, ≤) eine geordnete Menge, so daß jede linear geordnete Teilmenge eine obere Schranke besitzt, dann gibt es ein maximales Element.
B EWEIS : Nach Korollar 1.2.1 gibt es eine maximale linear geordnete Teilmenge Y.
Ist y eine obere Schranke von Y und y ∈
/ Y, dann ist Y ∪ {y} eine linear geordnete
Teilmenge von X, also y ∈ Y.
1.3 Übungen
3
Eine geordnete Menge X, in der jede linear geordnete Teilmenge eine obere Schranke besitzt, nennt man auch induktiv geordnet. Ist X induktiv geordnet und x0 ∈
X, dann gibt es ein maximales Element m ∈ X mit x0 ≤ m, denn die Menge
X0 : = { x ∈ X : x0 ≤ x } ist nicht leer und induktiv geordnet; sie besitzt also ein
maximales Element m und dieses ist auch maximal in X.
Mithilfe des Zornschen Lemmas ist der Beweis von Satz 1.1.2 mehr oder minder
trivial: da X ein c.p.o. ist, ist X induktiv geordnet und besitzt somit ein maximales
Element m; nach Voraussetzung ist aber m ≤ F(m), also folgt nach Definition
eines maximalen Elements: m = F(m).
Satz 1.2.3 (Zermelo) Auf jeder Menge X existiert eine Wohlordnung.
B EWEIS : Sei X die Menge aller Teilmengen Y von X, auf denen eine Wohlordnung
≤Y existiert. Auf X ist dann wie folgt eine Ordnung definiert: (Y, ≤Y ) ≤ (Z, ≤ Z )
genau dann, wenn
1. Y ⊆ Z.
2. Die Einschränkung der Ordnungsrelation ≤ Z auf Y stimmt mit der Ordnungsrelation ≤Y überein, i.e.: ≤ Z |Y ×Y =≤Y .
3. Aus x ∈ Y und y ∈ Z \ Y folgt: x ≤ Z y.
In (X , ≤) besitzt jede linear geordnete Teilmenge (Yα , ≤α ), α ∈ I, eine obere
S
Schranke nämlich Z: = Yα und x ≤ Z y genau dann, wenn ein α ∈ I existiert, so
daß x, y ∈ Yα und x ≤α y. Es bleibt zu zeigen, daß (Z, ≤ Z ) wohlgeordnet ist. Sei
∅ 6= A ⊆ Z, dann gibt es ein α ∈ I, so daß A ∩ Yα 6= ∅. Da (Yα , ≤α ) wohlgeordnet ist, gibt es ein minimales Element m ∈ A ∩ Yα . Falls a ∈ A aber a ∈
/ A ∩ Yα ,
dann gibt es ein β ∈ I, so daß m, a ∈ Yβ und (Yα , ≤α ) ≤ (Yβ , ≤ β ). Dann folgt aber
wegen 3. m ≤ a.
Nach dem Lemma von Zorn 1.2.2 gibt es ein maximales Element (X0 , ≤0 ) und
aufgrund der Maximalität ist X0 = X.
Definition 1.2.4 Sei X eine Menge und P eine Eigenschaft, die sich auf Teilmengen von
X bezieht. P nennt man eine Eigenschaft endlichen Charakters, wenn die leere Menge die
Eigenschaft P besitzt und wenn eine beliebige Teilmenge von X die Eigenschaft P genau
dann besitzt, wenn alle endlichen Teilmengen diese Eigenschaft besitzen.
Satz 1.2.5 (Teichmüller, Tukey) Ist P eine Eigenschaft endlichen Charakters auf P(X ),
so ist jede Teilmenge A, die die Eigenschaft P besitzt in einer maximalen Teilmenge B enthalten, die gleichfalls die Eigenschaft P besitzt.
1.3 Übungen
Beispiel 1.3.1 Seien X, Y Mengen und f : X → Y eine Abbildung.
1. Für jede Teilmenge B von Y gilt: f −1 ( Bc ) = ( f −1 ( B))c .
1 MENGENTHEORIE
4
2. Sind Bα bzw. Aα Familien von Teilmengen von Y bzw. X, so gilt:
f −1 (
[
Bα ) =
α
f(
[
α
[
α
Aα ) =
f −1 ( Bα ) und f −1 (
[
α
f ( Aα ) und f (
\
α
\
Bα ) =
α
Aα ) ⊆
\
\
f − 1 ( Bα )
α
f ( Aα )
α
3. Für jede Teilmenge A von X und jede Teilmenge B von Y gilt: f −1 ( f ( A)) ⊇ A und
f ( f −1 ( B)) ⊆ B.
4. f ist genau dann injektiv, wenn für alle A ⊆ X: f −1 ( f ( A)) = A.
5. f ist genau dann surjektiv, wenn für alle B ⊆ Y: f ( f −1 ( B) = B.
Beispiel 1.3.2 Seien R bzw. S Äquivalenzrelationen auf X bzw. Y. Eine Abbildung f :
X → Y induziert genau dann eine wohldefinierte Funktion fb : X/R → Y/S, wenn für
alle x ∈ X: f ( R( x )) ⊆ S( f ( x )).
Beispiel 1.3.3 Sei A ⊆ X linear geordnet und x ein maximales Element von A, dann
ist x = sup A.
Beispiel 1.3.4 (Prinzip der transfiniten Induktion) Sei (X, ≤) wohlgeordnet mit dem
minimalen Element 0 und Y ⊆ X. Falls für alle x ∈ X aus {y ∈ X : y < x } ⊆ Y folgt:
x ∈ Y, dann gilt Y = X.
Da ∅ = {y ∈ X : y < 0} ⊆ Y folgt: 0 ∈ Y. Sei a = min Y c , dann ist {y ∈ X : y <
a} ⊆ Y, also: a ∈ Y.
Beispiel 1.3.5 Sei f : X → Y injektiv (surjektiv). Dann gibt es eine surjektive (injektive) Abbildung g : Y → X.
Ist f surjektiv, so gibt es nach dem Auswahlaxiom eine Funktion g : Y → X, so
daß für alle y ∈ Y: g(y) ∈ f −1 (y).
Beispiel 1.3.6 Sei X, Y Mengen. Dann gibt es entweder eine Injektion f : X → Y oder
eine Injektion g : Y → X. Hinweis: Sei F : = {( f , A) : A ⊆ X, f : A → Y injektiv}
und ( f , A) ≤ ( g, B) genau dann, wenn A ⊆ B und g| A = f ; zeigen Sie, daß F induktiv
geordnet ist und benutzen Sie das voranstehende Beispiel.
S
Sei ( f α , Aα ) linear geordnet; definieren wir A: =
Aα und f : A → Y durch
f | Aα = f α , so ist ( f , A) eine obere Schranke für ( f α , Aα ).
Sei ( f , A) maximal und A 6= X. Falls f ( A) 6= Y, dann wählen wir x ∈ X \ A,
y ∈ Y \ f ( A), B = A ∪ { x } und g : B → Y, g| A = f und g( x ) = y. Somit ist ( f , A)
nicht maximal.
1.3 Übungen
5
Beispiel 1.3.7 Sei X eine Menge, P(X ) die Potenzmenge von X und φ : P(X ) →
P(X ) eine steigende Funktion (i.e. A ⊆ B ⇒ φ( A) ⊆ φ( B)). Dann existiert eine
Teilmenge A0 von X mit φ( A0 ) = A0 . Hinweis: Sei X := { A ∈ P(X ) : A ⊆ φ( A)},
S
so gilt: ∅ ∈ X , A ∈ X ⇒ φ( A) ∈ X und A0 := X A ist ein Fixpunkt von φ – cf.
Satz von Knaster Tarski.
Da φ monoton steigend ist, folgt für alle A ∈ X : φ( A0 ) ⊇ φ( A) ⊇ A, also:
φ( A0 ) ⊇ A0 und damit liegt A0 in X , also liegt auch φ( A0 ) in X , i.e. φ( A0 ) ⊆ A0 .
Beispiel 1.3.8 (Cantor, Bernstein) Seien f : X → Y und g : Y → X injektive Funktionen. Dann existiert eine Bijektion h : Y → X. Hinweis : Sei φ : P(X ) → P(X )
definiert durch φ( A) = X \ g(Y \ f ( A)), dann ist φ steigend. Bezeichnet A0 einen
Fixpunkt von φ, so sei
g(y) falls y ∈ Y \ f ( A0 )
h(y) =
f −1 (y) falls y ∈ f ( A0 )
φ( A0 ) = A0 ist gleichbedeutend mit: g(Y \ f ( A0 )) = A0c und aufgrund der Injektivität von g ist dies äquivalent zu: g : Y \ f ( A0 ) → A0c ist eine Bijektion. Da
f : A0 → f ( A0 ) ebenfalls eine Bijektion ist, ist h : Y → X eine Bijektion.
Beispiel 1.3.9 (Knaster, Tarski) Sei (X, ≤) eine geordnete Menge und F : X → X
eine monoton steigende Abbildung (d.h. aus x ≤ y folgt F( x ) ≤ F(y)). Falls erstens
ein x0 ∈ X existiert mit x0 ≤ F( x0 ) und zweitens jede linear geordnete Teilmenge von
{ x ∈ X : x ≥ x0 } ein Supremum besitzt, dann besitzt F einen Fixpunkt. Hinweis:
X0 : = { x ∈ X : x ≤ F( x ), x ≥ x0 } ist induktiv geordnet und jedes maximale Element
von X0 ist ein Fixpunkt.
X0 ist induktiv geordnet: ist L ⊆ X0 linear geordnet, so ist y: = sup L ∈ X und
für alle x ∈ L gilt: x ≤ F( x ) ≤ F(y). Somit ist F(y) eine obere Schranke für L,
also y ≤ F(y), i.e. y ∈ X0 . Nach dem Lemma von Zorn gibt es ein maximales
Element x ∗ ∈ X0 . Da x ∗ ∈ X0 folgt: x ∗ ≤ F( x ∗ ) und damit: F( x ∗ ) ≤ F2 ( x ∗ ), i.e.
F( x ∗ ) ∈ X0 . Falls x∗ 6= F( x ∗ ), dann wäre x ∗ < F( x ∗ ), was jedoch der Maximalität
von x ∗ widerspricht.
2 TOPOLOGIE UND ANALYSIS
6
2
Topologie und Analysis
2.1 Normierte Räume
Definition 2.1.1 Eine reellwertige, nicht negative Funktion p auf einem Vektorraum E
heißt eine Halbnorm, wenn
1. Für alle λ ∈ R (bzw. C) und alle x ∈ E gilt: p(λx ) = |λ| p( x ).
2. Für alle x, y ∈ E gilt: p( x + y) ≤ p( x ) + p(y).
Gilt darüber hinaus p( x ) = 0 ⇒ x = 0, so heißt p eine Norm auf E und (E, p) ein
normierter Raum.
Der Raum L ϕ (µ): Sei ϕ : R0+ → R0+ eine streng monoton steigende konvexe
Funktion mit ϕ(0) = 0, (Ω, F , µ) ein σ-endlicher Maßraum und
Z
n
o
k f k ϕ : = inf t > 0 : ϕ(| f /t|) dµ ≤ 1 ,
so ist k.k ϕ eine Norm auf L ϕ (µ): = { f ∈ L0 (µ) : k f k ϕ < ∞}: Für alle λ ∈ R gilt:
kλ f k ϕ = |λ| k f k ϕ . Seien a: = k f k ϕ > 0, b: = k gk ϕ > 0 und ε > 0, dann folgt mit
t: = (a + ε)/(a + b + 2ε):
Z
ϕ
| f + g|
a+ b +2ε
Z
| g|
|f|
ϕ t a+ε + (1 − t) b+ε dµ
Z
≤ tϕ t a|+f |ε + (1 − t) ϕ b|+g|ε dµ ≤ 1 .
dµ ≤
Daher folgt: k f + gk ϕ ≤ a + b + 2ε. Den mit diesen Normen versehenen Raum
bezeichnen wir mit L ϕ (µ). Ist insbesondere ϕ(t) = t p , p ≥ 1, so bezeichnet man
die entsprechende Norm mit k.k p und den Raum mit L p (µ).
Der Raum B(X, E): Sei X eine Menge und (E, k .k) ein normierter Raum.
B(X, E): = { f : X → E : sup{k f ( x )k : x ∈ X } < ∞} .
Die Funktion f 7→ sup{k f ( x )k : x ∈ X } ist dann eine Norm auf B(X, E).
Seien X1 , . . . , Xk , Y normierte Räume und L(X1 , . . . , Xk ; Y ) der Raum der k-linearen
Abbildungen A : X1 × · · · × Xk → Y, so ist L(X1 , . . . , Xk ; Y ) mit der Norm
k Ak : = sup{k A( x1 , . . . , xk )k : k x1 k , · · · k xk k ≤ 1}
ein normierter Raum; ist Y ein Banachraum, so ist auch L(X1 , . . . , Xk ; Y ) ein Banachraum.
2.2 Metrische Räume
7
2.2 Metrische Räume
Definition 2.2.1 Sei X eine beliebige Menge und d : X × X → R0+ eine Funktion mit
folgenden Eigenschaften:
1. Für alle x, y ∈ X gilt: d( x, x ) = 0 und d( x, y) = d(y, x ).
2. Für alle x, y, z ∈ X gilt: d( x, z) ≤ d( x, y) + d(y, z).
Dann heißt d eine Halb- oder Pseudometrik auf X. Gilt außerdem d( x, y) = 0 ⇒ x = y,
so nennt man d eine Metrik auf X und (X, d) einen metrischen Raum.
Der Raum C(Ω): Sei Ω eine offene Teilmenge von Rn und C(Ω) der Raum der
stetigen (reellwertigen) Funktionen auf Ω, dann gibt es auf C(Ω) keine Norm,
deren konvergente Folgen genau die kompakt konvergenten Folgen sind; es gibt
jedoch eine Metrik auf C(Ω) mit dieser Eigenschaft: Sei Kn ⊆ Ω eine aufsteigende
Folge kompakter Teilmengen von Ω ist, mit der Eigenschaft, daß zu jeder kompakten Teilmenge K von Ω ein Index j existiert, so daß K ⊆ Kn . Eine geeignete
Metrik ist dann gegeben durch
k f − gk K
∞
∑ 2−n 1 + k f − gkn
d ( f , g ): =
n =1
Kn
wobei k f k Kn : = sup{| f ( x )| : x ∈ Kn }. Ferner ist C(Ω) mit dieser Metrik vollständig.
Der Raum C∞ (Ω): Der Raum C∞ (Ω) aller glatten (reellwertigen) Funktionen auf
Ω mit der Topologie der gleichmäßigen Konvergenz aller Ableitungen auf allen
kompakten Teilmengen von Ω ist metrisierbar; eine geeignete Metrik ist z.B.
∞
d ( f , g ): =
2− n − k
∑
n,k=0
k D k f − D k gkn
,
1 + k D k f − D k gkn
wobei k D k f kn : = sup{k D k f ( x )k : x ∈ Kn }.
1. Ist (X, d) ein metrischer Raum und Y ⊆ X, so ist auch (Y, d) ein metrischer
Raum.
2. Ist (E, k.k) ein normierter Raum, so ist d( x, y): = k x − yk eine Metrik auf E.
3. Sei (Xn , dn ) eine Folge von metrischen Räumen, dann ist auf X: = ∏ Xn durch
∞
d( x, y): =
dn ( xn , yn )
∑ 2− n 1 + d n ( x n , y n )
n =1
eine Metrik definiert. d heißt die Produktmetrik. Sind sämtliche Räume Xn vollständig, so ist auch X vollständig.
4. Seien (X, d X ), (Y, dY ) metrische Räume, f : X → Y eine Abbildung und x0 ∈ X.
Wir nennen f stetig in x0 , wenn zu jedem ε > 0 ein δ > 0 existiert, so daß
d X ( x, x0 ) < δ ⇒ dY ( f ( x ), f ( x0 )) < ε .
2 TOPOLOGIE UND ANALYSIS
8
f heißt stetig auf X, wenn f in allen Punkten stetig ist. Falls f : X → Y eine Bijektion ist, so daß sowohl f als auch f −1 stetig sind, dann heißt f ein Homöomorphismus. X und Y nennt man in diesem Fall homöomorph. f heißt Lipschitz stetig, wenn eine Konstante L < ∞ existiert, so daß für alle x, y ∈ X gilt:
d( f ( x ), f (y)) ≤ Ld( x, y). Schließlich nennt man f eine Isometrie von X in Y,
wenn für alle x, y ∈ X: d( f ( x ), f (y)) = d( x, y).
5. Zwei Metriken d1 , d2 auf einer Menge X heißen äquivalent, wenn id : (X, d1 ) →
(X, d2 ) ein Homöomorphismus ist. Insbesondere sind zwei Normen k.k1 und k.k2
auf einem Vektorraum E genau dann äquivalent, wenn es eine Konstante C ∈ R+
gibt, so daß für alle x ∈ E: C−1 k x k1 ≤ k x k2 ≤ C k x k1 .
6. Falls (E j , k.k j ), 1 ≤ j ≤ n eine endliche Folge normierter Räume ist, so ist für
x = ( x1 , . . . , xn ) durch
k x k : = max{ x j j : 1 ≤ j ≤ n}
eine Norm auf dem Produktraum E: = ∏ nj=1 E j definiert. Bezeichnet d die unter
2. definierte Produktmetrik auf E, so ist die identische Abbildung id : (E, k.k) →
(E, d) ein Homöomorphismus.
7. Ist E ein normierter Raum, so sind die Abbildungen E × E → E, ( x, y) 7→ x + y
und R × E → E, (λ, x ) 7→ λx stetig.
8. f : R → (−1, 1), f (t): = 1+|t t| ist ein Homöomorphismus. Für alle a < b ist
(a, b) zu R und [ a, b] zu R homöomorph, aber kein Intervall der Form (a, b] ist
homöomorph zu R oder R.
9. Ein metrischer Raum X heißt kompakt, wenn jede Folge in X eine konvergente
Teilfolge besitzt.
Lokale Riemannsche Metriken: Sei M eine offene (und zusammenhängende)
Teilmenge von Rn und g : M → Sym+ (n), x 7→ gx eine C∞ -Abbildung in die
Menge der strikt positiv definiten Matrizen – für u, v ∈ Rn setzen wir gx (u, v): =
∑ j,k g jk ( x )u j vk . Ferner sei für alle x, y ∈ M Γ( x, y) die Menge aller stückweise
glatten Kurven γ : [0, 1] → M, mit γ(0) = x und γ(1) = y. Definieren wir die
Länge L(γ) einer Kurve γ durch
Z 1q
gγ(t) (γ′ (t), γ′ (t)) dt,
L ( γ ): =
0
so ist d g ( x, y): = inf{ L(γ) : γ ∈ Γ( x, y)} eine Metrik (cf. Übungen) – die geodätische Metrik auf M. Das Paar ( M, d g ) heißt eine lokale Riemannsche Mannigfaltigkeit.
Die Hausdorff-Metrik: Sei (X, d) ein metrischer Raum (d ≤ 1),
H(X ): = { A ⊆ X : A = A, A 6= ∅} .
Für je zwei Elemente A, B ∈ H(X ) seien
e( A, B): = sup{d( x, B) : x ∈ A}
d H ( A, B): = max{e( A, B), e( B, A)} .
2.2 Metrische Räume
9
Dann ist d H eine Metrik auf H(X ) – die Hausdorff-Metrik (cf. Übungen). Es gilt
d H ( A, B) = inf{ε > 0 : A ⊆ Bε , B ⊆ Aε }, wobei Aε die sogenannte Parallelmenge
Aε : = [d A < ε] von A bezeichnet.
Sei (X, d) ein metrischer Raum, x ∈ X und r > 0. Mit Br ( x ) bzw. Br′ ( x ) bezeichnen
wir die offene bzw. die abgeschlossene r-Kugel um x i.e.
Br ( x ): = {y ∈ X : d( x, y) < r }
bzw.
Br′ ( x ): = {y ∈ X : d( x, y) ≤ r } .
Eine Teilmenge U von X heißt offen, wenn zu jedem x ∈ U ein r > 0 existiert, so
daß Br ( x ) ⊆ U; das Mengensystem der offenen Teilmengen von X:
Td : = {∅} ∪ {U ⊆ X : U ist offen} .
heißt die metrische Topologie auf X; sie besitzt folgende Eigenschaften:
1. ∅ und X liegen in Td .
2. Liegen U und V in Td , so liegt auch U ∩ V in Td .
S
3. Ist Uα eine beliebige Familie von Mengen in Td , so liegt α Uα in Td .
Eine Teilmenge A von X heißt abgeschlossen, wenn Ac offen ist. Ist A abgeschlossen und xn ∈ A eine konvergente Folge mit dem Limes x, dann liegt x in A.
Proposition 2.2.2 Seien (X, d X ), (Y, dY ) metrische Räume mit den entsprechenden metrischen Topologien T X bzw. TY , und f : X → Y eine Abbildung. Dann sind folgende
Aussagen äquivalent:
1. f ist stetig auf X.
2. Für alle V ∈ TY liegt f −1 (V ) in T X .
B EWEIS : 1.⇒2.: Sei V ∈ TY und x ∈ f −1 (V ), d.h. y: = f ( x ) ∈ V. Dann existiert
ein r > 0, so daß Br (y) ⊆ V und aufgrund der Stetigkeit von f in x existiert ein
s > 0, so daß f ( Bs ( x )) ⊆ Br (y) ⊆ V, also: Bs ( x ) ⊆ f −1 (V ).
2.⇒1.: Da für alle r > 0 und alle x ∈ X: x ∈ f −1 ( Br ( f ( x )) ∈ T X , existiert ein
s > 0, so daß Bs ( x ) ⊆ f −1 ( Br ( f ( x )), also: f ( Bs ( x )) ⊆ Br ( f ( x )) und damit ist f in
x stetig.
Definition 2.2.3 Seien A, B ⊆ P(X ). A heißt feiner als B – oder B gröber als A –,
wenn B ⊆ A.
Im folgenden untersuchen wir i.w. nur topologische Eigenschaft, i.e. Eigenschaften P, die unter Homöomorphismen invariant sind; ein Raum X besitzt also genau dann die Eigenschaft P, wenn jeder zu X homöomorphe Raum diese Eigenschaft besitzt. Die Vollständigkeit metrischer Räume ist z.B. keine topologische
Eigenschaft, denn R ist vollständig und zu (−1, 1) homöomorph aber (−1, 1) ist
nicht vollständig. Die Vollständigkeit bleibt jedoch erhalten, wenn f : (X, d X ) →
2 TOPOLOGIE UND ANALYSIS
10
(Y, dY ) ein Homöomorphismus ist, so daß sowohl f als auch f −1 gleichmäßig
stetig sind – in diesem Fall ist X genau dann vollständig, wenn Y vollständig ist.
Vervollständigung metrischer Räume: Sei (X, d) ein metrischer Raum, x0 ∈ X
und J : X → B(X, R) die Abbildung: J ( x ): = d( x, .) − d( x0 , .). Dann ist
k J ( x ) − J (y)k = sup{|d( x, z) − d(y, z)| : z ∈ X } = d( x, y)
b = J (X ) ist daher
i.e. J ist eine Isometrie von X in den Banachraum B(X, R); X:
vollständig und enthält einen zu X isometrischen dichten Unterraum. Ferner ist
jeder vollständige metrische Raum, der einen zu X isometrischen dichten Unterb isometrisch homöomorph – dies folgt aus der Tatsache, daß jeraum enthält, zu X
de gleichmäßig stetige Abbildung f : A → Y einer Teilmenge A eines metrischen
Raumes X in einen vollständigen metrischen Raum Y eine eindeutig bestimmte
gleichmäßig stetige Fortsetzung fe : A → Y besitzt.
2.3 Übungen
Beispiel 2.3.1 Sei d : X × X → R0+ eine Abbildung, so daß für alle x, y, z ∈ X:
d( x, x ) = 0 und d( x, z) + d(y, z) ≥ d( x, y). Dann ist d eine Halbmetrik auf X.
Beispiel 2.3.2 Ist (E, k.k) ein normierter Raum mit der offene Einheitskugel BE und p
eine Halbnorm auf E. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
1. p ist stetig auf E.
2. p ist in 0 stetig.
3. ∃ C > 0 ∀ x ∈ E: p( x ) ≤ C k x k.
2. ⇒ 3.: Da p(0) = 0 gibt es zu δ = 1 ein r > 0, so daß p(rBE ) ⊆ (−1, 1), also:
C = 1/r.
3. ⇒ 1.: Seien x 6= y ∈ E, dann folgt:
p( x − y) = k x − yk p(( x − y)/ k x − yk) ≤ C k x − yk .
Beispiel 2.3.3 Sei e1 , .. . , en die kanonische Basis von Rn und k.k eine Norm auf Rn , so
daß
n: e j ≤ 1. Zeigen Sie, daß für alle x ∈ Rn gilt: k x k ≤ k x k1 , also:
fürn alle j ≤
id : ℓ → (Rn , k.k) ≤ 1.
1
2. Es gibt eine Konstante C < ∞, so daß für alle x ∈ Rn : k x k1 ≤ C k x k. Hinweis:
Benutzen Sie die Kompaktheit von ∂B1n : = { x ∈ ℓ1n : k x k1 = 1}.
1. Es gilt für alle x = ∑ λ j e j :
k x k ≤ ∑ |λ j | e j ≤ ∑ |λ j | = k x k1 .
2. Angenommen es gibt keine solche Konstante C, dann gibt es eine Folge xn ∈
∂B1n mit k xn k ≤ 1/n. Sei x ein Häufungspunkt der Folge xn , dann folgt einerseits
k x k1 = 1 und andererseits: k x k = 0, i.e. x = 0.
2.3 Übungen
11
Beispiel 2.3.4 Sei 0 < p < 1, dann ist durch d( x, y): = ∑ | x j − y j | p eine Metrik auf
Rn definiert.
Beispiel 2.3.5 Eine Teilmenge C eines Vektorraumes E über R heißt absorbierend, wenn
S
n nC = E. Eine Teilmenge A von E heißt symmetrisch, wenn − A = A. Ist B eine
konvexe, symmetrische und absorbierende Teilmenge von E, so ist k x k B : = inf{t > 0 :
x ∈ tB} eine Halbnorm auf E und [k.k B < 1] ⊆ B ⊆ [k.k B ≤ 1].
Offensichtlich gilt für alle λ ∈ R: k λx k B = |λ| k x k B . Seien ε > 0, k x k B = s und
kyk B = t, dann folgt: x ∈ (s + ε) B und y ∈ (t + ε) B, i.e.: x + y ∈ (s + t + 2ε) B. Da
ε > 0 beliebig war, folgt: k x + yk B ≤ s + t.
Ist k x k B = r < 1 und 0 < ε < 1 − r, so folgt x ∈ (r + ε) B ⊆ B; falls x ∈ B, dann
gilt für alle ε > 0: x ∈ (1 + ε) B, i.e. k x k B ≤ 1.
Beispiel 2.3.6 Sei p ≥ 1 und ϕ p (t) = t p . Zeigen Sie: k.k ϕ p = k.k p .
Beispiel 2.3.7
R Eine Folge f n in L ϕ (µ) konvergiert genau dann gegen 0, wenn für alle
c > 0: limn ϕ(| f n |/c) dµ = 0.
Da ϕ( x ) = ϕ(0 + 2x/2) ≤ 2−1 ϕ(2x ), folgt für alle k ∈ N:
lim
n
Z
ϕ(| f n |/c) dµ ≤ 2
−k
lim
n
Z
ϕ(2k | f n |/c) dµ ≤ 2−k
Beispiel 2.3.8 Sei f ∈ L ϕ (Rn ), dann ist die Abbildung Rn → L ϕ (Rn ), y 7→ Ly f mit
Ly f ( x ): = f ( x − y) stetig.
Beispiel 2.3.9 Seien ψ( x ) = e x − 1 und p ≥ 1. Zeigen Sie, daß für alle x > 0 gilt:
x p ≤ p p ψ( x ) (es gilt sogar: e x ≥ 1 + x p /Γ( p + 1)) und folgern Sie, daß für alle f ∈
L p (µ) gilt: k f k p ≤ p k f k ψ . Schließen Sie, daß k.kψ und sup{k.k p /p : p ≥ 1} zwei
äquivalente Normen sind.
R
R
Es gilt: e xR ≥ (1 + x/p) p ≥ 1 + ( x/p) p . Sei ψ( f /λ) dµ ≤ 1, dann folgt: | f /λ| p dµ ≤
p p , also | f /pλ| p dµ ≤ 1 und somit k f k p ≤ p k f k ψ .
Falls k f k p ≤ Cp, dann folgt wegen nn /n! ≤ (2e)n :
Z
∞
ψ(| f /λ|) dµ ≤
Für λ = 4eC folgt:
R
∑ (Cn/λ)n /n! ≤
n =1
∞
∑ (2Ce/λ)n = 2Ce/λ(1 − 2Ce/λ).
n =1
ψ(| f /λ|) dµ ≤ 1, also: k f k ψ ≤ 4eC.
Beispiel 2.3.10 Seien ψ : R0+ → R0+ eine streng monoton steigende, konvexe Funktion
mit ψ(0) = 0 und ψ(1) = 1.
1. Es gilt: ℓ1 ⊆ ℓψ ⊆ ℓ∞ und k x k∞ ≤ k x kψ ≤ k x k1 .
2. Ist µ ein Wahrscheinlichkeitsmaß, so gilt: L∞ (µ) ⊆ Lψ (µ) ⊆ L1 (µ) und k X k 1 ≤
kX k ψ ≤ kX k ∞ .
2 TOPOLOGIE UND ANALYSIS
12
R
R
2.
Sei
ψ
(
X/c
)
dµ
≤
1,
dann
folgt
aus
der
Jensen-Ungleichung:
ψ
(
X/c dµ) ≤
R
−
1
ψ(X/c) dµ ≤ 1, also ψ(k X/ck 1 ) ≤ 1 und damit: Rk X/ck 1 ≤ ψ (1) = 1. Falls
c: = k X k ∞ < ∞, dann folgt ψ(X/c) ≤ 1 und damit: ψ(X/c) dµ ≤ 1.
Beispiel 2.3.11 Sei ψ : R0+ → R0+ stetig Rdifferenzierbar mit ϕ(R0) = 0, dann gilt für alle
∞
nicht negativen meßbaren X : Ω → R0+ : ψ(X/c) dµ = c−1 0 ψ′ (t/c)µ(X > t) dt.
Sei Ω = [0, 1], µ das Lebesguemaß, f : [0, 1] → [0, ∞] die Funktion f (t) = log(1/t)
und ψ( x ) = e x − 1. Berechnen Sie k f k ψ .
Es gilt für alle c > 1:
Z 1
0
ψ( f /c) = c−1
Z ∞
0
et/c−t dt = (c − 1)−1
und damit k f k ψ = 3/2.
Beispiel 2.3.12 Zeigen Sie, daß f ( x ): = x/(1 + k x k) ein Homöomorphismus von Rn
auf B2n : = { x ∈ Rn : k x k2 < 1} ist.
Beispiel 2.3.13 Sei ϕ a : Sn \ { a} → [ a]⊥ die stereographischen Projektion mit dem
Pol a, i.e.
ϕ a (z) =
z − hz, aia
1 − hz, ai
und
1
ϕ−
a (x) =
2x + (k x k2 − 1)a
1 + k x k2
2
1
n
n
Zeigen Sie: ϕ− a ◦ ϕ−
a ist die Inversion I : R \ {0} → R \ {0}, I ( x ) = x/ k x k .
Beispiel 2.3.14 Seien γ1 , γ2 zwei glatte Kurven in Sn mit γ1 (0) = γ2 (0) = z ∈ Sn
und ci : = ϕ a ◦ γi , dann gilt mit x = ϕ a (z) ∈ Rn :
hc1′ (0), c2′ (0)i =
4
(1 + k x k 2 )2
hγ1′ (0), γ2′ (0)i
Die stereographischen Projektionen sind somit konforme Abbildungen (die Kurven γ1
und γ2 schließen im Punkt z denselben Winkel ein wie die Kurven c1 und c2 im Punkt
x).
Beispiel 2.3.15 Sei ϕ a : Sn \ { a} → a⊥ die stereographische Projektion, y ∈ Sn ,
ha, yi 6= 0 und H: = {z ∈ Sn : hz, yi = 0}. Dann ist ϕ a ( H ) die Sphäre
{ x ∈ a⊥ : k x + Py/ha, yik2 = kyk2 /ha, yi2 }
wobei P : Rn+1 → a⊥ die orthogonale Projektion ist.
2.3 Übungen
13
Sei ψa die inverse Abbildung zu ϕ a , dann ist
z = ψa ( x ) =
2x + (k x k2 − 1)a
1 + k x k2
und die Bedingung hz, yi = 0 ist gleichbedeutend mit:
0=
2h x, yi + (k x k2 − 1)ha, yi
1 + k x k2
ha, yi 2
2
2
=
k
x
+
y/
h
a,
y
ik
−
y
/
h
a,
y
i
−
1
k
k
1 + k x k2
ha, yi 2
2
−2
k
x
+
Py/
h
a,
y
ik
−
y
h
a,
y
i
=
k
k
1 + k x k2
Beispiel 2.3.16 Zu a ∈ Rn , a 6= 0, k ak < 1, seien Pa bzw. Q a die orthogonalen Projektionen auf [ a] bzw. [ a]⊥ , i.e.
Pa ( x ): = h x, aia/ k ak2 ,
Q a ( x ): = x − Pa ( x ) .
Ferner sei Ma die Möbiustransformation:
M a ( x ): =
a − Pa ( x ) −
q
1 − k ak 2 Q a ( x )
1 − h x, ai
Dann gilt: 1. Ma (a) = 0 und Ma (0) = a
2. Ma : B2n → B2n und Ma : Sn−1 → Sn−1 , wobei B2n : = { x ∈ Rn : k x k < 1}.
3. Ist U : Rn → Rn eine orthogonale Transformation, so gilt: Pa ◦ U = U ◦ PU ∗ (a) und
damit: Ma ◦ U = U ◦ MU ∗ (a) .
4. Ma ist involutiv, i.e. Ma ◦ Ma = id.
5. Die Ableitung von Ma in x sowie deren Determinante sind
q
a ⊗ Ma ( x ) − Pa − 1 − k ak 2 Q a
DMa ( x ) =
1 − h x, ai
q
2 ! n +1
1
−
a
k
k
det DMa ( x ) = (−1)n
.
1 − h x, ai
2. Wegen k Pa ( x )k 2 + k Q a ( x )k 2 = k x k2 und h Pa ( x ), ai = ha, x i gilt:
k Ma ( x )k2 (1 − ha, x i)2 = k a − Pa ( x )k2 + (1 − k ak2 ) k Q a ( x )k2
= kak2 − 2h Pa ( x ), ai + k Pa ( x )k2 + kQ a ( x )k2 − kak2 kQ a ( x )k2
= kak2 − 2h Pa ( x ), ai + k x k2 − k ak2 (k x k2 − k Pa ( x )k2 )
= kak2 − 2h x, ai + k x k2 − k ak2 k x k2 + h x, ai2
= (1 − ha, x i)2 − (1 − k x k2 )(1 − kak2 ) .
2 TOPOLOGIE UND ANALYSIS
14
4. Nach Definition erhalten wir:
a − Pa ( x )
Pa ( Ma ( x )) =
1 − ha, x i
und
Q a ( Ma ( x )) = −
q
1 − k ak 2 Q a ( x )
1 − ha, x i
sowie h Ma ( x ), ai = h Pa ( Ma ( x )), ai = (k ak 2 − h x, ai)/(1 − h x, ai), also:
q
a − Pa ( Ma ( x )) − 1 − k ak2 Q a ( Ma ( x ))
Ma ( Ma ( x )) =
1 − h M a ( x ), a i
a− Pa ( x )
1−h a,x i
(1−kak2 ) Q a ( x )
1−h a,x i
=
a−
=
a(1 − ha, x i) − a + Pa ( x ) + (1 − k ak2 )Q a ( x )
1−
+
k ak2 −h x,ai
1−h x,ai
1 − h x, ai − k ak2 + h x, ai
− Pa ( x ) k ak2 + Pa ( x ) + (1 − kak2 )Q a ( x )
=x
=
1 − k ak 2
5. Da Pa und Q a linear sind, folgt:
DMa ( x )v =
hv, ai Ma ( x ) − Pa (v) −
q
1 − h x, ai
1 − k ak 2 Q a (v)
Sei
q e1 : = a/ k ak , e2 , . . . , en eine orthonormale Basis und Av: = hv, ai Ma ( x ) − Pa (v) −
1 − k ak2 Q a (v), dann ist Ae1 = k ak Ma ( x ) − a/ k ak und für j ≥ 2: Ae j =
−(1 − kak2 )1/2 e j . Damit ist
det A = (−1)n−1 (1 − k ak 2 )(n−1)/2 h Ae1 , e1 i,
tr A = −(n − 1)(1 − k ak2 )1/2 + h Ae1 , e1 i
Schließlich ist h Ae1 , e1 i = hk ak Ma ( x ) − a/ k ak , ai/ k ak = h Ma ( x ), ai − 1 und
h Ma ( x ), ai = ha − x, ai/(1 − h x, ai), also h Ae1 , e1 i = −(1 − k ak2 )/(1 − h x, ai).
Beispiel 2.3.17 Sei d eine Metrik auf X und ϕ : R0+ → R0+ eine stetige streng monoton
steigende Abbildung mit ϕ(0) = 0 und ϕ( x + y) ≤ ϕ( x ) + ϕ(y). Zeigen Sie, daß
d1 ( x, y): = ϕ(d( x, y)) eine zu d äquivalente Metrik auf X ist.
Falls d1 ( x, y) = 0, dann folgt d( x, y) = 0, also x = y; ferner gilt:
d1 ( x, y) = ϕ(d( x, y)) ≤ ϕ(d( x, z) + d(z, y))
≤ ϕ(d( x, z)) + ϕ(d(z, y)) = d1 ( x, z) + d1 (z, y) .
2.3 Übungen
15
Beispiel 2.3.18 Seien X, Y metrische Räume und xn eine Cauchy-Folge in X.
1. Ist f : X → Y Lipschitz-stetig, so ist f ( xn ) eine Cauchy-Folge in Y.
2. Ist f : X → Y gleichmäßig stetig, so ist f ( xn ) eine Cauchy-Folge in Y.
3. Ist f : X → Y stetig, so ist f ( xn ) i.a. keine Cauchy-Folge in Y.
Beispiel 2.3.19 Sei rn eine Abzählung von Q ∩ [0, 1]. Dann ist die Abbildung f :
[0, 1] → R,
f ( x ): =
∑
2− n
in allen irrationalen Punkten stetig.
rn < x
Seien x ∈ (0, 1) \ Q und δ > 0: Bestimme N ∈ N so, daß ∑n> N 2−n < δ/2. Da x
irrational ist, gibt es ein ε > 0, so daß für alle n ≤ N: rn ∈
/ Bε ( x ); also folgt für alle
y ∈ Bε ( x ): | f ( x ) − f (y)| ≤ 2 ∑n> N 2−n < δ.
Beispiel 2.3.20 Sei X ein metrischer Raum. Zeigen Sie f n konvergiert genau dann in
X N gegen f , wenn für alle j ∈ N die Folge f n ( j) in X gegen f ( j) konvergiert.
Sei ε > 0 und k ∈ N so gewählt, daß 2−k < ε. Falls für alle j ∈ N die Folge f n ( j)
in X gegen f ( j) konvergiert, dann gibt es ein N ∈ N, so daß für alle j ≤ k und
alle n ≥ N: d( f n ( j), f ( j)) < ε. Es folgt für alle n ≥ N:
d( f n , f ) =
∑ 2− j ε + ∑ 2− j ≤ 2ε .
j≤k
j>k
Beispiel 2.3.21 Sei X ein metrischer Raum, A ⊆ X; d( x, A): = d A ( x ): = inf{d( x, y) :
y ∈ A}. Zeigen Sie: d A ist Lipschitz-stetig mit der Lipschitzkonstante 1.
Seien x, y ∈ X und zu ε > 0 seien a, b ∈ A so bestimmt, daß d A ( x ) > d(a, x ) − ε
und d A (y) > d(b, y) − ε. Dann folgt:
d(a, x ) − d(a, y) − ε < d A ( x ) − d A (y) < d(b, x ) − d(b, y) + ε .
Nach der Dreiecksungleichung folgt aber: −d( x, y) ≤ d(a, x ) − d(a, y) und d(b, x ) −
d(b, y) ≤ d( x, y).
Beispiel 2.3.22 X metrisch, dann gilt: d A = d A und A = ∩n [d A < n1 ] i.e. in einem
metrischen Raum ist jede abgeschlossene Menge der Durchschnitt von abzählbar vielen
offenen Mengen.
Sei C: = A, dann gilt offensichtlich dC ≤ d A . Angenommen d A ( x ) > dC ( x ) + ε =
: r, dann folgt: Br ( x ) ⊆ Ac , also Br ( x )c ⊇ A; da Br ( x )c abgeschlossen ist, folgt:
c
Br ( x )c ⊇ A, i.e. Br ( x ) ⊆ A und damit: dC ( x ) ≥ r.
Falls d A ( x ) = 0 und x ∈
/ A = C, dann liegt x in der offenen Menge Cc , also gibt
es ein r > 0, so daß Br ( x ) ⊆ Cc , i.e. dC ( x ) ≥ r.
2 TOPOLOGIE UND ANALYSIS
16
Beispiel 2.3.23 Sei A eine abgeschlossene Teilmenge eines metrischen Raumes X und
x∈
/ A. Zeigen Sie, daß die Beziehung d( x, A) = d( x, ∂A) i.a. nicht gilt.
In einem diskreten Raum X gilt z.B. für jede Teilmenge A: ∂A = ∅.
Beispiel 2.3.24 Sei f : X → Y stetig. Zeigen Sie, daß der Graph Γ( f ): = {( x, f ( x )) :
x ∈ X } und X homöomorph sind.
Die inverse zu x 7→ ( x, f ( x )) ist Pr1 : ( x, f ( x )) 7→ x.
Beispiel 2.3.25 Seien 1 ≤ n < N und Ω die Menge aller Teilmengen A von {1, . . . , N }
die genau n Elemente enthalten. Ferner sei für alle X, Y ∈ Ω: d(X, Y ): = n − | X ∩ Y |.
Dann ist (Ω, d) ein metrischer Raum – der Lottoraum.
Die Dreiecksungleichung ist gleichbedeutend mit n + | X ∩ Z| ≥ |Y ∩ X | + |Y ∩ Z|.
Nun ist aber
|Y ∩ X | + |Y ∩ Z| = |Y ∩ (X ∪ Z)| + |Y ∩ (X ∩ Z)| ≤ n + | X ∩ Z| .
Beispiel 2.3.26 Sei X eine Menge, N ∈ N und Ω = X N . Ferner sei für alle x, y ∈ Ω:
d( x, y): = |{ j ≤ N : x j 6= y j }|. Dann ist (Ω, d) ein metrischer Raum. d heißt die
Hamming-Metrik auf Ω.
Seien x, y, z ∈ Ω; falls x j 6= z j , dann gilt entweder x j 6= y j oder y j 6= z j , also:
{ j : x j 6= z j } ⊆ { j : x j 6= y j } ∪ { j : y j 6= z j } und damit: d( x, z) ≤ d( x, y) + d(y, z).
Beispiel 2.3.27 Sei X ein metrischer Raum, M: = P(X ). Ist e( A, B): = sup{d( x, B) :
x ∈ A} eine Metrik auf M?
Beispiel 2.3.28 Sei (X, d) ein metrischer Raum (d ≤ 1),
H(X ): = { A ⊆ X : A = A, A 6= ∅} .
Für je zwei Elemente A, B ∈ H(X ) seien
e( A, B): = sup{d( x, B) : x ∈ A}
Zeigen Sie: d H ist eine Metrik auf H(X ).
d H ( A, B): = max{e( A, B), e( B, A)} .
Falls d H ( A, B) = 0, dann ist e( A, B) = 0 und e( B, A) = 0 i.e. A ⊆ [d B = 0] und
B ⊆ [d A = 0] d.h. A ⊆ B und B ⊆ A; da A und B abgeschlossen sind, folgt:
A = B.
Seien B, C ∈ H(X ), dann gibt es zu jedem c ∈ C und jedem ε > 0 ein b ∈ B mit
d(c, b) < d H ( B, C) + ε: angenommen es gibt ein c ∈ C und ein ε > 0, so daß für
alle b ∈ B: d(c, b) ≥ d H ( B, C) + ε, dann folgt: d(c, B) ≥ d H ( B, C) + ε und damit
e(C, B) ≥ d H ( B, C) + ε.
Zu diesem b gibt es wiederum ein a ∈ A mit d(b, a) < d H ( A, B) + ε, also gibt es zu
jedem c ∈ C und jedem ε > 0 ein a ∈ A mit d(a, c) < d H ( A, B) + d H ( B, C) + 2ε, i.e.
d(c, A) ≤ d H ( A, B) + d H ( B, C) und da c ∈ C beliebig war: e(C, A) ≤ d H ( A, B) +
d H ( B, C).
2.3 Übungen
17
Beispiel 2.3.29 Es gilt d H ( A, B) = inf{ε > 0 : A ⊆ Bε , B ⊆ Aε }, wobei Aε die
Parallelmenge Aε : = [d A < ε] von A bezeichnet.
Beispiel 2.3.30 Sei p eine Primzahl, n, m ∈ Z und φ(n) der Exponent von p in der
Primzerlegung von |n|. Für x = n/m sei φ( x ) = φ(n) − φ(m). Dann ist durch
−φ( x )
p
falls x 6= 0
| x| p : =
0
falls x = 0
eine “Norm”auf Q definiert – die p-adische Norm, und es gilt für alle x, y ∈ Q:
| xy| p = | x | p |y| p
und
| x + y| p ≤ max{| x | p , |y| p } .
Die Vervollständigung von (Q, |.| p ) heißt der Körper der p-adischen Zahlen und wird
mit Q p bezeichnet. Warum ist Q p ein Körper?
Seien x, y, x + y 6= 0, x = a/b und y = c/d, dann ist
φ( x + y) = φ(ad + cb) − φ(b) − φ(d) ≥ min{φ(ad), φ(cb)} − φ(b) − φ(d)
= min{φ(a) + φ(d), φ(c) + φ(b)} − φ(b) − φ(d)
= min{φ(a) − φ(b), φ(c) − φ(d)} = min{φ( x ), φ(y)} .
Beispiel 2.3.31 Eine Metrik d auf X heißt ultrametrisch, wenn für alle x, y, z ∈ X
gilt: d( x, z) ≤ max{d( x, y), d(y, z)}. Zeigen Sie:
1. Falls d( x, y) > d(y, z), dann gilt: d( x, z) = d( x, y).
2. Jede offene Kugel B( x, r ) ist abgeschlossen und für alle y ∈ B( x, r ) gilt: B( x, r ) =
B(y, r ).
3. Jede abgeschlossene Kugel B′ ( x, r ) ist offen und für alle y ∈ B′ ( x, r ) gilt: B′ ( x, r ) =
B′ (y, r ).
4. Besitzen zwei Kugeln nichtleeren Durchschnitt, so ist eine in der anderen enthalten.
1. Sei d( x, y) > d(y, z), dann ist d( x, y) ≤ max{d( x, z), d(y, z)} und d( x, z) ≤
d( x, y), also: d( x, z) = d( x, y).
2. Sei y ∈
/ B( x, r ), dann ist d(y, x ) ≥ r. Für alle z ∈ B(y, r ) gilt daher nach 1.:
d(z, x ) = d(y, x ), also ist B( x, r ) abgeschlossen. Ist y ∈ B( x, r ) und z ∈ B(y, r ), so
folgt: d(z, x ) ≤ max{d( x, y), d(y, z)} < r, also: B(y, r ) ⊆ B( x, r ).
3. Sei y ∈ B′ ( x, r ). Für alle z ∈ B′ (y, r ) gilt: d(z, x ) ≤ max{d( x, y), d(y, z)} ≤ r,
d.h. B′ ( x, r ) ist offen und B′ (y, r ) ⊆ B′ ( x, r ).
4. Sei z ∈ B( x, r ) ∩ B(y, s) und o.B.d.A. s ≤ r, dann ist d( x, y) < r und nach 2.:
B(y, s) ⊆ B( x, r ).
Beispiel 2.3.32 Sei E ein Hilbertraum und X eine Menge paarweise orthonormaler Vektoren in E, dann ist X ein ultrametrischer Raum.
Beispiel 2.3.33 Eine Folge xn in einem ultrametrischen Raum ist genau dann eine CauchyFolge, wenn limn d( xn , xn+1 ) = 0.
2 TOPOLOGIE UND ANALYSIS
18
Beispiel 2.3.34 Eine stetige Abbildung f : X → S1 heißt unwesentlich, falls eine
stetige Abbildung g : X → R existiert so, daß f ( x ) = exp(2πig( x )). Zeigen Sie, daß
jede nicht surjektive Abbildung f : X → S1 unwesentlich ist.
Beispiel 2.3.35 f , g : X → S1 , so daß für alle x ∈ X: f ( x ) 6= − g( x ). Zeigen Sie: f ist
genau dann unwesentlich, wenn g unwesentlich ist.
Beispiel 2.3.36 f : X → S1 sei unwesentlich, g : X → S1 stetig. Ferner gelte
sup | f ( x ) − g( x )| < 2.
x∈X
Dann ist g unwesentlich.
Beispiel 2.3.37 Es existiert eine glatte Funktion f : R → R2 so, daß f (R) = R2 .
Beispiel 2.3.38 Sei a1 /4 + a2 /42 + a3 /43 + · · · die Entwicklung der reellen Zahl t ∈
[0, 1] zur Basis 4 (ai ∈ {0, 1, 2, 3}). Teilen Sie das Quadrat [0, 1]2 folgendermaßen in 4
Teilquadrate:
1 2
.
0 3
Jedes der kleineren Quadrate wird nun seinerseits in 4 Teilquadrate zerlegt, und diese
erhalten folgende Numerierung:


11 12 21 22
 10 13 20 23 


 03 02 31 30  .
00 01 32 33
Diesen Prozeß führe man ins Unendliche fort! Nach n Schritten erhält man eine Zerlegung des Einheitsquadrates in 4n Teilquadrate, deren genaue Position durch die Angabe
eines n-Tupels von Zahlen ai ∈ {0, 1, 2, 3} festgelegt ist.
Zeigen Sie: Bezeichnet Q a1 ,...,an das durch a1 . . . an definierte abgeschlossene Teilquadrat,
so existiert limn Q a1 ,...,an für alle Folgen a1 , . . . , an .
Beispiel 2.3.39 Durch p : [0, 1] → [0, 1]2 , ∑ 4aii 7→ lim Q a1 ...an wird eine stetige Funktion definiert. (Jede Zahl der Form 4mn (m, n ∈ N, m ≤ 4n ) besitzt zwei Darstellungen,
a
nämlich a41 + · · · + 4ann und a41 + · · · 4nn−−11 + an4−n 1 + 4n3+1 + · · ·).
Beispiel 2.3.40 p ist surjektiv (und stetig) aber nicht injektiv. p heißt eine PeanoKurve.
Beispiel 2.3.41 Sei f : (X, d) → (X, d1 ) stetig. Zeigen Sie:
1. d : ( x, y) 7→ d( x, y) + d1 ( f ( x ), f (y)) ist eine Metrik auf X.
2. d und d sind äquivalent.
3. f ist Lipschitz-stetig bezüglich d.
2.3 Übungen
19
Beispiel 2.3.42 Seien X bzw. Y metrische Räume und f : X → Y eine Abbildung.
Zeigen Sie: f ist genau dann stetig, wenn auf X eine topologisch äquivalente Metrik d′
existiert so, daß f : (X, d′ ) → Y Lipschitz-stetig ist.
Beispiel 2.3.43 Seien d g bzw. de die geodätische bzw. die euklidische Distanz auf der
Sphäre Sn . Dann gilt für alle x, y ∈ Sn : de ( x, y) ≤ d g ( x, y) ≤ π2 de ( x, y).
Beispiel 2.3.44 Auf dem Raum M(n, R) (bzw. M(n, C)) aller reellen (bzw. komplexen)
n × n-Matrizen ist durch h A, Bi: = tr ( AB∗ ) ein inneres Produkt definiert – die entsprechende Norm heißt die Hilbert-Schmidt-Norm k.k HS . Zeigen Sie, daß dieser Raum
2
2
isometrisch isomorph zu Rn (bzw. Cn ) mit dem kanonischen inneren Produkt ist.
Beispiel 2.3.45 Die Operatornorm auf M(n,√
R) ist definiert durch k Ak : = sup{k Ax k2 :
k x k2 ≤ 1}. Zeigen Sie: k Ak ≤ k Ak HS ≤ n k Ak, k ABk ≤ k Ak k Bk, k ABk HS ≤
k Ak k Bk HS und k ABk HS ≤ k Ak HS k Bk.
Sei e1 , . . . , en die kanonische orthonormale Basis von Rn , dann gilt:
2
k Ak2HS = ∑ Ae j ≤ ∑ k Ak2 = n k Ak2 .
j
j
2. Es gilt:
2
2
k ABk2HS = ∑ ABe j ≤ ∑ k Ak2 Be j = k Ak2 k Bk2HS .
j
j
Schließlich folgt aus k Ak HS = k A∗ k HS und k Ak = k A∗ k:
k ABk2HS = k( AB)∗ k2HS = k B∗ A∗ k2HS ≤ k B∗ k2 k A∗ k2HS = k Bk2 k Ak2HS .
Beispiel 2.3.46 Gl(n, R): = { A ∈ M(n, R) : det A 6= 0} ist eine offene Teilmenge von
M(n, R). Sl(n, R): = { A ∈ M(n, R) : det A = 1}, O(n): = { A ∈ M(n, R) : AA∗ =
1} und SO(n): = Sl(n, R) ∩ O(n) sind abgeschlossene Teilmengen von M(n, R).
Die Abbildungen det bzw. A 7→ AA∗ sind stetige Abbildungen von M(n, R) in R
bzw. M(n, R). Z.B. gilt:
k AA∗ − BB∗ k HS = k AA∗ − AB∗ + AB∗ − BB∗ k HS
≤ k Ak k A∗ − B∗ k HS + k B∗ k k A − Bk HS
≤ max{k Ak , k Bk} k A − Bk HS .
Beispiel 2.3.47 Seien X, Y Banachräume, dann heißt
d BM (X, Y ): = inf{kuk ku−1 k : u : X → Y
Isomorphismus }
die Banach-Mazur Distanz von X und Y. Es gilt: d BM (X, Y ) ≤ d BM (X, Z)d BM (Z, Y )
und d BM (X, Y ) = inf{c > 1 : BY ⊆ u( BX ) ⊆ cBY , u : X → Y Isomorphismus}
2 TOPOLOGIE UND ANALYSIS
20
Beispiel 2.3.48 Sei X eine Menge und R, S ⊆ X × X Relationen. Dann ist
RS: = {( x, y) ∈ X 2 : ∃ z ∈ X : ( x, z) ∈ R, (z, y) ∈ S}
eine Relation auf X. Insbesondere schreibt man für RR auch R2 . Sind R, S symmetrisch,
so ist auch RS symmetrisch. Ist R eine symmetrische und reflexive Relation auf X, so daß
S n
R = X 2 , dann ist durch
0
falls x = y
N ( x, y): =
inf{n ∈ N : ( x, y) ∈ Rn } sonst
eine Halbmetrik definiert.
S
Beispiel 2.3.49 Sei R eine symmetrische und reflexive Relation auf X, so daß Rn =
X 2 und f : R → R0+ symmetrisch. Dann ist durch d( x, x ): = 0 und für x 6= y:
)
(
d( x, y): = inf
n
∑ f (z j −1 , z j ) :
j =1
n ∈ N, z0 = x, zn = y, (z j−1 , z j ) ∈ R
eine Halbmetrik auf X definiert.
Beispiel 2.3.50 Seien X, Y metrische Räume. Zeigen Sie: f : X → Y ist genau dann
gleichmäßig stetig, wenn
∀ A, B ⊆ X :
d( A, B) = 0 ⇒ d( f ( A), f ( B)) = 0
wobei d( A, B): = inf{d( x, y) : x ∈ A, y ∈ B}.
Beispiel 2.3.51 Die Räume C(Ω) und C∞ (Ω) sind vollständig.
21
3 Topologische Räume
3.1 Topologien
Definition 3.1.1 Unter einer Topologie auf der Menge X versteht man ein Mengensystem T ⊆ P(X ) mit folgenden Eigenschaften
1. ∅, X ∈ T .
2. U, V ∈ T ⇒ U ∩ V ∈ T .
S
3. Uα ∈ T ⇒ Uα ∈ T .
(X, T ) heißt ein topologischer Raum und jede Menge U ∈ T heißt eine offene Teilmenge von X. (X, T ) heißt metrisierbar, wenn eine Metrik d auf X existiert, so daß die
davon erzeugte Topologie mit T übereinstimmt.
Oft bestimmt man Topologien nicht dadurch, daß man die Gesamtheit aller offenen Mengen angibt, man gibt nur einen Teil davon an:
Definition 3.1.2 Sei T eine Topologie auf X. Ein Mengensystem B ⊆ T heißt eine
Basis von T , wenn jede offene Menge als Vereinigung von Mengen aus B darstellbar
ist.
Nicht jedes Mengensystem B ⊆ P(X ) ist Basis einer Topologie, z.B. ist auf X: =
{1, 2, 3} das Mengensystem {∅, {1, 2}, {1, 3}, {1, 2, 3}} keine Basis einer Topologie.
Ein Mengensystem B ⊆ P(X ) ist genau dann eine Basis einer Topologie T auf X,
wenn folgende Bedingung erfüllt ist: Zu jedem U ∈ T und jedem x ∈ U existiert
ein B ∈ B mit x ∈ B ⊆ U (cf. Übungen).
Proposition 3.1.3 Ein Mengensystem B ⊆ P(X ) ist genau dann eine Basis einer Topologie T auf X, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
1. Zu allen x ∈ X existiert ein B ∈ B mit x ∈ B.
2. Zu allen A, B ∈ B und allen x ∈ A ∩ B existiert ein C ∈ B mit x ∈ C ⊆ A ∩ B.
B EWEIS : Sei T das Mengensystem beliebiger Vereinigungen von Mengen aus B ,
dann ist T unter der Bildung beliebiger Vereinigungen stabil. Seien U, V ∈ T ,
S
S
S
also U = Bβ und V = Cγ , dann ist U ∩ V = Bβ ∩ Cγ . Nach 2. liegt jede der
Mengen Bβ ∩ Cγ in T , also liegt U ∩ V nach Definition von T in T .
Ein Mengensystem S ⊆ T heißt eine Subbasis von T , wenn das Mengensystem
aller endlichen Durchschnitte von Mengen aus S eine Basis von T bildet.
1. Falls T = P(X ), so nennt man T die diskrete Topologie.
2. Falls T = {∅, X }, so heißt T die indiskrete Topologie.
3. Das Mengensystem { B1/n ( x ) : x ∈ X, n ∈ N} bildet eine Basis der metrischen
Topologie.
3 TOPOLOGISCHE RÄUME
22
4. Das Mengensystem {(−∞, x ) : x ∈ R} ∪ {( x, ∞) : x ∈ R} bildet eine Subbasis
der natürlichen Topologie auf R.
5. Sei X eine beliebige Menge, dann heißen die Mengensysteme
Tc f : = ∅ ∪ { A ⊆ X : Ac ist endlich} bzw.
Tcc : = ∅ ∪ { A ⊆ X : Ac ist abzählbar}
die ko-endliche bzw. die ko-abzählbare Topologie.
6. Das Mengensystem T = {∅, {1}, {1, 2}} ist eine Topologie auf X = {1, 2}. X
heißt der Sierpinski Raum.
7. Auf R bildet das Mengensystem {[ x, y) : x < y} die Basis einer Topologie T+ .
(R, T+ ) heißt die Sorgenfrey Gerade.
8. Eine Teilmenge A von Cn heißt algebraisch, wenn ein Ideal I in C[ X1 , . . . , Xn ]
existiert, so daß A die Nullstellenmenge von I ist, d.h. A = {z ∈ Cn : ∀ f ∈ I :
f (z) = 0} =: V ( I ). Der schwache Nullstellensatz (cf. [15]) besagt, daß für jedes
Ideal I in C[ X1 , . . . , Xn ] gilt: V ( I ) 6= ∅. Die Zariski Topologie auf Cn ist definiert
als das Mengensystem {Cn } ∪ { Ac : A ist algebraisch}. In diesem Fall erhält man
alle offenen Mengen als endliche Vereinigung von Mengen der Form [ P 6= 0],
denn nach dem Satz von Hilbert (cf. e.g. [15]) ist C[ X1 , . . . , Xn ] ein Noetherscher
Ring, d.h. jede strikt steigende Folge von Idealen ist endlich.
Definition 3.1.4 Sei (X, T ) ein topologischer Raum. Eine Teilmenge A von X heißt
eine Umgebung von x ∈ X, wenn eine offene Menge U existiert, so daß x ∈ U ⊆ A.
Die Menge aller Umgebungen bzw. offenen Umgebungen eines Punktes x bezeichnen
wir mit U ( x ) bzw. U ( x )◦ . A ⊆ X heißt abgeschlossen, wenn Ac ∈ T . Unter dem
Inneren A◦ einer Teilmenge A von X versteht man die “größte”offene Menge, welche
in A enthalten ist; unter dem Abschluß A einer Teilmenge A von X versteht man die
“kleinste“abgeschlossene Menge, die A enthält, also:
A◦ : =
[
{U ⊆ A : U ∈ T }
A: =
Die Menge ∂A: = A \ A◦ heißt der Rand von A.
\
{C ⊇ A : Cc ∈ T } .
Seien A, B Teilmengen eines topologischen Raumes X, dann gilt:
i.
ii.
iii.
iv.
A◦◦ = A◦ , A = A, A ⊆ B ⇒ A◦ ⊆ B◦ und A ⊆ B
c
A◦c = Ac , Ac◦ = A und ∂A = A ∩ Ac = ∂Ac
A ∪ B = A ∪ B und ( A ∩ B)◦ = A◦ ∩ B◦
A ∩ B ⊆ A ∩ B und ( A ∪ B)◦ ⊇ A◦ ∪ B◦ .
Wir zeigen nur die Beziehungen ii.: A◦c ist abgeschlossen und enthält Ac , also:
A◦c ⊇ Ac . Damit folgt:
Ac◦c ⊇ Acc = A
i.e.
A c◦ ⊆ A
c
3.1 Topologien
23
c
c
A ist offen und in Ac enthalten, also: A ⊆ ( Ac )◦ . Damit folgt:
c
Ac ⊆ Acc◦ = A◦
i.e.
Ac ⊇ A◦c
Schließlich ist ∂A = A \ A◦ = A ∩ A◦c = A ∩ Ac .
Ein Punkt x ∈ X liegt genau dann im Inneren einer Menge A ⊆ X, wenn ein
U ∈ U ( x ) existiert, so daß: U ⊆ A. Ferner liegt x ∈ X genau dann im Abschluß
einer Menge A ⊆ X, wenn für alle U ∈ U ( x ) gilt: U ∩ A 6= ∅. Denn falls es eine
c
Umgebung U von x gibt mit U ∩ A = ∅, dann folgt: U ⊆ Ac , also x ∈ Ac◦ = A .
c
Ist umgekehrt x ∈
/ A = Ac◦ , so existiert nach Definition eine Umgebung U von x
gibt mit U ⊆ Ac , i.e. U ∩ A = ∅. Somit ist ∂A die Menge aller Punkte x zu denen
jede Umgebung U sowohl mit A als auch mit Ac nicht leeren Durschnitt besitzt.
Eine Abbildung f : X → Y des topologischen Raumes (X, T X ) in den topologischen Raum (Y, TY ) heißt stetig in dem Punkt x ∈ X, wenn zu jedem V ∈
U ( f ( x )) ein U ∈ U ( x ) existiert, so daß f (U ) ⊆ V i.e. f −1 (V ) ⊇ U, also genau
dann, wenn f −1 (U ( f ( x )) ⊆ U ( x ). f heißt stetig auf X, wenn f in allen Punkten
von X stetig ist. Eine Bijektion f : X → Y heißt ein Homöomorphismus, wenn
sowohl f als auch f −1 stetig sind.
f : X → Y ist also genau dann stetig in x, wenn für jede Umgebung V ∈ U ( f ( x ))
gilt: x ∈ f −1 (V )◦ und sie ist genau dann nicht stetig in x, wenn ein V ∈ U ( f ( x ))
existiert, so daß x ∈ ∂ f −1 (V ).
Proposition 3.1.5 Seien (X, T X ), (Y, TY ) topologische Räume, BY bzw. SY eine Basis
bzw. Subbasis von TY und f : X → Y. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
1. f ist stetig auf X.
2. Das Urbild jeder offenen Teilmenge von Y ist offen in X.
3. Das Urbild jeder abgeschlossenen Teilmenge von Y ist abgeschlossen in X.
4. f −1 (BY ) ⊆ T X .
5. f −1 (SY ) ⊆ T X .
6. Für alle A ⊆ X gilt: f ( A ) ⊆ f ( A) .
B EWEIS : Die Äquivalenz der ersten beiden Bedingungen folgt aus dem Beweis
zu Proposition 2.2.2 und die Äquivalenz der Bedingungen 2. und 3. folgt aus der
Vertauschbarkeit der Mengenoperationen mit der Operation f −1 .
5.⇒2.: Das Mengensystem F : = {V ⊆ Y : f −1 (V ) ∈ T X } ist stabil unter der
Bildung von endlichen Durchschnitten und beliebigen Vereinigungen; da SY ⊆
F , folgt: TY ⊆ F .
3.⇒6.: Für alle A ⊆ X ist f −1 ( f ( A)) eine abgeschlossene Obermenge von A, also
A ⊆ f −1 ( f ( A)) und damit: f ( A ) ⊆ f ( A).
6.⇒3.: Für alle abgeschlossenen Teilmengen B von Y gilt mit A: = f −1 ( B): f ( A) ⊆
B und nach Voraussetzung f ( A ) ⊆ f ( A) , also
A ⊆ f −1 ( f ( A )) ⊆ f −1 ( f ( A)) ⊆ f −1 ( B ) = f −1 ( B) = A .
3 TOPOLOGISCHE RÄUME
24
Die Komposition stetiger Abbildungen ist wiederum stetig, denn sind f : X → Y
und g : Y → Z stetig, so gilt:
( g ◦ f )−1 (T Z ) = f −1 ( g−1 (T Z )) ⊆ f −1 (TY ) ⊆ T X .
Beispiel: Gl(n, C): = { A ∈ M(n, C) : det A 6= 0} ist eine offene Teilmenge von
2
M(n, C) = Cn . Sl(n, C): = { A ∈ M(n, C) : det A = 1}, U(n): = { A ∈ M(n, C) :
AA∗ = 1} und SU(n): = Sl(n, C) ∩ U(n) sind abgeschlossene Teilmengen von
M(n, C). Genauso sind Sl(n, R): = { A ∈ M(n, R) : det A = 1}, O(n): = { A ∈
M(n, R) : AA∗ = 1}, SO(n): = O(n) ∩ Sl(n, R) abgeschlossene Teilmengen von
M(n, R). All diese Aussagen folgen aus der Stetigkeit der Abbildungen det, A 7→
A∗ und ( A, B) 7→ AB sowie der Tatsache, daß in C N bzw. R N jede Menge, die aus
einem Punkt besteht, abgeschlossen ist.
3.2 Halbstetige Funktionen
Nach Proposition 3.1.5.5 ist f : X → R genau dann stetig, wenn für alle t ∈ R die
Mengen [ f ≤ t] und [ f ≥ t] abgeschlossen sind.
Definition 3.2.1 Eine Funktion f : X → R heißt von unten halbstetig (l.s.c), wenn
für alle t ∈ R die Menge [ f ≤ t]: = { x ∈ X : f ( x ) ≤ t} abgeschlossen ist. f heißt von
oben hallbstetig (u.s.c), wenn − f l.s.c ist.
f : X → R ist genau dann stetig, wenn f sowohl l.s.c als auch u.s.c ist, denn
das Mengensystem aller Mengen der Form (t, ∞] oder [−∞, t), t ∈ R bildet eine
Subbasis der natürlichen Topologie auf R. Typische Beispiele von l.s.c Funktionen
sind Indikatorfunktionen offener Mengen; genauer I A ( x ): = 1 falls x ∈ A und
I A ( x ) = 0 falls x ∈
/ A ist genau dann l.s.c., wenn A offen ist.
Proposition 3.2.2 Seien f α : X → R l.s.c Funktionen, dann ist f : = supα f α l.s.c.
B EWEIS : Für alle t ∈ R gilt: [ f ≤ t] =
T
α [ fα
≤ t ].
Häufig konstruiert man metrische Räume Y als Teilräume von vollständigen metrischen Räumen (X, d), wobei man auf Y nicht die ursprüngliche Metrik d betrachtet, sondern eine “stärkere Metrik” D. Die Anführungszeichen sollen darauf hinweisen, daß D : X × X → [0, ∞] auch den Wert +∞ annehmen kann;
ansonsten erfüllt sie aber die üblichen Eigenschaften einer Metrik, sie ist also
symmetrisch und es gilt die Dreiecksungleichung. Unter welchen Bedingungen
an D ist (Y, D ) vollsändig? Sei (X, d) ein vollständiger metrischer Raum und
D : X × X → [0, ∞] eine von unten halbstetige Metrik, so daß jede Cauchy-Folge
bezüglich D eine Cauchy-Folge bezüglich d ist, x0 ∈ X und Y: = [ D ( x0 , .) < ∞].
3.3 Offene und abgeschlossene Abbildungen
25
Dann ist (Y, D ) ein vollständiger metrischer Raum: jede Cauchy-Folge xn bezüglich D konvergiert in (X, d) gegen x; da D l.s.c. ist, ist [ D ≤ ε] in (X, d) abgeschlossen und damit liegt ( xn , x ) für hinreichend große n stets in [ D ≤ 1], also:
D ( x, x0 ) ≤ D ( xn , x ) + D ( xn , x0 ) < ∞ und somit liegt x in Y.
Beispiel: Sei X ein Banachraum und p : X → [0, ∞] eine “Norm” auf X. p ist
genau dann l.s.c. auf X, wenn [ p ≤ 1] abgeschlossen ist.
Beispiel: Sei (Ω, F , µ) ein σ-endlicher Maßraum, Ωn ∈ F eine Folge mit µ(Ωn ) <
∞ und Ωn ↑ Ω. Dann ist L ϕ (µ) ein Banachraum: Nach dem Satz von
R der beschränkten Konvergenz ist die Abbildung pn : L0 (µ) → [0, ∞], f 7→ Ωn ϕ(| f | ∧
n) stetig – L0 (µ) ist dabei mit einer Metrik versehen, deren konvergente Folgen genau jene Folgen sind, die im Maß konvergieren. Somit ist nach Proposition 3.2.2 sowie
R dem Satz von der monotonen Konvergenz: p( f ): = supn pn ( f ) =
limn pn ( f ) = ϕ(| f |) dµ l.s.c. auf L0 (µ). Sei k f k ϕ ≤ 1, dann folgt wiederum aufR
grund monotoner Konvergenz: ϕ(| f |) dµ ≤ 1; umgekehrt folgt aus p( f ) ≤ 1:
k f k ϕ ≤ 1, i.e. [k.k ϕ ≤ 1] ist abgeschlossen in L0 (µ) und dies bedeutet, daß k.k ϕ
auf L0 (µ) l.s.c. ist.
Ein weiteres typisches Beispiel sind Sobolevräume: Sei E ein Hilbertraum und
A : dom A → E ein (nicht notwendigerweise beschränkter) selbstadjungierter, positiver Operator, dann ist durch k x k21 : = k x k2 + h Ax, x i eine von unten
halbstetige “Norm” auf E definiert (cf. Abschnitt ??) und folglich ist der Sobolevraum H 1 ( A): = [k.k1 < ∞] wiederum ein Hilbertraum. Es gilt dann H 1 ( A) =
dom (1 + A)1/2 ⊆ E und (1 + A)−1/2 : E → H 1 ( A) ist eine Isometrie; somit ist
z.B. (1 + A)−1/2 : E → E genau dann ein kompakter Operator, wenn die kanonische Injektion H 1 ( A) ֒→ E kompakt ist, d.h. die Einheitskugel von H 1 ( A) ist eine
relativ kompakte Teilmenge von E.
3.3 Offene und abgeschlossene Abbildungen
Definition 3.3.1 Eine Abbildung f : X → Y heißt offen bzw. abgeschlossen, wenn
das Bild jeder offenen bzw. abgeschlossenen Teilmenge von X eine offene bzw. abgeschlossene Teilmenge von Y ist.
Achtung: Abhängig vom Kontext definiert man eine abgeschlossene Abbildung
f : X → Y manchmal auch als eine Abbildung, deren Graph in X × Y abgeschlossen ist (cf. Übungen).
Die Projektionen P : Rn+m → Rn , ( x, y) 7→ x sind zwar offen aber nicht abgeschlossen, denn sie bilden jede offene Kugel um ( x, y) auf die offene Kugel um x
ab, aber die in R2 abgeschlossene Menge {( x, y) : xy = 1} bildet P auf die Menge
R \ {0} ab, die nicht abgeschlossen in R ist.
26
3 TOPOLOGISCHE RÄUME
Aus dem Submersionssatz (cf. e.g. [1]) folgt unmittelbar, daß jede Submersion
offen ist, d.h. jede stetig differenzierbare Abbildung f einer offene Teilmengen U
von Rn+m in Rn mit der Eigenschaft, daß D f ( x ) für alle x ∈ U surjektiv ist, ist
offen.
Jede nicht konstante (komplex) differenzierbare Abbildung einer offenen und zusammenhängenden Teilmenge U von C in C ist offen (cf. e.g. [14]).
Eine stetige Bijektion f : X → Y ist nach Proposition 3.1.5 genau dann ein Homöomorphismus, wenn sie abgeschlossen oder offen ist.
Lemma 3.3.2 Eine Abbildung f : X → Y ist genau dann abgeschlossen, wenn zu jedem
y ∈ Y und jeder offenen Teilmenge U von X, die f −1 (y) enthält, eine offene Umgebung
V von y existiert, so daß f −1 (V ) ⊆ U.
B EWEIS : Sei f abgeschlossen. Falls für alle V ∈ U (y)◦ : f −1 (V ) ∩ U c 6= ∅, dann ist
V ∩ f (U c ) 6= ∅, also y ∈ f (U c ) = f (U c ), d.h. f −1 (y) ∩ U c 6= ∅.
Ist umgekehrt A ⊆ X abgeschlossen und y ∈
/ f ( A), so ist f −1 (y) ⊆ Ac =: U,
und damit existiert nach Voraussetzung eine offene Umgebung V von y, so daß
f −1 (V ) ⊆ U, also: V ∩ f ( A) = ∅.
Ist f : X → Y injektiv, so besagt Lemma 3.3.2, daß f genau dann abgeschlossen
ist, wenn f (X ) abgeschlossen und f −1 : f (X ) → X stetig ist: Ist y ∈
/ f (X ), so
−
1
ist f (y) leer; wähle U: = ∅, so muß für die entsprechende offene Obermenge
V von f −1 (y) gelten: f −1 (V ) = ∅, i.e. V ∩ f (X ) = ∅ und somit ist f (X ) abgeschlossen.
Beispiel: Die Abbildung χ : t 7→ exp(it) ist eine offen aber nicht abgeschlossene
Abbildung von R auf S1 : zu jedem z ∈ S1 gibt es eine offene Umgebung U sowie
eine Folge paarweise disjunkter offener Umgebungen Un in R, so daß χ−1 (U ) =
S
Un und χ : Un → U ist für alle n ein Homöomorphismus – man nennt χ eine
Überlagerungsabbildung (cf. Übungen). Diese Eigenschaft impliziert, daß χ ofS
fen ist. Andererseits ist χ−1 (1) = 2πZ; setzen wir U: = n B(2πn, 1/|n| + 1), so
gibt es keine Umgebung V von 1, so daß χ−1 (V ) ⊆ U. Überlagerungsabbildungen (cf. Übungen) sind stets offen aber i.a. nicht abgeschlossen.
Riemannsche Fläche der Wurzelfunktion: Ein Beispiel einer abgeschlossenen Überlagerungsabbildung ist die Riemannsche Fläche der Wurzelfunktion: Sei M: =
{(z, w) ∈ C2 : w = z2 } \ {(0, 0)}; Setzen wir für m: = (z, w) ∈ M: p1 (m) = z
und p2 (m) = w, so ist p1 : M → C \ {0} ein Homöomorphismus und p2 : M →
C \ {0} ist eine abgeschlossene Überlagerungsabbildung.
Sei Y eine Teilmenge des topologischen Raumes (X, T ), dann ist T ∩ Y: = {U ∩
Y : U ∈ T } eine Topologie auf Y – die Relativ- oder Spurtopologie auf Y. Eine
Teilmenge C von Y ist genau dann offen bzw. abgeschlossen, wenn eine offene
bzw. abgeschlossene Teilmenge B von X existiert, so daß C = B ∩ Y. Ist A eine
3.4 Räume mit abzählbarer Basis
27
Y
beliebige Teilmenge von Y und A der Abschluß von A in Y. Da A ∩ Y in Y abY
geschlossen ist, folgt: A ⊆ A ∩ Y. Andererseits gibt es eine in X abgeschlossene
Y
Y
Menge B mit A = B ∩ Y; da B ⊇ A folgt aber auch B ⊇ A, i.e. A = A ∩ Y.
Definition 3.3.3 Sei f : X → Y stetig und injektiv. f heißt eine Einbettung, wenn
f : X → f (X ) ein Homöomorphismus ist.
Ist f : X → Y eine Einbettung, so muß f (X ) i.a. weder offen noch abgeschlossen
in Y sein. Z.B. ist x 7→ ( x, 0) eine Einbettung des offenen Intervalls (0, 1) in R2 ,
aber das Bild ist in R2 weder offen noch abgeschlossen.
Jede injektive (komplex) differenzierbare Funktion einer offenen Teilmenge U
von Cn in Cn ist eine offene Einbettung (cf. e.g. [17]).
Lemma 3.3.4 Eine injektive stetige Abbildung f : X → Y ist genau dann eine Einbettung, wenn für alle abgeschlossenen Teilmengen A von X und alle x ∈
/ A gilt:
f (x) ∈
/ f ( A) .
B EWEIS : f −1 : f (X ) → X ist genau dann nicht stetig in y = f ( x ), wenn eine
offene Umgebung U von x existiert, so daß für alle V ∈ U (y): f −1 (V ) ∩ U c 6= ∅,
also genau dann, wenn f (U c ) ∩ V 6= ∅, i.e. y ∈ f (U c ).
Die Abbildung χ : (−π, π ] → C, χ(t) = eit ist zwar stetig und injektiv, aber
χ(π ) = −1 ∈ χ((−π, 0]) und da (−π, 0] abgeschlossen in (−π, π ] ist, ist χ :
(−π, π ] → C keine Einbettung.
Definition 3.3.5 Sei Y ⊆ X und f : X → Y stetig und surjektiv. f heißt eine Retraktion, wenn f ◦ f = f . Gibt es eine Retraktion f : X → Y, so nennt man Y einen
Retrakt von X.
Für alle y ∈ Y ist also y = f ( x ) und f (y) = f ( f ( x )) = f ( x ) = y, i.e. Y ⊆ { x ∈ X :
f ( x ) = x } =: F; ist umgekehrt x ∈ F, so folgt offensichtlich x ∈ f (X ) = Y, also
muß gelten: Y = { x ∈ X : f ( x ) = x }, Y ist also die Fixpunktmenge von f .
Beispiel: Jede abgeschlossene konvexe Teilmenge C eines Hilbertraumes E ist ein
Retrakt von E: die Abbildung PC : E → E, die jedem Punkt x jenen Punkt aus C
zuordnet, der zu x minimalen Abstand besitzt, ist eine Retraktion.
3.4 Räume mit abzählbarer Basis
Definition 3.4.1 Eine Teilmenge A eine topologischen Raumes (X, T ) heißt dicht in X,
falls A = X. X heißt separabel, wenn eine abzählbare dichte Teilmenge in X existiert.
X besitzt eine abzählbare Basis, wenn die Topologie eine abzählbare Basis besitzt.
3 TOPOLOGISCHE RÄUME
28
L ϕ (Ω, F , µ) ist separabel, falls F abzählbar erzeugt ist; L∞ (Ω, F , µ) ist nur dann
separabel, wenn F endlich ist.
Offene Teilmengen von separablen Räumen sind separabel (cf. Übungen), hingegen müssen beliebige Teilräume von separablen Räumen i.a. nicht mehr separabel sein. Z.B. ist jeder topologische Raum X Unterraum eines weiteren topologischen Raumes Y, in dem eine dichte Teilmenge existiert, die aus nur einem Punkt
besteht: Sei ω ∈
/ X, Y: = X ∪ {ω } und die offenen Teilmengen von Y seien die
Mengen der Form U ∪ {ω }, wobei U offen in X ist.
Proposition 3.4.2 1. Jeder Raum mit abzählbarer Basis ist separabel.
2. Jeder separable metrische Raum besitzt eine abzählbare Basis.
3. Besitzt X eine abzählbare Basis und ist Uα , α ∈ I, eine weitere Basis, dann existiert
eine abzählbare Teilmenge J von I, so daß Uα , α ∈ J, eine Basis ist.
B EWEIS : 1. Sei Un eine abzählbare Basis, xn ∈ Un und A: = { xn : n ∈ N}. Dann
ist A dicht.
2. Sei xn eine dichte Teilmenge von X, dann ist das Mengensystem { Br ( xn ) : r ∈
Q+ } abzählbar und jede offene Teilmenge U von X läßt sich als Vereinigung solcher Mengen darstellen; denn ist D: = {n : xn ∈ U }, so definieren wir für n ∈ D:
rn : = sup{r > 0 : Br ( xn ) ⊆ U } und
V: =
[
Br ( xn ) =
[
[
Br ( xn ) .
n ∈ D r <rn ,r ∈Q
n∈D
Nun ist V ⊆ U und falls ein x ∈ U existiert, so daß x ∈
/ V, dann existiert ein
r > 0, so daß Br ( x ) ⊆ U. Da { xn : n ∈ D } dicht ist in U, existiert ein xn , n ∈ D, so
daß d( x, xn ) < r/3, also x ∈ B2r/3 ( xn ) ⊆ U i.e. rn > 2r/3.
3. Sei Bn eine abzählbare Basis, dann folgt für alle α ∈ I und alle n ∈ N:
Uα =
[
n ∈ N (α)
Bn
und
Bn =
[
Uα
α∈ I (n )
S
also: n ∈ N (α) ⇔ Bn ⊆ Uα und α ∈ I (n) ⇔ Uα ⊆ Bn . Sei Mn = { N (α) :
S
α ∈ I (n)}, dann gilt Bn = { Bm : m ∈ Mn } und zu jedem m ∈ Mn existiert ein
S
α(m) ∈ I (n) mit m ∈ N (α(m)), also Bm ⊆ Uα(m) ; damit folgt aber: Bn = {Uα(m) :
m ∈ Mn }.
Ist X ein separabler metrischer Raum, so ist jeder Teilraum von X separable. Ferner ist das abzählbare Produkt von separablen metrischen Räumen Xn separabel:
Seien Dn dicht in Xn und (a1 , a2 , . . .) ∈ ∏ Xn ; setzen wir Pn : = D1 × · · · × Dn ×
S
{an+1 } × {an+2 } × · · ·, so ist Pn dicht in ∏ Xn .
Beispiel: Ist Ω ein separabler metrischer Raum, so ist die Borelsche σ-Algebra B
auf Ω abzählbar erzeugt.
3.5 Überdeckungen
29
3.5 Überdeckungen
Definition 3.5.1 Sei X eine Menge. Unter einer Überdeckung von X versteht man ein
S
Mengensystem U ⊆ P(X ) mit der Eigenschaft: U = X. Ein Teilsystem V ⊆ U , das
eine Überdeckung von X ist, heißt eine Teilüberdeckung.
Sei (X, T ) ein topologischer Raum und U eine Überdeckung von X. Falls U ⊆ T ,
dann nennen wir U eine offene Überdeckung.
Definition 3.5.2 Eine Überdeckung V eines topologischen Raumes heißt lokalendlich,
wenn zu jedem Punkt x ∈ X eine Umgebung U existiert, so daß {V ∈ U : U ∩ V 6= ∅}
endlich ist.
Proposition 3.5.3 Sei Dα , α ∈ I, eine lokalendliche Überdeckung und J ⊆ I. Dann ist
S
{ D α : α ∈ J } abgeschlossen und { D α : α ∈ I } lokalendlich.
B EWEIS : Sei U eine offene Umgebung von x ∈ X, so daß K: = {α ∈ I : U ∩ Dα 6=
∅} endlich ist. Für alle α ∈
/ K gilt dann auch: D α ⊆ U c , i.e. { D α : α ∈ I } ist
S
S
lokalendlich. Seien x ∈
/ { D α : α ∈ J } und H: = K ∩ J, dann ist { D α : α ∈
H } eine abgeschlossene Teilmenge, die x nicht enthält, also existiert eine offene
S
S
Umgebung V ⊆ U von x, so daß V ∩ { D α : α ∈ H } = ∅, also: V ∩ { D α : α ∈
J } = ∅.
3.6 Filter und Netze
Definition 3.6.1 Sei X eine Menge. Ein Mengensystem F ⊆ P(X ) heißt ein Filter,
wenn 1. ∅ ∈
/ F . 2. Für alle F, G ∈ F gilt: F ∩ G ∈ F . 3. Für alle F ∈ F und alle
G ∈ P(X ) folgt aus F ⊆ G: G ∈ F .
/ F und wenn zu je zwei
Ein Mengensystem F ⊆ P(X ) heißt eine Filterbasis, falls ∅ ∈
Mengen F, G ∈ F eine Menge H ∈ F existiert mit H ⊆ F ∩ G.
Ein Mengensystem F ⊆ P(X ) heißt eine Subbasis eines Filters, wenn das Mengensystem aller endlichen Durchschnitte von Mengen aus F eine Filterbasis ist.
1. Ist F eine Filterbasis, so ist Fe : = { G ∈ P(X ) : ∃ F ∈ F : F ⊆ G } ein Filter - der
von F erzeugte Filter.
2. Die Menge aller Umgebungen U ( x ) eines Punktes x heißt der Umgebungsfilter
von x.
3. Ist xn eine Folge in X, so ist Fn : = { xm : m ≥ n} eine Filterbasis und der von
dieser Basis erzeugte Filter heißt der Fréchetfilter der Folge xn .
Die Folge xn konvergiert gegen x ∈ X, wenn zu jeder Umgebung U von x ein
Index n0 existiert, so daß für alle n ≥ n0 gilt: xn ∈ U. Dies ist also genau dann der
Fall, wenn der Fréchetfilter der Folge feiner ist als der Umgebungsfilter von x.
3 TOPOLOGISCHE RÄUME
30
Definition 3.6.2 Ein Filter F auf einem topologischen Raum konvergiert gegen x ∈ X
(i.Z. F → x), wenn F feiner ist als der Umgebungsfilter U ( x ). Eine Filterbasis F heißt
konvergent, wenn der von ihr erzeugte Filter konvergiert.
Ist S eine Subbasis des Umgebungsfilters von x, so konvergiert ein Filter F genau dann gegen x, wenn F feiner ist als S . Konvergiert ein Filter F gegen x, so
bedeutet das jedoch nicht, daß x eindeutig bestimmt ist: im indiskreten Raum
konvergiert z.B. jeder Filter gegen jeden Punkt.
Definition 3.6.3 Ein topologischer Raum X heißt ein Hausdorff-Raum, wenn zu je
zwei Punkten x 6= y in X Umgebungen U von x und V von y existieren, so daß U ∩ V =
∅.
In einem Hausdorff-Raum X konvergiert ein Filter F gegen genau einen Punkt,
d.h. aus F → x und F → y folgt: y = x. Ferner ist jeder Unterraum von X wiederum ein Hausdorff-Raum und jede endliche Teilmenge von X ist abgeschlossen
(cf. Übungen).
Proposition 3.6.4 Sei A eine Teilmenge eines topologischen Raumes X. x ∈ X liegt
genau dann in A, wenn eine Filterbasis B auf A existiert, die in X gegen x konvergiert.
B EWEIS : Sei x ∈ A und B : = U ( x ) ∩ A, dann ist B eine Filterbasis und der von B
erzeugt Filter auf X ist feiner als U ( x ).
Existiert umgekehrt eine Filterbasis B auf A, so daß der davon erzeugte Filter F
auf X gegen x konvergiert, so gibt es zu jeder Umgebung U von x ein F ∈ F und
ein B ∈ B mit B ⊆ F ⊆ U, also A ∩ U ⊇ B 6= ∅.
Proposition 3.6.5 Eine Abbildung f : X → Y ist genau dann stetig in x, wenn für
jeden Filter F auf X mit F → x die Filterbasis f (F ) gegen f ( x ) konvergiert.
Häufungspunkte: Konvergiert ein Filter F gegen x, so folgt für alle F ∈ F und
T
alle U ∈ U ( x ): U ∩ F 6= ∅, also: x ∈ F und damit: x ∈ { F : F ∈ F }.
Definition 3.6.6 Sei F ein Filter (bzw. eine Filterbasis) auf dem topologischen Raum X.
x ∈ X heißt ein Häufungspunkt von F , wenn
x∈
\
{F : F ∈ F } .
x ist genau dann Häufungspunkt eines Filters F , wenn für alle U ∈ U ( x ) und
alle F ∈ F : U ∩ F 6= ∅.
Lemma 3.6.7 Sei F ein Filter auf X. x ist genau dann ein Häufungspunkt von F , wenn
ein Filter G ⊇ F existiert, so daß G → x.
3.6 Filter und Netze
31
T
B EWEIS : Ist x ∈ { F : F ∈ F }, so wähle für G den von F ∩ U ( x ) erzeugten Filter.
T
T
Umgekehrt existiert zu jedem F ∈ F ein G ∈ G mit G ⊆ F, also F ⊇ G ⊇ { x }.
Ultrafilter: Die Menge aller Filter auf einer Menge X ist bezüglich der Relation
F ist feiner als G induktiv geordnet. Nach dem Lemma von Zorn existiert daher
zu jedem Filter F auf X ein i.a. nicht eindeutig bestimmter maximaler Filter F0 ,
der feiner ist als F – F0 heißt ein Ultrafilter. Nach Lemma 3.6.7 ist ein Ultrafilter
genau dann konvergent, wenn er einen Häufungspunkt besitzt.
Lemma 3.6.8 Ein Filter F auf X ist genau dann ein Ultrafilter, wenn für alle Teilmengen A von X gilt: entweder ist A ∈ F oder Ac ∈ F .
Ist F ein Ultrafilter auf X und f : X → Y, so ist f (F ) Basis eines Ultrafilters auf Y.
B EWEIS : Falls eine Teilmenge A von X existiert, so daß weder A noch Ac in F
liegen, dann ist G : = { B ⊆ X : A ∪ B ∈ F } ein Filter, der echt feiner ist als F ,
denn er enthält Ac . Sei umgekehrt F ein Filter mit der angegebenen Eigenschaft
und G ein weiterer, feinerer Filter. Falls A ∈ G und A ∈
/ F , so liegt Ac in F , also
liegt ∅ = A ∩ Ac in G .
Sei B ⊆ Y, dann liegt entweder f −1 ( B) oder f −1 ( Bc ) in F . Da f ( f −1 ( B)) ⊆ B
folgt die Behauptung.
Filter und Ideale: Sei R ein Ring; ein Ideal I von R ist ein Unterring mit den
Eigenschaften: I 6= R und für alle x ∈ R: xI ⊆ I und Ix ⊆ I.
Sei X eine Menge und R = R X der kommutative Ring aller Funktionen f : X →
R. Dann gilt:
1. Ist F ein Filter auf X, so ist I (F ): = { f ∈ R : [ f = 0] ∈ F } ein Ideal in R.
2. Ist J ein Ideal in R, so ist F( J ): = {[ f = 0] : f ∈ J } ein Filter auf X.
3. I ( F( J )) = J und F( I (F )) = F .
4. F ist genau dann ein Ultrafilter, wenn I ein maximales Ideal ist, also genau
dann, wenn R/I ein Körper ist (cf. e.g. [15]).
Netze: Sei ≤ eine Ordnungsrelation auf der Menge I; wir nennen ( I, ≤) eine gerichtete Menge, wenn zu allen α, β ∈ I ein γ ∈ I existiert, so daß γ ≥ α und
γ ≥ β. Ist z.B. B eine Filterbasis auf der Menge X und B1 ≥ B2 : ⇔ B1 ⊆ B2 ,
so ist (B , ≤) eine gerichtete Menge. Umgekehrt bildet für jede gerichtete Menge
( I, ≤) das Mengensystem Bα : = { β ∈ I : β ≥ α}, α ∈ I, eine Filterbasis auf I – im
Falle einer Folge, d.h. falls I = N mit der natürlichen Ordnung, ist der von dieser
Filterbasis erzeugte Filter der Fréchetfilter der Folge!
Definition 3.6.9 Unter einem Netz auf der Menge X versteht man eine Abbildung einer
gerichteten Menge ( I, ≥) in X.
Ist ( xα )α∈ I ein Netz auf dem topologischen Raum X, so ist Fα : = { x β : β ≥ α} eine
Filterbasis und den entsprechenden Filter nennt man den von ( xα ) erzeugten Fil-
32
3 TOPOLOGISCHE RÄUME
ter. Die Begriffe Konvergenz bzw. Häufungspunkt für Netze definiert man über
den erzeugten Filter.
Sei umgekehrt F ein Filter, I die Menge aller Paare ( x, F), wobei x ∈ F ∈ F und
( x, F) ≤ (y, G) falls G ⊆ F. Setzen wir für α = ( x, F): xα = x, so ist ( xα )α∈ I ein
Netz und der davon erzeugte Filter stimmt mit F überein, denn für α = ( x, F) ist
{ x β : β ≥ α} = F.
Proposition 3.6.10 f : X → R ist genau dann l.s.c, wenn für jedes konvergente Netz
xα in X gilt: lim inf f ( xα ) ≥ f (lim xα ).
B EWEIS : Seien a = lim inf f ( xα ) und x = lim xα . Falls a < f ( x ), dann ist U: =
[ f > (a + f ( x ))/2] offen und x ∈ U. Da aber xα gegen x konvergiert, existiert ein
Index α0 , so daß für β ≥ α0 : x β ∈ U, also lim inf f ( xα ) ≥ (a + f ( x ))/2.
Falls [ f ≤ t0 ] nicht abgeschlossen ist, dann existiert ein x ∈
/ [ f ≤ t0 ] sowie ein
Netz xα ∈ [ f ≤ t0 ] mit xα → x.
Sei X ein topologischen Raum X, in dem jeder Punkt eine abzählbare Umgebungsbasis besitzt. Dann besitzt ein Filter F genau dann den Häufungspunkt
x, wenn zu jeder Folge Fn ∈ F eine Folge xn existiert mit xn ∈ Fn und xn → x: Sei
T
Un eine Umgebungsbasis von x mit Un+1 ⊆ Un . Falls { F : F ∈ F } 6= ∅, dann
T
wähle zu Fn ∈ F : xn ∈ Un ∩ Fn . Falls umgekehrt x ∈
/ { F : F ∈ F }, dann gibt es
ein F ∈ F sowie ein n ∈ N mit F ∩ Un = ∅. Setze für alle n ∈ N: Fn = F.
Ist insbesondere F der von einer Folge xn in X erzeugte Fréchetfilter, so besitzt xn
genau dann einen Häufungspunkt, wenn sie eine konvergente Teilfolge besitzt:
Sei Fn : = { xm : m > n} und xn(1) ∈ F1 ∩ U1 ; wähle xn(2) ∈ Fn(1) ∩ U2 , xn(3) ∈
Fn(2) ∩ U3 , etc.
3.7 Initiale und finale Topologien
Sei X eine Menge, Yα topologische Räume und f α : X → Yα bzw. gα : Yα → X
Abbildungen.
Definition 3.7.1 Unter der Initialtopologie auf X bezüglich der Abbildungen f α versteht man die gröbste Topologie Ti auf X, so daß alle Abbildungen f α : (X, T ) → Yα
stetig sind.
Unter der Finaltopologie auf X bezüglich der Abbildungen gα versteht man die feinste
Topologie T f auf X, so daß alle Abbildungen gα : Yα → (X, T ) stetig sind.
Trägt z.B. X die initiale Topologie bezüglich der Abbildung f : X → Y, so gilt Ti =
f −1 (TY ), denn f −1 (TY ) ist eine Topologie auf X und Ti ist die gröbste Topologie,
die f −1 (TY ) enthält.
Trägt X hingegen die finale Topologie T f bezüglich der Abbildung g : Y → X,
so gilt für alle U ∈ T f : g−1 (U ) ∈ TY , also: T f ⊆ {U ⊆ X : g−1 (U ) ∈ TY }.
Andererseits ist {U ⊆ X : g−1 (U ) ∈ TY } eine Topologie auf X.
3.7 Initiale und finale Topologien
33
S
Proposition 3.7.2 Bezeichnet Tα die Topologie auf Yα , so ist α∈ I f α−1 (Tα ) eine SubbaT
sis der initialen Topologie auf X und α∈ I {U ⊆ X : gα−1 (U ) ∈ Tα } die finale Topologie
auf X.
B EWEIS : 1. Da f α : X → Yα stetig ist, folgt: f α−1 (Tα ) ⊆ Ti und nach Definition
S
der initialen Topologie, stimmt diese mit der von dem Mengensystem α f α−1 (Tα )
erzeugten Topologie überein.
2. Ist α ∈ I fixiert, so ist {U ⊆ X : gα−1 (U ) ∈ Tα } die feinste Topologie auf X, so
daß gα : Yα → X stetig ist und folglich ist der Durchschnitt all dieser Topologien
die feinste Topologie auf X, so daß alle gα : Yα → X stetig sind.
Eine Teilmenge A von X ist genau dann abgeschlossen bezüglich der finalen Topologie gα : Yα → X, wenn für alle α: gα−1 ( Ac ) = gα−1 ( A)c offen in Yα ist, also
genau dann, wenn für alle α: gα−1 ( A) abgeschlossen in Yα ist.
Für eine abgeschlossene Teilmenge A von X bezüglich der initialen Topologie
f α : X → Yα muß jedoch f α ( A) i.a. nicht abgeschlossen sein.
Korollar 3.7.3 Trägt X die initiale Topologie bezüglich der Abbildungen f α : X → Yα ,
so ist h : Z → X genau dann stetig, wenn alle Abbildungen f α ◦ h : Z → Yα stetig sind.
Trägt X die finale Topologie bezüglich der Abbildungen gα : Yα → X, so ist h : X → Z
genau dann stetig, wenn alle Abbildungen h ◦ gα : Yα → Z stetig sind.
B EWEIS : 1. h ist genau dann stetig, wenn für alle α ∈ I: h−1 ( f α−1 (Tα )) ⊆ T Z ; also
genau dann, wenn alle Abbildungen f α ◦ h : Z → Yα stetig sind.
2. h ist genau dann stetig, wenn
h−1 (T Z )) ⊆
\
α∈ I
{U ⊆ X : gα−1 (U ) ∈ Tα }
und dies ist genau dann der Fall, wenn für alle α ∈ I: gα−1 (h−1 (T Z )) ⊆ Tα , d.h.
genau dann, wenn alle Abbildungen h ◦ gα stetig sind.
Unter der Produkttopologie auf X = ∏α Xα versteht man die initiale Topologie
auf X bezüglich der Projektionen Prα : X → Xα . Ist U ⊆ X offen und x = ( xα ) ∈
U, so gibt es nach Definition der Produkttopologie eine endliche Teilmenge J von
I sowie offene Umgebungen Uα von xα , so daß für alle α ∈
/ J: Uα = Xα und
U
⊆
U.
Sind
z.B.
X,
Y
zwei
topologische
Räume,
so
bilden
die Mengen der
∏ α
Form U × V, wobei U ∈ T X und V ∈ TY , eine Basis der Produkttopologie auf
X × Y.
Beispiel: Ist X überabzählbar, so ist die Produkttopologie auf {0, 1} X nicht metrisierbar: Angenommen die Nullfunktion besitzt eine abzählbare Basis Bn ; da
Bn eine Umgebung der Nullfunktion ist, gibt es zu jedem n eine endliche MenS
ge An ⊆ X, so daß Bn ⊇ { f : f | An = 0}. Setzen wir A: =
An , so folgt:
T
Bn ⊇ { f : f | A = 0}; letztere Menge enthält aber nicht nur die Nullfunktion.
3 TOPOLOGISCHE RÄUME
34
Ist X eine Teilmenge eines topologischen Raumes Y, so ist die initiale Topologie
bezüglich der Abbildung i X : X → Y, i X ( x ) = x die Relativtopologie.
Proposition 3.7.4 Ein topologischer Raum X ist genau dann ein Hausdorff-Raum, wenn
die Diagonale ∆X : = {( x, x ) : x ∈ X } abgeschlossen in X × X ist.
B EWEIS : Sei ( x, y) ∈
/ ∆X , dann ist x 6= y und es existieren U ∈ U ( x ) sowie V ∈
U (y), so daß U ∩ V = ∅, also U × V ∩ ∆X = ∅.
Ist x 6= y, so liegt ( x, y) nicht auf der Diagonale und es existieren U ∈ U ( x ) und
V ∈ U (y), so daß U × V ∩ ∆X = ∅, also U ∩ V = ∅.
Die Aussage ist also i.w. eine Reformulierung der Äquivalenz: U ∩ V = ∅ ⇔
(U × V ) ∩ ∆X = ∅.
Korollar 3.7.5 Seien f , g : X → Y stetige Abbildungen, Y ein Hausdorff-Raum und D
eine dichte Teilmenge von X. Falls für alle x ∈ D gilt: f ( x ) = g( x ), dann stimmen f
und g überein.
B EWEIS : Die Abbildung F : X → Y × Y, x 7→ ( f ( x ), g( x )) ist stetig und D ⊆
F−1 (∆Y ), also: X = D ⊆ F−1 (∆Y ).
Der Beweis zeigt, daß die Menge { x ∈ X : f ( x ) = g( x )} abgeschlossen ist, falls
Y ein Hausdorff-Raum ist. Da jeder Unterraum eines Hausdorff-Raumes wiederum ein Hausdorff-Raum ist, muß z.B. jeder Retrakt Y eines Hausdorff-Raumes
X abgeschlossen sein, denn Y ist die Fixpunktmenge einer stetigen Funktion
f : X → Y, also Y = { x ∈ X : f ( x ) = x }.
Korollar 3.7.6 Trägt X die initiale Topologie bezüglich der Abbildungen f α : X → Yα ,
so konvergiert ein Filter F auf X genau dann gegen x, wenn sämtliche Filterbasen f α (F )
gegen f α ( x ) konvergieren.
S
B EWEIS : α f α−1 (U ( f α ( x )) ist nach Definition der initialen Topologie eine Subbasis S des Umgebungsfilters von x. Konvergiert f α (F ) gegen f α ( x ), so gibt es
für alle U ∈ U ( f α ( x )) ein F ∈ F , so daß f α ( F) ⊆ U, also: F ⊆ f α−1 (U ) oder
F ⊇ f α−1 (U ( f α ( x )). Somit ist F feiner als S und konvergiert folglich gegen x.
Nach Proposition 3.6.4 liegt ein Punkt x ∈ X genau dann im Abschluß der Menge
A ⊆ X, wenn eine Filterbasis B auf A existiert, die in X gegen x konvergiert; nach
Korollar 3.7.6 ist dies genau dann der Fall, wenn für alle α die Filterbasis f α (B) in
Yα gegen f α ( x ) konvergiert.
Satz 3.7.7 Trägt X die initiale Topologie bezüglich der Abbildungen f α : X → Xα und
sind sämtliche Räume Xα Hausdorff-Räume, so ist X genau dann ein Hausdorff-Raum,
3.7 Initiale und finale Topologien
35
wenn zu jedem Paar x 6= y ∈ X ein α ∈ I existiert, so daß f α ( x ) 6= f α (y). Eine solche
Familie f α heißt punktetrennend.
2. Ist f α punktetrennend, so ist X homöomorph zu einem Unterraum von ∏ Xα . Insbesondere ist X metrisierbar (und separabel), falls I höchstens abzählbar und sämtliche
Räume Xα metrisierbar (und separabel) sind.
B EWEIS : Falls für alle α ∈ I: f α ( x ) = f α (y), so folgt für jede Umgebung Uα von
f α ( x ): y ∈ f α−1 (Uα ), also kann X kein Hausdorff-Raum sein. Existiert hingegen
zu x 6= y ∈ X ein α ∈ I, so daß f α ( x ) 6= f α (y), so existieren disjunkte offene
Teilmengen U bzw. V von Xα mit f α ( x ) ∈ U und f α (y) ∈ V, folglich sind f α−1 (U )
bzw. f α−1 (V ) disjunkte offene Teilmengen von X, die x bzw. y enthalten.
2. Definiere f : X → ∏ Xα durch Prα ◦ f = f α , dann ist f stetig und – da f α punktetrennend ist – injektiv. Die Stetigkeit von f −1 folgt nun aus der Kommutativität
des Diagramms
X❃
f
❃❃
❃❃
❃
f β ❃❃
Xβ
// f ( X )
③
③
③③
③
③
}}③③ Prβ
sowie der Definition der initialen Topologie auf X.
3. Nach 2. und Proposition 3.4.2 genügt es zu zeigen, daß das abzählbare Produkt
von separablen Räumen wiederum separabel ist. Sei Dn dicht in Xn , x ∈ X und
S
Dn∗ : = D1 × · · · × Dn × { xn+1 } × { xn+2 } × · · ·. Dann ist D: = Dn∗ dicht in X.
Zusammenfassend kann man sagen: abzählbare initiale Konstruktionen, die von
separabel, metrischen Räumen ausgehen, ergeben wieder separable, metrische
Räume!
Beispiel: Sei Ω eine offene Teilmenge von Rn . Der Raum C(Ω) trägt die initiale
Topologie bezüglich der Abbildungen C(Ω) → C(K ), f 7→ f |K, K ⊆ Ω kompakt.
Da C(Ω) mit beiden Topologien metrisierbar ist, genügt es zu zeigen, daß eine
Folge f n in C(Ω) genau dann konvergiert, wenn sie bezüglich der initialen Topologie konvergiert; im ersten Fall bedeutet dies, daß die Folge f n auf allen kompakten Teilmengen gleichmäßig konvergiert und im zweiten bedeutet es nach
Korollar 3.7.6 dasselbe.
Beispiel: Der Raum C∞ (Ω) trägt die initiale Topologie bezüglich der Abbildunα
gen ∂α : C∞ (Ω) → C(Ω), wobei α = (α1 , . . . , αn ) ∈ N0n und ∂α f = ∂1 1 · · · ∂αnn f .
Wiederum sind beide metrisierbar und besitzen dieselben konvergenten Folgen!
Nach Satz 3.7.7 sind daher C(Ω) und C∞ (Ω) separable, metrische Räume.
Unter der Summentopologie auf Z: = ∐ Xα versteht man die finale Topologie
bezüglich der kanonischen Injektionen jα : Xα → Z. Für jede Teilmenge Aα von
36
3 TOPOLOGISCHE RÄUME
1
Xα ist j−
β ( jα ( Aα )) entweder Aα oder ∅, also ist jα ( Xα ) sowohl offen wie abgeschlossen in Z und jα : Xα → Z ist eine Einbettung. Ferner ist eine Teilmenge
A ⊆ Z genau dann offen (abgeschlossen), wenn für alle α gilt: A ∩ jα (Xα ) ist
offen (abgeschlossen).
Quotienträume: Sei R ⊆ X × X eine Äquivalenzrelation auf dem topologischen
Raum X. Bezeichnet π : X → X/R die Quotientenabbildung, so heißt die finale
b = X/R bezüglich π die
Topologie auf dem Quotienten- oder Faktorraum X:
−
1
Quotiententopologie. Für alle x ∈ X gilt: π (π ( x )) = {y ∈ X : xRy} =: R( x ).
Sei X separabel, dann ist auch X/R separabel: sei D eine dichte Teilmenge von
X, dann ist C: = π ( D ) dicht, denn π −1 (C̄ ) ist abgeschlossen und enthält D, also:
π −1 (C̄ ) = X, d.h. C̄ = π (π −1 (C̄ )) = X/R.
Achtung!: Quotientenräume eines metrisierbaren Raumes sind i.a. keine HausdorffRäume, und selbst wenn, dann müssen sie nicht metrisierbar sein! Sei z.B. X =
R × {0, 1} die disjunkte Summe von R und R und ∼ die Äquivalenzrelation:
( x, ε) ∼ (y, δ) genau dann, wenn entweder ( x, ε) = (y, δ) oder x = y < 0. X/∼
ist dann kein Hausdorff-Raum obwohl jeder Punkt eine Umgebungsbasis besitzt,
deren Umgebungen zu offenen Teilmengen von R homöomorph sind.
Ist f : X → Y eine Abbildung, so daß für alle ( x, y) ∈ R: f ( x ) = f (y), dann gibt
es genau eine Abbildung fb : X/R → Y mit f = fb ◦ π und nach Definition der
Finaltopologie ist fb genau dann stetig, wenn f stetig ist.
Ist f offen, so ist auch fb offen, denn für jede offene Teilmenge U ⊆ X/R ist
π −1 (U ) nach Definition der Quotiententopologie offen in X, also ist f (π −1 (U ))
offen in Y; nun impliziert die Surjektivität von π: U = π (π −1 (U )) und somit:
fb(U ) = fb(π (π −1 (U ))) = f (π −1 (U )). Sind umgekehrt π und fb offen, so muß
auch f offen sein.
π ist genau dann offen (bzw. abgeschlossen), wenn für alle offenen (bzw. abgeschlossenen) Teilmengen D von X folgende Menge offen (bzw. abgeschlossen) in
X ist:
π −1 (π ( D )) = R( D ) = {y ∈ X : ∃ x ∈ D : xRy} .
Für die folgende Proposition vgl. e.g. den Homomorphiesatz der Algebra!
Proposition 3.7.8 Sei f : X → Y eine stetige, offene (oder abgeschlossene) und surjektive Abbildung. Dann trägt Y die Finaltopologie bezüglich f . Bezeichnet weiters R die
Äquivalenzrelation x1 Rx2 : ⇔ f ( x1 ) = f ( x2 ), so ist fb : X/R → Y ein Homöomorphismus.
B EWEIS : 1. Die Stetigkeit von f impliziert: TY ⊆ T f . Sei umgekehrt U ∈ T f , dann
ist f −1 (U ) ∈ T X und da f offen und surjektiv ist, folgt: U = f ( f −1 (U )) ∈ TY .
3.7 Initiale und finale Topologien
37
b die Quotientenabbildung, dann ist durch
2. Sei π : X → X/R = X
X❄
❄❄
❄❄
❄
π ❄❄
f
b
X
// Y
??
fb
b → Y definiert. Nach Definition der Quotiententopologie ist
eine Bijektion fb : X
fb stetig. Da nach 1. Y die Finaltopologie bezüglich f trägt, ist fb−1 genau dann
stetig, wenn fb−1 ◦ f = π stetig ist.
Seien R bzw. S Äquivalenzrelation auf den topologischen Räumen X bzw. Y und
π X bzw. πY die Quotientenabbildungen. Falls π X und πY offen sind, dann ist
X × Y/R × S homöomorph zu X/R × Y/S: Die Abbildung F: = π X × πY : X ×
Y → X/R × Y/S ist stetig, surjektiv und offen und F( x, y) = F(u, v) genau dann,
wenn ( x, u) ∈ R und (y, v) ∈ S. Nach Proposition 3.7.8 ist Fb : X × Y/R × S →
X/R × Y/S ein Homöomorphismus.
Proposition 3.7.9 Sei R ⊆ X × X eine Äquivalenzrelation auf X.
b = X/R ein Hausdorff-Raum, so ist R abgeschlossen in X × X.
1. Ist X:
2. Falls umgekehrt R ⊆ X × X abgeschlossen ist und π : X → X/R offen, dann ist
X/R ein Hausdorff-Raum.
b × X,
b ( x, y) 7→ (π ( x ), π (y)), ist
B EWEIS : 1. Die Abbildung π × π : X × X → X
stetig und R = (π × π )−1 (∆Xb ).
2. Sei xb 6= yb, dann ist ( x, y) ∈
/ R, also existieren offene Umgebungen U bzw. V von
x bzw. y, so daß U × V ∩ R = ∅. Falls b
z ∈ π (U ) ∩ π (V ), dann existieren u ∈ U
und v ∈ V, so daß zRu und zRv, also: uRv i.e. U × V ∩ R 6= ∅.
R ist genau dann abgeschlossen ist, wenn für alle x, y ∈ X mit y ∈
/ R( x ) Umgebungen U bzw. V von x bzw. y existieren, so daß (U × V ) ∩ R = ∅; dies ist
gleichbedeutend damit, daß für alle x ∈ U: V ∩ R( x ) = ∅, i.e. V ∩ R(U ) = ∅.
Proposition 3.7.10 Sei R eine Äquivalenzrelation auf X und π : X → X/R die Quotientenabbildung. π ist genau dann abgeschlossen, wenn zu jeder Äquivalenzklasse R( x )
und jeder offenen Obermenge U von R( x ) eine offene Teilmenge V existiert, so daß
R( x ) ⊆ V ⊆ U und R(V ) = V.
B EWEIS : Nach Lemma 3.3.2 ist π genau dann abgeschlossen, wenn zu jeder offee von X/R existiert, so daß
nen Obermenge U von R( x ) eine offene Teilmenge V
−
1
−
1
b
b
b
π (V ) ⊆ U. Setzen wir V: = π (V ), so folgt: π (V ) = V.
3 TOPOLOGISCHE RÄUME
38
Quotienträume als Unterräume von H(X ): Sei (X, d) ein metrischer Raum, R
eine abgeschlossene Äquivalenzrelation auf X und F : X → H(X ) die Abbildung,
die jedem Punkt x die abgeschlossene Teilmenge R( x ) ⊆ X zuordnet. F ist genau
dann stetig, wenn zu jedem ε > 0 ein δ > 0 existiert, so daß aus d( x, y) < ε
folgt: d H ( R( x ), R(y)) < δ. Sie ist nach Lemma 3.3.2 genau dann abgeschlossen,
wenn zu jeder offene Menge U in X, die R( x ) enthält, ein r > 0 existiert, so daß
aus d H ( R(y), R( x )) < r folgt: R(y) ⊆ U. Falls beide Bedingungen erfüllt sind,
dann ist X/R homöomorph zu dem Teilraum { R( x ) : x ∈ X } von H(X ); i.e. X/R
ist metrisierbar! Falls darüber hinaus X separabel ist, dann muß auch X/R als
stetiges Bild von X separabel sein. Die Separabilität von X garantiert aber nicht
die von H(X ), denn N mit d( x, y) = | x − y|/(1 + | x − y |) ist separabel, aber H(N)
ist es nicht: für je zwei Teilmengen A 6= B von N gilt nämlich d H ( A, B) ≥ 1/2.
3.8 Konstruktionen
Verheftung topologischer Räume längs offener Mengen: Seien Xα , α ∈ I, topologische Räume und zu jedem Paar (α, β) ∈ I × I seien Uαβ offene Teilmengen
von Xα und ϕαβ : Uαβ → Uβα Homöomorphismen mit folgenden Eigenschaften:
1. Für alle α ∈ I gilt: Uαα = Xα und ϕαα = id Xα .
2. Für alle α, β, γ ∈ I und alle x ∈ Uαβ ∩ Uαγ gilt ϕαβ ( x ) ∈ Uβγ sowie die Verheftungsbedingung: ϕαγ ( x ) = ϕ βγ ( ϕαβ ( x )).
Auf der disjunkten Summe Z der topologischen Räume Xα ist dann durch
xRy: ⇔ ∃ α, β : x ∈ Uαβ , y ∈ Uβα und y = ϕαβ ( x )
eine Äquivalenzrelation erklärt: Seien xRy und yRz, dann folgt: y = ϕαβ ( x ) und
z = ϕ βγ (y), also ist aufgrund der Verheftungsbedingung z = ϕ βγ ( ϕαβ ( x )) =
ϕαγ ( x ), i.e. xRz.
Der topologische Raum Z/R heißt die Verheftung der topologischen Räume Xα
längs der Mengen Uαβ mittels ϕαβ .
Proposition 3.8.1 Sei X = Z/R die Verheftung der topologischen Räume Xα längs der
Mengen Uαβ mittels ϕαβ , Q : Z → X die Quotientenabbildung und Qα : = Q ◦ iα . Dann
gilt:
1. Q ist offen.
2. Für alle α ∈ I ist Qα (Xα ) eine offene Teilmenge von X und Qα : Xα → X eine
Einbettung.
3. X trägt die Finaltopologie bezüglich der Abbildungen Qα : Xα → X.
4. X ist genau dann ein Hausdorff-Raum, wenn für alle α, β ∈ I die Menge {( x, ϕαβ ( x )) :
x ∈ Uαβ } in Xα × X β abgeschlossen ist.
3.8 Konstruktionen
39
B EWEIS : 1. Sei U offen in Xα ⊆ Z, i.e. U ist offen in Xα . Dann ist
R(U ) = {z ∈ Z : ∃ x ∈ U : xRz}
= {z ∈ Z : ∃ β : z = ϕαβ (Uαβ )} =
[
ϕαβ (Uαβ ) .
β
2. Zunächst ist Qα injektiv, denn aus x, y ∈ Xα und xRy folgt: x = y. Daher
genügt es zu zeigen, daß Qα offen ist. Eine Teilmenge U von X ist nach Definition
der Finaltopologie genau dann offen, wenn Q−1 (U ) offen in Z ist und dies ist
wiederum nach Definition der Finaltopologie genau dann der Fall, wenn für alle
1
−1
−1
β ∈ I die Menge i −
β ( Q (U )) = Q β (U ) offen in X β ist. Nun ist aber für jede
offene Teilmenge V von Xα :
1
Q−
β ( Q α (V )) = {y ∈ X β : ∃ x ∈ V : Q β (y) = Q α ( x )}
= {y ∈ Xβ : ∃ x ∈ V : xRy} = ϕαβ (Uβα ∩ V ) .
4. Da Q offen ist, ist X genau dann ein Hausdorff-Raum, wenn R abgeschlossen
ist. Z × Z ist die disjunkte Summe der Räume Xα × X β , also ist R genau dann
abgeschlossen, wenn für alle α, β ∈ I die Menge R ∩ (Xα × X β ) in Xα × X β abgeschlossen ist.
In den nun folgenden Konstruktionen von Quotientenräumen erweisen sich die
Quotientenabbildungen zwar als abgeschlossen aber eben nicht als offen – Proposition 3.7.9 ist z.B. nicht anwendbar! Tatsächlich: setzt man bloß voraus, daß
die zugrundeliegenden Räume Hausdorff-Räume sind, so müssen die konstruierten Räume i.a. keine Hausdorff-Räume mehr sein. Es bedarf also zusätzlicher
Voraussetzungen. Ein allgemeines Kriterium dafür werden wir erst in Kapitel 4
antreffen – cf. Korollar 4.2.5 und Korollar 4.2.7.
Collapsing: Sei A ⊆ X abgeschlossen und R A : = ∆X ∪ ( A × A). X/R A heißt
der A-Kollaps X/A von X. R A ⊆ X × X ist abgeschlossen und da R A ( x ) =
{ x } falls x ∈
/ A oder R A ( x ) = A falls x ∈ A, gilt für jede Teilmenge C von X:
R(C) = C oder R(C) = C ∪ A; die Quotientenabbildung X → X/A ist also stets
abgeschlossen (aber nicht offen). Man sagt auch: den A-Kollaps von X erhält man
durch Identifikation der Menge A mit einem Punkt.
X/A muß i.a. kein Hausdorff-Raum sei: Seien a ∈ A, π : X → X/A die Quob eine offene Umgebung von π (a), dann ist die Menge
tientenabbildung und U
−
1
π (U ) eine offene Umgebung von A ist. X/A ist also genau dann ein HausdorffRaum, wenn zu jedem x ∈
/ A disjunkte offene Umgebungen U bzw. V von A bzw.
x existierten – cf. Abschnitt 4.1.
Suspension: Sei I = [0, 1] und Z: = X × I. R( x, s) = {( x, s)} falls 0 < s < 1 und
R( x, 0) = X × {0} R( x, 1) = X × {1}. Dann heißt X × I/R die Suspension SX
von X – man identifiziert also jede der Mengen X × {0} und X × {1} mit einem
3 TOPOLOGISCHE RÄUME
40
Punkt. R ist abgeschlossen und da für jede Teilmenge D von X × I R( D ) mit einer
der Mengen
D,
D ∪ (X × {0}),
D ∪ (X × {1}),
D ∪ (X × {0, 1}),
übereinstimmt, ist die Quotientenabbildung X × I → SX abgeschlossen (aber
nicht offen).
π
I
SX
X
Ist f : X → Y stetig und id I : I → I die identische Abbildung, so ist f × id I :
X × I → Y × I und es gilt: f × id I ( R( x, s)) ∈ R( f ( x ), s), also gibt es genau eine
Abbildung S f : SX → SY, so daß πY ◦ f = S f ◦ π X . S f heißt die Suspension von
f.
Beispiel:
SSn−1 ist homöomorph zu Sn : für F : Sn−1 × [−1, 1] → Sn , ( x, s) 7→
√
( 1 − s2 x, s) gilt: F( x, s) = F(y, t) genau dann, wenn ( x, s) R(y, t). Ferner ist F
nach Proposition 3.7.10 abgeschlossen; nach Proposition 3.7.8 sind daher SSn−1
und Sn homöomorph.
Attaching: Seien X, Y Hausdorff-Räume, A ⊆ X abgeschlossen, f : A → Y stetig,
Z die disjunkte Summe von X und Y und R die Äquivalenzrelation auf Z:
zRw: ⇔ z = w
oder
z ∈ A und w = f (z)
oder
w ∈ A und z = f (w) .
Z/R heißt die Verheftung X ∪ f Y von X und Y längs A mittels f – ist f : A → Y
eine Einbettung, so nennt man X ∪ f Y auch die Verheftung von X und Y längs A.
Der Kollaps ist ein Spezialfall der Verheftung, nämlich Y = { a}! Daher muß die
Veheftung zweier Hausdorff-Räume i.a. kein Hausdorff-Raum sein.
R ist abgeschlossen, denn R ∩ (X × X ) bzw. R ∩ (Y × Y ) sind die Diagonalen
∆X bzw. ∆Y ; ferner ist R ∩ (X × Y ) = Γ( f ) ∩ ( A × Y ) als Graph einer stetigen
Funktion in einen Hausdorff-Raum abgeschlossen (cf. Übungen) und R ∩ (Y × X )
ist das Bild von R ∩ (X × Y ) unter dem Homöomorphismus: ( x, y) 7→ (y, x ).
R(z) = z ∪ f (z) falls x ∈ A, R(z) = z, falls z ∈ X \ A und R(z) = z ∪ f −1 (z) falls
z ∈ Y. Falls also C ⊆ X ⊆ Z, so gilt R(C) = C ∪ f ( A ∩ C) und für C ⊆ Y gilt:
R(C) = f −1 (C) ∪ C. Die Quotientenabbildung ist also genau dann abgeschlossen,
wenn f abgeschlossen ist.
3.8 Konstruktionen
41
X
A
π
Y
f ( A)
Join: Seien X1 , . . . , Xn+1 Hausdorff-Räume und ∆n : = {s ∈ [0, 1]n+1 : s1 + · · · +
sn+1 = 1} das n-dimensionale Simplex. Dann ist der Join X1 ∗ · · · ∗ Xn+1 : =
(∏ X j ) × ∆n /R, wobei
R( x1 , . . . , xn+1, s1 , . . . , sn+1 ) = s1 ( x1 ) × · · · × sn+1 ( xn+1 ) × {(s1 , . . . , sn )}
und s j ( x j ) = X j falls s j = 0 und s j ( x j ) = { x j } falls s j 6= 0. Für einen Punkt
in X1 ∗ · · · ∗ Xn+1 schreibt man: ∑ j s j x j mit der Konvention Terme der Form 0x j
wegzulassen.
∑ sj xj = ∑ tjyj: ⇔ ∀ j :
und
sj = tj
s j ( x ) = t j (y) .
j
Der Join von zwei Räumen X und Y ist X × Y × [0, 1], wobei man die Menge
X × Y × {0} mit Y identifiziert und die Menge X × Y × {1} mit X. Da R( x, y, s) =
( x, y, s) falls 0 < s < 1, R( x, y, 0) = {( x, y, 0) : x ∈ X } und R( x, y, 1) = {( x, y, 0) :
y ∈ Y }, besteht R aus der Diagonale vereinigt mit den abgeschlossenen Mengen
X × X × ∆Y × {0, 0} und ∆X × Y × Y × {1, 1}. Für offene Teilmengen U bzw. V
von X bzw. Y ist R(U × V × [0, 1/2)) = U × V × [0, 1/2) ∪ X × V × {0}, i.a.
nicht offen und folglich muß auch die Quotientenabbildung nicht offen sein; sie
ist aber nach Proposition 3.7.10 abgeschlossen, denn für eine offene Obermenge
V von R( x, y, 0), die nur Punkte (a, b, t) enthält mit t < 1 gilt: R(V ) = V.
X
Y
Beispiel: Geometrischer Join: Sei X, Y kompakte, konvexe Teilmengen von Rn
bzw Rm ; X ∗ Y ist dann homöomorph zur konvexe Hülle C folgender Mengen
3 TOPOLOGISCHE RÄUME
42
in Rn+m+1 : X1 : = {( x, 0, 1) : x ∈ X } und Y1 = {(0, y, 0) : y ∈ Y }: F : X × Y × I →
Rn+m+1 , F( x, y, s) = (sx, (1 − s)y, s). (sa, (1 − s)b, s) = (tx, (1 − t)y, t) genau
dann, wenn s = t und s( x − a) = (1 − s)(y − b) = 0. Fb : X ∗ Y → C ist daher eine stetige Bijektion
Beispiel: Sn ∗ Sm ist homöomorph zu Sn+m+1 : Sei F : Sn × Sm × [0, 1] → Sn+m+1
die Abbildung F( x, y, s): = (sx, (1 − s2 )1/2 y) ∈ Rn+1 × Rm+1 , dann folgt: F( x, y, s) =
F(a, b, t) genau dann, wenn sx = ta und (1 − s2 )1/2 y = (1 − t2 )1/2 b, d.h. für
s∈
/ {0, 1}: F−1 ( x, y, s) = { x, y, s}; für s = 0: F−1 ( x, y, 0) = (Sn , y, 0) und für s = 1:
F−1 ( x, y, 1) = ( x, Sm , 1).
Beispiel: Der Join von n + 1 Punkten ist homöomorph zum Simplex ∆n .
Wedge Sum, Smash Product: Seien X, Y Hausdorff-Räume x0 ∈ X, y0 ∈ Y. Auf
der disjunkten Summe Z von X und Y sei für alle x 6= x0 und alle y 6= y0 : R( x ) =
{ x }, R(y) = {y} und R( x0 ) = { x0 , y0 } = R(y0 ). Z/R heißt Wedge Sum X ∧
Y von X und Y. Der X × {y0 } ∪ { x0 } × Y-Kollaps von X × Y heißt das Smash
Product X ∨ Y.
Der Torus T2 , die Sphäre S2 , der projektive Raum P2 (R) und die Kleinsche Flasche K: Zusammen mit dem Möbiusband zählen diese zu den einfachsten zweidimensionalen topologischen Mannigfaltigkeiten!
b
a
Torus T2
b
b
a
a
Sphäre S2
b
a
Sei X ein abgeschlossenes (konvexes, regelmäßiges) Polygon in R2 mit n Ecken;
jede seiner Seiten bezeichnen wir erstens mit einem Buchstaben a, b, . . . und zweitens mit einem Pfeil; dies soll auf folgende Art eine Äquivalenzrelation zum
Ausdruck bringen: wir identifizieren zwei Seiten, falls diese mit dem gleichen
Buchstaben bezeichnet sind und zwar so, daß man die beiden Ecken, von denen
die Pfeile ausgehen (bzw. in die sie weisen), als gleich betrachtet. Die folgenden
Beispiele beschreiben klassische geometrische Objekte als Quotientenräume des
Quadrats:
3.8 Konstruktionen
43
b
a
b
Projektive
Ebene
P2 ( R )
a
Kleinsche
a
Flasche K
b
a
b
Die Verheftung zweier Tori: Wir entfernen aus jedem Torus die Fläche A und
verheften die verbleibenden Teile längs der Schnittlinie e!
b
d
Torus
e
a
A
T2
Torus
a
e
c
c
T2
c
π
d
b
e
a
c
A
b
a
d
d
b
Projektive Räume: Im folgenden sei K = R, C oder H. Auf Kn+1∗ : = Kn+1 \ {0}
ist durch xRy: ∃ λ ∈ K : y = λx eine Äquivalenzrelation definiert mit der Quotientenabbildung π. Pn (K): = Kn+1∗ /R nennt man den n-dimensionalen reellen, bzw, komplexen bzw. hyperkomplexen projektiven Raum – Pn (K) ist also die Menge der eindimensionalen Unterräume von Kn+1. Nach Definition ist
V ⊆ Pn (K) genau dann offen, wenn π −1 (V ) in Kn+1∗ offen ist; dies ist aber
gleichbedeutend damit, daß die Vereinigung aller eindimensionalen Unterräume
aus denen V besteht – dies ist π −1 (V ) ⊆ Kn+1∗ , offen in Kn+1∗ ist.
Pn (K) ist ein Hausdorff-Raum: Zu je zwei verschiedenen eindimensionalen Unterräumen E und F existieren offene, disjunkte Teilmengen U und V von Kn+1∗ ,
so daß E \ {0} ⊆ U und F \ {0} ⊆ V. D.h., daß Pn (K) ein Hausdorff-Raum ist
und damit ist nach Proposition 3.7.9 R abgeschlossen.
π : Kn+1∗ → Pn (K) ist offen: Sei U eine offene Teilmenge von Kn+1∗ , dann besteht π (U ) ⊆ Pn (K) aus der Menge aller eindimensionalen Unterräume, die mit
U nichtleeren Durchschnitt haben und π −1 (π (U )) ∪ {0} ist der von U erzeugte
Kegel mit der Spitze 0; i.e. π −1 (π (U )) ist offen in Kn+1∗ .
Homogene Koordinaten: Sei a ∈ Kn+1, k ak = 1, und [ a]⊥ die zu a orthogonale
Hyperebene, i.e. E: = [ a]⊥ = { x ∈ Kn+1 : h x, ai = 0}, dann ist
Φa ( x ): = h x, ai−1 ( x − h x, aia)
3 TOPOLOGISCHE RÄUME
44
eine surjektive, offene und stetige Abbildung von Kn+1 \ E auf E: Φa ( x ) + a ist
der Schnittpunkt des von x erzeugten Unterraums mit der Hyperebene E + a.
π (E) ⊆ Pn (K) – genauer π (E \ {0}) – heißt eine projektive Hyperebene im Unendlichen und π (E)c der affine Teil von Pn (K) bezüglich E. Da für alle λ ∈ K \
{0}: Φa (λx ) = Φa ( x ) gibt es eine eindeutig bestimmte Bijektion ϕ a : π (E)c → E,
so daß Φa = ϕ a ◦ π; da weiters Φa stetig und offen ist, ist ϕ a : π (E)c → E ein
Homöomorphismus.
b
Sn
Φ1 ( x ) + e 1
e1
b
0
b
x
Φ2 ( x ) + e 2
e2
b
Insbesondere ist für a = e j , j = 1, . . . , n + 1:
1
−1
−1
−1
Φ j ( x ): = Φ e j ( x ) = ( x −
j x1 , . . . , x j x j −1 , x j x j +1 , . . . , x j x n +1 )
Man nennt dieses n-Tupel die homogenen Koordinaten von π ( x ) ∈ π (E)c .
P1 (R), P1 (C) bzw. P1 (H) sind homöomorph zu S1 , S2 bzw. S4 (cf. Übungen).
Faktorräume nach diskreten Gruppen: Sei Γ eine diskrete Gruppe, X ein Hausdorff-Raum und ( x, g) 7→ xg eine stetige Abbildung von X × Γ in X, so daß für
alle x ∈ X und alle g, h ∈ Γ: xe = x und x ( gh) = ( xg)h – man sagt: die Gruppe Γ
operiert (von rechts) auf X. Durch RΓ ( x ): = xΓ ist dann eine Äquivalenzrelation
definiert und den Quotientenraum X/RΓ bezeichnet man i.a. mit X/Γ und nennt
ihn den Orbitraum.
Die Quotientenabbildung π : X → X/Γ ist stets offen, denn für alle g ∈ Γ ist
x 7→ xg ein Homöomorphismus mit der inversen x 7→ xg−1 und folglich muß für
jede offene Teilmenge U von X die Menge RΓ (U ) = UΓ als Vereinigung offener
Mengen offen in X sein. π muß jedoch i.a. nicht abgeschlossen sein; sie ist nach
Proposition 3.7.10 genau dann abgeschlossen, wenn zu jeder offenen Umgebung
U von xΓ eine offene Umgebung V von x existiert, so daß VΓ ⊆ U – für endliche
Gruppen Γ ist dies stets erfüllt.
Nach Proposition 3.7.9 ist X/Γ genau dann ein Hausdorff-Raum, wenn RΓ abgeschlossen in X × X ist, d.h. wenn zu allen x ∈ X und allen y ∈
/ xΓ Umgebungen
3.9 Zusammenhängende Räume
45
U von x und V von y existieren, so daß V ∩ UΓ = ∅ (cf. Bemerkung zu Proposition 3.7.9) – wiederum ist diese Bedingung für endliche Gruppen Γ immer
erfüllt. Falls darüber hinaus zu jedem x ∈ X eine Umgebung U existiert, so daß
{ g ∈ Γ : U ∩ Ug 6= ∅} = {e}, so sagt man: Γ operiert eigentlich auf X.
Beispiel: Z2 = ±1 operiert auf R durch (ε, x ) 7→ εx; R/Z2 ist homöomorph zu
[0, ∞), aber die Operation ist nicht eigentlich.
1. Zn ist eine abgeschlossene Untergruppe von Rn und Tn : = Rn /Zn ist homöomorph zum n-fachen Produkt S1 × · · · × S1 , also zu (R/Z)n .
2. Z2 = ±1 operiert auf Sn : ( x, ±1) 7→ ± x. Sn /Z2 ist homöomorph zum projektiven Raum Pn (R).
3. Sei p ∈ N und Z p : = {z ∈ C : z p = 1}, dann operiert Z p auf der Einheitssphäre
S2n−1 von Cn : ( x, g) 7→ gx. Den Faktorraum S2n−1 /Z p nennt man einen lens
space .
In allen drei Fällen ist die Abbildung x 7→ xΓ von X in H(X ) stetig und abgeschlossen, also sind die entsprechenden Quotienten separabel und metrisierbar!
Quotientenräume von normierten Räumen: Sei X ein normierter Raum, Y ein
abgeschlossener Unterraum und R die Äquivalenzrelation (auf X): xRy: ⇔ − x +
y ∈ Y. Dann ist R abgeschlossen, denn R = F−1 (Y ) mit F( x, y): = − x + y und
S
π : X → X/R ist offen, denn R(U ) = U + Y = {U + y : y ∈ Y }, also muß
X/R nach Proposition 3.7.9 ein Hausdorff-Raum sein – man bezeichnet ihn i.a.
mit X/Y.
Auf X/Y setzen wir k xbk : = inf{k x + yk : y ∈ Y }; da Y abgeschlossen ist, ist
b der mit dieser Norm versehene Raum X/Y. Nach
dies eine Norm auf X/Y. Sei X
Definition gilt für die offenen Einheitskuglen: π ( BX ) ⊆ BXb . Sei umgekehrt xb ∈
BXb , i.e. k xbk < 1, dann gibt es ein x ∈ X mit π ( x ) = xb, so daß k x k < 1, also:
b ist somit stetig
BXb ⊆ π ( BX ) und damit: BXb ⊆ π ( BX ). Die Abbildung π : X → X
b
und offen und nach Proposition 3.7.8 muß die identische Abbildung X/Y → X
ein Homöomorphismus sein, also: X/Y ist normierbar!
3.9 Zusammenhängende Räume
Definition 3.9.1 Ein topologischer Raum X heißt zusammenhängend, wenn für alle
offenen Teilmengen U und V mit U ∩ V = ∅ und U ∪ V = X folgt: U = ∅ oder
V = ∅. X heißt lokal zusammenhängend, wenn jeder Punkt eine Basis aus zusammenhängenden Umgebungen besitzt.
Lemma 3.9.2 X ist genau dann zusammenhängend, wenn jede stetige Funktion f :
X → {0, 1} konstant ist.
Lemma 3.9.3 1. Ist A eine zusammenhängende Teilmenge von X, so ist auch A zusammenhängend.
46
3 TOPOLOGISCHE RÄUME
2. Seien A, B zusammenhängende Teilmengen von X, so daß A ∩ B 6= ∅. Dann ist A ∪ B
zusammenhängend.
T
S
3. Seien Zα zusammenhängende Teilmengen von X, so daß Zα 6= ∅. Dann ist Za
zusammenhängend.
B EWEIS : 1. Ist f : A → {0, 1} stetig, so ist f | A konstant und somit ist f auf A
konstant.
2. Sei f : A ∪ B → {0, 1} stetig. Da A wie B zusammenhängend sind, können wir
o.B.d.A. annehmen, daß f | A = 0 und f | B = 1. Sei x ∈ A ∩ B, dann ist f ( x ) = 1.
Andererseits folgt aufgrund der Stetigkeit von f : f ( x ) = 0.
S
T
3. Sei wiederum f : Zα → {0, 1} stetig und x0 ∈ Za . Da f | Zα konstant ist und
x0 in allen Zα liegt, muß f konstant sein.
Proposition 3.9.4 Eine Teilmenge A von R ist genau dann zusammenhängend, wenn
A ein Intervall ist.
B EWEIS : Ist A kein Intervall, so existieren a1 < b < a2 , so daß a j ∈ A und b ∈
/ A.
Die Funktion f ( x ) = 1 für x < b und f ( x ) = 0 für x > b ist daher stetig auf A.
Sei umgekehrt A ein Intervall, f : A → {0, 1} stetig, Bε (a0 ) ⊆ [ f = 0] und
M : = sup{ a ≥ a0 : ∀ a0 ≤ b < a : f (b) = 0} und
m : = inf{ a ≤ a0 : ∀ a0 ≥ b > a : f (b) = 0} .
Falls ein x0 ∈ A existiert, so daß x0 > M, so folgt: M ∈ A und aufgrund der
Stetigkeit von f : f ( M) = 0. Wiederum aufgrund der Stetigkeit existiert dann ein
ε > 0, so daß für alle |r | < ε: f ( M + r ) = 0, was unmöglich ist.
Beispiel: In einem normierten Raum sind alle konvexen Teilmengen zusammenhängend.
Proposition 3.9.5 Sei X zusammenhängend und f : X → Y stetig. Dann ist f (X )
zusammenhängend.
B EWEIS : Sei g : f (X ) → {0, 1} stetig, dann ist g ◦ f : X → {0, 1} stetig, also
konstant.
Beispiel: R und R2 bzw. T und [0, 1] sind nicht homöomorph: entfernet man aus R
bzw. [0, 1] z.B. den Punkt x = 1/2, so erhält man unzusammenhängende Räume;
R2 bzw T bleiben nach Entfernung eines Punktes jedoch zusammenhängend.
Ist I ⊆ R ein Intervall und f : I → X eine stetige Abbildung, d.h. eine stetige
Kurve in X, so ist f ( I ) eine zusammenhängende Teilmenge von X. Insbesondere erhalten wir aus den beiden voranstehenden Propositionen den sogenannten
3.9 Zusammenhängende Räume
47
Zwischenwertsatz: Ist f : [ a, b] → R stetig, so existiert zu jedem y, das zwischen
f (a) und f (b) liegt ein c ∈ [ a, b], so daß f (c) = y.
In normierten Räumen ist der Abstand eines Punktes x zu einer abgeschlossenen Teilmenge A gleich dem Abstand von x zum Rand von A; wir werden im
weiteren sehen, daß dies i.w. am Zusammenhang der Einheitskugel liegt: Sei X
ein metrischer Raum und A eine abgeschlossene Teilmenge von X, so daß für ein
x ∈ Ac : d A ( x ) < r < d∂A ( x ), dann folgt: Br ( x ) ∩ A 6= ∅ und
∅ = Br ( x ) ∩ ∂A = Br ( x ) ∩ ( A \ A◦ )
i.e.
Br ( x ) ∩ A = Br ( x ) ∩ A◦
Dies bedeutet, daß Br ( x ) = ( Br ( x ) ∩ Ac ) ∪ ( Br ( x ) ∩ A◦ ), d.h. Br ( x ) ist die disjunkte Vereinigung von zwei nicht leeren offenen Mengen, also: Br ( x ) ist nicht zusammenhängend. Falls also alle offenen Kugeln Br ( x ) zusammenhängend sind, dann
gilt für jede abgeschlossene Teilmenge A von X: d A = d∂A .
Definition 3.9.6 Ein topologischer Raum X heißt wegzusammenhängend, wenn zu je
zwei Punkten x, y ∈ X eine stetige Kurve c : [0, 1] → X existiert, so daß c(0) = x
und c(1) = y. X heißt lokal wegzusammenhängend, wenn jeder Punkt eine Basis aus
wegzusammenhängenden Umgebungen besitzt.
Aus Lemma 3.9.2 und Proposition 3.9.4 bzw. Proposition 3.9.5 folgt unmittelbar,
daß jeder wegzusammenhängende Raum zusammenhängend ist.
Proposition 3.9.7 Sei X zusammenhängend und lokal wegzusammenhängend. Dann
ist X wegzusammenhängend.
B EWEIS : Für alle x ∈ X ist die Menge {y ∈ X : ∃ c : [0, 1] → X stetig, c(0) =
x, c(1) = y} sowohl offen wie abgeschlossen und nicht leer.
Eine offene und zusammenhängende Teilmenge eines topologischen Raumes X
nennt man auch ein Gebiet; Gebiete U eines normierten Raumes sind also stets
wegzusammenhängend; ferner kann man in diesem Fall je zwei Punkte von U
durch eine glatte Kurve bzw. durch einen Polygonzug verbinden.
Proposition 3.9.8 Seien Xα , α ∈ I zusammenhängende Räume, dann ist der Produktraum ∏ Xα zusammenhängend.
B EWEIS : Seien x0 ∈ X und y0 ∈ Y fixiert, dann sind für alle y ∈ Y die Mengen
Xy : = X × {y} zusammenhängend; ferner sind nach Lemma 3.9.3 die Mengen
T
A(y): = Xy ∪ ({ x0 } × Y ) zusammenhängend und es gilt: { A(y) : y ∈ Y } =
S
{ x0 } × Y, also ist wiederum nach Lemma 3.9.3 X × Y = A(y) zusammenhängend.
Zu jeder endlichen Teilmenge J von I sei
XJ : =
∏ Xα × ∏ { x α }
α∈ J
α/
∈J
48
3 TOPOLOGISCHE RÄUME
wobei x = ( xα ) ein fix gewählter Punkt in ∏ Xα sei. Da X J zusammenhängend ist
T
S
und J X J = { x }, folgt nach Lemma 3.9.3, daß ∏ Xα = X J zusammenhängend
ist.
Definition 3.9.9 Sei X ein topolgischer Raum und x ∈ X. Unter der Zusammenhangskomponente von x versteht man die größte zusammenhängende Teilmenge von
X, die x enthält, d.h. die Vereinigung aller zusammenhängenden Teilmengen von X, die
x enthalten.
Die Zusammenhangskomponente Z eines jeden Punktes x ist abgeschlossen in X
– dies folgt unmittelbar aus Lemma 3.9.3. Ist X lokal zusammenhängend, so ist Z
auch offen.
Lemma 3.9.10 Sei X ein separabler, lokal zusammenhängender Raum. Dann existieren
höchstens abzählbar viele paarweise disjunkte, zusammenhängende Teilmengen Zn , welS
che sowohl offen als auch abgeschlossen sind, so daß X = Zn .
B EWEIS : Sei xn eine dichte Teilmenge von X und Zn die Zusammenhangskomponente von xn . Für je zwei Indices gilt entweder Zn ∩ Zm = ∅ oder Zn = Zm .
S
Ferner ist Zn zusammenhängend, abgeschlossen und offen und Zn = X, denn
S
S
nach Definition ist Zn dicht; falls also x ∈
/ Zn , dann gibt es eine zusammenhängende Umgebung U von x und einen Index n, so daß U ∩ Zn 6= ∅, i.e. x ∈ Zn .
Ist X lokal zusammenhängend und U eine offene Teilmenge von X, so ist auch
U lokal zusammenhängend. In einem separablen normierten Raum ist also jede offene Teilmenge die Vereinigung von höchstens abzählbar vielen paarweise
disjunkten Gebieten; insbesondere gilt:
Korollar 3.9.11 Ist U eine offene Teilmenge von R, so existieren offene paarweise disS
junkte Intervalle In , so daß U = In .
Proposition 3.9.12 Sei X ein zusammenhängender Raum und A eine abgeschlossene
Teilmenge von X mit A◦ = ∅. Falls jeder Punkt x ∈ X eine offene und zusammenhängende Umgebung V besitzt, so daß V \ A zusammenhängend ist, dann ist X \ A
zusammenhängend.
B EWEIS : Sei Z die Menge aller offenen zusammenhängenden Teilmengen U von
X, so daß U \ A zusammenhängend ist. Dann ist Z mit der Mengeninklusion
induktiv geordnet und besitzt nach dem Lemma von Zorn eine maximale Menge
Z. Angenommen es gibt ein z ∈ Z \ Z, dann existiert nach Voraussetzung eine
offene Umgebung V von z, so daß V \ A zusammenhängend ist. Nun ist aber
(V \ A) ∩ (Z \ A) = (V ∩ Z) \ A und da A◦ = ∅, ist diese Menge nicht leer, i.e.
(V \ A) ∪ (Z \ A) ist zusammenhängend und somit ist Z nicht maximal. Folglich
ist Z abgeschlossen und da X zusammenhängend ist, folgt: Z = X.
3.9 Zusammenhängende Räume
49
Beispiel: Sei E eine isolierte Teilmenge von C, dann ist Ec zusammenhängend,
denn für alle z ∈ C und alle r > 0 ist Br (z) \ {z} zusammenhängend.
Ein bedeutendes Beispiel für eine isolierte Teilmenge von C ist die Nullstellenmenge eine holomorphen Funktion f : Ω → C auf einer offenen Teilmenge Ω
von C, die nicht identisch verschwindet. Wir benutzen dies im folgenden
Beispiel: Ist Ω ⊆ Cn offen und zusammenhängend und f : Ω → C holomorph,
so ist [ f 6= 0] eine zusammenhängende Teilmenge von Ω: Sei hierzu B eine offene
in Ω enthaltene Kugel und x 6= y ∈ B ∩ [ f 6= 0]. Sei E: = { x + z(y − x ) : z ∈ C};
dann ist f | E ∩ B holomorph und nicht identisch 0, also ist E ∩ B ∩ [ f = 0] isoliert
und da (E ∩ B) \ [ f = 0] zusammenhängend ist, ist B ∩ [ f 6= 0] zusammenhängend und nach Proposition 3.9.12 ist [ f 6= 0] zusammenhängend.
Definition 3.9.13 Ein metrischer Raum X heißt eine topologische Mannigfaltigkeit,
wenn jeder Punkt x ∈ X eine Umgebungsbasis besitzt, deren Mengen zu offenen Teilmengen von Rn(x) homöomorph sind
Falls X auch zusammenhängend ist, dann muß die Funktion x 7→ n( x ) konstant
gleich n sein (denn zwei offene Teilmengen von Rn bzw. Rm können, nach einem
Satz aus der algebraischen Topologie, nur dann homöomorph sein, wenn n =
m); in diesem Fall nennt man n die Dimension der Mannigfaltigkeit. Sei Uk eine
offene Überdeckung der n-dimensionalen Mannigfaltigkeit M und ϕk : Uk → Rn
Homöomorphismen, so nennt man die Menge der Paare (Uk , ϕk ) einen Atlas von
M und jedes Paar selbst eine Karte von M mit der Kartenabbildung ϕk . Nach
Proposition 4.1.5 besitzt jede topologische Mannigfaltigkeit X einen abzählbaren
Atlas und nach Proposition 3.9.7 ist eine zusammenhängende Mannigfaltigkeit
wegzusammenhängend.
Beispiel: Die projektiven Räume Pn (R), Pn (C) bzw. Pn (H) sind topologische Mannigfaltigkeiten der Dimension n, 2n bzw. 4n.
Definition 3.9.14 Unter einer glatten Mannigfaltigkeit M bzw. einer komplexen
Mannigfaltigkeit versteht man eine topologische Mannigfaltigkeit M mit einem Atlas
1
(Uk , ϕk ), so daß für alle j, k die Übergangsabbildung ϕ j ◦ ϕ−
k glatt bzw. komplex differenzierbar ist.
Im Falle einer zusammenhängenden glatten Mannigfaltigkeit M ist die Funktion
x 7→ n( x ) klarerweise konstant, denn zwei zwischen Rn und Rm gibt es nur dann
einen linearen Isomorphismus, wenn n = m. Ferner gibt es zu je zwei Punkten
eine glatte Kurve, die beide verbindet.
Beispiel: Pn (R) bzw. Pn (C) sind mit den durch ϕ j ◦ π = Φ j definierten Kartenabbildungen ϕ j glatte bzw. komplexe Mannigfaltigkeiten.
50
3 TOPOLOGISCHE RÄUME
Beispiel: Sei S2 : = {(z, x ) ∈ C × R : |z|2 + x2 = 1} mit den stereographischen
Projektionen ϕ N (z, x ): = z/(1 − x ) und ϕS (z, x ): = z/(1 + x ), dann ist S2 mit den
1
Kartenabbildungen ϕ N und ϕS eine glatte Mannigfaltigkeit – denn ϕS ◦ ϕ−
N (w) =
1/w̄ – aber keine komplexe Mannigfaltigkeit – denn w 7→ w̄ ist nicht holomorph.
Hingegen ist S2 mit den Kartenabbildungen ϕ N und ϕ̄S eine komplexe Mannigfaltigkeit – man nennt sie die Riemannsche Zahlenkugel.
Definition 3.9.15 Seien M, N glatte bzw. komplexe Mannigfaltigkeiten. Unter einer
glatten Abbildung bzw. einer holomorphen Abbildung F : M → N versteht man
eine Abbildung mit der Eigenschaft, daß zu jedem x ∈ M eine Karte (U, ϕ) um x und
eine Karte (V, ψ) um y = F( x ) existieren, so daß die Abbildung ψ ◦ F ◦ ϕ−1 glatt bzw.
komplex differenzierbar ist.
3.10 Übungen
Beispiel 3.10.1 Seien Ti Topologien auf X. Zeigen Sie:
S
( Ti ist i.a. keine Topologie).
T
Ti ist eine Topologie auf X
Beispiel 3.10.2 Ein Mengensystem B ⊆ P(X ) ist genau dann eine Basis einer Topologie T auf X, wenn folgende Bedingung erfüllt ist: Zu jedem U ∈ T und jedem x ∈ U
existiert ein B ∈ B mit x ∈ B ⊆ U.
Beispiel 3.10.3 Jedes Mengensystem S ⊆ P(X ) mit { X, ∅} ⊆ S ist Subbasis einer
Topologie auf X.
Sei B das Mengensystem aller endlichen Durchschnitte von Mengen aus S . Seien
U, V ∈ B , dann ist auch U ∩ V endlicher Durchschnitt von Mengen aus S . Nach
Proposition 3.1.3 ist B Basis einer Topologie.
Beispiel 3.10.4 Seien S1 bzw. S2 Subbasen der Topologien T1 bzw. T2 auf X. Zeigen
Sie: T1 = T2 genau dann, wenn S1 ⊆ T2 und S2 ⊆ T1 .
Beispiel 3.10.5 Auf N0 betrachten wir folgendes Mengensystem B : für m ∈ N und
l ∈ {0, . . . , m − 1} sei Al,m : = l + mN0 , i.e. die Menge aller n ∈ N0 , die bei Division
durch m den Rest l ergeben. Zeigen Sie:
1. B ist Basis einer Topologie auf N0 .
2. Es gilt: Acl,m ist die Vereinigung von endlich vielen Mengen aus S und somit ist Acl,m
offen.
T
c : p ∈ P }.
3. Ist P die Menge der Primzahlen, so gilt: {1} = { A0,p
4. Es gibt unendlich viele Primzahlen: wäre P endlich, so wäre {1} offen!
1. Ist x ∈ (l + mN0 ) ∩ (k + nN0 ), so folgt: x + nmN0 ⊆ (l + mN0 ) ∩ (k + nN0 ),
also ist B Basis einer Topologie.
3.10 Übungen
51
Beispiel 3.10.6 Sei (X, ≤) eine geordnete Menge und Br : = {{y : y ≥ x } : x ∈ X }.
Dann ist Br Basis einer Topologie Tr auf X.
Sei [ x, ∞): = {y : y ≥ x }. Für alle x ∈ X gilt: x ∈ [ x, ∞) und falls z ∈ [ x, ∞) ∩
[y, ∞), dann folgt: [z, ∞) ⊆ [ x, ∞) ∩ [y, ∞). Nach Proposition 3.1.3 ist daher Br
Basis einer Topologie.
Beispiel 3.10.7 Seien X, Y geordnete Mengen mit den Topologien Tr und f : X → Y
eine Abbildung. Zeigen Sie, daß f genau dann stetig ist, wenn f die Ordnungen erhält.
Ist f ordnungserhaltend, i.e. x1 ≤ x2 ⇒ f ( x1 ) ≤ f ( x2 ), so folgt für x1 ∈ U: =
f −1 ([y, ∞)): f ( x1 ) ≥ y; aufgrund der Monotonie folgt: [ x1 , ∞) ⊆ U.
Angenommen x1 < x2 und y1 : = f ( x1 ) > f ( x2 ), dann ist U: = { x ∈ X : f ( x ) ≥
y1 } nicht offen, denn x2 ∈
/ U aber x2 ∈ [ x1 , ∞).
Beispiel 3.10.8 Sei X eine geordnete Menge und T0 , T+ bzw. T− die von den Intervallen
der Form ( x, y), [ x, y) bzw. ( x, y] erzeugten Topologien.
1. Ist X linear geordnet, so bilden die Intervalle der Form ( x, y), [ x, y) bzw. ( x, y] Basen
von T0 , T+ bzw. T− .
2. Ist X wohlgeordnet, so ist T+ die diskrete Topologie und T0 und T− stimmen überein,
falls X kein maximales Element besitzt.
S
2. Da ( x, y) = {( x, z] : z < y} ist T− feiner als T0 .
Sei A(y) = {z ∈ X : z > y} – da X kein maximales Element besitzt, ist A(y) nicht
leer – und zy : = min A(y), dann ist zy > y, ( x, zy ) = ( x, y] und {y} = [y, zy ), also:
T− ⊆ T0 und {y} ∈ T+ .
Beispiel 3.10.9 Jede offene Teilmenge in der Zariski-Topologie auf Cn ist dicht in der
natürlichen Topologie.
Beispiel 3.10.10 Sei R = C[ X1 , . . . , Xn ]. Eine algebraische Teilmenge A von Cn heißt
irreduzibel, wenn aus A = B ∪ C und B, C algebraisch, folgt: B = A oder C = A.
1. A ist genau dann irreduzibel, wenn das A definierende Ideal I ein Primideal ist.
2. Das von f ∈ R erzeugte Hauptideal ( f ) ist genau dann ein Primideal, wenn f irreduzibel ist, d.h. wenn aus f = gh, g, h ∈ R folgt: g oder h ist konstant.
3. A besteht genau dann aus einem einzigen Punkt, wenn I ein maximales Ideal ist.
Beispiel 3.10.11 (A. Grothendieck) Sei R ein kommutativer Ring und Spec ( R) die
Menge aller Primideale – ein Ideal P ist ein Primideal, wenn P 6= R und wenn aus
xy ∈ P folgt: x ∈ P oder y ∈ P. Eine Teilmenge A von Spec ( R) heißt abgeschlossen,
wenn ein Ideal I von R existiert, so daß A = { P ∈ Spec ( R) : P ⊇ I }. Zeigen Sie,
daß T : = {U ⊆ Spec ( R) : U c abgeschlossen} eine Topologie auf Spec ( R) ist – die
Zariski Topologie. Beschreiben Sie diese für R = Z und R = C[ X ].
3 TOPOLOGISCHE RÄUME
52
Seien Ai abgeschlossen, also Ai = { P ∈ Spec ( R) : P ⊇ Ii }. Falls P ⊇ I1 I2 und
x ∈ I1 \ P, dann folgt aus xI2 ⊆ P: I2 ⊆ P, also:
A1 ∪ A2 = { P ∈ Spec ( R) : P ⊇ I1 I2 } .
Ferner ist für eine beliebige Familie abgeschlossener Mengen Ai :
S
\
Ai = { P ∈ Spec ( R) : P ⊇ J };
wobei J das von Ii erzeugte Ideal ist.
2. Z ist ein sogenannter Hauptidealring, d.h. jedes Ideal I ist von der Form nZ
mit n ∈ Z; P ist daher genau dann ein Primideal, wenn eine Primzahl p existiert,
so daß P = pZ oder P = {0}; die Menge der Primideale P die ein vorgegebenes
Ideal nZ enthalten sind die Ideale p1 Z, . . . , pk Z, wobei p1 , . . . , pk die Primfaktoren
von n sind. Wir können somit Spec (Z) mit P ∪ {0} identifizieren und die abgeschlossenen Mengen sind alle endlichen Teilmengen von P sowie die gesamte
Menge.
3. Auch C[ X ] ist ein Hauptidealring und die Primideale sind {0} und die von
X − z, z ∈ C, erzeugten Ideale. Die Menge der Primideale P die ein vorgegebenes Ideal ( f ) enthalten sind die Ideale (X − z1 ), . . . , (X − zk ), wobei z1 , . . . , zk die
Nullstellen von f ∈ C[ X ] sind. Wir können somit Spec (Z) mit C ∪ {ω } identifizieren, wobei ω dem Nullideal entspricht. Die abgeschlossenen Mengen sind
wiederum alle endlichen Teilmengen von C sowie C ∪ {ω }.
Beispiel 3.10.12 Seien R, S kommutative Ringe und F : R → S ein Homomorphismus,
dann ist durch Q 7→ F−1 (Q) eine Abbildung Spec ( F) : Spec (S) → Spec ( R) definiert
und diese Abbildung ist stetig bezüglich der Zariski Topologien.
Sei B ⊆ Spec ( R) abgeschlossen, also B = { P ∈ Spec ( R) : P ⊇ I }, dann ist Q ∈
[Spec ( F) ∈ B], wenn Spec ( F)(Q) ∈ B, i.e. F−1 (Q) ∈ B, also: I ⊆ F−1 (Q) oder
F( I ) ⊆ Q. Da F ein Homomorphismus ist, ist F( I ) ein Ideal J und [Spec ( F) ∈
B] = { Q ∈ Spec (S) : Q ⊇ J } ist abgeschlossen.
Beispiel 3.10.13 Eine abgeschlossene Teilmenge A von Spec ( R) heißt irreduzibel, wenn
aus A = B ∪ C und B, C abgeschlossen folgt: B = A oder C = A.
In einem kommutativen Noetherschen Ring R ist jede abgeschlossene Teilmenge von
Spec ( R) die Vereinigung von endlich vielen abgeschlossenen, irreduziblen Mengen.
1. Sei Aλ , λ ∈ Λ, eine Familie abgeschlossener Mengen, dann gibt es einen Index
µ, so daß für alle λ: Aµ ⊆ Aλ : Andernfalls existiert eine strikt fallende Folge
A1 ⊇ A2 ⊇ · · · und die entsprechende Folge von Idealen In ist strikt steigend.
2. Sei Aλ , λ ∈ Λ die Familie der abgeschlossenen Mengen, die nicht die Vereinigung endlich vieler abgeschlossener, irreduzibler Mengen sind. Nach 1. besitzt
diese Familie ein minimales Element A. Dann ist A nicht irreduzibel und somit
gibt es abgeschlossene Mengen C, B mit C, B 6= A, so daß A = B ∪ C. Da sowohl B wie C echte Teilmengen von A sind, lassen sich beide als Vereinigung
abgeschlossener irreduzibler Mengen schreiben.
3.10 Übungen
53
Beispiel 3.10.14 Sind A bzw. B offene disjunkte Teilmengen von X, dann gilt A ∩ B =
B ∩ A = ∅.
Da B ⊆ Ac und A offen ist, ist Ac abgeschlossen, also: B ⊆ Ac .
Beispiel 3.10.15 Sei An eine Folge von Teilmengen von X Zeigen Sie:
[
n
An =
[
n
An ∪
\[
An+m .
m n
Beispiel 3.10.16 Sei A eine Teilmenge eines topologischen Raumes X. Zeigen Sie: x
liegt genau dann in ∂A, wenn für alle U ∈ U ( x ) gilt: U ∩ A, U ∩ Ac 6= ∅.
∂A = A \ A◦ = A ∩ A◦c = A ∩ Ac .
Beispiel 3.10.17 Sei X ein metrischer Raum, x0 ∈ X, Y ein Unterraum und Bn =
{ x : d( x, x0 ) ≤ n}. Y ist genau dann abgeschlossen, wenn Y ∩ Bn für alle n ∈ N
abgeschlossen ist.
Angenommen Y 6= Y, dann gibt es ein y ∈ Y c , so daß zu jedem r > 0: Br (y) ∩ Y 6=
∅. Sei n ∈ N so groß, daß Br (y) ⊆ Bn , dann ist Br (y) ∩ Y = Br (y) ∩ Y ∩ Bn . Da
Y ∩ Bn abgeschlossen ist, folgt: y ∈ Y ∩ Bn .
Beispiel 3.10.18 A ⊆ X heißt lokal abgeschlossen, wenn jedes x ∈ A eine offene
Umgebung U in X besitzt derart, daß A ∩ U in U abgeschlossen ist. Zeigen Sie: A ist
genau dann lokal abgeschlossen, wenn eine abgeschlossene Teilmenge C von X und eine
offene Teilmenge V von X existieren, so daß A = C ∩ V.
Ist A lokal abgeschlossen, so existiert zu jedem x ∈ A eine offene Teilmenge Ux
von X sowie eine abgeschlossene Teilmenge A x von X, so daß A ∩ Ux = A x ∩ Ux .
Seien
\
[
Cx : = A x ∪ Uxc , C = Cx und V = Ux .
x
x
Klarerweise ist A ⊆ C ∩ V. Ist andererseits y ∈ C ∩ V, so existiert ein x ∈ A, so
daß y ∈ Ux . Da aber y auch in C liegt, muß y auch in Cx = A x ∪ Uxc liegen, also:
y ∈ A x ∩ Ux ⊆ A.
Beispiel 3.10.19 A ⊆ X ist genau dann lokal abgeschlossen, wenn jedes x ∈ A eine
offene Umgebung U in X besitzt derart, daß A ∩ U = A ∩ U.
Beispiel 3.10.20 Seien A, B abgeschlossene bzw. offene Teilmengen von X, X = A ∪ B,
f : A → Y und g : B → Y stetig, so daß f | A ∩ B = g| A ∩ B. Dann ist die durch
F| A = f und F| B = g definierte Funktion stetig.
Beispiel 3.10.21 Zeigen Sie, daß eine Abbildung f : X → Y genau dann stetig im
Punkt x ist, wenn für alle offenen Umgebungen V von f ( x ) gilt: x ∈ f −1 (V )◦ .
3 TOPOLOGISCHE RÄUME
54
f ist genau dann stetig in x, wenn für alle offenen Umgebungen V von f ( x ) die
Menge f −1 (V ) eine Umgebung von x ist.
Beispiel 3.10.22 Sei f : X → Y eine Abbildung, BY eine Basis von TY und C( f ) die
Menge aller Punkte in denen f stetig ist. Zeigen Sie:
C ( f )c =
[
V ∈TY
f − 1 (V ) \ f − 1 (V ) ◦ =
[
V ∈BY
f − 1 (V ) \ f − 1 (V ) ◦
f ist genau dann nicht stetig in x ∈ X, wenn es ein V ∈ BY gibt, so daß x ∈
/
−
1
◦
−
1
f (V ) ; da klarerweise x ∈ { x } ⊆ f (V ), bedeutet dies, daß f genau dann
nicht stetig in x ∈ X ist, wenn es ein V ∈ BY gibt, so daß x ∈ f −1 (V ) \ f −1 (V )◦ .
Beispiel 3.10.23 Folgende Aussagen sind äquivalent:
1. f : X → Y ist stetig.
2. ∀ B ⊆ Y : f −1 ( B◦ ) ⊆ f −1 ( B)◦ .
3. ∀ B ⊆ Y : f −1 ( B) ⊆ f −1 ( B ).
1.⇒2.: Da f −1 ( B◦ ) ⊆ f −1 ( B) und erstere Menge offen ist folgt: f −1 ( B◦ ) ⊆ f −1 ( B)◦ .
2.⇒3.: Nach 2. gilt:
f −1 ( B )c = f −1 (( B )c ) = f −1 (( Bc )◦ ) ⊆ f −1 ( Bc )◦ ,
also:
f −1 ( B ) ⊇ ( f −1 ( B c )◦ )c = f −1 ( B c )c = f −1 ( B ) .
3.⇒1.: Sei B eine abgeschlossene Teilmenge von Y, dann ist
f −1 ( B ) = f −1 ( B ) ⊆ f −1 ( B )
und da nach 3. die umgekehrte Inklusion gilt, folgt: f −1 ( B) = f −1 ( B).
Beispiel 3.10.24 Eine stetige Abbildung f : X → Y ist genau dann offen, wenn zu jeder
Teilmenge B von Y und jeder abgeschlossenen Teilmenge A von X, die f −1 ( B) enthält,
eine abgeschlossene Teilmenge C von Y existiert, so daß B ⊆ C und f −1 (C) ⊆ A. D.h.
sie ist genau dann offen, wenn für alle Teilmengen B von Y gilt: f −1 ( B ) ⊆ f −1 ( B).
Sei f offen, B ⊆ Y und A ⊆ X abgeschlossen, so daß f −1 ( B) ⊆ A. Dann ist Ac ∩
f −1 ( B) = ∅, also: f ( Ac ) ∩ B = ∅ und somit ist C: = f ( Ac )c eine abgeschlossene
Obermenge von B und
f −1 (C) = f −1 ( f (U c ))c ⊆ (U c )c = A .
Umgekehrt folgt aus der Voraussetzung für B: = f (U )c mit einer offenen Teilmenge U von X:
f −1 ( f (U )c ) ⊆ f −1 ( f (U )c )
i.e. f −1 ( f (U )◦c ) ⊆ f −1 ( f (U ))◦c ; bilden wir hiervon die Komplemente und beachten wir, daß f −1 ( f (U )) ⊇ U, so folgt: f −1 ( f (U )◦ ) ⊇ U, d.h. f (U ) ⊆ f (U )◦ .
3.10 Übungen
55
Beispiel 3.10.25 Eine stetige Abbildung f : X → Y ist genau dann abgeschlossen,
wenn zu jeder Teilmenge B von Y und jeder offenen Teilmenge A von X, die f −1 ( B)
enthält, eine offene Teilmenge C von Y existiert, so daß B ⊆ C und f −1 (C) ⊆ A.
Sei f abgeschlossen, B ⊆ Y und A ⊆ X offen, so daß f −1 ( B) ⊆ A. Dann ist
Ac ∩ f −1 ( B) = ∅, also: f ( Ac ) ∩ B = ∅ und somit ist C: = f ( Ac )c eine offene
Obermenge von B und
f −1 (C) = f −1 ( f (U c ))c ⊆ (U c )c = A .
Ist umgekehrt A ⊆ X abgeschlossen, f ( A) und y ∈
/ f ( A), so ist f −1 (y) ⊆ Ac =
: U, und damit existiert eine offene Umgebung V von y, so daß f −1 (V ) ⊆ U, also:
V ∩ f ( A) = ∅.
Beispiel 3.10.26 Eine Abbildung f : X → Y ist genau dann stetig und abgeschlossen,
wenn für jede Teilmenge A von X gilt: f ( A ) = f ( A).
Beispiel 3.10.27 Sei X ein metrischer Raum, U eine offene Teilmenge von X und D eine
dichte Teilmenge von X. Für alle x ∈ D sei r ( x ): = sup{r > 0 : Br ( x ) ⊆ U }. Zeigen
Sie, daß für alle t ≥ 1 gilt:
V: =
[
Br(x)/t ( x ) = U .
x∈D
Angenommen y ∈ U \ V 6= ∅, dann existiert ein r > 0, so daß B(y, tr ) ⊆ U.
Da D dicht ist in U existiert ein x ∈ D mit d( x, y) < r/3, also folgt für alle
z ∈ B( x, 2tr/3):
d(y, z) ≤ d(y, x ) + d( x, z) < r/3 + 2tr/3 ≤ tr
i.e.
B( x, 2tr/3) ⊆ U
Somit ist r ( x )/t ≥ 2r/3, also y ∈ B( x, r ( x )/t).
Beispiel 3.10.28 Eine stetige Abbildung f : X → Y ist genau dann offen, wenn eine
Basis B der Topologie T X existiert, so daß f (B) ⊆ TY .
Sei U ∈ T X , dann ist nach Definition einer Basis: U =
S
f (U ) = α f (Uα ) ∈ TY .
S
α Uα
mit Uα ∈ B , also:
Beispiel 3.10.29 Die Abbildung f : A 7→ AA∗ ist eine offene Abbildung von Gl(n, R)
in den Raum der symmetrischen n × n Matrizen. Hinweis: Zeigen Sie, daß f eine Submersion ist.
Es gilt D f ( A) B = AB∗ + BA∗ . Ist T ∈ M(n, R) symmetrisch und B0 : = 12 TA∗−1 ,
so folgt: D f ( A) B0 = T; i.e. f ist eine Submersion.
3 TOPOLOGISCHE RÄUME
56
Beispiel 3.10.30 Sei f : (−1, 1] → R2 die Abbildung x 7→ (( x2 − 1)/( x2 + 1), x ( x2 −
1)/( x2 + 1)). Zeigen Sie, daß f injektiv und stetig aber keine Einbettung ist.
Es gilt f (1) = (0, 0) und (0, 0) ∈ f ((−1, 0]).
Beispiel 3.10.31 Sind X, Y vollständige metrische Räume, f : X → Y stetig, injektiv
und f −1 : f (X ) → X gleichmäßig stetig, so ist f eine abgeschlossene Einbettung.
Sei A ⊆ X abgeschlossen und yn eine konvergente Folge in f ( A). Da f −1 gleichmäßig stetig ist, ist xn : = f −1 (yn ) eine Cauchy-Folge in A und konvergiert somit
gegen x ∈ A, also y = f ( x ) ∈ f ( A). Somit ist f ( A) abgeschlossen.
Beispiel 3.10.32 Die Abbildung F : S1 × S1 → C × R, (z, w) 7→ ((2 + ℜz)w, ℑz) ist
eine Einbettung. Skizzieren Sie die Menge F(S1 × S1 ).
Beispiel 3.10.33 Zeigen Sie: sin : R → [−1, 1] ist offen aber nicht abgeschlossen und
sin : R → R ist weder offen noch abgeschlossen.
Beispiel 3.10.34 Sei x ∈ [0, 1] und Θ : [0, 1] → {0, 1}N die Binärdarstellung von x.
Zeigen Sie, daß die Funktion
f ( x ): = lim sup n1
n
∑ Θ( x ) j
j≤n
jedes offene Teilintervall I von [0, 1] auf [0, 1] abbildet.
Beispiel 3.10.35 Sei f : X → Y eine stetige Bijektion. Dann sind folgende Aussagen
äquivalent.
1. f ist ein Homöomorphismus.
2. f ist abgeschlossen.
3. f ist offen.
e → X heißt eine ÜberlageBeispiel 3.10.36 Eine stetige, surjektive Abbildung χ : X
rungsabbildung , wenn zu jedem x ∈ X eine offene Umgebung U sowie eine möglie n von X
e existiert, so
cherweise endliche Folge paarweise disjunkter, offener Teilmengen U
S
−
1
e n → U Homöomorphismen
daß χ (U ) = Un und sämtliche Einschränkungen χ : U
sind. Zeigen Sie: jede Überlagerungsabbildung ist offen. Ist die Folge Un stets endlich, so
ist χ auch abgeschlossen.
e ⊆X
e offen, x ∈ χ(U
e ) und U ∈ U ( x ), so daß χ−1 (U ) = S U
e n und χ : U
e →
Sei U
S n
e ∩U
e n ) ist dann offen und V: = Vn ist
U Homöomorphismen sind. Vn : = χ(U
eine nicht leere offene Umgebung von x.
e eine offene Umgebung von χ−1 ( x ); nach Lemma 3.3.2 ist zu
Sei x ∈ X und U
e Seien
zeigen, daß es eine offene Umgebung U von x gibt, so daß χ−1 (U ) ⊆ U.
T
Vn wie oben – in diesem Fall sind alle Vn nicht leer – und U: = Vn , dann folgt:
e
χ−1 (U ) ⊆ U.
3.10 Übungen
57
Beispiel 3.10.37 Sei p ∈ N und M: = {(z, w) ∈ C2 : w = z p } \ {(0, 0)}. Zeigen Sie,
daß χ(z, w): = w ein Überlagerungsabbildung ist und daß χ−1 (w) aus genau p Punkten
besteht.
Beispiel 3.10.38 Seien X, Y, Z topologische Räume, f : X → Y und g : Y → Z
stetig. Zeigen Sie: Ist f surjektiv und g ◦ f ein Homöomorphismus, so sind f und g
Homöomorphismen.
Beispiel 3.10.39 Seien f : X → Y und g : Y → Z stetig.
1. Sind f und g offen (abgeschlossen), so ist g ◦ f offen (abgeschlossen).
2. Ist g ◦ f offen (abgeschlossen) und f surjektiv, so ist g offen (abgeschlossen).
3. Ist g ◦ f offen (abgeschlossen) und g injektiv, so ist f offen (abgeschlossen).
2. Sei V ⊆ Y offen (abgeschlossen), dann ist U: = f −1 (V ) offen (abgeschlossen)
in X und V = f (U ), also ist g(V ) = g ◦ f (U ) offen (abgeschlossen) in Z.
Beispiel 3.10.40 Sei X ein topologischer Raum und Cb (X ) der Raum der beschränkten
stetigen Funktionen von X in R (oder C). Zeigen Sie: Cb (X ) (mit der Norm k f k ∞ : =
sup{| f ( x )| : x ∈ X }) ist ein Banachraum.
Beispiel
3.10.41 Sei ϕ : R → R0+ konvex, dann ist p : L2 (µ) → [0, ∞], p( f ): =
R
ϕ( f ) dµ konvex und l.s.c.
Beispiel 3.10.42 Sei X ein topologischer Raum und f : X → R. f ist genau dann von
unten halbstetig, wenn {( x, t) ∈ X × R : f ( x ) ≤ t} abgeschlossen ist.
Sei C: = {( x, t) ∈ X × R : f ( x ) ≤ t}. ( x, t) ∈
/ C ist gleichbedeutend mit f ( x ) > t.
Ist f l.s.c., so liegt x in der offenen Menge U: = [ f > t + ε]. Die offene Menge
(−∞, t + ε/2) × U enthält den Punkt ( x, t) und ist disjunkt von C. Ist umgekehrt
C abgeschlossen, so ist [ f ≤ t] × {t} = C ∩ (X × {t}) abgeschlossen und offensichtlich homöomorph zu [ f ≤ t].
Beispiel 3.10.43 Sei X ein topologischer Raum, U eine offene Teilmenge von X × R.
Dann ist f : X → R,
f ( x ): = sup{t : ( x, t) ∈ U }
l.s.c.
Sei W: = {( x, t) : f ( x ) > t} und ( x, t) ∈ W, i.e. f ( x ) > t, dann gibt es ein s > t, so
daß ( x, s) ∈ U und somit gibt es eine offene Umgebung V von x sowie ein ε > 0,
so daß V × (s − ε, s + ε) ⊆ U. Damit gilt aber für alle y ∈ V und alle r < s + ε:
f (y) ≥ s + ε > r, i.e. V × [−∞, s + ε) ⊆ W.
Beispiel 3.10.44 Sei X ein metrischer Raum und f : X → R+ ,
gn ( x ): = inf{ f (z) + nd( x, z) : z ∈ X }.
Zeigen Sie: | gn (y) − gn ( x )| ≤ nd(y, x ) und gn ( x ) ≤ gn+1 ( x ). Bestimmen Sie die
Funktionen gn , wenn f die Indikatorfunktion einer offenen Menge U ist.
58
3 TOPOLOGISCHE RÄUME
Sei zu x ∈ X und ε > 0 z ∈ X so bestimmt, daß gn ( x ) ≥ f (z) + nd( x, z) − ε, dann
folgt:
gn (y) − gn ( x ) ≤ f (z) + nd(y, z) − f (z) − nd( x, z) + ε ≤ nd(y, x ) + ε
und aus Symmetriegründen: | gn (y) − gn ( x )| ≤ nd(y, x ) + ε.
2. Sei f = IU , dann ist gn ( x ) = (1 + nd( x, U )) ∧ nd( x, U c ); für x ∈ U gilt daher:
gn ( x ) = 1 ∧ nd( x, U c ) und für x ∈ U c : gn ( x ) = 0, also: gn ( x ) = 1 falls x ∈ U
und d( x, U c ) ≥ 1/n, gn ( x ) = nd( x, U c ) falls x ∈ U und d( x, U c ) < 1/n; in allen
anderen Punkten verschwindet gn ( x ).
Beispiel 3.10.45 Seien f und gn wie im voranstehenden Beispiel. Zeigen Sie: Falls f
l.s.c. ist, so gilt f ( x ) = lim gn ( x ). Diese Beispiele zeigen, daß eine nicht negative Funktion f auf einem metrischen Raum genau dann l.s.c. ist, wenn f der Grenzwert einer
monoton steigenden Folge Lipschitz-stetiger Funktionen ist.
Da gn ( x ) ≤ f ( x ), folgt: h( x ): = lim gn ( x ) ≤ f ( x ). Falls ein ε > 0 existiert, so daß
h( x ) < f ( x ) − 2ε, dann gilt für alle n ∈ N: gn ( x ) < f ( x ) − 2ε. Zu diesem x gibt es
nach Definition ein zn ∈ X, so daß: gn ( x ) ≥ f (zn ) + nd(zn , x ) − ε, also
0 ≤ f (zn ) ≤ gn ( x ) − nd(zn , x ) + ε < f ( x ) − ε − nd(zn , x )
i.e. nd( x, zn ) ≤ f ( x ) − ε. Somit konvergiert zn gegen x und f (zn ) ≤ f ( x ) − ε. Aus
der Halbstetigkeit von f folgt andererseits: [ f > f ( x ) − ε] ist offen; daher gilt für
hinreichend große n ∈ N: zn ∈ [ f > f ( x ) − ε].
Beispiel 3.10.46 Seien E ⊆ Y Teilmengen eines topologischen Raumes X. Wir nennen
E isoliert in Y, wenn zu jedem y ∈ Y ein offene Menge U 6= ∅ existiert, so daß E ∩ U
endlich ist. Falls Y = X, so nennen wir E eine isolierte Teilmenge von X; falls Y = E, so
nennen wir E eine diskrete Teilmenge von X. Zeigen Sie: eine isolierte Teilmenge E ist
stets abgeschlossen, hingegen muß eine diskrete Teilmenge nicht abgeschlossen sein. Eine
abgeschlossene und diskrete Teilmenge ist isoliert.
Beispiel 3.10.47 Ist K eine kompakte Teilmenge von Rn , so ist C(K ) separabel.
Beispiel 3.10.48 Ist D ⊆ X dicht und U eine offene Teilmenge von X, so gilt: U ∩ D =
U. Ist also X separabel und U (⊆ X ) offen, so ist U separabel.
Sei x ∈
/ U ∩ D, dann gibt es eine Umgebung V von x, so daß (V ∩ U ) ∩ D = ∅;
da D dicht und V ∩ U offen ist, folgt: V ∩ U = ∅, i.e. x ∈
/ U.
Beispiel 3.10.49 Seien A, B abgeschlossene Teilmenge eines topologischen Raumes X.
Zeigen Sie: enthält A ∪ B einen inneren Punkt, so enthält entweder A oder B einen
inneren Punkt (cf. Kapitel ??).
3.10 Übungen
59
Enthalten weder A noch B einen inneren Punkt, so sind Ac , Bc offen und dicht.
Wir zeigen, daß dann Ac ∩ Bc dicht ist, i.e. A ∪ B enthält keinen inneren Punkt.
Für jede offene Teilmenge W von X sind W ∩ Ac und W ∩ Bc dicht in W. Falls
W ∩ ( A ∪ B)c = W ∩ Ac ∩ W ∩ Bc = ∅, dann folgt: W ∩ Bc ⊆ W \ (W ∩ Ac ) =
W ∩ A, also liegt der Abschluß W ∩ Bc von Bc in W in W ∩ A, i.e. W ⊆ W ∩ A.
Beispiel 3.10.50 Sei X separabel und f : X → Y stetig und surjektiv. Dann ist Y
separabel.
Beispiel 3.10.51 (!!) Sei X eine separabler topologischer Raum und (Uα )α∈ I eine Familie paarweise disjunkter offener Mengen, so ist I höchstens abzählbar.
S
S
Da Uα ebenfalls separabel ist, können wir o.B.d.A. annehmen, daß Uα = X.
Sei xn eine abzählbare dichte Teilmenge von X, dann existiert zu jedem n ∈ N
genau ein α(n) ∈ I mit xn ∈ Uα(n) . Falls I überabzählbar ist, dann existiert ein
α ∈ I mit Uα ⊆ { xn : n ∈ N}c , i.e. { xn } ist nicht dicht.
Beispiel 3.10.52 Sei F die Menge aller Familien offener paarweise disjunkter nicht leerer Teilmengen von X. Zeigen Sie, daß F durch U ⊆ V induktiv geordnet ist. Ist U eine
S
maximale Familie, so gilt: {U : U ∈ U } = X.
Beispiel 3.10.53 Sei X ein topologischer Raum mit abzählbarer Basis Bn und U eine
offene Teilmenge von X. Dann existiert eine Teilfolge Bk(n) paarweise disjunkter Mengen,
S
S
so daß Bk(n) ⊆ U ⊆ U ⊆ Bk(n) .
Sei D = { xn : n ∈ N} dicht in U und x1 ∈ B1 ⊆ U; falls U \ B1 6= ∅, dann gibt
es einen kleinsten Index k(2) mit xk(2) ∈
/ B1 ; wähle Bk(2) , so daß xk(2) ∈ Bk(2) ⊆
U \ Bk(1) , U \ Bk(1) ∪ Bk(2) 6= ∅, dann gibt es xk(3) ∈ Bk(3) ⊆ U \ Bk(1) ∪ Bk(2) u.s.w.
Beispiel 3.10.54 Sei X eine separabler metrischer Raum. Jeder Teilraum Y von X ist
separabel. Die Menge der isolierten Punkte von X ist höchstens abzählbar.
Beispiel 3.10.55 Ist f : X → R eine beliebige Funktion, so ist die Menge
{y ∈ X :
lim
x →y,x 6= y
f ( x ) existiert und ist von f (y) verschieden }
höchstens abzählbar. (Für jedes Paar rationaler Zahlen p, q mit p < q besteht die Menge
{y ∈ X : f (y) ≤ p < q ≤ limx→y,x6=y f ( x )} nur aus isolierten Punkten).
Beispiel 3.10.56 Zeigen Sie: { T ∈ M(n, C) : T ist diagonalisierbar} liegt dicht in
M(n, C).
Sei o.B.d.A. T eine Jordan Matrix mit Tjj = λ. Seien 0 < ε 1 < · · · < ε n < ε und
S jk = Tjk + ε j δjk , so ist S diagonalisierbar.
60
3 TOPOLOGISCHE RÄUME
Beispiel 3.10.57 R \ Q liegt dicht in (R, Tcc ), aber kein r ∈ Q ist Grenzwert einer
Folge aus R \ Q.
Angenommen xn → r ∈ Q, dann ist A: = { xn : n ∈ N} eine abzählbare Teilmenge, die r nicht enthält, also ist Ac eine offene Umgebung von r.
Beispiel 3.10.58 Sei X eine abzählbare, nicht endliche Menge. Zeigen Sie: Es existiert
eine Familie { Xα : α ∈ A} von unendlichen Teilmengen von X, wobei A überzählbar ist,
so daß Xα ∩ X β endlich ist, falls α 6= β. (Wähle X = Q, A = R \ Q. Für α ∈ A sei Xα
die Elemente einer injektiven Folge von rationalen Zahlen, die gegen α konvergiert).
Beispiel 3.10.59 Die Sorgenfrey-Gerade (R, T+ ) ist separabel und besitzt keine abzählbare Basis, ist also nicht metrisierbar.
Q ist dicht: Sei Bn , n ∈ N, eine abzählbare Basis. Da das Mengensystem {[ x, y) :
x < y} nach Definition eine Basis von T+ bildet, gibt es nach Proposition 3.4.2
eine abzählbare Familie [ xn , yn ), n ∈ N, die eine Basis von T+ bildet. Für x ∈
/
{ xn : n ∈ N} läßt sich aber [ x, ∞) nicht als Vereinigung von Mengen der Form
[ xn , yn ) schreiben.
Beispiel 3.10.60 Eine Abbildung f : (R, T+ ) → R ist genau dann stetig in x, wenn
f : R → R in x rechtsstetig ist.
Ist f : (R, T+ ) → R in x stetig, so gibt es zu jedem ε > 0 ein δ > 0, so daß f ([ a, a +
δ)) ⊆ ( f ( x ) − ε, f ( x ) + ε). Für jedes Netz xα ≥ x, das gegen x konvergiert gilt
daher: lim f ( xα ) = f ( x ).
Existiert umgekehrt ein ε > 0, so daß es zu allen n ∈ N ein xn > x gibt mit
| f ( xn ) − f ( x )| ≥ ε, dann kann f : (R, T+ ) → R in x nicht stetig sein.
Beispiel 3.10.61 Eine Teilmenge U der Sorgenfrey-Gerade (R, T+ ) ist genau dann offen, wenn U die Vereinigung von höchstens abzählbar vielen paarweise disjunkten Intervallen der Form (a, b) oder [ a, b) ist.
Sei xn , n ∈ N, dicht in U und In die Vereinigung aller in U enthaltenen Intervalle
der Form [ a, b), die auch xn enthalten. Dann folgt: In = (a, b) oder In = [ a, b).
S
S
Ferner gilt: In = U, andernfalls gibt es ein x ∈ U \ In und damit ein y > x, so
daß [ x, y) ⊆ U; nun liegt aber etwa x1 in [ x, y) und damit: x ∈ I1 .
Schließlich gilt für alle n, m ∈ N entweder In = Im oder In ∩ Im = ∅.
Beispiel 3.10.62 Seien H = {( x, y) ∈ R2 : y > 0}, R = {( x, 0) : x ∈ R} und
X = H ∪ R. Für z ∈ R und n ∈ N sei Un (z) = B(z + (0, 1/n), 1/n) ∪ {z}. Für
z ∈ H und n ∈ N sei Un (z) = B(z, 1/n). Zeigen Sie:
1. {Un (z) : n ∈ N, z ∈ X } ist Basis einer Topologie T auf X – die Niemytzki Topologie.
2. T induziert auf R die diskrete Topologie und auf H die natürliche Topologie.
3. Q × Q+ ist eine dichte Teilmenge von X.
4. (X, T ) ist nicht metrisierbar.
3.10 Übungen
61
Beispiel 3.10.63 1. Ist X ein topologischer Raum; x ∈ X und xn eine Folge mit der
Eigenschaft, daß jede Teilfolge von xn eine gegen x konvergente Teilfolge besitzt. Zeigen
Sie: xn konvergiert gegen x.
2. Sei λ das Lebesguemaß auf (0, 1]. Dann existiert keine Topologie T auf L0 deren konvergente Folgen genau die f.ü. konvergenten Folgen sind. Hinweis: Sei f n eine Folge in
L0 , die zwar im Maß gegen 0 konvergiert aber nicht f.ü. Zeigen Sie, daß jede Teilfolge von
f n eine f.ü. gegen 0 konvergente Teilfolge besitzt.
2. Sei f n eine Folge in L0 , die zwar im Maß gegen 0 konvergiert aber nicht f.ü., also
nicht bezüglich T . Jede Teilfolge von f n konvergiert daher im Maß gegen 0 und
besitzt folglich eine Teilfolge die f.ü. und damit bezüglich T gegen 0 konvergiert.
Nach 1. bedeutet dies, daß die Folge f n selbst bezüglich T gegen 0 konvergiert,
d.h. f n konvergiert f.ü.
Beispiel 3.10.64 Sei f : X → Y stetig injektiv und (Vi ) eine offene Überdeckung von Y.
Ist f : f −1 (Vi ) → Vi für alle i ein Homöomorphismus, so ist f ein Homöomorphismus.
Beispiel 3.10.65 Sei X ein kompakter metrischer Raum und A eine abgeschlossene Teilmenge von X mit der Eigenschaft, daß zu jedem x ∈ X genau ein PA ( x ) ∈ A existiert
mit d( x, PA ( x )) = d A ( x ). Zeigen Sie: PA ist eine Retraktion.
Da PA ◦ PA = PA genügt es zu zeigen, daß PA stetig ist: Angenommen xn konvergiert gegen x und PA ( xn ) konvergiert gegen a ∈ A aber a 6= PA ( x ), dann folgt:
d(a, x ) > d A ( x ) + ε; andererseits gilt: d(a, x ) = lim d( PA ( xn ), xn ) = lim d A ( xn ).
Beispiel 3.10.66 Sei X = {−1, 0} ∪ {1/n : n ∈ N}, d die kanonische Metrik auf X
und D (0, 1/n) = 1, D (−1, 1/n) = 1/n, D (0, −1) = 1. Dann konvergiert die Folge
1/n bezüglich d gegen 0 und bezüglich D gegen −1.
Beispiel 3.10.67 Seien M, N gerichtete Mengen und f : M × N → X eine Abbildung
in einen vollständigen metrischen Raum. Falls
lim sup d( f (m, n), g(n)) = 0
m
n
und
∀ m ∈ M : lim d( f (m, n), h(n)) = 0,
n
dann gilt: limm limn f (m, n) = limn limm f (m, n).
Beispiel 3.10.68 Sei X eine Menge und zu jedem x ∈ X sei B( x ) eine Filterbasis mit
folgenden Eigenschaften:
1. Für alle x ∈ X und alle U ∈ B( x ) gilt: x ∈ U.
2. Für alle V ∈ B( x ) gibt es ein W ∈ B( x ), so daß für alle y ∈ W: V ∈ B(y).
e = {y ∈ U : U ∈ B(y)}. Dann ist {U
e : U ∈ B( x ), x ∈ X } Basis
Sei zu U ∈ B( x ): U:
einer Topologie T auf X und B( x ) ist Basis des Umgebungsfilters U ( x ) ist.
Beispiel 3.10.69 Sei f : X → Y stetig in x0 und B eine Filterbasis in X, die x0 als
Häufungspunkt besitzt. Dann ist f ( x0 ) ein Häufungspunkt der Filterbasis f (B).
3 TOPOLOGISCHE RÄUME
62
Beispiel 3.10.70 Sei F ein Ultrafilter auf einer endlichen Menge X, dann existiert ein
x ∈ X, so daß F = { F ⊆ X : x ∈ F}.
Falls nicht, dann gilt für alle x ∈ X: { x }c ∈ F und da X endlich ist, ist der
Durchschnitt all dieser Mengen in F , also: ∅ ∈ F .
Beispiel 3.10.71 Sei F ein Ultrafilter auf dem topologischen Raum X. F konvergiert
genau dann nicht, wenn zu jedem x ∈ X ein U ∈ U ( x ) existiert, so daß U c ∈ F .
Sei z.B. X eine Menge mit der diskreten Topologie, dann konvergiert ein Ultrafilter F auf
X genau dann nicht, wenn das Komplement jeder endlichen Teilmenge von X in F liegt.
Einen Ultrafilter F auf einer Menge X nennt man einen freien Ultrafilter auf X, wenn
für jede endliche Teilmenge A von X gilt: Ac ∈ F .
Konvergiert der Filter F gegen x, so ist U ( x ) ⊆ F . Ist umgekehrt F ein Ultrafilter
und gibt es ein x ∈ X, so daß für alle U ∈ U ( x ): U c ∈
/ F , dann folgt nach
Lemma 3.6.8: U ∈ F , also: U ( x ) ⊆ F .
Beispiel 3.10.72 Der Raum X = {( x, y) ∈ R2 : y ≥ 0} mit der Niemytzki Topologie
ist ein Hausdorff-Raum.
Beispiel 3.10.73 Der Raum Cn mit der Zariski-Topologie ist kein Hausdorff-Raum.
Beispiel 3.10.74 1. Jeder Unterraum eines Hausdorff-Raumes ist ein Hausdorff-Raum.
2. Ein topologischer Raum ist genau dann ein Hausdorff-Raum, wenn jeder konvergente
Filter einen eindeutig bestimmten Limes besitzt.
3. Sei X ein Hausdorff-Raum und F ein Filter auf X. Dann gibt es zu jedem HäufungsT
punkt x von F einen Ultrafilter U ⊇ F mit {U : U ∈ U } = { x }.
Beispiel 3.10.75 Sei xα ein Netz in [−∞, ∞], so daß aus α ≤ β folgt: xα ≤ x β . Zeigen
Sie: xα konvergiert gegen x: = sup{ xα : α ∈ I }.
Beispiel 3.10.76 Sei xα ein Netz in [−∞, ∞]. Zeigen Sie: die Netze xα∗ : = sup{ x β :
β ≥ α} bzw. xα∗ : = inf{ x β : β ≥ α} konvergieren gegen lim sup xα : = inf xα∗ bzw.
lim inf xα : = inf xα∗ .
2. Falls lim inf xα = lim sup xα , dann konvergiert xα gegen lim inf xα .
Beispiel 3.10.77 Sei f : [0, 1] → [0, 1] und zu jeder endlichen Teilmenge α = { x0 , . . . , xn }
mit 0 = x0 < x1 < · · · < xn = 1 seien
S∗ f α : =
n
∑
j =1
M j ( x j − x j −1 )
und
S∗ f α : =
n
∑ m j ( x j − x j −1 )
j =1
wobei M j = sup{ f ( x ) : x j−1 ≤ x ≤ x j } und m j = inf{ f ( x ) : x j−1 ≤ x ≤ x j }.
Zeigen Sie, daß die Netze S∗ f α und S∗ f α konvergieren (α ≤ β: ⇔ α ⊆ β).
3.10 Übungen
63
Ist α ≤ β, so gilt: S∗ f α ≥ S∗ f β und S∗ f α ≤ S∗ f β , also konvergiert S∗ f α gegen
infα S∗ f α und S∗ f α gegen supα S∗ f α .
Beispiel 3.10.78 Sei X eine Menge und R = R X der kommutative Ring aller Funktionen f : X → R.
1. Ist F ein Filter auf X, so ist I (F ): = { f ∈ R : [ f = 0] ∈ F } ein Ideal in R.
2. Ist J ein Ideal in R, so ist F( J ): = {[ f = 0] : f ∈ J } ein Filter auf X.
3. I ( F( J )) = J und F( I (F )) = F .
4. F ist genau dann ein Ultrafilter, wenn I ein maximales Ideal ist, also genau dann,
wenn R/I ein Körper ist.
5. In R ist jedes Primideal ein maximales Ideal und jedes maximale Ideal ist abgeschlossen.
1. Sei f ∈ I und g ∈ R, dann ist [ f g = 0] ⊇ [ f = 0]; da F ein Filter ist, folgt:
[ f g = 0] ∈ F . Für f , g ∈ I gilt: [ f + g = 0] ⊇ [ f = 0] ∩ [ g = 0] ∈ F . Somit ist I
ein Ideal. Ist F ∈ F , so ist f : = IF c ∈ I und [ f = 0] = F.
2. Mit [ g1 = 0] und [ g2 = 0] ist dann auch [ g1 = 0] ∩ [ g2 = 0] = [ g12 + g22 = 0] in
F( J ), also ist F( J ) eine Filterbasis. Ist g ∈ J und A ⊇ [ g = 0], so ist A = [ I Ac g =
0] ∈ F( J ) und damit ist F( J ) ein Filter.
3. Sei f ∈ I ( F( J )), dann folgt: [ f = 0] ∈ F( J ), also gibt es ein g ∈ J mit [ f = 0] =
[ g = 0], damit gibt es aber ein h ∈ R, so daß f = hg, also f ∈ J. Ist f ∈ J, so ist
[ f = 0] ∈ F( J ), also liegt f in I ( F( J )).
Sei F ∈ F( I (F )), dann gibt es ein f ∈ I (F ), so daß F = [ f = 0]. Da f ∈ I (F ) folgt:
[ f = 0] ∈ F , i.e. F ∈ F . Ist F ∈ F , so ist IF c ∈ I (F ) und F = [ IF c = 0] ∈ F( I (F )).
4. Ist J ein maximales Ideal und F ein F( J ) enthaltender Ultrafilter, dann ist J ⊆
I ( F( J )) ⊆ I (F ), also: J = I (F ) und damit: F = F( I (F )) = F( J ).
Ist umgekehrt F ein Ultrafilter und J ein maximales Ideal mit I (F ) ⊆ J, dann
folgt: F = F( I (F )) ⊆ F( J ), also: F = F( J ) und damit: J = I ( F( J )) = I (F ).
5. In einem kommutativen Ring R mit Eins ist jedes maximale Ideal M ein Primideal: Sei xy ∈ M; falls x, y ∈
/ M, dann ist das von y und M erzeugte Ideal gleich
R, also 1 = ax + m und damit: y = axy + my ∈ M. Ist umgekehrt I ein Primideal
und A ⊆ X, so gilt: I A I Ac = 0 ∈ I, also entweder I A ∈ I oder I Ac ∈ I. Somit liegt
entweder Ac oder A in F( I ), i.e. F( I ) ist ein Ultrafilter und damit ist I maximal.
Da die Abbildungen m : ( f , g) 7→ f g und a : ( f , g) 7→ f + g stetig sind, folgt:
m( f , J ) ⊆ J und a( J, J ) ⊆ J.
Ersetzen wir RX durch die Menge der beschränkten Funktionen f : X → R, so gilt
zwar nur mehr J ⊆ I ( F( J )), dies ändert jedoch nichts an den übrigen Aussagen.
Ist also F ein freier Ultrafilter auf X, d.h. für jede endliche Teilmenge A von X
gilt: Ac ∈ F , so ist I: = I (F ) ein maximales Ideal und R/I ein Körper, der jedoch
zu R isomorph ist: Falls f beschränkt ist, dann konvergiert f (F ) gegen x ( f ) ∈ R,
somit ist f 7→ x ( f ) die zur Einbettung x 7→ (n 7→ x ) inverse Abbildung. Ist f ∈ I,
dann ist x ( f ) = 0, denn andernfalls gibt es ein F ∈ F , so daß 0 ∈
/ f ( F), d.h.
∅ = F ∩ [ f = 0] ∈ F . Ist umgekehrt x ( f ) = 0, so folgt: f ∈ I, denn J: = { f ∈ R :
x ( f ) = 0} ist ein Ideal, das I enthält, also I = J und R/J ist isomorph zu R.
64
3 TOPOLOGISCHE RÄUME
Beispiel 3.10.79 Sei R ein topologischer Ring, d.h. die Abbildungen (y, x ) 7→ x − y
und ( x, y) 7→ xy sind stetig. Zeigen Sie: Ist I ein Ideal, so ist I ein Ideal oder I ist dicht.
Beispiel 3.10.80 Sei G eine topologische Gruppe, d.h. die Abbildung (y, x ) 7→ xy−1
ist stetig. Zeigen Sie: Ist H ein Untergruppe bzw. ein Normalteiler, so ist auch H eine
Untergruppe bzw. ein Normalteiler.
Sei f : G × G → G die Abbildung f ( x, y) = xy−1 und H eine Untergruppe von
G. Da f stetig ist, folgt: f ( H × H ) ⊆ f ( H × H ) = H, i.e. H ist eine Untergruppe.
Ist N ein Normalteiler, x ∈ G und i x (y): = xyx −1 , so ist i x stetig, also: i x ( N ) ⊆
i x ( N ) = N, i.e. N ist ein Normalteiler.
Beispiel 3.10.81 Ist B Basis eines Ultrafilters auf dem kompakten metrischen Raum X,
so konvergiert B – dies hat nichts mit der Metrisierbarkeit zu tun! Sei R = B(X, R) der
Ring der beschränkten Funktionen f : X → R. Ist I ein maximales Ideal in R, so ist R/I
isomorph zu R.
Beispiel 3.10.82 Besitzt U ( x ) eine abzählbare Umgebungsbasis, so ist f : X → Y
genau dann stetig in x, wenn das Bild jeder gegen x konvergenten Folge unter f in Y
gegen f ( x ) konvergiert.
Sei Un eine abzählbare Basis von U ( x ) mit Un+1 ⊆ Un . Angenommen f ist nicht
stetig in x, dann gibt es eine Umgebung V von y = f ( x ), so daß für alle n ∈ N:
f (Un ) ∩ V c 6= ∅. Wähle xn ∈ Un mit f ( xn ) ∈
/ V.
Beispiel 3.10.83 Sei Y ein Hausdorff-Raum und f : X → Y stetig. Dann ist der Graph
Γ( f ): = {( x, f ( x )) : x ∈ X } eine abgeschlossene Teilmenge von X × Y. Weiters ist
S
Γ( f ) homöomorph zu C: = { f −1 (y) × {y} : y ∈ Y }.
Es gilt mit F( x, y): = ( f ( x ), y): Γ( f ) = {( x, y) ∈ X × Y : f ( x ) = y} = F−1 (∆Y ).
2. F( x, y) 7→ (y, x ) ist ein Homöomorphismus von Γ( f ) auf C.
Beispiel 3.10.84 Seien X, Y, Z Hausdorff-Räume, F : X → Z, G : Y → Z stetig und
X × Z Y: = {( x, y) ∈ X × Y : F( x ) = G (y)} .
Dann ist X × Z Y ein abgeschlossener Unterraum von X × Y. X × Z Y heißt das Faserprodukt von X und Y über Z.
Beispiel 3.10.85 Sei Xn eine Folge topologischer Räume mit der Eigenschaft, daß jeder
Punkt dieser Räume eine abzählbare Umgebungsbasis besitzt. Dann besitzt jeder Punkt
von ∏ Xn eine abzählbare Umgebungsbasis.
3.10 Übungen
65
Beispiel 3.10.86 Sei X = ∏α∈ I Xα . Zu jeder offenen Teilmenge U von X existiert eine
endliche Teilmenge J von I und für alle α ∈ J offene Teilmengen Uα von Xα , so daß
n
\
α∈ J
[Prα ∈ Uα j ] ⊆ U
2. Sind Aα ⊆ Xα , so gilt: ∏ Aα = ∏ Aα .
T
2. Da ∏ Aα = α [Prα ∈ Aα ] ist der Abschluß von ∏ Aα in ∏ Aα enthalten. Sei
umgekehrt x ∈
/ ∏ Aα , dann gibt es eine offene Umgebung U von x = ( xα ) mit
T
U ∩ ∏ Aα = ∅, also nα∈ J Prα ∈ Uα )] ∩ ∏α∈ I Aα = ∅. Daher muß für mindestens
/ ∏ Aα .
ein α ∈ J die Menge [Prα ∈ Uα ] ∩ Aα leer sein, also xα ∈
/ A α und folglich x ∈
Beispiel 3.10.87 Sei I die Menge aller endlichen Folgen ( I1 , . . . , In ) paarweise disjunkter abgeschlossener Intervalle mit rationalen Randpunkten und
D: =
n
f : R → N : ∃ ( I1 , . . . , In ) ∈ I : f | Ij konst und f |(
[
o
I j )c = 1 .
Zeigen Sie, daß D eine abzählbare dichte Teilmenge von NR ist und schließen Sie daraus,
daß für jeden separablen Raum X auch X R separabel ist.
Sei f : R → N und U eine offene Umgebung von f in NR , dann gibt es ein n ∈ N
sowie x1 < · · · < xn ∈ R und eine ε > 0, so daß U0 : = { g : | g( x j ) − f ( x j )| < ε} ⊆
U. Da U0 ∩ D 6= ∅, ist D dicht in NR .
Sei ϕ : N → X, so daß ϕ(N) dicht in X ist; dann ist die Menge { ϕ ◦ f : f ∈ D }
dicht in X R .
Beispiel 3.10.88 Seien Xα , α ∈ I, separable Räume und X: = ∏ α Xα . Dann ist jede
Familie Ut , t ∈ T, paarweise disjunkter offener Teilmengen von X höchstens abzählbar.
Sei o.B.d.A. | T | ≤ c. Zu jedem t ∈ T sei I (t) eine endliche Teilmenge von I, so daß
S
für alle α ∈
/ I (t): Prα (Ut ) = Xα . Sei J: = t∈ T I (t), dann ist | J | ≤ c und Pr J (Ut ),
t ∈ T, ist eine Familie paarweise disjunkter offener Teilmengen von Y: = Pr J (X ).
Da Y nach Beispiel ?? separabel ist, kann T höchstens abzählbar sein.
Beispiel 3.10.89 (Kettenbrüche) Sei I = [0, 1] \ Q, θ ( x ) = 1/x − [1/x ] und für alle
n ∈ N: an ( x ): = [1/θ n−1 ( x )], wobei θ 0 ( x ): = x und θ n ( x ): = θ (θ n−1 ( x )).
3 TOPOLOGISCHE RÄUME
66
Graph von θ
Sei x1 , . . . , xk ≥ 1, dann setzen wir h x1 i: = 1/x1 und
1/h x1 , . . . , xk+1 i = x1 + h x2 , . . . , xk+1 i .
1. Für alle x ∈ I und alle k ∈ N gilt: x = ha1 ( x ), . . . , ak ( x ) + θ k ( x )i und θ ( x ) =
ha2 ( x ), . . . , ak ( x ) + θ k ( x )i.
2. Für n1 , . . . , nk ∈ N und t ∈ [0, 1] gilt: θ (hn1 , . . . , nk + ti) = hn2 , . . . , nk + ti.
3. Für alle k ∈ N ist θ k : I → I.
1. Für k = 1 ist 1/ha1 ( x ) + θ ( x )i = a1 ( x ) + θ ( x ) = 1/x nach Definition. Angenommen es gilt: x = ha1 ( x ), . . . , ak ( x ) + θ k ( x )i, dann folgt:
θ ( x ) = ha1 (θ ( x )), . . . , ak (θ ( x )) + θ k+1 ( x )i
und da an (θ ( x )) = an+1 ( x ): θ ( x ) = ha2 ( x ), . . . , ak+1 ( x ) + θ k+1 ( x )i. Nun ist aber
1/x = a1 ( x ) + θ ( x ), also: 1/x = a1 ( x ) + ha2 ( x ), . . . , ak+1 ( x ) + θ k+1 ( x )i, i.e. x =
ha1 ( x ), . . . , ak+1 ( x ) + θ k+1 ( x )i.
2. Sei x = hn1 , . . . , nk + ti, dann ist 1/x = n1 + hn2 , . . . , nk + ti, also θ ( x ) =
h n2 , . . . , n k + t i.
3. Da 1/x = θ ( x ) + [1/x ] ist x genau dann keine rationale Zahl, wenn θ ( x ) keine
rationale Zahl ist, also liegt θ k ( x ) für alle x ∈ I und alle k ∈ N in I.
Beispiel 3.10.90 Zu n1 , n2 , . . . ∈ N seien
In1 : = (hn1 + 1i, hn1 i),
In1 ,n2 : = (hn1 , n2 i, hn1 , n2 + 1i),
In1 ,n2,n3 : = (hn1 , n2 , n3 + 1i, hn1 , n2 , n3 i,
u.s.w.
4. θ ist ein Homöomorphismus von In1 ,...,nk auf In2 ,...,nk .
5. In1 ,...,nk ,nk+1 ⊆ In1 ,...,nk .
6. Für alle j ≤ k gilt: a j | In1 ,...,nk = n j .
7. Das offene Intervall In1,...,nk besitzt höchstens die Länge 2−k . Falls also a j ( x ) = a j (y) =
n j für alle j ≤ k, dann folgt | x − y| ≤ 2−k .
3.10 Übungen
67
4. folgt aus 2.
5. Sei x ∈ In1 ,...,nk+1 , also x = hn1 , . . . , nk+1 + ti: Wir zeigen mittels Induktion, daß
für ungerade bzw. geraden k:
hn1 , . . . , nk + 1i < hn1 , . . . , nk+1 + ti < hn1 , . . . , nk i bzw.
h n1 , . . . , n k + 1 i > h n1 , . . . , n k + 1 + t i > h n1 , . . . , n k i
Für k = 1: folgt dies aus n1 + 1 > n1 + hn2 + ti > n1 . Für beliebige ungerade k ist
die Behauptung gleichbedeutend mit:
h n2 , . . . , n k + 1 i > h n2 , . . . , n k + 1 + t i > h n2 , . . . , n k i
und dies ist die Behauptung für gerade k.
6. Zu jedem x ∈ In1 ,...,nk gibt es genau ein t ∈ (0, 1) – nämlich t = θ k ( x ) mit
x = hn1 , . . . , nk + ti, es folgt: a1 ( x ) = [1/x ] = [n1 + hn2 , . . . , nk + ti] = n1 , a2 ( x ) =
[1/θ ( x )] = [1/hn2 , . . . , nk + ti] = n2 , u.s.w.
7. Seien x, y ∈ In1,...,nk , dann gibt es a, b ∈ In3 ,...,nk mit x = 1/(n1 + 1/(n2 + a)) und
y = 1/(n1 + 1/(n2 + b)) und damit
n2 + b
n2 + a
−
n1 ( n2 + a ) + 1 n1 ( n2 + b ) + 1
a−b
=
(n1 (n2 + b) + 1)(n1 (n2 + a) + 1)
y−x=
d.h.: |y − x | ≤ | a − b|/4.
Beispiel 3.10.91 Die Abbildung a : I → NN , x 7→ (an ( x )) ist ein Homöomorphismus
mit der inversen (n1 , . . . , nk , . . .) 7→ limk hn1 , . . . , nk i.
Beispiel 3.10.92 Sei X, Y metrischer Räume und B(X ) die Borelsche σ-Algebra auf X.
Zeigen Sie, daß B(X ) ⊗ B(Y ) ⊆ B(X × Y ). Hinweis: die Produktalgebra B(X ) ⊗ B(Y )
ist die “kleinste”σ-Algebra, bezüglich der die Projektionen meßbar sind.
Da id : (X × Y, B(X × Y )) → (X, B(X ) ⊗ B(Y )) ist genau dann meßbar, wenn
die Projektionen PrX : (X × Y, B(X × Y )) → (X, B(X ) und PrY : (X × Y, B(X ×
Y )) → (Y, B(Y )) meßbar sind; diese sind aber stetig!
Beispiel 3.10.93 Sei Xn eine Folge separabler metrischer Räume und X = ∏ Xn . Zeigen Sie, daß die Borelsche σ-Algebra auf X gleich dem Produkt der Borelschen σ-Algebren
auf Xn ist.
N
Wie im voranstehenden Beispiel folgt, daß B feiner als Bn . Umgekehrt enthält
N
Bn eine Basis B0 der Produkttopologie; da X separabel und metrisierbar ist, ist
jede offene Teilmenge von X nach Proposition 3.4.2 abzählbare Vereinigung von
N
Mengen aus B0 , also enthält
Bn die Produkttopologie und folglich auch die
davon erzeugte σ-Algebra B .
68
3 TOPOLOGISCHE RÄUME
Beispiel 3.10.94 Seien A ⊆ X, B ⊆ Y. Dann gilt: ∂( A × B) = (∂A × B ) ∪ ( A × ∂B).
Beispiel 3.10.95 X trage die initiale Topologie bezüglich der Abbildungen f α : X → Yα .
Ist A ⊆ X genau dann dicht, wenn für alle α die Menge f α ( A) in Yα dicht ist?
Beispiel 3.10.96 Seien Xn vollständige metrische Räume und f n : X → Xn eine punktetrennnende Folge. Ist f : X → ∏ Xn abgeschlossen (Prn ◦ f = f n ), so ist X mit der
initialen Topologie homöomorph zu einem vollständigen metrischen Raum.
Nach Satz 3.7.7 ist X homöomorph zu f (X ); da f (X ) abgeschlossen in ∏ Xn und
∏ Xn homöomorph zu einem vollständigen metrischen Raum ist, ist f (X ) homöomorph zu einem vollständigen metrischen Raum.
Beispiel 3.10.97 Zeigen Sie, daß ein metrischer Raum (X, d) kompakt ist, wenn jeder
Ultrafilter auf X konvergiert (es gilt auch die Umkehrung).
Sei xn eine Folge in X und Fn : = { xm : m ≥ n}; ist B ein Ultrafilter mit Fn ∈ B ,
so konvergiert B gegen x; i.e. x ist ein Häufungspunkt der Folge xn . Da in einem
metrischen Raum jeder Punkt eine abzählbare Umgebungsbasis besitzt, gibt es
eine konvergente Teilfolge.
Beispiel 3.10.98 Seien Xn kompakte metrische Räume. Zeigen Sie, daß X: = ∏ Xn ein
kompakter metrischer Raum ist. Hinweis: Benutzen Sie die Diagonalfolgen Konstruktion
oder zeigen Sie, daß jeder Ultrafilter auf X konvergiert!
Sei xn , n ∈ N0 , eine Folge in X, dann gibt es eine Teilfolge xk1 (n) , so daß Pr1 ( xk1 (n) )
in X1 gegen a1 konvergiert; es gibt dann wiederum eine Teilfolge xk1 (k2 (n)) , so
daß auch Pr2 ( xk1 (k2 (n)) ) in X2 gegen a2 konvergiert, usw. Für die sogenannte Diagonalfolge yn , also y0 : = x0 , y1 : = xk1 (1) , y2 : = xk1 (k2 (2)) , etc. konvergiert dann
Prm (yn ) für alle m mit n → ∞ gegen am . Ist a: = (am ), so konvergiert yn in X
gegen a.
2. Sei F ein Ultrafilter auf X, dann ist Prn (F ) Basis eines Ultrafilters auf Xn ; da
Xn kompakt ist, konvergiert Prn (F ) und damit konvergiert nach Korollar 3.7.6
der Filter F .
Beispiel 3.10.99 Sei p ∈ N, p ≥ 2 und Z p : = {0, 1, . . . , p − 1}. Die Abbildung F :
− n ist stetig, abgeschlossen und surjektiv aber weder offen noch
ZN
p → [0, 1], ε 7→ ∑ ε n p
injektiv. Hinweis: ZN
p ist kompakt.
2. Durch εRδ: ⇔ F(ε) = F(δ) ist eine Äquivalenzrelation auf ZN
p definiert. Bestimmen
N
Sie zu ε ∈ Z p : R(ε).
3. Sei p ≥ 3 und Z die Menge aller ε ∈ ZN
p , so daß für alle n ∈ N: ε n 6= p − 2. Ist
F : Z → [0, 1] injektiv?
3.10 Übungen
69
Sei r > 0 und N ∈ N, so daß p− N < r. Zu ε ∈ ZN
p sei U: = {δ : δ1 = ε 1 , . . . , δ N =
ε N }, dann ist U eine offene Umgebung von ε und für alle δ ∈ U gilt: | F(δ) −
F(ε)| ≤ p− N . Damit ist F stetig und, da ZN
p kompakt ist, auch abgeschlossen.
Das Bild der offenen Menge [ε 1 = 0] ist das Intervall [0, 1/p], i.e. F ist nicht offen.
Da F(1, 0, 0, . . .) = F(0, p − 1, p − 1, . . .) = 1/p, ist F nicht injektiv.
2. Sei ε ∈ ZN
p von der Form (. . . , q, p − 1, p − 1, . . .) mit q 6= p − 1, dann besteht
R(ε) aus ε sowie dem Punkt (. . . , q + 1, 0, 0, . . .).
3. In diesem Fall ist F für p = 3 injektiv, denn q = 1 ist unmöglich und falls
q = 0, dann ist q + 1 = 1, also entweder liegt (. . . , q, p − 1, p − 1, . . . ) oder (. . . , q +
1, 0, 0, . . .) nicht in Z.
Beispiel 3.10.100 Zeigen Sie, daß durch F : S3 (⊆ R4 ) → SU(2),
x1 + ix2 −(y1 + iy2 )
( x1 , x2 , y1 , y2 ) 7 →
y1 − iy2
x1 − ix2
p
eine Isometrie von S3 (mit der euklidischen Metrik) auf SU(2) mit der Norm tr ( AA∗ )/2)
definiert ist. SU(n): = {U ∈ Gl(n, C) : UU ∗ = 1, det(U ) = +1} ist die spezielle
unitäre Gruppe.
Beispiel 3.10.101 Auf (C2 , +, .) ist durch (z1 , z2 )(w1 , w2 ): = (z1 w1 − z2 w̄2 , z1 w2 +
z2 w̄1 ) eine Multiplikation definiert. F : C2 → H, (z, w) 7→ z + wj ist ein Isomorphismus.
Beispiel 3.10.102 Auf dem Vektorraum der Bilinearformen B : Rn × Rn → R ist durch
2
k Bk : =
n
∑
j,k=1
| B(e j , ek )|2
eine Norm definiert. Zeigen Sie, daß dieser Raum isometrisch isomorph zu M(n, R) mit
der Hilbert-Schmidt-Norm ist.
Beispiel 3.10.103 Sei (X, d) ein kompakter metrischer Raum. Für A ⊆ X heißt d( A): =
sup{d( x, y) : x, y ∈ A} der Durchmesser von A. Zeigen Sie, daß (X, d) genau dann
ultrametrisch ist, wenn die durch xRy: ⇔ d( x, y) < d(X ) definierte Relation eine Äquivalenzrelation ist. Ferner ist dann R abgeschlossen.
Falls xn → x, yn → y und d( x, y) = D, dann folgt nach Beispiel ?? für hinreichend
große n: d( xn , yn ) = D, i.e. R ist abgeschlossen.
Beispiel 3.10.104 Sei R ⊆ X × X eine Äquivalenzrelation auf dem topologischen Raum
X und π : X → X/R die Quotientenabbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
1. π ist eine offene (abgeschlossene) Abbildung.
2. Für jede offene (abgeschlossene) Teilmenge B von X ist die Menge R( B) offen (abgeschlossen).
70
3 TOPOLOGISCHE RÄUME
Beispiel 3.10.105 Sei Z die disjunkte Summe der Räume Xα , α ∈ I und iα : Xα → Z,
dann ist iα sowohl offen als auch abgeschlossen.
2. Eine Teilmenge B ⊆ Z ist genau dann offen (abgeschlossen), wenn für alle α gilt:
B ∩ iα (Xα ) ist offen (abgeschlossen).
Sei G eine offene (abgeschlossene) Teilmenge von Xα : iα (G ) ist genau dann offen
1
(abgeschlossen) in Z, wenn für alle β ∈ I: i −
β (i α (U )) offen (abgeschlossen) in X β
ist; diese Menge ist aber entweder leer (wenn β 6= α) oder gleich G. Daraus folgt,
daß iα sowohl offen als auch abgeschlossen ist.
Ist B ∩ iα (Xα ) für alle α offen (abgeschlossen), so ist iα−1 ( B ∩ iα (Xα )) = iα−1 ( B)
offen (abgeschlossen), also ist B offen (abgeschlossen).
Beispiel 3.10.106 Seien Xα metrische Räume, so daß d(Xα ) ≤ δ ≤ D. Zeigen Sie, daß
durch d( x, y) = dα ( x, y) falls x, y ∈ Xα und d( x, y) = D/2 falls x ∈ Xα , y ∈ X β
und α 6= β, eine Metrik auf der disjunkten Summe Z der Räume definiert ist und daß Z
sämtliche Räume Xα isometrisch enthält.
Sei o.B.d.A. Xα paarweise disjunkt, dann ist Z =
mit α 6= β gilt: d( x, y) ≤ D = d( x, z) + d(z, y).
S
Xα . Für x, y ∈ Xα und z ∈ X β
Beispiel 3.10.107 Auf Cn sei ∼ die Äquivalenzrelation z ∼ w :⇔ w1 , . . . , wn ist eine
Permutation von z1 , . . . , zn . Die Funktion F : M(n, C) → Cn / ∼, die jeder Matrix
A ∈ M(n, C) ihre Eigenwerte zuordnet ist stetig.
Sei D = {z ∈ C : |z| < 1} und A 7→ p A die Abbildung, die jeder Matrix ihr
charakteristisches Polynom zuordnet; A 7→ p A ist stetig als Abbildung in C( D ).
Sei nun A ∈ M(n, C), p A (z) = (z − λ1 ) · · · (z − λn ) und o.B.d.A. λ j ∈ D. Zu r > 0
S
mit Br (λ j ) ⊆ D setzen wir δ: = inf{| p A (z)| : z ∈
/ Br (λ j )} > 0. Dann folgt für
S
/ Br (λ j )} > δ/2.
B ∈ M(n, C) mit k p A − p B k < δ/2: inf{| p B (z)| : z ∈
Beispiel 3.10.108 Seien X, Y abgeschlossene Teilmengen des topologischen Raumes Z.
Dann ist X ∪ Y homöomorph zur Verheftung von X und Y längs A: = X ∩ Y mit der
kanonischen Injektion i : A → Y als Verheftungsabbildung.
Beispiel 3.10.109 Seien X, Y beliebige Teilmengen des topologischen Raumes Z, so daß
A: = X ∩ Y abgeschlossen ist. Zeigen Sie: X ∪ Y ist i.a. nicht homöomorph zur Verheftung von X und Y längs A mit der kanonischen Injektion i : A → Y als Verheftungsabbildung.
Beispiel 3.10.110 X × Y ist homöomorph zu einem Unterraum von X ∗ Y.
Beispiel 3.10.111 Der geometrische Join ∆n ∗ ∆m ist ein (n + m + 1)-Simplex.
Beispiel 3.10.112 Sei Q = [−1, 1]2 und f : Q → Y stetig, so daß für alle |y| ≤ 1:
f ( x, y) = f (a, b) genau dann, wenn x = − a = ±1 und y = −b. Dann ist f (Q)
homöomorph zum Möbiusband.
3.10 Übungen
71
Beispiel 3.10.113 Sei X = { x ∈ S2 : | x3 | ≤ 1/2} und π : S2 → P2 (R) die Quotientenabbildung. Dann ist π (X ) stetiges Bild des Möbiusbandes.
π eingeschränkt auf X ∩ [ x1 ≥ 0] ist stetig und abgeschlossen; ferner gilt π (z1 , x1 ) =
π (z2 , x2 ) genau dann, wenn z2 = z1 und x2 = x1 oder z2 = −z1 = ±1 und
x2 = − x1 .
Beispiel 3.10.114 Warum ist der projektive Raum P2 (R) homöomorph zu einer Verheftung des Möbiusbandes mit einer Kreisscheibe?
Beispiel 3.10.115 Schneiden Sie aus der Sphäre S2 und dem Torus T2 zwei Kreisscheiben und verheften Sie die verbleibenden Teile längs des Randes der Kreisscheiben. Begründen Sie warum diese Verheftung i.a. homöomorph zu T2 ist.
Die hyperkomplexe Zahlen (Quaternionen): Auf der (additiven Gruppe) R4
setzen wir i: = (0, 1, 0, 0), j: = (0, 0, 1, 0) und k: = (0, 0, 0, 1) und schreiben Punkte
aus R4 in der Form: x1 + ix2 + jx3 + kx4 mit x1 , x2 , x3 , x4 ∈ R. Im weiteren bezeichne 1 die hyperkomplexe Zahl (1, 0, 0, 0). Durch 1 · 1: = 1, 1 · i = i · 1 = i,
1 · j = j · 1 = j, 1 · k = k · 1 = k, i · i = j · j = k · k = −1 und
i · j = k = − j · i,
j · k = i = −k · j,
k · i = k = −i · k,
ist eine bilineare Abbildung – die Multiplikation – auf R4 definiert: die Multiplikation ist dann distributiv (bzgl. der Addition). H: = (R4 , +, ·) nennt man den
Schiefkörper der hyperkomplexen Zahlen (oder Quaternionen); ist x = x1 + ix2 +
jx3 + kx4 ∈ H, so nennt man x̄: = x1 − ix2 − jx3 − kx4 die konjugierte hyperkomplexe Zahl; es gilt: x x̄ = x̄x = x12 + x22 + x32 + x42 ∈ R0+ , also ist die inverse zu x gegeben durch: x −1 = x̄/| x |2 , wobei | x |: = ( x x̄ )1/2 ∈ R0+ . S3 : = {z ∈ H : zz̄ = 1} ist
eine Untergruppe der multiplikativen Gruppe (H, ·) – die 3-dimensionale Spingruppe .
Beispiel 3.10.116 Auf Sn (⊆ Rn+1 ) ist durch xRy: = ∃ λ ∈ R |λ| = 1 : y = λx eine
Äquivalenzrelation definiert. Zeigen Sie, daß Sn /R zu Pn (R) homöomorph ist.
2. Auf S2n+1 (⊆ Cn+1 ) ist durch xRy: = ∃ λ ∈ C |λ| = 1 : y = λx eine Äquivalenzrelation definiert. Zeigen Sie, daß S2n+1 /R zu Pn (C) homöomorph ist.
3. Auf S4n+3 (⊆ Hn+1 ) ist durch xRy: = ∃ λ ∈ H |λ| = 1 : y = λx eine Äquivalenzrelation definiert. Zeigen Sie, daß S4n+3 /R zu Pn (H) homöomorph ist.
Sei F die Einschränkung der Quotientenabbildung π : Kn+1∗ → Pn (K) auf die
Einheitssphäre Sn bzw. S2n+1 bzw. S4n+3 . F ist dann stetig, surjektiv und – da
die Einheitssphäre kompakt ist – abgeschlossen. Nach Proposition 3.7.8 ist Fb ein
Homöomorphismus.
Beispiel 3.10.117 Sei f : S1 (⊆ C) → S1 die Abbildung z 7→ z2 . Dann ist f stetig,
abgeschlossen und surjektiv. Folgern Sie, daß P1 (R) homöomorph zu S1 ist.
3 TOPOLOGISCHE RÄUME
72
Beispiel 3.10.118 Zu jedem Polynom q ∈ K[ X1 , . . . , Xn ] sei V (q): = [q = 0] ⊆ Kn .
Ist p ∈ K[ X1 , . . . , Xn+1 ] ein l-homogenes Polynom, dann ist V ( p) ⊆ Kn+1 eine sogenannte homogene Varietät und π (V ( p)) ein projektive Varietät; es gilt dann V ( p) =
π −1 (π (V )). Für j = 1, . . . , n + 1 sei D j ( p) die Dehomogenisierung
D j ( p)(X1 , . . . , X j−1, X j+1 , . . . , Xn+1 ): = p(X1 , . . . , X j−1, 1, X j+1, . . . , Xn+1 ) .
Sei schließlich e1 , . . . , en+1 die kanonische orthonormale Basis von Kn+1, E j = e⊥
j und
c
ϕ j : = ϕe j . Dann gilt: ϕ j (π (V ( p)) ∩ P(E j ) ) = V ( D j ( p)) i.e. den affinen Teil von
π (V ( p)) bezüglich P(E j ) bildet ϕ j auf die Nullstellenmenge der Dehomogenisierung
D j ( p) von p ab.
Es gilt:
ϕ j (π (V ( p)) ∩ P(E j )c ) = ϕ j (π (V ( p)) ∩ π (Ecj )) = Φ j (V ( p) \ E j )
Somit liegt y genau dann in ϕ j (π (V ( p)) ∩ P(E j )c ), wenn ein x ∈ V ( p) \ E j existiert, so daß y = Φ j ( x ), i.e. genau dann, wenn für k 6= j: yk = xk /x j . Somit
ist
p ( x ) = p ( y1 x j , . . . , y j −1 x j , x j , y j +1 x j , . . . , y n +1 x j )
= x lj D j ( p)(y1 , . . . , y j−1, y j+1, . . . , yn+1 ) .
Beispiel 3.10.119 Skizzieren Sie die Bilder ϕ j (V ( p)), j = 1, 2, 3, für
1. p = X 2 + Y2 − Z2 ∈ R[ X, Y, Z].
2. p = Y2 Z − X 2 (X − Z) ∈ R[ X, Y, Z].
Beispiel 3.10.120 Für alle z = z0 + iz1 + jz2 + kz3 ∈ S3 (⊆ H) sei a: = (z1 , z2 , z3 ) ∈
R3 und
Uz ( x ) = (z20 − k ak 2 ) x + 2ha, x ia + 2z0 a × x .
Dies ist der auf Ri + Rj + Rk eingeschränkte innere Automorphismus iz : x 7→ zxz−1 –
dessen Bild wiederum Ri + Rj + Rk ist, aufgefaßt als lineare Abbildung von R3 in sich!
Zeigen Sie: 1. Uz ist eine Drehung mit der Drehachse Ra und dem Drehwinkel θ ∈
[0, 2π ), wobei
z0 = cos(θ/2) und sin(θ/2) = k ak
2. Die Abbildung U : z 7→ Uz ist ein surjektiver Homomorphismus von S3 ⊆ H – mit
der Multiplikation – auf SO(3): = {U ∈ Gl(3, R) : UU = 1, det(U ) = +1} mit dem
Kern {−1, +1}.
3. SO(3) ist homöomorph zu P3 (R). Hinweis: Benutzen Sie die Kompaktheit von S3 !
2. z 7→ Uz ist ein Homomorphismus, denn es gilt: zwx (zw)−1 = zwxw−1 z−1 =
iz ◦ iw ( x ), also: Uzw = Uz Uw . Da jede Drehung in R3 durch die Angabe der Drehachse sowie des Drehwinkels festgelegt ist, ist z 7→ Uz surjektiv. Schließlich ist
3.10 Übungen
73
z ∈ S3 und Uz = 1 gleichbedeutend damit, daß z mit allen x ∈ H kommutiert, i.e.
z ∈ R, also z = ±1.
b : P3 (R)(= S3 /{−1, +1}) → SO(3) ist nach Defi3. Die induzierte Abbildung U
nition eine stetige Bijektion und da S3 kompakt ist, ist jede abgeschlossene Teilmenge von S3 kompakt, also ist auch deren Bild kompakt und folglich ist U abb ein Homöomorphismus.
geschlossen; nach Proposition 3.7.8 ist U
Beispiel 3.10.121 Sei K ein Körper und |.| eine Norm auf K, i.e. d( x, y): = | x − y| ist
eine Metrik auf K, so daß für alle x, y ∈ K: | xy| ≤ | x ||y|.
Sei E die Menge aller f ∈ KN , so daß f (n) eine Cauchy-Folge ist.
1. E ist ein kommutativer Ring mit Eins und | f |: = lim | f (n)| ist eine “Halbnorm”auf
dem Vektorraum E über K.
b
2. I: = { f ∈ E : | f | = 0} ist ein maximales Ideal in E, also ist E/I ein Körper K.
b
3. (K, |.|) ist ein vollständiger normierter Körper und enthält einen zu K isometrischen
b ist die Vervollständigung von K.
dichten Unterkörper, i.e. K
1. Da | f (n)| eine Cauchy-Folge in R ist, existiert | f | ∈ R0+ .
2. Falls f , g ∈ I, dann folgt: | f − g| = lim | f (n) − g(n)| ≤ lim | f (n)| + lim | g(n)| =
0 und für alle λ ∈ K: |λ f | = lim |λ f (n)| ≤ |λ| lim | f (n)| = 0, also ist I ein Vektorraum. Ferner folgt für alle g ∈ E und alle f ∈ I: | g f | = lim | g(n) f (n)| ≤
lim sup | g(n)| lim | f (n)| = 0, i.e. I ist ein Ideal.
Sei J ein Ideal mit I ⊆ J und f ∈ J \ I, dann folgt: | f | = a > 0 und damit ist die
konstante Folge 1 – die Eins in E – in J, also J = E.
3. Sei f 7→ fb die Quotientenabbildung, dann gilt: | fb| = lim | f (n)|. Da f (n) eine
Cauchy-Folge ist, gibt es zu jedem ε > 0 einen Index n0 ∈ N, so daß für alle
n ≥ n0 : | f (n) − f (n0 )| < ε; setzen wir x: = f (n0 ) und wählen wir für g die
konstante Folge x, so folgt: | fb − gb| ≤ ε; i.e. der Unterraum F der konstanten
b Ferner ist | fb| = | x |, also ist F
Folgen, den man mit K identifiziert, ist dicht in K.
isometrisch zu K.
Beispiel 3.10.122 Sei F ein sogenannter freier Ultrafilter auf N, d.h. für jede endliche
Teilmenge A von N gilt: Ac ∈ F , so nennt man den Körper R∗ : = R/I (F ) ein nonstandard Modell der reellen Zahlen – R ⊆ R∗ identifiziert man mit den konstanten
Folgen. Ist x ∈ R, so schreiben wir im weitern für deren Klasse x ∗ .
1. Ordnung auf R∗ : Definieren wir für x ∗ , y∗ ∈ R∗ : x ∗ ≤ y∗ genau dann, wenn [ x ≤
y] ∈ F , so ist (R∗ , ≤) linear geordnet und induziert auf R die gewöhnliche Ordnung.
Den Betrag von x ∗ ∈ R∗ definiert man wie üblich als das Maximum von x ∗ und − x ∗ .
2. Unendlich große, unendlich kleine und endliche Zahlen: Man nennt eine Zahl x ∗ ∈ R∗
(positiv) unendlich groß, wenn für alle r ∈ R+ : x ∗ ≥ r. x ∗ ∈ R∗ heißt unendlich klein
(oder infinitesimal), wenn für alle r ∈ R+ : x ∗ ≤ r. x ∗ ∈ R∗ heißt endlich, wenn ein
r ∈ R+ existiert, so daß: | x ∗ | ≤ r.
3. x ∗ , y∗ ∈ R∗ heißen fast gleich, wenn x ∗ − y∗ infinitesimal ist. Dies ist genau dann der
Fall, wenn für alle r ∈ R+ : [| x − y| < r ] ∈ F .
74
3 TOPOLOGISCHE RÄUME
4. Zu jeder endlichen Zahl x ∗ ∈ R∗ gibt es genau eine reelle Zahl x0 , so daß x0 und x ∗
fast gleich sind. Ferner ist die Zuordnung x ∗ 7→ x0 additiv und multiplikativ.
1. ≤ ist wohldefiniert und reflexiv; ferner folgt aus x ∗ ≤ y∗ und y∗ ≤ x ∗ : x ∗ = y∗ ;
schließlich folgt aus x ∗ ≤ y∗ und y∗ ≤ z∗ : [ x ≤ z] = [ x ≤ y] ∪ [y ≤ z] ∈ F und da
F ein Ultrafilter ist, gilt entweder x ∗ ≤ y∗ oder y∗ ≤ x ∗ .
4. Ist x ∈ R und x ∗ endlich, so gibt es ein F ∈ F sowie ein r ∈ R+ , so daß | x ( F)| ≤
r; da x (F ) Basis eines Ultrafilters und [−r, r ](⊆ R) kompakt ist, konvergiert x (F )
in R gegen x0 ∈ R, d.h zu jedem ε > 0 gibt es ein F ∈ F , so daß x ( F) ∈ Bε ( x0 ),
i.e. F ⊆ [| x − x0 | < ε]; weil F ein Filter ist, folgt daraus [| x − x0 | < ε] ∈ F .
Beispiel 3.10.123 Seien X, Y Hausdorff-Räume, U ⊆ X, V ⊆ Y offene Teilmengen,
ϕ : U → V ein Homöomorphismus und T die Verheftung von X, Y längs U, V mittels
ϕ. T ist genau dann ein Hausdorff-Raum, wenn die Menge {( x, ϕ( x ) : x ∈ U } in X × Y
abgeschlossen ist.
R ∩ (X × Y ) = {( x, ϕ( x )) : x ∈ U } ist nach Voraussetzung abgeschlossen; damit
ist R abgeschlossen und nach Proposition 3.7.9 genügt es zu zeigen, daß π offen
ist: für eine offene Teilmenge W von der disjunkten Summe Z von X und Y ist
R(W ) = W ∪ ϕ(W ) falls W ⊆ X bzw. R(W ) = W ∪ ϕ−1 (W ) falls W ⊆ Y; d.h.
R(W ) ist stets offen in Z.
Beispiel 3.10.124 Seien A, B abgeschlossene Teilmengen von X, so daß A ∪ B = X und
A ∩ B 6= ∅. Dann sind X/A und B/A ∩ B homöomorph.
Seien j : B → X die Inklusion und Q : X → X/A die Quotientenabbildung. Dann
ist F: = Q ◦ j stetig, abgeschlossen und surjektiv; ferner Gilt F( x ) = F(y) genau
dann, wenn x = y oder x, y ∈ A ∩ B.
Beispiel 3.10.125 Sei Dn : = { x ∈ Rn : k x k ≤ 1}. Dann ist Sn homöomorph zu
D n /∂D n .
Beispiel 3.10.126 Seien p, q ∈ N, p, q ≥ 2. Auf dem Zylinder X: = S1 × [0, 1] definieren wir
(w, s) R(z, t) :⇔ ((s = t = 0 & w−1 z ∈ Z p ) oder ((s = t = 1 & w−1 z ∈ Zq )
Zeigen Sie, daß X/R ein kompakter metrischer Raum ist.
Beispiel 3.10.127 Sei (E, h., .i) ein Hilbertraum und F ein abgeschlossener Unterraum
⊥
von E. Bezeichnet Pr⊥
F die orthogonale Projektion auf F und R die Äquivalenzrelation
xRy: ⇔ x − y ∈ F, so gilt für alle x, y ∈ E mit π ( x ) = xb:
⊥
k xb − ybk = k Pr⊥
F x − Pr F yk .
Schließen Sie hieraus, daß E/F und F⊥ isometrisch isomorph sind.
3.10 Übungen
75
In einem Hilbertraum gilt stets x = Pr⊥
F x + Pr F x, also
2
kπ ( x )k2 = inf{k x + yk2 : y ∈ F} = inf{k Pr⊥
F x + Pr F x + yk : y ∈ F }
2
2
⊥
2
= k Pr⊥
F x k + inf{k yk : y ∈ F } = k Pr F x k
Beispiel 3.10.128 Z2 = {±1} operiert auf S1 durch (1, z) 7→ z und (−1, z) 7→ z̄.
Zeigen Sie: S1 /Z2 ist homöomorph zu [−1, 1].
Beispiel 3.10.129 Sei X ein Hausdorff-Raum und F : X → X ein Homöomorphismus.
Z operiert auf X × R stetig vermöge der Abbildung (( x, s), n) 7→ ( Fn ( x ), s + n).
1. Y: = X × R/Z ein Hausdorff-Raum.
2. Bezeichnet π : X × R → Y die Quotientenabbildung und θ : Y × R → Y die
Abbildung: θ (π ( x, s), t): = π ( x, s + t), so ist θ ein Strom, d.h. für alle s, t ∈ R gilt:
θs+t = θs ◦ θt und θt ist ein Homöomorphismus (θ heißt die Suspension von F).
3. Für alle t ∈ R ist πt : X → Y, x 7→ π (t, x ) eine Einbettung und πn ◦ Fn = θn ◦ πn .
4. Ist µ ein F-invariantes Maß auf X, so ist das Bildmaß von µ ⊗ λ unter π ein θt invariantes Maß auf Y.
Y ist genau dann ein Hausdorff-Raum, wenn R abgeschlossen ist.
2. θ ist wohldefiniert, denn für alle n ∈ Z gilt:
θ (t, (s, x )n) = θ (t, (s + n, Fn ( x ))) = π (s + t + n, Fn ( x )) = θ (t, (s, x )) .
Ferner ist
θ (t, θ (s, π (r, x ))) = θ (t, π (s + r, x )) = π (t + s + r, x ) = θ (t + s, π (r, x )) .
und da θ0 = idY ist θt ein stetige Bijektion mit der inversen θ−t .
3. Sei |s − t| < 1; falls π ( x, s) = π (y, t), dann gibt es ein n ∈ Z, so daß s + n = t
und Fn ( x ) = y, also folgt: n = 0 und damit: x = y; insbesondere ist πt injektiv
und für jede offene Teilmenge U von X gilt: πt (U ) = πt (X ) ∩ π ((t − 1, t + 1) ×
U ). Da π offen ist, ist πt : X → Y eine Einbettung.
Für x ∈ X gilt: θn ◦ πn ( x ) = π ( x, 2n) und da ( Fn ( x ), n) = ( x, n)n folgt: θn ◦
π n ( x ) = π n ◦ F n ( x ).
4. Sei J : X × R → X die Abbildung J ( x, t): = F−[t] ( x ), dann folgt:
J ( Fn ( x ), t + n) = J ( x, t) = F−[t]+n ( Fn ( x )) = F−[t] ( x ) = J ( x, t)
Somit gibt es genau eine Abbildung e
J : Y → X mit J = e
J ◦ π. Setzen wir also mit
[
t
]
e
It : = F ◦ J, so folgt: It ◦ πt = id X und πt ◦ It |πt (X ) = idπt (X ) .
Sei νe ein Maß auf X × R und ν das Bildmaß von νe unter π, dann gilt
ν(θt ∈ A) = νe(π −1 (θt−1 ( A)) = νe((θt ◦ π )−1 ( A))
3 TOPOLOGISCHE RÄUME
76
Nun ist θt ◦ π ( x, s) ∈ A nach Definition genau dann, wenn π ( x, s + t) ∈ A. ν ist
also genau dann θt -invariant, wenn
ν{( x, s) : π ( x, s) ∈ A} = ν{( x, s) : π ( x, s + t) ∈ A}
Sei nun νe = µ ⊗ λ, dann ist
ν{( x, s) : π ( x, s) ∈ A} =
Z
R
µ({ x : πs ( x ) ∈ A}) ds
und da
µ({ x : πs ( x ) ∈ A}) = µ( Is ( A)) = µ( F[s] ( e
J ( A))) = µ( e
J ( A))
ist ν unter dem Strom θt invariant.
Beispiel 3.10.130 X ist genau dann zusammenhängend, wenn für jede echte, nicht leere
Teilmenge A von X gilt: ∂A 6= ∅.
Beispiel 3.10.131 Die Sphäre Sn ist für alle n ≥ 1 zusammenhängend und wegzusammenhängend. S0 ist nicht zusammenhängend. R2 \ Q2 ist wegzusammenhängend.
Beispiel 3.10.132 Sei f : S1 → R eine stetige Abbildung. Dann existiert eine orthonormale Basis e1 , e2 von R2 mit f (e1 ) = f (e2 ). Allgemeiner: Zu jede stetige Funktion
f : Sn−1 → R gibt es eine orthonormale Basis e1 , . . . , en , so daß f (e1 ) = f (e2 ) = · · · =
f (en ) (H. Yamabe, Z. Yujobo, Osaka Math. j. 2(1)(1950), 19-22).
Sei u : S1 → R, u(z) = f (z) − f (iz) und f (z1 ) = max{ f (z) : z ∈ S1 }, dann folgt
u(z1 ) ≥ 0 und u(−iz1 ) ≤ 0. Da S1 zusammenhängend ist, ist u(S1 ) ein Intervall
und folglich gibt es ein z0 ∈ S1 mit u(z0 ) = 0.
Beispiel 3.10.133 Sei f : S1 → R stetig und a 6= b ∈ S1 . Dann existiert eine Drehung
U, so daß f (Ua) = f (Ub). Cf. Knaster’s Conjecture.
Beispiel 3.10.134 Seien ν ∈ {0, . . . , n} und Sνn die Pseudosphäre
Sνn : = { x ∈ Rn+1 : − ∑ x2j +
j≤ν
∑ x2j = 1} .
j>ν
Zeigen Sie: Falls ν = n, dann besitzt Sνn zwei Zusammenhangskomponenten; falls ν < n,
dann ist Sνn zusammenhängend.
Die Abbildung F : R × Sν−1 × Sn−ν → Rν × Rn+1−ν ,
F(r, x, y): = (sinh(r ) x, cosh (r )y)
3.10 Übungen
77
ist stetig mit dem Bild Sνn . S p ist genau dann nicht zusammenhängend, wenn p =
0, die Mengen Sνn können daher nur für ν = 1 und ν = n unzusammenhängend
sein. Falls ν = 1, dann ist
S1n = F1 (R × Sn−1 )
wobei
F1 (r, x ) = (sinh(r ), cosh (r ) x )
i.e. S1n ist zusammenhängend falls n ≥ 2.
Ist ν = n, so besitzt Snn die beiden Zusammenhangskomponenten
F(R × Sn−1 × {−1})
und
F(R × Sn−1 × {+1})
Beispiel 3.10.135 Sei X ein normierter Raum und E ein abgeschlossener Unterraum.
X \ E ist genau dann zusammenhängend, wenn die Kodimension von E größer gleich 2
ist.
Ist codim (E) ≥ 2, dann ist X/E \ {0} wegzusammenhängend. Sind x, y ∈ X \ E,
so ist π ( x ), π (y) 6= 0 und somit gibt es ein z ∈
/ E, so daß der durch π ( x ), π (z)
und π (y) verlaufende Polygonzug in X/E \ {0} liegt. Somit kann der durch x, z
und y verlaufende Polygonzug keinen Punkt von E enthalten.
Beispiel 3.10.136 Sei A eine abgeschlossene Teilmenge einer (lokalen) Riemannschen
Mannigfaltigkeit M und x ∈
/ A. Zeigen Sie: d g ( x, A) = d g ( x, ∂A).
Beispiel 3.10.137 Welcher der Buchstaben A, B, . . . , Z ist zu einem Intervall homöomorph?
Beispiel 3.10.138 Das Produkt von endlich vielen sowie die disjunkte Summe von abzählbar vielen topologischen Mannigfaltigkeiten sind topologische Mannigfaltigkeiten.
Beispiel 3.10.139 Sei X eine topologische Mannigfaltigkeit mit dem Atlas A. Ein weiterer Atlas B heiß kompatibel mit A, wenn für alle (U, ϕ) ∈ A und alle (V, ψ) ∈ B
gilt: ϕ ◦ ψ−1 ist ein Homöomorphismus von ψ(U ∩ V ) auf ϕ(U ∩ V ). Die Relation A
ist kompatibel mit B ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge aller Atlanten auf X. Unter einem maximalen Atlas versteht man die Vereinigung aller zu einem gegebenen Atlas
kompatiblen Atlanten. I.a. versieht man eine gegebene topologischen Mannigfaltigkeit
(X, A) stets mit dem maximalen Atlas!
Beispiel 3.10.140 Sei X ein Raum mit abzählbarer Basis. Dann gibt es zu jeder offenen
Überdeckung (Uα ) eine höchstens abzählbare Teilüberdeckung.
Sei Vα , α ∈ I, eine offene Überdeckung und Un eine abzählbare Basis. Zu jedem
S
α ∈ I existiert eine Teilmenge N (α) ⊆ N, so daß Vα = {Un : n ∈ N (α)}. Setzen
S
wir N: = { N (α) : α ∈ I }, so ist Un , n ∈ N eine abzählbare offene Überdeckung.
Zu jedem n ∈ N existiert dann ein α(n) ∈ I, so daß n ∈ N (α). Vα(n) ist somit eine
abzählbare Teilüberdeckung von Vα .
78
3 TOPOLOGISCHE RÄUME
Beispiel 3.10.141 Ein metrischer Raum X ist genau dann eine n-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit, wenn ein höchstens abzählbarer Atlas (U j , ϕ j ) existiert, so daß
ϕ j (U j ) = Rn .
Da in Rn jede offene Kugel homöomorph zu Rn ist, beesitzt jede n-dimensionale
topologische Mannigfaltigkeit einen Atlas (Uα , ϕα ) mit ϕα (Uα ) = Rn . Die Behauptung folgt nun aus Beispiel ??.
Beispiel 3.10.142 Ein Teilraum Y einer n-dimensionalen topologischen Mannigfaltigkeit X heißt eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit, wenn zu jedem y ∈ Y eine
Karte (U, ϕ) existiert, so daß ϕ(U ∩ Y ) = Rk × {0} ⊆ Rn . Zeigen Sie: Sn ist eine
Untermannigfaltigkeit von Rn+1 .
Beispiel 3.10.143 Eine 0-dimensionale Untermannigfaltigkeit besteht nur aus isolierten Punkten.
Beispiel 3.10.144 Eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit N von Mn ist abgeschlossen in M falls k < n.
Beispiel 3.10.145 Seien M bzw. N glatte Mannigfaltigkeiten mit den Untermannigfaltigkeiten M1 bzw. N1 . Zeigen Sie: Ist F : M → N glatt und gilt F( M1 ) ⊆ N1 , dann ist
F : M1 → N1 glatt.
Beispiel 3.10.146 Sei B eine zusammenhängende Teilmenge von X, A ⊆ X, A ∩ B 6=
∅, A ∩ Bc 6= ∅. Zeigen Sie: ∂A ∩ B 6= ∅.
Beispiel 3.10.147 Gl(n, R) besteht aus genau zwei Zusammenhangskomponenten, nämlich [det > 0] und [det < 0].
Da die Menge der diagonalisierbaren Matrizen in [det > 0] dicht liegt, genügt
es zu zeigen, daß man jede solche Matrix A mit der Einheitsmatrix 1 durch einen
Weg in [det > 0] verbinden kann. Angenommen A = UDU −1 mit D = diag{λ1 , . . . , λn },
dann ist A(t): = U ((1 − t) D + t)U −1 ein Kurve in Gl(n, R) falls keiner der Eigenwerte in R− liegt. Seien λ1 , . . . , λk sämtliche negativen Eigenwerte; dann ist k gerade, weil det A > 0 und komplexe Eigenwerte nur in Paaren λ, λ̄ auftreten. Offensichtlich kann man diese Matrix mit der Diagonalmatrix diag{−1, . . . , −1, λk+1 , . . . , λn }
durch einen Weg in [det > 0] verbinden. Die k/2 2 × 2-Diagonalmatrizen diag{−1, −1}
kann man aber mit diag{1, 1} mittels
cos t sin t
verbinden!
− sin t cos t
Beispiel 3.10.148 Sl(n, R) ist zusammenhängend und O(n) besteht aus genau zwei
Zusammenhangskomponenten.
3.10 Übungen
79
Beispiel 3.10.149 SO(n) und U(n) sind zusammenhängend. Hinweis: Spektralsatz
Beispiel 3.10.150 Jeder Quotientenraum eines zusammenhängenden Raumes ist zusammenhängend.
Beispiel 3.10.151 X: = {( x, y) ∈ R2 : ( x ∈ Q und y ∈ [0, 1]) oder ( x ∈
/ Q und y ∈
[−1, 0])}. Zeigen Sie: 1. X ist zusammenhängend aber nicht lokal zusammenhängend.
2. Ist f : [0, 1] → X stetig, so ist f konstant.
Beispiel 3.10.152 Sei X = {( x, y) ∈ R2 : x ∈ (0, 1), y = sin(1/x )} ∪ {(0, y) : y ∈
[−1, 1]}. Zeigen Sie: X ist zusammenhängend aber nicht wegzusammenhängend.
Beispiel 3.10.153 A, B ⊆ X, A, B abgeschlossen und nicht leer; A ∪ B und A ∩ B seien
zusammenhängend. Dann sind A und B zusammenhängend.
Seien A1 , A2 abgeschlossene disjunkte Teilmengen mit A = A1 ∪ A2 . Da A ∩ B
zusammenhängend ist, folgt o.B.d.A.: A2 ∩ B = ∅. Da A ∪ B = A2 ∪ ( A1 ∪ B)
zusammenhängend ist und A2 ∩ ( A1 ∪ B) = ∅ muß A2 = ∅ sein.
Beispiel 3.10.154 Sei X ein abzählbarer metrischer Raum. Zeigen Sie, daß zu jedem
Punkt x von X und jeder Umgebung U von x eine Umgebung V von x existiert, so daß
V ◦ = V ⊆ U.
Für alle x ∈ X ist D ( x ): = {d( x, y) : y ∈ X } höchstens abzählbar, also gibt es zu
jedem R > 0 ein r ∈ (0, R) \ D ( x ). Für V: = Br ( x ) gilt dann V ◦ = V = V.
Beispiel 3.10.155 Seien X, Y zusammenhängend, A ⊆ X, B ⊆ Y. Zeigen Sie: A 6=
X, B 6= Y ⇒ X × Y \ A × B ist zusammenhängend.
Beispiel 3.10.156 Sei p : X ′ → X ein lokaler Homöomorphismus zwischen HausdorffRäumen (d.h. zu jedem x ′ ∈ X ′ existieren Umgebungen U ′ von x ′ und U von p( x ′ ),
so daß p : U ′ → U ein Homöomorphismus ist). Sei Y ein topologischer Raum und
f : Y → X stetig. Eine stetige Abbildung f ′ : Y → X ′ heißt ein Lift von f , falls
p ◦ f ′ = f . Zeigen Sie: Ist Y zusammenhängend und sind f 1 bzw. f 2 zwei Lifts von f
mit f 1 (y0 ) = f 2 (y0 ) für ein y0 ∈ Y, so gilt: f 1 = f 2 .
Die Menge A: = {y ∈ Y : f 1 (y) = f 2 (y)} ist abgeschlossen – da X ′ ein HausdorffRaum ist – und nach Voraussetzung nicht leer. Diese Menge ist aber auch offen,
denn falls y ∈ A und U eine zulässige Umgebung von x = f (y) mit π −1 (U ) =
S∞
e
e
j=1 U j , so können wir o.B.d.A annehmen, daß f 1 (y) = f 2 (y) ∈ U1 . Ist V dann
eine offene Umgebung von y, so daß f (V ) ⊆ U, so müßen f 1 und f 2 auf V übereinstimmen, also ist A offen.
3 TOPOLOGISCHE RÄUME
80
Beispiel 3.10.157 Ein topologischer Raum X heißt total unzusammenhängend, wenn
die Zusammenhangskomponente Z( x ) eines jeden Punktes x nur aus x besteht.
Auf jedem topologischen Raum X ist durch x ∼ y :⇔ Z( x ) = Z(y) eine Äquivalenzrelation definiert. Zeigen Sie, daß X/ ∼ total unzusammenhängend ist.
Beispiel 3.10.158 Q ist total unzusammenhängend.
Beispiel 3.10.159 Ist f : (a, b) → R differenzierbar, so ist f ′ ((a, b)) zusammenhängend. Hinweis: Mittelwertsatz!
Die Menge D: = {( x, y) : a < x < y < b} ist eine zusammenhängende Teilmenge
von R2 ; sei F : D → R die Abbildung ( x, y) 7→ ( f (y) − f ( x ))/(y − x ), dann folgt
nach dem Mittelwertsatz: F( D ) ⊆ f ′ ((a, b)) ⊆ F( D ) . Da F( D ) zusammenhängend ist, muß F( D ) ein Intervall sein; also ist auch f ′ ((a, b)) ein Intervall.
Beispiel 3.10.160 Besitzt ein Punkt x eines Hausdorff-Raumes eine Umgebungsbasis
aus zugleich offenen und abgeschlossenen Mengen, so ist Z( x ) = { x }.
Beispiel 3.10.161 X, Y zusammenhängend, f : X × Y → Z sei in jeder Komponente
stetig. Zeigen Sie, daß f (X × Y ) zusammenhängend ist.
Beispiel 3.10.162 Sei Ω(⊆ Rn ) offen und zusammenhängend, µ ein Borelmaß mit der
Eigenschaft, daß für alle offenen Kugeln Bε ( x ): ∞ > µ( Bε ( x )) > 0. Ferner sei f : Ω →
R stetig und zu jedem Punkt x ∈ Ω gebe es ein r > 0, so daß
Br ( x ) ⊆ Ω
und
1
µ( Br ( x ))
Z
Br ( x )
f dµ ≥ f ( x ).
Existiert dann ein x0 ∈ Ω mit f ( x0 ) = sup{ f ( x ) : x ∈ Ω}, so ist f konstant.
A: = [ f = f ( x0 )] ist abgeschlossen
und nicht leer. Wir zeigen, daß A offen ist: Sei
R
x ∈ A und r > 0 mit Br (x) f dµ ≥ f ( x ) = f ( x0 ). Da f stetig ist, folgt: f | Br ist
konstant f ( x0 ), i.e. A ist offen.
Beispiel 3.10.163 Sei X eine zusammenhängende komplexe Mannigfaltigkeit und f :
X → C holomorph. Dann ist [ f 6= 0] zusammenhängend. Diese Aussage ist für reelle
analytische Mannigfaltigkeiten und reell analytischen Funktionen i.a. falsch.
Beispiel 3.10.164 Sei X lokal zusammenhängend, A ⊆ X abgeschlossen und Z eine
Zusammenhangskomponente von Ac . Dann gilt ∂Z ⊆ A.
Angenommen z ∈ ∂Z ∩ Ac , dann enthält Ac eine offene, zusammenhängende
Umgebung U von z; z kann daher kein Randpunkt einer Zusammenhangskomponente von Ac sein.
Beispiel 3.10.165 Sei X eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit der zusammenhängenden Mannigfaltigkeit Mn+2 . Dann ist Mn+2 \ X zusammenhängend.
81
4 Reguläre und normale Räume
4.1 Reguläre und vollständig reguläre Räume
Definition 4.1.1 Ein Hausdorff-Raum X heißt regulär, wenn zu jedem x ∈ X und jeder
abgeschlossenen Teilmenge A ⊆ X mit x ∈
/ A offene Teilmengen U bzw. V existieren, so
daß
x ∈ U, A ⊆ V und U ∩ V = ∅ .
Ein Hausdorff-Raum X heißt vollständig regulär, wenn zu jeder abgeschlossenen Teilmenge A von X und jedem x ∈
/ A, eine stetige Funktion f : X → [0, 1] existiert, so daß
f ( x ) = 1 und f | A = 0.
Beispiel: Metrische Räume sind vollständig regulär: für jede abgeschlossene Teilmenge A von X und alle x ∈
/ A gibt es ein r > 0, so daß Br ( x ) ∩ A = ∅; die
Funktion f (y): = (1 − d(y, x )/r )+ ist dann stetige mit f ( x ) = 1 und f | A = 0.
Ein Hausdorff-Raum ist genau dann regulär, wenn jeder Punkt x eine aus abgeschlossenen Mengen bestehende Umgebungsbasis besitzt: ist U eine offene Umgebung von x, so ist A: = U c abgeschlossen und x ∈
/ A, also gibt es eine offene
Obermenge V von A, so daß x ∈ V c◦ , d.h. V c ist eine Umgebung von x mit
V c ⊆ U. Die umgekehrte Inklusion zeigt man auf ähnliche Weise.
Proposition 4.1.2 1. Jeder Unterraum Y eines regulären bzw. vollständig regulären
Raumes X ist regulär bzw. vollständig regulär.
2. Das Produkt von regulären bzw. vollständig regulären Räumen ist regulär bzw. vollständig regulär.
B EWEIS : 1. Zunächst ist Y ein Hausdorff-Raum. Sei A ⊆ Y abgeschlossen und
y ∈ Y \ A. Da y ∈ Y \ A und Y ∩ A = Y ∩ A, liegt y nicht in A.
2. Sei x ∈ ∏α Xα und U ∈ U ( x ), dann existiert eine endliche Teilmenge J ⊆ I und
abgeschlossene bzw. offene Umgebungen Aα bzw. Uα von xα , so daß
x∈
\
α∈ J
[Prα ∈ Aα ] ⊆
\
α∈ J
[Prα ∈ Uα ] ⊆ U
i.e. x besitzt eine Umgebungsbasis aus abgeschlossenen Mengen.
Sind sämtliche Räume Xα vollstängig regulär und A eine abgeschlossene Teil/ A, so gibt es zu jedem α ∈ J eine stetige Funktion f α ,
menge von ∏α Xα mit x ∈
so daß f α ( xα ) = 1 und f α |Uαc = 0. f ( x ): = ∏α∈ J f α ( xα ) ist dann stetig, f ( x ) = 1
T
und f |( α∈ J [Prα ∈ Uα ])c = 0.
82
4 REGULÄRE UND NORMALE RÄUME
Sei (X, T ) vollständig regulär und I die Menge aller Paare ( x, A) mit x ∈ X, A ⊆
X abgeschlossen und x ∈
/ A. Nach Definition existieren stetige Funktionen f α , α =
( x, A) ∈ I, so daß f α ( x ) = 1 und f α | A = 0. Bezeichnet Ti die initiale Topologie auf
X bezüglich der Abbildungen f α , so ist Ti ⊆ T . Andererseits existiert zu jedem
U ∈ T und jedem x ∈ U ein α mit f α ( x ) = 1 und f |U c = 0, also ist [ f α > 0] ∈ Ti
und [ f α > 0] ⊆ U, d.h. Ti ⊇ T .
Definieren wir dα : X × X → R0+ durch dα (y, z) = | f α (y) − f α (z)|, so ist dα eine
Pseudometrik und es gilt: U ⊆ {y : dα ( x, y) < 1} =: Bα ( x, 1).
Definition 4.1.3 Sei X eine Menge und dα , α ∈ I eine Familie von punktetrennenden
Pseudometriken auf X, dann ist das Mengensystem
S : = { Bα ( x, r ) : α ∈ I, x ∈ X, r > 0}
eine Subbasis einer Topologie auf X; der Raum (X, dα , α ∈ I ), heißt ein uniformer
Raum.
Die obige Diskussion können wir daher wie folgt zusammenfassen: jeder vollständig reguläre Raum ist ein uniformer Raum. Genauso einfach erweist sich die
Umkehrung: Sei A eine abgeschlossene Teilmenge eines uniformen Raumes und
x∈
/ A, so gibt es eine endliche Teilmenge J = {α1 , . . . , αn } von I und r1 , . . . , rn >
T
0, so daß j Bα j ( x, r j ) ⊆ Ac . Die Funktion f (y): = (1 − sup j dα j ( x, y)/r j )+ ∧ 1 ist
dann stetig mit f ( x ) = 1 und sie verschwindet auf A, d.h. jeder uniforme Raum
ist vollständig regulär.
Satz 4.1.4 Folgende Aussagen sind äquivalent:
1. X ist vollständig regulär.
2. X trägt die initiale Topologie bezüglich einer Familie von punktetrennenden Abbildungen f α : X → [0, 1].
3. Es existiert eine Familie von Pseudometriken dα , α ∈ I, so daß das Mengensystem
{ Bα ( x, r ) : x ∈ X, α ∈ I, r > 0} eine Subbasis der Topologie bildet, i.e. X ist ein
uniformer Raum.
4. X ist homöomorph zu einer Teilmenge von [0, 1] I .
B EWEIS : Nach den voranstehenden Bemerkungen gilt: 1.⇒ 2.⇒ 3.⇒ 1. Es genügt daher folgendes zu zeigen: Sei X eine Menge und f α : X → [0, 1], α ∈ I,
eine punktetrennende Familie von Abbildungen; bezeichnet dann T die initale
Topologie auf X bezüglich der Familie f α , so ist (X, T ) homöomorph zu einem
Teilraum von [0, 1] I – dies ist ein Sonderfall von Satz 3.7.7.2!
Proposition 4.1.5 (P. Urysohn) Besitzt ein normaler bzw. vollständig regulärer Raum
X eine abzählbare Basis, so ist X metrisierbar.
4.1 Reguläre und vollständig reguläre Räume
83
B EWEIS : Sei Bn eine abzählbare Basis und I: = {( x, Bn ) : x ∈ Bn , n ∈ N}. Zu jedem α = ( x, Bn ) ∈ I existiert eine stetige Funktion f α : X → [0, 1] mit f α ( x ) = 1
und f α | Bnc = 0. Folglich ist Uα : = [ f α > 1/2] ⊆ Bn eine Basis; nach Proposition 3.4.2.3 existiert eine abzählbare Teilmenge J von I, so daß Uα , α ∈ J, eine Basis
von X bildet. Die initiale Topologie bezüglich der Abbildungen f α , α ∈ J, stimmt
daher mit der ursprünglichen Topologie auf X überein.
Räume, die lokal homöomorph zu offenen Teilmengen von Hausdorff bzw. regulären bzw. vollständig regulären Räumen sind müssen i.a. keine dieser Eigenschaften besitzen!
Proposition 4.1.6 Sei Uα , α ∈ I, eine offene Überdeckung des topologischen Raumes X.
Falls für alle α ∈ I U α hausdorffsch bzw. regulär bzw. vollständig regulär ist, dann ist
X hausdorffsch bzw. regulär bzw. vollständig regulär. Ist I höchstens abzählbar und U α
separabel und metrisierbar, so ist X separabel und metrisierbar.
B EWEIS : 1. Sei x 6= y, x ∈ U1 , y ∈ U2 und o.B.d.A. I = {1, 2}. Falls y ∈
/ U 1 oder
x∈
/ U 2 , dann ist alles klar. Seien also y ∈ U 1 und x ∈ U 2 . Da U i hausdorffsch sind,
existieren offene Umgebungen Vi von x bzw. Wi von y, so daß Vi ∩ Wi ∩ U i = ∅,
setzen wir also V = V1 ∩ V2 und W = W1 ∩ W2 , so folgt: V ∩ W = ∅.
2. Sei A ⊆ X abgeschlossen und x ∈
/ A, dann ist Aα : = A ∩ U α abgeschlossen und
x ∈
/ Aα . Ist x ∈ U1 , dann existieren offene Teilmengen V und W von X, so daß
c
V ∩ W ∩ U 1 = ∅, x ∈ V und A1 ⊆ W. V0 : = V ∩ U1 bzw. W0 : = W ∪ U 1 sind dann
offene disjunkte Obermengen von x bzw. A.
3. Sei A ⊆ X abgeschlossen und x ∈
/ A. Ist x ∈ U1 , dann existiert eine stetige
Funktion f : U 1 → [0, 1] mit f ( x ) = 1 und f | A1 ∪ ∂U1 = 0. Setzen wir F(y): =
f (y) falls y ∈ U1 und 0 sonst, so ist F stetig, F( x ) = 1 und F| A = 0.
4. Da X eine abzählbare Basis besitzt und nach 3. vollständig regulär ist, ist X
metrisierbar.
Korollar 4.1.7 Sei Γ eine diskrete Gruppe, die auf der topologischen Mannigfaltigkeit
M eigentlich operiert. Dann existiert auf dem Orbitraum M/Γ eine eindeutig bestimmte
Mannigfaltigkeitsstruktur, bezüglich der die Quotientenabbildung π von M auf M/Γ
eine Überlagerungsabbildung ist. Ferner ist π glatt bzw. holomorph falls M glatt bzw.
komplex ist.
B EWEIS : Da Γ auf M eigentlich operiert ist M/Γ ein Hausdorff-Raum, und zu
jedem x ∈ M gibt es eine Umgebung U, so daß für alle g ∈ Γ \ {e}: U ∩ Ug = ∅.
Folglich ist π : U → π (U ) ein Homöomorphismus mit der Inversen qx . Ferner
S
ist π −1 (π (U )) = Ug und die Mengen Ug, g ∈ Γ, sind paarweise disjunkt und
homöomorph zu π (U ), i.e. π ist eine Überlagerungsabbildung.
1 n
Sei o.B.d.A. (U, ϕ x ) eine Karte mit ϕ x (U ) = Rn ; die Mengen Vx : = ϕ−
x ( B ) bilden
eine offene Überdeckung von M, also gibt es einen abzählbaren Atlas (Vxk , ϕ xk );
4 REGULÄRE UND NORMALE RÄUME
84
ferner ist π (Vxk ) homöomorph zu Vxk ; nach Proposition 4.1.6 ist daher M/Γ ein
separabler, metrischer Raum und die Gesamtheit der Karten (π (Vxk ), ϕ xk ◦ qxk )
bildet einen Atlas von M/Γ.
Ist M glatt bzw. komplex, so ist auch π glatt bzw. holomorph
Beispiele: Rn /Zn und S2n−1 /Z p sind glatte Mannigfaltigkeiten.
Beispiel: Z2 = ±1 operiert auf R durch (ε, x ) 7→ εx; R/Z2 ist aber keine Mannigfaltigkeit.
Proposition 4.1.8 Ein Hausdorff-Raum ist genau dann regulär, wenn zu jeder offenen
Überdeckung Uα , α ∈ I, von X eine offene Überdeckung Vβ , β ∈ J, von X existiert, so
daß zu jedem β ∈ J ein α ∈ I existiert mit V β ⊆ Uα .
B EWEIS : 1. Ist X regulär und Uα eine offene Überdeckung, so existiert zu jedem
x ∈ X ein α( x ) ∈ I und eine offene Umgebung Vx , so daß V x ⊆ Uα(x) .
2. Sei x ∈ X und U eine offene Umgebung von x, dann ist {U, { x }c } eine offene
Überdeckung, und somit existiert nach Voraussetzung eine offene Umgebung V
von x, so daß V ⊆ U.
4.2 Normale Räume
Definition 4.2.1 Ein Hausdorff-Raum X heißt normal, wenn zu je zwei disjunkten abgeschlossenen Teilmengen A und B zwei disjunkte offene Teilmengen U und V existieren,
so daß A ⊆ U und B ⊆ V.
Jeder metrische Raum (X, d) ist normal: Sind A, B disjunkte abgeschlossene Teilmengen, so ist
d A (x)
f ( x ): =
d A (x) + dB (x)
eine stetige Funktion mit f | A = 0 und f | B = 1, also sind U: = [ f < 1/2] und
V: = [ f > 1/2] disjunkte offene Mengen und A ⊆ U bzw. B ⊆ V.
Jeder abgeschlossene Unterraum eines normalen Raumes ist normal. Das Produkt von normalen Räumen ist i.a. nicht normal (cf. Übungen).
Jede Funktion f : X → R0+ kann man aus ihren Niveaumengen [ f ≤ t] rekonstruieren, nämlich f ( x ) = inf{t : x ∈ [ f ≤ t]}. Das nachstehende Lemma ist eine
Variation hiervon!
Lemma 4.2.2 Sei D eine dichte Teilmenge von R0+ und zu jeder Zahl t ∈ D sei At
eine Teilmenge von X, so daß s < t ⇒ As ⊆ At . Definieren wir eine Funktion
f : X → [0, ∞] durch f ( x ): = inf{t : x ∈ At }, so gilt für alle t ∈ R0+ :
[ f < t] =
[
{ As : s ∈ D, s < t} und [ f ≤ t] =
\
{ As : s ∈ D, s > t} .
4.2 Normale Räume
85
B EWEIS : inf{s : x ∈ As } < t gilt genau dann, wenn ein s < t existiert, so daß
x ∈ As ; inf{s : x ∈ As } ≤ t gilt genau dann, wenn für alle s > t: x ∈ As .
Satz 4.2.3 (P. Urysohn) Sei X normal und A, B abgeschlossene, disjunkte Teilmengen
von X. Dann existiert eine stetige Funktion f : X → [0, 1], so daß f | A = 0 und
f | B = 1.
B EWEIS : 1. Sei A eine abgeschlossene Teilmenge und V eine offene Obermenge,
so sind A und V c disjunkte abgeschlossene Teilmengen, also existiert eine offene
Teilmenge U von A und eine offene Obermenge W von V c , so daß A ⊆ U, V c ⊆
W und U ∩ W = ∅; es folgt: U ⊆ W c ⊆ V, i.e.: A ⊆ U ⊆ U ⊆ V.
2. Zu dem Paar A, Bc existiert nach 1. eine offene Obermenge U1/2 von A, so daß
A ⊆ U1/2 ⊆ U 1/2 ⊆ Bc . Zu den Paaren A, U1/2 und U 1/2 , Bc existieren wiederum
nach 1. offene Teilmengen U1/4 und U3/4 , so daß A ⊆ U1/4 ⊆ U 1/4 ⊆ U1/2 und
U 1/2 ⊆ U3/4 ⊆ U 3/4 ⊆ Bc , also:
A ⊆ U 1 ⊆ U 1 ⊆ U 1 ⊆ U 1 ⊆ U 3 ⊆ U 3 ⊆ Bc .
4
4
2
2
4
4
Nach n Schritten erhalten wir somit ein Mengensystem U j2−n , j = 1, . . . , 2n − 1,
von offenen Teilmengen, so daß
A ⊆ U 1n ⊆ U
2
1
2n
⊆ U 2n ⊆ U
2
2
2n
⊆ · · · ⊆ U1− 1n ⊆ U 1− 1n ⊆ Bc .
2
Nun definieren wir
j
j
f ( x ): = inf 2n : x ∈ U j = inf 2n : x ∈ U j
2n
2n
2
wobei
inf ∅: = 1 .
Nach Lemma 4.2.2 sind dann für alle t ∈ [0, 1] die Mengen [ f < t] offen und die
Mengen [ f ≤ t] abgeschlossen, also ist f : X → [0, 1] stetig und f | A = 0, f | B = 1.
Ist der zugrunde liegende Raum X eine glatte Mannigfaltigkeit, so kann man die
Funktion f auch glatt wählen. Wir betrachten zunächst den euklidischen Raum
Rn und konstruieren zu einer vorgegebenen offenen Menge U eine glatte Funktion ψU : Rn → [0, 1], so daß U = [ψ > 0].
1. Ist B die offene Einheitskugel in Rn , so ist durch ψ( x ): = exp(−1/(1 − k x k2 ))
für x ∈ B und ψ( x ) = 0 für x ∈
/ B eine glatte Funktion ψ : Rn → [0, 1] definiert
c
mit ψ| B > 0 und ψ| B = 0.
2. Für die Kugel Br (a) ist ψ(( x − a)/r ) eine glatte Funktion, die auf Br (a)c verschwindet und auf Br (a) strikt positive Werte in [0, 1] annimmt.
3. Sei U ⊆ Rn offen, so gibt es nach Proposition 3.4.2 höchstens abzählbar viele
S
offene Kugeln Br j (a j ), so daß U = Br j (a j ). Seien ψ j : Rn → [0, 1] glatte Abbildung mit ψ j | Br j (a j ) > 0 und ψ j | Br j (a j )c = 0. Setzen wir M j : = sup{|∂α ψ j ( x )| : x ∈
4 REGULÄRE UND NORMALE RÄUME
86
Rn , |α| ≤ j}, so ist durch
∞
ψU ( x ): =
∑ 2− j M−j 1 ψj (x)
j =1
eine glatte Abbildung ψU : Rn → [0, 1] definiert (warum?) mit ψ|U > 0 und
ψ|U c = 0.
4. Sei U ⊆ X offen. Es gibt (cf. Übungen bzw. Proposition ??) einen höchstes
S
1
abzählbaren Atlas (U j , ϕ j ) mit ϕ j (U j ) = Rn , so daß Vj : = ϕ−
(
B
)
⊆
U
und
Vj =
j
U. Die Funktionen ψ j |U j = ψ ◦ ϕ j und ψ j |U jc = 0 sind dann glatt und es gilt:
ψ j |Vj > 0. Wie oben setzen wir nun ψU : = ∑ c j ψ j mit Koeffizienten c j > 0, die
hinreichend rasch gegen 0 konvergieren.
5. Sind A, B abgeschlossene, disjunkte Teilmengen von X, so ist
f ( x ): =
ψ Ac ( x )
ψ A c ( x ) + ψB c ( x )
eine glatte Funktion mit f | A = 0 und f | B = 1.
Die Punkte 3. bzw. 4. erübrigen sich, wenn man sogenannte subordinierte Zerlegungen der Eins heranzieht (cf. Abschnitt ??).
Satz 4.2.4 (H. Tietze, P. Urysohn) Sei X normal, A eine abgeschlossene Teilmenge von
X und f : A → [0, 1] stetig. Dann existiert eine stetige Funktion F : X → [0, 1] mit
F| A = f .
B EWEIS : Nach Satz 4.2.3 existiert eine stetige Funktion g1 : X → [0, 13 ], so daß
g1 |[ f ≥ 32 ] =
1
3
und
g1 |[ f ≤ 31 ] = 0 .
Sei f 1 : = f − g1 , dann folgt: 0 ≤ f 1 ≤ 32 , also f 1 : A → [0, 23 ].
1
f
2/3
f1
1/3
g1
A
A
4.2 Normale Räume
87
Wiederum nach Satz 4.2.3 existiert eine stetige Funktion g2 : X → [0, 13 32 ], so daß
22
3 3]
g2 |[ f 1 ≥
=
12
33
und
g2 |[ f 1 ≤
12
3 3]
=0.
Nun definieren wir f 2 : A → [0, ( 32 )2 ] durch f 2 : = f 1 − g2 und verfahren weiter
auf diese Weise. Setzen wir Fn : = ∑nj=1 gn , so konvergiert diese Folge in dem Banachraum Cb (X ) gegen eine Funktion F mit k Fk ≤ 1; ferner folgt für alle x ∈ A:
| f ( x ) − Fn ( x )| = | f n ( x )| ≤ ( 23 )n
also F( x ) = f ( x ) für alle x ∈ A.
Eine entsprechende Aussage gilt auch für glatte Funktionen auf einer glatten
Mannigfaltigkeit X, wobei man eine reellwertige Funktion f auf einer Teilmenge A von X als glatt bezeichnet, wenn es zu jedem Punkt x ∈ A eine offene
Umgebung U und eine glatte Funktion F gibt, so daß F und f auf U ∩ A übereinstimmen.
Ist dann A eine abgeschlossene Teilmenge von X und f : A → R eine glatte
Funktion, dann gibt es eine glatte Funktion F : X → R mit F| A = f – dies zeigt
man i.a. mittels Zerlegungen der Eins (cf. Abschnitt ?? bzw. Abschnitt ??)
Verheftung normaler Räume: Zwei stetige Abbildungen g : X → T und h : Y →
T kann man genau dann zu einer stetigen Abbildung G auf X ∪ f Y verheften,
π
wenn h ◦ f = g| A. Seien jX bzw. jY die Abbildungen X −→ Z−→ X ∪ f Y bzw.
π
Y −→ Z−→ X ∪ f Y, dann ist die Beziehung h ◦ f = g| A gleichbedeutend mit jY ◦
f = jX ◦ i, wobei i : A → X die kanonische Injektion bezeichnet. Die Abbildung
G : X ∪ f Y → T ist durch G ◦ jX = g und G ◦ jY = h eindeutig bestimmt; in
Diagrammform sieht dies wie folgt aus:
A
f
i
X
Y
jY
jX
h
X ∪f Y
g
G
T
Korollar 4.2.5 Die Veheftung zweier normaler Räume X und Y ist wiederum normal.
88
4 REGULÄRE UND NORMALE RÄUME
B EWEIS : Seien C, D abgeschlossene und disjunkte Teilmengen von X ∪ f Y, dann
−1
−1
sind sowohl jY−1 (C), jY−1 ( D ) als auch jX
( C ), j X
( D ) abgeschlossene und disjunkte
−1
Teilmengen von Y bzw. X. Da jY ◦ f = jX ◦ i, folgt: f −1 ( jY−1 (C)) = A ∩ jX
(C), i.e.
−1
−1
f ( A ∩ jX (C)) ⊆ jY (C).
Sei h : Y → [0, 1] stetig mit h| jY−1 (C) = 0 und h| jY−1 ( D ) = 1, dann ist die Kompo−1
−1
sition h ◦ f : A → [0, 1] auf A ∩ jX
(C) konstant 0 und auf A ∩ jX
( D )) konstant
−1
−1
′
1. Definieren wir auf der abgeschlossenen Menge A : = A ∪ jX (C) ∪ jX
( D ) von
−1
−1
′
′
′
′
X eine Funktion g durch g | A = g, g | jX (C) = 0 und g | jX ( D ) = 1, so ist g′
stetig und nach Satz 4.2.4 gibt es eine weitere stetige Funktion g : X → [0, 1] mit
g| A′ = g′ , also insbesondere g| A = h ◦ f . Wir erhalten daher eine eindeutig bestimmte stetige Funktion G : X ∪ f Y → [0, 1] mit h = G ◦ jY und g = G ◦ jX : zu
−1
jedem c ∈ C gibt es entweder ein x ∈ jX
(C) mit jX ( x ) = c oder ein y ∈ jY−1 (C)
mit jY (y) = c; in jedem Fall folgt: G (c) = 0, d.h. G |C = 0 und analog: G | D = 1.
Proposition 4.2.6 Sei X ein normaler Raum und f : X → Y eine stetige, abgeschlossene und surjektive Abbildung. Dann ist Y ein normaler Raum.
B EWEIS : 1. Da in X endliche Teilmengen abgeschlossen sind und f surjektiv und
abgeschlossen ist, müssen auch in Y endlichen Teilmengen abgeschlossen sein.
2. Seien B1 , B2 disjunkte abgeschlossene Teilmengen von Y, dann sind f −1 ( B1 )
und f −1 ( B2 ) abgeschlossene, disjunkte Teilmengen von X. Seien U1 , U2 offene,
disjunkte Teilmengen von X mit f −1 ( Bi ) ⊆ Ui . Da f abgeschlossen und surjektiv
ist, sind f (Uic ) abgeschlossene Teilmengen von Y mit f (Uic ) ⊆ f ( f −1 ( Bic )) = Bic .
Da f (U1c ) ∪ f (U2c ) = Y, sind f (Uic )c disjunkte offene Obermengen von Bi .
Korollar 4.2.7 Sei X ein normaler Raum und R eine Äquivalenzrelation auf X, so daß
π : X → X/R abgeschlossen ist. Dann ist X/R normal.
Für metrisierbare Räume X, Y ist daher erstens der A-Kollaps X/A normal; zweitens ist die Suspension SX normal; drittens ist die Verheftung X ∪ f Y normal; und
viertens ist der Join X ∗ Y normal.
Nach Proposition 4.1.5 sind all diese Räume metrisierbar, wenn sie eine abzählbare Basis besitzen! Die Separabilität reicht hiefür nicht aus, denn die SorgenfreyGerade (R, T+ ) ist normal und separabel aber nicht metrisierbar.
Sei R eine abgeschlossene Äquivalenzrelation auf X, so daß die Quotientenabbildung π : X → X/R abgeschlossen ist. Unter welcher Bedingung besitzen X
und X/R Basen derselben Kardinalität? Angenommen Uα , α ∈ I, ist eine Basis
b offen in X/R und π ( x ) ∈ U,
b dann ist π −1 (U
b ) eine offene Obervon X. Sei U
menge der abgeschlossenen Menge R( x ). Es gibt daher eine Teilmenge J ⊆ I, so
S
b ). Nach
daß W: = j∈ J U j eine offene Obermenge von R( x ) ist und W ⊆ π −1 (U
4.2 Normale Räume
89
b von π ( x ), so daß π −1 (V
b ) ⊆ W, i.e.
Lemma3.3.2 gibt es eine offene Umgebung V
b ⊆ π (W ). Somit ist π (W )◦ eine in V enthaltene offene Umgebung von π ( x )
V
S
und die Mengen ( j∈ J π (U j ))◦ , wobei J alle Teilmengen von I durchläuft, bilden
S
S
eine Basis von X/R. Könnten wir ( j∈ J π (U j ))◦ durch j∈ J π (U j )◦ ersetzen, so
wäre π (Uα )◦ eine Basis von X/R; X und X/R besäßen also Basen derselben Kardinalität, insbesondere wäre X/R separabel und metrisierbar, wenn X separabel
und metrisierbar wäre.
Wir beschreiben abschließend eine Charakterisierung normaler Räume, die, ähnlich der Charakterisierung regulärer Räume in Proposition 4.1.8, nur Überdeckungen involviert: Seien A1 , A2 disjunkte, abgeschlossene Teilmengen eines normalen Raumes X; nach Definition gibt es offene, disjunkte Obermengen Oi ⊇ Ai
und dazu gibt es offene Mengen Wi mit Ai ⊆ Wi ⊆ Wi ⊆ Oi . Für die Komplementärmengen Ui : = Aic heißt dies: U1 , U2 ist eine offene Überdeckung von
c
X und die Mengen Vi : = Wi sind offene Teilmengen von Ui mit Vi ⊆ Ui und
c
c
V1 ∪ V2 = W1 ∪ W2 = (W1 ∩ W2 )c ⊇ (O1 ∩ O2 )c = X. D.h. zu jeder offenen
Überdeckung U1 , U2 eines normalen Raumes gibt es eine offene Überdeckung
V1 , V2 mit Vi ⊆ Ui . Der folgende Satz zeigt eine wesentliche Verallgemeinerung
dieser Eigenschaft:
Satz 4.2.8 Ein Hausdorff-Raum ist genau dann normal, wenn zu jeder offenen lokalendlichen Überdeckung Uα , α ∈ I, eine offene Überdeckung Vα , α ∈ I, existiert, so daß für
alle α ∈ I: V α ⊆ Uα (Vα kann auch leer sein).
B EWEIS : 1. Sei F die Menge aller Abbildungen F : I → T X , so daß
i. für alle α ∈ I gilt entweder F(α) = Uα oder F(α) ⊆ Uα .
S
ii. α F(α) = X.
Auf F definieren wir wie folgt eine Ordnung: F ≤ G genau dann, wenn für alle
α ∈ I mit F(α) 6= Uα gilt: G (α) = F(α).
T
2. Sei B eine linear geordnete Teilmenge von F und B(α): = F ∈B F(α), dann ist
B(α) ∈ T X , denn falls für ein α und ein F ∈ B : F(α) ⊆ Uα , dann folgt für alle
G ≥ F: G (α) = F(α), also: B(α) = F(α).
T
3. F ist induktiv geordnet: Sei B linear geordnet; nach 2. ist B(α): = F ∈B F(α)
offen. B erfüllt die Bedingung i.: Sei x ∈ B(α); entweder gibt es ein F ∈ B , so daß
F(α) 6= Uα – dann folgt: B(α) = F(α), oder für alle F ∈ B gilt: F(α) = Uα .
B erfüllt aber auch die Bedingung ii.: sei x ∈ X; da Uα lokalendlich ist, ist J: = { j ∈
S
I : x ∈ U j } endliche. Falls für ein j ∈ J: B( j) = U j , dann liegt x in U j ⊆ α B(α).
Andernfalls gilt für alle j ∈ J: B( j) 6= U j , also existiert zu jedem j ∈ J ein Fj ∈ B ,
so daß Fj ( j) 6= U j . Da B linear geordnet ist, gibt es ein F ∈ B , so daß für alle
j ∈ J: Fj ≤ F. Da F ∈ F , gibt es aber ein α ∈ I mit x ∈ F(α); nach 2. folgt aber
B ( α ) = F ( α ).
4 REGULÄRE UND NORMALE RÄUME
90
4. Nach dem Zornschen Lemma gibt es ein maximales Element F in F . Angenommen für ein β ∈ I gilt: F( β) ∩ Uβc 6= ∅, i.e. F( β) = Uβ . Wir setzen
A: = X \
[
{ F(α) : α ∈ I, α 6= β};
falls A = ∅, dann definieren wir G ( β) = ∅; andernfalls existiert eine offene
Teilmenge V mit A ⊆ V ⊆ V ⊆ F( β). und wir definieren G ( β) = V. Setzen wir
für alle α 6= β: G (α) = F(α), so folgt: G ∈ F und F < G.
5. Seien umgekehrt A, B disjunkte, abgeschlossene Teilmengen; dann ist U: =
Ac und V: = Bc eine offene Überdeckung und somit existiert eine offene Überc
c
deckung U, V mit V ⊆ Ac und U ⊆ Bc . Die Mengen U und V sind dann disjunkte offene Obermengen von A bzw. B.
4.3 Übungen
Beispiel 4.3.1 Auf N betrachten wir folgendes Mengensystem B : Für alle Paare von teilerfremden Zahlen (m, n) sei U (m, n): = {mz + n : z ∈ Z} ∩ N. Dann ist B Basis einer
Hausdorff Topologie T auf N. Die Menge A: = {2n : n ∈ N} ist eine abgeschlossene
Teilmenge und es gibt keine disjunkten offenen Obermengen von {1} und A, d.h. (N, T )
ist nicht regulär.
1. Sei x ∈ U (m, n) ∩ U ( p, q), dann ist x + mpZ ⊆ (n + mZ) ∩ (q + pZ).
2. Seien 1 ≤ x < y ∈ N; U ( xy + 1, x ) bzw. U ( xy + 1, y) sind disjunkte Umgebungen von x bzw. y: Angenommen für ein n ∈ Z gilt: ( xy + 1)n = y − x, dann ist
aber y − x durch xy + 1 teilbar, was unmöglich ist.
3. Jede offene Umgebung von 1 muß eine Menge der Form U (n, 1) enthalten und
n muß gerade sein, da andernfalls A ∩ U (n, 1) 6= ∅. Also: n ∈ A und damit muß
auch jede offene Obermenge von A eine Menge der Form U (m, n) enthalten. Nun
ist aber U (n, 1) ∩ U (m, n) nicht leer, denn aus gcd(m, n) = 1 folgt mit z1 , z2 ∈ Z:
1 = z1 n + z2 m, also: 1 + (1 − z1 )n = n + z2 m.
Beispiel 4.3.2 Sei X ein regulärer Raum, R ⊆ X × X eine Äquivalenzrelation, so daß
die Quotientenabbildung π : X → X/R abgeschlossen ist. Dann ist R abgeschlossen.
Seien ( x, y) ∈
/ R, also y ∈
/ R( x ); da R( x ) ⊆ X abgeschlossen und X regulär
ist, gibt es offene Umgebungen U bzw. V von y bzw. R( x ), so daß U ∩ V = ∅.
Da π abgeschlossen ist und V eine offene Obermenge von R( x ) ist, gibt es nach
Proposition 3.7.10 eine offene Menge W, so daß R(W ) = W und R( x ) ⊆ W ⊆ V.
Falls (a, b) ∈ R ∩ U × W, dann folgt b ∈ W und a ∈ R(b) ⊆ R(W ) = W, i.e.
a ∈ U ∩ W.
Beispiel 4.3.3 Sei (X, d) ein zusammenhängender, metrischer Raum. Dann gibt es zu
jedem x ∈ X und jedem r < R( x ): = sup{d( x, y) : y ∈ Y } einen Punkt z ∈ X mit
d( x, z) = r.
4.3 Übungen
91
Die Funktion f : y 7→ d( x, y) ist stetig und nimmt die Werte 0 und – für jedes
δ > 0 – R( x ) − δ an, also nimmt sie auch jeden Wert dazwischen an.
Beispiel 4.3.4 Ein zusammenhängender, vollständig regulärer Raum ist überabzählbar.
Beispiel 4.3.5 Jeder abgeschlossene Teilraum eines normalen Raumes ist normal.
Beispiel 4.3.6 Sei X normal, A ⊆ X abgeschlossen und U eine offene Obermenge von
A. Dann gibt es eine stetige Funktion ψ : X → [0, 1] mit ψ| A = 1 und [ψ > 0] ⊆ U.
supp(ψ): = [ψ 6= 0] heißt der Träger von ψ.
Sei V offen, so daß A ⊆ V ⊆ V ⊆ U und ψ : X → [0, 1] stetig mit ψ| A = 1 und
ψ|V c = 0.
Beispiel 4.3.7 Sei A j , 1 ≤ j ≤ n eine endliche Folge paarweise disjunkter abgeschlossener Teilmengen des normalen Raumes X. Dann existiert eine endliche Folge U j , j ≤ n
paarweise disjunkter offener Teilmengen von X, so daß A j ⊆ U j .
Beispiel 4.3.8 Sei X eine Menge und f : X → R0+ eine Abbildung. Dann gilt:
f (x) =
Z ∞
0
I[ f >t] ( x ) dt = sup{t : x ∈ [ f > t]}
. . . pancake layer representation of f .
Beispiel 4.3.9 Seien A, B abgeschlossene Teilmengen eines metrischen Raumes X, so
daß δ: = inf{d(a, b) : a ∈ A, b ∈ B} > 0. Dann gibt es eine Lipschitz-Funktion
f : X → [0, 1] mit f | A = 0 und f | B = 1.
Beispiel 4.3.10 Sei X metrisierbar und A ⊆ X. Besitzt jede stetige Funktion f : A →
[0, 1] eine stetige Fortsetzung auf X, so ist A abgeschlossen.
Ist y ∈ A \ A, so ist f : A → [0, 1], f ( x ) = | sin(1/d( x, y))| stetig auf A und besitzt
keine stetige Fortsetzung auf X.
Beispiel 4.3.11 Sei X separabel und normal. Dann ist jeder abgeschlossene und diskrete
Teilraum Y von X höchstens abzählbar.
Sei Y eine abzählbare dichte Teilmenge von X. Da jede stetige Funktion f : X → R
durch f |Y eindeutig festgelegt ist, gibt es höchstens |RY | = |R| = c stetige Funktionen. Enthielte X eine überabzählbare abgeschlossene und diskrete Teilmenge
Z, so gäbe es aber |{0, 1} Z | > c stetige Funktionen.
Beispiel 4.3.12 Die Sorgenfrey-Gerade (R, T+ ) ist normal.
Zu jeder Menge der Form [ a, b) bzw. (a, b) gibt es eine stetige Funktion ψ : (R, T+ →
R mit [ψ > 0] = [ a, b) bzw. [ψ > 0] = (a, b).
92
4 REGULÄRE UND NORMALE RÄUME
Beispiel 4.3.13 Sei X die Sorgenfrey-Gerade und Y: = {( x, − x ) : x ∈ X }. Y ist ein
abgeschlossener und diskreter Teilraum von X × X.
2. X × X ist separabel und nicht normal.
Die Abbildung F : ( x, y) 7→ x + y ist eine stetige Abbildung in R und Y = [ F = 0],
i.e. Y ist abgeschlossen. Für alle x ∈ X ist U ( x ): = [ x, ∞) × [ x, ∞) offen in X × X
und U ( x ) ∩ Y = {( x, − x )}, also ist Y diskret.
Beispiel 4.3.14 Der Raum X = {( x, y) ∈ R2 : y ≥ 0} mit der Niemytzki Topologie ist
nicht normal.
Beispiel 4.3.15 Seien Xα , α ∈ I, separable Räume und U eine offene Teilmenge von
X: = ∏α Xα .
1. Es existiert eine höchstens abzählbare Teilmenge J von I mit folgender Eigenschaft: Ist
x ∈ U und y ∈ X, so daß für alle α ∈ J: xα = yα , dann liegt y in U.
2. Zu je zwei disjunkten offenen Teilmengen U und V von X existiert eine höchstens
abzählbare Teilmenge J von I, so daß Pr J (U ) ∩ Pr J (V ) = ∅.
3. Besitzen sämtliche Räume Xα eine abzählbare Basis, so existieren zu je zwei disjunkten
offenen Teilmengen U und V von X offene disjunkte Teilmengen U1 und V1 , die höchstens
abzählbare Vereinigung von Basiselementen von X sind, so daß U ⊆ U1 und V ⊆ V1 .
1. Sei B eine maximale Familie von paarweise disjunkten Mengen der kanonischen Basis von X, die alle in U enthalten sind. Nach Beispiel ?? ist B höchstens
abzählbar, also B = {Un : n ∈ N}. Damit existiert eine höchstens abzählbare TeilS
menge J von I, so daß für alle α ∈
/ J und alle n ∈ N: Prα (Un ) = Xα . Da U = Un ,
folgt die Behauptung aus Beispiel ??.
2. Seien J1 bzw. J2 die nach 1. bestimmten abzählbaren Teilmengen von I zu U
bzw. V und J = J1 ∪ J2 . Falls Pr J (U ) ∩ Pr J (V ) 6= ∅, dann ist nach 1. U ∩ V 6= ∅.
Beispiel 4.3.16 Sei Ai , i ∈ {1, 2}, die Menge alle ζ ∈ NR , so daß für alle n 6= i
höchstens ein t ∈ R existiert mit ζ (t) = n. Zeigen Sie: A1 und A2 sind disjunkte abgeschlossene Teilmengen von NR und für jede abzählbare Teilmenge J von R gilt:
Pr J ( A1 ) ∩ Pr J ( A2 ) 6= ∅.
Beispiel 4.3.17 NR ist nicht normal.
Angenommen NR sei normal. Seien A, B ⊆ NR abgeschlossen und disjunkt und
U, V offene disjunkte Obermengen. Nach Beispiel ?? existiert dann eine abzählbare Teilmenge J von R, so daß Pr J (U ) ∩ Pr J (V ) = ∅. Damit existiert aber zu je
zwei abgeschlossen und disjunkt Teilmengen A und B eine abzählbare Teilmenge
J von R, so daß Pr J ( A) ∩ Pr J ( B) = ∅.
Beispiel 4.3.18 Ist X vollständig regulär, so läßt sich jede l.s.c. Funktion f : X → R
als punktweiser Limes eines Netzes stetiger Funktionen schreiben.
4.3 Übungen
93
Beispiel 4.3.19 Sei X normal und A ⊆ X eine abgeschlossene Gδ -Menge, U ⊆ X eine
offene Fσ -Menge. Zeigen Sie:
1. Es existiert eine stetige Funktion f von X in [0, 1], mit A = f −1 ({0}). Hinweis: Sei
X \ A = ∪Cn . Es existiert eine Folge ( f n ) von stetigen Funktionen, wobei f n | A = 0
und f n |Cn = 1. Benutzen Sie die Funktionen f n , um f zu konstruieren.
2. Es existiert eine stetige Funktion g von X in [0, 1], mit U = f −1 ((0, 1]).
Beispiel 4.3.20 Sei f : X → [0, 1] stetig. Zeigen Sie: f −1 ({0}) ist eine Gδ -Menge und
f −1 ((0, 1]) ist eine Fσ -Menge.
Beispiel 4.3.21 Sei X normal, A eine abgeschlossene Teilmengen von X, U eine offener
Obermenge von A und f : U × [0, 1] → Rn eine stetige Abbildung. Ist g : X → Rn eine
stetige Fortsetzung von x 7→ f ( x, 0), so existiert eine stetige Fortsetzung F von f mit
F( x, t) = g( x ) für x ∈ U c und F( x, t) = f ( x, t) für x ∈ A.
Sei ψ : X → [0, 1] stetig mit ψ| A = 1 und ψ|U c = 0: F( x, t): = ψ( x ) f (t, x ) + (1 −
ψ( x )) g( x ).
Beispiel 4.3.22 Zu jeder k-dimensionale Untermannigfaltigkeit N von Mn mit k < n
gibt es eine glatte Funktion f : M → R mit N = [ f = 0].
Beispiel 4.3.23 (Cf. [5]) Sei X ein metrischer Raum, A eine abgeschlossene Teilmenge
von X und f : X → [1, 2] stetig. Dann ist für x ∈
/ A durch
o
n f (y)d( x, y)
: y∈A
F( x ): = inf
d( A, x )
eine stetige Fortsetzung von f erklärt und es gilt: inf f = inf F und sup f = sup F.
1. F ist auf Ac stetig: Zunächst is F als Infimum stetiger Funktionen nach 3.2.2
u.s.c; also genügt es zu zeigen, daß F l.s.c. ist, i.e. [ F > t] ist offen in Ac . Sei also
F( x0 ) = t + ε > t und x ∈ Ac mit d( x, x0 ) < r, also für alle y ∈ A: f (y)d( x0 , y) ≥
(t + ε)d( x0 , A). Dann folgt wegen f ≤ 2 und t ≤ 2 für alle y ∈ A:
f (y)d( x, y) ≥ f (y)(d( x0 , y) − r ) ≥ (t + ε)d( x0 , A) − 2r ≥ (t + ε)(d( x, A) − r (4 + ε))
Nun wähle r > 0, so daß r < ε(d( x0 , A) − r )/(4 + ε).
2. Sei x0 ∈ ∂A und für alle z ∈ A ∩ Br ( x0 ) gelte: | f (z) − f ( x0 )| < ε. Sei A′ : =
A \ Br ( x0 ) und x ∈ Ac mit d( x0 , x ) < r/2; dann folgt für alle y ∈ A′ : f (y)d( x, y) ≥
f (y)r/2 ≥ r/2; andererseits ist f ( x0 )d( x, x0 ) < r/2, also erhalten wir:
inf{ f (y)d( x, y) : y ∈ A} = inf{ f (y)d( x, y) : y ∈ A ∩ Br ( x0 )} .
Für y ∈ Br ( x0 ) ∩ A gilt aber: | f (y) − f ( x0 )| < ε und da d( x, A ∩ Br ( x0 )) = d( x, A),
folgt:
( f ( x0 ) − ε)d( x, A) ≤ inf{ f (y)d( x, y) : y ∈ A} ≤ ( f ( x0 ) + ε)d( x, A)
i.e. für alle x ∈ Ac ∩ Br/2 ( x0 ) gilt: | F( x ) − f ( x0 )| ≤ ε.
94
4 REGULÄRE UND NORMALE RÄUME
Beispiel 4.3.24 Bestimmen Sie F für X = R, A = [−1, 1] und f ( x ) = 1 + x2 .
Beispiel 4.3.25 Sei A eine beliebige Teilmenge eines metrischen Raumes X und f : A →
R Lipschitz stetig mit der Konstante L. Dann ist
F( x ): = inf{ f (y) + Ld( x, y) : y ∈ A}
eine Lipschitz stetige Funktion mit der Konstante L und F| A = f . Bestimmen Sie F für
X = R, A = [−1, 1] und f ( x ) = x2 .
Für alle x ∈ A gilt: F( x ) ≤ f ( x ). Falls F( x ) < f ( x ) − ε, dann existiert ein y ∈
A mit F( x ) > f (y) + Ld( x, y) − ε/2, also: f ( x ) − f (y) > Ld( x, y) + ε/2, was
unmöglich ist.
Seien x, x ′ ∈ X. Zu jedem ε > 0 existiert ein y ∈ A, so daß F( x ) > f (y) +
Ld( x, y) − ε. Da F( x ′ ) ≤ f (y) + Ld( x ′ , y), folgt:
F( x ′ ) − F( x ) ≤ Ld( x ′ , y) − Ld( x, y) − ε ≤ Ld( x ′ , x ) − ε .
2. Die Lipschitzkonstante für f : A → R ist 2, also für x > 1:
F( x ) = inf{y2 + 2| x − y| : y ∈ A} = inf{(y − 1)2 + 2x − 1 : y ∈ A} = 2x − 1
und analog für x < −1: F( x ) = −2x − 1.
Beispiel 4.3.26 Sei U eine offene Teilmenge von Rn . Bestimmen Sie eine glatte Funktion
ρ : Rn → R, so daß ρ|U > 0, ρ|∂U = 0 und ρ|Rn \ U < 0.
Beispiel 4.3.27 Seien X, Y metrische Räume, A ⊆ X und f : A → Y. Ist Y vollständig
und f gleichmäßig stetig, so gibt es eine stetige Fortsetzung F : X → Y von f .
Beispiel 4.3.28 Seien X, Y normale Räume und u : X → Y eine stetige Abbildung.
Zeigen Sie:
i. Ist u eine abgeschlossene Einbettung, so ist die lineare Abbildung u∗ : C(Y ) → C(X ),
u∗ ( f )( x ): = f (u( x )), surjektiv.
ii. Ist u∗ surjektiv, so ist u eine Einbettung.
iii. u(X ) ist genau dann dicht, wenn u∗ : C(Y ) → C(X ) injektiv ist.
iv. Sind X, Y lokalkonvex und u linear, so ist X ′ ⊆ C(X ) und u∗ | X ′ = u′ .
i. Ist g ∈ C(X ) und f 0 : u(X ) → R definiert durch f 0 (u( x )) = g( x ), so ist f 0 stetig;
da u(X ) in Y abgeschlossen ist, gibt es eine stetige Fortsetzung f : X → R mit
f | u( X ) = f 0 .
ii. u muß injektiv sein, denn falls x1 6= x2 aber u( x1 ) = u( x2 ), so gibt es eine
Funktion g ∈ C(X ) mit g( x1 ) = 0 und g( x2 ) = 1; für alle f ∈ C(Y ) folgt aber
u∗ ( f )( x1 ) = u∗ ( f )( x1 ).
Sei A ⊆ X abgeschlossen und x ∈
/ A; sei g ∈ C(X ) mit g( x ) = 0 und g| A = 1.
Nach Lemma 3.3.4 ist zu zeigen, daß u( x ) ∈
/ u( A) . Da u∗ surjektiv ist, gibt es ein
4.3 Übungen
95
f ∈ C(Y ) mit g = f ◦ u; angenommen x liegt in u( A) , dann folgt aber: g( x ) ∈
f (u( A)) = g( A) , also g( x ) = 1.
iii. Sei u∗ ( f ) = 0, i.e. f verschwindet auf u(X ) , also ist ker u∗ der Raum der
stetigen Funktionen, die auf u(X ) verschwinden. Da Y normal ist, ist ker u∗ =
{0} genau dann, wenn u(X ) = Y.
Beispiel 4.3.29 Sind E, F lokalkonvex und u : E → F stetig und linear. Ist u eine
Einbettung, so ist u′ surjektiv. Hinweis: Gehen Sie wie im voranstehenden Beispiel vor
und benutzen Sie anstelle des Urysohn Lemmas den Satz von Hahn-Banach.
Sei u : E → F eine Einbettung und x ′ ∈ E′ ; auf u(E) definieren wir f 0 : u(X ) →
R durch f 0 (u( x )): = x ′ ( x ), dann ist f 0 ein stetiges lineares Funktional auf dem
Unterraum u(E) von F. Bezeichnet f eine stetige, lineare Fortsetzung von f 0 , so
gilt für alle x ∈ X: x ′ ( x ) = f (u( x )) = u′ ( f )( x ), i.e. u′ ( f ) = x ′ .
Beispiel 4.3.30 Sei A ⊆ X abgeschlossen, f : A → Y stetig und i : A → X die Inklusion. Ist S ein topologischer Raum und i X : X → S, iY : Y → S stetige Abbildungen,
so daß zu jedem Paar von Funktionen g : X → S, h : Y → S mit iY ◦ f = i x ◦ i genau
eine stetige Abbildung H : S → T existiert mit H ◦ i X = g und H ◦ iY = h. Dann ist S
homöomorph zu X ∪ f Y. Man nennt dies die universelle Eigenschaft der Verheftung.
Zunächst gibt es genau eine stetige Abbildung G : X ∪ f Y → S mit G ◦ jX = i X
und G ◦ jY = iY . Genauso gibt es genau eine stetige Abbildung H : S → X ∪ f Y
mit H ◦ i X = jX und H ◦ iY = jY . Somit ist F: = G ◦ H : S → S stetig und es gilt:
F ◦ i X = G ◦ jX = i X und F ◦ iY = G ◦ jY = iY ; da F dadurch eindeutig bestimmt
ist, folgt F = idS und, analog: H ◦ G = id X ∪ f Y .
Beispiel 4.3.31 Sei X ein topologischer Raum und U, V eine offene Überdeckung, so
daß U und V normal sind. Dann ist X normal.
X ist die Verheftung von U und V längs A: = U ∩ V und die Veheftungsabbildung
ist die Inklusion i : A → V.
Beispiel 4.3.32 Sei X separabel und metrisierbar und R eine Äquivalenzrelation auf
X, so daß π : X → X/R offen und abgeschlossen ist. Dann ist X/R separabel und
metrisierbar.
Beispiel 4.3.33 Sei dom A ein Unterraum von X und A : dom A → X ein abgeschlossener linearer Operator (i.e. Γ( A): = {( x, Ax ) : x ∈ dom A} ist abgeschlossen in X × X), dann ist dom A mit der Norm k x k1 : = k x k + k Ax k ein Banachraum.
Beispiel 4.3.34 Seien A1 , . . . , An abgeschlossene Teilmengen eines normalen Raumes X
T
T
mit A j = ∅. Dann gibt es offene Teilmengen U j , so daß A j ⊆ U j ⊆ U j und U j = ∅.
Zeigen Sie dies für n = 2 und n = 3.
Vj : = Acj ist eine endliche, offene Überdeckung. Nach Satz 4.2.8 gibt es eine offene
c
Überdeckung Wj mit Wj ⊆ Vj . Sei U j : = Wj , dann ist U j ⊇ Vjc = A j und U j =
Wjc◦ ⊆ Wjc , also
T
U j = ∅.
96
LITERATUR
Literatur
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[3] Nicolas Bourbaki. Elements of Mathematics. Theory of Sets. Springer, 2004.
[4] M.D. Crossley. Essential topology. Springer Verlag, 2005.
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[6] J. Dieudonné. Grundzüge der modernen Analysis II. Vieweg, 1976.
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[19] M.Ó. Searcóid. Metric spaces. Springer Verlag, 2006.
[20] A.S. Steen and J.A. Seebach. Counterexamples in Topology. Dover Publications,
1995.
Index
A◦ , 22
C ( Ω ), 7
C ∞ ( Ω ), 7
H 1 ( A), 25
L ( X1 , . . . , X k ; Y ) , 6
L ϕ ( µ ), 6
Pn (K), 43
X/Γ, 44
M(n, K), 19
O(n), 19
SO(n), 19
SU(n), 24
Sl(n), 19
A, 22
supp, 91
p-adische Norm, 17
p-adische Zahlen, 17
H(X ), 8
U ( x ), 22
U ( x )◦ , 22
Überdeckung, 29
Überlagerungsabbildung, 56
äquivalente Metrik, 8
abgeschlossene Abbildung, 25
abgeschlossene Kugel, 9
abgeschlossene Menge, 22
abgeschlossener Operator, 95
Abschluß, 22
abzählbare Basis, 27
algebraische Menge, 22
Atlas, 49
Auswahlaxiom, 2
dichte Menge, 27
diskrete Menge, 58
diskrete Topologie, 21
eigentliche Operation, 45
Einbettung, 27
Faktorraum, 36
Faserprodukt, 64
feiner, 9
Filter, 29
Filterbasis, 29
finale Topologie, 32
Fréchetfilter, 29
freier Ultrafilter, 63
Gebiet, 47
gerichtete Menge, 31
glatte Abbildung, 50
glatte Mannigfaltigkeit, 49
Häufungspunkt eines Filters, 30
halbstetig, 24
Hamming-Metrik, 16
Hausdorff-Metrik, 9
Hausdorff-Raum, 30
holomorphe Abbildung, 50
Homöomorphismus, 23
homogene Koordinaten, 44
hyperkomplexe Zahlen, 71
c.p.o., 1
Cantor Bernstein, 5
Ideal, 31
indiskrete Topologie, 21
induktiv geordnet, 3
Infimum, 1
initale Topologie, 32
Innere, 22
irreduzible Menge, 51
isolierte Menge, 58
Isometrie in, 8
Dehomogenisierung, 72
Join, 41
Banach-Mazur Distanz, 19
Basis einer Topologie, 21
97
INDEX
98
Karte, 49
Kettenbruch, 65
Knaster Tarski, 5
Kollaps, 39
kompatibler Atlas, 77
komplexe Mannigfaltigkeit, 49
konvergenter Filter, 30
l.s.c., 24
lens space, 45
Lift, 79
linear geordnet, 1
Lipschitz stetig, 8
lokal abgeschlossen, 53
lokal wegzusammenhängend, 47
lokal zusammenhängend, 45
lokale Riemannsche Mannigfaltigkeit, 8
lokalendliche Überdeckung, 29
Lottoraum, 16
Möbiusband, 70
Möbiustransformation, 13
maximaler Atlas, 77
maximales Element, 1
metrische Topologie, 9
metrisierbar, 21
Netz, 31
Niemytzki Topologie, 60
Noetherscher Ring, 22
non-standard Analysis, 73
normaler Raum, 84
Nullstellensatz, 22
obere Schranke, 1
offene Überdeckung, 29
offene Abbildung, 25
offene Kugel, 9
offene Menge, 21
Orbitraum, 44
Parallelmenge, 9
Peano-Kurve, 18
Primideal, 51
Produktmetrik, 7
Produkttopologie, 33
projektiver Raum, 43
Pseudosphäre, 76
punktetrennend, 35
Quaternionen, 71
Quotientenraum, 36
Quotiententopologie, 36
Rand, 22
regulärer Raum, 81
Relativtopologie, 26, 34
Retrakt, 27
Retraktion, 27
separabel, 27
Simplex, 41
Smash Product, 42
Sobolevraum, 25
Sorgenfrey Gerade, 22
spezielle unitäre Gruppe, 69
Spinguppe, 71
stereographischen Projektion, 12
stetige Abbildung, 23
Subbasis einer Topologie, 21
Subbasis eines Filters, 29
Submersion, 26
Summentopologie, 35
Supremum, 1
Suspension, 39
Teilüberdeckung, 29
Topologie, 21
topologische Mannigfaltigkeit, 49
total unzusammenhängend, 80
u.s.c., 24
Ultrafilter, 31
ultrametrisch, 17
Umgebung, 22
Umgebungsfilter, 29
uniformer Raum, 82
universelle Eigenschaft der Verheftung,
95
Untermannigfaltigkeit, 78
INDEX
unwesentliche Abbildung, 18
Varietät, 72
Verheftung, 38, 40
vollständig geordnet, 1
vollständig regulärer Raum, 81
Wedge Sum, 42
wegzusammenhängend, 47
wohlgeordnet, 1
Zariski Topologie, 22, 51
zusammenhängend, 45
Zusammenhangskomponente, 48
Zwischenwertsatz, 47
99